Hình parabol nằm ngang. Parabol - tính chất và đồ thị của hàm số bậc hai

Parabol là quỹ tích của các điểm trong mặt phẳng cách đều điểm F cho trước và đường thẳng d cho trước không đi qua điểm đã cho. Định nghĩa hình học này thể hiện thuộc tính thư mục parabol.

Thuộc tính thư mục của một parabol

Điểm F được gọi là trọng tâm của parabol, đường thẳng d được gọi là trực tiếp của parabol, trung điểm O của vuông góc thả từ tiêu điểm xuống ma trận là đỉnh của parabol, cách tiêu điểm là p. ma trận là tham số của parabol và khoảng cách \ frac (p) (2) từ đỉnh của parabol đến tiêu điểm của nó - tiêu cự (Hình 3.45, a). Đường thẳng vuông góc với ma trận và đi qua tiêu điểm được gọi là trục của parabol (trục tiêu điểm của parabol). Đoạn FM nối một điểm M tùy ý của parabol với tiêu điểm của nó được gọi là bán kính tiêu điểm của điểm M. Đoạn thẳng nối hai điểm của parabol được gọi là dây cung của parabol.

Đối với một điểm tùy ý của parabol, tỷ số giữa khoảng cách đến tiêu điểm và khoảng cách tới ma trận bằng một. So sánh các thuộc tính thư mục của elip, hyperbola và parabol, chúng tôi kết luận rằng độ lệch tâm của parabol theo định nghĩa là bằng một (e = 1).

Định nghĩa hình học của một parabol, thể hiện thuộc tính thư mục của nó, tương đương với định nghĩa phân tích của nó - đường thẳng được đưa ra bởi phương trình chính tắc của parabol:

Thật vậy, hãy giới thiệu một hệ tọa độ hình chữ nhật (Hình 3.45, b). Ta lấy đỉnh O của parabol làm gốc của hệ tọa độ; đường thẳng đi qua tiêu điểm vuông góc với ma trận, ta sẽ lấy làm trục abscissa (chiều dương trên đó từ điểm O đến điểm F); một đường thẳng vuông góc với trục abscissa và đi qua đỉnh của parabol, ta sẽ lấy làm trục tung (phương trên trục tung ta chọn sao cho đúng với hệ trục tọa độ Oxy).

Chúng ta hãy soạn phương trình của một parabol bằng cách sử dụng định nghĩa hình học của nó, biểu thị tính chất đạo hàm của parabol. Trong hệ tọa độ đã chọn, ta xác định tọa độ của tiêu điểm F \! \ Left (\ frac (p) (2); \, 0 \ right) và phương trình ma trận trực tiếp x = - \ frac (p) (2). Đối với một điểm M (x, y) tùy ý thuộc một parabol, ta có:

FM = MM_d,

ở đâu M_d \! \ Left (\ frac (p) (2); \, y \ right)- Hình chiếu trực giao của điểm M (x, y) lên ma trận. Chúng tôi viết phương trình này dưới dạng tọa độ:

\ sqrt ((\ left (x- \ frac (p) (2) \ right) \^2+y^2}=x+\frac{p}{2}. !}

Chúng tôi bình phương cả hai vế của phương trình: (\ left (x- \ frac (p) (2) \ right) \^2+y^2=x^2+px+\frac{p^2}{4} !}. Mang lại những điều khoản tương tự, chúng tôi nhận được phương trình parabol chính tắc

Y ^ 2 = 2 \ cdot p \ cdot x, những, cái đó. hệ thống tọa độ đã chọn là chính tắc.

Bằng cách lập luận theo thứ tự ngược lại, có thể chỉ ra rằng tất cả các điểm có tọa độ thỏa mãn phương trình (3.51) và chỉ chúng thuộc quỹ tích của điểm, được gọi là parabol. Do đó, định nghĩa giải tích của một parabol tương đương với định nghĩa hình học của nó, thể hiện thuộc tính thư mục của một parabol.

Phương trình parabol trong tọa độ cực

Phương trình parabol trong hệ tọa độ cực Fr \ varphi (Hình 3.45, c) có dạng

R = \ frac (p) (1-e \ cdot \ cos \ varphi), trong đó p là tham số của parabol và e = 1 là độ lệch tâm của nó.

Trên thực tế, là cực của hệ tọa độ cực, chúng ta chọn tiêu điểm F của parabol, và làm trục cực - một tia có gốc tại điểm F, vuông góc với ma trận và không cắt nó (Hình 3.45, C). Khi đó, đối với một điểm tùy ý M (r, \ varphi) thuộc một parabol, theo định nghĩa hình học (thuộc tính đạo diễn) của một parabol, ta có MM_d = r. Trong chừng mực MM_d = p + r \ cos \ varphi, chúng ta thu được phương trình parabol ở dạng tọa độ:

P + r \ cdot \ cos \ varphi \ quad \ Leftrightarrow \ quad r = \ frac (p) (1- \ cos \ varphi),

Q.E.D. Lưu ý rằng trong tọa độ cực, phương trình của hình elip, hyperbol và parabol trùng nhau, nhưng mô tả các đường khác nhau, vì chúng khác nhau về độ lệch tâm (0 \ leqslant e<1 для эллипса, e=1 для параболы, e>1 cho cường điệu).

Ý nghĩa hình học của tham số trong phương trình parabol

Hãy giải thích ý nghĩa hình học của tham số p trong phương trình parabol chính tắc. Thay x = \ frac (p) (2) vào phương trình (3.51), ta được y ^ 2 = p ^ 2, tức là y = \ pm p. Do đó, tham số p là một nửa độ dài của dây cung parabol đi qua tiêu điểm của nó vuông góc với trục của parabol.

Tham số tiêu điểm của parabol, cũng như đối với hình elip và hyperbol, được gọi là nửa độ dài của dây cung đi qua tiêu điểm của nó vuông góc với trục tiêu điểm (xem Hình 3.45, c). Từ phương trình parabol trong tọa độ cực tại \ varphi = \ frac (\ pi) (2) chúng ta nhận được r = p, tức là tham số parabol trùng với tham số tiêu điểm của nó.

