Công thức rút gọn phương trình bậc hai. phương trình bậc hai

", tức là các phương trình bậc một. Trong bài học này chúng ta sẽ xem xét cái được gọi là phương trình bậc hai và cách giải quyết nó.

Phương trình bậc hai là gì?

Quan trọng!

Bậc của một phương trình được xác định bởi bậc cao nhất mà ẩn số đó đạt tới.

Nếu lũy thừa cực đại mà ẩn số là “2”, thì bạn có một phương trình bậc hai.

Ví dụ về phương trình bậc hai

• 5x 2 − 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x 2 + 0,25x = 0
• x 2 − 8 = 0

Quan trọng! Dạng tổng quát của phương trình bậc hai trông như sau:

A x 2 + b x + c = 0

• “a” là hệ số đầu tiên hoặc cao nhất;
• “b” là hệ số thứ hai;
• “c” là thành viên miễn phí.

Để tìm “a”, “b” và “c”, bạn cần so sánh phương trình của mình với dạng tổng quát của phương trình bậc hai “ax 2 + bx + c = 0”.

Cùng luyện tập xác định các hệ số “a”, “b” và “c” trong phương trình bậc hai.

• a = −1
• b = 1
• c =

  1

  3

• một = 1
• b = 0,25
• c = 0

• một = 1
• b = 0
• c = −8

Cách giải phương trình bậc hai

Không giống như phương trình tuyến tính, một phương pháp đặc biệt được sử dụng để giải phương trình bậc hai. công thức tìm gốc rễ.

Nhớ!

Để giải phương trình bậc hai cần:

• đưa phương trình bậc hai về dạng tổng quát “ax 2 + bx + c = 0”. Nghĩa là, chỉ nên giữ lại số “0” ở bên phải;
• áp dụng công thức tính rễ:

Chúng ta hãy xem một ví dụ về cách sử dụng công thức để tìm nghiệm của phương trình bậc hai. Hãy giải một phương trình bậc hai.

X 2 − 3x − 4 = 0

Phương trình “x 2 − 3x − 4 = 0” đã được rút gọn về dạng tổng quát “ax 2 + bx + c = 0” và không yêu cầu đơn giản hóa thêm. Để giải quyết, chúng ta chỉ cần áp dụng công thức tìm nghiệm nguyên của phương trình bậc hai.

Hãy xác định các hệ số “a”, “b” và “c” của phương trình này.

Nó có thể được sử dụng để giải bất kỳ phương trình bậc hai nào.

Trong công thức “x 1;2 = ” biểu thức căn thường được thay thế
“b 2 − 4ac” cho chữ “D” và được gọi là phân biệt đối xử. Khái niệm về phân biệt đối xử sẽ được thảo luận chi tiết hơn trong bài học “Thế nào là phân biệt đối xử”.

Chúng ta hãy xem một ví dụ khác về phương trình bậc hai.

x 2 + 9 + x = 7x

Ở dạng này, khá khó để xác định các hệ số “a”, “b” và “c”. Trước tiên chúng ta hãy rút gọn phương trình về dạng tổng quát “ax 2 + bx + c = 0”.

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x 2 + 9 − 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

Bây giờ bạn có thể sử dụng công thức tính gốc.

X 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x =

Có những lúc phương trình bậc hai không có gốc. Tình huống này xảy ra khi công thức chứa số âm ở gốc.

Chúng ta tiếp tục nghiên cứu chủ đề “ giải phương trình" Chúng ta đã làm quen với các phương trình tuyến tính và đang chuyển sang làm quen với phương trình bậc hai.

Đầu tiên, chúng ta sẽ xem phương trình bậc hai là gì, nó được viết ở dạng tổng quát như thế nào và đưa ra các định nghĩa liên quan. Sau đó, chúng ta sẽ sử dụng các ví dụ để kiểm tra chi tiết cách giải các phương trình bậc hai không đầy đủ. Tiếp theo, chúng ta sẽ chuyển sang giải các phương trình hoàn chỉnh, tìm công thức nghiệm, làm quen với phân biệt của phương trình bậc hai và xem xét nghiệm của các ví dụ điển hình. Cuối cùng, hãy theo dõi mối liên hệ giữa nghiệm và hệ số.

Điều hướng trang.

Phương trình bậc hai là gì? Loại của họ

Đầu tiên bạn cần hiểu rõ phương trình bậc hai là gì. Do đó, sẽ hợp lý khi bắt đầu cuộc trò chuyện về phương trình bậc hai với định nghĩa của phương trình bậc hai, cũng như các định nghĩa liên quan. Sau này, bạn có thể xem xét các loại phương trình bậc hai chính: rút gọn và không rút gọn, cũng như các phương trình đầy đủ và không đầy đủ.

Định nghĩa và ví dụ về phương trình bậc hai

Sự định nghĩa.

phương trình bậc hai là một phương trình có dạng a x 2 +b x+c=0, trong đó x là một biến, a, b và c là một số số và a khác 0.

Hãy nói ngay rằng phương trình bậc hai thường được gọi là phương trình bậc hai. Điều này là do phương trình bậc hai là phương trình đại số mức độ thứ hai.

Định nghĩa đã nêu cho phép chúng ta đưa ra ví dụ về phương trình bậc hai. Vậy 2 x 2 +6 x+1=0, 0,2 x 2 +2,5 x+0,03=0, v.v. Đây là những phương trình bậc hai.

Sự định nghĩa.

số a, b và c được gọi là các hệ số của phương trình bậc hai a·x 2 +b·x+c=0, hệ số a gọi là số hạng thứ nhất, cao nhất, hoặc hệ số của x 2, b là hệ số thứ hai, hoặc hệ số của x, và c là số hạng tự do .

Ví dụ: hãy lấy phương trình bậc hai có dạng 5 x 2 −2 x −3=0, ở đây hệ số cao nhất là 5, hệ số thứ hai bằng −2 và số hạng tự do bằng −3. Xin lưu ý rằng khi các hệ số b và/hoặc c âm, như trong ví dụ vừa đưa ra, dạng rút gọn của phương trình bậc hai là 5 x 2 −2 x−3=0 , thay vì 5 x 2 +(−2 ) ·x+(−3)=0 .

Điều đáng chú ý là khi các hệ số a và/hoặc b bằng 1 hoặc −1, chúng thường không xuất hiện rõ ràng trong phương trình bậc hai, đó là do đặc thù của cách viết như vậy. Ví dụ, trong phương trình bậc hai y 2 −y+3=0 hệ số cao nhất là một và hệ số của y bằng −1.

Phương trình bậc hai rút gọn và không rút gọn

Tùy thuộc vào giá trị của hệ số dẫn đầu, người ta phân biệt phương trình bậc hai rút gọn và không rút gọn. Hãy đưa ra các định nghĩa tương ứng.

Sự định nghĩa.

Phương trình bậc hai có hệ số lớn nhất bằng 1 được gọi là phương trình bậc hai đã cho. Ngược lại phương trình bậc hai là nguyên vẹn.

Theo định nghĩa này, phương trình bậc hai x 2 −3·x+1=0, x 2 −x−2/3=0, v.v. – đã cho, trong mỗi hệ số đầu tiên bằng một. A 5 x 2 −x−1=0, v.v. - phương trình bậc hai không rút gọn, hệ số cao nhất khác 1.

Từ bất kỳ phương trình bậc hai không rút gọn nào, bằng cách chia cả hai vế cho hệ số dẫn đầu, bạn có thể đi đến phương trình rút gọn. Hành động này là một phép biến đổi tương đương, nghĩa là phương trình bậc hai rút gọn thu được theo cách này có cùng nghiệm với phương trình bậc hai không rút gọn ban đầu, hoặc giống như nó, không có nghiệm.

Chúng ta hãy xem một ví dụ về cách thực hiện quá trình chuyển đổi từ phương trình bậc hai không rút gọn sang phương trình rút gọn.

Ví dụ.

Từ phương trình 3 x 2 +12 x−7=0, đi đến phương trình bậc hai rút gọn tương ứng.

Giải pháp.

Ta chỉ cần chia cả hai vế của phương trình ban đầu cho hệ số đầu 3 khác 0 là ta có thể thực hiện được thao tác này. Chúng ta có (3 x 2 +12 x−7):3=0:3, bằng nhau, (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0, và sau đó (3: 3) x 2 +(12:3) x−7:3=0, từ đó . Đây là cách chúng ta thu được phương trình bậc hai rút gọn, tương đương với phương trình ban đầu.

