Tatlong opsyon para sa pagkumpleto ng forward move ng Gauss method. Gauss na pamamaraan online

Gauss method ay madali! Bakit? Ang tanyag na Aleman na matematiko na si Johann Carl Friedrich Gauss, sa panahon ng kanyang buhay, ay tumanggap ng pagkilala bilang pinakadakilang matematiko sa lahat ng panahon, isang henyo, at maging ang palayaw na "Hari ng Matematika". At lahat ng mapanlikha, tulad ng alam mo, ay simple! Sa pamamagitan ng paraan, hindi lamang mga suckers, kundi pati na rin ang mga henyo ay nahulog sa pera - ang larawan ng Gauss ay ipinagmamalaki sa isang kuwenta ng 10 Deutschmarks (bago ang pagpapakilala ng euro), at si Gauss ay misteryosong ngumiti sa mga Aleman mula sa mga ordinaryong selyo ng selyo.

Ang pamamaraang Gauss ay simple dahil SAPAT NA ANG KAALAMAN NG ISANG IKALIMANG BAITANG NA MAG-AARAL upang makabisado ito. Dapat marunong magdagdag at magparami! Ito ay hindi nagkataon na ang paraan ng sunud-sunod na pag-aalis ng mga hindi alam ay madalas na isinasaalang-alang ng mga guro sa mga elective na matematika ng paaralan. Ito ay isang kabalintunaan, ngunit ang pamamaraang Gauss ay nagdudulot ng pinakamalaking paghihirap para sa mga mag-aaral. Walang nakakagulat - lahat ito ay tungkol sa pamamaraan, at susubukan kong sabihin sa isang naa-access na form tungkol sa algorithm ng pamamaraan.

Una, i-systematize namin ang kaalaman tungkol sa mga sistema ng linear equation nang kaunti. Ang isang sistema ng mga linear equation ay maaaring:

1) Magkaroon ng natatanging solusyon.
2) Magkaroon ng walang katapusang maraming solusyon.
3) Walang mga solusyon (maging hindi magkatugma).

Ang Gauss method ay ang pinakamakapangyarihan at versatile na tool para sa paghahanap ng solusyon anuman sistema ng mga linear na equation. Sa pagkakaalala natin Ang panuntunan at pamamaraan ng matrix ng Cramer ay hindi angkop sa mga kaso kung saan ang sistema ay may walang katapusang maraming solusyon o hindi pare-pareho. Isang paraan ng sunud-sunod na pag-aalis ng mga hindi alam sabagay humantong kami sa sagot! Sa araling ito, muli nating isasaalang-alang ang paraan ng Gauss para sa kaso No. 1 (ang tanging solusyon sa sistema), ang artikulo ay nakalaan para sa mga sitwasyon ng mga puntos No. 2-3. Tandaan ko na ang algorithm ng pamamaraan mismo ay gumagana sa parehong paraan sa lahat ng tatlong mga kaso.

Bumalik tayo sa pinakasimpleng sistema mula sa aralin Paano malutas ang isang sistema ng mga linear na equation?
at lutasin ito gamit ang Gaussian method.

Ang unang hakbang ay magsulat pinahabang sistema ng matrix:
. Sa pamamagitan ng kung anong prinsipyo ang mga coefficient ay naitala, sa palagay ko ay makikita ng lahat. Ang patayong linya sa loob ng matrix ay hindi nagdadala ng anumang mathematical na kahulugan - ito ay isang strikethrough lamang para sa kadalian ng disenyo.

Sanggunian :Inirerekomenda kong tandaan mga tuntunin linear algebra. System Matrix ay isang matrix na binubuo lamang ng mga coefficient para sa mga hindi alam, sa halimbawang ito, ang matrix ng system: . Pinalawak na System Matrix ay ang parehong matrix ng system kasama ang isang column ng mga libreng termino, sa kasong ito: . Anuman sa mga matrice ay maaaring tawaging simpleng matrix para sa kaiklian.

Matapos isulat ang pinahabang matrix ng system, kinakailangan na magsagawa ng ilang mga aksyon kasama nito, na tinatawag ding mga pagbabagong elementarya.

Mayroong mga sumusunod na pagbabagong elementarya:

1) Mga string matrice pwede muling ayusin mga lugar. Halimbawa, sa matrix na isinasaalang-alang, maaari mong ligtas na muling ayusin ang una at pangalawang hilera:

2) Kung mayroong (o lumitaw) na proporsyonal (bilang isang espesyal na kaso - magkapareho) na mga hilera sa matrix, pagkatapos ay sumusunod ito tanggalin mula sa matrix, lahat ng mga row na ito maliban sa isa. Isaalang-alang, halimbawa, ang matrix . Sa matrix na ito, ang huling tatlong hanay ay proporsyonal, kaya sapat na mag-iwan lamang ng isa sa mga ito: .

3) Kung ang isang zero na hilera ay lumitaw sa matrix sa panahon ng mga pagbabagong-anyo, pagkatapos ay sumusunod din ito tanggalin. Hindi ako gumuhit, siyempre, ang zero line ay ang linya kung saan mga zero lang.

4) Ang hilera ng matrix ay maaaring multiply (divide) para sa anumang numero hindi zero. Isaalang-alang, halimbawa, ang matrix . Dito ipinapayong hatiin ang unang linya ng -3, at i-multiply ang pangalawang linya ng 2: . Ang pagkilos na ito ay lubhang kapaki-pakinabang, dahil pinapasimple nito ang mga karagdagang pagbabago ng matrix.

5) Ang pagbabagong ito ay nagdudulot ng pinakamaraming kahirapan, ngunit sa katunayan ay wala ring kumplikado. Sa hilera ng matrix, maaari mo magdagdag ng isa pang string na pinarami ng isang numero, iba sa zero. Isaalang-alang ang aming matrix mula sa isang praktikal na halimbawa: . Una, ilalarawan ko nang detalyado ang pagbabago. I-multiply ang unang hilera sa -2: , at sa pangalawang linya idinagdag namin ang unang linya na pinarami ng -2: . Ngayon ang unang linya ay maaaring hatiin "pabalik" ng -2: . Tulad ng nakikita mo, ang linya na ADDED LI – hindi nagbago. Ay laging ang linya ay binago, KUNG SAAN DAGDAG UT.

Sa pagsasagawa, siyempre, hindi sila nagpinta sa ganoong detalye, ngunit sumulat ng mas maikli:

Muli: sa pangalawang linya idinagdag ang unang hilera na pinarami ng -2. Ang linya ay karaniwang pinararami nang pasalita o sa isang draft, habang ang mental na kurso ng mga kalkulasyon ay katulad nito:

"Isinulat ko muli ang matrix at muling isinulat ang unang hilera: »

Unang column muna. Sa ibaba kailangan kong makakuha ng zero. Samakatuwid, pinarami ko ang yunit sa itaas ng -2:, at idinagdag ang una sa pangalawang linya: 2 + (-2) = 0. Isinulat ko ang resulta sa pangalawang linya: »

“Ngayon ang pangalawang column. Sa itaas -1 beses -2: . Idinaragdag ko ang una sa pangalawang linya: 1 + 2 = 3. Isinulat ko ang resulta sa pangalawang linya: »

“At ang ikatlong column. Sa itaas -5 beses -2: . Idinagdag ko ang unang linya sa pangalawang linya: -7 + 10 = 3. Isinulat ko ang resulta sa pangalawang linya: »

Mangyaring pag-isipang mabuti ang halimbawang ito at unawain ang sunud-sunod na algorithm ng pagkalkula, kung naiintindihan mo ito, kung gayon ang paraan ng Gauss ay halos "nasa iyong bulsa". Ngunit, siyempre, ginagawa pa rin namin ang pagbabagong ito.

Ang mga pagbabago sa elementarya ay hindi nagbabago sa solusyon ng sistema ng mga equation

! PANSIN: itinuturing na mga manipulasyon hindi maaaring gamitin, kung ikaw ay inaalok ng isang gawain kung saan ang mga matrice ay ibinigay "sa pamamagitan ng kanilang mga sarili". Halimbawa, na may "classic" matrice sa anumang kaso dapat mong muling ayusin ang isang bagay sa loob ng mga matrice!

Balik tayo sa ating sistema. Halos pira-piraso na siya.

Isulat natin ang augmented matrix ng system at, gamit ang elementary transformations, bawasan ito sa stepped view:

(1) Ang unang hilera ay idinagdag sa pangalawang hilera, na pinarami ng -2. At muli: bakit natin pinarami ang unang hilera sa -2? Upang makakuha ng zero sa ibaba, na nangangahulugan ng pag-alis ng isang variable sa pangalawang linya.

(2) Hatiin ang pangalawang hanay ng 3.

Ang layunin ng mga pagbabagong elementarya – i-convert ang matrix sa step form: . Sa disenyo ng gawain, direktang inilabas nila ang "hagdan" gamit ang isang simpleng lapis, at bilugan din ang mga numero na matatagpuan sa "mga hakbang". Ang terminong "stepped view" mismo ay hindi ganap na teoretikal; sa siyentipiko at pang-edukasyon na panitikan, madalas itong tinatawag na trapezoidal view o tatsulok na view.

Bilang resulta ng mga pagbabagong elementarya, nakuha namin katumbas orihinal na sistema ng mga equation:

Ngayon ang system ay kailangang "untwisted" sa kabaligtaran na direksyon - mula sa ibaba pataas, ang prosesong ito ay tinatawag baligtarin ang pamamaraang Gauss.

Sa mas mababang equation, mayroon na tayong natapos na resulta: .

Isaalang-alang ang unang equation ng system at palitan ang kilalang halaga ng "y" dito:

Isaalang-alang natin ang pinakakaraniwang sitwasyon, kapag ang Gaussian na pamamaraan ay kinakailangan upang malutas ang isang sistema ng tatlong linear equation na may tatlong hindi alam.

Halimbawa 1

Lutasin ang sistema ng mga equation gamit ang Gauss method:

Isulat natin ang augmented matrix ng system:

Ngayon ay agad kong iguguhit ang resulta na darating sa kurso ng solusyon:

At inuulit ko, ang layunin namin ay dalhin ang matrix sa isang stepped form gamit ang elementary transformations. Saan magsisimulang kumilos?

Una, tingnan ang kaliwang itaas na numero:

Dapat halos laging nandito yunit. Sa pangkalahatan, -1 (at kung minsan ang iba pang mga numero) ay babagay din, ngunit sa paanuman ay tradisyonal na nangyari na ang isang yunit ay karaniwang nakalagay doon. Paano ayusin ang isang yunit? Tinitingnan namin ang unang column - mayroon kaming natapos na unit! Transformation one: palitan ang una at ikatlong linya:

Ngayon ang unang linya ay mananatiling hindi nagbabago hanggang sa katapusan ng solusyon. Ngayon ayos na.

