2 değişkenli doğrusal denklem nedir? "İki değişkenli doğrusal denklemler" konulu ders özeti

Denklem çözmeyi öğrenmek cebirin öğrencilere sunduğu temel görevlerden biridir. Bir bilinmeyenden oluştuğunda en basitinden başlayıp giderek daha karmaşık olanlara doğru ilerliyoruz. Birinci gruptaki denklemlerle yapılması gereken işlemlere hakim değilseniz diğerlerini anlamanız zor olacaktır.

Konuşmaya devam etmek için notasyon üzerinde anlaşmanız gerekir.

Bir bilinmeyenli doğrusal denklemin genel formu ve çözüm ilkesi

Bu şekilde yazılabilecek herhangi bir denklem:

a * x = b,

isminde doğrusal. Bu genel formüldür. Ancak ödevlerde sıklıkla doğrusal denklemler örtülü biçimde yazılır. Daha sonra genel kabul görmüş bir notasyon elde etmek için aynı dönüşümleri gerçekleştirmek gerekir. Bu eylemler şunları içerir:

parantez açma;
değişken değere sahip tüm terimleri eşitliğin sol tarafına, geri kalanını ise sağa taşımak;
benzer terimlerin azaltılması.

Bir kesrin paydasında bilinmeyen bir miktarın olması durumunda, ifadenin anlam ifade etmeyeceği değerlerini belirlemeniz gerekir. Başka bir deyişle denklemin tanım alanını bilmeniz gerekir.

Tüm doğrusal denklemlerin çözülmesindeki prensip, denklemin sağ tarafındaki değerin değişkenin önündeki katsayıya bölünmesine dayanır. Yani "x" b/a'ya eşit olacaktır.

Lineer denklemlerin özel durumları ve çözümleri

Akıl yürütme sırasında, doğrusal denklemlerin özel biçimlerden birini aldığı anlar ortaya çıkabilir. Her birinin özel bir çözümü var.

İlk durumda:

a * x = 0 ve a ≠ 0.

Böyle bir denklemin çözümü her zaman x = 0 olacaktır.

İkinci durumda “a” sıfıra eşit değeri alır:

0 * x = 0.

Böyle bir denklemin cevabı herhangi bir sayı olacaktır. Yani sonsuz sayıda kökü vardır.

Üçüncü durum şöyle görünür:

0 * x = içinde≠ 0'da.

Bu denklem mantıklı değil. Çünkü onu tatmin edecek kökler yoktur.

İki değişkenli doğrusal denklemin genel görünümü

İsminden, içinde zaten iki bilinmeyen miktarın olduğu anlaşılıyor. İki değişkenli doğrusal denklemler Bunun gibi:

a * x + b * y = c.

Kayıtta iki bilinmeyen olduğundan cevap bir çift sayı gibi görünecektir. Yani tek bir değer belirtmek yeterli değildir. Bu eksik bir cevap olacaktır. Denklemin özdeşlik haline geldiği bir miktar çifti, denklemin bir çözümüdür. Üstelik cevapta alfabede ilk sırada gelen değişken her zaman önce yazılır. Bazen bu rakamların onu tatmin ettiğini söylüyorlar. Üstelik bu tür çiftlerden sonsuz sayıda olabilir.

İki bilinmeyenli doğrusal denklem nasıl çözülür?

Bunu yapmak için doğru olduğu ortaya çıkan herhangi bir sayı çiftini seçmeniz yeterlidir. Kolaylık sağlamak için, bilinmeyenlerden birini asal sayıya eşit olarak alıp ikinciyi bulabilirsiniz.

Çözerken genellikle denklemi basitleştirecek adımları uygulamanız gerekir. Bunlara kimlik dönüşümleri denir. Ayrıca aşağıdaki özellikler denklemler için her zaman doğrudur:

her terim, işaretinin tersi ile değiştirilerek eşitliğin karşıt kısmına taşınabilir;
Sıfıra eşit olmadığı sürece herhangi bir denklemin sol ve sağ taraflarının aynı sayıya bölünmesine izin verilir.

Doğrusal denklemlerle ilgili görev örnekleri

İlk görev. Doğrusal denklemleri çözün: 4x = 20, 8(x - 1) + 2x = 2(4 - 2x); (5x + 15) / (x + 4) = 4; (5x + 15) / (x + 3) = 4.

Bu listede ilk sırada yer alan denklemde 20'yi 4'e bölmeniz yeterlidir. Sonuç 5 olacaktır. Cevap şu: x = 5.

Üçüncü denklem bir kimlik dönüşümünün gerçekleştirilmesini gerektirir. Parantezlerin açılması ve benzer terimlerin getirilmesinden oluşacaktır. İlk adımdan sonra denklem şu şekli alacaktır: 8x - 8 + 2x = 8 - 4x. O zaman tüm bilinmeyenleri denklemin sol tarafına, geri kalanını da sağa taşımanız gerekir. Denklem şu şekilde görünecektir: 8x + 2x + 4x = 8 + 8. Benzer terimleri ekledikten sonra: 14x = 16. Artık ilkiyle aynı görünüyor ve çözümünü bulmak kolay. Cevap x=8/7 olacaktır. Ancak matematikte tam parçayı bileşik kesirden ayırmanız gerekir. Daha sonra sonuç dönüştürülecek ve “x” bir bütüne ve yedide bire eşit olacak.

