Katsayı boyunca düz çizgiler arasındaki açı. Kesişen çizgiler arasındaki açı: tanım, bulma örnekleri

Kısa konuşacağım. İki düz çizgi arasındaki açı, yön vektörleri arasındaki açıya eşittir. Böylece, a = (x 1 ; y 1 ; z 1) ve b = (x 2 ; y 2 ​​​​; z 2) yön vektörlerinin koordinatlarını bulmayı başarırsanız, o zaman açıyı bulabilirsiniz. Daha doğrusu, formüle göre açının kosinüsü:

Belirli örnekleri kullanarak bu formülün nasıl çalıştığını görelim:

Görev. ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 küpünde, E ve F noktaları işaretlenmiştir - sırasıyla A 1 B 1 ve B 1 C 1 kenarlarının orta noktaları. AE ve BF çizgileri arasındaki açıyı bulun.

Küpün kenarı belirtilmediği için AB = 1'i ayarlayalım. Standart bir koordinat sistemi sunuyoruz: başlangıç ​​noktası A noktasındadır, x, y, z eksenleri sırasıyla AB, AD ve AA 1 boyunca yönlendirilir. Birim segment AB = 1'e eşittir. Şimdi doğrularımızın yön vektörlerinin koordinatlarını bulalım.

AE vektörünün koordinatlarını bulalım. Bunun için A = (0; 0; 0) ve E = (0.5; 0; 1) noktalarına ihtiyacımız var. E noktası A 1 B 1 segmentinin ortası olduğundan, koordinatları uçların koordinatlarının aritmetik ortalamasına eşittir. AE vektörünün orijininin koordinatların orijini ile çakıştığına dikkat edin, dolayısıyla AE = (0,5; 0; 1).

Şimdi BF vektörüne bakalım. Benzer şekilde B = (1; 0; 0) ve F = (1; 0.5; 1) noktalarını analiz ediyoruz çünkü F, B 1 C 1 segmentinin ortasıdır. Sahibiz:
BF = (1 - 1; 0,5 - 0; 1 - 0) = (0; 0,5; 1).

Yani yön vektörleri hazır. Düz çizgiler arasındaki açının kosinüsü, yön vektörleri arasındaki açının kosinüsüdür, dolayısıyla elimizde:

Görev. Tüm kenarları 1'e eşit olan normal bir üçgen prizma ABCA 1 B 1 C 1'de, D ve E noktaları işaretlenir - sırasıyla A 1 B 1 ve B 1 C 1 kenarlarının orta noktaları. AD ve BE çizgileri arasındaki açıyı bulun.

Standart bir koordinat sistemi sunalım: başlangıç ​​noktası A noktasındadır, x ekseni AB boyunca, z - AA 1 boyunca yönlendirilir. Y eksenini OXY düzlemi ABC düzlemiyle çakışacak şekilde yönlendirelim. Birim segment AB = 1'e eşittir. Gerekli doğruların yön vektörlerinin koordinatlarını bulalım.

Öncelikle AD vektörünün koordinatlarını bulalım. Şu noktaları göz önünde bulundurun: A = (0; 0; 0) ve D = (0,5; 0; 1), çünkü D - A 1 B 1 segmentinin ortası. AD vektörünün başlangıcı koordinatların orijini ile çakıştığı için AD = (0,5; 0; 1) elde ederiz.

Şimdi BE vektörünün koordinatlarını bulalım. B = (1; 0; 0) noktasının hesaplanması kolaydır. E noktası - C 1 B 1 segmentinin ortası - biraz daha karmaşıktır. Sahibiz:

Açının kosinüsünü bulmak için kalır:

Görev. Normal bir altıgen prizmada ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , tüm kenarları 1'e eşit olan K ve L noktaları işaretlenmiştir - sırasıyla A 1 B 1 ve B 1 C 1 kenarlarının orta noktaları . AK ve BL çizgileri arasındaki açıyı bulun.

Bir prizma için standart bir koordinat sistemi tanıtalım: koordinatların kökenini alt tabanın merkezine yerleştiriyoruz, x ekseni FC boyunca yönlendiriliyor, y ekseni AB ve DE parçalarının orta noktalarından geçiyor ve z eksen dikey olarak yukarı doğru yönlendirilir. Birim segmenti yine AB = 1'e eşittir. İlgilendiğimiz noktaların koordinatlarını yazalım:

K ve L noktaları sırasıyla A 1 B 1 ve B 1 C 1 parçalarının orta noktalarıdır, dolayısıyla koordinatları aritmetik ortalama yoluyla bulunur. Noktaları bilerek AK ve BL yön vektörlerinin koordinatlarını buluruz:

Şimdi açının kosinüsünü bulalım:

Görev. Tüm kenarları 1'e eşit olan düzenli bir dörtgen piramit SABCD'de, sırasıyla SB ve SC kenarlarının orta noktaları olan E ve F noktaları işaretlenir. AE ve BF çizgileri arasındaki açıyı bulun.

Standart bir koordinat sistemi tanıtalım: başlangıç ​​noktası A noktasındadır, x ve y eksenleri sırasıyla AB ve AD boyunca yönlendirilir ve z ekseni dikey olarak yukarıya doğru yönlendirilir. Birim segmenti AB = 1'e eşittir.

E ve F noktaları sırasıyla SB ve SC doğru parçalarının orta noktalarıdır, dolayısıyla bunların koordinatları uçların aritmetik ortalaması olarak bulunur. İlgilendiğimiz noktaların koordinatlarını yazalım:
bir = (0; 0; 0); B = (1; 0; 0)

Noktaları bilerek AE ve BF yön vektörlerinin koordinatlarını buluruz:

A noktası orijin olduğundan, AE vektörünün koordinatları E noktasının koordinatlarıyla çakışmaktadır. Açının kosinüsünü bulmak için kalır:

Oh-oh-oh-oh-oh... yani, sanki kendi kendine bir cümle okuyormuş gibi zor =) Ancak rahatlamanın daha sonra faydası olacak, özellikle bugün uygun aksesuarları aldığım için. Bu nedenle ilk bölüme geçelim, umarım yazının sonunda neşeli ruh halimi korurum.

