Bir fonksiyonun ekstremumları nelerdir: maksimum ve minimumun kritik noktaları.
Bir fonksiyonun ekstremumu nedir ve bir ekstremum için gerekli koşul nedir?
Bir fonksiyonun ekstremumu, fonksiyonun maksimum ve minimumudur.
Bir fonksiyonun maksimum ve minimum (ekstrem) için gerekli koşul şudur: f(x) fonksiyonunun x = a noktasında bir ekstremumu varsa, o zaman bu noktada türev ya sıfırdır ya da sonsuzdur ya da mevcut değil.
Bu koşul gereklidir ancak yeterli değildir. X = a noktasındaki türev sıfıra, sonsuza gidebilir veya fonksiyon bu noktada bir ekstremuma sahip olmadan var olmayabilir.
Bir fonksiyonun ekstremumu (maksimum veya minimum) için yeterli koşul nedir?
İlk koşul:
Eğer x = a noktasına yeterli yakınlıkta f?(x) türevi a'nın solunda pozitif ve sağında negatif ise, o zaman x = a noktasında f(x) fonksiyonu şuna sahiptir: maksimum
Eğer x = a noktasına yeterli yakınlıkta f?(x) türevi a'nın solunda negatif ve sağında pozitif ise, o zaman x = a noktasında f(x) fonksiyonu şuna sahiptir: minimum f(x) fonksiyonunun burada sürekli olması şartıyla.
Bunun yerine, bir fonksiyonun ekstremumu için ikinci yeterli koşulu kullanabilirsiniz:
x = a noktasında birinci türev f?(x) sıfır olsun; f??(a) ikinci türevi negatifse, f(x) fonksiyonunun x = a noktasında maksimumu vardır, pozitifse minimumu vardır.
Bir fonksiyonun kritik noktası nedir ve nasıl bulunur?
Bu, fonksiyonun bir uç noktaya (yani maksimum veya minimum) sahip olduğu fonksiyon argümanının değeridir. Onu bulmak için ihtiyacın var türevi bul f?(x) fonksiyonu ve bunu sıfıra eşitleyerek, denklemi çözün f?(x) = 0. Bu denklemin kökleri ve bu fonksiyonun türevinin bulunmadığı noktalar kritik noktalardır, yani bir ekstremumun olabileceği argümanın değerleridir. Bakılarak kolaylıkla tespit edilebilirler. türev grafiği: fonksiyonun grafiğinin apsis ekseniyle (Ox ekseni) kesiştiği ve grafiğin süreksizliklere maruz kaldığı argümanın değerleriyle ilgileniyoruz.
Örneğin, bulalım bir parabolün ekstremumu.
Fonksiyon y(x) = 3x2 + 2x - 50.
Fonksiyonun türevi: y?(x) = 6x + 2
Denklemi çözün: y?(x) = 0
6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3
Bu durumda kritik nokta x0=-1/3 olur. Fonksiyonun sahip olduğu bu argüman değeridir. ekstremum. Ona bulmak, "x" yerine fonksiyon yerine ifadede bulunan sayıyı yazın:
y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.
Bir fonksiyonun maksimum ve minimumu nasıl belirlenir? en büyük ve en küçük değerleri?
Türevin işareti x0 kritik noktasından geçerken “artı”dan “eksi”ye değişirse, o zaman x0 maksimum nokta; türevin işareti eksiden artıya değişirse x0 minimum puan; işaret değişmezse, x0 noktasında ne maksimum ne de minimum vardır.
Ele alınan örnek için:
Kritik noktanın solundaki argümanın keyfi bir değerini alıyoruz: x = -1
x = -1'de türevin değeri y?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 olacaktır (yani işareti “eksi”).
Şimdi kritik noktanın sağındaki argümanın keyfi bir değerini alıyoruz: x = 1
x = 1'de türevin değeri y(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 olacaktır (yani işareti “artı”dır).
Gördüğünüz gibi kritik noktadan geçerken türevin işareti eksiden artıya değişti. Bu, x0 kritik değerinde minimum bir noktaya sahip olduğumuz anlamına gelir.
Bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değeri aralıkta(bir segment üzerinde) aynı prosedür kullanılarak bulunur, ancak belki de tüm kritik noktaların belirtilen aralıkta olmayacağı gerçeği dikkate alınır. Aralığın dışındaki kritik noktalar değerlendirme dışı bırakılmalıdır. Aralık içinde yalnızca bir kritik nokta varsa, bu noktanın ya maksimumu ya da minimumu olacaktır. Bu durumda fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini belirlemek için fonksiyonun aralığın uçlarındaki değerlerini de dikkate alıyoruz.