Geri kalan örneklerde değişkenler paydadadır. Bu, öncelikle denklemlerin hangi değerlerde tanımlandığını bulmanız gerektiği anlamına gelir. Bunu yapmak için paydaların sıfıra gittiği sayıları hariç tutmanız gerekir. İlk örnekte “-4”, ikinci örnekte “-3”. Yani bu değerlerin cevaptan çıkarılması gerekir. Bundan sonra eşitliğin her iki tarafını da paydadaki ifadelerle çarpmanız gerekiyor.

Parantezleri açıp benzer terimleri bir araya getirdiğimizde bu denklemlerden ilkinde şunu elde ederiz: 5x + 15 = 4x + 16, ikincisinde ise 5x + 15 = 4x + 12. Dönüşümlerden sonra ilk denklemin çözümü x = olacaktır. -1. İkincisi “-3”e eşit çıkıyor, bu da ikincisinin hiçbir çözümü olmadığı anlamına geliyor.

İkinci görev. Denklemi çözün: -7x + 2y = 5.

İlk bilinmeyen x = 1 olsun, o zaman denklem -7 * 1 + 2y = 5 formunu alacaktır. “-7” faktörünü eşitliğin sağ tarafına kaydırıp işaretini artıya çevirdiğimizde şu ortaya çıkıyor: 2y = 12. Bu da y =6 anlamına gelir. Cevap: x = 1, y = 6 denkleminin çözümlerinden biri.

Tek değişkenli eşitsizliğin genel biçimi

Eşitsizliklere ilişkin tüm olası durumlar burada sunulmaktadır:

a * x > b;
a * x< в;
a * x ≥b;
a * x ≤в.

Genel olarak basit bir doğrusal denklem gibi görünür, yalnızca eşittir işaretinin yerini eşitsizlik alır.

Eşitsizliklerin kimlik dönüşümlerine ilişkin kurallar

Tıpkı doğrusal denklemler gibi eşitsizlikler de belirli yasalara göre değiştirilebilir. Bunlar aşağıdakilere indirgeniyor:

eşitsizliğin sol ve sağ taraflarına herhangi bir alfabetik veya sayısal ifade eklenebilir ve eşitsizliğin işareti aynı kalır;
aynı pozitif sayıyla da çarpabilir veya bölebilirsiniz, bu da yine işareti değiştirmez;
Aynı negatif sayı ile çarpıldığında veya bölündüğünde, eşitsizlik işareti ters çevrildiği sürece eşitlik doğru kalacaktır.

Çifte eşitsizliklere genel bakış

Problemlerde aşağıdaki eşitsizlikler gösterilebilir:

V< а * х < с;
c ≤ a * x< с;
V< а * х ≤ с;
c ≤ a * x ≤ c.

Her iki taraftaki eşitsizlik işaretleriyle sınırlı olduğundan çift olarak adlandırılır. Sıradan eşitsizliklerle aynı kurallar kullanılarak çözülür. Ve cevabı bulmak bir dizi özdeş dönüşümden geçiyor. En basiti elde edilene kadar.

Çift eşitsizlikleri çözmenin özellikleri

Bunlardan ilki koordinat eksenindeki görüntüsüdür. Basit eşitsizlikler için bu yöntemi kullanmaya gerek yoktur. Ancak zor durumlarda bu sadece gerekli olabilir.

Bir eşitsizliği tasvir etmek için, akıl yürütme sırasında elde edilen tüm noktaları eksen üzerinde işaretlemeniz gerekir. Bunlar, noktalı noktalarla gösterilen geçersiz değerler ve dönüşümlerden sonra elde edilen eşitsizliklerden elde edilen değerlerdir. Burada da noktaların doğru çizilmesi önemlidir. Eşitsizlik katı ise< или >, daha sonra bu değerler delinir. Kesin olmayan eşitsizliklerde noktalar gölgelendirilmelidir.

Daha sonra eşitsizliklerin anlamını belirtmek gerekir. Bu, gölgeleme veya yaylar kullanılarak yapılabilir. Bunların kesişimi cevabı gösterecektir.

İkinci özellik ise kaydedilmesiyle ilgilidir. Burada sunulan iki seçenek var. Birincisi nihai eşitsizliktir. İkincisi aralıklar şeklindedir. Onunla birlikte zorluklar ortaya çıkıyor. Boşluklardaki cevap her zaman üyelik işaretli ve rakamlı parantezli bir değişkene benzer. Bazen birkaç boşluk olur, o zaman parantezlerin arasına “ve” sembolünü yazmanız gerekir. Bu işaretler şuna benzer: ∈ ve ∩. Ara parantezleri de bir rol oynar. Nokta cevaptan çıkarıldığında yuvarlak olan yerleştirilir ve dikdörtgen olan bu değeri içerir. Sonsuzluk işareti her zaman parantez içindedir.