Nakaayos ang unit sa kaliwang itaas. Ngayon ay kailangan mong makakuha ng mga zero sa mga lugar na ito:

Ang mga zero ay nakuha lamang sa tulong ng isang "mahirap" na pagbabago. Una, haharapin natin ang pangalawang linya (2, -1, 3, 13). Ano ang kailangang gawin upang makakuha ng zero sa unang posisyon? Kailangan sa pangalawang linya idagdag ang unang linya na pinarami ng -2. Sa isip o sa isang draft, i-multiply natin ang unang linya sa -2: (-2, -4, 2, -18). At palagi kaming nagsasagawa (muli sa pag-iisip o sa isang draft) karagdagan, sa pangalawang linya idinagdag namin ang unang linya, na pinarami na ng -2:

Ang resulta ay nakasulat sa pangalawang linya:

Katulad nito, haharapin natin ang ikatlong linya (3, 2, -5, -1). Upang makakuha ng zero sa unang posisyon, kailangan mo sa ikatlong linya idagdag ang unang linya na pinarami ng -3. Sa isip o sa isang draft, i-multiply natin ang unang linya sa -3: (-3, -6, 3, -27). At sa ikatlong linya idinaragdag namin ang unang linya na pinarami ng -3:

Ang resulta ay nakasulat sa ikatlong linya:

Sa pagsasagawa, ang mga pagkilos na ito ay karaniwang ginagawa sa salita at nakasulat sa isang hakbang:

Hindi na kailangang bilangin ang lahat nang sabay-sabay. Ang pagkakasunud-sunod ng mga kalkulasyon at "insertion" ng mga resulta pare-pareho at kadalasang ganito: una naming isusulat muli ang unang linya, at tahimik na pumuputok - KONSISTENTO at MAINGAT:

At naisip ko na ang mental na kurso ng mga kalkulasyon mismo sa itaas.

Sa halimbawang ito, ito ay madaling gawin, hinahati namin ang pangalawang linya sa -5 (dahil ang lahat ng mga numero ay nahahati sa 5 nang walang natitira). Kasabay nito, hinahati namin ang ikatlong linya ng -2, dahil mas maliit ang numero, mas simple ang solusyon:

Sa huling yugto ng elementarya na pagbabago, isa pang zero ang dapat makuha dito:

Para dito sa ikatlong linya idinagdag namin ang pangalawang linya, na pinarami ng -2:

Subukang i-parse ang pagkilos na ito sa iyong sarili - i-multiply sa isip ang pangalawang linya sa -2 at isagawa ang karagdagan.

Ang huling aksyon na ginawa ay ang hairstyle ng resulta, hatiin ang ikatlong linya ng 3.

Bilang resulta ng mga pagbabagong elementarya, nakuha ang isang katumbas na paunang sistema ng mga linear equation:

Malamig.

Ngayon ang baligtad na kurso ng pamamaraang Gaussian ay naglalaro. Ang mga equation ay "unwind" mula sa ibaba pataas.

Sa ikatlong equation, mayroon na tayong natapos na resulta:

Tingnan natin ang pangalawang equation: . Ang kahulugan ng "z" ay kilala na, kaya:

At sa wakas, ang unang equation: . Ang "Y" at "Z" ay kilala, ang bagay ay maliit:

Sagot:

Tulad ng paulit-ulit na nabanggit, para sa anumang sistema ng mga equation, posible at kinakailangan upang suriin ang nahanap na solusyon, sa kabutihang palad, hindi ito mahirap at mabilis.

Halimbawa 2

Ito ay isang halimbawa para sa paglutas sa sarili, isang halimbawa ng pagtatapos at isang sagot sa pagtatapos ng aralin.

Dapat tandaan na ang iyong kurso ng aksyon maaaring hindi tumutugma sa aking kilos, at ito ay isang tampok ng pamamaraang Gauss. Ngunit ang mga sagot ay dapat na pareho!

Halimbawa 3

Lutasin ang isang sistema ng mga linear equation gamit ang Gauss method

Isinulat namin ang pinahabang matrix ng system at, gamit ang mga elementarya na pagbabago, dalhin ito sa isang hakbang na form:

Tinitingnan namin ang itaas na kaliwang "hakbang". Doon tayo dapat magkaroon ng unit. Ang problema ay walang sinuman sa unang hanay, kaya walang malulutas sa pamamagitan ng muling pagsasaayos ng mga hilera. Sa ganitong mga kaso, dapat ayusin ang yunit gamit ang elementarya na pagbabago. Ito ay karaniwang maaaring gawin sa maraming paraan. Ginawa ko ito:
(1) Sa unang linya idinagdag namin ang pangalawang linya, na pinarami ng -1. Iyon ay, pinarami namin sa isip ang pangalawang linya sa -1 at isinagawa ang pagdaragdag ng una at pangalawang linya, habang ang pangalawang linya ay hindi nagbago.

Ngayon sa itaas na kaliwang "minus one", na ganap na nababagay sa amin. Kung sino ang gustong makakuha ng +1 ay maaaring magsagawa ng karagdagang galaw: i-multiply ang unang linya sa -1 (palitan ang sign nito).

(2) Ang unang hilera na pinarami ng 5 ay idinagdag sa ikalawang hanay. Ang unang hilera na pinarami ng 3 ay idinagdag sa ikatlong hanay.

(3) Ang unang linya ay pinarami ng -1, sa prinsipyo, ito ay para sa kagandahan. Ang tanda ng ikatlong linya ay binago din at inilipat sa pangalawang lugar, kaya, sa pangalawang "hakbang, mayroon kaming nais na yunit.

(4) Ang pangalawang linya na pinarami ng 2 ay idinagdag sa ikatlong linya.

(5) Ang ikatlong hanay ay hinati ng 3.

Ang isang masamang senyales na nagpapahiwatig ng isang error sa pagkalkula (mas madalas na isang typo) ay isang "masamang" bottom line. Iyon ay, kung nakakuha tayo ng isang bagay tulad ng nasa ibaba, at, nang naaayon, , pagkatapos ay may mataas na antas ng posibilidad na maipagtatalunan na ang isang pagkakamali ay ginawa sa kurso ng mga pagbabagong elementarya.

Sinisingil namin ang reverse move, sa disenyo ng mga halimbawa, ang system mismo ay madalas na hindi muling isinulat, at ang mga equation ay "direktang kinuha mula sa ibinigay na matrix". Ang reverse move, ipinaaalala ko sa iyo, ay gumagana mula sa ibaba pataas. Oo, narito ang isang regalo:

Sagot: .

Halimbawa 4

Lutasin ang isang sistema ng mga linear equation gamit ang Gauss method

Ito ay isang halimbawa para sa isang independiyenteng solusyon, ito ay medyo mas kumplikado. Okay lang kung may nalilito. Buong solusyon at sample ng disenyo sa pagtatapos ng aralin. Maaaring iba ang iyong solusyon sa akin.

Sa huling bahagi, isinasaalang-alang namin ang ilang mga tampok ng algorithm ng Gauss.
Ang unang tampok ay kung minsan ang ilang mga variable ay nawawala sa mga equation ng system, halimbawa:

Paano isulat nang tama ang augmented matrix ng system? Napag-usapan ko na ang sandaling ito sa aralin. Ang panuntunan ni Cramer. Paraan ng matrix. Sa pinalawak na matrix ng system, inilalagay namin ang mga zero sa lugar ng mga nawawalang variable:

Sa pamamagitan ng paraan, ito ay isang medyo madaling halimbawa, dahil mayroon nang isang zero sa unang hanay, at may mas kaunting mga pagbabagong elementarya na dapat gawin.

Ang pangalawang tampok ay ito. Sa lahat ng mga halimbawang isinasaalang-alang, inilagay namin ang alinman sa -1 o +1 sa "mga hakbang". Maaari bang mayroong iba pang mga numero? Sa ilang mga kaso kaya nila. Isaalang-alang ang sistema: .

Dito sa itaas na kaliwang "hakbang" mayroon kaming isang deuce. Ngunit napansin namin ang katotohanan na ang lahat ng mga numero sa unang hanay ay nahahati sa 2 nang walang natitira - at isa pang dalawa at anim. At ang deuce sa kaliwang tuktok ay babagay sa atin! Sa unang hakbang, kailangan mong gawin ang mga sumusunod na pagbabago: idagdag ang unang linya na pinarami ng -1 sa pangalawang linya; sa ikatlong linya idagdag ang unang linya na pinarami ng -3. Kaya, makukuha natin ang ninanais na mga zero sa unang hanay.

O isa pang hypothetical na halimbawa: . Dito, ang triple sa pangalawang "rung" ay nababagay din sa atin, dahil ang 12 (ang lugar kung saan kailangan nating makakuha ng zero) ay nahahati sa 3 nang walang natitira. Kinakailangan na isagawa ang sumusunod na pagbabagong-anyo: sa ikatlong linya, idagdag ang pangalawang linya, na pinarami ng -4, bilang isang resulta kung saan ang zero na kailangan natin ay makukuha.

Ang paraan ng Gauss ay unibersal, ngunit mayroong isang kakaiba. Maaari mong kumpiyansa na matutunan kung paano lutasin ang mga system sa pamamagitan ng iba pang mga pamamaraan (paraan ng Cramer, pamamaraan ng matrix) nang literal mula sa unang pagkakataon - mayroong isang napakahigpit na algorithm. Ngunit upang makaramdam ng tiwala sa pamamaraang Gauss, dapat mong "punan ang iyong kamay" at lutasin ang hindi bababa sa 5-10 mga sistema. Samakatuwid, sa una ay maaaring may pagkalito, mga pagkakamali sa mga kalkulasyon, at walang kakaiba o trahedya dito.

Maulan na panahon ng taglagas sa labas ng bintana .... Samakatuwid, para sa lahat, isang mas kumplikadong halimbawa para sa isang independiyenteng solusyon:

Halimbawa 5

Lutasin ang isang sistema ng apat na linear equation na may apat na hindi alam gamit ang Gauss method.

Ang ganitong gawain sa pagsasanay ay hindi gaanong bihira. Sa palagay ko kahit na ang isang teapot na nag-aral ng pahinang ito nang detalyado ay nauunawaan ang algorithm para sa paglutas ng naturang sistema nang intuitively. Karaniwang pareho - mas maraming aksyon.

Ang mga kaso kung saan ang system ay walang mga solusyon (hindi pare-pareho) o may walang katapusang maraming solusyon ay isinasaalang-alang sa aralin Mga hindi magkatugma na mga sistema at sistema na may pangkalahatang solusyon. Doon maaari mong ayusin ang isinasaalang-alang na algorithm ng pamamaraang Gauss.

Nagaasam ng iyong tagumpay!

