Khối lượng của một hình được giới hạn bởi máy tính trực tuyến dòng. Bài học "Tính thể tích của các khối cách mạng bằng cách sử dụng một tích phân xác định

Kiểu bài: kết hợp.

Mục đích của bài học: học cách tính khối lượng của các vật thể của cuộc cách mạng bằng cách sử dụng tích phân.

Nhiệm vụ:

  • củng cố kỹ năng chọn hình thang cong từ một số dạng hình học và phát triển kỹ năng tính diện tích hình thang cong;
  • làm quen với khái niệm hình ba chiều;
  • học tính toán khối lượng của các cơ quan của cuộc cách mạng;
  • để thúc đẩy sự phát triển của tư duy logic, lời nói toán học có thẩm quyền, độ chính xác trong việc xây dựng các bản vẽ;
  • trau dồi niềm yêu thích đối với môn học, hoạt động với các khái niệm và hình ảnh toán học, rèn luyện ý chí, tính độc lập, tính kiên trì để đạt được kết quả cuối cùng.

Trong các lớp học

I. Thời điểm tổ chức.

Lời chào nhóm. Truyền đạt cho học sinh mục tiêu của bài học.

Sự phản xạ. Giai điệu êm đềm.

Tôi muốn bắt đầu bài học hôm nay bằng một câu chuyện ngụ ngôn. “Có một nhà thông thái biết mọi thứ. Một người muốn chứng minh rằng nhà hiền triết không biết mọi thứ. Nắm chặt con bướm trong tay, anh ta hỏi: "Hãy cho tôi biết, hiền nhân, con bướm nào trong tay tôi: chết hay sống?" Và bản thân anh ta nghĩ: "Nếu người sống nói, tôi sẽ giết cô ấy, nếu người chết nói, tôi sẽ thả cô ấy ra." Nhà hiền triết, suy nghĩ, trả lời: "Tất cả nằm trong tay bạn". (Bài thuyết trình.Trượt)

- Vì vậy, chúng ta hãy làm việc có hiệu quả ngay hôm nay, tiếp thu một kho kiến ​​thức mới, và chúng ta sẽ áp dụng các kỹ năng và năng lực đã có được trong cuộc sống sau này và trong các hoạt động thực tiễn. "Tất cả nằm trong tay bạn".

II. Sự lặp lại của tài liệu đã học trước đó.

Chúng ta hãy xem lại những điểm chính của tài liệu đã nghiên cứu trước đó. Để làm điều này, chúng ta hãy làm nhiệm vụ "Bỏ từ thừa."(Trượt.)

(Học ​​sinh đến I.D. với sự trợ giúp của một cục tẩy xóa từ thừa.)

- Đúng "Khác biệt". Cố gắng đặt tên cho các từ còn lại trong một từ thông dụng. (Tích phân tích.)

- Hãy nhớ các giai đoạn và khái niệm chính liên quan đến phép tính tích phân ..

"Chùm toán học".

Tập thể dục. Khôi phục các đường chuyền. (Học ​​sinh đi ra và viết những từ cần thiết bằng bút.)

- Chúng ta sẽ nghe báo cáo về ứng dụng của tích phân sau.

Làm việc trong vở.

- Công thức Newton-Leibniz được phát triển bởi nhà vật lý người Anh Isaac Newton (1643–1727) và nhà triết học người Đức Gottfried Leibniz (1646–1716). Và điều này không có gì đáng ngạc nhiên, bởi vì toán học là ngôn ngữ mà tự nhiên tự nó nói ra.

- Xem xét công thức này được sử dụng như thế nào trong việc giải quyết các nhiệm vụ thực tế.

Ví dụ 1: Tính diện tích của một hình được giới hạn bởi các đường

Giải: Hãy dựng đồ thị của hàm số trên mặt phẳng tọa độ . Chọn khu vực của hình sẽ được tìm thấy.

III. Học tài liệu mới.

- Chú ý đến màn hình. Những gì được hiển thị trong hình ảnh đầu tiên? (Trượt) (Hình bên là một hình phẳng.)

Những gì được hiển thị trong bức tranh thứ hai? Hình này có phẳng không? (Trượt) (Hình vẽ cho thấy một hình ba chiều.)

- Trong không gian, trên trái đất và trong cuộc sống hàng ngày, chúng ta không chỉ gặp các hình phẳng, mà còn gặp các hình không gian ba chiều, nhưng làm thế nào chúng ta có thể tính được thể tích của các vật đó? Ví dụ, khối lượng của một hành tinh, một sao chổi, một thiên thạch, v.v.

- Suy nghĩ về khối lượng và việc xây nhà, đổ nước từ bình này sang bình khác. Các quy tắc và phương pháp tính toán khối lượng lẽ ra đã nảy sinh, một điều khác là chúng đã chính xác và hợp lý đến mức nào.

Tin nhắn sinh viên. (Tyurina Vera.)

Năm 1612 rất hiệu quả đối với cư dân thành phố Linz của Áo, nơi nhà thiên văn học nổi tiếng lúc bấy giờ là Johannes Kepler sinh sống, đặc biệt là đối với nho. Mọi người đang chuẩn bị các thùng rượu và muốn biết cách xác định thực tế thể tích của chúng. (Trang trình bày 2)

- Như vậy, các công trình được coi là của Kepler đã đánh dấu sự khởi đầu của cả một dòng nghiên cứu, mà đỉnh cao là vào quý cuối cùng của thế kỷ 17. thiết kế trong các công trình của I. Newton và G.V. Phép tính vi phân và tích phân Leibniz. Kể từ thời điểm đó, toán học về các biến độ lớn đã chiếm vị trí hàng đầu trong hệ thống kiến ​​thức toán học.

- Vì vậy, hôm nay chúng ta sẽ tham gia vào các hoạt động thiết thực đó, do đó,

Chủ đề của bài học của chúng tôi: "Tính thể tích của các cơ quan của cuộc cách mạng bằng cách sử dụng một tích phân xác định." (Trượt)

- Bạn sẽ tìm hiểu định nghĩa của một cơ quan của cuộc cách mạng bằng cách hoàn thành nhiệm vụ sau đây.

"Mê cung".

