Bir sayının kökü nasıl türetilir? Bir sayının karekökünü hesaplama: manuel olarak nasıl hesaplanır

Sokolov Lev Vladimirovich, Belediye Eğitim Kurumu “Tugulymskaya V(S)OSH” 8. sınıf öğrencisi

Çalışmanın amacı: Elinizde bir hesap makinesi olmadan kullanılabilecek karekök çıkarma yöntemlerini bulun ve gösterin.

İndirmek:

Ön izleme:

Bölgesel bilimsel ve pratik konferans

Tugulym kentsel bölgesi öğrencileri

Büyük sayıların kareköklerini hesap makinesi olmadan bulma

Sanatçı: Lev Sokolov,

MCOU "Tugulymskaya V(S)OSH",

8. sınıf

Başkan: Sidorova Tatyana

Nikolayevna

r.p. Tugulym, 2016

Giriş 3

Bölüm 1. Çarpanlara ayırma yöntemi 4

Bölüm 2. Köşe 4 ile karekök çıkarma

Bölüm 3. İki basamaklı sayıların kareler tablosunu kullanma yöntemi 6

Bölüm 4. Antik Babil'in Formülü 6

Bölüm 6. Kanada yöntemi 7

Bölüm 7. Seçim yöntemini tahmin etme 8

Bölüm 8. 8 tek sayı için kesinti yöntemi

Sonuç 10

Referanslar 11

Ek 12

giriiş

Araştırmanın uygunluğu,Bu okul yılında karekök konusunu çalışırken, büyük sayıların karekökünü hesap makinesi olmadan nasıl alabileceğiniz sorusuyla ilgilenmeye başladım.

İlgilendim ve bu konuyu okul müfredatında sunulduğundan daha derinlemesine incelemeye ve ayrıca hesap makinesi olmadan büyük sayılardan karekök çıkarmanın en basit yollarını içeren bir mini kitap hazırlamaya karar verdim.

Çalışmanın amacı: Elinizde bir hesap makinesi olmadan kullanılabilecek karekök çıkarma yöntemlerini bulun ve gösterin.

Görevler:

1. Bu konuyla ilgili literatürü inceleyin.
2. Bulunan her yöntemin özelliklerini ve algoritmasını göz önünde bulundurun.
3. Edinilen bilginin pratik uygulamasını gösterin ve değerlendirin

Çeşitli yöntem ve algoritmaların kullanılmasındaki karmaşıklık derecesi.

1. En ilginç algoritmalar hakkında bir mini kitap oluşturun.

Çalışmanın amacı:matematiksel semboller kareköklerdir.

Çalışma konusu:Hesap makinesi olmadan karekök çıkarma yöntemlerinin özellikleri.

Araştırma Yöntemleri:

1. Hesap makinesi kullanmadan büyük sayılardan karekök çıkarmak için yöntemler ve algoritmalar bulma.
2. Bulunan yöntemlerin karşılaştırılması.
3. Elde edilen yöntemlerin analizi.

Hesap makinesi olmadan karekök almanın çok zor olduğunu herkes bilir.

görev. Elimizde bir hesap makinesi olmadığında, tamsayıların kareleri tablosundaki verileri hatırlamaya çalışmak için seçim yöntemini kullanarak başlıyoruz, ancak bu her zaman yardımcı olmuyor. Örneğin, tam sayıların karelerinden oluşan bir tablo, örneğin 75, 37,885,108,18061 ve diğerlerinin kökünün çıkarılması gibi soruları yaklaşık olarak bile yanıtlamaz.

Ayrıca, OGE ve Birleşik Devlet Sınavları sırasında hesap makinesinin kullanılması sıklıkla yasaktır.

tam sayıların kareleri tabloları, ancak 3136 veya 7056 vb.'nin kökünü çıkarmanız gerekir.

Ancak bu konuyla ilgili literatürü incelerken bu tür sayılardan kök almanın gerektiğini öğrendim.

Belki de bir masa ve hesap makinesi olmadan insanlar mikro hesap makinesinin icadından çok önce öğrendiler. Bu konuyu araştırırken bu sorunu çözmenin birkaç yolunu buldum.

Bölüm 1. Asal çarpanlara ayırma yöntemi

Karekökü çıkarmak için sayıyı asal çarpanlarına ayırabilir ve çarpımın karekökünü alabilirsiniz.

Bu yöntem genellikle okulda kökleri olan problemleri çözerken kullanılır.

3136│2 7056│2

1568│2 3528│2

784│2 1764│2

392│2 882│2

196│2 441│3

98│2 147│3

49│7 49│7

7│7 7│7

√3136 = √2²∙2²∙2²∙7² = 2∙2∙2∙7 = 56 √3136 = √2²∙2²∙3²∙7² = 2∙2∙3∙7 = 84

Birçok kişi bunu başarıyla kullanıyor ve tek olduğunu düşünüyor. Kökün çarpanlara ayrılarak çıkarılması zaman alıcı bir iştir ve her zaman istenen sonuca yol açmaz. 209764'ün karekökünü almayı deneyebilir misiniz? Asal çarpanlara ayırmak 2∙2∙52441 sonucunu verir. Sonra ne yapacağız? Herkes bu sorunla karşı karşıyadır ve cevaplarında ayrışmanın geri kalanını kök işareti altına sakince yazarlar. Elbette, güzel bir cevap alacağınızdan eminseniz, deneme yanılma ve seçim kullanarak ayrıştırmayı yapabilirsiniz, ancak uygulama, tam ayrıştırma içeren görevlerin çok nadiren sunulduğunu göstermektedir. Çoğu zaman kökün tamamen alınamadığını görüyoruz.

Bu nedenle, bu yöntem hesap makinesi olmadan çıkarma sorununu yalnızca kısmen çözmektedir.

Bölüm 2. Köşeyle karekök çıkarma

Bir köşe kullanarak karekökü çıkarmak için veAlgoritmaya bakalım:
1. adım. 8649 sayısı sağdan sola doğru kenarlara bölünmüştür; her biri iki rakam içermelidir. İki yüzümüz var:.
2. adım. 86'nın ilk yüzünün karekökünü alırsak,bir dezavantajla. 9 sayısı kökün ilk basamağıdır.
3. adım. 9 sayısının karesi (9 2 = 81) ve 81 sayısını ilk yüzden çıkarırsak 86-81=5 elde ederiz. 5 sayısı ilk kalandır.
4. adım. Kalan 5'e ikinci kenar 49'u eklersek 549 sayısını elde ederiz.

5. adım . Kök 9'un ilk rakamını ikiye katlıyoruz ve soldan yazarsak -18 elde ederiz

Bulacağımız sayının bu rakamla çarpımı 549 sayısına eşit veya 549'dan küçük olacak şekilde sayıya en büyük rakamı atamamız gerekiyor. Bu 3 sayısıdır. Seçimle bulunur: Sayının sayısı 549 sayısının onluğu yani 54 sayısının 18'e bölünmesiyle 3 elde ederiz, çünkü 183 ∙ 3 = 549. 3 sayısı kökün ikinci basamağıdır.

6. adım. Geriye kalan 549 – 549 = 0’ı buluyoruz. Kalan sıfır olduğu için kök değerini tam olarak – 93 elde etmiş oluyoruz.

Size başka bir örnek vereyim: √212521'i çıkartın

Bölüm 3. İki basamaklı sayıların kareleri tablosu nasıl kullanılır?

Bu yöntemi internetten öğrendim. Yöntem çok basittir ve hesap makinesi olmadan 1'den 100'e kadar herhangi bir tam sayının karekökünü onda bir doğrulukla anında çıkarmanıza olanak tanır. Bu yöntemin bir koşulu, 99'a kadar sayıların karelerinden oluşan bir tablonun bulunmasıdır.

(Tüm 8.sınıf cebir ders kitaplarında yer almaktadır ve OGE sınavında referans materyal olarak sunulmaktadır.)

Tabloyu açın ve cevabı bulma hızını kontrol edin. Ama önce birkaç öneri: Cevapta en soldaki sütun tamsayılar olacak, en üstteki satır ise cevapta ondalıklar olacak. Ve sonra her şey basit: tablodaki sayının son iki basamağını kapatın ve radikal sayıyı aşmadan ihtiyacınız olanı bulun ve ardından bu tablonun kurallarına uyun.

Bir örneğe bakalım. √87 değerini bulalım.

Tablodaki tüm sayıların son iki rakamını kapatıyoruz ve 87'ye yakın olanları buluyoruz - bunlardan sadece iki tane var 86 49 ve 88 37. Ama 88 zaten çok fazla.

Yani geriye tek bir şey kaldı: 8649.

Sol sütun 9 cevabını (bunlar tam sayılardır) ve üst satırda 3'ü (bunlar onda birlikler) verir. Bu √87≈ 9,3 anlamına gelir. MK √87 ≈ 9,327379'u kontrol edelim.

Hızlı, basit, sınav sırasında erişilebilir. Ancak bu yöntemle 100'den büyük köklerin alınamayacağı hemen anlaşılmaktadır. Yöntem, küçük kökleri olan ve bir tablonun bulunduğu görevler için uygundur.

Bölüm 4. Antik Babil'in Formülü

Eski Babilliler, x sayısının karekökünün yaklaşık değerini bulmak için aşağıdaki yöntemi kullandılar. X sayısını a'nın toplamı olarak temsil ettiler. 2 +b, burada a 2 a doğal sayısının x sayısına en yakın tam karesi (a 2 . (1)

Formül (1)'i kullanarak, örneğin 28 sayısından karekökü çıkarırız:

28'in kökünü MK kullanarak çıkarmanın sonucu 5,2915026'dır.

Gördüğünüz gibi Babil yöntemi kökün tam değerine iyi bir yaklaşım sağlıyor.

Bölüm 5. Tam kareyi atma yöntemi

(yalnızca dört basamaklı sayılar için)

Bu yöntemin yalnızca tam bir karenin karekökünü çıkarmak için geçerli olduğunu ve bulma algoritmasının radikal sayının boyutuna bağlı olduğunu hemen açıklığa kavuşturmak gerekir.

