C olmadan ikinci dereceden bir denklemin kökleri nasıl bulunur? İkinci dereceden denklemler - çözümler, özellikler ve formüllerle örnekler


Konuyu incelemeye devam ediyoruz denklemlerin çözümü". Doğrusal denklemlerle zaten tanıştık ve şimdi de tanışacağız. ikinci dereceden denklemler.

Öncelikle ikinci dereceden denklemin ne olduğunu, genel şekliyle nasıl yazıldığını tartışacağız ve ilgili tanımları vereceğiz. Daha sonra örnekler kullanarak eksik ikinci dereceden denklemlerin nasıl çözüldüğünü detaylı olarak analiz edeceğiz. Daha sonra tam denklemleri çözmeye geçelim, köklerin formülünü alalım, ikinci dereceden bir denklemin diskriminantını tanıyalım ve tipik örneklerin çözümlerini ele alalım. Son olarak kökler ve katsayılar arasındaki bağlantıların izini sürüyoruz.

Sayfada gezinme.

İkinci dereceden denklem nedir? Türleri

Öncelikle ikinci dereceden denklemin ne olduğunu açıkça anlamanız gerekir. Bu nedenle ikinci dereceden denklemlerden bahsetmeye ikinci dereceden bir denklemin tanımı ve onunla ilgili tanımlarla başlamak mantıklıdır. Bundan sonra, ikinci dereceden denklemlerin ana türlerini göz önünde bulundurabilirsiniz: azaltılmış ve azaltılmamış, ayrıca tam ve eksik denklemler.

İkinci dereceden denklemlerin tanımı ve örnekleri

Tanım.

İkinci dereceden denklem formun bir denklemidir a x 2 +b x+c=0 burada x bir değişkendir, a, b ve c bazı sayılardır ve a sıfırdan farklıdır.

Hemen ikinci dereceden denklemlere genellikle ikinci dereceden denklemler denildiğini söyleyelim. Bunun nedeni ikinci dereceden denklemin cebirsel denklem ikinci derece.

Sesli tanım ikinci dereceden denklem örnekleri vermemizi sağlar. Yani 2 x 2 +6 x+1=0, 0,2 x 2 +2,5 x+0,03=0, vb. ikinci dereceden denklemlerdir.

Tanım.

Sayılar a, b ve c denir ikinci dereceden denklemin katsayıları a x 2 + b x + c \u003d 0 ve a katsayısına birinci veya kıdemli denir veya x 2'deki katsayı, b ikinci katsayı veya x'teki katsayıdır ve c serbest bir üyedir.

Örneğin, 5 x 2 −2 x−3=0 formundaki ikinci dereceden bir denklemi ele alalım, burada baş katsayı 5, ikinci katsayı -2 ve serbest terim -3'tür. Az önce verilen örnekte olduğu gibi, b ve/veya c katsayıları negatif olduğunda, ikinci dereceden denklemin 5 x 2 +(− değil, 5 x 2 −2 x−3=0 şeklindeki kısa formunun kullanıldığına dikkat edin. 2 )x+(−3)=0 .

A ve / veya b katsayıları 1 veya −1'e eşit olduğunda, ikinci dereceden denklemin notasyonunda genellikle açıkça mevcut olmadıklarını belirtmekte fayda var; bu, böyle bir gösterimin özelliklerinden kaynaklanmaktadır. Örneğin ikinci dereceden y 2 −y+3=0 denkleminde baş katsayı birdir ve y'deki katsayı -1'dir.

İndirgenmiş ve indirgenmemiş ikinci dereceden denklemler

Baş katsayının değerine bağlı olarak indirgenmiş ve indirgenmemiş ikinci dereceden denklemler ayırt edilir. İlgili tanımları verelim.

Tanım.

Baş katsayısının 1 olduğu ikinci dereceden denklem denir indirgenmiş ikinci dereceden denklem. Aksi takdirde, ikinci dereceden denklem azaltılmamış.

Bu tanıma göre, ikinci dereceden denklemler x 2 −3 x+1=0 , x 2 −x−2/3=0, vb. - azaltılmış, her birinde ilk katsayı bire eşittir. Ve 5 x 2 −x−1=0 vb. - indirgenmemiş ikinci dereceden denklemler, baş katsayıları 1'den farklıdır.

İndirgenmemiş herhangi bir ikinci dereceden denklemden, her iki parçasını da baş katsayıya bölerek azaltılmış olana gidebilirsiniz. Bu eylem eşdeğer bir dönüşümdür, yani bu şekilde elde edilen indirgenmiş ikinci dereceden denklem, orijinal indirgenmemiş ikinci dereceden denklemle aynı köklere sahiptir veya onun gibi kökleri yoktur.

İndirgenmemiş ikinci dereceden bir denklemden azaltılmış bir denkleme geçişin nasıl gerçekleştirildiğine bir örnek verelim.

Örnek.

3 x 2 +12 x−7=0 denkleminden karşılık gelen indirgenmiş ikinci dereceden denkleme gidin.

Çözüm.

Orijinal denklemin her iki kısmını da baş katsayı 3'e bölmemiz yeterli, sıfır değil, bu yüzden bu işlemi gerçekleştirebiliriz. Elimizde (3 x 2 +12 x−7):3=0:3 var, bu da (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0 ile aynıdır ve bu böyle devam eder (3 :3) x 2 +(12:3) x−7:3=0 , dolayısıyla . Böylece orijinaline eşdeğer olan indirgenmiş ikinci dereceden denklemi elde ettik.

Cevap:

Tam ve eksik ikinci dereceden denklemler

İkinci dereceden bir denklemin tanımında a≠0 koşulu vardır. a x 2 +b x+c=0 denkleminin tam kare olması için bu koşul gereklidir, çünkü a=0 ile aslında b x+c=0 biçiminde doğrusal bir denklem haline gelir.

B ve c katsayılarına gelince, bunlar hem ayrı ayrı hem de birlikte sıfıra eşit olabilir. Bu durumlarda ikinci dereceden denklem eksik olarak adlandırılır.

Tanım.

İkinci dereceden denklem a x 2 +b x+c=0 denir tamamlanmamış, eğer b , c katsayılarından en az biri sıfıra eşitse.

Sırasıyla

Tanım.

Tam ikinci dereceden denklem tüm katsayıların sıfırdan farklı olduğu bir denklemdir.

Bu isimler tesadüfen verilmemiştir. Bu, aşağıdaki tartışmadan açıkça anlaşılacaktır.

b katsayısı sıfıra eşitse ikinci dereceden denklem a x 2 +0 x+c=0 formunu alır ve a x 2 +c=0 denklemine eşdeğerdir. Eğer c=0 ise, yani ikinci dereceden denklem a x 2 +b x+0=0 biçimindeyse, o zaman a x 2 +b x=0 olarak yeniden yazılabilir. Ve b=0 ve c=0 ile ikinci dereceden a·x 2 =0 denklemini elde ederiz. Ortaya çıkan denklemler, sol taraflarında x değişkenli bir terim veya serbest bir terim veya her ikisini de içermemesi nedeniyle tam ikinci dereceden denklemden farklıdır. Dolayısıyla onların adı - tamamlanmamış ikinci dereceden denklemler.

Dolayısıyla x 2 +x+1=0 ve −2 x 2 −5 x+0,2=0 denklemleri tam ikinci dereceden denklem örnekleridir ve x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3 =0 , −x 2 −5 x=0 tamamlanmamış ikinci dereceden denklemlerdir.

Tamamlanmamış ikinci dereceden denklemleri çözme

Önceki paragrafta yer alan bilgilerden şu sonuç çıkmaktadır: üç tür tamamlanmamış ikinci dereceden denklem:

  • a x 2 =0 , b=0 ve c=0 katsayıları buna karşılık gelir;
  • a x 2 +c=0 olduğunda b=0 ;
  • ve c=0 olduğunda a x 2 +b x=0.

Bu türlerin her birinin tamamlanmamış ikinci dereceden denklemlerinin nasıl çözüldüğünü analiz edelim.

a x 2 \u003d 0

b ve c katsayılarının sıfıra eşit olduğu, yani a x 2 =0 formundaki denklemlerle tamamlanmamış ikinci dereceden denklemleri çözerek başlayalım. a·x 2 =0 denklemi, orijinalinden her iki parçasının da sıfır olmayan bir a sayısına bölünmesiyle elde edilen x 2 =0 denklemine eşdeğerdir. Açıkçası, x 2 \u003d 0 denkleminin kökü sıfırdır, çünkü 0 2 \u003d 0'dır. Bu denklemin başka kökleri yoktur, bu da aslında sıfırdan farklı herhangi bir p sayısı için p 2 >0 eşitsizliğinin meydana geldiğini açıklar, bu da p≠0 için p 2 =0 eşitliğine asla ulaşılamayacağı anlamına gelir.

Dolayısıyla, tamamlanmamış ikinci dereceden denklem a x 2 \u003d 0'ın tek bir kökü x \u003d 0'dır.

Örnek olarak, ikinci dereceden tamamlanmamış bir −4·x 2 =0 denkleminin çözümünü veriyoruz. X 2 \u003d 0 denklemine eşdeğerdir, tek kökü x \u003d 0'dır, bu nedenle orijinal denklemin tek bir sıfır kökü vardır.

Bu durumda kısa bir çözüm şu şekilde verilebilir:
−4 x 2 \u003d 0,
x 2 \u003d 0,
x=0 .

a x 2 +c=0

Şimdi b katsayısının sıfıra eşit olduğu ve c≠0 olan, yani a x 2 +c=0 formundaki denklemlerin tamamlanmamış ikinci dereceden denklemlerin nasıl çözüldüğünü düşünün. Bir terimin denklemin bir tarafından diğer tarafına zıt işaretle aktarılmasının ve denklemin her iki tarafının sıfırdan farklı bir sayıya bölünmesinin eşdeğer bir denklem verdiğini biliyoruz. Bu nedenle, tamamlanmamış ikinci dereceden denklem a x 2 +c=0 için aşağıdaki eşdeğer dönüşümler gerçekleştirilebilir:

  • c'yi sağ tarafa hareket ettirin, bu da a x 2 =−c denklemini verir,
  • ve her iki parçasını da a'ya bölersek elde ederiz.

