Một hệ phương trình đại số tuyến tính được đưa ra. Cách tìm nghiệm chung và nghiệm riêng cho hệ phương trình tuyến tính

Phương Trình Tuyến Tính Với Hai Biến

Học sinh có 200 rúp để ăn trưa ở trường. Một chiếc bánh có giá 25 rúp và một tách cà phê có giá 10 rúp. Bạn có thể mua bao nhiêu bánh ngọt và cốc cà phê với giá 200 rúp?

Biểu thị số lượng bánh thông qua x, và số tách cà phê thông qua y. Sau đó, chi phí bánh sẽ được biểu thị bằng biểu thức 25 x, và chi phí của tách cà phê trong 10 y .

25x- giá bán x Bánh
10y- giá bán y Tách cà phê

Tổng số tiền phải là 200 rúp. Sau đó, chúng ta nhận được một phương trình với hai biến x và y

25x+ 10y= 200

Phương trình này có bao nhiêu nghiệm?

Tất cả phụ thuộc vào sự thèm ăn của học sinh. Nếu anh ta mua 6 cái bánh ngọt và 5 cốc cà phê, thì nghiệm của phương trình sẽ là các số 6 và 5.

Cặp giá trị 6 và 5 được cho là nghiệm của phương trình 25 x+ 10y= 200 . Viết là (6; 5) , với số đầu tiên là giá trị của biến x và thứ hai - giá trị của biến y .

6 và 5 không phải là nghiệm duy nhất đảo ngược phương trình 25 x+ 10y= 200 đến danh tính. Nếu muốn, với cùng 200 rúp, một sinh viên có thể mua 4 chiếc bánh và 10 tách cà phê:

Trong trường hợp này, nghiệm của phương trình 25 x+ 10y= 200 là cặp giá trị (4; 10) .

Hơn nữa, một sinh viên hoàn toàn có thể không mua cà phê mà mua bánh với giá 200 rúp. Khi đó nghiệm của phương trình 25 x+ 10y= 200 sẽ là các giá trị 8 và 0

Hoặc ngược lại, không mua bánh mà mua cà phê hết 200 rúp. Khi đó nghiệm của phương trình 25 x+ 10y= 200 sẽ là giá trị 0 và 20

Hãy thử liệt kê tất cả các nghiệm có thể có của phương trình 25 x+ 10y= 200 . Chúng ta hãy đồng ý rằng các giá trị x và y thuộc tập hợp các số nguyên. Và để các giá trị này lớn hơn hoặc bằng 0:

x∈z, y∈ Z;
x ≥ 0, y ≥ 0

Vì vậy, nó sẽ thuận tiện cho chính học sinh. Bánh sẽ thuận tiện hơn để mua toàn bộ hơn là, ví dụ, một vài chiếc bánh và một nửa chiếc bánh. Cà phê cũng thuận tiện hơn khi uống trong cốc nguyên vẹn hơn, chẳng hạn như vài cốc nguyên và nửa cốc.

Lưu ý rằng đối với số lẻ x không thể đạt được sự bình đẳng dưới bất kỳ hình thức nào y. Khi đó các giá trị x sẽ có các số sau 0, 2, 4, 6, 8. Và biết x có thể dễ dàng xác định y

Vì vậy, chúng tôi đã nhận được các cặp giá trị sau (0; 20), (2; 15), (4; 10), (6; 5), (8; 0). Các cặp này là nghiệm hay nghiệm của phương trình 25 x+ 10y= 200. Họ biến phương trình này thành một đẳng thức.

Loại phương trình ax + by = c gọi là phương trình tuyến tính với hai biến. Nghiệm hoặc nghiệm của phương trình này là một cặp giá trị ( x; y), biến nó thành một danh tính.

Cũng lưu ý rằng nếu một phương trình tuyến tính với hai biến được viết là ax + b y = c , sau đó họ nói rằng nó được viết bằng kinh điển(bình thường) hình thức.

Một số phương trình tuyến tính hai biến có thể rút gọn về dạng chính tắc.

Ví dụ, phương trình 2(16x+ 3y- 4) = 2(12 + 8x − y) có thể được đưa vào tâm trí ax + by = c. Hãy mở ngoặc trong cả hai phần của phương trình này, chúng ta nhận được 32x + 6y − 8 = 24 + 16x − 2y . Các thuật ngữ chứa ẩn số được nhóm ở phía bên trái của phương trình và các thuật ngữ không có ẩn số được nhóm ở bên phải. Sau đó, chúng tôi nhận được 32x - 16x+ 6y+ 2y = 24 + 8 . Ta mang các số hạng tương tự ở cả hai vế ta được phương trình 16 x+ 8y= 32. Phương trình này được rút gọn về dạng ax + by = c và là kinh điển.

Phương trình 25 được xem xét trước đó x+ 10y= 200 cũng là một phương trình tuyến tính hai biến ở dạng chính tắc. Trong phương trình này, các tham số một , b và c lần lượt bằng các giá trị 25, 10 và 200.

Thực ra phương trình ax + by = c có vô số nghiệm. Giải phương trình 25x+ 10y= 200, chúng tôi chỉ tìm kiếm gốc của nó trên tập hợp các số nguyên. Kết quả là, chúng tôi đã thu được một số cặp giá trị biến phương trình này thành một danh tính. Nhưng trên tập hợp các số hữu tỉ phương trình 25 x+ 10y= 200 sẽ có vô số nghiệm.

Để nhận các cặp giá trị mới, bạn cần lấy một giá trị tùy ý cho x, sau đó thể hiện y. Ví dụ: hãy lấy một biến x giá trị 7. Sau đó, chúng ta nhận được một phương trình với một biến 25×7 + 10y= 200 trong đó để thể hiện y

Để cho x= 15 . Khi đó phương trình 25x+ 10y= 200 trở thành 25 × 15 + 10y= 200. Từ đây ta thấy rằng y = −17,5

Để cho x= −3 . Khi đó phương trình 25x+ 10y= 200 trở thành 25 × (−3) + 10y= 200. Từ đây ta thấy rằng y = −27,5

Hệ hai phương trình tuyến tính hai biến

cho phương trình ax + by = c bạn có thể lấy bao nhiêu lần giá trị tùy ý cho x và tìm giá trị cho y. Xét riêng, một phương trình như vậy sẽ có vô số nghiệm.

Nhưng nó cũng xảy ra rằng các biến x và yđược kết nối không phải bởi một, mà bởi hai phương trình. Trong trường hợp này, chúng tạo thành cái gọi là hệ phương trình tuyến tính hai biến. Một hệ phương trình như vậy có thể có một cặp giá trị (hay nói cách khác: “một nghiệm”).

Cũng có thể xảy ra trường hợp hệ thống không có giải pháp nào cả. Một hệ phương trình tuyến tính có thể có vô số nghiệm trong các trường hợp hiếm và ngoại lệ.

Hai phương trình tuyến tính tạo thành một hệ thống khi các giá trị x và yđược bao gồm trong mỗi phương trình này.

Hãy quay trở lại phương trình đầu tiên 25 x+ 10y= 200 . Một trong các cặp giá trị của phương trình này là cặp (6; 5) . Đây là trường hợp khi 200 rúp có thể mua được 6 chiếc bánh và 5 tách cà phê.

Ta lập bài toán để cặp (6; 5) trở thành nghiệm duy nhất của phương trình 25 x+ 10y= 200 . Để làm điều này, chúng tôi soạn một phương trình khác sẽ kết nối cùng một x bánh ngọt và y Tách cà phê.

Hãy đặt văn bản của nhiệm vụ như sau:

“Một cậu học sinh đã mua vài chiếc bánh ngọt và vài tách cà phê với giá 200 rúp. Một chiếc bánh có giá 25 rúp và một tách cà phê có giá 10 rúp. Hỏi học sinh đó đã mua bao nhiêu cái bánh ngọt và bao nhiêu cốc cà phê nếu biết rằng số cái bánh nhiều hơn số cốc cà phê là 1 cái?

Chúng ta đã có phương trình đầu tiên. Đây là phương trình 25 x+ 10y= 200 . Bây giờ hãy viết một phương trình cho điều kiện "số cái bánh nhiều hơn số ly cà phê một đơn vị" .

Số cái bánh là x, và số tách cà phê là y. Bạn có thể viết cụm từ này bằng phương trình x − y= 1. Phương trình này có nghĩa là sự khác biệt giữa bánh ngọt và cà phê là 1.

x=y+ 1 . Phương trình này có nghĩa là số bánh nhiều hơn số cốc cà phê một chiếc. Do đó, để có được sự bình đẳng, người ta được thêm vào số tách cà phê. Điều này có thể dễ dàng hiểu được nếu chúng ta sử dụng mô hình trọng lượng mà chúng ta đã xem xét khi nghiên cứu các vấn đề đơn giản nhất:

Có hai phương trình: 25 x+ 10y= 200 và x=y+ 1. Vì các giá trị x và y, cụ thể là 6 và 5 được bao gồm trong mỗi phương trình này, sau đó chúng cùng nhau tạo thành một hệ thống. Hãy viết ra hệ thống này. Nếu các phương trình tạo thành một hệ thống, thì chúng được đóng khung bởi dấu hiệu của hệ thống. Dấu hiệu hệ thống là một dấu ngoặc nhọn:

Hãy giải hệ này. Điều này sẽ cho phép chúng tôi xem làm thế nào chúng tôi đạt được các giá trị 6 và 5. Có nhiều phương pháp để giải các hệ thống như vậy. Hãy xem xét phổ biến nhất trong số họ.

Phương pháp thay thế

Tên của phương pháp này nói cho chính nó. Bản chất của nó là thay thế một phương trình này bằng một phương trình khác, trước đó đã biểu thị một trong các biến.

Trong hệ thống của chúng tôi, không có gì cần phải được thể hiện. Trong phương trình thứ hai x = y+ 1 biến x bày tỏ rồi. Biến này bằng biểu thức y+ 1 . Sau đó, bạn có thể thay thế biểu thức này trong phương trình đầu tiên thay vì biến x

Sau khi thay biểu thức y+ 1 vào phương trình đầu tiên thay thế x, ta được phương trình 25(y+ 1) + 10y= 200 . Đây là một phương trình tuyến tính với một biến. Phương trình này khá dễ giải:

Chúng tôi tìm thấy giá trị của biến y. Bây giờ chúng ta thay thế giá trị này vào một trong các phương trình và tìm giá trị x. Đối với điều này, thuận tiện để sử dụng phương trình thứ hai x = y+ 1 . Hãy đặt giá trị vào nó y

Vậy cặp (6; 5) là nghiệm của hệ phương trình như ta đã dự định. Ta kiểm tra cặp (6; 5) thỏa mãn hệ thức:

ví dụ 2

Thay thế phương trình đầu tiên x= 2 + y vào phương trình thứ hai 3 x - 2y= 9 . Trong phương trình đầu tiên, biến x bằng biểu thức 2 + y. Chúng tôi thay thế biểu thức này vào phương trình thứ hai thay vì x

Bây giờ hãy tìm giá trị x. Để làm điều này, thay thế giá trị y vào phương trình đầu tiên x= 2 + y

Vậy nghiệm của hệ là cặp giá trị (5; 3)

ví dụ 3. Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thay thế:

Ở đây, không giống như các ví dụ trước, một trong các biến không được biểu thị rõ ràng.

