Giải từng phần của phương trình vi phân một cách chi tiết. Giải các phương trình vi phân cấp một đơn giản nhất

I. Phương trình vi phân thông thường

1.1. Các khái niệm và định nghĩa cơ bản

Phương trình vi phân là phương trình liên hệ một biến độc lập x, hàm số cần tìm y và các đạo hàm hoặc vi phân của nó.

Một cách tượng trưng, ​​​​phương trình vi phân được viết như sau:

F(x,y,y")=0, F(x,y,y")=0, F(x,y,y",y",.., y (n))=0

Một phương trình vi phân được gọi là thường nếu hàm số cần tìm phụ thuộc vào một biến độc lập.

Giải phương trình vi phânđược gọi là hàm biến phương trình này thành đẳng thức.

Thứ tự của phương trình vi phân là bậc của đạo hàm cao nhất có trong phương trình này

Ví dụ.

1. Xét phương trình vi phân bậc nhất

Nghiệm của phương trình này là hàm y = 5 ln x. Thật vậy, thay thế ừ" vào phương trình, chúng ta có được danh tính.

Và điều này có nghĩa là hàm y = 5 ln x– là nghiệm của phương trình vi phân này.

2. Xét phương trình vi phân bậc hai y" - 5y" +6y = 0. Hàm này là nghiệm của phương trình này.

Thật sự, .

Thay các biểu thức này vào phương trình, ta thu được: , – đẳng thức.

Và điều này có nghĩa là hàm số là nghiệm của phương trình vi phân này.

Tích hợp các phương trình vi phân là quá trình tìm nghiệm của phương trình vi phân.

Giải tổng quát của phương trình vi phânđược gọi là hàm có dạng , bao gồm nhiều hằng số tùy ý độc lập như thứ tự của phương trình.

Giải từng phần của phương trình vi phân là một nghiệm thu được từ một nghiệm tổng quát cho các giá trị số khác nhau của các hằng số tùy ý. Các giá trị của hằng số tùy ý được tìm thấy ở các giá trị ban đầu nhất định của đối số và hàm.

Đồ thị của một nghiệm cụ thể của phương trình vi phân được gọi là đường cong tích phân.

Ví dụ

1. Tìm nghiệm cụ thể của phương trình vi phân bậc nhất

xdx + ydy = 0, Nếu như y= 4 lúc x = 3.

Giải pháp. Tích hợp cả hai vế của phương trình, chúng ta nhận được

Bình luận. Hằng số C tùy ý thu được nhờ tích phân có thể được biểu diễn dưới bất kỳ dạng nào thuận tiện cho các phép biến đổi tiếp theo. Trong trường hợp này, có tính đến phương trình chính tắc của đường tròn, sẽ thuận tiện hơn khi biểu diễn hằng số C tùy ý ở dạng .

- Giải tổng quát của phương trình vi phân.

Giải cụ thể của phương trình thỏa mãn điều kiện ban đầu y = 4 lúc x = 3 được tìm thấy từ tổng quát bằng cách thay các điều kiện ban đầu vào nghiệm tổng quát: 3 2 + 4 2 = C 2 ; C=5.

Thay C=5 vào nghiệm tổng quát, ta được x 2 + y 2 = 5 2 .

Đây là một nghiệm cụ thể của phương trình vi phân thu được từ nghiệm tổng quát dưới các điều kiện ban đầu cho trước.

2. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân

Nghiệm của phương trình này là một hàm bất kỳ có dạng , trong đó C là hằng số tùy ý. Thật vậy, thay vào các phương trình, ta được: , .

Do đó, phương trình vi phân này có vô số nghiệm, vì đối với các giá trị khác nhau của hằng số C, đẳng thức xác định các nghiệm khác nhau của phương trình.

Ví dụ: bằng cách thay thế trực tiếp, bạn có thể xác minh rằng các hàm là nghiệm của phương trình.

Một bài toán mà bạn cần tìm một nghiệm cụ thể cho phương trình y" = f(x,y) thỏa mãn điều kiện ban đầu y(x 0) = y 0, được gọi là bài toán Cauchy.

Giải phương trình y" = f(x,y), thỏa mãn điều kiện ban đầu, y(x 0) = y 0, được gọi là nghiệm của bài toán Cauchy.

Lời giải của bài toán Cauchy có ý nghĩa hình học đơn giản. Thật vậy, theo những định nghĩa này, để giải bài toán Cauchy y" = f(x,y) cho rằng y(x 0) = y 0, có nghĩa là tìm đường cong tích phân của phương trình y" = f(x,y)đi qua một điểm cho trước M 0 (x 0,năm 0).

II. Phương trình vi phân bậc nhất

2.1. Các khái niệm cơ bản

Phương trình vi phân bậc một là phương trình có dạng F(x,y,y") = 0.

Phương trình vi phân bậc một bao gồm đạo hàm bậc nhất và không bao gồm đạo hàm bậc cao hơn.

phương trình y" = f(x,y)được gọi là phương trình bậc nhất được giải theo đạo hàm.

Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân bậc nhất là một hàm có dạng , chứa một hằng số tùy ý.

Ví dụ. Hãy xem xét một phương trình vi phân bậc nhất.

Giải pháp cho phương trình này là hàm.

Thật vậy, thay thế phương trình này bằng giá trị của nó, chúng ta nhận được

đó là 3x=3x

Do đó, hàm số là nghiệm tổng quát của phương trình với hằng số C bất kỳ.

Tìm một nghiệm cụ thể của phương trình này thỏa mãn điều kiện ban đầu y(1)=1 Thay thế điều kiện ban đầu x = 1, y = 1 vào nghiệm tổng quát của phương trình, chúng ta nhận được từ đâu C=0.

Do đó, chúng ta thu được nghiệm cụ thể từ nghiệm tổng quát bằng cách thay thế vào phương trình này giá trị thu được C=0– giải pháp riêng.

2.2. Phương trình vi phân có biến tách được

Phương trình vi phân có các biến phân tách được là phương trình có dạng: y"=f(x)g(y) hoặc thông qua sự khác biệt, trong đó f(x) Và g(y)- các chức năng được chỉ định

Cho những người y, trong đó , phương trình y"=f(x)g(y) tương đương với phương trình, trong đó biến y chỉ xuất hiện ở vế trái và biến x chỉ ở vế phải. Họ nói, "trong phương trình. y"=f(x)g(y Hãy tách các biến ra."

Phương trình của dạng được gọi là phương trình biến phân tách.

