Điểm cực trị của một hàm là gì: điểm tới hạn của cực đại và cực tiểu.
Điểm cực trị của hàm số là gì và điều kiện cần để có điểm cực trị là gì?
Điểm cực trị của một hàm số là điểm cực đại và cực tiểu của hàm số.
Điều kiện cần để đạt cực đại và cực tiểu (cực trị) của hàm số như sau: nếu hàm số f (x) có cực trị tại điểm x = a thì tại thời điểm này đạo hàm bằng 0 hoặc vô hạn hoặc bằng không tồn tại.
Điều kiện này là cần, nhưng chưa đủ. Đạo hàm tại điểm x = a có thể biến mất, đi đến vô cùng hoặc không tồn tại khi hàm số có cực trị tại điểm này.
Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị (cực đại hoặc cực tiểu) là gì?
Điều kiện đầu tiên:
Nếu, trong khoảng gần đủ với điểm x = a, đạo hàm f? (X) dương bên trái a và âm bên phải a, thì tại điểm x = a, hàm số f (x) có tối đa
Nếu, trong một khoảng gần đủ với điểm x = a, đạo hàm f? (X) âm bên trái a và dương bên phải a, thì tại điểm x = a, hàm số f (x) có tối thiểu với điều kiện là hàm f (x) liên tục ở đây.
Thay vào đó, bạn có thể sử dụng điều kiện đủ thứ hai cho cực trị của hàm:
Để tại điểm x = và đạo hàm cấp một f? (X) biến mất; nếu đạo hàm cấp hai f ?? (а) âm thì hàm số f (x) đạt cực đại tại điểm x = a, nếu dương thì cực tiểu.
Điểm tới hạn của một hàm là gì và làm thế nào để tìm nó?
Đây là giá trị của đối số hàm mà tại đó hàm có cực trị (tức là cực đại hoặc cực tiểu). Để tìm thấy nó, bạn cần tìm đạo hàm hàm f? (x) và, cho nó bằng 0, giải phương trình f? (x) = 0. Các gốc của phương trình này, cũng như các điểm mà tại đó đạo hàm của hàm này không tồn tại, là các điểm tới hạn, tức là các giá trị của đối số mà tại đó có thể có cực trị . Chúng có thể dễ dàng được xác định bằng cách nhìn vào đồ thị đạo hàm: chúng tôi quan tâm đến những giá trị của đối số mà tại đó đồ thị của hàm số cắt trục abscissa (trục Ox) và những giá trị mà tại đó đồ thị bị đứt.
Ví dụ, chúng ta hãy tìm cực đại của parabol.
Hàm số y (x) = 3x2 + 2x - 50.
Đạo hàm hàm số: y? (X) = 6x + 2
Ta giải phương trình: y? (X) = 0
6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3
Trong trường hợp này, điểm tới hạn là x0 = -1 / 3. Chính vì giá trị này của đối số mà hàm có cực đoan. Để có được nó tìm thấy, chúng tôi thay thế số tìm được trong biểu thức cho hàm thay vì "x":
y0 = 3 * (- 1/3) 2 + 2 * (- 1/3) - 50 = 3 * 1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.
Cách xác định giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một hàm, tức là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của nó?
Nếu dấu của đạo hàm thay đổi từ “cộng” thành “trừ” khi đi qua điểm tới hạn x0, thì x0 là điểm tối đa; nếu dấu của đạo hàm chuyển từ trừ sang cộng, thì x0 là điểm tối thiểu; nếu dấu không thay đổi thì tại điểm x0 không có cực đại hay cực tiểu.
Đối với ví dụ được xem xét:
Chúng tôi lấy một giá trị tùy ý của đối số ở bên trái của điểm tới hạn: x = -1
Khi x = -1, giá trị của đạo hàm sẽ là y? (-1) = 6 * (-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (tức là dấu trừ).
Bây giờ chúng ta lấy một giá trị tùy ý của đối số ở bên phải của điểm tới hạn: x = 1
Với x = 1, giá trị của đạo hàm sẽ là y (1) = 6 * 1 + 2 = 6 + 2 = 8 (tức là dấu cộng).
