Phương trình tuyến tính có 2 biến là gì? Tóm tắt bài học chủ đề “Phương trình tuyến tính hai biến”

Học cách giải phương trình là một trong những nhiệm vụ chính mà môn đại số đặt ra cho học sinh. Bắt đầu với cái đơn giản nhất, khi nó bao gồm một cái chưa biết và chuyển sang những cái ngày càng phức tạp hơn. Nếu bạn chưa nắm vững các thao tác cần thực hiện với các phương trình ở nhóm đầu tiên thì sẽ khó hiểu được các phương trình còn lại.

Để tiếp tục cuộc trò chuyện, bạn cần thống nhất về ký hiệu.

Dạng tổng quát của phương trình tuyến tính với một ẩn số và nguyên lý giải của nó

Bất kỳ phương trình nào có thể được viết như thế này:

a * x = b,

gọi điện tuyến tính. Đây là công thức chung. Nhưng thường trong các bài tập, phương trình tuyến tính được viết dưới dạng ẩn. Sau đó, cần phải thực hiện các phép biến đổi giống hệt nhau để có được ký hiệu được chấp nhận rộng rãi. Những hành động này bao gồm:

  • dấu ngoặc đơn mở;
  • di chuyển tất cả các số hạng có giá trị thay đổi sang bên trái của đẳng thức và phần còn lại sang bên phải;
  • giảm các thuật ngữ tương tự.

Trong trường hợp một đại lượng chưa biết nằm trong mẫu số của một phân số, bạn cần xác định các giá trị của nó mà tại đó biểu thức sẽ không có ý nghĩa. Nói cách khác, bạn cần biết miền định nghĩa của phương trình.

Nguyên tắc giải tất cả các phương trình tuyến tính là chia giá trị ở vế phải của phương trình cho hệ số đứng trước biến. Nghĩa là, “x” sẽ bằng b/a.

Các trường hợp đặc biệt của phương trình tuyến tính và nghiệm của chúng

Trong quá trình suy luận, những khoảnh khắc có thể nảy sinh khi phương trình tuyến tính có một trong các dạng đặc biệt. Mỗi người trong số họ có một giải pháp cụ thể.

Trong tình huống đầu tiên:

a * x = 0, và a ≠ 0.

Nghiệm của phương trình này luôn là x = 0.

Trong trường hợp thứ hai, “a” nhận giá trị bằng 0:

0 * x = 0.

Câu trả lời cho phương trình như vậy sẽ là bất kỳ số nào. Nghĩa là, nó có vô số gốc.

Tình huống thứ ba trông như thế này:

0 * x = trong, ở đâu trong ≠ 0.

Phương trình này không có ý nghĩa. Bởi vì không có gốc rễ nào thỏa mãn được nó.

Tổng quát về phương trình tuyến tính có hai biến

Từ tên của nó, rõ ràng là đã có hai đại lượng chưa biết trong đó. Phương trình tuyến tính hai biến trông như thế này:

a * x + b * y = c.

Vì có hai ẩn số trong bản ghi nên câu trả lời sẽ giống như một cặp số. Nghĩa là, chỉ xác định một giá trị là không đủ. Đây sẽ là một câu trả lời không đầy đủ. Một cặp đại lượng mà phương trình trở thành đồng nhất thức là nghiệm của phương trình. Hơn nữa, trong câu trả lời, biến đứng đầu trong bảng chữ cái luôn được viết ra đầu tiên. Đôi khi họ nói rằng những con số này làm anh hài lòng. Hơn nữa, có thể có vô số cặp như vậy.

Làm thế nào để giải phương trình tuyến tính với hai ẩn số?

Để làm điều này, bạn chỉ cần chọn bất kỳ cặp số nào có kết quả đúng. Để đơn giản, bạn có thể lấy một trong các ẩn số bằng một số nguyên tố nào đó, rồi tìm số thứ hai.

Khi giải, bạn thường phải thực hiện các bước để đơn giản hóa phương trình. Chúng được gọi là sự biến đổi bản sắc. Hơn nữa, các tính chất sau luôn đúng cho các phương trình:

  • mỗi số hạng có thể được chuyển sang phần đối diện của đẳng thức bằng cách thay thế dấu của nó bằng dấu đối diện;
  • Vế trái và vế phải của bất kỳ phương trình nào cũng được phép chia cho cùng một số, miễn là nó không bằng 0.

Ví dụ về các nhiệm vụ với phương trình tuyến tính

Nhiệm vụ đầu tiên. Giải phương trình tuyến tính: 4x = 20, 8(x - 1) + 2x = 2(4 - 2x); (5x + 15) / (x + 4) = 4; (5x + 15) / (x + 3) = 4.

Trong phương trình đứng đầu danh sách này, chỉ cần chia 20 cho 4. Kết quả sẽ là 5. Đây là câu trả lời: x = 5.