Nhận xét 3.11.

1. Tham số p của một parabol đặc trưng cho hình dạng của nó. Càng nhiều p, các nhánh của parabol càng rộng, p càng gần 0, các nhánh của parabol càng hẹp (Hình 3.46).

2. Phương trình y ^ 2 = -2px (với p> 0) xác định một parabol, nằm bên trái trục y (Hình 3.47, a). Phương trình này được rút gọn thành phương trình chính tắc bằng cách thay đổi hướng của trục x (3.37). Trên hình. 3.47, a biểu diễn hệ tọa độ Oxy đã cho và Ox hình chữ "y".

3. Phương trình (y-y_0) ^ 2 = 2p (x-x_0), \, p> 0 xác định một parabol với đỉnh O "(x_0, y_0) có trục song song với trục abscissa (Hình 3.47.6). Phương trình này được rút gọn thành phương trình chính tắc bằng cách sử dụng phép tịnh tiến song song (3.36).

Phương trình (x-x_0) ^ 2 = 2p (y-y_0), \, p> 0, cũng xác định một parabol có đỉnh O "(x_0, y_0), có trục song song với trục tung (Hình 3.47, c). Phương trình này được rút gọn thành phương trình chính tắc bằng phép tịnh tiến song song (3.36) và đổi tên các trục tọa độ (3.38) Trong hình 3.47, b, c cho thấy hệ tọa độ đã cho Oxy và hệ tọa độ chính tắc Ox "y".

4. y = ax ^ 2 + bx + c, ~ a \ ne0 là một parabol có đỉnh tại điểm O "\! \ Left (- \ frac (b) (2a); \, - \ frac (b ^ 2-4ac) (4a) \ right), có trục song song với trục y, các nhánh của parabol hướng lên trên (đối với a> 0) hoặc hướng xuống (đối với a<0 ). Действительно, выделяя полный квадрат, получаем уравнение

Y = a \ left (x + \ frac (b) (2a) \ right) ^ 2- \ frac (b ^ 2) (4a) + c \ quad \ Leftrightarrow \ quad \! \ Left (x + \ frac (b) (2a) \ right) ^ 2 = \ frac (1) (a) \ left (y + \ frac (b ^ 2-4ac) (4a) \ right) \ !,

được rút gọn thành dạng chuẩn (y ") ^ 2 = 2px", trong đó p = \ left | \ frac (1) (2a) \ right |, bằng cách thay thế y "= x + \ frac (b) (2a) và x "= \ pm \! \ left (y + \ frac (b ^ 2-4ac) (4a) \ right).

Dấu được chọn trùng với dấu của hệ số đứng đầu a. Sự thay thế này tương ứng với thành phần: phép tịnh tiến song song (3,36) với x_0 = - \ frac (b) (2a) và y_0 = - \ frac (b ^ 2-4ac) (4a), đổi tên các trục tọa độ (3.38) và trong trường hợp<0 еще и изменения направления координатной оси (3.37). На рис.3.48,а,б изображены заданные системы координат Oxy и канонические системы координат O"x"y" для случаев a>0 và a<0 соответственно.

5. Trục abscissa của hệ tọa độ chính tắc là trục đối xứng của parabol, vì việc thay đổi biến y thành -y không làm thay đổi phương trình (3.51). Nói cách khác, tọa độ của điểm M (x, y) thuộc parabol và tọa độ của điểm M ”(x, -y), đối xứng với điểm M qua trục abscissa, thỏa mãn phương trình (3. S1). Các trục của hệ tọa độ chính tắc được gọi là các trục chính của parabol.

Ví dụ 3.22. Vẽ parabol y ^ 2 = 2x trong hệ tọa độ chính tắc Oxy. Tìm tham số tiêu điểm, tọa độ tiêu điểm và phương trình ma trận trực tiếp.

Giải pháp. Chúng tôi xây dựng một parabol, có tính đến tính đối xứng của nó đối với trục abscissa (Hình 3.49). Nếu cần, chúng tôi xác định tọa độ của một số điểm của parabol. Ví dụ, thay x = 2 vào phương trình parabol, ta được y ^ 2 = 4 ~ \ Mũi tên trái ~ y = \ pm2. Do đó, các điểm có tọa độ (2; 2), \, (2; -2) thuộc parabol.

So sánh phương trình đã cho với phương trình chính tắc (3.S1), ta xác định được tham số tiêu điểm: p = 1. Tiêu điểm tọa độ x_F = \ frac (p) (2) = \ frac (1) (2), ~ y_F = 0, I E. F \! \ Left (\ frac (1) (2), \, 0 \ right). Chúng tôi soạn phương trình ma trận trực tiếp x = - \ frac (p) (2), tức là x = - \ frac (1) (2).

Tính chất chung của hình elip, hyperbol, parabol

1. Thuộc tính thư mục có thể được sử dụng như một định nghĩa duy nhất của hình elip, hyperbol, parabol (xem Hình 3.50): quỹ tích của các điểm trong mặt phẳng, với mỗi tỷ số giữa khoảng cách đến một điểm F (tiêu điểm) cho trước và khoảng cách đến một đường thẳng d (ma trận) cho trước không đi qua một điểm cho trước là không đổi và bằng độ lệch tâm e, được gọi là:

a) một hình elip nếu 0 \ leqslant e<1 ;

b) hyperbol, nếu e> 1;

c) parabol nếu e = 1.

2. Elip, hyperbol, parabol được các mặt phẳng thu được trong các phần của một hình nón tròn và do đó được gọi là phần conic. Thuộc tính này cũng có thể dùng như một định nghĩa hình học của hình elip, hyperbol, parabol.

3. Các tính chất chung của hình elip, hyperbol và parabol bao gồm tài sản phân giác tiếp tuyến của chúng. Ở dưới đường tiếp tuyếnđối với đoạn thẳng tại một số điểm K của nó được hiểu là vị trí giới hạn của KM tiếp theo khi điểm M, nằm trên đoạn thẳng đang xét, có xu hướng đến điểm K. Đường thẳng vuông góc với đường tiếp tuyến và đi qua tiếp điểm được gọi là thông thườngđến dòng này.

