Fonksiyonların tablo değerleri. Ayrık bir rastgele değişkenin olasılık dağılımı kanunu

2.1. Laplace fonksiyonu (olasılık integrali)şu forma sahiptir:

Laplace fonksiyonunun grafiği Şekil 5'te gösterilmektedir.

İşlev F(X) tablolaştırılmıştır (eklerdeki Tablo 1'e bakınız). Bu tabloyu kullanmak için bilmeniz gerekenler Laplace fonksiyonunun özellikleri:

1) Fonksiyon Ф( X) garip: F(-X)= -F(X).

2) İşlev F(X) monoton olarak artıyor.

3) F(0)=0.

4) F(+¥ )=0,5; F(-¥ )=-0,5. Uygulamada, x³5 için fonksiyonun olduğunu varsayabiliriz. F(X)=0,5; x £ -5 fonksiyonu için F(X)=-0,5.

2.2. Laplace fonksiyonunun başka biçimleri de vardır:

Ve

Bu formların aksine, işlev F(X) standart veya normalleştirilmiş Laplace işlevi olarak adlandırılır. Diğer ilişki biçimleriyle bağlantılıdır:

ÖRNEK 2. Sürekli rastgele değişken X parametrelerle normal bir dağılım yasası vardır: M=3, S=4. Test sonucunda rastgele değişkenin olma olasılığını bulun X: a) (2; 6) aralığında yer alan değeri alacaktır; b) 2'den küçük bir değer alacaktır; c) 10'dan büyük bir değer alacaktır; d) Matematiksel beklentiden 2'yi geçmeyecek kadar sapma. Sorunun çözümünü grafiksel olarak gösterin.

Çözüm. a) Normal bir rastgele değişkenin olma olasılığı X belirtilen aralığa giriyor ( a,b), Nerede A=2 ve B=6, eşittir:

Laplace işlevi değerleri F(x) dikkate alınarak ekte verilen tabloya göre belirlenir. F(–X)= –F(X).

b) Normal bir rastgele değişkenin olma olasılığı X 2'den küçük bir değer alır ve şuna eşit olur:

c) Normal bir rastgele değişkenin olma olasılığı X 10'dan büyük bir değer alır ve şuna eşit olur:

d) Normal bir rastgele değişkenin olma olasılığı X D=2, eşittir:

Geometrik açıdan bakıldığında, hesaplanan olasılıklar sayısal olarak normal eğrinin altındaki gölgeli alanlara eşittir (bkz. Şekil 6).

Pirinç. 6. Rastgele bir değişken için normal eğri X~N(3;4)
ÖRNEK 3.Şaft çapı sistematik (aynı işaretli) hatalar olmadan ölçülür. Rastgele ölçüm hataları, 10 mm'lik standart sapma ile normal dağılıma tabidir. Ölçümün mutlak değerde 15 mm'yi geçmeyecek bir hatayla yapılma olasılığını bulun.

Çözüm. Rastgele hataların matematiksel beklentisi sıfırdır M X matematiksel beklentiden daha az bir miktarda sapacaktır D=15, eşittir:

ÖRNEK 4. Makine toplar üretiyor. Sapma durumunda top geçerli kabul edilir X Tasarım boyutundan top çapı mutlak değer olarak 0,7 mm'den küçüktür. Rastgele değişkenin olduğunu varsayarsak X 0,4 mm'lik standart sapmayla normal olarak dağıtıldığında, üretilen 100 bilye arasından uygun olanların ortalama sayısını bulun.

Çözüm. Rastgele değer X- bilya çapının tasarım boyutundan sapması. Sapmanın matematiksel beklentisi sıfırdır, yani. M(X)=M=0. O halde normal bir rastgele değişkenin olasılığı X matematiksel beklentiden daha az bir miktarda sapacaktır D=0,7, eşittir:

Buradan 100 toptan yaklaşık 92'sinin uygun olacağı anlaşılmaktadır.

ÖRNEK 5. Kural "3"ü kanıtlayın S».

Çözüm. Normal bir rastgele değişkenin olasılığı X matematiksel beklentiden daha az bir miktarda sapacaktır d= 3S, eşittir:

ÖRNEK 6. Rastgele değer X matematiksel beklentiyle normal olarak dağıtılır M=10. İsabet Olasılığı X(10, 20) aralığında 0,3'e eşittir. Vurma olasılığı nedir X(0, 10) aralığında mı?

Çözüm. Normal bir eğri düz bir çizgiye göre simetriktir X=M=10 olduğundan, yukarıdan normal eğriyle ve aşağıdan (0, 10) ve (10, 20) aralıklarıyla sınırlanan alanlar birbirine eşittir. Alanlar sayısal olarak çarpma olasılıklarına eşit olduğundan X o zaman uygun aralıklarla.