Phương trình thứ ba yêu cầu thực hiện chuyển đổi nhận dạng. Nó sẽ bao gồm việc mở ngoặc và đưa ra các điều khoản tương tự. Sau bước đầu tiên, phương trình sẽ có dạng: 8x - 8 + 2x = 8 - 4x. Sau đó, bạn cần di chuyển tất cả các ẩn số sang bên trái của phương trình và phần còn lại sang bên phải. Phương trình sẽ có dạng như sau: 8x + 2x + 4x = 8 + 8. Sau khi cộng các số hạng tương tự: 14x = 16. Bây giờ nó trông giống như phương trình đầu tiên và rất dễ tìm ra nghiệm của nó. Câu trả lời sẽ là x=8/7. Nhưng trong toán học, bạn phải tách toàn bộ phần ra khỏi một phân số không chính xác. Sau đó, kết quả sẽ được chuyển đổi và “x” sẽ bằng một phần trăm và một phần bảy.

Trong các ví dụ còn lại, các biến nằm ở mẫu số. Điều này có nghĩa là trước tiên bạn cần tìm hiểu xem phương trình được xác định ở giá trị nào. Để làm điều này, bạn cần loại trừ các số có mẫu số bằng 0. Trong ví dụ đầu tiên là “-4”, trong ví dụ thứ hai là “-3”. Nghĩa là, những giá trị này cần được loại trừ khỏi câu trả lời. Sau đó, bạn cần nhân cả hai vế của đẳng thức với các biểu thức ở mẫu số.

Mở ngoặc và đưa các số hạng tương tự, trong phương trình đầu tiên, chúng ta nhận được: 5x + 15 = 4x + 16, và trong phương trình thứ hai 5x + 15 = 4x + 12. Sau khi biến đổi, nghiệm của phương trình thứ nhất sẽ là x = -1. Cái thứ hai hóa ra bằng “-3”, có nghĩa là cái sau không có nghiệm.

Nhiệm vụ thứ hai. Giải phương trình: -7x + 2y = 5.

Giả sử ẩn số đầu tiên x = 1 thì phương trình sẽ có dạng -7 * 1 + 2y = 5. Di chuyển hệ số “-7” sang vế phải của đẳng thức và đổi dấu thành dấu cộng, ta được: 2y = 12. Điều này có nghĩa là y =6. Trả lời: một trong các nghiệm của phương trình x = 1, y = 6.

Dạng bất đẳng thức tổng quát một biến

Tất cả các tình huống có thể xảy ra của bất đẳng thức đều được trình bày ở đây:

  • a * x > b;
  • cây rìu< в;
  • a * x ≥b;
  • a * x ≤в.

Nói chung, nó trông giống như một phương trình tuyến tính đơn giản, chỉ có dấu bằng được thay thế bằng bất đẳng thức.

Quy tắc chuyển đổi nhận dạng của bất đẳng thức

Cũng giống như các phương trình tuyến tính, các bất đẳng thức có thể được sửa đổi theo các định luật nhất định. Họ tóm tắt như sau:

  1. bất kỳ biểu thức chữ cái hoặc số nào cũng có thể được thêm vào bên trái và bên phải của bất đẳng thức và dấu của bất đẳng thức vẫn giữ nguyên;
  2. bạn cũng có thể nhân hoặc chia cho cùng một số dương, điều này lại không đổi dấu;
  3. Khi nhân hoặc chia cho cùng một số âm, đẳng thức vẫn đúng với điều kiện dấu bất đẳng thức bị đảo ngược.

Tổng quan về bất đẳng thức kép

Những bất đẳng thức sau đây có thể được biểu diễn trong các bài toán:

  • V.< а * х < с;
  • c ≤ a * x< с;
  • V.< а * х ≤ с;
  • c ≤ a * x ≤ c.

Nó được gọi là gấp đôi vì nó bị giới hạn bởi dấu bất đẳng thức ở cả hai vế. Nó được giải bằng cách sử dụng các quy tắc tương tự như các bất đẳng thức thông thường. Và việc tìm ra câu trả lời bắt nguồn từ một loạt các phép biến đổi giống hệt nhau. Cho đến khi đạt được điều đơn giản nhất.

Đặc điểm của việc giải bất đẳng thức kép

Đầu tiên trong số đó là hình ảnh của nó trên trục tọa độ. Không cần sử dụng phương pháp này cho các bất đẳng thức đơn giản. Nhưng trong những trường hợp khó khăn, điều đó có thể đơn giản là cần thiết.

Để khắc họa sự bất đẳng thức, bạn cần đánh dấu trên trục tất cả các điểm thu được trong quá trình lập luận. Đây là các giá trị không hợp lệ, được biểu thị bằng các dấu chấm bị thủng và các giá trị từ các bất đẳng thức thu được sau khi biến đổi. Ở đây, điều quan trọng là phải vẽ các dấu chấm một cách chính xác. Nếu bất đẳng thức là nghiêm ngặt thì< или >, thì các giá trị này sẽ bị đục lỗ. Trong các bất đẳng thức không chặt chẽ, các điểm phải được tô màu.

Khi đó cần chỉ ra ý nghĩa của các bất đẳng thức. Điều này có thể được thực hiện bằng cách sử dụng bóng hoặc vòng cung. Giao điểm của họ sẽ chỉ ra câu trả lời.

