2 noktadan geçen bir doğrunun denklemini yazınız. Bir doğrunun genel denklemi

Öklid geometrisinde düz bir çizginin özellikleri.

Herhangi bir noktadan geçen sonsuz sayıda düz çizgi çizilebilir.

Çakışmayan herhangi iki noktadan tek bir doğru çizilebilir.

Bir düzlemde birbirinden farklı iki doğru ya tek bir noktada kesişir ya da

paralel (öncekinin devamı).

Üç boyutlu uzayda iki çizginin göreceli konumu için üç seçenek vardır:

• çizgiler kesişiyor;

• çizgiler paraleldir;

• düz çizgiler kesişir.

Dümdüz astar— birinci dereceden cebirsel eğri: Kartezyen koordinat sisteminde düz bir çizgi

düzlemde birinci dereceden bir denklem (doğrusal denklem) ile verilir.

Düz bir çizginin genel denklemi.

Tanım. Düzlemdeki herhangi bir düz çizgi birinci dereceden bir denklemle belirtilebilir

Balta + Wu + C = 0,

ve sabit A, B aynı anda sıfıra eşit değildir. Bu birinci dereceden denklem denir genel

bir doğrunun denklemi. Sabitlerin değerlerine bağlı olarak A, B Ve İLE Aşağıdaki özel durumlar mümkündür:

. C = 0, Bir ≠0, B ≠ 0- orijinden düz bir çizgi geçer

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0)- eksene paralel düz çizgi Ah

. B = 0, Bir ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- eksene paralel düz çizgi kuruluş birimi

. B = C = 0, Bir ≠0- düz çizgi eksenle çakışıyor kuruluş birimi

. bir = C = 0, B ≠0- düz çizgi eksenle çakışıyor Ah

Düz bir çizginin denklemi verilen herhangi bir duruma bağlı olarak farklı biçimlerde sunulabilir.

başlangıç ​​koşulları.

Bir noktadan ve normal bir vektörden gelen düz bir çizginin denklemi.

Tanım. Kartezyen dikdörtgen koordinat sisteminde (A, B) bileşenlerine sahip bir vektör

denklemin verdiği çizgiye dik

Balta + Wu + C = 0.

Örnek. Bir noktadan geçen çizginin denklemini bulun bir(1, 2) vektöre dik (3, -1).

Çözüm. A = 3 ve B = -1 ile doğrunun denklemini yazalım: 3x - y + C = 0. C katsayısını bulmak için

Elde edilen ifadede verilen A noktasının koordinatlarını yerine koyalım: 3 - 2 + C = 0 elde ederiz, dolayısıyla

C = -1. Toplam: gerekli denklem: 3x - y - 1 = 0.

İki noktadan geçen doğrunun denklemi.

Uzayda iki nokta verilsin M 1 (x 1, y 1, z 1) Ve M2 (x 2, y 2, z 2), Daha sonra bir çizginin denklemi,

şu noktalardan geçerek:

Paydalardan herhangi biri sıfır ise karşılık gelen pay sıfıra eşitlenmelidir. Açık

düzlemde yukarıda yazılan düz çizginin denklemi basitleştirilmiştir:

Eğer x 1 ≠ x 2 Ve x = x 1, Eğer x 1 = x 2 .

Kesir = k isminde eğim dümdüz.

Örnek. A(1, 2) ve B(3, 4) noktalarından geçen doğrunun denklemini bulun.

Çözüm. Yukarıda yazılan formülü uygulayarak şunu elde ederiz:

Bir nokta ve eğim kullanılarak düz bir çizginin denklemi.

Doğrunun genel denklemi ise Balta + Wu + C = 0şunlara yol açar:

ve atayın , sonra ortaya çıkan denklem denir

eğimi k olan bir doğrunun denklemi.

Bir noktadan ve yön vektöründen gelen düz bir çizginin denklemi.

Normal vektör boyunca düz bir çizginin denklemini dikkate alan noktaya benzetilerek göreve girebilirsiniz.

bir noktadan geçen düz bir çizgi ve bir düz çizginin yönlendirici vektörü.

Tanım. Sıfır olmayan her vektör (a 1, a 2) bileşenleri koşulu karşılayan

Aα 1 + Bα 2 = 0 isminde Bir doğrunun yönlendirici vektörü.

Balta + Wu + C = 0.

Örnek. Yön vektörü (1, -1) olan ve A(1, 2) noktasından geçen düz bir çizginin denklemini bulun.

Çözüm. İstenilen çizginin denklemini formda arayacağız: Ax + By + C = 0. Tanıma göre,

katsayılar aşağıdaki koşulları karşılamalıdır:

1 * A + (-1) * B = 0, yani. A = B.