Örneğin fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulalım
y(x) = 3sin(x) - 0,5x
aralıklarla:
Yani fonksiyonun türevi
y?(x) = 3cos(x) - 0,5
3cos(x) - 0,5 = 0 denklemini çözüyoruz
cos(x) = 0,5/3 = 0,16667
x = ±arccos(0,16667) + 2πk.
[-9; 9]:
x = arccos(0,16667) - 2π*2 = -11,163 (aralığa dahil değildir)
x = -arccos(0,16667) – 2π*1 = -7,687
x = arccos(0,16667) - 2π*1 = -4,88
x = -arccos(0,16667) + 2π*0 = -1,403
x = arccos(0,16667) + 2π*0 = 1,403
x = -arccos(0,16667) + 2π*1 = 4,88
x = arccos(0,16667) + 2π*1 = 7,687
x = -arccos(0,16667) + 2π*2 = 11,163 (aralığa dahil değildir)
Fonksiyon değerlerini argümanın kritik değerlerinde buluyoruz:
y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885
y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398
y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256
y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256
y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398
y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885
[-9; 9] fonksiyon x = -4,88'de en büyük değere sahiptir:
x = -4,88, y = 5,398,
ve en küçüğü - x = 4,88'de:
x = 4,88, y = -5,398.
[-6; -3] tek bir kritik noktamız var: x = -4,88. Fonksiyonun x = -4,88'deki değeri y = 5,398'e eşittir.
Aralığın sonunda fonksiyonun değerini bulun:
y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838
y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077
[-6; -3] fonksiyonun en büyük değerine sahibiz
y = 5,398, x = -4,88'de
en küçük değer -
x = -3'te y = 1,077
Bir fonksiyon grafiğinin bükülme noktaları nasıl bulunur ve dışbükey ve içbükey taraflar nasıl belirlenir?
Y = f(x) doğrusundaki tüm bükülme noktalarını bulmak için, ikinci türevi bulmanız, onu sıfıra eşitlemeniz (denklemi çözmeniz) ve ikinci türevin sıfır olduğu tüm x değerlerini test etmeniz gerekir, sonsuzdur veya yoktur. Bu değerlerden birinden geçerken ikinci türev işaret değiştirirse, fonksiyonun grafiği bu noktada bir bükülmeye sahiptir. Eğer değişmezse bükülme olmaz.
f denkleminin kökleri? (x) = 0, fonksiyonun ve ikinci türevinin olası süreksizlik noktalarının yanı sıra, fonksiyonun tanım bölgesini bir dizi aralığa böler. Aralıklarının her birindeki dışbükeylik, ikinci türevin işaretiyle belirlenir. İncelenen aralıktaki bir noktadaki ikinci türev pozitifse, o zaman y = f(x) doğrusu yukarıya doğru içbükeydir, negatifse aşağıya doğru içbükeydir.
İki değişkenli bir fonksiyonun ekstremumunu nasıl bulabilirim?
Spesifikasyon tanım kümesinde türevlenebilir f(x,y) fonksiyonunun ekstremumunu bulmak için şunlara ihtiyacınız vardır:
1) kritik noktaları bulun ve bunun için denklem sistemini çözün
fх? (x,y) = 0, yani? (x,y) = 0
2) her kritik nokta P0(a;b) için farkın işaretinin değişmeden kalıp kalmadığını araştırın
tüm (x;y) noktaları için P0'a yeterince yakın. Fark pozitif kalırsa, P0 noktasında minimumumuz olur, negatifse maksimumumuz olur. Eğer fark işaretini korumuyorsa P0 noktasında ekstremum yoktur.
Bir fonksiyonun ekstremumları daha fazla sayıda argüman için benzer şekilde belirlenir.
Şarkıcı Mika Newton ve grubunun resmi web sitesi nedir?
Yeni Ukrayna mucizesi - Mika Newton! Bu, pop-rock çalan, hayattan keyif alan, motivasyon veren ve hayata olumlu bakan 5 kişilik bir grup. Adamlar şu anda yaşadıkları Kiev'de toplandılar. Adamlar müzik ve hayattaki standart temelleri hiç kabul etmiyorlar, yeni seslerini keşfediyorlar ve her türlü standardı yıkıyorlar. Takım Lideri -
Mililitreyi metreküp'e nasıl dönüştürebilirim?
SI sisteminde temel uzunluk birimi metredir. Buna dayanarak hacmin temel birimi metreküp veya diğer adıyla metreküp veya küp olarak düşünülmelidir. Bu, kenarları bir metreye eşit olan bir küpün hacmidir. Ancak pratikte hacmi metreküp cinsinden ifade etmek her zaman uygun değildir. Örneğin, bir odanın hacmini metreküp cinsinden ifade etmek daha uygundur: odanın uzunluğunu çarpın.
İrmiğin kalori içeriği nedir?