Tính chất phân giác của tiếp tuyến (và pháp tuyến) với một hình elip, hyperbol và parabol được xây dựng như sau: tiếp tuyến (pháp tuyến) với một hình elip hoặc hyperbol tạo thành các góc bằng nhau với bán kính tiêu điểm của điểm tiếp tuyến(Hình 3.51, a, b); tiếp tuyến (pháp tuyến) với parabol tạo thành các góc bằng nhau với bán kính tiêu điểm của điểm tiếp tuyến và vuông góc thả từ nó xuống ma trận(Hình 3.51, c). Nói cách khác, tiếp tuyến của elip tại điểm K là tia phân giác của góc ngoài tam giác F_1KF_2 (và pháp tuyến là tia phân giác của góc trong của tam giác F_1KF_2); Tiếp tuyến của hyperbol là tia phân giác của góc trong của tam giác F_1KF_2 (và pháp tuyến là tia phân giác của góc ngoài); Tiếp tuyến của parabol là tia phân giác của góc trong của tam giác FKK_d (và pháp tuyến là tia phân giác của góc bên ngoài). Tính chất phân giác của một tiếp tuyến với một parabol có thể được xây dựng theo cách tương tự như đối với một hình elip và một hyperbol, nếu chúng ta giả sử rằng parabol có tiêu điểm thứ hai ở vô cùng.

4. Thuộc tính phân giác ngụ ý tính chất quang học của hình elip, hyperbol và parabol, giải thích ý nghĩa vật lý của thuật ngữ "tiêu điểm". Chúng ta hãy tưởng tượng các bề mặt được hình thành bởi sự quay của một hình elip, hyperbol hoặc parabol xung quanh trục tiêu điểm. Nếu phủ một lớp phản xạ lên các bề mặt này thì sẽ thu được các gương hình elip, hypebol và parabol. Theo định luật quang học, góc tới của chùm sáng trên gương bằng góc phản xạ, tức là góc tới. tia tới và tia phản xạ tạo thành những góc bằng nhau với pháp tuyến và cả tia và trục quay đều nằm trong cùng một mặt phẳng. Từ điều này, chúng tôi nhận được các thuộc tính sau:

- nếu nguồn sáng nằm ở một trong các tiêu điểm của gương elip, thì các tia sáng phản xạ từ gương sẽ được thu vào một tiêu điểm khác (Hình 3.52, a);

- nếu nguồn sáng nằm ở một trong những tiêu điểm của gương hypebol, thì các tia sáng phản xạ từ gương sẽ phân kỳ như thể chúng đến từ một tiêu điểm khác (Hình 3.52, b);

- Nếu nguồn sáng là tiêu điểm của gương parabol, thì các tia sáng phản xạ từ gương sẽ đi song song với tiêu điểm (Hình 3.52, c).

5. Thuộc tính Diametral ellipse, hyperbola và parabol có thể được xây dựng như sau:

– các trung điểm của các hợp âm song song của elip (hyperbol) nằm trên cùng một đường thẳng đi qua tâm của elip (hyperbol);

– các trung điểm của các hợp âm song song của parabol nằm trên một đường thẳng, thẳng hàng với trục đối xứng của parabol..

Quỹ tích của các trung điểm của tất cả các hợp âm song song của một hình elip (hyperbol, parabol) được gọi là đường kính hình elip (hyperbol, parabol) liên hợp với những hợp âm này.

Đây là định nghĩa của đường kính theo nghĩa hẹp (xem ví dụ 2.8). Trước đây, định nghĩa đường kính được đưa ra theo nghĩa rộng, trong đó đường kính của hình elip, hyperbol, parabol và các đường bậc hai khác là một đường thẳng chứa các trung điểm của tất cả các hợp âm song song. Theo nghĩa hẹp, đường kính của một hình elip là bất kỳ hợp âm nào đi qua tâm của nó (Hình 3.53, a); đường kính của hyperbol là bất kỳ đường thẳng nào đi qua tâm của hyperbol (ngoại trừ đường không có dấu), hoặc một phần của đường thẳng như vậy (Hình 3.53.6); đường kính của một parabol là bất kỳ tia nào phát ra từ một điểm nào đó của parabol và thẳng hàng với trục đối xứng (Hình 3.53, c).

Hai đường kính, mỗi đường kính chia đôi tất cả các hợp âm song song với đường kính kia, được gọi là liên hợp. Trong Hình 3.53, các đường đậm hiển thị các đường kính liên hợp của một hình elip, hyperbol và parabol.

Tiếp tuyến của một hình elip (hyperbol, parabol) tại điểm K có thể được xác định là vị trí giới hạn của các phần song song M_1M_2 khi các điểm M_1 và M_2, còn lại trên đường đang xét, có xu hướng hướng tới điểm K. Từ định nghĩa này, tiếp tuyến song song với các hợp âm đi qua điểm cuối của đường kính liên hợp với các hợp âm này.

6. Elip, hyperbol và parabol, ngoài các tính chất trên, nhiều tính chất hình học và ứng dụng vật lý. Ví dụ, Hình 3.50 có thể dùng như một minh họa về quỹ đạo chuyển động của các vật thể không gian nằm trong vùng lân cận của trọng tâm F của lực hút.

Javascript bị tắt trong trình duyệt của bạn.
Các điều khiển ActiveX phải được kích hoạt để thực hiện các phép tính!

Một parabol là quỹ tích của các điểm, với mỗi điểm, khoảng cách đến một điểm cố định nào đó của mặt phẳng, được gọi là tiêu điểm, bằng khoảng cách đến một đường cố định nào đó, được gọi là ma trận (giả thiết rằng đường thẳng này không đi qua trọng tâm).

