Sıradan kesirler nasıl çözülür? Kesirlerle örnekler nasıl çözülür?


Bu makale kesirlerle işlemlere genel bir bakıştır. Burada, A ve B'nin bazı sayılar, sayısal ifadeler veya değişkenli ifadeler olduğu A/B genel formundaki kesirlerin toplama, çıkarma, çarpma, bölme ve üstel alma kurallarını formüle edeceğiz ve gerekçelendireceğiz. Her zamanki gibi, materyale çözümlerin ayrıntılı açıklamalarını içeren açıklayıcı örnekler sunacağız.

Sayfada gezinme.

Genel sayısal kesirlerle işlem yapma kuralları

Genel sayısal kesirler derken, pay ve/veya paydanın yalnızca doğal sayılarla değil, aynı zamanda diğer sayılar veya sayısal ifadelerle de temsil edilebildiği kesirleri kast ettiğimizi kabul edelim. Açıklık sağlamak için, bu tür kesirlerin birkaç örneğini burada bulabilirsiniz: , .

Bunların yürütüldüğü kuralları biliyoruz. Aynı kuralları kullanarak genel kesirlerle işlemler gerçekleştirebilirsiniz:

Kuralların mantığı

Genel bir formun sayısal kesirleriyle işlem yapma kurallarının geçerliliğini doğrulamak için aşağıdaki noktalardan başlayabilirsiniz:

  • Eğik çizgi aslında bir bölme işaretidir,
  • sıfırdan farklı bir sayıya bölünme, bölenin tersiyle çarpma olarak düşünülebilir (bu, kesirleri bölme kuralını hemen açıklar),
  • Gerçek sayılarla işlemlerin özellikleri,
  • ve genel anlayışı,

Toplama kurallarını, benzer ve farklı paydalarla kesirlerin çıkarılmasını ve kesirlerin çarpma kuralını haklı çıkaran aşağıdaki dönüşümleri gerçekleştirmenize izin verirler:

Örnekler

Bir önceki paragrafta öğrenilen kurallara göre genel kesirlerle işlem yapma örnekleri verelim. Hemen söyleyelim ki, genellikle kesirlerle işlemler yaptıktan sonra, ortaya çıkan kesirin basitleştirme gerektirdiğini ve bir kesri basitleştirme işleminin genellikle önceki eylemleri gerçekleştirmekten daha karmaşık olduğunu söyleyelim. Bizi ilgilendiren konudan uzaklaşmamak için kesirlerin basitleştirilmesi üzerinde ayrıntılı olarak durmayacağız (ilgili dönüşümler, kesirleri dönüştürme makalesinde tartışılmaktadır).

Paydaları benzer olan kesirlerde toplama ve çıkarma örnekleriyle başlayalım. İlk önce kesirleri toplayalım ve . Paydaların eşit olduğu açıktır. İlgili kurala göre, payı orijinal kesirlerin paylarının toplamına eşit olan bir kesir yazıyoruz ve paydayı aynı bırakıyoruz. Ekleme yapıldı, geriye kalan tek şey ortaya çıkan kesri basitleştirmek: . Bu yüzden, .

Çözüm farklı şekilde ele alınabilirdi: önce sıradan kesirlere geçiş yapın ve ardından toplama işlemini gerçekleştirin. Bu yaklaşımımızla .

Şimdi kesirden çıkaralım kesir . Kesirlerin paydaları eşittir, bu nedenle aynı paydalara sahip kesirleri çıkarma kuralını uygularız:

Farklı paydalara sahip kesirlerde toplama ve çıkarma örneklerine geçelim. Buradaki asıl zorluk kesirleri ortak paydaya getirmektir. Genel kesirler için bu oldukça geniş bir konu, bunu ayrı bir makalede detaylı olarak inceleyeceğiz. kesirleri ortak paydaya getirmek. Şimdilik kendimizi birkaç genel öneriyle sınırlayacağız, çünkü şu anda kesirlerle işlem yapma tekniğiyle daha çok ilgileniyoruz.

Genel olarak süreç, sıradan kesirlerin ortak bir paydaya indirgenmesine benzer. Yani paydalar çarpım şeklinde sunulur, daha sonra birinci kesirin paydasındaki tüm faktörler alınır ve ikinci kesirin paydasındaki eksik faktörler bunlara eklenir.

Eklenen veya çıkarılan kesirlerin paydalarının ortak çarpanları olmadığında, bunların çarpımını ortak payda olarak almak mantıklıdır. Bir örnek verelim.

Diyelim ki kesirlerde ve 1/2'de toplama işlemi yapmamız gerekiyor. Burada ortak payda olarak orijinal kesirlerin paydalarının çarpımını yani . Bu durumda ilk kesrin ek çarpanı 2 olacaktır. Pay ve payda onunla çarpıldıktan sonra kesir şekli alınacaktır. İkinci kesir için ise ek faktör ifadedir. Onun yardımıyla 1/2 fraksiyonu forma indirgenir. Geriye kalan tek şey, aynı paydalara sahip olan elde edilen kesirleri toplamaktır. İşte tüm çözümün bir özeti:

Genel kesirler söz konusu olduğunda, artık sıradan kesirlerin genellikle indirgendiği en düşük ortak paydadan bahsetmiyoruz. Bu konuda yine de biraz minimalizm için çabalamanız tavsiye edilir. Bununla, orijinal kesirlerin paydalarının çarpımını hemen ortak payda olarak almamanız gerektiğini söylemek istiyoruz. Örneğin, kesirlerin ortak paydasını ve çarpımını almak hiç de gerekli değildir. . İşte alabiliriz.

Genel kesirlerle çarpma örneklerine geçelim. Kesirleri çarpalım ve. Bu eylemi gerçekleştirme kuralı bize, payı orijinal kesirlerin paylarının çarpımı olan ve paydanın paydaların çarpımı olduğu bir kesir yazmamızı söyler. Sahibiz . Burada, diğer birçok durumda kesirleri çarparken olduğu gibi, kesri azaltabilirsiniz: .

Kesirleri bölme kuralı, bölmeden çarpma işlemine karşılıklı kesirle geçmenizi sağlar. Burada, belirli bir kesrin tersini elde etmek için, verilen kesrin payını ve paydasını değiştirmeniz gerektiğini hatırlamanız gerekir. Genel sayısal kesirlerin bölünmesinden çarpmaya geçişin bir örneği: . Geriye kalan tek şey çarpma işlemini gerçekleştirmek ve elde edilen kesri basitleştirmektir (gerekirse irrasyonel ifadelerin dönüşümüne bakın):

Bu paragraftaki bilgileri sonlandırırken, herhangi bir sayının veya sayısal ifadenin paydası 1 olan bir kesir olarak temsil edilebileceğini, bu nedenle sayıların ve kesirlerin toplanması, çıkarılması, çarpılması ve bölünmesinin kesirlerle karşılık gelen işlemin gerçekleştirilmesi olarak değerlendirilebileceğini hatırlayın. paydasında bir tane var. Örneğin, ifadede değiştirme Üçün kökü bir kesirle çarpıldığında, bir kesri bir sayıyla çarpmaktan iki kesirle çarpmaya geçiyoruz: .

Değişkenler içeren kesirlerle şeyler yapmak

Bu makalenin ilk bölümündeki kurallar, değişken içeren kesirlerle işlem yapmak için de geçerlidir. Bunlardan ilkini haklı çıkaralım - aynı paydalara sahip kesirleri toplama ve çıkarma kuralı, geri kalanı tamamen aynı şekilde kanıtlanmıştır.

Herhangi bir A, C ve D ifadesi için (D tamamen sıfıra eşit değildir) eşitliğin geçerli olduğunu kanıtlayalım. değişkenlerin izin verilen değerleri aralığında.

ODZ'den belirli bir değişken kümesini alalım. A, C ve D ifadeleri değişkenlerin bu değerleri için a 0, c 0 ve d 0 değerlerini alsın. Daha sonra, seçilen kümedeki değişkenlerin değerlerinin ifadeye değiştirilmesi, onu, benzer paydalara sahip sayısal kesirlerin eklenmesi (çıkarılması) kuralına göre, benzer paydalara sahip sayısal kesirlerin toplamına (farkına) dönüştürür. , eşittir . Ancak seçilen kümedeki değişkenlerin değerlerini ifadede değiştirmek onu aynı kesre dönüştürür. Bu, ODZ'den seçilen değişken değerleri kümesi için ve ifadelerinin değerlerinin eşit olduğu anlamına gelir. Belirtilen ifadelerin değerlerinin, ODZ'deki değişkenlerin diğer herhangi bir değer kümesi için eşit olacağı açıktır; bu, ve ifadelerinin aynı şekilde eşit olduğu, yani kanıtlanan eşitliğin doğru olduğu anlamına gelir. .