Tính năng thứ hai liên quan đến việc ghi âm của nó. Có hai lựa chọn được cung cấp ở đây. Đầu tiên là sự bất bình đẳng cuối cùng. Thứ hai là ở dạng khoảng thời gian. Nó xảy ra với anh ta rằng khó khăn nảy sinh. Câu trả lời trong khoảng trắng luôn trông giống như một biến có dấu thành viên và dấu ngoặc đơn kèm theo số. Đôi khi có một số khoảng trắng, khi đó bạn cần viết ký hiệu “và” giữa các dấu ngoặc. Những dấu hiệu này trông như thế này: ∈ và ∩. Dấu ngoặc khoảng cách cũng đóng một vai trò. Hình tròn được đặt khi điểm bị loại khỏi câu trả lời và hình chữ nhật bao gồm giá trị này. Dấu vô cực luôn ở trong ngoặc đơn.

Ví dụ về giải bất đẳng thức

1. Giải bất đẳng thức 7 - 5x ≥ 37.

Sau các phép biến đổi đơn giản, ta được: -5x ≥ 30. Chia cho “-5” ta được biểu thức sau: x ≤ -6. Đây đã là câu trả lời nhưng có thể viết theo cách khác: x ∈ (-∞; -6].

2. Giải bất đẳng thức kép -4< 2x + 6 ≤ 8.

Đầu tiên bạn cần trừ 6 ở mọi nơi. Bạn nhận được: -10< 2x ≤ 2. Теперь нужно разделить на 2. Неравенство примет вид: -5 < x ≤ 1. Изобразив ответ на числовой оси, сразу можно понять, что результатом будет промежуток от -5 до 1. Причем первая точка исключена, а вторая включена. То есть ответ у неравенства такой: х ∈ (-5; 1].

Mục tiêu bài học:

  • giáo dục:
    • nhắc lại chủ đề: “Các phương trình. Các phương trình tuyến tính. Các phương trình tương đương và tính chất của chúng”;
    • đảm bảo rằng học sinh hiểu được khái niệm phương trình tuyến tính hai biến và nghiệm của chúng.
  • Phát triển:
    • hình thành năng lực trí tuệ:
    • khả năng so sánh, xây dựng những điều tương tự, làm nổi bật điều chính;
    • khả năng khái quát hóa và hệ thống hóa tài liệu được đề cập;
    • phát triển tư duy logic, trí nhớ, trí tưởng tượng, lời nói toán học;
    • phát triển hoạt động nhận thức tích cực.
  • giáo dục:
    • bồi dưỡng tính độc lập, hoạt động và hứng thú của học sinh ở mọi giai đoạn của bài học;
    • hình thành những phẩm chất tính cách như kiên trì, kiên trì, quyết tâm.

Các nhiệm vụ giáo viên phải giải quyết trong bài:

  • học cách làm nổi bật ý chính trong văn bản;
  • học cách đặt câu hỏi với giáo viên, chính bạn hoặc học sinh;
  • học cách sử dụng kiến ​​​​thức có được để giải quyết các vấn đề không chuẩn;
  • dạy khả năng diễn đạt suy nghĩ của bạn về mặt toán học một cách chính xác.

Những vấn đề học sinh phải giải trong bài học này:

  • biết định nghĩa của phương trình tuyến tính có hai biến;
  • có thể viết các phương trình tuyến tính đơn giản;
  • có thể tìm đúng giá trị của các biến a, b và c;
  • có khả năng xác định phương trình tuyến tính có hai biến giữa các phương trình;
  • trả lời câu hỏi: nghiệm của phương trình tuyến tính hai biến là gì?
  • Làm thế nào để biết một cặp số có phải là nghiệm của một phương trình hay không?
  • có thể biểu diễn một biến theo một biến khác.

Loại bài học: bài học về học bài mới.

TRONG LỚP HỌC

I. Thời điểm tổ chức

II. Sự lặp lại của vật liệu được che phủ

1) Trên bảng: 2x, 2x + 5, 2x + 5 = 17.

2) Câu hỏi dành cho cả lớp:

- Định nghĩa các biểu thức đó. (Câu trả lời dự kiến: tích, đơn thức, tổng, đa thức, phương trình.)
- Phương trình được gọi là gì?
– Bạn có cần một phương trình…? (Quyết định)
– “Giải phương trình” nghĩa là gì?
- Căn nguyên của phương trình là gì?
- Những phương trình nào tương đương?
– Em biết tính chất nào của sự tương đương của phương trình?

III. Cập nhật kiến ​​thức cho học sinh

3) Phân công cho cả lớp:

– Chuyển đổi biểu thức :(hai người làm việc tại hội đồng quản trị).

a) 2(x + 8) + 4(2x – 4) = b) 4(x – 2) + 2(3y + 4) =

Sau khi biến đổi ta được: a) 10x; b) 4x + 6y:

– Sử dụng chúng để tạo phương trình (học sinh gợi ý - giáo viên ghi phương trình lên bảng): 10x = 30; 4x + 6y = 28.

Câu hỏi:

- Phép tính đầu tiên có tên là gì?
– Tại sao lại tuyến tính?
- So sánh phương trình thứ hai với phương trình thứ nhất. Cố gắng xây dựng định nghĩa của phương trình thứ hai (Đáp án dự kiến: phương trình hai biến; học sinh chú ý tập trung vào dạng phương trình – tuyến tính).

