Noktaların koordinatlarını bulmak için düz bir çizgi denklemi nasıl kullanılır? Bir doğrunun genel denklemi

Düzlemdeki bir doğrunun denklemi.

Bilindiği gibi düzlem üzerindeki herhangi bir nokta, bazı koordinat sistemlerinde iki koordinat tarafından belirlenir. Koordinat sistemleri temel ve orijin seçimine bağlı olarak farklı olabilir.

Tanım. Çizgi denklemi bu doğruyu oluşturan noktaların koordinatları arasındaki y = f(x) ilişkisine denir.

Bir doğrunun denkleminin parametrik olarak ifade edilebileceğini, yani her noktanın her koordinatının bazı bağımsız parametrelerle ifade edilebileceğini unutmayın. T.

Tipik bir örnek, hareketli bir noktanın yörüngesidir. Bu durumda parametrenin rolü zamana göre oynanır.

Düzlemde düz bir çizginin denklemi.

Tanım. Düzlemdeki herhangi bir düz çizgi birinci dereceden bir denklemle belirtilebilir

Balta + Wu + C = 0,

Üstelik A ve B sabitleri aynı anda sıfıra eşit değildir; A 2 + B 2  0. Bu birinci dereceden denklem denir Bir doğrunun genel denklemi.

A, B ve C sabitlerinin değerlerine bağlı olarak aşağıdaki özel durumlar mümkündür:

C = 0, A  0, B  0 – düz çizgi orijinden geçer

A = 0, B  0, C  0 (By + C = 0) - Ox eksenine paralel düz çizgi

B = 0, A  0, C  0 (Ax + C = 0) – Oy eksenine paralel düz çizgi

B = C = 0, A  0 – düz çizgi Oy ekseniyle çakışır

A = C = 0, B  0 – düz çizgi Ox ekseniyle çakışır

Doğrunun denklemi, verilen başlangıç ​​koşullarına bağlı olarak farklı şekillerde sunulabilir.

Bir noktadan ve normal bir vektörden gelen düz bir çizginin denklemi.

Tanım. Kartezyen dikdörtgen koordinat sisteminde (A, B) bileşenlerine sahip bir vektör, Ax + By + C = 0 denklemiyle verilen düz çizgiye diktir.

Örnek. Vektöre dik A(1, 2) noktasından geçen doğrunun denklemini bulun (3, -1).

A = 3 ve B = -1 ile doğrunun denklemini oluşturalım: 3x – y + C = 0. C katsayısını bulmak için, verilen A noktasının koordinatlarını elde edilen ifadede yerine koyarız.

Şunu elde ederiz: 3 – 2 + C = 0, dolayısıyla C = -1.

Toplam: gerekli denklem: 3x – y – 1 = 0.

İki noktadan geçen doğrunun denklemi.

Uzayda iki M 1 (x 1, y 1, z 1) ve M 2 (x 2, y 2, z 2) noktası verilse, bu noktalardan geçen doğrunun denklemi şöyle olur:

Paydalardan herhangi biri sıfır ise karşılık gelen pay sıfıra eşitlenmelidir.

Düzlemde yukarıda yazılan düz çizginin denklemi basitleştirilmiştir:

eğer x 1  x 2 ve x = x 1 ise, eğer x 1 = x 2.

Kesir
=k denir eğim dümdüz.

Örnek. A(1, 2) ve B(3, 4) noktalarından geçen doğrunun denklemini bulun.

Yukarıda yazılan formülü uygulayarak şunu elde ederiz:

Bir nokta ve eğim kullanılarak düz bir çizginin denklemi.

Ax + By + C = 0 düz çizgisinin genel denklemi şu şekle indirgenirse:

ve atayın
, sonra ortaya çıkan denklem denir eğimi olan bir doğrunun denklemik.

Bir noktadan ve yön vektöründen gelen düz bir çizginin denklemi.

Normal bir vektörden geçen düz bir çizginin denklemini ele alan noktaya benzetme yaparak, bir noktadan geçen düz bir çizginin tanımını ve düz çizginin yönlendirici vektörünü girebilirsiniz.

Tanım. Sıfır olmayan her vektör Bileşenleri A 1 + B 2 = 0 koşulunu karşılayan ( 1,  2) doğrunun yönlendirici vektörü olarak adlandırılır

Balta + Wu + C = 0.

Örnek. Yön vektörüne sahip bir doğrunun denklemini bulun (1, -1) ve A(1, 2) noktasından geçiyor.

İstenilen çizginin denklemini şu formda arayacağız: Ax + By + C = 0. Tanıma göre katsayıların koşulları karşılaması gerekir:

1A + (-1)B = 0, yani. A = B.

O halde düz çizginin denklemi şu şekilde olur: Ax + Ay + C = 0 veya x + y + C/A = 0.

x = 1, y = 2'de C/A = -3 elde ederiz, yani. gerekli denklem:

Parçalardaki düz bir çizginin denklemi.

Düz çizginin genel denkleminde Ах + Ву + С = 0 С 0 ise, o zaman –С'ye bölerek şunu elde ederiz:
veya

, Nerede

Katsayıların geometrik anlamı, katsayının Açizginin Ox ekseni ile kesişme noktasının koordinatıdır ve B– düz çizginin Oy ekseniyle kesişme noktasının koordinatı.

