Teğet denklemi: Bir fonksiyonun grafiğine bir noktada teğet
Teğet düz bir çizgidir , fonksiyonun grafiğine bir noktada dokunan ve tüm noktaları fonksiyonun grafiğinden en kısa mesafede olan. Bu nedenle teğet, fonksiyonun grafiğine belirli bir açıda teğet geçer ve farklı açılardaki birkaç teğet, teğet noktasından geçemez. Bir fonksiyonun grafiğine teğet denklemler ve normal denklemler türev kullanılarak oluşturulur.
Teğet denklemi çizgi denkleminden türetilir .
Fonksiyonun grafiğine önce teğet denklemini, sonra da normal denklemini çıkaralım.
sen = kx + B .
Onun içinde k- açısal katsayı.
Buradan aşağıdaki girişi elde ederiz:
sen - sen 0 = k(X - X 0 ) .
Türev değeri F "(X 0 ) işlevler sen = F(X) noktada X0 eğime eşit k= tg φ bir noktadan çizilen bir fonksiyonun grafiğine teğet M0 (X 0 , sen 0 ) , Nerede sen0 = F(X 0 ) . Bu Türevin geometrik anlamı .
Böylece değiştirebiliriz k Açık F "(X 0 ) ve aşağıdakileri alın bir fonksiyonun grafiğine teğet denklemi :
sen - sen 0 = F "(X 0 )(X - X 0 ) .
Bir fonksiyonun grafiğine teğet denklemi oluşturmayı içeren problemlerde (ki bunlara yakında geçeceğiz), yukarıdaki formülden elde edilen denklemin şu şekilde azaltılması gerekir: genel formda düz bir çizginin denklemi. Bunu yapmak için tüm harf ve sayıları denklemin sol tarafına taşımanız ve sağ tarafta sıfır bırakmanız gerekir.
Şimdi normal denklem hakkında. Normal - bu, fonksiyonun grafiğine teğet noktasından teğete dik olarak geçen düz bir çizgidir. Normal denklem :
(X - X 0 ) + F "(X 0 )(sen - sen 0 ) = 0
Isınmak için ilk örneği kendiniz çözmeniz ve ardından çözüme bakmanız istenir. Bu görevin okuyucularımız için “soğuk bir duş” olmayacağını ummak için her türlü neden var.
Örnek 0. Bir fonksiyonun grafiği için bir noktadaki teğet denklemi ve normal denklemi oluşturun M (1, 1) .
Örnek 1. Bir fonksiyonun grafiği için bir teğet denklem ve normal bir denklem yazın 
apsis teğet ise .
Fonksiyonun türevini bulalım:
Artık teğet denklemini elde etmek için teorik yardımda verilen girişin yerine koymamız gereken her şeye sahibiz. Aldık
Bu örnekte şanslıydık: eğim sıfır çıktı, dolayısıyla denklemi ayrı ayrı genel formuna indirmeye gerek yoktu. Artık normal denklemi oluşturabiliriz:
Aşağıdaki şekilde: fonksiyonun grafiği bordo, teğet yeşil, normal ise turuncu renktedir.
Bir sonraki örnek de karmaşık değil: fonksiyon, öncekinde olduğu gibi, aynı zamanda bir polinomdur, ancak eğim sıfıra eşit olmayacaktır, bu nedenle denklemi genel bir forma getirerek bir adım daha eklenecektir.
Örnek 2.
Çözüm. Teğet noktasının koordinatını bulalım:
Fonksiyonun türevini bulalım:
.
Teğet noktasındaki, yani teğetin eğimindeki türevin değerini bulalım:
Elde edilen tüm verileri "boş formüle" koyarız ve teğet denklemi elde ederiz:
Denklemi genel formuna getiriyoruz (sıfır dışındaki tüm harf ve rakamları sol tarafta topluyoruz, sağ tarafta sıfır bırakıyoruz):
Normal denklemi oluşturuyoruz:
Örnek 3. Apsis teğet noktası ise fonksiyonun grafiğine teğet denklemini ve normalin denklemini yazın.