IV. Học tài liệu mới

1) Chủ đề của bài học được công bố. Ghi chủ đề vào vở. Học sinh tự xây dựng định nghĩa phương trình hai biến, phương trình tuyến tính hai biến (tương tự với định nghĩa phương trình tuyến tính một biến), ví dụ về phương trình hai biến. Cuộc thảo luận diễn ra dưới hình thức đối thoại trực diện, đối thoại - lý luận.

2) Phân lớp:

a) Viết hai phương trình tuyến tính hai biến (giáo viên và học sinh lắng nghe câu trả lời của một số học sinh; giáo viên chọn một em viết phương trình của mình lên bảng).

b) Cùng học sinh xác định các nhiệm vụ, câu hỏi cần giải đáp trong bài học này. Mỗi học sinh nhận được thẻ với những câu hỏi này.

c) Làm việc với học sinh để giải quyết các vấn đề, nhiệm vụ:

– Xác định phương trình nào là phương trình tuyến tính hai biến a) 6x 2 = 36; b) 2x – 5y = 9: c) 7x + 3y 3; d) 1/2x + 1/3y = 6, v.v. Có thể nảy sinh vấn đề với phương trình x:5 – y:4 = 3 (dấu chia phải viết dưới dạng phân số). Những tính chất nào của sự tương đương của phương trình cần được áp dụng? (Câu trả lời của học sinh) Xác định các giá trị hệ số MỘT, V. Và Với.

– Các phương trình tuyến tính có hai biến, giống như mọi phương trình, cần phải giải. Giải pháp cho phương trình tuyến tính hai biến là gì? (Trẻ đưa ra định nghĩa).

Ví dụ: Tìm nghiệm của phương trình: a) x – y = 12, viết đáp án dưới dạng (x; y) hoặc x = ...; y = .... Phương trình có bao nhiêu nghiệm?

Ví dụ: Tìm nghiệm của phương trình sau a) 2x + y = 7; b) 5x – y = 4. Làm thế nào bạn tìm được nghiệm của các phương trình này? (Đã nhặt được).

– Làm thế nào để biết một cặp số có phải là nghiệm của phương trình tuyến tính hai biến hay không?

3) Làm việc với sách giáo khoa.

– Tìm trong sách giáo khoa những chỗ nêu bật ý chính của chủ đề bài học

a) Thực hiện nhiệm vụ bằng miệng: số 1092, số 1094.

b) Giải ví dụ số 1096 (đối với học sinh yếu), số 1097 (đối với học sinh giỏi).

c) Nhắc lại tính chất tương đương của phương trình.

Bài tập: Sử dụng tính chất tương đương của phương trình, biểu diễn biến Y thông qua biến X trong phương trình 5x + 2y = 12 (“một phút” để giải quyết độc lập, sau đó là phần tổng quan chung về giải pháp trên bảng, sau đó là phần giải thích).

d) Thi hành mẫu số 1099 (một học sinh hoàn thành nhiệm vụ trên bảng).

Tài liệu tham khảo lịch sử

1. Các bạn ơi, các phương trình chúng ta gặp trong lớp hôm nay được gọi là phương trình tuyến tính Diophantine hai biến, được đặt theo tên của nhà khoa học và toán học Hy Lạp cổ đại Diophantus, sống cách đây khoảng 3,5 nghìn năm. Các nhà toán học cổ đại đầu tiên soạn ra các bài toán và sau đó tìm cách giải chúng. Vì vậy, nhiều vấn đề đã được tổng hợp mà chúng ta làm quen và học cách giải quyết.

2. Và những phương trình này cũng được gọi là phương trình bất định. Nhiều nhà toán học đã làm việc để giải các phương trình như vậy. Một trong số họ là Pierre Fermat, một nhà toán học người Pháp. Ông nghiên cứu lý thuyết giải phương trình vô định.

V. Tóm tắt bài học

1) Tóm tắt nội dung bài học. Trả lời tất cả các câu hỏi đặt ra cho học sinh ở đầu bài:

– Phương trình nào được gọi là tuyến tính hai biến?
– Thế nào gọi là giải phương trình tuyến tính hai biến?
– Quyết định này được ghi chép như thế nào?
- Phương trình nào được gọi là tương đương?
- Tính chất tương đương của phương trình là gì?
– Trên lớp chúng ta đã giải quyết những vấn đề gì, trả lời những câu hỏi nào?

2) Làm việc độc lập.

Dành cho người yếu:

– Tìm giá trị của các biến a, b, c trong phương trình –1.1x + 3.6y = – 34?
– Tìm ít nhất một nghiệm của phương trình x – y = 35?
– Cặp số (3; 2) có phải là nghiệm của phương trình tuyến tính cho trước với hai biến 2x – y = 4 không?

Dành cho kẻ mạnh:

– Viết phương trình tuyến tính hai biến cho bài toán Diophantus: Có con gà lôi và con thỏ đang đi dạo trong sân nhà. Số lượng tất cả các chân hóa ra là 26.
– Biểu diễn biến y theo x trong phương trình 3x – 5y = 8.