Tích phân cả hai vế của phương trình Qua x, chúng tôi nhận được G(y) = F(x) + C là nghiệm tổng quát của phương trình, trong đó G(y) Và F(x)– một số nguyên hàm tương ứng của hàm số và f(x), C Hằng số tùy ý.

Thuật toán giải phương trình vi phân bậc nhất có biến tách được

ví dụ 1

Giải phương trình y" = xy

Giải pháp. Đạo hàm của hàm ừ" thay thế bằng

hãy tách các biến

Hãy tích hợp cả hai mặt của sự bình đẳng:

Ví dụ 2

2yy" = 1- 3x 2, Nếu như y 0 = 3 Tại x 0 = 1

Đây là một phương trình biến tách biệt. Hãy tưởng tượng nó trong vi phân. Để làm điều này, chúng ta viết lại phương trình này ở dạng Từ đây

Tích phân cả hai vế của đẳng thức cuối cùng, chúng ta tìm thấy

Thay thế các giá trị ban đầu x 0 = 1, y 0 = 3 chúng ta sẽ tìm thấy VỚI 9=1-1+C, I E. C = 9.

Do đó, tích phân riêng cần tìm sẽ là hoặc

Ví dụ 3

Viết phương trình đường cong đi qua một điểm M(2;-3) và có tiếp tuyến với hệ số góc

Giải pháp. Theo điều kiện

Đây là một phương trình với các biến có thể tách rời. Chia các biến, chúng ta nhận được:

Tích hợp cả hai vế của phương trình, chúng ta nhận được:

Sử dụng các điều kiện ban đầu, x = 2 Và y = - 3 chúng ta sẽ tìm thấy C:

Do đó phương trình cần tìm có dạng

2.3. Phương trình vi phân tuyến tính bậc nhất

Phương trình vi phân tuyến tính bậc một là phương trình có dạng y" = f(x)y + g(x)

Ở đâu f(x) Và g(x)- một số chức năng được chỉ định.

Nếu như g(x)=0 thì phương trình vi phân tuyến tính được gọi là thuần nhất và có dạng: y" = f(x)y

Nếu thì phương trình y" = f(x)y + g(x)được gọi là không đồng nhất.

Giải tổng quát của phương trình vi phân đồng nhất tuyến tính y" = f(x)yđược cho bởi công thức: ở đâu VỚI- Hằng số tùy ý.

Đặc biệt, nếu C = 0, thì giải pháp là y = 0 Nếu một phương trình thuần nhất tuyến tính có dạng y" = kỳỞ đâu k là một hằng số nào đó thì nghiệm tổng quát của nó có dạng: .

Giải tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất y" = f(x)y + g(x)được cho bởi công thức ,

những thứ kia. bằng tổng nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tuyến tính tương ứng và nghiệm riêng của phương trình này.

Đối với một phương trình tuyến tính không đồng nhất có dạng y" = kx + b,

Ở đâu k Và b- một số số và một nghiệm cụ thể sẽ là hàm không đổi. Do đó nghiệm tổng quát có dạng .

Ví dụ. Giải phương trình y" + 2y +3 = 0

Giải pháp. Hãy biểu diễn phương trình dưới dạng y" = -2y - 3Ở đâu k = -2, b= -3 Giải pháp tổng quát được đưa ra bởi công thức.

Do đó, trong đó C là hằng số tùy ý.

2.4. Giải phương trình vi phân tuyến tính bậc nhất bằng phương pháp Bernoulli

Tìm nghiệm tổng quát cho phương trình vi phân tuyến tính bậc nhất y" = f(x)y + g(x) giảm xuống việc giải hai phương trình vi phân với các biến riêng biệt bằng cách sử dụng phép thế y=uv, Ở đâu bạn Và v- chức năng chưa biết từ x. Phương pháp giải này được gọi là phương pháp Bernoulli.

Thuật toán giải phương trình vi phân tuyến tính bậc nhất

y" = f(x)y + g(x)

1. Nhập thay thế y=uv.

2. Đạo hàm đẳng thức này y" = u"v + uv"

3. Thay thế y Và ừ" vào phương trình này: u"v + uv" =f(x)uv + g(x) hoặc u"v + uv" + f(x)uv = g(x).

4. Nhóm các số hạng của phương trình sao cho bạnđưa nó ra khỏi ngoặc:

5. Từ dấu ngoặc vuông bằng 0, tìm hàm số

Đây là một phương trình có thể tách được:

Hãy chia các biến và nhận được:

Ở đâu . .

6. Thay thế giá trị kết quả v vào phương trình (từ bước 4):

và tìm hàm Đây là phương trình có các biến tách được:

7. Viết lời giải tổng quát dưới dạng: , I E. .

ví dụ 1

Tìm nghiệm cụ thể của phương trình y" = -2y +3 = 0 Nếu như y =1 Tại x = 0

Giải pháp. Hãy giải quyết nó bằng cách thay thế y=uv,.y" = u"v + uv"

Thay thế y Và ừ" vào phương trình này, chúng ta nhận được

Bằng cách nhóm các số hạng thứ hai và thứ ba ở vế trái của phương trình, chúng ta rút ra nhân tử chung bạn ngoài dấu ngoặc

Chúng ta đánh đồng biểu thức trong ngoặc bằng 0 và sau khi giải phương trình thu được, chúng ta tìm được hàm v = v(x)

Chúng ta nhận được một phương trình với các biến riêng biệt. Hãy lấy tích phân cả hai vế của phương trình này: Tìm hàm số v:

Hãy thay thế giá trị kết quả v vào phương trình ta nhận được:

Đây là một phương trình biến tách biệt. Hãy tích phân cả hai vế của phương trình: Hãy tìm hàm u = u(x,c) Hãy tìm một giải pháp chung: Hãy tìm nghiệm cụ thể của phương trình thỏa mãn điều kiện ban đầu y = 1 Tại x = 0:

III. Phương trình vi phân bậc cao

3.1. Các khái niệm và định nghĩa cơ bản

Phương trình vi phân bậc hai là phương trình chứa các đạo hàm không lớn hơn bậc hai. Trong trường hợp tổng quát, phương trình vi phân bậc hai được viết là: F(x,y,y”,y”) = 0

Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân bậc hai là một hàm có dạng , bao gồm hai hằng số tùy ý C 1 Và C 2.

Một nghiệm cụ thể của phương trình vi phân bậc hai là nghiệm thu được từ nghiệm tổng quát cho các giá trị nhất định của hằng số tùy ý C 1 Và C 2.