Çözüm. Teğet noktasının koordinatını bulalım:
Fonksiyonun türevini bulalım:
.
Teğet noktasındaki, yani teğetin eğimindeki türevin değerini bulalım:
.
Teğet denklemini buluyoruz:
Denklemi genel formuna getirmeden önce biraz “taramanız” gerekiyor: terimi terimle 4 ile çarpın. Bunu yapıp denklemi genel formuna getiriyoruz:
Normal denklemi oluşturuyoruz:
Örnek 4. Apsis teğet noktası ise fonksiyonun grafiğine teğet denklemini ve normalin denklemini yazın.
Çözüm. Teğet noktasının koordinatını bulalım:
.
Fonksiyonun türevini bulalım:
Teğet noktasındaki, yani teğetin eğimindeki türevin değerini bulalım:
.
Teğet denklemini elde ederiz:
Denklemi genel formuna getiriyoruz:
Normal denklemi oluşturuyoruz:
Teğet ve normal denklemleri yazarken sık karşılaşılan bir hata, örnekte verilen fonksiyonun karmaşık olduğunu fark etmemek ve türevini basit bir fonksiyonun türevi olarak hesaplamaktır. Aşağıdaki örnekler zaten karmaşık işlevler(ilgili ders yeni bir pencerede açılacaktır).
Örnek 5. Apsis teğet noktası ise fonksiyonun grafiğine teğet denklemini ve normalin denklemini yazın.
Çözüm. Teğet noktasının koordinatını bulalım:
Dikkat! Bu fonksiyon karmaşıktır, çünkü teğet argümanı (2 X) kendisi bir fonksiyondur. Dolayısıyla bir fonksiyonun türevini karmaşık bir fonksiyonun türevi olarak buluyoruz.
“Bir fonksiyonun grafiğine teğet denklemi” video dersi, konuya hakim olmak için eğitim materyalini göstermektedir. Video dersi sırasında, belirli bir noktada bir fonksiyonun grafiğine teğet denklemi kavramını formüle etmek için gerekli teorik materyal, böyle bir teğeti bulmak için bir algoritma ve çalışılan teorik materyali kullanarak problem çözme örnekleri anlatılmaktadır. .
Video eğitimi, malzemenin netliğini artıran yöntemler kullanır. Sunum çizimler, diyagramlar, önemli sesli yorumlar, animasyon, vurgulama ve diğer araçları içerir.
Video dersi, dersin konusunun sunumuyla ve M(a;f(a)) noktasındaki bir y=f(x) fonksiyonunun grafiğine teğet görüntüsüyle başlar. Belirli bir noktada grafiğe çizilen teğetin açısal katsayısının, f΄(a) fonksiyonunun bu noktadaki türevine eşit olduğu bilinmektedir. Ayrıca cebir dersinden y=kx+m doğrusunun denklemini de biliyoruz. Bir noktada teğet denklemi bulma probleminin çözümü şematik olarak sunulmuştur; bu, k, m katsayılarını bulmaya indirgenir. Fonksiyonun grafiğine ait bir noktanın koordinatlarını bildiğimizde, koordinat değerini f(a)=ka+m teğet denkleminde yerine koyarak m'yi bulabiliriz. Buradan m=f(a)-ka'yı buluruz. Böylece, belirli bir noktadaki türevin değerini ve noktanın koordinatlarını bilerek, teğet denklemini şu şekilde temsil edebiliriz: y=f(a)+f΄(a)(x-a).
Aşağıda diyagramı takip eden bir teğet denklem oluşturma örneği verilmiştir. y=x 2, x=-2 fonksiyonu verildiğinde. a=-2 alarak, belirli bir f(a)= f(-2)=(-2) 2 =4 noktasında fonksiyonun değerini buluruz. f΄(x)=2x fonksiyonunun türevini belirliyoruz. Bu noktada türev f΄(a)= f΄(-2)=2·(-2)=-4'e eşittir. Denklemi oluşturmak için tüm katsayılar a=-2, f(a)=4, f΄(a)=-4 olduğu için teğet denklemi y=4+(-4)(x+2) olur. Denklemi basitleştirerek y = -4-4x elde ederiz.