Laplace'ın yerel ve integral teoremleri

Bu makale şu dersin doğal bir devamıdır: bağımsız testler, nerede tanıştık Bernoulli'nin formülü ve konuyla ilgili tipik örnekler üzerinde çalıştım. Laplace'ın (Moivre-Laplace) yerel ve integral teoremleri, yeterince fazla sayıda bağımsız teste uygulanabilme farkıyla benzer bir sorunu çözer. "Yerel", "integral", "teoremler" sözcüklerini geçiştirmeye gerek yok - malzeme, Laplace'ın Napolyon'un kıvırcık kafasını okşadığı kadar kolaylıkla öğreniliyor. Bu nedenle, herhangi bir kompleks ve ön yorum olmadan, hemen bir gösteri örneğini ele alalım:

Para 400 kez atılıyor. 200 kez tura gelme olasılığını bulun.

Karakteristik özelliklere göre buraya başvurulmalıdır. Bernoulli'nin formülü . Bu harflerin anlamlarını hatırlayalım:

– bağımsız denemelerde rastgele bir olayın tam olarak bir kez meydana gelme olasılığı;
– binom katsayısı;
– her denemede bir olayın meydana gelme olasılığı;

Görevimizle ilgili olarak:
– toplam test sayısı;
- turaların düşmesi gereken atış sayısı;

Yani 400 yazı tura atılması sonucunda tam 200 kez tura gelme olasılığı: ...Dur, bundan sonra ne yapmalı? Mikro hesap makinesi (en azından benimki) 400. dereceyle baş edemedi ve teslim oldu faktöriyeller. Ama ürün üzerinden bir şey hesaplamak istemedim =) Hadi kullanalım standart Excel işlevi canavarı işlemeyi başaran: .

Alınanlara dikkatinizi çekmek isterim. bire bir aynı anlam ve böyle bir çözüm ideal gibi görünüyor. İlk görüşte. İşte bazı ikna edici karşı argümanlar:

– öncelikle yazılım elinizin altında olmayabilir;
– ve ikincisi, çözüm standart dışı görünecek (büyük olasılıkla fikrinizi değiştirmeniz gerekecek);

Bu nedenle sevgili okuyucular, yakın gelecekte şunları bekliyoruz:

Yerel Laplace teoremi

Her denemede rastgele bir olayın meydana gelme olasılığı sabitse, o olayın her denemede tam olarak bir kez meydana gelme olasılığı yaklaşık olarak şuna eşittir:
, Nerede .

Ayrıca, ne kadar büyük olursa, hesaplanan olasılık, elde edilen kesin değere o kadar iyi yaklaşacaktır. (en azından varsayımsal olarak) Bernoulli'nin formülüne göre. Önerilen minimum test sayısı yaklaşık 50-100'dür, aksi takdirde sonuç gerçeklerden uzak olabilir. Ek olarak, yerel Laplace teoremi, olasılık 0,5'e yaklaştıkça daha iyi çalışır ve bunun tersi de geçerlidir - sıfıra veya bire yakın değerler için önemli bir hata verir. Bu nedenle formülün etkili kullanımı için bir diğer kriter eşitsizlik () .

Yani örneğin eğer , Laplace teoreminin 50 test için uygulanması haklıdır. Ama eğer ve ise, o zaman aynı zamanda bir yaklaşım (kesin değere) kötü olacak.

Nedeni ve özel bir işlev hakkında sınıfta bunun hakkında konuşacağız normal olasılık dağılımı, ancak şimdilik konunun resmi hesaplama yönüne ihtiyacımız var. Özellikle önemli bir gerçek şu ki parite bu işlev: .

Örneğimizle ilişkiyi resmileştirelim:

Sorun 1

Para 400 kez atılıyor. Turaların tam olarak yere düşme olasılığını bulun:

a) 200 kez;
b) 225 kez.

Nereden başlamalı çözüm? Öncelikle bilinen büyüklükleri gözümüzün önünde olacak şekilde yazalım:

– toplam bağımsız test sayısı;
– her atışta tura gelme olasılığı;
– kafaların iniş olasılığı.

a) 400 atışlık bir seride turaların tam olarak bir kez gelme olasılığını bulalım. Test sayısının çokluğu nedeniyle Laplace'ın yerel teoremini kullanıyoruz: , Nerede .

İlk adımda argümanın gerekli değerini hesaplıyoruz:

Daha sonra karşılık gelen fonksiyon değerini buluyoruz: . Bu birkaç yolla yapılabilir. Her şeyden önce, elbette doğrudan hesaplamalar kendilerini gösteriyor:

Yuvarlama genellikle 4 ondalık basamağa yapılır.

Doğrudan hesaplamanın dezavantajı, her mikro hesap makinesinin üssü sindirememesi, ayrıca hesaplamaların pek hoş olmaması ve zaman almasıdır. Neden bu kadar acı çekiyorsun? Kullanmak Terver hesaplayıcısı (nokta 4) ve değerleri anında alın!

