Viết phương trình đường thẳng qua 2 điểm. Phương trình tổng quát của một đường thẳng

Tính chất của đường thẳng trong hình học Ơclit.

Có vô số đường thẳng có thể được vẽ qua bất kỳ điểm nào.

Qua hai điểm không trùng nhau có duy nhất một đường thẳng.

Hai đường thẳng không trùng nhau trong mặt phẳng cắt nhau tại một điểm hoặc là

song song (tiếp theo từ cái trước).

Trong không gian ba chiều, có ba tùy chọn cho vị trí tương đối của hai đường:

các đường cắt nhau;

các đường thẳng song song với nhau;

các đường thẳng cắt nhau.

Dài hàng- đường cong đại số bậc nhất: trong hệ tọa độ Descartes, một đường thẳng

được cho trên mặt phẳng bởi một phương trình của bậc nhất (phương trình tuyến tính).

Phương trình tổng quát của đường thẳng.

Sự định nghĩa. Bất kỳ đường thẳng nào trong mặt phẳng có thể được cho bởi một phương trình bậc nhất

Ah + Wu + C = 0,

và không đổi A, B không đồng thời bằng 0. Phương trình bậc nhất này được gọi là chung

phương trình đường thẳng. Tùy thuộc vào giá trị của các hằng số A, B và TỪ Các trường hợp đặc biệt sau có thể xảy ra:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- dòng đi qua điểm gốc

. A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0 (Bởi + C = 0)- đường thẳng song song với trục Ồ

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- đường thẳng song song với trục OU

. B = C = 0, A ≠ 0- đường thẳng trùng với trục OU

. A = C = 0, B ≠ 0- đường thẳng trùng với trục Ồ

Phương trình của một đường thẳng có thể được biểu diễn dưới nhiều dạng khác nhau tùy thuộc vào bất kỳ

điều kiện ban đầu.

Phương trình của một đường thẳng bởi một điểm và một vectơ pháp tuyến.

Sự định nghĩa. Trong hệ tọa độ hình chữ nhật Descartes, một vectơ có các thành phần (A, B)

vuông góc với đường thẳng cho bởi phương trình

Ah + Wu + C = 0.

Thí dụ. Tìm phương trình của đường thẳng đi qua một điểm A (1, 2) vuông góc với vectơ (3, -1).

Dung dịch. Hãy soạn tại A \ u003d 3 và B \ u003d -1 phương trình của đường thẳng: 3x - y + C \ u003d 0. Để tìm hệ số C

ta thay tọa độ của điểm A đã cho vào biểu thức kết quả ta được: 3 - 2 + C = 0, do đó

C = -1. Tổng: phương trình mong muốn: 3x - y - 1 \ u003d 0.

Phương trình của đường thẳng đi qua hai điểm.

Cho hai điểm trong không gian M 1 (x 1, y 1, z 1) và M2 (x 2, y 2, z 2), sau đó phương trình đường thẳng,

đi qua các điểm sau:

Nếu bất kỳ mẫu số nào bằng 0, thì tử số tương ứng phải được đặt bằng 0. Trên

phẳng, phương trình của một đường thẳng viết ở trên được đơn giản hóa:

nếu x 1 ≠ x 2 và x = x 1, nếu x 1 = x 2 .

Phân số = k gọi là hệ số độ dốc dài.

Thí dụ. Tìm phương trình đường thẳng đi qua các điểm A (1, 2) và B (3, 4).

Dung dịch. Áp dụng công thức trên, chúng ta nhận được:

Phương trình của một đường thẳng bởi một điểm và một hệ số góc.

Nếu phương trình tổng quát của một đường thẳng Ah + Wu + C = 0đưa về dạng:

và chỉ định , khi đó phương trình kết quả được gọi là

phương trình của đường thẳng có hệ số góc k.

Phương trình của một đường thẳng trên một điểm và một vectơ chỉ phương.

Bằng cách tương tự với điểm xem xét phương trình của một đường thẳng qua vectơ pháp tuyến, bạn có thể nhập nhiệm vụ

một đường thẳng qua một điểm và một vectơ chỉ phương của một đường thẳng.

Sự định nghĩa. Mọi vectơ khác 0 (α 1, α 2), có các thành phần thỏa mãn điều kiện

Aα 1 + Bα 2 = 0 gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng.

Ah + Wu + C = 0.

Thí dụ. Tìm phương trình của đường thẳng có vectơ chỉ phương (1, -1) và đi qua điểm A (1, 2).

Dung dịch. Chúng ta sẽ tìm phương trình của đường thẳng mong muốn ở dạng: Ax + By + C = 0. Theo định nghĩa,

các hệ số phải thỏa mãn các điều kiện:

1 * A + (-1) * B = 0, tức là A = B.

Khi đó phương trình của một đường thẳng có dạng: Ax + Ay + C = 0, hoặc x + y + C / A = 0.

tại x = 1, y = 2 chúng tôi nhận được C / A = -3, I E. phương trình mong muốn:

x + y - 3 = 0

Phương trình của một đoạn thẳng trong các đoạn thẳng.