Aşağıdaki örnek, y=tgx fonksiyonunun grafiğinin orijin noktasındaki teğeti için bir denklem oluşturulmasını önerir. Belirli bir noktada a=0, f(0)=0, f΄(x)=1/cos 2 x, f΄(0)=1. Yani teğet denklemi y=x gibi görünüyor.
Genelleme olarak, bir fonksiyonun grafiğine belirli bir noktada teğet bir denklem oluşturma süreci, 4 adımdan oluşan bir algoritma şeklinde resmileştirilmiştir:
- Teğet noktasının apsisi için a tanımını girin;
- f(a) hesaplanır;
- f΄(x) belirlenir ve f΄(a) hesaplanır. Bulunan a, f(a), f΄(a) değerleri y=f(a)+f΄(a)(x-a) teğet denklem formülünde yerine konulur.
Örnek 1'de y=1/x fonksiyonunun grafiğine x=1 noktasında teğet denklemin oluşturulması ele alınmaktadır. Sorunu çözmek için bir algoritma kullanıyoruz. a=1 noktasındaki belirli bir fonksiyon için fonksiyonun değeri f(a)=-1. f΄(x)=1/x 2 fonksiyonunun türevi. a=1 noktasında türev f΄(a)= f΄(1)=1. Elde edilen veriler kullanılarak y=-1+(x-1) veya y=x-2 teğet denklemi çizilir.
Örnek 2'de y=x 3 +3x 2 -2x-2 fonksiyonunun grafiğine teğet denklemini bulmak gerekiyor. Ana koşul, teğet ve y=-2x+1 doğrusunun paralelliğidir. Öncelikle y=-2x+1 doğrusunun açısal katsayısına eşit olan teğetin açısal katsayısını buluyoruz. Belirli bir doğru için f΄(a)=-2 olduğuna göre istenilen tanjant için k=-2 olur. (x 3 +3x 2 -2x-2)΄=3x 2 +6x-2 fonksiyonunun türevini buluyoruz. f΄(a)=-2 olduğunu bilerek 3a 2 +6a-2=-2 noktasının koordinatlarını buluruz. Denklemi çözdükten sonra 1 =0 ve 2 =-2 elde ederiz. Bulunan koordinatları kullanarak, iyi bilinen bir algoritma kullanarak teğet denklemi bulabilirsiniz. Fonksiyonun değerini f(a 1)=-2, f(a 2)=-18 noktalarında buluyoruz. Türevin f΄(а 1)= f΄(а 2)=-2 noktasındaki değeri. Bulunan değerleri teğet denkleminde yerine koyarsak, ilk nokta için a 1 =0 y=-2x-2 ve ikinci nokta için a 2 =-2 y=-2x-22 teğet denklemini elde ederiz.
Örnek 3, y=√x fonksiyonunun grafiğine (0;3) noktasında çizilmeye yönelik teğet denkleminin bileşimini açıklamaktadır. Çözüm, iyi bilinen bir algoritma kullanılarak yapılır. Teğet noktasının koordinatları x=a olup a>0'dır. Fonksiyonun f(a)=√x noktasındaki değeri. f΄(х)=1/2√х fonksiyonunun türevi, dolayısıyla belirli bir noktada f΄(а)=1/2√а. Elde edilen tüm değerleri teğet denklemde yerine koyarak y = √a + (x-a)/2√a elde ederiz. Denklemi dönüştürdüğümüzde y=x/2√а+√а/2 elde ederiz. Teğetin (0;3) noktasından geçtiğini bilerek a'nın değerini buluruz. a'yı 3=√a/2'den buluyoruz. Dolayısıyla √a=6, a=36. y=x/12+3 teğet denklemini buluyoruz. Şekil, söz konusu fonksiyonun grafiğini ve oluşturulan istenen tanjantı göstermektedir.