Ayrıca, fonksiyon değeri tablosu Olasılık teorisi üzerine hemen hemen her kitapta, özellikle de ders kitabında V.E. Gmurman. Henüz indirmediyseniz indirin - orada pek çok yararlı şey var ;-) Ve tabloyu nasıl kullanacağınızı mutlaka öğrenin (hemen şimdi!)– uygun bilgi işlem ekipmanı her zaman elinizin altında olmayabilir!

Son aşamada formülü uyguluyoruz :
- 400 yazı tura atıldığında tam olarak 200 kez tura gelme olasılığı.

Gördüğünüz gibi elde edilen sonuç, hesaplanan kesin değere çok yakın. Bernoulli'nin formülü.

b) 400 denemeden oluşan bir seride kafaların tam olarak bir kez ortaya çıkma olasılığını bulun. Laplace'ın yerel teoremini kullanıyoruz. Bir, iki, üç - ve bitirdiniz:

– İstenilen olasılık.

Cevap:

Bir sonraki örnek, çoğu kişinin tahmin ettiği gibi, doğuma adanmıştır - ve buna kendiniz karar vereceksiniz :)

Sorun 2

Erkek çocuk sahibi olma olasılığı 0,52'dir. 100 yeni doğan bebek arasında tam olarak aşağıdakilerin olma olasılığını bulun: a) 40 erkek, b) 50 erkek, c) 30 kız.

Sonuçları 4 ondalık basamağa yuvarlayın.

...Burada "bağımsız testler" ifadesi ilginç geliyor =) Bu arada, gerçek istatistiksel olasılık Dünyanın birçok bölgesinde erkek çocuk doğum oranı 0,51 ile 0,52 arasında değişmektedir.

Dersin sonundaki görevin yaklaşık bir örneği.

Herkes sayıların oldukça küçük olduğunu fark etti ve bu yanıltıcı olmamalı - sonuçta bireysel olasılıklardan bahsediyoruz, yerel değerler (dolayısıyla teoremin adı). Ve bu tür pek çok değer var ve mecazi anlamda konuşursak, olasılık "herkes için yeterli olmalı". Doğru, birçok olay olacak neredeyse imkansız.

Yukarıdakileri madeni para örneğini kullanarak açıklayayım: Dört yüz denemeden oluşan bir seride, turalar teorik olarak 0'dan 400 katına kadar düşebilir ve bu olaylar oluşur. tam grup:

Ancak bu değerlerin çoğu çok küçüktür, örneğin 250 kez tura gelme olasılığı zaten on milyonda birdir: . Gibi değerler hakkında Nazikçe susalım =)

Öte yandan, mütevazı sonuçlar da hafife alınmamalıdır: eğer sadece ile ilgiliyse, o zaman tura gelme olasılığı, diyelim ki, 220 ila 250 kezçok dikkat çekici olacaktır.

Şimdi düşünelim: Bu olasılık nasıl hesaplanır? Şuna göre sayma uyumsuz olayların olasılıklarının eklenmesi teoremi miktar:

Bu değerler çok daha basit birleştirmek. Ve bildiğiniz gibi bir şeyi birleştirmeye denir entegrasyon:

Laplace'ın integral teoremi

Her denemede rastgele bir olayın meydana gelme olasılığı sabitse, o zaman olasılık olayın denemelerde gerçekleşeceğini ne daha az ne daha fazla (zaman zaman dahil), yaklaşık olarak şuna eşittir:

Bu durumda elbette test sayısı da yeterince büyük olmalı ve olasılık çok küçük/yüksek olmamalıdır. (yaklaşık olarak) aksi takdirde yaklaşım önemsiz veya kötü olacaktır.

Fonksiyon çağrılır Laplace işlevi ve değerleri yine standart bir tabloda özetlenmiştir ( Bul ve onunla çalışmayı öğren!). İntegral birleştirilemez olduğundan mikro hesap makinesinin burada faydası olmayacaktır. Ancak Excel'in karşılık gelen işlevi vardır - kullanın 5. nokta dizayn görünümü.

Uygulamada en yaygın değerler şunlardır:
- Not defterinize kopyalayın.
'dan başlayarak, şunu varsayabiliriz, veya daha kesin olarak yazmak gerekirse:

Ayrıca Laplace fonksiyonu garip: ve bu özellik, zaten yorulduğumuz görevlerde aktif olarak kullanılıyor:

Sorun 3

Atıcının hedefi vurma olasılığı 0,7'dir. 100 atışla hedefin 65'ten 80'e kadar vurulma olasılığını bulun.

En gerçekçi örneği seçtim, aksi halde burada atıcının binlerce atış yaptığı birkaç görev buldum =)

Çözüm: bahsettiğimiz bu problemde tekrarlanan bağımsız testler ve sayıları oldukça fazladır. Koşula göre, hedefin en az 65, en fazla 80 kez vurulma olasılığını bulmanız gerekir, bu da Laplace'ın integral teoremini kullanmanız gerektiği anlamına gelir: , burada

Kolaylık sağlamak için orijinal verileri bir sütuna yeniden yazalım:
- toplam vuruşlar;
– minimum isabet sayısı;
– maksimum isabet sayısı;
- her atışta hedefi vurma olasılığı;
- her atışta ıskalama olasılığı.