Örnek. x – y + 1 = 0 doğrusunun genel denklemi verilmiştir.Bu doğrunun denklemini parçalar halinde bulun.

C = 1,
, a = -1,b = 1.

Bir doğrunun normal denklemi.

Denklemin her iki tarafı Ax + By + C = 0 sayıya bölünürse
buna denir normalleştirme faktörü, sonra elde ederiz

xcos + ysin - p = 0 –

Bir doğrunun normal denklemi.

Normalleştirme faktörünün  işareti, С olacak şekilde seçilmelidir.< 0.

p, orijinden düz çizgiye bırakılan dikmenin uzunluğu ve , bu dikmenin Ox ekseninin pozitif yönü ile oluşturduğu açıdır.

Örnek. 12x – 5y – 65 = 0 doğrusunun genel denklemi verilmiştir.Bu doğru için çeşitli denklem türlerinin yazılması gerekmektedir.

bu doğrunun segmentlerdeki denklemi:

bu doğrunun eğimle denklemi: (5'e böl)

Bir doğrunun normal denklemi:

; cos = 12/13; sin = -5/13; p = 5.

Her düz çizginin, örneğin eksenlere paralel veya koordinatların kökeninden geçen düz çizgiler gibi bölümlerdeki bir denklemle temsil edilemeyeceğine dikkat edilmelidir.

Örnek. Düz çizgi, koordinat eksenleri üzerinde eşit pozitif parçaları keser. Bu parçaların oluşturduğu üçgenin alanı 8 cm2 ise düz bir çizginin denklemini yazınız.

Doğrunun denklemi:
, a = b = 1; ab/2 = 8; bir = 4; -4.

a = -4 problemin şartlarına göre uygun değildir.

Toplam:
veya x + y – 4 = 0.

Örnek. A(-2, -3) noktasından ve orijinden geçen düz bir çizginin denklemini yazın.

Doğrunun denklemi:
, burada x 1 = y 1 = 0; x2 = -2; y2 = -3.

Düzlemdeki düz çizgiler arasındaki açı.

Tanım. İki doğruya y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2 verilirse, bu çizgiler arasındaki dar açı şu şekilde tanımlanacaktır:

.

k 1 = k 2 ise iki doğru paraleldir.

k 1 = -1/k 2 ise iki doğru birbirine diktir.

Teorem. Doğrudan çizgiler Ax + Wu + C = 0 ve A 1 x + B 1 y + C 1 A katsayıları orantılı olduğunda = 0 paraleldir 1 =  A, B 1 =  B. Ayrıca C ise 1 =  C ise çizgiler çakışıyor.

İki doğrunun kesiştiği noktanın koordinatları bu doğruların denklem sisteminin çözümü olarak bulunur.

Belirli bir noktadan geçen çizginin denklemi

bu çizgiye dik.

Tanım. M 1 (x 1, y 1) noktasından geçen ve y = kx + b düz çizgisine dik olan düz bir çizgi aşağıdaki denklemle temsil edilir:

Bir noktadan bir çizgiye olan mesafe.

Teorem. M(x) noktası verilirse 0 , sen 0 ), bu durumda Ах + Ву + С =0 düz çizgisine olan mesafe şu şekilde tanımlanır:

.

Kanıt. M 1 (x 1, y 1) noktası, M noktasından belirli bir düz çizgiye bırakılan dikmenin tabanı olsun. Daha sonra M ve M 1 noktaları arasındaki mesafe:

X 1 ve y 1 koordinatları denklem sistemini çözerek bulunabilir:

Sistemin ikinci denklemi, belirli bir M 0 noktasından belirli bir çizgiye dik olarak geçen bir çizginin denklemidir.

Sistemin ilk denklemini forma dönüştürürsek:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

sonra çözersek şunu elde ederiz:

Bu ifadeleri denklem (1)'de yerine koyarsak şunu buluruz:

.

Teorem kanıtlandı.

Örnek.Çizgiler arasındaki açıyı belirleyin: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k1 = -3; k 2 = 2 tg =
;  = /4.

Örnek. 3x – 5y + 7 = 0 ve 10x + 6y – 3 = 0 doğrularının birbirine dik olduğunu gösterin.

Şunu buluruz: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, dolayısıyla çizgiler diktir.

Örnek. A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1) üçgeninin köşeleri verilmiştir. C köşesinden çizilen yüksekliğin denklemini bulun.

AB tarafının denklemini buluyoruz:
; 4x = 6y – 6;

2x – 3y + 3 = 0;

Gerekli yükseklik denklemi şu şekildedir: Ax + By + C = 0 veya y = kx + b.

k = . O zaman y =
. Çünkü yükseklik C noktasından geçerse koordinatları şu denklemi sağlar:
dolayısıyla b = 17. Toplam:
.

Cevap: 3x + 2y – 34 = 0.

Uzayda analitik geometri.

Uzayda bir çizginin denklemi.

Uzayda bir nokta verilen bir doğrunun denklemi ve

yön vektörü.

Rastgele bir çizgi ve bir vektör alalım (m, n, p), verilen doğruya paralel. Vektör isminde kılavuz vektör dümdüz.