Mga solusyon at sagot:

Halimbawa 2: Solusyon : Isulat natin ang pinahabang matrix ng system at, gamit ang elementarya na pagbabago, dalhin ito sa isang stepped form.

Nagsagawa ng mga pagbabagong elementarya:
(1) Ang unang hilera ay idinagdag sa pangalawang hilera, na pinarami ng -2. Ang unang linya ay idinagdag sa ikatlong linya, na pinarami ng -1. Pansin! Dito ay maaaring maging kaakit-akit na ibawas ang una mula sa ikatlong linya, hindi ko inirerekumenda ang pagbabawas - ang panganib ng error ay lubhang tumataas. Tupi lang tayo!
(2) Ang tanda ng pangalawang linya ay binago (multiplied sa -1). Ang pangalawa at pangatlong linya ay napalitan na. tala na sa "mga hakbang" ay nasisiyahan tayo hindi lamang sa isa, kundi pati na rin sa -1, na mas maginhawa.
(3) Sa ikatlong linya, idagdag ang pangalawang linya, na pinarami ng 5.
(4) Ang tanda ng pangalawang linya ay binago (multiplied sa -1). Ang ikatlong linya ay hinati ng 14.

Baliktad na galaw:

Sagot: .

Halimbawa 4: Solusyon : Isinulat namin ang pinahabang matrix ng system at, gamit ang mga elementarya na pagbabago, dalhin ito sa isang hakbang na form:

Ginawa ang mga conversion:
(1) Ang pangalawang linya ay idinagdag sa unang linya. Kaya, ang nais na yunit ay nakaayos sa itaas na kaliwang "hakbang".
(2) Ang unang hilera na pinarami ng 7 ay idinagdag sa pangalawang hilera. Ang unang hilera na pinarami ng 6 ay idinagdag sa ikatlong hanay.

Sa pangalawang "hakbang" ang lahat ay mas masahol pa , ang "mga kandidato" para dito ay ang mga numero 17 at 23, at kailangan namin ng alinman sa isa o -1. Ang mga pagbabagong-anyo (3) at (4) ay maglalayong makuha ang ninanais na yunit

(3) Ang pangalawang linya ay idinagdag sa ikatlong linya, na pinarami ng -1.
(4) Ang ikatlong linya, na pinarami ng -3, ay idinagdag sa pangalawang linya.
(3) Ang pangalawang linya na pinarami ng 4 ay idinagdag sa ikatlong linya. Ang pangalawang linya na pinarami ng -1 ay idinagdag sa ikaapat na linya.
(4) Ang tanda ng ikalawang linya ay binago. Ang ikaapat na linya ay hinati ng 3 at inilagay sa halip na ang ikatlong linya.
(5) Ang ikatlong linya ay idinagdag sa ikaapat na linya, na pinarami ng -5.

Baliktad na galaw:

Sa artikulong ito, ang pamamaraan ay itinuturing bilang isang paraan upang malutas ang mga sistema ng linear equation (SLAE). Ang pamamaraan ay analytical, iyon ay, pinapayagan kang magsulat ng isang algorithm ng solusyon sa isang pangkalahatang anyo, at pagkatapos ay palitan ang mga halaga mula sa mga tiyak na halimbawa doon. Hindi tulad ng pamamaraan ng matrix o mga formula ng Cramer, kapag nilulutas ang isang sistema ng mga linear na equation gamit ang pamamaraang Gauss, maaari ka ring makipagtulungan sa mga may walang katapusang maraming solusyon. O wala sila nito.

Ano ang ibig sabihin ng Gauss?

Una kailangan mong isulat ang aming sistema ng mga equation sa Mukhang ganito. Ang sistema ay kinuha:

Ang mga coefficient ay nakasulat sa anyo ng isang talahanayan, at sa kanan sa isang hiwalay na hanay - mga libreng miyembro. Ang column na may mga libreng miyembro ay pinaghihiwalay para sa kaginhawahan. Ang matrix na kinabibilangan ng column na ito ay tinatawag na extended.

Dagdag pa, ang pangunahing matrix na may mga coefficient ay dapat na bawasan sa itaas na hugis-triangular na hugis. Ito ang pangunahing punto ng paglutas ng sistema sa pamamagitan ng pamamaraang Gauss. Sa madaling salita, pagkatapos ng ilang mga manipulasyon, ang matrix ay dapat magmukhang ganito, upang mayroon lamang mga zero sa ibabang kaliwang bahagi nito:

Pagkatapos, kung isusulat mo muli ang bagong matrix bilang isang sistema ng mga equation, mapapansin mo na ang huling hilera ay naglalaman na ng halaga ng isa sa mga ugat, na pagkatapos ay ihahalili sa equation sa itaas, isa pang ugat ang matatagpuan, at iba pa.

Ito ay isang paglalarawan ng solusyon sa pamamagitan ng pamamaraang Gauss sa pinaka-pangkalahatang mga termino. At ano ang mangyayari kung biglang walang solusyon ang sistema? O mayroon bang walang katapusang bilang ng mga ito? Upang masagot ang mga ito at marami pang mga katanungan, kinakailangang isaalang-alang nang hiwalay ang lahat ng mga elementong ginamit sa solusyon ng pamamaraang Gauss.

Matrices, ang kanilang mga katangian

Walang nakatagong kahulugan sa matris. Isa lang itong maginhawang paraan para mag-record ng data para sa mga operasyon sa ibang pagkakataon. Kahit na ang mga mag-aaral ay hindi dapat matakot sa kanila.

Ang matrix ay palaging hugis-parihaba, dahil ito ay mas maginhawa. Kahit na sa paraan ng Gauss, kung saan ang lahat ay bumababa sa pagbuo ng isang tatsulok na matrix, isang rektanggulo ang lilitaw sa entry, na may mga zero lamang sa lugar kung saan walang mga numero. Maaaring tanggalin ang mga zero, ngunit ipinahiwatig ang mga ito.

Ang matrix ay may sukat. Ang "lapad" nito ay ang bilang ng mga hilera (m), ang "haba" nito ay ang bilang ng mga hanay (n). Pagkatapos ay ang laki ng matrix A (kadalasang ginagamit ang malalaking letrang Latin para sa kanilang pagtatalaga) ay ilalarawan bilang A m×n . Kung m=n, kung gayon ang matrix na ito ay parisukat, at m=n ang pagkakasunud-sunod nito. Alinsunod dito, ang anumang elemento ng matrix A ay maaaring tukuyin ng bilang ng row at column nito: a xy ; x - row number, pagbabago , y - column number, pagbabago .

Ang B ay hindi ang pangunahing punto ng solusyon. Sa prinsipyo, ang lahat ng mga operasyon ay maaaring isagawa nang direkta sa mga equation mismo, ngunit ang notasyon ay magiging mas masalimuot, at magiging mas madaling malito dito.

Determinant

Ang matrix ay mayroon ding determinant. Ito ay isang napakahalagang tampok. Ang paghahanap ng kahulugan nito ngayon ay hindi katumbas ng halaga, maaari mo lamang ipakita kung paano ito kinakalkula, at pagkatapos ay sabihin kung anong mga katangian ng matrix ang tinutukoy nito. Ang pinakamadaling paraan upang mahanap ang determinant ay sa pamamagitan ng mga diagonal. Ang mga haka-haka na diagonal ay iginuhit sa matris; ang mga elemento na matatagpuan sa bawat isa sa kanila ay pinarami, at pagkatapos ay idinagdag ang mga nagresultang produkto: mga diagonal na may slope sa kanan - na may "plus" sign, na may slope sa kaliwa - na may "minus" sign.

Napakahalagang tandaan na ang determinant ay maaari lamang kalkulahin para sa isang square matrix. Para sa isang parihabang matrix, magagawa mo ang sumusunod: piliin ang pinakamaliit sa bilang ng mga row at ang bilang ng mga column (hayaan itong k), at pagkatapos ay random na markahan ang k column at k row sa matrix. Ang mga elementong matatagpuan sa intersection ng mga napiling column at row ay bubuo ng bagong square matrix. Kung ang determinant ng naturang matrix ay isang numero maliban sa zero, kung gayon ito ay tinatawag na batayang minor ng orihinal na hugis-parihaba na matrix.

Bago magpatuloy sa solusyon ng sistema ng mga equation sa pamamagitan ng pamamaraang Gauss, hindi masakit na kalkulahin ang determinant. Kung ito ay naging zero, pagkatapos ay maaari nating agad na sabihin na ang matrix ay may alinman sa isang walang katapusang bilang ng mga solusyon, o wala sa lahat. Sa ganitong malungkot na kaso, kailangan mong pumunta pa at alamin ang tungkol sa ranggo ng matrix.

Pag-uuri ng system

Mayroong isang bagay bilang ranggo ng isang matrix. Ito ang pinakamataas na pagkakasunud-sunod ng non-zero determinant nito (pag-alala sa batayang menor, masasabi nating ang ranggo ng isang matrix ay ang pagkakasunud-sunod ng batayang menor).

Ayon sa kung paano ang mga bagay ay may ranggo, ang SLAE ay maaaring hatiin sa:

Pinagsama. Sa ng magkasanib na mga sistema, ang ranggo ng pangunahing matrix (na binubuo lamang ng mga coefficient) ay tumutugma sa ranggo ng pinalawig (na may isang haligi ng mga libreng miyembro). Ang ganitong mga sistema ay may isang solusyon, ngunit hindi kinakailangan isa, samakatuwid, ang magkasanib na mga sistema ay karagdagang nahahati sa:
- tiyak- pagkakaroon ng natatanging solusyon. Sa ilang mga sistema, ang ranggo ng matrix at ang bilang ng mga hindi alam (o ang bilang ng mga haligi, na parehong bagay) ay pantay;
- walang katiyakan - na may walang katapusang bilang ng mga solusyon. Ang ranggo ng mga matrice para sa mga naturang sistema ay mas mababa kaysa sa bilang ng mga hindi alam.
Hindi magkatugma. Sa tulad ng mga sistema, ang mga ranggo ng pangunahing at pinalawig na matrice ay hindi nag-tutugma. Walang solusyon ang mga hindi tugmang sistema.

Ang pamamaraan ng Gauss ay mabuti dahil pinapayagan nito ang isa na makakuha ng alinman sa isang hindi malabo na patunay ng hindi pagkakapare-pareho ng system (nang hindi kinakalkula ang mga determinant ng malalaking matrice) o isang pangkalahatang solusyon para sa isang sistema na may walang katapusang bilang ng mga solusyon sa panahon ng solusyon.

