Bir noktadan geçen doğrunun denklemi nasıl yazılır? Verilen iki noktadan geçen doğrunun denklemi: örnekler, çözümler

Bu makale, bir düzlemde düz bir çizginin denklemi konusuna devam ediyor: böyle bir denklem türünü, düz bir çizginin genel denklemi olarak düşünün. Bir teorem tanımlayalım ve ispatını verelim; Düz bir çizginin tamamlanmamış genel denkleminin ne olduğunu ve genel bir denklemden diğer düz çizgi denklem türlerine nasıl geçiş yapacağımızı bulalım. Tüm teoriyi resimlerle ve pratik problemleri çözerek pekiştireceğiz.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Düzlemde dikdörtgen bir O x y koordinat sistemi verilsin.

teorem 1

A x + B y + C \u003d 0 formuna sahip birinci dereceden herhangi bir denklem, burada A, B, C bazı gerçek sayılardır (A ve B aynı anda sıfıra eşit değildir) düz bir çizgiyi tanımlar. bir düzlemde bir dikdörtgen koordinat sistemi. Buna karşılık, düzlemdeki dikdörtgen koordinat sistemindeki herhangi bir çizgi, belirli bir A, B, C değerleri kümesi için A x + B y + C = 0 formuna sahip bir denklemle belirlenir.

Kanıt

Bu teorem iki noktadan oluşuyor, her birini ispatlayacağız.

A x + B y + C = 0 denkleminin düzlemde bir doğru tanımladığını kanıtlayalım.

Koordinatları A x + B y + C = 0 denklemine karşılık gelen bir M 0 (x 0 , y 0) noktası olsun. Böylece: A x 0 + B y 0 + C = 0 . A x + B y + C \u003d 0 denklemlerinin sol ve sağ taraflarından A x 0 + B y 0 + C \u003d 0 denkleminin sol ve sağ taraflarından çıkarın, A'ya benzeyen yeni bir denklem elde ederiz (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . A x + B y + C = 0'a eşdeğerdir.

Ortaya çıkan A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 denklemi, n → = (A, B) ve M 0 M → = (x - x) vektörlerinin dikliği için gerekli ve yeterli bir koşuldur 0, y - y 0 ) . Böylece, M(x,y) noktaları kümesi, dikdörtgen bir koordinat sisteminde n → = (A, B) vektörünün yönüne dik bir düz çizgi tanımlar. Bunun böyle olmadığını varsayabiliriz, ancak o zaman n → = (A, B) ve M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) vektörleri dik olmaz ve A (x -) eşitliği x 0 ) + B (y - y 0) = 0 doğru olmaz.

Bu nedenle, A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 denklemi, düzlemde dikdörtgen bir koordinat sisteminde bir çizgiyi tanımlar ve bu nedenle eşdeğer denklem A x + B y + C \u003d 0 tanımlar aynı çizgi Böylece teoremin birinci bölümünü ispat etmiş oluyoruz.

Bir düzlem üzerindeki dikdörtgen koordinat sistemindeki herhangi bir düz çizginin A x + B y + C = 0 birinci dereceden bir denklemle verilebileceğini kanıtlayalım.

Düzlem üzerinde dikdörtgen bir koordinat sisteminde a düz bir çizgi belirleyelim; bu çizginin geçtiği M 0 (x 0 , y 0) noktası ve bu çizginin normal vektörü n → = (A , B) .

Çizginin bir kayan noktası olan M (x , y) noktası da var olsun. Bu durumda, n → = (A , B) ve M 0 M → = (x - x 0 , y - y 0) vektörleri birbirine diktir ve skaler çarpımları sıfırdır:

n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0 denklemini yeniden yazalım, C: C = - A x 0 - B y 0'ı tanımlayalım ve son olarak A x + B y + C = 0 denklemini elde edelim.

Böylece teoremin ikinci kısmını ispatlamış olduk ve teoremin tamamını bir bütün olarak ispatlamış olduk.

tanım 1

Şuna benzeyen bir denklem A x + B y + C = 0 - Bu bir doğrunun genel denklemi Dikdörtgen koordinat sistemindeki bir düzlemdeO x y .

Kanıtlanmış teoreme dayanarak, sabit bir dikdörtgen koordinat sisteminde bir düzlemde verilen bir doğru ile genel denkleminin ayrılmaz bir şekilde bağlantılı olduğu sonucuna varabiliriz. Başka bir deyişle, orijinal çizgi, genel denklemine karşılık gelir; bir düz çizginin genel denklemi, belirli bir düz çizgiye karşılık gelir.

Ayrıca teoremin ispatından, x ve y değişkenleri için A ve B katsayılarının, A x + B y + düz çizginin genel denklemi tarafından verilen düz çizginin normal vektörünün koordinatları olduğu sonucu çıkar. C = 0 .