Bu nedenle Laplace teoremi iyi bir yaklaşım verecektir.

Argümanların değerlerini hesaplayalım:

İşin tamamen kökünden çıkarılması gerekmediğine dikkatinizi çekmek isterim. (sorunlu yazarların sayıları “ayarlamayı” sevmeleri nedeniyle)– hiçbir şüpheye yer bırakmadan kökü çıkarın ve sonucu yuvarlayın; Ben virgülden sonra 4 basamak bırakmaya alışkınım. Ancak ortaya çıkan değerler genellikle 2 ondalık basamağa yuvarlanır - bu gelenek fonksiyon değeri tabloları argümanların tam olarak bu biçimde sunulduğu yer.

Yukarıdaki tabloyu kullanıyoruz veya terver için tasarım düzeni (nokta 5).
Yazılı bir yorum olarak aşağıdaki ifadeyi koymanızı tavsiye ederim: ilgili tabloyu kullanarak fonksiyon değerlerini bulacağız:

– 100 atışla hedefin 65 ila 80 kez vurulma olasılığı.

Fonksiyonun tek sayı avantajından mutlaka yararlanın! Her ihtimale karşı, ayrıntılı olarak yazacağım:

Gerçek şu ki fonksiyon değeri tablosu yalnızca pozitif “X”ler içeriyor ve çalışıyoruz (en azından “efsaneye” göre) bir masa ile!

Cevap:

Sonuç çoğunlukla 4 ondalık basamağa yuvarlanır (yine tablo formatına göre).

Kendiniz çözmek için:

Sorun 4

Binada 2500 lamba var, her birinin akşam yanma ihtimali 0,5. Akşam en az 1250, en fazla 1275 lambanın yanma olasılığını bulun.

Dersin sonunda nihai tasarımın yaklaşık bir örneği.

Göz önünde bulundurulan görevlerin çoğunlukla "kişisel olmayan" bir biçimde gerçekleştiğine dikkat edilmelidir, örneğin:

Rastgele bir olayın 0,5 olasılıkla meydana gelebileceği bazı deneyler yapılır. Deney değişmeyen koşullar altında 2500 kez tekrarlanır. 2500 deneyde olayın 1250 ila 1275 kez meydana gelme olasılığını belirleyin

Ve benzer formülasyonlar tavan yapıyor. Görevlerin klişe doğasından dolayı, genellikle durumu gizlemeye çalışırlar - bu, çözümü bir şekilde çeşitlendirmek ve karmaşıklaştırmak için "tek şanstır":

Sorun 5

Enstitüde 1000 öğrenci eğitim görmektedir. Yemek odasında 105 koltuk bulunmaktadır. Büyük teneffüs sırasında her öğrenci 0,1 olasılıkla kafeteryaya gider. Tipik bir okul gününde aşağıdakilerin olasılığı nedir:

a) Yemek odasının üçte ikisinden fazla dolu olmayacaktır;
b) herkese yetecek kadar koltuk yok.

Dikkatinizi "DÜZENLİ bir okul gününde" önemli maddesine çekmek istiyorum - bu, durumun nispeten değişmeden kalmasını sağlar. Tatilden sonra enstitüye çok daha az öğrenci gelebilir ve “Açık Kapılar Günü”nde aç bir heyet inebilir =) Yani “olağandışı” bir günde olasılıklar gözle görülür şekilde farklı olacaktır.

Çözüm: Laplace'ın integral teoremini kullanıyoruz, burada

Bu görevde:
– enstitüdeki toplam öğrenci sayısı;
– öğrencinin uzun bir tatil sırasında kafeteryaya gitme olasılığı;
– Ters olayın olasılığı.

a) Toplam sayının üçte ikisini kaç sandalyenin oluşturduğunu hesaplayalım: Koltuklar

Normal bir okul gününde kafeteryanın üçte ikiden fazla dolu olmaması olasılığını bulalım. Bu ne anlama geliyor? Bu da büyük mola sırasında 0'dan 70'e kadar kişinin geleceği anlamına geliyor. Kimsenin gelmemesi ya da sadece birkaç öğrencinin gelmesi - olaylar yaşanıyor neredeyse imkansız ancak Laplace integral teoremini uygulamak amacıyla bu olasılıkların yine de hesaba katılması gerekir. Böylece:

İlgili argümanları hesaplayalım:

Sonuç olarak:

– normal bir okul gününde kafeteryanın üçte ikiden fazla dolu olmaması olasılığı.

Hatırlatma : Laplace fonksiyonu eşit kabul edildiğinde.