VI. Tin nhắn bài tập về nhà

Xem tất cả các nhiệm vụ trong sách giáo khoa, phân tích nhanh từng nhiệm vụ, chọn nhiệm vụ.

  • Đối với học sinh yếu: số 1093, số 1095b).
  • Đối với người mạnh: 1) Số 1101, Số 1104 (a). 2) giải bài toán Diophantus, tìm mọi nghiệm tự nhiên của phương trình này.

Ngoài ra, theo yêu cầu của sinh viên - số 1105.

Thay vì kết luận: Tôi đã là giáo viên dạy toán hơn 40 năm. Và tôi muốn lưu ý rằng một bài học mở không phải lúc nào cũng là bài học hay nhất. Điều thường xảy ra là đôi khi những bài học bình thường lại mang lại nhiều niềm vui và sự hài lòng cho giáo viên. Và rồi bạn tiếc nuối nghĩ rằng không ai nhìn thấy bài học này - sự sáng tạo của thầy và trò.

Bài học là một sinh vật đơn lẻ, một tổng thể duy nhất; chính trong bài học mà cả học sinh và giáo viên đều tiếp thu được kinh nghiệm cá nhân và đạo đức về giáo dục. 45 phút của một bài học thì quá nhiều và quá ít. Rất nhiều - bởi vì trong thời gian này, bạn có thể cùng học sinh của mình “nhìn” vào chiều sâu của nhiều thế kỷ và “trở về” từ đó, học hỏi nhiều điều mới mẻ, thú vị và vẫn có thời gian để nghiên cứu tài liệu mới.

Mọi học sinh phải được hiểu rằng toán học là nền tảng cho sự phát triển trí tuệ của con người. Và cơ sở cho điều này là sự phát triển của tư duy logic. Vì vậy, trước mỗi bài học, tôi đặt ra cho mình và học sinh một mục tiêu: dạy học sinh làm việc thành công với các định nghĩa, khéo léo phân biệt cái chưa biết với cái đã biết, đã được chứng minh với chưa được chứng minh, phân tích, so sánh, phân loại, đặt câu hỏi và học cách giải quyết một cách khéo léo. họ. Hãy sử dụng phép so sánh, nhưng nếu bạn không thể tự mình thoát ra, thì bên cạnh bạn không chỉ là giáo viên mà còn là trợ lý chính của bạn - một cuốn sách.

Tất nhiên, một bài học mở là kết quả lao động sáng tạo của giáo viên. Và giáo viên có mặt tại bài học này cần chú ý đến điều chính: hệ thống công việc, tính mới, ý tưởng. Ở đây, tôi nghĩ, phương pháp giảng dạy mà giáo viên sử dụng trong bài học không đặc biệt quan trọng: công nghệ cũ, hiện đại hay mới, mà cái chính là việc sử dụng nó phù hợp và hiệu quả với giáo viên và học sinh.

Tôi rất vui vì trong đời mình có trường học, con cái, bài học và những người đồng nghiệp tốt bụng như vậy. Cảm ơn tất cả!

Phương trình tuyến tính hai biến có dạng tổng quát ax + by + c = 0. Trong đó a, b và c là các hệ số - một số số; và x, y là các biến - số chưa biết cần tìm.

Nghiệm của phương trình tuyến tính hai biến là một cặp số x và y, trong đó ax + by + c = 0 là một đẳng thức đúng.

Một phương trình tuyến tính cho trước hai biến (ví dụ: 3x + 2y – 1 = 0) có một tập hợp nghiệm, tức là một tập hợp các cặp số mà phương trình đó đúng. Phương trình tuyến tính hai biến được chuyển thành hàm tuyến tính có dạng y = kx + m, là một đường thẳng trên mặt phẳng tọa độ. Tọa độ của tất cả các điểm nằm trên đường thẳng này là nghiệm của phương trình tuyến tính hai biến.

Nếu cho hai phương trình tuyến tính dạng ax + by + c = 0 và cần tìm các giá trị của x và y mà cả hai phương trình đó đều có nghiệm thì chúng ta nói rằng chúng ta phải giải hệ phương trình. Một hệ phương trình được viết dưới dấu ngoặc nhọn chung. Ví dụ:

Một hệ phương trình không thể có nghiệm nếu các đường thẳng là đồ thị của các hàm tuyến tính tương ứng không cắt nhau (nghĩa là song song với nhau). Để kết luận rằng không có nghiệm, chỉ cần biến đổi cả hai phương trình tuyến tính hai biến về dạng y = kx + m là đủ. Nếu k bằng nhau trong cả hai phương trình thì hệ vô nghiệm.

Nếu một hệ phương trình hóa ra bao gồm hai phương trình giống hệt nhau (có thể không hiển nhiên ngay lập tức nhưng sau khi biến đổi), thì nó có vô số nghiệm. Trong trường hợp này chúng ta nói về sự không chắc chắn.