Düz bir çizginin genel denkleminin belirli bir örneğini ele alalım.

Belirli bir dikdörtgen koordinat sisteminde düz bir çizgiye karşılık gelen 2 x + 3 y - 2 = 0 denklemi verilsin. Bu doğrunun normal vektörü, n → = (2 , 3) . Çizimde belirli bir düz çizgi çizin.

Aşağıdakiler de tartışılabilir: çizimde gördüğümüz düz çizgi, 2 x + 3 y - 2 = 0 genel denklemi tarafından belirlenir, çünkü belirli bir düz çizginin tüm noktalarının koordinatları bu denkleme karşılık gelir.

λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 denklemini, genel düz çizgi denkleminin her iki tarafını sıfır olmayan bir sayı λ ile çarparak elde edebiliriz. Ortaya çıkan denklem, orijinal genel denkleme eşdeğerdir, bu nedenle düzlemde aynı doğruyu tanımlayacaktır.

Tanım 2

Düz bir çizginin tam genel denklemi- A, B, C sayılarının sıfır olmadığı A x + B y + C \u003d 0 satırının böyle bir genel denklemi. Aksi takdirde, denklem eksik.

Düz çizginin tamamlanmamış genel denkleminin tüm varyasyonlarını inceleyelim.

A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0 olduğunda, genel denklem B y + C \u003d 0 olur. Böyle tamamlanmamış bir genel denklem, Ox eksenine paralel olan Oxy dikdörtgen koordinat sisteminde düz bir çizgi tanımlar, çünkü x'in herhangi bir gerçek değeri için y değişkeni şu değeri alacaktır: - C B . Başka bir deyişle, A \u003d 0, B ≠ 0 olduğunda A x + B y + C \u003d 0 hattının genel denklemi, koordinatları aynı sayıya eşit olan (x, y) noktalarının yerini tanımlar. - C B .
A \u003d 0, B ≠ 0, C \u003d 0 ise, genel denklem y \u003d 0 olur. Böyle tamamlanmamış bir denklem, x eksenini Ox tanımlar.
A ≠ 0, B \u003d 0, C ≠ 0 olduğunda, y eksenine paralel bir düz çizgi tanımlayan eksik bir A x + C \u003d 0 genel denklemi elde ederiz.
A ≠ 0, B \u003d 0, C \u003d 0 olsun, o zaman eksik genel denklem x \u003d 0 şeklini alacaktır ve bu O y koordinat çizgisinin denklemidir.
Son olarak, A ≠ 0, B ≠ 0, C \u003d 0 olduğunda, eksik genel denklem A x + B y \u003d 0 şeklini alır. Ve bu denklem orijinden geçen bir doğruyu tanımlar. Aslında, (0 , 0) sayı çifti A x + B y = 0 eşitliğine karşılık gelir, çünkü A · 0 + B · 0 = 0 .

Düz bir çizginin eksik genel denkleminin yukarıdaki tüm türlerini grafiksel olarak gösterelim.

örnek 1

Verilen doğrunun y eksenine paralel olduğu ve 2 7 , - 11 noktasından geçtiği bilinmektedir. Belirli bir düz çizginin genel denklemini yazmak gerekir.

Çözüm

Y eksenine paralel düz bir çizgi, A ≠ 0 olan A x + C \u003d 0 biçimindeki bir denklemle verilir. Koşul ayrıca çizginin içinden geçtiği noktanın koordinatlarını da belirtir ve bu noktanın koordinatları tamamlanmamış A x + C = 0 genel denkleminin koşullarına karşılık gelir, yani. eşitlik doğrudur:

A 2 7 + C = 0

A'ya sıfır olmayan bir değer vererek C'yi belirlemek mümkündür, örneğin A = 7 . Bu durumda şunu elde ederiz: 7 2 7 + C \u003d 0 ⇔ C \u003d - 2. Hem A hem de C katsayılarını biliyoruz, bunları A x + C = 0 denkleminde yerine koyuyoruz ve doğrunun gerekli denklemini elde ediyoruz: 7 x - 2 = 0

Cevap: 7 x - 2 = 0

Örnek 2

Çizim düz bir çizgi gösteriyor, denklemini yazmak gerekiyor.

Çözüm

Verilen çizim, sorunu çözmek için ilk verileri kolayca almamızı sağlar. Verilen doğrunun Ox eksenine paralel olduğunu ve (0 , 3) noktasından geçtiğini çizimde görüyoruz.

Apsise paralel olan düz çizgi, eksik genel denklem B y + С = 0 ile belirlenir. B ve C değerlerini bulun. (0, 3) noktasının koordinatları, verilen düz çizgi içinden geçtiği için, doğrunun B y + С = 0 denklemini sağlayacaktır, o zaman eşitlik geçerlidir: В · 3 + С = 0. B'yi sıfır dışında bir değere atayalım. B \u003d 1 diyelim, bu durumda B · 3 + C \u003d 0 eşitliğinden C: C \u003d - 3'ü bulabiliriz. B ve C'nin bilinen değerlerini kullanarak, düz çizginin gerekli denklemini elde ederiz: y - 3 = 0.