Düz çizgi üzerinde iki keyfi M 0 (x 0 , y 0 , z 0) ve M (x, y, z) noktasını alıyoruz.

z

M1

Bu noktaların yarıçap vektörlerini şu şekilde gösterelim: Ve , belli ki - =
.

Çünkü vektörler
Ve eşdoğrusal ise ilişki doğrudur
= t, burada t bir parametredir.

Toplamda şunu yazabiliriz: = + T.

Çünkü bu denklem doğru üzerindeki herhangi bir noktanın koordinatları tarafından sağlanırsa, ortaya çıkan denklem şu şekilde olur: bir doğrunun parametrik denklemi.

Bu vektör denklemi koordinat biçiminde temsil edilebilir:

Bu sistemi dönüştürerek ve t parametresinin değerlerini eşitleyerek uzayda düz bir çizginin kanonik denklemlerini elde ederiz:

.

Tanım. Yön kosinüsleri direkt vektörün yön kosinüsleridir aşağıdaki formüller kullanılarak hesaplanabilir:

;

.

Buradan şunu elde ederiz: m: n: p = cos : cos : cos.

m, n, p sayılarına denir açı katsayıları dümdüz. Çünkü sıfır olmayan bir vektör ise m, n ve p aynı anda sıfır olamaz ancak bu sayılardan bir veya ikisi sıfıra eşit olabilir. Bu durumda doğrunun denkleminde karşılık gelen payların sıfıra eşitlenmesi gerekir.

Uzaydan geçen düz bir çizginin denklemi

iki noktadan.

Uzayda düz bir çizgi üzerinde iki rastgele M 1 (x 1, y 1, z 1) ve M 2 (x 2, y 2, z 2) noktasını işaretlersek, bu noktaların koordinatları düz çizgi denklemini karşılamalıdır. yukarıda elde edilen:

.

Ayrıca M 1 noktası için şunu yazabiliriz:

.

Bu denklemleri birlikte çözersek şunu elde ederiz:

.

Bu, uzaydaki iki noktadan geçen bir çizginin denklemidir.

Uzayda düz bir çizginin genel denklemleri.

Düz bir çizginin denklemi, iki düzlemin kesişim çizgisinin denklemi olarak düşünülebilir.

Yukarıda tartışıldığı gibi, vektör biçimindeki bir düzlem aşağıdaki denklemle belirtilebilir:

+ D = 0, burada

- normal düzlem; - yarıçap, düzlemdeki rastgele bir noktanın vektörüdür.

Öklid geometrisinde düz bir çizginin özellikleri.

Herhangi bir noktadan geçen sonsuz sayıda düz çizgi çizilebilir.

Çakışmayan herhangi iki noktadan tek bir doğru çizilebilir.

Bir düzlemde birbirinden farklı iki doğru ya tek bir noktada kesişir ya da

paralel (öncekinin devamı).

Üç boyutlu uzayda iki çizginin göreceli konumu için üç seçenek vardır:

• çizgiler kesişiyor;

• çizgiler paraleldir;

• düz çizgiler kesişir.

Dümdüz astar— birinci dereceden cebirsel eğri: Kartezyen koordinat sisteminde düz bir çizgi

düzlemde birinci dereceden bir denklem (doğrusal denklem) ile verilir.

Düz bir çizginin genel denklemi.

Tanım. Düzlemdeki herhangi bir düz çizgi birinci dereceden bir denklemle belirtilebilir

Balta + Wu + C = 0,

ve sabit A, B aynı anda sıfıra eşit değildir. Bu birinci dereceden denklem denir genel

bir doğrunun denklemi. Sabitlerin değerlerine bağlı olarak A, B Ve İLE Aşağıdaki özel durumlar mümkündür:

. C = 0, Bir ≠0, B ≠ 0- orijinden düz bir çizgi geçer

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0)- eksene paralel düz çizgi Ah

. B = 0, Bir ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- eksene paralel düz çizgi kuruluş birimi

. B = C = 0, Bir ≠0- düz çizgi eksenle çakışıyor kuruluş birimi

. bir = C = 0, B ≠0- düz çizgi eksenle çakışıyor Ah

Düz bir çizginin denklemi verilen herhangi bir duruma bağlı olarak farklı biçimlerde sunulabilir.

başlangıç ​​koşulları.

Bir noktadan ve normal bir vektörden gelen düz bir çizginin denklemi.

Tanım. Kartezyen dikdörtgen koordinat sisteminde (A, B) bileşenlerine sahip bir vektör

denklemin verdiği çizgiye dik

Balta + Wu + C = 0.

Örnek. Bir noktadan geçen çizginin denklemini bulun bir(1, 2) vektöre dik (3, -1).

Çözüm. A = 3 ve B = -1 ile doğrunun denklemini yazalım: 3x - y + C = 0. C katsayısını bulmak için

Elde edilen ifadede verilen A noktasının koordinatlarını yerine koyalım: 3 - 2 + C = 0 elde ederiz, dolayısıyla

C = -1. Toplam: gerekli denklem: 3x - y - 1 = 0.

İki noktadan geçen doğrunun denklemi.