Trọng tâm của một parabol thường được ký hiệu bằng chữ cái F, khoảng cách từ tiêu điểm đến thư trực tiếp R. giá trị Pđã gọi tham số các đường parabol. Hình ảnh của một parabol được cho trong hình. 61 (người đọc sẽ có lời giải thích đầy đủ về hình vẽ này sau khi đọc vài đoạn tiếp theo).

Nhận xét. Theo quy định P° 100 nói rằng parabol có độ lệch tâm =1.

Cho một số parabol đã cho (đồng thời, chúng ta coi tham số đã cho R). Hãy để chúng tôi giới thiệu một hệ tọa độ Descartes hình chữ nhật trên mặt phẳng, các trục của chúng sẽ được định vị theo một cách đặc biệt đối với parabol đã cho. Cụ thể, chúng ta vẽ trục abscissa qua tiêu điểm vuông góc với ma trận và coi nó hướng từ ma trận đến tiêu điểm; Gốc tọa độ nằm ở giữa tiêu điểm và giám đốc (Hình 61). Hãy suy ra phương trình của parabol đã cho trong hệ tọa độ này.

Lấy một điểm tùy ý trên mặt phẳng M và biểu thị tọa độ của nó bằng X Và y. Ghi chú thêm bởi r khoảng cách từ điểm M tập trung (r = FM), bên kia r- khoảng cách từ điểm M cho giám đốc. Chấm M sẽ nằm trên một parabol (đã cho) nếu và chỉ khi

Để có được phương trình mong muốn, trong đẳng thức (1) cần thay thế các biến r Và Nhưng biểu thức của chúng dưới dạng tọa độ hiện tại x, y. Lưu ý rằng tiêu điểm F có tọa độ; tính đến điều này và áp dụng công thức (2) P° 18. tìm:

(2)

Biểu thị bởi Q cơ sở của một vuông góc từ một điểm M cho giám đốc. Rõ ràng là điểm Q có tọa độ; từ đây và từ công thức (2) P° 18 chúng tôi nhận được:

(3),

(khi giải nén gốc, chúng tôi lấy dấu của chúng tôi, vì - là một số dương; điều này xuất phát từ thực tế là điểm M (x; y) phải được đặt ở phía bên của ma trận trực tiếp nơi tiêu điểm, tức là nó phải x>, khi đó Thay thế trong đẳng thức (1) r và d biểu thức của chúng (2) và (3), chúng tôi tìm thấy:

(4)

Đây là phương trình của parabol được coi trong hệ tọa độ được gán, vì nó được thỏa mãn bởi tọa độ của điểm M (x; y) nếu và chỉ nếu điểm M nằm trên parabol này.

Muốn phương trình của một parabol ở dạng đơn giản hơn, ta bình phương cả hai vế của đẳng thức (4); chúng tôi nhận được:

(5),

Phương trình (6) được chúng tôi suy ra như một hệ quả của phương trình (4). Dễ dàng chứng minh rằng phương trình (4) lần lượt có thể được suy ra như một hệ quả của phương trình (6). Thật vậy, phương trình (5) được suy ra từ phương trình (6) một cách hiển nhiên (“lùi”); xa hơn, từ phương trình (5) chúng ta có.

Nghề nghiệp 10 . Các đường cong của bậc hai.

10.1. Hình elip. Phương trình chính tắc. Nửa trục, độ lệch tâm, đồ thị.

10.2. Hyperbol. Phương trình chính tắc. Dấu bán nghi, độ lệch tâm, dấu không triệu chứng, đồ thị.

10.3. Hình parabol. Phương trình chính tắc. Tham số parabol, đồ thị.

Các đường cong của bậc thứ hai trong mặt phẳng được gọi là đường, đặc điểm kỹ thuật ngầm của nó có dạng:

ở đâu
- số thực đã cho,
- tọa độ của các điểm đường cong. Các đường quan trọng nhất trong số các đường cong bậc hai là elip, hyperbol, parabol.

10.1. Hình elip. Phương trình chính tắc. Nửa trục, độ lệch tâm, đồ thị.

Định nghĩa hình elip.Hình elip là một đường cong phẳng có tổng khoảng cách từ hai điểm cố định
máy bay đến bất kỳ điểm nào

(những, cái đó.). điểm
được gọi là foci của hình elip.

Phương trình hình nón của một hình elip:
. (2)

(hoặc trục
) đi qua foci
, và nguồn gốc là một điểm - nằm ở trung tâm của phân khúc
(Hình 1). Elip (2) đối xứng với các trục tọa độ và gốc tọa độ (tâm của elip). Dài hạn
,
đã gọi bán trục của hình elip.

Nếu hình elip được cho bởi phương trình (2), thì foci của elip được tìm thấy như sau.

1) Đầu tiên, chúng tôi xác định vị trí của các tiêu điểm: các tiêu điểm nằm trên trục tọa độ mà trên đó các bán trục chính nằm trên đó.

2) Sau đó, độ dài tiêu cự được tính (khoảng cách từ điểm đến gốc).

Tại
tiêu điểm nằm trên trục
;
;
.

độ lệch tâm ellipse được gọi là giá trị: (tại
);(tại
).

Hình elip luôn có
. Độ lệch tâm là một đặc điểm của lực nén của hình elip.

Nếu di chuyển hình elip (2) sao cho tâm của elip ở điểm

,
, thì phương trình của hình elip thu được có dạng

10.2. Hyperbol. Phương trình chính tắc. Dấu bán nghi, độ lệch tâm, dấu không triệu chứng, đồ thị.

Định nghĩa hyperbol.Một hyperbol là một đường cong phẳng, trong đó giá trị tuyệt đối của sự khác biệt về khoảng cách từ hai điểm cố định
máy bay đến bất kỳ điểm nào
đường cong này là một hằng số độc lập với điểm
(những, cái đó.). điểm
được gọi là tiêu điểm của hyperbola.

Phương trình hình nón của một hyperbol:
hoặc
. (3)

Một phương trình như vậy đạt được nếu trục tọa độ
(hoặc trục
) đi qua foci
, và nguồn gốc là một điểm - nằm ở trung tâm của phân khúc
. Các hypebol (3) đối xứng với các trục tọa độ và gốc tọa độ. Dài hạn
,
đã gọi bán cực đại của hyperbola.