Cevap: y - 3 = 0 .

Düzlemin belirli bir noktasından geçen doğrunun genel denklemi

Verilen çizginin M 0 (x 0, y 0) noktasından geçmesine izin verin, ardından koordinatları çizginin genel denklemine karşılık gelir, yani. eşitlik doğrudur: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Bu denklemin sol ve sağ taraflarını, doğrunun genel tam denkleminin sol ve sağ taraflarından çıkarın. A (x - x 0) + B (y - y 0) + C \u003d 0 elde ederiz, bu denklem orijinal genel olana eşdeğerdir, M 0 (x 0, y 0) noktasından geçer ve bir normal vektör n → \u003d (A, B) .

Elde ettiğimiz sonuç, doğrunun normal vektörünün bilinen koordinatları ve bu doğrunun belirli bir noktasının koordinatları için bir doğrunun genel denklemini yazmayı mümkün kılmaktadır.

Örnek 3

Çizginin içinden geçtiği bir M 0 (- 3, 4) noktası ve bu çizginin normal vektörü verildiğinde n → = (1 , - 2) . Belirli bir düz çizginin denklemini yazmak gerekir.

Çözüm

İlk koşullar, denklemi derlemek için gerekli verileri elde etmemizi sağlar: A \u003d 1, B \u003d - 2, x 0 \u003d - 3, y 0 \u003d 4. Daha sonra:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0

Sorun farklı bir şekilde çözülebilirdi. Düz bir çizginin genel denklemi A x + B y + C = 0 şeklindedir. Verilen normal vektör, A ve B katsayılarının değerlerini almanızı sağlar, ardından:

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0

Şimdi çizginin içinden geçtiği problemin koşulu tarafından verilen M 0 (- 3, 4) noktasını kullanarak C'nin değerini bulalım. Bu noktanın koordinatları x - 2 · y + C = 0 denklemine karşılık gelir, yani - 3 - 2 4 + C \u003d 0. Dolayısıyla C = 11. Gerekli düz çizgi denklemi şu şekli alır: x - 2 · y + 11 = 0 .

Cevap: x - 2 y + 11 = 0 .

Örnek 4

2 3 x - y - 1 2 = 0 doğrusu ve bu doğru üzerinde uzanan bir M 0 noktası verilsin. Sadece bu noktanın apsisi bilinir ve -3'e eşittir. Verilen noktanın ordinatını belirlemek gerekir.

Çözüm

M 0 noktasının koordinatlarının tanımını x 0 ve y 0 olarak ayarlayalım. İlk veriler, x 0 \u003d - 3 olduğunu gösterir. Nokta belirli bir doğruya ait olduğundan, koordinatları bu doğrunun genel denklemine karşılık gelir. O zaman aşağıdaki eşitlik doğru olacaktır:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

y 0: 2 3 (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2'yi tanımlayın

Cevap: - 5 2

Düz bir çizginin genel denkleminden diğer düz çizgi denklem türlerine geçiş ve tersi

Bildiğimiz gibi, düzlemde aynı düz çizginin denkleminin birkaç türü vardır. Denklem türünün seçimi problemin koşullarına bağlıdır; çözümüne daha uygun olanı seçmek mümkündür. Bir tür denklemi başka bir tür denkleme dönüştürme becerisinin çok işe yaradığı yer burasıdır.

İlk olarak, A x + B y + C = 0 şeklindeki genel denklemden x - x 1 a x = y - y 1 a y kanonik denklemine geçişi düşünün.

A ≠ 0 ise B y terimini genel denklemin sağ tarafına aktarırız. Sol tarafta parantez içindeki A'yı alıyoruz. Sonuç olarak, şunu elde ederiz: A x + C A = - B y .

Bu eşitlik bir oran olarak yazılabilir: x + C A - B = y A .

B ≠ 0 ise, genel denklemin sol tarafında sadece A x terimini bırakırız, diğerlerini sağ tarafa aktarırız, şunu elde ederiz: A x \u003d - B y - C. - B'yi parantezlerden çıkarıyoruz, ardından: A x \u003d - B y + C B.

Eşitliği oran olarak yeniden yazalım: x - B = y + C B A .

Elbette ortaya çıkan formülleri ezberlemeye gerek yok. Genel denklemden kanonik olana geçiş sırasında eylemlerin algoritmasını bilmek yeterlidir.

Örnek 5

3 y - 4 = 0 doğrusunun genel denklemi verilmiştir. Kanonik bir denkleme dönüştürülmesi gerekiyor.