İki çizginin göreceli konumu

Seyircinin koro halinde şarkı söylemesi böyle bir durumdur. İki düz çizgi olabilir:

1) maç;

2) paralel olun: ;

3) veya tek bir noktada kesişir: .

Aptallar için yardım : Lütfen matematiksel kesişim işaretini unutmayın, çok sık görünecektir. Gösterim, çizginin çizgiyle noktasında kesiştiği anlamına gelir.

İki çizginin göreceli konumu nasıl belirlenir?

İlk durumla başlayalım:

İki doğru ancak ve ancak karşılık gelen katsayıları orantılıysa çakışır yani eşitlikleri sağlayan bir “lambda” sayısı vardır

Düz çizgileri ele alalım ve karşılık gelen katsayılardan üç denklem oluşturalım: . Her denklemden bu nedenle bu çizgilerin çakıştığı sonucu çıkar.

Aslında denklemin tüm katsayıları -1 ile çarpın (işaretleri değiştirin) ve denklemin tüm katsayıları 2'ye bölerseniz aynı denklemi elde edersiniz: .

Doğruların paralel olduğu ikinci durum:

İki doğru ancak ve ancak değişkenlerin katsayıları orantılı ise paraleldir: , Ancak.

Örnek olarak iki düz çizgiyi ele alalım. Değişkenler için karşılık gelen katsayıların orantılılığını kontrol ediyoruz:

Ancak şu çok açık ki.

Ve üçüncü durum, çizgiler kesiştiğinde:

İki doğru ancak ve ancak değişkenlerin katsayıları orantılı DEĞİLSE kesişir yani eşitlikleri sağlayacak şekilde bir “lambda” değeri YOKTUR

Yani düz çizgiler için bir sistem oluşturacağız:

İlk denklemden şu çıkar ve ikinci denklemden: , yani sistem tutarsız(çözüm yok). Dolayısıyla değişkenlerin katsayıları orantılı değildir.

Sonuç: çizgiler kesişiyor

Pratik problemlerde az önce tartışılan çözüm şemasını kullanabilirsiniz. Bu arada, sınıfta incelediğimiz vektörlerin eşdoğrusallık açısından kontrol edilmesine yönelik algoritmayı çok anımsatıyor. Vektörlerin doğrusal(bağımsız)bağımlılığı kavramı. Vektörlerin temeli. Ancak daha medeni bir paketleme var:

örnek 1

Çizgilerin göreceli konumunu öğrenin:

Çözüm düz çizgilerin yönlendirme vektörlerinin incelenmesine dayanmaktadır:

a) Denklemlerden doğruların yön vektörlerini buluruz: .

Bu, vektörlerin eşdoğrusal olmadığı ve çizgilerin kesiştiği anlamına gelir.

Her ihtimale karşı, kavşaklara işaretli bir taş koyacağım:

Geri kalanlar taşın üzerinden atlıyor ve doğrudan Ölümsüz Kashchei'ye kadar takip ediyor =)

b) Doğruların yön vektörlerini bulun:

Çizgiler aynı yön vektörüne sahiptir, yani paralel veya çakışıktırlar. Burada belirleyiciyi saymaya gerek yok.

Bilinmeyenlerin katsayılarının orantılı olduğu açıktır.

Eşitliğin doğru olup olmadığını öğrenelim:

Böylece,

c) Doğruların yön vektörlerini bulun:

Bu vektörlerin koordinatlarından oluşan determinantı hesaplayalım:
dolayısıyla yön vektörleri eşdoğrusaldır. Çizgiler ya paraleldir ya da çakışıktır.

Orantılılık katsayısı “lambda”yı doğrudan doğrusal yön vektörlerinin oranından görmek kolaydır. Ancak denklemlerin katsayıları aracılığıyla da bulunabilir: .

Şimdi eşitliğin doğru olup olmadığını öğrenelim. Her iki serbest terim de sıfırdır, dolayısıyla:

Ortaya çıkan değer bu denklemi karşılar (genel olarak herhangi bir sayı bunu karşılar).

Böylece çizgiler çakışıyor.

Cevap:

Çok yakında, sözlü olarak tartışılan sorunu birkaç saniye içinde tam anlamıyla çözmeyi öğreneceksiniz (ya da zaten öğrenmişsinizdir). Bu bakımdan bağımsız bir çözüm önermenin bir manasını görmüyorum; geometrik temele bir başka önemli tuğla daha koymak daha iyidir:

Belirli bir çizgiye paralel bir çizgi nasıl oluşturulur?

Bu en basit görevin cehaleti nedeniyle Soyguncu Bülbül ağır şekilde cezalandırır.

Örnek 2

Düz çizgi denklemle verilir. Bu noktadan geçen paralel doğrunun denklemini yazınız.

Çözüm: Bilinmeyen satırı harfle gösterelim. Durumu onun hakkında ne söylüyor? Düz çizgi noktadan geçer. Ve eğer çizgiler paralelse, o zaman "tse" düz çizgisinin yön vektörünün de "de" düz çizgisini oluşturmak için uygun olduğu açıktır.

Yön vektörünü denklemden çıkarıyoruz:

Cevap:

Örneğin geometrisi basit görünüyor:

Analitik testler aşağıdaki adımlardan oluşur:

1) Çizgilerin aynı yön vektörüne sahip olup olmadığını kontrol ederiz (doğrunun denklemi doğru şekilde basitleştirilmezse vektörler aynı doğrultuda olacaktır).

2) Noktanın sonuç denklemini karşılayıp karşılamadığını kontrol edin.

Çoğu durumda analitik testler kolaylıkla sözlü olarak yapılabilir. İki denkleme bakın; çoğunuz herhangi bir çizim yapmadan çizgilerin paralelliğini hızlı bir şekilde belirleyeceksiniz.