Eşitsizlikleri çözme örnekleri

1. 7 - 5x ≥ 37 eşitsizliğini çözün.

Basit dönüşümlerden sonra şunu elde ederiz: -5x ≥ 30. “-5”e bölerek şu ifadeyi elde ederiz: x ≤ -6. Bu zaten cevaptır, ancak başka bir şekilde de yazılabilir: x ∈ (-∞; -6).

2. Çifte eşitsizliği çözün -4< 2x + 6 ≤ 8.

İlk önce her yerden 6 çıkarmanız gerekir, elde ettiğiniz: -10< 2x ≤ 2. Теперь нужно разделить на 2. Неравенство примет вид: -5 < x ≤ 1. Изобразив ответ на числовой оси, сразу можно понять, что результатом будет промежуток от -5 до 1. Причем первая точка исключена, а вторая включена. То есть ответ у неравенства такой: х ∈ (-5; 1].

Dersin Hedefleri:

eğitici:
- konuyu tekrar edin: “Denklemler. Doğrusal denklemler. Eşdeğer denklemler ve özellikleri”;
- Öğrencilerin iki değişkenli doğrusal denklem kavramını ve çözümlerini anlamalarını sağlamak.
Gelişimsel:
- entelektüel yetenekler oluşturmak için:
- karşılaştırma, analoglar oluşturma, ana şeyi vurgulama yeteneği;
- kapsanan materyali genelleştirme ve sistematikleştirme yeteneği;
- mantıksal düşünme, hafıza, hayal gücü, matematiksel konuşmayı geliştirmek;
- Aktif bilişsel aktivite geliştirin.
eğitici:
- dersin her aşamasında öğrencilerde bağımsızlığı, etkinliği ve ilgiyi geliştirmek;
- azim, azim, kararlılık gibi karakter niteliklerini oluşturmak.

Öğretmenin derste çözmesi gereken görevler:

metindeki ana fikri vurgulamayı öğrenin;
öğretmene, kendinize veya öğrencilerinize soru sormayı öğrenin;
standart dışı sorunları çözmek için edinilen bilgileri kullanmayı öğrenmek;
Düşüncelerinizi matematiksel olarak doğru bir şekilde ifade edebilme becerisini öğretin.

Öğrencilerin bu derste çözmesi gereken problemler:

iki değişkenli doğrusal denklemin tanımını bilir;
basit doğrusal denklemler yazabilme;
a, b ve c değişkenlerinin değerlerini doğru bir şekilde bulabilme;
denklemler arasında iki değişkenli doğrusal denklemleri tanımlayabilme;
şu soruyu cevaplayın: iki değişkenli bir doğrusal denklemin çözümü nedir?
Bir sayı çiftinin bir denklemin çözümü olup olmadığını nasıl anlarsınız?
Bir değişkeni diğerine göre ifade edebilme.

Ders türü: yeni materyal öğrenme dersi.

DERSLER SIRASINDA

I. Organizasyon anı

II. Kapsanan materyalin tekrarı

1) Tahtada: 2x, 2x + 5, 2x + 5 = 17.

2) Sınıfa yönelik sorular:

– Bu ifadeleri tanımlayın. (Beklenen cevaplar: çarpım, tek terimli, toplam, polinom, denklem.)
-Denklem neye denir?
– Bir denkleme ihtiyacınız var mı? (Karar vermek)
– “Bir denklemi çözmek” ne anlama geliyor?
– Denklemin kökü nedir?
– Hangi denklemler eşdeğerdir?
– Denklemlerin denkliğinin hangi özelliklerini biliyorsunuz?

III. Öğrencilerin bilgilerinin güncellenmesi

3) Tüm sınıfa ödev:

– İfadeleri dönüştür :( yönetim kurulunda iki kişi çalışıyor).

a) 2(x + 8) + 4(2x – 4) = b) 4(x – 2) + 2(3y + 4) =

Dönüşümden sonra şunu elde ettik: a) 10x; b) 4x + 6y:

– Denklemler oluşturmak için bunları kullanın (öğrenciler önerir - öğretmen tahtaya denklemler yazar): 10x = 30; 4x + 6y = 28.

Sorular:

– İlk denklemin adı nedir?
– Neden doğrusal?
– İkinci denklemi birinciyle karşılaştırın. İkinci denklemin tanımını formüle etmeye çalışın (Beklenen cevap: iki değişkenli bir denklem; öğrencilerin dikkati denklemin türüne odaklanır – doğrusal).

IV. Yeni materyal öğrenme

1) Dersin konusu duyurulur. Konuyu not defterlerine kaydetmek. Öğrencilerin iki değişkenli bir denklem tanımının bağımsız formülasyonu, iki değişkenli bir doğrusal denklem (tek değişkenli bir doğrusal denklemin tanımına benzetilerek), iki değişkenli denklem örnekleri. Tartışma, ön konuşma, diyalog - akıl yürütme şeklinde gerçekleşir.