Çözüm

Orijinal denklemi 3 y - 4 = 0 olarak yazıyoruz. Ardından, algoritmaya göre hareket ediyoruz: 0 x terimi sol tarafta kalır; ve sağ tarafta köşeli parantezlerden - 3 tanesini çıkarıyoruz; şunu elde ederiz: 0 x = - 3 y - 4 3 .

Ortaya çıkan eşitliği orantı olarak yazalım: x - 3 = y - 4 3 0 . Böylece, kanonik formun bir denklemini elde ettik.

Cevap: x - 3 = y - 4 3 0.

Bir doğrunun genel denklemini parametrik denklemlere dönüştürmek için önce kanonik forma geçiş, ardından doğrunun kanonik denkleminden parametrik denklemlere geçiş yapılır.

Örnek 6

Düz çizgi, 2 x - 5 y - 1 = 0 denklemiyle verilir. Bu doğrunun parametrik denklemlerini yazınız.

Çözüm

Genel denklemden kanonik olana geçiş yapalım:

2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

Şimdi ortaya çıkan kanonik denklemin her iki parçasını da λ'ya eşitleyelim, o zaman:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Cevap:x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Genel denklem, y \u003d k x + b eğimli düz bir denkleme dönüştürülebilir, ancak yalnızca B ≠ 0 olduğunda. Sol taraftaki geçiş için B y terimini bırakıyoruz, kalanlar sağa aktarılıyor. Şunu elde ederiz: B y = - A x - C . Ortaya çıkan eşitliğin her iki tarafını da sıfırdan farklı olan B'ye bölelim: y = - A B x - C B .

Örnek 7

Doğrunun genel denklemi şu şekilde verilir: 2 x + 7 y = 0 . Bu denklemi bir eğim denklemine dönüştürmeniz gerekir.

Çözüm

Algoritmaya göre gerekli işlemleri yapalım:

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x

Cevap: y = - 2 7 x .

Düz bir çizginin genel denkleminden, basitçe x a + y b \u003d 1 şeklindeki segmentlerde bir denklem elde etmek yeterlidir. Böyle bir geçiş yapmak için, C sayısını eşitliğin sağ tarafına aktarıyoruz, elde edilen eşitliğin her iki parçasını da - С'ye bölüyoruz ve son olarak x ve y değişkenlerinin katsayılarını paydalara aktarıyoruz:

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

Örnek 8

x - 7 y + 1 2 = 0 doğrusunun genel denklemini doğrunun parçalı denklemine dönüştürmek gerekir.

Çözüm

1 2'yi sağ tarafa taşıyalım: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .

Denklemin her iki tarafını da -1/2'ye bölün: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .

Cevap: x - 1 2 + y 1 14 = 1 .

Genel olarak, tersine geçiş de kolaydır: diğer denklem türlerinden genel denkleme.

Segmentlerdeki düz bir çizginin denklemi ve eğimli denklem, denklemin sol tarafındaki tüm terimleri toplayarak kolayca genel bir denkleme dönüştürülebilir:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Kanonik denklem, aşağıdaki şemaya göre genel denkleme dönüştürülür:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Parametrikten geçmek için önce kanonik ve sonra genele geçiş yapılır:

x = x 1 + bir x λ y = y 1 + bir y λ ⇔ x - x 1 bir x = y - y 1 bir y ⇔ Bir x + B y + C = 0

Örnek 9

x = - 1 + 2 · λ y = 4 doğrusunun parametrik denklemleri verilmiştir. Bu satırın genel denklemini yazmak gerekir.

Çözüm

Parametrik denklemlerden kanonik denklemlere geçiş yapalım:

x = - 1 + 2 λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 λ y = 4 + 0 λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

Kanonikten genele geçelim:

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

Cevap: y - 4 = 0

Örnek 10

x 3 + y 1 2 = 1 parçalarındaki düz bir çizginin denklemi verilmiştir. Denklemin genel formuna geçişin yapılması gerekmektedir.

Çözüm:

Denklemi gerekli biçimde yeniden yazalım:

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

Cevap: 1 3 x + 2 y - 1 = 0 .

Düz bir çizginin genel denklemini çizmek

Yukarıda normal vektörün bilinen koordinatları ve doğrunun geçtiği noktanın koordinatları ile genel denklemin yazılabileceğini söylemiştik. Böyle bir düz çizgi, A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 denklemiyle tanımlanır. Aynı yerde ilgili örneği analiz ettik.

Şimdi, önce normal vektörün koordinatlarını belirlemenin gerekli olduğu daha karmaşık örneklere bakalım.

Örnek 11

2 x - 3 y + 3 3 = 0 doğrusuna paralel bir doğru verildiğinde. Verilen çizginin içinden geçtiği M 0 (4 , 1) noktası da bilinmektedir. Belirli bir düz çizginin denklemini yazmak gerekir.