Değişkenlerle kesirleri toplama ve çıkarma örnekleri

Eklenen veya çıkarılan kesirlerin paydaları aynı olduğunda, her şey oldukça basittir - paylar eklenir veya çıkarılır, ancak payda aynı kalır. Bundan sonra elde edilen kesirin gerekirse ve mümkünse basitleştirileceği açıktır.

Bazen kesirlerin paydalarının yalnızca ilk bakışta farklılık gösterdiğini, ancak aslında bunların tamamen eşit ifadeler olduğunu unutmayın; örneğin, ve , veya ve . Ve bazen orijinal kesirleri, aynı paydaların "görünmesi" için basitleştirmek yeterlidir.

Örnek.

, B) ,V) .

Çözüm.

a) Paydaları benzer olan kesirlerde çıkarma işlemi yapmamız gerekir. İlgili kurala göre paydayı aynı bırakıp payları çıkarırsak, şunu elde ederiz: . Eylem tamamlandı. Ancak paydaki parantezleri açıp benzer terimleri de sunabilirsiniz: .

b) Açıkçası, eklenen kesirlerin paydaları aynıdır. Bu nedenle payları topluyoruz ve paydayı aynı bırakıyoruz: . Ekleme tamamlandı. Ancak ortaya çıkan oranın azaltılabileceğini görmek kolaydır. Gerçekte, elde edilen kesrin payı, (lgx+2) 2 (kısaltılmış çarpma formüllerine bakınız) şeklinde toplamın karesi formülü kullanılarak daraltılabilir, böylece aşağıdaki dönüşümler gerçekleşir: .

c) Toplamda kesirler farklı paydaları var. Ancak kesirlerden birini dönüştürdükten sonra aynı paydalara sahip kesirleri eklemeye devam edebilirsiniz. İki çözüm göstereceğiz.

İlk yol. İlk kesrin paydası, kareler farkı formülü kullanılarak çarpanlara ayrılabilir ve ardından bu kesir azaltılabilir: . Böylece, . Kesirin paydasındaki mantıksızlıktan kendinizi kurtarmanın bir zararı yok: .

İkinci yol. İkinci kesrin payını ve paydasını (bu ifade, orijinal ifade için ODZ'den gelen x değişkeninin herhangi bir değeri için sıfıra gitmez) ile çarpmak, aynı anda iki hedefe ulaşmanıza olanak tanır: kendinizi mantıksızlıktan kurtarın ve devam edin paydaları aynı olan kesirlerin eklenmesi. Sahibiz

Cevap:

A) , B) ,V) .

Son örnek bizi kesirleri ortak bir paydaya indirgeme sorununa getirdi. Orada, eklenen kesirlerden birini basitleştirerek neredeyse tesadüfen aynı paydalara ulaştık. Ancak çoğu durumda, farklı paydalara sahip kesirleri toplarken ve çıkarırken, kesirleri bilinçli olarak ortak bir paydaya getirmeniz gerekir. Bunu yapmak için genellikle kesirlerin paydaları ürün şeklinde sunulur, birinci kesirin paydasındaki tüm faktörler alınır ve ikinci kesirin paydasındaki eksik faktörler bunlara eklenir.

Örnek.

Kesirlerle işlemleri gerçekleştirin: a) , M.Ö) .

Çözüm.

a) Kesirlerin paydalarıyla herhangi bir işlem yapılmasına gerek yoktur. Ortak payda olarak çarpımı alıyoruz . Bu durumda, ilk kesir için ek faktör ifadedir ve ikinci kesir için 3 sayısıdır. Bu ek faktörler kesirleri ortak bir paydaya getirir ve bu da daha sonra ihtiyacımız olan eylemi gerçekleştirmemize olanak tanır.

b) Bu örnekte paydalar zaten çarpım olarak temsil edilmiştir ve herhangi bir ek dönüşüm gerektirmez. Açıkçası, paydalardaki faktörler yalnızca üslerde farklılık gösterir, bu nedenle ortak payda olarak en yüksek üslere sahip faktörlerin çarpımını alırız, yani, . O zaman ilk kesir için ek faktör x 4, ikinci kesir için ise – ln(x+1) olacaktır. Artık kesirlerde çıkarma işlemine hazırız:

c) Ve bu durumda öncelikle kesirlerin paydaları ile çalışacağız. Kareler farkı ve toplamın karesi formülleri orijinal toplamdan ifadeye geçmenizi sağlar . Artık bu kesirlerin ortak bir paydaya indirgenebileceği açıktır. . Bu yaklaşımla çözüm şöyle görünecektir:

Cevap:

A)

B)

V)

Kesirleri değişkenlerle çarpma örnekleri

Kesirlerin çarpılması, payı orijinal kesirlerin paylarının çarpımı olan ve paydası da paydaların çarpımı olan bir kesir üretir. Burada gördüğünüz gibi her şey tanıdık ve basit ve yalnızca bu eylem sonucunda elde edilen kesirin çoğu zaman indirgenebilir olduğunu ekleyebiliriz. Bu durumlarda, elbette gerekli ve haklı olmadığı sürece azaltılır.

Kesirler

Dikkat!
Ek var
Özel Bölüm 555'teki materyaller.
Çok "pek değil..." olanlar için
Ve “çok…” diyenler için)

Kesirler lisede pek sıkıntı yaratmaz. Şu an için. Ta ki rasyonel üslü ve logaritmalı kuvvetlerle karşılaşıncaya kadar. Ve orada... Hesap makinesine basarsınız ve basarsınız ve hesap makinesi bazı sayıların tam ekranını gösterir. Üçüncü sınıftaki gibi kafanla düşünmek zorundasın.

Sonunda kesirleri bulalım! Peki, bunlarla ne kadar kafan karışabilir!? Üstelik her şey basit ve mantıklı. Bu yüzden, kesir türleri nelerdir?

Kesir türleri. Dönüşümler.

Üç tür kesir vardır.

1. Ortak kesirler , Örneğin:

Bazen yatay çizgi yerine eğik çizgi koyarlar: 1/2, 3/4, 19/5, vb. Burada bu yazımı sıklıkla kullanacağız. En üstteki numara aranır pay, daha düşük - payda. Eğer bu isimleri sürekli karıştırıyorsanız (olur...), kendinize şu cümleyi söyleyin: " Zzzzz Unutma! Zzzzz payda - bak zzzzz ah!" Bak, her şey hatırlanacak.)

Yatay veya eğimli çizgi şu anlama gelir: bölümüstteki sayıyı (pay) aşağıya (payda) doğru. Bu kadar! Kısa çizgi yerine bölme işareti koymak oldukça mümkündür - iki nokta.

Tam bölünme mümkün olduğunda bu yapılmalıdır. Yani “32/8” kesri yerine “4” sayısını yazmak çok daha keyifli. Onlar. 32 basitçe 8'e bölünür.

32/8 = 32: 8 = 4

"4/1" kesirinden bahsetmiyorum bile. Bu da sadece "4". Tamamen bölünemiyorsa kesir olarak bırakıyoruz. Bazen tam tersi işlemi yapmanız gerekir. Tam sayıyı kesire dönüştürün. Ancak daha sonra bunun hakkında daha fazla bilgi vereceğiz.

2. Ondalık Sayılar , Örneğin:

Bu formda “B” görevlerinin cevaplarını yazmanız gerekecektir.

3. Karışık sayılar , Örneğin:

Lisede karışık sayılar pratikte kullanılmaz. Onlarla çalışabilmek için bunların sıradan kesirlere dönüştürülmesi gerekir. Ancak bunu kesinlikle yapabilmeniz gerekiyor! Aksi takdirde bir problemde böyle bir sayıyla karşılaşırsınız ve donarsınız... Bir anda. Ancak bu prosedürü hatırlayacağız! Biraz daha aşağıda.

En çok yönlü ortak kesirler. Onlarla başlayalım. Bu arada, eğer bir kesir her türlü logaritmayı, sinüsü ve diğer harfleri içeriyorsa, bu hiçbir şeyi değiştirmez. Bir anlamda her şey Kesirli ifadelere sahip eylemlerin sıradan kesirli eylemlerden hiçbir farkı yoktur!

Bir kesrin temel özelliği.

O zaman hadi gidelim! Başlangıç ​​olarak sizi şaşırtacağım. Tüm kesir dönüşümleri tek bir özellik tarafından sağlanır! Buna denir bir kesrin temel özelliği. Hatırlamak: Bir kesrin pay ve paydası aynı sayı ile çarpılırsa (bölülürse) kesir değişmez. Onlar:

Yüzün morarıncaya kadar yazmaya devam edebileceğin açık. Sinüs ve logaritmaların kafanızı karıştırmasına izin vermeyin, bunlarla daha ayrıntılı olarak ilgileneceğiz. Önemli olan tüm bu çeşitli ifadelerin aynı kesir . 2/3.

