Hareketin kinematik özelliklerinin grafikler kullanılarak belirlenmesi. Ders konusu: “Hareketin grafiksel gösterimi

Konuyla ilgili ders: "Düz bir çizginin hızı eşit şekilde hızlandırıldı

hareketler. Hız grafikleri."

Öğrenme Hedefi : Herhangi bir zamanda bir cismin anlık hızını belirlemek için bir formül tanıtmak, hız projeksiyonunun zamana bağımlılığına ilişkin grafikler oluşturma becerisini geliştirmeye devam etmek, herhangi bir zamanda bir cismin anlık hızını hesaplamak, öğrencilerin yeteneklerini geliştirmek Analitik ve grafiksel yöntemleri kullanarak problemleri çözmek.

Gelişim hedefi : Okul çocuklarında teorik, yaratıcı düşünmenin gelişimi, en uygun çözümleri seçmeyi amaçlayan operasyonel düşüncenin oluşumu

Motivasyon hedefi : Fizik ve bilgisayar bilimi çalışmalarına ilginin uyanması

Dersler sırasında.

1. Organizasyon anı .

Öğretmen: - Merhaba arkadaşlar, bugün derste “Hız” konusunu işleyeceğiz, “İvme” konusunu tekrarlayacağız, derste herhangi bir anda bir vücudun anlık hızını belirleme formülünü öğreneceğiz. Hız projeksiyonunun zamana bağımlılığının grafiklerini oluşturma, bir cismin herhangi bir andaki anlık hızını hesaplama becerisini geliştirmeye devam edeceğiz, analitik ve grafiksel yöntemleri kullanarak problemleri çözme yeteneğini geliştireceğiz. Seni sınıfta sağlıklı gördüğüme sevindim. Dersimize şununla başladığıma şaşırmayın: Her birinizin sağlığı benim ve diğer öğretmenler için en önemli şeydir. Sizce sağlığımız ile “Hız” konusu arasındaki ortak nokta ne olabilir?( slayt)

Öğrenciler bu konuyla ilgili görüşlerini belirtirler.

Öğretmen: - Bu konuyla ilgili bilgi, insan hayatı için tehlikeli olan durumların, örneğin karayolu trafiği sırasında ortaya çıkan durumların, vb. ortaya çıkmasını tahmin etmeye yardımcı olabilir.

2. Bilginin güncellenmesi.

Öğrencilerin aşağıdaki sorulara verdikleri yanıtlar şeklinde “Hızlanma” konusu tekrarlanmaktadır:

1.İvme nedir (kayma);

2.İvme formülü ve birimleri (kaydırma);

3. eşit şekilde değişen hareket (kayma);

4.ivme grafikleri (slayt);

5. Çalıştığınız materyali kullanarak bir problem yazın.

6. Aşağıda verilen yasa veya tanımlarda bir takım yanlışlıklar var.Doğru ifadeleri verin.

Vücudun hareketine denirçizgi segmenti , vücudun başlangıç ​​ve son konumunu birbirine bağlar.

Düzgün doğrusal hareketin hızı -yol bu birim zamanda vücut tarafından katedilen

Bir cismin mekanik hareketi, uzaydaki konumunda bir değişikliktir.

Doğrusal düzgün hareket, bir cismin eşit zaman aralıklarında eşit mesafeler kat ettiği bir harekettir.

İvme, sayısal olarak hızın zamana oranına eşit bir miktardır.

Küçük boyutlara sahip bir cisme maddi nokta denir.

Mekaniğin asıl görevi vücudun konumunu bilmektir.

Kartlar üzerinde kısa süreli bağımsız çalışma - 7 dakika.

Kırmızı kart – “5” puan; mavi kart – “4” puan; yeşil kart – “3” puan

.İLE 1

1.Hangi harekete düzgün ivmelenen hareket denir?

2. İvme vektörünün izdüşümünü belirlemek için formülü yazın.

3. Cismin ivmesi 5 m/s2'dir, bu ne anlama gelir?

4. Paraşütçünün paraşütü açtıktan sonraki iniş hızı 1,1 saniyede 60 m/s'den 5 m/s'ye düştü. Paraşütçünün ivmesini bulun.

1.İvmelenmeye ne denir?

3. Cismin ivmesi 3 m/s2'dir. Bu ne anlama gelir?

4. Hızı 10 saniyede 5 m/s'den 10 m/s'ye çıkarsa araba hangi hızla hareket eder?

1.İvmelenmeye ne denir?

2. İvme ölçü birimleri nelerdir?

3.İvme vektörünün izdüşümünü belirlemek için formülü yazın.

4. 3. Cismin ivmesi 2 m/s2'dir, bu ne anlama gelir?

3.Yeni materyaller öğrenmek .

1. Hız formülünün ivme formülünden türetilmesi. Öğrenci, öğretmenin rehberliğinde tahtaya formülün türetilmesini yazar.

2.Hareketin grafiksel gösterimi.

Sunum slaydı hız grafiklerine bakar

.

4. Bu konudaki sorunların Cİ materyallerini kullanarak çözülmesi A

Sunum slaytları.

1. Bir cismin hareketinin hızının zamana karşı grafiğini kullanarak, cismin hareketinin doğasının değişmediğini varsayarak 5. saniyenin sonunda cismin hızını belirleyin.

9 m/sn

10 m/sn

12 m/sn

14 m/sn

2. Vücudun hareket hızının zamana bağımlılığı grafiğine göre. Vücudun o andaki hızını bulunt = 4 sn.

3. Şekilde maddi bir noktanın hareket hızının zamana göre grafiği gösterilmektedir. Vücudun o andaki hızını belirleyinT = 12 sn, vücudun hareketinin doğasının değişmediğini varsayarsak.