3.2. Phương trình vi phân đồng nhất tuyến tính bậc hai với các hệ số không đổi.

Phương trình vi phân đồng nhất tuyến tính bậc hai với hệ số không đổi gọi là phương trình có dạng y" + py" +qy = 0, Ở đâu P Và q- giá trị không đổi.

Thuật toán giải phương trình vi phân thuần nhất bậc hai có hệ số không đổi

1. Viết phương trình vi phân dưới dạng: y" + py" +qy = 0.

2. Lập phương trình đặc trưng, ​​ký hiệu ừ" bởi vì r 2, ừ" bởi vì r, y trong 1: r 2 + pr +q = 0

Giải phương trình vi phân. Nhờ dịch vụ trực tuyến của chúng tôi, bạn có thể giải các phương trình vi phân thuộc bất kỳ loại và độ phức tạp nào: không đồng nhất, đồng nhất, phi tuyến, tuyến tính, bậc một, bậc hai, với các biến có thể tách rời hoặc không thể tách rời, v.v. Bạn nhận được lời giải cho phương trình vi phân ở dạng phân tích kèm theo mô tả chi tiết. Nhiều người quan tâm: tại sao phải giải phương trình vi phân trực tuyến? Loại phương trình này rất phổ biến trong toán học và vật lý, trong đó sẽ không thể giải được nhiều bài toán nếu không tính phương trình vi phân. Phương trình vi phân cũng phổ biến trong kinh tế, y học, sinh học, hóa học và các ngành khoa học khác. Việc giải phương trình như vậy trực tuyến giúp đơn giản hóa đáng kể công việc của bạn, mang đến cho bạn cơ hội hiểu rõ hơn về tài liệu và tự kiểm tra. Ưu điểm của việc giải phương trình vi phân trực tuyến. Một trang web dịch vụ toán học hiện đại cho phép bạn giải các phương trình vi phân trực tuyến ở mọi mức độ phức tạp. Như bạn đã biết, có rất nhiều loại phương trình vi phân và mỗi loại đều có phương pháp giải riêng. Trên dịch vụ của chúng tôi, bạn có thể tìm thấy giải pháp trực tuyến cho các phương trình vi phân thuộc bất kỳ thứ tự và loại nào. Để có giải pháp, chúng tôi khuyên bạn nên điền dữ liệu ban đầu và nhấp vào nút “Giải pháp”. Các lỗi trong quá trình vận hành dịch vụ được loại trừ nên bạn có thể chắc chắn 100% rằng mình đã nhận được câu trả lời đúng. Giải phương trình vi phân với dịch vụ của chúng tôi. Giải phương trình vi phân trực tuyến. Theo mặc định, trong phương trình như vậy, hàm y là hàm của biến x. Nhưng bạn cũng có thể chỉ định tên biến của riêng mình. Ví dụ: nếu bạn chỉ định y(t) trong một phương trình vi phân thì dịch vụ của chúng tôi sẽ tự động xác định rằng y là hàm của biến t. Thứ tự của toàn bộ phương trình vi phân sẽ phụ thuộc vào thứ tự cực đại của đạo hàm của hàm có trong phương trình. Giải phương trình như vậy có nghĩa là tìm hàm mong muốn. Dịch vụ của chúng tôi sẽ giúp bạn giải phương trình vi phân trực tuyến. Bạn không cần phải tốn nhiều công sức để giải phương trình. Bạn chỉ cần nhập vế trái và phải của phương trình vào các trường bắt buộc và nhấp vào nút “Giải pháp”. Khi nhập đạo hàm của hàm số phải được biểu thị bằng dấu nháy đơn. Chỉ trong vài giây, bạn sẽ nhận được lời giải chi tiết có sẵn cho phương trình vi phân. Dịch vụ của chúng tôi hoàn toàn miễn phí. Phương trình vi phân có biến tách được. Nếu trong một phương trình vi phân có một biểu thức ở vế trái phụ thuộc vào y và ở vế phải có một biểu thức phụ thuộc vào x, thì phương trình vi phân đó được gọi là với các biến phân tách được. Vế trái có thể chứa đạo hàm của y; nghiệm của phương trình vi phân loại này sẽ có dạng hàm số của y, biểu diễn thông qua tích phân vế phải của phương trình. Nếu ở vế trái có vi phân của hàm y, thì trong trường hợp này cả hai vế của phương trình đều được tích phân. Khi các biến trong phương trình vi phân không được tách riêng thì chúng sẽ cần được tách riêng để thu được phương trình vi phân tách. Phương trình vi phân tuyến tính. Một phương trình vi phân có hàm số và tất cả các đạo hàm của nó đều ở bậc một được gọi là tuyến tính. Dạng tổng quát của phương trình: y’+a1(x)y=f(x). f(x) và a1(x) là các hàm liên tục của x. Việc giải các phương trình vi phân loại này dẫn đến việc lấy tích phân hai phương trình vi phân với các biến riêng biệt. Thứ tự của phương trình vi phân. Phương trình vi phân có thể bậc một, bậc hai, bậc n. Thứ tự của một phương trình vi phân xác định thứ tự của đạo hàm cao nhất mà nó chứa. Trong dịch vụ của chúng tôi, bạn có thể giải các phương trình vi phân trực tuyến cho phương trình thứ nhất, thứ hai, thứ ba, v.v. đặt hàng. Nghiệm của phương trình sẽ là bất kỳ hàm y=f(x nào), thay nó vào phương trình, bạn sẽ nhận được đẳng thức. Quá trình tìm nghiệm của phương trình vi phân được gọi là tích phân. Vấn đề Cauchy. Nếu, ngoài phương trình vi phân, còn có điều kiện ban đầu y(x0)=y0 thì đây được gọi là bài toán Cauchy. Các chỉ số y0 và x0 được thêm vào nghiệm của phương trình và giá trị của hằng số C tùy ý được xác định, sau đó xác định một nghiệm cụ thể của phương trình tại giá trị C này. Đây là nghiệm của bài toán Cauchy. Bài toán Cauchy còn được gọi là bài toán điều kiện biên, rất phổ biến trong vật lý và cơ học. Bạn cũng có cơ hội đặt bài toán Cauchy, nghĩa là từ tất cả các nghiệm có thể có của phương trình, hãy chọn một thương đáp ứng các điều kiện ban đầu đã cho.

Phương trình vi phân bậc nhất. Ví dụ về các giải pháp.
Phương trình vi phân có biến tách được

Phương trình vi phân (DE). Hai từ này thường khiến người bình thường khiếp sợ. Phương trình vi phân dường như là một thứ gì đó quá khó và khó nắm vững đối với nhiều học sinh. Uuuuu... phương trình vi phân, làm sao tôi có thể sống sót qua tất cả những điều này?!