Trả lời:

Phương trình bậc hai đầy đủ và không đầy đủ

Định nghĩa của phương trình bậc hai chứa điều kiện a≠0. Điều kiện này là cần thiết để phương trình a x 2 + b x + c = 0 là phương trình bậc hai, vì khi a = 0 nó thực sự trở thành phương trình tuyến tính có dạng b x + c = 0.

Đối với các hệ số b và c, chúng có thể bằng 0, cả riêng lẻ và cùng nhau. Trong những trường hợp này, phương trình bậc hai được gọi là không đầy đủ.

Sự định nghĩa.

Phương trình bậc hai a x 2 +b x+c=0 được gọi là chưa hoàn thiện, nếu ít nhất một trong các hệ số b, c bằng 0.

Đến lượt nó

Sự định nghĩa.

Phương trình bậc hai hoàn chỉnh là một phương trình trong đó tất cả các hệ số đều khác 0.

Những cái tên như vậy không được đưa ra một cách tình cờ. Điều này sẽ trở nên rõ ràng từ các cuộc thảo luận sau đây.

Nếu hệ số b bằng 0 thì phương trình bậc hai có dạng a·x 2 +0·x+c=0, và nó tương đương với phương trình a·x 2 +c=0. Nếu c=0, tức là phương trình bậc hai có dạng a·x 2 +b·x+0=0, thì nó có thể được viết lại thành a·x 2 +b·x=0. Và với b=0 và c=0 chúng ta thu được phương trình bậc hai a·x 2 =0. Các phương trình thu được khác với phương trình bậc hai hoàn chỉnh ở chỗ vế trái của chúng không chứa số hạng biến x hoặc số hạng tự do hoặc cả hai. Do đó tên của chúng - phương trình bậc hai không đầy đủ.

Vì vậy các phương trình x 2 +x+1=0 và −2 x 2 −5 x+0.2=0 là ví dụ về phương trình bậc hai hoàn chỉnh và x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3=0 , −x 2 −5 x=0 là các phương trình bậc hai không đầy đủ.

Giải phương trình bậc hai không đầy đủ

Từ thông tin ở đoạn trước, có thể suy ra rằng có ba loại phương trình bậc hai không đầy đủ:

• a·x 2 =0 thì các hệ số b=0 và c=0 tương ứng với nó;
• a x 2 +c=0 khi b=0 ;
• và a·x 2 +b·x=0 khi c=0.

Chúng ta hãy xem xét cách giải các phương trình bậc hai không đầy đủ của từng loại này.

a x 2 = 0

Hãy bắt đầu bằng việc giải các phương trình bậc hai không đầy đủ trong đó các hệ số b và c bằng 0, nghĩa là với các phương trình có dạng a x 2 = 0. Phương trình a·x 2 =0 tương đương với phương trình x 2 =0, thu được từ phương trình ban đầu bằng cách chia cả hai phần cho một số khác 0 a. Rõ ràng, nghiệm của phương trình x 2 =0 bằng 0, vì 0 2 =0. Phương trình này không có nghiệm nào khác, điều này được giải thích bởi thực tế là với mọi số p khác 0 thì bất đẳng thức p 2 >0 đúng, có nghĩa là với p≠0 đẳng thức p 2 = 0 không bao giờ đạt được.

Vì vậy, phương trình bậc hai không đầy đủ a·x 2 =0 có một nghiệm duy nhất x=0.

Để làm ví dụ, chúng tôi đưa ra nghiệm của phương trình bậc hai không đầy đủ −4 x 2 = 0. Nó tương đương với phương trình x 2 =0, nghiệm duy nhất của nó là x=0, do đó, phương trình ban đầu có một nghiệm duy nhất bằng 0.

Một giải pháp ngắn gọn trong trường hợp này có thể được viết như sau:
−4 x 2 = 0 ,
x 2 = 0,
x=0 .

a x 2 +c=0

Bây giờ chúng ta hãy xem cách giải các phương trình bậc hai không hoàn chỉnh trong đó hệ số b bằng 0 và c≠0, tức là các phương trình có dạng a x 2 +c=0. Chúng ta biết rằng việc di chuyển một số hạng từ vế này sang vế kia của phương trình có dấu ngược lại, cũng như chia cả hai vế của phương trình cho một số khác 0, sẽ cho một phương trình tương đương. Do đó, chúng ta có thể thực hiện các phép biến đổi tương đương sau đây của phương trình bậc hai không đầy đủ a x 2 +c=0:

• di chuyển c sang bên phải để có phương trình a x 2 =−c,
• và chia cả hai vế cho a, ta được .

Phương trình thu được cho phép chúng ta rút ra kết luận về gốc của nó. Tùy thuộc vào giá trị của a và c, giá trị của biểu thức có thể âm (ví dụ: nếu a=1 và c=2 thì ) hoặc dương (ví dụ: nếu a=−2 và c=6, thì ), nó không bằng 0 , vì theo điều kiện c≠0. Chúng ta hãy xem xét các trường hợp riêng biệt.

Nếu , thì phương trình không có nghiệm. Tuyên bố này xuất phát từ thực tế là bình phương của bất kỳ số nào đều là số không âm. Từ đó suy ra rằng khi , thì với mọi số p đẳng thức không thể đúng.

Nếu , thì tình huống với nghiệm của phương trình sẽ khác. Trong trường hợp này, nếu chúng ta nhớ về , thì nghiệm của phương trình ngay lập tức trở nên hiển nhiên; đó là số, vì . Thật dễ dàng để đoán rằng con số này thực sự cũng là nghiệm của phương trình, . Phương trình này không có nghiệm nào khác, có thể được chứng minh bằng phản chứng chẳng hạn. Hãy làm nó.

Chúng ta hãy ký hiệu nghiệm của phương trình vừa công bố là x 1 và −x 1 . Giả sử phương trình có thêm một nghiệm x 2, khác với các nghiệm x 1 và −x 1 đã chỉ định. Người ta biết rằng việc thay thế các nghiệm của nó vào một phương trình thay vì x sẽ biến phương trình thành một đẳng thức số đúng. Với x 1 và −x 1 ta có , và với x 2 ta có . Các tính chất của các đẳng thức số cho phép chúng ta thực hiện phép trừ từng số hạng của các đẳng thức số chính xác, do đó phép trừ các phần tương ứng của các đẳng thức sẽ cho x 1 2 −x 2 2 =0. Các tính chất của phép tính với số cho phép chúng ta viết lại đẳng thức thu được là (x 1 −x 2)·(x 1 +x 2)=0. Chúng ta biết rằng tích của hai số bằng 0 khi và chỉ khi có ít nhất một trong số chúng bằng 0. Do đó, từ đẳng thức thu được, ta suy ra x 1 −x 2 =0 và/hoặc x 1 +x 2 =0, bằng nhau, x 2 =x 1 và/hoặc x 2 =−x 1. Vì vậy, chúng ta đi đến mâu thuẫn, vì lúc đầu chúng ta đã nói rằng nghiệm của phương trình x 2 khác với x 1 và −x 1. Điều này chứng tỏ rằng phương trình không có nghiệm nào khác ngoài và .

Hãy để chúng tôi tóm tắt thông tin trong đoạn này. Phương trình bậc hai không đầy đủ a x 2 +c=0 tương đương với phương trình

• không có gốc nếu ,
• có hai nghiệm và , nếu .

Hãy xem xét các ví dụ về giải phương trình bậc hai không đầy đủ có dạng a·x 2 +c=0.

Hãy bắt đầu với phương trình bậc hai 9 x 2 +7=0. Sau khi di chuyển số hạng tự do sang vế phải của phương trình, nó sẽ có dạng 9 x 2 =−7. Chia cả hai vế của phương trình thu được cho 9, chúng ta có . Vì vế phải có số âm nên phương trình này không có nghiệm, do đó phương trình bậc hai không đầy đủ ban đầu 9 x 2 +7 = 0 không có nghiệm.