Öğrencilere Δy=≈f΄(x)Δx ve f(x+Δx)-f(x)≈f΄(x)Δx yaklaşık eşitlikleri hatırlatılır. x=a, x+Δx=x, Δx=x-a'yı alarak f(x)- f(a)≈f΄(a)(x-a) elde ederiz, dolayısıyla f(x)≈f(a)+ f΄( a)(x-a).
Örnek 4'te 2,003 6 ifadesinin yaklaşık değerini bulmak gerekmektedir. f(x)=x 6 fonksiyonunun değerini x=2,003 noktasında bulmak gerektiğinden, f(x)=x 6, a=2, f(a) alarak bilinen formülü kullanabiliriz. )= f(2)=64, f ΄(x)=6x 5. f΄(2)=192 noktasındaki türev. Bu nedenle, 2,003 6 ≈65-192·0,003. İfadeyi hesapladıktan sonra 2,003 6 ≈64,576 elde ederiz.
Okuldaki geleneksel matematik dersinde “Bir fonksiyonun grafiğine teğet denklemi” video dersinin kullanılması tavsiye edilir. Uzaktan eğitim veren bir öğretmen için video materyali konunun daha net bir şekilde açıklanmasına yardımcı olacaktır. Konuya ilişkin anlayışlarının derinleşmesi için gerekirse öğrencilerin bağımsız olarak incelemeleri için video önerilebilir.
METİN KOD ÇÖZME:
Bir M (a; f(a)) noktasının (a'dan a ve ef koordinatlarına sahip em) y = f (x) fonksiyonunun grafiğine ait olduğunu ve bu noktada bir teğet çizmenin mümkün olduğunu biliyoruz. Fonksiyonun apsis eksenine dik olmayan grafiğine göre, teğetin açısal katsayısı f"(a)'ya eşittir (a'dan eff üssü).
Bir y = f(x) fonksiyonu ve bir M (a; f(a)) noktası verilse, f'(a)'nın var olduğu da bilinmektedir. Belirli bir fonksiyonun grafiğinin belirli bir noktadaki teğeti için bir denklem oluşturalım. Bu denklem, ordinat eksenine paralel olmayan herhangi bir düz çizginin denklemi gibi, y = kx+m (y eşittir ka x artı em) formuna sahiptir, dolayısıyla görev, değerlerini bulmaktır. k ve m katsayıları (ka ve em)
Açı katsayısı k= f"(a). M değerini hesaplamak için istenilen düz çizginin M(a; f(a)) noktasından geçmesi gerçeğini kullanırız. Bu, eğer koordinatları yerine koyarsak anlamına gelir. Düz çizgi denkleminde M noktasında doğru eşitliği elde ederiz: f(a) = ka+m, buradan m = f(a) - ka'yı buluruz.
Ki ve m katsayılarının bulunan değerlerini düz çizgi denkleminde değiştirmek kalır:
y = kx+(f(a) -ka);
y = f(a)+k(x-a);
sen= F(A)+ F"(A) (X- A). ( y eşittir ef'den a artı ef üssü a'dan çarpı x eksi a).
y = f(x) fonksiyonunun grafiğine x=a noktasındaki teğet denklemini elde ettik.
Diyelim ki y = x 2 ve x = -2 (yani a = -2) ise f (a) = f (-2) = (-2) 2 = 4; f'(x) = 2x, bunun anlamı f"(a) = f'(-2) = 2·(-2) = -4. (bu durumda a'nın ef'si dörde eşittir, asal sayının ef'i) x eşittir iki x, yani ef üssü a eşittir eksi dört)
Bulunan a = -2, f(a) = 4, f"(a) = -4 değerlerini denklemde yerine koyarsak şunu elde ederiz: y = 4+(-4)(x+2), yani y = -4x-4.