Ortaya çıkan denklem, kökleri hakkında sonuçlar çıkarmamızı sağlar. a ve c değerlerine bağlı olarak ifadenin değeri negatif (örneğin, a=1 ve c=2 ise o zaman) veya pozitif (örneğin, eğer a=−2 ve c=6 ise) olabilir. , o halde ), sıfıra eşit değildir çünkü c≠0 koşuluna göre. Vakaları ayrı ayrı analiz edeceğiz ve .

Eğer ise denklemin kökleri yoktur. Bu ifade, herhangi bir sayının karesinin negatif olmayan bir sayı olduğu gerçeğinden kaynaklanmaktadır. Bundan, herhangi bir p sayısı için eşitliğin doğru olamayacağı sonucu çıkar.

Eğer öyleyse denklemin kökleriyle ilgili durum farklıdır. Bu durumda hatırlarsak denklemin kökü hemen belli olur, çünkü sayıdır. Aslında sayının aynı zamanda denklemin kökü olduğunu tahmin etmek kolaydır. Bu denklemin örneğin çelişkiyle gösterilebilecek başka kökleri yoktur. Hadi yapalım.

Denklemin az önce dile getirilen köklerini x 1 ve −x 1 olarak gösterelim. Denklemin belirtilen x 1 ve −x 1 köklerinden farklı başka bir x 2 köküne sahip olduğunu varsayalım. Denklemin köklerinin x yerine değiştirilmesinin denklemi gerçek sayısal eşitliğe dönüştürdüğü bilinmektedir. x 1 ve −x 1 için elimizde ve x 2 için elimizde . Sayısal eşitliklerin özellikleri, gerçek sayısal eşitliklerin terim terim çıkarma işlemini gerçekleştirmemize izin verir, böylece eşitliklerin karşılık gelen kısımlarının çıkarılması x 1 2 − x 2 2 =0 sonucunu verir. Sayılarla yapılan işlemlerin özellikleri, elde edilen eşitliği (x 1 − x 2)·(x 1 + x 2)=0 olarak yeniden yazmamıza olanak tanır. İki sayının çarpımının sıfıra eşit olduğunu ancak ve ancak bunlardan en az birinin sıfıra eşit olması durumunda biliyoruz. Dolayısıyla elde edilen eşitlikten x 1 −x 2 =0 ve/veya x 1 +x 2 =0 (aynı olan) x 2 =x 1 ve/veya x 2 = −x 1 sonucu çıkar. Yani bir çelişkiye geldik, çünkü başlangıçta x 2 denkleminin kökünün x 1 ve −x 1'den farklı olduğunu söylemiştik. Bu, denklemin ve'den başka köklerinin olmadığını kanıtlar.

Bu paragraftaki bilgileri özetleyelim. Tamamlanmamış ikinci dereceden denklem a x 2 +c=0 denkleme eşdeğerdir;

  • kökleri yok ise
  • iki kökü vardır ve if .

a·x 2 +c=0 formundaki tamamlanmamış ikinci dereceden denklemlerin çözümüne ilişkin örnekleri düşünün.

İkinci dereceden denklem 9 x 2 +7=0 ile başlayalım. Serbest terim denklemin sağ tarafına aktarıldığında 9·x 2 =−7 formunu alacaktır. Ortaya çıkan denklemin her iki tarafını da 9'a bölerek şu sonuca ulaşırız: Sağ tarafta negatif bir sayı elde edildiği için bu denklemin kökleri yoktur, dolayısıyla orijinal tamamlanmamış ikinci dereceden denklem 9 x 2 +7=0'ın da kökleri yoktur.

Tamamlanmamış ikinci dereceden bir denklemi daha çözelim: −x 2 +9=0. Dokuzunu sağ tarafa aktarıyoruz: -x 2 \u003d -9. Şimdi her iki parçayı da -1'e bölersek x 2 =9 elde ederiz. Sağ tarafta pozitif bir sayı var ve bundan veya sonucunu çıkarıyoruz. Son cevabı yazdıktan sonra: tamamlanmamış ikinci dereceden denklem −x 2 +9=0'ın iki kökü x=3 veya x=−3'tür.

a x 2 +b x=0

Geriye c=0 için tamamlanmamış ikinci dereceden denklemlerin son tipinin çözümüyle ilgilenmek kalıyor. a x 2 +b x=0 formundaki tamamlanmamış ikinci dereceden denklemleri çözmenize olanak sağlar çarpanlara ayırma yöntemi. Açıkçası, denklemin sol tarafında, ortak x faktörünü parantezlerden çıkarmanın yeterli olduğu bir yerde bulunabiliriz. Bu, orijinal tamamlanmamış ikinci dereceden denklemden x·(a·x+b)=0 formundaki eşdeğer bir denkleme geçmemizi sağlar. Ve bu denklem, x=0 ve a x+b=0 olmak üzere iki denklem kümesine eşdeğerdir; bunlardan sonuncusu doğrusaldır ve kökü x=−b/a'dır.

Dolayısıyla, tamamlanmamış ikinci dereceden a x 2 +b x=0 denkleminin iki kökü x=0 ve x=−b/a'dır.

Materyali pekiştirmek için belirli bir örneğin çözümünü analiz edeceğiz.

Örnek.

Denklemi çözün.

Çözüm.

Parantezden x'i çıkarırsak denklemi veririz. x=0 ve iki denkleme eşdeğerdir. Ortaya çıkan doğrusal denklemi çözüyoruz: ve karışık sayıyı sıradan bir kesire böldükten sonra buluyoruz. Bu nedenle orijinal denklemin kökleri x=0 ve .

Gerekli pratik yapıldıktan sonra bu tür denklemlerin çözümleri kısaca yazılabilir:

Cevap:

x=0 , .

Diskriminant, ikinci dereceden bir denklemin köklerinin formülü

İkinci dereceden denklemleri çözmek için bir kök formül vardır. Haydi yazalım ikinci dereceden denklemin köklerinin formülü: , Nerede D=b 2 −4 a c- Lafta ikinci dereceden bir denklemin diskriminantı. Gösterim aslında bu anlama gelir.

Kök formülün nasıl elde edildiğini ve ikinci dereceden denklemlerin köklerini bulmada nasıl uygulandığını bilmek faydalıdır. Hadi bununla ilgilenelim.

İkinci dereceden bir denklemin kökleri formülünün türetilmesi

İkinci dereceden a·x 2 +b·x+c=0 denklemini çözmemiz gerekiyor. Bazı eşdeğer dönüşümler gerçekleştirelim:

  • Bu denklemin her iki kısmını da sıfır olmayan bir a sayısına bölebiliriz, bunun sonucunda indirgenmiş ikinci dereceden denklemi elde ederiz.
  • Şimdi tam bir kare seç sol tarafında: . Daha sonra denklem şu şekli alacaktır.
  • Bu aşamada son iki terimin sağ tarafa aktarımını ters işaretle gerçekleştirmemiz mümkündür.
  • Ve sağ taraftaki ifadeyi de dönüştürelim: .

Sonuç olarak, orijinal ikinci dereceden denklem a·x 2 +b·x+c=0'ya eşdeğer olan denkleme ulaşırız.

Analiz ettiğimizde önceki paragraflarda benzer formdaki denklemleri çözmüştük. Bu, denklemin köklerine ilişkin aşağıdaki sonuçları çıkarmamızı sağlar:

  • eğer ise denklemin gerçek çözümü yoktur;
  • eğer ise denklem, tek kökünün görülebildiği formdadır;
  • if , Then or , or ile aynıdır, yani denklemin iki kökü vardır.

Dolayısıyla denklemin köklerinin ve dolayısıyla orijinal ikinci dereceden denklemin varlığı veya yokluğu, sağ taraftaki ifadenin işaretine bağlıdır. Buna karşılık, 4 a 2 paydası her zaman pozitif olduğundan, yani b 2 −4 a c ifadesinin işareti olduğundan, bu ifadenin işareti payın işaretiyle belirlenir. Bu ifadeye b 2 −4 a c denir ikinci dereceden bir denklemin diskriminantı ve harfle işaretlendi D. Buradan, diskriminantın özü açıktır - değeri ve işareti ile ikinci dereceden denklemin gerçek köklerinin olup olmadığı ve eğer öyleyse, sayıları nedir - bir veya iki olduğu sonucuna varılır.

Denkleme geri dönüyoruz, onu diskriminantın gösterimini kullanarak yeniden yazıyoruz: . Ve şu sonuca varıyoruz:

  • eğer D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
  • D=0 ise bu denklemin tek kökü vardır;
  • son olarak, eğer D>0 ise, denklemin iki kökü veya vardır, bunlar veya biçiminde yeniden yazılabilir ve kesirleri ortak bir paydaya genişletip indirdikten sonra, elde ederiz.

Böylece, ikinci dereceden denklemin köklerine ilişkin formülleri türettik; bunlar, diskriminant D'nin D=b 2 −4 a c formülüyle hesaplandığı gibi görünüyor.

Onların yardımıyla, pozitif bir ayrımcıyla ikinci dereceden bir denklemin her iki gerçek kökünü de hesaplayabilirsiniz. Diskriminant sıfıra eşit olduğunda, her iki formül de ikinci dereceden denklemin tek çözümüne karşılık gelen aynı kök değerini verir. Ve negatif bir diskriminantla, ikinci dereceden bir denklemin kökleri için formülü kullanmaya çalışırken, negatif bir sayıdan karekökü çıkarmakla karşı karşıya kalırız, bu da bizi okul müfredatının kapsamının dışına çıkarır. Negatif bir diskriminantla, ikinci dereceden denklemin gerçek kökleri yoktur, ancak bir çifti vardır. karmaşık eşlenik elde ettiğimiz aynı kök formülleri kullanılarak bulunabilen kökler.

Kök formülleri kullanarak ikinci dereceden denklemleri çözmek için algoritma

Uygulamada, ikinci dereceden bir denklemi çözerken, değerlerini hesaplamak için hemen kök formülü kullanabilirsiniz. Ancak bu daha çok karmaşık kökleri bulmakla ilgilidir.

Bununla birlikte, bir okul cebir dersinde genellikle karmaşık hakkında değil, ikinci dereceden bir denklemin gerçek kökleri hakkında konuşuruz. Bu durumda, ikinci dereceden denklemin kökleri için formülleri kullanmadan önce ilk olarak diskriminantın bulunması, negatif olmadığından emin olunması (aksi takdirde denklemin gerçek kökleri olmadığı sonucuna varabiliriz) ve bundan sonra tavsiye edilir. köklerin değerlerini hesaplayın.