Mga pagbabago sa elementarya

Bago magpatuloy nang direkta sa solusyon ng system, posible na gawin itong mas mahirap at mas maginhawa para sa mga kalkulasyon. Ito ay nakakamit sa pamamagitan ng elementarya na pagbabago - na ang kanilang pagpapatupad ay hindi nagbabago sa panghuling sagot sa anumang paraan. Dapat pansinin na ang ilan sa mga pagbabagong elementarya sa itaas ay may bisa lamang para sa mga matrice, ang pinagmulan nito ay ang SLAE. Narito ang isang listahan ng mga pagbabagong ito:

String permutation. Malinaw na kung babaguhin natin ang pagkakasunud-sunod ng mga equation sa talaan ng system, hindi ito makakaapekto sa solusyon sa anumang paraan. Dahil dito, posible ring magpalitan ng mga hilera sa matrix ng sistemang ito, hindi nalilimutan, siyempre, ang tungkol sa hanay ng mga libreng miyembro.
Pagpaparami ng lahat ng elemento ng isang string sa pamamagitan ng ilang kadahilanan. Napaka-kapaki-pakinabang! Gamit ito, maaari mong bawasan ang malalaking numero sa matrix o alisin ang mga zero. Ang hanay ng mga solusyon, gaya ng dati, ay hindi magbabago, at magiging mas maginhawang magsagawa ng karagdagang mga operasyon. Ang pangunahing bagay ay ang koepisyent ay hindi katumbas ng zero.
Tanggalin ang mga row na may proportional coefficient. Ito ay bahagyang sumusunod mula sa nakaraang talata. Kung ang dalawa o higit pang mga hilera sa matrix ay may mga proporsyonal na koepisyent, kung gayon kapag ang pag-multiply / paghahati ng isa sa mga hilera sa pamamagitan ng koepisyent ng proporsyonalidad, dalawa (o, muli, higit pa) ganap na magkaparehong mga hilera ay nakuha, at maaari mong alisin ang mga dagdag, iiwan lamang isa.
Tinatanggal ang null line. Kung sa kurso ng mga pagbabagong-anyo ang isang string ay nakuha sa isang lugar kung saan ang lahat ng mga elemento, kabilang ang libreng miyembro, ay zero, kung gayon ang naturang string ay maaaring tawaging zero at itinapon sa labas ng matrix.
Pagdaragdag sa mga elemento ng isang hilera ng mga elemento ng isa pa (sa kaukulang mga haligi), na pinarami ng isang tiyak na koepisyent. Ang pinaka malabo at pinakamahalagang pagbabago sa lahat. Ito ay nagkakahalaga ng pag-iisip tungkol dito nang mas detalyado.

Pagdaragdag ng isang string na pinarami ng isang kadahilanan

Para sa kadalian ng pag-unawa, sulit na i-disassembling ang prosesong ito nang sunud-sunod. Dalawang hilera ang kinuha mula sa matrix:

a 11 a 12 ... a 1n | b1

isang 21 isang 22 ... isang 2n | b 2

Ipagpalagay na kailangan mong idagdag ang una sa pangalawa, na pinarami ng koepisyent na "-2".

a" 21 \u003d a 21 + -2 × a 11

a" 22 \u003d a 22 + -2 × a 12

a" 2n \u003d a 2n + -2 × a 1n

Pagkatapos sa matrix ang pangalawang hilera ay pinalitan ng bago, at ang una ay nananatiling hindi nagbabago.

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

Dapat tandaan na ang multiplication factor ay maaaring mapili sa paraang, bilang resulta ng pagdaragdag ng dalawang string, ang isa sa mga elemento ng bagong string ay katumbas ng zero. Samakatuwid, posibleng makakuha ng equation sa system, kung saan magkakaroon ng hindi gaanong kilala. At kung nakakuha ka ng dalawang tulad na mga equation, pagkatapos ay ang operasyon ay maaaring gawin muli at makakuha ng isang equation na naglalaman na ng dalawang mas kaunting hindi alam. At kung sa bawat oras na magiging zero ang isang koepisyent para sa lahat ng mga hilera na mas mababa kaysa sa orihinal, maaari tayong, tulad ng mga hakbang, bumaba sa pinakailalim ng matrix at makakuha ng isang equation na may isang hindi alam. Ito ay tinatawag na paglutas ng sistema gamit ang Gaussian method.

Sa pangkalahatan

Magkaroon ng sistema. Mayroon itong m equation at n hindi kilalang ugat. Maaari mong isulat ito tulad nito:

Ang pangunahing matrix ay pinagsama-sama mula sa mga coefficient ng system. Ang isang column ng mga libreng miyembro ay idinagdag sa pinalawig na matrix at pinaghihiwalay ng isang bar para sa kaginhawahan.

ang unang hilera ng matrix ay pinarami ng koepisyent k = (-a 21 / a 11);
ang unang binagong hilera at ang pangalawang hilera ng matris ay idinagdag;
sa halip na ang pangalawang hilera, ang resulta ng karagdagan mula sa nakaraang talata ay ipinasok sa matrix;
ngayon ang unang koepisyent sa bagong pangalawang hilera ay isang 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

Ngayon ang parehong serye ng mga pagbabagong-anyo ay ginaganap, ang una at ikatlong mga hanay lamang ang kasangkot. Alinsunod dito, sa bawat hakbang ng algorithm, ang elementong a 21 ay pinalitan ng isang 31 . Pagkatapos ang lahat ay paulit-ulit para sa isang 41 , ... a m1 . Ang resulta ay isang matrix kung saan ang unang elemento sa mga hilera ay katumbas ng zero. Ngayon kailangan nating kalimutan ang tungkol sa numero unong linya at isagawa ang parehong algorithm simula sa pangalawang linya:

koepisyent k \u003d (-a 32 / a 22);
ang pangalawang binagong linya ay idinagdag sa "kasalukuyang" linya;
ang resulta ng karagdagan ay pinapalitan sa ikatlo, ikaapat, at iba pa na mga linya, habang ang una at pangalawa ay nananatiling hindi nagbabago;
sa mga hilera ng matrix, ang unang dalawang elemento ay katumbas na ng zero.

Dapat na ulitin ang algorithm hanggang lumitaw ang coefficient k = (-a m,m-1 /a mm). Nangangahulugan ito na ang algorithm ay huling tumakbo lamang para sa mas mababang equation. Ngayon ang matrix ay mukhang isang tatsulok, o may isang stepped na hugis. Ang ilalim na linya ay naglalaman ng pagkakapantay-pantay a mn × x n = b m . Ang koepisyent at libreng termino ay kilala, at ang ugat ay ipinahayag sa pamamagitan ng mga ito: x n = b m /a mn. Ang resultang ugat ay pinapalitan sa itaas na hilera upang mahanap ang x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1 . At iba pa sa pamamagitan ng pagkakatulad: sa bawat susunod na linya mayroong isang bagong ugat, at, na naabot ang "tuktok" ng system, maaari kang makahanap ng maraming mga solusyon. Ito ay magiging isa lamang.

Kapag walang solusyon

Kung sa isa sa mga hilera ng matrix ang lahat ng mga elemento, maliban sa libreng termino, ay katumbas ng zero, kung gayon ang equation na naaayon sa hilera na ito ay mukhang 0 = b. Wala itong solusyon. At dahil ang naturang equation ay kasama sa system, kung gayon ang hanay ng mga solusyon ng buong sistema ay walang laman, iyon ay, ito ay degenerate.

Kapag mayroong walang katapusang bilang ng mga solusyon

Maaaring lumabas na sa pinababang triangular matrix ay walang mga hilera na may isang elemento-ang koepisyent ng equation, at isa - isang libreng miyembro. Mayroon lamang mga string na, kapag muling isinulat, ay magmumukhang isang equation na may dalawa o higit pang mga variable. Nangangahulugan ito na ang sistema ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon. Sa kasong ito, ang sagot ay maaaring ibigay sa anyo ng isang pangkalahatang solusyon. Paano ito gagawin?

Ang lahat ng mga variable sa matrix ay nahahati sa basic at libre. Basic - ito ang mga nakatayo "sa gilid" ng mga hilera sa stepped matrix. Ang natitira ay libre. Sa pangkalahatang solusyon, ang mga pangunahing variable ay nakasulat sa mga tuntunin ng mga libre.

Para sa kaginhawahan, ang matrix ay unang muling isinulat pabalik sa isang sistema ng mga equation. Pagkatapos sa huli sa kanila, kung saan eksaktong isang pangunahing variable lamang ang natitira, nananatili ito sa isang panig, at lahat ng iba pa ay inililipat sa isa pa. Ginagawa ito para sa bawat equation na may isang pangunahing variable. Pagkatapos, sa iba pang mga equation, kung posible, sa halip na ang pangunahing variable, ang expression na nakuha para dito ay pinapalitan. Kung, bilang isang resulta, muling lilitaw ang isang expression na naglalaman lamang ng isang pangunahing variable, muli itong ipinahayag mula doon, at iba pa, hanggang sa ang bawat pangunahing variable ay isulat bilang isang expression na may mga libreng variable. Ito ang pangkalahatang solusyon ng SLAE.

Maaari mo ring mahanap ang pangunahing solusyon ng system - bigyan ang mga libreng variable ng anumang mga halaga, at pagkatapos ay para sa partikular na kaso kalkulahin ang mga halaga ng mga pangunahing variable. Mayroong walang katapusang maraming partikular na solusyon.

Solusyon na may mga tiyak na halimbawa

Narito ang sistema ng mga equation.

Para sa kaginhawahan, mas mahusay na agad na lumikha ng matrix nito

Ito ay kilala na kapag ang paglutas sa pamamagitan ng Gauss method, ang equation na tumutugma sa unang hilera ay mananatiling hindi nagbabago sa dulo ng mga pagbabagong-anyo. Samakatuwid, magiging mas kumikita kung ang itaas na kaliwang elemento ng matrix ay ang pinakamaliit - kung gayon ang mga unang elemento ng natitirang mga hilera pagkatapos ng mga operasyon ay magiging zero. Nangangahulugan ito na sa pinagsama-samang matrix ay magiging kapaki-pakinabang na ilagay ang pangalawa sa lugar ng unang hilera.

ikalawang linya: k = (-a 21 / a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 \u003d a 21 + k × a 11 \u003d 3 + (-3) × 1 \u003d 0

a" 22 \u003d a 22 + k × a 12 \u003d -1 + (-3) × 2 \u003d -7

a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11

b "2 \u003d b 2 + k × b 1 \u003d 12 + (-3) × 12 \u003d -24

ikatlong linya: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18

b "3 \u003d b 3 + k × b 1 \u003d 3 + (-5) × 12 \u003d -57

Ngayon, upang hindi malito, kinakailangan na isulat ang matrix na may mga intermediate na resulta ng mga pagbabagong-anyo.

Malinaw na ang gayong matrix ay maaaring gawing mas maginhawa para sa pang-unawa sa tulong ng ilang mga operasyon. Halimbawa, maaari mong alisin ang lahat ng "minus" mula sa pangalawang linya sa pamamagitan ng pagpaparami ng bawat elemento sa "-1".