Yiyeceklerin kalori içeriği, kalori içeriği tablosu. İnsanın enerji ihtiyacı kilokalori (kcal) cinsinden ölçülür. "Kalori" kelimesi Latince'den gelir ve "ısı" anlamına gelir. Fizikte kalori enerjiyi ölçer. Bir kilokalori enerji miktarıdır
Edebiyatta gerçekçiliğin gelişim aşamaları nelerdir?
Gerçekçilik (Latince: maddi, gerçek), edebiyatta ve sanatta gerçekliği tipik özellikleriyle doğru bir şekilde yeniden üretmeyi amaçlayan bir akımdır. Genel özellikler: Yaşam olgusunun özüne karşılık gelen görüntülerde yaşamın sanatsal tasviri. Gerçeklik, kişinin kendisini ve etrafındaki dünyayı anlaması için bir araçtır. Yazıyor
Berkelyum ile periyodik tablonun 117. elementi arasındaki ilişki nedir?
Berkelium, Berkelium, Bk periyodik tablonun 97. elementidir.Aralık 1949'da Berkeley'deki California Üniversitesi'nden Thompson, Ghiorso ve Seaborg tarafından keşfedildi. 241Am alfa parçacıklarıyla ışınlandığında berkelyum izotopu 243Bk elde edildi. Bk, adını Bay Ytterby'den alan terbiyum ile yapısal bir benzerliğe sahip olduğundan
Bilge Yaroslav neyle ünlüdür?
Bilge Yaroslav (980-1054), Kiev Büyük Dükü (1019). Vladimir I Svyatoslavovich'in oğlu. Lanetli Svyatopolk I'i kovdu, kardeşi Mstislav ile savaştı, devleti onunla paylaştı (1025) ve 1035'te onu yeniden birleştirdi. Bir dizi zaferle Rusya'nın güney ve batı sınırlarını güvence altına aldı. Birçok Ev ülkesiyle hanedan bağları kuruldu
Düğünlerde “Acı!” diye bağırma geleneği nasıl ortaya çıktı?
Uzun zaman önce, bir düğün ziyafetinde yeni evlileri koltuklarından kalkıp öpüşmeye zorlayan "Acı!" diye bağırma geleneği vardı. Bugün pek çok kişi bu ritüelin anlamını bile bilmiyor.Eskiden düğünlerde "Acı!" diye bağırılır, bardaklardaki şarabın sözde şekersiz olduğu anlaşılır. A
Larenjit belirtileri nelerdir
Larenjit (eski Yunanca λ?ρυγξ - gırtlak), genellikle soğuk algınlığı veya kızamık, kızıl, boğmaca gibi bulaşıcı hastalıklarla ilişkili olan gırtlak iltihabıdır. Hastalığın gelişimi hipotermi, ağızdan nefes alma, tozluluk ile desteklenir.
Yalnızca çoğul hali olan isimlerde cinsiyet ve çekimler belirlenir mi?
Sayı, bir nesnenin niceliksel özelliklerini ifade eden dilbilgisel bir kategoridir. 1. Çoğu isim sayılara göre değişir. tekil ve çoğul olmak üzere iki biçimi vardır. Tekil biçimde, bir isim çoğul biçimde bir nesneyi, birkaç nesneyi belirtir:
Rus püresinin faydaları nelerdir?
Karabuğday lapası Karabuğday özel bir tahıldır. Belki de en kullanışlı yulaf lapalarından biri ortaya çıkıyor. Buna ilk dememize şaşmamalı. Karabuğday lif, çok çeşitli vitaminler - E, PP, B1, B2, folik ve organik asitlerin yanı sıra vücudun doğru miktarda neo almasına yardımcı olan büyük miktarda nişasta içerir.
Arkhangelsk şehrinin interaktif haritası aşağıdaki sitelerde görüntülenebilir: Harita1 - uydu ve standart harita, Harita2 - standart harita (1:350.000); Map3 - sokak adları, ev numaraları vardır, caddeye göre arama yapabilirsiniz; Map4 - sokak adlarını içeren bir harita; Map5 - şehrin etkileşimli bir haritası; Map6 - şehrin etkileşimli bir haritası.
Fonksiyonun ekstremum değerleri
Tanım 2
Bir $x_0$ noktasına, eğer bu noktanın bir komşuluğu varsa, bu komşuluktaki tüm $x$ için $f(x)\le f(x_0) eşitsizliği varsa, $f(x)$ fonksiyonunun maksimum noktası denir. $ tutar.
Tanım 3
Bir $x_0$ noktasına, eğer bu noktanın bir komşuluğu varsa, bu komşuluktaki tüm $x$ için $f(x)\ge f(x_0) eşitsizliği varsa, $f(x)$ fonksiyonunun maksimum noktası denir. $ tutar.
Bir fonksiyonun ekstremum kavramı, bir fonksiyonun kritik noktası kavramıyla yakından ilişkilidir. Tanımını tanıtalım.