Nếu trong phương trình tổng quát của đường thẳng Ah + Wu + C = 0 C ≠ 0, thì chia cho -C, ta được:

hoặc, ở đâu

Ý nghĩa hình học của các hệ số là hệ số a là tọa độ của giao điểm

thẳng với trục Ồ, một b- tọa độ giao điểm của đường thẳng với trục Đơn vị tổ chức.

Thí dụ. Phương trình tổng quát của một đường thẳng đã cho x - y + 1 = 0. Tìm phương trình của đường thẳng này trong các đoạn.

C \ u003d 1, a \ u003d -1, b \ u003d 1.

Phương trình pháp tuyến của một đường thẳng.

Nếu cả hai vế của phương trình Ah + Wu + C = 0 chia cho số , được gọi là

yếu tố bình thường hóa, sau đó chúng tôi nhận được

xcosφ + ysinφ - p = 0 -phương trình pháp tuyến của một đường thẳng.

Dấu ± của hệ số chuẩn hóa phải được chọn sao cho μ * C< 0.

R- độ dài của đường vuông góc rơi từ điểm gốc đến đoạn thẳng,

một φ - góc tạo bởi góc này vuông góc với chiều dương của trục Ồ.

Thí dụ. Cho phương trình tổng quát của một đường thẳng 12x - 5y - 65 = 0. Yêu cầu viết các loại phương trình

đoạn thẳng này.

Phương trình của đường thẳng này trong các đoạn:

Phương trình của đường thẳng này với hệ số góc: (chia cho 5)

Phương trình của một đường thẳng:

cos φ = 13/12; sin φ = -5/13; p = 5.

Cần lưu ý rằng không phải mọi đường thẳng đều có thể được biểu diễn bằng một phương trình trong các đoạn, ví dụ, các đường thẳng,

song song với các trục hoặc đi qua gốc tọa độ.

Góc giữa các đường trên mặt phẳng.

Sự định nghĩa. Nếu hai dòng được đưa ra y \ u003d k 1 x + b 1, y \ u003d k 2 x + b 2, sau đó là góc nhọn giữa các đường này

sẽ được định nghĩa là

Hai đường thẳng song song nếu k 1 = k 2. Hai đường thẳng vuông góc

nếu k 1 \ u003d -1 / k 2 .

Định lý.

Thẳng thắn Ah + Wu + C = 0 và A 1 x + B 1 y + C 1 \ u003d 0 song song khi các hệ số tỷ lệ với

A 1 \ u003d λA, B 1 \ u003d λB. Nếu cũng С 1 \ u003d λС, sau đó các dòng trùng với nhau. Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng

được tìm thấy như một lời giải cho hệ phương trình của những đường thẳng này.

Phương trình của một đường thẳng đi qua một điểm cho trước thì vuông góc với một đường thẳng cho trước.

Sự định nghĩa. Một đường thẳng đi qua một điểm M 1 (x 1, y 1) và vuông góc với đường thẳng y = kx + b

được biểu diễn bằng phương trình:

Khoảng cách từ một điểm đến một đoạn thẳng.

Định lý. Nếu một điểm được đưa ra M (x 0, y 0), sau đó là khoảng cách đến dòng Ah + Wu + C = 0định nghĩa là:

Bằng chứng. Hãy để ý M 1 (x 1, y 1)- cơ sở của vuông góc rơi từ điểm Mđể cho

thẳng thắn. Khi đó khoảng cách giữa các điểm M và M 1:

(1)

Tọa độ x 1 và 1 có thể được tìm thấy dưới dạng một nghiệm của hệ phương trình:

Phương trình thứ hai của hệ là phương trình của đường thẳng đi qua điểm M 0 cho trước vuông góc

dòng đã cho. Nếu ta biến đổi phương trình thứ nhất của hệ về dạng:

A (x - x 0) + B (y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

sau đó, giải quyết, chúng tôi nhận được:

Thay các biểu thức này vào phương trình (1), ta thấy:

Định lý đã được chứng minh.

Phương trình của đường thẳng đi qua hai điểm. Trong bài báo" " Tôi đã hứa với bạn sẽ phân tích cách thứ hai để giải các bài toán đã trình bày để tìm đạo hàm, với một đồ thị hàm số đã cho và một tiếp tuyến của đồ thị này. Chúng ta sẽ khám phá phương pháp này trong , đừng bỏ lỡ! Tại sao tiếp theo?

Thực tế là công thức của phương trình của một đường thẳng sẽ được sử dụng ở đó. Tất nhiên, người ta có thể chỉ ra công thức này và khuyên bạn học nó. Nhưng tốt hơn là giải thích nó đến từ đâu (nó có nguồn gốc như thế nào). No cân thiêt! Nếu quên thì nhanh chóng khôi phục lạisẽ không khó. Mọi thứ đều được trình bày chi tiết bên dưới. Vì vậy, ta có hai điểm A trên mặt phẳng tọa độ(x 1; y 1) và B (x 2; y 2), một đường thẳng được vẽ qua các điểm được chỉ ra:

Đây là công thức trực tiếp:

* Tức là khi thay tọa độ cụ thể của điểm ta được phương trình dạng y = kx + b.