O halde düz çizginin denklemi şu şekildedir: Ax + Ay + C = 0, veya x + y + C / A = 0.

en x = 1, y = 2 aldık C/A = -3 yani gerekli denklem:

x + y - 3 = 0

Parçalardaki düz bir çizginin denklemi.

Düz çizginin genel denkleminde Ах + Ву + С = 0 С≠0 ise, -С'ye bölerek şunu elde ederiz:

veya nerede

Katsayıların geometrik anlamı, a katsayısının kesişim noktasının koordinatı olmasıdır.

eksenli düz Ah, A B- çizginin eksenle kesişme noktasının koordinatı OU.

Örnek. Düz bir çizginin genel denklemi verilmiştir x - y + 1 = 0. Bu doğrunun denklemini segmentler halinde bulun.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Bir doğrunun normal denklemi.

Denklemin her iki tarafı ise Balta + Wu + C = 0 sayıya böl buna denir

normalleştirme faktörü, sonra elde ederiz

xcosφ + ysinφ - p = 0 -bir doğrunun normal denklemi.

Normalleştirme faktörünün ± işareti şu şekilde seçilmelidir: µ*C< 0.

R- Başlangıç ​​noktasından düz çizgiye bırakılan dikmenin uzunluğu,

A φ - eksenin pozitif yönü ile bu dikin oluşturduğu açı Ah.

Örnek. Doğrunun genel denklemi verilmiştir 12x - 5y - 65 = 0. Farklı türde denklemler yazmak için gereklidir

bu düz çizgi.

Bu doğrunun segmentlerdeki denklemi:

Bu doğrunun eğimle denklemi: (5'e bölün)

Bir çizginin denklemi:

çünkü φ = 12/13; günah φ= -5/13; p = 5.

Her düz çizginin, örneğin düz çizgiler gibi bölümlerdeki bir denklemle temsil edilemeyeceğine dikkat edilmelidir.

eksenlere paralel veya orijinden geçen.

Düzlemdeki düz çizgiler arasındaki açı.

Tanım. İki satır verilirse y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2, daha sonra bu çizgiler arasındaki dar açı

olarak tanımlanacak

İki doğru paralel ise k1 = k2. İki çizgi birbirine dik

Eğer k 1 = -1/ k 2 .

Teorem.

Doğrudan Balta + Wu + C = 0 Ve bir 1 x + B 1 y + C 1 = 0 katsayılar orantılı olduğunda paralel

A 1 = λA, B 1 = λB. Ayrıca С 1 = λС, o zaman çizgiler çakışır. İki doğrunun kesiştiği noktanın koordinatları

Bu doğruların denklem sisteminin çözümü olarak bulunur.

Belirli bir çizgiye dik olarak belirli bir noktadan geçen çizginin denklemi.

Tanım. Bir noktadan geçen çizgi M 1 (x 1, y 1) ve çizgiye dik y = kx + b

denklemle temsil edilir:

Bir noktadan bir çizgiye olan mesafe.

Teorem. Bir puan verilirse M(x 0, y 0), daha sonra düz çizgiye olan mesafe Balta + Wu + C = 0şu şekilde tanımlanır:

Kanıt. Bırakın nokta M 1 (x 1, y 1)- bir noktadan bırakılan bir dikmenin tabanı M belirli bir süre için

doğrudan. Daha sonra noktalar arasındaki mesafe M Ve M1:

(1)

Koordinatlar x 1 Ve 1'de denklem sisteminin çözümü olarak bulunabilir:

Sistemin ikinci denklemi, belirli bir M 0 noktasından dik olarak geçen düz bir çizginin denklemidir.

düz çizgi verilmiştir. Sistemin ilk denklemini forma dönüştürürsek:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

sonra çözersek şunu elde ederiz:

Bu ifadeleri denklem (1)'de yerine koyarsak şunu buluruz:

Teorem kanıtlandı.

İki noktadan geçen doğrunun denklemi. Makalede" " Bir fonksiyonun grafiği ve bu grafiğe teğet verildiğinde, türevi bulma konusunda sunulan problemleri çözmenin ikinci yoluna bakacağıma söz verdim. Bu yöntemi daha sonra tartışacağız , Kaçırma! Neden bir sonrakinde?

Gerçek şu ki, orada düz bir çizginin denklemi formülü kullanılacaktır. Elbette bu formülü basitçe gösterip öğrenmenizi tavsiye edebiliriz. Ancak nereden geldiğini (nasıl türetildiğini) açıklamak daha iyidir. Bu gerekli! Unutursanız hızlı bir şekilde geri yükleyebilirsinizzor olmayacak. Her şey aşağıda ayrıntılı olarak özetlenmiştir. Koordinat düzleminde iki A noktamız var(x 1;y 1) ve B(x 2;y 2), belirtilen noktalardan geçen düz bir çizgi çizilir:

İşte doğrudan formülün kendisi:

*Yani, noktaların belirli koordinatlarını yerine koyarken y=kx+b şeklinde bir denklem elde ederiz.