Yine de kalabalığı memnun ediyor =)

b) Etkinlik “Herkese yetecek kadar koltuk yok” büyük mola sırasında yemek odasına 106 ila 1000 kişinin öğle yemeği için geleceği anlamına geliyor (asıl mesele onu iyi sıkıştırmaktır =)). Yüksek katılımın inanılmaz olduğu açık, ancak yine de: .

Argümanları hesaplıyoruz:

Dolayısıyla herkese yetecek kadar koltuk bulunmaması olasılığı:

Cevap:

Şimdi bir tanesine odaklanalım önemli nüans yöntem: üzerinde hesaplamalar yaptığımızda tek bir bölüm, o zaman her şey "bulutsuzdur" - dikkate alınan şablona göre karar verin. Ancak şöyle düşünürsek tam bir etkinlik grubu gösterilmeli belli bir doğruluk. Az önce tartışılan problemin örneğini kullanarak bu noktayı açıklayayım. “Ol” noktasında herkese yetecek kadar koltuk bulunmaması olasılığını bulduk. Daha sonra aynı şemayı kullanarak şunları hesaplıyoruz:
– yeterli yer olma olasılığı.

Bu olaylardan beri zıt ise olasılıkların toplamı bire eşit olmalıdır:

Sorun ne? – burada her şey mantıklı görünüyor. Önemli olan Laplace fonksiyonunun sürekli ama hesaba katmadık aralık 105'ten 106'ya. 0,0338'lik parçanın kaybolduğu yer burası. Bu yüzden aynı standart formülü kullanarak hesaplanmalıdır:

Peki, ya da daha da basit:

Bir soru ortaya çıktı: Ya İLK bulsaydık? O zaman çözümün başka bir versiyonu olacak:

Ama bu nasıl olabilir?! – iki yöntem farklı cevaplar veriyor! Çok basit: Laplace'ın integral teoremi bir yöntemdir kapalı hesaplamalar vardır ve bu nedenle her iki yol da kabul edilebilir.

Daha doğru hesaplamalar için kullanmalısınız Bernoulli'nin formülü ve örneğin Excel işlevi BİNOMIDST. Sonuç olarak uygulamasışunu elde ederiz:

Ve bu inceliğe dikkat çeken site ziyaretçilerinden birine şükranlarımı sunuyorum - tam bir olay grubunun incelenmesi pratikte nadiren bulunduğundan, bu benim görüş alanımdan çıktı. İlgilenenler yakından tanıyabilir

Matematikte, diferansiyel denklemler teorisinde, istatistikte ve olasılık teorisinde kullanılan en ünlü temel olmayan fonksiyonlardan biri Laplace fonksiyonudur. Onunla sorunları çözmek önemli bir hazırlık gerektirir. Bu göstergeyi Excel araçlarını kullanarak nasıl hesaplayabileceğinizi öğrenelim.

Laplace fonksiyonunun geniş uygulamalı ve teorik uygulamaları vardır. Örneğin diferansiyel denklemleri çözmek için sıklıkla kullanılır. Bu terimin başka bir eşdeğer adı daha vardır - olasılık integrali. Bazı durumlarda çözümün temeli bir değerler tablosunun oluşturulmasıdır.

NORM.ST.DAĞ operatörü

Excel'de bu sorun operatör kullanılarak çözülür NORM.ST.DAĞ.. Adı "normal standart dağılım" teriminin kısaltmasıdır. Ana görevi standart normal kümülatif dağılımı seçilen hücreye döndürmek olduğundan. Bu operatör, standart Excel işlevlerinin istatistiksel kategorisine aittir.

Excel 2007'de ve programın önceki sürümlerinde bu operatör çağrıldı NORMDAĞ. Uyumluluk nedeniyle uygulamaların modern sürümlerinde korunur. Ancak yine de daha gelişmiş bir analogun kullanılmasını tavsiye ediyorlar - NORM.ST.DAĞ..

Operatör sözdizimi NORM.ST.DAĞ. aşağıdaki gibi:

NORM.ST.DAĞ(z;integral)

Eski operatör NORMDAĞşu şekilde yazılmıştır:

NORMDAĞ(z)

Gördüğünüz gibi mevcut argümanın yeni versiyonunda "Z" argüman eklendi "İntegral". Her argümanın gerekli olduğu unutulmamalıdır.

Argüman "Z" dağılımın oluşturulduğu sayısal değeri gösterir.

Argüman "İntegral" bir temsile sahip olabilecek bir Boolean değerini temsil eder "DOĞRU" ("1") veya "YALAN" («0») . İlk durumda, kümülatif dağılım işlevi belirtilen hücreye döndürülür, ikinci durumda ise ağırlık dağılım işlevi döndürülür.

Sorunun çözümü

Bir değişken için gerekli hesaplamayı gerçekleştirmek için aşağıdaki formülü kullanın:

NORM.ST.DAĞ(z;integral(1))-0,5

Şimdi belirli bir örnek kullanarak operatörün kullanımına bakalım NORM.ST.DAĞ. Belirli bir sorunu çözmek için.