4. Şekilde belirli bir cismin hızının grafiği gösterilmektedir. Vücudun o andaki hızını belirleyinT = 2 sn.

5. Şekilde kamyonun hızının aksa yansımasının grafiği gösterilmektedir.Xzamandanhayırhiç biri. Şu anda kamyonun ivmesinin bu eksene izdüşümüT =3 sneşittir

6. Vücut hareketsiz halden doğrusal harekete başlar ve grafikte gösterildiği gibi ivmesi zamanla değişir. Hareketin başlamasından 6 s sonra vücudun hızının modülü şuna eşit olacaktır:

7. Motosikletçi ve bisikletçi aynı anda eşit şekilde hızlandırılmış harekete başlar. Bir motosikletçinin ivmesi bir bisikletçininkinden 3 kat daha fazladır. Aynı anda motosikletçinin hızı bisikletçinin hızından daha büyüktür.

1) 1,5 kez

2) √3 kere

3) 3 kez

5. Ders özeti (Bu konuyla ilgili yansıma.)

Eğitim materyalinde özellikle unutulmaz ve etkileyici olan şey.

6. Ödev.

7. Dersin notları.

Düzgün hızlandırılmış doğrusal hareketin grafik gösterimi.

Düzgün hızlandırılmış hareket sırasında hareket etme.

BENseviye.

Bedenlerin hareketlerini tanımlayan birçok fiziksel nicelik zamanla değişir. Bu nedenle, açıklamanın daha net olması için hareket genellikle grafiksel olarak gösterilir.

Doğrusal, düzgün ivmeli hareketi tanımlayan kinematik niceliklerin zamana bağımlılıklarının grafiksel olarak nasıl gösterildiğini gösterelim.

Düzgün hızlandırılmış doğrusal hareket- Bu, bir cismin hızının herhangi bir eşit zaman periyodunda eşit olarak değiştiği bir harekettir; yani ivmenin büyüklüğü ve yönü sabit olan bir harekettir.

a=const - ivme denklemi. Yani a'nın zamanla değişmeyen sayısal bir değeri vardır.

Hızlanmanın tanımı gereği

Buradan itibaren hızın zamana bağımlılığına ilişkin denklemleri zaten bulduk: v = v0 + en.

Bu denklemin düzgün ivmeli hareketi grafiksel olarak temsil etmek için nasıl kullanılabileceğini görelim.

Üç cisim için kinematik niceliklerin zamana bağımlılığını grafiksel olarak gösterelim

.

Şekil 1'de cisim 0X ekseni boyunca hareket ederken hızını arttırır (ivme vektörü a, hız vektörü v ile eş yönlüdür). vx >0, akh > 0

Şekil 2'de cisim 0X ekseni boyunca hareket ederken hızını azaltır (ivme vektörü a, hız vektörü v ile eş yönlü değildir). vx >0, ah< 0

Şekil 2'de cisim 0X eksenine karşı hareket ederken hızını azaltır (ivme vektörü hız vektörü v ile eş yönlü değildir). vx< 0, ах > 0

Hızlanma grafiği

Hızlanma tanımı gereği sabit bir değerdir. Daha sonra, sunulan durum için, ivmeye karşı zaman a(t) grafiği şöyle görünecektir:

İvme grafiğinden hızın nasıl değiştiğini - arttığını veya azaldığını, hızın hangi sayısal değerde değiştiğini ve hangi cismin hızının daha fazla değiştiğini belirleyebilirsiniz.

Hız grafiği

Düzgün hareket sırasında koordinatın zamana bağımlılığını ve düzgün ivmeli hareket sırasında hız projeksiyonunun zamana bağımlılığını karşılaştırırsak, bu bağımlılıkların aynı olduğunu görebiliriz:

x= x0 + vx T vx = v 0 X + A X T

Bu, bağımlılık grafiklerinin aynı görünüme sahip olduğu anlamına gelir.

Bu grafiği oluşturmak için hareket zamanı apsis ekseninde, cismin hızı (hız projeksiyonu) ise ordinat ekseninde çizilir. Düzgün ivmeli harekette, bir cismin hızı zamanla değişir.

Düzgün hızlandırılmış hareket sırasında hareket etme.

Düzgün hızlandırılmış doğrusal harekette, bir cismin hızı aşağıdaki formülle belirlenir:

vx = v 0 X + A X T

Bu formülde υ0 cismin hızıdır. T = 0 (başlangıç ​​hızı ), A= sabit – ivme. Hız grafiğinde υ ( T) bu bağımlılık düz bir çizgiye benziyor (Şek.).

Hızlanma, hız grafiğinin eğiminden belirlenebilir A bedenler. İlgili yapılar Şekil 2'de gösterilmektedir. grafik I için. İvme sayısal olarak üçgenin kenarlarının oranına eşittir. ABC: MsoNormalTablo">

Hız grafiğinin zaman ekseniyle oluşturduğu β açısı ne kadar büyük olursa, yani grafiğin eğimi o kadar büyük olur ( diklik), vücudun ivmesi ne kadar büyük olursa.

Grafik I için: υ0 = –2 m/s, A= 1/2 m/s2.

Grafik II için: υ0 = 3 m/s, A= –1/3 m/s2.