Dapat ding tandaan na sa ikatlong hilera ang lahat ng mga elemento ay multiple ng tatlo. Pagkatapos ay maaari mong bawasan ang string sa pamamagitan ng numerong ito, i-multiply ang bawat elemento sa "-1/3" (minus - sa parehong oras upang alisin ang mga negatibong halaga).

Mukhang mas maganda. Ngayon kailangan nating iwanan ang unang linya at magtrabaho kasama ang pangalawa at pangatlo. Ang gawain ay upang idagdag ang pangalawang hilera sa ikatlong hilera, na pinarami ng tulad ng isang koepisyent na ang elementong a 32 ay naging katumbas ng zero.

k = (-a 32 / a 22) = (-3/7) = -3/7 fraction, at pagkatapos lamang, kapag natanggap ang mga sagot, magpasya kung i-round up at isasalin sa ibang anyo ng notasyon)

a" 32 = a 32 + k × a 22 = 3 + (-3/7) × 7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 \u003d a 33 + k × a 23 \u003d 6 + (-3/7) × 11 \u003d -9/7

b "3 \u003d b 3 + k × b 2 \u003d 19 + (-3/7) × 24 \u003d -61/7

Ang matrix ay isinulat muli na may mga bagong halaga.

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

Tulad ng makikita mo, ang resultang matrix ay mayroon nang stepped form. Samakatuwid, ang mga karagdagang pagbabago ng sistema sa pamamagitan ng pamamaraang Gauss ay hindi kinakailangan. Ang maaaring gawin dito ay alisin ang kabuuang koepisyent na "-1/7" mula sa ikatlong linya.

Ngayon ang lahat ay maganda. Ang punto ay maliit - isulat muli ang matrix sa anyo ng isang sistema ng mga equation at kalkulahin ang mga ugat

x + 2y + 4z = 12(1)

7y + 11z = 24 (2)

Ang algorithm kung saan matatagpuan ang mga ugat ay tinatawag na reverse move sa Gauss method. Ang equation (3) ay naglalaman ng halaga ng z:

y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9

At ang unang equation ay nagpapahintulot sa iyo na mahanap ang x:

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4x(61/9) - 2x(-65/9) = -6/9 = -2/3

May karapatan tayong tawagan ang naturang sistemang magkasanib, at maging tiyak, iyon ay, pagkakaroon ng natatanging solusyon. Ang tugon ay nakasulat sa sumusunod na anyo:

x 1 \u003d -2/3, y \u003d -65/9, z \u003d 61/9.

Isang halimbawa ng isang hindi tiyak na sistema

Ang variant ng paglutas ng isang tiyak na sistema sa pamamagitan ng paraan ng Gauss ay nasuri, ngayon ay kinakailangan na isaalang-alang ang kaso kung ang sistema ay hindi tiyak, iyon ay, walang hanggan maraming mga solusyon ang matatagpuan para dito.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

Ang mismong anyo ng system ay nakakaalarma na, dahil ang bilang ng mga hindi alam ay n = 5, at ang ranggo ng matrix ng system ay eksaktong mas mababa kaysa sa numerong ito, dahil ang bilang ng mga hilera ay m = 4, iyon ay, ang pinakamalaking pagkakasunod-sunod ng square determinant ay 4. Nangangahulugan ito na mayroong walang katapusang bilang ng mga solusyon, at kinakailangang hanapin ang pangkalahatang anyo nito. Ang paraan ng Gauss para sa mga linear na equation ay ginagawang posible na gawin ito.

Una, tulad ng dati, ang augmented matrix ay pinagsama-sama.

Pangalawang linya: koepisyent k = (-a 21 / a 11) = -3. Sa ikatlong linya, ang unang elemento ay bago ang mga pagbabagong-anyo, kaya hindi mo kailangang hawakan ang anumang bagay, kailangan mong iwanan ito bilang ito ay. Ikaapat na linya: k = (-a 4 1 /a 11) = -5

Ang pagpaparami ng mga elemento ng unang hilera sa bawat isa sa kanilang mga coefficient sa turn at pagdaragdag ng mga ito sa nais na mga hilera, nakakakuha kami ng isang matrix ng sumusunod na anyo:

Tulad ng nakikita mo, ang pangalawa, pangatlo at ikaapat na hanay ay binubuo ng mga elemento na proporsyonal sa bawat isa. Ang pangalawa at ikaapat ay karaniwang pareho, kaya ang isa sa mga ito ay maaaring alisin kaagad, at ang natitira ay pinarami ng koepisyent na "-1" at makakuha ng numero ng linya 3. At muli, iwanan ang isa sa dalawang magkaparehong linya.

Ito ay naging tulad ng isang matrix. Ang sistema ay hindi pa naisulat, kinakailangan dito upang matukoy ang mga pangunahing variable - nakatayo sa mga coefficient ng isang 11 \u003d 1 at isang 22 \u003d 1, at libre - lahat ng iba pa.

Ang pangalawang equation ay mayroon lamang isang pangunahing variable - x 2 . Kaya, maaari itong ipahayag mula roon, pagsulat sa pamamagitan ng mga variable x 3 , x 4 , x 5 , na libre.

Pinapalitan namin ang nagresultang expression sa unang equation.

Ito ay naging isang equation kung saan ang tanging pangunahing variable ay x 1. Gawin natin ito tulad ng sa x 2 .

Ang lahat ng mga pangunahing variable, kung saan mayroong dalawa, ay ipinahayag sa mga tuntunin ng tatlong libre, ngayon ay maaari mong isulat ang sagot sa isang pangkalahatang anyo.

Maaari mo ring tukuyin ang isa sa mga partikular na solusyon ng system. Para sa mga ganitong kaso, bilang panuntunan, ang mga zero ay pinili bilang mga halaga para sa mga libreng variable. Pagkatapos ang sagot ay:

16, 23, 0, 0, 0.

Isang halimbawa ng hindi tugmang sistema

Ang solusyon ng mga hindi pantay na sistema ng mga equation sa pamamagitan ng pamamaraang Gauss ay ang pinakamabilis. Nagtatapos ito sa sandaling sa isa sa mga yugto ay nakuha ang isang equation na walang solusyon. Iyon ay, ang yugto na may pagkalkula ng mga ugat, na medyo mahaba at nakakapagod, ay nawawala. Ang sumusunod na sistema ay isinasaalang-alang:

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Gaya ng dati, ang matrix ay pinagsama-sama:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

At ito ay nabawasan sa isang stepped form:

k 1 \u003d -2k 2 \u003d -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

Pagkatapos ng unang pagbabago, ang ikatlong linya ay naglalaman ng isang equation ng form

walang solusyon. Samakatuwid, ang sistema ay hindi pare-pareho, at ang sagot ay ang walang laman na hanay.

Mga kalamangan at kawalan ng pamamaraan

Kung pipiliin mo kung aling paraan upang malutas ang SLAE sa papel na may panulat, kung gayon ang pamamaraan na isinasaalang-alang sa artikulong ito ay mukhang pinaka-kaakit-akit. Sa elementarya na pagbabago, mas mahirap malito kaysa sa mangyayari kung kailangan mong manual na hanapin ang determinant o ilang nakakalito na inverse matrix. Gayunpaman, kung gumagamit ka ng mga programa para sa pagtatrabaho sa data ng ganitong uri, halimbawa, mga spreadsheet, lumalabas na ang mga naturang programa ay naglalaman na ng mga algorithm para sa pagkalkula ng mga pangunahing parameter ng mga matrice - determinant, menor de edad, kabaligtaran, at iba pa. At kung sigurado ka na kakalkulahin mismo ng makina ang mga halagang ito at hindi magkakamali, mas kapaki-pakinabang na gamitin ang pamamaraan ng matrix o mga formula ng Cramer, dahil ang kanilang aplikasyon ay nagsisimula at nagtatapos sa pagkalkula ng mga determinant at inverse matrice.

Aplikasyon

Dahil ang Gaussian solution ay isang algorithm, at ang matrix ay, sa katunayan, isang two-dimensional array, maaari itong magamit sa programming. Ngunit dahil ang artikulo ay nagpoposisyon sa sarili bilang isang gabay "para sa mga dummies", dapat sabihin na ang pinakamadaling lugar upang ilagay ang pamamaraan ay mga spreadsheet, halimbawa, Excel. Muli, ang anumang SLAE na ipinasok sa isang talahanayan sa anyo ng isang matrix ay ituturing ng Excel bilang isang two-dimensional na array. At para sa mga operasyon sa kanila, maraming magagandang utos: karagdagan (maaari ka lamang magdagdag ng mga matrice ng parehong laki!), Pagpaparami sa isang numero, pagpaparami ng matrix (kasama rin ang ilang mga paghihigpit), paghahanap ng mga inverse at transposed matrice at, pinaka-mahalaga , pagkalkula ng determinant. Kung ang gawaing nakakaubos ng oras na ito ay papalitan ng isang utos, mas mabilis na matukoy ang ranggo ng isang matrix at, samakatuwid, upang maitaguyod ang pagiging tugma o hindi pagkakapare-pareho nito.

Patuloy naming isinasaalang-alang ang mga sistema ng mga linear na equation. Ang araling ito ang pangatlo sa paksa. Kung mayroon kang isang hindi malinaw na ideya kung ano ang isang sistema ng mga linear na equation sa pangkalahatan, pakiramdam mo ay isang tsarera, pagkatapos ay inirerekumenda kong magsimula sa mga pangunahing kaalaman sa Susunod na pahina, ito ay kapaki-pakinabang na pag-aralan ang aralin.

Una, i-systematize namin ang kaalaman tungkol sa mga sistema ng linear equation nang kaunti. Ang isang sistema ng mga linear equation ay maaaring:

1) Magkaroon ng natatanging solusyon. 2) Magkaroon ng walang katapusang maraming solusyon. 3) Walang mga solusyon (maging hindi magkatugma).

Ang Gauss method ay ang pinakamakapangyarihan at versatile na tool para sa paghahanap ng solusyon anuman sistema ng mga linear na equation. Sa pagkakaalala natin Ang panuntunan at pamamaraan ng matrix ng Cramer ay hindi angkop sa mga kaso kung saan ang sistema ay may walang katapusang maraming solusyon o hindi pare-pareho. Isang paraan ng sunud-sunod na pag-aalis ng mga hindi alam sabagay humantong kami sa sagot! Sa araling ito, muli nating isasaalang-alang ang pamamaraang Gauss para sa kaso No. 1 (ang tanging solusyon sa sistema), ang isang artikulo ay nakalaan para sa mga sitwasyon ng mga puntos No. 2-3. Tandaan ko na ang algorithm ng pamamaraan mismo ay gumagana sa parehong paraan sa lahat ng tatlong mga kaso.

Bumalik tayo sa pinakasimpleng sistema mula sa aralin Paano malutas ang isang sistema ng mga linear na equation? at lutasin ito gamit ang Gaussian method.