Yukarıdaki mantık yazmamıza izin veriyor İkinci dereceden bir denklemi çözmek için algoritma. İkinci dereceden denklem a x 2 + b x + c \u003d 0'ı çözmek için ihtiyacınız olan:

  • diskriminant formülünü kullanarak D=b 2 −4 a c değerini hesaplayın;
  • diskriminant negatifse ikinci dereceden denklemin gerçek köklerinin olmadığı sonucuna varır;
  • D=0 ise formülü kullanarak denklemin tek kökünü hesaplayın;
  • Diskriminant pozitifse kök formülünü kullanarak ikinci dereceden bir denklemin iki gerçek kökünü bulun.

Burada sadece diskriminantın sıfıra eşit olması durumunda formülün de kullanılabileceğini, ile aynı değeri vereceğini not ediyoruz.

İkinci dereceden denklemleri çözmek için algoritmayı uygulama örneklerine geçebilirsiniz.

İkinci dereceden denklemleri çözme örnekleri

Pozitif, negatif ve sıfır diskriminantlı ikinci dereceden üç denklemin çözümlerini düşünün. Çözümlerini ele aldıktan sonra, benzetme yoluyla başka herhangi bir ikinci dereceden denklemi çözmek mümkün olacaktır. Hadi başlayalım.

Örnek.

x 2 +2 x−6=0 denkleminin köklerini bulun.

Çözüm.

Bu durumda ikinci dereceden denklemin şu katsayılarına sahibiz: a=1 , b=2 ve c=−6 . Algoritmaya göre, öncelikle diskriminant hesaplamanız gerekir, bunun için belirtilen a, b ve c'yi diskriminant formülüne koyarız, D=b 2 −4 a c=2 2 −4 1 (−6)=4+24=28. 28>0 yani diskriminant sıfırdan büyük olduğundan ikinci dereceden denklemin iki gerçek kökü vardır. Bunları kök formülü ile bulalım, elde ederiz, burada aşağıdaki işlemleri yaparak elde edilen ifadeleri sadeleştirebiliriz. kökün işaretini çarpanlara ayırma ardından fraksiyon azaltımı yapılır:

Cevap:

Bir sonraki tipik örneğe geçelim.

Örnek.

−4 x 2 +28 x−49=0 ikinci dereceden denklemi çözün.

Çözüm.

Diskriminantı bularak başlıyoruz: D=28 2 −4 (−4) (−49)=784−784=0. Dolayısıyla bu ikinci dereceden denklemin tek bir kökü vardır ve bunu şöyle buluruz:

Cevap:

x=3,5 .

Negatif diskriminantlı ikinci dereceden denklemlerin çözümünü dikkate almaya devam ediyor.

Örnek.

5 y 2 +6 y+2=0 denklemini çözün.

Çözüm.

İkinci dereceden denklemin katsayıları şunlardır: a=5 , b=6 ve c=2 . Bu değerleri diskriminant formülünde yerine koyarsak, D=b 2 −4 a c=6 2 −4 5 2=36−40=−4. Diskriminant negatiftir, dolayısıyla bu ikinci dereceden denklemin gerçek kökleri yoktur.

Karmaşık kökleri belirtmeniz gerekiyorsa, ikinci dereceden denklemin kökleri için iyi bilinen formülü kullanırız ve gerçekleştiririz. karmaşık sayılarla işlemler:

Cevap:

gerçek kökler yoktur, karmaşık kökler şunlardır: .

Bir kez daha, ikinci dereceden denklemin diskriminantının negatif olması durumunda, okulun genellikle gerçek köklerin olmadığını ve karmaşık kökler bulamadığını belirten cevabı hemen yazdığını not ediyoruz.

Çift ikinci katsayılar için kök formül

İkinci dereceden bir denklemin kökleri formülü, burada D=b 2 −4 a c, x'te çift katsayılı (veya basitçe 2 n'ye benzeyen bir katsayılı) ikinci dereceden denklemleri çözmenize olanak tanıyan daha kompakt bir formül elde etmenizi sağlar. örneğin veya 14 ln5=2 7 ln5). Onu dışarı çıkaralım.

Diyelim ki a x 2 +2 n x + c=0 formundaki ikinci dereceden bir denklemi çözmemiz gerekiyor. Bildiğimiz formülü kullanarak köklerini bulalım. Bunu yapmak için diskriminantı hesaplıyoruz D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c) ve sonra kök formülü kullanırız:

N 2 −a c ifadesini D 1 olarak belirtin (bazen D "olarak gösterilir). Daha sonra ikinci katsayılı 2 n ile ele alınan ikinci dereceden denklemin kökleri için formül şu şekli alır: , burada D 1 =n 2 -a c .

D=4·D1 veya D1 =D/4 olduğunu görmek kolaydır. Başka bir deyişle D 1 diskriminantın dördüncü kısmıdır. D 1'in işaretinin D'nin işaretiyle aynı olduğu açıktır. Yani D 1 işareti aynı zamanda ikinci dereceden denklemin köklerinin varlığının veya yokluğunun bir göstergesidir.

Yani, ikinci katsayısı 2 n olan ikinci dereceden bir denklemi çözmek için ihtiyacınız olan şey

  • D 1 =n 2 −a·c'yi hesaplayın;
  • Eğer D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
  • D 1 =0 ise aşağıdaki formülü kullanarak denklemin tek kökünü hesaplayın;
  • D 1 >0 ise formülü kullanarak iki gerçek kökü bulun.

Bu paragrafta elde edilen kök formülü kullanarak örneğin çözümünü düşünün.

Örnek.

5 x 2 −6 x−32=0 ikinci dereceden denklemi çözün.

Çözüm.

Bu denklemin ikinci katsayısı 2·(−3) olarak gösterilebilir. Yani, orijinal ikinci dereceden denklemi 5 x 2 +2 (−3) x−32=0, burada a=5, n=−3 ve c=−32 biçiminde yeniden yazabilir ve denklemin dördüncü kısmını hesaplayabilirsiniz. ayrımcı: D 1 =n 2 −a c=(−3) 2 −5 (−32)=9+160=169. Değeri pozitif olduğundan denklemin iki reel kökü vardır. Bunları karşılık gelen kök formülünü kullanarak buluyoruz:

İkinci dereceden bir denklemin kökleri için olağan formülü kullanmanın mümkün olduğunu ancak bu durumda daha fazla hesaplama işi yapılması gerekeceğini unutmayın.

Cevap:

İkinci dereceden denklemlerin formunun basitleştirilmesi

Bazen ikinci dereceden bir denklemin köklerini formüller kullanarak hesaplamaya başlamadan önce şu soruyu sormak zarar vermez: "Bu denklemin biçimini basitleştirmek mümkün mü?" Hesaplamalar açısından 11 x 2 −4 x −6=0 ikinci dereceden denklemini çözmenin 1100 x 2 −400 x−600=0 yerine daha kolay olacağı konusunda hemfikir olun.

Genellikle ikinci dereceden bir denklemin biçiminin basitleştirilmesi, denklemin her iki tarafının bir sayıyla çarpılması veya bölünmesiyle elde edilir. Örneğin önceki paragrafta 1100 x 2 −400 x −600=0 denkleminin her iki tarafını da 100'e bölerek basitleştirmeyi başardık.

Benzer bir dönüşüm, katsayıları olmayan ikinci dereceden denklemlerle gerçekleştirilir. Bu durumda denklemin her iki kısmı da genellikle katsayılarının mutlak değerlerine bölünür. Örneğin ikinci dereceden 12 x 2 −42 x+48=0 denklemini ele alalım. katsayılarının mutlak değerleri: gcd(12, 42, 48)= gcd(gcd(12, 42), 48)= gcd(6, 48)=6 . Orijinal ikinci dereceden denklemin her iki kısmını da 6'ya bölerek eşdeğer ikinci dereceden denklem 2 x 2 −7 x+8=0'a ulaşırız.

İkinci dereceden denklemin her iki bölümünün çarpımı genellikle kesirli katsayılardan kurtulmak için yapılır. Bu durumda çarpma, katsayılarının paydaları üzerinde gerçekleştirilir. Örneğin, ikinci dereceden bir denklemin her iki kısmı da LCM(6, 3, 1)=6 ile çarpılırsa, daha basit bir x 2 +4 x−18=0 biçimi alacaktır.

Bu paragrafın sonunda, neredeyse her zaman ikinci dereceden denklemin baş katsayısındaki eksiden kurtulmak için tüm terimlerin işaretlerini değiştirerek her iki parçayı da -1 ile çarpmaya (veya bölmeye) karşılık geldiğini not ediyoruz. Örneğin, genellikle −2·x 2 −3·x+7=0 ikinci dereceden denklemden 2·x 2 +3·x−7=0 çözümüne gidilir.

İkinci dereceden bir denklemin kökleri ve katsayıları arasındaki ilişki

İkinci dereceden bir denklemin kökleri formülü, bir denklemin köklerini katsayıları cinsinden ifade eder. Kök formülüne dayanarak kökler ve katsayılar arasında başka ilişkiler de elde edebilirsiniz.

Formun Vieta teoreminden en iyi bilinen ve uygulanabilir formüller ve . Özellikle verilen ikinci dereceden denklem için köklerin toplamı ters işaretli ikinci katsayıya eşittir ve köklerin çarpımı serbest terimdir. Örneğin ikinci dereceden 3 x 2 −7 x+22=0 denkleminin formundan, köklerinin toplamının 7/3 ve köklerin çarpımının 22/3 olduğunu hemen söyleyebiliriz.

Önceden yazılmış formülleri kullanarak, ikinci dereceden denklemin kökleri ve katsayıları arasında bir dizi başka ilişki elde edebilirsiniz. Örneğin ikinci dereceden bir denklemin köklerinin karelerinin toplamını katsayıları cinsinden ifade edebilirsiniz: .

Kaynakça.