Laplace fonksiyonu temel olmayan bir fonksiyondur ve hem diferansiyel denklemler teorisinde hem de olasılık teorisinde ve istatistikte sıklıkla kullanılır. Laplace işlevi belirli bir bilgi birikimi ve eğitim gerektirir çünkü uygulamalı ve teorik uygulamalar alanındaki çeşitli problemleri çözmenize olanak tanır.

Laplace fonksiyonu sıklıkla diferansiyel denklemleri çözmek için kullanılır ve sıklıkla olasılık integrali olarak adlandırılır. Bu fonksiyonun Excel'de nasıl kullanılabileceğini ve nasıl çalıştığını görelim.

Excel'deki olasılık integrali veya Laplace işlevi, şu sözdizimine sahip olan "NORMSDIST" operatörüne karşılık gelir: "=NORMSDIST(z). Programın daha yeni versiyonlarında operatörün adı da “NORM.ST.DAĞ.” ve biraz değiştirilmiş bir sözdizimi “=NORM.ST.DAĞ(z; integral).

"Z" argümanı dağılımın sayısal değerinden sorumludur. "İntegral" argümanı iki değer döndürür - "1" - integral dağılım fonksiyonu, "0" - ağırlık dağılım fonksiyonu.

Teoriyi çözdük. Hadi uygulamaya geçelim. Excel'de Laplace işlevinin kullanımına bakalım.

1. Bir hücreye bir değer yazın ve bir sonraki hücreye bir işlev ekleyin.

2. Fonksiyonu manuel olarak yazalım “=NORM.ST.DAĞ(B4;1).

3. Veya işlev ekleme sihirbazını kullanırız - “Statik” kategorisine gidin ve “Tam alfabetik listeyi” belirtin.

4. Açılan fonksiyon argümanları penceresinde başlangıç ​​değerlerini belirtin. Orijinal hücremiz “Z” değişkeninden sorumlu olacak ve “İntegral”e “1” ekleyecektir. Fonksiyonumuz kümülatif dağılım fonksiyonunu döndürecektir.

5. Bu “NORM.ST.DAĞ” fonksiyonu için standart normal integral dağılımının hazır bir çözümünü elde ederiz. Ama hepsi bu kadar değil, amacımız Laplace fonksiyonunu veya olasılık integralini bulmaktı, o yüzden birkaç adım daha uygulayalım.

6. Laplace fonksiyonu, ortaya çıkan fonksiyonun değerinden “0,5”in çıkarılması gerektiğini ifade eder. Gerekli işlemi fonksiyona ekliyoruz. “Enter” tuşuna basıyoruz ve nihai çözümü elde ediyoruz. İstenilen değer doğrudur ve hızlı bir şekilde bulunur.

Excel bu işlevi herhangi bir hücre değeri, hücre aralığı veya hücre referansı için kolayca hesaplar. “NORM.ST.DAĞ” fonksiyonu olasılık integralini veya diğer adıyla Laplace fonksiyonunu aramaya yönelik standart bir operatördür.

Bayes formülü

B 1, B 2,…, B n olayları uyumsuzdur ve tam bir grup oluşturur; P(B 1)+ P(B 2)+…+ P(B n)=1. Ve A olayının yalnızca B 1,B 2,…,B n olaylarından biri ortaya çıktığında gerçekleşmesine izin verin. Daha sonra A olayının olasılığı toplam olasılık formülü kullanılarak bulunur.

A olayı zaten gerçekleşmiş olsun. O halde B 1, B 2,…, B n hipotezlerinin olasılıkları Bayes formülü kullanılarak fazla tahmin edilebilir:

Bernoulli'nin formülü

Her birinde A olayının meydana gelebileceği veya gelmeyebileceği n adet bağımsız deneme yapılsın. A olayının olma (olmama) olasılığı p (q=1-p) ile aynı ve eşittir.

N sayıda bağımsız denemede A olayının tam olarak bir kez meydana gelme olasılığı (hangi sıraya bağlı olarak) Bernoulli formülü kullanılarak bulunur:

Bir olayın n bağımsız denemede meydana gelme olasılığı:

A). P n (0)+P n (1)+…+P n (k-1) katından daha az.

B). Birden fazla P n (k+1)+P n (k+2)+…+P n (n).

V). en azından P n (k)+P n (k+1)+…+P n (n) ile çarpılır.

G). en fazla k çarpı P n (0)+P n (1)+…+P n (k).

Laplace'ın yerel ve integral teoremleri.

Bu teoremleri n yeterince büyük olduğunda kullanırız.

Yerel Laplace teoremi

Bir olayın n bağımsız denemede tam olarak k kez meydana gelme olasılığı yaklaşık olarak şuna eşittir:

Pozitif değerler (x) için fonksiyon tablosu Ek 1, s. 324-325'teki Gmurman problem kitabında verilmiştir.

() çift olduğu için negatif değerler (x) için aynı tabloyu kullanırız.