Hız grafiği ayrıca hareketin projeksiyonunu belirlemenize de olanak tanır S Bir süreliğine cesetler T. Zaman ekseninde belirli bir küçük zaman dilimini seçelim Δ T. Bu zaman periyodu yeterince küçükse, o zaman bu periyot boyunca hızdaki değişim küçüktür, yani bu zaman periyodundaki hareket, vücudun anlık hızına υ eşit olan belirli bir ortalama hızla tekdüze kabul edilebilir. aralığın ortası Δ T. Bu nedenle yer değiştirme Δ S zamanla Δ TΔ'ya eşit olacak S = υΔ T. Bu hareket, gölgeli şeridin alanına eşittir (Şek.). Zaman periyodunu 0'dan bir noktaya ayırmak T küçük aralıklar için Δ T, hareketin olduğunu görüyoruz S belirli bir süre için T düzgün hızlandırılmış doğrusal hareketle yamuk alanına eşittir ODEF. Şekil 2'deki grafik II için karşılık gelen yapılar yapılmıştır. 1.4.2. Zaman T 5,5 saniyeye eşit olarak alınmıştır.

υ – υ0 = olduğundan en S Tşeklinde yazılacaktır:

Koordinatları bulmak için sen herhangi bir zamanda cesetler T başlangıç ​​koordinatına ihtiyaç var sen 0 zamanda hareket ekleme T: DIV_ADBLOCK189">

υ – υ0 = olduğundan en, taşınmanın son formülü S 0'dan 0'a kadar bir zaman aralığında düzgün şekilde hızlandırılmış harekete sahip vücut Tşu şekilde yazılacaktır: https://pandia.ru/text/78/516/images/image009_57.gif" width="146 height=55" height="55">

Düzgün hızlandırılmış hareketi analiz ederken, bazen bir cismin hareketinin, başlangıçtaki υ0 ve son υ hızları ve ivmenin verilen değerlerine göre belirlenmesinde sorun ortaya çıkar. A. Bu problem yukarıda yazılan denklemlerden zaman çıkarılarak çözülebilir. T. Sonuç forma yazılır

Başlangıç ​​hızı υ0 sıfır ise bu formüller MsoNormalTablo"> formunu alır.

Düzgün hızlandırılmış doğrusal hareket formüllerinde υ0, υ miktarlarının yer aldığına bir kez daha dikkat edilmelidir. S, A, sen 0 cebirsel büyüklüklerdir. Belirli hareket türüne bağlı olarak bu niceliklerin her biri hem pozitif hem de negatif değerler alabilir.

Bir problemin çözümüne bir örnek:

Petya, 20 saniyede 0,5 m/s2 ivmeyle hareketsiz durumdan dağın yamacından aşağıya kayıyor ve ardından yatay bir bölüm boyunca hareket ediyor. 40 m yol aldıktan sonra, açık Vasya'ya çarpıyor ve rüzgârla oluşan kar yığınına düşerek hızını 0 m/s'ye düşürüyor. Petya yatay yüzey boyunca rüzgârla oluşan kar yığınına doğru hangi hızla ilerledi? Petya'nın bu kadar başarısız bir şekilde aşağı kaydığı dağ yamacının uzunluğu ne kadardır?

1. Aşama.

Petit'in dağdan iniş sonundaki hızının denklemi şöyledir:

v 1 = v 01 + A 1T 1.

Eksen üzerindeki projeksiyonlarda Xşunu elde ederiz:

v 1X = A 1XT.

Hareketin ilk aşamasında Petya'nın hızının, ivmesinin ve yer değiştirmesinin projeksiyonlarını birleştiren bir denklem yazalım:

veya Petya'nın tepenin en tepesinden V01=0 başlangıç ​​hızıyla hareket etmesi nedeniyle

(Petya'nın yerinde olsaydım bu kadar yüksek yokuşlardan aşağı inerken dikkatli olurdum)

Petya'nın hareketin bu 2. aşamasındaki başlangıç ​​hızının, 1. aşamadaki son hızına eşit olduğunu düşünürsek:

v 02 X = v 1 X, v 2X = 0, burada v1 Petya'nın tepenin eteğine ulaşıp Vasya'ya doğru ilerlemeye başladığı hızdır. V2x - Petya'nın rüzgârla oluşan kar yığınındaki hızı.

2. Bu ivme grafiğini kullanarak bize cismin hızının nasıl değiştiğini söyleyin. Hareketin başladığı anda (t=0) vücudun hızı v0х =0 ise, hızın zamana bağlılığıyla ilgili denklemleri yazın. Lütfen, sonraki her hareket bölümünde vücudun belirli bir hızda geçmeye başladığını unutmayın (bu, önceki seferde elde edilmişti!).

3. İstasyondan ayrılan bir metro treni 20 saniyede 72 km/saat hıza ulaşabilmektedir. Metro vagonunda unutulan bir çantanın sizden hangi hızla uzaklaştığını belirleyin. Ne kadar uzağa seyahat edecek?

4. 3 m/s hızla hareket eden bir bisikletçi, 0,8 m/s2 ivmeyle bir dağdan aşağı inmeye başlıyor. İniş 6 saniye sürdüyse dağın uzunluğunu bulun.

5. 0,5 m/s2 ivme ile fren yapmaya başlayan tren, durağa kadar 225 m yol kat etmiştir, fren başlamadan önceki hızı ne kadardır?

6. Futbol topu hareket etmeye başladıktan sonra 50 m/s hıza ulaşarak 50 m yol kat etti ve pencereye çarptı. Topun bu yolu kat etmesi için geçen süreyi ve hareket ettiği ivmeyi belirleyin.

7. Oleg Amca'nın komşusunun tepki süresi = 1,5 dakika, bu süre zarfında penceresine ne olduğunu anlayacak ve bahçeye koşmak için zamanı olacak. Girişlerine 350 m koşmaları gerekiyorsa, pencerenin neşeli sahiplerinin onlara yetişmemesi için genç futbolcuların hangi hızı geliştirmeleri gerektiğini belirleyin.