**Eğer bu formülü basitçe “ezberlerseniz”, indekslerle karıştırılma ihtimaliniz yüksektir. X. Ayrıca endeksler farklı şekillerde de belirlenebilir; örneğin:

Bu yüzden anlamını anlamak önemlidir.

Şimdi bu formülün türetilmesi. Her şey çok basit!

ABE ve ACF üçgenleri dar açı bakımından benzerdir (dik üçgenlerin benzerliğinin ilk işareti). Bundan karşılık gelen elemanların oranlarının eşit olduğu sonucu çıkar, yani:

Şimdi bu parçaları basitçe noktaların koordinatlarındaki farkla ifade ediyoruz:

Tabii ki, elemanların ilişkilerini farklı bir sırayla yazarsanız hiçbir hata olmayacaktır (asıl önemli olan tutarlılığı korumaktır):

Sonuç doğrunun aynı denklemi olacaktır. Hepsi bu!

Yani, noktaların kendileri (ve koordinatları) nasıl belirlenmiş olursa olsun, bu formülü anladığınızda her zaman bir düz çizginin denklemini bulacaksınız.

Formül, vektörlerin özellikleri kullanılarak türetilebilir, ancak koordinatlarının orantılılığından bahsedeceğimiz için türetme ilkesi aynı olacaktır. Bu durumda dik üçgenlerin aynı benzerliği işe yarar. Bana göre yukarıda açıklanan sonuç daha açıktır)).

Çıktıyı vektör koordinatları aracılığıyla görüntüleyin >>>

Koordinat düzlemi üzerinde verilen iki A(x 1;y 1) ve B(x 2;y 2) noktasından geçen düz bir çizgi çizilsin. Koordinatları olan doğru üzerinde rastgele bir C noktası işaretleyelim ( X; sen). Ayrıca iki vektörü de belirtiyoruz:

Paralel çizgiler üzerinde (veya aynı çizgide) bulunan vektörler için karşılık gelen koordinatlarının orantılı olduğu bilinmektedir, yani:

— karşılık gelen koordinatların oranlarının eşitliğini yazıyoruz:

Bir örneğe bakalım:

Koordinatları (2;5) ve (7:3) olan iki noktadan geçen düz çizginin denklemini bulun.

Düz çizgiyi kendiniz oluşturmanıza bile gerek yok. Formülü uyguluyoruz:

Oranı hesaplarken yazışmaları kavramanız önemlidir. Aşağıdakileri yazarsanız yanlış gidemezsiniz:

Cevap: y=-2/5x+29/5 git y=-0,4x+5,8

Ortaya çıkan denklemin doğru bir şekilde bulunduğundan emin olmak için, verilerin koordinatlarını noktaların durumuna göre kontrol ettiğinizden emin olun. Denklemler doğru olmalıdır.

Bu kadar. Umarım materyal sizin için yararlı olmuştur.

Saygılarımla İskender.

Not: Siteyi sosyal ağlarda anlatırsanız sevinirim.

Tanım. Düzlemdeki herhangi bir düz çizgi birinci dereceden bir denklemle belirtilebilir

Balta + Wu + C = 0,

Üstelik A ve B sabitleri aynı anda sıfıra eşit değildir. Bu birinci dereceden denklem denir Bir doğrunun genel denklemi. A, B ve C sabitlerinin değerlerine bağlı olarak aşağıdaki özel durumlar mümkündür:

C = 0, A ≠0, B ≠ 0 – düz çizgi orijinden geçer

A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0) - Ox eksenine paralel düz çizgi

B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0) – Oy eksenine paralel düz çizgi

B = C = 0, A ≠0 – düz çizgi Oy ekseniyle çakışır

A = C = 0, B ≠0 – düz çizgi Ox ekseniyle çakışır

Doğrunun denklemi, verilen başlangıç ​​koşullarına bağlı olarak farklı şekillerde sunulabilir.

Bir noktadan ve normal vektörden gelen düz bir çizginin denklemi

Tanım. Kartezyen dikdörtgen koordinat sisteminde (A, B) bileşenlerine sahip bir vektör, Ax + By + C = 0 denklemiyle verilen düz çizgiye diktir.

Örnek. (3, -1) noktasına dik A(1, 2) noktasından geçen doğrunun denklemini bulun.

Çözüm. A = 3 ve B = -1 ile düz çizginin denklemini oluşturalım: 3x – y + C = 0. C katsayısını bulmak için, verilen A noktasının koordinatlarını elde edilen ifadede yerine koyarız: 3 – 2 + C = 0, dolayısıyla C = -1 . Toplam: gerekli denklem: 3x – y – 1 = 0.