Bütün bu dönüşümlere ihtiyacımız var mı? Ve nasıl! Şimdi kendiniz göreceksiniz. Başlangıç ​​olarak kesrin temel özelliğini kullanalım. kesirlerin azaltılması. Basit bir şey gibi görünebilir. Pay ve paydayı aynı sayıya bölün, işte bu kadar! Hata yapmak imkansızdır! Ama... insan yaratıcı bir varlıktır. Her yerde hata yapabilirsiniz! Hele ki 5/10 gibi bir kesri değil, her türlü harften oluşan kesirli bir ifadeyi azaltmanız gerekiyorsa.

Ekstra çalışma yapmadan kesirlerin doğru ve hızlı bir şekilde nasıl azaltılacağı özel Bölüm 555'te okunabilir.

Normal bir öğrenci pay ve paydayı aynı sayıya (veya ifadeye) bölme zahmetine girmez! Yukarıda ve aşağıda aynı olan her şeyin üstünü çiziyor! Tipik bir hatanın, deyim yerindeyse, bir gafın gizlendiği yer burasıdır.

Örneğin, ifadeyi basitleştirmeniz gerekir:

Burada düşünecek bir şey yok, üstteki “a” harfinin ve alttaki “2” harfinin üzerini çizin! Şunu elde ederiz:

Her şey doğru. Ama gerçekten bölünmüşsün Tümü pay ve Tümü payda "a"dır. Sadece üstünü çizmeye alışkınsanız, aceleyle ifadedeki "a" harfinin üstünü çizebilirsiniz.

ve tekrar al

Bu kategorik olarak doğru olmazdı. Çünkü burada Tümü"a" üzerindeki pay zaten paylaşılmamış! Bu oran azaltılamaz. Bu arada, böyle bir azalma öğretmen için ciddi bir zorluktur. Bu affedilmez! Hatırlıyor musun? Küçültürken bölmeniz gerekir Tümü pay ve Tümü payda!

Kesirlerin azaltılması hayatı çok daha kolaylaştırır. Bir yerde bir kesir elde edeceksiniz, örneğin 375/1000. Artık onunla çalışmaya nasıl devam edebilirim? Hesap makinesi olmadan mı? Çarp, diyelim, topla, karesini al!? Ve eğer çok tembel değilseniz ve dikkatli bir şekilde beşe, beşe kadar kesin ve hatta... kısacası kısaltılırken. Hadi 3/8'i alalım! Çok daha hoş, değil mi?

Bir kesrin ana özelliği, sıradan kesirleri ondalık sayılara dönüştürmenize ve bunun tersini yapmanıza olanak tanır hesap makinesi olmadan! Bu Birleşik Devlet Sınavı için önemli, değil mi?

Kesirler bir türden diğerine nasıl dönüştürülür?

Ondalık kesirlerle her şey basittir. Nasıl duyulursa öyle yazılır! 0,25 diyelim. Bu sıfır virgül yirmi beş yüzde bir. O halde şunu yazıyoruz: 25/100. Azaltıyoruz (pay ve paydayı 25'e bölüyoruz), normal kesri elde ediyoruz: 1/4. Tüm. Bu olur ve hiçbir şey azalmaz. 0.3 gibi. Bu onda üç, yani. 3/10.

Tamsayılar sıfır değilse ne olur? Önemli değil. Kesirin tamamını yazıyoruz virgül olmadan payda ve paydada - duyulanlar. Örneğin: 3.17. Bu üç virgül bin yedidir. Payına 317, paydasına 100 yazıyoruz, 317/100 elde ediyoruz. Hiçbir şey azalmaz, bu her şey demektir. Cevap bu. Temel Watson! Bütün söylenenlerden, yararlı bir sonuç: herhangi bir ondalık kesir ortak bir kesire dönüştürülebilir .

Ancak bazı kişiler hesap makinesi olmadan sıradan ondalık sayıya ters dönüşümü yapamazlar. Ve bu gerekli! Birleşik Devlet Sınavının cevabını nasıl yazacaksınız!? Dikkatlice okuyun ve bu süreçte uzmanlaşın.

Ondalık kesrin özelliği nedir? Onun paydası Her zaman maliyeti 10 veya 100 veya 1000 veya 10000 vb. Ortak kesirinizin paydası böyleyse sorun yok. Örneğin 4/10 = 0,4. Veya 7/100 = 0,07. Veya 12/10 = 1,2. Peki ya “B” bölümündeki görevin cevabı 1/2 olursa? Cevap olarak ne yazacağız? Ondalık sayılar gerekli...

Hatırlayalım bir kesrin temel özelliği ! Matematik, pay ve paydayı aynı sayıyla çarpmanıza olumlu bir şekilde izin verir. Bu arada, herhangi bir şey! Sıfır hariç elbette. O halde gelin bu özelliği lehimize kullanalım! Payda neyle çarpılabilir, yani? 2 yani 10 mu, 100 mü yoksa 1000 mi (daha küçükse daha iyidir elbette...)? Tabii ki saat 5'te. Paydayı çarpmaktan çekinmeyin (bu biz gerekli) 5 ile. Ancak bu durumda payın da 5 ile çarpılması gerekir. Bu zaten matematik talepler! 1/2 = 1x5/2x5 = 5/10 = 0,5 elde ederiz. Bu kadar.

Ancak her türlü payda karşımıza çıkıyor. Örneğin 3/16 kesiriyle karşılaşacaksınız. 16'yı neyle çarparak 100 veya 1000 olacağını bulmaya çalışın... İşe yaramıyor mu? Daha sonra 3'e 16'ya bölebilirsiniz. Hesap makinesinin yokluğunda, ilkokulda öğretildiği gibi bir kağıt parçası üzerinde köşeyle bölmeniz gerekecektir. 0,1875 elde ediyoruz.

Ayrıca çok kötü paydalar da var. Örneğin 1/3 kesirini iyi bir ondalık sayıya dönüştürmenin bir yolu yoktur. Hem hesap makinesinde hem de bir kağıt parçasında şunu elde ederiz: 0,3333333... Bu, 1/3'ün tam bir ondalık kesir olduğu anlamına gelir tercüme etmiyor. 1/7, 5/6 vb. ile aynı. Çevrilemeyen birçoğu var. Bu bizi başka bir yararlı sonuca getiriyor. Her kesir ondalık sayıya dönüştürülemez !

Bu arada, bu kendi kendini test etmek için yararlı bir bilgidir. "B" bölümünde cevabınızda ondalık kesir yazmalısınız. Ve örneğin 4/3'ü elde ettiniz. Bu kesir ondalık sayıya dönüşmez. Bu, yol boyunca bir yerde hata yaptığınız anlamına gelir! Geri dönüp çözümü kontrol edin.

Böylece sıradan ve ondalık kesirleri bulduk. Geriye kalan tek şey karışık sayılarla uğraşmak. Onlarla çalışmak için bunların sıradan kesirlere dönüştürülmesi gerekir. Nasıl yapılır? Bir altıncı sınıf öğrencisini yakalayıp ona sorabilirsiniz. Ancak altıncı sınıf öğrencisi her zaman elinizin altında olmayacak... Bunu kendiniz yapmak zorunda kalacaksınız. Zor değil. Kesirli kısmın paydasını tam kısımla çarpmanız ve kesirli kısmın payını eklemeniz gerekir. Bu ortak kesrin payı olacaktır. Payda ne olacak? Payda aynı kalacaktır. Kulağa karmaşık geliyor ama gerçekte her şey basit. Bir örneğe bakalım.

Diyelim ki problemdeki sayıyı görünce dehşete düştünüz:

Sakince, paniğe kapılmadan düşünüyoruz. Parçanın tamamı 1. Birimdir. Kesirli kısım 3/7'dir. Dolayısıyla kesirli kısmın paydası 7'dir. Bu payda adi kesrin paydası olacaktır. Payını sayıyoruz. 7'yi 1 ile çarpıyoruz (tamsayı kısmı) ve 3'ü (kesirli kısmın payı) ekliyoruz. 10 elde ederiz. Bu, ortak bir kesrin payı olacaktır. Bu kadar. Matematiksel gösterimde daha da basit görünüyor:

Açık mı? O halde başarınızı güvence altına alın! Sıradan kesirlere dönüştürün. 10/7, 7/2, 23/10 ve 21/4 almalısınız.