2) Sınıf ataması:

a) İki değişkenli iki doğrusal denklem yazın (öğretmen ve öğrenciler birkaç öğrencinin cevaplarını dinler; öğretmenin tercihine göre içlerinden biri denklemlerini tahtaya yazar).

b) Öğrencilerle birlikte bu derste cevap almaları gereken görev ve sorular belirlenir. Her öğrenciye bu soruların yer aldığı kartlar verilir.

c) Bu sorunları ve görevleri çözmek için öğrencilerle birlikte çalışmak:

– Bu denklemlerden hangisinin iki değişkenli doğrusal denklem olduğunu belirleyin a) 6x 2 = 36; b) 2x – 5y = 9: c) 7x + 3y 3; d) 1/2x + 1/3y = 6, vb. x: 5 – y: 4 = 3 denkleminde sorun çıkabilir (bölme işareti kesir olarak yazılmalıdır). Denklemlerin denkliğinin hangi özelliklerinin uygulanması gerekir? (Öğrencilerin cevapları) Katsayı değerlerini belirleyin A, V Ve İle.

– İki değişkenli doğrusal denklemlerin de tüm denklemler gibi çözülmesi gerekir. İki değişkenli doğrusal denklemlerin çözümü nedir? (Çocuklar bir tanım verir).

Örnek: Denklemin çözümlerini bulun: a) x – y = 12, cevapları (x; y) veya x = ... biçiminde yazın; y = .... Denklemin kaç çözümü var?

Örnekler: Aşağıdaki denklemlerin çözümlerini bulun a) 2x + y = 7; b) 5x – y = 4. Bu denklemlerin çözümlerini nasıl buldunuz? (Aldı).

– Bir sayı çiftinin, iki değişkenli bir doğrusal denklemin çözümü olup olmadığını nasıl anlarsınız?

3) Ders kitabıyla çalışmak.

– Ders kitabında bu dersin konusunun ana fikrinin vurgulandığı yerleri bulun

a) Görevlerin sözlü olarak yerine getirilmesi: 1092 sayılı, 1094 sayılı.

b) 1096 numaralı (zayıf öğrenciler için), 1097 numaralı (güçlü öğrenciler için) örnek çözme.

c) Denklemlerin denklik özelliklerini tekrarlayın.

Egzersiz yapmak: Denklemlerin eşdeğerlik özelliklerini kullanarak, Y değişkenini X değişkeni aracılığıyla 5x + 2y = 12 denkleminde ifade edin. (“Bağımsız olarak çözmek için bir dakika”, ardından tahtada çözüme genel bir bakış ve ardından bir açıklama).

d) 1099 sayılı örneğin uygulanması (öğrencilerden biri tahtadaki görevi tamamlar).

Tarihsel referans

1. Arkadaşlar, bugün derste karşılaştığımız denklemlere, yaklaşık 3,5 bin yıl önce yaşamış antik Yunan bilim adamı ve matematikçi Diophantus'un adını taşıyan, iki değişkenli Diophantine doğrusal denklemleri adı verilmektedir. Eski matematikçiler önce problemler oluşturdular, sonra onları çözmeye çalıştılar. Böylece aşina olduğumuz ve çözmeyi öğrendiğimiz birçok problem derlendi.

2. Ayrıca bu denklemlere belirsiz denklemler denir. Birçok matematikçi bu tür denklemlerin çözümü üzerinde çalıştı. Bunlardan biri Fransız matematikçi Pierre Fermat'tır. Belirsiz denklemlerin çözümü teorisini inceledi.

V. Ders özeti

1) Derste işlenen konunun özetlenmesi. Dersin başında öğrencilere sorulan tüm soruların yanıtları:

– Hangi denklemlere iki değişkenli doğrusal denir?
– İki değişkenli bir doğrusal denklemin çözümüne ne denir?
– Bu karar nasıl kayıt altına alınıyor?
– Hangi denklemlere eşdeğer denir?
– Denklemlerin denkliğinin özellikleri nelerdir?
– Derste hangi problemleri çözdük, hangi soruları cevapladık?

2) Bağımsız çalışma yapmak.

Zayıflar için:

– –1.1x + 3.6y = –34 denkleminde a, b ve c değişkenlerinin değerlerini bulunuz?
– x – y = 35 denkleminin en az bir çözümünü buldunuz mu?
– (3; 2) sayı çifti, iki değişkeni 2x – y = 4 olan belirli bir doğrusal denklemin çözümü mü?

Güçlüler için:

– Diophantus problemi için iki değişkenli doğrusal bir denklem yazınız: Evin bahçesinde sülünler ve tavşanlar dolaşıyor. Tüm bacakların sayısı 26 olduğu ortaya çıktı.
– y değişkenini 3x – 5y = 8 denkleminde x cinsinden ifade edin.

VI. Ev ödevi mesajı

Ders kitabındaki tüm görevleri görüntüleyin, her görevin hızlı bir analizini yapın, bir görev seçin.

Zayıf öğrenciler için: No. 1093, No. 1095b).
Güçlüler için: 1) Sayı 1101, Sayı 1104 (a). 2) Diophantus problemini çözün, bu denklemin tüm doğal çözümlerini bulun.