1. 75 numaraya kadar köklerin çıkarılması 2 = 5625

Örneğin: √¯3844 = √¯ 37 00 + 144 = 37 + 25 = 62.

3844 sayısını, bu sayıdan 144 karesini seçip, seçilen kareyi atarak toplam olarak sunuyoruz.ilk dönemin yüzlerce sayısı(37) her zaman 25 ekleriz . 62 cevabını alıyoruz.

Bu şekilde yalnızca 75'e kadar karekökleri çıkarabilirsiniz. 2 =5625!

2) 75 numaradan sonra köklerin çıkarılması 2 = 5625

75'ten büyük sayılardan sözlü olarak karekökler nasıl çıkarılır? 2 =5625?

Örneğin: √7225 = √ 70 00 + 225 = 70 + √225 = 70 + 15 = 85.

Açıklayalım, 7225'i 7000 ve seçilen kare 225'in toplamı olarak sunacağız.yüzlerin karekökünü ekle 225 üzerinden 15'e eşit.

85 cevabını alıyoruz.

Bu bulma yöntemi çok ilginç ve bir dereceye kadar orijinal, ancak araştırmam sırasında bununla yalnızca bir kez bir Perm öğretmeninin çalışmasında karşılaştım.

Belki çok az araştırılmıştır ya da bazı istisnaları vardır.

Algoritmanın dualitesi nedeniyle hatırlamak oldukça zordur ve yalnızca dört basamaklı tam kök sayılar için uygulanabilir, ancak birçok örnek üzerinde çalıştım ve doğruluğuna ikna oldum. Ayrıca bu yöntem, 11'den 29'a kadar sayıların karelerini zaten ezberlemiş olanlar için de geçerlidir çünkü onların bilgisi olmadan işe yaramaz.

Bölüm 6. Kanada yöntemi

√ X = √ S + (X - S) / (2 √ S), burada X, karekökü alınacak sayı ve S, en yakın tam karenin sayısıdır.

75'in karekökünü almaya çalışalım

√ 75 = 9 + (- 6/18) = 9 - 0,333 = 8,667

Bu yöntemin ayrıntılı bir incelemesi ile Babil yöntemine benzerliği kolayca kanıtlanabilir ve eğer gerçekte varsa, bu formülün icadının telif hakkı savunulabilir. Yöntem basit ve kullanışlıdır.

Bölüm 7. Seçim yöntemini tahmin etme

Bu yöntem Londra'daki College of Mathematics'teki İngilizce öğrencileri tarafından önerilmektedir, ancak herkes bu yöntemi hayatında en az bir kez istemeden kullanmıştır. Arama alanını daraltarak benzer sayıların karelerinin farklı değerlerinin seçilmesi esasına dayanır. Herkes bu yönteme hakim olabilir, ancak kullanılması pek olası değildir, çünkü her zaman doğru tahmin edilemeyen sayıların bir sütununun çarpımının tekrar tekrar hesaplanmasını gerektirir. Bu yöntem hem çözümün güzelliğini hem de zaman açısından kaybeder. Algoritma basittir:

Diyelim ki 75'in karekökünü almak istiyorsunuz.

8 2 = 64 ve 9 2 olduğundan = 81, cevabın ikisinin arasında bir yerde olduğunu biliyorsunuz.

8.5 oluşturmayı deneyin 2 ve 72,25 (çok az) alacaksınız

Şimdi 8.6'yı deneyin 2 ve 73,96 elde edersiniz (çok küçük ama giderek yaklaşıyor)

Şimdi 8.7'yi deneyin 2 ve 75,69 (çok büyük) alacaksınız

Artık cevabın 8,6 ile 8,7 arasında olduğunu biliyorsunuz

8.65 oluşturmayı deneyin 2 ve 74.8225 (çok küçük) elde edeceksiniz

Şimdi 8.66'yı deneyin 2... vb.

Sizin için yeterince doğru bir cevap alana kadar devam edin.

Bölüm 8. Tek sayı çıkarma yöntemi

Birçok kişi, bir sayıyı asal çarpanlara ayırarak karekök çıkarma yöntemini biliyor. Çalışmamda bir sayının karekökünün tam sayı kısmını bulmanın başka bir yolunu sunacağım. Yöntem çok basittir. Sayıların kareleri için aşağıdaki eşitliklerin geçerli olduğuna dikkat edin:

1=1 2

1+3=2 2

1+3+5=3 2

1+3+5+7=4 2 vb.

Kural: Bir sayının karekökünün tamsayı kısmını, kalan bir sonraki çıkarılan sayıdan küçük veya sıfıra eşit olana kadar tüm tek sayıları sırayla çıkararak ve gerçekleştirilen eylemlerin sayısını sayarak bulabilirsiniz.

Örneğin 36 ve 121'in karekökünü elde etmek için bu:

Toplam çıkarma sayısı = 6, yani 36'nın karekökü = 6.

Toplam çıkarma sayısı = 11, yani √121 = 11.

Başka bir örnek: √529'u bulalım

Çözüm: 1)_529

2)_528

3)_525

4)_520

5)_513

6)_504

7)_493

8)_480

9)_465

10)_448

11)_429

12)_408

13)_385

14)_360

15)_333

16)_304

17)_273

18)_240

19)_205

20)_168

21)_129

22)_88

23)_45

Cevap: √529 = 23

Bilim insanları bu yönteme aritmetik karekök çıkarma adını verirken, yavaşlığından dolayı perde arkasında “kaplumbağa yöntemi” adını veriyor.
Bu yöntemin dezavantajı, çıkarılan kök bir tamsayı değilse, o zaman yalnızca tamamının bulunabilmesi, ancak daha kesin olarak bulunamamasıdır. Aynı zamanda bu yöntem, karekök çıkarmayı gerektiren basit matematik problemlerini çözen çocuklar için de oldukça erişilebilirdir. Bir sayının, örneğin 5963364'ün karekökünü bu şekilde çıkarmaya çalışın ve bunun elbette tam kökler için hatasız "işe yaradığını" anlayacaksınız, ancak çözümde çok çok uzun.

Çözüm

Bu çalışmada açıklanan kök çıkarma yöntemleri birçok kaynakta bulunmaktadır. Ancak bunları anlamak benim için zor bir iş haline geldi ve bu da büyük ilgi uyandırdı. Sunulan algoritmalar, bu konuyla ilgilenen herkesin karekök hesaplama becerilerine hızlı bir şekilde hakim olmasını sağlayacak; çözümlerini kontrol ederken kullanılabilirler ve bir hesap makinesine bağlı değildirler.

Araştırma sonucunda şu sonuca vardım: Hesap makinesi olmadan karekök çıkarmanın çeşitli yöntemleri, hesaplama becerilerini geliştirmek için okul matematik dersinde gereklidir.

Çalışmanın teorik önemi, karekök çıkarmanın ana yöntemlerinin sistematik hale getirilmesidir.

Pratik önemi:çeşitli şekillerde karekökleri çıkarmak için bir referans diyagramı içeren bir mini kitap oluşturmada (Ek 1).

Literatür ve internet siteleri:

1. İÇİNDE. Sergeyev, S.N. Olehnik, S.B. Gashkov “Matematik uygula.” – M.: Nauka, 1990
2. Kerimov Z., "Bütün kök nasıl bulunur?" Popüler bilim ve matematik dergisi "Kvant" No. 2, 1980
3. Petrakov I.S. “8-10. sınıflarda matematik kulüpleri”; Öğretmenler için kitap.

–M.: Eğitim, 1987

1. Tikhonov A.N., Kostomarov D.P. “Uygulamalı matematikle ilgili hikayeler.” - M .: Nauka. Fiziksel ve matematiksel literatürün ana yazı işleri ofisi, 1979
2. Tkacheva M.V. Evde matematik. 8.sınıf öğrencilerine yönelik bir kitap. – Moskova, Aydınlanma, 1994.
3. Zhokhov V.I., Pogodin V.N. Matematikte referans tabloları.-M.: LLC Yayınevi “ROSMEN-PRESS”, 2004.-120 s.
4. http://translate.google.ru/translate
5. http://www.murderousmaths.co.uk/books/sqroot.htm
6. http://ru.wikipedia.ord /wiki /teorema/

İyi günler sevgili konuklar!

Adım Lev Sokolov, akşam okulunda 8. sınıfta okuyorum.

Konuyla ilgili bir çalışmayı dikkatinize sunuyorum: “Hesap makinesi kullanmadan büyük sayıların kareköklerini bulma."

Bir konuyu incelerkenBu okul yılında karekökler, büyük sayıların karekökünün hesap makinesi olmadan nasıl çıkarılacağı sorusuyla ilgilendim ve bu konuyu daha derinlemesine incelemeye karar verdim, çünkü gelecek yıl matematik sınavına girmem gerekiyor.

Çalışmamın amacı:hesap makinesi olmadan karekök çıkarmanın yollarını bulun ve gösterin

Hedefe ulaşmak için aşağıdakilere karar verdim görevler:

1. Bu konuyla ilgili literatürü inceleyin.

2. Bulunan her yöntemin özelliklerini ve algoritmasını göz önünde bulundurun.

3. Edinilen bilginin pratik uygulamasını gösterin ve çeşitli yöntem ve algoritmaların kullanılmasındaki karmaşıklık derecesini değerlendirin.

4. Bir mini kitap oluşturun en ilginç algoritmalara göre.

Araştırmamın amacı şuyduKarekök.

Çalışma konusu:Hesap makinesi olmadan karekök çıkarmanın yolları.

Araştırma Yöntemleri:

1. Hesap makinesi kullanmadan büyük sayılardan karekök çıkarmak için yöntemler ve algoritmalar arayın.

2. Bulunan yöntemlerin karşılaştırılması ve analizi.

Hesap makinesi olmadan karekök bulmanın 8 yolunu buldum, inceledim ve uygulamaya koydum. Bulunan yöntemlerin adları slaytta gösterilmektedir.

Beğendiklerime odaklanacağım.

Asal çarpanlara ayırmayı kullanarak 3025 sayısının karekökünü nasıl çıkarabileceğinizi bir örnekle göstereceğim.