İki noktadan geçen çizginin denklemi

Uzayda iki M 1 (x 1, y 1, z 1) ve M 2 (x 2, y 2, z 2) noktası verilse, bu noktalardan geçen doğrunun denklemi şöyle olur:

Paydalardan herhangi biri sıfıra eşitse, karşılık gelen pay da sıfıra eşit olmalıdır.Düzlemde yukarıda yazılan doğrunun denklemi basitleştirilmiştir:

eğer x 1 ≠ x 2 ve x = x 1 ise, eğer x 1 = x 2.

Kesir = k denir eğim dümdüz.

Örnek. A(1, 2) ve B(3, 4) noktalarından geçen doğrunun denklemini bulun.

Çözüm. Yukarıda yazılan formülü uygulayarak şunu elde ederiz:

Bir noktadan ve eğimden gelen düz bir çizginin denklemi

Toplam Ax + Bu + C = 0 ise şu forma dönüşür:

ve atayın , sonra ortaya çıkan denklem denir eğimi olan bir doğrunun denklemik.

Bir noktadan ve yön vektöründen gelen düz bir çizginin denklemi

Normal bir vektörden geçen düz bir çizginin denklemini ele alan noktaya benzetme yaparak, bir noktadan geçen düz bir çizginin tanımını ve düz çizginin yönlendirici vektörünü girebilirsiniz.

Tanım. Bileşenleri A α 1 + B α 2 = 0 koşulunu karşılayan sıfır olmayan her vektöre (α 1, α 2), çizginin yönlendirici vektörü denir

Balta + Wu + C = 0.

Örnek. Yön vektörü (1, -1) olan ve A(1, 2) noktasından geçen düz bir çizginin denklemini bulun.

Çözüm.İstenilen çizginin denklemini şu formda arayacağız: Ax + By + C = 0. Tanıma göre katsayıların koşulları karşılaması gerekir:

1 * A + (-1) * B = 0, yani. A = B.

O zaman düz çizginin denklemi şu şekilde olur: Ax + Ay + C = 0 veya x + y + C / A = 0. x = 1, y = 2 için C/ A = -3 elde ederiz, yani. gerekli denklem:

Segmentlerdeki bir doğrunun denklemi

Düz çizginin genel denkleminde Ах + Ву + С = 0 С≠0 ise, –С ile bölerek şunu elde ederiz: veya

Katsayıların geometrik anlamı, katsayının Açizginin Ox ekseni ile kesişme noktasının koordinatıdır ve B– düz çizginin Oy ekseniyle kesişme noktasının koordinatı.

Örnek. x – y + 1 = 0 doğrusunun genel denklemi verilmiştir.Bu doğrunun denklemini parçalar halinde bulun.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Bir doğrunun normal denklemi

Denklemin her iki tarafı Ax + By + C = 0 ile çarpılırsa buna denir normalleştirme faktörü, sonra elde ederiz

xcosφ + ysinφ - p = 0 –

Bir doğrunun normal denklemi. Normalleştirme faktörünün ± işareti μ * C olacak şekilde seçilmelidir.< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Örnek. 12x – 5y – 65 = 0 doğrusunun genel denklemi verilmiştir.Bu doğru için çeşitli denklem türlerinin yazılması gerekmektedir.

bu doğrunun segmentlerdeki denklemi:

bu doğrunun eğimle denklemi: (5'e böl)

; çünkü φ = 12/13; günah φ= -5/13; p = 5.

Her düz çizginin, örneğin eksenlere paralel veya koordinatların kökeninden geçen düz çizgiler gibi bölümlerdeki bir denklemle temsil edilemeyeceğine dikkat edilmelidir.

Örnek. Düz çizgi, koordinat eksenleri üzerinde eşit pozitif parçaları keser. Bu parçaların oluşturduğu üçgenin alanı 8 cm2 ise düz bir çizginin denklemini yazınız.

Çözüm. Doğrunun denklemi şu şekildedir: , ab /2 = 8; ab=16; a=4, a=-4. bir = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.

Örnek. A(-2, -3) noktasından ve orijinden geçen düz bir çizginin denklemini yazın.

Çözüm. Doğrunun denklemi: , burada x 1 = y 1 = 0; x2 = -2; y2 = -3.

Düzlemde düz çizgiler arasındaki açı

Tanım.İki doğruya y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2 verilirse, bu çizgiler arasındaki dar açı şu şekilde tanımlanacaktır:

.

k 1 = k 2 ise iki doğru paraleldir. k 1 = -1/ k 2 ise iki doğru birbirine diktir.