  • Cebir: ders kitabı 8 hücre için. Genel Eğitim kurumlar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - 16. baskı. - M. : Eğitim, 2008. - 271 s. : hasta. - ISBN 978-5-09-019243-9.
  • Mordkoviç A.G. Cebir. 8. sınıf. Öğleden sonra 2'de Bölüm 1. Eğitim kurumlarının öğrencileri için bir ders kitabı / A. G. Mordkovich. - 11. baskı, silindi. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 s.: hasta. ISBN 978-5-346-01155-2.

Bunun, a, b ve c'nin bilinmeyen x için gerçek katsayılar olduğu ve a ≠ o ve b ve c'nin aynı anda sıfır olacağı ax 2 + in + c \u003d o eşitliğinin özel bir versiyonu olduğu bilinmektedir. veya ayrı ayrı. Örneğin, c = o, v ≠ o veya tam tersi. İkinci dereceden denklemin tanımını neredeyse hatırladık.

İkinci dereceden bir trinomial sıfıra eşittir. Birinci katsayısı a ≠ o, b ve c herhangi bir değeri alabilir. X değişkeninin değeri, yerine koyarken onu doğru sayısal eşitliğe dönüştüreceği zaman olacaktır. Denklemin çözümleri de tam olabilse de gerçek kökler üzerinde duralım.Katsayıların hiçbirinin o, a ≠ o, b ≠ o, c ≠ o'ya eşit olmadığı bir denklem çağırmak gelenekseldir.
Bir örnek çözelim. 2x2 -9x-5 = ah, buluyoruz
D \u003d 81 + 40 \u003d 121,
D pozitif, yani kökler var, x 1 = (9+√121): 4 = 5 ve ikinci x 2 = (9-√121): 4 = -o.5. Kontrol etmek doğru olduklarından emin olmanıza yardımcı olacaktır.

İşte ikinci dereceden denklemin adım adım çözümü

Diskriminant aracılığıyla, sol tarafında ≠ o olan bilinen bir kare trinomialin bulunduğu herhangi bir denklemi çözebilirsiniz. Örneğimizde. 2x 2 -9x-5 \u003d 0 (ax 2 + inç + c \u003d o)

İkinci derecenin eksik denklemlerinin ne olduğunu düşünün

  1. balta 2 + in = o. Serbest terim, x 0'daki c katsayısı, burada ≠ o'da sıfırdır.
    Bu tür tamamlanmamış ikinci dereceden bir denklem nasıl çözülür? Parantez içinde x'i çıkaralım. İki faktörün çarpımının sıfır olduğunu unutmayın.
    x(ax+b) = o, bu x = o veya ax+b = o olduğunda olabilir.
    2.yi çözdüğümüzde x = -v/a elde ederiz.
    Sonuç olarak, x 2 \u003d -b / a hesaplamalarına göre x 1 \u003d 0 köklerimiz var.
  2. Şimdi x'in katsayısı o'dur, ancak c (≠) o'ya eşit değildir.
    x 2 + c \u003d o. C'yi eşitliğin sağ tarafına aktarırız, x 2 \u003d -c elde ederiz. Bu denklemin yalnızca -c pozitif bir sayı (c ‹ o) olduğunda gerçel kökleri vardır.
    x 1 sırasıyla √(-c)'ye eşit olur, x 2 ise -√(-c) olur. Aksi takdirde denklemin hiçbir kökü yoktur.
  3. Son seçenek: b \u003d c \u003d o, yani ax 2 \u003d o. Doğal olarak bu kadar basit bir denklemin tek kökü vardır: x = o.

Özel durumlar

Tamamlanmamış ikinci dereceden bir denklemin nasıl çözüleceğini düşündük ve şimdi her türlü çözümü alacağız.

  • Tam ikinci dereceden denklemde, x'in ikinci katsayısı çift sayıdır.
    k = o,5b olsun. Diskriminant ve kökleri hesaplamak için formüllerimiz var.
    D / 4 \u003d k 2 - ac, kökler şu şekilde hesaplanır: D › o için x 1,2 \u003d (-k ± √ (D / 4)) / a.
    D = o'da x = -k/a.
    D ‹ o için kök yoktur.
  • İndirgenmiş ikinci dereceden denklemler vardır, x kare katsayısı 1 olduğunda genellikle x 2 + px + q \u003d o yazılır. Yukarıdaki formüllerin tümü onlar için geçerlidir, ancak hesaplamalar biraz daha basittir.
    Örnek, x 2 -4x-9 \u003d 0. D: 2 2 +9, D \u003d 13'ü hesaplıyoruz.
    x 1 = 2+√13, x 2 = 2-√13.
  • Ayrıca verilenlere uygulaması da kolay, denklemin köklerinin toplamının -p'ye eşit olduğunu, ikinci katsayının eksi (karşıt işaret anlamına gelir) olduğunu ve aynı köklerin çarpımının olduğunu söylüyor. serbest terim olan q'ya eşit olacaktır. Bu denklemin köklerini sözlü olarak belirlemenin ne kadar kolay olacağını görün. İndirgenmemiş olanlar için (sıfıra eşit olmayan tüm katsayılar için), bu teorem şu şekilde uygulanabilir: x 1 + x 2 toplamı -v / a'ya eşittir, x 1 x 2 çarpımı c / a'ya eşittir .

Serbest terim c ile birinci katsayı a'nın toplamı b katsayısına eşittir. Bu durumda, denklemin en az bir kökü vardır (kanıtlaması kolaydır), birincisi mutlaka -1'e ve varsa ikincisi - c / a'ya eşittir. Tamamlanmamış ikinci dereceden bir denklem nasıl çözülür, kendiniz kontrol edebilirsiniz. Çocuk oyuncağı. Katsayılar kendi aralarında bazı oranlarda olabilir

  • x 2 + x \u003d o, 7x 2 -7 \u003d o.
  • Tüm katsayıların toplamı o'dur.
    Böyle bir denklemin kökleri 1 ve c / a'dır. Örnek, 2x 2 -15x + 13 = o.
    x 1 = 1, x 2 = 13/2.

İkinci dereceden farklı denklemleri çözmenin başka yolları da vardır. Örneğin burada belirli bir polinomdan tam kareyi çıkarmaya yönelik bir yöntem var. Birkaç grafik yolu vardır. Bu tür örneklerle sık sık karşılaştığınızda, tohum gibi “tıklamayı” öğreneceksiniz çünkü tüm yöntemler otomatik olarak aklınıza geliyor.

Bu matematik programıyla şunları yapabilirsiniz: ikinci dereceden denklemi çöz.

Program sadece sorunun cevabını vermekle kalmıyor, aynı zamanda çözüm sürecini de iki şekilde gösteriyor:
- diskriminantın kullanılması
- Vieta teoremini kullanarak (mümkünse).

Üstelik cevap yaklaşık olarak değil tam olarak görüntülenir.
Örneğin, \(81x^2-16x-1=0\) denkleminin yanıtı şu biçimde görüntülenir:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ bunun yerine: \(x_1 = 0,247; \ dörtlü x_2 = -0,05 \)

Bu program lise öğrencileri için testlere ve sınavlara hazırlıkta, Birleşik Devlet Sınavından önce bilgiyi test ederken, ebeveynlerin matematik ve cebirdeki birçok problemin çözümünü kontrol etmeleri için yararlı olabilir. Ya da belki bir öğretmen tutmak ya da yeni ders kitapları satın almak sizin için çok mu pahalı? Yoksa matematik veya cebir ödevinizi mümkün olduğu kadar çabuk bitirmek mi istiyorsunuz? Bu durumda detaylı çözüm sunan programlarımızı da kullanabilirsiniz.

Bu sayede hem kendi eğitimlerinizi ve/veya küçük kardeşlerinizin eğitimlerini yürütebilir, hem de çözülmesi gereken konulardaki eğitim düzeyi arttırılmış olursunuz.

Kare polinom girme kurallarına aşina değilseniz, bunları öğrenmenizi öneririz.

Kare polinom girme kuralları

Herhangi bir Latin harfi değişken görevi görebilir.
Örneğin: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) vb.

Sayılar tam sayı veya kesir olarak girilebilir.
Üstelik kesirli sayılar yalnızca ondalık sayı biçiminde değil aynı zamanda sıradan kesir biçiminde de girilebilir.

Ondalık kesirleri girme kuralları.
Ondalık kesirlerde, tam sayıdan kesirli kısım nokta veya virgülle ayrılabilir.
Örneğin ondalık sayıları şu şekilde girebilirsiniz: 2,5x - 3,5x^2

Sıradan kesirleri girme kuralları.
Yalnızca bir tam sayı bir kesrin pay, payda ve tam sayı kısmı olarak işlev görebilir.

Payda negatif olamaz.

Sayısal bir kesir girerken pay, paydadan bir bölme işaretiyle ayrılır: /
Tamsayı kısmı kesirden bir ve işaretiyle ayrılır: &
Giriş: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Sonuç: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2 \)

Bir ifade girerken parantez kullanabilirsiniz. Bu durumda, ikinci dereceden bir denklemi çözerken, tanıtılan ifade ilk önce basitleştirilir.
Örneğin: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)


=0
Karar vermek

Bu görevi çözmek için gereken bazı komut dosyalarının yüklenmediği ve programın çalışmayabileceği tespit edildi.
AdBlock'u etkinleştirmiş olabilirsiniz.
Bu durumda devre dışı bırakın ve sayfayı yenileyin.

Tarayıcınızda JavaScript'i devre dışı bırakmışsınız.
Çözümün görünmesi için JavaScript'in etkinleştirilmesi gerekir.
Tarayıcınızda JavaScript'i nasıl etkinleştireceğinize ilişkin talimatları burada bulabilirsiniz.

Çünkü Sorunun çözülmesini isteyen çok kişi var, talebiniz sıraya alındı.
Birkaç saniye sonra çözüm aşağıda görünecektir.
Lütfen bekleyin saniye...


Eğer sen çözümde bir hata fark ettim, ardından Geri Bildirim Formu'na bu konu hakkında yazabilirsiniz .
Unutma hangi görevi belirtin ne olduğuna sen karar ver alanlara girin.



Oyunlarımız, bulmacalarımız, emülatörlerimiz:

Biraz teori.