Trong mọi trường hợp còn lại, hệ có một nghiệm. Kết luận này có thể được rút ra từ thực tế là hai đường thẳng không song song bất kỳ chỉ có thể cắt nhau tại một điểm. Giao điểm này sẽ nằm trên cả đường thẳng thứ nhất và đường thẳng thứ hai, tức là nó sẽ là nghiệm của cả phương trình thứ nhất và phương trình thứ hai. Vì vậy, nó là nghiệm của hệ phương trình. Tuy nhiên, cần quy định các tình huống áp đặt một số hạn chế nhất định đối với các giá trị của x và y (thường theo điều kiện của bài toán). Ví dụ: x > 0, y > 0. Trong trường hợp này, dù hệ phương trình có nghiệm nhưng không thỏa mãn điều kiện thì rút ra kết luận là hệ phương trình không có nghiệm với điều kiện đã cho .

Có 3 cách giải hệ phương trình:

  1. Bằng phương pháp tuyển chọn. Thông thường điều này rất khó thực hiện.
  2. Phương pháp đồ họa. Khi vẽ hai đường thẳng (đồ thị hàm số của các phương trình tương ứng) trên mặt phẳng tọa độ và tìm được giao điểm của chúng. Phương pháp này có thể không cho kết quả chính xác nếu tọa độ của điểm giao nhau là số phân số.
  3. Các phương pháp đại số. Họ rất linh hoạt và đáng tin cậy.

Hướng dẫn

Cho hệ hai phương trình tuyến tính, giải nó như sau. Chọn một trong các phương trình trong đó các hệ số đứng trước các biến nhỏ hơn và biểu thị một trong các biến, ví dụ: x. Sau đó thay giá trị chứa y này vào phương trình thứ hai. Trong phương trình thu được sẽ chỉ có một biến y, di chuyển tất cả các phần có y sang bên trái và các phần tự do sang bên phải. Tìm y và thay thế vào bất kỳ phương trình ban đầu nào để tìm x.

Có một cách khác để giải hệ hai phương trình. Nhân một trong các phương trình với một số sao cho hệ số của một trong các biến, chẳng hạn như x, giống nhau trong cả hai phương trình. Sau đó trừ một trong các phương trình còn lại (nếu vế phải không bằng 0 thì nhớ trừ vế phải theo cách tương tự). Bạn sẽ thấy biến x đã biến mất và chỉ còn lại một biến y. Giải phương trình thu được và thay thế giá trị tìm được của y vào bất kỳ đẳng thức ban đầu nào. Tìm x.

Cách thứ ba để giải hệ hai phương trình tuyến tính là dùng đồ thị. Vẽ hệ tọa độ và vẽ đồ thị hai đường thẳng có phương trình đã cho trong hệ tọa độ của bạn. Để làm điều này, thay thế hai giá trị x bất kỳ vào phương trình và tìm y tương ứng - đây sẽ là tọa độ của các điểm thuộc đường thẳng. Cách thuận tiện nhất để tìm giao điểm với các trục tọa độ là chỉ cần thay thế các giá trị x=0 và y=0. Tọa độ giao điểm của hai đường này sẽ là nhiệm vụ.

Nếu chỉ có một phương trình tuyến tính trong các điều kiện của bài toán thì bạn đã được cung cấp thêm các điều kiện để qua đó bạn có thể tìm ra lời giải. Hãy đọc kỹ bài toán để tìm ra những điều kiện này. Nếu các biến x và y biểu thị khoảng cách, tốc độ, trọng lượng, vui lòng đặt giới hạn x ≥0 và y ≥0. Rất có thể x hoặc y ẩn số lượng táo, cây, v.v. – thì các giá trị chỉ có thể là số nguyên. Nếu x là tuổi con thì rõ ràng anh ta không thể lớn hơn cha mình, vì vậy hãy chỉ ra điều này trong điều kiện của bài toán.

Xây dựng đồ thị đường tương ứng với phương trình tuyến tính. Nhìn vào biểu đồ, có thể chỉ có một số nghiệm thỏa mãn tất cả các điều kiện - ví dụ: số nguyên và số dương. Chúng sẽ là giải pháp cho phương trình của bạn.

Nguồn:

  • cách giải phương trình với một biến

Một trong những vấn đề chính của toán học là giải hệ phương trình với nhiều ẩn số. Đây là một vấn đề rất thực tế: có một số tham số chưa biết, một số điều kiện được áp đặt cho chúng và cần phải tìm ra sự kết hợp tối ưu nhất của chúng. Những nhiệm vụ như vậy rất phổ biến trong kinh tế, xây dựng, thiết kế các hệ thống cơ khí phức tạp và nói chung ở bất cứ nơi nào cần tối ưu hóa chi phí vật liệu và nhân lực. Về vấn đề này, câu hỏi được đặt ra: làm thế nào để giải quyết các hệ thống như vậy?

Hướng dẫn

Toán học cho chúng ta hai cách để giải các hệ thống như vậy: đồ họa và giải tích. Những phương pháp này là tương đương nhau và không thể nói phương pháp nào tốt hơn hay kém hơn. Trong mỗi tình huống, khi tối ưu một giải pháp, bạn cần lựa chọn phương pháp nào cho giải pháp đơn giản hơn. Nhưng cũng có một số tình huống điển hình. Do đó, một hệ phương trình phẳng, tức là khi hai đồ thị có dạng y=ax+b, sẽ dễ giải bằng đồ họa hơn. Mọi thứ được thực hiện rất đơn giản: hai đường thẳng được dựng: đồ thị của các hàm tuyến tính, sau đó tìm thấy điểm giao nhau của chúng. Tọa độ của điểm này (abscissa và tọa độ) sẽ là nghiệm của phương trình này. Cũng lưu ý rằng hai đường thẳng có thể song song. Khi đó hệ phương trình không có nghiệm và gọi là hàm số phụ thuộc tuyến tính.