Để thay thế một phương trình này thành một phương trình khác, trước tiên bạn cần .

Nên biểu thị biến có hệ số bằng một. Đơn vị hệ số có một biến x, được chứa trong phương trình đầu tiên x+ 2y= 11 . Hãy biểu thị biến này.

Sau một biểu thức biến x, hệ thống của chúng ta sẽ như thế này:

Bây giờ chúng ta thay thế phương trình thứ nhất thành phương trình thứ hai và tìm giá trị y

Thay thế y x

Vậy nghiệm của hệ là cặp giá trị (3; 4)

Tất nhiên, bạn cũng có thể biểu thị một biến y. Gốc rễ sẽ không thay đổi. Nhưng nếu bạn bày tỏ y, kết quả không phải là một phương trình rất đơn giản, việc giải quyết nó sẽ mất nhiều thời gian hơn. Nó sẽ trông giống thế này:

Chúng tôi thấy rằng trong ví dụ này để thể hiện x thuận tiện hơn nhiều so với thể hiện y .

Ví dụ 4. Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thay thế:

Thể hiện trong phương trình đầu tiên x. Khi đó hệ thống sẽ có dạng:

y

Thay thế y vào phương trình đầu tiên và tìm x. Bạn có thể sử dụng phương trình ban đầu 7 x+ 9y= 8 hoặc sử dụng phương trình trong đó biến được biểu thị x. Chúng tôi sẽ sử dụng phương trình này, vì nó thuận tiện:

Vậy nghiệm của hệ là cặp giá trị (5; −3)

phương pháp cộng

Phương pháp cộng là cộng từng hạng tử các phương trình có trong hệ. Phép cộng này dẫn đến một phương trình một biến mới. Và nó khá dễ dàng để giải phương trình này.

Hãy giải hệ phương trình sau:

Cộng vế trái của phương trình thứ nhất vào vế trái của phương trình thứ hai. Và vế ​​phải của phương trình thứ nhất bằng vế phải của phương trình thứ hai. Ta được đẳng thức sau:

Dưới đây là các điều khoản tương tự:

Kết quả là ta thu được phương trình 3 đơn giản nhất x= 27 có căn là 9. Biết giá trị x bạn có thể tìm thấy giá trị y. Thay thế giá trị x vào phương trình thứ hai x − y= 3 . Chúng tôi nhận được 9 - y= 3 . Từ đây y= 6 .

Vậy nghiệm của hệ là cặp giá trị (9; 6)

ví dụ 2

Cộng vế trái của phương trình thứ nhất vào vế trái của phương trình thứ hai. Và vế ​​phải của phương trình thứ nhất bằng vế phải của phương trình thứ hai. Trong sự bình đẳng kết quả, chúng tôi trình bày như các thuật ngữ:

Kết quả là ta thu được phương trình đơn giản nhất 5 x= 20, căn của nó là 4. Biết giá trị x bạn có thể tìm thấy giá trị y. Thay thế giá trị x vào phương trình thứ nhất 2 x+y= 11 . Hãy nhận được 8 + y= 11 . Từ đây y= 3 .

Vậy nghiệm của hệ là cặp giá trị (4;3)

Quá trình bổ sung không được mô tả chi tiết. Nó phải được thực hiện trong tâm trí. Khi thêm, cả hai phương trình phải được rút gọn về dạng chính tắc. Đó là, đối với tâm trí ac+by=c .

Từ các ví dụ được xem xét, có thể thấy rằng mục tiêu chính của việc cộng các phương trình là để loại bỏ một trong các biến. Nhưng không phải lúc nào cũng giải được ngay hệ phương trình bằng phương pháp cộng. Thông thường, hệ thống được đưa sơ bộ về dạng có thể thêm các phương trình có trong hệ thống này.

Ví dụ, hệ thống có thể giải trực tiếp bằng phương pháp cộng. Khi thêm cả hai phương trình, các điều khoản y và −y biến mất vì tổng của chúng bằng không. Kết quả là, phương trình đơn giản nhất được hình thành 11 x= 22 , có nghiệm là 2. Khi đó có thể xác định y bằng 5.

Và hệ phương trình phương pháp bổ sung không thể được giải quyết ngay lập tức, vì điều này sẽ không dẫn đến sự biến mất của một trong các biến. Ngoài ra sẽ dẫn đến phương trình 8 x+ y= 28 , có vô số nghiệm.

Nếu nhân hoặc chia cả hai vế của phương trình cho cùng một số khác 0 thì ta được phương trình tương đương với phương trình đã cho. Quy tắc này cũng đúng với hệ phương trình tuyến tính hai biến. Một trong các phương trình (hoặc cả hai phương trình) có thể được nhân với một số. Kết quả là một hệ thống tương đương, gốc của nó sẽ trùng với hệ thống trước đó.

Hãy quay trở lại hệ thống đầu tiên, mô tả số lượng bánh ngọt và cốc cà phê mà sinh viên đã mua. Giải pháp của hệ thống này là một cặp giá trị (6; 5) .

Chúng tôi nhân cả hai phương trình có trong hệ thống này với một số con số. Giả sử chúng ta nhân phương trình thứ nhất với 2 và phương trình thứ hai với 3

Kết quả là một hệ thống
Nghiệm của hệ này vẫn là cặp giá trị (6; 5)

Điều này có nghĩa là các phương trình có trong hệ thống có thể được rút gọn thành dạng phù hợp để áp dụng phương pháp cộng.

Quay lại hệ thống , mà chúng tôi không thể giải quyết bằng phương pháp bổ sung.

Nhân phương trình thứ nhất với 6 và phương trình thứ hai với −2

Sau đó, chúng tôi nhận được hệ thống sau:

Chúng tôi thêm các phương trình có trong hệ thống này. Bổ sung linh kiện 12 x và -12 x sẽ dẫn đến 0, thêm 18 y và 4 y sẽ cho 22 y, cộng 108 và −20 ta được 88. Sau đó, bạn nhận được phương trình 22 y= 88 , do đó y = 4 .

Nếu lúc đầu, bạn thấy khó cộng các phương trình trong đầu, thì bạn có thể viết ra cách cộng vế trái của phương trình thứ nhất với vế trái của phương trình thứ hai và vế phải của phương trình thứ nhất với vế phải của phương trình thứ nhất. phương trình thứ hai:

Biết rằng giá trị của biến y là 4, bạn có thể tìm thấy giá trị x. Thay thế y vào một trong các phương trình, ví dụ như vào phương trình đầu tiên 2 x+ 3y= 18 . Sau đó, chúng ta nhận được một phương trình với một biến 2 x+ 12 = 18 . Ta chuyển 12 sang vế phải, đổi dấu ta được 2 x= 6 , do đó x = 3 .

Ví dụ 4. Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng:

Nhân phương trình thứ hai với −1. Khi đó hệ thống sẽ có dạng như sau:

Hãy thêm cả hai phương trình. Bổ sung các thành phần x và −x sẽ dẫn đến 0, thêm 5 y và 3 y sẽ cho 8 y, cộng 7 với 1 được 8. Kết quả là phương trình 8 y= 8 , có nghiệm là 1. Biết rằng giá trị y là 1, bạn có thể tìm thấy giá trị x .

Thay thế y vào phương trình đầu tiên, chúng ta nhận được x+ 5 = 7 , do đó x= 2

Ví dụ 5. Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng:

Điều mong muốn là các thuật ngữ chứa các biến giống nhau được đặt dưới cái kia. Do đó, trong phương trình thứ hai, các số hạng 5 y và −2 xđổi chỗ. Kết quả là hệ thống sẽ có dạng:

Nhân phương trình thứ hai với 3. Khi đó hệ sẽ có dạng:

Bây giờ hãy thêm cả hai phương trình. Kết quả của phép cộng, chúng ta có phương trình 8 y= 16 , có gốc là 2.

Thay thế y vào phương trình đầu tiên, chúng ta nhận được 6 x− 14 = 40 . Ta chuyển số hạng −14 sang vế phải, đổi dấu ta được 6 x= 54 . Từ đây x= 9.

Ví dụ 6. Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng:

Hãy loại bỏ các phân số. Nhân phương trình thứ nhất với 36 và phương trình thứ hai với 12

Trong hệ thống kết quả phương trình đầu tiên có thể được nhân với −5 và phương trình thứ hai với 8

Hãy thêm các phương trình trong hệ thống kết quả. Sau đó, chúng ta nhận được phương trình đơn giản nhất −13 y= −156 . Từ đây y= 12 . Thay thế y vào phương trình đầu tiên và tìm x

Ví dụ 7. Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng:

Chúng tôi đưa cả hai phương trình về dạng bình thường. Ở đây thuận tiện để áp dụng quy tắc tỷ lệ trong cả hai phương trình. Nếu trong phương trình thứ nhất, vế phải được biểu thị là , và vế phải của phương trình thứ hai là , thì hệ sẽ có dạng:

Chúng tôi có một tỷ lệ. Chúng tôi nhân các điều khoản cực đoan và trung bình của nó. Khi đó hệ thống sẽ có dạng:

Chúng ta nhân phương trình đầu tiên với −3 và mở ngoặc trong phương trình thứ hai:

Bây giờ hãy thêm cả hai phương trình. Kết quả của việc thêm các phương trình này, chúng ta có một đẳng thức, trong cả hai phần sẽ không có:

Nó chỉ ra rằng hệ thống có vô số giải pháp.

Nhưng chúng ta không thể đơn giản lấy các giá trị tùy ý từ bầu trời cho x và y. Chúng tôi có thể chỉ định một trong các giá trị và giá trị còn lại sẽ được xác định tùy thuộc vào giá trị chúng tôi chỉ định. Ví dụ, hãy để x= 2 . Thay thế giá trị này vào hệ thống:

Kết quả của việc giải một trong các phương trình, giá trị của y, sẽ thỏa mãn cả hai phương trình:

Cặp giá trị (2; −2) thu được sẽ thỏa mãn hệ thức:

Hãy tìm một cặp giá trị khác. Để cho x= 4. Thay giá trị này vào hệ thống:

Nó có thể được xác định bằng mắt mà y bằng không. Sau đó, chúng tôi nhận được một cặp giá trị (4; 0), thỏa mãn hệ thống của chúng tôi:

Ví dụ 8. Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng:

Nhân phương trình thứ nhất với 6 và phương trình thứ hai với 12

Hãy viết lại những gì còn lại:

Nhân phương trình đầu tiên với −1. Khi đó hệ thống sẽ có dạng:

Bây giờ hãy thêm cả hai phương trình. Kết quả của phép cộng, phương trình 6 được hình thành b= 48 , có gốc là 8. Thay thế b vào phương trình đầu tiên và tìm một

Hệ phương trình tuyến tính ba biến

Một phương trình tuyến tính với ba biến bao gồm ba biến có hệ số, cũng như hệ số chặn. Ở dạng kinh điển, nó có thể được viết như sau:

ax + by + cz = d

Phương trình này có vô số nghiệm. Bằng cách cho hai biến các giá trị khác nhau, giá trị thứ ba có thể được tìm thấy. Giải pháp trong trường hợp này là bộ ba giá trị ( x; y; z) mà biến phương trình thành một danh tính.