Như bạn thấy, khi đi qua điểm tới hạn, đạo hàm đổi dấu từ trừ sang cộng. Điều này có nghĩa là tại giá trị tới hạn của x0, chúng ta có một điểm cực tiểu.
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trong khoảng thời gian(trên phân đoạn) được tìm thấy theo cùng một quy trình, chỉ tính đến thực tế là có lẽ không phải tất cả các điểm tới hạn đều nằm trong khoảng thời gian xác định. Những điểm quan trọng nằm ngoài khoảng thời gian phải được loại trừ khỏi việc xem xét. Nếu chỉ có một điểm tới hạn trong khoảng thời gian, nó sẽ có giá trị cực đại hoặc cực tiểu. Trong trường hợp này, để xác định giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số, ta cũng tính đến các giá trị của hàm số ở hai đầu khoảng.
Ví dụ, hãy tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm
y (x) \ u003d 3 sin (x) - 0,5x
trong khoảng thời gian:
Vậy đạo hàm của hàm số là
y? (x) = 3cos (x) - 0,5
Ta giải phương trình 3cos (x) - 0,5 = 0
cos (x) = 0,5 / 3 = 0,16667
x \ u003d ± arccos (0,16667) + 2πk.
Chúng tôi tìm thấy các điểm tới hạn trên khoảng [-9; 9]:
x \ u003d arccos (0,16667) - 2π * 2 \ u003d -11,163 (không bao gồm trong khoảng thời gian)
x \ u003d -arccos (0,16667) - 2π * 1 \ u003d -7,687
x \ u003d arccos (0,16667) - 2π * 1 \ u003d -4,88
x \ u003d -arccos (0,16667) + 2π * 0 \ u003d -1,403
x \ u003d arccos (0,16667) + 2π * 0 \ u003d 1,403
x \ u003d -arccos (0,16667) + 2π * 1 \ u003d 4,88
x \ u003d arccos (0,16667) + 2π * 1 \ u003d 7,687
x \ u003d -arccos (0,16667) + 2π * 2 \ u003d 11,163 (không bao gồm trong khoảng thời gian)
Chúng tôi tìm các giá trị của hàm tại các giá trị quan trọng của đối số:
y (-7,687) = 3cos (-7,687) - 0,5 = 0,885
y (-4,88) = 3cos (-4,88) - 0,5 = 5,398
y (-1,403) = 3cos (-1,403) - 0,5 = -2,256
y (1,403) = 3cos (1,403) - 0,5 = 2,256
y (4,88) = 3cos (4,88) - 0,5 = -5,398
y (7.687) = 3cos (7.687) - 0.5 = -0.885
Có thể thấy rằng trên khoảng [-9; 9] hàm có giá trị lớn nhất tại x = -4,88:
x = -4,88, y = 5,398,
và nhỏ nhất - tại x = 4,88:
x = 4,88, y = -5,398.
Trên khoảng [-6; -3] chúng ta chỉ có một điểm tới hạn: x = -4,88. Giá trị của hàm số tại x = -4,88 là y = 5,398.
Ta tìm giá trị của hàm số ở hai đầu khoảng:
y (-6) = 3cos (-6) - 0,5 = 3,838
y (-3) = 3cos (-3) - 0,5 = 1,077
Trên khoảng [-6; -3] chúng ta có giá trị lớn nhất của hàm
y = 5.398 tại x = -4,88
giá trị nhỏ nhất là
y = 1,077 tại x = -3
Làm thế nào để tìm điểm uốn của đồ thị hàm số và xác định các cạnh của lồi và lõm?
Để tìm tất cả các điểm uốn của đường thẳng y \ u003d f (x), bạn cần tìm đạo hàm cấp hai, cho nó bằng 0 (giải phương trình) và kiểm tra tất cả các giá trị đó của x mà đạo hàm cấp hai bằng 0. , vô hạn hoặc không tồn tại. Nếu khi đi qua một trong các giá trị này mà đạo hàm cấp 2 đổi dấu thì lúc này đồ thị của hàm số có một góc uốn. Nếu nó không thay đổi, thì không có uốn.