Bu yöntemin temel dezavantajı- Çok zaman alır.

Antik Babil formülünü kullanarak aynı 3025 sayısının karekökünü çıkaracağım.

Yöntem yalnızca küçük sayılar için uygundur.

Aynı 3025 sayısından karekökü bir köşe kullanarak çıkarıyoruz.

Bana göre bu en evrensel yöntemdir; her sayıya uygulanabilir.

İÇİNDE Modern bilim, hesap makinesi olmadan karekök çıkarmanın birçok yolunu biliyor, ancak ben hepsini incelemedim.

Çalışmamın pratik önemi:çeşitli şekillerde karekökleri çıkarmak için bir referans diyagramı içeren bir mini kitap oluşturma.

Çalışmamın sonuçları matematik, fizik ve hesap makinesi olmadan köklerin çıkarılmasının gerekli olduğu diğer konularda başarıyla kullanılabilir.

İlginiz için teşekkür ederiz!

Ön izleme:

Sunum önizlemelerini kullanmak için bir Google hesabı oluşturun ve bu hesaba giriş yapın: https://accounts.google.com

Slayt başlıkları:

Hesap makinesi olmadan büyük sayılardan karekök çıkarma Sanatçı: Lev Sokolov, MKOU "Tugulymskaya V(S)OSH", 8. sınıf Lider: Sidorova Tatyana Nikolaevna I kategorisi, matematik öğretmeni r.p. Tugulım

Yöntemlerin doğru uygulanması uygulama ve çeşitli örneklerle öğrenilebilir. G. Zeiten Çalışmanın amacı: Elinizde bir hesap makinesi olmadan kullanılabilecek karekök çıkarma yöntemlerini bulmak ve göstermek. Hedefler: - Bu konuyla ilgili literatürü incelemek. - Bulunan her yöntemin özelliklerini ve algoritmasını göz önünde bulundurun. - Edinilen bilginin pratik uygulamasını gösterin ve çeşitli yöntem ve algoritmaları kullanmanın karmaşıklık derecesini değerlendirin. - En ilginç algoritmalarla ilgili bir mini kitap oluşturun.

Çalışmanın amacı: karekökler Çalışmanın konusu: hesap makinesi olmadan karekök çıkarma yöntemleri. Araştırma yöntemleri: Hesap makinesi olmadan büyük sayılardan karekök çıkarmak için yöntemler ve algoritmalar arayın. Bulunan yöntemlerin karşılaştırılması. Elde edilen yöntemlerin analizi.

Karekök çıkarma yöntemleri: 1. Asal çarpanlara ayırma yöntemi 2. Köşe kullanarak karekök çıkarma 3. İki basamaklı sayıların kareler tablosunu kullanma yöntemi 4. Eski Babil Formülü 5. Tam kareyi atma yöntemi 6. Kanada yöntemi 7. Tahmin yöntemi 8. Tek sayılardan kesinti yöntemi

Asal çarpanlara ayırma yöntemi Bir karekök çıkarmak için, bir sayıyı asal çarpanlara ayırabilir ve çarpımın karekökünü çıkarabilirsiniz. 3136│2 7056│2 209764│2 1568│2 3528│2 104882│2 784│2 1764│2 52441│229 392│2 882│2 229│229 196│2 4 41│3 98│2 147│3 √ 209764 = √2∙2∙52441 = 49│7 49│7 = √2²∙229² = 458. 7│7 7│7 √3136 = √ 2²∙2²∙2²∙7² = 2∙2∙2∙7 = 56 √7056 = √2²∙2²∙3²∙7² = 2∙2∙3∙7 = 84. Parçalanması her zaman kolay değildir, çoğunlukla tamamen ortadan kaldırılmaz, çok zaman alır.

Antik Babil Formülü (Babil yöntemi) Antik Babil yöntemini kullanarak karekök çıkarmaya yönelik algoritma. 1. c sayısını a² + b toplamı olarak sunun; burada a², c sayısına en yakın a doğal sayısının tam karesidir (a² ≈ c); 2. Kökün yaklaşık değeri aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır: Hesap makinesi kullanılarak kökün çıkarılmasının sonucu 5.292'dir.

Köşeli bir karekök çıkarma Yöntem neredeyse evrenseldir, çünkü herhangi bir sayıya uygulanabilir, ancak bir bulmaca oluşturmak (bir sayının sonundaki sayıyı tahmin etmek), bir sütunla mantık ve iyi hesaplama becerileri gerektirir.

Köşe kullanarak karekök çıkarma algoritması 1. Sayıyı (5963364) sağdan sola çiftlere bölün (5`96`33`64) 2. Soldaki ilk gruptan karekökü çıkarın (- sayı 2) . Sayının ilk rakamını bu şekilde elde ediyoruz. 3. İlk rakamın karesini bulun (2 2 =4). 4. Birinci grup ile ilk rakamın karesi arasındaki farkı bulun (5-4=1). 5. Sonraki iki rakamı indiriyoruz (196 sayısını alıyoruz). 6. Bulduğumuz ilk rakamı ikiye katlayın ve satırın soluna yazın (2*2=4). 7. Şimdi sayının ikinci basamağını bulmamız gerekiyor: bulduğumuz ilk basamağın iki katı sayının onlar basamağı olur, birim sayısıyla çarpıldığında 196'dan küçük bir sayı elde etmemiz gerekir (bu sayıdır) 4, 44*4=176). 4 &'nin ikinci basamağıdır. 8. Farkı bulun (196-176=20). 9. Bir sonraki grubu yıkıyoruz (2033 sayısını alıyoruz). 10. 24 sayısını ikiye katlarsak 48. 11. 48 onluk sayısını elde ederiz, birler sayısıyla çarptığımızda ise 2033'ten (484*4=1936) küçük bir sayı elde etmeliyiz. Bulduğumuz birler basamağı (4) sayının üçüncü basamağıdır. Daha sonra işlem tekrarlanır.

Tek sayı çıkarma yöntemi (aritmetik yöntem) Karekök algoritması: Kalan, çıkarılacak bir sonraki sayıdan küçük veya sıfıra eşit olana kadar tek sayıları sırayla çıkarın. Gerçekleştirilen eylemlerin sayısını sayın - bu sayı, çıkarılan karekök sayısının tamsayı kısmıdır. Örnek 1: 1'i hesaplayın. 9 − 1 = 8; 8 - 3 = 5; 5 − 5 = 0. 2. 3 eylem tamamlandı

36 - 1 = 35 - 3 = 32 - 5 = 27 - 7 = 20 - 9 = 11 - 11 = 0 toplam çıkarma sayısı = 6, yani 36'nın karekökü = 6. 121 – 1 = 120 - 3 = 117- 5 = 112 - 7 = 105 - 9 = 96 - 11 = 85 - 13 = 72 - 15 = 57 - 17 = 40 - 19 = 21 - 21 = 0 Toplam çıkarma sayısı = 11, yani 121'in karekökü = 11. 5963364 = ??? Rus bilim adamları perde arkasında yavaşlığından dolayı buna “kaplumbağa yöntemi” diyorlar. Çok sayıda kişi için sakıncalıdır.

Çalışmanın teorik önemi, karekök çıkarmanın ana yöntemlerinin sistematik hale getirilmesidir. Pratik önemi: Karekökleri çeşitli şekillerde çıkarmak için bir referans diyagramı içeren bir mini kitap oluşturmada.

İlginiz için teşekkür ederiz!

Ön izleme:

Bazı problemler büyük bir sayının karekökünün alınmasını gerektirir. Nasıl yapılır?

Tek sayı çıkarma yöntemi.

Yöntem çok basittir. Sayıların kareleri için aşağıdaki eşitliklerin geçerli olduğuna dikkat edin:

1=1 2

1+3=2 2

1+3+5=3 2

1+3+5+7=4 2 vb.

Kural: Bir sayının karekökünün tamsayı kısmını, kalan bir sonraki çıkarılan sayıdan küçük veya sıfıra eşit olana kadar tüm tek sayıları ondan sırayla çıkararak ve gerçekleştirilen eylemlerin sayısını sayarak bulabilirsiniz.

Örneğin, 36 ve 121'in karekökünü almak için:

36 - 1 = 35 - 3 = 32 - 5 = 27 - 7 = 20 - 9 = 11 - 11 = 0

Toplam çıkarma sayısı = 6, yani karekökü 36 = 6.

121 - 1 = 120 - 3 = 117- 5 = 112 - 7 = 105 - 9 = 96 - 11 = 85 – 13 = 72 - 15 = 57 – 17 = 40 - 19 = 21 - 21 = 0

Toplam çıkarma sayısı = 11, yani√121 = 11.

Kanada yöntemi.

Bu hızlı yöntem, 20. yüzyılda Kanada'nın önde gelen üniversitelerinden birinde çalışan genç bilim insanları tarafından keşfedildi. Doğruluğu iki ila üç ondalık basamağı geçmez. İşte onların formülü:

√ X = √ S + (X - S) / (2 √ S), burada X, karekökü alınacak sayı ve S, en yakın tam karenin sayısıdır.

Örnek. 75'in karekökünü alın.

X = 75, S = 81. Bu da √ S = 9 anlamına gelir.

Bu formülü kullanarak √75'i hesaplayalım: √ 75 = 9 + (75 - 81) / (2∙9)
√ 75 = 9 + (- 6/18) = 9 - 0,333 = 8,667

Köşe kullanarak karekök çıkarma yöntemi.

1. (5963364) sayısını sağdan sola doğru çiftlere bölün (5`96`33`64)

2. Soldaki ilk grubun karekökünü alın (- 2 numara). Sayının ilk rakamını bu şekilde elde ediyoruz.

3. İlk rakamın karesini bulun (2 2 =4).

4. Birinci grup ile ilk rakamın karesi arasındaki farkı bulun (5-4=1).

5. Sonraki iki rakamı indiriyoruz (196 sayısını alıyoruz).

6. Bulduğumuz ilk rakamı ikiye katlayın ve satırın soluna yazın (2*2=4).

7. Şimdi sayının ikinci basamağını bulmamız gerekiyor: bulduğumuz ilk basamağın iki katı sayının onlar basamağı olur, birim sayısıyla çarpıldığında 196'dan küçük bir sayı elde etmeniz gerekir (bu sayıdır) 4, 44*4=176). 4 &'nin ikinci basamağıdır.