Bugün bağımsız çözüm örnekleri yaratıcı olacaktır. Çünkü yine de Baba Yaga ile rekabet etmek zorunda kalacaksın ve o, biliyorsun, her türlü bilmeceyi seviyor.

Örnek 3

Doğruya paralel bir noktadan geçen doğrunun denklemini yazınız.

Bunu çözmenin hem rasyonel hem de rasyonel olmayan bir yolu var. En kısa yol dersin sonudur.

Paralel çizgilerle biraz çalıştık, onlara daha sonra döneceğiz. Çizgilerin çakışması durumu pek ilgimizi çekmiyor, o yüzden okul müfredatından çok aşina olduğunuz bir problemi ele alalım:

İki doğrunun kesişme noktası nasıl bulunur?

Düz ise noktada kesişiyorsa koordinatları çözümdür doğrusal denklem sistemleri

Çizgilerin kesişme noktası nasıl bulunur? Sistemi çözün.

Hadi bakalım iki bilinmeyenli iki doğrusal denklem sisteminin geometrik anlamı- bunlar bir düzlemde kesişen iki (çoğunlukla) çizgidir.

Örnek 4

Çizgilerin kesişme noktasını bulun

Çözüm: Çözmenin iki yolu vardır - grafiksel ve analitik.

Grafiksel yöntem, verilen çizgileri basitçe çizmek ve kesişim noktasını doğrudan çizimden bulmaktır:

İşte konumuz: . Kontrol etmek için, koordinatlarını çizginin her denklemine koymalısınız, hem oraya hem de oraya sığmalıdırlar. Başka bir deyişle bir noktanın koordinatları sistemin çözümüdür. Temel olarak grafiksel bir çözüme baktık doğrusal denklem sistemleri iki denklem ve iki bilinmeyenle.

Grafiksel yöntem elbette kötü değil, ancak gözle görülür dezavantajlar var. Hayır, mesele yedinci sınıf öğrencilerinin bu şekilde karar vermesi değil, mesele doğru ve DOĞRU bir çizim oluşturmanın zaman alacağıdır. Ek olarak, bazı düz çizgilerin inşa edilmesi o kadar kolay değildir ve kesişme noktasının kendisi not defteri sayfasının dışındaki otuzuncu krallıkta bir yerde bulunabilir.

Bu nedenle kesişme noktasını analitik bir yöntem kullanarak aramak daha uygundur. Sistemi çözelim:

Sistemi çözmek için denklemlerin terim terim eklenmesi yöntemi kullanıldı. İlgili becerileri geliştirmek için ders alın Bir denklem sistemi nasıl çözülür?

Cevap:

Kontrol önemsizdir; kesişme noktasının koordinatları sistemin her denklemini karşılamalıdır.

Örnek 5

Doğrular kesişiyorsa kesişme noktasını bulun.

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Görevi birkaç aşamaya bölmek uygundur. Durumun analizi bunun gerekli olduğunu göstermektedir:
1) Doğrunun denklemini yazınız.
2) Doğrunun denklemini yazınız.
3) Çizgilerin göreceli konumunu bulun.
4) Doğrular kesişiyorsa kesişme noktasını bulun.

Bir eylem algoritmasının geliştirilmesi birçok geometrik problem için tipiktir ve ben buna defalarca odaklanacağım.

Dersin sonunda tam çözüm ve cevap:

Dersin ikinci bölümüne geldiğimizde bir çift ayakkabı bile eskimemişti:

Dikey çizgiler. Bir noktadan bir çizgiye olan mesafe.
Düz çizgiler arasındaki açı

Tipik ve çok önemli bir görevle başlayalım. İlk bölümde buna paralel bir düz çizginin nasıl inşa edileceğini öğrendik ve şimdi tavuk budu üzerindeki kulübe 90 derece dönecek:

Belirli bir çizgiye dik bir çizgi nasıl oluşturulur?

Örnek 6

Düz çizgi denklemle verilir. Bu noktadan geçen doğruya dik olan denklemi yazınız.

Çözüm: Şartıyla öyle bilinir. Çizginin yönlendirici vektörünü bulmak güzel olurdu. Çizgiler dik olduğundan işin püf noktası basit:

Denklemden, düz çizginin yönlendirici vektörü olacak normal vektörü "kaldırıyoruz".

Bir nokta ve yön vektörünü kullanarak düz bir çizginin denklemini oluşturalım:

Cevap:

Geometrik çizimi genişletelim:

Hımmm... Turuncu gökyüzü, turuncu deniz, turuncu deve.

Çözümün analitik doğrulaması:

1) Denklemlerden yön vektörlerini çıkarıyoruz ve yardımıyla vektörlerin skaler çarpımıçizgilerin gerçekten dik olduğu sonucuna varıyoruz: .

Bu arada normal vektörleri kullanabilirsiniz, daha da kolay.

2) Noktanın sonuç denklemini karşılayıp karşılamadığını kontrol edin .

Testin sözlü olarak yapılması yine kolaydır.

Örnek 7

Denklem biliniyorsa dik doğruların kesişme noktasını bulun ve dönem.

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Problemde çeşitli eylemler vardır, bu nedenle çözümü nokta nokta formüle etmek uygundur.

Heyecan verici yolculuğumuz devam ediyor:

Noktadan çizgiye mesafe

Önümüzde nehrin düz bir şeridi var ve görevimiz ona en kısa yoldan ulaşmak. Hiçbir engel yok ve en uygun rota dikey olarak hareket etmek olacaktır. Yani bir noktadan bir çizgiye olan mesafe, dik parçanın uzunluğudur.

Geometride mesafe geleneksel olarak Yunanca “rho” harfiyle gösterilir, örneğin: – “em” noktasından “de” düz çizgisine olan mesafe.