Uzayda iki nokta verilsin M 1 (x 1, y 1, z 1) Ve M2 (x 2, y 2, z 2), Daha sonra bir çizginin denklemi,

şu noktalardan geçerek:

Paydalardan herhangi biri sıfır ise karşılık gelen pay sıfıra eşitlenmelidir. Açık

düzlemde yukarıda yazılan düz çizginin denklemi basitleştirilmiştir:

Eğer x 1 ≠ x 2 Ve x = x 1, Eğer x 1 = x 2 .

Kesir = k isminde eğim dümdüz.

Örnek. A(1, 2) ve B(3, 4) noktalarından geçen doğrunun denklemini bulun.

Çözüm. Yukarıda yazılan formülü uygulayarak şunu elde ederiz:

Bir nokta ve eğim kullanılarak düz bir çizginin denklemi.

Doğrunun genel denklemi ise Balta + Wu + C = 0şunlara yol açar:

ve atayın , sonra ortaya çıkan denklem denir

eğimi k olan bir doğrunun denklemi.

Bir noktadan ve yön vektöründen gelen düz bir çizginin denklemi.

Normal vektör boyunca düz bir çizginin denklemini dikkate alan noktaya benzetilerek göreve girebilirsiniz.

bir noktadan geçen düz bir çizgi ve bir düz çizginin yönlendirici vektörü.

Tanım. Sıfır olmayan her vektör (a 1, a 2) bileşenleri koşulu karşılayan

Aα 1 + Bα 2 = 0 isminde Bir doğrunun yönlendirici vektörü.

Balta + Wu + C = 0.

Örnek. Yön vektörü (1, -1) olan ve A(1, 2) noktasından geçen düz bir çizginin denklemini bulun.

Çözüm. İstenilen çizginin denklemini formda arayacağız: Ax + By + C = 0. Tanıma göre,

katsayılar aşağıdaki koşulları karşılamalıdır:

1 * A + (-1) * B = 0, yani. A = B.

O halde düz çizginin denklemi şu şekildedir: Ax + Ay + C = 0, veya x + y + C / A = 0.

en x = 1, y = 2 aldık C/A = -3 yani gerekli denklem:

x + y - 3 = 0

Parçalardaki düz bir çizginin denklemi.

Düz çizginin genel denkleminde Ах + Ву + С = 0 С≠0 ise, -С'ye bölerek şunu elde ederiz:

veya nerede

Katsayıların geometrik anlamı, a katsayısının kesişim noktasının koordinatı olmasıdır.

eksenli düz Ah, A B- çizginin eksenle kesişme noktasının koordinatı OU.

Örnek. Düz bir çizginin genel denklemi verilmiştir x - y + 1 = 0. Bu doğrunun denklemini segmentler halinde bulun.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Bir doğrunun normal denklemi.

Denklemin her iki tarafı ise Balta + Wu + C = 0 sayıya böl buna denir

normalleştirme faktörü, sonra elde ederiz

xcosφ + ysinφ - p = 0 -bir doğrunun normal denklemi.

Normalleştirme faktörünün ± işareti şu şekilde seçilmelidir: µ*C< 0.

R- Başlangıç ​​noktasından düz çizgiye bırakılan dikmenin uzunluğu,

A φ - eksenin pozitif yönü ile bu dikin oluşturduğu açı Ah.

Örnek. Doğrunun genel denklemi verilmiştir 12x - 5y - 65 = 0. Farklı türde denklemler yazmak için gereklidir

bu düz çizgi.

Bu doğrunun segmentlerdeki denklemi:

Bu doğrunun eğimle denklemi: (5'e bölün)

Bir çizginin denklemi:

çünkü φ = 12/13; günah φ= -5/13; p = 5.

Her düz çizginin, örneğin düz çizgiler gibi bölümlerdeki bir denklemle temsil edilemeyeceğine dikkat edilmelidir.

eksenlere paralel veya orijinden geçen.

Düzlemdeki düz çizgiler arasındaki açı.

Tanım. İki satır verilirse y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2, daha sonra bu çizgiler arasındaki dar açı

olarak tanımlanacak

İki doğru paralel ise k1 =k2. İki çizgi birbirine dik

Eğer k 1 = -1/ k 2 .

Teorem.

Doğrudan Balta + Wu + C = 0 Ve bir 1 x + B 1 y + C 1 = 0 katsayılar orantılı olduğunda paralel

A 1 = λA, B 1 = λB. Ayrıca С 1 = λС, o zaman çizgiler çakışır. İki doğrunun kesiştiği noktanın koordinatları

Bu doğruların denklem sisteminin çözümü olarak bulunur.

Belirli bir çizgiye dik olarak belirli bir noktadan geçen çizginin denklemi.

Tanım. Bir noktadan geçen çizgi M 1 (x 1, y 1) ve çizgiye dik y = kx + b

denklemle temsil edilir:

Bir noktadan bir çizgiye olan mesafe.