İkinci dereceden denklem ve kökleri. Tamamlanmamış ikinci dereceden denklemler

Denklemlerin her biri
\(-x^2+6x+1,4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
formu var
\(ax^2+bx+c=0, \)
burada x bir değişkendir, a, b ve c sayılardır.
Birinci denklemde a = -1, b = 6 ve c = 1,4, ikincisinde a = 8, b = -7 ve c = 0, üçüncüsünde ise a = 1, b = 0 ve c = 4/9 bulunmaktadır. Bu tür denklemlere denir ikinci dereceden denklemler.

Tanım.
ikinci dereceden denklem x'in bir değişken, a, b ve c'nin bazı sayılar ve \(a \neq 0 \) olduğu ax 2 +bx+c=0 biçiminde bir denklem çağrılır.

a, b ve c sayıları ikinci dereceden denklemin katsayılarıdır. A sayısına birinci katsayı, b sayısına ikinci katsayı ve c sayısına da kesişim adı verilir.

ax 2 +bx+c=0 formundaki denklemlerin her birinde (burada \(a \neq 0 \), x değişkeninin en büyük kuvveti bir karedir. Bu nedenle adı: ikinci dereceden denklem.

İkinci dereceden bir denklemin ikinci dereceden bir denklem olarak da adlandırıldığını unutmayın, çünkü sol tarafı ikinci dereceden bir polinomdur.

x 2'deki katsayısının 1 olduğu ikinci dereceden denklem denir indirgenmiş ikinci dereceden denklem. Örneğin, verilen ikinci dereceden denklemler denklemlerdir
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

İkinci dereceden ax 2 +bx+c=0 denkleminde b veya c katsayılarından en az biri sıfıra eşitse, böyle bir denklem denir tamamlanmamış ikinci dereceden denklem. Yani -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 denklemleri tamamlanmamış ikinci dereceden denklemlerdir. Bunlardan ilkinde b=0, ikincisinde c=0, üçüncüsünde b=0 ve c=0 olur.

Tamamlanmamış ikinci dereceden denklemler üç türdendir:
1) ax 2 +c=0, burada \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, burada \(b \neq 0 \);
3) ax2=0.

Bu türlerin her birinin denklemlerinin çözümünü düşünün.

\(c \neq 0 \ için) ax 2 +c=0 formundaki tamamlanmamış ikinci dereceden bir denklemi çözmek için, serbest terimi sağ tarafa aktarılır ve denklemin her iki kısmı da a'ya bölünür:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

\(c \neq 0 \) olduğundan \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Eğer \(-\frac(c)(a)>0 \), o zaman denklemin iki kökü vardır.

Eğer \(-\frac(c)(a) \(b \neq 0 \) için ax 2 +bx=0 formundaki tamamlanmamış ikinci dereceden bir denklemi çözmek için sol tarafını çarpanlara ayırın ve denklemi elde edin
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin (array)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(array) \right.\)

Dolayısıyla, \(b \neq 0 \) için ax 2 +bx=0 formundaki tamamlanmamış ikinci dereceden bir denklemin her zaman iki kökü vardır.

Ax 2 \u003d 0 formundaki tamamlanmamış ikinci dereceden bir denklem, x 2 \u003d 0 denklemine eşdeğerdir ve bu nedenle tek bir kök 0'a sahiptir.

İkinci dereceden bir denklemin köklerinin formülü

Şimdi hem bilinmeyenlerin katsayılarının hem de serbest terimin sıfırdan farklı olduğu ikinci dereceden denklemlerin nasıl çözüldüğüne bakalım.

İkinci dereceden denklemi genel haliyle çözüyoruz ve sonuç olarak köklerin formülünü elde ediyoruz. Daha sonra bu formül herhangi bir ikinci dereceden denklemi çözmek için uygulanabilir.

İkinci dereceden denklemi çözün ax 2 +bx+c=0

Her iki parçasını da a'ya bölerek eşdeğer indirgenmiş ikinci dereceden denklemi elde ederiz
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

Binomun karesini vurgulayarak bu denklemi dönüştürüyoruz:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Rightarrow \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2 = \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 - \frac(c)(a) \Rightarrow \) \(\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \Rightarrow \left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \Rightarrow \) \(x+\frac(b) )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \Rightarrow x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2) -4ac) )(2a) \Rightarrow \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) \)

Kök ifade denir ikinci dereceden bir denklemin diskriminantı ax 2 +bx+c=0 (Latince'de “ayırıcı” - ayırt edici). D harfiyle gösterilir, yani.
\(D = b^2-4ac\)

Şimdi diskriminant gösterimini kullanarak ikinci dereceden denklemin köklerinin formülünü yeniden yazıyoruz:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), burada \(D= b^2-4ac \)

Şu açıktır:
1) D>0 ise ikinci dereceden denklemin iki kökü vardır.
2) Eğer D=0 ise ikinci dereceden denklemin bir kökü vardır \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Eğer D Dolayısıyla, diskriminantın değerine bağlı olarak, ikinci dereceden denklemin iki kökü olabilir (D > 0 için), bir kökü olabilir (D = 0 için) veya hiç kökü olmayabilir (D için) Bu formülü kullanarak ikinci dereceden bir denklemi çözerken aşağıdaki şekilde yapılması tavsiye edilir:
1) diskriminantı hesaplayın ve sıfırla karşılaştırın;
2) Diskriminant pozitif veya sıfıra eşitse kök formülü kullanın, diskriminant negatifse kök olmadığını yazın.

Vieta'nın teoremi

Verilen ikinci dereceden ax 2 -7x+10=0 denkleminin kökleri 2 ve 5'tir. Köklerin toplamı 7, çarpımı ise 10'dur. Köklerin toplamının denklemle alınan ikinci katsayıya eşit olduğunu görüyoruz. zıt işaretlidir ve köklerin çarpımı serbest terime eşittir. Kökleri olan herhangi bir indirgenmiş ikinci dereceden denklem bu özelliğe sahiptir.

Verilen ikinci dereceden denklemin köklerinin toplamı, ters işaretle alınan ikinci katsayıya, köklerin çarpımı ise serbest terime eşittir.

Onlar. Vieta teoremi, indirgenmiş ikinci dereceden denklem x 2 +px+q=0'ın kökleri x 1 ve x 2'nin şu özelliğe sahip olduğunu belirtir:
\(\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right. \)

“Denklem Çözme” konusunun devamında bu makaledeki materyal size ikinci dereceden denklemleri tanıtacaktır.

Her şeyi ayrıntılı olarak ele alalım: ikinci dereceden bir denklemin özü ve gösterimi, ilgili terimleri belirleyin, eksik ve tam denklemleri çözme şemasını analiz edin, kök formülü ve ayırıcı hakkında bilgi edinin, kökler ve katsayılar arasında bağlantılar kurun ve elbette pratik örneklerden oluşan görsel bir çözüm vereceğiz.

Yandex.RTB R-A-339285-1

İkinci dereceden denklem, türleri

Tanım 1

İkinci dereceden denklem denklem şu şekilde yazılmıştır: a x 2 + b x + c = 0, Nerede X– değişken, a , b ve C bazı rakamlar var, oysa A sıfır değil.

İkinci dereceden denklemlere genellikle ikinci dereceden denklemler de denir, çünkü ikinci dereceden denklem aslında ikinci dereceden cebirsel bir denklemdir.

Verilen tanımı açıklamak için bir örnek verelim: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0 vb. ikinci dereceden denklemlerdir.

Tanım 2

a, b ve sayıları C ikinci dereceden denklemin katsayılarıdır a x 2 + b x + c = 0, katsayı ise A birinci veya kıdemli veya x 2'deki katsayı, b - ikinci katsayı veya katsayı denir X, A Cücretsiz üye denir.

Örneğin ikinci dereceden denklemde 6 x 2 - 2 x - 11 = 0 en yüksek katsayı 6, ikinci katsayı ise − 2 ve serbest terim eşittir − 11 . Katsayılar yapılırken şuna dikkat edelim. B ve/veya c negatifse kısa yol kullanılır 6 x 2 - 2 x - 11 = 0, Ama değil 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

Bu hususu da açıklığa kavuşturalım: eğer katsayılar A ve/veya B eşit 1 veya − 1 , o zaman belirtilen sayısal katsayıları yazmanın özellikleriyle açıklanan ikinci dereceden denklemin yazılmasında açık bir rol alamayabilirler. Örneğin ikinci dereceden denklemde y 2 - y + 7 = 0 kıdemli katsayı 1 ve ikinci katsayı − 1 .

İndirgenmiş ve indirgenmemiş ikinci dereceden denklemler

İlk katsayının değerine göre ikinci dereceden denklemler azaltılmış ve azaltılmamış olarak ayrılır.

Tanım 3

Azaltılmış ikinci dereceden denklem baş katsayısının 1 olduğu ikinci dereceden bir denklemdir. Baş katsayının diğer değerleri için ikinci dereceden denklem azaltılmaz.

İşte bazı örnekler: İkinci dereceden denklemler x 2 − 4 · x + 3 = 0 , x 2 − x − 4 5 = 0 azaltılır ve her birinin baş katsayısı 1'dir.

9 x 2 - x - 2 = 0- birinci katsayının farklı olduğu indirgenmemiş ikinci dereceden denklem 1 .

İndirgenmemiş herhangi bir ikinci dereceden denklem, her iki kısmı da birinci katsayıya bölünerek (eşdeğer dönüşüm) indirgenmiş bir denkleme dönüştürülebilir. Dönüştürülen denklem, verilen indirgenmemiş denklemle aynı köklere sahip olacak veya hiç kökü olmayacaktır.

Belirli bir örneğin dikkate alınması, indirgenmemiş ikinci dereceden denklemden indirgenmiş denkleme geçişi açıkça göstermemize olanak sağlayacaktır.

örnek 1

Denklem verildiğinde 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . Orijinal denklemi indirgenmiş forma dönüştürmek gerekir.

Çözüm

Yukarıdaki şemaya göre, orijinal denklemin her iki kısmını da baş katsayı 6'ya bölüyoruz. Sonra şunu elde ederiz: (6 x 2 + 18 x - 7) : 3 = 0: 3 ve bu şununla aynıdır: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 − 7: 3 = 0 ve ilerisi: (6: 6) x 2 + (18: 6) x - 7: 6 = 0 . Buradan: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . Böylece verilene eşdeğer bir denklem elde edilir.