Tiêu điểm của hyperbola được tìm thấy như sau.

Tại cường điệu
tiêu điểm nằm trên trục
:
(Hình 2.a).

Tại cường điệu
tiêu điểm nằm trên trục
:
(Hình 2.b)

Đây - tiêu cự (khoảng cách từ tiêu điểm đến gốc). Nó được tính theo công thức:
.

độ lệch tâm hyperbola được gọi là giá trị:

(vì
);(vì
).

Cường điệu luôn có
.

Triệu chứng của hyperbolas(3) là hai đường thẳng:
. Cả hai nhánh của hyperbola đều tiếp cận vô thời hạn các nhánh không có triệu chứng như .

Việc xây dựng một đồ thị của một hyperbol phải được thực hiện như sau: đầu tiên, dọc theo các bánaxit
chúng ta xây dựng một hình chữ nhật phụ với các cạnh song song với các trục tọa độ; sau đó chúng ta vẽ các đường thẳng qua các đỉnh đối diện của hình chữ nhật này, đây là các đường không có nếp gấp của hyperbol; cuối cùng, chúng tôi mô tả các nhánh của hyperbol, chúng chạm vào điểm giữa của các cạnh tương ứng của hình chữ nhật phụ và tiếp cận với sự tăng trưởng thành không có triệu chứng (Hình 2).

Nếu các hypebol (3) được di chuyển để tâm của chúng nằm trên điểm
, và các bán trục sẽ vẫn song song với các trục
,
, thì phương trình của các hypebol kết quả có thể được viết dưới dạng

,
.

10.3. Hình parabol. Phương trình chính tắc. Tham số parabol, đồ thị.

Định nghĩa của một parabol.Parabol là một đường cong mặt phẳng, trong đó bất kỳ điểm nào
đường cong này là khoảng cách từ
đến một điểm cố định mặt phẳng (được gọi là trọng tâm của parabol) bằng khoảng cách từ
đến một đường cố định trên mặt phẳng(được gọi là ma trận trực tiếp của parabol) .

Phương trình parabol hình nón:
, (4)

ở đâu là một hằng số được gọi là tham số các đường parabol.

Chấm
parabol (4) được gọi là đỉnh của parabol. Trục
là trục đối xứng. Trọng tâm của parabol (4) là tại điểm
, phương trình ma trận trực tiếp
. Biểu đồ hình parabol (4) với các giá trị
Và
được hiển thị trong hình. 3.a và 3.b tương ứng.

Phương trình
cũng xác định một parabol trong mặt phẳng
, so với parabol (4), có trục
,
đổi chỗ.

Nếu parabol (4) được di chuyển để đỉnh của nó chạm vào điểm
, và trục đối xứng sẽ vẫn song song với trục
, thì phương trình của parabol thu được có dạng

Hãy chuyển sang các ví dụ.

ví dụ 1. Đường cong bậc hai được cho bởi phương trình
. Đặt tên cho đường cong này. Tìm tiêu điểm và độ lệch tâm của nó. Vẽ một đường cong và tiêu điểm của nó trong một mặt phẳng
.

Giải pháp. Đường cong này là một hình elip có tâm tại điểm
và trục trục
. Điều này có thể dễ dàng xác minh bằng cách thay thế
. Phép biến đổi này có nghĩa là chuyển từ một hệ tọa độ Descartes đã cho
sang hệ tọa độ Descartes mới
, trục của ai
song song với các trục
,
. Phép biến đổi tọa độ này được gọi là phép dời hình.
một cách chính xác . Trong hệ tọa độ mới
phương trình của đường cong được chuyển đổi thành phương trình chính tắc của hình elip
, đồ thị của nó được hiển thị trong Hình. 4.

Hãy cùng tìm thủ thuật.
, vì vậy các thủ thuật
hình elip nằm trên trục
.. Trong hệ tọa độ
:
. Tại vì
, trong hệ tọa độ cũ
tiêu điểm có tọa độ.

Ví dụ 2. Cho biết tên của đường cong bậc hai và cho biết đồ thị của nó.

Giải pháp. Chúng tôi chọn các ô vuông đầy đủ theo các thuật ngữ có chứa các biến Và .

Bây giờ, phương trình đường cong có thể được viết lại thành:

Do đó, đường cong đã cho là một hình elip có tâm tại điểm
và trục trục
. Thông tin thu được cho phép chúng ta vẽ đồ thị của nó.

Ví dụ 3. Đặt tên và vẽ biểu đồ đường
.

Giải pháp. . Đây là phương trình chính tắc của một hình elip có tâm tại một điểm
và trục trục
.

Trong chừng mực,
, chúng tôi kết luận: phương trình đã cho xác định trên mặt phẳng
nửa dưới của hình elip (Hình 5).

Ví dụ 4. Cho biết tên của đường cong bậc hai
. Tìm thủ đoạn của cô ấy, tính cách lập dị. Cho đồ thị của đường cong này.

- phương trình chính tắc của một hyperbol với bánaxit
.

Độ dài tiêu cự.

Dấu trừ đứng trước thuật ngữ có , vì vậy các thủ thuật
hyperbolas nằm trên trục
:. Các nhánh của hyperbol nằm ở trên và dưới trục
.

là độ lệch tâm của hyperbol.

Các triệu chứng của một hyperbola:.

Việc xây dựng đồ thị của hyperbol này được thực hiện theo quy trình trên: ta dựng một hình chữ nhật phụ, vẽ các đường không gấp khúc của hyperbol, vẽ các nhánh của hyperbol (xem hình 2.b).

Ví dụ 5. Tìm dạng của đường cong được cho bởi phương trình
và vẽ nó.

- hyperbola tập trung tại một điểm
và nửa trục.