Nếu biến XYZđược liên kết với nhau bởi ba phương trình, sau đó một hệ gồm ba phương trình tuyến tính với ba biến được hình thành. Để giải một hệ như vậy, bạn có thể áp dụng các phương pháp tương tự áp dụng cho phương trình tuyến tính hai biến: phương pháp thế và phương pháp cộng.

ví dụ 1. Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thay thế:

Chúng tôi thể hiện trong phương trình thứ ba x. Khi đó hệ thống sẽ có dạng:

Bây giờ chúng ta hãy thay thế. Biến đổi x bằng với biểu thức 3 − 2y − 2z . Thay biểu thức này vào phương trình thứ nhất và thứ hai:

Hãy mở ngoặc trong cả hai phương trình và đưa ra các thuật ngữ tương tự:

Chúng ta đã đi đến một hệ phương trình tuyến tính với hai biến. Trong trường hợp này, thuận tiện để áp dụng phương pháp bổ sung. Kết quả là, biến y sẽ biến mất và chúng ta có thể tìm thấy giá trị của biến z

Bây giờ hãy tìm giá trị y. Đối với điều này, thật thuận tiện khi sử dụng phương trình - y+ z= 4. Thay thế giá trị z

Bây giờ hãy tìm giá trị x. Đối với điều này, nó là thuận tiện để sử dụng phương trình x= 3 − 2y − 2z . Thay thế các giá trị vào nó y và z

Do đó, bộ ba giá trị (3; −2; 2) là giải pháp cho hệ thống của chúng tôi. Bằng cách kiểm tra, chúng tôi đảm bảo rằng các giá trị này thỏa mãn hệ thống:

ví dụ 2. Giải hệ bằng phương pháp cộng

Hãy cộng phương trình thứ nhất với phương trình thứ hai nhân với −2.

Nếu phương trình thứ hai được nhân với −2, thì nó sẽ có dạng −6x+ 6y- 4z = −4 . Bây giờ thêm nó vào phương trình đầu tiên:

Ta thấy rằng do kết quả của các phép biến đổi cơ bản, giá trị của biến đã được xác định x. Nó bằng một.

Hãy quay trở lại hệ thống chính. Hãy cộng phương trình thứ hai với phương trình thứ ba nhân với −1. Nếu phương trình thứ ba được nhân với −1, thì nó sẽ có dạng −4x + 5y − 2z = −1 . Bây giờ thêm nó vào phương trình thứ hai:

Có phương trình x - 2y= −1 . Thay thế giá trị vào nó x mà chúng tôi tìm thấy trước đó. Sau đó, chúng ta có thể xác định giá trị y

Bây giờ chúng ta biết các giá trị x và y. Điều này cho phép bạn xác định giá trị z. Chúng tôi sử dụng một trong các phương trình có trong hệ thống:

Do đó, bộ ba giá trị (1; 1; 1) là giải pháp cho hệ thống của chúng tôi. Bằng cách kiểm tra, chúng tôi đảm bảo rằng các giá trị này thỏa mãn hệ thống:

Nhiệm vụ biên soạn hệ phương trình tuyến tính

Nhiệm vụ tổng hợp các hệ phương trình được giải quyết bằng cách đưa vào một số biến. Tiếp theo, các phương trình được tổng hợp dựa trên điều kiện của bài toán. Từ các phương trình đã tổng hợp được, các em lập hệ và giải. Sau khi giải hệ, cần kiểm tra xem nghiệm của nó có thỏa mãn các điều kiện của bài toán hay không.

Nhiệm vụ 1. Một chiếc xe Volga rời thành phố đến trang trại tập thể. Cô ấy quay trở lại theo một con đường khác ngắn hơn con đường đầu tiên 5 km. Tổng cộng ô tô đã đi được 35 km cả hai chiều. Hỏi mỗi đoạn đường dài bao nhiêu km?

Dung dịch

Để cho x- chiều dài của con đường đầu tiên, y- độ dài của giây. Nếu ô tô đã đi 35 km theo cả hai chiều, thì phương trình đầu tiên có thể được viết là x+ y= 35. Phương trình này mô tả tổng độ dài của cả hai con đường.

Biết rằng ô tô đang quay trở lại trên con đường ngắn hơn ô tô thứ nhất 5 km. Sau đó, phương trình thứ hai có thể được viết là x− y= 5. Phương trình này cho thấy sự khác biệt giữa độ dài của các con đường là 5 km.

Hoặc phương trình thứ hai có thể được viết là x= y+ 5 . Chúng ta sẽ sử dụng phương trình này.

Vì các biến x và y trong cả hai phương trình biểu thị cùng một số, thì chúng ta có thể tạo thành một hệ thống từ chúng:

Hãy giải hệ này bằng một trong các phương pháp đã nghiên cứu trước đó. Trong trường hợp này, thật thuận tiện khi sử dụng phương pháp thay thế, vì trong phương trình thứ hai, biến x bày tỏ rồi.

Thay phương trình thứ hai vào phương trình thứ nhất và tìm y

Thay giá trị tìm được y vào phương trình thứ hai x= y+ 5 và tìm x

Độ dài của con đường đầu tiên được ký hiệu bởi biến x. Bây giờ chúng tôi đã tìm thấy ý nghĩa của nó. Biến đổi x là 20. Vậy quãng đường thứ nhất dài 20 km.

Và chiều dài của con đường thứ hai được chỉ định bởi y. Giá trị của biến này là 15. Vậy chiều dài của con đường thứ hai là 15 km.

Hãy làm một kiểm tra. Trước tiên, hãy đảm bảo rằng hệ thống được giải chính xác:

Bây giờ hãy kiểm tra xem nghiệm (20; 15) có thỏa mãn điều kiện của bài toán hay không.

Người ta nói rằng tổng cộng ô tô đã đi 35 km cả hai chiều. Chúng tôi cộng độ dài của cả hai con đường và đảm bảo rằng giải pháp (20; 15) thỏa mãn điều kiện này: 20 km + 15 km = 35 km

Điều kiện tiếp theo: ô tô quay trở lại theo một đoạn đường khác ngắn hơn lúc đầu 5 km . Ta thấy rằng nghiệm (20; 15) cũng thỏa mãn điều kiện này, vì 15 km ngắn hơn 20 km x 5 km: 20 km − 15 km = 5 km

Khi biên soạn một hệ thống, điều quan trọng là các biến biểu thị các số giống nhau trong tất cả các phương trình có trong hệ thống này.

Vì vậy, hệ thống của chúng tôi chứa hai phương trình. Các phương trình này lần lượt chứa các biến x và y, biểu thị các số giống nhau trong cả hai phương trình, cụ thể là độ dài của các con đường bằng 20 km và 15 km.

Nhiệm vụ 2. Tà vẹt gỗ sồi và gỗ thông được chất lên giàn, tổng cộng là 300 tà vẹt. Được biết, tất cả các tà vẹt bằng gỗ sồi nặng hơn 1 tấn so với tất cả các tà vẹt bằng gỗ thông. Xác định có bao nhiêu tà vẹt gỗ sồi và thông, nếu mỗi tà vẹt gỗ sồi nặng 46 kg và mỗi tà vẹt gỗ thông nặng 28 kg.

Dung dịch

Để cho x gỗ sồi và y tà vẹt gỗ thông được chất lên sân ga. Nếu có tổng cộng 300 tà vẹt, thì phương trình đầu tiên có thể được viết là x+y = 300 .

Tất cả tà vẹt gỗ sồi nặng 46 x kg, và cây thông nặng 28 y Kilôgam. Vì tà vẹt gỗ sồi nhẹ hơn tà vẹt gỗ thông 1 tấn nên phương trình thứ hai có thể được viết là 28y- 46x= 1000 . Phương trình này cho thấy chênh lệch khối lượng giữa tà vẹt gỗ sồi và gỗ thông là 1000 kg.

Tấn đã được chuyển đổi thành kilôgam vì khối lượng của tà vẹt gỗ sồi và gỗ thông được đo bằng kilôgam.

Kết quả là, chúng ta thu được hai phương trình tạo thành hệ thống

Hãy giải hệ này. Thể hiện trong phương trình đầu tiên x. Khi đó hệ thống sẽ có dạng:

Thay phương trình thứ nhất vào phương trình thứ hai và tìm y

Thay thế y vào phương trình x= 300 − y và tìm hiểu những gì x

Điều này có nghĩa là 100 tà vẹt gỗ sồi và 200 gỗ thông đã được chất lên giàn.

Hãy kiểm tra xem nghiệm (100; 200) có thỏa mãn điều kiện của bài toán hay không. Trước tiên, hãy đảm bảo rằng hệ thống được giải chính xác:

Người ta nói rằng có tổng cộng 300 người ngủ. Chúng tôi cộng số lượng tà vẹt gỗ sồi và gỗ thông và đảm bảo rằng giải pháp (100; 200) thỏa mãn điều kiện này: 100 + 200 = 300.

Điều kiện tiếp theo: tất cả tà vẹt gỗ sồi nặng hơn 1 tấn so với tất cả gỗ thông . Ta thấy rằng nghiệm (100; 200) cũng thỏa mãn điều kiện này, vì tà vẹt gỗ sồi 46 × 100 kg nhẹ hơn tà vẹt gỗ thông 28 × 200 kg: 5600kg − 4600kg = 1000kg.

nhiệm vụ 3. Chúng tôi đã lấy ba mảnh hợp kim đồng và niken theo tỷ lệ 2: 1, 3: 1 và 5: 1 theo trọng lượng. Trong số này, một mảnh nặng 12 kg được nung chảy với tỷ lệ hàm lượng đồng và niken là 4:1. Tìm khối lượng của mỗi mảnh ban đầu nếu khối lượng của mảnh thứ nhất gấp đôi khối lượng của mảnh thứ hai.

Phương pháp Gaussian có một số nhược điểm: không thể biết liệu hệ thống có nhất quán hay không cho đến khi tất cả các phép biến đổi cần thiết trong phương pháp Gaussian được thực hiện; phương pháp Gaussian không phù hợp với các hệ thống có hệ số chữ cái.

Xem xét các phương pháp khác để giải hệ phương trình tuyến tính. Các phương pháp này sử dụng khái niệm về hạng của ma trận và rút gọn nghiệm của bất kỳ hệ thống chung nào thành nghiệm của một hệ áp dụng quy tắc Cramer.

ví dụ 1 Tìm nghiệm tổng quát của hệ phương trình tuyến tính sau bằng cách sử dụng hệ nghiệm cơ bản của hệ thuần nhất rút gọn và nghiệm riêng của hệ không thuần nhất.