Noktadan çizgiye mesafe formülle ifade edilir

Örnek 8

Bir noktadan bir çizgiye olan mesafeyi bulun

Çözüm: Tek yapmanız gereken sayıları formülde dikkatlice yerine koymak ve hesaplamaları yapmaktır:

Cevap:

Çizimi yapalım:

Noktadan çizgiye olan mesafe tam olarak kırmızı parçanın uzunluğu kadardır. Kareli kağıda 1 birim ölçekte bir çizim çizerseniz. = 1 cm (2 hücre) ise mesafe sıradan bir cetvelle ölçülebilir.

Aynı çizime dayalı başka bir görevi ele alalım:

Görev, düz çizgiye göre noktaya simetrik olan bir noktanın koordinatlarını bulmaktır. . Adımları kendiniz gerçekleştirmenizi öneririm, ancak ara sonuçları olan bir çözüm algoritmasının ana hatlarını çizeceğim:

1) Doğruya dik olan bir doğru bulun.

2) Doğruların kesişme noktasını bulun: .

Bu derste her iki eylem de ayrıntılı olarak tartışılmaktadır.

3) Nokta, doğru parçasının orta noktasıdır. Ortanın ve uçlardan birinin koordinatlarını biliyoruz. İle bir parçanın orta noktasının koordinatları için formüller bulduk .

Mesafenin de 2,2 birim olduğunu kontrol etmek iyi bir fikir olacaktır.

Burada hesaplamalarda zorluklar ortaya çıkabilir, ancak bir mikro hesap makinesi kulede çok yardımcı olur ve sıradan kesirleri hesaplamanıza olanak tanır. Size defalarca tavsiyede bulundum ve yine tavsiye edeceğim.

İki paralel çizgi arasındaki mesafe nasıl bulunur?

Örnek 9

İki paralel çizgi arasındaki mesafeyi bulun

Bu da kendi başınıza karar vermeniz için başka bir örnek. Size küçük bir ipucu vereceğim: Bunu çözmenin sonsuz sayıda yolu var. Dersin sonunda bilgilendirme, ancak kendi başınıza tahmin etmeye çalışmak daha iyidir, bence yaratıcılığınız oldukça gelişmiştir.

İki düz çizgi arasındaki açı

Her köşe bir pervazdır:


Geometride, iki düz çizgi arasındaki açı DAHA KÜÇÜK açı olarak alınır ve bundan otomatik olarak geniş olamayacağı sonucu çıkar. Şekilde kırmızı yay ile gösterilen açı, kesişen doğrular arasındaki açı olarak kabul edilmemektedir. Ve onun “yeşil” komşusu veya zıt yönlü"ahududu" köşesi.

Doğrular birbirine dik ise 4 açıdan herhangi biri aralarındaki açı olarak alınabilir.

Açılar nasıl farklı? Oryantasyon. İlk olarak, açının "kaydırıldığı" yön temel olarak önemlidir. İkinci olarak, negatif yönlü bir açı eksi işaretiyle yazılır, örneğin eğer .

Bunu sana neden söyledim? Görünüşe göre alışılagelmiş açı kavramıyla idare edebiliriz. Gerçek şu ki, açıları bulacağımız formüller kolaylıkla olumsuz sonuçla sonuçlanabiliyor ve bu sizi şaşırtmamalı. Eksi işaretli bir açı daha da kötü değildir ve çok özel bir geometrik anlamı vardır. Çizimde negatif açı için yönünü bir okla (saat yönünde) belirttiğinizden emin olun.

İki düz çizgi arasındaki açı nasıl bulunur?İki çalışma formülü vardır:

Örnek 10

Çizgiler arasındaki açıyı bulun

Çözüm Ve Birinci yöntem

Genel formdaki denklemlerle tanımlanan iki düz çizgiyi ele alalım:

Düz ise dik değil, O odaklı Aralarındaki açı aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir:

Paydaya çok dikkat edelim - bu tam olarak skaler çarpım Düz çizgilerin yönlendirici vektörleri:

Eğer öyleyse, formülün paydası sıfır olur ve vektörler dik ve çizgiler dik olur. Bu nedenle formülasyonda düz çizgilerin dik olmaması konusunda bir çekince konuldu.

Yukarıdakilere dayanarak çözümü iki adımda resmileştirmek uygundur:

1) Doğruların yön vektörlerinin skaler çarpımını hesaplayalım:
Bu, çizgilerin dik olmadığı anlamına gelir.

2) Aşağıdaki formülü kullanarak düz çizgiler arasındaki açıyı bulun:

Ters fonksiyonu kullanarak açının kendisini bulmak kolaydır. Bu durumda arktanjantın tuhaflığını kullanırız (bkz. Temel fonksiyonların grafikleri ve özellikleri):

Cevap:

Cevabınızda, hesap makinesi kullanılarak hesaplanan kesin değerin yanı sıra yaklaşık değeri de (tercihen hem derece hem de radyan cinsinden) belirtiyoruz.

Eksi, eksi, pek önemli değil. İşte geometrik bir çizim:

Açının negatif bir yönelime sahip olması şaşırtıcı değildir, çünkü problem ifadesinde ilk sayı düz bir çizgidir ve açının "gevşetilmesi" tam olarak onunla başlamıştır.

Gerçekten pozitif bir açı elde etmek istiyorsanız çizgileri değiştirmeniz, yani ikinci denklemdeki katsayıları almanız gerekir. ve ilk denklemin katsayılarını alın. Kısacası, doğrudan başlamanız gerekir. .

Matematikte Birleşik Devlet Sınavına hazırlanan her öğrencinin “Düz çizgiler arasında açı bulma” konusunu tekrarlaması faydalı olacaktır. İstatistiklerin gösterdiği gibi, sertifika testini geçerken stereometrinin bu bölümündeki görevler çok sayıda öğrenci için zorluklara neden olmaktadır. Aynı zamanda Birleşik Devlet Sınavında hem temel hem de uzmanlık düzeylerinde düz çizgiler arasındaki açıyı bulmayı gerektiren görevler bulunur. Bu, herkesin bunları çözebilmesi gerektiği anlamına gelir.