Tại vì , chúng tôi kết luận: phương trình đã cho xác định phần của hyperbol nằm bên phải đường
. Tốt hơn là vẽ một hyperbol trong một hệ tọa độ bổ trợ
thu được từ hệ tọa độ
sự thay đổi
, và sau đó với một đường dày, chọn phần mong muốn của hyperbola

Ví dụ 6. Tìm loại đường cong và vẽ đồ thị của nó.

Giải pháp. Chọn hình vuông đầy đủ theo các điều khoản có biến :

Hãy viết lại phương trình của đường cong.

Đây là phương trình của một parabol có đỉnh tại điểm
. Bằng một phép biến đổi dịch chuyển, phương trình parabol được rút gọn về dạng chính tắc
, từ đó có thể xem đó là tham số của parabol. Tiêu điểm parabol trong hệ thống
có tọa độ
,, và trong hệ thống
(theo sự chuyển dịch). Đồ thị parabol được hiển thị trong hình. 7.

Bài tập về nhà.

1. Vẽ các hình elip cho trước bởi các phương trình:
Tìm các bán tiêu, tiêu cự, độ lệch tâm của chúng và chỉ ra trên đồ thị hình elip vị trí của các tiêu điểm của chúng.

2. Vẽ các hypebol cho bởi phương trình:
Tìm bán trục, tiêu cự, độ lệch tâm của chúng và chỉ ra trên đồ thị của các hypebol vị trí của các tiêu điểm của chúng. Viết phương trình các nghiệm của các hypebol đã cho.

3. Vẽ các parabol đã cho bởi phương trình:
. Tìm tham số, tiêu cự của chúng và cho biết vị trí của tiêu điểm trên đồ thị parabol.

4. Phương trình
xác định một phần của đường cong của bậc 2. Tìm phương trình chính tắc của đường cong này, viết ra tên của nó, xây dựng đồ thị và chọn trên đó phần đường cong tương ứng với phương trình ban đầu.

Làm thế nào để xây dựng một parabol? Có một số cách để vẽ đồ thị của một hàm số bậc hai. Mỗi người trong số họ có ưu và nhược điểm của nó. Hãy xem xét hai cách.

Hãy bắt đầu bằng cách vẽ một hàm bậc hai như y = x² + bx + c và y = -x² + bx + c.

Ví dụ.

Vẽ đồ thị của hàm số y = x² + 2x-3.

Giải pháp:

y = x² + 2x-3 là hàm số bậc hai. Biểu đồ là một parabol có các nhánh lên trên. Tọa độ đỉnh parabol

Từ đỉnh (-1; -4) ta xây dựng được đồ thị của parabol y = x² (từ gốc tọa độ. Thay vào (0; 0) - đỉnh (-1; -4). Từ (-1; - 4) chúng ta sang phải 1 đơn vị và lên 1, sau đó sang trái 1 và lên 1, sau đó: 2 - phải, 4 - lên, 2 - trái, 4 - lên, 3 - phải, 9 - lên, 3 - trái, 9 - lên. 7 điểm này là không đủ, sau đó - 4 sang phải, 16 - lên, v.v.).

Đồ thị của hàm số bậc hai y = -x² + bx + c là một parabol có các nhánh hướng xuống dưới. Để xây dựng một đồ thị, chúng tôi đang tìm tọa độ của đỉnh và từ đó chúng tôi xây dựng một parabol y = -x².

Ví dụ.

Vẽ đồ thị của hàm số y = -x² + 2x + 8.

Giải pháp:

y = -x² + 2x + 8 là hàm số bậc hai. Biểu đồ là một parabol có các nhánh hướng xuống. Tọa độ đỉnh parabol

Từ trên cùng, chúng ta xây dựng một parabol y = -x² (1 - phải, 1 - xuống; 1 - trái, 1 - xuống; 2 - phải, 4 - xuống; 2 - trái, 4 - xuống, v.v.):

Phương pháp này cho phép bạn xây dựng một parabol một cách nhanh chóng và không gây khó khăn nếu bạn biết cách vẽ đồ thị của các hàm y = x² và y = -x². Nhược điểm: nếu tọa độ đỉnh là số phân số, việc lập kế hoạch không thuận lợi lắm. Nếu bạn muốn biết giá trị chính xác của các giao điểm của biểu đồ với trục x, bạn sẽ phải giải thêm phương trình x² + bx + c = 0 (hoặc -x² + bx + c = 0), ngay cả khi những điểm này có thể được xác định trực tiếp từ hình vẽ.

Một cách khác để xây dựng parabol là theo các điểm, tức là bạn có thể tìm một số điểm trên đồ thị và vẽ một parabol qua chúng (có tính đến đường thẳng x = xₒ là trục đối xứng của nó). Thông thường, đối với điều này, họ lấy đỉnh của parabol, các giao điểm của biểu đồ với các trục tọa độ và 1-2 điểm bổ sung.

Vẽ đồ thị của hàm số y = x² + 5x + 4.

Giải pháp:

y = x² + 5x + 4 là hàm số bậc hai. Biểu đồ là một parabol có các nhánh lên trên. Tọa độ đỉnh parabol

nghĩa là đỉnh của parabol là điểm (-2,5; -2,25).

Đang tìm . Tại giao điểm với trục Ox y = 0: x² + 5x + 4 = 0. Nghiệm của phương trình bậc hai x1 \ u003d -1, x2 \ u003d -4, tức là chúng nhận được hai điểm trên đồ thị (-1; 0) và (-4; 0).

Tại giao điểm của đồ thị với trục Oy x = 0: y = 0² + 5 ∙ 0 + 4 = 4. Được một điểm (0; 4).

Để tinh chỉnh biểu đồ, bạn có thể tìm thêm một điểm. Hãy lấy x = 1, khi đó y = 1² + 5 ∙ 1 + 4 = 10, nghĩa là, một điểm nữa của đồ thị - (1; 10). Chúng tôi đánh dấu các điểm này trên mặt phẳng tọa độ. Tính đến tính đối xứng của parabol đối với đường thẳng đi qua đỉnh của nó, chúng ta đánh dấu thêm hai điểm: (-5; 6) và (-6; 10) và vẽ một parabol qua chúng:

Vẽ đồ thị của hàm số y = -x²-3x.