Tình huống ngược lại cũng có thể xảy ra. Nếu chúng ta cần tìm ẩn thứ ba, cho hai phương trình độc lập tuyến tính, thì hệ sẽ chưa xác định được và có vô số nghiệm. Trong lý thuyết đại số tuyến tính, người ta chứng minh rằng một hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi số phương trình trùng với số ẩn.

TOM TĂT BAI HỌC

Lớp: 7

UMK: Đại số lớp 7: SGK. cho giáo dục phổ thông tổ chức / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk và cộng sự]; sửa bởi SA Telyakovsky. - tái bản lần thứ 2. – M.: Giáo dục, 2014

Chủ thể: Phương trình tuyến tính hai biến

Bàn thắng: Giới thiệu cho học sinh khái niệm về phương trình tuyến tính hai biến và nghiệm của nó, dạy cách biểu diễn phương trìnhX bởi vìTại hoặcTại bởi vìX .

UUD được hình thành:

Nhận thức: đưa ra và chứng minh các giả thuyết, đề xuất cách kiểm tra chúng

Quy định: so sánh phương pháp và kết quả hành động của mình với một tiêu chuẩn nhất định, phát hiện những sai lệch, khác biệt so với tiêu chuẩn đó; vạch ra một kế hoạch và trình tự các hành động.

giao tiếp: thiết lập các mối quan hệ làm việc; hợp tác hiệu quả và thúc đẩy hợp tác hiệu quả.

Riêng tư: fphát triển kỹ năng tổ chức phân tích các hoạt động của một người

Thiết bị:máy tính, máy chiếu đa phương tiện, màn hình

Trong các buổi học:

TÔI Thời gian tổ chức

Các bạn cùng nghe truyện Ông Bà Bình Đẳng và đoán xem hôm nay chúng ta sẽ nói về chủ đề gì nhé

Truyện cổ tích “Ông ngoại ngang hàng”

Ông nội có biệt danh Ravnyalo sống trong một túp lều ở bìa rừng. Anh ấy thích đùa giỡn với những con số. Ông nội sẽ lấy các số ở cả hai bên của mình, nối chúng bằng các ký hiệu và đặt những phần nhanh nhất vào trong ngoặc, nhưng phải đảm bảo rằng phần này bằng phần kia. Và sau đó ông sẽ giấu một số con số dưới lớp mặt nạ “X” và nhờ cháu trai của mình, Ravnyalka bé nhỏ, tìm nó. Mặc dù Ravnyalka còn nhỏ nhưng cậu ấy biết công việc của mình: cậu ấy sẽ nhanh chóng di chuyển tất cả các số ngoại trừ “X” sang phía bên kia và không quên đổi dấu của chúng sang phía ngược lại. Và các con số vâng lời anh ta, nhanh chóng thực hiện mọi hành động theo lệnh của anh ta, và “X” được biết đến. Ông nội nhìn cháu gái mình làm mọi việc khéo léo như thế nào và vui mừng: một người thay thế tốt cho cháu đang lớn lên.

Vậy câu chuyện này nói về điều gì?(về phương trình)

II . Hãy nhớ lại mọi điều chúng ta biết về phương trình tuyến tính và cố gắng vẽ ra sự song song giữa vật liệu chúng ta biết và vật liệu mới.

    Chúng ta biết loại phương trình nào?(phương trình tuyến tính với một biến)

    Hãy nhớ lại định nghĩa của phương trình tuyến tính một biến.

    Căn nguyên của phương trình tuyến tính một biến là gì?

    Chúng ta hãy xây dựng tất cả các tính chất của phương trình tuyến tính với một biến.

Đã điền 1 phần của bảng

ax = b, trong đó x là biến, a, b là số.

Ví dụ: 3x = 6

Giá trị của x mà tại đó phương trình trở thành đúng

1) chuyển các số hạng từ phần này sang phần khác của phương trình, đổi dấu của chúng thành ngược lại.

2) nhân hoặc chia cả hai vế của phương trình với cùng một số, không bằng 0.

Phương trình tuyến tính với hai biến.

ax + vy = c, trong đó x, y là biến, a, b.c là số.

Ví dụ:

x – y = 5

x + y = 56

2x + 6y = 68

Các giá trị của x, y làm cho phương trình đúng.

x=8; y=3 (8;3)

x=60; y = - 4 (60;-4)

Tính chất 1 và 2 là đúng.

3) phương trình tương đương:

x-y=5 và y=x-5

(8;3) (8;3)

Sau khi điền xong phần đầu tiên của bảng, dựa trên sự tương tự, chúng ta bắt đầu điền vào hàng thứ hai của bảng, từ đó học tài liệu mới.