1. Chúng tôi tạo một ma trận Một và ma trận tăng cường của hệ thống (1)

2. Khám phá hệ thống (1) để tương thích. Để làm được điều này, chúng ta tìm hạng của các ma trận Một và https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">). Nếu thành ra như vậy thì hệ thống (1) không tương thích. Nếu chúng ta có được điều đó , thì hệ thống này nhất quán và chúng tôi sẽ giải quyết nó. (Nghiên cứu tính nhất quán dựa trên định lý Kronecker-Capelli).

một. Chúng ta tìm thấy rA.

Để tìm rA, chúng tôi sẽ xem xét liên tiếp các phần phụ khác không của các đơn đặt hàng thứ nhất, thứ hai, v.v. của ma trận Một và những trẻ vị thành niên xung quanh họ.

M1=1≠0 (1 được lấy từ góc trên bên trái của ma trận NHƯNG).

Giáp ranh M1 hàng thứ hai và cột thứ hai của ma trận này. . Chúng tôi tiếp tục biên giới M1 dòng thứ hai và cột thứ ba..gif" width="37" height="20 src=">. Bây giờ chúng ta tạo viền cho phần phụ khác không М2′ thứ tự thứ hai.

Chúng ta có: (vì 2 cột đầu giống nhau)

(vì dòng thứ hai và thứ ba tỷ lệ thuận).

Chúng ta thấy rằng rA=2, và là cơ sở nhỏ của ma trận Một.

b. Chúng ta tìm thấy .

Đủ cơ bản nhỏ М2′ ma trận Một viền với một cột của các thành viên miễn phí và tất cả các dòng (chúng tôi chỉ có dòng cuối cùng).

. Từ đó mà М3′′ vẫn là phần tử cơ bản của ma trận https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)

Tại vì М2′- cơ sở nhỏ của ma trận Một hệ thống (2) , thì hệ này tương đương với hệ (3) , bao gồm hai phương trình đầu tiên của hệ thống (2) (vì М2′ nằm ở hai hàng đầu tiên của ma trận A).

(3)

Vì phần phụ cơ bản là https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> (4)

Trong hệ thống này, hai ẩn số miễn phí ( x2 và x4 ). đó là lý do tại sao FSR hệ thống (4) gồm hai giải pháp. Để tìm thấy chúng, chúng tôi gán các ẩn số miễn phí cho (4) giá trị đầu tiên x2=1 , x4=0 , và sau đó - x2=0 , x4=1 .

Tại x2=1 , x4=0 chúng tôi nhận được:

.

Hệ thống này đã có điều duy nhất giải pháp (có thể tìm thấy nó theo quy tắc Cramer hoặc bằng bất kỳ phương pháp nào khác). Trừ phương trình đầu tiên từ phương trình thứ hai, chúng ta nhận được:

Quyết định của cô ấy sẽ là x1= -1 , x3=0 . Với các giá trị x2 và x4 , mà chúng tôi đã đưa ra, chúng tôi có được giải pháp cơ bản đầu tiên của hệ thống (2) : .

Bây giờ chúng tôi đưa vào (4) x2=0 , x4=1 . Chúng tôi nhận được:

.

Chúng tôi giải hệ thống này bằng định lý Cramer:

.

Ta thu được nghiệm cơ bản thứ hai của hệ (2) : .

Các giải pháp β1 , β2 và trang điểm FSR hệ thống (2) . Sau đó, giải pháp chung của nó sẽ là

γ= C1 β1+С2β2=С1(-1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(-С1+5С2, С1, 4С2, С2)

Nơi đây C1 , C2 là các hằng số tùy ý.

4. Tìm một riêng dung dịch hệ thống không đồng nhất(1) . Như trong đoạn 3 , thay vì hệ thống (1) xem xét hệ thống tương đương (5) , bao gồm hai phương trình đầu tiên của hệ thống (1) .

(5)

Chúng tôi chuyển các ẩn số miễn phí sang phía bên tay phải x2 và x4.

(6)

Hãy đưa ra những ẩn số miễn phí x2 và x4 giá trị tùy ý, ví dụ, x2=2 , x4=1 và cắm chúng vào (6) . Hãy lấy hệ thống

Hệ thống này có một giải pháp duy nhất (vì yếu tố quyết định của nó М2′0). Giải nó (sử dụng định lý Cramer hoặc phương pháp Gauss), chúng ta thu được x1=3 , x3=3 . Với các giá trị của các ẩn số miễn phí x2 và x4 , chúng tôi nhận được giải pháp cụ thể của một hệ thống không đồng nhất(1)α1=(3,2,3,1).

5. Bây giờ nó vẫn còn để viết nghiệm tổng quát α của hệ không thuần nhất(1) : nó bằng tổng quyết định riêng tư hệ thống này và giải pháp chung của hệ thống đồng nhất giảm của nó (2) :

α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2).

Điều này có nghĩa là: (7)

6. Kiểm tra.Để kiểm tra xem bạn đã giải đúng hệ thống chưa (1) , chúng ta cần một giải pháp chung (7) thay thế trong (1) . Nếu mỗi phương trình trở thành một đơn vị ( C1 và C2 nên bị hủy), thì giải pháp được tìm thấy chính xác.

chúng tôi sẽ thay thế (7) ví dụ, chỉ trong phương trình cuối cùng của hệ thống (1) (x1 + x2 + x3 ‑9 x4 =‑1) .

Ta có: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1

(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1

Trong đó -1=-1. Chúng tôi có một danh tính. Chúng tôi làm điều này với tất cả các phương trình khác của hệ thống (1) .

Bình luận. Việc xác minh thường khá rườm rà. Chúng tôi có thể đề xuất "xác minh một phần" như sau: trong giải pháp tổng thể của hệ thống (1) gán một số giá trị cho các hằng số tùy ý và chỉ thay thế nghiệm cụ thể thu được vào các phương trình bị loại bỏ (nghĩa là vào các phương trình đó từ (1) mà không được bao gồm trong (5) ). Nếu bạn nhận được danh tính, sau đó rất có thể, giải pháp của hệ thống (1) được tìm thấy chính xác (nhưng việc kiểm tra như vậy không đảm bảo đầy đủ về tính chính xác!). Ví dụ, nếu trong (7) đặt C2=- 1 , C1=1, thì ta có: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. Thay vào phương trình cuối cùng của hệ (1), ta có: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , tức là –1=–1. Chúng tôi có một danh tính.

ví dụ 2 Tìm nghiệm tổng quát cho hệ phương trình tuyến tính (1) , thể hiện những ẩn số chính dưới dạng những ẩn số miễn phí.

Dung dịch. Như trong ví dụ 1, soạn ma trận Một và https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50"> của các ma trận này. Bây giờ chúng tôi chỉ để lại các phương trình đó của hệ thống (1) , các hệ số của chúng được bao gồm trong tiểu cơ bản này (tức là chúng ta có hai phương trình đầu tiên) và xem xét hệ thống bao gồm chúng, tương đương với hệ thống (1).

Chúng ta hãy chuyển các ẩn số tự do sang vế phải của các phương trình này.

hệ thống (9) chúng tôi giải quyết bằng phương pháp Gaussian, coi các phần bên phải là phần tử miễn phí.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">

Lựa chọn 2.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">

Phương án 4.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">

Phương án 5.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">

Tùy chọn 6.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">

Như xuất hiện từ Định lý Cramer, khi giải hệ phương trình tuyến tính có thể xảy ra ba trường hợp:

Trường hợp thứ nhất: hệ phương trình tuyến tính có nghiệm duy nhất

(hệ thống nhất quán và xác định)

Trường hợp thứ hai: hệ phương trình tuyến tính có vô số nghiệm

(hệ nhất quán và vô định)

** ,

những thứ kia. các hệ số của ẩn số và các điều khoản miễn phí là tỷ lệ thuận.

Trường hợp thứ ba: hệ phương trình tuyến tính vô nghiệm

(hệ thống không thống nhất)

Vì vậy hệ thống tôi phương trình tuyến tính với N các biến được gọi không tương thích nếu nó không có giải pháp, và chung nếu nó có ít nhất một giải pháp. Hệ phương trình chung chỉ có một nghiệm được gọi là chắc chắn, và nhiều hơn một không chắc chắn.

Ví dụ giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Cramer

Hãy để hệ thống

.

Dựa trên định lý Cramer

………….
,

ở đâu
-

định danh hệ thống. Các định thức còn lại thu được bằng cách thay thế cột bằng các hệ số của biến tương ứng (chưa biết) bằng các phần tử tự do:

ví dụ 2

.

Do đó, hệ thống là xác định. Để tìm nghiệm của nó, ta tính các định thức

Theo công thức Cramer ta tìm được:

Vậy (1; 0; -1) là nghiệm duy nhất của hệ.

Để kiểm tra nghiệm của hệ phương trình 3 X 3 và 4 X 4, bạn có thể sử dụng máy tính trực tuyến, phương pháp giải Cramer.

Nếu không có biến nào trong hệ phương trình tuyến tính trong một hoặc nhiều phương trình, thì trong định thức, các phần tử tương ứng với chúng bằng 0! Đây là ví dụ tiếp theo.

ví dụ 3 Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Cramer:

.

Dung dịch. Ta tìm định thức của hệ:

Xem xét kỹ hệ phương trình và định thức của hệ và lặp lại câu trả lời cho câu hỏi trong trường hợp nào thì một hoặc nhiều phần tử của định thức bằng 0. Vì vậy, yếu tố quyết định không bằng 0, do đó, hệ thống là xác định. Để tìm nghiệm của nó, ta tính định thức cho ẩn số

Theo công thức Cramer ta tìm được:

Vậy nghiệm của hệ là (2; -1; 1).

6. Hệ phương trình đại số tuyến tính tổng quát. phương pháp Gauss.

Như chúng ta còn nhớ, quy tắc Cramer và phương pháp ma trận không phù hợp trong trường hợp hệ có vô số nghiệm hoặc không nhất quán. phương pháp Gauss – công cụ mạnh mẽ và linh hoạt nhất để tìm giải pháp cho bất kỳ hệ phương trình tuyến tính nào, cái mà trong mọi trường hợp dẫn chúng ta đến câu trả lời! Thuật toán của phương pháp trong cả ba trường hợp đều hoạt động theo cùng một cách. Nếu phương pháp Cramer và ma trận yêu cầu kiến ​​thức về định thức, thì việc áp dụng phương pháp Gauss chỉ cần kiến ​​thức về các phép toán số học, điều này khiến học sinh tiểu học có thể tiếp cận được.

Đầu tiên chúng ta hệ thống lại một chút kiến ​​thức về hệ phương trình tuyến tính. Một hệ phương trình tuyến tính có thể:

1) Có một giải pháp duy nhất.
2) Có vô số nghiệm.
3) Không có giải pháp (được không tương thích).