Temel anlar

Uzayda çizgilerin 4 tip göreli konumu vardır. Bunlar çakışabilir, kesişebilir, paralel veya kesişebilir. Aralarındaki açı dar veya düz olabilir.

Birleşik Devlet Sınavında çizgiler arasındaki açıyı bulmak için veya örneğin çözmede, Moskova ve diğer şehirlerdeki okul çocukları stereometrinin bu bölümündeki sorunları çözmenin birkaç yolunu kullanabilirler. Görevi klasik yapıları kullanarak tamamlayabilirsiniz. Bunu yapmak için stereometrinin temel aksiyomlarını ve teoremlerini öğrenmeye değer. Öğrencinin, görevi planimetrik bir probleme getirebilmesi için mantıksal olarak akıl yürütebilmesi ve çizimler oluşturabilmesi gerekir.

Basit formüller, kurallar ve algoritmalar kullanarak koordinat vektör yöntemini de kullanabilirsiniz. Bu durumda asıl önemli olan tüm hesaplamaları doğru yapmaktır. Shkolkovo eğitim projesi stereometri ve okul kursunun diğer bölümlerinde problem çözme becerilerinizi geliştirmenize yardımcı olacaktır.

Bu malzeme kesişen iki çizgi arasındaki açı gibi bir kavrama ayrılmıştır. İlk paragrafta ne olduğunu açıklayıp resimlerle göstereceğiz. Daha sonra bu açının sinüsünü, kosinüsünü ve açının kendisini bulmanın yollarına bakacağız (düzlem ve üç boyutlu uzaya sahip durumları ayrı ayrı ele alacağız), gerekli formülleri vereceğiz ve tam olarak örneklerle göstereceğiz pratikte nasıl kullanıldıkları.

Yandex.RTB R-A-339285-1

İki doğru kesiştiğinde oluşan açının ne olduğunu anlamak için açının, dikliğin ve kesişme noktasının tanımını hatırlamamız gerekir.

Tanım 1

Eğer ortak bir noktaları varsa kesişen iki doğruya denir. Bu noktaya iki doğrunun kesişme noktası denir.

Her düz çizgi bir kesişme noktasıyla ışınlara bölünür. Her iki düz çizgi de ikisi dikey ve ikisi bitişik olmak üzere 4 açı oluşturur. Birinin ölçüsünü bilirsek diğerlerinin ölçüsünü de bulabiliriz.

Diyelim ki açılardan birinin α'ya eşit olduğunu biliyoruz. Bu durumda ona dik olan açı da α'ya eşit olacaktır. Kalan açıları bulmak için 180 ° - α farkını hesaplamamız gerekir. Eğer α 90 dereceye eşitse tüm açılar dik açı olacaktır. Dik açılarda kesişen çizgilere dik denir (diklik kavramına ayrı bir makale ayrılmıştır).

Resme bir göz atın:

Ana tanımı formüle etmeye devam edelim.

Tanım 2

Kesişen iki doğrunun oluşturduğu açı, bu iki doğruyu oluşturan 4 açıdan küçük olanın ölçüsüdür.

Tanımdan önemli bir sonuç çıkarılmalıdır: bu durumda açının boyutu (0, 90) aralığındaki herhangi bir gerçek sayı ile ifade edilecektir. Çizgiler dikse, aralarındaki açı her durumda olacaktır. 90 dereceye eşittir.

Kesişen iki çizgi arasındaki açının ölçüsünü bulma yeteneği birçok pratik problemin çözümünde faydalıdır. Çözüm yöntemi çeşitli seçenekler arasından seçilebilir.

Başlangıç ​​olarak geometrik yöntemleri alabiliriz. Tümler açılar hakkında bir şeyler biliyorsak, eşit veya benzer şekillerin özelliklerini kullanarak bunları ihtiyacımız olan açıyla ilişkilendirebiliriz. Örneğin bir üçgenin kenarlarını biliyorsak ve bu kenarların bulunduğu çizgiler arasındaki açıyı hesaplamamız gerekiyorsa, kosinüs teoremi bunu çözmek için uygundur. Bizim durumumuzda bir dik üçgen varsa, o zaman hesaplamalar için açının sinüsünü, kosinüsünü ve tanjantını da bilmemiz gerekir.

Koordinat yöntemi de bu tür problemlerin çözümü için çok uygundur. Nasıl doğru kullanılacağını açıklayalım.

İki düz çizginin verildiği dikdörtgen (Kartezyen) bir O x y koordinat sistemimiz var. Bunları a ve b harfleriyle gösterelim. Düz çizgiler bazı denklemler kullanılarak tanımlanabilir. Orijinal çizgilerin bir M kesişme noktası vardır. Bu düz çizgiler arasında gerekli açı (bunu α olarak gösterelim) nasıl belirlenir?

Verilen koşullar altında bir açı bulmanın temel ilkesini formüle ederek başlayalım.

Düz çizgi kavramının yön vektörü ve normal vektör gibi kavramlarla yakından ilişkili olduğunu biliyoruz. Belirli bir doğrunun denklemi varsa, bu vektörlerin koordinatlarını ondan alabiliriz. Bunu kesişen iki doğru için aynı anda yapabiliriz.

Kesişen iki çizginin oluşturduğu açı şu şekilde bulunabilir:

• yön vektörleri arasındaki açı;
• normal vektörler arasındaki açı;
• bir doğrunun normal vektörü ile diğerinin yön vektörü arasındaki açı.

Şimdi her yönteme ayrı ayrı bakalım.