Ayrıca öğrencilerin talebi üzerine - No. 1105.

Sonuç yerine: 40 yılı aşkın süredir matematik öğretmeniyim. Açık bir dersin her zaman en iyi ders olmadığını da belirtmek isterim. Bazen sıradan derslerin öğretmene daha fazla neşe ve tatmin getirdiği sıklıkla görülür. Ve sonra pişmanlıkla kimsenin bu dersi - öğretmenin ve öğrencilerin yaratılışını - görmediğini düşünüyorsunuz.

Ders tek bir organizmadır, tek bir bütündür; hem öğrenciler hem de öğretmenler için kişisel ve ahlaki eğitim deneyimi derste kazanılır. 45 dakikalık bir ders hem çok hem de çok az. Çok - çünkü bu süre zarfında öğrencilerinizle yüzyılların derinliklerine "bakabilir" ve oradan "geri dönerek" birçok yeni, ilginç şey öğrenebilir ve yine de yeni materyalleri incelemek için zamanınız olabilir.

Her öğrenciye matematiğin insanın entelektüel gelişiminin temeli olduğu anlayışı kazandırılmalıdır. Ve bunun temeli mantıksal düşünmenin gelişmesidir. Bu nedenle, her dersten önce kendim ve öğrencilerim için bir hedef belirledim: Öğrencilere tanımlarla başarılı bir şekilde çalışmayı, bilinmeyeni bilinenden, kanıtlanmış olanı kanıtlanmamış olandan ustaca ayırmayı, analiz etmeyi, karşılaştırmayı, sınıflandırmayı, soru sormayı ve ustaca çözmeyi öğrenmeyi öğretmek. onlara. Analojiler kullanın, ancak kendi başınıza çıkamıyorsanız, yanınızda sadece bir öğretmen değil, aynı zamanda ana yardımcınız olan bir kitap da vardır.

Elbette açık ders öğretmenin yaratıcı çalışmasının bir sonucudur. Ve bu derste hazır bulunan öğretmenlerin asıl şeye dikkat etmesi gerekir: çalışma sistemi, yenilik, fikir. Burada öğretmenin derste hangi öğretim metodolojisini kullandığının özellikle önemli olmadığını düşünüyorum: eski, modern veya yeni yenilikçi teknolojiler, asıl önemli olan kullanımının öğretmen ve öğrenciler için uygun ve etkili olmasıdır.

Hayatımda okulum, çocuklarım, derslerim ve böyle nazik meslektaşlarım olduğu için çok mutluyum. Hepinize teşekkür ederim!

İki değişkenli bir doğrusal denklemin genel formu ax + by + c = 0'dır. İçinde a, b ve c katsayılardır - bazı sayılar; ve x ve y değişkenlerdir; bulunması gereken bilinmeyen sayılardır.

İki değişkenli bir doğrusal denklemin çözümü bir x ve y sayısı çiftidir; bunun için ax + x + c = 0 gerçek bir eşitliktir.

İki değişkenli belirli bir doğrusal denklemin (örneğin, 3x + 2y – 1 = 0) bir çözüm kümesi, yani denklemin doğru olduğu bir sayı çiftleri kümesi vardır. İki değişkenli bir doğrusal denklem, koordinat düzleminde düz bir çizgi olan y = kx + m formundaki doğrusal bir fonksiyona dönüştürülür. Bu doğru üzerinde yer alan tüm noktaların koordinatları, iki değişkenli bir doğrusal denklemin çözümleridir.

ax + by + c = 0 şeklinde iki doğrusal denklem verilirse ve her ikisinin de çözümü olacak x ve y değerlerinin bulunması gerekiyorsa, o zaman şunu söylememiz gerekir: denklem sistemini çöz. Bir denklem sistemi ortak bir küme parantezinin altına yazılır. Örnek:

Karşılık gelen doğrusal fonksiyonların grafikleri olan doğrular kesişmiyorsa (yani birbirine paralel değilse), bir denklem sisteminin çözümü olamaz. Çözümün olmadığı sonucuna varmak için iki değişkenli her iki doğrusal denklemi y = kx + m formuna dönüştürmek yeterlidir. Eğer k her iki denklemde de aynı sayı ise sistemin çözümü yoktur.

Bir denklem sisteminin iki özdeş denklemden oluştuğu ortaya çıkarsa (ki bu hemen belli olmayabilir, ancak dönüşümlerden sonra), o zaman sonsuz sayıda çözümü vardır. Bu durumda belirsizlikten bahsediyoruz.

Diğer tüm durumlarda sistemin tek bir çözümü vardır. Bu sonuç, paralel olmayan herhangi iki doğrunun yalnızca bir noktada kesişebileceği gerçeğinden çıkarılabilir. Hem birinci çizgide hem de ikincide yer alacak olan bu kesişme noktasıdır, yani hem birinci denklemin hem de ikincinin çözümü olacaktır. Bu nedenle bir denklem sisteminin çözümüdür. Ancak x ve y değerlerine (genellikle problemin koşullarına göre) belirli kısıtlamaların getirildiği durumları şart koşmak gerekir. Örneğin x > 0, y > 0. Bu durumda denklem sisteminin bir çözümü olsa da, koşulu sağlamasa bile, verilen koşullar altında denklem sisteminin çözümü olmadığı sonucuna varılır. .