Phương pháp Gauss là công cụ linh hoạt và mạnh nhất để tìm lời giải không tí nào hệ phương trình tuyến tính. Như chúng ta nhớ Quy tắc Cramer và phương pháp ma trận không phù hợp trong trường hợp hệ có vô số nghiệm hoặc không nhất quán. Một phương pháp loại bỏ liên tiếp các ẩn số dù sao dẫn chúng ta đến câu trả lời! Trong bài này, chúng ta sẽ xét lại phương pháp Gauss cho trường hợp số 1 (nghiệm duy nhất của hệ), bài viết dành riêng cho các tình huống của điểm số 2-3. Tôi lưu ý rằng bản thân thuật toán phương pháp hoạt động theo cùng một cách trong cả ba trường hợp.

Hãy trở lại hệ thống đơn giản nhất từ ​​​​bài học Làm thế nào để giải một hệ phương trình tuyến tính?
và giải nó bằng phương pháp Gaussian.

Bước đầu tiên là viết hệ thống ma trận mở rộng:
. Theo nguyên tắc nào các hệ số được ghi lại, tôi nghĩ mọi người đều có thể thấy. Đường thẳng đứng bên trong ma trận không mang bất kỳ ý nghĩa toán học nào - nó chỉ là một nét gạch ngang để dễ thiết kế.

Tài liệu tham khảo:Tôi khuyên bạn nên nhớ điều kiệnđại số tuyến tính. Ma trận hệ thống là một ma trận chỉ bao gồm các hệ số của ẩn số, trong ví dụ này, ma trận của hệ thống: . Ma trận hệ thống mở rộng là cùng một ma trận của hệ thống cộng với một cột các điều khoản miễn phí, trong trường hợp này: . Bất kỳ ma trận nào cũng có thể được gọi đơn giản là ma trận cho ngắn gọn.

Sau khi ma trận mở rộng của hệ thống được viết, cần phải thực hiện một số hành động với nó, còn được gọi là phép biến hình sơ cấp.

Có các phép biến hình cơ bản sau:

1) Dây ma trận có thể được sắp xếp lại vị trí. Ví dụ: trong ma trận đang được xem xét, bạn có thể sắp xếp lại hàng đầu tiên và hàng thứ hai một cách an toàn:

2) Nếu có (hoặc xuất hiện) các hàng tỷ lệ (như trường hợp đặc biệt - giống hệt nhau) trong ma trận, thì nó sẽ tuân theo xóa bỏ từ ma trận, tất cả các hàng này trừ một hàng. Ví dụ, xét ma trận . Trong ma trận này, ba hàng cuối cùng tỷ lệ thuận, vì vậy chỉ cần để lại một trong số chúng là đủ: .

3) Nếu một hàng 0 xuất hiện trong ma trận trong quá trình biến đổi, thì nó cũng theo sau xóa bỏ. Tôi sẽ không vẽ, tất nhiên, đường 0 là đường trong đó chỉ số không.

4) Hàng của ma trận có thể là nhân (chia) cho bất kỳ số nào khác không. Ví dụ, xem xét ma trận . Ở đây nên chia dòng đầu tiên cho -3 và nhân dòng thứ hai với 2: . Hành động này rất hữu ích, vì nó đơn giản hóa các phép biến đổi tiếp theo của ma trận.

5) Việc chuyển đổi này gây ra nhiều khó khăn nhất, nhưng thực tế cũng không có gì phức tạp. Đến hàng của ma trận, bạn có thể thêm một chuỗi khác nhân với một số, khác không. Xem xét ma trận của chúng tôi từ một ví dụ thực tế: . Đầu tiên, tôi sẽ mô tả quá trình chuyển đổi rất chi tiết. Nhân hàng đầu tiên với -2: , và đến dòng thứ hai, chúng tôi thêm dòng đầu tiên nhân với -2: . Bây giờ, dòng đầu tiên có thể được chia "lùi" cho -2: . Như bạn có thể thấy, dòng được THÊM LI – không thay đổi. luôn luôn là dòng được thay đổi, TO WHICH ADDED UT.

Tất nhiên, trên thực tế, họ không vẽ chi tiết như vậy mà viết ngắn gọn hơn:

Một lần nữa: đến dòng thứ hai đã thêm hàng đầu tiên nhân với -2. Dòng này thường được nhân lên bằng miệng hoặc trên giấy nháp, trong khi quá trình tính nhẩm giống như sau:

“Tôi viết lại ma trận và viết lại hàng đầu tiên: »

Cột đầu tiên đầu tiên. Dưới đây tôi cần phải có được số không. Vì vậy, tôi nhân đơn vị ở trên với -2:, và thêm số đầu tiên vào dòng thứ hai: 2 + (-2) = 0. Tôi viết kết quả vào dòng thứ hai: »

“Bây giờ là cột thứ hai. Trên -1 lần -2: . Tôi thêm số đầu tiên vào dòng thứ hai: 1 + 2 = 3. Tôi viết kết quả vào dòng thứ hai: »

“Và cột thứ ba. Trên -5 lần -2: . Tôi thêm dòng đầu tiên vào dòng thứ hai: -7 + 10 = 3. Tôi viết kết quả vào dòng thứ hai: »

Vui lòng suy nghĩ kỹ về ví dụ này và hiểu thuật toán tính toán tuần tự, nếu bạn hiểu điều này, thì phương pháp Gauss thực tế là "trong túi của bạn". Nhưng, tất nhiên, chúng tôi vẫn đang làm việc với sự chuyển đổi này.

Các phép biến đổi sơ cấp không làm thay đổi nghiệm của hệ phương trình

! CHÚ Ý: được coi là thao tác không thể sử dụng, nếu bạn được giao một nhiệm vụ mà các ma trận được giao "của chính chúng". Ví dụ, với "cổ điển" ma trận trong mọi trường hợp, bạn không nên sắp xếp lại thứ gì đó bên trong ma trận!

Hãy trở lại hệ thống của chúng tôi. Cô ấy gần như bị vỡ thành từng mảnh.

Hãy để chúng tôi viết ma trận tăng cường của hệ thống và sử dụng các phép biến đổi cơ bản, rút ​​gọn nó thành bước xem:

(1) Hàng đầu tiên được thêm vào hàng thứ hai, nhân với -2. Và một lần nữa: tại sao chúng ta nhân hàng đầu tiên với -2? Để lấy số 0 ở dưới cùng, nghĩa là loại bỏ một biến ở dòng thứ hai.

(2) Chia hàng thứ hai cho 3.

Mục đích của phép biến hình sơ cấp – chuyển đổi ma trận sang dạng bước: . Khi thiết kế nhiệm vụ, các em trực tiếp vẽ “bậc thang” bằng bút chì đơn giản, đồng thời khoanh tròn các số nằm trên “bậc thang”. Bản thân thuật ngữ "xem bước" không hoàn toàn là lý thuyết; trong các tài liệu khoa học và giáo dục, nó thường được gọi là hình thang hoặc chế độ xem tam giác.

Là kết quả của các phép biến đổi cơ bản, chúng ta đã thu được tương đương hệ phương trình ban đầu:

Bây giờ hệ thống cần được "tháo xoắn" theo hướng ngược lại - từ dưới lên, quá trình này được gọi là phương pháp Gauss đảo ngược.

Trong phương trình thấp hơn, chúng ta đã có kết quả hoàn thành: .

Hãy xem xét phương trình đầu tiên của hệ thống và thay thế giá trị đã biết của “y” vào nó:

Chúng ta hãy xem xét tình huống phổ biến nhất, khi phương pháp Gauss được yêu cầu để giải hệ ba phương trình tuyến tính với ba ẩn số.

ví dụ 1

Giải hệ phương trình bằng phương pháp Gauss:

Hãy viết ma trận mở rộng của hệ thống:

Bây giờ tôi sẽ rút ra ngay kết quả mà chúng ta sẽ đạt được trong quá trình giải:

Và tôi xin nhắc lại, mục tiêu của chúng ta là đưa ma trận về dạng bậc thang bằng cách sử dụng các phép biến đổi cơ bản. Bắt đầu hành động từ đâu?

Đầu tiên, hãy nhìn vào số trên cùng bên trái:

nên hầu như luôn luôn ở đây đơn vị. Nói chung, -1 (và đôi khi các số khác) cũng sẽ phù hợp, nhưng bằng cách nào đó, theo truyền thống, một đơn vị thường được đặt ở đó. Làm thế nào để tổ chức một đơn vị? Chúng tôi nhìn vào cột đầu tiên - chúng tôi có một đơn vị đã hoàn thành! Chuyển đổi một: hoán đổi dòng thứ nhất và dòng thứ ba:

Bây giờ dòng đầu tiên sẽ không thay đổi cho đến khi kết thúc giải pháp. Bây giờ tốt.

Đơn vị ở trên cùng bên trái được tổ chức. Bây giờ bạn cần lấy số không ở những nơi này:

Số không có được chỉ với sự trợ giúp của một phép biến đổi "khó". Đầu tiên, chúng ta xử lý dòng thứ hai (2, -1, 3, 13). Cần phải làm gì để có số 0 ở vị trí đầu tiên? Cần đến dòng thứ hai thêm dòng đầu tiên nhân với -2. Về mặt tinh thần hoặc trên bản nháp, chúng tôi nhân dòng đầu tiên với -2: (-2, -4, 2, -18). Và chúng tôi liên tục thực hiện (một lần nữa về mặt tinh thần hoặc trên bản nháp), đến dòng thứ hai, chúng tôi thêm dòng đầu tiên, đã nhân với -2:

Kết quả được viết trong dòng thứ hai:

Tương tự, chúng ta xử lý dòng thứ ba (3, 2, -5, -1). Để có được số 0 ở vị trí đầu tiên, bạn cần đến dòng thứ ba thêm dòng đầu tiên nhân với -3. Trong tâm trí hoặc trên một bản nháp, chúng tôi nhân dòng đầu tiên với -3: (-3, -6, 3, -27). Và đến dòng thứ ba, chúng tôi thêm dòng đầu tiên nhân với -3:

Kết quả được viết ở dòng thứ ba:

Trong thực tế, những hành động này thường được thực hiện bằng lời nói và được viết ra trong một bước:

Không cần đếm mọi thứ cùng một lúc và cùng một lúc. Trình tự tính toán và "chèn" kết quả thích hợp và thường là như thế này: đầu tiên chúng ta viết lại dòng đầu tiên, và lặng lẽ tự thổi phồng bản thân - KIÊN NHẪN và CẨN THẬN:


Và tôi đã xem xét quá trình tinh thần của các tính toán ở trên.

Trong ví dụ này, điều này rất dễ thực hiện, chúng ta chia dòng thứ hai cho -5 (vì tất cả các số ở đó đều chia hết cho 5 mà không có phần dư). Đồng thời, chúng tôi chia dòng thứ ba cho -2, vì số càng nhỏ, giải pháp càng đơn giản:

Ở giai đoạn cuối cùng của các phép biến đổi cơ bản, phải lấy thêm một số không ở đây:

Đối với điều này đến dòng thứ ba, chúng tôi thêm dòng thứ hai, nhân với -2:


Cố gắng tự phân tích hành động này - nhân nhẩm dòng thứ hai với -2 và thực hiện phép cộng.