(E eşittir eksi dört x eksi dört)
y = tanx fonksiyonunun (y, x'e teğete eşittir) grafiğinin orijin noktasındaki teğeti için bir denklem oluşturalım. Elimizde: a = 0, f(0) = tan0=0;
f"(x)= , bu da f"(0) = l anlamına gelir. Bulunan a=0, f(a)=0, f´(a) = 1 değerlerini denklemde yerine koyarsak, şunu elde ederiz: y=x.
Bir algoritma kullanarak bir fonksiyonun grafiğinin x noktasındaki teğet denklemini bulma adımlarımızı özetleyelim.
y = f(x) FONKSİYONUNUN GRAFİĞİNE Teğet Bir Denklem Geliştirme Algoritması:
1) Teğet noktasının apsisini a harfiyle belirtin.
2) f(a)'yı hesaplayın.
3) f'(x)'i bulun ve f'(a)'yı hesaplayın.
4) Bulunan a, f(a), f´(a) sayılarını formülde değiştirin sen= F(A)+ F"(A) (X- A).
Örnek 1. y = - fonksiyonunun grafiğine teğet için bir denklem oluşturun.
nokta x = 1.
Çözüm. Bu örnekte bunu dikkate alarak algoritmayı kullanalım.
2) f(a)=f(1)=- =-1
3) f'(x)=; f'(a)= f'(1)= =1.
4) Bulunan üç sayıyı formülde yerine koyarız: a = 1, f(a) = -1, f"(a) = 1. Şunu elde ederiz: y = -1+(x-1), y = x-2 .
Cevap: y = x-2.
Örnek 2. y = fonksiyonu verildiğinde x 3 +3x 2 -2x-2. y = f(x) fonksiyonunun grafiğine y = -2x +1 düz çizgisine paralel olan teğet denklemini yazın.
Teğet denklemini oluşturmak için kullanılan algoritmayı kullanarak, bu örnekte f(x) = değerini hesaba katıyoruz. x 3 +3x 2 -2x-2, ancak teğet noktasının apsisi burada gösterilmemiştir.
Şöyle düşünmeye başlayalım. İstenilen teğet, y = -2x+1 düz çizgisine paralel olmalıdır. Paralel doğruların açısal katsayıları da eşittir. Bu, teğetin açısal katsayısının verilen düz çizginin açısal katsayısına eşit olduğu anlamına gelir: k teğet. = -2. Hok cas. = f"(a). Böylece a'nın değerini f ´(a) = -2 denkleminden bulabiliriz.
Fonksiyonun türevini bulalım y=F(X):
F"(X)= (x 3 +3x 2 -2x-2)' =3x 2 +6x-2;F"(a)= 3a 2 +6a-2.
f"(a) = -2 denkleminden, yani. 3a 2 +6a-2=-2, 1 =0, a 2 =-2'yi buluruz. Bu, problemin koşullarını sağlayan iki teğet olduğu anlamına gelir: biri apsis 0 olan noktada, diğeri apsis -2 olan noktada.
Artık algoritmayı takip edebilirsiniz.
1) a 1 =0 ve 2 =-2.
2) f(bir 1)= 0 3 +3·0 2 -2∙0-2=-2; f(a2)= (-2) 3 +3·(-2) 2 -2·(-2)-2=6;
3) f"(a 1) = f"(a 2) = -2.
4) a 1 = 0, f(a 1) = -2, f"(a 1) = -2 değerlerini formülde yerine koyarsak şunu elde ederiz:
y=-2-2(x-0), y=-2x-2.
a 2 = -2, f(a 2) =6, f"(a 2) = -2 değerlerini formülde yerine koyarsak şunu elde ederiz:
y=6-2(x+2), y=-2x+2.
Cevap: y=-2x-2, y=-2x+2.