Labyrinth (từ tiếng Hy Lạp) có nghĩa là lối đi vào ngục tối. Mê cung là một mạng lưới phức tạp bao gồm các lối đi, lối đi, các căn phòng giao tiếp với nhau.

Nhưng định nghĩa "bị rơi", có những gợi ý ở dạng mũi tên.

Tập thể dục. Tìm cách thoát khỏi tình huống khó hiểu và viết ra định nghĩa.

Trượt. “Phiếu hướng dẫn” Tính toán khối lượng.

Sử dụng một tích phân xác định, bạn có thể tính thể tích của một vật thể, cụ thể là một vật thể cách mạng.

Vật thể cách mạng là vật thể có được bằng cách quay một hình thang cong quanh đáy của nó (Hình 1, 2)

Thể tích của một vòng quay được tính bằng một trong các công thức:

1. quanh trục x.

2. , nếu phép quay của hình thang cong quanh trục y.

Mỗi học sinh nhận được một thẻ hướng dẫn. Giáo viên nêu những điểm chính.

Giáo viên giải thích lời giải của các ví dụ trên bảng đen.

Hãy xem xét một đoạn trích trong câu chuyện cổ tích nổi tiếng của A. S. Pushkin “Câu chuyện về Sa hoàng Saltan, về người con vinh hiển và dũng mãnh của ông là Hoàng tử Gvidon Saltanovich và Công chúa Lebed xinh đẹp” (Trang trình bày 4):

…..
Và mang theo một sứ giả say xỉn
Vào cùng ngày, đơn đặt hàng là:
“Sa hoàng ra lệnh cho các cậu bé của mình,
Không lãng phí thời gian,
Và nữ hoàng và con cái
Bí mật ném xuống vực thẳm của nước. ”
Không có gì để làm: các boyars,
Thương tiếc về chủ quyền
Và nữ hoàng trẻ
Một đám đông đến phòng ngủ của cô.
Tuyên bố di chúc của hoàng gia -
Cô và con trai của cô có một số phận xấu xa,
Đọc to sắc lệnh
Và đồng thời là nữ hoàng
Họ cho tôi vào một cái thùng với con trai tôi,
Cầu nguyện, cuộn
Và họ cho tôi vào okian -
Vì vậy, đã ra lệnh cho Sa hoàng Saltan.

Thể tích của thùng phải là bao nhiêu để hoàng hậu và con trai của bà có thể vừa với nó?

- Xem xét các nhiệm vụ sau

1. Tìm thể tích của vật thể nhận được khi quay quanh trục y của một hình thang cong giới hạn bởi các đường: x 2 + y 2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.

Trả lời: 1163 cm 3 .

Tìm thể tích của vật thể nhận được khi quay một hình thang parabol quanh khối chóp y =, x = 4, y = 0.

IV. Sửa chữa vật liệu mới

Ví dụ 2. Tính thể tích của phần thân do cánh hoa quay quanh trục x y \ u003d x 2, y 2 \ u003d x.

Hãy vẽ đồ thị của hàm số. y = x2, y2 = x. Lịch trình y 2 = x chuyển sang dạng y= .

Chúng ta có V \ u003d V 1 - V 2 Hãy tính thể tích của mỗi hàm

- Bây giờ, chúng ta hãy nhìn vào tòa tháp cho một đài phát thanh ở Moscow trên Shabolovka, được xây dựng theo dự án của một kỹ sư tuyệt vời người Nga, viện sĩ danh dự V. G. Shukhov. Nó bao gồm các phần - các hypeboloid của cuộc cách mạng. Hơn nữa, mỗi thanh trong số chúng được làm bằng các thanh kim loại nằm nghiêng kết nối các vòng tròn liền kề (Hình 8, 9).

- Xem xét vấn đề.

Tìm thể tích của vật thể thu được khi quay các cung của hyperbol xung quanh trục tưởng tượng của nó, như thể hiện trong Hình. 8, ở đâu

khối lập phương các đơn vị

Bài tập nhóm. Học sinh bốc thăm có nhiệm vụ, bài vẽ được thực hiện trên giấy Whatman, đại diện nhóm bảo vệ tác phẩm.

Nhóm thứ nhất.

Đánh! Đánh! Một cú đánh nữa!
Một quả bóng bay vào cổng - BÓNG!
Và đây là quả bóng dưa hấu
Xanh, tròn, ngon.
Nhìn đẹp hơn - thật là một quả bóng!
Nó được tạo thành từ các vòng tròn.
Cắt dưa hấu thành hình tròn
Và nếm thử chúng.

Tìm thể tích của vật thể thu được khi quay quanh trục OX của một hàm giới hạn bởi

Lỗi! Dấu trang không được xác định.

- Làm ơn nói cho tôi biết, chúng ta gặp bộ dáng này ở đâu?

Căn nhà. nhiệm vụ cho nhóm 1. HÌNH TRỤ (trượt) .

"Xi lanh - nó là gì?" Tôi hỏi bố tôi.
Ông bố cười: Mũ chóp bu.
Để có một ý tưởng chính xác,
Giả sử, hình trụ là một lon thiếc.
Đường ống của tủ hấp là một hình trụ,
Đường ống trên mái nhà của chúng tôi cũng vậy,

Tất cả các đường ống tương tự như một hình trụ.
Và tôi đã đưa ra một ví dụ như thế này -
Kính vạn hoa yêu quý của tôi
Bạn không thể rời mắt khỏi anh ấy.
Nó cũng giống như một hình trụ.

- Tập thể dục. Bài tập về nhà để vẽ một hàm số và tính khối lượng.

Nhóm thứ 2. CONE (trượt).

Mẹ nói: Và bây giờ
Về nón sẽ là câu chuyện của tôi.
Stargazer đội mũ lưỡi trai cao
Đếm các vì sao quanh năm.
CONE - mũ của stargazer.
Đó là những gì anh ấy là. Hiểu? Đó là nó.
Mẹ đã ở trên bàn
Cô đổ dầu vào chai.
- Cái phễu ở đâu? Không có phễu.
Nhìn. Đừng đứng ngoài lề.
- Mẹ, con sẽ không rời khỏi nơi này,
Cho tôi biết thêm về hình nón.
- Phễu có dạng hình nón của bình tưới cây.
Mau tìm tôi đi.
Tôi không thể tìm thấy kênh
Nhưng mẹ đã làm một cái túi,
Quấn bìa cứng quanh ngón tay của bạn
Và khéo léo buộc chặt bằng kẹp giấy.
Dầu đổ, mẹ vui
Nón ra vừa phải.