** Nếu công thức này chỉ đơn giản là "ghi nhớ", thì khả năng cao là bạn bị nhầm lẫn với các chỉ số khi X. Ngoài ra, các chỉ mục có thể được biểu thị theo nhiều cách khác nhau, ví dụ:

Đó là lý do tại sao điều quan trọng là phải hiểu ý nghĩa.

Bây giờ là dẫn xuất của công thức này. Mọi thứ rất đơn giản!

Các tam giác ABE và ACF đồng dạng về một góc nhọn (dấu hiệu đầu tiên của sự đồng dạng của các tam giác vuông). Từ đó tỷ lệ của các phần tử tương ứng bằng nhau, nghĩa là:

Bây giờ chúng ta chỉ đơn giản thể hiện các phân đoạn này dưới dạng sự khác biệt trong tọa độ của các điểm:

Tất nhiên, sẽ không có lỗi nếu bạn viết mối quan hệ của các phần tử theo một thứ tự khác (điều chính là giữ cho sự tương ứng):

Kết quả là cùng một phương trình của một đường thẳng. Đó là tất cả!

Nghĩa là, bất kể bản thân các điểm (và tọa độ của chúng) được chỉ định như thế nào, hiểu được công thức này, bạn sẽ luôn tìm được phương trình của một đường thẳng.

Công thức có thể được suy ra bằng cách sử dụng các tính chất của vectơ, nhưng nguyên tắc của phép đạo hàm sẽ giống nhau, vì chúng ta sẽ nói về tỷ lệ của các tọa độ của chúng. Trong trường hợp này, sự đồng dạng tương tự của các tam giác vuông cũng hoạt động. Theo tôi, kết luận mô tả ở trên là dễ hiểu hơn)).

Xem đầu ra qua tọa độ vector >>>

Cho đường thẳng dựng trên mặt phẳng tọa độ đi qua hai điểm A (x 1; y 1) và B (x 2; y 2) cho trước. Hãy đánh dấu một điểm C tùy ý trên đường thẳng có tọa độ ( x; y). Chúng tôi cũng biểu thị hai vectơ:

Biết rằng đối với các vectơ nằm trên các đường thẳng song song (hoặc trên một đường thẳng) thì tọa độ tương ứng của chúng tỷ lệ thuận với nhau, đó là:

- ta viết đẳng thức của các tỉ số của các tọa độ tương ứng:

Hãy xem xét một ví dụ:

Tìm phương trình của đường thẳng đi qua hai điểm có tọa độ (2; 5) và (7: 3).

Bạn thậm chí không thể tự xây dựng đường dây. Chúng tôi áp dụng công thức:

Điều quan trọng là bạn phải nắm bắt được sự tương ứng khi vẽ tỷ lệ. Bạn không thể sai nếu bạn viết:

Đáp số: y = -2 / 5x + 29/5 đi y = -0,4x + 5,8

Để đảm bảo rằng phương trình kết quả được tìm thấy chính xác, hãy nhớ kiểm tra nó - thay thế tọa độ dữ liệu vào nó theo điều kiện của các điểm. Bạn sẽ nhận được sự bằng nhau chính xác.

Đó là tất cả. Tôi hy vọng tài liệu hữu ích cho bạn.

Trân trọng, Alexander.

P.S: Tôi sẽ rất biết ơn nếu bạn kể về trang web trên mạng xã hội.

Sự định nghĩa. Bất kỳ đường thẳng nào trong mặt phẳng có thể được cho bởi một phương trình bậc nhất

Ah + Wu + C = 0,

và các hằng số A, B không đồng thời bằng 0. Phương trình bậc nhất này được gọi là phương trình tổng quát của một đường thẳng. Tùy thuộc vào giá trị của các hằng số A, B và C, có thể xảy ra các trường hợp đặc biệt sau:

C \ u003d 0, A ≠ 0, B ≠ 0 - đường thẳng đi qua điểm gốc

A \ u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0 (By + C \ u003d 0) - đường thẳng song song với trục Ox

B \ u003d 0, A ≠ 0, C ≠ 0 (Ax + C \ u003d 0) - đường thẳng song song với trục Oy

B \ u003d C \ u003d 0, A ≠ 0 - đường thẳng trùng với trục Oy

A \ u003d C \ u003d 0, B ≠ 0 - đường thẳng trùng với trục Ox

Phương trình của một đường thẳng có thể được trình bày dưới nhiều dạng khác nhau tùy thuộc vào bất kỳ điều kiện ban đầu nào.

Phương trình của một đường thẳng bởi một điểm và một vectơ pháp tuyến

Sự định nghĩa. Trong hệ trục tọa độ Descartes, một vectơ có thành phần (A, B) vuông góc với đường thẳng cho bởi phương trình Ax + By + C = 0.