Bir denklem sistemini çözmenin üç yolu vardır:

Seçim yöntemiyle. Çoğu zaman bunu yapmak çok zordur.
Grafik yöntemi. Koordinat düzleminde iki düz çizgi (karşılık gelen denklemlerin fonksiyonlarının grafikleri) çizildiğinde ve bunların kesişme noktası bulunduğunda. Kesişme noktasının koordinatları kesirli sayılar ise bu yöntem doğru sonuçlar vermeyebilir.
Cebirsel yöntemler. Çok yönlü ve güvenilirdirler.

Talimatlar

İki doğrusal denklem sistemi verildiğinde, bunu aşağıdaki şekilde çözün. Değişkenlerin önündeki katsayıların daha küçük olduğu denklemlerden birini seçin ve değişkenlerden birini, örneğin x'i ifade edin. Daha sonra y'yi içeren bu değeri ikinci denklemde yerine koyun. Ortaya çıkan denklemde yalnızca bir y değişkeni olacak, y olan tüm parçaları sola, serbest olanları sağa taşıyın. Y'yi bulun ve x'i bulmak için orijinal denklemlerden herhangi birinin yerine koyun.

İki denklemli bir sistemi çözmenin başka bir yolu var. Denklemlerden birini bir sayıyla çarpın, böylece x gibi değişkenlerden birinin katsayısı her iki denklemde de aynı olur. Daha sonra denklemlerden birini diğerinden çıkarın (eğer sağ taraf 0 değilse aynı şekilde sağ tarafları da çıkarmayı unutmayın). X değişkeninin ortadan kaybolduğunu ve yalnızca bir y değişkeninin kaldığını göreceksiniz. Ortaya çıkan denklemi çözün ve y'nin bulunan değerini orijinal eşitliklerden herhangi birinin yerine koyun. x'i bulun.

İki doğrusal denklem sistemini çözmenin üçüncü yolu grafikseldir. Bir koordinat sistemi çiziniz ve denklemleri sisteminizde verilen iki doğrunun grafiğini çiziniz. Bunu yapmak için, herhangi iki x değerini denklemde değiştirin ve karşılık gelen y'yi bulun - bunlar, çizgiye ait noktaların koordinatları olacaktır. Koordinat eksenleriyle kesişimi bulmanın en uygun yolu, x=0 ve y=0 değerlerini değiştirmektir. Bu iki doğrunun kesiştiği noktanın koordinatları görevler olacaktır.

Sorun koşullarında yalnızca bir doğrusal denklem varsa, o zaman size çözüm bulabileceğiniz ek koşullar verilmiştir. Bu koşulları bulmak için sorunu dikkatlice okuyun. X ve y değişkenleri mesafeyi, hızı ve ağırlığı gösteriyorsa, x≥0 ve y≥0 limitini ayarlamaktan çekinmeyin. X veya y'nin elma, ağaç vb. sayısını gizlemesi oldukça olasıdır. – o zaman değerler yalnızca tamsayı olabilir. Eğer x oğlunun yaşı ise babasından büyük olamayacağı açıktır, dolayısıyla bunu problemin koşullarında belirtin.

Doğrusal denkleme karşılık gelen bir çizgi grafiği oluşturun. Grafiğe bakın, tüm koşulları karşılayan yalnızca birkaç çözüm olabilir; örneğin tam sayılar ve pozitif sayılar. Bunlar denkleminizin çözümleri olacak.

Kaynaklar:

tek değişkenli denklem nasıl çözülür

Matematiğin temel problemlerinden biri, çok bilinmeyenli denklem sistemlerini çözmektir. Bu çok pratik bir problemdir: çok sayıda bilinmeyen parametre vardır, bunlara çeşitli koşullar uygulanır ve bunların en uygun kombinasyonunu bulmak gerekir. Bu tür görevler ekonomide, inşaatta, karmaşık mekanik sistemlerin tasarımında ve genel olarak malzeme ve insan kaynakları maliyetlerinin optimizasyonunun gerekli olduğu her yerde yaygındır. Bu bağlamda şu soru ortaya çıkıyor: Bu tür sistemler nasıl çözülür?

Talimatlar

Matematik bize bu tür sistemleri çözmenin iki yolunu sunar: grafiksel ve analitik. Bu yöntemler eşdeğerdir ve herhangi birinin daha iyi veya daha kötü olduğu söylenemez. Her durumda, bir çözümü optimize ederken hangi yöntemin daha basit bir çözüm sağladığını seçmeniz gerekir. Ancak bazı tipik durumlar da vardır. Bu nedenle, bir düzlem denklem sisteminin, yani iki grafiğin y=ax+b biçiminde olması durumunda grafiksel olarak çözülmesi daha kolaydır. Her şey çok basit bir şekilde yapılır: iki düz çizgi oluşturulur: doğrusal fonksiyonların grafikleri, ardından bunların kesişme noktaları bulunur. Bu noktanın koordinatları (apsis ve ordinat) bu denklemin çözümü olacaktır. Ayrıca iki çizginin paralel olabileceğini unutmayın. O zaman denklem sisteminin çözümü yoktur ve fonksiyonlara doğrusal bağımlı denir.

