Thực hiện tất cả các kết hợp số có thể có trực tuyến. Tổ hợp: các quy tắc và công thức cơ bản

Chúng ta hãy xem xét vấn đề đếm số lượng mẫu từ một tập hợp nhất định ở dạng tổng quát. Hãy để có một số bộ N, bao gồm N các phần tử. Bất kỳ tập hợp con nào bao gồm tôi các yếu tố có thể được xem xét mà không tính đến thứ tự của chúng hoặc tính đến nó, tức là khi thay đổi thứ tự, chuyển sang thứ tự khác tôi- lấy mẫu.

Hãy đưa ra các định nghĩa sau:

Vị trí không lặp lại

Vị trí không lặp lạiN các yếu tố bởitôi Nchứa đựngtôicác yếu tố khác nhau.

Từ định nghĩa, có thể suy ra rằng hai cách sắp xếp khác nhau, cả về các phần tử và thứ tự của chúng, ngay cả khi các phần tử đó giống nhau.

Định lý 3. Số lượng vị trí đặt không lặp lại bằng sản phẩm tôi hệ số, trong đó hệ số lớn nhất là số N . Viết ra:

Hoán vị không lặp lại

Hoán vị từN các phần tử được gọi là thứ tự khác nhau của tập hợpN.

Từ định nghĩa này, hai hoán vị chỉ khác nhau về thứ tự của các phần tử và chúng có thể được coi là trường hợp đặc biệt của vị trí.

Định lý 4. Số hoán vị khác nhau không lặp lại được tính theo công thức

Sự kết hợp không lặp lại

Sự kết hợp không lặp lạiN các yếu tố bởitôi bất kỳ tập hợp con không có thứ tự nào của một tập hợp đều được gọi làNchứa đựngtôi các yếu tố khác nhau.

Từ định nghĩa, có thể thấy rằng hai sự kết hợp này chỉ khác nhau về các phần tử; thứ tự không quan trọng.

Định lý 5. Số lượng kết hợp không lặp lại được tính bằng một trong các công thức sau:

ví dụ 1. Có 5 cái ghế trong phòng. Bạn có thể đặt chúng lên chúng bằng bao nhiêu cách?

a) 7 người; b) 5 người; c) 3 người?

Giải pháp: a) Trước hết, bạn cần chọn 5 trong số 7 người ngồi vào ghế. Nó có thể được thực hiện
đường. Với mỗi lựa chọn trong số năm lựa chọn cụ thể, bạn có thể tạo ra
sự sắp xếp lại. Theo định lý nhân, số phương pháp hạ cánh cần thiết là bằng nhau.

Bình luận: Bài toán có thể được giải chỉ bằng định lý tích, lập luận như sau: chỗ ngồi ở ghế thứ nhất có 7 lựa chọn, ở ghế thứ 2 có 6 lựa chọn, ở ghế thứ 3 -5, ở ghế thứ 4 -4 và trên 5- thứ -3. Khi đó số cách xếp 7 người ngồi vào 5 ghế là . Các giải pháp của cả hai phương pháp đều phù hợp, vì

b) Lời giải hiển nhiên -

V) - số cuộc bầu cử các ghế bị chiếm đóng.

- số chỗ ngồi cho ba người trên ba chiếc ghế đã chọn.

Tổng số cuộc bầu cử là .

Không khó để kiểm tra các công thức
;

;

Số lượng tất cả các tập con của một tập hợp gồm N các phần tử.

Lặp lại vị trí

Bằng cách đặt với sự lặp lại từN các yếu tố bởitôi mọi tập con có thứ tự của một tập hợp được gọi làN, bao gồmtôi phần tử sao cho bất kỳ phần tử nào cũng có thể được bao gồm trong tập hợp con này từ 1 đếntôilần, hoặc vắng mặt hoàn toàn.

Số lượng vị trí lặp lại được biểu thị bằng và được tính bằng công thức, là hệ quả của định lý nhân:

Ví dụ 2. Cho N = (a, b, c) là một tập hợp gồm ba chữ cái. Chúng ta hãy gọi bất kỳ tập hợp chữ cái nào có trong tập hợp này là một từ. Hãy tìm số từ có độ dài 2 có thể được tạo thành từ các chữ cái này:
.

Bình luận: Rõ ràng, các vị trí lặp lại cũng có thể được xem xét khi
.

Ví dụ 3. Bạn cần sử dụng các chữ cái (a, b) để tạo ra tất cả các từ có thể có độ dài bằng 3. Có bao nhiêu cách thực hiện điều này?

Trả lời:

Trong bài viết này chúng ta sẽ nói về một nhánh toán học đặc biệt được gọi là tổ hợp. Công thức, quy tắc, ví dụ về giải quyết vấn đề - bạn có thể tìm thấy tất cả những điều này ở đây bằng cách đọc đến cuối bài viết.

Vậy phần này là gì? Tổ hợp giải quyết vấn đề đếm bất kỳ đối tượng nào. Nhưng trong trường hợp này, đồ vật không phải là mận, lê hay táo mà là một thứ khác. Tổ hợp giúp chúng ta tìm ra xác suất của một sự kiện. Ví dụ khi chơi bài - xác suất đối phương có quân bài tẩy là bao nhiêu? Hoặc ví dụ này: xác suất để bạn lấy được một viên bi màu trắng từ một túi gồm 20 viên bi là bao nhiêu? Đối với loại vấn đề này, chúng ta cần phải biết ít nhất những điều cơ bản của nhánh toán học này.

Cấu hình tổ hợp

Khi xem xét các khái niệm và công thức cơ bản của tổ hợp, chúng ta không thể không chú ý đến các cấu hình tổ hợp. Chúng không chỉ được sử dụng để xây dựng công thức mà còn để giải các ví dụ khác nhau.

• chỗ ở;
• sắp xếp lại;
• sự kết hợp;
• thành phần số;
• chia một số.

Chúng ta sẽ nói chi tiết hơn về ba phần đầu tiên sau, nhưng chúng ta sẽ chú ý đến thành phần và phân vùng trong phần này. Khi họ nói về thành phần của một số nhất định (ví dụ: a), họ có ý biểu thị số a dưới dạng tổng có thứ tự của các số dương nhất định. Và một phân vùng là một tổng không có thứ tự.

Phần

Trước khi chúng ta chuyển trực tiếp sang các công thức của tổ hợp và xem xét các vấn đề, cần chú ý đến thực tế là tổ hợp, giống như các nhánh khác của toán học, có các phần phụ riêng. Bao gồm các:

• liệt kê;
• cấu trúc;
• vô cùng;
• lý thuyết Ramsey;
• xác suất;
• tôpô;
• vô tận.