Çözüm

İlk koşullar bize çizgilerin paralel olduğunu söylerken, denklemi yazılması gereken çizginin normal bir vektörü olarak n → \u003d (2, - 3) : 2 x - 3 çizgisinin yönlendirici vektörünü alıyoruz. y + 3 3 \u003d 0. Artık bir doğrunun genel denklemini oluşturmak için gerekli tüm verileri biliyoruz:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0

Cevap: 2 x - 3 y - 5 = 0 .

Örnek 12

Verilen doğru x - 2 3 = y + 4 5 doğrusuna dik olarak orijinden geçmektedir. Belirli bir düz çizginin genel denklemini yazmak gerekir.

Çözüm

Verilen doğrunun normal vektörü, x - 2 3 = y + 4 5 doğrusuna yön veren vektör olacaktır.

O zaman n → = (3 , 5) . Düz çizgi orijinden geçer, yani O (0, 0) noktasından. Verilen bir doğrunun genel denklemini oluşturalım:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

Cevap: 3 x + 5 y = 0 .

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Uzayda bir düz çizginin kanonik denklemleri, belirli bir noktadan bir yön vektörüne eşdoğrusal olarak geçen bir düz çizgiyi tanımlayan denklemlerdir.

Bir nokta ve yön vektörü verilsin. Rastgele bir nokta bir doğru üzerinde yer alır ben yalnızca ve vektörleri eşdoğrusal ise, yani şu koşulu karşılıyorlarsa:

Yukarıdaki denklemler doğrunun kanonik denklemleridir.

Sayılar M , N Ve P yön vektörünün koordinat eksenleri üzerindeki izdüşümleridir. Vektör sıfır olmadığı için, tüm sayılar M , N Ve P aynı anda sıfır olamaz. Ancak bir veya iki tanesi sıfır olabilir. Örneğin analitik geometride aşağıdaki notasyona izin verilir:

yani vektörün eksenler üzerindeki izdüşümleri Oy Ve Öz sıfıra eşittir. Bu nedenle, kanonik denklemler tarafından verilen hem vektör hem de düz çizgi eksenlere diktir. Oy Ve Öz, yani uçaklar yOz .

örnek 1 Bir düzleme dik uzayda düz bir çizginin denklemlerini oluşturun ve bu düzlemin eksenle kesişme noktasından geçerek Öz .

Çözüm. Verilen düzlemin eksenle kesişme noktasını bulun Öz. Çünkü eksen üzerindeki herhangi bir nokta Öz, o zaman, verilen düzlem denkleminde varsayılarak koordinatlara sahiptir x=y= 0, 4 elde ederiz z- 8 = 0 veya z= 2 Bu nedenle, verilen düzlemin eksenle kesişme noktası Öz koordinatları vardır (0; 0; 2) . İstenilen doğru düzleme dik olduğu için normal vektörüne paraleldir. Bu nedenle normal vektör, düz çizginin yönlendirici vektörü olarak hizmet edebilir. verilen uçak

Şimdi noktadan geçen doğrunun istenilen denklemlerini yazıyoruz. A= (0; 0; 2) vektör yönünde :

Verilen iki noktadan geçen doğrunun denklemleri

Düz bir çizgi, üzerinde bulunan iki nokta ile tanımlanabilir. Ve Bu durumda, düz çizginin yönlendirici vektörü vektör olabilir. Daha sonra çizginin kanonik denklemleri şu formu alır:

Yukarıdaki denklemler, verilen iki noktadan geçen düz bir çizgiyi tanımlar.

Örnek 2 Uzayda ve noktalarından geçen doğrunun denklemini yazınız.

Çözüm. Düz çizginin istenen denklemlerini teorik referansta yukarıda verilen biçimde yazıyoruz:

beri, o zaman istenen çizgi eksene diktir Oy .

Düzlemlerin kesişme çizgisi kadar düz

Uzayda düz bir çizgi, paralel olmayan iki düzlemin kesişme çizgisi olarak ve yani iki doğrusal denklem sistemini karşılayan bir noktalar kümesi olarak tanımlanabilir.

Sistemin denklemlerine uzaydaki düz çizginin genel denklemleri de denir.

Örnek 3 Genel denklemler tarafından verilen uzayda düz bir çizginin kanonik denklemlerini oluşturun

Çözüm. Bir doğrunun kanonik denklemlerini ya da aynısı olan iki noktadan geçen bir doğrunun denklemini yazmak için doğru üzerindeki herhangi iki noktanın koordinatlarını bulmanız gerekir. Düz bir çizginin herhangi iki koordinat düzlemiyle kesişme noktaları olabilirler, örneğin yOz Ve xOz .