Ý kiến ​​và thái độ này về cơ bản là sai lầm, bởi vì trên thực tế PHƯƠNG PHÁP KHÁC BIỆT - ĐƠN GIẢN VÀ THẬM CHÍ VUI VẺ. Bạn cần biết và có thể làm gì để học cách giải phương trình vi phân? Để nghiên cứu thành công sự khuếch tán, bạn phải giỏi tích hợp và phân biệt. Các chủ đề được nghiên cứu càng tốt Đạo hàm của hàm một biến Và Không xác định, không thể thiếu, thì việc hiểu các phương trình vi phân sẽ càng dễ dàng hơn. Mình sẽ nói thêm, nếu bạn ít nhiều có kỹ năng tích hợp khá thì chủ đề đó gần như đã nắm vững rồi! Bạn có thể giải được càng nhiều tích phân thuộc nhiều loại khác nhau thì càng tốt. Tại sao? Bạn sẽ phải hòa nhập rất nhiều. Và phân biệt. Cũng rất khuyến khích học cách tìm.

Trong 95% trường hợp, bài kiểm tra có 3 loại phương trình vi phân bậc một: phương trình tách được mà chúng ta sẽ xem xét trong bài học này; phương trình đồng nhất Và phương trình tuyến tính không đồng nhất. Đối với những người bắt đầu nghiên cứu về máy khuếch tán, tôi khuyên bạn nên đọc các bài học theo đúng thứ tự này và sau khi nghiên cứu hai bài viết đầu tiên, sẽ không có hại gì nếu bạn củng cố kỹ năng của mình trong một buổi hội thảo bổ sung - phương trình giảm đến đồng nhất.

Thậm chí còn có những loại phương trình vi phân hiếm hơn: phương trình vi phân tổng, phương trình Bernoulli và một số phương trình khác. Điều quan trọng nhất trong hai loại cuối cùng là các phương trình vi phân tổng, vì ngoài phương trình vi phân này tôi đang xem xét tài liệu mới - tích hợp một phần.

Nếu bạn chỉ còn lại một hoặc hai ngày, Cái đó để chuẩn bị cực nhanh Có khóa học chớp nhoángở định dạng pdf.

Vì vậy, các mốc đã được thiết lập - hãy bắt đầu:

Đầu tiên, chúng ta hãy nhớ lại các phương trình đại số thông thường. Chúng chứa các biến và số. Ví dụ đơn giản nhất: . Việc giải một phương trình thông thường có ý nghĩa gì? Điều này có nghĩa là tìm bộ số, thỏa mãn phương trình này. Dễ dàng nhận thấy phương trình trẻ em có một nghiệm duy nhất: . Để giải trí, hãy kiểm tra và thay thế nghiệm tìm được vào phương trình của chúng ta:

– thu được đẳng thức đúng, nghĩa là nghiệm đã được tìm đúng.

Các bộ khuếch tán được thiết kế theo cách tương tự!

phương trình vi phân đơn hàng đầu tiên nói chung chứa:
1) biến độc lập;
2) biến phụ thuộc (hàm);
3) đạo hàm bậc nhất của hàm số: .

Trong một số phương trình bậc 1 có thể không có “x” và/hoặc “y”, nhưng điều này không đáng kể - quan trọngđi đến phòng điều khiển đã từng làđạo hàm bậc nhất, và đã không cóđạo hàm của bậc cao hơn – , v.v.

nghĩa là gì? Giải phương trình vi phân có nghĩa là tìm tập hợp tất cả các chức năng, thỏa mãn phương trình này. Tập hợp các hàm như vậy thường có dạng (- một hằng số tùy ý), được gọi là nghiệm tổng quát của phương trình vi phân.

ví dụ 1

Giải phương trình vi phân

Đầy đủ đạn dược. Nơi để bắt đầu giải pháp?

Trước hết, bạn cần viết lại đạo hàm ở dạng hơi khác. Chúng tôi nhớ lại cách chỉ định rườm rà mà nhiều bạn có thể thấy vô lý và không cần thiết. Đây là những quy tắc trong máy khuếch tán!

Ở bước thứ hai, hãy xem liệu có thể thực hiện được không các biến riêng biệt? Việc tách các biến có ý nghĩa gì? Nói đại khái, ở bên trái chúng ta cần phải rời đi chỉ có "người Hy Lạp", MỘT phía bên phải tổ chức chỉ có "X". Việc chia biến được thực hiện bằng các thao tác “trường học”: đưa chúng ra khỏi ngoặc, chuyển các số hạng từ phần này sang phần khác bằng cách đổi dấu, chuyển các thừa số từ phần này sang phần khác theo quy tắc tỷ lệ, v.v.

Sự khác biệt và là số nhân đầy đủ và là người tham gia tích cực vào chiến sự. Trong ví dụ đang xem xét, các biến có thể dễ dàng được phân tách bằng cách tung các thừa số theo quy tắc tỷ lệ:

Các biến được tách ra. Ở bên trái chỉ có “Y”, ở bên phải – chỉ có “X”.

Giai đoạn tiếp theo - tích hợp phương trình vi phân. Rất đơn giản, chúng ta đặt tích phân ở cả hai vế:

Tất nhiên, chúng ta cần lấy tích phân. Trong trường hợp này chúng ở dạng bảng:

Như chúng ta nhớ, một hằng số được gán cho bất kỳ nguyên hàm nào. Ở đây có hai tích phân, nhưng chỉ cần viết hằng số một lần là đủ (vì hằng số + hằng số vẫn bằng hằng số khác). Trong hầu hết các trường hợp, nó được đặt ở phía bên phải.

Nói một cách chính xác, sau khi lấy tích phân, phương trình vi phân được coi là đã giải. Chỉ có điều chữ “y” của chúng ta không được thể hiện qua “x”, tức là lời giải được đưa ra một cách ngầm định hình thức. Lời giải của phương trình vi phân ở dạng ẩn được gọi là tích phân tổng quát của phương trình vi phân. Tức là đây là tích phân tổng quát.

Câu trả lời ở dạng này khá chấp nhận được, nhưng có lựa chọn nào tốt hơn không? Hãy cố gắng để có được quyết định chung.