Cevap: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

Tam ve eksik ikinci dereceden denklemler

İkinci dereceden denklemin tanımına dönelim. İçinde şunu belirttik bir ≠ 0. Denklem için benzer bir koşul gereklidir a x 2 + b x + c = 0 tam olarak kareydi, çünkü bir = 0 aslında doğrusal bir denkleme dönüşür b x + c = 0.

Katsayıların olduğu durumda B Ve C sıfıra eşitse (ki bu hem bireysel hem de ortaklaşa mümkündür), ikinci dereceden denklem eksik olarak adlandırılır.

Tanım 4

Tamamlanmamış ikinci dereceden denklem ikinci dereceden bir denklemdir a x 2 + b x + c \u003d 0, burada katsayılardan en az biri B Ve C(veya her ikisi de) sıfırdır.

Tam ikinci dereceden denklem tüm sayısal katsayıların sıfıra eşit olmadığı ikinci dereceden bir denklemdir.

İkinci dereceden denklem türlerine neden tam olarak bu tür adlar verildiğini tartışalım.

B = 0 için ikinci dereceden denklem şu formu alır: a x 2 + 0 x + c = 0, aynı olan a x 2 + c = 0. Şu tarihte: c = 0 ikinci dereceden denklem şu şekilde yazılır: a x 2 + b x + 0 = 0, eşdeğer olan a x 2 + b x = 0. Şu tarihte: b = 0 Ve c = 0 denklem şu şekli alacaktır a x 2 = 0. Elde ettiğimiz denklemler tam ikinci dereceden denklemden farklıdır çünkü sol tarafları x değişkenli bir terim, serbest bir terim veya her ikisini birden içermez. Aslında bu gerçek, bu tür denklemlere adını vermiştir - eksik.

Örneğin, x 2 + 3 x + 4 = 0 ve − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 tam ikinci dereceden denklemlerdir; x 2 \u003d 0, − 5 x 2 \u003d 0; 11 x 2 + 2 = 0 , − x 2 − 6 x = 0 tamamlanmamış ikinci dereceden denklemlerdir.

Tamamlanmamış ikinci dereceden denklemleri çözme

Yukarıda verilen tanım, aşağıdaki tamamlanmamış ikinci dereceden denklem türlerini ayırt etmeyi mümkün kılar:

  • a x 2 = 0, katsayılar böyle bir denkleme karşılık gelir b = 0 ve c = 0;
  • b \u003d 0 için a x 2 + c \u003d 0;
  • c = 0 için a x 2 + b x = 0.

Tamamlanmamış ikinci dereceden denklemlerin her türünün çözümünü sırasıyla düşünün.

Denklemin çözümü a x 2 \u003d 0

Yukarıda belirtildiği gibi, böyle bir denklem katsayılara karşılık gelir B Ve C, sıfıra eşit. Denklem a x 2 = 0 eşdeğer bir denkleme dönüştürülebilir x2 = 0 orijinal denklemin her iki tarafını da sayıya bölerek elde ederiz A, sıfıra eşit değil. Açık olan gerçek şu ki, denklemin kökü x2 = 0 sıfır çünkü 0 2 = 0 . Bu denklemin derecenin özellikleriyle açıklanan başka kökleri yoktur: herhangi bir sayı için P , sıfıra eşit değil, eşitsizlik doğrudur p2 > 0, bundan şu sonuç çıkıyor: p ≠ 0 eşitlik p2 = 0 asla ulaşılamayacak.

Tanım 5

Dolayısıyla, tamamlanmamış ikinci dereceden a x 2 = 0 denklemi için benzersiz bir kök vardır. x=0.

Örnek 2

Örneğin tamamlanmamış ikinci dereceden denklemi çözelim − 3 x 2 = 0. Denklemin eşdeğeridir x2 = 0, onun tek kökü x=0, bu durumda orijinal denklemin tek bir kökü vardır - sıfır.

Çözüm şu şekilde özetleniyor:

− 3 x 2 \u003d 0, x 2 \u003d 0, x \u003d 0.

Denklemin çözümü a x 2 + c \u003d 0

Sırada, b \u003d 0, c ≠ 0, yani formun denklemleri olan tamamlanmamış ikinci dereceden denklemlerin çözümü var. a x 2 + c = 0. Denklemin bir tarafındaki terimi diğer tarafa aktarıp, işaretini ters yöne çevirerek ve denklemin her iki tarafını da sıfıra eşit olmayan bir sayıya bölerek bu denklemi dönüştürelim:

  • dayanmak C denklemi veren sağ tarafa a x 2 = − c;
  • Denklemin her iki tarafını da şuna böl: A sonuç olarak x = - c a'yı elde ederiz.

Dönüşümlerimiz sırasıyla eşdeğerdir, ortaya çıkan denklem de orijinaline eşdeğerdir ve bu durum denklemin kökleri hakkında bir sonuç çıkarmayı mümkün kılar. Değerler nelerdir A Ve C- c a ifadesinin değerine bağlıdır: eksi işareti olabilir (örneğin, eğer bir = 1 Ve c = 2, o zaman - c a = - 2 1 = - 2) veya artı işareti (örneğin, eğer bir = -2 Ve c=6, o zaman - ca = - 6 - 2 = 3); sıfıra eşit değil çünkü c ≠ 0. Durumlar üzerinde daha ayrıntılı olarak duralım - c a< 0 и - c a > 0 .

Bu durumda - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа P eşitlik p 2 = - c a doğru olamaz.

- c a > 0 olduğunda her şey farklıdır: karekökü hatırlayın ve x 2 \u003d - c a denkleminin kökünün - c a sayısı olacağı açık hale gelecektir, çünkü - c a 2 \u003d - c a. - - c a - sayısının aynı zamanda x 2 = - c a denkleminin de kökü olduğunu anlamak kolaydır: gerçekten de - - c a 2 = - c a .

Denklemin başka kökleri olmayacak. Bunu tam tersi yöntemi kullanarak da gösterebiliriz. Öncelikle yukarıda bulunan köklerin notasyonunu şu şekilde ayarlayalım: x 1 Ve - x 1. x 2 = - c a denkleminin de bir kökü olduğunu varsayalım. x2 köklerden farklı olan x 1 Ve - x 1. Bunu denklemin yerine koyarak biliyoruz. X köklerini kullanarak denklemi adil bir sayısal eşitliğe dönüştürüyoruz.

İçin x 1 Ve - x 1şunu yazın: x 1 2 = - c a ve için x2- x 2 2 \u003d - c a. Sayısal eşitliklerin özelliklerine dayanarak, bir gerçek eşitliği başka bir terimden terim bazında çıkarırız, bu bize şunu verir: x 1 2 - x 2 2 = 0. Son eşitliği şu şekilde yeniden yazmak için sayı işlemlerinin özelliklerini kullanın: (x 1 - x 2) (x 1 + x 2) = 0. İki sayının çarpımının sıfır olduğu ancak ve ancak sayılardan en az birinin sıfır olduğu bilinmektedir. Söylenenlerden şu anlaşılıyor x1 − x2 = 0 ve/veya x1 + x2 = 0, bu aynı x2 = x1 ve/veya x 2 = - x 1. Açık bir çelişki ortaya çıktı, çünkü ilk başta denklemin kökünün şu şekilde olduğu kabul edildi: x2 farklı x 1 Ve - x 1. Böylece denklemin x = - c a ve x = - - c a dışında başka kökü olmadığını kanıtlamış olduk.

Yukarıdaki tüm argümanları özetliyoruz.

Tanım 6

Tamamlanmamış ikinci dereceden denklem a x 2 + c = 0 x 2 = - c a denklemine eşdeğerdir, bu:

  • - c a'da kökleri olmayacak< 0 ;
  • -ca > 0 olduğunda x = - c a ve x = - - c a olmak üzere iki kökü olacaktır.

Denklem çözme örnekleri verelim a x 2 + c = 0.

Örnek 3

İkinci dereceden bir denklem verildiğinde 9 x 2 + 7 = 0.Çözümünü bulmak gerekiyor.

Çözüm

Serbest terimi denklemin sağ tarafına aktarırsak denklem şu şekli alacaktır: 9 x 2 \u003d - 7.
Ortaya çıkan denklemin her iki tarafını da şuna böleriz: 9 x 2 = - 7 9'a geliyoruz. Sağ tarafta eksi işaretli bir sayı görüyoruz, bu şu anlama geliyor: verilen denklemin kökleri yoktur. Daha sonra orijinal tamamlanmamış ikinci dereceden denklem 9 x 2 + 7 = 0 kökleri olmayacaktır.

Cevap: denklem 9 x 2 + 7 = 0 kökleri yoktur.

Örnek 4

Denklemi çözmek gerekiyor − x2 + 36 = 0.

Çözüm

36'yı sağ tarafa taşıyalım: − x 2 = − 36.
Her iki parçayı da bölelim − 1 , alıyoruz x2 = 36. Sağ tarafta pozitif bir sayı var ve bundan şu sonuca varabiliriz: x = 36 veya x = -36 .
Kökü çıkarıyoruz ve nihai sonucu yazıyoruz: tamamlanmamış ikinci dereceden bir denklem − x2 + 36 = 0 iki kökü var x=6 veya x = -6.

Cevap: x=6 veya x = -6.

Denklemin çözümü a x 2 +b x=0

Üçüncü tür tamamlanmamış ikinci dereceden denklemleri analiz edelim: c = 0. Tamamlanmamış ikinci dereceden bir denklemin çözümünü bulmak için a x 2 + b x = 0çarpanlara ayırma yöntemini kullanıyoruz. Denklemin sol tarafındaki polinomu parantez içindeki ortak faktörü çıkararak çarpanlarına ayıralım. X. Bu adım, orijinal tamamlanmamış ikinci dereceden denklemin eşdeğerine dönüştürülmesini mümkün kılacaktır. x (a x + b) = 0. Ve bu denklem de bir dizi denkleme eşdeğerdir x=0 Ve a x + b = 0. Denklem a x + b = 0 doğrusal ve kökü: x = − b bir.

Tanım 7

Böylece, tamamlanmamış ikinci dereceden denklem a x 2 + b x = 0 iki kökü olacak x=0 Ve x = − b bir.

Bir örnekle konuyu pekiştirelim.

Örnek 5

2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0 denklemine bir çözüm bulmak gerekiyor.