Thí dụ. Tìm phương trình đường thẳng đi qua điểm A (1, 2) vuông góc với (3, -1).

Dung dịch. Tại A = 3 và B = -1, ta lập phương trình đường thẳng: 3x - y + C = 0. Để tìm hệ số C, ta thay tọa độ của điểm A đã cho vào biểu thức ta được: 3 - 2 + C = 0, do đó, C = -1. Tổng: phương trình mong muốn: 3x - y - 1 \ u003d 0.

Phương trình của một đường thẳng đi qua hai điểm

Cho hai điểm M 1 (x 1, y 1, z 1) và M 2 (x 2, y 2, z 2) trong không gian thì phương trình của đường thẳng đi qua các điểm sau:

Nếu bất kỳ mẫu số nào bằng 0 thì tử số tương ứng phải được đặt bằng 0. Trên mặt phẳng, phương trình đường thẳng viết ở trên được đơn giản hóa:

nếu x 1 ≠ x 2 và x = x 1 nếu x 1 = x 2.

Phân số = k được gọi là hệ số độ dốc dài.

Thí dụ. Tìm phương trình đường thẳng đi qua các điểm A (1, 2) và B (3, 4).

Dung dịch.Áp dụng công thức trên, chúng ta nhận được:

Phương trình của một đường thẳng từ một điểm và một hệ số góc

Nếu tổng Ax + Wu + C = 0 dẫn đến dạng:

và chỉ định , khi đó phương trình kết quả được gọi là phương trình của một đường thẳng với hệ số góck.

Phương trình của một đường thẳng với một điểm và vectơ chỉ phương

Tương tự với đoạn văn xét phương trình của một đường thẳng qua vectơ pháp tuyến, bạn có thể nhập giao của một đường thẳng qua một điểm và một vectơ chỉ phương của một đường thẳng.

Sự định nghĩa. Mỗi vectơ khác 0 (α 1, α 2), các thành phần thỏa mãn điều kiện A α 1 + B α 2 = 0 được gọi là vectơ chỉ phương của đoạn thẳng

Ah + Wu + C = 0.

Thí dụ. Tìm phương trình của đường thẳng có vectơ chỉ phương (1, -1) và đi qua điểm A (1, 2).

Dung dịch. Ta sẽ tìm phương trình của đường thẳng mong muốn có dạng: Ax + By + C = 0. Theo định nghĩa, các hệ số phải thỏa mãn điều kiện:

1 * A + (-1) * B = 0, tức là A = B.

Khi đó phương trình của một đường thẳng có dạng: Ax + Ay + C = 0, hoặc x + y + C / A = 0. với x = 1, y = 2 ta được C / A = -3, tức là. phương trình mong muốn:

Phương trình của một đường thẳng trong các đoạn

Nếu trong phương trình tổng quát của đường thẳng Ah + Wu + C = 0 C ≠ 0, thì chia cho –C, ta được: hoặc

Ý nghĩa hình học của các hệ số là hệ số một là tọa độ giao điểm của đường thẳng với trục x và b- tọa độ giao điểm của đường thẳng với trục Oy.

Thí dụ. Cho phương trình tổng quát của đường thẳng x - y + 1 = 0. Tìm phương trình của đường thẳng này trong các đoạn thẳng.

C \ u003d 1, a \ u003d -1, b \ u003d 1.

Phương trình pháp tuyến của một đường thẳng

Nếu cả hai vế của phương trình Ax + Vy + C = 0 được nhân với số , được gọi là yếu tố bình thường hóa, sau đó chúng tôi nhận được

xcosφ + ysinφ - p = 0 -

phương trình pháp tuyến của một đường thẳng. Dấu ± của hệ số chuẩn hóa phải được chọn sao cho μ * С< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Thí dụ. Cho phương trình tổng quát của đường thẳng 12x - 5y - 65 = 0. Yêu cầu viết nhiều dạng phương trình cho đường thẳng này.

phương trình của đường thẳng này trong các đoạn:

phương trình của đường thẳng này với hệ số góc: (chia cho 5)

; cos φ = 13/12; sin φ = -5/13; p = 5.

Cần lưu ý rằng không phải mọi đường thẳng đều có thể được biểu diễn bằng một phương trình trong các đoạn, ví dụ, các đường thẳng song song với trục hoặc đi qua gốc tọa độ.

Thí dụ. Đường thẳng cắt các đoạn dương bằng nhau trên các trục tọa độ. Viết phương trình đường thẳng nếu diện tích tam giác tạo bởi các đoạn thẳng này là 8 cm 2.

Dung dịch. Phương trình đường thẳng có dạng :, ab / 2 = 8; ab = 16; a = 4, a = -4. a = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.

Thí dụ. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A (-2, -3) và gốc tọa độ.