Tập thể dục. Tính thể tích của vật thể thu được khi quay quanh trục x

Căn nhà. nhiệm vụ cho nhóm thứ 2. KIM TỰ THÁP(trượt).

Tôi đã nhìn thấy hình ảnh. Trong bức tranh này
Có một PYRAMID trong sa mạc cát.
Mọi thứ trong kim tự tháp đều phi thường,
Có một số bí ẩn và bí ẩn trong đó.
Tháp Spasskaya trên Quảng trường Đỏ
Cả trẻ em và người lớn đều được biết đến.
Nhìn vào tòa tháp - bề ngoài bình thường,
Trên đầu cô ấy có gì? Kim tự tháp!

Tập thể dục. Bài tập về nhà vẽ một hàm số và tính thể tích của hình chóp

- Chúng tôi tính toán thể tích của các vật thể khác nhau dựa trên công thức cơ bản cho thể tích của các vật thể bằng cách sử dụng tích phân.

Đây là một xác nhận khác rằng tích phân xác định là một số nền tảng cho việc nghiên cứu toán học.

"Bây giờ chúng ta đi nghỉ ngơi một chút."

Tìm một cặp.

Giai điệu domino toán học chơi.

"Con đường mà chính anh ấy đang tìm kiếm sẽ không bao giờ bị lãng quên ..."

Công việc nghiên cứu. Ứng dụng của tích phân trong kinh tế và công nghệ.

Bài kiểm tra dành cho người học giỏi và bóng đá toán học.

Trình mô phỏng toán học.

2. Tập hợp tất cả các đạo hàm của một hàm số đã cho được gọi là

A) một tích phân không xác định

B) chức năng,

B) sự khác biệt hóa.

7. Tìm thể tích của vật thể nhận được khi quay quanh trục abscissa của một hình thang cong giới hạn bởi các đường:

Đ / Z. Tính khối lượng của các cơ quan của cuộc cách mạng.

Sự phản xạ.

Chấp nhận phản ánh trong biểu mẫu cinquain(năm dòng).

Dòng đầu tiên - tên của chủ đề (một danh từ).

Dòng thứ 2 - mô tả tóm tắt về chủ đề, hai tính từ.

Dòng thứ 3 - mô tả hành động trong chủ đề này bằng ba từ.

Dòng thứ 4 - một cụm từ gồm 4 từ, thể hiện thái độ với chủ đề (cả câu).

Dòng thứ 5 là từ đồng nghĩa lặp lại bản chất của chủ đề.

  1. Âm lượng.
  2. Tích phân xác định, hàm tích phân.
  3. Chúng tôi xây dựng, xoay vòng, tính toán.
  4. Một vật có được bằng cách quay một hình thang cong (xung quanh đáy của nó).
  5. Cơ thể của cuộc cách mạng (cơ thể hình học 3D).

Sự kết luận (trượt).

  • Tích phân xác định là một loại cơ sở cho việc nghiên cứu toán học, góp phần không thể thiếu trong việc giải các bài toán có nội dung thực tiễn.
  • Chủ đề “Tích phân” thể hiện rõ mối liên hệ giữa toán học và vật lý, sinh học, kinh tế và công nghệ.
  • Sự phát triển của khoa học hiện đại là điều không tưởng nếu không sử dụng tích phân. Về vấn đề này, cần bắt đầu nghiên cứu nó trong khuôn khổ giáo dục chuyên biệt cấp THCS!

Chấm điểm. (Có bình luận.)

Omar Khayyam vĩ đại là một nhà toán học, nhà thơ và nhà triết học. Anh ấy kêu gọi trở thành người làm chủ số phận của mình. Hãy nghe một đoạn trích trong tác phẩm của anh ấy:

Bạn nói rằng cuộc sống này chỉ là một khoảnh khắc.
Đánh giá cao nó, rút ​​ra cảm hứng từ nó.
Khi bạn chi tiêu nó, vì vậy nó sẽ trôi qua.
Đừng quên: cô ấy là sáng tạo của bạn.

Làm thế nào để tính toán khối lượng của một cơ thể của cuộc cách mạng
sử dụng một tích phân xác định?

Nói chung, có rất nhiều ứng dụng thú vị trong phép tính tích phân, với sự trợ giúp của một tích phân xác định, bạn có thể tính diện tích của hình \ u200b \ u200ba, thể tích của một vật thể cách mạng, độ dài của một cung tròn, diện tích bề mặt của \ u200b \ u200brotation và hơn thế nữa. Như vậy sẽ rất vui, hãy lạc quan nhé!

Hãy tưởng tượng một số hình phẳng trên mặt phẳng tọa độ. Được đại diện? ... Không biết ai đã trình bày cái gì ... =))) Chúng ta đã tìm ra tung tích của nó rồi. Tuy nhiên, ngoài ra, hình này cũng có thể được xoay và xoay theo hai cách:

- xung quanh trục x;
- quanh trục y.

Trong bài viết này, cả hai trường hợp sẽ được thảo luận. Phương pháp quay thứ hai đặc biệt thú vị, nó gây ra những khó khăn lớn nhất, nhưng trên thực tế, giải pháp gần giống như trong phép quay phổ biến hơn quanh trục x. Như một phần thưởng, tôi sẽ trở lại vấn đề tìm diện tích của một hình và cho bạn biết cách tìm khu vực theo cách thứ hai - dọc theo trục. Phần thưởng thậm chí không quá nhiều vì tài liệu rất phù hợp với chủ đề.

Hãy bắt đầu với kiểu quay phổ biến nhất.


hình phẳng quanh một trục

Tính thể tích của vật thể thu được khi quay hình giới hạn bởi các đường quanh trục.

Dung dịch: Như trong vấn đề khu vực, giải pháp bắt đầu với một bản vẽ của một hình phẳng. Có nghĩa là, trên mặt phẳng, cần phải xây dựng một hình giới hạn bởi các đường, đồng thời không quên rằng phương trình xác định trục. Làm thế nào để vẽ một cách hợp lý hơn và nhanh hơn có thể được tìm thấy trên các trang Đồ thị và thuộc tính của các hàm cơ bản và . Đây là một lời nhắc nhở của Trung Quốc và tôi không dừng lại ở thời điểm này.