8. Farkı bulun (196-176=20).

9. Bir sonraki grubu yıkıyoruz (2033 sayısını alıyoruz).

10. 24 sayısını ikiye katlarsak 48 elde ederiz.

Bir sayıda 11,48 onlar vardır, birlerin sayısıyla çarpıldığında 2033'ten (484*4=1936) küçük bir sayı elde etmemiz gerekir. Bulduğumuz birler basamağı (4) sayının üçüncü basamağıdır.

Aksiyon kare kökkare alma eyleminin tersi.

√81= 9 9 2 =81.

Seçim yöntemi.

Örnek: 676 sayısının kökünü çıkarın.

20 2 = 400 ve 30 2 = 900 olduğunu fark ettik, yani 20

Doğal sayıların tam kareleri 0 ile biter; 1; 4; 5; 6; 9.
6 sayısı 4'ü verir 2 ve 6 2 .
Bu, kök 676'dan alınırsa ya 24 ya da 26 olacağı anlamına gelir.

Kontrol edilecek kalan sayı: 24 2 = 576, 26 2 = 676.

Cevap: √ 676 = 26.

Başka bir örnek: √6889.

80 2 = 6400 ve 90 2 olduğundan = 8100 ise 80 9 sayısı 3'ü verir 2 ve 7 2 ise √6889 ya 83 ya da 87'ye eşittir.

Kontrol edelim: 83 2 = 6889.

Cevap: √6889 = 83.

Seçim yöntemini kullanarak çözmekte zorlanıyorsanız radikal ifadeyi çarpanlara ayırabilirsiniz.

Örneğin, √893025'i bulun.

893025 sayısını çarpanlara ayıralım, unutmayın, bunu altıncı sınıfta yapmıştınız.

Şunu elde ederiz: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.

Babil yöntemi.

Aşama 1. X sayısını toplam olarak gösterin: x=a 2 + b, burada a 2 a doğal sayısının x sayısına en yakın tam karesi.

Adım 2. Formülü kullanın:

Örnek. Hesaplamak.

Aritmetik yöntem.

Kalan sayı bir sonraki çıkarılacak sayıdan küçük veya sıfıra eşit oluncaya kadar tüm tek sayıları sırayla çıkarıyoruz. Gerçekleştirilen eylemlerin sayısını saydıktan sonra sayının karekökünün tam sayı kısmını belirleriz.

Örnek. Bir sayının tam sayı kısmını hesaplama.

Çözüm. 12 - 1 = 11; 11 - 3 = 8; 8 - 5 = 3; 3 3 - sayının tam sayı kısmı. Bu yüzden, .

Yöntem (Newton yöntemi olarak bilinir)Şöyleki.

1 olsun - sayının ilk yaklaşımı(1 olarak bir doğal sayının karekökünün değerlerini alabilirsiniz - tam kareyi aşmayan .

Bu yöntem, büyük bir sayının karekökünü herhangi bir doğrulukla çıkarmanıza olanak tanır, ancak önemli bir dezavantajı vardır: hesaplamaların zahmetli olması.

Evrim metodu.

Aşama 1. Orijinal kökün bulunduğu aralığı bulun (100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10.000).

Adım 2. Son rakamı kullanarak istenilen sayının hangi rakamla bittiğini belirleyin.

Aşama 3. Beklenen sayıların karesini alın ve onlardan istenen sayıyı belirleyin.

Örnek 1. Hesaplayın.

Çözüm. 2500 50 2 2 50

= *2 veya = *8.

52 2 = (50 +2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;
58 2 = (60 − 2) 2 = 3600 − 2 60 2 + 4 = 3364.

Bu nedenle = 58.

Gizliliğinizin korunması bizim için önemlidir. Bu nedenle bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik uygulamalarımızı inceleyin ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.

Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması

Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.

Bizimle iletişime geçtiğinizde istediğiniz zaman kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.

Aşağıda toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.

Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:

• Siteye bir başvuru gönderdiğinizde adınız, telefon numaranız, e-posta adresiniz vb. dahil olmak üzere çeşitli bilgiler toplayabiliriz.

Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:

• Topladığımız kişisel bilgiler, benzersiz teklifler, promosyonlar, diğer etkinlikler ve gelecek etkinlikler konusunda sizinle iletişim kurmamıza olanak tanır.
• Zaman zaman kişisel bilgilerinizi önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kullanabiliriz.
• Kişisel bilgileri, sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili tavsiyeler sunmak amacıyla denetimler, veri analizi ve çeşitli araştırmalar yapmak gibi şirket içi amaçlarla da kullanabiliriz.
• Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir promosyona katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.

Bilgilerin üçüncü şahıslara açıklanması

Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara açıklamıyoruz.

İstisnalar:

• Gerekirse - yasaya, adli prosedüre uygun olarak, yasal işlemlerde ve/veya kamunun talepleri veya Rusya Federasyonu topraklarındaki hükümet yetkililerinin talepleri temelinde - kişisel bilgilerinizi ifşa etmek. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu önemi amaçları açısından gerekli veya uygun olduğunu tespit etmemiz halinde, hakkınızdaki bilgileri de açıklayabiliriz.
• Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda topladığımız kişisel bilgileri ilgili halef üçüncü tarafa aktarabiliriz.

Kişisel bilgilerin korunması

Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişime, ifşa edilmeye, değiştirilmeye ve imhaya karşı korumak için idari, teknik ve fiziksel önlemler alıyoruz.

Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı duymak

Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için gizlilik ve güvenlik standartlarını çalışanlarımıza aktarıyor ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.

İlk bölüm.

Belirli bir tam sayıdan en büyük tam sayının karekökünü bulma.

170. Ön açıklamalar.

A) Sadece karekök çıkarmaktan bahsedeceğimiz için bu bölümde konuşmayı kısaltmak adına “kare” kök yerine basitçe “kök” diyeceğiz.

B) Doğal serideki sayıların karesini alırsak: 1,2,3,4,5. . . , sonra şu kareler tablosunu elde ederiz: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100,121,144. .,

Açıkçası bu tabloda yer almayan pek çok tam sayı var; Elbette bu sayılardan kökün tamamını çıkarmak mümkün değildir. Bu nedenle, örneğin herhangi bir tam sayının kökünü çıkarmanız gerekiyorsa. √4082'yi bulmamız gerekiyorsa, bu gereksinimi şu şekilde anlıyoruz: mümkünse 4082'nin tüm kökünü çıkarın; mümkün değilse, karesi 4082 olan en büyük tamsayıyı bulmamız gerekir (böyle bir sayı 63'tür, çünkü 63 2 = 3969 ve 64 2 = 4090).

V) Bu sayı 100'den küçükse çarpım tablosu kullanılarak kökü bulunur; Böylece, √60 7 olur, çünkü yedi 7, 60'tan küçük olan 49'a ve 60'tan büyük olan 64'e eşit sekiz 8'e eşittir.

171. 10.000'den küçük, 100'den büyük bir sayının kökünü çıkarmak. Diyelim ki √4082'yi bulmamız gerekiyor. Bu sayı 10.000'den küçük olduğundan kökü √l0,000 = 100'den küçüktür. Öte yandan bu sayı 100'den büyüktür; bu, kökünün 10'dan büyük (veya 10'a eşit) olduğu anlamına gelir. (Örneğin √'yi bulmak gerekiyorsa 120 120 > 100 olmasına rağmen √ 120 10'a eşittir çünkü 11 2 = 121.) Ancak 10'dan büyük, 100'den küçük her sayının 2 basamağı vardır; Bu, gerekli kökün toplam olduğu anlamına gelir:

onlar + birler,

ve bu nedenle karesi toplama eşit olmalıdır:

Bu toplam 4082'nin en büyük karesi olmalıdır.

Bunlardan en büyüğü olan 36'yı alalım ve onlar kökünün karesinin tam olarak bu en büyük kareye eşit olacağını varsayalım. O zaman kökteki onlar sayısı 6 olmalıdır. Şimdi bunun her zaman böyle olması gerektiğini kontrol edelim, yani kökteki onlar sayısı her zaman yüzlerce köklü sayının en büyük tamsayı köküne eşittir.

Nitekim örneğimizde kökün onluk sayısı 6'dan fazla olamaz, çünkü (7 ondalık) 2 = 49 yüz, yani 4082'yi aşar. Ancak 5 ondalık sayı olduğundan 6'dan az olamaz. (birimlerle birlikte) 6 des.'den küçüktür ve bu arada (6 des.) 2 = 36 yüz, yani 4082'den azdır. Ve en büyük tam kökü aradığımız için kök olarak 5 des almamalıyız, 6 onluk bile çok fazla olmadığında.

Böylece kökün onluk sayısını yani 6'yı bulmuş olduk. Bu sayıyı, kökün onlukları anlamına geldiğini hatırlayarak = işaretinin sağına yazıyoruz. Kareye yükselterek 36 yüz elde ederiz. Bu 36 yüzlük rakamı 40 yüzlük köklü sayıdan çıkarıyoruz ve bu sayının kalan iki basamağını çıkarıyoruz. Geriye kalan 482, 2 (6 ondalık) (birim) + (birim)2 içermelidir. Çarpım (6 dec.) (birimler) onlarca olmalıdır; bu nedenle onlar ile birlerin çift çarpımı kalanın onlarında yani 48'de aranmalıdır (sayılarını 48 "2'nin geri kalanında sağdaki bir rakamı ayırarak elde ederiz). 12'yi oluştururuz. Bu, 12'yi kökün birimleriyle (henüz bilinmeyen) çarparsak 48'in içerdiği sayıyı elde etmemiz gerektiği anlamına gelir. Bu nedenle 48'i 12'ye böleriz.

Bunu yapmak için kalanın soluna ve arkasına dikey bir çizgi çiziyoruz (şimdi ortaya çıkacak amaç için çizgiden bir basamak sola doğru bir adım geri giderek), kökün ilk rakamının iki katını yani 12'yi yazıyoruz ve 48'i buna bölersek 4 elde ederiz.