Dung dịch. Phương trình của một đường thẳng có dạng: , trong đó x 1 \ u003d y 1 \ u003d 0; x 2 \ u003d -2; y 2 \ u003d -3.

Góc giữa các đường trên mặt phẳng

Sự định nghĩa. Nếu hai đường thẳng cho trước y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, thì góc nhọn giữa hai đường thẳng này sẽ được xác định là

Hai đường thẳng song song nếu k 1 = k 2. Hai đường thẳng vuông góc nếu k 1 = -1 / k 2.

Định lý. Các đường thẳng Ax + Vy + C \ u003d 0 và A 1 x + B 1 y + C 1 \ u003d 0 song song với nhau khi các hệ số A 1 \ u003d λA, B 1 \ u003d λB tỉ lệ thuận với nhau. Nếu cũng С 1 = λС, thì các đường trùng nhau. Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng được tìm là một nghiệm của hệ phương trình của hai đường thẳng này.

Phương trình của một đường thẳng đi qua một điểm cho trước vuông góc với một đường thẳng cho trước

Sự định nghĩa.Đường thẳng đi qua điểm M 1 (x 1, y 1) và vuông góc với đường thẳng y \ u003d kx + b được biểu diễn bằng phương trình:

Khoảng cách từ điểm đến dòng

Định lý. Nếu cho trước một điểm M (x 0, y 0) thì khoảng cách đến đường thẳng Ax + Vy + C \ u003d 0 được xác định là

Bằng chứng. Gọi điểm M 1 (x 1, y 1) là chân đường vuông góc hạ điểm M xuống đường thẳng cho trước. Khi đó khoảng cách giữa hai điểm M và M 1:

(1)

Tọa độ x 1 và y 1 có thể được tìm thấy là một nghiệm của hệ phương trình:

Phương trình thứ hai của hệ là phương trình của đường thẳng đi qua điểm M 0 cho trước vuông góc với một đường thẳng cho trước. Nếu ta biến đổi phương trình thứ nhất của hệ về dạng:

A (x - x 0) + B (y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

sau đó, giải quyết, chúng tôi nhận được:

Thay các biểu thức này vào phương trình (1), ta thấy:

Định lý đã được chứng minh.

Thí dụ. Xác định góc giữa các đường thẳng: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 \ u003d -3; k2 = 2; tgφ = ; φ = π / 4.

Thí dụ. Chứng tỏ rằng các đường thẳng 3x - 5y + 7 = 0 và 10x + 6y - 3 = 0 vuông góc với nhau.

Dung dịch. Ta nhận thấy: k 1 \ u003d 3/5, k 2 \ u003d -5/3, k 1 * k 2 \ u003d -1, do đó, các đường thẳng vuông góc.

Thí dụ. Các đỉnh của tam giác A (0; 1), B (6; 5), C (12; -1) cho trước. Tìm phương trình đường cao vẽ từ đỉnh C.

Dung dịch. Ta tìm được phương trình của cạnh AB: ; 4 x = 6 y - 6;

2x - 3y + 3 = 0;

Phương trình chiều cao mong muốn là: Ax + By + C = 0 hoặc y = kx + b. k =. Khi đó y =. Tại vì độ cao đi qua điểm C thì tọa độ của nó thỏa mãn phương trình: khi đó b = 17. Tổng:.

Đáp số: 3x + 2y - 34 = 0.

Cho đường thẳng đi qua các điểm M 1 (x 1; y 1) và M 2 (x 2; y 2). Phương trình đường thẳng đi qua điểm M 1 có dạng y- y 1 \ u003d k (x - x 1), (10,6)

ở đâu k - vẫn chưa biết hệ số.

Vì đường thẳng đi qua điểm M 2 (x 2 y 2) nên tọa độ của điểm này phải thỏa mãn phương trình (10.6): y 2 -y 1 \ u003d k (x 2 -x 1).

Từ đây, chúng tôi tìm thấy Thay thế giá trị tìm được k vào phương trình (10.6), ta được phương trình của đường thẳng đi qua các điểm M 1 và M 2:

Theo giả thiết, trong phương trình này x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Nếu x 1 \ u003d x 2 thì đường thẳng đi qua các điểm M 1 (x 1, y I) và M 2 (x 2, y 2) song song với trục y. Phương trình của nó là x = x 1 .

Nếu y 2 \ u003d y I thì phương trình của đường thẳng có thể được viết dưới dạng y \ u003d y 1, đường thẳng M 1 M 2 song song với trục x.

Phương trình của một đường thẳng trong các đoạn

Cho đường thẳng cắt trục Ox tại điểm M 1 (a; 0) và trục Oy - tại điểm M 2 (0; b). Phương trình sẽ có dạng:
những thứ kia.
. Phương trình này được gọi là phương trình của một đường thẳng trong các đoạn, bởi vì các số a và b cho biết đoạn thẳng nào cắt ngang trên các trục tọa độ.

Phương trình của một đường thẳng đi qua một điểm vuông góc với một vectơ đã cho

Hãy tìm phương trình của đường thẳng đi qua điểm cho trước Mo (x O; y o) vuông góc với vectơ khác không n = (A; B) cho trước.