8. İki bisikletçi birbirine doğru gidiyor. 36 km/saat hıza sahip birincisi 0,2 m/s2 ivmeyle dağa tırmanmaya, 9 km/saat hıza sahip ikincisi ise 0,2 m/s2 ivmeyle dağdan aşağı inmeye başladı. 0,2 m/s2. Dağın uzunluğu 100 m ise dalgınlıkları nedeniyle ne kadar süre sonra hangi yerde çarpışacaklar?

Düzgün hareket– bu sabit hızda harekettir, yani hız değişmediğinde (v = sabit) ve hızlanma veya yavaşlama meydana gelmediğinde (a = 0).

Düz çizgi hareketi- bu düz bir çizgideki harekettir, yani doğrusal hareketin yörüngesi düz bir çizgidir.

Düzgün doğrusal hareket- Bu, vücudun herhangi bir eşit zaman aralığında eşit hareketler yaptığı bir harekettir. Örneğin, belirli bir zaman aralığını birer saniyelik aralıklara bölersek, vücut bu zaman aralıklarının her birinde düzgün hareketle aynı mesafeyi kat edecektir.

Düzgün doğrusal hareketin hızı zamana bağlı değildir ve yörüngenin her noktasında vücudun hareketiyle aynı şekilde yönlendirilir. Yani yer değiştirme vektörü hız vektörü ile aynı doğrultudadır. Bu durumda herhangi bir zaman periyodundaki ortalama hız anlık hıza eşittir:

Düzgün doğrusal hareket hızı bir cismin herhangi bir zaman periyodundaki hareketinin bu t aralığının değerine oranına eşit fiziksel bir vektör miktarıdır:

Böylece düzgün doğrusal hareketin hızı, maddesel bir noktanın birim zamanda ne kadar hareket ettiğini gösterir.

Hareketli düzgün doğrusal hareket aşağıdaki formülle belirlenir:

Kat edilen mesafe doğrusal harekette yer değiştirme modülüne eşittir. OX ekseninin pozitif yönü hareket yönüyle çakışıyorsa, hızın OX eksenine izdüşümü hızın büyüklüğüne eşit ve pozitiftir:

v x = v, yani v > 0

OX ekseni üzerindeki yer değiştirmenin izdüşümü şuna eşittir:

s = vt = x – x 0

burada x 0 cismin başlangıç ​​koordinatıdır, x cismin son koordinatıdır (veya cismin herhangi bir andaki koordinatıdır)

Hareket denklemi yani cisim koordinatlarının x = x(t) zamanına bağımlılığı şu şekli alır:

OX ekseninin pozitif yönü cismin hareket yönünün tersi ise, o zaman cismin hızının OX eksenine izdüşümü negatif olur, hız sıfırdan küçüktür (v< 0), и тогда уравнение движения принимает вид:

Hızın, koordinatların ve yolun zamana bağlılığı

Vücut hızının projeksiyonunun zamana bağlılığı Şekil 2'de gösterilmektedir. 1.11. Hız sabit olduğundan (v = sabit), hız grafiği Ot zaman eksenine paralel bir düz çizgidir.

Pirinç. 1.11. Düzgün doğrusal hareket için vücut hızının zamana bağlı projeksiyonu.

Hareketin koordinat eksenine izdüşümü sayısal olarak OABC dikdörtgeninin alanına eşittir (Şekil 1.12), çünkü hareket vektörünün büyüklüğü hız vektörünün çarpımına ve hareketin gerçekleştiği zamana eşittir. yapılmış.

Pirinç. 1.12. Düzgün doğrusal hareket için vücut yer değiştirmesinin zamana bağlı projeksiyonu.

Şekil 2'de yer değiştirmenin zamana karşı grafiği gösterilmektedir. 1.13. Grafik, hız projeksiyonunun şuna eşit olduğunu göstermektedir:

v = s 1 / t 1 = tan α

burada α, grafiğin zaman eksenine olan eğim açısıdır.

α açısı ne kadar büyük olursa, vücut o kadar hızlı hareket eder, yani hızı o kadar büyük olur (vücudun daha az zamanda kat ettiği mesafe ne kadar uzun olursa). Teğetin koordinat-zaman grafiğine olan tanjantı hıza eşittir:

Pirinç. 1.13. Düzgün doğrusal hareket için vücut yer değiştirmesinin zamana bağlı projeksiyonu.

Koordinatın zamana bağlılığı Şekil 2'de gösterilmektedir. 1.14. Şekilden açıkça görülüyor ki

ten rengi α 1 > ten rengi α 2

dolayısıyla 1. cismin hızı 2. cismin hızından daha yüksektir (v 1 > v 2).

ten rengi α 3 = v 3< 0

Eğer cisim hareketsizse, koordinat grafiği zaman eksenine paralel düz bir çizgidir, yani

Pirinç. 1.14. Düzgün doğrusal hareket için vücut koordinatlarının zamana bağlılığı.

Açısal ve doğrusal büyüklükler arasındaki ilişki

Dönen bir cismin bireysel noktaları farklı doğrusal hızlara sahiptir. Karşılık gelen daireye teğetsel olarak yönlendirilen her noktanın hızı, sürekli olarak yönünü değiştirir. Hızın büyüklüğü, cismin dönme hızına ve söz konusu noktanın dönme eksenine olan R mesafesine göre belirlenir. Vücudun kısa sürede bir açıyla dönmesini sağlayın (Şekil 2.4). Eksenden R kadar uzaklıkta bulunan bir nokta şuna eşit bir yol kat eder:

Tanım gereği bir noktanın doğrusal hızı.

Teğetsel ivme

Aynı ilişkiyi (2.6) kullanarak şunu elde ederiz:

Böylece hem normal hem de teğetsel ivmeler, noktanın dönme ekseninden uzaklığıyla doğrusal olarak artar.

Temel konseptler.