Ancak 4 sayısının kökün birimi olarak alınabileceğini önceden garanti edemeyiz, çünkü kalan onlu sayıların tamamını şimdi 12'ye böldük, bazıları ise onların çift çarpımına ait olmayabilir. birimler, ancak birimlerin karesinin bir parçasıdır. Bu nedenle 4 sayısı büyük olabilir. Denememiz lazım. 2 (6 ondalık) 4 + 4 2 toplamının kalan 482'den fazla olmaması açıkça uygundur.

Sonuç olarak her ikisinin toplamını aynı anda elde ederiz. Ortaya çıkan ürünün 496 olduğu ortaya çıktı ve bu, kalan 482'den daha büyük; Bu, 4 numaranın büyük olduğu anlamına gelir. Daha sonra bir sonraki küçük sayı olan 3'ü de aynı şekilde test edelim.

Örnekler.

Örnek 4'te kalanın 47 onluğunu 4'e böldüğümüzde bölüm olarak 11 elde ediyoruz. Ancak kökün birim sayısı iki basamaklı 11 veya 10 olamayacağı için doğrudan 9 sayısını test etmemiz gerekiyor.

Örnek 5'te karenin ilk yüzünden 8 çıkarıldığında kalan 0 olur ve sonraki yüzü de sıfırlardan oluşur. Bu, istenen kökün yalnızca 8 ondan oluştuğunu ve bu nedenle birlerin yerine sıfır konulması gerektiğini gösterir.

172. 10000'den büyük bir sayının kökünü çıkarmak. Diyelim ki √35782'yi bulmamız gerekiyor. Radikal sayı 10.000'i aştığı için kökü √10000 = 100'den büyüktür ve dolayısıyla 3 veya daha fazla rakamdan oluşur. Kaç rakamdan oluşursa oluşsun, her zaman sadece onlar ve birlerin toplamı olarak düşünebiliriz. Örneğin kök 482 ise bunu 48 des miktarı olarak sayabiliriz. + 2 adet O zaman kökün karesi 3 terimden oluşacaktır:

(dec.) 2 + 2 (dec.) (birim) + (birim) 2 .

Artık √4082'yi (önceki paragrafta) bulurken yaptığımız gibi mantık yürütebiliriz. Tek fark, 4082'nin kökünün onluklarını bulmak için 40'ın kökünü çıkarmamız gerekmesi olacak ve bu, çarpım tablosu kullanılarak yapılabilir; şimdi onlar√35782'yi elde etmek için 357'nin kökünü almamız gerekecek ki bu çarpım tablosu kullanılarak yapılamaz. Ancak önceki paragrafta anlatılan tekniği kullanarak √357'yi bulabiliriz, çünkü 357 sayısı< 10 000. Наибольший целый корень из 357 оказывается 18. Значит, в √3"57"82 должно быть 18 десятков. Чтобы найти единицы, надо из 3"57"82 вычесть квадрат 18 десятков, для чего достаточно вычесть квадрат 18 из 357 сотен и к остатку снести 2 последние цифры подкоренного числа. Остаток от вычитания квадpaта 18 из 357 у нас уже есть: это 33. Значит, для получения остатка от вычитания квадрата 18 дес. из 3"57"82, достаточно к 33 приписать справа цифры 82.

Daha sonra √4082'yi bulurken yaptığımız gibi devam ediyoruz, yani: kalan 3382'nin soluna dikey bir çizgi çiziyoruz ve arkasına bulunan kökün onluk sayısının iki katını (çizgiden bir adım geriye giderek) yazıyoruz, yani 36 (iki kez 18). Geri kalan kısımda sağdaki bir rakamı ayırıp kalanın onluk sayısını yani 338'i 36'ya bölüyoruz. Bölümde 9 elde ediyoruz. Sağdaki 36'ya atadığımız bu sayıyı test ediyoruz ve onunla çarpın. Ürünün 3321 olduğu ortaya çıktı ki bu da kalandan daha az. Bu 9 rakamının uygun olduğu anlamına gelir, köke yazıyoruz.

Genel olarak, herhangi bir tam sayının karekökünü çıkarmak için öncelikle yüzlerin kökünü çıkarmanız gerekir; eğer bu sayı 100'den fazlaysa, o zaman bu yüzlerce sayının, yani bu sayının onbinlerce sayısının kökünü aramanız gerekecektir; eğer bu sayı 100'den fazlaysa, yüz onbinlerlik sayıdan, yani belirli bir sayının milyonlarcasından vb. kök almanız gerekecektir.

Örnekler.

Son örnekte ilk rakamı bulup karesini çıkardıktan sonra 0 kalanını elde ediyoruz. Sonraki 2 rakamı 51 çıkarıyoruz. Onlar'ı ayırarak 5 des elde ediyoruz, kökün çift bulunan rakamı ise 6 oluyor. Bu, 5'i 6'ya bölerek 0 elde ettiğimiz anlamına gelir. 0'ı kökte ikinci sıraya koyarız ve sonraki 2 rakamı kalana ekleriz; 5110 alıyoruz. Sonra her zamanki gibi devam ediyoruz.

Bu örnekte gerekli kök yalnızca 9 yüzden oluşuyor ve bu nedenle onlar basamağı ve birler basamağı sıfır yerleştirilmelidir.

Kural. Belirli bir tam sayının karekökünü çıkarmak için, onu sağdan sola, bir basamaklı olabilen sonuncusu hariç, her birinde 2 basamak olacak şekilde kenardan bölerler.
Kökün ilk rakamını bulmak için ilk yüzün karekökünü alın.
İkinci rakamı bulmak için kökün ilk rakamının karesi birinci yüzden çıkarılır, ikinci yüz kalana alınır ve elde edilen sayının onlar basamağı kökün ilk rakamının iki katına bölünür. ; elde edilen tamsayı test edilir.
Bu test şu şekilde gerçekleştirilir: dikey çizginin arkasına (geriye kalanın soluna), daha önce bulunan kök sayısının iki katını yazın ve sağ tarafa, bu eklemeden sonra test edilen rakamı, elde edilen sayıyı ekleyin. , test edilen rakamla çarpılır. Çarpma sonrasında sonuç kalandan büyük bir sayı ise test edilen rakam uygun değildir ve bir sonraki küçük rakam test edilmelidir.
Kökün sonraki basamakları aynı teknik kullanılarak bulunur.
Bir yüzü çıkardıktan sonra, elde edilen sayının onluk sayısı bölenden küçük çıkarsa, yani kökün bulunan kısmının iki katından az olursa köke 0 konulur, sonraki yüz kaldırılır ve eyleme daha fazla devam edin.

173. Kökün basamak sayısı. Kök bulma süreci göz önüne alındığında, kök sayının her biri 2 basamaklı yüzler olduğu kadar kökte de çok sayıda basamak olduğu sonucu çıkar (sol yüz bir basamaklı olabilir).

İkinci bölüm.

Tamsayıların ve kesirlerin yaklaşık kareköklerinin çıkarılması .

Polinomların karekökünü çıkarmak için § 399 ve devamının 2. kısmına yapılan eklemelere bakın.

174. Tam karekökün işaretleri. Belirli bir sayının tam karekökü, karesi verilen sayıya tam olarak eşit olan bir sayıdır. Belirli bir sayıdan kesin bir kökün çıkarılıp çıkarılamayacağına karar verebilmek için bazı işaretler verelim:

A) Belirli bir tam sayıdan tam kök çıkarılmazsa (geri kalan çıkarma sırasında elde edilir), bu durumda kesirli tam kök böyle bir sayıdan bulunamaz, çünkü kendisiyle çarpıldığında bir tam sayıya eşit olmayan herhangi bir kesir , aynı zamanda çarpımda bir tamsayı değil kesir üretir.

B) Bir kesrin kökü, payın kökünün paydanın köküne bölünmesine eşit olduğundan, indirgenemez bir kesrin paydan veya paydadan çıkarılamaması durumunda tam kökü bulunamaz. Örneğin, 4/5, 8/9 ve 11/15 kesirlerinden tam kök çıkarılamaz, çünkü ilk kesirde paydadan, ikincisinde paydan ve üçüncüde - çıkarılamaz. ne paydan ne de paydadan.

Tam kökü çıkarılamayan sayılardan yalnızca yaklaşık kökler çıkarılabilir.

175. 1'e kadar doğru yaklaşık kök. Belirli bir sayının (tam sayı veya kesirli olması fark etmez) 1'e kadar doğru olan yaklaşık karekökü, aşağıdaki iki gereksinimi karşılayan bir tam sayıdır:

1) bu sayının karesi verilen sayıdan büyük değildir; 2) Ancak bu sayının 1 artan karesi bu sayıdan büyüktür. Başka bir deyişle, 1'e kadar doğru olan yaklaşık bir karekök, belirli bir sayının en büyük tamsayı kareköküdür, yani önceki bölümde bulmayı öğrendiğimiz köktür. Bu köke 1 doğrulukla yaklaşık denir, çünkü tam bir kök elde etmek için bu yaklaşık köke 1'den küçük bir kesir eklememiz gerekir; dolayısıyla bilinmeyen tam kök yerine bu yaklaşık olanı alırsak, 1'den küçük bir hata.

Kural. 1'e kadar doğru yaklaşık bir karekök çıkarmak için, verilen sayının tamsayı kısmının en büyük tamsayı kökünü çıkarmanız gerekir.

Bu kuralla bulunan sayı, belirli bir kesrin (1'den küçük) tam kökünden yoksun olduğundan dezavantajlı yaklaşık bir köktür. Bu kökü 1 arttırırsak, tam kökün üzerinde bir miktar fazlalığın olduğu ve bu fazlalığın 1'den küçük olduğu başka bir sayı elde ederiz. 1 artan bu köke 1 doğrulukla yaklaşık kök de denilebilir, ancak aşırılıkla. (Bazı matematik kitaplarında “eksikliği olan” veya “fazlalığı olan” isimlerinin yerini “eksikliğiyle” veya “fazlasıyla” eşdeğerleri almıştır.)