Các nghiệm nguyên của phương trình f? (x) = 0, cũng như các điểm có thể có của hàm số và đạo hàm cấp hai, chia miền của hàm số thành một số khoảng. Độ lồi tại mỗi khoảng của chúng được xác định bởi dấu của đạo hàm cấp hai. Nếu đạo hàm cấp hai tại một điểm trên khoảng đang nghiên cứu là dương, thì đường thẳng y = f (x) lõm lên ở đây, và nếu nó là âm thì hướng xuống dưới.
Làm thế nào để tìm cực trị của một hàm hai biến?
Để tìm cực trị của hàm f (x, y), có thể phân biệt trong vùng gán của nó, bạn cần:
1) tìm các điểm tới hạn, và giải hệ phương trình
fx? (x, y) = 0, fy? (x, y) = 0
2) đối với mỗi điểm tới hạn P0 (a; b), điều tra xem dấu hiệu của sự khác biệt có không thay đổi
với mọi điểm (x; y) đủ gần P0. Nếu sự khác biệt giữ nguyên dấu dương thì tại điểm P0 ta có cực tiểu, nếu âm thì cực đại. Nếu sự khác biệt không giữ nguyên dấu của nó thì không có cực trị tại điểm Р0.
Tương tự, cực trị của hàm được xác định cho số lượng đối số lớn hơn.
Trang web chính thức của ca sĩ Mika Newton và ban nhạc của cô ấy là gì
Phép màu mới của Ukraine - Mika Newton! Đây là một nhóm gồm 5 người chơi pop-rock, tận hưởng cuộc sống, cống hiến và nhìn nhận một cách tích cực về cuộc sống này. Những người đàn ông tập trung tại Kyiv, nơi họ hiện đang sống. Các chàng trai không đồng ý với những nền tảng tiêu chuẩn trong âm nhạc và cuộc sống, khám phá ra âm thanh mới của họ và phá vỡ mọi tiêu chuẩn. Trưởng nhóm -
Làm thế nào để chuyển đổi từ mililit sang mét khối
Đơn vị đo độ dài cơ bản trong hệ SI là mét. Dựa trên điều này, đơn vị thể tích cơ bản nên được coi là mét khối, hay còn được gọi là mét khối hay mét khối. Đây là thể tích của một khối lập phương có các cạnh bằng một mét. Tuy nhiên, trong thực tế không phải lúc nào cũng thuận tiện để biểu thị thể tích bằng mét khối. Ví dụ, thuận tiện để thể hiện thể tích của một căn phòng theo mét khối: nhân chiều dài của
Hàm lượng calo của bột báng là gì
Thực phẩm calorie, bảng calorie. Nhu cầu năng lượng của con người được đo bằng kilocalories (kcal). Từ "calorie" bắt nguồn từ ngôn ngữ Latinh và có nghĩa là "sự ấm áp". Trong vật lý, năng lượng được đo bằng calo. Một kilocalorie là lượng năng lượng
Các giai đoạn phát triển của chủ nghĩa hiện thực trong văn học là gì
Chủ nghĩa hiện thực (lat. Real, real) là một trào lưu trong văn học, nghệ thuật nhằm tái hiện một cách trung thực hiện thực ở những nét đặc trưng của nó. Đặc điểm chung: Nghệ thuật miêu tả cuộc sống bằng hình ảnh, tương ứng với bản chất sự vật hiện tượng của đời sống. Thực tế là phương tiện giúp con người hiểu biết về bản thân và thế giới xung quanh. Đánh máy
Mối quan hệ giữa berkeli và nguyên tố thứ 117 trong bảng tuần hoàn là gì
Berkelium, Berkelium, Bk - nguyên tố thứ 97 trong bảng tuần hoàn. Được phát hiện vào tháng 12 năm 1949 bởi Thompson, Ghiorso và Seaborg tại Đại học California ở Berkeley. Bằng cách chiếu xạ 241Am với các hạt alpha, họ thu được đồng vị Berkelium 243Bk. Bởi vì Bk có cấu trúc tương tự như terbi, lấy tên từ ông Ytterby trong
Yaroslav the Wise nổi tiếng vì điều gì?
Yaroslav the Wise (980-1054), Đại công tước Kyiv (1019). Con trai của Vladimir I Svyatoslavovich. Ông trục xuất Svyatopolk I the Accursed, chiến đấu với anh trai Mstislav, phân chia bang với anh ta (1025), và năm 1035 thống nhất nó một lần nữa. Một số chiến thắng đã đảm bảo biên giới phía nam và phía tây của Nga. Thiết lập quan hệ triều đại với nhiều quốc gia của Ev
Làm thế nào mà truyền thống hét lên "Đắng!"