Vui lòng, hãy nhớ kỹ thuật đầu tiên, nó rất thông dụng và thường được sử dụng trong các công việc thực tế: nếu logarit xuất hiện ở vế phải sau khi lấy tích phân, thì trong nhiều trường hợp (nhưng không phải luôn luôn!) bạn cũng nên viết hằng số dưới logarit.

Đó là, THAY VÌ các mục thường được viết .

Tại sao điều này là cần thiết? Và để dễ dàng thể hiện “trò chơi” hơn. Sử dụng tính chất của logarit . Trong trường hợp này:

Bây giờ logarit và mô-đun có thể được loại bỏ:

Chức năng được trình bày rõ ràng. Đây là giải pháp chung.

Trả lời: quyết định chung: .

Câu trả lời cho nhiều phương trình vi phân khá dễ kiểm tra. Trong trường hợp của chúng tôi, việc này được thực hiện khá đơn giản, chúng tôi lấy giải pháp tìm được và phân biệt nó:

Sau đó thay đạo hàm vào phương trình ban đầu:

– thu được đẳng thức đúng, nghĩa là nghiệm tổng quát thỏa mãn phương trình, đây là điều cần kiểm tra.

Bằng cách đưa ra các giá trị khác nhau không đổi, bạn có thể nhận được vô số giải pháp riêng phương trình vi phân. Rõ ràng là bất kỳ hàm số , , v.v. thỏa mãn phương trình vi phân.

Đôi khi giải pháp chung được gọi là họ chức năng. Trong ví dụ này, giải pháp chung là một họ các hàm tuyến tính, hay chính xác hơn là một họ hàm tỷ lệ trực tiếp.

Sau khi xem xét kỹ lưỡng ví dụ đầu tiên, việc trả lời một số câu hỏi đơn giản về phương trình vi phân là phù hợp:

1)Trong ví dụ này, chúng tôi có thể tách các biến. Điều này có thể luôn luôn được thực hiện? Không, không phải lúc nào cũng vậy. Và thậm chí thường xuyên hơn, các biến không thể tách rời. Ví dụ, trong phương trình bậc nhất đồng nhất, trước tiên bạn phải thay thế nó. Trong các loại phương trình khác, chẳng hạn như trong phương trình tuyến tính không đồng nhất bậc nhất, bạn cần sử dụng nhiều kỹ thuật và phương pháp khác nhau để tìm ra nghiệm tổng quát. Các phương trình có các biến tách được mà chúng ta xem xét trong bài học đầu tiên là loại phương trình vi phân đơn giản nhất.

2) Có phải luôn luôn có thể tích phân một phương trình vi phân? Không, không phải lúc nào cũng vậy. Rất dễ dàng đưa ra một phương trình “lạ mắt” không thể lấy tích phân, ngoài ra còn có những tích phân không thể lấy được. Nhưng những DE như vậy có thể được giải gần đúng bằng các phương pháp đặc biệt. D'Alembert và Cauchy đảm bảo... ...ugh, lurkmore. vừa mới đọc rất nhiều, tôi gần như đã thêm "từ thế giới khác."

3) Trong ví dụ này, chúng ta thu được nghiệm ở dạng tích phân tổng quát . Có phải luôn luôn có thể tìm được nghiệm tổng quát từ tích phân tổng quát, tức là biểu diễn chữ “y” một cách rõ ràng? Không, không phải lúc nào cũng vậy. Ví dụ: . Chà, làm sao bạn có thể diễn đạt “tiếng Hy Lạp” ở đây?! Trong những trường hợp như vậy, đáp án phải được viết dưới dạng tích phân tổng quát. Ngoài ra, đôi khi có thể tìm được lời giải tổng quát nhưng viết rườm rà, vụng về nên tốt nhất nên để đáp án dưới dạng tích phân tổng quát.

4) ...có lẽ bây giờ thế là đủ rồi. Trong ví dụ đầu tiên chúng ta gặp phải một điểm quan trọng khác, nhưng để không phủ lên những “hình nộm” một loạt thông tin mới, tôi sẽ để nó cho đến bài học tiếp theo.

Chúng tôi sẽ không vội vàng. Một điều khiển từ xa đơn giản khác và một giải pháp điển hình khác:

Ví dụ 2

Tìm nghiệm cụ thể của phương trình vi phân thỏa mãn điều kiện ban đầu

Giải pháp: theo điều kiện cần tìm giải pháp riêng DE thỏa mãn điều kiện ban đầu cho trước. Cách đặt câu hỏi này còn được gọi là vấn đề Cauchy.

Đầu tiên chúng ta tìm một giải pháp chung. Không có biến “x” trong phương trình, nhưng điều này không nên nhầm lẫn, điều chính là nó có đạo hàm cấp một.

Chúng tôi viết lại đạo hàm ở dạng yêu cầu:

Rõ ràng, các biến có thể được tách ra, con trai ở bên trái, con gái ở bên phải:

Hãy tích hợp phương trình:

Tích phân tổng quát thu được. Ở đây tôi đã vẽ một hằng số có dấu hoa thị, thực tế là nó sẽ sớm biến thành một hằng số khác.

Bây giờ chúng ta cố gắng biến đổi tích phân tổng quát thành nghiệm tổng quát (biểu diễn rõ ràng chữ “y”). Hãy nhớ lại những điều tốt đẹp xưa ở trường: . Trong trường hợp này:

Hằng số trong chỉ báo có vẻ không hợp lý bằng cách nào đó, vì vậy nó thường được đưa xuống mặt đất. Cụ thể thì sự việc diễn ra như thế này. Sử dụng tính chất độ, chúng ta viết lại hàm như sau:

Nếu là một hằng số thì cũng là một hằng số nào đó, hãy ký hiệu lại nó bằng chữ cái:

Hãy nhớ “phá hủy” một hằng số là kỹ thuật thứ hai, thường được sử dụng khi giải phương trình vi phân.

Vì vậy, giải pháp chung là: . Đây là một họ hàm mũ đẹp.

Ở giai đoạn cuối, bạn cần tìm một giải pháp cụ thể thỏa mãn điều kiện ban đầu đã cho. Điều này cũng đơn giản.

Nhiệm vụ là gì? Cần phải nhặt như là giá trị của hằng số sao cho điều kiện được thỏa mãn.

Nó có thể được định dạng theo nhiều cách khác nhau, nhưng đây có lẽ sẽ là cách rõ ràng nhất. Trong giải pháp chung, thay vì “X”, chúng ta thay thế số 0 và thay vì “Y” chúng ta thay thế bằng hai:



Đó là,

Phiên bản thiết kế tiêu chuẩn:

Bây giờ chúng ta thay giá trị tìm được của hằng số vào nghiệm tổng quát:
– đây là giải pháp cụ thể mà chúng tôi cần.