Uygunsuz bir kesri karışık bir sayıya dönüştürmek olan ters işlem, lisede nadiren gereklidir. Eğer öyleyse... Eğer lisede değilseniz özel Bölüm 555'e bakabilirsiniz. Bu arada burada bileşik kesirleri de öğreneceksiniz.

Eh, neredeyse hepsi bu. Kesir türlerini hatırladınız ve anladınız Nasıl bunları bir türden diğerine aktarın. Geriye şu soru kalıyor: Ne için yap? Bu derin bilgiyi nerede ve ne zaman uygulamalı?

Cevaplıyorum. Herhangi bir örneğin kendisi gerekli eylemleri önerir. Örnekte sıradan kesirler, ondalık sayılar ve hatta karışık sayılar birbirine karıştırılırsa, her şeyi sıradan kesirlere dönüştürürüz. Her zaman yapılabilir. Eğer 0,8 + 0,3 gibi bir şey söylüyorsa, o zaman çeviri yapmadan bu şekilde sayarız. Neden ekstra çalışmaya ihtiyacımız var? Uygun olan çözümü seçiyoruz biz !

Görevin tamamı ondalık kesirlerden oluşuyorsa, ama ımm... bir tür kötü olanlar, sıradan olanlara gidin ve deneyin! Bak her şey yoluna girecek. Örneğin 0,125 sayısının karesini almanız gerekecek. Hesap makinesi kullanmaya alışmadıysanız bu o kadar kolay değil! Bir sütundaki sayıları çarpmanın yanı sıra virgülü nereye koyacağınızı da düşünmeniz gerekir! Kesinlikle kafanızda işe yaramayacak! Sıradan bir kesire geçersek ne olur?

0,125 = 125/1000. Bunu 5 oranında azaltıyoruz (bu yeni başlayanlar içindir). 25/200 alıyoruz. Bir kez daha 5'e kadar. 5/40 elde ederiz. Ah, hala küçülüyor! 5'e geri dönelim! 1/8 elde ederiz. Kolayca karesini alabiliriz (zihnimizde!) ve 1/64 elde edebiliriz. Tüm!

Bu dersi özetleyelim.

1. Üç tür kesir vardır. Ortak, ondalık ve karışık sayılar.

2. Ondalık sayılar ve karışık sayılar Her zaman sıradan kesirlere dönüştürülebilir. Ters aktarım her zaman değil mevcut.

3. Bir görevde kullanılacak kesir türünün seçimi, görevin kendisine bağlıdır. Bir görevde farklı kesir türleri varsa en güvenilir şey sıradan kesirlere geçmektir.

Artık pratik yapabilirsiniz. Öncelikle bu ondalık kesirleri sıradan kesirlere dönüştürün:

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

Bunun gibi yanıtlar almalısınız (karmaşa içinde!):

Burada bitirelim. Bu dersimizde kesirlerle ilgili önemli noktalarda hafızamızı tazeledik. Ancak yenilenecek özel bir şey olmadığı da olur...) Birisi tamamen unutmuşsa veya henüz ustalaşmamışsa... O zaman özel bir Bölüm 555'e gidebilirsiniz. Tüm temel bilgiler burada ayrıntılı olarak ele alınmıştır. Birçoğu aniden her şeyi anlamak başlıyorlar. Ve kesirleri anında çözerler).

Bu siteyi beğendiyseniz...

Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)

Örnek çözerek pratik yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Hadi öğrenelim - ilgiyle!)

Fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.

Parçayı bütünün kesri olarak ifade etmek için parçayı bütüne bölmeniz gerekir.

Görev 1. Sınıfta 30 öğrenci var, dördü yok. Devamsız olan öğrencilerin oranı nedir?

Çözüm:

Cevap: Sınıfta öğrenci yok.

Bir sayıdan kesir bulma

Bir bütünün parçasını bulmanız gereken sorunları çözmek için aşağıdaki kural geçerlidir:

Bir bütünün bir kısmı kesir olarak ifade ediliyorsa bu parçayı bulmak için bütünü kesrin paydasına bölebilir ve sonucu pay ile çarpabilirsiniz.

Görev 1. 600 ruble vardı, bu miktar harcandı. Ne kadar para harcadın?

Çözüm: 600 ruble veya daha fazlasını bulmak için bu miktarı 4 parçaya bölmemiz gerekiyor, böylece dörtte birinin ne kadar para olduğunu bulacağız:

600: 4 = 150 (r.)

Cevap: 150 ruble harcadı.

Görev 2. 1000 ruble vardı, bu miktar harcandı. Ne kadar para harcandı?

Çözüm: problem tanımından 1000 rublenin beş eşit parçadan oluştuğunu biliyoruz. Önce 1000'in beşte birinin kaç ruble olduğunu bulalım, sonra da beşte ikisinin kaç ruble olduğunu bulacağız:

1) 1000: 5 = 200 (r.) - beşte biri.

2) 200 · 2 = 400 (r.) - beşte ikisi.

Bu iki eylem birleştirilebilir: 1000: 5 · 2 = 400 (r.).

Cevap: 400 ruble harcandı.

Bir bütünün parçasını bulmanın ikinci yolu:

Bir bütünün bir parçasını bulmak için bütünü, bütünün o parçasını ifade eden kesirle çarpabilirsiniz.

Görev 3. Kooperatif tüzüğüne göre raporlama toplantısının geçerli olabilmesi için en azından kuruluş üyelerinin hazır bulunması gerekmektedir. Kooperatifin 120 üyesi var. Bir raporlama toplantısı hangi kompozisyonda gerçekleştirilebilir?

Çözüm:

Cevap: Kuruluşun 80 üyesinin olması durumunda raporlama toplantısı yapılabilir.

Bir sayıyı kesrine göre bulma

Parçasından bir bütün bulmanız gereken sorunları çözmek için aşağıdaki kural geçerlidir:

İstenilen bütünün bir kısmı kesir olarak ifade edilirse bu bütünü bulmak için bu kısmı kesrin payına bölebilir ve sonucu paydasıyla çarpabilirsiniz.

Görev 1. Orijinal miktardan daha az olan 50 ruble harcadık. Orijinal para miktarını bulun.

Çözüm: Sorunun açıklamasından 50 rublenin orijinal miktardan 6 kat daha az olduğunu görüyoruz, yani. orijinal miktar 50 rubleden 6 kat daha fazladır. Bu miktarı bulmak için 50'yi 6 ile çarpmanız gerekir:

50 · 6 = 300 (r.)

Cevap: başlangıç ​​​​miktarı 300 ruble.

Görev 2. Orijinal para miktarından daha az olan 600 ruble harcadık. Orijinal tutarı bulun.

Çözüm: Gerekli sayının üçte üçünden oluştuğunu varsayacağız. Şarta göre sayının üçte ikisi 600 rubleye denk geliyor. İlk önce orijinal miktarın üçte birini bulalım ve ardından üçte üçün (orijinal miktar) kaç ruble olduğunu bulalım:

1) 600: 2 3 = 900 (r.)

Cevap: başlangıç ​​​​miktarı 900 ruble.

Bir bütünü parçasından bulmanın ikinci yolu:

Bir bütünü, parçasını ifade eden değere göre bulmak için bu değeri, bu parçayı ifade eden kesre bölebilirsiniz.

Görev 3.Çizgi segmenti AB 42 cm'ye eşit olan segmentin uzunluğudur CD. Segmentin uzunluğunu bulun CD.

Çözüm:

Cevap: bölüm uzunluğu CD 70 cm.

Görev 4. Mağazaya karpuzlar getirildi. Öğle yemeğinden önce mağaza getirdiği karpuzları satıyordu, öğle yemeğinden sonra ise satılacak 80 karpuz kalmıştı. Mağazaya kaç tane karpuz getirdin?

Çözüm:Öncelikle getirilen karpuzların hangi kısmının 80 olduğunu bulalım. Bunun için getirilen toplam karpuz sayısını bir olarak alıp bundan satılan (satılan) karpuz sayısını çıkaralım:

Ve böylece getirilen karpuz sayısının 80 karpuzdan oluştuğunu öğrendik. Şimdi toplam miktardan kaç karpuz oluştuğunu ve ardından kaç karpuz oluştuğunu (getirilen karpuz sayısı) öğreniyoruz:

2) 80: 4 15 = 300 (karpuz)

Cevap: Mağazaya toplam 300 karpuz getirildi.

Bu bölüm sıradan kesirlerle yapılan işlemleri kapsamaktadır. Karışık sayılarla matematiksel bir işlem yapılması gerekiyorsa, karışık kesri olağanüstü bir kesire dönüştürmek, gerekli işlemleri yapmak ve gerekirse nihai sonucu tekrar karışık sayı şeklinde sunmak yeterlidir. . Bu işlem aşağıda anlatılacaktır.