Lấy một điểm M (x; y) tùy ý trên đường thẳng và xét vectơ M 0 M (x - x 0; y - y o) (xem Hình 1). Vì các vectơ n và M o M vuông góc với nhau nên tích vô hướng của chúng bằng 0: nghĩa là

A (x - xo) + B (y - yo) = 0. (10.8)

Phương trình (10.8) được gọi là phương trình của một đường thẳng đi qua một điểm vuông góc với một vectơ đã cho .

Vectơ n = (A; B) vuông góc với đường thẳng được gọi là pháp tuyến vectơ pháp tuyến của dòng này .

Phương trình (10.8) có thể được viết lại thành Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

trong đó A và B là tọa độ của vectơ pháp tuyến, C \ u003d -Ax o - Vu o - thành viên tự do. Phương trình (10,9) là phương trình tổng quát của một đường thẳng(xem Hình 2).

Hình 1 Hình 2

Phương trình chính tắc của đường thẳng

Ở đâu
là tọa độ của điểm mà đường thẳng đi qua, và
- vectơ chỉ phương.

Các đường cong của đường tròn bậc hai

Đường tròn là tập hợp tất cả các điểm trong một mặt phẳng cách đều một điểm cho trước, được gọi là tâm.

Phương trình hình nón của một đường tròn bán kính R tập trung vào một điểm
:

Đặc biệt, nếu tâm của cọc trùng với điểm gốc, thì phương trình sẽ giống như sau:

Hình elip

Hình elip là tập hợp các điểm trong mặt phẳng, tổng khoảng cách từ mỗi điểm đó đến hai điểm đã cho và , được gọi là foci, là một giá trị không đổi
, lớn hơn khoảng cách giữa các tiêu điểm
.

Phương trình chính tắc của một hình elip có các tiêu điểm nằm trên trục Ox và gốc tọa độ ở giữa các tiêu điểm có dạng
G de một độ dài của bán trục chính; b là chiều dài của bán trục nhỏ (Hình 2).

Phương trình của một đường thẳng trên mặt phẳng.

Như đã biết, một điểm bất kỳ trên mặt phẳng được xác định bởi hai tọa độ trong một hệ trục tọa độ nào đó. Các hệ tọa độ có thể khác nhau tùy thuộc vào sự lựa chọn cơ sở và nguồn gốc.

Sự định nghĩa. Phương trình dòng là quan hệ y = f (x) giữa tọa độ của các điểm tạo nên đường thẳng này.

Lưu ý rằng phương trình đường thẳng có thể được biểu diễn theo cách tham số, tức là mỗi tọa độ của mỗi điểm được biểu diễn thông qua một số tham số độc lập t.

Một ví dụ điển hình là quỹ đạo của một điểm chuyển động. Trong trường hợp này, thời gian đóng vai trò là một tham số.

Phương trình của một đường thẳng trên mặt phẳng.

Sự định nghĩa. Bất kỳ đường thẳng nào trong mặt phẳng có thể được cho bởi một phương trình bậc nhất

Ah + Wu + C = 0,

hơn nữa, các hằng số A, B không đồng thời bằng 0, tức là A 2 + B 2  0. Phương trình bậc nhất này được gọi là phương trình tổng quát của một đường thẳng.

Tùy thuộc vào giá trị của các hằng số A, B và C, có thể xảy ra các trường hợp đặc biệt sau:

C \ u003d 0, A  0, B  0 - đường thẳng đi qua điểm gốc

A \ u003d 0, B  0, C  0 (By + C \ u003d 0) - đường thẳng song song với trục Ox

B \ u003d 0, A  0, C  0 (Ax + C \ u003d 0) - đường thẳng song song với trục Oy

B \ u003d C \ u003d 0, A  0 - đường thẳng trùng với trục Oy

A \ u003d C \ u003d 0, B  0 - đường thẳng trùng với trục Ox

Phương trình của một đường thẳng có thể được trình bày dưới nhiều dạng khác nhau tùy thuộc vào bất kỳ điều kiện ban đầu nào.

Phương trình của một đường thẳng bởi một điểm và một vectơ pháp tuyến.

Sự định nghĩa. Trong hệ trục tọa độ Descartes, một vectơ có thành phần (A, B) vuông góc với đường thẳng cho bởi phương trình Ax + By + C = 0.

Thí dụ. Tìm phương trình của đường thẳng đi qua điểm A (1, 2) vuông góc với vectơ (3, -1).

Chúng ta hãy soạn tại A \ u003d 3 và B \ u003d -1 phương trình của đường thẳng: 3x - y + C \ u003d 0. Để tìm hệ số C, ta thay tọa độ của điểm A đã cho vào biểu thức thu được.

Ta nhận được: 3 - 2 + C \ u003d 0, do đó C \ u003d -1.

Tổng: phương trình mong muốn: 3x - y - 1 \ u003d 0.

