Bảng các dẫn xuất chuẩn. Công cụ phái sinh là gì

Khóa học video “Nhận điểm A” bao gồm tất cả các chủ đề cần thiết để vượt qua thành công Kỳ thi Thống nhất môn toán với 60-65 điểm. Hoàn thành tất cả các nhiệm vụ 1-13 của Kỳ thi Tiểu bang Thống nhất môn toán. Cũng thích hợp để vượt qua Kỳ thi Thống nhất Cơ bản về toán học. Nếu muốn vượt qua Kỳ thi Thống nhất với 90-100 điểm, bạn cần phải giải phần 1 trong 30 phút và không mắc lỗi!

Khóa luyện thi Kỳ thi Thống nhất dành cho lớp 10-11 cũng như dành cho giáo viên. Mọi thứ bạn cần để giải Phần 1 của Kỳ thi Thống nhất môn toán (12 bài đầu) và Bài 13 (lượng giác). Và đây là hơn 70 điểm trong Kỳ thi Thống nhất, và cả học sinh 100 điểm lẫn sinh viên nhân văn đều không thể làm được nếu không có chúng.

Tất cả các lý thuyết cần thiết. Lời giải nhanh, cạm bẫy và bí quyết của kỳ thi Thống Nhất. Tất cả các nhiệm vụ hiện tại của phần 1 từ Ngân hàng nhiệm vụ FIPI đã được phân tích. Khóa học hoàn toàn tuân thủ các yêu cầu của Kỳ thi Thống nhất năm 2018.

Khóa học bao gồm 5 chủ đề lớn, mỗi chủ đề kéo dài 2,5 giờ. Mỗi chủ đề được đưa ra từ đầu, đơn giản và rõ ràng.

Hàng trăm nhiệm vụ thi Thống nhất Nhà nước. Vấn đề từ ngữ và lý thuyết xác suất. Các thuật toán đơn giản và dễ nhớ để giải quyết vấn đề. Hình học. Lý thuyết, tài liệu tham khảo, phân tích các loại nhiệm vụ Kỳ thi Thống nhất. Lập thể. Những giải pháp khó khăn, những mánh gian lận hữu ích, phát triển trí tưởng tượng về không gian. Lượng giác từ đầu đến bài 13. Hiểu thay vì nhồi nhét. Giải thích rõ ràng về các khái niệm phức tạp. Đại số học. Căn, lũy thừa và logarit, hàm số và đạo hàm. Là cơ sở để giải các bài toán phức tạp Phần 2 của Đề thi Thống nhất.

Trong bài học này chúng ta sẽ học cách áp dụng các công thức và quy tắc lấy vi phân.

Ví dụ. Tìm đạo hàm của hàm số.

1. y=x 7 +x 5 -x 4 +x 3 -x 2 +x-9. Áp dụng quy tắc TÔI, công thức 4, 2 và 1. Chúng tôi nhận được:

y’=7x 6 +5x 4 -4x 3 +3x 2 -2x+1.

2. y=3x 6 -2x+5. Chúng tôi giải quyết tương tự, sử dụng cùng một công thức và công thức 3.

y’=3∙6x 5 -2=18x 5 -2.

Áp dụng quy tắc TÔI, công thức 3, 5 Và 6 Và 1.

Áp dụng quy tắc IV, công thức 5 Và 1 .

Trong ví dụ thứ năm, theo quy tắc TÔIđạo hàm của tổng bằng tổng của các đạo hàm và ta vừa tìm được đạo hàm của số hạng thứ nhất (ví dụ 4 ), do đó ta sẽ tìm đạo hàm lần 2 Và lần thứ 3điều khoản và cho ngày đầu tiên triệu tập chúng ta có thể viết ngay kết quả.

Hãy phân biệt lần 2 Và lần thứ 3 thuật ngữ theo công thức 4 . Để làm điều này, chúng ta biến đổi căn bậc ba và lũy thừa thứ tư trong mẫu số thành lũy thừa có số mũ âm, và sau đó, theo 4 công thức, chúng ta tìm được đạo hàm của lũy thừa.

Nhìn vào ví dụ này và kết quả. Bạn đã nắm bắt được mô hình? Khỏe. Điều này có nghĩa là chúng ta có một công thức mới và có thể thêm nó vào bảng đạo hàm.

Hãy giải ví dụ thứ sáu và rút ra một công thức khác.

Hãy sử dụng quy tắc IV và công thức 4 . Hãy giảm các phân số kết quả.

Chúng ta hãy xem hàm này và đạo hàm của nó. Tất nhiên, bạn hiểu mẫu và sẵn sàng đặt tên cho công thức:

Học công thức mới!

Ví dụ.

1. Tìm gia số của đối số và gia số của hàm y= x 2, nếu giá trị ban đầu của đối số bằng 4 , và mới - 4,01 .

Giải pháp.