III . Chúng ta hãy quay lại chủ đề:phương trình tuyến tính hai biến . Chính tiêu đề của chủ đề đã gợi ý rằng bạn cần giới thiệu một biến mới, ví dụ y.

Có hai số x và y, một số lớn hơn số kia 5. Làm thế nào để viết mối quan hệ giữa chúng? (x – y = 5)đây là một phương trình tuyến tính với hai biến. Chúng ta hãy xây dựng, bằng cách tương tự với định nghĩa của phương trình tuyến tính với một biến, định nghĩa của phương trình tuyến tính với hai biến (Phương trình tuyến tính hai biến là phương trình có dạngcây rìu + qua = c , Ở đâumột,b Vàc - một số con số vàx Vày -biến).

phương trình x – y= 5 với x = 8, y = 3 biến thành đẳng thức đúng 8 – 3 = 5. Người ta nói rằng cặp giá trị của các biến x = 8, y = 3 là nghiệm của phương trình này.

Xây dựng định nghĩa nghiệm của phương trình hai biến (Lời giải của phương trình hai biến là một cặp giá trị của biến biến phương trình này thành một đẳng thức đúng)

Các cặp giá trị biến đôi khi được viết ngắn hơn: (8;3). Trong ký hiệu như vậy, giá trị x được viết ở vị trí đầu tiên và giá trị y ở vị trí thứ hai.

Các phương trình có hai biến có cùng nghiệm (hoặc không có nghiệm) được gọi là tương đương.

Phương trình hai biến có cùng tính chất như phương trình một biến:

    Nếu bạn di chuyển bất kỳ số hạng nào trong phương trình từ phần này sang phần khác, thay đổi dấu của nó, bạn sẽ nhận được một phương trình tương đương với phương trình đã cho.

    Nếu cả hai vế của phương trình được nhân hoặc chia cho cùng một số (không bằng 0), bạn sẽ nhận được một phương trình tương đương với phương trình đã cho.

Ví dụ 1. Xét phương trình 10x + 5y = 15. Sử dụng các tính chất của phương trình, chúng ta biểu diễn một biến theo một biến khác.

Để làm điều này, trước tiên hãy di chuyển 10 lần từ bên trái sang bên phải, đổi dấu. Ta thu được phương trình tương đương 5y = 15 - 10x.

Chia từng phần của phương trình này cho số 5, ta được phương trình tương đương

y = 3 - 2x. Vì vậy, chúng tôi đã thể hiện một biến theo một biến khác. Sử dụng đẳng thức này, với mỗi giá trị của x ta có thể tính được giá trị của y.

Nếu x = 2 thì y = 3 - 2 2 = -1.

Nếu x = -2 thì y = 3 - 2· (-2) = 7. Các cặp số (2; -1), (-2; 7) là nghiệm của phương trình này. Vậy phương trình này có vô số nghiệm.

Từ lịch sử. Bài toán giải phương trình bằng số tự nhiên đã được xem xét chi tiết trong các công trình của nhà toán học nổi tiếng người Hy Lạp Diophantus (thế kỷ III). Chuyên luận “Số học” của ông chứa đựng những giải pháp khéo léo về số tự nhiên cho nhiều phương trình khác nhau. Về vấn đề này, các phương trình có nhiều biến yêu cầu nghiệm bằng số tự nhiên hoặc số nguyên được gọi là phương trình Diophantine.

Ví dụ 2. Bột được đóng gói trong túi 3 kg và 2 kg. Cần lấy bao nhiêu bao mỗi loại để làm được 20 kg bột mì?

Giả sử chúng ta cần lấy x bao 3 kg và y bao 2 kg. Khi đó 3x + 2y = 20. Cần tìm tất cả các cặp giá trị tự nhiên của biến x và y thỏa mãn phương trình này. Chúng tôi nhận được:

2y = 20 - 3x

y =

Thay lần lượt vào đẳng thức này tất cả các số 1,2,3, v.v., ta tìm được giá trị nào của x, các giá trị của y là số tự nhiên.

Ta được: (2;7), (4;4), (6;1). Không có cặp nào khác thỏa mãn phương trình này. Điều này có nghĩa là bạn cần lấy lần lượt gói 2 và 7, hoặc 4 và 4, hoặc 6 và 1.

IV . Làm bài theo SGK (nói) số 1025, số 1027 (a)

Làm việc độc lập với bài kiểm tra trong lớp.

1. Viết phương trình tuyến tính với hai biến.

a) 3x + 6y = 5 c) xy = 11 b) x – 2y = 5

2. Một cặp số có phải là nghiệm của một phương trình không?

2x + y = -5 (-4;3), (-1;-3), (0;5).

3. Biểu diễn từ phương trình tuyến tính

4x – 3y = 12 a) x qua y b) y qua x

4. Tìm ba nghiệm của phương trình.

x + y = 27

V. . Vì vậy, để tóm tắt:

Xác định một phương trình tuyến tính với hai biến.

Cái được gọi là nghiệm (gốc) của phương trình tuyến tính có hai biến.

Nêu các tính chất của phương trình tuyến tính có hai biến.

Chấm điểm.

Bài tập về nhà: đoạn 40, số 1028, số 1032