176. 1/10 doğrulukla yaklaşık kök. Diyelim ki √2.35104'ü 1/10 doğrulukla bulmamız gerekiyor. Bu, tam birimler ve ondalıklardan oluşan ve aşağıdaki iki gereksinimi karşılayan bir ondalık kesir bulmanız gerektiği anlamına gelir:

1) Bu kesrin karesi 2,35104'ü geçmez, ancak 2) 1/10 arttırırsak bu artan kesrin karesi 2,35104'ü aşar.

Böyle bir kesri bulmak için önce 1'e doğru yaklaşık bir kök buluruz, yani kökü yalnızca 2 tam sayısından çıkarırız. 1 elde ederiz (ve geri kalan 1'dir). Köküne 1 sayısını yazıp arkasına virgül koyuyoruz. Şimdi ondalıkların sayısını arayacağız. Bunun için virgülün sağındaki 35 rakamını kalan 1'e indirip, sanki 235 tamsayısının kökünü çıkarıyormuş gibi çıkarma işlemine devam ediyoruz. Ortaya çıkan 5 sayısını kökteki yerine yazıyoruz. onda biri. Radikal sayının (104) kalan rakamlarına ihtiyacımız yok. Ortaya çıkan 1,5 sayısının aslında 1/10 doğrulukla yaklaşık bir kök olacağı aşağıdan görülebilmektedir. 235'in en büyük tamsayı kökünü 1 doğrulukla bulursak 15 sonucunu elde ederiz. Yani:

15 2 < 235, ancak 16 2 >235.

Tüm bu sayıları 100'e bölerek şunu elde ederiz:

Bu, 1,5 sayısının 1/10 doğrulukla yaklaşık kök dediğimiz ondalık kesir olduğu anlamına gelir.

Bu tekniği kullanarak aşağıdaki yaklaşık kökleri de 0,1 doğrulukla bulabiliriz:

177. 1/100 ile 1/1000 arasında yaklaşık karekök vb.

1/100 doğrulukla yaklaşık √248 bulmamız gerektiğini varsayalım. Bu şu anlama gelir: tam, onda birlik ve yüzde birlik kısımlardan oluşan ve iki gereksinimi karşılayan bir ondalık kesir bulun:

1) karesi 248'i geçmez ama 2) bu kesri 1/100 arttırırsak bu artan kesrin karesi 248'i aşar.

Böyle bir kesri şu sırayla bulacağız: önce tam sayıyı, sonra onda birleri, sonra yüzde birleri bulacağız. Bir tam sayının kökü 15 tam sayıdır. Onuncu rakamı elde etmek için, gördüğümüz gibi, kalan 23'e, virgülün sağındaki 2 rakamı daha eklemeniz gerekir. Örneğimizde bu sayılar hiç yok; yerlerine sıfır koyuyoruz. Bunları kalana ekleyip 24.800 tam sayısının kökünü buluyormuş gibi devam edersek onda biri rakamı 7'yi bulacağız. Geriye yüzde birleri bulmak kalıyor. Bunu yapmak için kalan 151'e 2 sıfır daha ekliyoruz ve 2.480.000 tamsayısının kökünü buluyormuş gibi çıkarmaya devam ediyoruz. 15,74 elde ediyoruz. Bu sayının gerçekte 1/100 doğrulukla 248'in yaklaşık kökü olduğu aşağıdan görülmektedir. 2.480.000 tam sayısının en büyük tamsayı karekökünü bulursak 1574 elde ederiz; Araç:

1574 2 < 2.480.000, ancak 1575 2 > 2.480.000.

Tüm sayıları 10.000'e (= 100 2) bölerek şunu elde ederiz:

Bu, 15,74'ün, 248'in 1/100'ü doğrulukla yaklaşık kök dediğimiz ondalık kesir olduğu anlamına gelir.

Bu tekniği 1/1000 ila 1/10000 vb. doğrulukla yaklaşık bir kök bulmaya uyguladığımızda aşağıdakileri buluruz.

Kural. Belirli bir tam sayıdan veya belirli bir ondalık kesirden 1/10 ila 1/100 ila 1/100 vb. doğrulukla yaklaşık bir kök çıkarmak için, önce 1 doğruluğunda yaklaşık bir kök bulun ve tamsayı (hayır ise 0 tam sayının kökü hakkında yazıyorlar).

Daha sonra onda biri sayısını buluyorlar. Bunu yapmak için, ondalık noktanın sağındaki radikal sayının 2 basamağını kalana ekleyin (eğer orada değilse, kalana iki sıfır ekleyin) ve bir tam sayının kökünü çıkarırken yapıldığı gibi çıkarmaya devam edin. . Ortaya çıkan sayı onda biri yerine köke yazılır.

Daha sonra yüzde birlik sayıyı bulun. Bunu yapmak için, yeni kaldırılanların sağındaki iki sayı geri kalana eklenir vb.

Bu nedenle, ondalık kesirli bir tam sayının kökünü çıkarırken, ondalık noktadan başlayarak hem sola (sayının tamsayı kısmında) hem de sağa (içinde) her biri 2 basamaklı yüzlere bölmek gerekir. kesirli kısım).

Örnekler.

1) 1/100'e kadar kökü bulun: a) √2; b) √0,3;

Son örnekte, kökün 4 ondalık basamağını bulmak için gereken 4 yüzü oluşturmak için 8 ondalık basamağı hesaplayarak 3/7 kesirini ondalık sayıya dönüştürdük.

178. Karekök tablosunun açıklaması. Bu kitabın sonunda dört rakamla hesaplanan bir karekök tablosu bulunmaktadır. Bu tabloyu kullanarak, en fazla dört basamakla ifade edilen bir tam sayının (veya ondalık kesrin) karekökünü hızlı bir şekilde bulabilirsiniz. Bu tablonun nasıl yapılandırıldığını açıklamadan önce, tabloların yardımı olmadan sadece radikal sayıya bakarak istenilen kökün ilk anlamlı basamağını her zaman bulabileceğimizi belirtelim; kökün ilk basamağının hangi ondalık basamağı ifade ettiğini de kolayca belirleyebiliriz ve bu nedenle kökün neresinde basamaklarını bulduğumuzda virgül koymamız gerekir. İşte bazı örnekler:

1) √5"27,3 . Radikal sayının sol tarafı 5 olduğundan ilk rakam 2 olacaktır; ve 5'in kökü 2'ye eşittir. Ek olarak, kökün tamsayı kısmında yalnızca 2 yüz olduğundan, istenen kökün tamsayı kısmında 2 basamak olmalıdır ve bu nedenle ilk basamağı 2 olmalıdır. onlarca demek.

2) √9.041. Açıkçası, bu kökte ilk rakam 3 asal birim olacaktır.

3) √0,00"83"4. İlk anlamlı rakamı elde etmek için kökün alınması gereken yüz 83 ve 83'ün kökü 9 olduğundan ilk anlamlı rakam 9'dur. İstenilen sayı ne tam sayı ne de onda birlik sayı içermeyeceğinden, İlk rakam 9 yüzde birler anlamına gelmelidir.

4) √0,73"85. İlk önemli rakam onda 8'dir.

5) √0,00"00"35"7. İlk anlamlı rakam binde 5 olacaktır.

Bir hatırlatma daha yapalım. İçinde işgal edilen kelimeyi çıkardıktan sonra şu şekilde bir sayı dizisi ile temsil edilen bir sayının kökünü çıkarmamız gerektiğini varsayalım: 5681. Bu kök aşağıdakilerden biri olabilir:

Altını tek çizgiyle çizdiğimiz kökleri alırsak, hepsi aynı sayı dizisiyle, tam olarak 5681'den kök çıkarıldığında elde edilen sayılarla ifade edilecektir (bunlar 7, 5, 3, 7 sayıları olacaktır) ). Bunun nedeni, kökün rakamlarını bulurken radikal sayının bölünmesi gereken yüzlerin tüm bu örneklerde aynı olacağı, dolayısıyla her kökün rakamlarının aynı olacağıdır (sadece ondalık basamağın konumu). nokta elbette farklı olacaktır). Aynı şekilde, altını iki çizgiyle çizdiğimiz tüm köklerde, tam olarak √568.1'i ifade etmek için kullanılanlarla aynı sayılar elde edilmelidir (bu sayılar 2, 3, 8, 3 olacaktır) ve aynı için sebep. Böylece, 5681 sayılarının aynı satırıyla temsil edilen (virgül çıkarılarak) sayıların köklerinin rakamları iki (ve yalnızca iki) türden olacaktır: ya bu satır 7, 5, 3, 7'dir ya da satır 2, 3, 8, 3. Aynı şey elbette diğer sayı dizileri için de söylenebilir. Bu nedenle, şimdi göreceğimiz gibi, tabloda radikal sayının her rakam sırası, kökler için 2 basamak rakamına karşılık gelir.

Artık tablonun yapısını ve nasıl kullanılacağını anlatabiliriz. Açıklamanın netliği açısından burada tablonun ilk sayfasının başlangıcını gösterdik.

Bu tablo birkaç sayfada yer almaktadır. Her birinin üzerinde soldaki ilk sütunda 10, 11, 12... (99'a kadar) sayıları yer alıyor. Bu sayılar karekökü aranan sayının ilk 2 rakamını ifade eder. Üstteki yatay çizgide (aynı zamanda altta) sayılar bulunur: 0, 1, 2, 3... 9, bu sayının 3. basamağını temsil eder ve daha sonra sağda 1, 2, sayıları bulunur. 3. . . 9, bu sayının 4. basamağını temsil ediyor. Diğer tüm yatay çizgiler, karşılık gelen sayıların kareköklerini ifade eden 2 adet dört basamaklı sayı içerir.