1. a → = (a x, a y) yön vektörüne sahip bir a doğrumuz ve b → (b x, b y) yön vektörüne sahip bir b doğrumuz olduğunu varsayalım. Şimdi kesişim noktasından iki a → ve b → vektörünü çizelim. Bundan sonra her birinin kendi düz çizgisi üzerinde konumlanacağını göreceğiz. O zaman bunların göreceli düzenlemesi için dört seçeneğimiz var. Resme bakın:

İki vektör arasındaki açı geniş değilse, kesişen a ve b çizgileri arasında ihtiyacımız olan açı olacaktır. Geniş ise, istenen açı a →, b → ^ açısına bitişik açıya eşit olacaktır. Böylece, α = a → , b → ^ eğer a → , b → ^ ≤ 90 ° ise ve α = 180 ° - a → , b → ^ eğer a → , b → ^ > 90 ° ise.

Eşit açıların kosinüslerinin eşit olduğu gerçeğine dayanarak ortaya çıkan eşitlikleri şu şekilde yeniden yazabiliriz: cos α = cos a →, b → ^, if a →, b → ^ ≤ 90 °; çünkü α = çünkü 180 ° - a →, b → ^ = - çünkü a →, b → ^, eğer a →, b → ^ > 90 °.

İkinci durumda indirgeme formülleri kullanıldı. Böylece,

çünkü α çünkü a → , b → ^ , çünkü a → , b → ^ ≥ 0 - çünkü a → , b → ^ , çünkü a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^

Son formülü kelimelerle yazalım:

Tanım 3

Kesişen iki düz çizginin oluşturduğu açının kosinüsü, yön vektörleri arasındaki açının kosinüsünün modülüne eşit olacaktır.

İki vektör a → = (a x , a y) ve b → = (b x , b y) arasındaki açının kosinüsüne ilişkin formülün genel formu şöyle görünür:

çünkü a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Bundan, verilen iki düz çizgi arasındaki açının kosinüsü formülünü türetebiliriz:

çünkü α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Daha sonra açının kendisi aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:

α = a r c çünkü a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Burada a → = (a x , a y) ve b → = (b x , b y) verilen doğruların yön vektörleridir.

Sorunun çözümüne bir örnek verelim.

örnek 1

Düzlemdeki dikdörtgen koordinat sisteminde kesişen iki a ve b doğrusu verilmiştir. Bunlar x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R ve x 5 = y - 6 - 3 parametrik denklemleriyle açıklanabilir. Bu çizgiler arasındaki açıyı hesaplayın.

Çözüm

Koşulumuzda parametrik bir denklemimiz var, bu da bu doğru için yön vektörünün koordinatlarını hemen yazabileceğimiz anlamına geliyor. Bunu yapmak için parametrenin katsayılarının değerlerini almamız gerekir, yani. x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R düz çizgisinin yön vektörü a → = (4, 1) olacaktır.

İkinci satır, x 5 = y - 6 - 3 kanonik denklemi kullanılarak tanımlanır. Burada paydalardan koordinatları alabiliriz. Dolayısıyla bu doğrunun b → = (5 , - 3) yön vektörü vardır.

Daha sonra doğrudan açıyı bulmaya geçiyoruz. Bunu yapmak için, iki vektörün mevcut koordinatlarını yukarıdaki formülde değiştirin: α = a r c cos a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2 . Aşağıdakileri alıyoruz:

α = a r c cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 34 = a r c cos 1 2 = 45 °

Cevap: Bu düz çizgiler 45 derecelik bir açı oluşturur.

Benzer bir problemi normal vektörler arasındaki açıyı bularak çözebiliriz. Normal vektörü n a → = (n a x, n a y) olan bir a doğrumuz ve normal vektörü n b → = (n b x, n b y) olan bir b çizgimiz varsa, o zaman aralarındaki açı n a → ile arasındaki açıya eşit olacaktır. n b → veya n a →, n b → ^'ye komşu olacak açı. Bu yöntem resimde gösterilmektedir:

Kesişen çizgiler arasındaki açının kosinüsünü ve normal vektörlerin koordinatlarını kullanarak bu açının kendisini hesaplamaya yönelik formüller şöyle görünür:

cos α = cos n a →, n b → ^ = n a x n b x + n a y + n y + n b y n a x 2 + n a y 2 n n b x 2 + n b y 2 α = a r c cos n a x n b x n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n x 2 + n

Burada n a → ve n b → verilen iki doğrunun normal vektörlerini göstermektedir.

Örnek 2

Dikdörtgen koordinat sisteminde 3 x + 5 y - 30 = 0 ve x + 4 y - 17 = 0 denklemleri kullanılarak iki düz çizgi verilmektedir. Aralarındaki açının sinüsünü ve kosinüsünü ve bu açının büyüklüğünü bulun.

Çözüm

Orijinal çizgiler, A x + B y + C = 0 formundaki normal çizgi denklemleri kullanılarak belirtilir. Normal vektörü n → = (A, B) olarak gösteririz. Bir doğru için ilk normal vektörün koordinatlarını bulup yazalım: n a → = (3, 5) . İkinci satır x + 4 y - 17 = 0 için normal vektörün koordinatları n b → = (1, 4) olacaktır. Şimdi elde ettiğimiz değerleri formüle ekleyelim ve toplamı hesaplayalım:

çünkü α = çünkü n a → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34

Bir açının kosinüsünü biliyorsak, temel trigonometrik özdeşliği kullanarak sinüsünü hesaplayabiliriz. Düz çizgilerin oluşturduğu α açısı geniş olmadığından sin α = 1 - cos 2 α = 1 - 23 2 34 2 = 7 2 34.

Bu durumda, α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34.

Cevap: cos α = 23 2 34, sin α = 7 2 34, α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34

Son durumu analiz edelim; eğer bir düz çizginin yön vektörünün ve diğerinin normal vektörünün koordinatlarını biliyorsak, düz çizgiler arasındaki açıyı buluruz.

a düz çizgisinin a → = (a x , a y) yön vektörüne sahip olduğunu ve b düz çizgisinin n b → = (n b x , n b y) normal vektörüne sahip olduğunu varsayalım. Bu vektörleri kesişim noktasından bir kenara bırakıp, göreceli konumları için tüm seçenekleri değerlendirmemiz gerekiyor. Resimde bakın:

Verilen vektörler arasındaki açı 90 dereceden fazla değilse a ve b arasındaki açıyı dik açıya tamamlayacağı ortaya çıkar.

a → , n b → ^ = 90 ° - α eğer a → , n b → ^ ≤ 90 ° ise.