Trả lời: giải pháp riêng:

Hãy kiểm tra. Kiểm tra một giải pháp riêng bao gồm hai giai đoạn:

Trước tiên, bạn cần kiểm tra xem giải pháp cụ thể được tìm thấy có thực sự thỏa mãn điều kiện ban đầu hay không? Thay vì chữ “X”, chúng ta thay thế số 0 và xem điều gì sẽ xảy ra:
- vâng, thực sự, hai đã được nhận, có nghĩa là điều kiện ban đầu được đáp ứng.

Giai đoạn thứ hai đã quen thuộc. Chúng tôi lấy giải pháp cụ thể thu được và tìm đạo hàm:

Chúng ta thay thế vào phương trình ban đầu:

- thu được đẳng thức đúng.

Kết luận: giải pháp cụ thể đã được tìm thấy chính xác.

Hãy chuyển sang những ví dụ có ý nghĩa hơn.

Ví dụ 3

Giải phương trình vi phân

Giải pháp: Chúng tôi viết lại đạo hàm ở dạng chúng tôi cần:

Chúng tôi đánh giá liệu có thể tách các biến? Có thể. Chúng ta chuyển số hạng thứ hai sang vế phải bằng cách đổi dấu:

Và ta chuyển số nhân theo quy luật tỉ lệ:

Các biến được tách ra, hãy tích hợp cả hai phần:

Tôi phải cảnh báo bạn, ngày phán xét đang đến gần. Nếu bạn chưa học tốt tích phân không xác định, đã giải được một vài ví dụ, sau đó không còn nơi nào để đi - bạn sẽ phải nắm vững chúng ngay bây giờ.

Tích phân của vế trái rất dễ tìm; chúng ta giải tích phân của cotang bằng kỹ thuật tiêu chuẩn mà chúng ta đã xem xét trong bài học Tích hợp các hàm lượng giác năm ngoái:

Ở phía bên phải, chúng ta có logarit, và theo khuyến nghị kỹ thuật đầu tiên của tôi, hằng số cũng phải được viết dưới logarit.

Bây giờ chúng ta cố gắng đơn giản hóa tích phân tổng quát. Vì chúng ta chỉ có logarit nên việc loại bỏ chúng là hoàn toàn có thể (và cần thiết). Bằng cách sử dụng tính chất đã biết Chúng tôi “đóng gói” logarit càng nhiều càng tốt. Tôi sẽ viết nó ra rất chi tiết:

Bao bì làm xong bị rách nát dã man:

Có thể diễn đạt “trò chơi” được không? Có thể. Cần phải vuông góc cả hai phần.

Nhưng bạn không cần phải làm điều này.

Mẹo kỹ thuật thứ ba: nếu để có được giải pháp tổng thể cần phải nâng lên sức mạnh hoặc bén rễ thì Trong hầu hết các trường hợp bạn nên hạn chế những hành động này và để lại đáp án dưới dạng tích phân tổng quát. Thực tế là giải pháp chung sẽ trông đơn giản khủng khiếp - với những bộ rễ lớn, những dấu hiệu và những thứ rác rưởi khác.

Do đó, chúng ta viết đáp án dưới dạng tích phân tổng quát. Nó được coi là một cách thực hành tốt để trình bày nó ở dạng , nghĩa là ở phía bên phải, nếu có thể, chỉ để lại một hằng số. Không nhất thiết phải làm như vậy nhưng luôn có lợi khi làm hài lòng giáo sư ;-)

Trả lời: tích phân tổng quát:

! Ghi chú: Tích phân tổng quát của bất kỳ phương trình nào cũng có thể được viết theo nhiều cách. Vì vậy, nếu kết quả của bạn không trùng với đáp án đã biết trước đó, điều này không có nghĩa là bạn đã giải sai phương trình.

Tích phân tổng quát cũng khá dễ kiểm tra, cái chính là có thể tìm được đạo hàm của một hàm được chỉ định ngầm định. Hãy phân biệt câu trả lời:

Chúng tôi nhân cả hai số hạng với:

Và chia cho:

Phương trình vi phân ban đầu đã thu được một cách chính xác, có nghĩa là tích phân tổng quát đã được tìm thấy một cách chính xác.

Ví dụ 4

Tìm nghiệm cụ thể của phương trình vi phân thỏa mãn điều kiện ban đầu. Thực hiện kiểm tra.

Đây là ví dụ để bạn tự giải quyết.

Hãy để tôi nhắc bạn rằng thuật toán bao gồm hai giai đoạn:
1) tìm giải pháp chung;
2) tìm giải pháp cụ thể cần thiết.

Việc kiểm tra cũng được thực hiện theo hai bước (xem mẫu ở Ví dụ số 2), bạn cần:
1) đảm bảo rằng giải pháp cụ thể được tìm thấy thỏa mãn điều kiện ban đầu;
2) kiểm tra xem một nghiệm cụ thể có thỏa mãn phương trình vi phân hay không.

Đáp án và đáp án đầy đủ ở cuối bài.

Ví dụ 5

Tìm nghiệm cụ thể của phương trình vi phân , thỏa mãn điều kiện ban đầu. Thực hiện kiểm tra.

Giải pháp:Đầu tiên, chúng ta hãy tìm một nghiệm tổng quát, phương trình này đã chứa sẵn vi phân và do đó, nghiệm được đơn giản hóa. Chúng tôi tách các biến:

Hãy tích hợp phương trình:

Tích phân bên trái là dạng bảng, tích phân bên phải được lấy phương pháp gộp hàm số dưới dấu vi phân:

Tích phân tổng quát đã thu được, liệu có thể biểu diễn thành công nghiệm tổng quát được không? Có thể. Chúng tôi treo logarit ở cả hai bên. Vì chúng dương nên dấu hiệu mô đun là không cần thiết:

(Mong mọi người hiểu sự chuyển hóa, những điều như vậy chắc hẳn đã biết rồi)

Vì vậy, giải pháp chung là:

Hãy tìm một giải pháp cụ thể tương ứng với điều kiện ban đầu đã cho.
Trong giải pháp tổng quát, thay vì “X”, chúng ta thay thế số 0 và thay vì “Y”, chúng ta thay thế logarit của hai:

Thiết kế quen thuộc hơn:

Chúng ta thay giá trị tìm được của hằng số vào nghiệm tổng quát.