Phương trình của đường thẳng đi qua hai điểm.

Cho hai điểm M 1 (x 1, y 1, z 1) và M 2 (x 2, y 2, z 2) trong không gian thì phương trình của đường thẳng đi qua các điểm sau:

Nếu bất kỳ mẫu số nào bằng 0, thì tử số tương ứng phải được đặt bằng 0.

Trên một mặt phẳng, phương trình của một đường thẳng viết ở trên được đơn giản hóa:

nếu x 1  x 2 và x \ u003d x 1, nếu x 1 \ u003d x 2.

Phân số
= k được gọi là hệ số độ dốc dài.

Thí dụ. Tìm phương trình đường thẳng đi qua các điểm A (1, 2) và B (3, 4).

Áp dụng công thức trên, chúng ta nhận được:

Phương trình của một đường thẳng bởi một điểm và một hệ số góc.

Nếu phương trình tổng quát của đường thẳng Ax + Vy + C = 0 dẫn đến dạng:

và chỉ định
, khi đó phương trình kết quả được gọi là phương trình của một đường thẳng với hệ số góck.

Phương trình của một đường thẳng trên một điểm và một vectơ chỉ phương.

Sự định nghĩa. Mọi vectơ khác 0 ( 1,  2), các thành phần thỏa mãn điều kiện A 1 + B 2 = 0 được gọi là vectơ chỉ phương của đoạn thẳng

Ah + Wu + C = 0.

Thí dụ. Tìm phương trình của đường thẳng với vectơ chỉ phương (1, -1) và đi qua điểm A (1, 2).

Ta sẽ tìm phương trình của đường thẳng mong muốn có dạng: Ax + By + C = 0. Theo định nghĩa, các hệ số phải thỏa mãn điều kiện:

1A + (-1) B = 0, tức là A = B.

Khi đó phương trình của đường thẳng có dạng: Ax + Ay + C = 0, hoặc x + y + C / A = 0.

tại x = 1, y = 2 chúng ta nhận được С / A = -3, tức là phương trình mong muốn:

Phương trình của một đoạn thẳng trong các đoạn thẳng.

Nếu trong phương trình tổng quát của đường thẳng Ah + Wu + C = 0 C 0, thì chia cho –C, ta được:
hoặc

, ở đâu

Thí dụ. Cho phương trình tổng quát của đường thẳng x - y + 1 = 0. Tìm phương trình của đường thẳng này trong các đoạn thẳng.

C \ u003d 1,
, a = -1, b = 1.

Phương trình pháp tuyến của một đường thẳng.

Nếu cả hai vế của phương trình Ax + Wy + C = 0 chia cho số
, được gọi là yếu tố bình thường hóa, sau đó chúng tôi nhận được

xcos + ysin - p = 0 -

phương trình pháp tuyến của một đường thẳng.

Dấu  của hệ số chuẩn hóa phải được chọn sao cho С< 0.

p là độ dài của đường vuông góc thả từ gốc tọa độ xuống đường thẳng, và  là góc tạo bởi đường vuông góc này với chiều dương của trục Ox.

Thí dụ. Cho phương trình tổng quát của đường thẳng 12x - 5y - 65 = 0. Yêu cầu viết nhiều dạng phương trình cho đường thẳng này.

phương trình của đường thẳng này trong các đoạn:

phương trình của đường thẳng này với hệ số góc: (chia cho 5)

phương trình pháp tuyến của một đường thẳng:

; cos = 13/12; sin = -5/13; p = 5.

Thí dụ.Đường thẳng cắt các đoạn dương bằng nhau trên các trục tọa độ. Viết phương trình đường thẳng nếu diện tích tam giác tạo bởi các đoạn thẳng này là 8 cm 2.

Phương trình của một đường thẳng có dạng:
, a = b = 1; ab / 2 = 8; a = 4; -thứ tư.

a = -4 không phù hợp với điều kiện của bài toán.

Tổng cộng:
hoặc x + y - 4 = 0.

Thí dụ. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A (-2, -3) và gốc tọa độ.

Phương trình của một đường thẳng có dạng:
, trong đó x 1 \ u003d y 1 \ u003d 0; x 2 \ u003d -2; y 2 \ u003d -3.

Góc giữa các đường trên mặt phẳng.

Sự định nghĩa. Nếu hai đường thẳng cho trước y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, thì góc nhọn giữa hai đường thẳng này sẽ được xác định là

Hai đường thẳng song song nếu k 1 = k 2.

Hai đường thẳng vuông góc nếu k 1 = -1 / k 2.

Định lý. Đường thẳng Ax + Vy + C = 0 và A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 song song khi các hệ số A tỉ lệ thuận 1 =  A, B 1 =  B. Nếu cũng C 1 =  C thì các đường thẳng trùng nhau.

Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng được tìm là một nghiệm của hệ phương trình của hai đường thẳng này.

Phương trình của một đường thẳng đi qua một điểm đã cho

vuông góc với đường thẳng này.