90 dereceden azsa aşağıdakileri elde ederiz:

a → , n b → ^ > 90 ° , sonra a → , n b → ^ = 90 ° + α

Eşit açılı kosinüslerin eşitliği kuralını kullanarak şunu yazıyoruz:

cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = sin α için a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

çünkü a → , n b → ^ = cos 90 ° + α = - sin α için a → , n b → ^ > 90 °.

Böylece,

sin α = çünkü a → , n b → ^ , a → , n b → ^ ≤ 90 ° - çünkü a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 90 ° ⇔ sin α = çünkü a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 0 - çünkü a → , n b → ^ , a → , n b → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^

Bir sonuç çıkaralım.

Tanım 4

Bir düzlemde kesişen iki doğru arasındaki açının sinüsünü bulmak için, birinci doğrunun yön vektörü ile ikincinin normal vektörü arasındaki açının kosinüsünün modülünü hesaplamanız gerekir.

Gerekli formülleri yazalım. Bir açının sinüsünü bulma:

sin α = çünkü a → , n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Açının kendisini bulma:

α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Burada a → birinci doğrunun yön vektörüdür ve n b → ikinci doğrunun normal vektörüdür.

Örnek 3

x - 5 = y - 6 3 ve x + 4 y - 17 = 0 denklemleriyle kesişen iki doğru verilmiştir. Kesişme açısını bulun.

Çözüm

Verilen denklemlerden kılavuzun ve normal vektörün koordinatlarını alıyoruz. a → = (- 5, 3) ve n → b = (1, 4) ortaya çıkıyor. α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 formülünü alıyoruz ve hesaplıyoruz:

α = a r c sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a r c sin 7 2 34

Lütfen önceki problemdeki denklemleri aldığımızı ve tamamen aynı sonucu elde ettiğimizi ancak farklı bir şekilde elde ettiğimizi unutmayın.

Cevap:α = a r c sin 7 2 34

Verilen doğruların açı katsayılarını kullanarak istenilen açıyı bulmanın başka bir yolunu sunalım.

Y = k 1 x + b 1 denklemi kullanılarak dikdörtgen koordinat sisteminde tanımlanan bir a doğrumuz ve y = k 2 x + b 2 olarak tanımlanan bir b doğrumuz var. Bunlar eğimli doğruların denklemleridir. Kesişme açısını bulmak için aşağıdaki formülü kullanırız:

α = a r c cos k 1 · k 2 + 1 k 1 2 + 1 · k 2 2 + 1, burada k 1 ve k 2 verilen doğruların eğimleridir. Bu kaydı elde etmek için normal vektörlerin koordinatları boyunca açıyı belirleyen formüller kullanıldı.

Örnek 4

y = - 3 5 x + 6 ve y = - 1 4 x + 17 4 denklemleriyle verilen, bir düzlemde kesişen iki doğru vardır. Kesişme açısının değerini hesaplayın.

Çözüm

Çizgilerimizin açısal katsayıları k 1 = - 3 5 ve k 2 = - 1 4'e eşittir. Bunları α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 formülüne ekleyelim ve hesaplayalım:

α = a r c cos - 3 5 · - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 · - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 · 17 16 = a r c cos 23 2 34

Cevap:α = a r c cos 23 2 34

Bu paragrafın sonuç kısmında, burada verilen açıyı bulma formüllerinin ezberlenmesinin gerekmediğine dikkat edilmelidir. Bunu yapmak için verilen doğruların kılavuzlarının ve/veya normal vektörlerinin koordinatlarını bilmek ve bunları farklı denklem türlerini kullanarak belirleyebilmek yeterlidir. Ancak bir açının kosinüsünü hesaplamak için formülleri hatırlamak veya yazmak daha iyidir.

Uzayda kesişen çizgiler arasındaki açı nasıl hesaplanır

Böyle bir açının hesaplanması, yön vektörlerinin koordinatlarının hesaplanmasına ve bu vektörlerin oluşturduğu açının büyüklüğünün belirlenmesine indirgenebilir. Bu tür örnekler için daha önce verdiğimiz mantığın aynısı kullanılıyor.

Üç boyutlu uzayda dikdörtgen bir koordinat sistemimiz olduğunu varsayalım. Kesişme noktası M olan iki düz çizgi a ve b içerir. Yön vektörlerinin koordinatlarını hesaplamak için bu doğruların denklemlerini bilmemiz gerekir. a → = (a x , a y , a z) ve b → = (b x , b y , b z) yön vektörlerini gösterelim. Aralarındaki açının kosinüsünü hesaplamak için aşağıdaki formülü kullanırız:

çünkü α = çünkü a → , b → ^ = a → , b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Açının kendisini bulmak için şu formüle ihtiyacımız var:

α = a r c çünkü a x b x + a y by y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Örnek 5

Üç boyutlu uzayda x 1 = y - 3 = z + 3 - 2 denklemini kullanarak tanımlanmış bir doğrumuz var. O z ekseni ile kesiştiği bilinmektedir. Kesim açısını ve bu açının kosinüsünü hesaplayın.

Çözüm

Hesaplanması gereken açıyı α harfiyle gösterelim. İlk düz çizgi için yön vektörünün koordinatlarını yazalım – a → = (1, - 3, - 2) . Uygulanan eksen için k → = (0, 0, 1) koordinat vektörünü kılavuz olarak alabiliriz. Gerekli verileri aldık ve bunları istenen formüle ekleyebiliriz:

çünkü α = çünkü a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2

Sonuç olarak ihtiyacımız olan açının a r c cos 1 2 = 45 °'ye eşit olacağını bulduk.