Hình vẽ ở đây khá đơn giản:

Hình phẳng mong muốn được tô màu xanh lam và nó sẽ quay quanh trục. Kết quả là khi quay, ta sẽ có được một chiếc đĩa bay hơi hình quả trứng, đối xứng với trục. Trên thực tế, phần nội dung có một tên toán học, nhưng quá lười biếng để chỉ định một cái gì đó trong sách tham khảo, vì vậy chúng tôi tiếp tục.

Làm thế nào để tính toán khối lượng của một cơ thể của cuộc cách mạng?

Khối lượng của một cơ thể của cuộc cách mạng có thể được tính bằng công thức:

Trong công thức, phải có một số trước tích phân. Điều đó đã xảy ra - mọi thứ quay trong cuộc sống đều được kết nối với hằng số này.

Làm thế nào để thiết lập các giới hạn của tích hợp "a" và "be", tôi nghĩ, rất dễ đoán từ bản vẽ hoàn chỉnh.

Chức năng ... chức năng này là gì? Hãy nhìn vào bản vẽ. Hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị parabol nhìn từ trên xuống. Đây là hàm được ngụ ý trong công thức.

Trong các nhiệm vụ thực tế, một hình phẳng đôi khi có thể nằm bên dưới trục. Điều này không thay đổi bất cứ điều gì - tích phân trong công thức là bình phương:, do đó tích phân luôn không âm, khá logic.

Tính thể tích của vật cách mạng theo công thức sau:

Như tôi đã lưu ý, tích phân hầu như luôn luôn trở nên đơn giản, điều chính là phải cẩn thận.

Câu trả lời:

Trong câu trả lời, cần chỉ ra thứ nguyên - đơn vị khối. Tức là, trong vật thể quay của chúng ta có khoảng 3,35 "hình khối". Tại sao chính xác là khối các đơn vị? Bởi vì công thức phổ quát nhất. Có thể có xăng-ti-mét khối, có thể có mét khối, có thể có km khối, v.v., đó là số lượng người đàn ông xanh nhỏ mà trí tưởng tượng của bạn có thể lắp vào một chiếc đĩa bay.

Tìm thể tích của vật thể được tạo thành khi quay quanh trục của hình được giới hạn bởi các đường,

Đây là một ví dụ do-it-yourself. Có đầy đủ lời giải và đáp án cuối bài.

Chúng ta hãy xem xét hai vấn đề phức tạp hơn, cũng thường gặp trong thực tế.

Tính thể tích của vật thể thu được khi quay quanh trục abscissa của hình giới hạn bởi các đường, và

Dung dịch: Vẽ một hình phẳng trong bản vẽ, được giới hạn bởi các đường,, và không quên rằng phương trình xác định trục:

Hình mong muốn được tô màu xanh lam. Khi nó quay quanh trục, sẽ thu được một chiếc bánh rán siêu thực với bốn góc.

Khối lượng của phần thân của cuộc cách mạng được tính bằng thể tích cơ thể chênh lệch.

Đầu tiên, chúng ta hãy nhìn vào hình được khoanh đỏ. Khi nó quay quanh trục, ta thu được một hình nón cụt. Hãy biểu thị thể tích của hình nón cụt này là.

Hãy xem xét hình được khoanh màu xanh lá cây. Nếu bạn xoay hình này quanh trục, bạn cũng sẽ nhận được một hình nón cụt, chỉ nhỏ hơn một chút. Hãy biểu thị khối lượng của nó bằng.

Và, rõ ràng, sự khác biệt về khối lượng chính xác là khối lượng của "chiếc bánh rán" của chúng ta.

Chúng tôi sử dụng công thức tiêu chuẩn để tìm thể tích của vật thể cách mạng:

1) Hình được khoanh đỏ được giới hạn từ phía trên bởi một đường thẳng, do đó:

2) Hình khoanh tròn màu xanh lục được giới hạn từ phía trên bởi một đường thẳng, do đó:

3) Khối lượng của cơ thể mong muốn của cuộc cách mạng:

Câu trả lời:

Điều tò mò là trong trường hợp này, lời giải có thể được kiểm tra bằng cách sử dụng công thức tính thể tích của một hình nón cụt.

Bản thân quyết định thường được đưa ra ngắn hơn, giống như thế này:

Bây giờ chúng ta hãy tạm nghỉ và nói về ảo ảnh hình học.

Mọi người thường có ảo tưởng liên quan đến các tập sách, điều mà Perelman (một người khác) nhận thấy trong cuốn sách Hình học thú vị. Hãy nhìn vào hình phẳng trong bài toán đã giải - nó có vẻ có diện tích nhỏ, và thể tích của vật thể cách mạng chỉ hơn 50 đơn vị khối, có vẻ quá lớn. Nhân tiện, một người bình thường trong cả cuộc đời của mình uống một chất lỏng có thể tích bằng một căn phòng 18 mét vuông, ngược lại, nó có vẻ là một thể tích quá nhỏ.

Sau khi lạc đề về trữ tình, việc giải quyết một nhiệm vụ sáng tạo là thích hợp:

Tính thể tích của vật thể tạo thành khi quay quanh trục của một hình phẳng giới hạn bởi các đường,, trong đó.

Đây là một ví dụ do-it-yourself. Lưu ý rằng tất cả những điều xảy ra trong băng, nói cách khác, các giới hạn tích hợp được tạo sẵn thực sự được đưa ra. Vẽ đúng đồ thị của hàm số lượng giác, tôi sẽ nhắc lại tài liệu của bài học về phép biến đổi hình học của đồ thị: nếu đối số chia hết cho hai :, thì đồ thị được kéo dài theo trục hai lần. Mong muốn tìm được ít nhất 3-4 điểm theo bảng lượng giácđể hoàn thiện bản vẽ một cách chính xác hơn. Có đầy đủ lời giải và đáp án cuối bài. Nhân tiện, nhiệm vụ có thể được giải quyết một cách hợp lý và không phải là rất hợp lý.