Ang unang hakbang ay magsulat pinahabang sistema ng matrix: . Sa pamamagitan ng kung anong prinsipyo ang mga coefficient ay naitala, sa palagay ko ay makikita ng lahat. Ang patayong linya sa loob ng matrix ay hindi nagdadala ng anumang mathematical na kahulugan - ito ay isang strikethrough lamang para sa kadalian ng disenyo.

Sanggunian : Inirerekomenda kong tandaan mga tuntunin linear algebra. System Matrix ay isang matrix na binubuo lamang ng mga coefficient para sa mga hindi alam, sa halimbawang ito, ang matrix ng system: . Pinalawak na System Matrix ay ang parehong matrix ng system kasama ang isang column ng mga libreng miyembro, sa kasong ito: . Anuman sa mga matrice ay maaaring tawaging simpleng matrix para sa kaiklian.

Matapos isulat ang pinahabang matrix ng system, kinakailangan na magsagawa ng ilang mga aksyon kasama nito, na tinatawag ding mga pagbabagong elementarya.

Mayroong mga sumusunod na pagbabagong elementarya:

1) Mga string matrice pwede muling ayusin mga lugar. Halimbawa, sa matrix na isinasaalang-alang, maaari mong ligtas na muling ayusin ang una at pangalawang hilera:

Sa pagsasagawa, siyempre, hindi sila nagpinta sa ganoong detalye, ngunit sumulat ng mas maikli: Muli: sa pangalawang linya idinagdag ang unang hilera na pinarami ng -2. Ang linya ay karaniwang pinararami nang pasalita o sa isang draft, habang ang mental na kurso ng mga kalkulasyon ay katulad nito:

"Isinulat ko muli ang matrix at muling isinulat ang unang hilera: »

“Ngayon ang pangalawang column. Sa itaas -1 beses -2: . Idinaragdag ko ang una sa pangalawang linya: 1 + 2 = 3. Isinulat ko ang resulta sa pangalawang linya: »

“At ang ikatlong column. Sa itaas -5 beses -2: . Idinagdag ko ang unang linya sa pangalawang linya: -7 + 10 = 3. Isinulat ko ang resulta sa pangalawang linya: »

Ang mga pagbabago sa elementarya ay hindi nagbabago sa solusyon ng sistema ng mga equation

Isulat natin ang augmented matrix ng system at, gamit ang elementary transformations, bawasan ito sa stepped view:

(2) Hatiin ang pangalawang hanay ng 3.

Bilang resulta ng mga pagbabagong elementarya, nakuha namin katumbas orihinal na sistema ng mga equation:

Ngayon ang system ay kailangang "untwisted" sa kabaligtaran na direksyon - mula sa ibaba pataas, ang prosesong ito ay tinatawag baligtarin ang pamamaraang Gauss.

Sa mas mababang equation, mayroon na tayong natapos na resulta: .

Isaalang-alang ang unang equation ng system at palitan ang kilalang halaga ng "y" dito:

Isaalang-alang natin ang pinakakaraniwang sitwasyon, kapag ang Gaussian na pamamaraan ay kinakailangan upang malutas ang isang sistema ng tatlong linear equation na may tatlong hindi alam.

Halimbawa 1

Lutasin ang sistema ng mga equation gamit ang Gauss method:

Isulat natin ang augmented matrix ng system:

Ngayon ay agad kong iguguhit ang resulta na darating sa kurso ng solusyon: At inuulit ko, ang layunin namin ay dalhin ang matrix sa isang stepped form gamit ang elementary transformations. Saan magsisimulang kumilos?

Una, tingnan ang kaliwang itaas na numero: Dapat halos laging nandito yunit. Sa pangkalahatan, -1 (at kung minsan ang iba pang mga numero) ay babagay din, ngunit sa paanuman ay tradisyonal na nangyari na ang isang yunit ay karaniwang nakalagay doon. Paano ayusin ang isang yunit? Tinitingnan namin ang unang column - mayroon kaming natapos na unit! Transformation one: palitan ang una at ikatlong linya:

Ngayon ang unang linya ay mananatiling hindi nagbabago hanggang sa katapusan ng solusyon. Ngayon ayos na.

Nakaayos ang unit sa kaliwang itaas. Ngayon ay kailangan mong makakuha ng mga zero sa mga lugar na ito:

Ang resulta ay nakasulat sa pangalawang linya:

Ang resulta ay nakasulat sa ikatlong linya:

Sa pagsasagawa, ang mga pagkilos na ito ay karaniwang ginagawa sa salita at nakasulat sa isang hakbang:

Hindi na kailangang bilangin ang lahat nang sabay-sabay. Ang pagkakasunud-sunod ng mga kalkulasyon at "insertion" ng mga resulta pare-pareho at kadalasang ganito: una naming isusulat muli ang unang linya, at tahimik na pumuputok - KONSISTENTO at MAINGAT:
At naisip ko na ang mental na kurso ng mga kalkulasyon mismo sa itaas.

Sa huling yugto ng elementarya na pagbabago, isa pang zero ang dapat makuha dito:

Para dito sa ikatlong linya idinagdag namin ang pangalawang linya, na pinarami ng -2:
Subukang i-parse ang pagkilos na ito sa iyong sarili - i-multiply sa isip ang pangalawang linya sa -2 at isagawa ang karagdagan.

Ang huling aksyon na ginawa ay ang hairstyle ng resulta, hatiin ang ikatlong linya ng 3.

Bilang resulta ng mga pagbabagong elementarya, nakuha ang isang katumbas na paunang sistema ng mga linear equation: Malamig.

Ngayon ang baligtad na kurso ng pamamaraang Gaussian ay naglalaro. Ang mga equation ay "unwind" mula sa ibaba pataas.

Sa ikatlong equation, mayroon na tayong natapos na resulta:

Tingnan natin ang pangalawang equation: . Ang kahulugan ng "z" ay kilala na, kaya:

At sa wakas, ang unang equation: . Ang "Y" at "Z" ay kilala, ang bagay ay maliit:

Sagot:

Tulad ng paulit-ulit na nabanggit, para sa anumang sistema ng mga equation, posible at kinakailangan upang suriin ang nahanap na solusyon, sa kabutihang palad, hindi ito mahirap at mabilis.

Halimbawa 2

Ito ay isang halimbawa para sa paglutas sa sarili, isang halimbawa ng pagtatapos at isang sagot sa pagtatapos ng aralin.

Dapat tandaan na ang iyong kurso ng aksyon maaaring hindi tumutugma sa aking kilos, at ito ay isang tampok ng pamamaraang Gauss. Ngunit ang mga sagot ay dapat na pareho!

Halimbawa 3

Lutasin ang isang sistema ng mga linear equation gamit ang Gauss method

Tinitingnan namin ang itaas na kaliwang "hakbang". Doon tayo dapat magkaroon ng unit. Ang problema ay walang sinuman sa unang hanay, kaya walang malulutas sa pamamagitan ng muling pagsasaayos ng mga hilera. Sa ganitong mga kaso, dapat ayusin ang yunit gamit ang elementarya na pagbabago. Ito ay karaniwang maaaring gawin sa maraming paraan. Ginawa ko ito: (1) Sa unang linya idinagdag namin ang pangalawang linya, na pinarami ng -1. Iyon ay, pinarami namin sa isip ang pangalawang linya sa -1 at isinagawa ang pagdaragdag ng una at pangalawang linya, habang ang pangalawang linya ay hindi nagbago.

(2) Ang unang hilera na pinarami ng 5 ay idinagdag sa ikalawang hanay. Ang unang hilera na pinarami ng 3 ay idinagdag sa ikatlong hanay.

(4) Ang pangalawang linya na pinarami ng 2 ay idinagdag sa ikatlong linya.

(5) Ang ikatlong hanay ay hinati ng 3.

Sagot: .

Halimbawa 4

Lutasin ang isang sistema ng mga linear equation gamit ang Gauss method

Sa huling bahagi, isinasaalang-alang namin ang ilang mga tampok ng algorithm ng Gauss. Ang unang tampok ay kung minsan ang ilang mga variable ay nawawala sa mga equation ng system, halimbawa: Paano isulat nang tama ang augmented matrix ng system? Napag-usapan ko na ang sandaling ito sa aralin. Ang panuntunan ni Cramer. Paraan ng matrix. Sa pinalawak na matrix ng system, inilalagay namin ang mga zero sa lugar ng mga nawawalang variable: Sa pamamagitan ng paraan, ito ay isang medyo madaling halimbawa, dahil mayroon nang isang zero sa unang hanay, at may mas kaunting mga pagbabagong elementarya na dapat gawin.

Ang paraan ng Gauss ay unibersal, ngunit mayroong isang kakaiba. Maaari mong kumpiyansa na matutunan kung paano lutasin ang mga system sa pamamagitan ng iba pang mga pamamaraan (paraan ng Cramer, pamamaraan ng matrix) nang literal mula sa unang pagkakataon - mayroong isang napakahigpit na algorithm. Ngunit upang makaramdam ng tiwala sa pamamaraang Gauss, dapat mong "punan ang iyong kamay" at lutasin ang hindi bababa sa 5-10 sampung sistema. Samakatuwid, sa una ay maaaring may pagkalito, mga pagkakamali sa mga kalkulasyon, at walang kakaiba o trahedya dito.

Maulan na panahon ng taglagas sa labas ng bintana .... Samakatuwid, para sa lahat, isang mas kumplikadong halimbawa para sa isang independiyenteng solusyon:

Halimbawa 5

Lutasin ang isang sistema ng 4 na linear equation na may apat na hindi alam gamit ang Gauss method.

Isinasaalang-alang sa aralin ang mga kaso kung kailan ang sistema ay walang mga solusyon (hindi naaayon) o may walang katapusang maraming solusyon. Mga hindi tugmang system at system na may karaniwang solusyon. Doon maaari mong ayusin ang isinasaalang-alang na algorithm ng pamamaraang Gauss.

Nagaasam ng iyong tagumpay!

Mga solusyon at sagot:

Halimbawa 2: Solusyon : Isulat natin ang pinahabang matrix ng system at, gamit ang elementarya na pagbabago, dalhin ito sa isang stepped form.
Nagsagawa ng mga pagbabagong elementarya: (1) Ang unang hilera ay idinagdag sa pangalawang hilera, na pinarami ng -2. Ang unang linya ay idinagdag sa ikatlong linya, na pinarami ng -1. Pansin! Dito ay maaaring maging kaakit-akit na ibawas ang una mula sa ikatlong linya, hindi ko inirerekumenda ang pagbabawas - ang panganib ng error ay lubhang tumataas. Tupi lang tayo! (2) Ang tanda ng pangalawang linya ay binago (multiplied sa -1). Ang pangalawa at pangatlong linya ay napalitan na. tala na sa "mga hakbang" ay nasisiyahan tayo hindi lamang sa isa, kundi pati na rin sa -1, na mas maginhawa. (3) Sa ikatlong linya, idagdag ang pangalawang linya, na pinarami ng 5. (4) Ang tanda ng pangalawang linya ay binago (multiplied sa -1). Ang ikatlong linya ay hinati ng 14.

