Máy tính kết hợp có thể có. Kết hợp không lặp lại: Các phép kết hợp trong MS EXCEL

Bài viết này sẽ tập trung vào một nhánh đặc biệt của toán học được gọi là tổ hợp. Công thức, quy tắc, ví dụ về giải quyết vấn đề - tất cả những điều này bạn có thể tìm thấy ở đây bằng cách đọc đến cuối bài báo.

Vậy phần này là gì? Phép tổ hợp giải quyết vấn đề đếm bất kỳ đối tượng nào. Nhưng trong trường hợp này, các đối tượng không phải là mận, lê hay táo, mà là một thứ khác. Phép toán tổ hợp giúp chúng ta tìm xác suất của một sự kiện. Ví dụ, khi chơi bài - xác suất đối thủ có quân bài tẩy là bao nhiêu? Hoặc một ví dụ như vậy - xác suất bạn nhận được chính xác màu trắng từ một túi hai mươi quả bóng là bao nhiêu? Đối với loại nhiệm vụ này, chúng ta cần biết ít nhất những điều cơ bản của phần toán học này.

Cấu hình kết hợp

Xem xét câu hỏi về các khái niệm và công thức cơ bản của tổ hợp, chúng ta không thể không chú ý đến các cấu hình tổ hợp. Chúng không chỉ được sử dụng để xây dựng công thức, mà còn để giải quyết các ví dụ khác nhau về các mô hình như vậy:

chỗ ở;
hoán vị;
sự kết hợp;
thành phần số;
chia số.

Chúng ta sẽ nói chi tiết hơn về ba phần đầu tiên ở phần sau, nhưng chúng tôi sẽ chú ý đến bố cục và cách chia nhỏ trong phần này. Khi họ nói về thành phần của một số nhất định (giả sử, a), họ có nghĩa là biểu diễn của số a dưới dạng tổng có thứ tự của một số số dương. Một phép chia là một tổng không có thứ tự.

Phần

Trước khi chúng ta đi thẳng vào các công thức của tổ hợp và xem xét các vấn đề, cần chú ý đến thực tế là tổ hợp, giống như các nhánh khác của toán học, có các phần phụ riêng của nó. Bao gồm các:

kiểu liệt kê;
cấu trúc;
vô cùng;
Lý thuyết Ramsey;
xác suất;
tôpô;
nội bộ.

Trong trường hợp đầu tiên, chúng ta đang nói về tổ hợp liệt kê, các bài toán xem xét việc liệt kê hoặc đếm các cấu hình khác nhau được tạo thành bởi các phần tử của tập hợp. Theo quy định, một số hạn chế được áp dụng đối với các bộ này (khả năng phân biệt, không thể phân biệt, khả năng lặp lại, v.v.). Và số lượng các cấu hình này được tính bằng cách sử dụng quy tắc cộng hoặc nhân, mà chúng ta sẽ nói về một chút sau. Tổ hợp cấu trúc bao gồm các lý thuyết về đồ thị và ma trận. Một ví dụ về bài toán tổ hợp cực trị là kích thước lớn nhất của đồ thị thỏa mãn các tính chất sau là gì ... Trong đoạn thứ tư, chúng tôi đã đề cập đến lý thuyết Ramsey, lý thuyết nghiên cứu sự hiện diện của các cấu trúc thông thường trong các cấu hình ngẫu nhiên. Tổ hợp xác suất có thể trả lời câu hỏi - xác suất mà một tập hợp nhất định có một đặc tính nhất định là gì. Như bạn có thể đoán, tổ hợp tôpô áp dụng các phương pháp trong tôpô. Và, cuối cùng, điểm thứ bảy - tổ hợp nội đơn nghiên cứu việc áp dụng các phương pháp tổ hợp cho các tập hợp vô hạn.

Quy tắc bổ sung

Trong số các công thức của tổ hợp, ta cũng có thể tìm thấy những công thức khá đơn giản mà chúng ta đã quen thuộc từ lâu. Một ví dụ là quy tắc tổng. Giả sử chúng ta được cung cấp hai hành động (C và E), nếu chúng loại trừ lẫn nhau, hành động C có thể được thực hiện theo một số cách (ví dụ, a) và hành động E có thể được thực hiện theo cách b, thì bất kỳ hành động nào trong số chúng (C hoặc E) có thể được thực hiện theo các cách a + b.

Về lý thuyết, điều này khá khó hiểu, chúng tôi sẽ cố gắng truyền đạt toàn bộ điểm bằng một ví dụ đơn giản. Hãy lấy số học sinh trung bình trong một lớp - giả sử là hai mươi lăm. Trong số đó có mười lăm cô gái và mười chàng trai. Một người phục vụ được chỉ định cho lớp học hàng ngày. Có bao nhiêu cách phân công một người dạy lớp hôm nay? Giải pháp cho vấn đề khá đơn giản, chúng ta sẽ dùng đến quy tắc cộng. Đề bài không nói rằng chỉ có con trai hay con gái mới được làm nhiệm vụ. Do đó, nó có thể là bất kỳ cô gái nào trong số mười lăm cô gái hoặc bất kỳ ai trong số mười chàng trai. Áp dụng quy tắc tổng, chúng ta nhận được một ví dụ khá đơn giản mà một học sinh tiểu học có thể dễ dàng đối phó với: 15 + 10. Nhẩm tính, ta được đáp số: 25. Có nghĩa là, chỉ có 25 cách để chỉ định một lớp học trực ban cho ngày hôm nay.

quy tắc nhân

Quy tắc nhân cũng thuộc các công thức cơ bản của tổ hợp. Hãy bắt đầu với lý thuyết. Giả sử chúng ta cần thực hiện một số hành động (a): hành động đầu tiên được thực hiện theo 1 cách, hành động thứ hai - theo 2 cách, hành động thứ ba - theo 3 cách, v.v. cho đến khi hành động a cuối cùng được thực hiện theo nhiều cách. Sau đó, tất cả các hành động này (mà chúng ta có tổng số) có thể được thực hiện theo N cách. Làm thế nào để tính N chưa biết? Công thức sẽ giúp chúng ta điều này: N \ u003d c1 * c2 * c3 * ... * ca.

Một lần nữa, không có gì là rõ ràng về mặt lý thuyết, hãy chuyển sang một ví dụ đơn giản về việc áp dụng quy tắc nhân. Chúng ta hãy học cùng một lớp gồm hai mươi lăm người, trong đó mười lăm nữ và mười nam học. Chỉ lần này chúng ta cần chọn hai tiếp viên. Họ có thể là chỉ trai hoặc gái, hoặc trai với gái. Chúng tôi chuyển sang giải pháp cơ bản của vấn đề. Chúng tôi chọn người phục vụ đầu tiên, như chúng tôi đã quyết định trong đoạn cuối, chúng tôi có 25 lựa chọn khả thi. Người thứ hai làm nhiệm vụ có thể là bất kỳ người nào trong số những người còn lại. Chúng tôi có hai mươi lăm học sinh, chúng tôi đã chọn một học sinh, có nghĩa là bất kỳ ai trong số hai mươi bốn người còn lại đều có thể là người thứ hai làm nhiệm vụ. Cuối cùng, chúng tôi áp dụng quy tắc nhân và thấy rằng hai người tham dự có thể được chọn trong sáu trăm cách. Chúng tôi nhận được số này bằng cách nhân với hai mươi lăm và hai mươi bốn.

Hoán vị

Bây giờ chúng ta sẽ xem xét một công thức nữa của tổ hợp. Trong phần này của bài viết, chúng ta sẽ nói về hoán vị. Hãy xem xét vấn đề ngay lập tức với một ví dụ. Hãy lấy quả bóng bi-a, chúng ta có số thứ n của chúng. Ta cần tính xem: có bao nhiêu phương án để sắp xếp chúng thành một hàng, tức là tạo thành một tập hợp có thứ tự.

Hãy bắt đầu, nếu chúng ta không có bóng, thì chúng ta cũng không có lựa chọn vị trí nào. Và nếu chúng ta có một quả bóng, thì cách sắp xếp cũng giống nhau (về mặt toán học, điều này có thể được viết như sau: Р1 = 1). Hai quả bóng có thể được sắp xếp theo hai cách khác nhau: 1.2 và 2.1. Do đó, P2 = 2. Ba quả bóng có thể được sắp xếp theo sáu cách (P3 = 6): 1,2,3; 1,3,2; 2,1,3; 2,3,1; 3.2.1; 3,1,2. Và nếu không có ba quả bóng như vậy, mà là mười hoặc mười lăm? Để liệt kê tất cả các tùy chọn có thể là rất dài, sau đó tổ hợp sẽ hỗ trợ chúng tôi. Công thức hoán vị sẽ giúp chúng ta tìm ra câu trả lời cho câu hỏi của mình. Pn = n * P (n-1). Nếu chúng ta cố gắng đơn giản hóa công thức, chúng ta nhận được: Pn = n * (n - 1) *… * 2 * 1. Và đây là tích của các số tự nhiên đầu tiên. Một số như vậy được gọi là giai thừa, và được ký hiệu là n!

Hãy xem xét vấn đề. Người lãnh đạo mỗi sáng xây dựng đội của mình thành một hàng (hai mươi người). Có ba người bạn thân nhất trong biệt đội - Kostya, Sasha và Lesha. Xác suất để chúng ở cạnh nhau là bao nhiêu? Để tìm câu trả lời cho câu hỏi, bạn cần chia xác suất của một kết quả "tốt" cho tổng số kết quả. Tổng số các hoán vị là 20! = 2,5 tạ tỷ. Làm thế nào để đếm số lượng kết quả "tốt"? Giả sử rằng Kostya, Sasha và Lesha là một siêu nhân. Sau đó, chúng tôi chỉ có mười tám môn học. Số hoán vị trong trường hợp này là 18 = 6,5 phần tư. Với tất cả những điều này, Kostya, Sasha và Lesha có thể tùy ý di chuyển giữa mình trong bộ ba không thể phân chia của họ, và đây là 3 người nữa! = 6 tùy chọn. Vì vậy, chúng tôi có tổng cộng 18 chòm sao "tốt"! * 3! Chúng ta chỉ cần tìm xác suất mong muốn: (18! * 3!) / 20! Khoảng 0,016. Nếu tính theo tỷ lệ phần trăm, thì con số này chỉ là 1,6%.

Chỗ ở

Bây giờ chúng ta sẽ xem xét một công thức tổ hợp khác rất quan trọng và cần thiết. Chỗ ở là vấn đề tiếp theo của chúng tôi, mà chúng tôi khuyên bạn nên xem xét trong phần này của bài viết. Chúng ta sẽ trở nên phức tạp hơn. Giả sử rằng chúng ta muốn xem xét các hoán vị có thể xảy ra, không chỉ từ toàn bộ tập (n), mà từ một tập nhỏ hơn (m). Tức là chúng ta coi các hoán vị của n mục theo m.

Các công thức cơ bản của tổ hợp không nên chỉ học thuộc mà phải hiểu. Ngay cả khi thực tế là chúng trở nên phức tạp hơn, vì chúng ta không có một tham số, mà là hai. Giả sử rằng m \ u003d 1, sau đó A \ u003d 1, m \ u003d 2, sau đó A \ u003d n * (n - 1). Nếu chúng ta đơn giản hóa công thức hơn nữa và chuyển sang ký hiệu bằng cách sử dụng giai thừa, chúng ta sẽ nhận được một công thức khá ngắn gọn: A \ u003d n! / (n - m)!

Sự kết hợp

Chúng tôi đã xem xét gần như tất cả các công thức cơ bản của tổ hợp với các ví dụ. Bây giờ chúng ta hãy chuyển sang giai đoạn cuối cùng của việc xem xét khóa học cơ bản của tổ hợp - làm quen với tổ hợp. Bây giờ chúng ta sẽ chọn m mục từ n mà chúng ta có, trong khi chúng ta sẽ chọn tất cả chúng theo tất cả các cách có thể. Vậy thì điều này khác với chỗ ở như thế nào? Chúng tôi sẽ không xem xét đơn đặt hàng. Tập hợp không có thứ tự này sẽ là một tổ hợp.

Chúng tôi ngay lập tức giới thiệu ký hiệu: C. Chúng tôi diễn ra các vị trí của m quả bóng từ n. Chúng tôi ngừng chú ý đến thứ tự và nhận được các kết hợp lặp lại. Để có số kết hợp, chúng ta cần chia số vị trí cho m! (m giai thừa). Đó là, C \ u003d A / m! Như vậy, có một vài cách để chọn từ n quả bóng, xấp xỉ bằng bao nhiêu để chọn hầu hết mọi thứ. Có một cách diễn đạt hợp lý cho điều này: lựa chọn một chút cũng giống như việc vứt bỏ hầu hết mọi thứ. Điều quan trọng cần đề cập tại thời điểm này là số lượng kết hợp tối đa có thể đạt được khi cố gắng chọn một nửa số mục.

Làm thế nào để chọn một công thức để giải quyết một vấn đề?

Chúng ta đã xem xét chi tiết các công thức cơ bản của tổ hợp: sắp xếp, hoán vị và tổ hợp. Bây giờ nhiệm vụ của chúng ta là tạo điều kiện cho việc lựa chọn công thức cần thiết để giải bài toán trong tổ hợp. Bạn có thể sử dụng lược đồ khá đơn giản sau:

Hãy tự đặt câu hỏi: thứ tự của các yếu tố được tính đến trong văn bản nhiệm vụ?
Nếu câu trả lời là không, thì hãy sử dụng công thức kết hợp (C \ u003d n! / (M! * (N - m))).
Nếu câu trả lời là không, thì một câu hỏi nữa cần được trả lời: có phải tất cả các phần tử có trong tổ hợp không?
Nếu câu trả lời là có, thì hãy sử dụng công thức hoán vị (P = n!).
Nếu câu trả lời là không, thì hãy sử dụng công thức phân bổ (A = n! / (N - m)!).

Thí dụ

Chúng tôi đã xem xét các yếu tố của tổ hợp, công thức và một số vấn đề khác. Bây giờ chúng ta hãy chuyển sang vấn đề thực tế. Hãy tưởng tượng rằng bạn có một quả kiwi, một quả cam và một quả chuối trước mặt bạn.

Câu hỏi một: chúng có thể được sắp xếp lại bằng bao nhiêu cách? Để làm điều này, chúng tôi sử dụng công thức hoán vị: P = 3! = 6 cách.

Câu 2: Có bao nhiêu cách chọn một loại quả? Điều này là hiển nhiên, chúng tôi chỉ có ba lựa chọn - chọn kiwi, cam hoặc chuối, nhưng chúng tôi áp dụng công thức kết hợp: C \ u003d 3! / (2! * 1!) = 3.

Câu 3: Có bao nhiêu cách chọn hai loại quả? Chúng tôi có những lựa chọn nào? Kiwi và cam; kiwi và chuối; cam và chuối. Đó là, ba tùy chọn, nhưng điều này rất dễ kiểm tra bằng cách sử dụng công thức kết hợp: C \ u003d 3! / (1! * 2!) = 3

Câu 4: Có bao nhiêu cách chọn ba loại quả? Như bạn thấy, chỉ có một cách để chọn ba loại trái cây: lấy một quả kiwi, một quả cam và một quả chuối. C = 3! / (0! * 3!) = 1.

Câu 5: Có bao nhiêu cách chọn được ít nhất một loại quả? Điều kiện này ngụ ý rằng chúng ta có thể lấy một, hai hoặc cả ba quả. Do đó, chúng ta thêm C1 + C2 + C3 = 3 + 3 + 1 = 7. Tức là chúng ta có bảy cách để lấy ít nhất một miếng hoa quả khỏi bàn.

Cần lưu ý rằng tổ hợp là một phần độc lập của toán học cao hơn (và không phải là một phần của terver) và sách giáo khoa có trọng lượng đã được viết trong môn học này, nội dung của nó, đôi khi, không dễ hơn đại số trừu tượng. Tuy nhiên, một phần nhỏ kiến thức lý thuyết sẽ là đủ cho chúng ta, và trong bài viết này tôi sẽ cố gắng phân tích những điều cơ bản của chủ đề với các bài toán tổ hợp điển hình dưới dạng dễ tiếp cận. Và nhiều bạn sẽ giúp tôi ;-)

Chúng ta sẽ làm gì? Theo nghĩa hẹp, tổ hợp là phép tính các tổ hợp khác nhau có thể được tạo ra từ một tập hợp nhất định rời rạc các đối tượng. Vật thể được hiểu là bất kỳ vật thể hoặc sinh vật sống biệt lập nào - người, động vật, nấm, thực vật, côn trùng, v.v. Đồng thời, tổ hợp không quan tâm chút nào rằng bộ gồm có một đĩa bột báng, một mỏ hàn và một con ếch đầm lầy. Về cơ bản, điều quan trọng là những đối tượng này có thể liệt kê được - có ba trong số chúng. (rời rạc) và điều cốt yếu là không cái nào giống nhau.

Với rất nhiều thứ được sắp xếp, bây giờ là về các kết hợp. Các kiểu kết hợp phổ biến nhất là hoán vị của các đối tượng, sự lựa chọn của chúng từ một tập hợp (tổ hợp) và phân phối (sắp xếp). Hãy xem điều này xảy ra như thế nào ngay bây giờ:

Hoán vị, kết hợp và vị trí mà không lặp lại

Đừng sợ các thuật ngữ khó hiểu, đặc biệt là vì một số trong số chúng thực sự không thành công lắm. Hãy bắt đầu với phần đuôi của tiêu đề - cái gì " không lặp lại”? Điều này có nghĩa là trong phần này, chúng tôi sẽ xem xét các bộ bao gồm nhiều các đối tượng. Ví dụ, ... không, tôi sẽ không cung cấp cháo với mỏ hàn và ếch, món nào ngon hơn thì ngon hơn =) Hãy tưởng tượng rằng một quả táo, một quả lê và một quả chuối đã thành hiện thực trên bàn trước mặt bạn (nếu có là bất kỳ, tình huống có thể được mô phỏng và thực tế). Chúng tôi xếp các loại trái cây từ trái sang phải theo thứ tự sau:

táo / lê / chuối

Câu hỏi một: Chúng có thể được sắp xếp lại bằng bao nhiêu cách?

Một kết hợp đã được viết ở trên và không có vấn đề gì với phần còn lại:

táo / chuối / lê
lê / táo / chuối
lê / chuối / táo
chuối / táo / lê
chuối / lê / táo

Tổng cộng: 6 kết hợp hoặc 6 hoán vị.

Chà, không khó để liệt kê tất cả các trường hợp có thể xảy ra ở đây, nhưng nếu có nhiều mục hơn thì sao? Đã có bốn loại trái cây khác nhau, số lượng kết hợp sẽ tăng lên đáng kể!

Vui lòng mở tài liệu tham khảo (sách hướng dẫn dễ in) và trong đoạn số 2, hãy tìm công thức cho số các hoán vị.

Không bị dày vò - 3 đối tượng có thể được sắp xếp lại theo các cách.

Câu hỏi hai: Có bao nhiêu cách chọn a) một quả, b) hai quả, c) ba quả, d) ít nhất một quả?

Tại sao chọn? Vì vậy, họ đã tạo ra cảm giác thèm ăn trong đoạn trước - để ăn! =)

a) Rõ ràng có thể chọn một loại trái cây theo ba cách - lấy một quả táo, một quả lê, hoặc một quả chuối. Việc đếm chính thức được thực hiện theo công thức cho số lượng kết hợp:

Mục từ trong trường hợp này nên được hiểu như sau: "Bạn có thể chọn 1 trong ba quả bằng bao nhiêu cách?"

b) Chúng tôi liệt kê tất cả các kết hợp có thể có của hai loại trái cây:

táo và lê;
táo và chuối;
lê và chuối.

Số lượng kết hợp dễ dàng kiểm tra bằng cách sử dụng cùng một công thức:

Mục từ được hiểu tương tự: “Bạn có thể chọn 2 trong 3 quả bằng bao nhiêu cách?”.

c) Và cuối cùng, ba loại trái cây có thể được chọn theo một cách duy nhất:

Nhân tiện, công thức cho số lượng kết hợp cũng có ý nghĩa đối với một mẫu trống:
Bằng cách này, bạn không thể chọn một loại trái cây nào - trên thực tế, không lấy gì cả và thế là xong.

d) Bạn có thể thực hiện bao nhiêu cách ít nhất một trái cây? Điều kiện “ít nhất một” ngụ ý rằng chúng ta hài lòng với 1 quả (bất kỳ) hoặc 2 quả bất kỳ hoặc cả 3 quả:
cách bạn có thể chọn ít nhất một loại trái cây.

Những độc giả đã nghiên cứu kỹ bài học giới thiệu trên lý thuyết xác suấtđã tìm ra một cái gì đó. Nhưng về ý nghĩa của dấu cộng sau này.

Để trả lời câu hỏi tiếp theo, mình cần 2 người xung phong ... ... À, vì không ai muốn nên mình sẽ gọi lên bảng =)

Câu hỏi ba: Có bao nhiêu cách có thể phân phát một quả cho Dasha và Natasha?

Để phân phối hai trái cây, trước tiên bạn phải chọn chúng. Theo đoạn "be" của câu hỏi trước, điều này có thể được thực hiện theo nhiều cách, tôi sẽ viết lại chúng một lần nữa:

táo và lê;
táo và chuối;
lê và chuối.

Nhưng bây giờ sẽ có số lượng kết hợp nhiều gấp đôi. Ví dụ, hãy xem xét cặp trái cây đầu tiên:
bạn có thể đối xử với Dasha bằng một quả táo, và Natasha với một quả lê;
hoặc ngược lại - Dasha sẽ nhận được quả lê, và Natasha sẽ nhận được quả táo.

Và hoán vị như vậy là có thể xảy ra đối với mọi cặp quả.

Hãy xem xét cùng một nhóm học sinh đã đi khiêu vũ. Có bao nhiêu cách ghép đôi trai gái?

Cách bạn có thể chọn 1 chàng trai trẻ;
cách bạn có thể chọn 1 cô gái.

Vì vậy, một người đàn ông trẻ và một cô gái có thể được chọn: các cách.

Khi 1 đối tượng được chọn từ mỗi tập hợp, thì nguyên tắc đếm kết hợp sau là hợp lệ: " mỗi một đối tượng từ một tập hợp có thể tạo thành một cặp với mọiđối tượng của tập hợp khác.

Đó là, Oleg có thể mời bất kỳ cô gái nào trong số 13 cô gái khiêu vũ, Evgeny - cũng là bất kỳ cô gái nào trong số mười ba người, và những người trẻ khác cũng có lựa chọn tương tự. Tổng số: các cặp có thể.

Cần lưu ý rằng trong ví dụ này, "lịch sử" của sự hình thành cặp không quan trọng; tuy nhiên, nếu tính đến sự chủ động, thì số lượng kết hợp phải tăng gấp đôi, vì mỗi cô gái trong số 13 cô gái cũng có thể mời bất kỳ chàng trai nào khiêu vũ. Tất cả phụ thuộc vào các điều kiện của một nhiệm vụ cụ thể!

Một nguyên tắc tương tự cũng có giá trị đối với các kết hợp phức tạp hơn, ví dụ: có bao nhiêu cách có thể chọn hai thanh niên và hai cô gái tham gia tiểu phẩm KVN?

liên hiệp Và gợi ý rõ ràng rằng các kết hợp phải được nhân:

Các nhóm nghệ sĩ có thể có.

Nói cách khác, mỗi các cặp trai (45 cặp duy nhất) có thể cạnh tranh với không tí nào một vài cô gái (78 cặp đôi duy nhất). Và nếu chúng ta xem xét sự phân bổ vai trò giữa những người tham gia, thì sẽ có nhiều sự kết hợp hơn nữa. ... Rất muốn, nhưng vẫn sẽ không tiếp tục nữa, để khỏi truyền cho các bạn cái ác cảm về cuộc sống sinh viên =).

Quy tắc nhân áp dụng cho nhiều cấp số nhân hơn:

Nhiệm vụ 8

Có bao nhiêu số có ba chữ số mà chia hết cho 5?

Dung dịch: để rõ ràng, chúng tôi biểu thị số này bằng ba dấu hoa thị: ***

TẠI hàng trăm nơi bạn có thể viết bất kỳ số nào (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 hoặc 9). Số 0 là không tốt, vì trong trường hợp này số không còn là ba chữ số.

Nhưng trong hàng chục(“Ở giữa”) bạn có thể chọn bất kỳ chữ số nào trong số 10 chữ số:.

Theo điều kiện, số đó phải chia hết cho 5. Số chia hết cho 5 nếu nó kết thúc bằng 5 hoặc 0. Như vậy, trong chữ số có nghĩa nhỏ nhất, ta thỏa mãn 2 chữ số.

Tổng cộng, có: các số có ba chữ số chia hết cho 5.

Đồng thời, tác phẩm được giải mã như sau: “9 cách bạn có thể chọn một số trong hàng trăm nơi và 10 cách để chọn một số trong hàng chục và 2 cách trong đơn vị chữ số»

Hoặc đơn giản hơn: mỗi từ 9 chữ số đến hàng trăm nơi kết hợp với mỗi 10 chữ số hàng chục và với mỗi gồm hai chữ số đơn vị chữ số».

Câu trả lời: 180

Và bây giờ…

Vâng, tôi gần như quên mất phần bình luận đã hứa cho vấn đề số 5, trong đó Borya, Dima và Volodya có thể được chia mỗi người một lá bài theo những cách khác nhau. Phép nhân ở đây có nghĩa tương tự: theo cách bạn có thể rút ra 3 lá bài từ bộ bài Và trong mỗi mẫu để sắp xếp lại chúng theo cách.

Và bây giờ là vấn đề cho một giải pháp độc lập ... bây giờ tôi sẽ nghĩ ra một cái gì đó thú vị hơn, ... hãy nói về cùng một phiên bản blackjack của Nga:

Nhiệm vụ 9

Có bao nhiêu kết hợp chiến thắng của 2 thẻ trong một trò chơi "điểm"?

Đối với những người chưa biết: thắng kết hợp 10 + ACE (11 điểm) = 21 điểm và, hãy xem xét kết hợp chiến thắng của hai quân át.

(thứ tự của các thẻ trong bất kỳ cặp nào không quan trọng)

Lời giải ngắn gọn và đáp án ở cuối bài.

Nhân tiện, không cần thiết phải xem xét một ví dụ nguyên thủy. Blackjack gần như là trò chơi duy nhất có một thuật toán hợp lý về mặt toán học cho phép bạn đánh bại sòng bạc. Những người muốn có thể dễ dàng tìm thấy nhiều thông tin về chiến lược và chiến thuật tối ưu. Đúng thật, những cao thủ như vậy nhanh chóng lọt vào danh sách đen của tất cả các cơ sở =)

Đã đến lúc củng cố tài liệu bao gồm một số nhiệm vụ vững chắc:

Nhiệm vụ 10

Vasya có 4 con mèo ở nhà.

a) Có bao nhiêu cách xếp những con mèo vào các góc phòng?
b) Có bao nhiêu cách cho phép mèo đi lang thang?
c) Vasya có thể nhặt được hai con mèo (con bên trái, con bên phải) bằng bao nhiêu cách?

Chúng tôi quyết định: đầu tiên, một lần nữa cần lưu ý rằng vấn đề là về khác nhauđồ vật (ngay cả khi mèo là anh em sinh đôi giống hệt nhau). Đây là một điều kiện rất quan trọng!

a) Sự im lặng của mèo. Việc thực thi này tuân theo tất cả các con mèo cùng một lúc
+ vị trí của chúng là quan trọng, vì vậy có hoán vị ở đây:
cách bạn có thể cho mèo ngồi ở các góc phòng.

Tôi nhắc lại rằng khi hoán vị, chỉ có số lượng các đối tượng khác nhau và vị trí tương đối của chúng là quan trọng. Tùy thuộc vào tâm trạng của mình, Vasya có thể đặt các con vật thành hình bán nguyệt trên ghế sofa, thành hàng trên bệ cửa sổ, v.v. - Sẽ có 24 hoán vị trong mọi trường hợp. Để thuận tiện, những ai muốn có thể tưởng tượng rằng những con mèo có nhiều màu (ví dụ: trắng, đen, đỏ và sọc) và liệt kê tất cả các kết hợp có thể có.

b) Có bao nhiêu cách cho phép mèo đi lang thang?

Người ta cho rằng mèo chỉ đi dạo qua cửa, trong khi câu hỏi ám chỉ sự thờ ơ về số lượng động vật - 1, 2, 3 hoặc cả 4 con mèo có thể đi dạo.

Chúng tôi xem xét tất cả các kết hợp có thể có:

Cách bạn có thể thả mèo đi dạo (bất kỳ cách nào trong bốn cách);
những cách bạn có thể để hai con mèo đi dạo (tự liệt kê các lựa chọn);
cách bạn có thể để ba con mèo đi dạo (một trong bốn con ngồi ở nhà);
cách bạn có thể thả tất cả những con mèo.

Bạn có thể đoán rằng các giá trị thu được phải được tổng hợp:
cách để cho mèo đi dạo.

Đối với những người đam mê, tôi đưa ra một phiên bản phức tạp của vấn đề - khi bất kỳ con mèo nào trong bất kỳ mẫu nào cũng có thể ngẫu nhiên đi ra ngoài, cả qua cửa và qua cửa sổ của tầng 10. Sẽ có nhiều sự kết hợp hơn!

c) Vasya có thể nhặt được hai con mèo bằng bao nhiêu cách?

Tình huống không chỉ liên quan đến việc lựa chọn 2 con vật mà còn cả vị trí của chúng trên tay:
cách bạn có thể nhặt được 2 con mèo.

Giải pháp thứ hai: theo những cách bạn có thể chọn hai con mèo và cách trồng mọi một vài trong tay:

Câu trả lời: a) 24, b) 15, c) 12

Vâng, để làm sáng tỏ lương tâm của tôi, một cái gì đó cụ thể hơn về phép nhân các tổ hợp ... Để Vasya có thêm 5 con mèo =) Có bao nhiêu cách để bạn có thể cho 2 con mèo đi dạo và 1 con mèo?

Đó là, với mỗi một vài con mèo có thể được thả mọi con mèo.

Một nút accordion khác cho một giải pháp độc lập:

Nhiệm vụ 11

3 hành khách vào thang máy của tòa nhà 12 tầng. Tất cả mọi người, độc lập với những người khác, có thể thoát ở bất kỳ tầng nào (bắt đầu từ tầng 2) với cùng một xác suất. Có bao nhiêu cách:

1) Hành khách có thể xuống cùng một tầng (thoát lệnh không thành vấn đề);
2) hai người có thể xuống trên một tầng và một người thứ ba ở tầng khác;
3) mọi người có thể xuống ở các tầng khác nhau;
4) Hành khách có thể ra khỏi thang máy không?

Và ở đây họ thường hỏi lại, tôi nói rõ: nếu 2 hoặc 3 người cùng đi ra một tầng thì thứ tự xuất cảnh không thành vấn đề. SUY NGHĨ, sử dụng các công thức và quy tắc cho các kết hợp cộng / nhân. Trong trường hợp gặp khó khăn, hành khách sẽ hữu ích khi nêu tên và lý do về những cách kết hợp mà họ có thể ra khỏi thang máy. Không cần phải bực bội nếu điều gì đó không suôn sẻ, ví dụ như điểm số 2 là khá quỷ quyệt.

Giải pháp hoàn chỉnh với nhận xét chi tiết ở cuối hướng dẫn.

Đoạn cuối dành cho các tổ hợp cũng xảy ra khá thường xuyên - theo đánh giá chủ quan của mình thì trong khoảng 20 - 30% các bài tổ hợp:

Hoán vị, kết hợp và vị trí có lặp lại

Các kiểu kết hợp được liệt kê được nêu trong đoạn số 5 của tài liệu tham khảo Các công thức cơ bản của tổ hợp, tuy nhiên, một số trong số chúng có thể không rõ ràng lắm khi đọc lần đầu. Trong trường hợp này, trước tiên bạn nên làm quen với các ví dụ thực tế và chỉ sau đó mới hiểu được công thức tổng quát. Đi:

Hoán vị có lặp lại

Trong hoán vị có lặp lại, như trong hoán vị "thông thường", toàn bộ các đối tượng cùng một lúc, nhưng có một điều: trong tập hợp này, một hoặc nhiều phần tử (đối tượng) được lặp lại. Đáp ứng tiêu chuẩn tiếp theo:

Nhiệm vụ 12

Có thể thu được bao nhiêu tổ hợp chữ cái khác nhau bằng cách sắp xếp lại các thẻ có các chữ cái sau: K, O, L, O, K, O, L, L, H, I, K?

Dung dịch: trong trường hợp tất cả các chữ cái khác nhau, thì một công thức nhỏ nên được áp dụng, tuy nhiên, rõ ràng là đối với bộ thẻ được đề xuất, một số thao tác sẽ hoạt động "nhàn rỗi", vì vậy, ví dụ: nếu bạn hoán đổi bất kỳ hai thẻ có các chữ cái “K trong từ bất kỳ, nó sẽ là cùng một từ. Hơn nữa, về mặt vật lý, các thẻ có thể rất khác nhau: một thẻ có thể là hình tròn với chữ “K” được in sẵn, thẻ còn lại là hình vuông với chữ “K” được vẽ sẵn. Nhưng theo ý nghĩa của vấn đề, ngay cả những thẻ như vậy được coi là giống nhau, vì điều kiện hỏi về các kết hợp chữ cái.

Mọi thứ cực kỳ đơn giản - tổng cộng: 11 thẻ, bao gồm chữ cái:

K - lặp lại 3 lần;
O - lặp lại 3 lần;
L - lặp lại 2 lần;
b - lặp lại 1 lần;
H - lặp lại 1 lần;
Và - lặp lại 1 lần.

Kiểm tra: 3 + 3 + 2 + 1 + 1 + 1 = 11, đó là những gì chúng tôi muốn kiểm tra.

Theo công thức số hoán vị có lặp lại:
các kết hợp chữ cái khác nhau có thể được lấy. Hơn nửa triệu!

Để tính toán nhanh một giá trị giai thừa lớn, thật tiện lợi khi sử dụng hàm Excel tiêu chuẩn: chúng tôi cho điểm trong bất kỳ ô nào = SỰ THẬT (11) và bấm vào đi vào.

Trong thực tế, hoàn toàn có thể chấp nhận được việc không viết công thức chung và ngoài ra, bỏ qua các thừa số đơn vị:

Nhưng những nhận xét sơ bộ về những bức thư được lặp lại là bắt buộc!

Câu trả lời: 554400

Một ví dụ điển hình khác về hoán vị có lặp lại trong bài toán sắp xếp các quân cờ, bạn có thể tham khảo tại kho giải pháp làm sẵn trong pdf tương ứng. Và đối với một giải pháp độc lập, tôi đã nghĩ ra một nhiệm vụ ít mẫu hơn:

Nhiệm vụ 13

Alexey tập thể thao và 4 ngày một tuần - điền kinh, 2 ngày - tập sức mạnh và 1 ngày nghỉ ngơi. Anh ta có thể sắp xếp các lớp học hàng tuần của mình bằng bao nhiêu cách?

Công thức không hoạt động ở đây vì nó tính đến các hoán vị chồng chéo (ví dụ: khi các bài tập sức mạnh vào thứ Tư được hoán đổi với bài tập sức mạnh vào thứ Năm). Và một lần nữa - trên thực tế, 2 buổi tập sức mạnh giống nhau có thể rất khác nhau, nhưng trong bối cảnh nhiệm vụ (về lịch trình), chúng được coi là những yếu tố giống nhau.

Lời giải hai dòng và đáp án cuối bài.

Kết hợp với lặp lại

Đặc điểm đặc trưng của kiểu kết hợp này là mẫu được lấy từ nhiều nhóm, mỗi nhóm gồm các đối tượng giống nhau.

Hôm nay mọi người đều làm việc chăm chỉ, vì vậy đã đến lúc làm mới bản thân:

Nhiệm vụ 14

Nhà ăn sinh viên bán xúc xích dưới dạng bột, bánh pho mát và bánh rán. Có bao nhiêu cách mua năm cái bánh?

Dung dịch: ngay lập tức chú ý đến tiêu chí điển hình cho các kết hợp có lặp lại - theo điều kiện, không phải một tập hợp các đối tượng như vậy, nhưng các loại khác nhau các đối tượng; người ta cho rằng có ít nhất năm xúc xích, 5 bánh pho mát và 5 bánh rán được bán. Tất nhiên, bánh ở mỗi nhóm là khác nhau - bởi vì bánh rán hoàn toàn giống hệt nhau chỉ có thể được mô phỏng trên máy tính =) Tuy nhiên, đặc điểm vật lý của bánh không phải là ý nghĩa của vấn đề, và xúc xích / bánh pho mát / bánh rán trong các nhóm của họ được coi là giống nhau.

Những gì có thể được trong mẫu? Trước hết, cần lưu ý rằng chắc chắn sẽ có những chiếc bánh giống hệt nhau trong mẫu (vì chúng tôi chọn 5 chiếc và 3 loại được cung cấp để bạn lựa chọn). Các lựa chọn ở đây cho mọi khẩu vị: 5 xúc xích, 5 bánh pho mát, 5 bánh rán, 3 xúc xích + 2 bánh pho mát, 1 xúc xích + 2 + bánh pho mát + 2 bánh donut, v.v.

Như với các kết hợp "thông thường", thứ tự lựa chọn và vị trí của bánh nướng trong mẫu không quan trọng - họ chỉ cần chọn 5 miếng và thế là xong.

Chúng tôi sử dụng công thức số lượng kết hợp có lặp lại:
cách bạn có thể mua 5 cái bánh.

Ăn ngon miệng nhé!

Câu trả lời: 21

Có thể rút ra kết luận gì từ nhiều bài toán tổ hợp?

Đôi khi, điều khó khăn nhất là hiểu được tình trạng bệnh.

Một ví dụ tương tự cho giải pháp tự làm:

Nhiệm vụ 15

Ví chứa một số lượng khá lớn các loại tiền xu 1-, 2-, 5- và 10 rúp. Có bao nhiêu cách có thể lấy ba đồng ra khỏi ví?

Vì mục đích tự chủ, hãy trả lời một số câu hỏi đơn giản:

1) Tất cả các đồng xu trong mẫu có thể khác nhau không?
2) Đặt tên cho sự kết hợp "rẻ nhất" và "đắt nhất" của các đồng xu.

Lời giải và đáp án cuối bài.

Từ kinh nghiệm cá nhân của tôi, tôi có thể nói rằng các kết hợp có lặp lại là khách hiếm nhất trong thực tế, điều này không thể nói về các loại kết hợp sau:

Vị trí lặp lại

Từ một tập hợp bao gồm các phần tử, các phần tử được chọn và thứ tự của các phần tử trong mỗi mẫu là quan trọng. Và mọi thứ sẽ ổn, nhưng một trò đùa khá bất ngờ là chúng ta có thể chọn bất kỳ đối tượng nào của bộ gốc bao nhiêu lần tùy thích. Nói một cách hình tượng, từ "vô số sẽ không giảm."

Khi nào nó xảy ra? Một ví dụ điển hình là một khóa kết hợp với một số đĩa, nhưng do sự phát triển của công nghệ, nó phù hợp hơn để xem xét hậu duệ kỹ thuật số của nó:

Nhiệm vụ 16

Có bao nhiêu mã pin gồm 4 chữ số?

Dung dịch: thực ra để giải bài toán chỉ cần biết quy tắc tổ hợp là đủ: có thể chọn chữ số đầu tiên của mã pin theo các cách và cách - chữ số thứ hai của mã pin và theo nhiều cách - một phần ba và nhiều - thứ tư. Do đó, theo quy tắc nhân các kết hợp, một mã pin có bốn chữ số có thể được cấu tạo: theo nhiều cách.

Và bây giờ với công thức. Theo điều kiện, chúng tôi được cung cấp một bộ số, từ đó các số được chọn và đặt theo một thứ tự nhất định, trong khi các con số trong mẫu có thể được lặp lại (tức là bất kỳ chữ số nào của tập hợp ban đầu có thể được sử dụng với số lần tùy ý). Theo công thức cho số lượng vị trí có lặp lại:

Câu trả lời: 10000

Điều cần lưu ý ở đây là ... ... nếu máy ATM "ăn" thẻ sau lần nhập mã pin thứ ba không thành công, thì cơ hội nhặt được nó ngẫu nhiên là rất hão huyền.

Và ai nói rằng không có ý nghĩa thực tế trong tổ hợp? Một nhiệm vụ nhận thức cho tất cả người đọc của trang web:

Bài toán 17

Theo tiêu chuẩn của nhà nước, biển số xe ô tô bao gồm 3 số và 3 chữ cái. Trong trường hợp này, không cho phép một số có ba số không và các chữ cái được chọn từ tập hợp A, B, E, K, M, H, O, R, C, T, U, X (chỉ những chữ cái Kirin mới được sử dụng, cách viết của nó khớp với các chữ cái Latinh).

Có bao nhiêu biển số xe khác nhau có thể được tạo cho một khu vực?

Không phải vậy, nhân tiện, và rất nhiều. Ở các khu vực rộng lớn, con số này là không đủ, và do đó đối với họ, có một số mã cho dòng chữ RUS.

Lời giải và đáp án cuối bài. Đừng quên sử dụng các quy tắc tổ hợp ;-)… Tôi muốn khoe khoang về việc độc quyền, nhưng hóa ra không phải là độc quyền =) Tôi đã xem Wikipedia - có những phép tính, tuy nhiên, không có bình luận. Mặc dù vì mục đích giáo dục, nhưng có lẽ, ít người giải quyết nó.

Bài học hấp dẫn của chúng ta đã kết thúc, và cuối cùng tôi muốn nói rằng bạn đã không lãng phí thời gian của mình một cách vô ích - vì lý do mà các công thức tổ hợp tìm thấy một ứng dụng thực tế quan trọng khác: chúng được tìm thấy trong các nhiệm vụ khác nhau trên lý thuyết xác suất,
và trong nhiệm vụ về định nghĩa cổ điển của xác suất- đặc biệt thường xuyên

Cảm ơn tất cả các bạn đã tham gia tích cực và hẹn gặp lại!

Giải pháp và câu trả lời:

Nhiệm vụ 2: Dung dịch: tìm số tất cả các hoán vị có thể có của 4 thẻ:

Khi một thẻ có số 0 ở vị trí đầu tiên, con số sẽ trở thành ba chữ số, vì vậy những kết hợp này sẽ bị loại trừ. Đặt số 0 ở vị trí thứ nhất, thì 3 chữ số còn lại trong các chữ số có nghĩa nhỏ nhất có thể được sắp xếp lại theo các cách.

Ghi chú : tại vì có rất ít thẻ, có thể dễ dàng liệt kê tất cả các tùy chọn như vậy ở đây:
0579
0597
0759
0795
0957
0975

Do đó, từ tập hợp được đề xuất, bạn có thể thực hiện:
24 - 6 = 18 số có bốn chữ số
Câu trả lời : 18

Nhiệm vụ 4: Dung dịch: Có thể chọn 3 thẻ từ 36 cách.
Câu trả lời : 7140

Nhiệm vụ 6: Dung dịch: các cách.
Giải pháp khác : các cách bạn có thể chọn hai người từ nhóm và và
2) Bộ "rẻ nhất" chứa 3 đồng xu rúp và bộ "đắt" nhất chứa 3 đồng 10 rúp.

Nhiệm vụ 17: Dung dịch: những cách bạn có thể tạo sự kết hợp kỹ thuật số của một biển số xe, trong khi một trong số chúng (000) nên được loại trừ:.
cách bạn có thể tạo một tổ hợp chữ cái của một số ô tô.
Theo quy tắc nhân các kết hợp, mọi thứ có thể được tạo thành:
số xe
(mỗi kết hợp kỹ thuật số kết hợp với mỗi kết hợp chữ cái).
Câu trả lời : 1726272

Tổ hợp là sự lựa chọn không có thứ tự các phần tử của một tập hợp hữu hạn với một số cố định và không có sự lặp lại của các phần tử. Các kết hợp khác nhau phải khác nhau ít nhất một phần tử và thứ tự của các phần tử không quan trọng. Ví dụ: từ tập hợp tất cả các nguyên âm của các chữ cái Latinh (AEIOU), có thể tạo ra 10 tổ hợp khác nhau của 3 chữ cái, tạo thành các bộ ba không có thứ tự sau:

AEI, AEO, AEU, AIO, AIU, AOU, EIO, EIU, EOU, IOU.

Điều thú vị cần lưu ý là từ năm chữ cái giống nhau, bạn cũng có thể nhận được 10 kết hợp khác nhau nếu bạn kết hợp chúng mỗi chữ cái 2, tạo thành các cặp không có thứ tự sau:

AE, AI, AO, AU, EI, EO, EU, IO, IU, OU.

Tuy nhiên, nếu bạn kết hợp các nguyên âm Latin giống nhau thành 4, thì bạn chỉ nhận được 5 kết hợp khác nhau sau:

AEIO, AEIU, AIOU, EIOU, AEOU.

Trong trường hợp chung, để biểu thị số lượng kết hợp của n phần tử khác nhau theo m phần tử, ký hiệu hàm, chỉ số hoặc vectơ (Appel) sau được sử dụng:

Bất kể dạng ký hiệu nào, số tổ hợp của n phần tử với m phần tử có thể được xác định bằng các công thức nhân và thừa sau:

Thật dễ dàng để kiểm tra rằng kết quả của các phép tính sử dụng các công thức này trùng với kết quả của ví dụ trên với sự kết hợp của các nguyên âm Latinh. Đặc biệt, đối với n = 5 và m = 3, các phép tính sử dụng các công thức này sẽ cho kết quả sau:

Trong trường hợp tổng quát, công thức về số tổ hợp có ý nghĩa tổ hợp và có giá trị với mọi giá trị nguyên của n và m sao cho n> m> 0. Nếu m> n và m< 0, то число сочетаний равно 0, так как в этом случае основное множество из n элементов вообще не имеет подмножеств мощности m:

Ngoài ra, sẽ rất hữu ích khi nhớ các số giới hạn kết hợp sau đây, chúng có thể dễ dàng kiểm tra bằng cách thay thế trực tiếp vào các công thức nhân và thừa:

Cũng cần lưu ý rằng công thức nhân vẫn có giá trị ngay cả khi n là một số thực, miễn là m vẫn là một số nguyên. Tuy nhiên, sau đó kết quả của phép tính trên đó, trong khi vẫn duy trì giá trị chính thức, lại mất đi ý nghĩa tổ hợp của nó.

SẮC KÝ KẾT HỢP

Việc sử dụng thực tế các công thức nhân và giai thừa để xác định số lượng kết hợp cho các giá trị tùy ý của n và m không hiệu quả lắm do sự tăng trưởng theo cấp số nhân của các tích giai thừa của tử số và mẫu số của chúng. Ngay cả đối với các giá trị tương đối nhỏ của n và m, các sản phẩm này thường vượt quá khả năng biểu diễn số nguyên trong các hệ thống phần mềm và máy tính hiện đại. Đồng thời, giá trị của chúng hóa ra lớn hơn nhiều so với giá trị kết quả của số lượng kết hợp, có thể tương đối nhỏ. Ví dụ, số kết hợp của n = 10 với m = 8 phần tử chỉ là 45. Tuy nhiên, để tìm giá trị này bằng cách sử dụng công thức giai thừa, trước tiên bạn phải tính các giá trị lớn hơn nhiều của 10! trong tử số và 8! ở mẫu số:

Để loại trừ các hoạt động xử lý các giá trị lớn tốn nhiều thời gian, để xác định số lượng kết hợp, bạn có thể sử dụng các quan hệ lặp lại khác nhau theo sau trực tiếp từ các công thức nhân và giai thừa. Đặc biệt, quan hệ lặp lại sau đây theo sau từ công thức nhân, cho phép chúng ta lấy tỷ lệ của các chỉ số của nó vượt ra ngoài dấu của số lượng kết hợp:

Cuối cùng, việc giữ nguyên chỉ số con cung cấp sự lặp lại sau đây, dễ dàng thu được từ công thức giai thừa cho số lượng kết hợp:

Sau các phép biến đổi cơ bản, ba quan hệ lặp lại kết quả có thể được biểu diễn dưới các dạng sau:

Nếu bây giờ chúng ta thêm phần bên trái và bên phải của 2 công thức đầu tiên và giảm kết quả đi n, thì chúng ta nhận được một quan hệ lặp lại quan trọng, được gọi là đặc điểm nhận dạng của việc cộng các số kết hợp:

Nhận dạng phép cộng cung cấp một quy tắc đệ quy cơ bản để xác định một cách hiệu quả số lượng kết hợp cho các giá trị lớn của n và m, vì nó cho phép các phép toán nhân trong tích giai thừa được thay thế bằng các phép toán cộng đơn giản hơn và đối với số lượng kết hợp nhỏ hơn. Đặc biệt, bằng cách sử dụng nhận dạng cộng, giờ đây có thể dễ dàng xác định số lượng các tổ hợp n = 10 của m = 8 phần tử, đã được xét ở trên, bằng cách thực hiện chuỗi các phép biến đổi lặp lại sau:

Ngoài ra, một số quan hệ hữu ích có thể được rút ra từ nhận dạng cộng để tính tổng hữu hạn, cụ thể là công thức tính tổng chỉ số con, có dạng sau:

Mối quan hệ như vậy có được bằng cách bỏ cuộn lặp lại theo thuật ngữ với chỉ số trên lớn nhất trong danh tính cộng, miễn là chỉ số con của nó lớn hơn 0. Ví dụ số sau minh họa quá trình biến đổi đệ quy được chỉ định:

Công thức tính tổng chỉ số con thường được sử dụng để tính tổng các lũy thừa của các số tự nhiên. Đặc biệt, giả sử m = 1, sử dụng công thức này, ta dễ dàng tìm được tổng của n số đầu tiên của dãy số tự nhiên:

Một phiên bản hữu ích khác của công thức tính tổng có thể nhận được bằng cách mở rộng sự lặp lại của danh tính cộng theo thuật ngữ với chỉ số trên nhỏ nhất. Ví dụ số sau minh họa biến thể của phép biến đổi lặp lại này:

Trong trường hợp chung, do kết quả của các phép biến đổi như vậy, tổng các số kết hợp thu được, cả hai chỉ số của chúng khác nhau một so với các số hạng lân cận và sự khác biệt của các chỉ số không đổi (trong ví dụ được xem xét, nó cũng bằng một). Do đó, công thức tính tổng sau đây cho cả hai chỉ số của các số kết hợp sẽ thu được:

Ngoài các quan hệ lặp lại và các công thức tính tổng được thảo luận ở trên, nhiều nhận dạng hữu ích khác cho các số kết hợp đã thu được trong phân tích tổ hợp. Điều quan trọng nhất trong số đó là đối xứng đồng nhất, có dạng sau:

Tính hợp lệ của nhận dạng đối xứng có thể được nhìn thấy trong ví dụ sau bằng cách so sánh số lượng các kết hợp của 5 phần tử với 2 và bởi (5 2) = 3:

Nhận dạng đối xứng có một ý nghĩa tổ hợp rõ ràng, vì trong khi xác định số phương án chọn m phần tử từ n phần tử, nó đồng thời thiết lập số lượng tổ hợp từ (nm) phần tử không được chọn còn lại. Đối xứng được chỉ ra ngay lập tức thu được bằng cách thay thế lẫn nhau m bằng (nm) trong công thức giai thừa cho số lượng kết hợp:

Số và danh tính tổ hợp được sử dụng rộng rãi trong các lĩnh vực khác nhau của toán học tính toán hiện đại. Tuy nhiên, ứng dụng phổ biến nhất của chúng được liên kết với nhị thức Newton và tam giác Pascal.

ĐỊNH LÝ NHỊ THỨC

Để thực hiện các phép tính và phép biến đổi toán học khác nhau, điều quan trọng là có thể biểu diễn bất kỳ lũy thừa tự nhiên nào của một nhị thức đại số (nhị thức) dưới dạng một đa thức. Đối với bậc nhỏ, đa thức mong muốn có thể dễ dàng thu được bằng cách nhân trực tiếp các nhị thức. Đặc biệt, các công thức tính tổng bình phương và lập phương của tổng hai số hạng sau đây đã được nhiều người biết đến từ môn Toán tiểu học:

Trong trường hợp tổng quát, đối với bậc n tùy ý của nhị thức, biểu diễn mong muốn ở dạng đa thức được cung cấp bởi định lý nhị thức Newton, định lý này tuyên bố rằng đẳng thức sau đây là:

Đẳng thức này thường được gọi là nhị thức Newton. Đa thức ở vế phải của nó là tổng các tích của n số hạng X và Y của nhị thức ở vế trái, và các hệ số đứng trước chúng được gọi là nhị thức và bằng số tổ hợp có chỉ số thu được. từ quyền hạn của họ. Với sự phổ biến đặc biệt của công thức nhị thức Newton trong phân tích tổ hợp, các thuật ngữ hệ số nhị thức và số tổ hợp thường được coi là đồng nghĩa.

Rõ ràng, các công thức tổng bình phương và lập phương là các trường hợp đặc biệt của định lý nhị thức đối với n = 2 và n = 3, tương ứng. Để xử lý các lũy thừa cao hơn (n> 3), nên sử dụng công thức nhị thức Newton. Ứng dụng của nó đối với nhị thức bậc 4 (n = 4) được chứng minh bằng ví dụ sau:

Cần lưu ý rằng công thức nhị thức đã được biết đến ngay cả trước Newton cho các nhà toán học thời trung cổ của Đông Ả Rập và Tây Âu. Do đó, tên gọi chung của nó không đúng về mặt lịch sử. Công lao của Newton là ông đã khái quát công thức này cho trường hợp của một số mũ thực tùy ý r, có thể nhận bất kỳ giá trị hợp lý và vô tỷ dương hoặc âm nào. Trong trường hợp tổng quát, công thức nhị thức Newton như vậy có tổng vô hạn ở vế phải và thông thường người ta viết nó như sau:

Ví dụ, với giá trị phân số dương của số mũ r = 1/2, có tính đến các giá trị của hệ số nhị thức, ta thu được khai triển sau:

Trong trường hợp chung, công thức nhị thức Newton cho bất kỳ số mũ nào là một phiên bản cụ thể của công thức Maclaurin, cho phép khai triển một hàm tùy ý trong một chuỗi lũy thừa. Newton đã chỉ ra rằng đối với | z |< 1 этот ряд сходится, и сумма в правой части становится конечной. При любой натуральной степени r = n в правой части также получается конечная сумма из (n+1) первых слагаемых, так как все C(n, k>n) = 0. Nếu bây giờ chúng ta đặt Z = X / Y và nhân các vế trái và phải với Yn, thì chúng ta nhận được một biến thể của công thức nhị thức Newton đã thảo luận ở trên.

Mặc dù tính phổ quát của nó, định lý nhị thức vẫn giữ ý nghĩa tổ hợp của nó chỉ đối với các lũy thừa không âm của số nguyên của nhị thức. Trong trường hợp này, nó có thể được sử dụng để chứng minh một số nhận dạng hữu ích cho các hệ số nhị thức. Đặc biệt, các công thức tính tổng cho các số kết hợp theo chỉ số thấp hơn và theo cả hai chỉ số đã được xem xét ở trên. Có thể dễ dàng thu được danh tính tổng chỉ số trên còn thiếu từ công thức nhị thức Newton bằng cách đặt X = Y = 1 hoặc Z = 1 trong đó:

Một nhận dạng hữu ích khác thiết lập sự bình đẳng của các tổng của hệ số nhị thức với các số chẵn và lẻ. Nó ngay lập tức thu được từ công thức nhị thức Newton nếu X = 1 và Y = 1 hoặc Z = 1:

Cuối cùng, từ cả hai danh tính được xem xét, người ta có được danh tính của tổng các hệ số nhị thức chỉ với số chẵn hoặc chỉ số lẻ:

Trên cơ sở các nhận dạng được xem xét và quy tắc đệ quy để loại bỏ các chỉ số dưới dấu của số lượng kết hợp, có thể thu được một số quan hệ thú vị. Ví dụ, nếu trong công thức tính tổng cho chỉ số trên, chúng ta thay thế n bằng (n1) ở mọi nơi và lấy ra các chỉ số trong mỗi số hạng, thì chúng ta nhận được quan hệ sau:

Sử dụng một kỹ thuật tương tự trong công thức tính tổng các hệ số của nhị thức với các số chẵn và lẻ, người ta có thể chứng minh tính hợp lệ của, ví dụ, quan hệ sau:

Một nhận dạng hữu ích khác giúp dễ dàng tính tổng các tích của các hệ số nhị thức nằm đối xứng của hai nhị thức bậc n và k tùy ý bằng cách sử dụng công thức Cauchy sau:

Tính hợp lệ của công thức này dựa trên sự bằng nhau cần thiết của các hệ số đối với bất kỳ bậc m nào của biến Z ở bên trái và bên phải của quan hệ đồng nhất sau:

Trong trường hợp cụ thể khi n = k = m, có tính đến đồng dạng đối xứng, một công thức phổ biến hơn cho tổng bình phương của các hệ số nhị thức thu được:

Nhiều đặc điểm nhận dạng hữu ích khác cho hệ số nhị thức có thể được tìm thấy trong các tài liệu chuyên sâu về phân tích tổ hợp. Tuy nhiên, ứng dụng thực tế nổi tiếng nhất của chúng là liên quan đến tam giác Pascal.

TAM GIÁC CỦA PASCAL

Tam giác số học Pascal tạo thành một bảng số vô hạn bao gồm các hệ số nhị thức. Các hàng của nó được sắp xếp theo lũy thừa nhị thức từ trên xuống dưới. Trong mỗi hàng, các hệ số của nhị thức được sắp xếp theo thứ tự tăng dần của các chỉ số trên của các số tổ hợp tương ứng từ trái sang phải. Tam giác Pascal thường được viết dưới dạng cân hoặc hình chữ nhật.

Trực quan hơn và phổ biến hơn là định dạng cân, trong đó các hệ số nhị thức, được sắp xếp theo mô hình bàn cờ, tạo thành một tam giác cân vô hạn. Đoạn ban đầu của nó cho các nhị thức có bậc 4 (n = 4) như sau:

Nói chung, tam giác cân Pascal cung cấp một quy tắc hình học thuận tiện để xác định các hệ số của nhị thức, dựa trên các phép cộng và tính đối xứng của các số kết hợp. Đặc biệt, theo nhận dạng cộng, bất kỳ hệ số nhị thức nào là tổng của hai hệ số của hàng trước đó gần nhất với nó. Theo nhận dạng đối xứng, tam giác cân Pascal đối xứng với đường phân giác của nó. Do đó, mỗi hàng của nó là một palindrome số của hệ số nhị thức. Các tính năng đại số và hình học này giúp dễ dàng mở rộng tam giác cân Pascal và tìm các giá trị của hệ số nhị thức có bậc tùy ý một cách nhất quán.

Tuy nhiên, để nghiên cứu các tính chất khác nhau của tam giác Pascal, sẽ thuận tiện hơn khi sử dụng định dạng hình chữ nhật nghiêm ngặt hơn. Ở định dạng này, nó được cung cấp bởi một ma trận tam giác thấp hơn của các hệ số nhị thức, nơi chúng tạo thành một tam giác vuông vô hạn. Đoạn đầu tiên của tam giác vuông Pascal cho các nhị thức có bậc 9 (n = 9) có dạng như sau:

Về mặt hình học, một bảng hình chữ nhật như vậy có được bằng cách biến dạng theo chiều ngang của tam giác cân Pascal. Kết quả là, dãy số song song với các cạnh của tam giác cân Pascal biến thành các đường thẳng và đường chéo của tam giác vuông Pascal, và các đường ngang của cả hai tam giác này trùng nhau. Đồng thời, các quy tắc cộng và đối xứng của các hệ số nhị thức vẫn có giá trị, mặc dù tam giác vuông của Pascal mất đi tính đối xứng trực quan vốn có trong phép đối xứng của nó. Để bù đắp cho điều này, việc phân tích chính thức các thuộc tính số khác nhau của các hệ số nhị thức đối với các đường ngang, đường dọc và đường chéo của tam giác vuông Pascal trở nên thuận tiện hơn.

Bắt đầu phân tích các đường đồng mức của tam giác vuông Pascal, chúng ta dễ dàng nhận thấy rằng tổng các phần tử của bất kỳ hàng nào có số n đều bằng 2 n theo công thức tính tổng của nhị thức bằng dấu siêu. Từ đó, tổng các phần tử trên bất kỳ đường ngang nào có số n đều bằng (2 n 1). Kết quả này trở nên khá rõ ràng nếu giá trị của tổng các phần tử của mỗi hàng ngang được viết trong hệ thống số nhị phân. Ví dụ, đối với n = 4, một phép cộng như vậy có thể được viết như sau:

Dưới đây là một vài thuộc tính thú vị hơn của đường đồng mức cũng liên quan đến lũy thừa của hai. Nó chỉ ra rằng nếu số hàng ngang là một lũy thừa của hai (n = 2 k), thì tất cả các phần tử bên trong của nó (trừ các đơn vị cực trị) là số chẵn. Ngược lại, tất cả các số hàng ngang sẽ là số lẻ nếu số của nó nhỏ hơn một lũy thừa của hai (n = 2 k 1). Tính hợp lệ của các thuộc tính này có thể được xác minh bằng cách kiểm tra tính chẵn lẻ của các hệ số nhị thức bên trong, ví dụ, trong các giá trị ngang n = 4 và n = 3 hoặc n = 8 và n = 7.

Bây giờ số hàng của tam giác vuông Pascal là một số nguyên tố p. Khi đó tất cả các hệ số nhị thức trong của nó đều chia hết cho p. Thuộc tính này dễ dàng kiểm tra các giá trị nhỏ của số lượng đường ngang đơn giản. Ví dụ, tất cả các hệ số nhị thức trong của hàng ngang thứ năm (5, 10 và 5) rõ ràng là chia hết cho 5. Để chứng minh tính hợp lệ của kết quả này đối với bất kỳ số hàng ngang đơn giản p nào, chúng ta cần viết công thức nhân cho các hệ số nhị thức của nó như sau:

Vì p là số nguyên tố và do đó không chia hết cho m!, Tích của các thừa số khác của tử số của công thức này phải chia hết cho m! Để đảm bảo một giá trị nguyên của hệ số nhị thức. Theo đó, quan hệ trong dấu ngoặc vuông là một số tự nhiên N và kết quả mong muốn trở nên hiển nhiên:

Sử dụng kết quả này, có thể xác định rằng các số của tất cả các đường bao của tam giác Pascal, mà các phần tử bên trong chia hết cho một số nguyên tố p cho trước, là lũy thừa của p, tức là chúng có dạng n = p k. Đặc biệt, nếu p = 3, thì số nguyên tố p không chỉ chia tất cả các phần tử bên trong của hàng 3, như đã thiết lập ở trên, mà còn chia cho hàng ngang thứ 9 (9, 36, 84 và 126). Mặt khác, trong tam giác Pascal không thể tìm được hoành độ, tất cả các phần tử bên trong của chúng đều chia hết cho một hợp số. Nếu không, số của một hàng ngang như vậy phải đồng thời là mức độ của các ước nguyên tố của số hợp mà tất cả các phần tử bên trong của nó bị chia ra, nhưng điều này là không thể vì những lý do rõ ràng.

Những cân nhắc đã xem xét cho phép chúng ta hình thành tiêu chí chung sau đây cho tính chất chia hết của các phần tử nằm ngang trong tam giác Pascal. Ước chung lớn nhất (gcd) của tất cả các phần tử bên trong của bất kỳ hàng ngang nào của tam giác Pascal với số n bằng số nguyên tố p nếu n = pk hoặc 1 trong tất cả các trường hợp khác:

GCD (Cmn) = () với 0 bất kỳ< m < n .

Kết luận của việc phân tích các đường ngang, cần xem xét một tính chất gây tò mò nữa mà chuỗi các hệ số nhị thức tạo thành chúng có. Nếu nhân các hệ số của nhị thức ngang với số n với lũy thừa liên tiếp của số 10, rồi cộng tất cả các tích này thì thu được 11 n. Chứng minh chính thức của kết quả này là sự thay thế các giá trị X = 10 và Y = 1 (hoặc Z = 1) vào công thức nhị thức Newton. Ví dụ số sau minh họa việc triển khai thuộc tính này cho n = 5:

Việc phân tích các thuộc tính của các đường thẳng đứng của tam giác vuông Pascal có thể bắt đầu bằng việc nghiên cứu các đặc điểm riêng của các yếu tố cấu thành chúng. Về mặt hình thức, mỗi m thẳng đứng được tạo thành bởi dãy vô hạn các hệ số nhị thức sau đây với chỉ số trên không đổi (m) và gia số của chỉ số dưới:

Rõ ràng, khi m = 0 thì một dãy số đơn vị và khi m = 1 thì một dãy số tự nhiên được hình thành. Với m = 2, tiệm cận đứng tạo thành từ các số tam giác. Mỗi số tam giác có thể được mô tả trên một mặt phẳng như một tam giác đều, được lấp đầy bởi các đối tượng tùy ý (hạt nhân) được sắp xếp theo hình bàn cờ. Trong trường hợp này, giá trị của mỗi số tam giác T k xác định số hạt nhân đại diện và chỉ số cho biết cần bao nhiêu hàng hạt nhân để biểu diễn nó. Ví dụ: 4 số hình tam giác ban đầu đại diện cho các cấu hình sau từ số ký tự nhân "@" tương ứng:

Cần lưu ý rằng theo cách tương tự, người ta có thể xem xét các số bình phương S k, số này có được bằng cách bình phương các số tự nhiên, và nói chung, các số tượng hình đa giác được hình thành bằng cách điền đều các đa giác đều. Cụ thể, 4 số bình phương đầu tiên có thể được biểu diễn như sau:

Quay trở lại việc phân tích các đường thẳng đứng của tam giác Pascal, có thể nhận thấy rằng đường thẳng đứng tiếp theo tại m = 3 chứa đầy các số hình tứ diện (hình chóp). Mỗi số P k như vậy xác định số hạt nhân có thể được sắp xếp dưới dạng một tứ diện và chỉ số xác định có bao nhiêu lớp tam giác nằm ngang từ các hàng hạt nhân được yêu cầu để biểu diễn nó trong không gian ba chiều. Trong trường hợp này, tất cả các lớp nằm ngang phải được biểu diễn dưới dạng các số tam giác liên tiếp. Các phần tử của các hàng dọc tiếp theo của tam giác Pascal cho m> 3 tạo thành các dãy số siêu khối không có sự giải thích hình học rõ ràng trên mặt phẳng hoặc trong không gian ba chiều, nhưng về mặt hình thức tương ứng với các số tương tự nhiều chiều của các số tam giác và tứ diện.

Mặc dù dãy số đứng của tam giác Pascal có các đặc điểm xoăn riêng lẻ được coi là, nhưng đối với chúng, chúng ta có thể tính tổng một phần giá trị của các phần tử ban đầu theo cách tương tự bằng cách sử dụng công thức tính tổng các số tổ hợp bằng chỉ số con. . Trong tam giác Pascal, công thức này có cách giải thích hình học như sau. Tổng các giá trị của n hệ số nhị thức trên của bất kỳ hàng dọc nào bằng giá trị của phần tử của hàng dọc tiếp theo, nằm dưới một dòng dưới đây. Kết quả này cũng phù hợp với cấu trúc hình học của các số tam giác, tứ diện và siêu đa diện, vì sự biểu diễn của mỗi số như vậy bao gồm các lớp nhân đại diện cho các số có bậc thấp hơn. Cụ thể, số tam giác thứ n T n có thể nhận được bằng cách tính tổng tất cả các số tự nhiên biểu thị các sợi tuyến tính của nó:

Tương tự, có thể dễ dàng tìm được số khối tứ diện P n bằng cách tính tổng của n số tam giác đầu tiên tạo nên các lớp hạt nhân nằm ngang của nó sau đây:

Ngoài các đường ngang và đường thẳng đứng trong tam giác vuông Pascal, người ta có thể theo dõi các hàng chéo của các phần tử, việc nghiên cứu các thuộc tính của các phần tử đó cũng được quan tâm đặc biệt. Trong trường hợp này, đường chéo giảm dần và tăng dần thường được phân biệt. Các đường chéo giảm dần song song với cạnh huyền của tam giác vuông Pascal. Chúng được tạo thành bởi một loạt các hệ số nhị thức với gia số của cả hai chỉ số. Do sự đồng nhất của tính đối xứng, các đường chéo giảm dần trùng với giá trị của các phần tử của chúng với các hàng dọc tương ứng của tam giác Pascal và do đó lặp lại tất cả các thuộc tính của chúng đã xét ở trên. Sự tương ứng được chỉ định có thể được theo dõi bằng sự trùng hợp của các giá trị của các phần tử của đường chéo giảm dần và chiều dọc với bất kỳ số n nào, nếu các số không theo chiều dọc không được tính đến:

Các đường chéo tăng dần tạo thành các hàng số vuông góc với cạnh huyền của tam giác vuông Pascal. Chúng được lấp đầy bằng các hệ số nhị thức với gia số chỉ số dưới và gia số chỉ số trên. Đặc biệt, 7 đường chéo tăng dần trên tạo thành dãy số sau đây, không bao gồm các số không ở cuối:

Trong trường hợp tổng quát, các hệ số của nhị thức sau nằm trên đường chéo tăng dần với số n, tổng các chỉ số của mỗi hệ số bằng (n1):

Nhờ nhận dạng cộng cho các số kết hợp, mỗi phần tử đường chéo bằng tổng của hai phần tử tương ứng từ hai đường chéo tăng dần trước đó. Điều này làm cho nó có thể xây dựng mỗi đường chéo tăng dần tiếp theo bằng cách tổng hợp từng cặp các phần tử nằm ngang liền kề từ hai đường chéo trước đó, mở rộng vô hạn tam giác Pascal dọc theo đường chéo. Đoạn sau của tam giác Pascal minh họa việc xây dựng một đường chéo tăng dần với số 8 dọc theo các đường chéo với số 6 và 7:

Với phương pháp xây dựng này, tổng các phần tử của bất kỳ đường chéo tăng dần nào, bắt đầu từ đường chéo thứ 3, sẽ bằng tổng các phần tử của hai đường chéo tăng dần trước đó và 2 đường chéo đầu tiên chỉ bao gồm một phần tử, giá trị trong đó là 1. Kết quả của các phép tính tương ứng tạo thành một dãy số sau đây, theo đó có thể xác minh tính hợp lệ của tính chất đã xét của các đường chéo tăng dần của tam giác vuông Pascal:

Phân tích những con số này, bạn có thể thấy rằng, theo một quy luật tương tự, dãy số Fibonacci nổi tiếng được hình thành, trong đó mỗi số kế tiếp bằng tổng của hai số trước đó và hai số đầu tiên bằng 1:

Do đó, kết luận quan trọng sau đây có thể được rút ra: tổng đường chéo của các phần tử của tam giác Pascal tạo thành dãy Fibonacci. Thuộc tính này cho phép chúng ta thiết lập một đặc điểm thú vị khác của tam giác Pascal. Khai triển đệ quy công thức Fibonacci, dễ dàng chứng minh rằng tổng của n số Fibonacci đầu tiên bằng (F n + 2 1).

Do đó, tổng các hệ số của nhị thức lấp đầy n đường chéo trên cùng cũng bằng (F n + 2 1). Kết quả là tổng n đường chéo đầu tiên của tam giác Pascal nhỏ hơn 1 so với tổng các hệ số của nhị thức đứng trên đường chéo của nó với số (n + 2).

Tóm lại, cần lưu ý rằng các tính chất được xem xét của các đường ngang, đường thẳng đứng và đường chéo của tam giác Pascal còn lâu mới làm cạn kiệt nhiều khả năng liên kết với nhau các khía cạnh toán học mà thoạt nhìn không có điểm chung nào. Tính chất bất thường như vậy khiến ta có thể coi tam giác Pascal là một trong những hệ số cao cấp nhất, không thể liệt kê hết tất cả các khả năng xảy ra và khó có thể đánh giá quá cao.

Thuật toán tính số tổ hợp sử dụng tam giác Pascal được trình bày dưới đây:

Hàm Private SochTT (ByVal n As Integer, ByVal k As Integer) As Double Dim i As Integer Dim j As Integer Dim TT () As Double ReDim TT (n, k) For i = 0 To n TT (0, i) = 1 TT (i, i) = 1 Tiếp theo Đối với i = 2 Đến n Đối với j = 1 Đến i - 1 TT (i, j) = TT (i - 1, j - 1) + TT (i - 1, j) Tiếp theo Tiếp theo SochTT = TT (n, k) Hàm Kết thúc

Nếu bạn cần tính số tổ hợp nhiều lần, thì có thể thuận tiện hơn khi xây dựng tam giác Pascal một lần, rồi lấy dữ liệu từ mảng.

Dim TT () As Double Private Sub CreateTT () ReDim TT (0, 0) BuildTT 0, 0 End Sub Sub Private Function SochTT (ByVal n As Integer, ByVal k As Integer) As Double If n> Ubound (TT) then BuildTT Ubound (TT) + 1, n SochTT = TT (n, k) End Function Sub Private Sub Terminat () ReDim TT (0, 0) End Sub Private Sub BuildTT (ByVal start As Integer, ByVal end As Integer) Dim i As Integer Dim j As Integer ReDim Bảo tồn TT (end, end) For i = start To end TT (0, i) = 1 TT (i, i) = 1 Next If end< 2 Then Exit Sub If start < 2 Then start = 2 For i = start To end For j = 1 To i - 1 TT (i, j) = TT (i - 1, j - 1) + TT (i - 1, j) Next Next End Sub

Trước tiên, bạn cần gọi thủ tục CreateTT. Sau đó, bạn có thể nhận được số lượng kết hợp bằng cách sử dụng chức năng SochTT. Khi bạn không cần hình tam giác nữa, hãy gọi TerminatTT. Trong đoạn mã trên, khi gọi hàm SochTT, nếu tam giác vẫn chưa được hoàn thành đến mức yêu cầu, thì nó được hoàn thành bằng thủ tục BuildTT. Sau đó, hàm sẽ lấy phần tử bắt buộc của mảng TT và trả về nó.

Dim X () As Integer Dim Counter () As Integer Dim K As Integer Dim N As Integer Public Sub Soch () Dim i As Integer N = CInt (InputBox ("Enter N")) K = CInt (InputBox ("Enter K ")) K = K + 1 ReDim X (N) For i = 1 To N X (i) = i Next txtOut.Text =" "ReDim Counter (K) Counter (0) = 1 SochGenerate 1 End Sub Private Sub SochGenerate ( ByVal c As Integer) Dim i As Integer Dim j As Integer Dim n1 As Integer Dim Out () As Integer Dim X1 () As Integer If c = K Then ReDim Out (K) X1 = X For i = 1 To K - 1 n1 = 0 Đối với j = 1 Đến N Nếu X1 (j)<>0 Thì n1 = n1 + 1 Nếu n1 = Bộ đếm (i) Thì Ra (i) = X1 (j) X1 (j) = 0 Thoát Cho Kết thúc Nếu Tiếp theo txtOut.Text = txtOut.Text & CStr (Hết (i)) Next txtOut.Text = txtOut.Text & vbCrLf Else For Counter (c) = Counter (c - 1) To N - c + 1 SochGenerate c + 1 Next End If End Sub

Phép liệt kê các tổ hợp số tự nhiên

Để giải quyết nhiều vấn đề thực tế, cần phải liệt kê tất cả các tổ hợp của số lượng cố định có thể nhận được từ các phần tử của một tập hợp hữu hạn đã cho, chứ không chỉ xác định số của chúng. Với khả năng luôn tồn tại của việc đánh số nguyên các phần tử của bất kỳ tập hợp hữu hạn nào, trong hầu hết các trường hợp, chúng ta được phép hạn chế sử dụng các thuật toán để liệt kê các tổ hợp số tự nhiên. Tự nhiên nhất và đơn giản nhất trong số đó là thuật toán liệt kê các tổ hợp số tự nhiên trong thứ tự lexigraphic.

Để mô tả chính thức thuật toán này, thuận tiện khi giả sử rằng tập hợp chính, tất cả các tổ hợp gồm m phần tử của chúng phải được liệt kê, tạo thành các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến n. Sau đó, bất kỳ sự kết hợp nào của m

Kết quả của việc sắp xếp, giá trị ở mỗi vị trí của một vectơ kết hợp như vậy tự nhiên bị giới hạn về giá trị từ trên xuống dưới như sau:

Thuật toán từ vựng liên tục tạo ra các vectơ kết hợp như vậy, bắt đầu từ vectơ nhỏ nhất về mặt từ vựng, trong đó tất cả các vị trí đều chứa các giá trị nhỏ nhất có thể có sau đây của các phần tử bằng chỉ số của chúng:

Mỗi vectơ kết hợp tiếp theo được tạo từ vectơ hiện tại sau khi xem các phần tử của nó từ trái sang phải để tìm phần tử ngoài cùng bên phải chưa đạt đến giá trị giới hạn:

Giá trị của một phần tử như vậy phải được tăng lên 1. Mỗi phần tử ở bên phải của nó phải được gán giá trị nhỏ nhất có thể, giá trị này nhiều hơn 1 phần tử ở bên trái. Sau những thay đổi này, vectơ kết hợp tiếp theo sẽ có thành phần nguyên tố sau:

Do đó, vectơ kết hợp tiếp theo sẽ lớn hơn về mặt từ vựng so với vectơ trước đó, vì giá trị của các phần tử ban đầu (j1) của chúng có giá trị bằng nhau và giá trị của phần tử ở vị trí j lớn hơn giá trị của phần tử trước đó 1 . Mối quan hệ được chỉ định của thứ tự từ vựng tăng dần được đảm bảo thỏa mãn ở tất cả các lần lặp lại của thuật toán. Kết quả là, một chuỗi từ vựng tăng dần được hình thành, được hoàn thành bởi vectơ kết hợp từ vựng lớn nhất, trong đó các phần tử ở tất cả các vị trí đều có giá trị lớn nhất sau:

Thuật toán từ vựng được xem xét minh họa ví dụ sau, trong đó cần liệt kê theo thứ tự từ vựng tăng dần tất cả 15 tổ hợp của n = 6 số tự nhiên đầu tiên với m = 4 số, nghĩa là tất cả các tập con 4 phần tử có thể có của tập sinh chính ( 1, 2, 3, 4, 5, 6) trong số 6 phần tử. Kết quả tính toán được trình bày trong bảng sau:

Trong ví dụ này, giá trị cho phép lớn nhất của các số ở vị trí của các vectơ kết hợp lần lượt là 3, 4, 5 và 6. Để thuận tiện cho việc giải thích kết quả trong mỗi vectơ kết hợp, phần tử ngoài cùng bên phải, không chưa đạt đến giá trị lớn nhất, được gạch chân. Chỉ mục số của các vectơ kết hợp xác định số lượng của chúng theo thứ tự từ vựng. Trong trường hợp chung, số từ vựng N của bất kỳ tổ hợp n phần tử nào theo m có thể được tính theo công thức sau đây, trong đó, vì lý do thẩm mỹ, biểu tượng của Appel được sử dụng để chỉ số tổ hợp:

Cụ thể, các phép tính sau sử dụng công thức này cho tổ hợp số (1, 3, 4, 6) của n = 6 phần tử với m = 4 theo thứ tự từ vựng sẽ cho kết quả N = 8, tương ứng với ví dụ đã thảo luận ở trên:

Trong trường hợp chung, sử dụng đồng nhất cho tổng số các kết hợp cho cả hai chỉ số, có thể chỉ ra rằng số lượng của kết hợp từ vựng nhỏ nhất (1, ... i, ... m) khi tính toán bằng cách sử dụng này công thức sẽ luôn bằng 1:

Rõ ràng là số tổ hợp từ vựng lớn nhất (m, ... nm + i, ... n) khi tính theo công thức này sẽ bằng số tổ hợp của n phần tử theo m:

Công thức tính số lượng từ vựng của các kết hợp có thể được sử dụng để giải một bài toán ngược trong đó yêu cầu xác định vectơ kết hợp theo số của nó theo thứ tự từ vựng. Để giải một bài toán nghịch đảo như vậy, nó phải được viết dưới dạng một phương trình, trong đó tất cả các giá trị chưa biết của các phần tử của vectơ của tổ hợp mong muốn (C 1, ... C i, ... C m) được tập trung ở số lượng các tổ hợp ở vế phải của nó và hiệu số đã biết L của số tổ hợp được viết ở vế trái của n phần tử bằng m và số tổ hợp mong muốn N:

Giải pháp của phương trình này cung cấp thuật toán "tham lam" sau đây, trên các lần lặp trong đó giá trị của các phần tử của vectơ của tổ hợp mong muốn được chọn tuần tự. Ở lần lặp đầu tiên, giá trị C 1 nhỏ nhất có thể (trong giới hạn của nó) được chọn, trong đó số hạng đầu tiên ở phía bên phải sẽ có giá trị lớn nhất không vượt quá L:

Bây giờ vế trái của L sẽ được giảm bớt bởi số tổ hợp đầu tiên ở vế phải với giá trị được chọn là C 1 và giá trị của C 2 sẽ được xác định theo cách tương tự ở lần lặp thứ hai:

Tương tự, tất cả các lần lặp tiếp theo phải được thực hiện để chọn giá trị của tất cả các phần tử khác C i của tổ hợp mong muốn, cho đến phần tử cuối cùng C m:

Vì những lý do hiển nhiên, giá trị của phần tử cuối cùng C m có thể được xác định dựa trên sự bằng nhau của số tổ hợp của nó với giá trị còn lại của vế trái của L:

Cần lưu ý rằng giá trị của phần tử cuối cùng của tổ hợp C m có thể được tìm thấy đơn giản hơn, mà không cần liệt kê các giá trị có thể có của nó:

Việc thực hiện các lần lặp của thuật toán được xem xét được minh họa bằng ví dụ sau, trong đó cần xác định các kết hợp với số N = 8 theo thứ tự từ vựng, nếu n = 6 và m = 4:

Khả năng thuật toán để xác định sự kết hợp của một số nhất định theo thứ tự từ vựng có thể được sử dụng theo nhiều hướng khác nhau. Đặc biệt, khi liệt kê các kết hợp theo thứ tự lexigraphic, yêu cầu cung cấp trở lại cho bất kỳ kết hợp nào đã có trước đó, chỉ cần biết số của nó là đủ. Ngoài ra, có thể tạo ra các kết hợp theo bất kỳ thứ tự nào điều chỉnh một chuỗi các số từ vựng cho trước tùy ý của chúng.

Bây giờ chúng tôi trình bày thuật toán để tạo kết hợp theo thứ tự từ vựng:

2 for i: = 1 to k do A [i]: = i;

5 begin write (A,…, A [k]);

6 if A [k] = n then p: = p 1 else p: = k;

8 cho i: = k downto p do A [i]: = A [p] + i p + 1

SỰ KẾT HỢP VỚI YÊU CẦU CỦA CÁC YẾU TỐ

Ngược lại với sự kết hợp cổ điển, trong đó tất cả các phần tử đều khác nhau, một sự kết hợp với sự lặp lại tạo thành một sự lựa chọn không có thứ tự các phần tử của một tập hợp hữu hạn, trong đó bất kỳ phần tử nào có thể xuất hiện thường xuyên và không nhất thiết phải có mặt trong một bản sao duy nhất. Đồng thời, số lần lặp lại của các phần tử thường chỉ bị giới hạn bởi độ dài của tổ hợp và các kết hợp khác nhau bởi ít nhất một phần tử được coi là khác nhau. Ví dụ: bằng cách chọn 4 số khác nhau tùy ý từ bộ 1, 2 và 3, bạn có thể tạo 15 kết hợp sau với số lần lặp lại:

1111 1112 1113 1122 1123 1133 1222 1223 1233 1333 2222 2223 2233 2333 3333.

Trong trường hợp tổng quát, các tổ hợp có số lần lặp lại có thể được hình thành bằng cách chọn n phần tử có kiểu tùy ý. Tuy nhiên, chúng luôn có thể liên kết với các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến n. Sau đó, bất kỳ tổ hợp nào của m số khác nhau tùy ý trong phạm vi này có thể được viết dưới dạng vectơ, sắp xếp chúng theo thứ tự không giảm từ trái sang phải:

Đương nhiên, với hình thức viết này, bất kỳ phần tử lân cận nào cũng có thể bằng nhau do khả năng lặp lại không giới hạn. Tuy nhiên, mỗi vectơ kết hợp có số lần lặp lại của n phần tử bởi m có thể được liên kết với một vectơ kết hợp của (n + m - 1) phần tử của m, được xây dựng như sau:

Rõ ràng rằng đối với bất kỳ giá trị nào của các phần tử của vectơ f, các phần tử của vectơ C được đảm bảo là khác nhau và được sắp xếp theo thứ tự tăng dần các giá trị của chúng trong phạm vi từ 1 đến (n + m1) :

Sự hiện diện của sự tương ứng 1-1 giữa các phần tử của vectơ tổ hợp f và C cho phép chúng tôi đề xuất phương pháp đơn giản sau đây để liệt kê một cách có hệ thống các tổ hợp với số lần lặp lại của n phần tử trên m. Ví dụ, chỉ cần liệt kê theo thứ tự từ vựng tất cả các tổ hợp C của (n + m1) phần tử theo m, tuần tự chuyển các phần tử của mỗi phần tử đó thành các phần tử tương ứng của các tổ hợp có số lần lặp lại f theo công thức sau:

Kết quả là, một chuỗi các vectơ kết hợp với sự lặp lại của các phần tử được hình thành, được sắp xếp theo thứ tự được tạo ra bởi việc liệt kê các tổ hợp tương ứng mà không có sự lặp lại của các phần tử. Đặc biệt, để có được dãy tổ hợp 3 chữ số 1, 2, 3 trên với 4 chữ số lặp lại thì phải liệt kê theo thứ tự từ vựng tất cả các tổ hợp không có sự lặp lại của 6 chữ số 1,2,3,4,5. và 6 x 4 chữ số, chuyển đổi chúng theo cách được chỉ định. Ví dụ sau đây cho thấy một sự biến đổi như vậy của sự kết hợp (1,3,4,6) với số 8 từ vựng:

Sự tương ứng được coi là 1-1 giữa các kết hợp có lặp lại và không có lặp lại các phần tử có nghĩa là các tập hợp của chúng là tương đương. Do đó, trong trường hợp tổng quát, số tổ hợp có lặp lại n phần tử trên m bằng số tổ hợp không lặp lại từ (n + m1) phần tử trên m. Sử dụng cùng một biểu tượng để biểu thị số lượng kết hợp có lặp lại f và không lặp lại C, đẳng thức này có thể được viết như sau:

Dễ dàng kiểm tra rằng đối với ví dụ trên, trong đó n = 3 và m = 4, số tổ hợp có lặp lại sẽ là 15, trùng với kết quả của phép liệt kê trực tiếp của chúng:

Cần lưu ý rằng, không giống như phiên bản cổ điển, các giá trị của các tham số kết hợp có số lần lặp lại n và m không liên quan trực tiếp với nhau, do đó f (n, m)> 0 với bất kỳ kết hợp nào của các giá trị dương của chúng. Các điều kiện biên tương ứng được xác định từ sự bằng nhau giữa các giá trị (n + m1) và (n1) hoặc (n + m1) và m:

Cũng cần phải thấy rõ rằng nếu m bằng 1 thì không có sự lặp lại của các phần tử và do đó, với bất kỳ giá trị dương nào của n> 0, thì đẳng thức sau đây sẽ được giữ nguyên:

Ngoài ra, đối với các số tổ hợp có số lần lặp lại cho bất kỳ giá trị dương nào của n và m, quan hệ lặp lại sau đây được giữ nguyên, tương tự như nhận dạng cộng cho các số tổ hợp không có phần tử lặp lại:

Trên thực tế, nó biến thành danh tính bổ sung được chỉ định với sự thay thế chính thức của các số tổ hợp tương ứng mà không lặp lại ở các phần bên trái và bên phải của nó:

Quan hệ lặp lại được xem xét có thể được sử dụng để xác định một cách hiệu quả số lượng kết hợp có lặp lại, khi điều quan trọng là loại trừ các phép toán tốn thời gian để tính tích giai thừa và thay thế chúng bằng các phép cộng đơn giản hơn. Đồng thời, để tính giá trị của f (n, m), bạn chỉ cần áp dụng quan hệ lặp lại này cho đến khi bạn nhận được tổng các số hạng có dạng f (1, m) và f (i, 1), trong đó i nhận các giá trị trong khoảng từ n đến 1. Theo định nghĩa, các số hạng như vậy lần lượt bằng 1 và i. Ví dụ sau minh họa việc sử dụng kỹ thuật biến đổi này cho trường hợp n = 3 và m = 4:

Liệt kê các kết hợp nhị phân

Khi thực hiện kết hợp trong phần cứng hoặc khi lập trình bằng hợp ngữ, điều quan trọng là có thể xử lý các bản ghi kết hợp ở định dạng nhị phân. Trong trường hợp này, bất kỳ tổ hợp nào của n phần tử theo m phải được chỉ định dưới dạng số nhị phân n bit (B n,… B j,… B 1), trong đó m chữ số đơn biểu thị các phần tử của tổ hợp, và các chữ số (nm) còn lại có giá trị bằng không. Rõ ràng, với hình thức viết này, các tổ hợp khác nhau phải khác nhau về cách sắp xếp các đơn vị và chỉ có C (n, m) cách sắp xếp m đơn vị hoặc (nm) số không trong tập nhị phân n-bit. Ví dụ: bảng sau liệt kê tất cả 6 kết hợp nhị phân như vậy cung cấp số nhị phân 4 bit cho tất cả các kết hợp 4 phần tử của một tập tùy ý (E 1, E 2, E 3, E 4) bằng 2:

Trong trường hợp tổng quát, nhiệm vụ liệt kê các tổ hợp nhị phân như vậy được rút gọn thành liệt kê một cách có hệ thống tất cả các bộ nhị phân n-bit với các cách sắp xếp khác nhau của m bit đơn và (nm) không. Ở dạng đơn giản nhất, liệt kê như vậy được thực hiện bằng nhiều phương pháp chuyển vị của các chữ số liền kề với một sự dịch chuyển (các thuật toán dịch chuyển theo chiều dương tính). Đây là các thuật toán lặp lại và tên của chúng phản ánh bản chất của các hoạt động được thực hiện ở mỗi bước. Các thủ tục lặp đi lặp lại của các thuật toán dịch chuyển từ tính tạo thành chuỗi các kết hợp nhị phân bắt đầu bằng một tập nhị phân, trong đó tất cả các tổ hợp này tập trung ở các bit bậc thấp (ở bên phải) và kết thúc khi tất cả các kết hợp đó ở các bit bậc cao (ở bên trái ):

Trùng hợp trong các kết hợp ban đầu và cuối cùng, các chuỗi này khác nhau về thứ tự liệt kê các tập nhị phân trung gian. Tuy nhiên, trong mọi trường hợp, mỗi tổ hợp nhị phân tiếp theo được hình thành theo tổ hợp trước đó là kết quả của việc thực hiện các phép toán chuyển vị và dịch chuyển tương ứng. Đồng thời, các thuật toán chuyển đổi từ tính khác nhau khác nhau ở cách chọn một cặp chữ số để chuyển vị và một nhóm chữ số để dịch chuyển. Tính cụ thể này được xem xét dưới đây đối với các thuật toán chuyển vị với các dịch chuyển trái và phải.

Trong thuật toán chuyển vị với sự dịch chuyển sang trái ở mỗi bước, kết hợp nhị phân tiếp theo thu được từ kết hợp hiện tại bằng cách thay thế cặp bit ngoài cùng bên trái 01 bằng 10 (chuyển vị) và dịch chuyển nhóm các bit đơn vị hàng đầu, nếu có, gần với cặp 10 thu được sau khi chuyển vị (chuyển dịch). Nếu trong trường hợp này không có cái nào trong các bit cao nhất trong tổ hợp nhị phân hiện tại, thì sự dịch chuyển không được thực hiện, ngay cả khi đơn vị hàng đầu thu được sau khi chuyển vị ở bước này. Việc dịch chuyển cũng không được thực hiện khi không có số 0 nào trong các bit bậc cao trước cặp số 10 thu được sau khi chuyển vị. Các hành động được xem xét được minh họa bằng ví dụ sau về việc thực hiện hai lần lặp liên tiếp của thuật toán này, trong đó tại một lần lặp (15) chỉ phép chuyển vị (T ") được thực hiện và ở lần lặp khác (16), phép chuyển vị được bổ sung bằng một phép dịch chuyển (T "+ S"):

Trong thuật toán chuyển vị sang phải, các hành động tương tự về mặt khái niệm được thực hiện ở mỗi bước. Chỉ có phép chuyển vị đảm bảo rằng các chữ số ngoài cùng bên phải 01 được thay thế bằng 10 (thay vì các chữ số ngoài cùng bên trái), và sau đó tất cả các đơn vị ở bên phải của nó được chuyển sang các chữ số thấp hơn. Như trước đây, sự thay đổi chỉ được thực hiện nếu có đơn vị có thể được chuyển sang bên phải. Các hành động được xem xét được minh họa bằng ví dụ sau đây về việc thực hiện hai lần lặp liên tiếp của thuật toán này, trong đó tại một lần lặp (3) chỉ phép chuyển vị (T ") được thực hiện và ở lần lặp khác (4) phép chuyển vị được bổ sung bằng một phép dịch chuyển (T "+ S"):

Cần lưu ý rằng các lần lặp của cả hai thuật toán có thể được viết ở dạng cộng nếu các kết hợp nhị phân được hiểu là các số nguyên trong hệ thống số ở cơ số 2. Đặc biệt, đối với thuật toán chuyển vị với một dịch chuyển phải, mỗi kết hợp nhị phân tiếp theo (B "n,… B" j,… B "1) luôn có thể nhận được từ tổ hợp hiện tại (B n,… B j,… B 1) bằng cách thực hiện các phép toán cộng số nguyên sử dụng công thức cộng sau:

Trong công thức cộng này, số mũ của hai f và t biểu thị tương ứng, số lượng số không của tổ hợp nhị phân hiện tại và số đơn vị liên tiếp ở bên trái chúng. Ví dụ, đối với tổ hợp nhị phân thứ 4 (001110) của n = 6 bit, f = 1 và t = 3. Do đó, phép tính tổ hợp nhị phân tiếp theo bằng công thức cộng ở lần lặp 5 sẽ cho kết quả sau, tương đương với việc thực hiện các phép toán chuyển vị và dịch chuyển:

Để phân tích so sánh các thuật toán chuyển vị được xem xét với các dịch chuyển trái và phải, bạn nên so sánh các chuỗi kết hợp nhị phân mà chúng tạo ra tại các lần lặp lại của chúng. Bảng sau đây cho thấy hai chuỗi kết hợp nhị phân của 4 phần tử bằng 2, được thu được bởi các thuật toán dịch chuyển trái (TSL) và phải (TSR), tương ứng:

So sánh 2 chuỗi này, bạn có thể thấy rằng chúng được phản chiếu ngược. Điều này có nghĩa là bất kỳ hai kết hợp nhị phân nào nằm trong chúng ở cùng một khoảng cách từ hai đầu đối diện nhau của chuỗi của chúng là hình ảnh phản chiếu của nhau, nghĩa là chúng trùng khớp khi thay đổi lập chỉ mục ngược lại của các bit trong bất kỳ chuỗi nào trong số chúng. Ví dụ: mẫu nhị phân thứ hai từ đầu chuỗi TSL (0101) là hình ảnh phản chiếu của mẫu nhị phân (1010) nằm thứ hai tính từ cuối chuỗi TSR. Trong trường hợp chung, bất kỳ kết hợp nhị phân nào với số i của một dãy đều là hình ảnh phản chiếu của kết hợp nhị phân với số (ni + 1) của dãy khác. Tỷ lệ như vậy của các chuỗi này là kết quả của tính chất đối xứng của các phép toán chuyển vị và dịch chuyển trong hai thuật toán được xem xét để liệt kê các kết hợp nhị phân.

Cần lưu ý rằng định dạng nhị phân cũng có thể được sử dụng để viết các kết hợp có sự lặp lại của các phần tử. Để làm điều này, bạn cần thiết lập sự tương ứng 1-1 giữa các kết hợp có lặp lại và kết hợp nhị phân, được xây dựng như sau. Để có một tổ hợp tùy ý có lặp lại, kết hợp này có được bằng cách chọn m phần tử khác nhau tùy ý từ n phần tử của tập sinh. Để thiết lập sự tương ứng mong muốn, trước tiên bạn phải gắn vào tổ hợp tất cả các phần tử của tập hợp sinh (cat), và sau đó sắp xếp kết quả nối (sắp xếp) để tất cả các phần tử giống nhau ở gần nhau. Kết quả là một dãy gồm (n + m) phần tử, trong đó n nhóm các phần tử giống hệt nhau. Sẽ chỉ có (n + m1) khoảng cách giữa các phần tử, trong đó sẽ có (n1) khoảng cách giữa các nhóm phần tử giống nhau và m khoảng cách giữa các phần tử trong nhóm. Để rõ ràng, trong các khoảng thời gian xác định, bạn có thể đặt các ký tự "|" và tương ứng. Nếu bây giờ chúng ta ánh xạ 1 tới các khoảng trống giữa các nhóm (|) và 0 với tất cả các khoảng trống khác (), thì chúng ta sẽ nhận được một tổ hợp nhị phân. Nó được tạo thành bởi một bộ nhị phân gồm (n + m1) chữ số, trong đó (n1) là hàng đơn vị và m chữ số 0, vị trí của chúng tương ứng duy nhất với tổ hợp ban đầu với sự lặp lại từ các phần tử n đến m. Kỹ thuật biến đổi được xem xét được minh họa bằng ví dụ sau về việc xây dựng một tổ hợp nhị phân (1001101) bằng cách kết hợp với các lần lặp lại (BBD), các phần tử của chúng được chọn từ tập hợp sinh gồm năm chữ cái Latinh đầu tiên:

Nói chung, số lượng bộ nhị phân như vậy xác định số cách sắp xếp (n1) hàng đơn vị (hoặc m số không) trong (n + m1) chữ số nhị phân. Giá trị này rõ ràng là bằng số kết hợp từ (n + m1) trên (n1) hoặc trên m, nghĩa là C (n + m1, n1) hoặc C (n + m1, m), bằng số tổ hợp có lặp lại f (n, m) của n phần tử bằng m. Do đó, có sự tương ứng 1-1 giữa các kết hợp có lặp lại và kết hợp nhị phân, nên giảm việc liệt kê các kết hợp có lặp lại thành một liệt kê các kết hợp nhị phân, ví dụ, bằng cách sử dụng các thuật toán chuyển vị với dịch chuyển trái hoặc phải. Sau đó, bạn chỉ cần khôi phục các kết hợp mong muốn với các lần lặp lại từ các kết hợp nhị phân thu được. Điều này luôn có thể được thực hiện bằng cách áp dụng kỹ thuật phục hình sau đây.

Cho tập hợp chính, từ các phần tử mà các tổ hợp được tạo thành với sự lặp lại của m phần tử khác nhau tùy ý, được sắp xếp tùy ý sao cho mỗi phần tử của nó có một số thứ tự nhất định từ 1 đến n. Để việc liệt kê các kết hợp nhị phân của (n + m1) chữ số nhị phân cũng được thực hiện, trong đó (n1) là một chữ số không và m. Mỗi kết hợp nhị phân kết quả có thể được bổ sung ở bên trái bằng một chữ số đơn vị giả tưởng và tất cả các chữ số hàng đơn vị có thể được đánh số từ trái sang phải với các số nguyên từ 1 đến n. Khi đó số lượng các số không đứng trong một hàng sau mỗi đơn vị thứ i của tổ hợp nhị phân sẽ bằng số lần xuất hiện của phần tử thứ i của tập hợp chính trong tổ hợp tương ứng với các lần lặp lại. Kỹ thuật được xem xét được minh họa bằng ví dụ sau, trong đó tổ hợp nhị phân (1001101) khôi phục kết hợp với các lần lặp lại BBD, các phần tử của chúng được chọn từ tập hợp sinh gồm năm chữ cái Latinh đầu tiên được viết theo thứ tự bảng chữ cái và phần gạch ngang cho biết các phần tử không có trong sự kết hợp này:

Thực hiện các hành động tương tự trong các điều kiện của ví dụ này, bạn có thể liệt kê tất cả 35 kết hợp nhị phân tạo thành bộ nhị phân 7 bit, trong đó 4 cái và 3 số không, đồng thời khôi phục các kết hợp tương ứng với số lần lặp lại của 5 phần tử bằng 3.

Đôi khi chúng tôi chọn từ nhiều bất kể thứ tự. Sự lựa chọn như vậy được gọi là sự kết hợp . Ví dụ, nếu bạn chơi bài, bạn biết rằng trong hầu hết các tình huống, thứ tự bạn cầm các lá bài không quan trọng.

ví dụ 1 Tìm tất cả các kết hợp của 3 chữ cái được lấy từ bộ 5 chữ cái (A, B, C, D, E).

Dung dịch Những kết hợp này là:
(A, B, C), (A, B, D),
(A, B, E), (A, C, D),
(A, C, E), (A, D, E),
(B, C, D), (B, C, E),
(B, D, E), (C, D, E).
Có 10 sự kết hợp của ba chữ cái, được chọn từ năm chữ cái.

Khi chúng ta tìm tất cả các tổ hợp từ một tập hợp có 5 đối tượng, nếu chúng ta lấy 3 đối tượng cùng một lúc, chúng ta tìm thấy tất cả các tập hợp con có 3 phần tử. Trong trường hợp này, thứ tự của các đối tượng không được xem xét. Sau đó,
(A, C, B) được gọi là cùng một tập với (A, B, C).

Tập hợp con
Tập hợp A là tập con của B, và có nghĩa là A là tập con và / hoặc giống với B nếu mọi phần tử của A đều là phần tử của B.

Các phần tử của một tập hợp con không được sắp xếp theo thứ tự. Khi các kết hợp được xem xét, thứ tự không được xem xét!

Sự kết hợp
Sự kết hợp, chứa k đối tượng là một tập con gồm k đối tượng.

Chúng ta muốn viết công thức tính số tổ hợp của n đối tượng nếu lấy k đối tượng cùng một lúc.

Kí hiệu kết hợp
Số tổ hợp của n đối tượng, nếu lấy cùng một lúc, được ký hiệu là n C k.

Chúng tôi gọi là n C k số lượng kết hợp . Chúng ta muốn viết công thức tổng quát cho n C k với k ≤ n bất kỳ. Đầu tiên, đúng là n C n = 1, vì một tập có n phần tử chỉ có một tập con với n phần tử, là tập chính nó. Thứ hai, n C 1 = n vì một tập có n phần tử chỉ có n tập con với mỗi tập 1 phần tử. Cuối cùng, n C 0 = 1, vì một tập có n phần tử chỉ có một tập con có 0 phần tử, tức là tập rỗng ∅. Để xem xét các tổ hợp khác, hãy quay lại Ví dụ 1 và so sánh số tổ hợp với số hoán vị.

Lưu ý rằng mỗi tổ hợp của 3 phần tử có 6, hoặc 3 !, hoán vị.
3! . 5 C 3 \ u003d 60 \ u003d 5 P 3 \ u003d 5. bốn. 3,
vì thế
.
Nói chung, số tổ hợp k phần tử được chọn từ n đối tượng, n C k lần hoán vị của k phần tử này !, phải bằng số hoán vị của n phần tử trên k phần tử:
k !. n C k = n P k
n C k = n P k / k!
n C k = (1 / k!). nP k
n Ck =

Kết hợp của k đối tượng trong số n đối tượng
Tổng số tổ hợp của k phần tử từ n đối tượng được ký hiệu là n C k, được xác định bởi
(1) n C k =,
hoặc
(2) n C k =

Một loại ký hiệu khác của n C k là hệ số nhị thức . Lý do cho thuật ngữ này sẽ trở nên rõ ràng dưới đây.

Hệ số nhị thức

Ví dụ 2 Tính toán theo công thức (1) và (2).

Dung dịch
a) Theo (1),
.
b) Theo (2),

Hãy nhớ rằng điều đó không có nghĩa là n / k.

Ví dụ 3 Tính toán và.

Dung dịch Chúng tôi sử dụng công thức (1) cho biểu thức đầu tiên và công thức (2) cho biểu thức thứ hai. sau đó
,
sử dụng (1) và
,
sử dụng công thức (2).

lưu ý rằng
,
và sử dụng kết quả của ví dụ 2 cho chúng ta
.
Điều này ngụ ý rằng số lượng của một tập hợp con 5 phần tử của một tập hợp 7 phần tử bằng với số lượng một tập hợp con 2 phần tử của một tập hợp 7 phần tử. Khi 5 phần tử được chọn từ một tập hợp, chúng không bao gồm 2 phần tử. Để thấy điều này, hãy xem xét tập hợp (A, B, C, D, E, F, G):

Nói chung, chúng tôi có những điều sau đây. Kết quả này cung cấp một cách thay thế để tính toán kết hợp.

Các tập con có kích thước k và kích thước
và n C k = n C n-k
Số lượng các tập con có kích thước k của một tập hợp có n đối tượng bằng số lượng các tập hợp con có kích thước n - k. các đối tượng chụp cùng một lúc.

Bây giờ chúng ta sẽ giải quyết vấn đề với các tổ hợp.

Ví dụ 4 Xổ số Michigan. Được tổ chức ở bang Michigan hai lần một tuần, WINFALL có một giải độc đắc, theo ít nhất, tương đương với 2 triệu đô la Mỹ. Đối với một đô la, người chơi có thể gạch bỏ 6 con số bất kỳ từ 1 đến 49. Nếu những con số này trùng với những con số rơi ra trong quá trình xổ số, người chơi sẽ thắng. (

Tổ hợp là một nhánh của toán học nghiên cứu các câu hỏi về bao nhiêu tổ hợp khác nhau, tùy thuộc vào các điều kiện nhất định, có thể được tạo ra từ các đối tượng nhất định. Những điều cơ bản của tổ hợp là rất quan trọng để ước tính xác suất của các sự kiện ngẫu nhiên, bởi vì chính chúng làm cho nó có thể tính toán số lượng cơ bản có thể có của các kịch bản khác nhau cho sự phát triển của các sự kiện.

Công thức tổ hợp cơ bản

Cho có k nhóm phần tử và nhóm thứ i gồm n phần tử i. Hãy chọn một phần tử từ mỗi nhóm. Khi đó, tổng số N cách có thể thực hiện lựa chọn như vậy được xác định theo quan hệ N = n 1 * n 2 * n 3 * ... * n k.

ví dụ 1 Hãy để chúng tôi giải thích quy tắc này bằng một ví dụ đơn giản. Cho có hai nhóm phần tử, nhóm thứ nhất gồm n 1 phần tử và nhóm thứ hai gồm n 2 phần tử. Có thể tạo ra bao nhiêu cặp nguyên tố khác nhau từ hai nhóm này để mỗi nhóm chứa một nguyên tố? Giả sử chúng ta lấy phần tử đầu tiên từ nhóm đầu tiên và không thay đổi nó, đi qua tất cả các cặp có thể, chỉ thay đổi các phần tử từ nhóm thứ hai. Có n 2 cặp như vậy cho phần tử này. Sau đó, chúng tôi lấy phần tử thứ hai từ nhóm đầu tiên và cũng tạo tất cả các cặp có thể có cho nó. Cũng sẽ có n 2 cặp như vậy. Vì chỉ có n 1 phần tử trong nhóm đầu tiên nên sẽ có n 1 * n 2 lựa chọn khả dĩ.

Ví dụ 2 Có thể lập được bao nhiêu số chẵn có ba chữ số từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 nếu các chữ số đó có thể lặp lại?
Dung dịch: n 1 \ u003d 6 (vì bạn có thể lấy bất kỳ chữ số nào từ 1, 2, 3, 4, 5, 6 làm chữ số đầu tiên), n 2 \ u003d 7 (vì bạn có thể lấy bất kỳ chữ số nào từ 0 làm chữ số thứ hai, 1 , 2, 3, 4, 5, 6), n 3 \ u003d 4 (vì bạn có thể lấy bất kỳ chữ số nào từ 0, 2, 4, 6 làm chữ số thứ ba).
Vì vậy, N = n 1 * n 2 * n 3 = 6 * 7 * 4 = 168.

Trong trường hợp tất cả các nhóm bao gồm cùng một số phần tử, tức là n 1 = n 2 = ... n k = n chúng ta có thể giả sử rằng mỗi lựa chọn được thực hiện từ cùng một nhóm, và phần tử sẽ trở lại nhóm sau lựa chọn. Khi đó số cách chọn bằng n k. Cách chọn này trong tổ hợp được gọi là trả lại mẫu.

Ví dụ 3 Từ các chữ số 1, 5, 6, 7, 8 có thể lập được bao nhiêu số có bốn chữ số?
Dung dịch. Mỗi chữ số của số có bốn chữ số đều có năm khả năng xảy ra nên N = 5 * 5 * 5 * 5 = 5 4 = 625.

Xét một tập hợp gồm n phần tử. Tập hợp này trong tổ hợp được gọi là dân số chung.

Số lượng vị trí từ n phần tử theo m

Định nghĩa 1. Chỗ ở từ N các yếu tố của m trong tổ hợp được gọi là bất kỳ đặt hàng đặt từ m các yếu tố khác nhau được chọn từ dân số chung trong N các yếu tố.

Ví dụ 4 Sự sắp xếp khác nhau của ba phần tử (1, 2, 3) hai phần hai sẽ là các bộ (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3 , 2). Các vị trí có thể khác nhau cả về các yếu tố và thứ tự của chúng.

Số lượng vị trí trong tổ hợp được ký hiệu là A n m và được tính theo công thức:

Bình luận: n! = 1 * 2 * 3 * ... * n (đọc là: "en factorial"), ngoài ra, giả sử rằng 0! = 1.

Ví dụ 5. Có bao nhiêu số có hai chữ số trong đó chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị khác nhau và lẻ?
Dung dịch: tại vì có năm chữ số lẻ là 1, 3, 5, 7, 9, thì bài toán này được rút gọn thành việc chọn và đặt hai trong năm chữ số khác nhau vào hai vị trí khác nhau, tức là các số đã cho sẽ là:

Định nghĩa 2. Sự kết hợp từ N các yếu tố của m trong tổ hợp được gọi là bất kỳ bộ không có thứ tự từ m các yếu tố khác nhau được chọn từ dân số chung trong N các yếu tố.

Ví dụ 6. Đối với tập hợp (1, 2, 3), các kết hợp là (1, 2), (1, 3), (2, 3).

Số tổ hợp của n phần tử theo m

Số tổ hợp được ký hiệu là C n m và được tính theo công thức:

Ví dụ 7 Người đọc có thể chọn hai cuốn sách trong số sáu cuốn sách có sẵn bằng bao nhiêu cách?

Dung dịch: Số cách bằng số kết hợp của sáu cuốn sách với hai, tức là bằng:

Hoán vị của n phần tử

Định nghĩa 3. Hoán vị từ N phần tử được gọi là bất kỳ đặt hàng đặt các yếu tố này.

Ví dụ 7a. Tất cả các hoán vị có thể có của một tập hợp gồm ba phần tử (1, 2, 3) là: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (2, 1, 3) , (3, 2, 1), (3, 1, 2).

Số các hoán vị khác nhau của n phần tử được ký hiệu là P n và được tính bằng công thức P n = n !.

Ví dụ 8 Có bao nhiêu cách để xếp bảy cuốn sách của các tác giả khác nhau thành một hàng trên một giá?

Dung dịch: Bài toán này là về số hoán vị của bảy cuốn sách khác nhau. Có P 7 = 7! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 = 5040 cách sắp xếp sách.

Thảo luận. Chúng tôi thấy rằng số lượng các kết hợp có thể có có thể được tính toán theo các quy tắc khác nhau (hoán vị, kết hợp, vị trí) và kết quả sẽ khác nhau, bởi vì nguyên tắc đếm và bản thân các công thức là khác nhau. Xem xét kỹ các định nghĩa, bạn có thể thấy rằng kết quả phụ thuộc vào một số yếu tố cùng một lúc.

Thứ nhất, từ bao nhiêu phần tử, chúng ta có thể kết hợp các tập hợp của chúng (tổng thể lớn của các phần tử là bao nhiêu).

Thứ hai, kết quả phụ thuộc vào kích thước tập hợp các phần tử chúng ta cần.

Cuối cùng, điều quan trọng là phải biết liệu thứ tự của các phần tử trong tập hợp có quan trọng đối với chúng ta hay không. Hãy để chúng tôi giải thích yếu tố cuối cùng với ví dụ sau.

Ví dụ 9 Có 20 người trong cuộc họp phụ huynh. Có bao nhiêu lựa chọn khác nhau cho thành phần của ủy ban phụ huynh nếu nó nên bao gồm 5 người?
Dung dịch: Trong ví dụ này, chúng tôi không quan tâm đến thứ tự của các tên trong danh sách ủy ban. Kết quả là, nếu những người giống nhau xuất hiện trong thành phần của nó, thì về mặt ý nghĩa đối với chúng tôi, đây là một lựa chọn tương tự. Do đó, chúng ta có thể sử dụng công thức để tính số sự kết hợp trong số 20 phần tử, 5.

Mọi chuyện sẽ khác nếu ban đầu mỗi thành viên của ủy ban chịu trách nhiệm về một lĩnh vực công việc nhất định. Sau đó, với cùng một biên chế của ủy ban, có thể có 5 người bên trong nó! tùy chọn hoán vị chuyện đó. Số lượng các lựa chọn khác nhau (cả về thành phần và lĩnh vực trách nhiệm) được xác định trong trường hợp này bằng số vị trí trong số 20 phần tử, 5.

Nhiệm vụ tự kiểm tra
1. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số chẵn có ba chữ số khác nhau nếu các số đó lặp lại được?

2. Có bao nhiêu số có năm chữ số đọc giống nhau từ trái sang phải và từ phải sang trái?

3. Có mười môn học trong lớp và năm bài học một ngày. Bạn có thể lập thời gian biểu cho một ngày bằng bao nhiêu cách?

4. Có bao nhiêu cách chọn 4 đại biểu cho đại hội nếu có 20 người trong nhóm?

5. Có bao nhiêu cách có thể cho tám lá thư khác nhau vào tám phong bì khác nhau nếu mỗi phong bì chỉ có một thư?

6. Từ ba nhà toán học và mười nhà kinh tế, cần phải lập một ủy ban bao gồm hai nhà toán học và sáu nhà kinh tế. Điều này có thể được thực hiện bằng bao nhiêu cách?