Teorem. Ax + Bу + C = 0 ve A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 çizgileri, A 1 = λA, B 1 = λB katsayıları orantılı olduğunda paraleldir. Ayrıca C 1 = λC ise çizgiler çakışır. İki doğrunun kesiştiği noktanın koordinatları bu doğruların denklem sisteminin çözümü olarak bulunur.

Belirli bir çizgiye dik olarak belirli bir noktadan geçen çizginin denklemi

Tanım. M 1 (x 1, y 1) noktasından geçen ve y = kx + b düz çizgisine dik olan düz bir çizgi aşağıdaki denklemle temsil edilir:

Noktadan çizgiye mesafe

Teorem. Bir M(x 0, y 0) noktası verilirse, Ax + Bу + C = 0 çizgisine olan uzaklık şu şekilde belirlenir:

.

Kanıt. M 1 (x 1, y 1) noktası, M noktasından belirli bir düz çizgiye bırakılan dikmenin tabanı olsun. Daha sonra M ve M 1 noktaları arasındaki mesafe:

(1)

X 1 ve y 1 koordinatları denklem sistemini çözerek bulunabilir:

Sistemin ikinci denklemi, belirli bir M 0 noktasından belirli bir çizgiye dik olarak geçen bir çizginin denklemidir. Sistemin ilk denklemini forma dönüştürürsek:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

sonra çözersek şunu elde ederiz:

Bu ifadeleri denklem (1)'de yerine koyarsak şunu buluruz:

Teorem kanıtlandı.

Örnek. Çizgiler arasındaki açıyı belirleyin: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k1 = -3; k2 = 2; tgφ = ; φ=π /4.

Örnek. 3x – 5y + 7 = 0 ve 10x + 6y – 3 = 0 doğrularının birbirine dik olduğunu gösterin.

Çözüm. Şunu buluruz: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, dolayısıyla çizgiler diktir.

Örnek. A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) üçgeninin köşeleri verilmiştir. C köşesinden çizilen yüksekliğin denklemini bulun.

Çözüm. AB tarafının denklemini buluyoruz: ; 4 x = 6 y – 6;

2 x – 3 y + 3 = 0;

Gerekli yükseklik denklemi şu şekildedir: Ax + By + C = 0 veya y = kx + b. k = . O halde y = . Çünkü yükseklik C noktasından geçerse koordinatları şu denklemi sağlar: buradan itibaren b = 17. Toplam: .

Cevap: 3 x + 2 y – 34 = 0.

Doğrunun M 1 (x 1; y 1) ve M 2 (x 2; y 2) noktalarından geçmesine izin verin. M 1 noktasından geçen düz bir çizginin denklemi şu şekildedir: y-y 1 = k (x - x 1), (10.6)

Nerede k - hala bilinmeyen katsayı.

Düz çizgi M 2 (x 2 y 2) noktasından geçtiği için, bu noktanın koordinatları denklem (10.6)'yı karşılamalıdır: y 2 -y 1 = k (x 2 - x 1).

Buradan bulunan değeri değiştirmeyi buluyoruz k (10.6) denkleminde, M 1 ve M 2 noktalarından geçen düz bir çizginin denklemini elde ederiz:

Bu denklemde x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2 olduğu varsayılmaktadır.

Eğer x 1 = x 2 ise, M 1 (x 1,y I) ve M 2 (x 2,y 2) noktalarından geçen düz çizgi ordinat eksenine paraleldir. Denklemi x = x 1 .

Eğer y 2 = y I ise doğrunun denklemi y = y 1 şeklinde yazılabilir, M 1 M 2 düz çizgisi apsis eksenine paraleldir.

Segmentlerdeki bir doğrunun denklemi

Düz çizginin Ox eksenini M 1 (a;0) noktasında ve Oy eksenini M 2 (0;b) noktasında kesmesine izin verin. Denklem şu şekli alacaktır:
onlar.
. Bu denklem denir segmentlerdeki bir doğrunun denklemi, çünkü a ve b sayıları, çizginin koordinat eksenlerinde hangi bölümleri kestiğini gösterir.

Belirli bir vektöre dik olarak belirli bir noktadan geçen çizginin denklemi

Belirli bir sıfır olmayan vektör n = (A; B)'ye dik olarak belirli bir Mo (x O; y o) noktasından geçen düz bir çizginin denklemini bulalım.

Doğru üzerinde rastgele bir M(x; y) noktası alalım ve M 0 M (x - x 0; y - y o) vektörünü ele alalım (bkz. Şekil 1). n ve M o M vektörleri dik olduğundan, skaler çarpımları sıfıra eşittir: yani

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

Denklem (10.8) denir belirli bir vektöre dik olarak belirli bir noktadan geçen düz çizginin denklemi .