Laplace'ın integral teoremi.

Bir olayın n bağımsız denemede en az k kez meydana gelme olasılığı yaklaşık olarak şuna eşittir:

Laplace işlevi

Pozitif değerler için fonksiyon tablosu Ek 2, s. 326-327'deki Gmurman problem kitabında verilmiştir. 5'ten büyük değerler için Ф(х)=0,5 ayarladık.

Laplace fonksiyonu tek olduğundan Ф(-х)=-Ф(х), o zaman negatif değerler (x) için aynı tabloyu kullanırız, sadece fonksiyon değerlerini eksi işaretiyle alırız.

Ayrık bir rastgele değişkenin olasılık dağılımı kanunu

Binom dağılım kanunu.

ayrık- Olası değerleri, bu değişkenin belirli olasılıklarla aldığı bireysel izole sayılar olan rastgele bir değişken. Başka bir deyişle, ayrık bir rastgele değişkenin olası değerleri numaralandırılabilir.

Ayrık bir rastgele değişkenin olası değerlerinin sayısı sonlu veya sonsuz olabilir.

Ayrık rastgele değişkenler büyük X harfleriyle ve olası değerleri küçük harflerle x1, x2, x3... ile gösterilir.

Örneğin.

X, zarda atılan puanların sayısıdır; X altı olası değer alır: x1=1, x2=1, x3=3, x4=4, x5=5, x6=6 olasılıklarla p1=1/6, p2=1/6, p3=1/6 .. .p6 =1/6.

Ayrık bir rastgele değişkenin dağılım yasası olası değerlerinin ve bunlara karşılık gelen olasılıkların bir listesini adlandırın.

Dağıtım kanunu verilebilir:

1. tablo şeklinde.

2. Analitik olarak - formül biçiminde.

3. grafiksel olarak. Bu durumda dikdörtgen XOP koordinat sisteminde M1(x1,р1), М2(x2,р2), ... Мn(хn,рn) noktaları oluşturulur. Bu noktalar düz parçalarla birbirine bağlanır. Ortaya çıkan rakama denir dağıtım poligonu.

Ayrık bir rastgele değişkenin (x) dağılım yasasını yazmak için, tüm olası değerlerini listelemek ve karşılık gelen olasılıkları bulmak gerekir.

Karşılık gelen olasılıklar Bernoulli formülü kullanılarak bulunursa, böyle bir dağılım yasasına binom adı verilir.

Örnek No. 168, 167, 171, 123, 173, 174, 175.

Ayrık rastgele değişkenlerin sayısal değerleri.

Beklenti, varyans ve standart sapma.

Ayrık bir rastgele değişkenin ortalama değerinin özelliği matematiksel beklentidir.

Matematiksel beklenti Ayrık bir rastgele değişken, tüm olası değerlerinin ve olasılıklarının çarpımlarının toplamıdır. Onlar. dağıtım yasası verilirse, matematiksel beklenti

Ayrık bir rastgele değişkenin olası değerlerinin sayısı sonsuzsa, o zaman

Üstelik eşitliğin sağ tarafındaki seri mutlak yakınsaktır ve pi olasılıklarının toplamı bire eşittir.

Matematiksel beklentinin özellikleri.

1. M(C)=C, C=sabit.

2. M(Cx)=CM(x)

3. M(x1+x2+…+xn)=M(x1)+M(x2)+…+M(xn)

4. M(x1*x2*…*xn)=M(x1)*M(x2)*…*M(xn).

5. Binom dağılım yasası için matematiksel beklenti şu formülle bulunur:

Rastgele bir değişkenin olası değerlerinin matematiksel beklenti etrafındaki dağılımının özellikleri dağılım ve standart sapmadır.

Varyans ayrık rastgele değişkene (x), sapmanın karesinin matematiksel beklentisi denir. D(x)=M(x-M(x)) 2.

Dağılımın aşağıdaki formülü kullanarak hesaplanması uygundur: D(x) = M(x 2) - (M(x)) 2.

Dispersiyonun özellikleri.

1. D(S)=0, C=sabit.

2. D(Cx)=C 2 D(x)

3. D(x1+x2+…+xn)=D(x1)+D(x2)+…+D(xn)

4. Binom dağılım yasasının dağılımı

Standart sapma rastgele bir değişkene varyansın karekökü denir.

örnekler. 191, 193, 194, 209, d/z.

Sürekli rastgele değişkenin (RCV) olasılıklarının kümülatif dağılım fonksiyonu (CDF). Sürekli- tüm değerleri sonlu veya sonsuz bir aralıktan alabilen bir miktar. NSV için bir dizi olası değer vardır ve yeniden numaralandırılamaz.

Örneğin.

Bir merminin ateşlendiğinde kat ettiği mesafe NSV'dir.

IFR, her bir x değeri için NSV X'in X değerini alma olasılığını belirleyen bir F(x) fonksiyonu olarak adlandırılır.<х, т.е. F(x)=Р(X

Çoğu zaman IFR yerine FR diyorlar.