Trong trường hợp đầu tiên, chúng ta đang nói về tổ hợp tính toán; các vấn đề liên quan đến việc liệt kê hoặc đếm các cấu hình khác nhau được hình thành bởi các phần tử của tập hợp. Theo quy định, một số hạn chế được áp dụng đối với các bộ này (tính khác biệt, tính không thể phân biệt, khả năng lặp lại, v.v.). Và số lượng các cấu hình này được tính toán bằng cách sử dụng các quy tắc cộng hoặc nhân, mà chúng ta sẽ nói đến sau. Tổ hợp cấu trúc bao gồm các lý thuyết về đồ thị và matroid. Một ví dụ về bài toán tổ hợp cực trị là chiều lớn nhất của đồ thị thỏa mãn các tính chất sau... Trong đoạn thứ tư, chúng ta đã đề cập đến lý thuyết Ramsey, lý thuyết nghiên cứu sự hiện diện của các cấu trúc đều đặn trong các cấu hình ngẫu nhiên. Tổ hợp xác suất có thể trả lời câu hỏi - xác suất để một tập hợp nhất định có một thuộc tính nhất định là bao nhiêu. Như bạn có thể đoán, tổ hợp tôpô áp dụng các phương pháp trong tô pô. Và cuối cùng, điểm thứ bảy - tổ hợp vô hạn nghiên cứu việc áp dụng các phương pháp tổ hợp vào các tập hợp vô hạn.

Quy tắc cộng

Trong số các công thức tổ hợp, bạn có thể tìm thấy những công thức khá đơn giản mà chúng ta đã quen thuộc từ khá lâu. Một ví dụ là quy tắc tính tổng. Giả sử rằng chúng ta có hai hành động (C và E), nếu chúng loại trừ lẫn nhau thì hành động C có thể được thực hiện theo nhiều cách (ví dụ: a) và hành động E có thể được thực hiện theo b-cách, thì bất kỳ hành động nào trong số đó ( C hoặc E) có thể được thực hiện theo cách a + b .

Về lý thuyết, điều này khá khó hiểu; chúng tôi sẽ cố gắng truyền đạt toàn bộ vấn đề bằng một ví dụ đơn giản. Hãy lấy số học sinh trung bình trong một lớp - giả sử là 25 học sinh. Trong số đó có mười lăm cô gái và mười chàng trai. Mỗi lớp sẽ có một người trực mỗi ngày. Ngày nay có bao nhiêu cách để bổ nhiệm lớp trưởng? Lời giải của bài toán khá đơn giản; chúng ta sẽ sử dụng quy tắc cộng. Nội dung của bài toán không nói rằng chỉ có con trai hay con gái mới được làm nhiệm vụ. Vì vậy, đó có thể là bất kỳ ai trong số mười lăm cô gái hoặc bất kỳ ai trong số mười chàng trai. Áp dụng quy tắc tính tổng, chúng ta có được một ví dụ khá đơn giản mà một học sinh tiểu học có thể dễ dàng xử lý: 15 + 10. Sau khi đếm, chúng ta nhận được đáp án: hai mươi lăm. Tức là chỉ có 25 cách để phân công một lớp trực ngày hôm nay.

quy tắc nhân

Các công thức cơ bản của tổ hợp cũng bao gồm quy tắc nhân. Hãy bắt đầu với lý thuyết. Giả sử chúng ta cần thực hiện một số hành động (a): hành động đầu tiên được thực hiện theo 1 cách, hành động thứ hai - theo 2 cách, hành động thứ ba - theo 3 cách, v.v. cho đến hành động a cuối cùng, được thực hiện theo 3 cách. Khi đó tất cả các hành động này (trong đó chúng ta có tổng cộng) có thể được thực hiện theo N cách. Làm thế nào để tính N chưa biết? Công thức sẽ giúp chúng ta điều này: N = c1 * c2 * c3 *…* ca.

Một lần nữa, không có gì rõ ràng về mặt lý thuyết, vì vậy chúng ta hãy chuyển sang xem xét một ví dụ đơn giản về việc áp dụng quy tắc nhân. Chúng ta hãy học cùng một lớp có hai mươi lăm người, trong đó có mười lăm cô gái và mười chàng trai. Chỉ lần này chúng ta cần chọn hai người trực. Họ có thể chỉ là con trai hay con gái, hoặc một trai một gái. Hãy chuyển sang giải pháp cơ bản của vấn đề. Chúng tôi chọn người trực đầu tiên, như chúng tôi đã quyết định ở đoạn cuối, chúng tôi có 25 lựa chọn khả thi. Người trực thứ hai có thể là bất kỳ người nào còn lại. Chúng tôi có 25 học sinh, chúng tôi chọn một người, có nghĩa là người thứ hai trực ban có thể là bất kỳ ai trong số 24 người còn lại. Cuối cùng, chúng ta áp dụng quy tắc nhân và thấy rằng hai sĩ quan đang làm nhiệm vụ có thể được bầu theo sáu trăm cách. Chúng tôi thu được con số này bằng cách nhân hai mươi lăm và hai mươi bốn.

Sắp xếp lại

Bây giờ chúng ta sẽ xem xét một công thức tổ hợp khác. Trong phần này của bài viết chúng ta sẽ nói về hoán vị. Chúng tôi đề xuất xem xét ngay vấn đề bằng cách sử dụng một ví dụ. Hãy lấy quả bóng bi-a, chúng ta có số thứ n. Chúng ta cần đếm xem có bao nhiêu lựa chọn để sắp xếp chúng thành một hàng, nghĩa là tạo ra một tập hợp có thứ tự.

Hãy bắt đầu, nếu chúng ta không có bóng thì chúng ta cũng không có lựa chọn nào về vị trí. Và nếu chúng ta có một quả bóng thì cách sắp xếp cũng như vậy (về mặt toán học có thể viết như sau: P1 = 1). Hai quả bóng có thể được đặt theo hai cách khác nhau: 1,2 và 2,1. Do đó, P2 = 2. Ba quả bóng có thể được sắp xếp theo sáu cách (P3 = 6): 1,2,3; 1,3,2; 2,1,3; 2,3,1; 3,2,1; 3,1,2. Điều gì sẽ xảy ra nếu không có ba quả bóng như vậy mà là mười hoặc mười lăm quả bóng? Sẽ mất một thời gian rất dài để liệt kê tất cả các lựa chọn có thể, sau đó tổ hợp sẽ hỗ trợ chúng ta. Công thức hoán vị sẽ giúp chúng ta tìm ra câu trả lời cho câu hỏi mà chúng ta quan tâm. Pn = n *P (n-1). Nếu cố gắng đơn giản hóa công thức, chúng ta sẽ nhận được: Pn = n* (n - 1) *…* 2 * 1. Và đây là tích của các số tự nhiên đầu tiên. Số này được gọi là giai thừa và được ký hiệu là n!