Trả lời: giải pháp riêng:

Kiểm tra: Trước tiên, hãy kiểm tra xem điều kiện ban đầu có được đáp ứng hay không:
- Mọi thứ đều tốt.

Bây giờ hãy kiểm tra xem nghiệm cụ thể tìm được có thỏa mãn phương trình vi phân hay không. Tìm đạo hàm:

Chúng ta hãy nhìn vào phương trình ban đầu: – nó được trình bày dưới dạng vi phân. Có hai cách để kiểm tra. Có thể biểu diễn vi phân từ đạo hàm tìm được:

Chúng ta hãy thay thế nghiệm cụ thể tìm được và vi phân thu được vào phương trình ban đầu :

Chúng tôi sử dụng danh tính logarit cơ bản:

Đạt được đẳng thức chính xác, có nghĩa là giải pháp cụ thể đã được tìm thấy chính xác.

Phương pháp kiểm tra thứ hai được phản ánh và quen thuộc hơn: từ phương trình Hãy biểu thị đạo hàm, để làm điều này, chúng ta chia tất cả các phần cho:

Và vào DE đã biến đổi, chúng ta thay thế nghiệm từng phần thu được và đạo hàm tìm được. Do sự đơn giản hóa, cũng cần đạt được sự bình đẳng chính xác.

Ví dụ 6

Giải phương trình vi phân. Trình bày câu trả lời dưới dạng tích phân tổng quát.

Đây là ví dụ để các bạn tự giải, giải đầy đủ và đáp án cuối bài.

Những khó khăn nào đang chờ đợi khi giải phương trình vi phân với các biến tách được?

1) Không phải lúc nào cũng rõ ràng (đặc biệt đối với một “ấm trà”) rằng các biến số có thể được tách ra. Hãy xem xét một ví dụ có điều kiện: . Ở đây bạn cần lấy các thừa số ra khỏi ngoặc: và tách các gốc: . Rõ ràng phải làm gì tiếp theo.

2) Những khó khăn trong quá trình hội nhập. Tích phân thường không đơn giản nhất và nếu có sai sót trong kỹ năng tìm không xác định, không thể thiếu, thì sẽ khó khăn với nhiều bộ khuếch tán. Ngoài ra, logic “vì phương trình vi phân đơn giản nên ít nhất hãy để tích phân phức tạp hơn” rất phổ biến trong những người biên soạn các bộ sưu tập và sách hướng dẫn đào tạo.

3) Các phép biến đổi có hằng số. Như mọi người đã nhận thấy, hằng số trong các phương trình vi phân có thể được xử lý khá dễ dàng và một số phép biến đổi không phải lúc nào cũng rõ ràng đối với người mới bắt đầu. Hãy xem một ví dụ có điều kiện khác: . Nên nhân tất cả các số hạng với 2: . Hằng số kết quả cũng là một loại hằng số nào đó, có thể được biểu thị bằng: . Có, và vì có logarit ở vế phải nên nên viết lại hằng số dưới dạng một hằng số khác: .

Vấn đề là họ thường không bận tâm đến các chỉ mục và sử dụng cùng một chữ cái. Do đó, bản ghi quyết định có dạng sau:

Những loại dị giáo? Có những sai lầm ngay tại đó! Nói đúng ra thì có. Tuy nhiên, xét về mặt thực chất thì không có sai sót nào cả, vì khi biến đổi một hằng biến thì vẫn thu được một hằng biến.

Hoặc một ví dụ khác, giả sử rằng trong quá trình giải phương trình, thu được tích phân tổng quát. Câu trả lời này có vẻ xấu nên nên đổi dấu từng số hạng: . Về mặt hình thức, có một sai lầm khác ở đây - nó phải được viết ở bên phải. Nhưng một cách không chính thức thì người ta ngụ ý rằng “trừ ce” vẫn là một hằng số ( có thể dễ dàng mang bất kỳ ý nghĩa nào!), vì vậy việc đặt dấu “trừ” không có ý nghĩa gì và bạn có thể sử dụng cùng một chữ cái.

Tôi sẽ cố gắng tránh cách tiếp cận bất cẩn và vẫn gán các chỉ số khác nhau cho các hằng số khi chuyển đổi chúng.

Ví dụ 7

Giải phương trình vi phân. Thực hiện kiểm tra.

Giải pháp: Phương trình này cho phép tách các biến. Chúng tôi tách các biến:

Hãy tích hợp:

Không cần thiết phải định nghĩa hằng số ở đây là logarit, vì việc này sẽ không có ích gì.

Trả lời: tích phân tổng quát:

Kiểm tra: Phân biệt câu trả lời (hàm ẩn):

Chúng ta loại bỏ các phân số bằng cách nhân cả hai số hạng với:

Phương trình vi phân ban đầu đã thu được, có nghĩa là tích phân tổng quát đã được tìm thấy một cách chính xác.

Ví dụ 8

Tìm một giải pháp cụ thể của DE.
,

Đây là ví dụ để bạn tự giải quyết. Gợi ý duy nhất là ở đây bạn sẽ nhận được tích phân tổng quát, và nói chính xác hơn, bạn cần cố gắng tìm ra không phải một nghiệm cụ thể mà là tích phân một phần. Đáp án và đáp án đầy đủ ở cuối bài.

Máy tính trực tuyến này cho phép bạn giải các phương trình vi phân trực tuyến. Chỉ cần nhập phương trình của bạn vào trường thích hợp, biểu thị đạo hàm của hàm thông qua dấu nháy đơn và nhấp vào nút “giải phương trình”. Và hệ thống, được triển khai trên cơ sở trang web WolframAlpha phổ biến, sẽ cung cấp thông tin chi tiết giải phương trình vi phân hoàn toàn miễn phí. Bạn cũng có thể xác định bài toán Cauchy để chọn từ toàn bộ tập hợp các nghiệm khả thi thương số tương ứng với các điều kiện ban đầu đã cho. Bài toán Cauchy được đưa vào một trường riêng biệt.

phương trình vi phân

Theo mặc định, hàm trong phương trình y là hàm của một biến x. Tuy nhiên, bạn có thể chỉ định ký hiệu của riêng mình cho biến đó; ví dụ: nếu bạn viết y(t) vào phương trình, máy tính sẽ tự động nhận ra rằng y có một hàm từ một biến t. Với sự trợ giúp của máy tính, bạn có thể giải phương trình vi phân thuộc bất kỳ độ phức tạp và loại nào: đồng nhất và không đồng nhất, tuyến tính hoặc phi tuyến, bậc một hoặc bậc hai và cao hơn, phương trình với các biến có thể tách rời hoặc không thể tách rời, v.v. Giải pháp khác biệt. phương trình được đưa ra ở dạng phân tích và có mô tả chi tiết. Phương trình vi phân rất phổ biến trong vật lý và toán học. Nếu không tính toán chúng thì không thể giải được nhiều bài toán (đặc biệt là toán vật lý).