Bir çizginin bir düzlemle kesişme noktası yOz apsisi var X= 0 Bu nedenle, bu denklem sisteminde varsayım X= 0 , iki değişkenli bir sistem elde ederiz:

Onun kararı y = 2 , z= 6 ile birlikte X= 0 bir noktayı tanımlar A(0; 2; 6) istenilen satırın O zaman verilen denklem sisteminde varsayarsak y= 0 , sistemi elde ederiz

Onun kararı X = -2 , z= 0 ile birlikte y= 0 bir noktayı tanımlar B(-2; 0; 0) bir doğrunun bir düzlemle kesişimi xOz .

Şimdi noktalardan geçen doğrunun denklemlerini yazalım. A(0; 2; 6) ve B (-2; 0; 0) :

veya paydaları -2'ye böldükten sonra:

Düz çizgi M 1 (x 1; y 1) ve M 2 (x 2; y 2) noktalarından geçsin. M 1 noktasından geçen düz bir çizginin denklemi şu şekildedir: y- y 1 \u003d k (x - x 1), (10.6)

Nerede k - hala bilinmeyen katsayı.

Düz çizgi M 2 (x 2 y 2) noktasından geçtiği için, bu noktanın koordinatları denklemi (10.6) karşılamalıdır: y 2 -y 1 \u003d k (x2 -x1).

Buradan, bulunan değeri değiştirmeyi buluyoruz k (10.6) denkleminde, M 1 ve M 2 noktalarından geçen düz bir çizginin denklemini elde ederiz:

Bu denklemde x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2 olduğu varsayılır.

x 1 \u003d x 2 ise, M 1 (x 1, y I) ve M 2 (x 2, y 2) noktalarından geçen düz çizgi y eksenine paraleldir. Onun denklemi x = x 1 .

y 2 \u003d y I ise, düz çizginin denklemi y \u003d y 1 olarak yazılabilir, düz çizgi M 1 M 2 x eksenine paraleldir.

Segmentlerde düz bir çizginin denklemi

Düz çizgi Öküz eksenini M 1 (a; 0) noktasında ve Oy eksenini M 2 (0; b) noktasında kessin. Denklem şu şekli alacaktır:
onlar.
. Bu denklem denir segmentlerdeki düz bir çizginin denklemi, çünkü a ve b sayıları, düz çizginin koordinat eksenlerinde hangi segmentleri kestiğini gösterir.

Belirli bir vektöre dik olarak belirli bir noktadan geçen düz bir çizginin denklemi

Belirli bir sıfır olmayan vektöre n = (A; B) dik olarak belirli bir Mo (x O; y o) noktasından geçen düz bir çizginin denklemini bulalım.

Düz çizgi üzerinde rastgele bir M(x; y) noktası alın ve M 0 M (x - x 0; y - y o) vektörünü göz önünde bulundurun (bkz. Şekil 1). n ve M o M vektörleri dik olduğundan, skaler çarpımları sıfıra eşittir: yani,

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

Denklem (10.8) denir Belirli bir noktadan belirli bir vektöre dik geçen düz bir çizginin denklemi .

Doğruya dik olan n = (A; B) vektörüne normal denir bu çizginin normal vektörü .

Denklem (10.8) şu şekilde yeniden yazılabilir: Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

burada A ve B normal vektörün koordinatlarıdır, C \u003d -Ax o - Vu o - serbest üye. Denklem (10.9) düz bir çizginin genel denklemidir(bkz. Şekil 2).

Şekil 1 Şekil 2

Düz çizginin kanonik denklemleri

Nerede
çizginin geçtiği noktanın koordinatları ve
- yön vektörü.

İkinci Dereceden Çemberin Eğrileri

Bir daire, merkez olarak adlandırılan belirli bir noktadan eşit uzaklıktaki bir düzlemin tüm noktalarının kümesidir.

Yarıçaplı bir çemberin kanonik denklemi R bir nokta merkezli
:

Özellikle, kazığın merkezi orijine denk geliyorsa, denklem şöyle görünür:

Elips

Bir elips, bir düzlemdeki noktalar kümesidir, her birinden verilen iki noktaya olan mesafelerin toplamıdır. Ve odaklar olarak adlandırılan sabit bir değerdir
, odaklar arasındaki mesafeden daha büyük
.

Odakları Öküz ekseni üzerinde bulunan ve orijini odaklar arasında ortada olan bir elipsin kanonik denklemi şu şekildedir:
G de A ana yarı eksenin uzunluğu; B küçük yarı eksenin uzunluğudur (Şekil 2).

Belirli bir noktadan belirli bir yönde geçen doğrunun denklemi. Verilen iki noktadan geçen doğrunun denklemi. İki çizgi arasındaki açı. İki doğrunun paralellik ve diklik durumu. İki çizginin kesişme noktasının belirlenmesi

1. Verilen bir noktadan geçen doğrunun denklemi A(X 1 , y 1) eğim tarafından belirlenen belirli bir yönde k,

y - y 1 = k(X - X 1). (1)

Bu denklem, bir noktadan geçen bir çizgi kalemini tanımlar. A(X 1 , y 1), kirişin merkezi olarak adlandırılır.