Örnek 3. (0; 3) noktasından y = fonksiyonunun grafiğine bir teğet çizin. Çözüm. Bu örnekte f(x) = değerini dikkate alarak teğet denklemini oluşturmak için algoritmayı kullanalım. Örnek 2'de olduğu gibi burada teğet noktasının apsisinin açıkça belirtilmediğine dikkat edin. Yine de algoritmayı takip ediyoruz.
1) x = a teğet noktasının apsisi olsun; >0 olduğu açıktır.
3) f'(x)=()'=; f'(a) =.
4) a, f(a) = , f"(a) = değerlerini formülde yerine koymak
y=f (a) +f "(a) (x-a), şunu elde ederiz:
Koşul gereği teğet (0; 3) noktasından geçer. Denklemde x = 0, y = 3 değerlerini değiştirerek şunu elde ederiz: 3 = ve sonra =6, a =36.
Gördüğünüz gibi bu örnekte algoritmanın ancak dördüncü adımında teğet noktasının apsisini bulmayı başardık. a =36 değerini denklemde yerine koyarsak şunu elde ederiz: y=+3
İncirde. Şekil 1, dikkate alınan örneğin geometrik bir gösterimini göstermektedir: y = fonksiyonunun bir grafiği oluşturulur, y = +3 düz bir çizgi çizilir.
Cevap: y = +3.
X noktasında türevi olan bir y = f(x) fonksiyonu için yaklaşık eşitliğin geçerli olduğunu biliyoruz: Δyf´(x)Δx (delta y yaklaşık olarak x'in eff üssünün delta x ile çarpımına eşittir)
veya daha ayrıntılı olarak f(x+Δx)-f(x) f'(x) Δx (x'ten eff artı delta x eksi x'ten ef yaklaşık olarak ef üssü x'ten delta x'e eşittir).
Daha fazla tartışmaya kolaylık sağlamak için notasyonu değiştirelim:
x yerine yazacağız A,
x+Δx yerine x yazacağız
Δx yerine x-a yazacağız.
O zaman yukarıda yazılan yaklaşık eşitlik şu şekli alacaktır:
f(x)-f(a)f´(a)(x-a)
f(x)f(a)+f'(a)(x-a). (x'ten eff, a'dan ef artı a'dan ef üssü, x ile a arasındaki farkla çarpılır).
Örnek 4. 2,003 6 sayısal ifadesinin yaklaşık değerini bulun.
Çözüm. x = 2,003 noktasında y = x 6 fonksiyonunun değerini bulmaktan bahsediyoruz. Bu örnekte f(x)=x 6, a = 2,f(a) = f(2) olduğunu dikkate alarak f(x)f(a)+f´(a)(x-a) formülünü kullanalım. = 2 6 =64; x = 2,003, f"(x) = 6x 5 ve dolayısıyla f"(a) = f"(2) = 6 2 5 =192.
Sonuç olarak şunu elde ederiz:
2,003 6 64+192· 0,003, yani. 2,003 6 =64,576.
Hesap makinesi kullanırsak şunu elde ederiz:
2,003 6 = 64,5781643...
Gördüğünüz gibi, yaklaşımın doğruluğu oldukça kabul edilebilir.
Teğet eğri üzerindeki bir noktadan geçen ve bu noktada birinci dereceye kadar onunla çakışan düz bir çizgidir (Şekil 1).
Başka bir tanım: bu sekantın Δ'daki sınırlayıcı konumudur X→0.
Açıklama: Eğriyi iki noktada kesen düz bir çizgi alın: A Ve B(resmi görmek). Bu bir sekant. Eğriyle tek bir ortak nokta bulana kadar onu saat yönünde döndüreceğiz. Bu bize bir teğet verecektir.
Teğetin kesin tanımı:
Bir fonksiyonun grafiğine teğet F noktada türevlenebilir XÖ, noktadan geçen düz bir çizgidir ( XÖ; F(XÖ)) ve eğime sahip F′( XÖ).
Eğim düz bir form çizgisine sahiptir y =kx +B. Katsayı k ve bir eğim bu düz çizgi.