Hãy xem xét vấn đề. Mỗi buổi sáng, cố vấn xếp hàng đội hình của mình (hai mươi người). Có ba người bạn thân nhất trong đội - Kostya, Sasha và Lesha. Xác suất để họ đứng cạnh nhau là bao nhiêu? Để tìm câu trả lời cho câu hỏi, bạn cần chia xác suất xảy ra kết quả “tốt” cho tổng số kết quả. Tổng số hoán vị là 20! = 2,5 triệu tỷ. Làm thế nào để đếm số kết quả “tốt”? Giả sử rằng Kostya, Sasha và Lesha là một siêu nhân. Vậy thì chúng ta chỉ có mười tám môn học. Số hoán vị trong trường hợp này là 18 = 6,5 triệu triệu. Với tất cả những điều này, Kostya, Sasha và Lesha có thể tùy ý di chuyển giữa họ trong bộ ba không thể chia cắt của họ, và đó là 3 người nữa! = 6 lựa chọn. Điều này có nghĩa là chúng ta có tổng cộng 18 cách sắp xếp “tốt”! * 3! Tất cả những gì chúng ta phải làm là tìm xác suất mong muốn: (18! * 3!) / 20! Tương đương với khoảng 0,016. Nếu chuyển sang tỷ lệ phần trăm thì kết quả chỉ là 1,6%.

Chỗ ở

Bây giờ chúng ta sẽ xem xét một công thức tổ hợp rất quan trọng và cần thiết khác. Vị trí là vấn đề tiếp theo của chúng tôi, chúng tôi mời bạn xem xét trong phần này của bài viết. Chúng tôi đang gặp phải những vấn đề phức tạp. Giả sử chúng ta muốn xem xét các hoán vị có thể có, không phải từ toàn bộ tập hợp (n), mà từ một tập hợp nhỏ hơn (m). Nghĩa là, chúng ta đang xem xét các hoán vị của n phần tử theo m.

Các công thức cơ bản của tổ hợp không chỉ cần được ghi nhớ mà còn phải hiểu. Mặc dù chúng trở nên phức tạp hơn vì chúng ta không có một tham số mà là hai tham số. Giả sử m = 1 thì A = 1, m = 2 thì A = n * (n - 1). Nếu chúng ta đơn giản hóa công thức hơn nữa và chuyển sang ký hiệu sử dụng giai thừa, chúng ta sẽ nhận được một công thức hoàn toàn rút gọn: A = n! / (n - m)!

Sự kết hợp

Chúng tôi đã xem xét hầu hết các công thức tổ hợp cơ bản kèm theo các ví dụ. Bây giờ chúng ta hãy chuyển sang giai đoạn cuối cùng của việc xem xét khóa học tổ hợp cơ bản - làm quen với các tổ hợp. Bây giờ chúng ta sẽ chọn m mục từ n chúng ta có, và chúng ta sẽ chọn mọi thứ theo mọi cách có thể. Vậy điều này khác với vị trí như thế nào? Chúng tôi sẽ không tính đến thứ tự. Bộ không có thứ tự này sẽ là sự kết hợp.

Hãy để chúng tôi giới thiệu ngay ký hiệu: C. Chúng ta lấy vị trí của m quả bóng trong số n. Chúng ta ngừng chú ý đến thứ tự và kết thúc bằng những sự kết hợp lặp đi lặp lại. Để có được số lượng kết hợp, chúng ta cần chia số vị trí cho m! (m giai thừa). Tức là C = A/m! Như vậy, chỉ có một vài cách để chọn từ n quả bóng, xấp xỉ bằng số cách để chọn hầu hết các quả bóng đó. Có một cách diễn đạt hợp lý cho điều này: chọn một ít cũng giống như vứt bỏ hầu hết mọi thứ. Điều quan trọng cần đề cập ở điểm này là có thể đạt được số lượng kết hợp tối đa khi cố gắng chọn một nửa số mục.

Làm thế nào để chọn một công thức để giải quyết vấn đề?

Chúng tôi đã xem xét chi tiết các công thức cơ bản của tổ hợp: vị trí, hoán vị và tổ hợp. Bây giờ nhiệm vụ của chúng ta là tạo điều kiện thuận lợi cho việc lựa chọn công thức cần thiết để giải một bài toán tổ hợp. Bạn có thể sử dụng sơ đồ khá đơn giản sau:

1. Hãy tự hỏi: thứ tự sắp xếp các phần tử có được tính đến trong văn bản của bài toán không?
2. Nếu câu trả lời là không thì hãy sử dụng công thức kết hợp (C = n! / (m! * (n - m)!)).
3. Nếu câu trả lời là không thì cần phải trả lời một câu hỏi khác: tất cả các yếu tố có được bao gồm trong sự kết hợp không?
4. Nếu câu trả lời là có thì hãy sử dụng công thức hoán vị (P = n!).
5. Nếu câu trả lời là không thì hãy sử dụng công thức vị trí (A = n! / (n - m)!).

Ví dụ

Chúng tôi đã xem xét các yếu tố của tổ hợp, công thức và một số vấn đề khác. Bây giờ chúng ta hãy chuyển sang xem xét vấn đề thực sự. Hãy tưởng tượng trước mặt bạn có một quả kiwi, một quả cam và một quả chuối.

Câu 1: Có bao nhiêu cách sắp xếp lại chúng? Để làm điều này, chúng ta sẽ sử dụng công thức hoán vị: P = 3! = 6 cách.

Câu 2: Có bao nhiêu cách chọn một quả? Điều này là hiển nhiên, chúng ta chỉ có ba lựa chọn - chọn kiwi, cam hoặc chuối, nhưng hãy áp dụng công thức kết hợp: C = 3! / (2! * 1!) = 3.

Câu 3: Có bao nhiêu cách chọn được 2 quả? Chúng ta thậm chí có những lựa chọn nào? Kiwi và cam; kiwi và chuối; cam và chuối. Nghĩa là, có ba lựa chọn, nhưng điều này dễ dàng kiểm tra bằng công thức kết hợp: C = 3! / (1! * 2!) = 3

Câu 4: Có bao nhiêu cách chọn được 3 quả? Như bạn thấy, chỉ có một cách duy nhất để chọn ba loại trái cây: lấy kiwi, cam và chuối. C = 3! / (0! * 3!) = 1.