Tamsayı veya ondalık kesir olarak ifade edilen bir sayının karekökünü bulmanız gerektiğini varsayalım. Öncelikle tabloların yardımı olmadan kökün ilk rakamını ve rakamını buluyoruz. Daha sonra bu sayıdaki virgül varsa atacağız. Öncelikle virgül atıldıktan sonra sadece 3 hanenin kalacağını varsayalım. 114. Tablolarda en soldaki sütunda ilk 2 rakamı, yani 11'i buluyoruz ve üstte (ve altta) 3. rakam olan dikey sütuna ulaşana kadar yatay çizgi boyunca onlardan sağa doğru hareket ediyoruz. yani 4. Burada dört basamaklı iki sayı buluyoruz: 1068 ve 3376. Bu iki sayıdan hangisinin alınması gerektiği ve virgülün nereye yerleştirileceği, bu kökün ilk rakamına göre belirlenir ve daha önce bulduğumuz rakam. Yani, √0,11"4 bulmamız gerekirse, kökün ilk basamağı onda 3 olur ve bu nedenle kök için 0,3376 almamız gerekir. √1,14'ü bulmamız gerekirse, kökün ilk basamağı şöyle olur: 1 ve biz O zaman 1,068 alırız.

Bu şekilde kolayca bulabiliriz:

√5,30 = 2,302; √7"18 = 26,80; √0,91"6 = 0,9571, vb.

Şimdi 4 basamakla ifade edilen (virgülü bırakarak) bir sayının kökünü bulmamız gerektiğini varsayalım, örneğin √7"45.6. Kökün ilk basamağının 2 onluk olduğunu dikkate alarak, 745 sayısı, şimdi açıklandığı gibi, 2729 rakamını (bu rakamı sadece parmağımızla fark ediyoruz ama yazmıyoruz) daha sonra bu rakamdan biraz daha sağa, tablonun sağ tarafına (arkası) doğru ilerliyoruz. son kalın çizgi) üstte (ve altta) işaretlenen dikey sütunla karşılaşıyoruz 4. bu sayının 6. rakamını buluyoruz ve orada 1 sayısını buluyoruz. Bu mutlaka uygulanması gereken bir değişiklik olacaktır. (aklımızda) daha önce bulduğumuz 2729 sayısına 2730 ulaşıyoruz. Bu sayıyı yazıp uygun yerine virgül koyuyoruz: 27.30.

Bu şekilde örneğin şunu buluruz:

√44,37 = 6,661; √4,437 = 2,107; √0,04"437 =0,2107, vb.

Radikal sayı yalnızca bir veya iki rakamla ifade ediliyorsa, bu rakamların ardından bir veya iki sıfır geldiğini varsayabilir ve üç basamaklı sayı için açıklandığı gibi ilerleyebiliriz. Örneğin, √2,7 =√2,70 =1,643; √0,13 = √0,13"0 = 0,3606, vb.

Son olarak radikal sayı 4'ten fazla rakamla ifade ediliyorsa, bunlardan sadece ilk 4'ünü alıp geri kalanını atacağız ve atılan rakamlardan ilki 5 veya 5'ten büyükse hatayı azaltmak için, o zaman tutulan rakamların dördüncüsünü l artıracağız. Bu yüzden:

√357,8| 3 | = 18,91; √0,49"35|7 | = 0,7025; ve benzeri.

Yorum. Tablolarda yaklaşık karekök bazen eksiklikle bazen fazlalıkla, yani bu yaklaşık köklerden tam köke en yakın olanı gösterilmektedir.

179. Sıradan kesirlerden kareköklerin çıkarılması.İndirgenemez bir kesirin tam karekökü ancak kesrin her iki terimi de tam kare olduğunda elde edilebilir. Bu durumda pay ve paydanın kökünü ayrı ayrı çıkarmak yeterlidir, örneğin:

Sıradan bir kesirin yaklaşık karekökünü bir ondalık hassasiyetle bulmanın en kolay yolu, önce sıradan kesri ondalık sayıya dönüştürmek ve bu kesirde, ondalık basamak sayısının iki katı olacak olan ondalık noktadan sonraki ondalık basamak sayısını hesaplamaktır. İstenilen kökte.

Ancak bunu farklı şekilde yapabilirsiniz. Bunu aşağıdaki örnekle açıklayalım:

Yaklaşık √ 5 / 24'ü bulun

Paydayı tam kare yapalım. Bunu yapmak için kesrin her iki terimini de payda 24 ile çarpmak yeterli olacaktır; ancak bu örnekte bunu farklı şekilde yapabilirsiniz. 24'ü asal çarpanlara ayıralım: 24 = 2 2 2 3. Bu ayrıştırmadan, 24'ün 2 ve başka bir 3 ile çarpılması halinde, çarpımda her basit faktörün çift sayıda tekrarlanacağı ve dolayısıyla, açıktır. , payda kareye dönüşecek:

Geriye √30'u bir miktar doğrulukla hesaplamak ve sonucu 12'ye bölmek kalır. 12'ye bölmenin aynı zamanda doğruluk derecesini gösteren kesri de azaltacağı unutulmamalıdır. Yani √30'u 1/10 doğrulukla bulup sonucu 12'ye bölersek, 1/120 doğrulukla (yani 54/120 ve 55/120) 5/24 kesirinin yaklaşık kökünü elde ederiz.

Üçüncü bölüm.

Bir fonksiyonun grafiğix = √y .

180. Ters fonksiyon. belirleyen bir denklem verilsin. en bir fonksiyonu olarak X örneğin şu şekilde: y = x 2 . Sadece belirlemediğini söyleyebiliriz. en bir fonksiyonu olarak X ama aynı zamanda tam tersini de belirler X bir fonksiyonu olarak en , örtülü bir şekilde de olsa. Bu fonksiyonu açık hale getirmek için bu denklemi çözmemiz gerekir. X , alıyor en bilinen bir sayı için; Yani aldığımız denklemden şunları buluyoruz: y = x 2 .

Y'yi x'in bir fonksiyonu olarak tanımlayan denklem çözüldükten sonra x için elde edilen cebirsel ifadeye, y'yi tanımlayanın ters fonksiyonu denir.

Yani, fonksiyon x = √y ters fonksiyon y = x 2 . Geleneksel olduğu gibi bağımsız değişkeni belirtirsek X ve bağımlı en ise, şimdi elde edilen ters fonksiyon şu şekilde ifade edilebilir: y = √x . Dolayısıyla, verilen (doğrudan) bir fonksiyonun tersini elde etmek için, bu verilen fonksiyonu tanımlayan denklemden türetilmesi gerekir. X bağlı olarak sen ve ortaya çıkan ifadede değiştirin sen Açık X , A X Açık sen .

181. Bir fonksiyonun grafiği y = √x . Bu işlev negatif bir değerle mümkün değildir X , ancak herhangi bir pozitif değer için (herhangi bir doğrulukla) hesaplanabilir X ve bu tür her değer için fonksiyon aynı mutlak değere sahip ancak zıt işaretlere sahip iki farklı değer alır. Eğer tanıdıksan √ Yalnızca karekökün aritmetik değerini belirtirsek, fonksiyonun bu iki değeri şu şekilde ifade edilebilir: y = ± √x Bu fonksiyonun grafiğini çizmek için önce değerlerinin bir tablosunu derlemeniz gerekir. Bu tabloyu oluşturmanın en kolay yolu doğrudan işlev değerleri tablosunu kullanmaktır:

y = x 2 .

eğer değerler en değer olarak almak X ve tam tersi:

y = ± √x

Tüm bu değerleri çizim üzerine çizerek aşağıdaki grafiği elde ederiz.

Aynı çizimde direkt fonksiyonun grafiğini (kesikli çizgiyle) gösterdik y = x 2 . Bu iki grafiği birbiriyle karşılaştıralım.

182. Doğrudan ve ters fonksiyonların grafikleri arasındaki ilişki. Ters fonksiyonun değer tablosunu derlemek için y = ± √x için aldık X doğrudan fonksiyon tablosundaki sayılar y = x 2 için değerler olarak görev yaptı en , ve için en bu sayıları aldım; bu tabloda hangi değerler vardı X . Bundan, her iki grafiğin de aynı olduğu, yalnızca doğrudan fonksiyonun grafiğinin eksene göre bu şekilde konumlandırıldığı sonucu çıkar. en - ters fonksiyonun grafiğinin eksene göre nasıl konumlandırıldığı X - ov. Sonuç olarak, çizimi düz bir çizgi etrafında bükersek OA dik açıyı ikiye bölmek xOy böylece çizimin yarı ekseni içeren kısmı kuruluş birimi , aks milini içeren parçanın üzerine düştü Ah , O kuruluş birimi ile uyumlu Ah , tüm bölümler kuruluş birimi bölünmelerle çakışacak Ah ve parabol noktaları y = x 2 grafikte karşılık gelen noktalarla hizalanacaktır y = ± √x . Örneğin, puanlar M Ve N , kimin koordinatı 4 ve apsisler 2 Ve - 2 , noktalarla çakışacak M" Ve N" , bunun için apsis 4 ve koordinatlar 2 Ve - 2 . Bu noktalar çakışıyorsa bu, düz çizgilerin olduğu anlamına gelir. MM" Ve NN" dik OA ve bu düz çizgiyi ikiye bölün. Her iki grafikte de karşılık gelen diğer tüm noktalar için aynı şey söylenebilir.

Bu nedenle, ters fonksiyonun grafiği doğrudan fonksiyonun grafiğiyle aynı olmalıdır, ancak bu grafikler farklı şekilde, yani açının açıortayına göre birbirleriyle simetrik olarak konumlandırılmıştır. xOy . Ters fonksiyonun grafiğinin, açının açıortayına göre doğrudan fonksiyonun grafiğinin bir yansıması (aynada olduğu gibi) olduğunu söyleyebiliriz. xOy .

Tercihen mühendislik olanıdır - kök işaretli bir düğmeye sahip olan: "√". Genellikle kökü çıkarmak için sayının kendisini yazmanız ve ardından "√" düğmesine basmanız yeterlidir.

Çoğu modern cep telefonunda kök çıkarma işlevine sahip bir hesap makinesi uygulaması bulunur. Telefon hesap makinesini kullanarak bir sayının kökünü bulma prosedürü yukarıdakine benzer.
Örnek.
2'den bulun.
Hesap makinesini açın (kapalıysa) ve iki ve kök (“2” “√”) görüntüsünün bulunduğu düğmelere art arda basın. Kural olarak “=” tuşuna basmanıza gerek yoktur. Sonuç olarak 1,4142 gibi bir sayı elde ediyoruz (rakam sayısı ve “yuvarlaklık” bit derinliğine ve hesap makinesi ayarlarına bağlıdır).
Not: Kökü bulmaya çalışırken hesap makinesi genellikle hata verir.

Bir bilgisayara erişiminiz varsa, bir sayının kökünü bulmak çok basittir.
1. Hemen hemen her bilgisayarda bulunan Hesap Makinesi uygulamasını kullanabilirsiniz. Windows XP için bu program aşağıdaki şekilde başlatılabilir:
“Başlat” - “Tüm Programlar” - “Donatılar” - “Hesap Makinesi”.
Görünümü “normal” olarak ayarlamak daha iyidir. Bu arada, gerçek bir hesap makinesinin aksine, kökü çıkarma düğmesi "√" değil "sqrt" olarak işaretlenmiştir.

Belirtilen yöntemi kullanarak hesap makinesine ulaşamıyorsanız, standart hesap makinesini "manuel olarak" çalıştırabilirsiniz:
“Başlat” - “Çalıştır” - “hesapla”.
2. Bir sayının kökünü bulmak için bilgisayarınızda kurulu bazı programları da kullanabilirsiniz. Ayrıca programın kendi yerleşik hesap makinesi vardır.

Örneğin MS Excel uygulaması için aşağıdaki işlem sırasını yapabilirsiniz:
MS Excel'i başlatın.

Kökünü çıkarmamız gereken sayıyı herhangi bir hücreye yazıyoruz.

Hücre işaretçisini farklı bir konuma taşıma

İşlev seçim düğmesine (fx) basın

“KÖK” fonksiyonunu seçin

İşleve argüman olarak sayı içeren bir hücre belirtiyoruz

“Tamam” veya “Giriş”e tıklayın
Bu yöntemin avantajı, artık hücreye herhangi bir değeri, fonksiyonunda olduğu gibi bir sayı ile girmenin yeterli olmasıdır.
Not.
Bir sayının kökünü bulmanın başka, daha egzotik yolları da vardır. Örneğin, bir "köşede", bir hesap cetveli veya Bradis tabloları kullanarak. Ancak bu yöntemler, karmaşıklıkları ve pratik yararsızlıkları nedeniyle bu makalede ele alınmamıştır.

Konuyla ilgili video

Kaynaklar:

• bir sayının kökü nasıl bulunur

Bazen bir sayının kareköklerini ve büyük köklerini çıkarmak da dahil olmak üzere bir tür matematiksel hesaplamalar yapmanız gereken durumlar ortaya çıkar. Bir sayının n'inci kökü, n'inci kuvveti a olan bir sayıdır.

Talimatlar

'n' kökünü bulmak için aşağıdakileri yapın.

Bilgisayarınızda “Başlat” - “Tüm Programlar” - “Donatılar”a tıklayın. Daha sonra “Servis” alt bölümüne gidin ve “Hesap Makinesi”ni seçin. Bunu manuel olarak yapabilirsiniz: Başlat'ı tıklayın, Çalıştır kutusuna "calk" yazın ve Enter'a basın. Açılacak. Bir sayının karekökünü çıkarmak için, sayıyı hesap makinesine girin ve "sqrt" etiketli düğmeye basın. Hesap makinesi, girilen sayıdan karekök adı verilen ikinci derece kökü çıkaracaktır.

Derecesi ikinciden yüksek olan bir kökü çıkarmak için başka tür bir hesap makinesi kullanmanız gerekir. Bunu yapmak için hesap makinesi arayüzünde “Görüntüle” düğmesine tıklayın ve menüden “Mühendislik” veya “Bilimsel” satırını seçin. Bu hesap makinesi türü, n'inci kökü hesaplamak için gerekli işleve sahiptir.

Üçüncü derecenin () kökünü çıkarmak için, bir "mühendislik" hesap makinesinde istediğiniz sayıyı girin ve "3√" düğmesine basın. Derecesi 3'ten büyük bir kök elde etmek için istediğiniz sayıyı girin, "y√x" simgeli düğmeye basın ve ardından sayıyı (üs) girin. Bundan sonra eşittir işaretine (“=” düğmesi) bastığınızda istediğiniz kökü elde edersiniz.

Hesap makinenizde "y√x" işlevi yoksa aşağıdakiler.

Küp kökünü çıkarmak için radikal ifadeyi girin, ardından "Inv" yazısının yanında bulunan onay kutusuna bir onay işareti koyun. Bu eylemle hesap makinesi düğmelerinin işlevlerini tersine çevireceksiniz, yani küp düğmesine tıklayarak küp kökünü çıkaracaksınız. Kullandığınız düğmede

Büyük bir sayının kökü çıkarılıyor. Sevgili arkadaşlar!Bu yazıda size büyük bir sayının kökünün hesap makinesi olmadan nasıl çıkarılacağını göstereceğiz. Bu yalnızca belirli Birleşik Devlet Sınavı problemlerini çözmek için değil (bazıları hareket içerenler vardır), aynı zamanda genel matematiksel gelişim için de gereklidir, bu analitik tekniğin bilinmesi tavsiye edilir.

Görünüşe göre her şey basit: onu faktörlere ayırın ve çıkarın. Sorun değil. Örneğin, ayrıştırıldığında 291600 sayısı ürünü verecektir:

Hesaplıyoruz:

Bir tane var AMA! 2, 3, 4 vb. bölenlerin kolayca belirlenmesi durumunda yöntem iyidir. Peki ya kökünü çıkardığımız sayı asal sayıların çarpımıysa? Örneğin 152881, 17, 17, 23, 23 sayılarının çarpımıdır. Bu bölenleri hemen bulmaya çalışın.

Düşündüğümüz yöntemin özü- Bu saf bir analizdir. Geliştirilmiş beceriyle kök hızla bulunabilir. Beceri uygulanmadıysa ancak yaklaşım basitçe anlaşıldıysa, o zaman biraz daha yavaş ama yine de kararlıdır.

190969'un kökünü alalım.

Öncelikle sonucumuzun hangi sayılar (yüzün katları) arasında olduğunu belirleyelim.

Açıkçası, bu sayının kökünün sonucu 400 ila 500 aralığındadır,Çünkü

400 2 =160000 ve 500 2 =250000

Gerçekten mi:

ortada, 160.000'e mi yoksa 250.000'e mi yakın?

190969 sayısı yaklaşık olarak ortada ama yine de 160000'e yakın. Kökümüzün sonucunun 450'den küçük olacağı sonucuna varabiliriz. Kontrol edelim:

Aslında 190.969'dan beri 450'den az.< 202 500.

Şimdi 440 sayısını kontrol edelim:

Bu, sonucumuzun 440'tan az olduğu anlamına gelir, çünkü 190 969 < 193 600.

430 sayısını kontrol ediyorum:

Bu kökün sonucunun 430 ila 440 aralığında olduğunu tespit ettik.

Sonunda 1 veya 9 olan sayıların çarpımı, sonunda 1 olan sayıyı verir. Örneğin, 21'e 21, 441'e eşittir.

Sonunda 2 veya 8 olan sayıların çarpımı sonunda 4 olan sayıyı verir. Örneğin 18'e 18, 324'e eşittir.

Sonunda 5 olan sayıların çarpımı, sonunda 5 olan bir sayıyı verir. Örneğin 25'e 25, 625'e eşittir.

Sonunda 4 veya 6 olan sayıların çarpımı, sonunda 6 olan sayıyı verir. Örneğin 26'ya 26, 676'ya eşittir.

Sonunda 3 veya 7 olan sayıların çarpımı sonunda 9 olan sayıyı verir. Örneğin 17'ye 17, 289'a eşittir.

190969 sayısı 9 ile bittiği için 433 ya da 437 sayısının çarpımıdır.

*Sadece kareleri alındığında sonda 9 verebilirler.

Kontrol ediyoruz:

Bu, kökün sonucunun 437 olacağı anlamına gelir.

Yani doğru cevabı “bulmuş” gibiyiz.

Gördüğünüz gibi gereken maksimum değer bir sütunda 5 eylem gerçekleştirmektir. Belki hemen hedefi vuracaksınız ya da sadece üç adım atacaksınız. Her şey, sayıya ilişkin ilk tahmininizi ne kadar doğru yaptığınıza bağlıdır.

148996'nın kökünü kendiniz çıkarın

Problemde böyle bir diskriminant elde ediliyor:

Motorlu gemi, nehir boyunca 336 km yol kat ederek varış noktasına ulaşıyor ve durduktan sonra hareket noktasına geri dönüyor. Mevcut hız 5 km/saat ise, kalış süresi 10 saat sürüyorsa ve gemi hareket ettikten 48 saat sonra hareket noktasına geri dönüyorsa, geminin durgun sudaki hızını bulunuz. Cevabınızı km/saat cinsinden verin.

Çözümü görüntüle

Kökün sonucu 300 ile 400 sayıları arasındadır:

300 2 =90000 400 2 =160000

Aslında 90000<148996<160000.

Daha fazla akıl yürütmenin özü, 148996 sayısının bu sayılara göre nasıl yerleştirildiğini (mesafeli) belirlemekten ibarettir.

Farkları hesaplayalım 148996 - 90000=58996 ve 160000 - 148996=11004.

148996'nın 160000'e yakın (çok daha yakın) olduğu ortaya çıktı. Bu nedenle kök sonucu kesinlikle 350'den, hatta 360'tan büyük olacaktır.

Sonucumuzun 370'den büyük olduğu sonucuna varabiliriz. Ayrıca şu da açık: 148996 sayısı 6 sayısıyla bittiği için bu, sonu 4 veya 6 ile biten bir sayının karesini almamız gerektiği anlamına gelir. *Yalnızca bu sayıların karesi alındığında 6 sonu verilir. .

Saygılarımla, Alexander Krutitskikh.

Not: Siteyi sosyal ağlarda anlatırsanız sevinirim.