Açısal katsayı, bu düz çizginin apsis ekseni ile oluşturduğu dar açının tanjantına eşittir:
|
Burada α açısı düz çizgi ile arasındaki açıdır. y =kx +B ve x ekseninin pozitif (yani saat yönünün tersine) yönü. denir düz bir çizginin eğim açısı(Şekil 1 ve 2). 
Eğim açısı düz ise y =kx +B akut ise eğim pozitif bir sayıdır. Grafik artıyor (Şekil 1).
Eğim açısı düz ise y =kx +B genişse eğim negatif bir sayıdır. Grafik azalıyor (Şekil 2).
Düz çizgi x eksenine paralel ise düz çizginin eğim açısı sıfırdır. Bu durumda doğrunun eğimi de sıfırdır (çünkü sıfırın tanjantı sıfırdır). Düz çizginin denklemi y = b gibi görünecektir (Şekil 3).
Bir doğrunun eğim açısı 90° (π/2) ise yani apsis eksenine dik ise bu durumda düz çizgi eşitlikle verilir. x =C, Nerede C– bazı gerçek sayılar (Şekil 4).
Bir fonksiyonun grafiğine teğet denklemisen = F(X) noktada XÖ:
Örnek: Fonksiyonun grafiğine teğet denklemini bulun F(X) = X 3 – 2X Apsis 2 olan noktada 2+1.
Çözüm .
Algoritmayı takip ediyoruz.
1) Temas noktası XÖ 2'ye eşittir. Hesapla F(XÖ):
F(XÖ) = F(2) = 2 3 – 2 ∙ 2 2 + 1 = 8 – 8 + 1 = 1
2) Bul F′( X). Bunu yapmak için önceki bölümde özetlenen farklılaşma formüllerini uyguluyoruz. Bu formüllere göre; X 2 = 2X, A X 3 = 3X 2. Araç:
F′( X) = 3X 2 – 2 ∙ 2X = 3X 2 – 4X.
Şimdi elde edilen değeri kullanarak F′( X), hesaplamak F′( XÖ):
F′( XÖ) = F′(2) = 3 ∙ 2 2 – 4 ∙ 2 = 12 – 8 = 4.
3) Yani gerekli tüm verilere sahibiz: XÖ = 2, F(XÖ) = 1, F ′( XÖ) = 4. Bu sayıları teğet denklemde yerine koyun ve son çözümü bulun:
y = F(XÖ) + F′( XÖ) (x – x o) = 1 + 4 ∙ (x – 2) = 1 + 4x – 8 = –7 + 4x = 4x – 7.
Cevap: y = 4x – 7.
Talimatlar
M noktasındaki eğriye teğetin açısal katsayısını belirleriz.
y = f(x) fonksiyonunun grafiğini temsil eden eğri, M noktasının belirli bir komşuluğunda (M noktasının kendisi dahil) süreklidir.
Eğer f'(x0) değeri mevcut değilse ya teğet yoktur ya da dikey olarak uzanır. Buna göre fonksiyonun x0 noktasında bir türevinin bulunması, fonksiyonun grafiğine (x0, f(x0)) noktasında dikey olmayan bir teğetin varlığından kaynaklanmaktadır. Bu durumda, teğetin açısal katsayısı f "(x0)'a eşit olacaktır. Böylece türevin geometrik anlamı netleşir - teğetin açısal katsayısının hesaplanması.
“a” harfiyle gösterilen teğet noktasının apsis değerini bulunuz. Belirli bir teğet noktasıyla çakışıyorsa, o zaman "a" onun x koordinatı olacaktır. Değeri belirleyin işlevler f(a) denklemde yerine koyarak işlevler absis değeri.
Denklemin ilk türevini belirleyin işlevler f’(x) ve “a” noktasının değerini onun yerine koyun.