Baliktad na galaw:

Sagot : .

Halimbawa 4: Solusyon : Isinulat namin ang pinahabang matrix ng system at, gamit ang mga elementarya na pagbabago, dalhin ito sa isang hakbang na form:

Ginawa ang mga conversion: (1) Ang pangalawang linya ay idinagdag sa unang linya. Kaya, ang nais na yunit ay nakaayos sa itaas na kaliwang "hakbang". (2) Ang unang hilera na pinarami ng 7 ay idinagdag sa pangalawang hilera. Ang unang hilera na pinarami ng 6 ay idinagdag sa ikatlong hanay.

Sa pangalawang "hakbang" ang lahat ay mas masahol pa , ang "mga kandidato" para dito ay ang mga numero 17 at 23, at kailangan namin ng alinman sa isa o -1. Ang mga pagbabagong-anyo (3) at (4) ay maglalayong makuha ang ninanais na yunit (3) Ang pangalawang linya ay idinagdag sa ikatlong linya, na pinarami ng -1. (4) Ang ikatlong linya, na pinarami ng -3, ay idinagdag sa pangalawang linya. Ang kinakailangang bagay sa ikalawang hakbang ay natanggap . (5) Sa ikatlong linya ay idinagdag ang pangalawa, na pinarami ng 6. (6) Ang ikalawang hanay ay pinarami ng -1, ang ikatlong hanay ay hinati sa -83.

Baliktad na galaw:

Sagot :

Halimbawa 5: Solusyon : Isulat natin ang matrix ng system at, gamit ang elementarya na pagbabago, dalhin ito sa sunud-sunod na anyo:

Ginawa ang mga conversion: (1) Napalitan na ang una at pangalawang linya. (2) Ang unang hilera ay idinagdag sa pangalawang hilera, na pinarami ng -2. Ang unang linya ay idinagdag sa ikatlong linya, na pinarami ng -2. Ang unang linya ay idinagdag sa ikaapat na linya, na pinarami ng -3. (3) Ang pangalawang linya na pinarami ng 4 ay idinagdag sa ikatlong linya. Ang pangalawang linya na pinarami ng -1 ay idinagdag sa ikaapat na linya. (4) Ang tanda ng ikalawang linya ay binago. Ang ikaapat na linya ay hinati ng 3 at inilagay sa halip na ang ikatlong linya. (5) Ang ikatlong linya ay idinagdag sa ikaapat na linya, na pinarami ng -5.

Baliktad na galaw:

Sagot :

Hayaang magbigay ng isang sistema ng mga linear algebraic equation, na dapat lutasin (hanapin ang mga halaga ng mga hindi alam na хi na nagiging equation ng system sa isang pagkakapantay-pantay).

Alam namin na ang isang sistema ng mga linear algebraic equation ay maaaring:

1) Walang mga solusyon (maging hindi magkatugma).
2) Magkaroon ng walang katapusang maraming solusyon.
3) Magkaroon ng natatanging solusyon.

Tulad ng natatandaan natin, ang panuntunan ng Cramer at ang pamamaraan ng matrix ay hindi angkop sa mga kaso kung saan ang sistema ay may walang katapusang maraming solusyon o hindi naaayon. Pamamaraan ng Gauss – ang pinakamakapangyarihan at maraming nalalaman na tool para sa paghahanap ng mga solusyon sa anumang sistema ng mga linear equation, na ang sa bawat kaso humantong kami sa sagot! Ang algorithm ng pamamaraan sa lahat ng tatlong mga kaso ay gumagana sa parehong paraan. Kung ang mga pamamaraan ng Cramer at matrix ay nangangailangan ng kaalaman sa mga determinant, kung gayon ang aplikasyon ng pamamaraang Gauss ay nangangailangan ng kaalaman lamang sa mga operasyong aritmetika, na ginagawang naa-access kahit na sa mga mag-aaral sa elementarya.

Pinahabang pagbabago ng matrix ( ito ang matrix ng system - isang matrix na binubuo lamang ng mga coefficient ng mga hindi alam, kasama ang isang column ng mga libreng termino) mga sistema ng linear algebraic equation sa Gauss method:

1) Sa troky matrice pwede muling ayusin mga lugar.

2) kung mayroong (o may) proporsyonal (bilang isang espesyal na kaso - magkapareho) na mga hilera sa matrix, pagkatapos ay sumusunod ito tanggalin mula sa matrix, lahat ng mga row na ito maliban sa isa.

3) kung ang isang zero na hilera ay lumitaw sa matrix sa panahon ng mga pagbabagong-anyo, pagkatapos ay sumusunod din ito tanggalin.

4) ang hilera ng matrix ay maaaring multiply (divide) sa anumang numero maliban sa zero.

5) sa hilera ng matrix, maaari mong magdagdag ng isa pang string na pinarami ng isang numero, iba sa zero.

Sa pamamaraang Gauss, hindi binabago ng mga pagbabagong elementarya ang solusyon ng sistema ng mga equation.

Ang pamamaraang Gauss ay binubuo ng dalawang yugto:

"Direct move" - gamit ang elementary transformations, dalhin ang extended matrix ng system ng linear algebraic equation sa isang "triangular" stepped form: ang mga elemento ng extended matrix na matatagpuan sa ibaba ng pangunahing diagonal ay katumbas ng zero (top-down na paglipat ). Halimbawa, sa ganitong uri:

Upang gawin ito, gawin ang mga sumusunod na hakbang:

1) Isaalang-alang natin ang unang equation ng isang sistema ng linear algebraic equation at ang coefficient sa x 1 ay katumbas ng K. Ang pangalawa, pangatlo, atbp. binabago namin ang mga equation bilang mga sumusunod: hinahati namin ang bawat equation (coefficients para sa mga hindi alam, kabilang ang mga libreng termino) sa pamamagitan ng coefficient para sa hindi kilalang x 1, na nasa bawat equation, at i-multiply sa K. Pagkatapos nito, ibawas ang una mula sa pangalawang equation ( coefficients para sa mga hindi alam at libreng termino). Nakukuha natin sa x 1 sa pangalawang equation ang coefficient 0. Mula sa ikatlong transformed equation ay ibawas natin ang unang equation, kaya hanggang sa lahat ng equation maliban sa una, na may hindi kilalang x 1, ay hindi magkakaroon ng coefficient 0.

2) Lumipat sa susunod na equation. Hayaang ito ang pangalawang equation at ang koepisyent sa x 2 ay katumbas ng M. Sa lahat ng "subordinate" na equation, magpapatuloy tayo gaya ng inilarawan sa itaas. Kaya, "sa ilalim" ng hindi kilalang x 2 sa lahat ng mga equation ay magiging mga zero.

3) Dumaan kami sa susunod na equation at iba pa hanggang sa mananatili ang isang huling hindi alam at binagong libreng termino.

Ang "reverse move" ng Gauss method ay upang makakuha ng solusyon sa isang sistema ng linear algebraic equation (ang "bottom-up" move). Mula sa huling "mas mababang" equation makakakuha tayo ng isang unang solusyon - ang hindi kilalang x n. Upang gawin ito, lutasin namin ang elementary equation A * x n \u003d B. Sa halimbawa sa itaas, x 3 \u003d 4. Pinapalitan namin ang nahanap na halaga sa "itaas" na susunod na equation at lutasin ito na may paggalang sa susunod na hindi alam. Halimbawa, x 2 - 4 \u003d 1, i.e. x 2 \u003d 5. At iba pa hanggang sa mahanap namin ang lahat ng hindi alam.

Halimbawa.

Niresolba namin ang sistema ng mga linear na equation gamit ang Gauss method, gaya ng payo ng ilang may-akda:

Isinulat namin ang pinahabang matrix ng system at, gamit ang mga elementarya na pagbabago, dalhin ito sa isang hakbang na form:

Tinitingnan namin ang itaas na kaliwang "hakbang". Doon tayo dapat magkaroon ng unit. Ang problema ay walang sinuman sa unang hanay, kaya walang malulutas sa pamamagitan ng muling pagsasaayos ng mga hilera. Sa ganitong mga kaso, dapat ayusin ang yunit gamit ang elementarya na pagbabago. Ito ay karaniwang maaaring gawin sa maraming paraan. Gawin natin ito ng ganito:
1 hakbang . Sa unang linya idinagdag namin ang pangalawang linya, na pinarami ng -1. Iyon ay, pinarami namin sa isip ang pangalawang linya sa -1 at isinagawa ang pagdaragdag ng una at pangalawang linya, habang ang pangalawang linya ay hindi nagbago.

Ngayon sa itaas na kaliwang "minus one", na ganap na nababagay sa amin. Ang sinumang gustong makakuha ng +1 ay maaaring magsagawa ng karagdagang pagkilos: i-multiply ang unang linya sa -1 (palitan ang sign nito).

2 hakbang . Ang unang linya na pinarami ng 5 ay idinagdag sa pangalawang linya. Ang unang linya na pinarami ng 3 ay idinagdag sa ikatlong linya.

3 hakbang . Ang unang linya ay pinarami ng -1, sa prinsipyo, ito ay para sa kagandahan. Ang tanda ng ikatlong linya ay binago din at inilipat sa pangalawang lugar, kaya, sa pangalawang "hakbang, mayroon kaming nais na yunit.

4 na hakbang . Sa ikatlong linya, idagdag ang pangalawang linya, na pinarami ng 2.

5 hakbang . Ang ikatlong linya ay nahahati sa 3.

Ang isang palatandaan na nagpapahiwatig ng isang error sa mga kalkulasyon (mas madalas na isang typo) ay isang "masamang" ilalim na linya. Iyon ay, kung nakakuha tayo ng isang bagay tulad ng (0 0 11 | 23) sa ibaba, at, nang naaayon, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, kung gayon na may mataas na antas ng posibilidad ay masasabi nating nagkamali noong elementarya. mga pagbabagong-anyo.

Nagsasagawa kami ng reverse move, sa disenyo ng mga halimbawa, ang system mismo ay madalas na hindi muling isinulat, at ang mga equation ay "direktang kinuha mula sa ibinigay na matrix". Ang reverse move, ipinaalala ko sa iyo, ay gumagana "mula sa ibaba pataas." Sa halimbawang ito, lumabas ang regalo:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 - x 3 \u003d 1, samakatuwid x 1 + 3 - 1 \u003d 1, x 1 \u003d -1

Sagot:x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 3, x 3 \u003d 1.