Tam tersi bir durum da yaşanabilir. İki doğrusal bağımsız denklem verildiğinde üçüncü bir bilinmeyen bulmamız gerekirse, sistem yetersiz belirlenecek ve sonsuz sayıda çözüme sahip olacaktır. Lineer cebir teorisinde, bir sistemin tek bir çözüme sahip olması ancak ve ancak denklem sayısının bilinmeyenlerin sayısıyla çakışması durumunda kanıtlanmıştır.

DERS ÖZETİ

Sınıf: 7

UMK: Cebir 7. sınıf: ders kitabı. genel eğitim için kuruluşlar / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk ve diğerleri]; tarafından düzenlendi S.A. Telyakovski. – 2. baskı. – M.: Eğitim, 2014

Ders: İki değişkenli doğrusal denklemler

Hedefler: Öğrencilere iki değişkenli doğrusal denklem kavramlarını ve çözümünü tanıtmak, denklemden nasıl ifade edileceğini öğretmekX başından sonuna kadaren veyaen başından sonuna kadarX .

UUD oluşturuldu:

Bilişsel: Hipotezleri ileri sürmek ve doğrulamak, bunları test etmenin yollarını önermek

Düzenleyici: kişinin eylemlerinin yöntemini ve sonucunu belirli bir standartla karşılaştırmak, standarttan sapmaları ve farklılıkları tespit etmek; bir plan ve eylem dizisi hazırlayın.

İletişimsel: çalışma ilişkileri kurmak; etkili bir şekilde işbirliği yapın ve verimli işbirliğini teşvik edin.

Kişisel: Fkişinin faaliyetlerinin analizini organize etme becerilerini geliştirmek

Teçhizat:bilgisayar, multimedya projektörü, ekran

Dersler sırasında:

BEN Zamanı organize etmek

Büyükbaba Eşittir masalını dinleyin ve bugün ne hakkında konuşacağımızı tahmin edin

Masal "Büyükbaba-Eşit"

Ravnyalo lakaplı bir büyükbaba ormanın kenarındaki bir kulübede yaşıyordu. Sayılarla şakalaşmayı severdi. Büyükbaba her iki tarafındaki sayıları alıp işaretlerle birleştirecek ve en hızlı olanları parantez içine koyacak, ancak bir parçanın diğerine eşit olduğundan emin olacak. Ve sonra "X" maskesinin altına bir sayı saklayacak ve torunu küçük Ravnyalka'dan onu bulmasını isteyecek. Ravnyalka küçük olmasına rağmen işini biliyor: "X" dışındaki tüm sayıları hızla diğer tarafa taşıyacak ve işaretlerini tersine değiştirmeyi unutmayacak. Ve sayılar ona itaat ediyor, emirlerine göre tüm eylemleri hızla gerçekleştiriyor ve "X" biliniyor. Büyükbaba, torununun her şeyi ne kadar akıllıca yaptığına bakar ve sevinir: onun için iyi bir yedek büyüyor.

Peki bu hikaye neyle ilgili?(denklemler hakkında)

II . Doğrusal denklemler hakkında bildiğimiz her şeyi hatırlayalım ve bildiğimiz malzeme ile yeni malzeme arasında bir paralellik kurmaya çalışalım.

Ne tür bir denklem biliyoruz?(tek değişkenli doğrusal denklem)

Tek değişkenli doğrusal denklemin tanımını hatırlayalım.

Tek değişkenli doğrusal denklemin kökü nedir?

Bir doğrusal denklemin tüm özelliklerini tek değişkenli olarak formüle edelim.

Tablonun 1 kısmı doldurulmuştur

ax = b, burada x bir değişkendir, a, b sayılardır.

Örnek: 3x = 6

Denklemin doğru olduğu x değeri

1) terimleri denklemin bir kısmından diğerine aktarmak, işaretlerini tersine değiştirmek.

2) Denklemin her iki tarafını da sıfıra eşit olmayan aynı sayıyla çarpın veya bölün.

İki değişkenli doğrusal denklem.

ax + vy = c, burada x, y değişkenler, a, b.c sayılardır.

Örnek:

x – y = 5

x + y = 56

2x + 6y =68

Denklemi doğrulayan x, y değerleri.

x=8; y=3 (8;3)

x=60; y = - 4 (60;-4)

Özellikler 1 ve 2 doğrudur.

3) eşdeğer denklemler:

x-y=5 ve y=x-5

(8;3) (8;3)

Tablonun ilk bölümünü benzetme temelinde doldurduktan sonra tablonun ikinci satırını doldurmaya başlıyoruz, böylece yeni materyaller öğreniyoruz.

III . Konumuza dönelim:iki değişkenli doğrusal denklem . Konunun başlığı, örneğin y gibi yeni bir değişken tanıtmanız gerektiğini gösteriyor.