Teorem. Bir puan verilirse M(x 0, y 0), daha sonra düz çizgiye olan mesafe Balta + Wu + C = 0şu şekilde tanımlanır:

Kanıt. Bırakın nokta M 1 (x 1, y 1)- bir noktadan bırakılan bir dikmenin tabanı M belirli bir süre için

doğrudan. Daha sonra noktalar arasındaki mesafe M Ve M1:

(1)

Koordinatlar x 1 Ve 1'de denklem sisteminin çözümü olarak bulunabilir:

Sistemin ikinci denklemi, belirli bir M 0 noktasından dik olarak geçen düz bir çizginin denklemidir.

düz çizgi verilmiştir. Sistemin ilk denklemini forma dönüştürürsek:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

sonra çözersek şunu elde ederiz:

Bu ifadeleri denklem (1)'de yerine koyarsak şunu buluruz:

Teorem kanıtlandı.

K(x 0 ; y 0) noktasından geçen ve y = kx + a doğrusuna paralel olan doğru şu formülle bulunur:

y - y 0 = k(x - x 0) (1)

Burada k doğrunun eğimidir.

Alternatif formül:
M 1 (x 1 ; y 1) noktasından geçen ve Ax+By+C=0 çizgisine paralel bir çizgi aşağıdaki denklemle temsil edilir

A(x-x 1)+B(y-y 1)=0 . (2)

Örnek No.2. 2x + 5y = 0 doğrusuna paralel olan ve koordinat eksenleriyle birlikte alanı 5 olan bir üçgen oluşturan bir doğrunun denklemini yazınız.
Çözüm . Çizgiler paralel olduğundan istenilen çizginin denklemi 2x + 5y + C = 0'dır. a ve b'nin bacakları olduğu dik üçgenin alanı. İstenilen doğrunun koordinat eksenleriyle kesişme noktalarını bulalım:
;
.
Yani A(-C/2,0), B(0,-C/5). Bunu alan formülünde yerine koyalım: . İki çözüm elde ederiz: 2x + 5y + 10 = 0 ve 2x + 5y – 10 = 0.

Örnek No. 3. (-2; 5) noktasından geçen ve 5x-7y-4=0 doğrusuna paralel bir doğrunun denklemini yazın.
Çözüm. Bu düz çizgi y = 5/7 x – 4/7 (burada a = 5/7) denklemiyle temsil edilebilir. İstenilen doğrunun denklemi y – 5 = 5 / 7 (x – (-2)) yani. 7(y-5)=5(x+2) veya 5x-7y+45=0 .

Örnek No. 4. Örnek 3'ü (A=5, B=-7) formül (2)'yi kullanarak çözdükten sonra 5(x+2)-7(y-5)=0 buluruz.

Örnek No. 5. (-2;5) noktasından geçen ve 7x+10=0 doğrusuna paralel bir doğrunun denklemini yazınız.
Çözüm. Burada A=7, B=0. Formül (2) 7(x+2)=0 sonucunu verir; x+2=0. Formül (1) uygulanamaz çünkü bu denklem y'ye göre çözülemez (bu düz çizgi ordinat eksenine paraleldir).

Öklid geometrisinde düz bir çizginin özellikleri.

Herhangi bir noktadan geçen sonsuz sayıda düz çizgi çizilebilir.

Çakışmayan herhangi iki noktadan tek bir doğru çizilebilir.

Bir düzlemde birbirinden farklı iki doğru ya tek bir noktada kesişir ya da

paralel (öncekinin devamı).

Üç boyutlu uzayda iki çizginin göreceli konumu için üç seçenek vardır:

• çizgiler kesişiyor;

• çizgiler paraleldir;

• düz çizgiler kesişir.

Dümdüz astar— birinci dereceden cebirsel eğri: Kartezyen koordinat sisteminde düz bir çizgi

düzlemde birinci dereceden bir denklem (doğrusal denklem) ile verilir.

Düz bir çizginin genel denklemi.

Tanım. Düzlemdeki herhangi bir düz çizgi birinci dereceden bir denklemle belirtilebilir

Balta + Wu + C = 0,

ve sabit A, B aynı anda sıfıra eşit değildir. Bu birinci dereceden denklem denir genel

bir doğrunun denklemi. Sabitlerin değerlerine bağlı olarak A, B Ve İLE Aşağıdaki özel durumlar mümkündür:

. C = 0, Bir ≠0, B ≠ 0- orijinden düz bir çizgi geçer

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0)- eksene paralel düz çizgi Ah

. B = 0, Bir ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- eksene paralel düz çizgi kuruluş birimi

. B = C = 0, Bir ≠0- düz çizgi eksenle çakışıyor kuruluş birimi

. bir = C = 0, B ≠0- düz çizgi eksenle çakışıyor Ah

Düz bir çizginin denklemi verilen herhangi bir duruma bağlı olarak farklı biçimlerde sunulabilir.

başlangıç ​​koşulları.

Bir noktadan ve normal bir vektörden gelen düz bir çizginin denklemi.

Tanım. Kartezyen dikdörtgen koordinat sisteminde (A, B) bileşenlerine sahip bir vektör

denklemin verdiği çizgiye dik

Balta + Wu + C = 0.

Örnek. Bir noktadan geçen çizginin denklemini bulun bir(1, 2) vektöre dik (3, -1).

Çözüm. A = 3 ve B = -1 ile doğrunun denklemini yazalım: 3x - y + C = 0. C katsayısını bulmak için

Elde edilen ifadede verilen A noktasının koordinatlarını yerine koyalım: 3 - 2 + C = 0 elde ederiz, dolayısıyla

C = -1. Toplam: gerekli denklem: 3x - y - 1 = 0.