Geometrik olarak F(x)=P(X eşitliği

IF'nin özellikleri.

1. IF değeri aralığa aittir, yani. F(x).

2. IF azalmayan bir fonksiyondur, yani. x2>x1.

Sonuç 1. NSV X'in (a; b) aralığında yer alan bir değeri alma olasılığı, integral fonksiyonunun bu aralıktaki artışına eşittir;

P(bir

Sonuç 2. NSV X'in belirli bir değeri (örneğin, x1=0) alma olasılığı 0'a eşittir; P(x=x1)=0.

3. NSV X'in tüm olası değerleri (a;c)'ye aitse, x'te F(x)=0<а, и F(x)=1 при х>V.

Sonuç 3. Aşağıdaki limit ilişkileri geçerlidir.

Sürekli bir rastgele değişkenin (RNV) (olasılık yoğunluğu) olasılıklarının diferansiyel dağılım fonksiyonu (DDF).

DF f(x) NSV'nin olasılık dağılımları IFR'nin birinci türevi denir:

Genellikle PDR yerine olasılık yoğunluğu (PD) derler.

Tanımdan, DF F(x)'i bilerek DF f(x)'i bulabileceğimiz sonucu çıkar. Ancak ters dönüşüm de gerçekleştirilir: DF f(x)'i bilerek DF F(x)'i bulabilirsiniz.

NSV X'in (a;b)'ye ait bir değer alma olasılığı bulunur:

A). IF verilirse, Sonuç 1.

B). DF belirtilirse

DF'nin özellikleri.

1. DF - negatif değil, yani. .

2. () içindeki DF'nin uygunsuz integrali 1'e eşittir, yani. .

Sonuç 1. NSV X'in tüm olası değerleri (a;c)'ye aitse, o zaman.

Örnekler. 263, 265, 266, 268, 1111, 272, d/z.

NSV'nin sayısal özellikleri.

1. Olası değerleri tüm OX eksenine ait olan NSV X'in matematiksel beklentisi (ME), aşağıdaki formülle belirlenir:

NSV X'in tüm olası değerleri (a;c)'ye aitse, MO aşağıdaki formülle belirlenir:

Ayrık miktarlar için belirtilen tüm MO özellikleri, sürekli miktarlar için de korunur.

2. Olası değerleri tüm OX eksenine ait olan NSV X'in dağılımı aşağıdaki formülle belirlenir:

NSV X'in tüm olası değerleri (a;c)'ye aitse, dağılım aşağıdaki formülle belirlenir:

Ayrık miktarlar için belirtilen tüm dağılım özellikleri, sürekli miktarlar için de korunur.

3. NSV X'in standart sapması, ayrık miktarlarla aynı şekilde belirlenir:

Örnekler. 276, 279, X, d/z.

Operasyonel hesap (OC).

VEYA, fonksiyonların farklılaşması ve entegrasyonu işlemlerini daha basit eylemlere indirmenize izin veren bir yöntemdir: bu fonksiyonların sözde görüntülerinin argümanıyla çarpma ve bölme.

OI kullanmak birçok sorunun çözülmesini kolaylaştırır. Özellikle, LDE'lerin sabit katsayılar ve bu tür denklem sistemleriyle entegrasyon sorunları, bunları doğrusal cebirsel olanlara indirgemektedir.

Orijinaller ve resimler. Laplace dönüşümleri.

f(t)-orijinal; F(p)-görüntü.

f(t)F(p) geçişine denir Laplace dönüşümü.

Bir f(t) fonksiyonunun Laplace dönüşümü, karmaşık bir değişkene bağlı olarak F(p) olarak adlandırılır ve aşağıdaki formülle tanımlanır:

Bu integrale Laplace integrali denir. Bu uygunsuz integralin yakınsaması için f(t) aralığında parçalı sürekli olduğunu ve bazı sabitler için M>0 olduğunu ve eşitsizliği sağladığını varsaymak yeterlidir.

Bu özelliklere sahip bir f(t) fonksiyonuna denir orijinal ve orijinalden görüntüsüne geçiş denir Laplace dönüşümü.

Laplace dönüşümünün özellikleri.

Formül (2)'yi kullanarak görüntülerin doğrudan belirlenmesi genellikle zordur ve Laplace dönüşümünün özellikleri kullanılarak önemli ölçüde kolaylaştırılabilir.

F(p) ve G(p) sırasıyla f(t) ve g(t) orijinallerinin görüntüleri olsun. O halde aşağıdaki özellikler-ilişkiler geçerlidir:

1. С*f(t)С*F(p), С=const - homojenlik özelliği.

2. f(t)+g(t)F(p)+G(p) - toplanabilirlik özelliği.

3. f(t)F(p-) - yer değiştirme teoremi.

Orijinalin n'inci türevinin bir görüntüye geçişi (orijinalin farklılaşma teoremi).