Sự định nghĩa. Đường thẳng đi qua điểm M 1 (x 1, y 1) và vuông góc với đường thẳng y \ u003d kx + b được biểu diễn bằng phương trình:

Khoảng cách từ một điểm đến một đoạn thẳng.

Định lý. Nếu một điểm M (x 0 , y 0 ), thì khoảng cách đến đường thẳng Ax + Vy + C = 0 được xác định là

Bằng chứng. Gọi điểm M 1 (x 1, y 1) là chân đường vuông góc hạ điểm M xuống đường thẳng cho trước. Khi đó khoảng cách giữa hai điểm M và M 1:

Tọa độ x 1 và y 1 có thể được tìm thấy là một nghiệm của hệ phương trình:

Phương trình thứ hai của hệ là phương trình của đường thẳng đi qua điểm M 0 cho trước vuông góc với một đường thẳng cho trước.

Nếu ta biến đổi phương trình thứ nhất của hệ về dạng:

A (x - x 0) + B (y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

sau đó, giải quyết, chúng tôi nhận được:

Thay các biểu thức này vào phương trình (1), ta thấy:

Định lý đã được chứng minh.

Thí dụ. Xác định góc giữa các đường thẳng: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k 1 \ u003d -3; k 2 = 2tg =
;  =  / 4.

Thí dụ. Chứng tỏ rằng các đường thẳng 3x - 5y + 7 = 0 và 10x + 6y - 3 = 0 vuông góc với nhau.

Ta nhận thấy: k 1 \ u003d 3/5, k 2 \ u003d -5/3, k 1 k 2 \ u003d -1, do đó, các đường thẳng vuông góc.

Thí dụ. Các đỉnh của tam giác A (0; 1), B (6; 5), C (12; -1) cho trước. Tìm phương trình đường cao vẽ từ đỉnh C.

Ta tìm được phương trình của cạnh AB:
; 4x = 6y - 6;

2x - 3y + 3 = 0;

Phương trình chiều cao mong muốn là: Ax + By + C = 0 hoặc y = kx + b.

k = . Sau đó y =
. Tại vì độ cao đi qua điểm C thì tọa độ của nó thỏa mãn phương trình:
khi đó b = 17. Tổng:
.

Đáp số: 3x + 2y - 34 = 0.

Hình học giải tích trong không gian.

Phương trình đường thẳng trong không gian.

Phương trình của một đường thẳng trong không gian bởi một điểm và

vectơ chỉ phương.

Lấy một đường thẳng và một vectơ tùy ý (m, n, p) song song với đường thẳng cho trước. Véc tơ gọi là hướng dẫn vector dài.

Lấy hai điểm tùy ý M 0 (x 0, y 0, z 0) và M (x, y, z) trên đường thẳng.

Hãy để chúng tôi biểu thị các vectơ bán kính của những điểm này là và , hiển nhiên là - =
.

Tại vì vectơ
và thẳng hàng, thì mối quan hệ là đúng
= t, trong đó t là một số tham số.

Tổng cộng, chúng ta có thể viết: = + t.

Tại vì Phương trình này được thỏa mãn bởi tọa độ của bất kỳ điểm nào trên đường thẳng, khi đó phương trình kết quả là phương trình tham số của một đường thẳng.

Phương trình vectơ này có thể được biểu diễn dưới dạng tọa độ:

Biến đổi hệ thức này và cân bằng các giá trị của tham số t, ta thu được phương trình chính tắc của một đường thẳng trong không gian:

Sự định nghĩa. Cosine hướng trực tiếp là các cosin có hướng của vectơ , có thể được tính bằng các công thức:

;

.

Từ đây ta được: m: n: p = cos: cos: cos.

Các số m, n, p được gọi là yếu tố độ dốc dài. Tại vì là một vectơ khác 0, thì m, n và p không thể đồng thời bằng 0, nhưng một hoặc hai trong số này có thể bằng không. Trong trường hợp này, trong phương trình của một đường thẳng, các tử số tương ứng phải được quy về không.

Phương trình của một đường thẳng trong không gian đi qua

qua hai điểm.

Nếu hai điểm tùy ý M 1 (x 1, y 1, z 1) và M 2 (x 2, y 2, z 2) nằm trên một đường thẳng trong không gian thì tọa độ của các điểm này phải thỏa mãn phương trình của đoạn thẳng thu được ở trên:

Ngoài ra, đối với điểm M 1, chúng ta có thể viết:

Giải các phương trình này với nhau, ta được:

Đây là phương trình của một đường thẳng đi qua hai điểm trong không gian.

Phương trình tổng quát của một đường thẳng trong không gian.

Phương trình của một đường thẳng có thể coi là phương trình của một giao tuyến của hai mặt phẳng.

Như đã thảo luận ở trên, một mặt phẳng ở dạng vectơ có thể được cho bởi phương trình:

+ D = 0, trong đó

- mặt phẳng bình thường; - Bán kính-vectơ của một điểm tùy ý của mặt phẳng.