Hãy giải một phương trình bậc hai không đầy đủ khác −x 2 +9=0. Chúng ta di chuyển số 9 sang vế phải: −x 2 =−9. Bây giờ chúng ta chia cả hai vế cho −1, chúng ta được x 2 = 9. Ở bên phải có một số dương, từ đó chúng ta kết luận rằng hoặc . Sau đó, chúng ta viết ra câu trả lời cuối cùng: phương trình bậc hai không đầy đủ −x 2 +9=0 có hai nghiệm x=3 hoặc x=−3.

a x 2 +b x=0

Vẫn còn phải giải quyết loại phương trình bậc hai không đầy đủ cuối cùng cho c=0. Phương trình bậc hai không đầy đủ dạng a x 2 + b x = 0 cho phép bạn giải phương pháp nhân tử hóa. Rõ ràng, chúng ta có thể, nằm ở vế trái của phương trình, chỉ cần lấy thừa số chung x ra khỏi ngoặc là đủ. Điều này cho phép chúng ta chuyển từ phương trình bậc hai không đầy đủ ban đầu sang một phương trình tương đương có dạng x·(a·x+b)=0. Và phương trình này tương đương với một tập hợp gồm hai phương trình x=0 và a·x+b=0, phương trình sau là tuyến tính và có nghiệm x=−b/a.

Vì vậy, phương trình bậc hai không đầy đủ a·x 2 +b·x=0 có hai nghiệm x=0 và x=−b/a.

Để củng cố tài liệu, chúng tôi sẽ phân tích giải pháp cho một ví dụ cụ thể.

Ví dụ.

Giải phương trình.

Giải pháp.

Lấy x ra khỏi ngoặc sẽ có phương trình . Nó tương đương với hai phương trình x=0 và . Chúng ta giải phương trình tuyến tính thu được: , và bằng cách chia hỗn số cho một phân số thông thường, chúng ta tìm được . Do đó, nghiệm của phương trình ban đầu là x=0 và .

Sau khi đạt được những thực hành cần thiết, lời giải của các phương trình như vậy có thể được viết ngắn gọn:

Trả lời:

x=0 , .

Phân biệt, công thức nghiệm của phương trình bậc hai

Để giải phương trình bậc hai, có một công thức gốc. Hãy viết nó ra công thức nghiệm của phương trình bậc hai: , Ở đâu D=b 2 −4 a c- cái gọi là biệt thức của phương trình bậc hai. Mục nhập về cơ bản có nghĩa là .

Sẽ rất hữu ích khi biết công thức nghiệm được rút ra như thế nào và nó được sử dụng như thế nào để tìm nghiệm của phương trình bậc hai. Hãy tìm hiểu điều này.

Dẫn xuất công thức nghiệm của phương trình bậc hai

Chúng ta cần giải phương trình bậc hai a·x 2 +b·x+c=0. Hãy thực hiện một số phép biến đổi tương đương:

• Chúng ta có thể chia cả hai vế của phương trình này cho một số a khác 0, dẫn đến phương trình bậc hai sau đây.
• Hiện nay chọn một hình vuông hoàn chỉnhở phía bên trái của nó: . Sau này, phương trình sẽ có dạng .
• Ở giai đoạn này, có thể chuyển hai số hạng cuối sang vế phải với dấu ngược lại, ta có .
• Và chúng ta cũng hãy biến đổi biểu thức ở vế phải: .

Kết quả là chúng ta thu được một phương trình tương đương với phương trình bậc hai ban đầu a·x 2 +b·x+c=0.

Chúng tôi đã giải các phương trình có dạng tương tự trong các đoạn trước khi chúng tôi xem xét. Điều này cho phép chúng ta rút ra các kết luận sau đây về nghiệm của phương trình:

• nếu , thì phương trình không có nghiệm thực;
• nếu , thì phương trình có dạng , do đó, , từ đó có thể nhìn thấy nghiệm duy nhất của nó;
• nếu , thì hoặc , giống như hoặc , nghĩa là phương trình có hai nghiệm.

Do đó, sự hiện diện hay vắng mặt của nghiệm của phương trình, và do đó, phương trình bậc hai ban đầu, phụ thuộc vào dấu của biểu thức ở vế phải. Ngược lại, dấu của biểu thức này được xác định bởi dấu của tử số, vì mẫu số 4·a 2 luôn dương, nghĩa là bằng dấu của biểu thức b 2 −4·a·c. Biểu thức b 2 −4 a c này được gọi là biệt thức của phương trình bậc hai và được chỉ định bằng chữ cái D. Từ đây, bản chất của phân biệt đã rõ ràng - dựa trên giá trị và dấu của nó, họ kết luận liệu phương trình bậc hai có nghiệm thực hay không, và nếu có thì số của chúng là bao nhiêu - một hoặc hai.

Hãy quay lại phương trình và viết lại nó bằng ký hiệu phân biệt: . Và chúng tôi rút ra kết luận:

• nếu D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• nếu D=0 thì phương trình này có một nghiệm duy nhất;
• cuối cùng, nếu D>0, thì phương trình có hai nghiệm hoặc, có thể viết lại dưới dạng hoặc, và sau khi khai triển và đưa các phân số về mẫu số chung, chúng ta thu được.

Vì vậy, chúng ta đã rút ra các công thức cho nghiệm của phương trình bậc hai, chúng trông giống như , trong đó biệt thức D được tính theo công thức D=b 2 −4·a·c.

Với sự giúp đỡ của họ, với phân biệt dương, bạn có thể tính cả hai nghiệm thực của phương trình bậc hai. Khi phân biệt bằng 0, cả hai công thức đều cho cùng một giá trị nghiệm, tương ứng với một nghiệm duy nhất của phương trình bậc hai. Và với phân biệt âm, khi cố gắng sử dụng công thức tính nghiệm của phương trình bậc hai, chúng ta phải đối mặt với việc trích căn bậc hai của một số âm, điều này đưa chúng ta vượt ra ngoài phạm vi chương trình giảng dạy ở trường. Với phân biệt âm, phương trình bậc hai không có nghiệm thực nhưng có một cặp liên hợp phức tạp các gốc, có thể được tìm thấy bằng cách sử dụng cùng các công thức gốc mà chúng ta đã thu được.

Thuật toán giải phương trình bậc hai bằng công thức gốc

Trong thực tế, khi giải phương trình bậc hai, bạn có thể sử dụng ngay công thức gốc để tính giá trị của chúng. Nhưng điều này liên quan nhiều hơn đến việc tìm kiếm các gốc phức tạp.

Tuy nhiên, trong khóa học đại số ở trường, chúng ta thường không nói về độ phức tạp mà về nghiệm thực của phương trình bậc hai. Trong trường hợp này, trước khi sử dụng các công thức nghiệm của phương trình bậc hai, trước tiên bạn phải tìm phân biệt, đảm bảo rằng nó không âm (nếu không, chúng ta có thể kết luận rằng phương trình không có nghiệm thực), và chỉ sau đó tính toán các giá trị của rễ.

Lập luận trên cho phép chúng ta viết thuật toán giải phương trình bậc hai. Để giải phương trình bậc hai a x 2 +b x+c=0, bạn cần:

• sử dụng công thức phân biệt D=b 2 −4·a·c, tính giá trị của nó;
• kết luận rằng phương trình bậc hai không có nghiệm thực nếu phân biệt số âm;
• tính nghiệm duy nhất của phương trình bằng công thức nếu D=0;
• tìm hai nghiệm thực của phương trình bậc hai bằng công thức nghiệm nếu phân biệt dương.

Ở đây chúng tôi chỉ lưu ý rằng nếu giá trị phân biệt bằng 0, bạn cũng có thể sử dụng công thức; nó sẽ cho giá trị tương tự như .

Bạn có thể chuyển sang các ví dụ về cách sử dụng thuật toán để giải phương trình bậc hai.

Ví dụ về giải phương trình bậc hai

Chúng ta hãy xem xét nghiệm của ba phương trình bậc hai với phân biệt dương, âm và bằng 0. Sau khi xử lý nghiệm của chúng, bằng cách tương tự, sẽ có thể giải bất kỳ phương trình bậc hai nào khác. Hãy bắt đầu nào.

Ví dụ.

Tìm nghiệm nguyên của phương trình x 2 +2·x−6=0.

Giải pháp.