Một trong những giai đoạn giải phương trình vi phân là tích phân hàm. Có các phương pháp tiêu chuẩn để giải phương trình vi phân. Cần rút gọn các phương trình về dạng có các biến tách y, x và tích phân riêng các hàm đã tách. Để làm được điều này, đôi khi phải thực hiện một sự thay thế nhất định.

Phương trình vi phân thường là một phương trình liên quan đến một biến độc lập, một hàm chưa biết của biến này và các đạo hàm (hoặc vi phân) của nó theo các bậc khác nhau.

Thứ tự của phương trình vi phân được gọi là bậc của đạo hàm cao nhất chứa trong nó.

Ngoài những phương trình thông thường, các phương trình vi phân từng phần cũng được nghiên cứu. Đây là các phương trình liên hệ các biến độc lập, một hàm chưa biết của các biến này và đạo hàm riêng của nó đối với cùng các biến. Nhưng chúng ta sẽ chỉ xem xét phương trình vi phân thường và do đó, để ngắn gọn, chúng tôi sẽ lược bỏ từ “thông thường”.

Ví dụ về phương trình vi phân:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

Phương trình (1) là bậc bốn, phương trình (2) là bậc ba, phương trình (3) và (4) là bậc hai, phương trình (5) là bậc một.

phương trình vi phân N bậc thứ không nhất thiết phải chứa một hàm rõ ràng, tất cả các đạo hàm của nó từ bậc một đến bậc N-thứ tự và biến độc lập. Nó có thể không chứa rõ ràng các dẫn xuất của một số đơn đặt hàng nhất định, một hàm hoặc một biến độc lập.

Ví dụ, trong phương trình (1) rõ ràng không có đạo hàm bậc ba và bậc hai, cũng như hàm số; trong phương trình (2) - đạo hàm bậc hai và hàm số; trong phương trình (4) - biến độc lập; trong phương trình (5) - hàm số. Chỉ phương trình (3) chứa rõ ràng tất cả các đạo hàm, hàm và biến độc lập.

Giải phương trình vi phân mọi chức năng được gọi y = f(x), khi được thay thế vào phương trình, nó trở thành một đẳng thức.

Quá trình tìm nghiệm của phương trình vi phân được gọi là hội nhập.

Ví dụ 1. Tìm nghiệm của phương trình vi phân.

Giải pháp. Hãy viết phương trình này dưới dạng . Giải pháp là tìm hàm từ đạo hàm của nó. Hàm ban đầu, như được biết đến từ phép tính tích phân, là một nguyên hàm của, tức là

Đó là những gì nó là giải phương trình vi phân này . Thay đổi trong đó C, chúng ta sẽ thu được các giải pháp khác nhau. Chúng tôi phát hiện ra rằng có vô số nghiệm cho phương trình vi phân bậc nhất.

Giải tổng quát của phương trình vi phân N bậc thứ là nghiệm của nó, được biểu diễn rõ ràng đối với hàm chưa biết và chứa N hằng số tùy ý độc lập, tức là

Lời giải của phương trình vi phân ở Ví dụ 1 có tính chất tổng quát.

Giải từng phần của phương trình vi phân một giải pháp trong đó các hằng số tùy ý được đưa ra các giá trị số cụ thể được gọi.

Ví dụ 2. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân và nghiệm riêng của phương trình .

Giải pháp. Hãy tích phân cả hai vế của phương trình một số lần bằng bậc của phương trình vi phân.

,

.

Kết quả là chúng tôi đã nhận được một giải pháp chung -

của một phương trình vi phân bậc ba đã cho.

Bây giờ chúng ta hãy tìm một giải pháp cụ thể trong các điều kiện đã chỉ định. Để làm điều này, hãy thay thế các giá trị của chúng thay vì các hệ số tùy ý và nhận được

.

Nếu, ngoài phương trình vi phân, điều kiện ban đầu được cho ở dạng , thì bài toán đó được gọi là vấn đề Cauchy . Thay các giá trị vào nghiệm tổng quát của phương trình và tìm giá trị của hằng số tùy ý C, và sau đó là nghiệm cụ thể của phương trình cho giá trị tìm được C. Đây chính là lời giải của bài toán Cauchy.

Ví dụ 3. Giải bài toán Cauchy cho phương trình vi phân từ ví dụ 1 đến .

Giải pháp. Ta thay các giá trị từ điều kiện ban đầu vào nghiệm tổng quát y = 3, x= 1. Chúng tôi nhận được

Chúng ta viết ra nghiệm của bài toán Cauchy cho phương trình vi phân bậc nhất này:

Việc giải các phương trình vi phân, ngay cả những phương trình đơn giản nhất, đòi hỏi kỹ năng tích phân và đạo hàm tốt, bao gồm cả các hàm phức tạp. Điều này có thể được nhìn thấy trong ví dụ sau.

Ví dụ 4. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân.

Giải pháp. Phương trình được viết dưới dạng sao cho bạn có thể lấy tích phân cả hai vế ngay lập tức.

.

Ta áp dụng phương pháp tích phân bằng cách đổi biến (thay thế). Vậy thì cứ để vậy đi.

Bắt buộc phải lấy dx và bây giờ - chú ý - chúng ta thực hiện điều này theo quy tắc đạo hàm của hàm phức, vì x và có một hàm phức tạp (“táo” là phép rút căn bậc hai hoặc tương tự như vậy, nâng lũy ​​thừa “một nửa” và “thịt băm” chính là biểu thức nằm dưới gốc):

Ta tìm tích phân:

Trở lại biến x, chúng tôi nhận được:

.

Đây là nghiệm tổng quát của phương trình vi phân bậc một này.

Khi giải phương trình vi phân, không chỉ cần có các kỹ năng từ các phần trước của toán cao cấp mà còn cả các kỹ năng từ cấp tiểu học, tức là toán học ở trường. Như đã đề cập, trong một phương trình vi phân cấp bất kỳ có thể không có một biến độc lập, tức là một biến x. Kiến thức về tỷ lệ ở trường không bị quên (tuy nhiên, tùy thuộc vào ai) ở trường sẽ giúp giải quyết vấn đề này. Đây là ví dụ tiếp theo.