Từ xa xưa đã có truyền thống hét lên trong tiệc cưới: "Đắng lòng!", Buộc cặp đôi mới cưới phải đứng dậy và hôn nhau. Ngày nay, nhiều người thậm chí còn không đoán được ý nghĩa của nghi lễ này là gì, ngày xưa trong đám cưới, họ hét lên “Đắng!”, Rõ ràng là rượu trong bát được cho là không có đường. NHƯNG
Các triệu chứng của viêm thanh quản là gì
Viêm thanh quản (từ tiếng Hy Lạp khác là λ? Ρυγξ - larynx) là tình trạng viêm thanh quản, thường liên quan đến cảm lạnh hoặc các bệnh truyền nhiễm như sởi, ban đỏ, ho gà. Sự phát triển của bệnh được tạo điều kiện thuận lợi cho việc hạ thân nhiệt, thở bằng miệng, bụi bẩn.
Liệu giới tính và sự giảm dần có được xác định cho các danh từ chỉ có dạng số nhiều hay không
Số là một phạm trù ngữ pháp biểu thị đặc điểm số lượng của đối tượng. 1. Hầu hết các danh từ thay đổi theo số, tức là Nó có hai dạng - số ít và số nhiều. Ở dạng số ít, danh từ chỉ một đối tượng, ở dạng số nhiều, một số đối tượng:
Cháo Nga hữu ích là gì
Cháo kiều mạch Kiều mạch là một loại ngũ cốc đặc biệt. Từ đó, có lẽ, nó là một trong những loại ngũ cốc hữu ích nhất. Không có gì ngạc nhiên khi chúng tôi gọi nó là người đầu tiên. Kiều mạch có chứa chất xơ, một loạt các vitamin - E, PP, B1, B2, folic và axit hữu cơ, cũng như một tỷ lệ lớn tinh bột, góp phần vào việc tiêu thụ đúng lượng tân
Bản đồ tương tác của thành phố Arkhangelsk có thể được xem trên các trang web sau: Map1 - bản đồ vệ tinh và tiêu chuẩn; Map2 - bản đồ tiêu chuẩn (1: 350,000); Map3 - có tên đường, số nhà, có thể tìm kiếm theo đường; Map4 - bản đồ có tên đường; Map5 - bản đồ tương tác của thành phố; Map6 - bản đồ tương tác của thành phố.
Các cực trị của hàm
Định nghĩa 2
Một điểm $ x_0 $ được gọi là điểm cực đại của hàm $ f (x) $ nếu tồn tại một vùng lân cận của điểm này sao cho với tất cả $ x $ từ vùng lân cận này thì bất đẳng thức $ f (x) \ le f (x_0 ) $ hài lòng.
Định nghĩa 3
Một điểm $ x_0 $ được gọi là điểm cực đại của hàm $ f (x) $ nếu tồn tại một vùng lân cận của điểm này sao cho với tất cả $ x $ từ vùng lân cận này thì bất đẳng thức $ f (x) \ ge f (x_0) $ hài lòng.
Khái niệm điểm cực trị của một hàm liên quan chặt chẽ đến khái niệm điểm tới hạn của một hàm. Hãy để chúng tôi giới thiệu định nghĩa của nó.
Định nghĩa 4
$ x_0 $ được gọi là điểm tới hạn của hàm $ f (x) $ nếu:
1) $ x_0 $ - điểm bên trong của miền xác định;
2) $ f "\ left (x_0 \ right) = 0 $ hoặc không tồn tại.
Đối với khái niệm điểm cực trị, người ta có thể hình thành các định lý trên các điều kiện đủ và cần thiết cho sự tồn tại của nó.