2. İki noktadan geçen doğrunun denklemi: A(X 1 , y 1) ve B(X 2 , y 2) şöyle yazılır:

Verilen iki noktadan geçen doğrunun eğimi şu formülle bulunur:

3. Düz çizgiler arasındaki açı A Ve B ilk düz çizginin döndürülmesi gereken açıdır A bu çizgilerin kesişme noktası etrafında, ikinci çizgi ile çakışana kadar saat yönünün tersine B. Eğim denklemleri tarafından verilen iki çizgi varsa

y = k 1 X + B 1 ,

Tanım. Düzlemdeki herhangi bir çizgi birinci dereceden bir denklemle verilebilir.

Ah + Wu + C = 0,

ve A, B sabitleri aynı anda sıfıra eşit değildir. Bu birinci dereceden denklem denir bir doğrunun genel denklemi. A, B ve C sabitlerinin değerlerine bağlı olarak aşağıdaki özel durumlar mümkündür:

C \u003d 0, A ≠ 0, B ≠ 0 - çizgi orijinden geçer

A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0 (By + C \u003d 0) - çizgi Öküz eksenine paraleldir

B \u003d 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C \u003d 0) - çizgi Oy eksenine paraleldir

B \u003d C \u003d 0, A ≠ 0 - düz çizgi Oy ekseni ile çakışıyor

A \u003d C \u003d 0, B ≠ 0 - düz çizgi Öküz ekseni ile çakışıyor

Düz bir çizginin denklemi, verilen herhangi bir başlangıç koşuluna bağlı olarak çeşitli şekillerde sunulabilir.

Düz bir çizginin bir nokta ve normal bir vektörle denklemi

Tanım. Kartezyen dikdörtgen koordinat sisteminde, bileşenleri (A, B) olan bir vektör, Ax + By + C = 0 denklemiyle verilen doğruya diktir.

Örnek. A(1, 2) noktasından (3, -1) dik olarak geçen doğrunun denklemini bulunuz.

Çözüm. A = 3 ve B = -1'de, düz bir çizginin denklemini oluştururuz: 3x - y + C = 0. C katsayısını bulmak için, verilen A noktasının koordinatlarını elde edilen ifadede yerine koyarız. 3 - 2 + C = 0, dolayısıyla C = -1 . Toplam: istenen denklem: 3x - y - 1 \u003d 0.

İki noktadan geçen doğrunun denklemi

Uzayda iki M 1 (x 1, y 1, z 1) ve M 2 (x 2, y 2, z 2) noktası verilsin, sonra bu noktalardan geçen doğrunun denklemi:

Paydalardan herhangi biri sıfıra eşitse, karşılık gelen pay sıfıra eşitlenmelidir.Düzlemde, yukarıda yazılan düz çizgi denklemi basitleştirilir:

x 1 ≠ x 2 ve x = x 1 ise x 1 = x 2 ise.

Kesir = k denir eğim faktörü dümdüz.

Örnek. A(1, 2) ve B(3, 4) noktalarından geçen doğrunun denklemini bulunuz.

Çözüm. Yukarıdaki formülü uygulayarak şunu elde ederiz:

Bir noktadan ve bir eğimden düz bir çizginin denklemi

Toplam Ax + Wu + C = 0 ise şu şekilde olur:

ve belirlemek , daha sonra elde edilen denklem denir eğimli düz bir çizginin denklemik.

Bir doğrunun bir nokta ve yön vektörü ile denklemi

Bir düz çizginin normal vektörden geçen denklemini göz önünde bulunduran nokta ile benzetme yaparak, bir noktadan geçen bir düz çizginin atamasını ve bir düz çizginin yönlendirici vektörünü girebilirsiniz.

Tanım. Bileşenleri A α 1 + B α 2 = 0 koşulunu sağlayan sıfır olmayan her vektöre (α 1, α 2) doğrunun yönlendirici vektörü denir

Ah + Wu + C = 0.

Örnek. Yön vektörü (1, -1) olan ve A(1, 2) noktasından geçen doğrunun denklemini bulunuz.

Çözüm.İstenen düz çizginin denklemini şu şekilde arayacağız: Ax + By + C = 0. Tanıma göre, katsayılar şu koşulları sağlamalıdır:

1 * A + (-1) * B = 0, yani A = B

O zaman düz bir çizginin denklemi şu şekildedir: Ax + Ay + C = 0 veya x + y + C / A = 0. x = 1, y = 2 için C / A = -3 elde ederiz, yani. istenen denklem:

Segmentlerde düz bir çizginin denklemi

Düz çizginin genel denkleminde Ah + Wu + C = 0 C≠0 ise, o zaman -C'ye bölerek şunu elde ederiz: veya

Katsayıların geometrik anlamı, katsayının Açizginin x ekseni ile kesiştiği noktanın koordinatıdır ve B- düz çizginin Oy ekseni ile kesişme noktasının koordinatı.