Çözüm

Hadi çıkaralım X parantezlerin dışına çıkın ve x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 denklemini elde edin. Bu denklem denklemlere eşdeğerdir x=0 ve 2 3 x - 2 2 7 = 0 . Şimdi ortaya çıkan doğrusal denklemi çözmelisiniz: 2 3 · x = 2 2 7 , x = 2 2 7 2 3 .

Kısaca denklemin çözümünü şu şekilde yazıyoruz:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 veya 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 veya x = 3 3 7

Cevap: x = 0, x = 3 3 7.

Diskriminant, ikinci dereceden bir denklemin köklerinin formülü

İkinci dereceden denklemlere çözüm bulmak için bir kök formül vardır:

Tanım 8

x = - b ± D 2 a, burada D = b 2 − 4 a c ikinci dereceden bir denklemin diskriminantıdır.

X \u003d - b ± D 2 a yazmak, esasen x 1 \u003d - b + D 2 a, x 2 \u003d - b - D 2 a anlamına gelir.

Belirtilen formülün nasıl elde edildiğini ve nasıl uygulanacağını anlamak faydalı olacaktır.

İkinci dereceden bir denklemin kökleri formülünün türetilmesi

İkinci dereceden bir denklemi çözme göreviyle karşı karşıya olduğumuzu varsayalım. a x 2 + b x + c = 0. Bir dizi eşdeğer dönüşüm gerçekleştirelim:

  • Denklemin her iki tarafını sayıya bölelim A sıfırdan farklı olarak indirgenmiş ikinci dereceden denklemi elde ederiz: x 2 + b a x + c a \u003d 0;
  • ortaya çıkan denklemin sol tarafındaki tam kareyi seçin:
    x 2 + b a x + c a = x 2 + 2 b 2 a x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a = = x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a
    Bundan sonra denklem şu şekli alacaktır: x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a \u003d 0;
  • artık son iki terimi sağ tarafa aktarmak, işareti ters yönde değiştirmek mümkündür, bundan sonra şunu elde ederiz: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
  • Son olarak son eşitliğin sağ tarafında yazan ifadeyi dönüştürüyoruz:
    b 2 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - 4 a c 4 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2.

Böylece orijinal denklemin eşdeğeri olan x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 denklemine geldik. a x 2 + b x + c = 0.

Bu tür denklemlerin çözümünü önceki paragraflarda tartışmıştık (tamamlanmamış ikinci dereceden denklemlerin çözümü). Halihazırda kazanılan deneyim, x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 denkleminin köklerine ilişkin bir sonuç çıkarmayı mümkün kılmaktadır:

  • b 2 - 4 a c 4 a 2 için< 0 уравнение не имеет действительных решений;
  • b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0 için denklem x + b 2 · a 2 = 0, ardından x + b 2 · a = 0 biçiminde olur.

Buradan tek kök x = - b 2 · a açıktır;

  • b 2 - 4 a c 4 a 2 > 0 için aşağıdakiler doğrudur: x + b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 veya x = b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2, bu da aynıdır x + - b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 veya x = - b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2 olarak, yani. Denklemin iki kökü vardır.

x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 denkleminin köklerinin varlığının veya yokluğunun (ve dolayısıyla orijinal denklemin) b 2 - 4 a c ifadesinin işaretine bağlı olduğu sonucuna varmak mümkündür. 4 · sağ tarafta 2 yazılı. Ve bu ifadenin işareti payın işareti (payda) ile verilmektedir. 4 a 2 her zaman pozitif olacaktır), yani ifadenin işareti b 2 − 4 a c. Bu ifade b 2 − 4 a c bir isim verilir - ikinci dereceden bir denklemin ayırıcısı ve D harfi onun tanımı olarak tanımlanır. Burada diskriminantın özünü yazabilirsiniz - değeri ve işaretine göre, ikinci dereceden denklemin gerçek köklerinin olup olmayacağı ve eğer öyleyse, kaç kökün - bir veya iki - olacağı sonucuna varırlar.

x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 denklemine dönelim. Diskriminant gösterimini kullanarak yeniden yazalım: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Sonuçları özetleyelim:

Tanım 9

  • en D< 0 denklemin gerçek kökleri yoktur;
  • en D=0 denklemin tek bir kökü var x = - b 2 · a ;
  • en D > 0 denklemin iki kökü vardır: x \u003d - b 2 a + D 4 a 2 veya x \u003d - b 2 a - D 4 a 2. Radikallerin özelliklerine göre bu kökler şu şekilde yazılabilir: x \u003d - b 2 a + D 2 a veya - b 2 a - D 2 a. Modülleri açtığımızda ve kesirleri ortak bir paydaya indirdiğimizde şunu elde ederiz: x \u003d - b + D 2 a, x \u003d - b - D 2 a.

Dolayısıyla, akıl yürütmemizin sonucu, ikinci dereceden denklemin köklerine ilişkin formülün türetilmesiydi:

x = - b + D 2 a , x = - b - D 2 a , diskriminant D formülle hesaplanır D = b 2 − 4 a c.

Bu formüller, diskriminant sıfırdan büyük olduğunda her iki gerçek kökün belirlenmesini mümkün kılar. Diskriminant sıfır olduğunda, her iki formülün uygulanması ikinci dereceden denklemin tek çözümü olarak aynı kökü verecektir. Diskriminantın negatif olması durumunda ikinci dereceden kök formülünü kullanmaya çalıştığımızda negatif bir sayının karekökünü çıkarma ihtiyacıyla karşı karşıya kalacağız ve bu bizi gerçek sayıların ötesine taşıyacaktır. Negatif bir diskriminantla, ikinci dereceden denklemin gerçek kökleri olmayacaktır, ancak elde ettiğimiz aynı kök formülleriyle belirlenen bir çift karmaşık eşlenik kök mümkündür.

Kök formülleri kullanarak ikinci dereceden denklemleri çözmek için algoritma

İkinci dereceden bir denklemi hemen kök formülünü kullanarak çözmek mümkündür, ancak temel olarak bu, karmaşık köklerin bulunması gerektiğinde yapılır.

Çoğu durumda, arama genellikle karmaşık değil, ikinci dereceden bir denklemin gerçek köklerine yöneliktir. Bu durumda, ikinci dereceden denklemin kökleri için formülleri kullanmadan önce, ilk olarak diskriminantı belirlemek ve bunun negatif olmadığından emin olmak (aksi takdirde denklemin gerçek kökleri olmadığı sonucuna varırız) ve ardından hesaplamaya devam etmek en uygunudur. köklerin değeri.

Yukarıdaki mantık, ikinci dereceden bir denklemi çözmek için bir algoritma formüle etmeyi mümkün kılar.

Tanım 10

İkinci dereceden bir denklemi çözmek için a x 2 + b x + c = 0, gerekli:

  • formüle göre D = b 2 − 4 a c diskriminantın değerini bulun;
  • D'de< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
  • D = 0 için denklemin tek kökünü x = - b 2 · a formülüne göre bulun;
  • D > 0 için ikinci dereceden denklemin iki gerçek kökünü x = - b ± D 2 · a formülüne göre belirleyin.

Diskriminant sıfır olduğunda x = - b ± D 2 · a formülünü kullanabileceğinizi, bunun x = - b 2 · a formülüyle aynı sonucu vereceğini unutmayın.

Örnekleri düşünün.

İkinci dereceden denklemleri çözme örnekleri

Diskriminantın çeşitli değerleri için örneklerin çözümünü sunuyoruz.

Örnek 6

Denklemin köklerini bulmak gerekiyor x 2 + 2 x - 6 = 0.

Çözüm

İkinci dereceden denklemin sayısal katsayılarını yazıyoruz: a \u003d 1, b \u003d 2 ve c = - 6. Daha sonra algoritmaya göre hareket ediyoruz, yani. A , b katsayılarını değiştirdiğimiz diskriminantı hesaplamaya başlayalım. Ve C diskriminant formülüne göre: D = b 2 − 4 a c = 2 2 − 4 1 (− 6) = 4 + 24 = 28 .

Böylece D > 0 elde ederiz, bu da orijinal denklemin iki reel kökü olacağı anlamına gelir.
Bunları bulmak için x \u003d - b ± D 2 · a kök formülünü kullanırız ve uygun değerleri değiştirerek şunu elde ederiz: x \u003d - 2 ± 28 2 · 1. Ortaya çıkan ifadeyi, faktörü kökün işaretinden çıkararak ve ardından kesri azaltarak basitleştiririz:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 veya x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 veya x = - 1 - 7

Cevap: x = - 1 + 7 , x = - 1 - 7 .

Örnek 7

İkinci dereceden bir denklemi çözmek gerekir − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Çözüm

Diskriminantı tanımlayalım: D = 28 2 − 4 (− 4) (− 49) = 784 − 784 = 0. Diskriminantın bu değeriyle, orijinal denklemin x = - b 2 · a formülüyle belirlenen tek bir kökü olacaktır.

x = - 28 2 (- 4) x = 3, 5

Cevap: x = 3, 5.

Örnek 8

Denklemi çözmek gerekiyor 5 y 2 + 6 y + 2 = 0

Çözüm

Bu denklemin sayısal katsayıları şu şekilde olacaktır: a = 5 , b = 6 ve c = 2 . Diskriminantı bulmak için bu değerleri kullanırız: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Hesaplanan diskriminant negatif olduğundan orijinal ikinci dereceden denklemin gerçek kökleri yoktur.

Görevin karmaşık kökleri belirtmek olması durumunda, karmaşık sayılarla işlemler gerçekleştirerek kök formülünü uygularız:

x \u003d - 6 ± - 4 2 5,

x \u003d - 6 + 2 i 10 veya x \u003d - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 i veya x = - 3 5 - 1 5 i .

Cevap: gerçek kökler yok; karmaşık kökler şunlardır: - 3 5 + 1 5 i , - 3 5 - 1 5 i .

Okul müfredatında standart olarak karmaşık köklerin aranmasına gerek yoktur, bu nedenle karar sırasında diskriminant negatif olarak tanımlanırsa gerçek köklerin olmadığı cevabı hemen kaydedilir.

Çift ikinci katsayılar için kök formül

Kök formül x = - b ± D 2 a (D = b 2 − 4 a c), daha kompakt başka bir formül elde etmeyi mümkün kılar ve x'te çift katsayılı (veya katsayılı) ikinci dereceden denklemlere çözümler bulmanızı sağlar. 2 a n formundadır, örneğin 2 3 veya 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Bu formülün nasıl elde edildiğini gösterelim.