Periyodik salınım bir sistemin (örneğin mekanik bir sistemin) belirli bir süre sonra aynı duruma döndüğü bir süreçtir. Bu zaman periyoduna salınım periyodu denir.

geri yükleme kuvveti- salınım sürecinin meydana geldiği etkisi altındaki kuvvet. Bu kuvvet, dinlenme konumundan sapmış bir cismi veya maddi bir noktayı orijinal konumuna geri döndürme eğilimindedir.

Salınım yapan cisim üzerindeki etkinin niteliğine bağlı olarak serbest (veya doğal) titreşimler ve zorlanmış titreşimler arasında bir ayrım yapılır.

Serbest titreşimler salınan gövdeye yalnızca bir geri getirme kuvveti etki ettiğinde meydana gelir. Enerji kaybının olmaması durumunda serbest salınımlar sönümlenmez. Ancak gerçek salınımlı süreçler sönümlenir çünkü salınan gövde, hareket direnci kuvvetlerine (esas olarak sürtünme kuvvetlerine) maruz kalır.

Zorlanmış titreşimler zorlama adı verilen periyodik olarak değişen harici bir kuvvetin etkisi altında gerçekleştirilir. Çoğu durumda sistemler harmonik olarak kabul edilebilecek salınımlara maruz kalır.

Harmonik titreşimler Bir cismin denge konumundan yer değiştirmesinin sinüs veya kosinüs yasasına göre gerçekleştiği salınım hareketleri denir:

Fiziksel anlamını açıklamak için, bir daire düşünün ve OK yarıçapını saat yönünün tersine (7.1) ω açısal hızıyla döndürün. Eğer zamanın ilk anında OK yatay düzlemde bulunuyorsa, t süresinden sonra bir açıyla kayacaktır. Başlangıç ​​açısı sıfır değilse ve eşitse φ 0 , bu durumda dönme açısı şuna eşit olacaktır: XO 1 eksenine izdüşümü eşittir. OK yarıçapı döndükçe projeksiyonun büyüklüğü değişir ve nokta, noktaya göre yukarı, aşağı vb. salınım yapar. Bu durumda x'in maksimum değeri A'ya eşittir ve salınımların genliği olarak adlandırılır; ω - dairesel veya döngüsel frekans; - salınım fazı; – başlangıç ​​fazı. K noktasının daire etrafında bir dönüşü için, izdüşümü bir tam salınım yapacak ve başlangıç ​​noktasına geri dönecektir.

Dönem T bir tam salınımın süresi denir. T zamanından sonra salınımları karakterize eden tüm fiziksel büyüklüklerin değerleri tekrarlanır. Bir periyotta salınım noktası sayısal olarak dört genliğe eşit bir yol kat eder.

Açısal hız T periyodu boyunca OK yarıçapının bir devrim yapması koşulundan belirlenir, yani. 2π radyan açıyla dönecektir:

Salınım frekansı- bir noktanın saniyedeki salınım sayısı, yani salınım frekansı salınım periyodunun tersi olarak tanımlanır:

Yay sarkaç elastik kuvvetleri.

Yaylı bir sarkaç, bir yay ve üzerinde kayabileceği yatay bir çubuğa monte edilmiş büyük bir toptan oluşur. Delikli bir topun bir yaya tutturulmasına ve bir kılavuz ekseni (çubuk) boyunca kaymasına izin verin. İncirde. 7.2a topun hareketsiz konumunu göstermektedir; incirde. 7.2, b - maksimum sıkıştırma ve Şek. 7.2,c - topun keyfi konumu.

Sıkıştırma kuvvetine eşit bir geri getirme kuvvetinin etkisi altında top salınacaktır. Sıkıştırma kuvveti F = -kx, burada k yay sertliği katsayısıdır. Eksi işareti, F kuvvetinin yönünün ve x yer değiştirmesinin zıt olduğunu gösterir. Sıkıştırılmış yayın potansiyel enerjisi

kinetik

Topun hareket denklemini elde etmek için x ve t'yi ilişkilendirmek gerekir. Sonuç, enerjinin korunumu yasasına dayanmaktadır. Toplam mekanik enerji, sistemin kinetik ve potansiyel enerjisinin toplamına eşittir. Bu durumda:

. B konumunda): .

Söz konusu harekette mekanik enerjinin korunumu yasası sağlandığı için şunu yazabiliriz:

. Buradan hızı belirleyelim:

Ama sırayla ve bu nedenle . Değişkenleri ayıralım . Bu ifadenin integralini alırsak şunu elde ederiz: ,

entegrasyon sabiti nerede. İkincisinden şu sonuç çıkıyor

Böylece elastik kuvvetin etkisi altında vücut harmonik salınımlar gerçekleştirir. Elastikten farklı nitelikte olan ancak F = -kx koşulunun sağlandığı kuvvetlere yarı elastik denir. Bu kuvvetlerin etkisi altında cisimler de harmonik titreşimler gerçekleştirir. Burada:

Matematiksel sarkaç.

Matematiksel bir sarkaç, yerçekiminin etkisi altında tek bir dikey düzlemde salınım hareketi gerçekleştiren, uzayamaz, ağırlıksız bir iplik üzerinde asılı duran maddi bir noktadır.