Bir kesirin azaltılması

Matematiksel operasyon. Bir kesirin azaltılması

\frac(m)(n) kesirini azaltmak için pay ve paydasının en büyük ortak bölenini bulmanız gerekir: gcd(m,n) ve sonra kesrin payını ve paydasını bu sayıya bölmeniz gerekir. Eğer OBE(m,n)=1 ise kesir indirgenemez. Örnek: \frac(20)(80)=\frac(20:20)(80:20)=\frac(1)(4)

Genellikle, en büyük ortak böleni hemen bulmak zor bir iş gibi görünür ve pratikte, pay ve paydadan bariz ortak faktörler adım adım izole edilerek bir kesir birkaç aşamada azaltılır. \frac(140)(315)=\frac(28\cdot5)(63\cdot5)=\frac(4\cdot7\cdot5)(9\cdot7\cdot5)=\frac(4)(9)

Kesirleri ortak paydaya indirgemek

Matematiksel operasyon. Kesirleri ortak paydaya indirgemek

İki kesri \frac(a)(b) ve \frac(c)(d)'yi ortak bir paydaya getirmek için ihtiyacınız olan:

  • paydaların en küçük ortak katını bulun: M=LMK(b,d);
  • ilk kesrin payını ve paydasını M/b ile çarpın (bundan sonra kesrin paydası M sayısına eşit olur);
  • ikinci kesrin payını ve paydasını M/d ile çarpın (bundan sonra kesrin paydası M sayısına eşit olur).

Böylece orijinal kesirleri aynı paydalara sahip (M sayısına eşit olacak) kesirlere dönüştürüyoruz.

Örneğin, \frac(5)(6) ve \frac(4)(9) kesirleri LCM(6,9) = 18'e sahiptir. O zaman: \frac(5)(6)=\frac(5\cdot3) (6 \cdot3)=\frac(15)(18);\quad\frac(4)(9)=\frac(4\cdot2)(9\cdot2)=\frac(8)(18) . Böylece elde edilen kesirlerin ortak bir paydası vardır.

Uygulamada, paydaların en küçük ortak katını (LCM) bulmak her zaman basit bir iş değildir. Bu nedenle orijinal kesirlerin paydalarının çarpımına eşit bir sayı ortak payda olarak seçilir. Örneğin, \frac(5)(6) ve \frac(4)(9) kesirleri N=6\cdot9 ortak paydasına indirgenir:

\frac(5)(6)=\frac(5\cdot9)(6\cdot9)=\frac(45)(54);\quad\frac(4)(9)=\frac(4\cdot6)( 9\cdot6)=\frac(24)(54)

Kesirlerin karşılaştırılması

Matematiksel operasyon. Kesirlerin karşılaştırılması

İki sıradan kesri karşılaştırmak için ihtiyacınız olan:

  • elde edilen kesirlerin paylarını karşılaştırın; payı daha büyük olan bir kesir daha büyük olacaktır.
Örneğin, \frac(9)(14)

Kesirleri karşılaştırırken birkaç özel durum vardır:

  1. İki fraksiyondan aynı paydalarla Payı büyük olan kesir daha büyüktür. Örneğin, \frac(3)(15)
  2. İki fraksiyondan aynı numaralarla Daha büyük olan, paydası daha küçük olan kesirdir. Örneğin, \frac(4)(11)>\frac(4)(13)
  3. Aynı anda bu kesir daha büyük pay ve daha küçük payda, Daha. Örneğin, \frac(11)(3)>\frac(10)(8)

Dikkat! Kural 1, ortak paydası pozitif bir sayı olan tüm kesirler için geçerlidir. Kural 2 ve 3 pozitif kesirlere (hem payı hem de paydası sıfırdan büyük olanlar) uygulanır.

Kesirleri toplama ve çıkarma

Matematiksel operasyon. Kesirleri toplama ve çıkarma

İki kesir eklemek için ihtiyacınız olan:

  • onları ortak bir paydaya getirin;
  • paylarını ekleyin ve paydayı değiştirmeden bırakın.

Örnek: \frac(7)(9)+\frac(4)(7)=\frac(7\cdot7)(9\cdot7)+\frac(4\cdot9)(7\cdot9)=\frac(49) )(63)+\frac(36)(63)=\frac(49+36)(63)=\frac(85)(63)

Bir kesirden diğerini çıkarmak için şunlara ihtiyacınız vardır:

  • kesirleri ortak bir paydaya indirgemek;
  • İkinci kesrin payını birinci kesrin payından çıkarın ve paydayı değiştirmeden bırakın.

Örnek: \frac(4)(15)-\frac(3)(5)=\frac(4)(15)-\frac(3\cdot3)(5\cdot3)=\frac(4)(15) -\frac(9)(15)=\frac(4-9)(15)=\frac(-5)(15)=-\frac(5)(3\cdot5)=-\frac(1)( 3)

Orijinal kesirlerin başlangıçta ortak bir paydası varsa, 1. adım (ortak bir paydaya indirgeme) atlanır.

Karışık bir sayıyı bileşik bir kesire dönüştürmek veya tam tersi

Matematiksel operasyon. Karışık bir sayıyı bileşik bir kesire dönüştürmek veya tam tersi

Karışık bir fraksiyonu bileşik bir fraksiyona dönüştürmek için, karışık fraksiyonun tüm kısmını kesir kısmıyla toplamanız yeterlidir. Böyle bir toplamın sonucu, payı, karışık fraksiyonun payı ile fraksiyonun paydası tarafından tüm parçanın çarpımının toplamına eşit olan uygunsuz bir kesir olacaktır ve payda aynı kalacaktır. Örneğin, 2\frac(6)(11)=2+\frac(6)(11)=\frac(2\cdot11)(11)+\frac(6)(11)=\frac(2\cdot11+) 6)(11)=\frac(28)(11)

Uygun olmayan bir kesiri tam sayıya dönüştürmek için:

  • bir kesrin payını paydasına bölmek;
  • bölümün geri kalanını paya yazın ve paydayı aynı bırakın;
  • Bölme işleminin sonucunu tam sayı olarak yazınız.

Örneğin, \frac(23)(4) kesri. 23:4=5.75'e bölündüğünde yani tamamı 5 olduğundan kalan 23-5*4=3 olur. Daha sonra karışık sayı yazılacaktır: 5\frac(3)(4) . \frac(23)(4)=\frac(5\cdot4+3)(4)=5\frac(3)(4)

Ondalık Sayıyı Kesire Dönüştürme

Matematiksel operasyon. Ondalık Sayıyı Kesire Dönüştürme

Ondalık kesri ortak kesire dönüştürmek için yapmanız gerekenler:

  1. payda olarak onun n'inci kuvvetini alın (burada n, ondalık basamakların sayısıdır);
  2. pay olarak, ondalık noktadan sonraki sayıyı alın (orijinal sayının tam sayı kısmı sıfıra eşit değilse, baştaki tüm sıfırları da alın);
  3. sıfır olmayan tamsayı kısmı payın en başında yazılır; sıfır tamsayı kısmı atlanır.

Örnek 1: 0,0089=\frac(89)(10000) (4 ondalık basamak vardır, dolayısıyla payda 10 4 =10000 olur, tamsayı kısmı 0 olduğundan pay, başında sıfır olmadan ondalık noktadan sonraki sayıyı içerir)

Örnek 2: 31.0109=\frac(310109)(10000) (payda virgülden sonraki sayıyı tamamen sıfırlarla yazarız: “0109” ve ondan önce orijinal “31” sayısının tamamını ekleriz”)

Ondalık kesrin tamamı sıfırdan farklıysa, karışık kesire dönüştürülebilir. Bunu yapmak için, sanki tüm kısım sıfıra eşitmiş gibi (1 ve 2 noktaları) sayıyı sıradan bir kesire dönüştürüyoruz ve tüm kısmı kesirin önüne yeniden yazıyoruz - bu, karışık sayının tam kısmı olacak . Örnek:

3,014=3\frac(14)(100)

Bir kesri ondalık sayıya dönüştürmek için payı paydaya bölmeniz yeterlidir. Bazen sonsuz bir ondalık sayı elde edersiniz. Bu durumda istenilen ondalık basamağa yuvarlamak gerekir. Örnekler:

\frac(401)(5)=80,2;\quad \frac(2)(3)\approx0,6667

Kesirlerde Çarpma ve Bölme

Matematiksel operasyon. Kesirlerde Çarpma ve Bölme

İki sıradan kesri çarpmak için kesirlerin pay ve paydalarını çarpmanız gerekir.