Tanım 4
Aşağıdaki durumlarda $x_0$, $f(x)$ fonksiyonunun kritik noktası olarak adlandırılır:
1) $x_0$ - tanım alanının iç noktası;
2) $f"\left(x_0\right)=0$ veya mevcut değil.
Ekstremum kavramı için onun varlığı için yeterli ve gerekli koşullar üzerine teoremler formüle edebiliriz.
Teorem 2
Bir ekstremum için yeterli koşul
$x_0$ noktası $y=f(x)$ fonksiyonu için kritik olsun ve $(a,b)$ aralığında olsun. Her $\left(a,x_0\right)\ ve\ (x_0,b)$ aralığında $f"(x)$ türevinin mevcut olduğunu ve sabit bir işareti koruduğunu varsayalım. Sonra:
1) $(a,x_0)$ aralığında türev $f"\left(x\right)>0$ ise ve $(x_0,b)$ aralığında türev $f"\left( ise x\sağ)
2) $(a,x_0)$ aralığında $f"\left(x\right)0$ türevi varsa, o zaman $x_0$ noktası bu fonksiyon için minimum noktadır.
3) Hem $(a,x_0)$ aralığında hem de $(x_0,b)$ aralığındaysa $f"\left(x\right) >0$ türevi veya $f"\left(x türevi \Sağ)
Bu teorem Şekil 1'de gösterilmektedir.
Şekil 1. Ekstremin varlığı için yeterli koşul
Aşırılık örnekleri (Şekil 2).
Şekil 2. Ekstrem noktalara örnekler
Bir fonksiyonu ekstremum için inceleme kuralı
2) $f"(x)$ türevini bulun;
7) Teorem 2'yi kullanarak her aralıkta maksimum ve minimumların varlığı hakkında sonuçlar çıkarın.
Artan ve azalan fonksiyonlar
Önce artan ve azalan fonksiyonların tanımlarını verelim.
Tanım 5
$X$ aralığında tanımlanan bir $y=f(x)$ fonksiyonunun, $x_1 noktasındaki herhangi bir $x_1,x_2\in X$ noktası için artan olduğu söylenir.
Tanım 6
$X$ aralığında tanımlanan bir $y=f(x)$ fonksiyonunun, $x_1f(x_2)$ için herhangi bir $x_1,x_2\in X$ noktası için azalan olduğu söylenir.
Artan ve azalan bir fonksiyonun incelenmesi
Türevi kullanarak artan ve azalan fonksiyonları inceleyebilirsiniz.
Bir fonksiyonu artan ve azalan aralıklara göre incelemek için aşağıdakileri yapmanız gerekir:
1) $f(x)$ fonksiyonunun tanım tanım kümesini bulun;
2) $f"(x)$ türevini bulun;
3) $f"\left(x\right)=0$ eşitliğinin sağlandığı noktaları bulun;
4) $f"(x)$'ın bulunmadığı noktaları bulun;
5) Bulunan tüm noktaları ve bu fonksiyonun tanım alanını koordinat çizgisi üzerinde işaretleyin;
6) Ortaya çıkan her aralıkta $f"(x)$ türevinin işaretini belirleyin;
7) Bir sonuca varın: $f"\left(x\right)0$ aralığında fonksiyon artar.
Artan, azalan fonksiyonları ve ekstremum noktaların varlığını incelemek için problem örnekleri
örnek 1
Arttırma ve azaltma fonksiyonunu ve maksimum ve minimum noktaların varlığını inceleyin: $f(x)=(2x)^3-15x^2+36x+1$
İlk 6 nokta aynı olduğundan önce bunları gerçekleştirelim.
1) Tanım alanı - tüm gerçek sayılar;
2) $f"\left(x\right)=6x^2-30x+36$;
3) $f"\left(x\right)=0$;
\ \ \
4) $f"(x)$ tanım alanının tüm noktalarında mevcuttur;
5) Koordinat çizgisi:
Figür 3.
6) Her aralıkta $f"(x)$ türevinin işaretini belirleyin:
\\. Bilindiği gibi böyle bir fonksiyon maksimum ve minimum değerlerine parçanın sınırında veya içinde ulaşır. Bir fonksiyonun en büyük veya en küçük değerine parçanın iç noktasında ulaşılıyorsa bu değer, fonksiyonun maksimum veya minimum değeridir, yani kritik noktalarda elde edilir.
Böylece aşağıdakileri elde ederiz bir segmentteki bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulma kuralı[ a, b] :
- Fonksiyonun aralıktaki tüm kritik noktalarını bulun ( a, b) ve fonksiyonun bu noktalardaki değerlerini hesaplayın.
- Segmentin uçlarındaki fonksiyonun değerlerini hesaplayın. x = a, x = b.
- Elde edilen tüm değerlerden en büyüğünü ve en küçüğünü seçin.