Tính thể tích của vật thể được tạo thành do quay
hình phẳng quanh một trục

Đoạn thứ hai sẽ thậm chí còn thú vị hơn đoạn đầu tiên. Nhiệm vụ tính toán thể tích của vật thể quay quanh trục y cũng là một công việc khá thường xuyên trong các bài kiểm tra. Khi đậu sẽ được xem xét vấn đề tìm diện tích của một hình cách thứ hai - bằng cách tích hợp dọc theo trục, điều này sẽ cho phép bạn không chỉ cải thiện kỹ năng của mình mà còn dạy bạn cách tìm ra giải pháp có lợi nhất. Nó cũng có một ý nghĩa thiết thực! Khi cô giáo dạy môn Toán của tôi mỉm cười nhớ lại, nhiều sinh viên tốt nghiệp cảm ơn cô ấy bằng những lời: “Môn học của cô đã giúp chúng tôi rất nhiều, giờ đây chúng tôi là những nhà quản lý hiệu quả và quản lý nhân viên một cách tối ưu”. Nhân cơ hội này, tôi cũng bày tỏ lòng biết ơn to lớn đến cô ấy, đặc biệt là vì tôi sử dụng kiến ​​thức có được cho mục đích của nó =).

Tôi giới thiệu nó cho mọi người đọc, thậm chí cả những hình nộm hoàn chỉnh. Hơn nữa, tài liệu đồng hóa của đoạn thứ hai sẽ giúp ích vô giá trong việc tính tích phân kép.

Cho một hình phẳng giới hạn bởi các đường,.

1) Tìm diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng này.
2) Tìm thể tích của vật thể nhận được khi quay một hình phẳng giới hạn bởi các đường này quanh trục.

Chú ý! Ngay cả khi bạn chỉ muốn đọc đoạn thứ hai, hãy nhớ đọc đoạn đầu tiên trước!

Dung dịch: Nhiệm vụ bao gồm hai phần. Hãy bắt đầu với hình vuông.

1) Hãy thực hiện bản vẽ:

Dễ dàng nhận thấy rằng hàm xác định nhánh trên của parabol, và hàm xác định nhánh dưới của parabol. Trước mắt chúng ta là một hình parabol tầm thường, "nằm nghiêng".

Hình mong muốn, khu vực được tìm thấy, được tô màu xanh lam.

Làm thế nào để tìm diện tích của một hình? Nó có thể được tìm thấy theo cách "thông thường", đã được xem xét trong bài học. Tích phân xác định. Cách tính diện tích của một hình. Hơn nữa, diện tích của \ u200b \ u200bình được tìm thấy dưới dạng tổng các diện tích:
- trên phân khúc ;
- trên phân khúc.

Đó là lý do tại sao:

Điều gì là sai với giải pháp thông thường trong trường hợp này? Đầu tiên, có hai tích phân. Thứ hai, gốc dưới tích phân, và gốc trong tích phân không phải là một món quà, hơn nữa, người ta có thể nhầm lẫn trong việc thay thế các giới hạn của tích phân. Trên thực tế, tất nhiên, tích phân không chết người, nhưng trong thực tế, mọi thứ còn buồn hơn nhiều, tôi chỉ chọn các hàm “tốt hơn” cho nhiệm vụ.

Có một giải pháp hợp lý hơn: nó bao gồm chuyển đổi sang các hàm nghịch đảo và tích hợp dọc theo trục.

Làm thế nào để chuyển đến các hàm nghịch đảo? Nói một cách đại khái, bạn cần diễn đạt từ "x" qua "y". Đầu tiên, hãy đối phó với parabol:

Điều này là đủ, nhưng hãy đảm bảo rằng cùng một hàm có thể được bắt nguồn từ nhánh dưới cùng:

Với một đường thẳng, mọi thứ dễ dàng hơn:

Bây giờ hãy nhìn vào trục: hãy định kỳ nghiêng đầu sang bên phải 90 độ khi bạn giải thích (đây không phải là một trò đùa!). Hình chúng ta cần nằm trên phân đoạn, được biểu thị bằng đường chấm màu đỏ. Hơn nữa, trên đoạn thẳng, đường thẳng nằm phía trên parabol, có nghĩa là diện tích \ u200b \ u200b của hình sẽ được tìm thấy bằng cách sử dụng công thức đã quen thuộc với bạn: . Điều gì đã thay đổi trong công thức? Chỉ một lá thư, và không có gì hơn.

! Ghi chú: Các giới hạn tích hợp dọc theo trục phải được đặt nghiêm ngặt từ dưới lên trên!

Tìm khu vực:

Do đó, trên phân khúc:

Hãy chú ý đến cách tôi thực hiện tích hợp, đây là cách hợp lý nhất, và trong đoạn tiếp theo của bài tập sẽ nói rõ lý do tại sao.

Đối với những độc giả nghi ngờ tính đúng đắn của tích hợp, tôi sẽ tìm các dẫn xuất:

Tích hợp ban đầu thu được, có nghĩa là tích hợp được thực hiện chính xác.

Câu trả lời:

2) Tính thể tích của vật thể tạo thành do chuyển động quay của hình này quanh trục.

Tôi sẽ vẽ lại bản vẽ theo một thiết kế hơi khác:

Vì vậy, hình được tô màu xanh lam sẽ quay quanh trục. Kết quả là một "con bướm lơ lửng" quay quanh trục của nó.

Để tìm thể tích của cơ thể của cuộc cách mạng, chúng tôi sẽ tích hợp dọc theo trục. Đầu tiên chúng ta cần chuyển sang các hàm nghịch đảo. Điều này đã được thực hiện và được mô tả chi tiết trong đoạn trước.

Bây giờ chúng ta nghiêng đầu sang phải một lần nữa và nghiên cứu hình dáng của chúng ta. Rõ ràng, khối lượng của phần thân của cuộc cách mạng nên được tìm thấy là sự khác biệt giữa các khối.

Chúng tôi xoay hình được khoanh đỏ quanh trục, dẫn đến một hình nón bị cắt ngắn. Hãy biểu thị khối lượng này bằng.

Chúng tôi xoay hình, khoanh tròn màu xanh lục, xung quanh trục và biểu thị nó thông qua thể tích của phần thân của vòng quay.

Khối lượng của con bướm của chúng ta bằng sự khác biệt về khối lượng.

Chúng tôi sử dụng công thức để tìm thể tích của một cơ thể của cuộc cách mạng:

Nó khác với công thức của đoạn trước như thế nào? Chỉ trong các bức thư.

Và đây là lợi thế của việc tích hợp mà tôi đã nói đến cách đây không lâu, nó dễ dàng tìm thấy hơn nhiều hơn là nâng sơ bộ tích phân lên lũy thừa thứ 4.

Câu trả lời:

Lưu ý rằng nếu cùng một hình phẳng được quay quanh trục, thì một phần hoàn toàn khác của vòng tròn sẽ xuất hiện, có thể tích khác, một cách tự nhiên,.

Cho một hình phẳng giới hạn bởi các đường và một trục.

1) Đi đến hàm ngược và tìm diện tích của một hình phẳng giới hạn bởi các đường này bằng cách tích phân trên biến số.
2) Tính thể tích của vật thể thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường này quanh trục.

Đây là một ví dụ do-it-yourself. Những người muốn cũng có thể tìm diện tích của \ u200b \ u200b của hình theo cách "thông thường", từ đó hoàn thành bài kiểm tra của điểm 1). Nhưng nếu, tôi nhắc lại, bạn quay một hình phẳng quanh trục, thì bạn sẽ nhận được một vật thể quay hoàn toàn khác với khối lượng khác, nhân tiện, câu trả lời chính xác (cũng dành cho những người thích giải).

Giải pháp hoàn chỉnh của hai mục đề xuất của nhiệm vụ ở cuối bài học.

Ồ, và đừng quên nghiêng đầu sang phải để hiểu các cơ quan xoay và trong tích hợp!

Tôi đã muốn kết thúc bài báo rồi, nhưng hôm nay họ mang đến một ví dụ thú vị chỉ để tìm thể tích của một vật thể quay quanh trục y. Mới:

Tính thể tích của vật thể tạo thành khi quay quanh trục của hình giới hạn bởi các đường cong và.

Dung dịch: Hãy vẽ một bức tranh:


Trên đường đi, chúng ta làm quen với đồ thị của một số hàm số khác. Một đồ thị thú vị của một hàm số chẵn ...

I. Khối lượng các cơ quan của cách mạng. Nghiên cứu sơ bộ chương XII, p ° p ° 197, 198, theo SGK của G. M. Fikhtengol'ts * Phân tích chi tiết các ví dụ cho trong p ° 198.

508. Tính thể tích của vật thể tạo thành do chuyển động quay của elip Xung quanh trục x.

Bằng cách này,

530. Tìm diện tích bề mặt tạo thành bởi chuyển động quay quanh trục Ox của cung hình sin y \ u003d sin x từ điểm X \ u003d 0 đến điểm X \ u003d It.

531. Tính diện tích thiết diện của hình nón có chiều cao h và bán kính r.

532. Tính diện tích bề mặt được tạo thành bởi

quay của thiên thể x3 -) - y * - a3 quanh trục x.

533. Tính diện tích của bề mặt được tạo thành bởi sự nghịch đảo của đường cong 18 y-x (6-x) r quanh trục x.

534. Tìm bề mặt của hình xuyến sinh ra bởi chuyển động quay của đường tròn X2 - j - (y-3) 2 = 4 quanh trục x.

535. Tính diện tích bề mặt tạo thành do chuyển động quay của các đường tròn X = a, y = asint quanh trục Ox.

536. Tính diện tích thiết diện tạo bởi chuyển động quay của các đường cong x = 9t2, y = St - 9t3 quanh trục Ox.

537. Tìm diện tích của bề mặt tạo thành bởi chuyển động quay của cung đường cong x = e * sint, y = el chi phí quanh trục Ox

từ t = 0 đến t = -.

538. Chứng tỏ rằng mặt sinh ra bởi chuyển động quay của cung tròn x = a (q> - sin φ), y = a (I - cos φ) quanh trục Oy, bằng 16 u2 o2.

539. Tìm bề mặt thu được khi quay cardioid quanh trục cực.

540. Tìm diện tích của bề mặt được tạo thành bởi sự quay của quả cầu quanh trục cực.

Nhiệm vụ bổ sung cho Chương IV

Các khu vực của hình máy bay

541. Tìm toàn bộ diện tích của một vùng được giới hạn bởi một đường cong Và trục Oh.

542. Tìm diện tích của vùng giới hạn bởi đường cong

Và trục Oh.

543. Tìm phần diện tích của vùng nằm trong góc phần tư thứ nhất và giới hạn bởi đường cong

l trục tọa độ.

544. Tìm diện tích của khu vực có trong

vòng lặp:

545. Tìm diện tích của vùng được giới hạn bởi một vòng của đường cong:

546. Tìm diện tích của khu vực chứa bên trong vòng lặp:

547. Tìm diện tích của vùng giới hạn bởi đường cong

Và trục Oh.

548. Tìm diện tích của vùng giới hạn bởi đường cong

Và trục Oh.

549. Tìm diện tích miền giới hạn bởi trục Oxr

thẳng và cong

Gọi T là một trục quay được tạo thành bởi phép quay quanh trục abscissa của một hình thang cong nằm trong nửa mặt phẳng trên và giới hạn bởi trục abscissa, các đường thẳng x = a và x = b và đồ thị của hàm số y liên tục. = f (x).

Hãy chứng minh rằng điều này cơ thể của cuộc cách mạng có thể lập được và thể tích của nó được biểu thị bằng công thức

V = \ pi \ int \ limit_ (a) ^ (b) f ^ 2 (x) \, dx = \ pi \ int \ limit_ (a) ^ (b) y ^ 2 \, dx \,.

Đầu tiên, chúng ta chứng minh rằng đường quay này là đều nếu chúng ta lấy \ Pi là mặt phẳng Oyz vuông góc với trục quay. Lưu ý rằng phần nằm cách mặt phẳng Oyz một khoảng x là một hình tròn bán kính f (x) và diện tích S (x) của nó là \ pi f ^ 2 (x) (Hình 46). Do đó, hàm số S (x) liên tục do tính liên tục của f (x). Tiếp theo, nếu S (x_1) \ leqslant S (x_2), thì điều này có nghĩa là. Nhưng hình chiếu của các mặt cắt lên mặt phẳng Oyz là các đường tròn bán kính f (x_1) và f (x_2) với tâm O và từ f (x_1) \ leqslant f (x_2) theo đó hình tròn bán kính f (x_1) được chứa trong hình tròn bán kính f (x_2).


Vì vậy, cơ thể quay là đều đặn. Do đó, nó có thể lập được và thể tích của nó được tính theo công thức

V = \ pi \ int \ limit_ (a) ^ (b) S (x) \, dx = \ pi \ int \ limit_ (a) ^ (b) f ^ 2 (x) \, dx \,.

Nếu một hình thang cong được giới hạn cả từ bên dưới và bên trên bởi các đường cong y_1 = f_1 (x), y_2 = f_2 (x), thì

V = \ pi \ int \ limit_ (a) ^ (b) y_2 ^ 2 \, dx- \ pi \ int \ limit_ (a) ^ (b) y_1 ^ 2 \, dx = \ pi \ int \ limit_ (a ) ^ (b) \ Bigl (f_2 ^ 2 (x) -f_1 ^ 2 (x) \ Bigr) dx \,.

Công thức (3) cũng có thể được sử dụng để tính thể tích của vật thể cách ly trong trường hợp biên của hình tròn xoay được cho bởi phương trình tham số. Trong trường hợp này, người ta phải sử dụng sự thay đổi của biến số dưới dấu tích phân xác định.

Trong một số trường hợp, việc phân hủy xác của các cuộc cách mạng không phải thành các hình trụ tròn thẳng, mà thành các hình dạng khác rất tiện lợi.

Ví dụ, chúng ta hãy tìm thể tích của vật thể có được khi quay một hình thang cong quanh trục y. Đầu tiên, chúng ta hãy tìm thể tích thu được khi quay một hình chữ nhật có chiều cao là y #, tại đáy của nó là đoạn thẳng. Thể tích này bằng hiệu giữa thể tích của hai hình trụ tròn thẳng

\ Delta V_k = \ pi y_k x_ (k + 1) ^ 2- \ pi y_k x_k ^ 2 = \ pi y_k \ bigl (x_ (k + 1) + x_k \ bigr) \ bigl (x_ (k + 1) - x_k \ bigr).

Nhưng bây giờ rõ ràng là khối lượng mong muốn được ước tính từ trên xuống dưới như sau:

2 \ pi \ sum_ (k = 0) ^ (n-1) m_kx_k \ Delta x_k \ leqslant V \ leqslant 2 \ pi \ sum_ (k = 0) ^ (n-1) M_kx_k \ Delta x_k \,.

Từ đó nó dễ dàng theo dõi công thức cho thể tích của vật thể quay quanh trục y:

V = 2 \ pi \ int \ limit_ (a) ^ (b) xy \, dx \,.

Ví dụ 4 Tìm thể tích của quả cầu bán kính R.

Dung dịch. Không mất tính tổng quát, chúng ta sẽ xem xét một đường tròn bán kính R có tâm tại gốc tọa độ. Hình tròn này, quay quanh trục Ox, tạo thành một quả bóng. Phương trình đường tròn là x ^ 2 + y ^ 2 = R ^ 2, do đó y ^ 2 = R ^ 2-x ^ 2. Với sự đối xứng của đường tròn qua trục y, trước tiên chúng ta tìm một nửa thể tích mong muốn

\ frac (1) (2) V = \ pi \ int \ limit_ (0) ^ (R) y ^ 2 \, dx = \ pi \ int \ limit_ (0) ^ (R) (R ^ 2-x ^ 2) \, dx = \ left. (\ Pi \! \ Left (R ^ 2x- \ frac (x ^ 3) (3) \ right)) \ right | _ (0) ^ (R) = \ pi \ ! \ left (R ^ 3- \ frac (R ^ 3) (3) \ right) = \ frac (2) (3) \ pi R ^ 3.

Do đó, thể tích của toàn bộ khối cầu là \ frac (4) (3) \ pi R ^ 3.


Ví dụ 5 Tính thể tích của khối nón có chiều cao là h và bán kính của đáy là r.

Dung dịch. Ta chọn hệ trục tọa độ sao cho trục Ox trùng với chiều cao h (Hình 47), lấy đỉnh của hình nón làm gốc tọa độ. Khi đó phương trình của đường thẳng OA có thể được viết dưới dạng y = \ frac (r) (h) \, x.

Sử dụng công thức (3), chúng tôi nhận được:

V = \ pi \ int \ limit_ (0) ^ (h) y ^ 2 \, dx = \ pi \ int \ limit_ (0) ^ (h) \ frac (r ^ 2) (h ^ 2) \, x ^ 2 \, dx = \ left. (\ Frac (\ pi r ^ 2) (h ^ 2) \ cdot \ frac (x ^ 3) (3)) \ right | _ (0) ^ (h) = \ frac (\ pi) (3) \, r ^ 2h \,.

Ví dụ 6 Tìm thể tích của vật thể thu được khi quay quanh trục abscissa của thiên thể \ begin (các trường hợp) x = a \ cos ^ 3t \, \\ y = a \ sin ^ 3t \,. \ end (các trường hợp)(Hình 48).


Dung dịch. Hãy xây dựng một thiên thạch. Xem xét một nửa phần trên của thiên văn, nằm đối xứng qua trục y. Sử dụng công thức (3) và đổi biến dưới dấu tích phân xác định, ta tìm được giới hạn tích phân cho biến mới t.

Nếu x = a \ cos ^ 3t = 0 thì t = \ frac (\ pi) (2) và nếu x = a \ cos ^ 3t = a thì t = 0. Cho rằng y ^ 2 = a ^ 2 \ sin ^ 6t và dx = -3a \ cos ^ 2t \ sin (t) \, dt, chúng tôi nhận được:

V = \ pi \ int \ limit_ (a) ^ (b) y ^ 2 \, dx = \ pi \ int \ limit _ (\ pi / 2) ^ (0) a ^ 2 \ sin ^ 6t \ bigl (-3a \ cos ^ 2t \ sin (t) \ bigr) \, dt = \ ldots = \ frac (16 \ pi) (105) \, a ^ 3.

Thể tích của toàn bộ cơ thể được hình thành do chuyển động quay của thiên thể sẽ là \ frac (32 \ pi) (105) \, a ^ 3.

Ví dụ 7 Tìm thể tích của vật thể nhận được khi quay quanh trục tọa độ của một hình thang cong giới hạn bởi trục abscissa và cung thứ nhất của hình tròn. \ begin (các trường hợp) x = a (t- \ sin (t)), \\ y = a (1- \ cos (t)). \ end (các trường hợp).

Dung dịch. Chúng tôi sử dụng công thức (4): V = 2 \ pi \ int \ limit_ (a) ^ (b) xy \, dx, và thay biến dưới dấu tích phân, lưu ý rằng cung đầu tiên của xycloid được hình thành khi biến t thay đổi từ 0 thành 2 \ pi. Bằng cách này,

\ begin (căn chỉnh) V & = 2 \ pi \ int \ limit_ (0) ^ (2 \ pi) a (t- \ sin (t)) a (1- \ cos (t)) a (1- \ cos ( t)) \, dt = 2 \ pi a ^ 3 \ int \ limit_ (0) ^ (2 \ pi) (t- \ sin (t)) (1- \ cos (t)) ^ 2 \, dt = \\ & = 2 \ pi a ^ 3 \ int \ limit_ (0) ^ (2 \ pi) \ bigl (t- \ sin (t) - 2t \ cos (t) + 2 \ sin (t) \ cos ( t) + t \ cos ^ 2t- \ sin (t) \ cos ^ 2t \ bigr) \, dt = \\ & = \ left. (2 \ pi a ^ 3 \! \ left (\ frac (t ^ 2 ) (2) + \ cos (t) - 2t \ sin (t) - 2 \ cos (t) + \ sin ^ 2t + \ frac (t ^ 2) (4) + \ frac (t) (4) \ sin2t + \ frac (1) (8) \ cos2t + \ frac (1) (3) \ cos ^ 3t \ right)) \ right | _ (0) ^ (2 \ pi) = \\ & = 2 \ pi a ^ 3 \! \ left (2 \ pi ^ 2 + 1-2 + \ pi ^ 2 + \ frac (1) (8) + \ frac (1) (3) -1 + 2- \ frac (1) (8) - \ frac (1) (3) \ right) = 6 \ pi ^ 3a ^ 3. \ end (căn chỉnh)

Javascript bị tắt trong trình duyệt của bạn.
Các điều khiển ActiveX phải được kích hoạt để thực hiện các phép tính!

Sử dụng tích phân để tìm khối lượng chất rắn của cuộc cách mạng

Tính hữu ích thực tế của toán học là do thực tế là không có

kiến thức toán học cụ thể khiến việc hiểu nguyên lý của thiết bị và việc sử dụng công nghệ hiện đại trở nên khó khăn. Mỗi người trong cuộc sống của mình phải thực hiện những phép tính khá phức tạp, sử dụng các thiết bị thường dùng, tìm các công thức cần thiết trong sách tham khảo và soạn các thuật toán đơn giản để giải các bài toán. Trong xã hội hiện đại, ngày càng có nhiều chuyên ngành đòi hỏi trình độ học vấn cao gắn liền với việc ứng dụng trực tiếp toán học. Vì vậy, đối với trẻ em, toán học trở thành một môn học có ý nghĩa chuyên môn. Vai trò hàng đầu thuộc về toán học trong việc hình thành tư duy thuật toán, nó mang lại khả năng hành động theo một thuật toán nhất định và thiết kế các thuật toán mới.

Nghiên cứu chủ đề sử dụng tích phân để tính thể tích của các vật thể cách mạng, tôi đề nghị học sinh các lớp tự chọn xem xét chủ đề: "Thể tích vật thể cách mạng sử dụng tích phân." Dưới đây là một số hướng dẫn để xử lý chủ đề này:

1. Diện tích hình phẳng.

Từ khóa học đại số, chúng ta biết rằng các vấn đề thực tế đã dẫn đến khái niệm về một tích phân xác định..gif "width =" 88 "height =" 51 ">. Jpg" width = "526" height = "262 src =">

https://pandia.ru/text/77/502/images/image006_95.gif "width =" 127 "height =" 25 src = ">.

Để tìm thể tích của vật thể được tạo thành do chuyển động quay của hình thang cong quanh trục Ox, giới hạn bởi đường đứt y = f (x), trục Ox, các đường thẳng x = a và x = b, ta tính theo công thức

https://pandia.ru/text/77/502/images/image008_26.jpg "width =" 352 "height =" 283 src = "> Y

3. Thể tích của khối trụ.

https://pandia.ru/text/77/502/images/image011_58.gif "width =" 85 "height =" 51 "> .. gif" width = "13" height = "25"> .. jpg " width = "401" height = "355"> Hình nón có được bằng cách quay tam giác vuông ABC (C = 90) quanh trục Ox, trên đó có chân AC.

Đoạn AB nằm trên đường thẳng y = kx + c, tại đây https://pandia.ru/text/77/502/images/image019_33.gif "width =" 59 "height =" 41 src = ">.

Cho a = 0, b = H (H là chiều cao của hình nón), sau đó Vhttps: //pandia.ru/text/77/502/images/image021_27.gif "width =" 13 "height =" 23 src = ">.

5. Thể tích của hình nón cụt.

Có thể thu được một hình nón cụt bằng cách quay hình thang chữ nhật ABCD (CDOx) quanh trục Ox.

Đoạn thẳng AB nằm trên đường thẳng y = kx + c, trong đó , c = r.

Vì đường thẳng đi qua điểm A (0; r).

Do đó, đường thẳng trông giống như https://pandia.ru/text/77/502/images/image027_17.gif "width =" 303 "height =" 291 src = ">

Cho a = 0, b = H (H là chiều cao của hình nón cụt), sau đó https://pandia.ru/text/77/502/images/image030_16.gif "width =" 36 "height =" 17 src = "> = .

6. Khối lượng của quả bóng.

Quả bóng có thể nhận được bằng cách quay một vòng tròn có tâm (0; 0) quanh trục x. Hình bán nguyệt nằm phía trên trục x được cho bởi phương trình

https://pandia.ru/text/77/502/images/image034_13.gif "width =" 13 "height =" 16 src = "> x R.