\frac(5)(9)\cdot\frac(7)(2)=\frac(5\cdot7)(9\cdot2)=\frac(35)(18)

Bir ortak kesri diğerine bölmek için, ilk kesri ikincinin tersiyle çarpmanız gerekir ( karşılıklı kesir- pay ve paydanın yer değiştirdiği kesir.

\frac(5)(9):\frac(7)(2)=\frac(5)(9)\cdot\frac(2)(7)=\frac(5\cdot2)(9\cdot7)= \frac(10)(63)

Kesirlerden biri doğal sayı ise yukarıdaki çarpma ve bölme kuralları geçerliliğini korur. Sadece bir tam sayının paydası bire eşit olan aynı kesir olduğunu dikkate almanız gerekir. Örneğin: 3:\frac(3)(7)=\frac(3)(1):\frac(3)(7)=\frac(3)(1)\cdot\frac(7)(3) = \frac(3\cdot7)(1\cdot3)=\frac(7)(1)=7

Ders içeriği

Paydaları benzer olan kesirleri toplama

İki tür kesir toplama işlemi vardır:

  1. Paydaları benzer olan kesirleri toplama
  2. Farklı paydalara sahip kesirlerin toplanması

Öncelikle paydaları benzer olan kesirlerin toplamasını öğrenelim. Burada her şey basit. Paydaları aynı olan kesirleri toplamak için paylarını toplayıp paydayı değiştirmeden bırakmanız gerekir. Örneğin kesirleri toplayalım ve . Payları ekleyin ve paydayı değiştirmeden bırakın:

Dört parçaya bölünen pizzayı hatırlarsak bu örneği kolaylıkla anlayabiliriz. Pizzaya pizza eklerseniz pizza elde edersiniz:

Örnek 2. Kesirleri ekleyin ve .

Cevabın uygunsuz bir kesir olduğu ortaya çıktı. Görevin sonu geldiğinde uygunsuz kesirlerden kurtulmak gelenekseldir. Uygunsuz bir kesirden kurtulmak için onun tamamını seçmeniz gerekir. Bizim durumumuzda, parçanın tamamı kolayca izole edilebilir - iki bölü ikiye eşittir bir:

İki parçaya bölünen bir pizzayı hatırlarsak bu örneği daha kolay anlayabiliriz. Pizzaya daha fazla pizza eklerseniz bir bütün pizza elde edersiniz:

Örnek 3. Kesirleri ekleyin ve .

Yine payları topluyoruz ve paydayı değiştirmeden bırakıyoruz:

Üç parçaya bölünen pizzayı hatırlarsak bu örneği rahatlıkla anlayabiliriz. Pizzaya daha fazla pizza eklerseniz pizza alırsınız:

Örnek 4. Bir ifadenin değerini bulun

Bu örnek öncekilerle tamamen aynı şekilde çözüldü. Paylar eklenmeli ve payda değişmeden bırakılmalıdır:

Çözümümüzü bir çizim kullanarak tasvir etmeye çalışalım. Bir pizzaya pizza ekleyip daha fazla pizza eklerseniz 1 tam pizza ve daha fazla pizza elde edersiniz.

Gördüğünüz gibi paydaları aynı olan kesirleri toplamanın karmaşık bir tarafı yok. Aşağıdaki kuralları anlamak yeterlidir:

  1. Paydası aynı olan kesirleri toplamak için paylarını toplamanız ve paydayı değiştirmeden bırakmanız gerekir;

Farklı paydalara sahip kesirlerin toplanması

Şimdi farklı paydalara sahip kesirleri nasıl toplayacağımızı öğrenelim. Kesirleri eklerken kesirlerin paydalarının aynı olması gerekir. Ancak her zaman aynı değildirler.

Örneğin kesirler aynı paydalara sahip oldukları için toplanabilir.

Ancak kesirlerin paydaları farklı olduğundan kesirler hemen eklenemez. Bu gibi durumlarda kesirlerin aynı (ortak) paydaya indirgenmesi gerekir.

Kesirleri aynı paydaya indirmenin birkaç yolu vardır. Diğer yöntemler yeni başlayanlar için karmaşık görünebileceğinden bugün bunlardan yalnızca birine bakacağız.

Bu yöntemin özü, öncelikle her iki kesirin paydalarının LCM'sinin aranmasıdır. LCM daha sonra ilk ek faktörü elde etmek için ilk kesrin paydasına bölünür. Aynısını ikinci kesir için de yaparlar - LCM, ikinci kesrin paydasına bölünür ve ikinci bir ek faktör elde edilir.

Daha sonra kesirlerin payları ve paydaları ek faktörlerle çarpılır. Bu işlemler sonucunda paydaları farklı olan kesirler, paydaları aynı olan kesirlere dönüşür. Ve bu tür kesirlerin nasıl ekleneceğini zaten biliyoruz.

örnek 1. Kesirleri toplayalım ve

Öncelikle her iki kesrin paydalarının en küçük ortak katını buluyoruz. Birinci kesrin paydası 3, ikinci kesrin paydası ise 2 sayısıdır. Bu sayıların en küçük ortak katı 6'dır.

LCM (2 ve 3) = 6

Şimdi kesirlere dönelim ve . İlk olarak, LCM'yi ilk kesrin paydasına bölün ve ilk ek faktörü elde edin. LCM 6 sayısıdır ve ilk kesrin paydası 3 sayısıdır. 6'yı 3'e bölersek 2 elde ederiz.

Ortaya çıkan 2 sayısı ilk ek çarpandır. Bunu ilk kesire yazıyoruz. Bunu yapmak için kesirin üzerine küçük bir eğik çizgi çizin ve üzerinde bulunan ek çarpanı yazın:

Aynısını ikinci kesirle de yapıyoruz. LCM'yi ikinci kesrin paydasına bölüyoruz ve ikinci ek faktörü elde ediyoruz. LCM 6 sayısıdır ve ikinci kesrin paydası 2 sayısıdır. 6'yı 2'ye bölersek 3 elde ederiz.

Ortaya çıkan 3 sayısı ikinci ek çarpandır. Bunu ikinci kesire yazıyoruz. Yine ikinci kesrin üzerine küçük bir eğik çizgi çiziyoruz ve onun üzerinde bulunan ek çarpanı yazıyoruz:

Artık eklemeye hazır her şeyimiz var. Kesirlerin paylarını ve paydalarını ek faktörleriyle çarpmaya devam ediyor:

Geldiğimiz noktaya dikkatlice bakın. Paydaları farklı olan kesirlerin, paydaları aynı olan kesirlere dönüştüğü sonucuna vardık. Ve bu tür kesirlerin nasıl ekleneceğini zaten biliyoruz. Bu örneği sonuna kadar götürelim:

Bu örneği tamamlıyor. Eklemek ortaya çıkıyor.

Çözümümüzü bir çizim kullanarak tasvir etmeye çalışalım. Bir pizzaya pizza eklerseniz, bir tam pizza ve altıda bir pizza daha alırsınız:

Kesirlerin aynı (ortak) paydaya indirgenmesi bir resim kullanılarak da gösterilebilir. Kesirleri ortak bir paydaya indirgeyerek kesirleri ve . Bu iki fraksiyon aynı pizza parçalarıyla temsil edilecek. Tek fark bu sefer eşit paylara bölünecek (aynı paydaya indirgenecek).

İlk çizim bir kesri (altıda dört parça), ikinci çizim ise bir kesri (altıda üç parça) temsil etmektedir. Bu parçaları ekleyerek (altıdan yedi parça) elde ederiz. Bu kısım uygunsuz olduğundan tamamını vurguladık. Sonuç olarak (bir bütün pizza ve başka bir altıncı pizza) elde ettik.

Lütfen bu örneği çok ayrıntılı olarak anlattığımızı unutmayın. Eğitim kurumlarında bu kadar detaylı yazmak alışılmış bir şey değil. Hem paydaların hem de bunlara ek faktörlerin LCM'sini hızlı bir şekilde bulmanız ve ayrıca bulunan ek faktörleri paylarınız ve paydalarınızla hızlı bir şekilde çarpmanız gerekir. Eğer okulda olsaydık bu örneği şu şekilde yazmamız gerekirdi:

Ancak madalyonun bir de diğer yüzü var. Matematik çalışmanın ilk aşamalarında detaylı notlar almazsanız bu tür sorular ortaya çıkmaya başlar. “Bu sayı nereden geliyor?”, “Kesirler neden bir anda bambaşka kesirlere dönüşüyor? «.