İki noktadan geçen doğrunun denklemi.

Uzayda iki nokta verilsin M 1 (x 1, y 1, z 1) Ve M2 (x 2, y 2, z 2), Daha sonra bir çizginin denklemi,

şu noktalardan geçerek:

Paydalardan herhangi biri sıfır ise karşılık gelen pay sıfıra eşitlenmelidir. Açık

düzlemde yukarıda yazılan düz çizginin denklemi basitleştirilmiştir:

Eğer x 1 ≠ x 2 Ve x = x 1, Eğer x 1 = x 2 .

Kesir = k isminde eğim dümdüz.

Örnek. A(1, 2) ve B(3, 4) noktalarından geçen doğrunun denklemini bulun.

Çözüm. Yukarıda yazılan formülü uygulayarak şunu elde ederiz:

Bir nokta ve eğim kullanılarak düz bir çizginin denklemi.

Doğrunun genel denklemi ise Balta + Wu + C = 0şunlara yol açar:

ve atayın , sonra ortaya çıkan denklem denir

eğimi k olan bir doğrunun denklemi.

Bir noktadan ve yön vektöründen gelen düz bir çizginin denklemi.

Normal vektör boyunca düz bir çizginin denklemini dikkate alan noktaya benzetilerek göreve girebilirsiniz.

bir noktadan geçen düz bir çizgi ve bir düz çizginin yönlendirici vektörü.

Tanım. Sıfır olmayan her vektör (a 1, a 2) bileşenleri koşulu karşılayan

Aα 1 + Bα 2 = 0 isminde Bir doğrunun yönlendirici vektörü.

Balta + Wu + C = 0.

Örnek. Yön vektörü (1, -1) olan ve A(1, 2) noktasından geçen düz bir çizginin denklemini bulun.

Çözüm. İstenilen çizginin denklemini formda arayacağız: Ax + By + C = 0. Tanıma göre,

katsayılar aşağıdaki koşulları karşılamalıdır:

1 * A + (-1) * B = 0, yani. A = B.

O halde düz çizginin denklemi şu şekildedir: Ax + Ay + C = 0, veya x + y + C / A = 0.

en x = 1, y = 2 aldık C/A = -3 yani gerekli denklem:

x + y - 3 = 0

Parçalardaki düz bir çizginin denklemi.

Düz çizginin genel denkleminde Ах + Ву + С = 0 С≠0 ise, -С'ye bölerek şunu elde ederiz:

veya nerede

Katsayıların geometrik anlamı, a katsayısının kesişim noktasının koordinatı olmasıdır.

eksenli düz Ah, A B- çizginin eksenle kesişme noktasının koordinatı OU.

Örnek. Düz bir çizginin genel denklemi verilmiştir x - y + 1 = 0. Bu doğrunun denklemini segmentler halinde bulun.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Bir doğrunun normal denklemi.

Denklemin her iki tarafı ise Balta + Wu + C = 0 sayıya böl buna denir

normalleştirme faktörü, sonra elde ederiz

xcosφ + ysinφ - p = 0 -bir doğrunun normal denklemi.

Normalleştirme faktörünün ± işareti şu şekilde seçilmelidir: µ*C< 0.

R- Başlangıç ​​noktasından düz çizgiye bırakılan dikmenin uzunluğu,

A φ - eksenin pozitif yönü ile bu dikin oluşturduğu açı Ah.

Örnek. Doğrunun genel denklemi verilmiştir 12x - 5y - 65 = 0. Farklı türde denklemler yazmak için gereklidir

bu düz çizgi.

Bu doğrunun segmentlerdeki denklemi:

Bu doğrunun eğimle denklemi: (5'e bölün)

Bir çizginin denklemi:

çünkü φ = 12/13; günah φ= -5/13; p = 5.

Her düz çizginin, örneğin düz çizgiler gibi bölümlerdeki bir denklemle temsil edilemeyeceğine dikkat edilmelidir.

eksenlere paralel veya orijinden geçen.

Düzlemdeki düz çizgiler arasındaki açı.

Tanım. İki satır verilirse y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2, daha sonra bu çizgiler arasındaki dar açı

olarak tanımlanacak

İki doğru paralel ise k1 =k2. İki çizgi birbirine dik

Eğer k 1 = -1/ k 2 .

Teorem.

Doğrudan Balta + Wu + C = 0 Ve bir 1 x + B 1 y + C 1 = 0 katsayılar orantılı olduğunda paralel

A 1 = λA, B 1 = λB. Ayrıca С 1 = λС, o zaman çizgiler çakışır. İki doğrunun kesiştiği noktanın koordinatları

Bu doğruların denklem sisteminin çözümü olarak bulunur.

Belirli bir çizgiye dik olarak belirli bir noktadan geçen çizginin denklemi.

Tanım. Bir noktadan geçen çizgi M 1 (x 1, y 1) ve çizgiye dik y = kx + b

denklemle temsil edilir:

Bir noktadan bir çizgiye olan mesafe.