Doğruya dik olan n= (A; B) vektörüne normal denir bu doğrunun normal vektörü .

Denklem (10.8) şu şekilde yeniden yazılabilir: Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

burada A ve B normal vektörün koordinatlarıdır, C = -Ax o - Vu o serbest terimdir. Denklem (10.9) doğrunun genel denklemidir(bkz. Şekil 2).

Şekil 1 Şekil 2

Doğrunun kanonik denklemleri

,

Nerede
- çizginin geçtiği noktanın koordinatları ve
- yön vektörü.

İkinci dereceden eğriler Daire

Daire, merkez adı verilen belirli bir noktadan eşit uzaklıkta olan düzlemin tüm noktalarının kümesidir.

Yarıçaplı bir dairenin kanonik denklemi R bir noktada merkezlenmiş
:

Özellikle, kazık merkezi koordinatların orijini ile çakışıyorsa denklem şöyle görünecektir:

Elips

Elips, bir düzlem üzerinde, her birinden belirli iki noktaya olan uzaklıkların toplamı olan bir dizi noktadır. Ve Odak adı verilen sabit bir miktardır
odaklar arasındaki mesafeden daha büyük
.

Odakları Ox ekseni üzerinde bulunan ve koordinatların orijini odaklar arasında ortada bulunan bir elipsin kanonik denklemi şu şekildedir:
G de A yarı ana eksen uzunluğu; B – yarı küçük eksenin uzunluğu (Şekil 2).

Düzlemdeki bir doğrunun denklemi.

Bilindiği gibi düzlem üzerindeki herhangi bir nokta, bazı koordinat sistemlerinde iki koordinat tarafından belirlenir. Koordinat sistemleri temel ve orijin seçimine bağlı olarak farklı olabilir.

Tanım. Çizgi denklemi bu doğruyu oluşturan noktaların koordinatları arasındaki y = f(x) ilişkisine denir.

Bir doğrunun denkleminin parametrik olarak ifade edilebileceğini, yani her noktanın her koordinatının bazı bağımsız parametrelerle ifade edilebileceğini unutmayın. T.

Tipik bir örnek, hareketli bir noktanın yörüngesidir. Bu durumda parametrenin rolü zamana göre oynanır.

Düzlemde düz bir çizginin denklemi.

Tanım. Düzlemdeki herhangi bir düz çizgi birinci dereceden bir denklemle belirtilebilir

Balta + Wu + C = 0,

Üstelik A ve B sabitleri aynı anda sıfıra eşit değildir; A 2 + B 2  0. Bu birinci dereceden denklem denir Bir doğrunun genel denklemi.

A, B ve C sabitlerinin değerlerine bağlı olarak aşağıdaki özel durumlar mümkündür:

C = 0, A  0, B  0 – düz çizgi orijinden geçer

A = 0, B  0, C  0 (By + C = 0) - Ox eksenine paralel düz çizgi

B = 0, A  0, C  0 (Ax + C = 0) – Oy eksenine paralel düz çizgi

B = C = 0, A  0 – düz çizgi Oy ekseniyle çakışır

A = C = 0, B  0 – düz çizgi Ox ekseniyle çakışır

Doğrunun denklemi, verilen başlangıç ​​koşullarına bağlı olarak farklı şekillerde sunulabilir.

Bir noktadan ve normal bir vektörden gelen düz bir çizginin denklemi.

Tanım. Kartezyen dikdörtgen koordinat sisteminde (A, B) bileşenlerine sahip bir vektör, Ax + By + C = 0 denklemiyle verilen düz çizgiye diktir.

Örnek. Vektöre dik A(1, 2) noktasından geçen doğrunun denklemini bulun (3, -1).

A = 3 ve B = -1 ile doğrunun denklemini oluşturalım: 3x – y + C = 0. C katsayısını bulmak için, verilen A noktasının koordinatlarını elde edilen ifadede yerine koyarız.

Şunu elde ederiz: 3 – 2 + C = 0, dolayısıyla C = -1.

Toplam: gerekli denklem: 3x – y – 1 = 0.

İki noktadan geçen doğrunun denklemi.

Uzayda iki M 1 (x 1, y 1, z 1) ve M 2 (x 2, y 2, z 2) noktası verilse, bu noktalardan geçen doğrunun denklemi şöyle olur:

Paydalardan herhangi biri sıfır ise karşılık gelen pay sıfıra eşitlenmelidir.

Düzlemde yukarıda yazılan düz çizginin denklemi basitleştirilmiştir:

eğer x 1  x 2 ve x = x 1 ise, eğer x 1 = x 2.

Kesir
=k denir eğim dümdüz.

Örnek. A(1, 2) ve B(3, 4) noktalarından geçen doğrunun denklemini bulun.