Câu 5: Có bao nhiêu cách chọn ít nhất một quả? Điều kiện này có nghĩa là chúng ta có thể lấy một, hai hoặc cả ba quả. Do đó, chúng ta cộng C1 + C2 + C3 = 3 + 3 + 1 = 7. Tức là chúng ta có bảy cách để lấy ít nhất một quả trên bàn.

Cần lưu ý rằng tổ hợp là một nhánh độc lập của toán học cao hơn (và không phải là một phần của toán học) và các sách giáo khoa nặng nề đã được viết về môn học này, nội dung của nó đôi khi không dễ hơn đại số trừu tượng. Tuy nhiên, một phần nhỏ kiến ​​thức lý thuyết sẽ là đủ đối với chúng ta, và trong bài viết này tôi sẽ cố gắng phân tích một cách dễ hiểu những kiến ​​thức cơ bản của chủ đề với các bài toán tổ hợp điển hình. Và nhiều bạn sẽ giúp tôi ;-)

Chúng ta sẽ làm gì? Theo nghĩa hẹp, tổ hợp là phép tính các tổ hợp khác nhau có thể được tạo ra từ một tập hợp nhất định. rời rạc các đối tượng. Đối tượng được hiểu là bất kỳ vật thể hoặc sinh vật biệt lập nào - con người, động vật, nấm, thực vật, côn trùng, v.v. Đồng thời, tổ hợp hoàn toàn không quan tâm đến việc bộ sản phẩm bao gồm một đĩa cháo bột báng, một que hàn và một con ếch đầm lầy. Điều quan trọng cơ bản là những đối tượng này có thể được liệt kê - có ba trong số chúng (sự rời rạc) và điều quan trọng là không có cái nào giống hệt nhau.

Chúng ta đã giải quyết rất nhiều vấn đề, bây giờ là về sự kết hợp. Các loại kết hợp phổ biến nhất là hoán vị của các đối tượng, lựa chọn của chúng từ một tập hợp (kết hợp) và phân phối (vị trí). Hãy xem điều này xảy ra như thế nào ngay bây giờ:

Hoán vị, kết hợp và vị trí không lặp lại

Đừng sợ những thuật ngữ khó hiểu, đặc biệt khi một số trong số chúng thực sự không hay lắm. Hãy bắt đầu với phần đuôi của tiêu đề - “ không lặp lại"? Điều này có nghĩa là trong phần này chúng ta sẽ xem xét các tập hợp bao gồm nhiều các đối tượng. Ví dụ, ... không, tôi sẽ không phục vụ cháo với mỏ hàn và con ếch, thà có thứ gì đó ngon hơn =) Hãy tưởng tượng rằng một quả táo, một quả lê và một quả chuối đã hiện hình trên bàn trước mặt bạn ( nếu bạn có chúng, tình huống có thể được mô phỏng trong thực tế). Chúng ta xếp các loại hoa quả từ trái qua phải theo thứ tự sau:

táo/lê/chuối

Câu hỏi một: Có bao nhiêu cách sắp xếp lại chúng?

Một sự kết hợp đã được viết ở trên và không có vấn đề gì với phần còn lại:

táo/chuối/lê
lê/táo/chuối
lê/chuối/táo
chuối/táo/lê
chuối/lê/táo

Tổng cộng: 6 kết hợp hoặc 6 hoán vị.

Được rồi, không khó để liệt kê tất cả các trường hợp có thể xảy ra, nhưng nếu có nhiều đồ vật hơn thì sao? Chỉ với bốn loại trái cây khác nhau, số lượng kết hợp sẽ tăng lên đáng kể!

Vui lòng mở tài liệu tham khảo (thật tiện lợi khi in hướng dẫn sử dụng) và ở điểm số 2, hãy tìm công thức tính số hoán vị.

Không rắc rối - 3 đối tượng có thể được sắp xếp lại theo nhiều cách khác nhau.

Câu hỏi hai: Có bao nhiêu cách chọn a) một quả, b) hai quả, c) ba quả, d) ít nhất một quả?

Tại sao chọn? Vì vậy, chúng ta đã tạo ra cảm giác thèm ăn ở điểm trước - để ăn! =)

a) Rõ ràng, một loại quả có thể được chọn theo ba cách - lấy một quả táo, một quả lê hoặc một quả chuối. Việc tính toán hình thức được thực hiện theo công thức tính số tổ hợp:

Câu trong trường hợp này nên hiểu như sau: “Có bao nhiêu cách chọn được 1 trong 3 quả?”

b) Hãy liệt kê tất cả các kết hợp có thể có của hai loại quả:

táo và lê;
táo và chuối;
lê và chuối.

Số lượng kết hợp có thể được kiểm tra dễ dàng bằng cách sử dụng cùng một công thức:

Bài viết được hiểu tương tự: “Có bao nhiêu cách chọn được 2 trong 3 quả?”

c) Và cuối cùng chỉ có một cách chọn được 3 loại quả:

Nhân tiện, công thức tính số lượng kết hợp vẫn có ý nghĩa đối với một mẫu trống:
Bằng cách này, bạn không thể chọn một loại trái cây nào - trên thực tế, không lấy gì cả và thế là xong.

d) Bạn có thể chọn bao nhiêu cách ít nhất một hoa quả? Điều kiện “ít nhất một” hàm ý rằng chúng ta hài lòng với 1 quả (bất kỳ) hoặc 2 quả bất kỳ hoặc cả 3 quả:
sử dụng những phương pháp này bạn có thể chọn ít nhất một loại trái cây.

Bạn đọc đã nghiên cứu kỹ bài học mở đầu về lý thuyết xác suất, chúng tôi đã đoán được điều gì đó rồi. Nhưng sẽ nói thêm về ý nghĩa của dấu cộng sau.

Để trả lời câu hỏi tiếp theo tôi cần hai tình nguyện viên... ...À, vì không ai muốn nên tôi sẽ gọi bạn lên bảng =)

Câu hỏi thứ ba: Có bao nhiêu cách bạn có thể chia mỗi người một quả cho Dasha và Natasha?

Để phân phối hai loại trái cây, trước tiên bạn cần chọn chúng. Theo đoạn “be” của câu hỏi trước, điều này có thể được thực hiện theo nhiều cách, tôi sẽ viết lại chúng:

táo và lê;
táo và chuối;
lê và chuối.