Trong trường hợp này, chúng ta có các hệ số của phương trình bậc hai sau: a=1, b=2 và c=−6. Theo thuật toán, trước tiên bạn cần tính giá trị phân biệt; để làm điều này, chúng ta thay thế a, b và c được chỉ định vào công thức phân biệt, chúng ta có D=b 2 −4·a·c=2 2 −4·1·(−6)=4+24=28. Vì 28>0, tức là phân biệt lớn hơn 0 nên phương trình bậc hai có hai nghiệm thực. Hãy tìm chúng bằng cách sử dụng công thức gốc, chúng tôi nhận được , ở đây bạn có thể đơn giản hóa các biểu thức thu được bằng cách thực hiện di chuyển số nhân ra ngoài dấu gốc tiếp theo là giảm phân số:

Trả lời:

Hãy chuyển sang ví dụ điển hình tiếp theo.

Ví dụ.

Giải phương trình bậc hai −4 x 2 +28 x−49=0 .

Giải pháp.

Chúng tôi bắt đầu bằng cách tìm ra sự phân biệt đối xử: D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0. Do đó, phương trình bậc hai này có một nghiệm duy nhất, mà chúng ta tìm thấy là , nghĩa là,

Trả lời:

x=3,5.

Vẫn còn phải xem xét việc giải phương trình bậc hai với phân biệt âm.

Ví dụ.

Giải phương trình 5·y 2 +6·y+2=0.

Giải pháp.

Dưới đây là các hệ số của phương trình bậc hai: a=5, b=6 và c=2. Thay các giá trị này vào công thức phân biệt, ta có D=b 2 −4·a·c=6 2 −4·5·2=36−40=−4. Phân biệt đối xử âm, do đó, phương trình bậc hai này không có nghiệm thực.

Nếu bạn cần chỉ ra các nghiệm phức, thì chúng ta áp dụng công thức nổi tiếng cho các nghiệm của phương trình bậc hai và thực hiện các phép toán với số phức:

Trả lời:

không có nghiệm thực, nghiệm phức là: .

Chúng ta hãy lưu ý một lần nữa rằng nếu phân biệt của phương trình bậc hai là âm, thì ở trường, họ thường viết ngay câu trả lời trong đó họ chỉ ra rằng không có nghiệm thực và không tìm thấy nghiệm phức.

Công thức gốc cho hệ số chẵn thứ hai

Công thức nghiệm của phương trình bậc hai, trong đó D=b 2 −4·a·c cho phép bạn thu được công thức có dạng thu gọn hơn, cho phép bạn giải phương trình bậc hai với hệ số chẵn cho x (hoặc đơn giản với a hệ số có dạng 2·n chẳng hạn hoặc 14· ln5=2·7·ln5 ). Hãy đưa cô ấy ra ngoài.

Giả sử chúng ta cần giải một phương trình bậc hai có dạng a x 2 +2 n x+c=0. Hãy tìm gốc rễ của nó bằng công thức mà chúng ta biết. Để làm điều này, chúng tôi tính toán phân biệt D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c), sau đó chúng ta sử dụng công thức gốc:

Chúng ta hãy ký hiệu biểu thức n 2 −a c là D 1 (đôi khi nó được ký hiệu là D "). Khi đó, công thức nghiệm của phương trình bậc hai đang xét với hệ số thứ hai 2 n sẽ có dạng , trong đó D 1 =n 2 −a·c.

Dễ dàng thấy rằng D=4·D 1, hay D 1 =D/4. Nói cách khác, D 1 là phần thứ tư của phân biệt đối xử. Rõ ràng là dấu của D 1 chính là dấu của D . Nghĩa là, dấu D 1 cũng là dấu hiệu cho thấy sự có mặt hay vắng mặt của nghiệm của phương trình bậc hai.

Vì vậy, để giải phương trình bậc hai với hệ số thứ hai 2·n, bạn cần

• Tính D 1 =n 2 −a·c ;
• Nếu D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• Nếu D 1 =0 thì tính nghiệm duy nhất của phương trình bằng công thức;
• Nếu D 1 >0 thì tìm hai nghiệm thực bằng công thức.

Hãy xem xét việc giải ví dụ bằng cách sử dụng công thức gốc thu được trong đoạn này.

Ví dụ.

Giải phương trình bậc hai 5 x 2 −6 x −32=0 .

Giải pháp.

Hệ số thứ hai của phương trình này có thể được biểu diễn dưới dạng 2·(−3) . Nghĩa là, bạn có thể viết lại phương trình bậc hai ban đầu ở dạng 5 x 2 +2 (−3) x−32=0, ở đây a=5, n=−3 và c=−32, rồi tính phần thứ tư của phân biệt đối xử: D 1 =n 2 −a·c=(−3) 2 −5·(−32)=9+160=169. Vì giá trị của nó là dương nên phương trình có hai nghiệm thực. Hãy tìm chúng bằng công thức gốc thích hợp:

Lưu ý rằng có thể sử dụng công thức thông thường cho nghiệm của phương trình bậc hai, nhưng trong trường hợp này sẽ phải thực hiện nhiều công việc tính toán hơn.

Trả lời:

Đơn giản hóa dạng phương trình bậc hai

Đôi khi, trước khi bắt đầu tính nghiệm của phương trình bậc hai bằng cách sử dụng các công thức, sẽ không hại gì nếu bạn đặt câu hỏi: “Có thể đơn giản hóa dạng của phương trình này không?” Đồng ý rằng về mặt tính toán, việc giải phương trình bậc hai 11 x 2 −4 x−6=0 sẽ dễ dàng hơn so với 1100 x 2 −400 x−600=0.

Thông thường, việc đơn giản hóa dạng phương trình bậc hai đạt được bằng cách nhân hoặc chia cả hai vế cho một số nhất định. Ví dụ, trong đoạn trước, có thể đơn giản hóa phương trình 1100 x 2 −400 x −600=0 bằng cách chia cả hai vế cho 100.

Một phép biến đổi tương tự được thực hiện với các phương trình bậc hai, các hệ số của chúng không phải là . Trong trường hợp này, cả hai vế của phương trình thường được chia cho các giá trị tuyệt đối của các hệ số của nó. Ví dụ: hãy lấy phương trình bậc hai 12 x 2 −42 x+48=0. giá trị tuyệt đối của các hệ số của nó: GCD(12, 42, 48)= GCD(GCD(12, 42), 48)= GCD(6, 48)=6. Chia cả hai vế của phương trình bậc hai ban đầu cho 6, chúng ta thu được phương trình bậc hai tương đương 2 x 2 −7 x+8=0.

Và nhân cả hai vế của phương trình bậc hai thường được thực hiện để loại bỏ các hệ số phân số. Trong trường hợp này, phép nhân được thực hiện bởi mẫu số của các hệ số của nó. Ví dụ: nếu cả hai vế của phương trình bậc hai được nhân với LCM(6, 3, 1)=6, thì nó sẽ có dạng đơn giản hơn x 2 +4·x−18=0.

Để kết luận về điểm này, chúng tôi lưu ý rằng họ hầu như luôn loại bỏ điểm trừ ở hệ số cao nhất của phương trình bậc hai bằng cách thay đổi dấu của tất cả các số hạng, tương ứng với việc nhân (hoặc chia) cả hai vế cho −1. Ví dụ, thông thường người ta chuyển từ phương trình bậc hai −2 x 2 −3 x+7=0 sang nghiệm 2 x 2 +3 x−7=0 .

Mối quan hệ giữa nghiệm và hệ số của phương trình bậc hai

Công thức nghiệm của phương trình bậc hai biểu thị nghiệm của phương trình thông qua các hệ số của nó. Dựa vào công thức nghiệm, bạn có thể thu được các mối quan hệ khác giữa nghiệm và hệ số.

Các công thức nổi tiếng và có thể áp dụng nhất của định lý Vieta là có dạng và . Cụ thể, đối với phương trình bậc hai đã cho, tổng các nghiệm bằng hệ số thứ hai trái dấu và tích của các nghiệm bằng số hạng tự do. Ví dụ, bằng cách nhìn vào dạng phương trình bậc hai 3 x 2 −7 x + 22 = 0, chúng ta có thể nói ngay rằng tổng các nghiệm của nó bằng 7/3 và tích của các nghiệm bằng 22 /3.

Sử dụng các công thức đã viết sẵn, bạn có thể thu được một số mối liên hệ khác giữa nghiệm và hệ số của phương trình bậc hai. Ví dụ: bạn có thể biểu thị tổng bình phương của các nghiệm của một phương trình bậc hai thông qua các hệ số của nó: .