Lutasin natin ang parehong sistema gamit ang iminungkahing algorithm. Nakukuha namin

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Hatiin ang pangalawang equation sa pamamagitan ng 5 at ang pangatlo sa pamamagitan ng 3. Nakukuha namin ang:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

I-multiply ang pangalawa at pangatlong equation sa pamamagitan ng 4, nakukuha natin ang:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Ibawas ang unang equation mula sa pangalawa at pangatlong equation, mayroon tayong:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Hatiin ang ikatlong equation sa pamamagitan ng 0.64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

I-multiply ang ikatlong equation sa 0.4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Ibawas ang pangalawang equation mula sa ikatlong equation, makuha natin ang "stepped" augmented matrix:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Kaya, dahil ang isang error ay naipon sa proseso ng mga kalkulasyon, nakakakuha kami ng x 3 \u003d 0.96, o humigit-kumulang 1.

x 2 \u003d 3 at x 1 \u003d -1.

Ang paglutas sa ganitong paraan, hindi ka malito sa mga kalkulasyon at, sa kabila ng mga pagkakamali sa pagkalkula, makukuha mo ang resulta.

Ang pamamaraang ito ng paglutas ng isang sistema ng mga linear algebraic equation ay madaling ma-program at hindi isinasaalang-alang ang mga partikular na katangian ng mga coefficient para sa mga hindi alam, dahil sa pagsasanay (sa pang-ekonomiya at teknikal na mga kalkulasyon) ang isa ay kailangang harapin ang mga non-integer coefficients.

Nagaasam ng iyong tagumpay! Sa muling pagkikita sa klase! Tutor.

blog.site, na may buo o bahagyang pagkopya ng materyal, kinakailangan ang isang link sa pinagmulan.

Ano ang ibig sabihin ng Gauss?

Una kailangan mong isulat ang aming sistema ng mga equation sa Mukhang ganito. Ang sistema ay kinuha:

Matrices, ang kanilang mga katangian

Determinant

Pag-uuri ng system

Ayon sa kung paano ang mga bagay ay may ranggo, ang SLAE ay maaaring hatiin sa:

Pinagsama. Sa ng magkasanib na mga sistema, ang ranggo ng pangunahing matrix (na binubuo lamang ng mga coefficient) ay tumutugma sa ranggo ng pinalawig (na may isang haligi ng mga libreng miyembro). Ang ganitong mga sistema ay may isang solusyon, ngunit hindi kinakailangan isa, samakatuwid, ang magkasanib na mga sistema ay karagdagang nahahati sa:
- tiyak- pagkakaroon ng natatanging solusyon. Sa ilang mga sistema, ang ranggo ng matrix at ang bilang ng mga hindi alam (o ang bilang ng mga haligi, na parehong bagay) ay pantay;
- walang katiyakan - na may walang katapusang bilang ng mga solusyon. Ang ranggo ng mga matrice para sa mga naturang sistema ay mas mababa kaysa sa bilang ng mga hindi alam.
Hindi magkatugma. Sa tulad ng mga sistema, ang mga ranggo ng pangunahing at pinalawig na matrice ay hindi nag-tutugma. Walang solusyon ang mga hindi tugmang sistema.

Mga pagbabago sa elementarya

String permutation. Malinaw na kung babaguhin natin ang pagkakasunud-sunod ng mga equation sa talaan ng system, hindi ito makakaapekto sa solusyon sa anumang paraan. Dahil dito, posible ring magpalitan ng mga hilera sa matrix ng sistemang ito, hindi nalilimutan, siyempre, ang tungkol sa hanay ng mga libreng miyembro.
Pagpaparami ng lahat ng elemento ng isang string sa pamamagitan ng ilang kadahilanan. Napaka-kapaki-pakinabang! Gamit ito, maaari mong bawasan ang malalaking numero sa matrix o alisin ang mga zero. Ang hanay ng mga solusyon, gaya ng dati, ay hindi magbabago, at magiging mas maginhawang magsagawa ng karagdagang mga operasyon. Ang pangunahing bagay ay ang koepisyent ay hindi katumbas ng zero.
Tanggalin ang mga row na may proportional coefficient. Ito ay bahagyang sumusunod mula sa nakaraang talata. Kung ang dalawa o higit pang mga hilera sa matrix ay may mga proporsyonal na koepisyent, kung gayon kapag ang pag-multiply / paghahati ng isa sa mga hilera sa pamamagitan ng koepisyent ng proporsyonalidad, dalawa (o, muli, higit pa) ganap na magkaparehong mga hilera ay nakuha, at maaari mong alisin ang mga dagdag, iiwan lamang isa.
Tinatanggal ang null line. Kung sa kurso ng mga pagbabagong-anyo ang isang string ay nakuha sa isang lugar kung saan ang lahat ng mga elemento, kabilang ang libreng miyembro, ay zero, kung gayon ang naturang string ay maaaring tawaging zero at itinapon sa labas ng matrix.
Pagdaragdag sa mga elemento ng isang hilera ng mga elemento ng isa pa (sa kaukulang mga haligi), na pinarami ng isang tiyak na koepisyent. Ang pinaka malabo at pinakamahalagang pagbabago sa lahat. Ito ay nagkakahalaga ng pag-iisip tungkol dito nang mas detalyado.

Pagdaragdag ng isang string na pinarami ng isang kadahilanan

Para sa kadalian ng pag-unawa, sulit na i-disassembling ang prosesong ito nang sunud-sunod. Dalawang hilera ang kinuha mula sa matrix:

a 11 a 12 ... a 1n | b1

isang 21 isang 22 ... isang 2n | b 2

Ipagpalagay na kailangan mong idagdag ang una sa pangalawa, na pinarami ng koepisyent na "-2".

a" 21 \u003d a 21 + -2 × a 11

a" 22 \u003d a 22 + -2 × a 12

a" 2n \u003d a 2n + -2 × a 1n

Pagkatapos sa matrix ang pangalawang hilera ay pinalitan ng bago, at ang una ay nananatiling hindi nagbabago.

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

Sa pangkalahatan

Magkaroon ng sistema. Mayroon itong m equation at n hindi kilalang ugat. Maaari mong isulat ito tulad nito:

ang unang hilera ng matrix ay pinarami ng koepisyent k = (-a 21 / a 11);
ang unang binagong hilera at ang pangalawang hilera ng matris ay idinagdag;
sa halip na ang pangalawang hilera, ang resulta ng karagdagan mula sa nakaraang talata ay ipinasok sa matrix;
ngayon ang unang koepisyent sa bagong pangalawang hilera ay isang 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

koepisyent k \u003d (-a 32 / a 22);
ang pangalawang binagong linya ay idinagdag sa "kasalukuyang" linya;
ang resulta ng karagdagan ay pinapalitan sa ikatlo, ikaapat, at iba pa na mga linya, habang ang una at pangalawa ay nananatiling hindi nagbabago;
sa mga hilera ng matrix, ang unang dalawang elemento ay katumbas na ng zero.

Kapag walang solusyon

Kapag mayroong walang katapusang bilang ng mga solusyon

Solusyon na may mga tiyak na halimbawa

Narito ang sistema ng mga equation.

Para sa kaginhawahan, mas mahusay na agad na lumikha ng matrix nito

ikalawang linya: k = (-a 21 / a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 \u003d a 21 + k × a 11 \u003d 3 + (-3) × 1 \u003d 0

a" 22 \u003d a 22 + k × a 12 \u003d -1 + (-3) × 2 \u003d -7

a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11

b "2 \u003d b 2 + k × b 1 \u003d 12 + (-3) × 12 \u003d -24

ikatlong linya: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18

b "3 \u003d b 3 + k × b 1 \u003d 3 + (-5) × 12 \u003d -57

Ngayon, upang hindi malito, kinakailangan na isulat ang matrix na may mga intermediate na resulta ng mga pagbabagong-anyo.

k = (-a 32 / a 22) = (-3/7) = -3/7 fraction, at pagkatapos lamang, kapag natanggap ang mga sagot, magpasya kung i-round up at isasalin sa ibang anyo ng notasyon)

a" 32 = a 32 + k × a 22 = 3 + (-3/7) × 7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 \u003d a 33 + k × a 23 \u003d 6 + (-3/7) × 11 \u003d -9/7

b "3 \u003d b 3 + k × b 2 \u003d 19 + (-3/7) × 24 \u003d -61/7

Ang matrix ay isinulat muli na may mga bagong halaga.

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

Ngayon ang lahat ay maganda. Ang punto ay maliit - isulat muli ang matrix sa anyo ng isang sistema ng mga equation at kalkulahin ang mga ugat

x + 2y + 4z = 12(1)

7y + 11z = 24 (2)

Ang algorithm kung saan matatagpuan ang mga ugat ay tinatawag na reverse move sa Gauss method. Ang equation (3) ay naglalaman ng halaga ng z:

y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9

At ang unang equation ay nagpapahintulot sa iyo na mahanap ang x:

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4x(61/9) - 2x(-65/9) = -6/9 = -2/3

May karapatan tayong tawagan ang naturang sistemang magkasanib, at maging tiyak, iyon ay, pagkakaroon ng natatanging solusyon. Ang tugon ay nakasulat sa sumusunod na anyo:

x 1 \u003d -2/3, y \u003d -65/9, z \u003d 61/9.

Isang halimbawa ng isang hindi tiyak na sistema

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

Una, tulad ng dati, ang augmented matrix ay pinagsama-sama.

Ang pagpaparami ng mga elemento ng unang hilera sa bawat isa sa kanilang mga coefficient sa turn at pagdaragdag ng mga ito sa nais na mga hilera, nakakakuha kami ng isang matrix ng sumusunod na anyo:

Ang pangalawang equation ay mayroon lamang isang pangunahing variable - x 2 . Kaya, maaari itong ipahayag mula roon, pagsulat sa pamamagitan ng mga variable x 3 , x 4 , x 5 , na libre.

Pinapalitan namin ang nagresultang expression sa unang equation.

Ito ay naging isang equation kung saan ang tanging pangunahing variable ay x 1. Gawin natin ito tulad ng sa x 2 .

Ang lahat ng mga pangunahing variable, kung saan mayroong dalawa, ay ipinahayag sa mga tuntunin ng tatlong libre, ngayon ay maaari mong isulat ang sagot sa isang pangkalahatang anyo.

16, 23, 0, 0, 0.

Isang halimbawa ng hindi tugmang sistema

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Gaya ng dati, ang matrix ay pinagsama-sama:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

At ito ay nabawasan sa isang stepped form:

k 1 \u003d -2k 2 \u003d -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

Pagkatapos ng unang pagbabago, ang ikatlong linya ay naglalaman ng isang equation ng form

walang solusyon. Samakatuwid, ang sistema ay hindi pare-pareho, at ang sagot ay ang walang laman na hanay.