Nhưng bây giờ sẽ có số lượng kết hợp nhiều gấp đôi. Ví dụ, hãy xem xét cặp quả đầu tiên:
Bạn có thể chiêu đãi Dasha bằng một quả táo và Natasha bằng một quả lê;
hoặc ngược lại - Dasha sẽ lấy quả lê và Natasha sẽ lấy quả táo.

Và sự hoán vị như vậy có thể xảy ra đối với mỗi cặp quả.

Hãy xem xét nhóm học sinh đã đi dự buổi khiêu vũ. Có bao nhiêu cách ghép một bé trai và một bé gái?

Bằng nhiều cách bạn có thể chọn 1 chàng trai trẻ;
cách bạn có thể chọn 1 cô gái.

Vì vậy, một thanh niên Và Bạn có thể chọn một cô gái: cách.

Khi 1 đối tượng được chọn từ mỗi bộ, nguyên tắc đếm kết hợp sau đây là hợp lệ: “ mọi một đối tượng từ một bộ có thể tạo thành một cặp với mọiđối tượng của một tập hợp khác."

Nghĩa là, Oleg có thể mời bất kỳ ai trong số 13 cô gái khiêu vũ, Evgeny cũng có thể mời bất kỳ ai trong số 13 cô gái, và những người trẻ còn lại cũng có lựa chọn tương tự. Tổng số: cặp có thể.

Cần lưu ý rằng trong ví dụ này, “lịch sử” hình thành của cặp này không quan trọng; tuy nhiên, nếu tính đến sự chủ động thì số lần kết hợp phải tăng gấp đôi, vì mỗi người trong số 13 cô gái cũng có thể mời bất kỳ chàng trai nào khiêu vũ. Tất cả phụ thuộc vào các điều kiện của một nhiệm vụ cụ thể!

Một nguyên tắc tương tự cũng có giá trị đối với những kết hợp phức tạp hơn, chẳng hạn: có bao nhiêu cách bạn có thể chọn hai chàng trai trẻ? Và hai cô gái tham gia vở kịch KVN?

liên hiệp VÀ gợi ý rõ ràng rằng các kết hợp cần phải được nhân lên:

Các nhóm nghệ sĩ có thể

Nói cách khác, mỗi một cặp nam (45 cặp duy nhất) có thể biểu diễn cùng bất kì một cặp bé gái (78 cặp duy nhất). Và nếu chúng ta xem xét việc phân bổ vai trò giữa những người tham gia, sẽ còn có nhiều sự kết hợp hơn nữa. ...Tôi rất muốn nhưng tôi sẽ không tiếp tục nữa để không tạo cho bạn ác cảm với cuộc sống sinh viên =).

Quy tắc nhân các tổ hợp cũng áp dụng cho số nhân lớn hơn:

Vấn đề 8

Có bao nhiêu số có ba chữ số chia hết cho 5?

Giải pháp: để rõ ràng, hãy biểu thị số này bằng ba dấu hoa thị: ***

TRONG hàng trăm nơi Bạn có thể viết bất kỳ số nào (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 hoặc 9). Số 0 là không phù hợp vì trong trường hợp này số không còn có ba chữ số.

Nhưng ở hàng chục(“ở giữa”) bạn có thể chọn bất kỳ chữ số nào trong số 10 chữ số: .

Theo điều kiện, số đó phải chia hết cho 5. Một số chia hết cho 5 nếu nó có tận cùng bằng 5 hoặc 0. Như vậy, ta thỏa mãn 2 chữ số thuộc chữ số nhỏ nhất có nghĩa.

Tổng cộng có: số có ba chữ số chia hết cho 5

Trong trường hợp này, tác phẩm được giải mã như sau: “9 cách chọn một số trong hàng trăm nơi Và 10 cách chọn số trong hàng chục Và 2 đường vào đơn vị chữ số»

Hoặc thậm chí đơn giản hơn: “ mỗi từ 9 chữ số đến hàng trăm nơi kết hợp với mỗi có 10 chữ số hàng chục và với mỗi từ hai chữ số đến đơn vị chữ số».

Trả lời: 180

Và bây giờ…

Vâng, tôi gần như quên mất lời bình luận đã hứa về vấn đề số 5, trong đó Bor, Dima và Volodya có thể được chia mỗi người một lá bài theo những cách khác nhau. Phép nhân ở đây có ý nghĩa tương tự: cách loại bỏ 3 lá bài khỏi bộ bài VÀ trong mỗi sắp xếp lại chúng theo nhiều cách.

Và bây giờ là một vấn đề cần bạn tự giải quyết... bây giờ tôi sẽ nghĩ ra một điều thú vị hơn... hãy nói về phiên bản blackjack tương tự của Nga:

Vấn đề 9

Có bao nhiêu sự kết hợp chiến thắng của 2 lá bài khi chơi "điểm"?

Dành cho những ai chưa biết: sự kết hợp chiến thắng là 10 + ACE (11 điểm) = 21 điểm và hãy xem xét sự kết hợp chiến thắng của hai con Át.

(thứ tự các lá bài trong cặp bất kỳ không quan trọng)

Lời giải và đáp án ngắn gọn ở cuối bài.

Nhân tiện, đừng coi ví dụ này là nguyên thủy. Blackjack gần như là trò chơi duy nhất có thuật toán dựa trên toán học cho phép bạn đánh bại sòng bạc. Những người quan tâm có thể dễ dàng tìm thấy vô số thông tin về chiến lược và chiến thuật tối ưu. Đúng, những bậc thầy như vậy khá nhanh chóng bị đưa vào danh sách đen của tất cả các cơ sở =)

Đã đến lúc củng cố tài liệu với một số nhiệm vụ vững chắc:

Vấn đề 10

Vasya có 4 con mèo ở nhà.

a) Có bao nhiêu cách xếp mèo vào các góc phòng?
b) Có bao nhiêu cách bạn có thể cho mèo đi dạo?
c) Vasya có thể bế hai con mèo theo bao nhiêu cách (một con ở bên trái, con kia ở bên phải)?

Hãy quyết định: trước tiên, bạn nên chú ý một lần nữa đến thực tế là vấn đề liên quan đến khác biệtđồ vật (ngay cả khi những con mèo là cặp song sinh giống hệt nhau). Đây là một điều kiện rất quan trọng!

a) Sự im lặng của mèo. Chịu sự thực thi này tất cả những con mèo cùng một lúc
+ vị trí của chúng rất quan trọng nên ở đây có hoán vị:
bằng những phương pháp này, bạn có thể đặt mèo vào các góc phòng.