Thư mục.

• Đại số học: sách giáo khoa cho lớp 8. giáo dục phổ thông tổ chức / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; sửa bởi S. A. Telyakovsky. - tái bản lần thứ 16. - M.: Giáo dục, 2008. - 271 tr. : ốm. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A. G.Đại số học. lớp 8. Trong 2 giờ Phần 1. Sách giáo khoa dành cho học sinh các cơ sở giáo dục phổ thông / A. G. Mordkovich. - Tái bản lần thứ 11, đã xóa. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 tr.: ốm. ISBN 978-5-346-01155-2.

Các bài toán phương trình bậc hai được nghiên cứu cả trong chương trình giảng dạy ở trường và trong các trường đại học. Chúng có nghĩa là các phương trình có dạng a*x^2 + b*x + c = 0, trong đó x- biến, a, b, c – hằng số; Một<>0 . Nhiệm vụ là tìm nghiệm nguyên của phương trình.

Ý nghĩa hình học của phương trình bậc hai

Đồ thị của hàm số được biểu diễn bằng phương trình bậc hai là một parabol. Nghiệm (gốc) của phương trình bậc hai là giao điểm của parabol với trục hoành (x). Theo sau đó có ba trường hợp có thể xảy ra:
1) parabol không có điểm giao nhau với trục hoành. Điều này có nghĩa là nó nằm ở mặt phẳng phía trên với các nhánh hướng lên hoặc phía dưới với các nhánh hướng xuống. Trong những trường hợp như vậy, phương trình bậc hai không có nghiệm thực (nó có hai nghiệm phức).

2) parabol có một điểm giao nhau với trục Ox. Một điểm như vậy được gọi là đỉnh của parabol và phương trình bậc hai tại đó đạt giá trị tối thiểu hoặc tối đa. Trong trường hợp này, phương trình bậc hai có một nghiệm thực (hoặc hai nghiệm giống nhau).

3) Trường hợp cuối cùng thú vị hơn trong thực tế - có hai điểm giao nhau của parabol với trục hoành. Điều này có nghĩa là có hai nghiệm thực của phương trình.

Dựa trên việc phân tích các hệ số lũy thừa của các biến, có thể rút ra những kết luận thú vị về vị trí của parabol.

1) Nếu hệ số a lớn hơn 0 thì các nhánh của parabol hướng lên trên, nếu nó âm thì các nhánh của parabol hướng xuống dưới.

2) Nếu hệ số b lớn hơn 0 thì đỉnh của parabol nằm ở nửa mặt phẳng bên trái, nếu nó nhận giá trị âm thì nằm ở nửa mặt phẳng bên phải.

Dẫn xuất công thức giải phương trình bậc hai

Hãy chuyển hằng số từ phương trình bậc hai

đối với dấu bằng, ta có biểu thức

Nhân cả hai vế với 4a

Để có được một hình vuông hoàn chỉnh ở bên trái, hãy thêm b^2 vào cả hai bên và thực hiện phép biến đổi

Từ đây chúng ta tìm thấy

Công thức phân biệt và nghiệm của phương trình bậc hai

Giá trị phân biệt là giá trị của biểu thức căn, nếu dương thì phương trình có hai nghiệm thực, được tính theo công thức Khi biệt thức bằng 0, phương trình bậc hai có một nghiệm (hai nghiệm trùng nhau), có thể dễ dàng thu được từ công thức trên với D=0. Khi biệt thức âm, phương trình không có nghiệm thực. Tuy nhiên, nghiệm của phương trình bậc hai được tìm thấy trong mặt phẳng phức và giá trị của chúng được tính bằng công thức

Định lý Vieta

Chúng ta hãy xem xét hai nghiệm của một phương trình bậc hai và xây dựng một phương trình bậc hai trên cơ sở của chúng. Bản thân định lý Vieta dễ dàng suy ra từ ký hiệu: nếu chúng ta có phương trình bậc hai có dạng khi đó tổng các nghiệm của nó bằng hệ số p lấy với dấu ngược lại, và tích các nghiệm của phương trình bằng số hạng tự do q. Biểu diễn công thức của biểu thức trên sẽ giống như Nếu trong một phương trình cổ điển, hằng số a khác 0, thì bạn cần chia toàn bộ phương trình cho nó rồi áp dụng định lý Vieta.

Phân tích biểu thức phương trình bậc hai

Hãy đặt nhiệm vụ: nhân một phương trình bậc hai. Để làm điều này, trước tiên chúng ta giải phương trình (tìm nghiệm). Tiếp theo, chúng ta thay các nghiệm tìm được vào công thức khai triển của phương trình bậc hai, điều này sẽ giải được bài toán.

Các bài toán về phương trình bậc hai

Nhiệm vụ 1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình bậc hai

x^2-26x+120=0 .

Giải pháp: Viết các hệ số và thay chúng vào công thức phân biệt

Căn nguyên của giá trị này là 14, bạn có thể dễ dàng tìm thấy bằng máy tính hoặc ghi nhớ khi sử dụng thường xuyên, tuy nhiên, để thuận tiện, ở cuối bài viết tôi sẽ đưa ra cho các bạn danh sách các số bình phương thường gặp trong những vấn đề như vậy.
Chúng tôi thay thế giá trị tìm thấy vào công thức gốc

và chúng tôi nhận được

Nhiệm vụ 2. Giải phương trình

2x2 +x-3=0.

Giải: Ta có phương trình bậc hai đầy đủ, viết các hệ số và tìm phân biệt


Sử dụng các công thức đã biết, chúng ta tìm được nghiệm của phương trình bậc hai

Nhiệm vụ 3. Giải phương trình

9x 2 -12x+4=0.

Giải: Ta có phương trình bậc hai đầy đủ. Xác định sự phân biệt đối xử

Chúng tôi có một trường hợp gốc trùng nhau. Tìm giá trị của rễ bằng công thức

Nhiệm vụ 4. Giải phương trình

x^2+x-6=0 .

Lời giải: Trong trường hợp x có hệ số nhỏ thì nên áp dụng định lý Vieta. Theo điều kiện của nó ta thu được hai phương trình

Từ điều kiện thứ hai chúng ta thấy rằng tích phải bằng -6. Điều này có nghĩa là một trong các nghiệm âm. Chúng ta có các cặp nghiệm khả thi sau đây (-3;2), (3;-2) . Khi tính đến điều kiện đầu tiên, chúng tôi bác bỏ cặp giải pháp thứ hai.
Các nghiệm của phương trình đều bằng nhau

Bài 5. Tìm độ dài các cạnh của một hình chữ nhật nếu chu vi của nó là 18 cm và diện tích của nó là 77 cm 2.

Lời giải: Một nửa chu vi hình chữ nhật bằng tổng các cạnh kề của nó. Hãy biểu thị x là cạnh lớn hơn, khi đó 18-x là cạnh nhỏ hơn của nó. Diện tích của hình chữ nhật bằng tích của các độ dài sau:
x(18-x)=77;
hoặc
x 2 -18x+77=0.
Hãy tìm phân biệt của phương trình

Tính nghiệm của phương trình

Nếu như x=11, Cái đó 18's=7 ,điều ngược lại cũng đúng (nếu x=7 thì 21’s=9).

Bài 6. Phân tích nhân tử của phương trình bậc hai 10x 2 -11x+3=0.

Giải: Hãy tính nghiệm của phương trình, để làm được điều này chúng ta tìm phân biệt

Chúng tôi thay thế giá trị tìm thấy vào công thức gốc và tính toán

Ta áp dụng công thức phân tích phương trình bậc hai theo nghiệm

Mở ngoặc chúng ta có được một danh tính.

Phương trình bậc hai có tham số

Ví dụ 1. Tại giá trị tham số nào MỘT , phương trình (a-3)x 2 + (3-a)x-1/4=0 có một nghiệm không?