Định lý 2
Điều kiện tối đa đủ
Đặt điểm $ x_0 $ là quan trọng của hàm $ y = f (x) $ và nằm trong khoảng $ (a, b) $. Để trên mỗi khoảng $ \ left (a, x_0 \ right) \ và \ (x_0, b) $ đạo hàm $ f "(x) $ tồn tại và giữ một dấu không đổi. Khi đó:
1) Nếu trên khoảng $ (a, x_0) $ thì đạo hàm $ f "\ left (x \ right)> 0 $ và trên khoảng $ (x_0, b) $ thì đạo hàm $ f" \ left (x \ bên phải)
2) Nếu đạo hàm $ f "\ left (x \ right) 0 $ trên khoảng $ (a, x_0) $ thì điểm $ x_0 $ là điểm cực tiểu của hàm số này.
3) Nếu cả trên khoảng $ (a, x_0) $ và trên khoảng $ (x_0, b) $ thì đạo hàm $ f "\ left (x \ right)> 0 $ hoặc đạo hàm $ f" \ left (x \bên phải)
Định lý này được minh họa trong Hình 1.
Hình 1. Điều kiện đủ để tồn tại cực trị
Ví dụ về cực trị (Hình 2).
Hình 2. Ví dụ về điểm cực trị
Quy tắc kiểm tra một hàm cho điểm cực trị
2) Tìm đạo hàm $ f "(x) $;
7) Rút ra kết luận về sự có mặt của cực đại và cực tiểu trên mỗi khoảng, sử dụng Định lý 2.
Hàm tăng dần và giảm dần
Đầu tiên chúng ta hãy giới thiệu các định nghĩa về hàm tăng và giảm.
Định nghĩa 5
Một hàm $ y = f (x) $ được xác định trong khoảng thời gian $ X $ được gọi là tăng nếu với bất kỳ điểm nào $ x_1, x_2 \ in X $ với $ x_1
Định nghĩa 6
Một hàm $ y = f (x) $ được xác định trong khoảng $ X $ được gọi là giảm nếu đối với bất kỳ điểm nào $ x_1, x_2 \ in X $ với $ x_1f (x_2) $.
Kiểm tra một chức năng để tăng và giảm
Bạn có thể điều tra các hàm tăng và giảm bằng cách sử dụng đạo hàm.
Để kiểm tra một hàm cho các khoảng thời gian tăng và giảm, bạn phải làm như sau:
1) Tìm miền của hàm $ f (x) $;
2) Tìm đạo hàm $ f "(x) $;
3) Tìm các điểm tại đó đẳng thức $ f "\ left (x \ right) = 0 $;
4) Tìm các điểm mà $ f "(x) $ không tồn tại;
5) Đánh dấu trên đường tọa độ tất cả các điểm tìm được và miền của hàm số đã cho;
6) Xác định dấu của đạo hàm $ f ”(x) $ trên mỗi khoảng kết quả;
7) Kết luận: trong khoảng thời gian mà $ f "\ left (x \ right) 0 $ thì hàm tăng.
Ví dụ về các bài toán để nghiên cứu các hàm tăng, giảm và sự hiện diện của các điểm cực trị
ví dụ 1
Khảo sát hàm tăng và giảm, và sự hiện diện của các điểm cực đại và cực tiểu: $ f (x) = (2x) ^ 3-15x ^ 2 + 36x + 1 $
Vì 6 điểm đầu tiên giống nhau nên chúng ta sẽ bốc thăm trước.
1) Miền định nghĩa - tất cả các số thực;
2) $ f "\ left (x \ right) = 6x ^ 2-30x + 36 $;
3) $ f "\ left (x \ right) = 0 $;
\ \ \
4) $ f ”(x) $ tồn tại tại mọi điểm thuộc miền xác định;
5) Đường tọa độ:
Hình 3
6) Xác định dấu của đạo hàm $ f "(x) $ trên mỗi khoảng:
\. \. Như đã biết, một hàm như vậy đạt đến giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của nó, trên ranh giới của đoạn hoặc bên trong nó. Nếu giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của hàm đạt được tại điểm bên trong của đoạn, thì giá trị này là giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của hàm, nghĩa là nó đạt được tại các điểm tới hạn.
Do đó, chúng tôi nhận được những điều sau quy tắc tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [ a, b] :
- Tìm tất cả các điểm tới hạn của một hàm trong khoảng ( a, b) và tính các giá trị của hàm tại các điểm này.
- Tính các giá trị của hàm số tại hai đầu đoạn thẳng cho x = a, x = b.
- Trong tất cả các giá trị thu được, hãy chọn giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.