Farklı paydalara sahip kesirleri toplamayı kolaylaştırmak için aşağıdaki adım adım talimatları kullanabilirsiniz:

  1. Kesirlerin paydalarının LCM'sini bulun;
  2. LCM'yi her fraksiyonun paydasına bölün ve her fraksiyon için ek bir faktör elde edin;
  3. Kesirlerin pay ve paydalarını ek faktörleriyle çarpın;
  4. Paydaları aynı olan kesirleri ekleyin;
  5. Cevabın uygunsuz bir kesir olduğu ortaya çıkarsa, tüm kısmını seçin;

Örnek 2. Bir ifadenin değerini bulun .

Yukarıda verilen talimatları kullanalım.

Adım 1. Kesirlerin paydalarının LCM'sini bulun

Her iki fraksiyonun paydalarının LCM'sini bulun. Kesirlerin paydaları 2, 3 ve 4 sayılarıdır

Adım 2. LCM'yi her kesrin paydasına bölün ve her kesir için ek bir faktör elde edin

LCM'yi ilk kesrin paydasına bölün. LCM 12 sayısıdır ve ilk kesrin paydası 2 sayısıdır. 12'yi 2'ye bölersek 6 elde ederiz. İlk ek faktör olan 6'yı elde ederiz. Bunu ilk kesrin üstüne yazıyoruz:

Şimdi LCM'yi ikinci kesrin paydasına bölüyoruz. LCM 12 sayısıdır ve ikinci kesrin paydası da 3 sayısıdır. 12'yi 3'e bölersek 4 elde ederiz. İkinci ek faktör olan 4'ü elde ederiz. Bunu ikinci kesrin üstüne yazıyoruz:

Şimdi LCM'yi üçüncü kesrin paydasına bölüyoruz. LCM 12 sayısıdır ve üçüncü kesrin paydası 4 sayısıdır. 12'yi 4'e bölersek 3 elde ederiz. Üçüncü ek faktör 3'ü elde ederiz. Bunu üçüncü kesrin üstüne yazıyoruz:

Adım 3. Kesirlerin pay ve paydalarını ek faktörleriyle çarpın

Pay ve paydaları ek faktörleriyle çarpıyoruz:

Adım 4. Paydaları aynı olan kesirleri toplayın

Paydaları farklı olan kesirlerin aynı (ortak) paydaya sahip kesirlere dönüştüğü sonucuna vardık. Geriye kalan tek şey bu kesirleri eklemek. Üzerine eklemek:

Ekleme tek satıra sığmadığı için kalan ifadeyi bir sonraki satıra taşıdık. Buna matematikte izin verilir. Bir ifade bir satıra sığmadığında bir sonraki satıra taşınır ve ilk satırın sonuna ve yeni satırın başına eşittir işareti (=) konulması gerekir. İkinci satırdaki eşittir işareti, bunun ilk satırdaki ifadenin devamı olduğunu gösterir.

Adım 5. Cevabın hatalı bir kesir olduğu ortaya çıkarsa, cevabın tamamını seçin

Cevabımızın uygunsuz bir kesir olduğu ortaya çıktı. Bir kısmını tam olarak vurgulamamız gerekiyor. Şunları vurguluyoruz:

Bir cevap aldık

Paydaları Benzer Olan Kesirlerde Çıkarma

Kesirlerde iki tür çıkarma işlemi vardır:

  1. Paydaları Benzer Olan Kesirlerde Çıkarma
  2. Paydaları Farklı Kesirlerde Çıkarma

Öncelikle paydaları benzer olan kesirlerde çıkarma işlemi yapmayı öğrenelim. Burada her şey basit. Bir kesirden başka bir kesir çıkarmak için, ikinci kesrin payını birinci kesrin payından çıkarmanız, ancak paydayı aynı bırakmanız gerekir.

Örneğin ifadesinin değerini bulalım. Bu örneği çözmek için ikinci kesrin payını birinci kesrin payından çıkarmanız ve paydayı değiştirmeden bırakmanız gerekir. Bunu yapalım:

Dört parçaya bölünen pizzayı hatırlarsak bu örneği kolaylıkla anlayabiliriz. Bir pizzadan pizza keserseniz pizza alırsınız:

Örnek 2.İfadenin değerini bulun.

Yine birinci kesrin payından ikinci kesrin payını çıkarın ve paydayı değiştirmeden bırakın:

Üç parçaya bölünen pizzayı hatırlarsak bu örneği rahatlıkla anlayabiliriz. Bir pizzadan pizza keserseniz pizza alırsınız:

Örnek 3. Bir ifadenin değerini bulun

Bu örnek öncekilerle tamamen aynı şekilde çözüldü. İlk kesirin payından, kalan kesirlerin paylarını çıkarmanız gerekir:

Gördüğünüz gibi paydaları aynı olan kesirlerde çıkarma işleminde karmaşık bir şey yoktur. Aşağıdaki kuralları anlamak yeterlidir:

  1. Bir kesirden başka bir kesir çıkarmak için, ikinci kesrin payını birinci kesrin payından çıkarmanız ve paydayı değiştirmeden bırakmanız gerekir;
  2. Cevabın uygunsuz bir kesir olduğu ortaya çıkarsa, o zaman onun tamamını vurgulamanız gerekir.

Paydaları Farklı Kesirlerde Çıkarma

Örneğin, kesirlerin paydaları aynı olduğundan, bir kesirden bir kesir çıkarabilirsiniz. Ancak bir kesirden kesir çıkaramazsınız çünkü bu kesirlerin paydaları farklıdır. Bu gibi durumlarda kesirlerin aynı (ortak) paydaya indirgenmesi gerekir.

Ortak payda, farklı paydalara sahip kesirleri toplarken kullandığımız prensibin aynısını kullanarak bulunur. Öncelikle her iki kesrin paydalarının LCM'sini bulun. Daha sonra LCM, ilk kesrin paydasına bölünür ve ilk kesrin üzerine yazılan ilk ek faktör elde edilir. Benzer şekilde LCM, ikinci kesrin paydasına bölünür ve ikinci kesrin üzerine yazılan ikinci bir ek faktör elde edilir.

Daha sonra kesirler ek katsayılarıyla çarpılır. Bu işlemler sonucunda paydaları farklı olan kesirler, paydaları aynı olan kesirlere dönüştürülür. Ve bu tür kesirlerin nasıl çıkarılacağını zaten biliyoruz.

Örnek 1.İfadenin anlamını bulun:

Bu kesirlerin paydaları farklı olduğundan onları aynı (ortak) paydaya indirgemeniz gerekir.

İlk önce her iki fraksiyonun paydalarının LCM'sini buluyoruz. Birinci kesrin paydası 3, ikinci kesrin paydası ise 4 sayısıdır. Bu sayıların en küçük ortak katı 12'dir.

LCM (3 ve 4) = 12

Şimdi kesirlere dönelim ve

İlk kesir için ek bir faktör bulalım. Bunu yapmak için LCM'yi ilk kesrin paydasına bölün. LCM 12 sayısıdır ve ilk kesrin paydası 3 sayısıdır. 12'yi 3'e bölersek 4 elde ederiz. İlk kesrin üstüne bir dört yazın:

Aynısını ikinci kesirle de yapıyoruz. LCM'yi ikinci kesrin paydasına bölün. LCM 12 sayısıdır ve ikinci kesrin paydası 4 sayısıdır. 12'yi 4'e bölersek 3 elde ederiz. İkinci kesrin üzerine bir üç yazın:

Artık çıkarma işlemine hazırız. Kesirleri ek faktörleriyle çarpmaya devam ediyor:

Paydaları farklı olan kesirlerin, paydaları aynı olan kesirlere dönüştüğü sonucuna vardık. Ve bu tür kesirlerin nasıl çıkarılacağını zaten biliyoruz. Bu örneği sonuna kadar götürelim:

Bir cevap aldık

Çözümümüzü bir çizim kullanarak tasvir etmeye çalışalım. Pizzayı pizzadan keserseniz pizza alırsınız

Bu, çözümün ayrıntılı versiyonudur. Okulda olsaydık bu örneği daha kısa çözmek zorunda kalırdık. Böyle bir çözüm şöyle görünecektir:

Kesirlerin ortak bir paydaya indirgenmesi bir resim kullanılarak da gösterilebilir. Bu kesirleri ortak bir paydaya indirgeyerek kesirleri elde ettik. Bu kesirler aynı pizza dilimleri ile temsil edilecek, ancak bu sefer eşit paylara bölünecekler (aynı paydaya indirgenmiş):

İlk resim bir kesiri (on ikiden sekizi) gösterirken, ikinci resim bir kesiri (on ikiden üçü) göstermektedir. Sekiz parçadan üç parça kestiğimizde on iki parçadan beş parça elde ediyoruz. Kesir bu beş parçayı tanımlamaktadır.

Örnek 2. Bir ifadenin değerini bulun

Bu kesirlerin farklı paydaları vardır, bu nedenle önce onları aynı (ortak) paydaya indirgemeniz gerekir.