Cevap:çünkü α = 1 2 , α = 45° .

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Açı uzaydaki düz çizgiler arasında, verilere paralel rastgele bir noktadan çizilen iki düz çizginin oluşturduğu bitişik açılardan herhangi birine diyeceğiz.

Uzayda iki satır verilsin:

Açıkçası, düz çizgiler arasındaki φ açısı, bunların yön vektörleri ile φ arasındaki açı olarak alınabilir. O zamandan beri, vektörler arasındaki açının kosinüsü formülünü kullanarak şunu elde ederiz:

İki düz çizginin paralellik ve diklik koşulları, yön vektörlerinin paralellik ve diklik koşullarına eşdeğerdir ve:

İki düz paralel ancak ve ancak karşılık gelen katsayıların orantılı olması durumunda, yani. ben 1 paralel ben 2 ancak ve ancak paralel ise .

İki düz dik ancak ve ancak karşılık gelen katsayıların çarpımlarının toplamı sıfıra eşitse: .

sen çizgi ile düzlem arasındaki gol

Düz olmasına izin ver D- θ düzlemine dik değil;
D′− bir çizginin izdüşümü Dθ düzlemine;
Düz çizgiler arasındaki en küçük açı D Ve D' arayacağız düz bir çizgi ile bir düzlem arasındaki açı.
Bunu φ=( olarak gösterelim. D,θ)
Eğer D⊥θ, o zaman ( D,θ)=π/2

Hey→J→k→− dikdörtgen koordinat sistemi.
Düzlem denklemi:

θ: Balta+İle+Cz+D=0

Düz çizginin bir nokta ve yön vektörü ile tanımlandığını varsayıyoruz: D[M 0,P→]
Vektör N→(A,B,C)⊥θ
Sonra vektörler arasındaki açıyı bulmak kalır N→ ve P→ γ=( olarak gösterelim N→,P→).

γ açısı ise<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .

Açı γ>π/2 ise istenilen açı φ=γ−π/2 olur

sinφ=sin(2π−γ)=cosγ

sinφ=sin(γ−2π)=−cosγ

Daha sonra, düz çizgi ile düzlem arasındaki açı aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir:

sinφ=∣cosγ∣=∣ ∣ ap 1+kan şekeri 2+KP 3∣ ∣ √A 2+B 2+C 2√P 21+P 22+P 23

Soru 29. İkinci dereceden form kavramı. İkinci dereceden formların işaret kesinliği.

İkinci dereceden form j (x 1, x 2, …, x n) n gerçek değişkenler x 1, x 2, …, x n formun toplamı denir
, (1)

Nerede bir ben – katsayı adı verilen bazı sayılar. Genelliği kaybetmeden şunu varsayabiliriz: bir ben = bir ji.

İkinci dereceden form denir geçerli, Eğer bir ben Î GR. İkinci dereceden formun matrisi katsayılarından oluşan bir matris denir. İkinci dereceden form (1) tek simetrik matrise karşılık gelir
Yani Bir T = Bir. Sonuç olarak, ikinci dereceden form (1), j ( matris formunda yazılabilir. X) = x T Ah, Nerede x T = (X 1 X 2 … xn). (2)

Ve tersine, her simetrik matris (2), değişkenlerin gösterimine kadar benzersiz bir ikinci dereceden forma karşılık gelir.

İkinci dereceden formun sıralaması matrisinin rütbesi denir. İkinci dereceden form denir dejenere olmayan, matrisi tekil değilse A. (hatırlayın ki matris A determinantı sıfıra eşit değilse dejenere olmayan denir). Aksi takdirde ikinci dereceden form dejenere olur.

pozitif tanımlı(veya kesinlikle olumlu) eğer

J( X) > 0 , herkes için X = (X 1 , X 2 , …, xn), hariç X = (0, 0, …, 0).

Matris A pozitif tanımlı ikinci dereceden form j ( X) aynı zamanda pozitif tanımlı olarak da adlandırılır. Bu nedenle, pozitif belirli bir ikinci dereceden form, benzersiz bir pozitif belirli matrise karşılık gelir ve bunun tersi de geçerlidir.

İkinci dereceden form (1) denir olumsuz tanımlanmış(veya kesinlikle olumsuz) eğer

J( X) < 0, для любого X = (X 1 , X 2 , …, xn), hariç X = (0, 0, …, 0).

Yukarıdakine benzer şekilde, negatif belirli ikinci dereceden formdaki bir matrise negatif tanımlı da denir.

Sonuç olarak, pozitif (negatif) belirli ikinci dereceden form j ( X) minimum (maksimum) değere ulaşır j ( X*) = 0 X* = (0, 0, …, 0).

İkinci dereceden formların çoğunun işaret tanımlı olmadığını, yani ne pozitif ne de negatif olduklarını unutmayın. Bu tür ikinci dereceden formlar yalnızca koordinat sisteminin başlangıcında değil, diğer noktalarda da kaybolur.

Ne zaman N> 2, ikinci dereceden bir formun işaretini kontrol etmek için özel kriterler gereklidir. Şimdi onlara bakalım.

Büyük küçükler ikinci dereceden forma küçükler denir:

yani bunlar 1, 2, ... düzeyinde küçüklerdir. N matrisler A, sol üst köşede yer alır, sonuncusu matrisin determinantıyla çakışır A.

Pozitif Kesinlik Kriteri (Sylvester kriteri)

X) = x T Ah pozitif tanımlıysa, matrisin tüm majör minörlerinin olması gerekli ve yeterlidir A olumluydu, yani: M 1 > 0, M 2 > 0, …, Mn > 0. Negatif kesinlik kriteri İkinci dereceden form için j ( X) = x T Ah negatif belirliyse, ana küçüklerinin çift sıranın pozitif ve tek sıranın negatif olması gerekli ve yeterlidir, yani: M 1 < 0, M 2 > 0, M 3 < 0, …, (–1)N