Yukarıda yazılan formülü uygulayarak şunu elde ederiz:

Bir nokta ve eğim kullanılarak düz bir çizginin denklemi.

Ax + By + C = 0 düz çizgisinin genel denklemi şu şekle indirgenirse:

ve atayın
, sonra ortaya çıkan denklem denir eğimi olan bir doğrunun denklemik.

Bir noktadan ve yön vektöründen gelen düz bir çizginin denklemi.

Normal bir vektörden geçen düz bir çizginin denklemini ele alan noktaya benzetme yaparak, bir noktadan geçen düz bir çizginin tanımını ve düz çizginin yönlendirici vektörünü girebilirsiniz.

Tanım. Sıfır olmayan her vektör Bileşenleri A 1 + B 2 = 0 koşulunu karşılayan ( 1,  2) doğrunun yönlendirici vektörü olarak adlandırılır

Balta + Wu + C = 0.

Örnek. Yön vektörüne sahip bir doğrunun denklemini bulun (1, -1) ve A(1, 2) noktasından geçiyor.

İstenilen çizginin denklemini şu formda arayacağız: Ax + By + C = 0. Tanıma göre katsayıların koşulları karşılaması gerekir:

1A + (-1)B = 0, yani. A = B.

O halde düz çizginin denklemi şu şekilde olur: Ax + Ay + C = 0 veya x + y + C/A = 0.

x = 1, y = 2'de C/A = -3 elde ederiz, yani. gerekli denklem:

Parçalardaki düz bir çizginin denklemi.

Düz çizginin genel denkleminde Ах + Ву + С = 0 С 0 ise, o zaman –С'ye bölerek şunu elde ederiz:
veya

, Nerede

Katsayıların geometrik anlamı, katsayının Açizginin Ox ekseni ile kesişme noktasının koordinatıdır ve B– düz çizginin Oy ekseniyle kesişme noktasının koordinatı.

Örnek. x – y + 1 = 0 doğrusunun genel denklemi verilmiştir.Bu doğrunun denklemini parçalar halinde bulun.

C = 1,
, a = -1,b = 1.

Bir doğrunun normal denklemi.

Denklemin her iki tarafı Ax + By + C = 0 sayıya bölünürse
buna denir normalleştirme faktörü, sonra elde ederiz

xcos + ysin - p = 0 –

Bir doğrunun normal denklemi.

Normalleştirme faktörünün  işareti, С olacak şekilde seçilmelidir.< 0.

p, orijinden düz çizgiye bırakılan dikmenin uzunluğu ve , bu dikmenin Ox ekseninin pozitif yönü ile oluşturduğu açıdır.

Örnek. 12x – 5y – 65 = 0 doğrusunun genel denklemi verilmiştir.Bu doğru için çeşitli denklem türlerinin yazılması gerekmektedir.

bu doğrunun segmentlerdeki denklemi:

bu doğrunun eğimle denklemi: (5'e böl)

Bir doğrunun normal denklemi:

; cos = 12/13; sin = -5/13; p = 5.

Her düz çizginin, örneğin eksenlere paralel veya koordinatların kökeninden geçen düz çizgiler gibi bölümlerdeki bir denklemle temsil edilemeyeceğine dikkat edilmelidir.

Örnek. Düz çizgi, koordinat eksenleri üzerinde eşit pozitif parçaları keser. Bu parçaların oluşturduğu üçgenin alanı 8 cm2 ise düz bir çizginin denklemini yazınız.

Doğrunun denklemi:
, a = b = 1; ab/2 = 8; bir = 4; -4.

a = -4 problemin şartlarına göre uygun değildir.

Toplam:
veya x + y – 4 = 0.

Örnek. A(-2, -3) noktasından ve orijinden geçen düz bir çizginin denklemini yazın.

Doğrunun denklemi:
, burada x 1 = y 1 = 0; x2 = -2; y2 = -3.

Düzlemdeki düz çizgiler arasındaki açı.

Tanım. İki doğruya y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2 verilirse, bu çizgiler arasındaki dar açı şu şekilde tanımlanacaktır:

.

k 1 = k 2 ise iki doğru paraleldir.

k 1 = -1/k 2 ise iki doğru birbirine diktir.

Teorem. Doğrudan çizgiler Ax + Wu + C = 0 ve A 1 x + B 1 y + C 1 A katsayıları orantılı olduğunda = 0 paraleldir 1 =  A, B 1 =  B. Ayrıca C ise 1 =  C ise çizgiler çakışıyor.

İki doğrunun kesiştiği noktanın koordinatları bu doğruların denklem sisteminin çözümü olarak bulunur.

Belirli bir noktadan geçen çizginin denklemi

bu çizgiye dik.