Tôi nhắc lại rằng khi hoán vị, chỉ có số lượng đối tượng khác nhau và vị trí tương đối của chúng mới quan trọng. Tùy thuộc vào tâm trạng của Vasya, cô ấy có thể cho các con vật ngồi thành hình bán nguyệt trên ghế sofa, thành hàng trên bậu cửa sổ, v.v. – trong mọi trường hợp sẽ có hoán vị 24. Để thuận tiện, những ai quan tâm có thể tưởng tượng rằng mèo có nhiều màu (ví dụ: trắng, đen, đỏ và tabby) và liệt kê tất cả các kết hợp có thể có.

b) Có bao nhiêu cách để bạn có thể cho mèo đi dạo?

Người ta cho rằng mèo chỉ đi dạo qua cửa và câu hỏi ngụ ý không quan tâm đến số lượng động vật - 1, 2, 3 hoặc cả 4 con mèo có thể đi dạo.

Chúng tôi đếm tất cả các kết hợp có thể:

Bằng nhiều cách, bạn có thể để một con mèo (bất kỳ con nào trong số bốn con) đi dạo;
những cách bạn có thể thả hai con mèo đi dạo (tự liệt kê các lựa chọn);
theo những cách bạn có thể cho ba con mèo đi dạo (một trong bốn con mèo ngồi ở nhà);
Bằng cách này bạn có thể thả tất cả những con mèo.

Bạn có thể đoán rằng các giá trị kết quả sẽ được tóm tắt:
những cách bạn có thể cho mèo đi dạo.

Đối với những người đam mê, tôi đưa ra một phiên bản phức tạp của vấn đề - khi bất kỳ con mèo nào trong bất kỳ mẫu nào cũng có thể ngẫu nhiên đi ra ngoài, qua cửa ra vào và qua cửa sổ trên tầng 10. Sẽ có sự gia tăng đáng chú ý trong sự kết hợp!

c) Có bao nhiêu cách Vasya có thể bế hai con mèo?

Tình huống không chỉ liên quan đến việc chọn 2 con vật mà còn phải đặt chúng vào mỗi tay:
Bằng những cách này bạn có thể nhặt được 2 con mèo.

Giải pháp thứ hai: bạn có thể chọn hai con mèo bằng các phương pháp Và cách trồng mọi một cặp vợ chồng trên tay:

Trả lời: a) 24, b) 15, c) 12

Chà, để bạn thanh thản, một điều cụ thể hơn về phép nhân các tổ hợp... Cho Vasya có thêm 5 con mèo =) Có bao nhiêu cách để bạn có thể cho 2 con mèo đi dạo? Và 1 con mèo?

Tức là với mỗi một vài con mèo có thể được thả ra mọi con mèo.

Một chiếc đàn accordion khác cho giải pháp độc lập:

Vấn đề 11

Ba hành khách bước vào thang máy của tòa nhà 12 tầng. Mọi người, bất kể những người khác, đều có thể thoát ra ở bất kỳ tầng nào (bắt đầu từ tầng 2) với xác suất như nhau. Bằng bao nhiêu cách:

1) hành khách có thể xuống cùng tầng (thứ tự thoát không quan trọng);
2) hai người có thể xuống ở một tầng và người thứ ba ở tầng kia;
3) mọi người có thể thoát ra ở các tầng khác nhau;
4) hành khách có thể thoát khỏi thang máy không?

Và ở đây họ hay hỏi lại, tôi nói rõ: nếu 2 hoặc 3 người cùng ra một tầng thì thứ tự ra không quan trọng. SUY NGHĨ, sử dụng các công thức và quy tắc để cộng/nhân các kết hợp. Trong trường hợp gặp khó khăn, hành khách có thể nêu tên và suy đoán xem họ có thể thoát khỏi thang máy theo những cách kết hợp nào. Không cần phải khó chịu nếu điều gì đó không suôn sẻ, chẳng hạn như điểm số 2 khá quỷ quyệt.

Lời giải đầy đủ có chú thích chi tiết ở cuối bài.

Đoạn cuối cùng dành cho các tổ hợp cũng xảy ra khá thường xuyên - theo đánh giá chủ quan của tôi, trong khoảng 20-30% các bài toán tổ hợp:

Hoán vị, kết hợp và vị trí với sự lặp lại

Các loại kết hợp được liệt kê được nêu trong đoạn số 5 của tài liệu tham khảo Các công thức cơ bản của tổ hợp tuy nhiên, một số trong số chúng có thể không rõ ràng lắm khi đọc lần đầu. Trong trường hợp này, trước tiên bạn nên làm quen với các ví dụ thực tế và chỉ sau đó mới hiểu được công thức chung. Đi:

Hoán vị với sự lặp lại

Trong các hoán vị có sự lặp lại, cũng như trong các hoán vị “thông thường”, tất cả nhiều đối tượng cùng một lúc, nhưng có một điều: trong tập hợp này một hoặc nhiều phần tử (đối tượng) được lặp lại. Đáp ứng tiêu chuẩn tiếp theo:

Vấn đề 12

Có thể thu được bao nhiêu tổ hợp chữ cái khác nhau bằng cách sắp xếp lại các thẻ có các chữ cái sau: K, O, L, O, K, O, L, b, Ch, I, K?

Giải pháp: trong trường hợp tất cả các chữ cái đều khác nhau, thì một công thức tầm thường sẽ phải được áp dụng, nhưng hoàn toàn rõ ràng rằng đối với bộ thẻ được đề xuất, một số thao tác sẽ hoạt động “nhàn rỗi”, chẳng hạn như nếu bạn hoán đổi hai thẻ bất kỳ với các chữ cái “K” " trong bất kỳ từ nào, bạn sẽ có được từ tương tự. Hơn nữa, về mặt vật lý, các lá bài có thể rất khác nhau: một lá có thể hình tròn với chữ “K” được in trên đó, lá còn lại có thể hình vuông với chữ “K” được vẽ trên đó. Nhưng theo ý nghĩa của nhiệm vụ, ngay cả những thẻ như vậy được coi là giống nhau, vì điều kiện hỏi về sự kết hợp các chữ cái.

Mọi thứ cực kỳ đơn giản - chỉ có 11 thẻ, bao gồm cả chữ cái:

K – lặp lại 3 lần;
O – lặp lại 3 lần;
L – lặp lại 2 lần;
b – nhắc lại 1 lần;
H – lặp lại 1 lần;
Và - lặp lại 1 lần.