Böyle bir sarkaç, l uzunluğu topun boyutundan çok daha büyük olan, ince bir ip üzerinde asılı duran m kütleli ağır bir top olarak düşünülebilir. Dikey çizgiden bir α açısı kadar saptırılırsa (Şekil 7.3.), o zaman P ağırlığının bileşenlerinden biri olan F kuvvetinin etkisi altında salınacaktır. İplik boyunca yönlendirilen diğer bileşen dikkate alınmaz çünkü ipliğin gerilimi ile dengelenir. Küçük yer değiştirme açılarında x koordinatı yatay yönde ölçülebilir. Şekil 7.3'ten ipliğe dik ağırlık bileşeninin şuna eşit olduğu açıktır:

Sağ taraftaki eksi işareti, F kuvvetinin azalan α açısına doğru yönlendirildiği anlamına gelir. α açısının küçüklüğü dikkate alındığında

Matematiksel ve fiziksel sarkaçların hareket yasasını türetmek için dönme hareketi dinamiğinin temel denklemini kullanıyoruz

O noktasına göre kuvvet momenti ve eylemsizlik momenti: M=FL. Atalet momenti J bu durumda Açısal ivme:

Bu değerleri dikkate alarak şunları elde ederiz:

Onun kararı ,

Görüldüğü gibi matematiksel bir sarkacın salınım periyodu uzunluğuna ve yerçekimi ivmesine bağlıdır ve salınımların genliğine bağlı değildir.

Sönümlü salınımlar.

Tüm gerçek salınım sistemleri enerji tüketen sistemlerdir. Böyle bir sistemin mekanik titreşimlerinin enerjisi yavaş yavaş sürtünme kuvvetlerine karşı çalışmaya harcanır, bu nedenle serbest titreşimler her zaman kaybolur - genlikleri giderek azalır. Çoğu durumda, kuru sürtünme olmadığında, ilk yaklaşım olarak, düşük hareket hızlarında mekanik titreşimlerin azalmasına neden olan kuvvetlerin hızla orantılı olduğunu varsayabiliriz. Bu kuvvetlere kökenleri ne olursa olsun direnç kuvvetleri denir.

Bu denklemi şu şekilde yeniden yazalım:

ve şunu belirtin:

burada çevresel direncin yokluğunda sistemin serbest salınımlarının meydana gelme sıklığını temsil eder; r = 0'da. Bu frekansa sistemin salınımının doğal frekansı denir; β zayıflama katsayısıdır. Daha sonra

Denklemin (7.19) çözümünü U'nun t'nin bir fonksiyonu olduğu formda arayacağız.

Bu ifadenin t zamanına göre iki kez türevini alalım ve birinci ve ikinci türevlerin değerlerini denklem (7.19)'da yerine koyarak şunu elde ederiz:

Bu denklemin çözümü önemli ölçüde U'daki katsayının işaretine bağlıdır. Bu katsayının pozitif olduğu durumu ele alalım. Gösterimi tanıtalım o zaman Gerçek bir ω ile bu denklemin çözümü, bildiğimiz gibi, fonksiyondur.

Böylece ortamın direncinin düşük olması durumunda denklemin (7.19) çözümü fonksiyon olacaktır.

Bu fonksiyonun grafiği Şekil 2'de gösterilmektedir. 7.8. Noktalı çizgiler, salınım noktasının yer değiştirmesinin bulunduğu sınırları gösterir. Miktar, enerji tüketen sistemin salınımlarının doğal döngüsel frekansı olarak adlandırılır. Sönümlü salınımlar periyodik olmayan salınımlardır çünkü örneğin yer değiştirme, hız ve ivmenin maksimum değerlerini asla tekrarlamazlar. Miktar genellikle sönümlü salınımların periyodu veya daha doğrusu sönümlü salınımların koşullu periyodu olarak adlandırılır,

T periyoduna eşit bir zaman aralığı boyunca birbirini takip eden yer değiştirme genliklerinin oranının doğal logaritmasına logaritmik zayıflama azalması denir.

Salınımların genliğinin e kat azaldığı zaman periyodunu τ ile gösterelim. Daha sonra

Sonuç olarak, zayıflama katsayısı, genliğin bir e faktörü kadar azaldığı τ zaman periyoduna ters bir fiziksel niceliktir. τ miktarına gevşeme süresi denir.

N, genliğin e faktörü kadar azaldığı salınım sayısı olsun, O zaman

Sonuç olarak, logaritmik sönümleme azalması δ, salınımların N sayısına ters olan fiziksel bir niceliktir ve bundan sonra genlik, e faktörü kadar azalır.

Zorlanmış titreşimler.

Zorunlu salınım durumunda sistem, harici (zorlayıcı) bir kuvvetin etkisi altında salınır ve bu kuvvetin çalışması nedeniyle sistemin enerji kayıpları periyodik olarak telafi edilir. Zorlanmış salınımların frekansı (zorlama frekansı), dış kuvvetin değişim frekansına bağlıdır.Sürekli etki eden bir kuvvet nedeniyle sönümsüz salınımları dikkate alarak, m kütleli bir cismin zorlanmış salınımlarının genliğini belirleyelim.

İtici kuvvetin genliği kanuna göre bu kuvvetin zamanla değişmesine izin verin. Geri getirme kuvveti ve direnç kuvveti O zaman Newton'un ikinci yasası aşağıdaki biçimde yazılabilir.

3.1. Düz bir çizgide düzgün hareket.

3.1.1. Düz bir çizgide düzgün hareket- ivmenin büyüklüğü ve yönü sabit olan düz bir çizgideki hareket:

3.1.2. Hızlanma()- hızın 1 saniyede ne kadar değişeceğini gösteren fiziksel bir vektör miktarı.

Vektör formunda:

vücudun başlangıç ​​hızı nerede, vücudun o andaki hızı T.

Eksen üzerine projeksiyonda Öküz:

başlangıç ​​hızının eksene izdüşümü nerede Öküz, - vücut hızının eksene izdüşümü Öküz zamanın bir noktasında T.

İzdüşümlerin işaretleri vektörlerin yönüne ve eksene bağlıdır Öküz.

3.1.3. İvmenin zamana karşı projeksiyon grafiği.