Bu kesirlerin paydalarının LCM'sini bulalım.

Kesirlerin paydaları 10, 3 ve 5 sayılarıdır. Bu sayıların en küçük ortak katı 30'dur.

LCM(10, 3, 5) = 30

Şimdi her kesir için ek faktörler buluyoruz. Bunu yapmak için LCM'yi her kesrin paydasına bölün.

İlk kesir için ek bir faktör bulalım. LCM 30 sayısıdır ve ilk kesrin paydası 10 sayısıdır. 30'u 10'a bölerek ilk ek çarpan 3'ü elde ederiz. Bunu ilk kesrin üstüne yazıyoruz:

Şimdi ikinci kesir için ek bir faktör buluyoruz. LCM'yi ikinci kesrin paydasına bölün. LCM 30 sayısıdır ve ikinci kesrin paydası 3 sayısıdır. 30'u 3'e bölerek ikinci ek faktör 10'u elde ederiz. Bunu ikinci kesrin üzerine yazıyoruz:

Şimdi üçüncü kesir için ek bir faktör buluyoruz. LCM'yi üçüncü kesrin paydasına bölün. LCM 30 sayısıdır ve üçüncü kesrin paydası 5 sayısıdır. 30'u 5'e bölerek üçüncü ek faktör 6'yı elde ederiz. Bunu üçüncü kesrin üstüne yazıyoruz:

Artık her şey çıkarma işlemine hazır. Kesirleri ek faktörleriyle çarpmaya devam ediyor:

Paydaları farklı olan kesirlerin aynı (ortak) paydaya sahip kesirlere dönüştüğü sonucuna vardık. Ve bu tür kesirlerin nasıl çıkarılacağını zaten biliyoruz. Bu örneği bitirelim.

Örneğin devamı tek satıra sığmayacağından devamını bir sonraki satıra taşıyoruz. Yeni satırdaki eşittir işaretini (=) unutmayın:

Cevabın normal bir kesir olduğu ortaya çıktı ve her şey bize uygun görünüyor, ancak bu çok hantal ve çirkin. Bunu daha basit hale getirmeliyiz. Ne yapılabilir? Bu kısmı kısaltabilirsiniz.

Bir kesri azaltmak için payını ve paydasını 20 ve 30 sayılarının (GCD) ile bölmeniz gerekir.

Böylece 20 ve 30 sayılarının gcd'sini buluyoruz:

Şimdi örneğimize dönüyoruz ve kesrin payını ve paydasını bulunan gcd'ye yani 10'a bölüyoruz.

Bir cevap aldık

Bir kesri bir sayıyla çarpmak

Bir kesri bir sayıyla çarpmak için verilen kesrin payını o sayıyla çarpmanız ve paydayı aynı bırakmanız gerekir.

örnek 1. Bir kesri 1 sayısıyla çarpın.

Kesrin payını 1 sayısıyla çarpın

Kayıt yarım 1 kez sürüyormuş gibi anlaşılabilir. Örneğin, bir kez pizza yerseniz pizza alırsınız

Çarpma yasalarından biliyoruz ki, çarpan ve çarpan yer değiştirirse çarpım değişmeyecektir. İfade olarak yazılırsa çarpım yine eşit olacaktır. Bir tam sayı ile bir kesri çarpma kuralı yine işe yarar:

Bu notasyon birin yarısını almak şeklinde anlaşılabilir. Örneğin 1 tam pizza varsa ve yarısını alırsak pizza elde ederiz:

Örnek 2. Bir ifadenin değerini bulun

Kesrin payını 4 ile çarpın

Cevap uygunsuz bir kesirdi. Tamamını vurgulayalım:

İfadeden iki çeyreğin 4 kere alınması şeklinde anlaşılabilir. Örneğin 4 pizza alırsanız 2 tam pizza alırsınız.

Çarpan ile çarpanı yer değiştirirsek, ifadesini elde ederiz. Bu da 2'ye eşit olacaktır. Bu ifadeyi dört tam pizzadan iki pizzanın alınması şeklinde de anlayabiliriz:

Kesirlerin Çarpılması

Kesirleri çarpmak için pay ve paydalarını çarpmanız gerekir. Cevabın uygunsuz bir kesir olduğu ortaya çıkarsa, onun tamamını vurgulamanız gerekir.

Örnek 1.İfadenin değerini bulun.

Bir cevap aldık. Bu oranın azaltılması tavsiye edilir. Kesir 2 oranında azaltılabilir. Daha sonra nihai çözüm aşağıdaki formu alacaktır:

İfade yarım pizzadan pizza almak şeklinde anlaşılabilir. Diyelim ki yarım pizzamız var:

Bu yarıdan üçte ikisi nasıl alınır? Öncelikle bu yarıyı üç eşit parçaya bölmeniz gerekir:

Ve bu üç parçadan ikisini alın:

Pizza yapacağız. Üç parçaya bölündüğünde pizzanın nasıl göründüğünü unutmayın:

Bu pizzanın bir parçası ile aldığımız iki parça aynı boyutlara sahip olacak:

Yani aynı boy pizzadan bahsediyoruz. Bu nedenle ifadenin değeri

Örnek 2. Bir ifadenin değerini bulun

Birinci kesrin payını ikinci kesrin payıyla ve birinci kesrin paydasını ikinci kesrin paydasıyla çarpın:

Cevap uygunsuz bir kesirdi. Tamamını vurgulayalım:

Örnek 3. Bir ifadenin değerini bulun

Birinci kesrin payını ikinci kesrin payıyla ve birinci kesrin paydasını ikinci kesrin paydasıyla çarpın:

Cevabın normal bir kesir olduğu ortaya çıktı, ancak kısaltılması iyi olurdu. Bu kesri azaltmak için, bu kesrin payını ve paydasını 105 ve 450 sayılarının en büyük ortak bölenine (GCD) bölmeniz gerekir.

O halde 105 ve 450 sayılarının gcd'sini bulalım:

Şimdi cevabımızın payını ve paydasını şimdi bulduğumuz gcd'ye, yani 15'e bölüyoruz.

Bir tam sayıyı kesir olarak gösterme

Herhangi bir tam sayı kesir olarak gösterilebilir. Örneğin 5 sayısı şu şekilde gösterilebilir. Bu beşin anlamını değiştirmez çünkü ifade “beş sayısının bire bölümü” anlamına gelir ve bu da bildiğimiz gibi beşe eşittir:

Karşılıklı sayılar

Şimdi matematikte çok ilginç bir konuyla tanışacağız. Buna "ters sayılar" denir.

Tanım. Numaraya geri dönA ile çarpıldığında bir sayıdırA bir tane verir.

Bu tanımda değişken yerine yerine koyalım A 5 numara ve tanımı okumaya çalışın:

Numaraya geri dön 5 ile çarpıldığında bir sayıdır 5 bir tane verir.

5 ile çarpıldığında 1 veren bir sayı bulunabilir mi? Bunun mümkün olduğu ortaya çıktı. Beşi kesir olarak düşünelim:

Daha sonra bu kesri kendisiyle çarpın, sadece pay ve paydayı değiştirin. Yani kesri kendisiyle ancak tersten çarpalım:

Bunun sonucunda ne olacak? Bu örneği çözmeye devam edersek şunu elde ederiz:

Bu, 5 sayısının tersinin sayı olduğu anlamına gelir, çünkü 5'i çarptığınızda bir elde edersiniz.

Bir sayının tersi herhangi bir tam sayı için de bulunabilir.

Ayrıca herhangi bir kesrin tersini de bulabilirsiniz. Bunu yapmak için ters çevirmeniz yeterlidir.

Bir kesri bir sayıya bölmek

Diyelim ki yarım pizzamız var:

İkiye eşit olarak paylaştıralım. Kişi başına ne kadar pizza verilecek?

Pizzanın yarısını böldükten sonra her biri birer pizza oluşturan iki eşit parça elde edildiği görülüyor. Böylece herkes pizza alır.

Kesirlerin bölünmesi karşılıklı işlemler kullanılarak yapılır. Karşılıklı sayılar, bölmeyi çarpmayla değiştirmenize olanak tanır.

Bir kesri bir sayıya bölmek için kesri bölenin tersiyle çarpmanız gerekir.

Bu kuralı kullanarak pizzamızın yarısının ikiye bölünmesini yazacağız.

Yani kesri 2 sayısına bölmeniz gerekiyor. Burada temettü kesirdir ve bölen ise 2 sayısıdır.

Bir kesri 2 sayısına bölmek için bu kesri bölen 2'nin tersi ile çarpmanız gerekir. Bölen 2'nin tersi kesirdir. Yani şununla çarpmanız gerekiyor: