Tìm hạng của ma trận bằng phương pháp biến đổi sơ cấp. Tính hạng của ma trận bằng các phép biến đổi cơ bản

Sự định nghĩa. xếp hạng ma trận là số lượng hàng độc lập tuyến tính tối đa được coi là vectơ.

Định lý 1 về hạng của ma trận. xếp hạng ma trận là bậc lớn nhất của một phần phụ khác 0 của ma trận.

Chúng ta đã thảo luận về khái niệm định thức trong bài học về định thức, và bây giờ chúng ta sẽ khái quát hóa nó. Hãy lấy một số hàng và một số cột trong ma trận, và "thứ gì đó" này phải nhỏ hơn số hàng và cột của ma trận, và đối với hàng và cột, "thứ gì đó" này phải bằng một số. Khi đó tại giao điểm của bao nhiêu hàng bao nhiêu cột sẽ có một ma trận cấp nhỏ hơn ma trận ban đầu của chúng ta. Định thức của ma trận này sẽ là một số nhỏ bậc k nếu "cái gì đó" được đề cập (số lượng hàng và cột) được ký hiệu là k.

Sự định nghĩa. Diễn viên phụ ( r+1) -thứ tự, bên trong là thứ được chọn r-thứ tự, được gọi là giáp cho tiểu đã cho.

Hai phương pháp được sử dụng phổ biến nhất tìm hạng của ma trận. nó cách bao vây trẻ vị thành niên và phương pháp biến đổi cơ bản(theo phương pháp Gauss).

Phương pháp tiểu nhân giáp sử dụng định lý sau.

Định lý 2 về hạng của ma trận. Nếu có thể soạn một phần phụ từ các phần tử của ma trận r thứ tự khác 0 thì hạng của ma trận bằng r.

Với phương pháp biến đổi cơ bản, tính chất sau được sử dụng:

Nếu một ma trận hình thang tương đương với ma trận ban đầu thu được bằng các phép biến đổi cơ bản, thì hạng của ma trận này là số dòng trong đó ngoại trừ các dòng bao gồm toàn số không.

Tìm hạng của ma trận bằng phương pháp lũy thừa

Con giáp phụ là con thứ bậc cao hơn so với con đã cho, nếu con thứ bậc cao hơn này chứa con thứ đã cho.

Ví dụ, cho trước ma trận

Hãy lấy một trẻ vị thành niên

viền sẽ là trẻ vị thành niên như vậy:

Thuật toán tìm hạng của ma trận tiếp theo.

1. Chúng tôi tìm thấy các phần phụ của thứ tự thứ hai không bằng 0. Nếu tất cả các phần tử con cấp hai đều bằng 0 thì hạng của ma trận sẽ bằng một ( r =1 ).

2. Nếu tồn tại ít nhất một ẩn phụ cấp hai khác 0, thì ta tổng hợp các ẩn phụ cấp ba giáp ranh. Nếu tất cả các con giáp bậc ba đều bằng 0 thì hạng của ma trận là hai ( r =2 ).

3. Nếu ít nhất một trong các con giáp của bậc ba không bằng 0, thì chúng ta tổng hợp các con giáp với nó. Nếu tất cả các phần tử con bậc bốn giáp nhau đều bằng 0 thì hạng của ma trận là ba ( r =2 ).

4. Tiếp tục miễn là kích thước của ma trận cho phép.

ví dụ 1 Tìm hạng của ma trận

.

Dung dịch. Nhỏ của thứ tự thứ hai .

Chúng tôi đóng khung nó. Sẽ có bốn con giáp:

,

,

Do đó, tất cả các phần phụ bậc ba giáp ranh đều bằng 0, do đó, hạng của ma trận này là hai ( r =2 ).

ví dụ 2 Tìm hạng của ma trận

Dung dịch. Hạng của ma trận này là 1, vì tất cả các con giáp phụ của ma trận này đều bằng 0 (trong trường hợp này, cũng như các trường hợp con giáp trong hai ví dụ tiếp theo, mời các bạn học sinh thân mến tự kiểm chứng sử dụng các quy tắc để tính định thức) và trong số các phần tử thứ nhất , nghĩa là trong số các phần tử của ma trận, không có phần tử nào bằng 0.

ví dụ 3 Tìm hạng của ma trận

Dung dịch. Phần phụ cấp hai của ma trận này là , và tất cả các phần tử phụ cấp ba của ma trận này đều bằng không. Do đó, hạng của ma trận này là hai.

Ví dụ 4 Tìm hạng của ma trận

Dung dịch. Hạng của ma trận này là 3 vì hạng phụ thứ ba duy nhất của ma trận này là 3.

Tìm hạng của ma trận bằng phương pháp biến đổi sơ cấp (theo phương pháp Gauss)

Ngay ở ví dụ 1, có thể thấy rằng bài toán xác định hạng của ma trận bằng phương pháp định thức con giáp đòi hỏi phải tính toán một số lượng lớn các định thức. Tuy nhiên, có một cách để giảm khối lượng tính toán xuống mức tối thiểu. Phương pháp này dựa trên việc sử dụng các phép biến đổi ma trận cơ bản và còn được gọi là phương pháp Gauss.

Các phép biến đổi sơ cấp của một ma trận bao gồm các phép toán sau:

1) nhân bất kỳ hàng hoặc bất kỳ cột nào của ma trận với một số khác 0;

2) thêm vào các phần tử của bất kỳ hàng hoặc cột nào của ma trận các phần tử tương ứng của một hàng hoặc cột khác, nhân với cùng một số;

3) đổi chỗ hai hàng hoặc hai cột của ma trận;

4) loại bỏ các hàng "null", tức là những hàng có tất cả các phần tử bằng 0;

5) xóa tất cả các dòng tỷ lệ, ngoại trừ một dòng.

định lý. Phép biến đổi sơ cấp không làm thay đổi hạng của ma trận. Nói cách khác, nếu chúng ta sử dụng các phép biến đổi cơ bản từ ma trận Mộtđi đến ma trận b, sau đó .

Cho một ma trận nào đó:

.

Chọn trong ma trận này đường tùy ý và cột tùy ý
. Khi đó định thức thứ tự, bao gồm các yếu tố ma trận
nằm ở giao điểm của các hàng và cột đã chọn được gọi là phần phụ -thứ tự ma trận
.

Định nghĩa 1.13. xếp hạng ma trận
là bậc lớn nhất của phần phụ khác 0 của ma trận này.

Để tính hạng của một ma trận, người ta nên xét tất cả các phần phụ của nó ở bậc nhỏ nhất và, nếu ít nhất một trong số chúng khác 0, hãy chuyển sang xét các phần tử con ở bậc cao nhất. Cách tiếp cận này để xác định thứ hạng của ma trận được gọi là phương pháp giáp ranh (hoặc phương pháp vị thành niên giáp ranh).

Nhiệm vụ 1.4. Bằng phương pháp nhân giáp xác định hạng của ma trận
.

.

Ví dụ, hãy xem xét đường viền theo thứ tự đầu tiên,
. Sau đó, chúng tôi chuyển sang xem xét một số đường viền của thứ tự thứ hai.

Ví dụ,
.

Cuối cùng, hãy phân tích giáp của thứ tự thứ ba.

.

Vì vậy bậc cao nhất của một số nhỏ khác 0 là 2, do đó
.

Khi giải Bài toán 1.4, người ta có thể nhận thấy rằng chuỗi các con giáp của bậc hai là khác không. Về vấn đề này, khái niệm sau đây diễn ra.

Định nghĩa 1.14. Cơ sở nhỏ của ma trận là bất kỳ phần phụ khác không nào có bậc bằng với hạng của ma trận.

Định lý 1.2.(Định lý tiểu đối cơ bản). Các hàng cơ bản (cột cơ bản) độc lập tuyến tính.

Lưu ý rằng các hàng (cột) của ma trận phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi ít nhất một trong số chúng có thể được biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các hàng khác.

Định lý 1.3. Số hàng của ma trận độc lập tuyến tính bằng số cột của ma trận độc lập tuyến tính và bằng hạng của ma trận.

Định lý 1.4.(Điều kiện cần và đủ để định thức bằng không). Để định thức -thứ tự bằng 0 thì điều cần và đủ là các hàng (cột) của nó phụ thuộc tuyến tính.

Việc tính hạng của một ma trận dựa trên định nghĩa của nó là quá rườm rà. Điều này trở nên đặc biệt quan trọng đối với ma trận bậc cao. Về vấn đề này, trong thực tế, hạng của ma trận được tính dựa trên việc áp dụng Định lý 10.2 - 10.4, cũng như việc sử dụng các khái niệm về ma trận tương đương và các phép biến đổi cơ bản.

Định nghĩa 1.15. Hai ma trận
và được gọi là tương đương nếu thứ hạng của chúng bằng nhau, tức là
.

Nếu ma trận
và tương đương thì đánh dấu
 .

Định lý 1.5. Hạng của ma trận không đổi từ các phép biến hình sơ cấp.

Ta sẽ gọi các phép biến đổi sơ cấp của ma trận
bất kỳ hành động nào sau đây trên ma trận:

Thay thế hàng bằng cột và cột bằng hàng tương ứng;

Hoán vị các hàng của ma trận;

Gạch bỏ một dòng, tất cả các phần tử của nó đều bằng 0;

Nhân bất kỳ chuỗi nào với một số khác không;

Cộng các phần tử của một hàng với các phần tử tương ứng của một hàng khác nhân với cùng một số
.

Hệ quả của Định lý 1.5. Nếu ma trận
thu được từ ma trận sử dụng một số hữu hạn các phép biến đổi cơ bản, sau đó các ma trận
và là tương đương nhau.

Khi tính toán hạng của ma trận, nó phải được rút gọn thành dạng hình thang bằng cách sử dụng một số hữu hạn các phép biến đổi cơ bản.

Định nghĩa 1.16. Chúng ta sẽ gọi hình thang là một dạng biểu diễn của ma trận khi ở phần tử nhỏ giáp ranh của bậc lớn nhất khác 0, tất cả các phần tử bên dưới các đường chéo đều biến mất. Ví dụ:

.

Nơi đây
, phần tử ma trận
chuyển sang số không. Khi đó dạng biểu diễn của một ma trận như vậy sẽ là hình thang.

Theo quy định, ma trận được rút gọn thành hình thang bằng thuật toán Gaussian. Ý tưởng của thuật toán Gaussian là bằng cách nhân các phần tử của hàng đầu tiên của ma trận với các thừa số tương ứng, chúng đạt được rằng tất cả các phần tử của cột đầu tiên nằm bên dưới phần tử
, sẽ chuyển thành không. Sau đó, nhân các phần tử của cột thứ hai với các số nhân tương ứng, chúng ta đạt được rằng tất cả các phần tử của cột thứ hai nằm bên dưới phần tử
, sẽ chuyển thành không. Tiếp tục tiến hành tương tự.

Nhiệm vụ 1.5. Xác định hạng của ma trận bằng cách rút gọn nó về dạng hình thang.

.

Để thuận tiện cho việc áp dụng thuật toán Gaussian, bạn có thể hoán đổi hàng thứ nhất và hàng thứ ba.








.

Rõ ràng ở đây
. Tuy nhiên, để đưa kết quả về dạng thanh lịch hơn, có thể tiếp tục các phép biến đổi tiếp theo trên các cột.










.

>>Xếp hạng ma trận

xếp hạng ma trận

Xác định hạng của ma trận

Hãy xem xét một ma trận hình chữ nhật. Nếu trong ma trận này, chúng tôi chọn tùy ý k dòng và k cột, thì các phần tử tại giao điểm của các hàng và cột đã chọn tạo thành ma trận vuông bậc k. Định thức của ma trận này được gọi là thứ tự thứ k ma trận A. Rõ ràng, ma trận A có các phần tử phụ thuộc bất kỳ thứ tự nào từ 1 đến nhỏ nhất trong các số m và n. Trong số tất cả các phần tử con khác 0 của ma trận A, có ít nhất một phần tử con có bậc lớn nhất. Bậc lớn nhất khác 0 của các phần tử con của một ma trận đã cho được gọi là thứ hạng ma trận. Nếu hạng của ma trận A là r, thì điều này có nghĩa là ma trận A có bậc phụ khác 0 r, nhưng mọi cấp bậc nhỏ hơn r, bằng không. Hạng của ma trận A được ký hiệu là r(A). Rõ ràng là mối quan hệ

Tính hạng của ma trận bằng cách sử dụng phần phụ

Thứ hạng của ma trận được tìm thấy bằng cách giáp các phần phụ hoặc bằng phương pháp biến đổi cơ bản. Khi tính hạng của ma trận theo cách thứ nhất, người ta phải chuyển từ các phần phụ của bậc thấp hơn sang phần phụ của bậc cao hơn. Nếu đã tìm thấy một D phụ khác 0 của bậc k của ma trận A, thì chỉ phải tính các phần tử phụ thứ (k + 1) giáp với D phụ, tức là chứa nó như là một trẻ vị thành niên. Nếu chúng đều bằng 0 thì hạng của ma trận là k.

ví dụ 1Tìm hạng của ma trận bằng phương pháp lũy thừa

.

Dung dịch.Chúng tôi bắt đầu với trẻ vị thành niên của đơn hàng đầu tiên, tức là từ các phần tử của ma trận A. Ví dụ, chúng ta hãy chọn phần tử phụ (phần tử) М 1 = 1 nằm ở hàng đầu tiên và cột đầu tiên. Giáp ranh giới với sự trợ giúp của hàng thứ hai và cột thứ ba, chúng tôi thu được M 2 = nhỏ, khác 0. Bây giờ chúng tôi chuyển sang trẻ vị thành niên của thứ tự thứ 3, giáp với M 2 . Chỉ có hai trong số chúng (bạn có thể thêm cột thứ hai hoặc cột thứ tư). Chúng tôi tính toán chúng: = 0. Do đó, tất cả các trẻ vị thành niên giáp ranh của bậc ba hóa ra đều bằng không. Hạng của ma trận A là hai.

Tính hạng của ma trận bằng các phép biến đổi cơ bản

tiểu họcCác phép biến đổi ma trận sau đây được gọi là:

1) hoán vị của hai hàng (hoặc cột) bất kỳ,

2) nhân một hàng (hoặc cột) với một số khác 0,

3) thêm vào một hàng (hoặc cột) một hàng (hoặc cột) khác nhân với một số.

Hai ma trận được gọi là tương đương, nếu một trong số chúng được lấy từ cái kia với sự trợ giúp của một tập hợp hữu hạn các phép biến đổi cơ bản.

Các ma trận tương đương nói chung không bằng nhau, nhưng hạng của chúng bằng nhau. Nếu ma trận A và B tương đương nhau, thì điều này được viết như sau: A~b.

kinh điểnMa trận là ma trận có nhiều số 1 liên tiếp ở đầu đường chéo chính (số có thể bằng 0) và tất cả các phần tử khác bằng 0, ví dụ:

.

Với sự trợ giúp của các phép biến đổi cơ bản của hàng và cột, bất kỳ ma trận nào cũng có thể được rút gọn thành ma trận chuẩn. Hạng của ma trận chính tắc bằng số hạng trên đường chéo chính của nó.

ví dụ 2Tìm hạng của ma trận

A=

và đưa nó về dạng kinh điển.

Dung dịch. Trừ hàng đầu tiên từ hàng thứ hai và sắp xếp lại các hàng này:

.

Bây giờ, từ hàng thứ hai và thứ ba, lần lượt trừ đi hàng thứ nhất, nhân với 2 và 5:

;

trừ hàng đầu tiên từ hàng thứ ba; chúng tôi nhận được ma trận

B = ,

tương đương với ma trận A, vì nó thu được từ nó bằng cách sử dụng một tập hợp hữu hạn các phép biến đổi cơ bản. Rõ ràng, hạng của ma trận B là 2, và do đó r(A)=2. Ma trận B có thể dễ dàng rút gọn thành ma trận chính tắc. Trừ cột đầu tiên, nhân với các số thích hợp, từ tất cả các cột tiếp theo, chúng tôi chuyển tất cả các phần tử của hàng đầu tiên, ngoại trừ cột đầu tiên, và các phần tử của các hàng còn lại, không thay đổi. Sau đó, trừ cột thứ hai, nhân với các số thích hợp, từ tất cả các cột tiếp theo, chúng tôi chuyển thành 0 tất cả các phần tử của hàng thứ hai, ngoại trừ cột thứ hai và nhận được ma trận chính tắc:

.

tiểu học Các phép biến đổi ma trận sau đây được gọi là:

1) hoán vị của hai hàng (hoặc cột) bất kỳ,

2) nhân một hàng (hoặc cột) với một số khác 0,

3) thêm vào một hàng (hoặc cột) một hàng (hoặc cột) khác nhân với một số.

Hai ma trận được gọi là tương đương, nếu một trong số chúng được lấy từ cái kia với sự trợ giúp của một tập hợp hữu hạn các phép biến đổi cơ bản.

Các ma trận tương đương nói chung không bằng nhau, nhưng hạng của chúng bằng nhau. Nếu ma trận A và B tương đương nhau, thì điều này được viết là: A ~ B.

kinh điển Ma trận là ma trận có nhiều số 1 liên tiếp ở đầu đường chéo chính (số có thể bằng 0) và tất cả các phần tử khác bằng 0, ví dụ:

Với sự trợ giúp của các phép biến đổi cơ bản của hàng và cột, bất kỳ ma trận nào cũng có thể được rút gọn thành ma trận chuẩn. Hạng của ma trận chính tắc bằng số hạng trên đường chéo chính của nó.

ví dụ 2 Tìm hạng của ma trận

A=

và đưa nó về dạng kinh điển.

Dung dịch. Trừ hàng đầu tiên từ hàng thứ hai và sắp xếp lại các hàng này:

.

Bây giờ, từ hàng thứ hai và thứ ba, lần lượt trừ đi hàng thứ nhất, nhân với 2 và 5:

;

trừ hàng đầu tiên từ hàng thứ ba; chúng tôi nhận được ma trận

B = ,

tương đương với ma trận A, vì nó thu được từ nó bằng cách sử dụng một tập hợp hữu hạn các phép biến đổi cơ bản. Rõ ràng, hạng của ma trận B là 2, và do đó r(A)=2. Ma trận B có thể dễ dàng rút gọn thành ma trận chính tắc. Trừ cột đầu tiên, nhân với các số thích hợp, từ tất cả các cột tiếp theo, chúng tôi chuyển tất cả các phần tử của hàng đầu tiên, ngoại trừ cột đầu tiên, và các phần tử của các hàng còn lại, không thay đổi. Sau đó, trừ cột thứ hai, nhân với các số thích hợp, từ tất cả các cột tiếp theo, chúng tôi chuyển thành 0 tất cả các phần tử của hàng thứ hai, ngoại trừ cột thứ hai và nhận được ma trận chính tắc:

.

Định lý Kronecker - Capelli- tiêu chí về tính tương thích của hệ phương trình đại số tuyến tính:

Để một hệ thống tuyến tính tương thích, điều cần và đủ là hạng của ma trận mở rộng của hệ thống này bằng với hạng của ma trận chính của nó.

Bằng chứng (điều kiện tương thích hệ thống)

Cần

Để cho hệ thống chung. Khi đó tồn tại các số sao cho . Do đó, cột là tổ hợp tuyến tính của các cột của ma trận. Từ thực tế là thứ hạng của một ma trận sẽ không thay đổi nếu hệ thống các hàng (cột) của nó bị xóa hoặc một hàng (cột) được chỉ định, là sự kết hợp tuyến tính của các hàng (cột) khác, suy ra điều đó.

đầy đủ

Để cho . Hãy lấy một số phụ cơ bản trong ma trận. Vì , thì nó cũng sẽ là cơ sở nhỏ của ma trận . Khi đó, theo định lý cơ sở diễn viên phụ, cột cuối cùng của ma trận sẽ là tổ hợp tuyến tính của các cột cơ sở, nghĩa là các cột của ma trận. Vì vậy, cột các thành viên tự do của hệ thống là tổ hợp tuyến tính của các cột của ma trận.

Hậu quả

Số biến chính hệ thống bằng cấp của hệ thống.

chung hệ thống sẽ được xác định (nghiệm pháp của nó là duy nhất) nếu thứ hạng của hệ thống bằng số lượng tất cả các biến của nó.

Hệ phương trình thuần nhất

Kết án15 . 2 Hệ phương trình thuần nhất

luôn luôn hợp tác.

Bằng chứng. Đối với hệ này, bộ số , , , là nghiệm.

Trong phần này, chúng ta sẽ sử dụng ký hiệu ma trận của hệ thống: .

Kết án15 . 3 Tổng các nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất là một nghiệm của hệ này. Một giải pháp nhân với một số cũng là một giải pháp.

Bằng chứng. Hãy để và phục vụ như là giải pháp của hệ thống. Sau đó và . Để cho . sau đó

Vì , sau đó là một giải pháp.

Cho là một số tùy ý, . sau đó

Vì , sau đó là một giải pháp.

Hậu quả15 . 1 Nếu một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có nghiệm khác 0 thì nó có vô số nghiệm khác nhau.

Thật vậy, nhân một nghiệm khác 0 với các số khác nhau, ta sẽ được các nghiệm khác nhau.

Sự định nghĩa15 . 5 Chúng tôi sẽ nói rằng các giải pháp hình thức hệ thống hệ thống quyết định cơ bản nếu các cột tạo thành một hệ thống độc lập tuyến tính và bất kỳ giải pháp nào cho hệ thống là sự kết hợp tuyến tính của các cột này.