Düzgün değişen harekette ivme sabittir, bu nedenle zaman eksenine paralel düz çizgiler olarak görünecektir (şekle bakın):

3.1.4. Düzgün hareket sırasında hız.

Vektör formunda:

Eksen üzerine projeksiyonda Öküz:

Düzgün hızlandırılmış hareket için:

Düzgün yavaş hareket için:

3.1.5. Hızın zamana karşı projeksiyon grafiği.

Hızın zamana karşı projeksiyonunun grafiği düz bir çizgidir.

Hareket yönü: Grafik (veya bir kısmı) zaman ekseninin üzerindeyse, cisim eksenin pozitif yönünde hareket ediyor demektir Öküz.

Hızlanma değeri: eğim açısının tanjantı ne kadar büyükse (yukarı veya aşağı ne kadar dik giderse), hızlanma modülü de o kadar büyük olur; hızın zaman içindeki değişimi nerede

Zaman ekseniyle kesişme: Grafik zaman eksenini kesiyorsa, kesişme noktasından önce vücut yavaşlar (düzgün yavaş hareket) ve kesişme noktasından sonra ters yönde hızlanmaya başlar (düzgün hızlandırılmış hareket).

3.1.6. Grafiğin altındaki alanın eksenlerdeki geometrik anlamı

Eksen üzerindeyken grafiğin altındaki alan oy hız gecikir ve eksende Öküz- zaman bedenin kat ettiği yoldur.

İncirde. Şekil 3.5 düzgün ivmeli hareketin durumunu göstermektedir. Bu durumda yol yamuğun alanına eşit olacaktır: (3.9)

3.1.7. Yol hesaplama formülleri

Tabloda sunulan tüm formüller yalnızca hareket yönü korunduğunda, yani hız projeksiyonunun zamana karşı grafiğinde düz çizgi zaman ekseniyle kesişene kadar çalışır.

Kavşak meydana gelmişse, hareketin iki aşamaya bölünmesi daha kolaydır:

karşıya geçmeden önce (frenleme):

Kavşaktan sonra (hızlanma, ters yönde hareket)

Yukarıdaki formüllerde - Hareketin başlangıcından zaman ekseni ile kesişime kadar geçen süre (durmadan önceki süre), - Hareketin başlangıcından zaman ekseni ile kesişime kadar vücudun kat ettiği yol, - Geçen süre zaman eksenini geçtiği andan bu ana kadar T, - zaman eksenini geçtiği andan bu ana kadar geçen süre boyunca vücudun ters yönde kat ettiği yol T, - tüm hareket süresi boyunca yer değiştirme vektörünün modülü, L- tüm hareket boyunca vücudun kat ettiği yol.

3.1.8. İkinci saniyede hareket.

Bu süre zarfında vücut aşağıdaki mesafeyi kat edecektir:

Bu süre zarfında vücut aşağıdaki mesafeyi kat edecektir:

Daha sonra inci aralık sırasında vücut aşağıdaki mesafeyi kat edecektir:

Herhangi bir zaman aralığı aralık olarak alınabilir. Çoğu zaman ile.

Daha sonra 1 saniyede vücut aşağıdaki mesafeyi kat eder:

2 saniyede:

3 saniyede:

Dikkatli bakarsak şunu görürüz vs.

Böylece formüle ulaşıyoruz:

Başka bir deyişle: Bir cismin ardışık zaman dilimleri boyunca kat ettiği yollar, bir dizi tek sayı olarak birbirleriyle ilişkilidir ve bu, cismin hareket ettiği ivmeye bağlı değildir. Bu ilişkinin geçerli olduğunu vurguluyoruz.

3.1.9. Düzgün hareket için vücut koordinatlarının denklemi

Koordinat denklemi

İlk hız ve ivmenin projeksiyonlarının işaretleri, karşılık gelen vektörlerin ve eksenin göreceli konumuna bağlıdır. Öküz.

Sorunları çözmek için, hız projeksiyonunu eksene değiştirme denklemini denkleme eklemek gerekir:

3.2. Doğrusal hareket için kinematik büyüklüklerin grafikleri

3.3. Serbest düşme gövdesi

Serbest düşüşle aşağıdaki fiziksel modeli kastediyoruz:

1) Düşme yerçekiminin etkisi altında gerçekleşir:

2) Hava direnci yok (sorunlarda bazen “hava direncini ihmal” yazıyorlar);

3) Kütlesi ne olursa olsun tüm cisimler aynı ivmeyle düşer (bazen buna “cismin şekli ne olursa olsun” da eklenir, ancak biz yalnızca maddi bir noktanın hareketini düşünüyoruz, dolayısıyla cismin şekli artık alınmaz) dikkate alınarak);

4) Yerçekimi ivmesi kesinlikle aşağıya doğru yönlendirilir ve Dünya yüzeyinde eşittir (problemlerde hesaplamaların kolaylığı için sıklıkla varsayarız);

3.3.1. Eksen üzerine projeksiyonda hareket denklemleri oy

Yatay bir düz çizgi boyunca hareketten farklı olarak, tüm görevler hareket yönünde bir değişiklik içermediğinde, serbest düşüşte eksen üzerine projeksiyonlarla yazılan denklemleri hemen kullanmak en iyisidir. oy.

Vücut koordinat denklemi:

Hız projeksiyon denklemi:

Kural olarak problemlerde ekseni seçmek uygundur oy Aşağıdaki şekilde:

Eksen oy dikey olarak yukarı doğru yönlendirilmiş;

Başlangıç, Dünya'nın seviyesine veya yörüngenin en alçak noktasına denk gelir.