Teorem. Bir puan verilirse M(x 0, y 0), daha sonra düz çizgiye olan mesafe Balta + Wu + C = 0şu şekilde tanımlanır:

Kanıt. Bırakın nokta M 1 (x 1, y 1)- bir noktadan bırakılan bir dikmenin tabanı M belirli bir süre için

doğrudan. Daha sonra noktalar arasındaki mesafe M Ve M1:

(1)

Koordinatlar x 1 Ve 1'de denklem sisteminin çözümü olarak bulunabilir:

Sistemin ikinci denklemi, belirli bir M 0 noktasından dik olarak geçen düz bir çizginin denklemidir.

düz çizgi verilmiştir. Sistemin ilk denklemini forma dönüştürürsek:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

sonra çözersek şunu elde ederiz:

Bu ifadeleri denklem (1)'de yerine koyarsak şunu buluruz:

Teorem kanıtlandı.

Bu makale, bir düzlem üzerinde yer alan dikdörtgen bir koordinat sisteminde verilen iki noktadan geçen düz bir çizginin denkleminin türetilmesini ortaya koymaktadır. Dikdörtgen koordinat sisteminde verilen iki noktadan geçen düz çizginin denklemini türetelim. İşlenen materyalle ilgili birkaç örneği açıkça gösterip çözeceğiz.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Verilen iki noktadan geçen bir doğrunun denklemini elde etmeden önce bazı hususlara dikkat etmek gerekir. Bir düzlemdeki iki farklı noktadan sadece bir tane düz çizgi çizmenin mümkün olduğunu söyleyen bir aksiyom vardır. Başka bir deyişle, bir düzlem üzerinde verilen iki nokta, bu noktalardan geçen bir doğru ile tanımlanır.

Düzlem Oxy dikdörtgen koordinat sistemi tarafından tanımlanmışsa, içinde gösterilen herhangi bir düz çizgi, düzlemdeki düz bir çizginin denklemine karşılık gelecektir. Düz çizginin yönlendirici vektörüyle de bir bağlantı vardır.Bu veri, verilen iki noktadan geçen düz çizginin denklemini derlemek için yeterlidir.

Benzer bir sorunu çözme örneğine bakalım. Kartezyen koordinat sisteminde yer alan iki farklı M 1 (x 1, y 1) ve M 2 (x 2, y 2) noktasından geçen bir düz çizgi için bir denklem oluşturmak gerekir.

X - x 1 a x = y - y 1 a y formuna sahip bir düzlem üzerindeki bir çizginin kanonik denkleminde, M 1 (x) koordinatlarına sahip bir noktada onunla kesişen bir çizgi ile dikdörtgen bir koordinat sistemi O x y belirtilir. 1, y 1) kılavuz vektörü ile a → = (a x , a y) .

M 1 (x 1, y 1) ve M 2 (x 2, y 2) koordinatlarına sahip iki noktadan geçecek olan düz bir a çizgisinin kanonik bir denklemini oluşturmak gerekir.

Düz a, M 1 ve M 2 noktalarıyla kesiştiği için koordinatları (x 2 - x 1, y 2 - y 1) olan bir M 1 M 2 → yön vektörüne sahiptir. Kanonik denklemi M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) yön vektörünün koordinatları ve üzerlerinde yatan M 1 noktalarının koordinatları ile dönüştürmek için gerekli verileri elde ettik. (x 1, y 1) ve M 2 (x 2, y 2) . x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 veya x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 biçiminde bir denklem elde ederiz.

Aşağıdaki şekli düşünün.

Hesaplamaların ardından M 1 (x 1, y 1) ve M 2 (x 2, y 2) koordinatlarına sahip iki noktadan geçen bir düzlem üzerindeki doğrunun parametrik denklemlerini yazıyoruz. x = x 1 + (x 2 - x 1) · λ y = y 1 + (y 2 - y 1) · λ veya x = x 2 + (x 2 - x 1) · λ biçiminde bir denklem elde ederiz. y = y 2 + (y 2 - y 1) · λ .

Birkaç örneği çözmeye daha yakından bakalım.

örnek 1

Koordinatları M 1 - 5, 2 3, M 2 1, - 1 6 olan verilen 2 noktadan geçen düz bir çizginin denklemini yazın.

Çözüm

X 1, y 1 ve x 2, y 2 koordinatlarıyla iki noktada kesişen bir çizginin kanonik denklemi x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 formunu alır. Problemin koşullarına göre x 1 = - 5, y 1 = 2 3, x 2 = 1, y 2 = - 1 6 elde ederiz. Sayısal değerleri x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 denkleminde değiştirmek gerekir. Buradan kanonik denklemin x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 formunu aldığını anlıyoruz.

Cevap: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.

Bir problemi farklı bir denklem türüyle çözmeniz gerekiyorsa, önce kanonik olana gidebilirsiniz, çünkü ondan diğerine ulaşmak daha kolaydır.

Örnek 2

O xy koordinat sisteminde M 1 (1, 1) ve M 2 (4, 2) koordinatlarına sahip noktalardan geçen bir düz çizginin genel denklemini oluşturun.

Çözüm

Öncelikle verilen iki noktadan geçen bir doğrunun kanonik denklemini yazmanız gerekir. x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 biçiminde bir denklem elde ederiz.

Kanonik denklemi istenen forma getirelim, sonra şunu elde ederiz:

x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0

Cevap: x - 3 y + 2 = 0 .