Y = f(a) = f (a)(x – a) olarak tanımlanan genel teğet denklemini alın ve bulunan a, f(a), f "(a) değerlerini içine yazın. Sonuç olarak grafiğin çözümü bulunacak ve teğet olacaktır.
Verilen teğet noktası teğet noktasıyla çakışmıyorsa sorunu farklı bir şekilde çözün. Bu durumda teğet denkleminde sayıların yerine “a” harfinin konulması gerekir. Bundan sonra “x” ve “y” harfleri yerine verilen noktanın koordinatlarının değerini yazın. “a”nın bilinmeyen olduğu sonuç denklemini çözün. Ortaya çıkan değeri teğet denklemine yerleştirin.
Problem cümlesi denklemi belirtiyorsa “a” harfini içeren bir teğet denklemi yazın işlevler ve istenen teğete göre paralel bir çizginin denklemi. Bundan sonra türevine ihtiyacımız var işlevler
Bir x 0 noktasında sonlu türevi f (x 0) olan bir f fonksiyonu verilsin. Daha sonra f '(x 0) açısal katsayısına sahip olan (x 0 ; f (x 0)) noktasından geçen düz çizgiye teğet denir.
Türev x 0 noktasında mevcut değilse ne olur? İki seçenek var:
- Grafiğe teğet de yoktur. Klasik bir örnek y = |x | fonksiyonudur. (0; 0) noktasında.
- Teğet dikey hale gelir. Bu, örneğin (1; π /2) noktasındaki y = arcsin x fonksiyonu için doğrudur.
Teğet denklem
Dikey olmayan herhangi bir düz çizgi, k'nin eğim olduğu y = kx + b formundaki bir denklemle verilir. Teğet bir istisna değildir ve denklemini x 0 noktasında oluşturmak için fonksiyonun değerini ve bu noktadaki türevini bilmek yeterlidir.
O halde parça üzerinde türevi y = f '(x) olan bir y = f(x) fonksiyonu verilsin. Daha sonra herhangi bir x 0 ∈ (a ; b) noktasında bu fonksiyonun grafiğine aşağıdaki denklemle verilen bir teğet çizilebilir:
y = f '(x 0) (x - x 0) + f (x 0)
Burada f '(x 0) x 0 noktasındaki türevin değeridir ve f (x 0) fonksiyonun kendisinin değeridir.
Görev. y = x 3 fonksiyonu verildiğinde. Bu fonksiyonun grafiğinin x 0 = 2 noktasındaki teğetini yazın.
Teğet denklemi: y = f '(x 0) · (x − x 0) + f (x 0). Bize x 0 = 2 noktası verilmiştir, ancak f (x 0) ve f '(x 0) değerlerinin hesaplanması gerekecektir.
Öncelikle fonksiyonun değerini bulalım. Burada her şey kolay: f (x 0) = f (2) = 2 3 = 8;
Şimdi türevini bulalım: f '(x) = (x 3)' = 3x 2;
Türevde x 0 = 2'yi yerine koyarız: f '(x 0) = f '(2) = 3 2 2 = 12;
Toplamda şunu elde ederiz: y = 12 · (x − 2) + 8 = 12x − 24 + 8 = 12x − 16.
Bu teğet denklemidir.
Görev. f (x) = 2sin x + 5 fonksiyonunun grafiğine x 0 = π /2 noktasındaki teğet için bir denklem yazın.
Bu sefer her eylemi ayrıntılı olarak açıklamayacağız - yalnızca temel adımları göstereceğiz. Sahibiz:
f (x 0) = f (π /2) = 2sin (π /2) + 5 = 2 + 5 = 7;
f '(x) = (2sin x + 5)' = 2cos x;
f '(x 0) = f '(π /2) = 2cos (π /2) = 0;
Teğet denklemi:
y = 0 · (x − π /2) + 7 ⇒ y = 7
İkinci durumda düz çizginin yatay olduğu ortaya çıktı çünkü açısal katsayısı k = 0. Bunda yanlış bir şey yok - sadece bir uç noktaya rastladık.