Hành động cuối cùng được thực hiện là kiểu tóc của kết quả, chia dòng thứ ba cho 3.

Kết quả của các phép biến đổi cơ bản, một hệ phương trình tuyến tính ban đầu tương đương đã thu được:

Mát mẻ.

Bây giờ quá trình đảo ngược của phương pháp Gaussian bắt đầu phát huy tác dụng. Các phương trình "thư giãn" từ dưới lên.

Trong phương trình thứ ba, chúng ta đã có kết quả hoàn thành:

Hãy xem xét phương trình thứ hai: . Ý nghĩa của "z" đã được biết, do đó:

Và cuối cùng, phương trình đầu tiên: . "Y" và "Z" đã biết, vấn đề nhỏ:

Câu trả lời:

Như đã nhiều lần lưu ý, đối với bất kỳ hệ phương trình nào, việc kiểm tra nghiệm tìm được là có thể và cần thiết, may mắn thay, việc này không khó và nhanh chóng.

ví dụ 2

Đây là ví dụ để các bạn tự giải, ví dụ hoàn thiện và có đáp án cuối bài.

Cần lưu ý rằng bạn quá trình hành động có thể không trùng với quá trình hành động của tôi, và đây là một tính năng của phương pháp Gauss. Nhưng câu trả lời phải giống nhau!

ví dụ 3

Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss

Chúng tôi viết ma trận mở rộng của hệ thống và sử dụng các phép biến đổi cơ bản, đưa nó về dạng bước:

Chúng tôi nhìn vào "bước" phía trên bên trái. Ở đó chúng ta nên có một đơn vị. Vấn đề là không có cột nào trong cột đầu tiên, vì vậy không có gì có thể được giải quyết bằng cách sắp xếp lại các hàng. Trong những trường hợp như vậy, đơn vị phải được tổ chức bằng cách sử dụng một phép biến đổi cơ bản. Điều này thường có thể được thực hiện theo nhiều cách. tôi đã làm điều này:
(1) Đến dòng đầu tiên, chúng tôi thêm dòng thứ hai, nhân với -1. Đó là, chúng tôi nhân dòng thứ hai với -1 và thực hiện phép cộng của dòng thứ nhất và dòng thứ hai, trong khi dòng thứ hai không thay đổi.

Bây giờ ở trên cùng bên trái "trừ một", hoàn toàn phù hợp với chúng tôi. Ai muốn nhận +1 có thể thực hiện thêm một thao tác: nhân dòng đầu tiên với -1 (đổi dấu).

(2) Hàng đầu tiên nhân với 5 được thêm vào hàng thứ 2. Hàng đầu tiên nhân với 3 được thêm vào hàng thứ ba.

(3) Dòng đầu tiên được nhân với -1, về nguyên tắc, cái này để làm đẹp. Dấu hiệu của dòng thứ ba cũng được thay đổi và chuyển sang vị trí thứ hai, do đó, ở bước thứ hai, chúng tôi đã có đơn vị mong muốn.

(4) Dòng thứ hai nhân 2 được cộng vào dòng thứ ba.

(5) Hàng thứ ba chia hết cho 3.

Một dấu hiệu xấu cho biết lỗi tính toán (ít thường là lỗi đánh máy) là dòng dưới cùng "xấu". Đó là, nếu chúng ta có một cái gì đó như dưới đây, và theo đó, , thì với xác suất cao, có thể lập luận rằng đã xảy ra lỗi trong quá trình biến đổi cơ bản.

Chúng tôi tính phí di chuyển ngược lại, trong thiết kế các ví dụ, bản thân hệ thống thường không được viết lại và các phương trình được “lấy trực tiếp từ ma trận đã cho”. Di chuyển ngược lại, tôi nhắc bạn, hoạt động từ dưới lên. Vâng, đây là một món quà:

Câu trả lời: .

Ví dụ 4

Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss

Đây là một ví dụ cho một giải pháp độc lập, nó phức tạp hơn một chút. Không sao nếu ai đó bối rối. Giải đầy đủ và thiết kế mẫu ở cuối bài. Giải pháp của bạn có thể khác với giải pháp của tôi.

Trong phần cuối cùng, chúng tôi xem xét một số tính năng của thuật toán Gauss.
Đặc điểm đầu tiên là đôi khi một số biến bị thiếu trong các phương trình của hệ thống, ví dụ:

Làm thế nào để viết chính xác ma trận tăng cường của hệ thống? Tôi đã nói về thời điểm này trong bài học. Quy tắc Cramer. phương pháp ma trận. Trong ma trận mở rộng của hệ thống, chúng tôi đặt các số 0 thay cho các biến bị thiếu:

Nhân tiện, đây là một ví dụ khá dễ dàng, vì đã có một số 0 trong cột đầu tiên và có ít phép biến đổi cơ bản hơn để thực hiện.

Tính năng thứ hai là điều này. Trong tất cả các ví dụ được xem xét, chúng tôi đã đặt –1 hoặc +1 trên “các bước”. Có thể có những con số khác? Trong một số trường hợp họ có thể. Hãy xem xét hệ thống: .

Ở đây, trên "bước" phía trên bên trái, chúng ta có một sự thất bại. Nhưng chúng tôi nhận thấy một thực tế là tất cả các số trong cột đầu tiên đều chia hết cho 2 mà không có phần còn lại - và một số khác là hai và sáu. Và deuce ở phía trên bên trái sẽ phù hợp với chúng ta! Ở bước đầu tiên, bạn cần thực hiện các phép biến đổi sau: cộng dòng thứ nhất nhân -1 với dòng thứ hai; đến dòng thứ ba thêm dòng đầu tiên nhân với -3. Do đó, chúng ta sẽ nhận được các số 0 mong muốn trong cột đầu tiên.

Hoặc một ví dụ giả thuyết khác: . Ở đây, bộ ba trên “bậc thang” thứ hai cũng phù hợp với chúng ta, vì 12 (nơi chúng ta cần lấy số 0) chia hết cho 3 mà không có phần dư. Cần phải thực hiện phép biến đổi sau: đến dòng thứ ba, thêm dòng thứ hai, nhân với -4, kết quả là số 0 chúng ta cần sẽ thu được.

Phương pháp Gauss là phổ quát, nhưng có một điểm đặc biệt. Bạn có thể tự tin học cách giải hệ bằng các phương pháp khác (phương pháp Cramer, phương pháp ma trận) ngay từ lần đầu tiên - có một thuật toán rất cứng nhắc. Nhưng để cảm thấy tự tin vào phương pháp Gauss, bạn nên “đầy tay” và giải ít nhất 5-10 hệ. Do đó, lúc đầu có thể có nhầm lẫn, sai sót trong tính toán và không có gì bất thường hay bi thảm trong việc này.

Trời mùa thu mưa bên ngoài cửa sổ .... Do đó, đối với mọi người, một ví dụ phức tạp hơn cho một giải pháp độc lập:

Ví dụ 5

Giải hệ bốn phương trình tuyến tính với bốn ẩn số bằng phương pháp Gauss.

Một nhiệm vụ như vậy trong thực tế không phải là quá hiếm. Tôi nghĩ rằng ngay cả một ấm trà đã nghiên cứu chi tiết trang này cũng hiểu được thuật toán để giải một hệ thống như vậy bằng trực giác. Về cơ bản giống nhau - chỉ cần thêm hành động.

Các trường hợp hệ vô nghiệm (không nhất quán) hoặc có vô số nghiệm đều được xét trong bài. Các hệ thống và hệ thống không tương thích với một giải pháp chung. Ở đó bạn có thể sửa thuật toán được xem xét của phương pháp Gauss.

Chúc bạn thành công!

Giải pháp và câu trả lời:

Ví dụ 2: Dung dịch: Hãy viết ma trận tăng cường của hệ thống và với sự trợ giúp của các phép biến đổi cơ bản, chúng ta sẽ đưa nó về dạng bậc thang.


Thực hiện các phép biến đổi cơ bản:
(1) Hàng đầu tiên được thêm vào hàng thứ hai, nhân với -2. Dòng đầu tiên được thêm vào dòng thứ ba, nhân với -1. Chú ý!Ở đây, bạn có thể muốn trừ dòng đầu tiên từ dòng thứ ba, tôi thực sự không khuyên bạn nên trừ - nguy cơ mắc lỗi tăng lên rất nhiều. Chúng tôi chỉ cần gấp!
(2) Dấu của dòng thứ hai đã bị thay đổi (nhân với -1). Dòng thứ hai và thứ ba đã được hoán đổi. Ghi chú rằng trên “các bước”, chúng tôi hài lòng không chỉ với một mà còn với -1, điều này thậm chí còn thuận tiện hơn.
(3) Đến dòng thứ ba, thêm dòng thứ hai, nhân với 5.
(4) Dấu của dòng thứ hai bị đổi (nhân với -1). Dòng thứ ba được chia cho 14.

Di chuyển ngược lại:

Câu trả lời: .

Ví dụ 4: Dung dịch: Hãy viết ma trận tăng cường của hệ thống và với sự trợ giúp của các phép biến đổi cơ bản, chúng tôi đưa nó về dạng bước:

Chuyển đổi được thực hiện:
(1) Dòng thứ hai được thêm vào dòng đầu tiên. Do đó, đơn vị mong muốn được sắp xếp ở “bước” phía trên bên trái.
(2) Hàng đầu tiên nhân với 7 được thêm vào hàng thứ hai. Hàng đầu tiên nhân với 6 được thêm vào hàng thứ ba.

Với "bước" thứ hai, mọi thứ còn tồi tệ hơn, "ứng cử viên" cho nó là các số 17 và 23, và chúng ta cần một hoặc -1. Các phép biến đổi (3) và (4) sẽ nhằm đạt được đơn vị mong muốn

(3) Dòng thứ hai được thêm vào dòng thứ ba, nhân với -1.
(4) Dòng thứ ba, nhân với -3, được thêm vào dòng thứ hai.
Điều cần thiết ở bước thứ hai được nhận .
(5) Đến dòng thứ ba thêm dòng thứ hai, nhân với 6.

Trong các bài học phương pháp Gauss và Các hệ thống/hệ thống không tương thích với một giải pháp chung chúng tôi coi hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất, ở đâu thành viên miễn phí(thường ở bên phải) ít nhất một của các phương trình khác không.
Và bây giờ, sau khi khởi động tốt với hạng ma trận, chúng tôi sẽ tiếp tục đánh bóng kỹ thuật phép biến hình sơ cấp trên hệ phương trình tuyến tính thuần nhất.
Theo các đoạn đầu tiên, tài liệu có vẻ nhàm chán và bình thường, nhưng ấn tượng này là lừa dối. Ngoài việc phát triển thêm các kỹ thuật, sẽ có rất nhiều thông tin mới, vì vậy hãy cố gắng đừng bỏ qua các ví dụ trong bài viết này.