Giải pháp:

y = -x²-3x là hàm số bậc hai. Biểu đồ là một parabol có các nhánh hướng xuống. Tọa độ đỉnh parabol

Đỉnh (-1,5; 2,25) là điểm đầu tiên của parabol.

Tại các giao điểm của đồ thị với trục x y = 0, ta giải phương trình -x²-3x = 0. Các gốc của nó là x = 0 và x = -3, nghĩa là (0; 0) và (-3; 0) là hai điểm nữa trên đồ thị. Điểm (o; 0) cũng là giao điểm của parabol với trục y.

Tại x = 1 y = -1²-3 ∙ 1 = -4, tức là (1; -4) là một điểm bổ sung để vẽ biểu đồ.

Xây dựng một parabol từ các điểm là một phương pháp tốn nhiều thời gian hơn so với phương pháp đầu tiên. Nếu parabol không cắt trục Ox thì cần thêm nhiều điểm khác.

Trước khi chúng ta tiếp tục vẽ các hàm số bậc hai có dạng y = ax² + bx + c, chúng ta hãy xem xét việc vẽ các hàm số bằng cách sử dụng các phép biến đổi hình học. Đồ thị của các hàm có dạng y = x² + c cũng thuận tiện nhất để xây dựng bằng cách sử dụng một trong các phép biến đổi này - phép tịnh tiến song song.

Phiếu tự đánh giá: |

Nhiều vấn đề kỹ thuật, kinh tế và xã hội được dự đoán bằng cách sử dụng các đường cong. Loại được sử dụng nhiều nhất trong số đó là hình parabol, hay đúng hơn là một nửa của nó. Một thành phần quan trọng của bất kỳ đường cong parabol nào là đỉnh của nó, việc xác định tọa độ chính xác của tọa độ đó đôi khi đóng một vai trò quan trọng không chỉ trong việc hiển thị chính quá trình mà còn cho các kết luận tiếp theo. Làm thế nào để tìm tọa độ chính xác của nó sẽ được thảo luận trong bài viết này.

Liên hệ với

Bắt đầu tìm kiếm

Trước khi chuyển sang tìm tọa độ của đỉnh parabol, chúng ta hãy làm quen với định nghĩa và các tính chất của nó. Theo nghĩa cổ điển, một parabol là một sự sắp xếp của các điểm mà xa ở cùng một khoảng cách từ một điểm cụ thể(tiêu điểm, điểm F), cũng như từ một đường thẳng không đi qua điểm F. Hãy xem xét định nghĩa này chi tiết hơn trong Hình 1.

Hình 1. Hình chiếu cổ điển của một parabol

Hình bên cho thấy dạng cổ điển. Tiêu điểm là điểm F. Trong trường hợp này, ma trận sẽ được coi là đường thẳng của trục Y (được tô màu đỏ). Từ định nghĩa, người ta có thể chắc chắn rằng hoàn toàn bất kỳ điểm nào của đường cong, không tính tiêu điểm, đều có một điểm tương tự ở phía bên kia, bị loại bỏ ở cùng khoảng cách với trục đối xứng với chính nó. Hơn nữa, khoảng cách từ bất kỳ điểm nào trên parabol bằng khoảng cách đến ma trận trực tiếp. Nhìn về phía trước, giả sử rằng tâm của hàm không nhất thiết phải ở gốc, và các nhánh có thể được hướng theo các hướng khác nhau.

Một parabol, giống như bất kỳ hàm nào khác, có ký hiệu riêng của nó ở dạng công thức:

Trong công thức này, chữ "s" biểu thị tham số parabol, bằng khoảng cách từ tiêu điểm đến ma trận. Ngoài ra còn có một hình thức ghi khác, được biểu thị bằng GMT, có dạng:

Công thức như vậy được sử dụng để giải các bài toán từ lĩnh vực phân tích toán học và được sử dụng thường xuyên hơn công thức truyền thống (do tính tiện lợi). Trong thời gian tới, chúng tôi sẽ tập trung vào bản thu thứ hai.

Hay đấy!: bằng chứng

Tính toán các hệ số và các điểm chính của parabol

Trong số các tham số chính, thông thường bao gồm vị trí của đỉnh trên trục abscissa, tọa độ của đỉnh trên trục tọa độ và tham số directrix.

Giá trị số của tọa độ đỉnh trên trục x

Nếu phương trình parabol được cho ở dạng cổ điển (1), thì giá trị của abscissa tại điểm mong muốn sẽ bằng một nửa giá trị của tham số s(một nửa khoảng cách giữa ma trận và tiêu điểm). Nếu hàm được trình bày dưới dạng (2) thì không x được tính theo công thức:

Tức là, nhìn vào công thức này, có thể lập luận rằng đỉnh sẽ nằm ở nửa bên phải so với trục y nếu một trong các tham số a hoặc b nhỏ hơn 0.

Phương trình ma trận trực tiếp được cho bởi phương trình sau:

Giá trị đỉnh trên trục y

Giá trị số của vị trí của đỉnh cho công thức (2) trên trục y có thể được tìm thấy bằng cách sử dụng công thức sau:

Từ đó, chúng ta có thể kết luận rằng nếu<0, то đỉnh của đường cong sẽ nằm trong nửa mặt phẳng trên, nếu không, ở dưới cùng. Trong trường hợp này, các điểm của parabol sẽ có cùng các thuộc tính đã được đề cập trước đó.

Nếu ký hiệu cổ điển được đưa ra, thì sẽ hợp lý hơn khi tính giá trị của vị trí của đỉnh trên trục abscissa, và thông qua đó giá trị tiếp theo của tọa độ. Lưu ý rằng đối với ký hiệu (2), trục đối xứng của parabol, trong biểu diễn cổ điển, sẽ trùng với trục y.