Giải: Bằng cách thay trực tiếp giá trị a=3 ta thấy rằng nó vô nghiệm. Tiếp theo, chúng ta sẽ sử dụng thực tế là với phân biệt bằng 0, phương trình có một nghiệm là bội số 2. Hãy viết ra sự phân biệt

Hãy đơn giản hóa nó và đánh đồng nó bằng 0

Chúng ta đã thu được một phương trình bậc hai đối với tham số a, nghiệm của phương trình này có thể dễ dàng thu được bằng định lý Vieta. Tổng của các nghiệm là 7 và tích của chúng là 12. Bằng cách tìm kiếm đơn giản, chúng tôi xác định được rằng các số 3,4 sẽ là nghiệm của phương trình. Vì chúng ta đã bác bỏ nghiệm a=3 khi bắt đầu tính toán nên nghiệm đúng duy nhất sẽ là - a=4. Vì vậy, với a=4 phương trình có một nghiệm.

Ví dụ 2. Ở giá trị tham số nào MỘT , phương trình a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0 có nhiều hơn một gốc?

Giải: Trước tiên chúng ta xét các điểm kỳ dị, chúng sẽ có giá trị a=0 và a=-3. Khi a=0, phương trình sẽ được đơn giản hóa thành dạng 6x-9=0; x=3/2 và sẽ có một gốc. Với a= -3 chúng ta thu được đẳng thức 0=0.
Hãy tính độ phân biệt

và tìm giá trị của a tại đó nó dương

Từ điều kiện đầu tiên chúng ta nhận được a>3. Đối với phần thứ hai, chúng ta tìm ra biệt thức và nghiệm của phương trình


Chúng ta hãy xác định các khoảng trong đó hàm nhận giá trị dương. Thay điểm a=0 ta được 3>0 . Vì vậy, bên ngoài khoảng (-3;1/3) hàm số âm. Đừng quên điểm a=0, nên loại trừ vì phương trình ban đầu có một nghiệm trong đó.
Kết quả ta thu được hai khoảng thỏa mãn điều kiện của bài toán

Sẽ có nhiều nhiệm vụ tương tự trong thực tế, hãy cố gắng tự mình tìm ra các nhiệm vụ và đừng quên tính đến các điều kiện loại trừ lẫn nhau. Nghiên cứu kỹ các công thức giải phương trình bậc hai, chúng thường cần thiết trong tính toán các bài toán và khoa học khác nhau.

Tôi hy vọng rằng sau khi nghiên cứu bài viết này, bạn sẽ học được cách tìm nghiệm nguyên của một phương trình bậc hai hoàn chỉnh.

Bằng cách sử dụng phân biệt, chỉ các phương trình bậc hai đầy đủ mới được giải; để giải các phương trình bậc hai không đầy đủ, các phương pháp khác được sử dụng, bạn sẽ tìm thấy trong bài viết “Giải phương trình bậc hai không đầy đủ”.

Những phương trình bậc hai nào được gọi là hoàn chỉnh? Cái này phương trình dạng ax 2 + b x + c = 0, trong đó các hệ số a, b và c không bằng 0. Vì vậy, để giải một phương trình bậc hai hoàn chỉnh, chúng ta cần tính phân biệt D.

D = b 2 – 4ac.

Tùy thuộc vào giá trị của biệt thức, chúng ta sẽ viết ra câu trả lời.

Nếu giá trị phân biệt là số âm (D< 0),то корней нет.

Nếu biệt thức bằng 0 thì x = (-b)/2a. Khi biệt thức là số dương (D > 0),

thì x 1 = (-b - √D)/2a, và x 2 = (-b + √D)/2a.

Ví dụ. Giải phương trình x 2– 4x + 4= 0.

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Trả lời: 2.

Giải phương trình 2 x 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

Trả lời: không có rễ.

Giải phương trình 2 x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3,5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

Trả lời: – 3,5; 1.

Vì vậy, hãy tưởng tượng giải phương trình bậc hai hoàn chỉnh bằng sơ đồ trong Hình 1.

Sử dụng các công thức này, bạn có thể giải bất kỳ phương trình bậc hai hoàn chỉnh nào. Bạn chỉ cần cẩn thận để phương trình được viết dưới dạng đa thức có dạng chuẩn

MỘT x 2 + bx + c, nếu không bạn có thể mắc sai lầm. Ví dụ, khi viết phương trình x + 3 + 2x 2 = 0, bạn có thể quyết định nhầm rằng

a = 1, b = 3 và c = 2. Khi đó

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 và khi đó phương trình có hai nghiệm. Và điều này không đúng. (Xem giải pháp cho ví dụ 2 ở trên).

Do đó, nếu phương trình không được viết dưới dạng đa thức dạng chuẩn thì trước tiên phương trình bậc hai hoàn chỉnh phải được viết dưới dạng đa thức dạng chuẩn (đơn thức có số mũ lớn nhất phải đứng trước, tức là MỘT x 2 , thì với ít hơn – bx và sau đó là thành viên miễn phí Với.

Khi giải phương trình bậc hai rút gọn và phương trình bậc hai có hệ số chẵn ở số hạng thứ hai, bạn có thể sử dụng các công thức khác. Hãy làm quen với các công thức này. Nếu trong một phương trình bậc hai hoàn chỉnh, số hạng thứ hai có hệ số chẵn (b = 2k), thì bạn có thể giải phương trình bằng cách sử dụng các công thức hiển thị trong sơ đồ ở Hình 2.

Một phương trình bậc hai hoàn chỉnh được gọi là rút gọn nếu hệ số tại x 2 bằng một và phương trình có dạng x 2 + px + q = 0. Phương trình như vậy có thể được đưa ra để giải hoặc có thể thu được bằng cách chia tất cả các hệ số của phương trình cho hệ số MỘT, đứng ở x 2 .

Hình 3 thể hiện sơ đồ giải bình phương rút gọn
phương trình. Hãy xem một ví dụ về việc áp dụng các công thức được thảo luận trong bài viết này.

Ví dụ. Giải phương trình

3x 2 + 6x – 6 = 0.

Hãy giải phương trình này bằng cách sử dụng các công thức thể hiện trong sơ đồ ở Hình 1.

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

Đáp án: –1 – √3; –1 + √3

Bạn có thể nhận thấy rằng hệ số của x trong phương trình này là một số chẵn, tức là b = 6 hoặc b = 2k, do đó k = 3. Sau đó, chúng ta hãy thử giải phương trình bằng các công thức như trong sơ đồ của hình D 1 = 3 2 – 3 · (– 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

Đáp án: –1 – √3; –1 + √3. Nhận thấy tất cả các hệ số trong phương trình bậc hai này đều chia hết cho 3 và thực hiện phép chia, ta được phương trình bậc hai rút gọn x 2 + 2x – 2 = 0 Giải phương trình này bằng cách sử dụng các công thức cho phương trình bậc hai rút gọn
phương trình hình 3.

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

Đáp án: –1 – √3; –1 + √3.

Như bạn có thể thấy, khi giải phương trình này bằng các công thức khác nhau, chúng ta nhận được cùng một câu trả lời. Do đó, khi đã nắm vững kỹ lưỡng các công thức hiển thị trong sơ đồ ở Hình 1, bạn sẽ luôn có thể giải được bất kỳ phương trình bậc hai hoàn chỉnh nào.

trang web, khi sao chép toàn bộ hoặc một phần tài liệu đều phải có liên kết đến nguồn.

Yakupova M.I. 1

Smirnova Yu.V. 1

1 Cơ sở giáo dục ngân sách thành phố Trường THCS số 11

Nội dung tác phẩm được đăng tải không có hình ảnh, công thức.
Phiên bản đầy đủ của tác phẩm có sẵn trong tab "Tệp công việc" ở định dạng PDF

Lịch sử của phương trình bậc hai

Babylon

Nhu cầu giải các phương trình không chỉ cấp một mà còn cấp hai vào thời cổ đại là do nhu cầu giải các bài toán liên quan đến việc tìm diện tích các thửa đất, cùng với sự phát triển của thiên văn học và toán học. Phương trình bậc hai có thể được giải vào khoảng năm 2000 trước Công nguyên. đ. Người Babylon. Các quy tắc giải các phương trình này được đặt ra trong các văn bản tiếng Babylon về cơ bản giống như các quy tắc hiện đại, nhưng những văn bản này thiếu khái niệm về số âm và các phương pháp chung để giải phương trình bậc hai.