Bu tür görevlerin örnekleri cebir derslerinde okul ders kitaplarında tartışılmıştır. Okul problemleri, y = k x + b formundaki açı katsayılı düz bir çizginin denkleminin bilinmesi bakımından farklılık gösteriyordu. Eğim k değerini ve y = k x + b denkleminin O x y sisteminde M 1 (x 1, y 1) ve M 2 noktalarından geçen bir çizgiyi tanımladığı b sayısını bulmanız gerekiyorsa ( x 2, y 2) , burada x 1 ≠ x 2. x 1 = x 2 olduğunda , daha sonra açısal katsayı sonsuzluğun değerini alır ve M 1 M 2 düz çizgisi, x - x 1 = 0 formundaki genel tamamlanmamış bir denklem ile tanımlanır. .

Çünkü noktalar M1 Ve M2 düz bir çizgi üzerindeyse koordinatları y 1 = k x 1 + b ve y 2 = k x 2 + b denklemini sağlar. K ve b için y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b denklem sistemini çözmek gerekir.

Bunu yapmak için k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 veya k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b ='yi buluruz y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2 .

Bu k ve b değerleriyle, verilen iki noktadan geçen bir doğrunun denklemi şu şekilde olur: y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 veya y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

Bu kadar çok sayıda formülü aynı anda hatırlamak imkansızdır. Bunun için problem çözmede tekrar sayısını artırmak gerekir.

Örnek 3

M 2 (2, 1) ve y = k x + b koordinatlarına sahip noktalardan geçen açısal katsayılı düz bir çizginin denklemini yazın.

Çözüm

Sorunu çözmek için açısal katsayısı y = k x + b şeklinde olan bir formül kullanıyoruz. K ve b katsayıları öyle bir değer almalıdır ki, bu denklem M 1 (- 7, - 5) ve M 2 (2, 1) koordinatlarına sahip iki noktadan geçen düz bir çizgiye karşılık gelir.

Puanlar M1 Ve M2 düz bir çizgi üzerinde bulunuyorsa, koordinatları y = k x + b denklemini gerçek bir eşitlik haline getirmelidir. Bundan - 5 = k · (- 7) + b ve 1 = k · 2 + b'yi elde ederiz. Denklemi - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b sisteminde birleştirip çözelim.

Değiştirme üzerine bunu elde ederiz

5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 kk = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3

Şimdi k = 2 3 ve b = - 1 3 değerleri y = k x + b denkleminde ikame edilir. Verilen noktalardan geçen gerekli denklemin y = 2 3 x - 1 3 formunda bir denklem olacağını buluyoruz.

Bu çözüm yöntemi, çok fazla zaman kaybını önceden belirler. Görevin kelimenin tam anlamıyla iki adımda çözülmesinin bir yolu var.

M 2 (2, 1) ve M 1 (- 7, - 5) 'den geçen çizginin kanonik denklemini x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5 şeklinde yazalım. ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .

Şimdi eğim denklemine geçelim. Şunu elde ederiz: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 · (x + 7) = 9 · (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3.

Cevap: y = 2 3 x - 1 3 .

Üç boyutlu uzayda, M 1 (x 1, y 1, z 1) ve M 2 (x 2, y 2, z 2) koordinatlarına sahip, çakışmayan iki noktaya sahip dikdörtgen bir O x y z koordinat sistemi varsa, İçlerinden geçen M düz çizgisi 1 M 2 , bu doğrunun denklemini elde etmek gerekir.

x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z biçiminde kanonik denklemlere ve x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z biçiminde parametrik denklemlere sahibiz 1 + a z · λ, O x y z koordinat sisteminde, a → = (a x, a y, a z) yön vektörüyle (x 1, y 1, z 1) koordinatlarına sahip noktalardan geçen bir doğruyu tanımlayabilir.

Düz M 1 M 2 M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) biçiminde bir yön vektörüne sahiptir, burada düz çizgi M 1 (x 1, y 1, noktasından geçer) z 1) ve M 2 (x 2 , y 2 , z 2), dolayısıyla kanonik denklem şu şekilde olabilir: x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 veya x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 = z - z 2 z 2 - z 1, sırasıyla parametrik x = x 1 + (x 2 - x 1 ) λ y = y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ veya x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) · λ z = z 2 + (z 2 - z 1) · λ .

Uzayda verilen 2 noktayı ve bir doğrunun denklemini gösteren bir çizim düşünün.

Örnek 4

Üç boyutlu uzayın O x y z dikdörtgen koordinat sisteminde tanımlanan, M 1 (2, - 3, 0) ve M 2 (1, - 3, - 5) koordinatlarına sahip verilen iki noktadan geçen bir doğrunun denklemini yazın.

Çözüm

Kanonik denklemi bulmak gerekir. Üç boyutlu uzaydan bahsettiğimiz için bu, bir doğrunun belirli noktalardan geçmesi durumunda istenen kanonik denklemin x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z formunu alacağı anlamına gelir. - z 1 z 2 - z 1 .

Koşul olarak x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5'e sahibiz. Gerekli denklemlerin şu şekilde yazılacağı anlaşılmaktadır:

x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5

Cevap: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.