Hệ phương trình được sử dụng rộng rãi trong ngành kinh tế trong mô hình toán học của các quá trình khác nhau. Ví dụ, khi giải quyết các vấn đề về quản lý và lập kế hoạch sản xuất, các tuyến hậu cần (bài toán vận chuyển) hoặc vị trí thiết bị.

Các hệ phương trình không chỉ được sử dụng trong lĩnh vực toán học mà còn trong vật lý, hóa học và sinh học khi giải các bài toán tìm quy mô dân số.

Một hệ phương trình tuyến tính là một thuật ngữ cho hai hoặc nhiều phương trình với một số biến cần tìm một giải pháp chung. Một dãy số như vậy mà mọi đẳng thức trở thành đẳng thức đúng hoặc chứng minh rằng dãy số đó không tồn tại.

Phương trình đường thẳng

Các phương trình dạng ax+by=c được gọi là phương trình tuyến tính. Các ký hiệu x, y là các ẩn số, giá trị của chúng phải được tìm thấy, b, a là hệ số của các biến, c là số hạng tự do của phương trình.
Giải phương trình bằng cách vẽ đồ thị của nó sẽ giống như một đường thẳng, tất cả các điểm của nó là nghiệm của đa thức.

Các loại hệ phương trình tuyến tính

Đơn giản nhất là các ví dụ về hệ phương trình tuyến tính với hai biến X và Y.

F1(x, y) = 0 và F2(x, y) = 0, trong đó F1,2 là hàm và (x, y) là biến hàm.

Giải một hệ phương trình - nó có nghĩa là tìm các giá trị như vậy (x, y) để hệ thống trở thành một đẳng thức thực sự hoặc để xác định rằng không có giá trị phù hợp của x và y.

Một cặp giá trị (x, y), được viết dưới dạng tọa độ điểm, được gọi là nghiệm của hệ phương trình tuyến tính.

Nếu các hệ thống có một giải pháp chung hoặc không có giải pháp, chúng được gọi là tương đương.

Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất là hệ có vế phải bằng 0. Nếu phần bên phải sau dấu "bằng" có một giá trị hoặc được biểu thị bằng một hàm, thì một hệ thống như vậy không thuần nhất.

Số lượng biến có thể nhiều hơn hai, sau đó chúng ta nên nói về một ví dụ về hệ phương trình tuyến tính có ba biến trở lên.

Đối mặt với các hệ thống, học sinh cho rằng số phương trình nhất thiết phải trùng với số ẩn số, nhưng thực tế không phải vậy. Số lượng phương trình trong hệ thống không phụ thuộc vào các biến, có thể có một số lượng lớn tùy ý.

Các phương pháp giải hệ phương trình đơn giản và phức tạp

Không có cách giải tích tổng quát nào để giải các hệ như vậy, tất cả các phương pháp đều dựa trên nghiệm số. Khóa học toán học ở trường mô tả chi tiết các phương pháp như hoán vị, cộng đại số, thay thế, cũng như phương pháp đồ thị và ma trận, giải pháp bằng phương pháp Gauss.

Nhiệm vụ chính trong dạy học phương pháp giải là dạy cách phân tích đúng hệ thức và tìm thuật toán giải tối ưu cho từng ví dụ. Điều chính không phải là ghi nhớ một hệ thống các quy tắc và hành động cho từng phương pháp, mà là hiểu các nguyên tắc áp dụng một phương pháp cụ thể.

Cách giải các ví dụ về hệ phương trình tuyến tính lớp 7 chương trình phổ thông khá đơn giản và được giải rất chi tiết. Trong bất kỳ sách giáo khoa nào về toán học, phần này được chú ý đầy đủ. Giải pháp cho các ví dụ về hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss và Cramer được nghiên cứu chi tiết hơn trong các khóa học đầu tiên của các tổ chức giáo dục đại học.

Giải hệ bằng phương pháp thế

Các hành động của phương pháp thay thế nhằm mục đích thể hiện giá trị của một biến thông qua biến thứ hai. Biểu thức được thế vào phương trình còn lại, sau đó nó được rút gọn về dạng một biến. Hành động được lặp lại tùy thuộc vào số ẩn số trong hệ thống

Hãy nêu ví dụ về hệ phương trình tuyến tính lớp 7 bằng phương pháp thế:

Như có thể thấy từ ví dụ, biến x được biểu thị thông qua F(X) = 7 + Y. Biểu thức thu được, được thế vào phương trình thứ 2 của hệ thay cho X, giúp thu được một biến Y trong phương trình thứ 2 . Giải pháp của ví dụ này không gây khó khăn và cho phép bạn lấy giá trị Y. Bước cuối cùng là kiểm tra các giá trị thu được.

Không phải lúc nào cũng có thể giải một ví dụ về hệ phương trình tuyến tính bằng phép thế. Các phương trình có thể phức tạp và biểu thức của biến theo ẩn số thứ hai sẽ quá cồng kềnh để tính toán thêm. Khi có nhiều hơn 3 ẩn số trong hệ thống, giải pháp thay thế cũng không thực tế.

Giải một ví dụ về hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất:

Giải bằng phép cộng đại số

Khi tìm kiếm một giải pháp cho các hệ thống bằng phương pháp cộng, phép cộng và nhân các phương trình theo thuật ngữ với các số khác nhau được thực hiện. Mục tiêu cuối cùng của các hoạt động toán học là một phương trình với một biến.

Các ứng dụng của phương pháp này đòi hỏi phải thực hành và quan sát. Không dễ để giải một hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp cộng với số biến từ 3 trở lên. Phép cộng đại số rất hữu ích khi các phương trình chứa phân số và số thập phân.

Thuật toán hành động giải pháp:

1. Nhân cả hai vế của phương trình với một số nào đó. Do phép toán số học, một trong các hệ số của biến phải bằng 1.
2. Thêm thuật ngữ biểu thức kết quả theo thuật ngữ và tìm một trong những ẩn số.
3. Thay thế giá trị kết quả vào phương trình thứ 2 của hệ thống để tìm biến còn lại.

Phương pháp giải quyết bằng cách giới thiệu một biến mới

Một biến mới có thể được đưa vào nếu hệ cần tìm nghiệm cho không quá hai phương trình, số ẩn số cũng không được nhiều hơn hai.

Phương pháp này được sử dụng để đơn giản hóa một trong các phương trình bằng cách đưa vào một biến mới. Phương trình mới được giải đối với ẩn số đã nhập và giá trị kết quả được sử dụng để xác định biến ban đầu.

Có thể thấy từ ví dụ rằng bằng cách đưa vào một biến mới t, có thể rút gọn phương trình thứ nhất của hệ về một tam thức bình phương chuẩn. Bạn có thể giải một đa thức bằng cách tìm biệt thức.

Cần tìm giá trị của biệt thức bằng công thức nổi tiếng: D = b2 - 4*a*c, trong đó D là biệt thức mong muốn, b, a, c là các bội số của đa thức. Trong ví dụ đã cho, a=1, b=16, c=39, do đó D=100. Nếu biệt số lớn hơn 0 thì có hai nghiệm: t = -b±√D / 2*a, nếu biệt số nhỏ hơn 0 thì chỉ có một nghiệm: x= -b / 2*a.

Giải pháp cho các hệ thống kết quả được tìm thấy bằng phương pháp bổ sung.

Một phương pháp trực quan để giải quyết các hệ thống

Phù hợp với hệ có 3 phương trình. Phương pháp này bao gồm vẽ đồ thị của từng phương trình có trong hệ thống trên trục tọa độ. Tọa độ giao điểm của các đường cong sẽ là nghiệm tổng quát của hệ.

Phương pháp đồ họa có một số sắc thái. Xem xét một số ví dụ về việc giải các hệ phương trình tuyến tính theo cách trực quan.

Như có thể thấy từ ví dụ, hai điểm được tạo cho mỗi dòng, các giá trị của biến x được chọn tùy ý: 0 và 3. Dựa trên các giá trị của x, các giá trị cho y đã được tìm thấy: 3 và 0. Các điểm có tọa độ (0, 3) và (3, 0) được đánh dấu trên biểu đồ và được nối với nhau bằng một đường thẳng.

Các bước phải được lặp lại cho phương trình thứ hai. Giao điểm của các đường thẳng là nghiệm của hệ.

Trong ví dụ sau, cần tìm nghiệm đồ thị cho hệ phương trình tuyến tính: 0,5x-y+2=0 và 0,5x-y-1=0.

Như có thể thấy từ ví dụ, hệ thống không có giải pháp, bởi vì các đồ thị song song và không cắt nhau dọc theo toàn bộ chiều dài của chúng.

Các hệ thống từ Ví dụ 2 và 3 tương tự nhau, nhưng khi được xây dựng, rõ ràng là các giải pháp của chúng là khác nhau. Cần nhớ rằng không phải lúc nào cũng có thể nói hệ có nghiệm hay không mà phải dựng đồ thị.

Ma trận và các giống của nó

Ma trận được sử dụng để viết ngắn gọn một hệ phương trình tuyến tính. Ma trận là một loại bảng đặc biệt chứa đầy các con số. n*m có n - hàng và m - cột.

Một ma trận vuông khi số cột và số hàng bằng nhau. Ma trận-vector là ma trận một cột với số lượng hàng vô hạn. Một ma trận có các đơn vị dọc theo một trong các đường chéo và các phần tử bằng 0 khác được gọi là đơn vị.

Ma trận nghịch đảo là một ma trận như vậy, khi được nhân với ma trận ban đầu biến thành một đơn vị, một ma trận như vậy chỉ tồn tại cho ma trận vuông ban đầu.

Quy tắc biến hệ phương trình thành ma trận

Đối với hệ phương trình, các hệ số và thành phần tự do của phương trình được viết dưới dạng các số của ma trận, mỗi phương trình là một hàng của ma trận.

Một hàng của ma trận được gọi là khác 0 nếu ít nhất một phần tử của hàng không bằng 0. Do đó, nếu trong bất kỳ phương trình nào có số lượng biến khác nhau, thì cần phải nhập số 0 vào vị trí của ẩn số bị thiếu.

Các cột của ma trận phải tương ứng chặt chẽ với các biến. Điều này có nghĩa là các hệ số của biến x chỉ có thể được viết trong một cột, chẳng hạn như cột đầu tiên, hệ số của biến y chưa biết - chỉ trong cột thứ hai.

Khi nhân một ma trận, tất cả các phần tử của ma trận được nhân liên tiếp với một số.

Các phương án tìm ma trận nghịch đảo

Công thức tìm ma trận nghịch đảo khá đơn giản: K -1 = 1 / |K|, trong đó K -1 là ma trận nghịch đảo và |K| - định thức ma trận. |K| không được bằng 0 thì hệ có nghiệm.