Hy Lạp cổ đại

Ở Hy Lạp cổ đại, các nhà khoa học như Diophantus, Euclid và Heron cũng nghiên cứu giải phương trình bậc hai. Diophantus Diophantus của Alexandria là một nhà toán học Hy Lạp cổ đại có lẽ sống ở thế kỷ thứ 3 sau Công Nguyên. Tác phẩm chính của Diophantus là “Số học” gồm 13 cuốn. Euclid. Euclid là một nhà toán học Hy Lạp cổ đại, tác giả của chuyên luận lý thuyết đầu tiên về toán học được lưu truyền đến nay, Heron. Heron - nhà toán học và kỹ sư người Hy Lạp đầu tiên đến Hy Lạp vào thế kỷ thứ 1 sau Công nguyên. đưa ra một cách thuần túy đại số để giải phương trình bậc hai

Ấn Độ

Các bài toán về phương trình bậc hai đã được tìm thấy trong chuyên luận thiên văn học “Aryabhattiam”, do nhà toán học và thiên văn học người Ấn Độ Aryabhatta biên soạn vào năm 499. Một nhà khoa học Ấn Độ khác, Brahmagupta (thế kỷ VII), đã nêu ra quy tắc chung để giải phương trình bậc hai rút gọn về một dạng chính tắc duy nhất: ax2 + bx = c, a > 0. (1) Trong phương trình (1) các hệ số có thể âm. Quy tắc của Brahmagupta về cơ bản giống như quy tắc của chúng ta. Các cuộc thi công khai trong việc giải quyết các vấn đề khó khăn rất phổ biến ở Ấn Độ. Một trong những cuốn sách cổ của Ấn Độ nói như sau về những cuộc thi như vậy: “Cũng như mặt trời chiếu sáng các vì sao bằng sự rực rỡ của nó, một người có học thức cũng sẽ tỏa sáng hơn vinh quang của mình trong các cuộc họp công cộng bằng cách đề xuất và giải các bài toán đại số”. Các vấn đề thường được trình bày dưới dạng thơ.

Đây là một trong những bài toán của nhà toán học nổi tiếng Ấn Độ thế kỷ 12. Bhaskars.

“Một đàn khỉ vui tính

Và mười hai dọc theo dây leo, ăn thỏa thích, vui vẻ

Họ bắt đầu nhảy, treo cổ

Phần tám của chúng bình phương

Có bao nhiêu con khỉ?

Tôi đang vui vẻ ở khu đất trống

Nói cho tôi biết, trong gói này?

Lời giải của Bhaskara chỉ ra rằng tác giả biết rằng gốc của phương trình bậc hai có hai giá trị. Bhaskar viết phương trình tương ứng với bài toán là x2 - 64x = - 768 và để hoàn thành vế trái của phương trình này thành hình vuông, ông cộng 322 vào cả hai vế, rồi thu được: x2 - b4x + 322 = -768 + 1024 , (x - 32)2 = 256, x - 32= ±16, x1 = 16, x2 = 48.

Phương trình bậc hai ở châu Âu thế kỷ 17

Công thức giải phương trình bậc hai dọc theo đường Al-Khorezmi ở Châu Âu lần đầu tiên được nêu trong Sách Bàn tính, được viết vào năm 1202 bởi nhà toán học người Ý Leonardo Fibonacci. Tác phẩm đồ sộ này, phản ánh ảnh hưởng của toán học, cả từ các quốc gia Hồi giáo và Hy Lạp cổ đại, nổi bật bởi tính đầy đủ và cách trình bày rõ ràng. Tác giả đã độc lập phát triển một số ví dụ đại số mới để giải các bài toán và là người đầu tiên ở Châu Âu tiếp cận việc đưa số âm vào. Cuốn sách của ông đã góp phần phổ biến kiến ​​thức đại số không chỉ ở Ý mà còn ở Đức, Pháp và các nước châu Âu khác. Nhiều bài toán trong Sách Bàn tính đã được sử dụng trong hầu hết các sách giáo khoa châu Âu thế kỷ 16 - 17. và một phần XVIII. Công thức giải phương trình bậc hai ở dạng tổng quát có sẵn ở Viète, nhưng Viète chỉ thừa nhận nghiệm dương. Các nhà toán học người Ý Tartaglia, Cardano, Bombelli nằm trong số những người đầu tiên vào thế kỷ 16. Ngoài những cái tích cực, những gốc âm cũng được tính đến. Chỉ trong thế kỷ 17. Nhờ công trình của Girard, Descartes, Newton và các nhà khoa học khác, phương pháp giải phương trình bậc hai đã có một dạng hiện đại.

Định nghĩa của phương trình bậc hai

Phương trình có dạng ax 2 + bx + c = 0, trong đó a, b, c là các số, gọi là phương trình bậc hai.

Hệ số phương trình bậc hai

Các số a, b, c là các hệ số của phương trình bậc hai, a là hệ số thứ nhất (trước x2), a ≠ 0, b là hệ số thứ hai (trước x), c là số hạng tự do (không có x).

Phương trình nào sau đây không phải là phương trình bậc hai??

1. 4x² + 4x + 1 = 0;2. 5x - 7 = 0;3. - x² - 5x - 1 = 0;4. 2/x2 + 3x + 4 = 0;5. ¼ x² - 6x + 1 = 0;6. 2x² = 0;

7. 4x² + 1 = 0;8. x² - 1/x = 0;9. 2x² - x = 0;10. x² -16 = 0;11. 7x² + 5x = 0;12. -8x²= 0;13. 5x³ +6x -8= 0.

Các loại phương trình bậc hai

Giảm là một phương trình bậc hai trong đó hệ số cao nhất bằng một. Phương trình như vậy có thể thu được bằng cách chia toàn bộ biểu thức cho hệ số dẫn đầu Một:

x 2 + px + q =0, p = b/a, q = c/a

Một phương trình bậc hai được gọi là hoàn chỉnh nếu tất cả các hệ số của nó khác 0.

Một phương trình bậc hai được gọi là không đầy đủ trong đó ít nhất một trong các hệ số, ngoại trừ hệ số dẫn đầu (hệ số thứ hai hoặc số hạng tự do), bằng 0.

Các phương pháp giải phương trình bậc hai

Phương pháp tôi Công thức chung tính căn số

Để tìm nghiệm nguyên của phương trình bậc hai cây rìu 2 + b + c = 0 Nói chung, bạn nên sử dụng thuật toán dưới đây:

Tính giá trị biệt thức của phương trình bậc hai: đây là biểu thức của nó D= b 2 - 4ac

Đạo hàm của công thức:

Ghi chú: Rõ ràng rằng công thức nghiệm của bội số 2 là trường hợp đặc biệt của công thức tổng quát, thu được bằng cách thay đẳng thức D=0 vào đó và kết luận về sự vắng mặt của nghiệm thực tại D0, và (displaystyle (sqrt ( -1))=i) = i.

Phương pháp được trình bày là phổ quát, nhưng nó không phải là phương pháp duy nhất. Việc giải một phương trình có thể được tiếp cận theo nhiều cách khác nhau, với các ưu tiên thường tùy thuộc vào người giải. Ngoài ra, thường vì mục đích này, một số phương pháp trở nên thanh lịch, đơn giản hơn và ít tốn nhiều công sức hơn so với phương pháp tiêu chuẩn.

phương pháp II. Nghiệm của phương trình bậc hai có hệ số chẵn b phương phápIII. Giải phương trình bậc hai không đầy đủ

phương phápIV. Sử dụng tỷ lệ một phần của các hệ số

Có những trường hợp đặc biệt của phương trình bậc hai trong đó các hệ số có mối quan hệ với nhau, khiến chúng dễ giải hơn nhiều.

Nghiệm của phương trình bậc hai trong đó tổng của hệ số cao nhất và số hạng tự do bằng hệ số thứ hai

Nếu trong phương trình bậc hai cây rìu 2 + bx + c = 0 tổng của hệ số thứ nhất và số hạng tự do bằng hệ số thứ hai: a+b=c, thì nghiệm của nó là -1 và là số đối diện với tỉ số của số hạng tự do với hệ số dẫn đầu ( -c/a).

Do đó, trước khi giải bất kỳ phương trình bậc hai nào, bạn nên kiểm tra khả năng áp dụng định lý này vào nó: so sánh tổng của hệ số đầu và số hạng tự do với hệ số thứ hai.

Các nghiệm của phương trình bậc hai có tổng tất cả các hệ số bằng 0

Nếu trong một phương trình bậc hai, tổng của tất cả các hệ số của nó bằng 0 thì nghiệm của phương trình đó là 1 và tỷ số của số hạng tự do với hệ số dẫn đầu ( c/a).