Kiểm tra: 3 + 3 + 2 + 1 + 1 + 1 = 11, đây là số cần kiểm tra.

Theo công thức số hoán vị có số lần lặp lại:
có thể thu được sự kết hợp chữ cái khác nhau. Hơn nửa triệu!

Để tính nhanh một giá trị giai thừa lớn, rất thuận tiện khi sử dụng hàm Excel tiêu chuẩn: nhập vào bất kỳ ô nào = SỰ THẬT(11) và hãy nhấn Đi vào.

Trong thực tế, việc không viết công thức tổng quát và bỏ qua các giai thừa đơn vị là hoàn toàn có thể chấp nhận được:

Nhưng cần có những nhận xét sơ bộ về những lá thư lặp đi lặp lại!

Trả lời: 554400

Một ví dụ điển hình khác về hoán vị có sự lặp lại xảy ra trong bài toán sắp xếp quân cờ, có thể tìm thấy trong kho. giải pháp làm sẵn trong pdf tương ứng. Và để có một giải pháp độc lập, tôi đã nghĩ ra một nhiệm vụ ít công thức hơn:

Vấn đề 13

Alexey tham gia thể thao và 4 ngày một tuần - điền kinh, 2 ngày - tập luyện sức mạnh và 1 ngày nghỉ ngơi. Có bao nhiêu cách để anh ấy có thể lập thời gian biểu hàng tuần cho chính mình?

Công thức này không áp dụng được ở đây vì nó tính đến sự hoán đổi ngẫu nhiên (ví dụ: hoán đổi các bài tập sức mạnh của ngày Thứ Tư với các bài tập sức mạnh của ngày Thứ Năm). Và một lần nữa - trên thực tế, 2 buổi tập luyện sức mạnh giống nhau có thể rất khác nhau, nhưng trong bối cảnh nhiệm vụ (theo quan điểm của lịch trình), chúng được coi là những yếu tố giống nhau.

Lời giải và đáp án hai dòng ở cuối bài.

Sự kết hợp với sự lặp lại

Đặc điểm đặc trưng của kiểu kết hợp này là mẫu được lấy từ nhiều nhóm, mỗi nhóm bao gồm các đối tượng giống hệt nhau.

Hôm nay mọi người đã làm việc chăm chỉ nên đã đến lúc bạn phải làm mới bản thân:

Vấn đề 14

Căng tin sinh viên bán xúc xích dạng bột, bánh pho mát và bánh rán. Có bao nhiêu cách bạn có thể mua năm chiếc bánh?

Giải pháp: ngay lập tức chú ý đến tiêu chí điển hình cho sự kết hợp có lặp lại - theo điều kiện, nó không phải là một tập hợp các đối tượng được đưa ra để lựa chọn, mà là các loại khác nhau các đối tượng; người ta giả định rằng có ít nhất 5 chiếc xúc xích, 5 chiếc bánh pho mát và 5 chiếc bánh rán được bán. Tất nhiên, những chiếc bánh nướng trong mỗi nhóm là khác nhau - bởi vì những chiếc bánh rán hoàn toàn giống hệt nhau chỉ có thể được mô phỏng trên máy tính =) Tuy nhiên, các đặc tính vật lý của những chiếc bánh nướng không có ý nghĩa quan trọng đối với mục đích của bài toán và xúc xích / bánh pho mát / bánh rán trong nhóm của họ được coi là như nhau.

Những gì có thể có trong mẫu? Trước hết, cần lưu ý rằng chắc chắn sẽ có những chiếc bánh giống hệt nhau trong mẫu (vì chúng ta đang chọn 5 chiếc và có 3 loại để bạn lựa chọn). Ở đây có nhiều lựa chọn cho mọi sở thích: 5 xúc xích, 5 bánh phô mai, 5 bánh rán, 3 xúc xích + 2 bánh phô mai, 1 xúc xích + 2 bánh phô mai + 2 bánh rán, v.v.

Giống như các kết hợp “thông thường”, thứ tự lựa chọn và vị trí của các bánh nướng trong vùng lựa chọn không quan trọng - bạn chỉ cần chọn 5 miếng và thế là xong.

Chúng tôi sử dụng công thức số lần kết hợp với số lần lặp lại:
Bạn có thể mua 5 chiếc bánh bằng phương pháp này.

Chúc ngon miệng!

Trả lời: 21

Có thể rút ra kết luận gì từ nhiều bài toán tổ hợp?

Đôi khi điều khó nhất là hiểu được tình trạng bệnh.

Một ví dụ tương tự cho một giải pháp độc lập:

Vấn đề 15

Ví chứa một số lượng khá lớn các đồng xu 1, 2, 5 và 10 rúp. Có bao nhiêu cách lấy ba đồng xu ra khỏi ví?

Để tự kiểm soát, hãy trả lời một số câu hỏi đơn giản:

1) Tất cả các đồng tiền trong mẫu có thể khác nhau không?
2) Kể tên tổ hợp tiền “rẻ nhất” và “đắt nhất” nhất.

Lời giải và đáp án cuối bài.

Từ kinh nghiệm cá nhân của mình, tôi có thể nói rằng sự kết hợp với sự lặp lại là loại khách hiếm nhất trong thực tế, không thể nói về kiểu kết hợp sau:

Vị trí lặp lại

Từ một tập hợp bao gồm các phần tử, các phần tử được chọn và thứ tự của các phần tử trong mỗi lựa chọn là quan trọng. Và mọi thứ sẽ ổn thôi, nhưng một trò đùa khá bất ngờ là chúng ta có thể chọn bất kỳ đối tượng nào của bộ gốc bao nhiêu lần tùy thích. Nói theo nghĩa bóng, “đám đông sẽ không giảm”.

Khi nào điều này xảy ra? Một ví dụ điển hình là khóa kết hợp có nhiều đĩa, nhưng do sự phát triển công nghệ, việc xem xét hậu duệ kỹ thuật số của nó sẽ phù hợp hơn:

Vấn đề 16

Có bao nhiêu mã PIN gồm bốn chữ số?

Giải pháp: trên thực tế, để giải quyết vấn đề, chỉ cần kiến ​​thức về các quy tắc tổ hợp là đủ: theo những cách bạn có thể chọn chữ số đầu tiên của mã PIN Và cách - chữ số thứ hai của mã PIN Và theo nhiều cách - thứ ba Và cùng một số - thứ tư. Do đó, theo quy tắc nhân các tổ hợp, mã pin gồm bốn chữ số có thể được tạo theo: cách.