Tanım. M 1 (x 1, y 1) noktasından geçen ve y = kx + b düz çizgisine dik olan düz bir çizgi aşağıdaki denklemle temsil edilir:

Bir noktadan bir çizgiye olan mesafe.

Teorem. M(x) noktası verilirse 0 , sen 0 ), bu durumda Ах + Ву + С =0 düz çizgisine olan mesafe şu şekilde tanımlanır:

.

Kanıt. M 1 (x 1, y 1) noktası, M noktasından belirli bir düz çizgiye bırakılan dikmenin tabanı olsun. Daha sonra M ve M 1 noktaları arasındaki mesafe:

X 1 ve y 1 koordinatları denklem sistemini çözerek bulunabilir:

Sistemin ikinci denklemi, belirli bir M 0 noktasından belirli bir çizgiye dik olarak geçen bir çizginin denklemidir.

Sistemin ilk denklemini forma dönüştürürsek:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

sonra çözersek şunu elde ederiz:

Bu ifadeleri denklem (1)'de yerine koyarsak şunu buluruz:

.

Teorem kanıtlandı.

Örnek.Çizgiler arasındaki açıyı belirleyin: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k1 = -3; k 2 = 2 tg =
;  = /4.

Örnek. 3x – 5y + 7 = 0 ve 10x + 6y – 3 = 0 doğrularının birbirine dik olduğunu gösterin.

Şunu buluruz: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, dolayısıyla çizgiler diktir.

Örnek. A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1) üçgeninin köşeleri verilmiştir. C köşesinden çizilen yüksekliğin denklemini bulun.

AB tarafının denklemini buluyoruz:
; 4x = 6y – 6;

2x – 3y + 3 = 0;

Gerekli yükseklik denklemi şu şekildedir: Ax + By + C = 0 veya y = kx + b.

k = . O zaman y =
. Çünkü yükseklik C noktasından geçerse koordinatları şu denklemi sağlar:
dolayısıyla b = 17. Toplam:
.

Cevap: 3x + 2y – 34 = 0.

Uzayda analitik geometri.

Uzayda bir çizginin denklemi.

Uzayda bir nokta verilen bir doğrunun denklemi ve

yön vektörü.

Rastgele bir çizgi ve bir vektör alalım (m, n, p), verilen doğruya paralel. Vektör isminde kılavuz vektör dümdüz.

Düz çizgi üzerinde iki keyfi M 0 (x 0 , y 0 , z 0) ve M (x, y, z) noktasını alıyoruz.

z

M1

Bu noktaların yarıçap vektörlerini şu şekilde gösterelim: Ve , belli ki - =
.

Çünkü vektörler
Ve eşdoğrusal ise ilişki doğrudur
= t, burada t bir parametredir.

Toplamda şunu yazabiliriz: = + T.

Çünkü bu denklem doğru üzerindeki herhangi bir noktanın koordinatları tarafından sağlanırsa, ortaya çıkan denklem şu şekilde olur: bir doğrunun parametrik denklemi.

Bu vektör denklemi koordinat biçiminde temsil edilebilir:

Bu sistemi dönüştürerek ve t parametresinin değerlerini eşitleyerek uzayda düz bir çizginin kanonik denklemlerini elde ederiz:

.

Tanım. Yön kosinüsleri direkt vektörün yön kosinüsleridir aşağıdaki formüller kullanılarak hesaplanabilir:

;

.

Buradan şunu elde ederiz: m: n: p = cos : cos : cos.

m, n, p sayılarına denir açı katsayıları dümdüz. Çünkü sıfır olmayan bir vektör ise m, n ve p aynı anda sıfır olamaz ancak bu sayılardan bir veya ikisi sıfıra eşit olabilir. Bu durumda doğrunun denkleminde karşılık gelen payların sıfıra eşitlenmesi gerekir.

Uzaydan geçen düz bir çizginin denklemi

iki noktadan.

Uzayda düz bir çizgi üzerinde iki rastgele M 1 (x 1, y 1, z 1) ve M 2 (x 2, y 2, z 2) noktasını işaretlersek, bu noktaların koordinatları düz çizgi denklemini karşılamalıdır. yukarıda elde edilen:

.

Ayrıca M 1 noktası için şunu yazabiliriz:

.

Bu denklemleri birlikte çözersek şunu elde ederiz:

.

Bu, uzaydaki iki noktadan geçen bir çizginin denklemidir.

Uzayda düz bir çizginin genel denklemleri.

Düz bir çizginin denklemi, iki düzlemin kesişim çizgisinin denklemi olarak düşünülebilir.

Yukarıda tartışıldığı gibi, vektör biçimindeki bir düzlem aşağıdaki denklemle belirtilebilir:

+ D = 0, burada

- normal düzlem; - yarıçap, düzlemdeki rastgele bir noktanın vektörüdür.