Biri diğerinden 5 büyük iki x ve y sayısı vardır. Aralarındaki ilişki nasıl yazılır? (x – y = 5) bu iki değişkenli doğrusal bir denklemdir. Tek değişkenli bir doğrusal denklemin tanımına benzeterek iki değişkenli bir doğrusal denklemin tanımını formüle edelim. (İki değişkenli bir doğrusal denklem şu şekilde bir denklemdir:balta + ile = C , Neredea,b VeC - bazı sayılar veX Vesen -değişkenler).

Denklem X – sen= 5 ile x = 8, y = 3 doğru eşitliğe dönüşüyor 8 – 3 = 5. x = 8, y = 3 değişkenlerinin değer çiftinin bu denklemin çözümü olduğunu söylüyorlar.

İki değişkenli bir denklemin çözüm tanımını formüle edin (İki değişkenli bir denklemin çözümü, bu denklemi gerçek bir eşitliğe dönüştüren değişkenlerin bir çift değeridir)

Değişken değer çiftleri bazen daha kısa yazılır: (8;3). Böyle bir gösterimde ilk sıraya x değeri, ikinci sıraya y değeri yazılır.

Aynı çözümlere sahip (veya çözümü olmayan) iki değişkenli denklemlere eşdeğer denir.

İki değişkenli denklemler, tek değişkenli denklemlerle aynı özelliklere sahiptir:

Bir denklemdeki herhangi bir terimi bir kısımdan diğerine hareket ettirirseniz, işaretini değiştirirseniz, verilene eşdeğer bir denklem elde edersiniz.

Denklemin her iki tarafı da aynı sayıyla çarpılır veya bölünürse (sıfıra eşit değilse), verilen sayıya eşdeğer bir denklem elde edilir.

Örnek 1. 10x + 5y = 15 denklemini düşünün. Denklemlerin özelliklerini kullanarak bir değişkeni diğerine göre ifade ederiz.

Bunu yapmak için önce işaretini değiştirerek sol taraftan sağa 10x hareket edin. 5y = 15 - 10x eşdeğer denklemini elde ederiz.

Bu denklemin her bir kısmını 5 sayısına bölerek eşdeğer denklemi elde ederiz.

y = 3 - 2x. Böylece bir değişkeni diğerine göre ifade ettik. Bu eşitliği kullanarak her x değeri için y değerini hesaplayabiliriz.

Eğer x = 2 ise y = 3 - 2 2 = -1 olur.

Eğer x = -2 ise y = 3 - 2· (-2) = 7. (2; -1), (-2; 7) sayı çiftleri bu denklemin çözümleridir. Dolayısıyla bu denklemin sonsuz sayıda çözümü vardır.

Tarihten. Doğal sayılarda denklem çözme sorunu, ünlü Yunan matematikçi Diophantus'un (III. Yüzyıl) eserlerinde ayrıntılı olarak ele alınmıştır. "Aritmetik" adlı eseri, doğal sayılarla çok çeşitli denklemlere ustaca çözümler içeriyor. Bu bakımdan doğal sayılarda veya tamsayılarda çözüm gerektiren çok değişkenli denklemlere Diophantine denklemleri adı verilir.

Örnek 2. Un 3 kg ve 2 kg’lık çuvallarda paketlenmektedir. 20 kg un elde etmek için her türden kaç torba almalısınız?

Diyelim ki x adet 3 kg'lık torba ve y adet 2 kg'lık torba almamız gerekiyor. O zaman 3x + 2y = 20. Bu denklemi sağlayan x ve y değişkenlerinin tüm doğal değer çiftlerini bulmak gerekiyor. Şunu elde ederiz:

2y = 20 - 3x

y =

Bu eşitliğe x yerine sırayla tüm 1,2,3 vb. sayıları koyarak, hangi x değerleri için, y değerlerinin doğal sayılar olduğunu buluruz.

Şunu elde ederiz: (2;7), (4;4), (6;1). Bu denklemi sağlayan başka bir çift yoktur. Bu, sırasıyla 2 ve 7 veya 4 ve 4 veya 6 ve 1 paketlerini almanız gerektiği anlamına gelir.

IV . 1025, No. 1027 (a) numaralı ders kitabından çalışma

Sınıfta testlerle bağımsız çalışma.

1. İki değişkenli bir doğrusal denklem yazın.

a) 3x + 6y = 5 c) xy = 11 b) x – 2y = 5

2. Bir sayı çifti bir denklemin çözümü müdür?

2x + y = -5 (-4;3), (-1;-3), (0;5).

3. Doğrusal denklemden ifade edin

4x – 3y = 12 a) x'ten y'ye b) y'den x'e

4. Denklemin üç çözümünü bulun.

x + y = 27

V . Yani özetlemek gerekirse:

İki değişkenli doğrusal bir denklem tanımlayın.

İki değişkenli bir doğrusal denklemin çözümüne (köküne) ne denir?

İki değişkenli bir doğrusal denklemin özelliklerini belirtin.

Derecelendirme.

Ödev: paragraf 40, No. 1028, No. 1032