Và bây giờ sử dụng công thức. Theo điều kiện, chúng ta được cung cấp một bộ số, từ đó các số được chọn và sắp xếp theo một thứ tự nhất định, trong khi các số trong mẫu có thể được lặp lại (tức là bất kỳ chữ số nào của tập hợp ban đầu đều có thể được sử dụng với số lần tùy ý). Theo công thức tính số vị trí lặp lại:

Trả lời: 10000

Điều tôi nghĩ đến ở đây là... ...nếu máy ATM "ăn" thẻ sau lần nhập mã PIN thứ ba không thành công, thì cơ hội nhặt được nó một cách ngẫu nhiên là rất mong manh.

Và ai nói rằng tổ hợp không có ý nghĩa thực tiễn? Một nhiệm vụ nhận thức cho tất cả độc giả của trang web:

Vấn đề 17

Theo tiêu chuẩn nhà nước, biển số xe ô tô gồm có 3 số và 3 chữ. Trong trường hợp này, một số có ba số 0 là không thể chấp nhận được và các chữ cái được chọn từ tập hợp A, B, E, K, M, N, O, P, S, T, U, X (chỉ những chữ cái Cyrillic có cách viết trùng với chữ cái Latinh được sử dụng).

Có thể làm bao nhiêu biển số xe khác nhau cho một khu vực?

Nhân tiện, không có nhiều người trong số họ. Ở những khu vực rộng lớn không có đủ số lượng như vậy, và do đó đối với họ có một số mã cho dòng chữ RUS.

Đáp án và đáp án ở cuối bài. Đừng quên sử dụng các quy tắc tổ hợp ;-) ...Tôi muốn thể hiện những gì độc quyền, nhưng hóa ra nó không độc quyền =) Tôi đã xem Wikipedia - có những tính toán ở đó, mặc dù không có bình luận. Mặc dù vì mục đích giáo dục nhưng có lẽ ít người giải quyết được nó.

Bài học thú vị của chúng ta đã kết thúc, và cuối cùng tôi muốn nói rằng bạn đã không lãng phí thời gian của mình - bởi vì các công thức tổ hợp có một ứng dụng thực tế quan trọng khác: chúng được tìm thấy trong nhiều bài toán khác nhau trong lý thuyết xác suất,
và trong các vấn đề liên quan đến việc xác định xác suất cổ điển– đặc biệt là thường xuyên =)

Cảm ơn tất cả các bạn đã tham gia tích cực và hẹn gặp lại!

Giải pháp và câu trả lời:

Nhiệm vụ 2: Giải pháp: tìm số hoán vị có thể có của 4 thẻ:

Khi một thẻ có số 0 được đặt ở vị trí đầu tiên, số đó sẽ có ba chữ số, vì vậy những kết hợp này sẽ bị loại trừ. Đặt số 0 ở vị trí đầu tiên thì 3 chữ số còn lại ở hàng dưới có thể được sắp xếp lại theo nhiều cách khác nhau.

Ghi chú : bởi vì Vì chỉ có một vài thẻ nên thật dễ dàng để liệt kê tất cả các tùy chọn ở đây:
0579
0597
0759
0795
0957
0975

Do đó, từ tập đề xuất, chúng ta có thể thực hiện:
24 – 6 = 18 số có bốn chữ số
Trả lời : 18

Nhiệm vụ 4: Giải pháp: theo cách bạn có thể chọn 3 thẻ trong số 36 thẻ.
Trả lời : 7140

Nhiệm vụ 6: Giải pháp: cách.
Giải pháp khác : các cách bạn có thể chọn hai người từ nhóm và và
2) Bộ “rẻ nhất” chứa 3 đồng rúp và bộ “đắt nhất” – 3 đồng 10 rúp.

Vấn đề 17: Giải pháp: bằng cách sử dụng các phương pháp này, bạn có thể tạo kết hợp kỹ thuật số của số ô tô, trong khi nên loại trừ một trong số chúng (000): .
bằng cách sử dụng các phương pháp này, bạn có thể tạo tổ hợp chữ cái của biển số xe.
Theo quy tắc nhân các tổ hợp, tổng có thể được:
biển số xe
(mỗi sự kết hợp kỹ thuật số được kết hợp với mỗi kết hợp chữ cái).
Trả lời : 1726272

Hãy đếm trong MS EXCEL số lần kết hợp của n phần tử với k. Sử dụng các công thức, chúng tôi sẽ hiển thị trên trang tính tất cả các biến thể của sự kết hợp (Bản dịch tiếng Anh của thuật ngữ: Sự kết hợp không lặp lại).

Sự kết hợp của n phần tử khác nhau của k phần tử là sự kết hợp khác nhau ở ít nhất một phần tử. Ví dụ: bên dưới là TẤT CẢ các kết hợp 3 phần tử được lấy từ một bộ gồm 5 phần tử (1; 2; 3; 4; 5):

(1; 2; 3); (1; 2; 4); (1; 2; 5); (1; 3; 4); (1; 3; 5); (1; 4; 5); (2; 3; 4); (2; 3; 5); (2; 4; 5); (3; 4; 5)

Ghi chú: Đây là bài viết về cách đếm số tổ hợp bằng MS EXCEL. Chúng tôi khuyên bạn nên đọc cơ sở lý thuyết trong sách giáo khoa chuyên ngành. Học kết hợp từ bài viết này là một ý tưởng tồi.

Sự khác biệt giữa kết hợp và vị trí

Hiển thị tất cả các kết hợp của Kết hợp

Trong tệp ví dụ, các công thức được tạo để hiển thị tất cả các Kết hợp cho n và k đã cho.

Bằng cách chỉ định số phần tử của tập hợp (n) và số phần tử mà chúng ta chọn từ nó (k), bằng cách sử dụng các công thức, chúng ta có thể hiển thị tất cả các Kết hợp.

Nhiệm vụ

Một ô tô vận chuyển có thể chở được 4 ô tô. Cần vận chuyển 7 chiếc xe khác nhau (LADA Granta, Hyundai Solaris, KIA Rio, Renault Duster, Lada Kalina, Volkswagen Polo, Lada Largus). Có bao nhiêu cách khác nhau để chở xe vận chuyển ô tô đầu tiên? Vị trí cụ thể của ô tô trong xe vận chuyển ô tô không quan trọng.

Chúng ta cần xác định số kết hợp 7 ô tô trên 4 chỗ của một chiếc xe vận chuyển. Những thứ kia. n=7 và k=4. Hóa ra có 35 phương án như vậy =NUMCOMB(7,4).