Örnek. x - y + 1 = 0 doğrusunun genel denklemi verildiğinde, bu doğrunun doğrunun parçalarındaki denklemini bulun.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

Düz bir çizginin normal denklemi

Denklemin her iki tarafı da Ax + Vy + C = 0 sayısı ile çarpılırsa , denilen normalleştirici faktör, sonra alırız

xcosφ + ysinφ - p = 0 –

bir doğrunun normal denklemi. Normalleştirme faktörünün ± işareti, μ * С olacak şekilde seçilmelidir.< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Örnek. Doğrunun genel denklemi verildiğinde 12x - 5y - 65 = 0. Bu doğru için çeşitli denklem türleri yazmak gerekir.

bu düz çizginin segmentlerdeki denklemi:

bu doğrunun eğim ile denklemi: (5'e bölün)

; çünkü φ = 12/13; günah φ= -5/13; p=5.

Her düz çizginin, örneğin eksenlere paralel veya orijinden geçen düz çizgiler gibi parçalar halinde bir denklemle temsil edilemeyeceğine dikkat edilmelidir.

Örnek. Düz çizgi, koordinat eksenlerinde eşit pozitif parçaları keser. Bu doğru parçalarının oluşturduğu üçgenin alanı 8 cm 2 ise doğrunun denklemini yazınız.

Çözüm. Düz çizgi denklemi şu şekildedir: , ab /2 = 8; ab=16; a=4, a=-4. bir = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.

Örnek. A (-2, -3) noktasından ve orijinden geçen doğrunun denklemini yazınız.

Çözüm. Düz bir çizginin denklemi şu şekildedir: , burada x 1 \u003d y 1 \u003d 0; x 2 \u003d -2; y 2 \u003d -3.

Düzlemdeki çizgiler arasındaki açı

Tanım.İki doğru y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 olarak verilirse, bu doğrular arasındaki dar açı şu şekilde tanımlanır:

k 1 = k 2 ise iki doğru paraleldir. k 1 = -1/ k 2 ise iki doğru diktir.

teorem. Ax + Vy + C \u003d 0 ve A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 düz çizgileri, A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB katsayıları orantılı olduğunda paraleldir. Ayrıca С 1 = λС ise, çizgiler çakışır. İki doğrunun kesiştiği noktanın koordinatları bu doğruların denklem sisteminin çözümü olarak bulunur.

Verilen bir doğruya dik olarak belirli bir noktadan geçen doğrunun denklemi

Tanım. M 1 (x 1, y 1) noktasından geçen ve y \u003d kx + b çizgisine dik olan çizgi aşağıdaki denklemle temsil edilir:

Noktadan çizgiye olan mesafe

teorem. Bir nokta M(x 0, y 0) verilirse, Ax + Vy + C \u003d 0 çizgisine olan mesafe şu şekilde tanımlanır:

Kanıt. M 1 (x 1, y 1) noktası, M noktasından verilen doğruya düşen dikmenin tabanı olsun. O zaman M ve M 1 noktaları arasındaki mesafe:

(1)

x 1 ve y 1 koordinatları, denklem sistemine bir çözüm olarak bulunabilir:

Sistemin ikinci denklemi, belirli bir M 0 noktasından belirli bir doğruya dik geçen düz bir çizginin denklemidir. Sistemin ilk denklemini şu forma dönüştürürsek:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

sonra çözerek şunu elde ederiz:

Bu ifadeleri denklem (1)'de değiştirerek şunu buluruz:

Teorem kanıtlanmıştır.

Örnek. Çizgiler arasındaki açıyı belirleyin: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 \u003d -3; k2 = 2; tgφ = ; φ= π /4.

Örnek. 3x - 5y + 7 = 0 ve 10x + 6y - 3 = 0 doğrularının birbirine dik olduğunu gösteriniz.

Çözüm. Bulduk: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1, bu nedenle çizgiler diktir.

Örnek. A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) üçgeninin köşeleri verilmiştir. C tepe noktasından çizilen yükseklik için denklemi bulun.

Çözüm. AB tarafının denklemini buluyoruz: ; 4 x = 6 y - 6;

2x – 3y + 3 = 0;

İstenen yükseklik denklemi: Ax + By + C = 0 veya y = kx + b. k = . O zaman y = . Çünkü yükseklik C noktasından geçerse, koordinatları şu denklemi sağlar: dolayısıyla b = 17. Toplam: .

Cevap: 3x + 2y - 34 = 0.