Bu seçimle denklemler ve denklemleri aşağıdaki biçimde yeniden yazılacaktır:

3.4. Düzlemde hareket Oksi.

Bir cismin düz bir çizgi boyunca ivmeli hareketini düşündük. Ancak tekdüze değişken hareket bununla sınırlı değildir. Örneğin yataya belli bir açıyla fırlatılan bir cisim. Bu tür problemlerde iki eksen boyunca hareketi aynı anda hesaba katmak gerekir:

Veya vektör biçiminde:

Ve her iki eksendeki hız projeksiyonunu değiştirmek:

3.5. Türev ve integral kavramının uygulanması

Burada türev ve integralin ayrıntılı bir tanımını yapmayacağız. Sorunları çözmek için yalnızca küçük bir formül setine ihtiyacımız var.

Türev:

Nerede A, B yani sabit değerler.

İntegral:

Şimdi türev ve integral kavramlarının fiziksel niceliklere nasıl uygulandığını görelim. Matematikte türev """ ile, fizikte ise zamana göre türev fonksiyonun üzerinde "∙" ile gösterilir.

Hız:

yani hız, yarıçap vektörünün bir türevidir.

Hız projeksiyonu için:

Hızlanma:

yani ivme hızın bir türevidir.

Hızlanma projeksiyonu için:

Dolayısıyla hareket kanunu biliniyorsa cismin hem hızını hem de ivmesini kolaylıkla bulabiliriz.

Şimdi integral kavramını kullanalım.

Hız:

yani hız, ivmenin zaman integrali olarak bulunabilir.

Yarıçap vektörü:

yani yarıçap vektörü hız fonksiyonunun integrali alınarak bulunabilir.

Böylece fonksiyon biliniyorsa cismin hem hızını hem de hareket yasasını kolaylıkla bulabiliriz.

Formüllerdeki sabitler başlangıç ​​​​koşullarından - değerlerden ve o anda belirlenir

3.6. Hız üçgeni ve yer değiştirme üçgeni

3.6.1. Hız üçgeni

Sabit ivmeli vektör formunda hız değişimi yasası şu şekildedir (3.5):

Bu formül, bir vektörün, vektörlerin vektör toplamına eşit olduğu ve vektör toplamının her zaman bir şekilde gösterilebileceği anlamına gelir (şekle bakın).

Her problemde şartlara bağlı olarak hız üçgeni kendine has bir forma sahip olacaktır. Bu gösterim, çözümde genellikle problemin çözümünü basitleştiren geometrik hususların kullanılmasına izin verir.

3.6.2. Hareket üçgeni

Vektör biçiminde, sabit ivmeli hareket yasası şu şekildedir:

Bir problemi çözerken referans sistemini en uygun şekilde seçebilirsiniz, dolayısıyla genelliği kaybetmeden referans sistemini öyle bir şekilde seçebiliriz ki, yani koordinat sisteminin orijinini bulunduğu noktaya yerleştirebiliriz. vücut ilk anda bulunur. Daha sonra

yani vektör, vektörlerin vektör toplamına eşittir ve bunu şekilde gösterelim (bkz. şekil).

Önceki durumda olduğu gibi, koşullara bağlı olarak yer değiştirme üçgeni kendi şekline sahip olacaktır. Bu gösterim, çözümde genellikle problemin çözümünü basitleştiren geometrik hususların kullanılmasına izin verir.

Sorular.

1. Aşağıdakileri biliyorsanız, doğrusal düzgün ivmeli hareketin anlık hız vektörünün izdüşümünü hesaplayabileceğiniz formülü yazın: a) başlangıç ​​hız vektörünün izdüşümünü ve ivme vektörünün izdüşümünü; b) Başlangıç ​​hızının sıfır olduğu durumda ivme vektörünün izdüşümü.

2. Başlangıç ​​hızında düzgün şekilde hızlandırılmış hareketin hız vektörünün izdüşüm grafiği nedir: a) sıfıra eşit; b) sıfıra eşit değil mi?

3. Şekil 11 ve 12'de grafikleri sunulan hareketler nasıl benzer ve birbirlerinden farklıdır?

Her iki durumda da hareket ivmeyle gerçekleşir, ancak ilk durumda ivme pozitif, ikinci durumda ise negatiftir.

Egzersizler.

1. Bir hokey oyuncusu sopasıyla diske hafifçe vurarak diske 2 m/s hız kazandırıyor. Buzla sürtünme sonucunda 0,25 m/s2 ivmeyle hareket ederse, çarpmadan 4 saniye sonra diskin hızı ne olur?

2. Bir kayakçı hareketsiz durumdan 0,2 m/s2'ye eşit bir ivmeyle bir dağdan aşağı kayıyor. Hızı ne kadar süre sonra 2 m/s'ye çıkar?

3. Aynı koordinat eksenlerinde, doğrusal düzgün ivmeli hareket için hız vektörünün izdüşümü grafiklerini (X ekseninde, başlangıç ​​hız vektörü ile eş yönlü) aşağıdaki durumlar için oluşturun: a) v ox = 1 m/s, a x = 0,5 m/s2; b) v öküz = 1 m/s, a x = 1 m/s 2; c) v öküz = 2 m/s, a x = 1 m/s 2.
Ölçek her durumda aynıdır: 1 cm - 1 m/s; 1 cm - 1 sn.

4. Aynı koordinat eksenlerinde, aşağıdaki durumlar için doğrusal düzgün ivmeli hareket için hız vektörünün (X ekseninde, başlangıç ​​hız vektörü ile eş yönlü) izdüşümü grafiklerini oluşturun: a) v ox = 4,5 m/s, a x = -1,5 m/s2; b) v öküz = 3 m/s, a x = -1 m/s 2
Ölçeği kendiniz seçin.

5. Şekil 13, iki cismin doğrusal hareketi için hız vektör modülünün zamana karşı grafiklerini göstermektedir. Bedenim hangi mutlak ivmeyle hareket ediyor? vücut II?