Định thức được tính dễ dàng cho ma trận hai nhân hai, chỉ cần nhân các phần tử theo đường chéo với nhau. Đối với tùy chọn "ba nhân ba", có công thức |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Bạn có thể sử dụng công thức hoặc bạn có thể nhớ rằng bạn cần lấy một phần tử từ mỗi hàng và mỗi cột để số cột và số hàng của các phần tử không lặp lại trong sản phẩm.

Giải các ví dụ về hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp ma trận

Phương pháp ma trận tìm nghiệm giúp giảm bớt các mục rườm rà khi giải các hệ có số lượng biến và phương trình lớn.

Trong ví dụ, a nm là các hệ số của các phương trình, ma trận là một vectơ x n là các biến và b n là các số hạng tự do.

Giải hệ bằng phương pháp Gauss

Trong toán học cao hơn, phương pháp Gauss được nghiên cứu cùng với phương pháp Cramer và quá trình tìm ra giải pháp cho các hệ thống được gọi là phương pháp giải Gauss-Cramer. Các phương pháp này được sử dụng để tìm các biến của các hệ thống có số lượng lớn các phương trình tuyến tính.

Phương pháp Gaussian rất giống với các giải pháp thay thế và cộng đại số, nhưng có hệ thống hơn. Trong khóa học ở trường, giải pháp Gaussian được sử dụng cho các hệ phương trình 3 và 4. Mục đích của phương pháp là đưa hệ về dạng hình thang ngược. Bằng các phép biến đổi và thay thế đại số, giá trị của một biến được tìm thấy trong một trong các phương trình của hệ thống. Phương trình thứ hai là một biểu thức có 2 ẩn số, và 3 và 4 - với 3 và 4 biến tương ứng.

Sau khi đưa hệ thống về dạng được mô tả, giải pháp tiếp theo được rút gọn thành sự thay thế tuần tự các biến đã biết vào các phương trình của hệ thống.

Trong sách giáo khoa lớp 7, một ví dụ về giải pháp Gaussian được mô tả như sau:

Như có thể thấy từ ví dụ, ở bước (3) thu được hai phương trình 3x 3 -2x 4 =11 và 3x 3 +2x 4 =7. Giải pháp của bất kỳ phương trình nào sẽ cho phép bạn tìm ra một trong các biến x n.

Định lý 5, được đề cập trong văn bản, nói rằng nếu một trong các phương trình của hệ thống được thay thế bằng một phương trình tương đương, thì hệ thống thu được cũng sẽ tương đương với hệ thống ban đầu.

Phương pháp Gaussian khó hiểu đối với học sinh cấp hai, nhưng là một trong những cách thú vị nhất để phát triển sự khéo léo của trẻ học chương trình học nâng cao trong các lớp toán và vật lý.

Để dễ dàng ghi lại các tính toán, thông thường làm như sau:

Các hệ số của phương trình và các số hạng tự do được viết dưới dạng ma trận, trong đó mỗi hàng của ma trận tương ứng với một trong các phương trình của hệ thống. tách vế trái của phương trình từ vế phải. Chữ số La Mã biểu thị số lượng phương trình trong hệ thống.

Đầu tiên, họ viết ra ma trận để làm việc, sau đó tất cả các hành động được thực hiện với một trong các hàng. Ma trận kết quả được viết sau dấu "mũi tên" và tiếp tục thực hiện các phép toán đại số cần thiết cho đến khi đạt được kết quả.

Kết quả là, một ma trận sẽ thu được trong đó một trong các đường chéo là 1 và tất cả các hệ số khác bằng 0, nghĩa là ma trận được rút gọn thành một dạng duy nhất. Chúng ta không được quên thực hiện các phép tính với các số ở cả hai vế của phương trình.

Ký hiệu này ít rườm rà hơn và cho phép bạn không bị phân tâm khi liệt kê vô số ẩn số.

Việc áp dụng miễn phí bất kỳ phương pháp giải nào cũng sẽ cần sự cẩn thận và một lượng kinh nghiệm nhất định. Không phải tất cả các phương pháp đều được áp dụng. Một số cách tìm giải pháp được ưu tiên hơn trong một lĩnh vực hoạt động cụ thể của con người, trong khi những cách khác tồn tại vì mục đích học tập.

Hệ m phương trình tuyến tính với n ẩn số gọi là hệ có dạng

ở đâu aij và b tôi (tôi=1,…,tôi; b=1,…,N) là một số đã biết và x 1 ,…,xn- không xác định. Trong ký hiệu của các hệ số aij chỉ số đầu tiên tôi biểu thị số lượng của phương trình, và thứ hai j là số ẩn số tại đó hệ số này đứng.

Các hệ số của ẩn số sẽ được viết dưới dạng ma trận , mà chúng ta sẽ gọi ma trận hệ thống.

Các số ở vế phải của phương trình b 1 ,…,b m gọi là thành viên miễn phí.

tổng hợp N con số c 1 ,…, c n gọi là quyết định của hệ thống này, nếu mỗi phương trình của hệ thống trở thành một đẳng thức sau khi thay thế các số vào nó c 1 ,…, c n thay vì ẩn số tương ứng x 1 ,…,xn.

Nhiệm vụ của chúng tôi sẽ là tìm giải pháp cho hệ thống. Trong trường hợp này, ba tình huống có thể phát sinh:

Hệ phương trình tuyến tính có ít nhất một nghiệm gọi là chung. Mặt khác, tức là nếu hệ thống không có giải pháp, thì nó được gọi là không tương thích.

Xem xét các cách để tìm giải pháp cho hệ thống.

PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Ma trận cho phép viết ngắn gọn một hệ phương trình tuyến tính. Cho hệ 3 phương trình với 3 ẩn số:

Xét ma trận của hệ thống và các cột ma trận của các thành viên chưa biết và miễn phí

Hãy cùng tìm sản phẩm

những thứ kia. là kết quả của tích, chúng ta thu được vế trái của các phương trình của hệ này. Sau đó, sử dụng định nghĩa đẳng thức ma trận, hệ thống này có thể được viết là

hoặc ngắn hơn Một∙X=B.

Ở đây ma trận Một và bđã biết và ma trận X không xác định. Cô ấy cần được tìm thấy, bởi vì. các yếu tố của nó là giải pháp của hệ thống này. Phương trình này được gọi là phương trình ma trận.

Cho định thức ma trận khác 0 | Một| ≠ 0. Khi đó phương trình ma trận được giải như sau. Nhân cả hai vế của phương trình bên trái với ma trận A-1, nghịch đảo của ma trận Một: . Vì A -1 A = E và e∙X=X, thì ta thu được nghiệm của phương trình ma trận ở dạng X = A -1 B .

Chú ý rằng vì ma trận nghịch đảo chỉ có thể tìm được đối với ma trận vuông nên phương pháp ma trận chỉ có thể giải được những hệ mà trong đó số phương trình bằng số ẩn số. Tuy nhiên, ký hiệu ma trận của hệ cũng có thể thực hiện được trong trường hợp khi số phương trình không bằng số ẩn số thì ma trận Một không phải là hình vuông và do đó không thể tìm thấy một giải pháp cho hệ thống ở dạng X = A -1 B.

Ví dụ. Giải hệ phương trình.

QUY TẮC CRAMER

Xét một hệ gồm 3 phương trình tuyến tính với ba ẩn số:

Định thức cấp ba tương ứng với ma trận của hệ thống, tức là bao gồm các hệ số ở ẩn số,

gọi là hệ thống quyết định.

Ta soạn thêm ba định thức như sau: ta thay lần lượt các cột 1, 2 và 3 trong định thức D bằng một cột các số hạng tự do

Khi đó ta có thể chứng minh kết quả sau.

Định lý (Quy tắc Cramer). Nếu định thức của hệ là Δ ≠ 0 thì hệ đang xét có một và chỉ một nghiệm và

Bằng chứng. Vì vậy, hãy xem xét một hệ thống gồm 3 phương trình với ba ẩn số. Nhân phương trình thứ nhất của hệ với phần bù đại số một 11 yếu tố một 11, phương trình thứ 2 - trên A21 và thứ 3 - trở đi một 31:

Hãy thêm các phương trình này:

Hãy xem xét từng dấu ngoặc và vế phải của phương trình này. Theo định lý về khai triển định thức theo các phần tử của cột thứ nhất

Tương tự, có thể chỉ ra rằng và .

Cuối cùng, thật dễ dàng để thấy rằng

Do đó, chúng ta có được đẳng thức: .

Do đó, .

Các đẳng thức và được dẫn xuất tương tự, từ đó khẳng định định lý sau.

Như vậy, ta chú ý rằng nếu định thức của hệ là Δ ≠ 0 thì hệ có nghiệm duy nhất và ngược lại. Nếu định thức của hệ thống bằng 0, thì hệ thống có vô số nghiệm hoặc không có nghiệm, tức là không tương thích.

Ví dụ. Giải một hệ phương trình

PHƯƠNG PHÁP GAUSS

Các phương pháp được xem xét trước đây chỉ có thể được sử dụng để giải các hệ thống trong đó số lượng phương trình trùng với số lượng ẩn số và định thức của hệ thống phải khác 0. Phương pháp Gaussian phổ biến hơn và phù hợp với các hệ thống có số lượng phương trình bất kỳ. Nó bao gồm việc loại bỏ liên tiếp các ẩn số khỏi các phương trình của hệ thống.

Xét lại một hệ gồm ba phương trình với ba ẩn số:

.

Chúng tôi giữ nguyên phương trình đầu tiên và từ phương trình thứ 2 và thứ 3, chúng tôi loại trừ các thuật ngữ có chứa x 1. Để làm điều này, chúng ta chia phương trình thứ hai cho một 21 và nhân với - một 11 rồi cộng với phương trình thứ nhất. Tương tự, chúng ta chia phương trình thứ ba thành một 31 và nhân với - một 11 và sau đó thêm nó vào cái đầu tiên. Kết quả là, hệ thống ban đầu sẽ có dạng:

Bây giờ, từ phương trình cuối cùng, chúng ta loại bỏ số hạng chứa x2. Để làm điều này, hãy chia phương trình thứ ba cho , nhân với và cộng nó với phương trình thứ hai. Khi đó ta sẽ có hệ phương trình:

Do đó từ phương trình cuối dễ dàng tìm được x 3, thì từ phương trình thứ 2 x2 và cuối cùng từ ngày 1 - x 1.

Khi sử dụng phương pháp Gaussian, các phương trình có thể được hoán đổi cho nhau nếu cần thiết.

Thông thường, thay vì viết một hệ phương trình mới, họ tự hạn chế viết ra ma trận mở rộng của hệ:

và sau đó đưa nó về dạng tam giác hoặc đường chéo bằng cách sử dụng các phép biến đổi cơ bản.

Đến phép biến hình sơ cấp ma trận bao gồm các phép biến hình sau:

1. hoán vị hàng hoặc cột;
2. nhân một chuỗi với một số khác không;
3. thêm vào một dòng dòng khác.

Ví dụ: Giải hệ phương trình bằng phương pháp Gauss.

Như vậy hệ có vô số nghiệm.