Diyelim ki ikinci dereceden a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 denklemine bir çözüm bulma göreviyle karşı karşıyayız. Algoritmaya göre hareket ediyoruz: diskriminantı belirliyoruz D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c) ve ardından kök formülü kullanıyoruz:

x \u003d - 2 n ± D 2 a, x \u003d - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x \u003d - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · CA .

N 2 - a c ifadesinin D 1 (bazen D "olarak gösterilir) olarak gösterilmesine izin verin. Daha sonra ikinci katsayılı 2 n ile ele alınan ikinci dereceden denklemin kökleri için formül şu şekli alacaktır:

x \u003d - n ± D 1 a, burada D 1 \u003d n 2 - a c.

D = 4 · D 1 veya D 1 = D 4 olduğunu görmek kolaydır. Başka bir deyişle D 1 diskriminantın dörtte biridir. Açıkçası, D 1'in işareti D'nin işaretiyle aynıdır; bu, D 1'in işaretinin aynı zamanda ikinci dereceden bir denklemin köklerinin varlığının veya yokluğunun bir göstergesi olarak da hizmet edebileceği anlamına gelir.

Tanım 11

Bu nedenle, ikinci katsayısı 2 n olan ikinci dereceden bir denklemin çözümünü bulmak için şunlar gereklidir:

  • D 1 = n 2 − a c'yi bulun;
  • D 1'de< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
  • D 1 = 0 için denklemin tek kökünü x = - n a formülüne göre belirleyin;
  • D 1 > 0 için x = - n ± D 1 a formülünü kullanarak iki gerçek kökü belirleyin.

Örnek 9

5 · x 2 − 6 · x − 32 = 0 ikinci dereceden denklemini çözmek gerekir.

Çözüm

Verilen denklemin ikinci katsayısı 2 · (− 3) olarak gösterilebilir. Daha sonra verilen ikinci dereceden denklemi 5 · x 2 + 2 · (− 3) · x − 32 = 0 olarak yeniden yazarız; burada a = 5 , n = − 3 ve c = − 32 .

Diskriminantın dördüncü kısmını hesaplayalım: D 1 = n 2 − a c = (− 3) 2 − 5 (− 32) = 9 + 160 = 169 . Ortaya çıkan değer pozitiftir, yani denklemin iki gerçek kökü vardır. Bunları karşılık gelen kök formülüyle tanımlarız:

x = - n ± D 1 a , x = - - 3 ± 169 5 , x = 3 ± 13 5 ,

x = 3 + 13 5 veya x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 veya x = - 2

İkinci dereceden bir denklemin kökleri için alışılagelmiş formülü kullanarak hesaplamalar yapmak mümkün olabilir, ancak bu durumda çözüm daha külfetli olacaktır.

Cevap: x = 3 1 5 veya x = - 2 .

İkinci dereceden denklemlerin formunun basitleştirilmesi

Bazen orijinal denklemin biçimini optimize etmek mümkündür, bu da köklerin hesaplanması sürecini basitleştirir.

Örneğin, ikinci dereceden denklem 12 x 2 - 4 x - 7 \u003d 0, çözmek için 1200 x 2 - 400 x - 700 \u003d 0'dan açıkça daha uygundur.

Daha sıklıkla, ikinci dereceden bir denklemin formunun basitleştirilmesi, her iki parçasının da belirli bir sayı ile çarpılması veya bölünmesiyle gerçekleştirilir. Örneğin yukarıda 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0 denkleminin her iki parçasının da 100'e bölünmesiyle elde edilen basitleştirilmiş bir kaydını gösterdik.

İkinci dereceden denklemin katsayıları nispeten asal sayılar olmadığında böyle bir dönüşüm mümkündür. Daha sonra genellikle denklemin her iki kısmı da katsayılarının mutlak değerlerinin en büyük ortak bölenine bölünür.

Örnek olarak ikinci dereceden denklem olan 12 x 2 − 42 x + 48 = 0'ı kullanıyoruz. Katsayılarının mutlak değerlerinin gcd'sini tanımlayalım: gcd (12 , 42 , 48) = gcd(gcd (12 , 42) , 48) = gcd (6 , 48) = 6 . Orijinal ikinci dereceden denklemin her iki kısmını da 6'ya bölelim ve eşdeğer ikinci dereceden denklemi 2 · x 2 − 7 · x + 8 = 0 elde edelim.

İkinci dereceden denklemin her iki tarafının çarpılmasıyla kesirli katsayılar genellikle ortadan kaldırılır. Bu durumda katsayılarının paydalarının en küçük ortak katıyla çarpın. Örneğin, 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 \u003d 0 ikinci dereceden denklemin her bir kısmı LCM (6, 3, 1) \u003d 6 ile çarpılırsa, daha basit bir biçimde yazılacaktır x 2 + 4 x - 18 = 0 .

Son olarak, ikinci dereceden denklemin ilk katsayısındaki eksiden hemen hemen her zaman kurtulduğumuzu, denklemin her teriminin işaretlerini değiştirerek, her iki parçanın da - 1 ile çarpılması (veya bölünmesi) ile elde edildiğini not ediyoruz. Örneğin, ikinci dereceden denklemden - 2 x 2 - 3 x + 7 \u003d 0, basitleştirilmiş versiyonu 2 x 2 + 3 x - 7 \u003d 0'a gidebilirsiniz.

Kökler ve katsayılar arasındaki ilişki

İkinci dereceden denklemlerin kökleri için halihazırda bilinen formül x = - b ± D 2 · a, denklemin köklerini sayısal katsayıları cinsinden ifade eder. Bu formüle dayanarak kökler ve katsayılar arasındaki diğer bağımlılıkları belirleme fırsatımız var.

En ünlü ve uygulanabilir olanları Vieta teoreminin formülleridir:

x 1 + x 2 \u003d - b a ve x 2 \u003d ca.

Özellikle verilen ikinci dereceden denklem için köklerin toplamı ters işaretli ikinci katsayıdır ve köklerin çarpımı serbest terime eşittir. Örneğin, ikinci dereceden denklem 3 · x 2 − 7 · x + 22 \u003d 0 biçiminde, köklerinin toplamının 7 3 ve köklerin çarpımının 22 3 olduğunu hemen belirlemek mümkündür.

İkinci dereceden bir denklemin kökleri ve katsayıları arasında bir dizi başka ilişki de bulabilirsiniz. Örneğin ikinci dereceden bir denklemin köklerinin karelerinin toplamı katsayılar cinsinden ifade edilebilir:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Sadece. Formüllere ve açık basit kurallara göre. İlk aşamada

verilen denklemi standart forma getirmek gerekir, yani. görünümüne:

Eğer denklem size bu formda verilmişse ilk aşamayı yapmanıza gerek yoktur. En önemli şey doğru

tüm katsayıları belirle A, B Ve C.

İkinci dereceden bir denklemin köklerini bulma formülü.

Kök işaretinin altındaki ifadeye denir ayrımcı . Gördüğünüz gibi x'i bulmak için

kullanmak sadece a, b ve c. Onlar. oranlar ikinci dereceden denklem. Sadece dikkatlice yerleştirin

değerler a, b ve c bu formüle girin ve sayın. Şununla değiştir: onların işaretler!

Örneğin, denklemde:

A =1; B = 3; C = -4.

Değerleri değiştirin ve şunu yazın:

Örnek neredeyse çözüldü:

Cevap bu.

En yaygın hatalar, değerlerin işaretleriyle karıştırılmasıdır a, b Ve İle. Daha ziyade ikame ile

kökleri hesaplamak için formüle negatif değerler. Burada ayrıntılı formül kaydedilir

belirli numaralarla. Hesaplamalarda sorun varsa yapın!

Aşağıdaki örneği çözmemiz gerektiğini varsayalım:

Burada A = -6; B = -5; C = -1

Tüm işaretler ve braketlerle hiçbir şeyi kaçırmadan, her şeyi ayrıntılı olarak, dikkatlice boyuyoruz:

İkinci dereceden denklemler genellikle biraz farklı görünür. Örneğin şöyle:

Şimdi hata sayısını önemli ölçüde azaltan pratik teknikleri not edin.

İlk resepsiyon. Daha önce tembel olmayın ikinci dereceden denklem çözme standart forma getirin.

Bu ne anlama gelir?

Herhangi bir dönüşümden sonra aşağıdaki denklemi elde ettiğinizi varsayalım:

Köklerin formülünü yazmak için acele etmeyin! Neredeyse kesinlikle oranları karıştıracaksınız a, b ve c.

Örneği doğru şekilde oluşturun. Önce x kare, sonra karesiz, sonra serbest üye. Bunun gibi:

Eksilerden kurtulun. Nasıl? Denklemin tamamını -1 ile çarpmamız gerekiyor. Şunu elde ederiz:

Artık köklerin formülünü güvenle yazabilir, diskriminantı hesaplayabilir ve örneği tamamlayabilirsiniz.

Kendi başınıza karar verin. Sonunda 2 ve -1 köklerini elde etmelisin.

İkinci resepsiyon. Köklerinizi kontrol edin! İle Vieta'nın teoremi.

Verilen ikinci dereceden denklemleri çözmek için; eğer katsayı

x2+bx+c=0,

Daha sonrax 1 x 2 =c

x1 +x2 =−B

Tam ikinci dereceden bir denklem için a≠1:

x 2 +Bx+C=0,

tüm denklemi şuna böl: A:

→ →

Nerede x 1 Ve X 2 - denklemin kökleri.

Üçüncü resepsiyon. Denkleminizin kesirli katsayıları varsa kesirlerden kurtulun! Çarpmak

ortak payda denklemi.

Çözüm. Pratik İpuçları:

1. Çözmeden önce ikinci dereceden denklemi standart forma getiriyoruz, oluşturuyoruz Sağ.

2. Karedeki x'in önünde negatif bir katsayı varsa her şeyi çarparak onu ortadan kaldırırız

-1 için denklemler.

3. Katsayılar kesirli ise, denklemin tamamını karşılık gelen sayıyla çarparak kesirleri ortadan kaldırırız.

faktör.

4. Eğer x kare safsa, katsayısı bire eşitse, çözüm şu şekilde kolayca kontrol edilebilir: