Temel dönüşüm yöntemini kullanarak bir matrisin rütbesini bulma. Temel dönüşümleri kullanarak bir matrisin rütbesini hesaplama

Tanım. Matris sıralaması vektör olarak kabul edilen doğrusal olarak bağımsız satırların maksimum sayısıdır.

Matrisin rütbesine ilişkin Teorem 1. Matris sıralaması bir matrisin sıfırdan farklı bir minörünün maksimum mertebesine denir.

Belirleyiciler dersinde minör kavramını tartışmıştık ve şimdi bunu genelleştireceğiz. Matriste belirli sayıda satır ve belirli sayıda sütun ele alalım ve bu “ne kadar” matrisin satır ve sütun sayısından küçük olmalı ve satır ve sütunlar için bu “kaç tane” olmalıdır? aynı numara. Daha sonra kaç satır ve kaç sütunun kesişiminde orijinal matrisimizden daha düşük mertebeden bir matris olacaktır. Determinant bir matristir ve eğer bahsi geçen “bazı” (satır ve sütun sayısı) k ile gösterilirse k'inci dereceden küçük olacaktır.

Tanım. Küçük ( R Seçilen minörün içinde yer aldığı +1)'inci sıra R-th sırasına, belirli bir reşit olmayan kişi için sınır oluşturma denir.

En sık kullanılan iki yöntem şunlardır: matrisin rütbesini bulma. Bu küçükleri sınırlamanın yolu Ve temel dönüşümler yöntemi(Gauss yöntemi).

Sınırdaki küçükler yöntemini kullanırken aşağıdaki teorem kullanılır.

Matrisin rütbesine ilişkin Teorem 2. Eğer bir minör matris elemanlarından oluşabiliyorsa R sıra sıfıra eşit değilse, matrisin sırası eşittir R.

Temel dönüşüm yöntemini kullanırken aşağıdaki özellik kullanılır:

Temel dönüşümler yoluyla orijinaline eşdeğer bir yamuk matris elde edilirse, o zaman bu matrisin rütbesi tamamen sıfırlardan oluşan satırlar dışındaki satırların sayısıdır.

Küçükleri sınırlama yöntemini kullanarak bir matrisin rütbesini bulma

Çevreleyen bir minör, eğer daha yüksek dereceden bu küçük, verilen minörü içeriyorsa, verilene göre daha yüksek dereceden bir minördür.

Örneğin, verilen matris

Haydi küçük bir tane alalım

Sınırdaki küçükler:

Bir matrisin rütbesini bulmak için algoritma Sonraki.

1. İkinci dereceden sıfıra eşit olmayan küçükleri bulun. Eğer ikinci dereceden tüm küçükler sıfıra eşitse, matrisin rütbesi bire eşit olacaktır ( R =1 ).

2. İkinci dereceden sıfıra eşit olmayan en az bir küçük varsa, üçüncü dereceden sınırdaki küçükleri oluştururuz. Üçüncü dereceden tüm sınırdaki küçükler sıfıra eşitse, matrisin sırası ikiye eşittir ( R =2 ).

3. Üçüncü derecenin sınırdaki küçüklerinden en az biri sıfıra eşit değilse, sınırdaki küçükleri oluştururuz. Dördüncü derecenin tüm sınırdaki küçükleri sıfıra eşitse, matrisin sırası üçe eşittir ( R =2 ).

4. Matris boyutu izin verdiği sürece bu şekilde devam edin.

Örnek 1. Bir matrisin rütbesini bulun

Çözüm. İkinci dereceden küçük .

Sınır koyalım. Sınırda dört küçük çocuk olacak:

Böylece, üçüncü dereceden tüm sınırdaki küçükler sıfıra eşittir, bu nedenle bu matrisin sırası ikiye eşittir ( R =2 ).

Örnek 2. Bir matrisin rütbesini bulun

Çözüm. Bu matrisin tüm ikinci dereceden küçükleri sıfıra eşit olduğundan, bu matrisin sıralaması 1'e eşittir (bunda, aşağıdaki iki örnekte sınırdaki küçükler durumunda olduğu gibi, sevgili öğrenciler şunu doğrulamaya davet edilir: kendileri, belki de determinantları hesaplamak için kuralları kullanarak) ve birinci dereceden küçükler arasında, yani matrisin elemanları arasında sıfır olmayanlar vardır.

Örnek 3. Bir matrisin rütbesini bulun

Çözüm. Bu matrisin ikinci dereceden küçükleri ve bu matrisin üçüncü dereceden tüm küçükleri sıfıra eşittir. Dolayısıyla bu matrisin rütbesi ikidir.

Örnek 4. Bir matrisin rütbesini bulun

Çözüm. Bu matrisin üçüncü dereceden tek minörü 3 olduğundan bu matrisin rütbesi 3'tür.

Temel dönüşüm yöntemini (Gauss yöntemi) kullanarak bir matrisin rütbesini bulma

Zaten örnek 1'de, küçükleri sınırlama yöntemini kullanarak bir matrisin sırasını belirleme görevinin çok sayıda determinantın hesaplanmasını gerektirdiği açıktır. Ancak hesaplama miktarını en aza indirmenin bir yolu vardır. Bu yöntem temel matris dönüşümlerinin kullanımına dayanır ve Gauss yöntemi olarak da adlandırılır.

Aşağıdaki işlemler temel matris dönüşümleri olarak anlaşılmaktadır:

1) bir matrisin herhangi bir satırını veya sütununu sıfırdan farklı bir sayıyla çarpmak;

2) matrisin herhangi bir satırının veya sütununun elemanlarına, başka bir satır veya sütunun karşılık gelen elemanlarının aynı sayıyla çarpılmasıyla eklenmesi;

3) matrisin iki satırının veya sütununun değiştirilmesi;

4) "boş" satırların, yani elemanlarının tümü sıfıra eşit olanların kaldırılması;

5) Biri hariç tüm orantılı çizgilerin silinmesi.

Teorem. Temel dönüşüm sırasında matrisin derecesi değişmez. Başka bir deyişle, matristeki temel dönüşümleri kullanırsak A matrise gitti B, O .

Bir matris verilsin:

Bu matriste seçim yapalım rastgele dizeler ve keyfi sütunlar
. Daha sonra determinant matris elemanlarından oluşan sıra
Seçilen satır ve sütunların kesişiminde bulunan küçük olarak adlandırılır inci dereceli matris
.

Tanım 1.13. Matris sıralaması
bu matrisin sıfır olmayan minörünün en büyük mertebesidir.

Bir matrisin rütbesini hesaplamak için, onun en düşük derecedeki tüm küçükleri dikkate alınmalı ve eğer bunlardan en az biri sıfırdan farklıysa, en yüksek derecedeki küçükler dikkate alınmaya devam edilmelidir. Bir matrisin rütbesini belirlemeye yönelik bu yaklaşıma sınır yöntemi (veya küçükleri sınır yöntemi) denir.

Sorun 1.4. Küçükleri sınırlama yöntemini kullanarak matrisin sırasını belirleyin
.

Örneğin birinci dereceden kenarlamayı düşünün,
. Daha sonra ikinci dereceden bazı kenarları dikkate almaya geçiyoruz.

Örneğin,
.

Son olarak üçüncü dereceden sınırları analiz edelim.

Yani sıfır olmayan bir minörün en yüksek derecesi 2'dir, dolayısıyla
.

Problem 1.4'ü çözerken, ikinci dereceden sınırdaki küçüklerin bir kısmının sıfırdan farklı olduğunu fark edebilirsiniz. Bu bağlamda aşağıdaki kavram geçerlidir.

Tanım 1.14. Bir matrisin temel minörü, sırası matrisin rütbesine eşit olan sıfırdan farklı herhangi bir minördür.

Teorem 1.2.(Temel minör teoremi). Temel satırlar (temel sütunlar) doğrusal olarak bağımsızdır.

Bir matrisin satırlarının (sütunlarının) ancak ve ancak bunlardan en az birinin diğerlerinin doğrusal birleşimi olarak temsil edilebilmesi durumunda doğrusal olarak bağımlı olduğuna dikkat edin.

Teorem 1.3. Doğrusal olarak bağımsız matris satırlarının sayısı, doğrusal olarak bağımsız matris sütunlarının sayısına ve matrisin sırasına eşittir.

Teorem 1.4.(Belirleyicinin sıfıra eşit olması için gerekli ve yeterli koşul). Determinant için -inci sıra sıfıra eşitse satırlarının (sütunlarının) doğrusal olarak bağımlı olması gerekli ve yeterlidir.

Bir matrisin sıralamasını tanımına göre hesaplamak çok zahmetlidir. Bu özellikle yüksek mertebeden matrisler için önem kazanmaktadır. Bu bağlamda, pratikte bir matrisin rütbesi, Teorem 10.2 - 10.4'ün uygulanmasının yanı sıra matris eşdeğerliği ve temel dönüşüm kavramlarının kullanımına dayanarak hesaplanır.

Tanım 1.15.İki matris
Ve sıraları eşitse eşdeğer denir, yani.
.

Matrisler ise
Ve eşdeğerdir, o zaman not edin
 .

Teorem 1.5. Temel dönüşümler nedeniyle matrisin sırası değişmez.

Temel matris dönüşümlerini adlandıracağız
Bir matris üzerinde aşağıdaki işlemlerden herhangi biri:

Satırları sütunlarla ve sütunları karşılık gelen satırlarla değiştirmek;

Matris satırlarının yeniden düzenlenmesi;

Elemanlarının tümü sıfır olan bir çizginin üzerini çizmek;

Bir dizeyi sıfırdan farklı bir sayıyla çarpmak;

Bir satırın elemanlarına, başka bir satırın karşılık gelen elemanlarının aynı sayıyla çarpılmasıyla toplama
.

Teorem 1.5'in Sonucu. Matris ise
matristen elde edilen sonlu sayıda temel dönüşüm kullanarak matris
Ve eşdeğerdir.

Bir matrisin rütbesini hesaplarken, sonlu sayıda temel dönüşüm kullanılarak yamuk forma indirgenmesi gerekir.

Tanım 1.16. Sıfırdan başka en yüksek mertebenin sınırdaki minöründe, köşegenlerin altındaki tüm öğeler kaybolduğunda, bir matrisin temsil biçimine yamuk diyeceğiz. Örneğin:

Burada
, matris elemanları
sıfıra git. O zaman böyle bir matrisin temsil şekli yamuk olacaktır.

Kural olarak, matrisler Gauss algoritması kullanılarak yamuk şekle indirgenir. Gauss algoritmasının fikri, matrisin ilk satırının elemanlarını karşılık gelen faktörlerle çarparak, ilk sütunun tüm elemanlarının elemanın altında yer almasının sağlanmasıdır.
, sıfıra dönecekti. Daha sonra ikinci sütunun elemanlarını karşılık gelen faktörlerle çarparak, ikinci sütunun tüm elemanlarının elemanın altında yer almasını sağlıyoruz.
, sıfıra dönecekti. Daha sonra aynı şekilde devam edin.

Sorun 1.5. Bir matrisin derecesini yamuk şekline indirgeyerek belirleyin.

Gauss algoritmasının kullanımını kolaylaştırmak için birinci ve üçüncü satırları değiştirebilirsiniz.








.

Açıkça görülüyor ki burada
. Ancak sonucu daha zarif bir forma getirmek için sütunları dönüştürmeye devam edebilirsiniz.










.

>>Matris sıralaması

Matris sıralaması

Bir matrisin rütbesini belirleme

Dikdörtgensel bir matris düşünün. Bu matriste keyfi olarak seçim yaparsak kçizgiler ve k sütunlar seçilirse, seçilen satır ve sütunların kesişimindeki öğeler k'inci mertebeden bir kare matris oluşturur. Bu matrisin determinantına denir k'inci dereceden küçük A matrisi. Açıkçası, A matrisinin 1'den m ve n sayılarının en küçüğüne kadar herhangi bir düzende küçükleri vardır. A matrisinin sıfırdan farklı tüm küçükleri arasında, sırası en büyük olan en az bir küçük vardır. Belirli bir matrisin sıfırdan farklı küçük derecelerinin en büyüğüne denir rütbe matrisler. A matrisinin rütbesi ise R, bu, A matrisinin sıfırdan farklı bir mertebeye sahip olduğu anlamına gelir R, ancak her küçük mertebeden büyük R, sıfıra eşittir. A matrisinin sırası r(A) ile gösterilir. Açıkçası, ilişki devam ediyor

Küçükleri kullanarak bir matrisin rütbesini hesaplama

Matrisin sırası ya küçüklerin sınırlanması yöntemiyle ya da temel dönüşüm yöntemiyle bulunur. Birinci yöntemi kullanarak bir matrisin sırasını hesaplarken, düşük dereceli küçüklerden yüksek dereceli küçüklere doğru hareket etmelisiniz. A matrisinin k'inci dereceden sıfırdan farklı bir küçük D'si zaten bulunmuşsa, o zaman yalnızca küçük D'yi çevreleyen (k+1) sıradaki küçüklerin hesaplanması gerekir, yani. onu reşit olmayan bir çocuk olarak içeriyor. Hepsi sıfıra eşitse, matrisin sırası eşittir k.

Örnek 1.Küçükleri sınırlama yöntemini kullanarak matrisin sırasını bulun

Çözüm.1. dereceden küçüklerle başlıyoruz, yani. A matrisinin elemanlarından. Örneğin, ilk satırda ve ilk sütunda yer alan bir küçük (element) M 1 = 1'i seçelim. İkinci sıra ve üçüncü sütunun yardımıyla sınırlayarak sıfırdan farklı bir küçük M 2 = elde ederiz. Şimdi M2 sınırındaki 3. dereceden küçüklere dönüyoruz. Bunlardan yalnızca iki tane var (ikinci veya dördüncü bir sütun ekleyebilirsiniz). Bunları hesaplayalım: = 0. Böylece, üçüncü dereceden tüm sınırdaki küçüklerin sıfıra eşit olduğu ortaya çıktı. A matrisinin rütbesi ikidir.

Temel dönüşümleri kullanarak bir matrisin rütbesini hesaplama

İlköğretimAşağıdaki matris dönüşümleri denir:

1) herhangi iki satırın (veya sütunun) permütasyonu,

2) bir satırı (veya sütunu) sıfırdan farklı bir sayıyla çarpmak,

3) bir satıra (veya sütuna), belirli bir sayıyla çarpılarak başka bir satıra (veya sütuna) ekleme.

İki matris denir eş değer, eğer bunlardan biri diğerinden sonlu bir temel dönüşüm kümesi kullanılarak elde ediliyorsa.

Eşdeğer matrisler genel olarak eşit değildir ancak rütbeleri eşittir. A ve B matrisleri eşdeğer ise şu şekilde yazılır: A~B.

KanonikBir matris, ana köşegenin başlangıcında arka arkaya birkaç tanenin bulunduğu (sayı sıfır olabilir) ve diğer tüm elemanların sıfıra eşit olduğu bir matristir, örneğin,

Satır ve sütunların temel dönüşümleri kullanılarak herhangi bir matris kanonik hale getirilebilir. Kanonik bir matrisin rütbesi, ana köşegenindeki birlerin sayısına eşittir.

Örnek 2Bir matrisin rütbesini bulun

bir=

ve onu kanonik forma getirin.

Çözüm.İkinci satırdan birinciyi çıkarın ve şu satırları yeniden düzenleyin:

Şimdi ikinci ve üçüncü satırlardan birinciyi sırasıyla 2 ve 5 ile çarparak çıkarıyoruz:

;

birincisini üçüncü satırdan çıkarın; bir matris elde ederiz

B = ,

A matrisine eşdeğerdir, çünkü ondan sonlu bir temel dönüşüm kümesi kullanılarak elde edilir. Açıkçası, B matrisinin rütbesi 2'dir ve dolayısıyla r(A)=2'dir. Matris B kolaylıkla kanonik hale indirgenebilir. Uygun sayılarla çarpılan ilk sütunu sonraki tüm sütunlardan çıkararak, ilk satırın ilk hariç tüm öğelerini sıfıra çeviririz ve geri kalan satırların öğeleri değişmez. Daha sonra, uygun sayılarla çarpılan ikinci sütunu sonraki tüm sütunlardan çıkararak, ikinci satırın ikinci hariç tüm öğelerini sıfıra çeviririz ve kanonik matrisi elde ederiz:

İlköğretim Aşağıdaki matris dönüşümleri denir:

1) herhangi iki satırın (veya sütunun) permütasyonu,

2) bir satırı (veya sütunu) sıfırdan farklı bir sayıyla çarpmak,

3) bir satıra (veya sütuna), belirli bir sayıyla çarpılarak başka bir satıra (veya sütuna) ekleme.

İki matris denir eş değer, eğer bunlardan biri diğerinden sonlu bir temel dönüşüm kümesi kullanılarak elde ediliyorsa.

Eşdeğer matrisler genel olarak eşit değildir ancak rütbeleri eşittir. A ve B matrisleri eşdeğerse şu şekilde yazılır: A ~ B.

Kanonik Bir matris, ana köşegenin başlangıcında arka arkaya birkaç tanenin bulunduğu (sayı sıfır olabilir) ve diğer tüm elemanların sıfıra eşit olduğu bir matristir, örneğin,

Satır ve sütunların temel dönüşümleri kullanılarak herhangi bir matris kanonik hale getirilebilir. Kanonik bir matrisin rütbesi, ana köşegenindeki birlerin sayısına eşittir.

Örnek 2 Bir matrisin rütbesini bulun

bir=

ve onu kanonik forma getirin.

Çözüm.İkinci satırdan birinciyi çıkarın ve şu satırları yeniden düzenleyin:

Şimdi ikinci ve üçüncü satırlardan birinciyi sırasıyla 2 ve 5 ile çarparak çıkarıyoruz:

;

birincisini üçüncü satırdan çıkarın; bir matris elde ederiz

B = ,

Kronecker - Capelli teoremi- doğrusal cebirsel denklemler sistemi için uyumluluk kriteri:

Doğrusal bir sistemin tutarlı olabilmesi için bu sistemin genişletilmiş matrisinin sıralamasının ana matrisinin sıralamasına eşit olması gerekli ve yeterlidir.

Kanıt (sistem uyumluluk koşulları)

gereklilik

İzin vermek sistem eklem yeri Sonra öyle sayılar var ki. Bu nedenle sütun, matrisin sütunlarının doğrusal bir birleşimidir. Bir satırın (sütun) silinmesi veya diğer satırların (sütunların doğrusal bir birleşimi olan) satır (sütun) sisteminden eklenmesi durumunda matrisin sıralamasının değişmeyeceği gerçeğinden şu sonuç çıkar: .

Yeterlilik

İzin vermek . Matristeki bazı temel minörleri ele alalım. O zamandan beri, aynı zamanda matrisin temel minörü de olacak. Daha sonra temel teoreme göre küçük matrisin son sütunu temel sütunların yani matrisin sütunlarının doğrusal bir birleşimi olacaktır. Dolayısıyla sistemin serbest terimler sütunu, matris sütunlarının doğrusal birleşimidir.

Sonuçlar

Ana değişkenlerin sayısı sistemler sistemin rütbesine eşittir.

Eklem yeri sistem Sistemin sıralaması tüm değişkenlerin sayısına eşitse tanımlanacaktır (çözüm benzersizdir).

Homojen denklem sistemi

Teklif15 . 2 Homojen denklem sistemi

her zaman ortaktır.

Kanıt. Bu sistem için , , , sayıları kümesi bir çözümdür.

Bu bölümde sistemin matris gösterimini kullanacağız: .

Teklif15 . 3 Homojen bir doğrusal denklem sisteminin çözümlerinin toplamı bu sistemin bir çözümüdür. Bir sayıyla çarpılan çözüm de bir çözümdür.

Kanıt. Sisteme çözüm olarak hizmet etsinler. Sonra ve. İzin vermek . Daha sonra

O zamandan beri - çözüm.

Rastgele bir sayı olsun, . Daha sonra

O zamandan beri - çözüm.

Sonuçlar15 . 1 Homojen bir doğrusal denklem sisteminin sıfırdan farklı bir çözümü varsa, o zaman sonsuz sayıda farklı çözümü vardır.

Aslında sıfır olmayan bir çözümü çeşitli sayılarla çarparak farklı çözümler elde edeceğiz.

Tanım15 . 5 Çözümleri söyleyeceğiz sistem formu temel çözüm sistemi, eğer sütunlar doğrusal olarak bağımsız bir sistem oluşturur ve sistemin herhangi bir çözümü bu sütunların doğrusal bir birleşimidir.