Quan trọng! Khi giải các công việc bằng phương trình parabol, trước hết, hãy đánh dấu các giá trị chính \ u200b \ u200 đã biết. Hơn nữa, nó sẽ hữu ích nếu các tham số bị thiếu được xác định. Cách tiếp cận này sẽ mang lại nhiều "chỗ để điều động" trước và một giải pháp hợp lý hơn. Trong thực tế, hãy thử sử dụng ký hiệu (2). Nó dễ hiểu hơn (bạn không cần phải "lật tọa độ của Descartes"), hơn nữa, phần lớn các nhiệm vụ được điều chỉnh đặc biệt cho dạng ký hiệu này.

Xây dựng đường cong kiểu parabol

Sử dụng một ký hiệu chung, trước khi xây dựng một parabol, cần phải tìm đỉnh của nó. Nói một cách đơn giản, bạn cần thực hiện thuật toán sau:

Tìm tọa độ của một đỉnh trên trục x.
Tìm tọa độ của vị trí đỉnh trên trục Y.
Thay các giá trị khác nhau của biến phụ thuộc X, tìm các giá trị Y tương ứng và vẽ đường cong.

Những, cái đó. thuật toán không có gì phức tạp, trọng tâm chính là cách tìm đỉnh của parabol. Quá trình xây dựng tiếp theo có thể được coi là cơ học.

Với điều kiện đã cho ba điểm, đã biết tọa độ của chúng, thì trước hết cần thiết lập phương trình của chính parabol, và sau đó lặp lại quy trình đã được mô tả trước đó. Tại vì trong phương trình (2) có 3 hệ số, sau đó, sử dụng tọa độ của các điểm, chúng tôi tính từng hệ số:

(5.1).

(5.2).

(5.3).

Trong công thức (5.1), (5.2), (5.3) tương ứng, những điểm đã biết được sử dụng (ví dụ, A (, B (, C (. Bằng cách này, chúng ta tìm phương trình của một parabol tại 3 điểm). Từ quan điểm thực tế, cách tiếp cận này không phải là "dễ chịu" nhất, nhưng nó cho một kết quả rõ ràng, trên cơ sở đó đường cong được xây dựng sau đó.

Khi xây dựng một parabol, luôn luôn phải có một trục đối xứng. Công thức trục đối xứng để viết (2) sẽ giống như sau:

Những, cái đó. Không khó để tìm ra trục đối xứng mà tất cả các điểm của đường cong đều đối xứng. Chính xác hơn, nó bằng tọa độ đầu tiên của đỉnh.

ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Giả sử chúng ta có một phương trình parabol:

Yêu cầu tìm tọa độ đỉnh của parabol và kiểm tra xem điểm D (10; 5) có thuộc đường cong đã cho hay không.

Giải pháp: Trước hết, chúng tôi kiểm tra xem điểm được đề cập có thuộc về chính đường cong không

Từ đó ta kết luận rằng điểm xác định không thuộc đường cong đã cho. Tìm tọa độ đỉnh của parabol. Từ công thức (4) và (5) chúng ta thu được dãy sau:

Nó chỉ ra rằng các tọa độ ở trên cùng, tại điểm O, là như sau (-1,25; -7,625). Điều này có nghĩa là parabol bắt nguồn từ góc phần tư thứ 3 của hệ Descartes tọa độ.

Ví dụ 2. Tìm đỉnh của parabol, biết ba điểm thuộc nó: A (2; 3), B (3; 5), C (6; 2). Sử dụng các công thức (5.1), (5.2), (5.3), chúng ta tìm được các hệ số của phương trình parabol. Chúng tôi nhận được những điều sau đây:

Sử dụng các giá trị thu được, chúng tôi thu được phương trình sau:

Trong hình, hàm đã cho sẽ như thế này (Hình 2):

Hình 2. Đồ thị của một parabol đi qua 3 điểm

Những, cái đó. một đồ thị parabol đi qua ba điểm cho trước sẽ có một đỉnh ở góc phần tư thứ nhất. Tuy nhiên, các nhánh của đường cong này hướng xuống dưới; có một phần bù của parabol từ điểm gốc. Việc xây dựng như vậy có thể được dự đoán trước bằng cách chú ý đến các hệ số a, b, c.

Đặc biệt, nếu a<0, то ветки» будут направлены вниз. При a>1 thì đường cong sẽ bị kéo căng, và nếu nhỏ hơn 1 thì đường cong sẽ bị nén.

Hằng số c chịu trách nhiệm cho "chuyển động" của đường cong dọc theo trục y. Nếu c> 0, thì parabol sẽ "leo" lên, nếu không thì xuống. Về hệ số b, có thể xác định mức độ ảnh hưởng chỉ bằng cách thay đổi dạng của phương trình, đưa về dạng sau:

Nếu hệ số b> 0 thì tọa độ của đỉnh parabol sẽ dịch sang phải b đơn vị, nếu nhỏ hơn thì chuyển sang trái b đơn vị.

Quan trọng! Việc sử dụng các phương pháp xác định độ dời của một parabol trên mặt phẳng tọa độ đôi khi giúp tiết kiệm thời gian khi giải bài toán hoặc tìm hiểu về giao điểm có thể có của một parabol với một đường cong khác ngay cả trước khi xây dựng. Thông thường họ chỉ nhìn vào hệ số a, vì chính anh ta là người đưa ra câu trả lời rõ ràng cho câu hỏi được đặt ra.

Video hữu ích: cách tìm đỉnh của parabol

Video hữu ích: cách dễ dàng viết phương trình parabol từ đồ thị

Đầu ra

Chẳng hạn như một quá trình đại số, chẳng hạn như xác định các đỉnh của một parabol, không khó, nhưng đồng thời khá mất công. Trong thực tế, họ cố gắng sử dụng dạng ký hiệu thứ hai để dễ hiểu về giải pháp đồ họa và giải pháp nói chung. Do đó, chúng tôi thực sự khuyên bạn chỉ nên sử dụng một cách tiếp cận như vậy, và nếu bạn không nhớ các công thức tọa độ đỉnh, thì ít nhất hãy có một bảng gian lận.