Do đó, trước khi giải phương trình bằng các phương pháp tiêu chuẩn, bạn nên kiểm tra khả năng áp dụng định lý này vào nó: cộng tất cả các hệ số của phương trình này và xem liệu tổng này có bằng 0 hay không.

phương pháp V. Phân tích tam thức bậc hai thành thừa số tuyến tính

Nếu tam thức có dạng (kiểu hiển thị ax^(2)+bx+c(anot =0))ax 2 + bx + c(a ≠ 0) bằng cách nào đó có thể được biểu diễn dưới dạng tích của các thừa số tuyến tính (kiểu hiển thị (kx+m)(lx+n)=0)(kx + m)(lx + n), sau đó chúng ta có thể tìm ra nghiệm của phương trình cây rìu 2 + bx + c = 0- thực ra chúng sẽ là -m/k và n/l (kiểu hiển thị (kx+m)(lx+n)=0Longleftrightarrow kx+m=0cup lx+n=0)(kx + m)(lx + n) = 0 kx + mUlx + n, và sau khi giải các phương trình tuyến tính đã chỉ ra, chúng ta thu được kết quả trên. Lưu ý rằng tam thức bậc hai không phải lúc nào cũng phân hủy thành các thừa số tuyến tính với hệ số thực: điều này có thể thực hiện được nếu phương trình tương ứng có nghiệm thực.

Hãy xem xét một số trường hợp đặc biệt

Sử dụng công thức tính tổng bình phương (chênh lệch)

Nếu tam thức bậc hai có dạng (displaystyle (ax)^(2)+2abx+b^(2))ax 2 + 2abx + b 2 , thì bằng cách áp dụng công thức trên, chúng ta có thể phân tích nó thành thừa số tuyến tính và , do đó, tìm gốc:

(ax) 2 + 2abx + b 2 = (ax + b) 2

Cô lập bình phương đầy đủ của tổng (chênh lệch)

Công thức trên cũng được sử dụng bằng phương pháp gọi là “chọn bình phương đầy đủ của tổng (chênh lệch)”. Liên quan đến phương trình bậc hai ở trên với ký hiệu được giới thiệu trước đó, điều này có nghĩa như sau:

Ghi chú: Nếu bạn để ý, công thức này trùng khớp với công thức được đề xuất trong phần “Các nghiệm của phương trình bậc hai rút gọn”, do đó, có thể thu được từ công thức tổng quát (1) bằng cách thay thế đẳng thức a=1. Thực tế này không chỉ là sự trùng hợp ngẫu nhiên: bằng cách sử dụng phương pháp được mô tả, mặc dù có một số lý do bổ sung, người ta có thể rút ra một công thức chung và cũng có thể chứng minh các tính chất của phân biệt đối xử.

phương phápVI. Sử dụng định lý Vieta trực tiếp và nghịch đảo

Định lý trực tiếp của Vieta (xem bên dưới trong phần cùng tên) và định lý nghịch đảo của nó cho phép bạn giải bằng miệng các phương trình bậc hai trên mà không cần dùng đến các phép tính khá rườm rà bằng công thức (1).

Theo định lý ngược lại, mọi cặp số (số) (kiểu hiển thị x_(1),x_(2))x 1, x 2, là nghiệm của hệ phương trình dưới đây, là nghiệm của phương trình

Trong trường hợp tổng quát, nghĩa là đối với phương trình bậc hai không rút gọn ax 2 + bx + c = 0

x 1 + x 2 = -b/a, x 1 * x 2 = c/a

Định lý trực tiếp sẽ giúp bạn tìm được các số thỏa mãn các phương trình này bằng miệng. Với sự trợ giúp của nó, bạn có thể xác định các dấu hiệu của rễ mà không cần biết chính rễ. Để làm điều này, bạn nên tuân theo quy tắc:

1) nếu số hạng tự do âm thì các nghiệm có dấu khác nhau và giá trị tuyệt đối lớn nhất của các nghiệm có dấu ngược với dấu của hệ số thứ hai của phương trình;

2) nếu số hạng tự do dương thì cả hai nghiệm đều có cùng dấu và đây là dấu ngược với dấu của hệ số thứ hai.

phương pháp VII. Phương thức chuyển khoản

Cái gọi là phương pháp "chuyển" cho phép bạn chuyển nghiệm các phương trình không tối giản và tối giản thành dạng phương trình rút gọn với hệ số nguyên bằng cách chia chúng cho hệ số dẫn đầu thành nghiệm của phương trình rút gọn với hệ số nguyên. Nó như sau:

Tiếp theo, phương trình được giải bằng miệng theo cách mô tả ở trên, sau đó họ quay trở lại biến ban đầu và tìm nghiệm của phương trình (displaystyle y_(1)=ax_(1)) y 1 = cái rìu 1 Và y 2 = cái rìu 2 .(kiểu hiển thị y_(2)=ax_(2))

Ý nghĩa hình học

Đồ thị của hàm số bậc hai là một parabol. Nghiệm (gốc) của phương trình bậc hai là hoành độ của giao điểm của parabol với trục hoành. Nếu parabol mô tả bởi hàm bậc hai không cắt trục x thì phương trình không có nghiệm thực. Nếu một parabol cắt trục x tại một điểm (tại đỉnh của parabol), thì phương trình có một nghiệm thực (phương trình cũng được cho là có hai nghiệm trùng nhau). Nếu parabol cắt trục x tại hai điểm thì phương trình có hai nghiệm thực (xem hình bên phải.)

Nếu hệ số (kiểu hiển thị a) Một dương thì các nhánh của parabol hướng lên trên và ngược lại. Nếu hệ số (kiểu hiển thị b) bdương (nếu dương (kiểu hiển thị a) Một, nếu âm thì ngược lại) thì đỉnh của parabol nằm trong nửa mặt phẳng bên trái và ngược lại.

Ứng dụng phương trình bậc hai trong cuộc sống

Phương trình bậc hai được sử dụng rộng rãi. Nó được sử dụng trong nhiều phép tính, cấu trúc, thể thao và cả xung quanh chúng ta.

Chúng ta hãy xem xét và đưa ra một số ví dụ về ứng dụng của phương trình bậc hai.

Thể thao. Nhảy cao: trong quá trình chạy của vận động viên nhảy, các tính toán liên quan đến parabol được sử dụng để đạt được tác động rõ ràng nhất có thể lên thanh cất cánh và bay cao.

Ngoài ra, tính toán tương tự cũng cần thiết trong việc ném. Phạm vi bay của một vật thể phụ thuộc vào phương trình bậc hai.

Thiên văn học. Quỹ đạo của các hành tinh có thể được tìm thấy bằng phương trình bậc hai.

Chuyến bay. Máy bay cất cánh là thành phần chính của chuyến bay. Ở đây chúng tôi tính toán lực cản thấp và gia tốc cất cánh.

Phương trình bậc hai cũng được sử dụng trong các ngành kinh tế khác nhau, trong các chương trình xử lý đồ họa âm thanh, video, vector và raster.

Phần kết luận

Kết quả của công việc đã hoàn thành là phương trình bậc hai đã thu hút các nhà khoa học thời cổ đại, họ đã gặp phải chúng khi giải một số bài toán và cố gắng giải chúng. Khi xem xét các cách khác nhau để giải phương trình bậc hai, tôi đi đến kết luận rằng không phải tất cả chúng đều đơn giản. Theo tôi, cách tốt nhất để giải phương trình bậc hai là giải chúng bằng công thức. Các công thức rất dễ nhớ, phương pháp này rất phổ biến. Giả thuyết các phương trình được ứng dụng rộng rãi trong đời sống và toán học đã được khẳng định. Sau khi nghiên cứu chủ đề, tôi đã biết được nhiều sự thật thú vị về phương trình bậc hai, cách sử dụng, ứng dụng, dạng, cách giải của chúng. Và tôi sẽ rất vui khi tiếp tục nghiên cứu chúng. Tôi hy vọng điều này sẽ giúp tôi làm tốt các kỳ thi của mình.

Danh sách tài liệu được sử dụng

Tài liệu trang web:

Wikipedia

Mở bài học.rf

Cẩm nang toán tiểu học Vygodsky M. Ya.