Giá trị đối số mới x=x 0 +Δx. Hãy thay thế dữ liệu: 4,01=4+Δх, do đó đối số sẽ tăng lên ∆x=4,01-4=0,01. Theo định nghĩa, mức tăng của hàm bằng chênh lệch giữa giá trị mới và giá trị trước đó của hàm, tức là. Δy=f (x 0 +Δx) - f (x 0). Vì chúng ta có một hàm y=x2, Cái đó Δу=(x 0 +Δx) 2 - (x 0) 2 =(x 0) 2 +2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 =2x 0 · Δx+(Δx) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

Trả lời: tăng đối số ∆x= 0,01; tăng hàm Δу=0,0801.

Sự gia tăng hàm có thể được tìm thấy khác nhau: Δy=y (x 0 +Δx) -y (x 0)=y(4.01) -y(4)=4.01 2 -4 2 =16.0801-16=0.0801.

2. Tìm góc nghiêng của tiếp tuyến với đồ thị hàm số y=f(x) tại điểm x 0, Nếu như f"(x 0) = 1.

Giải pháp.

Giá trị của đạo hàm tại điểm tiếp tuyến x 0 và là giá trị tiếp tuyến của góc tiếp tuyến (ý nghĩa hình học của đạo hàm). Chúng ta có: f "(x 0) = tanα = 1 → α = 45°, bởi vì tg45°=1.

Trả lời: tiếp tuyến của đồ thị hàm số này tạo thành một góc có hướng dương của trục Ox bằng 45°.

3. Suy ra công thức đạo hàm của hàm số y=xn.

Sự khác biệt là hành động tìm đạo hàm của một hàm số.

Khi tìm đạo hàm, hãy sử dụng các công thức được suy ra dựa trên định nghĩa của đạo hàm, giống như cách chúng ta tìm ra công thức cho bậc đạo hàm: (x n)" = nx n-1.

Đây là những công thức.

Bảng dẫn xuất Sẽ dễ dàng hơn để ghi nhớ bằng cách phát âm các công thức bằng lời nói:

1. Đạo hàm của một đại lượng không đổi bằng không.

2. X nguyên tố bằng một.

3. Hệ số không đổi có thể được loại bỏ khỏi dấu của đạo hàm.

4. Đạo hàm của một bậc bằng tích của số mũ của bậc này với một bậc có cùng cơ số, nhưng số mũ nhỏ hơn một đơn vị.

5. Đạo hàm của một căn bằng một chia cho hai căn bằng nhau.

6. Đạo hàm của một chia cho x bằng trừ một chia cho x bình phương.

7. Đạo hàm của sin bằng cosin.

8. Đạo hàm của cosin bằng sin âm.

9. Đạo hàm của tiếp tuyến bằng một chia cho bình phương cosin.

10. Đạo hàm của cotang bằng trừ một chia cho bình phương của sin.

Chúng tôi dạy quy tắc phân biệt.

1. Đạo hàm của một tổng đại số bằng tổng đại số của các đạo hàm của các số hạng.

2. Đạo hàm của một tích bằng tích của đạo hàm của thừa số thứ nhất và thừa số thứ hai cộng với tích của thừa số thứ nhất và đạo hàm của thừa số thứ hai.

3. Đạo hàm của “y” chia cho “ve” bằng một phân số trong đó tử số là “y prime nhân với “ve” trừ “y nhân với ve prime” và mẫu số là “ve bình phương”.

4. Trường hợp đặc biệt của công thức 3.

Hãy cùng nhau tìm hiểu nhé!

Trang 1 trên 1 1

Tính toán đạo hàm thường được tìm thấy trong các nhiệm vụ Kỳ thi Thống nhất. Trang này chứa danh sách các công thức tìm đạo hàm.

Quy luật phân biệt

1. (k⋅ f(x))′=k⋅ f ′(x).
2. (f(x)+g(x))′=f′(x)+g′(x).
3. (f(x)⋅ g(x))′=f′(x)⋅ g(x)+f(x)⋅ g′(x).
4. Đạo hàm của hàm phức. Nếu y=F(u) và u=u(x), thì hàm y=f(x)=F(u(x)) được gọi là hàm phức của x. Bằng y′(x)=Fu′⋅ ux′.
5. Đạo hàm của hàm ẩn. Hàm y=f(x) được gọi là hàm ẩn được xác định bởi quan hệ F(x,y)=0 nếu F(x,f(x))≡0.
6. Đạo hàm của hàm nghịch đảo. Nếu g(f(x))=x thì hàm g(x) được gọi là hàm nghịch đảo của hàm y=f(x).
7. Đạo hàm của một hàm được xác định bằng tham số. Đặt x và y được chỉ định làm hàm của biến t: x=x(t), y=y(t). Họ nói rằng y=y(x) là một hàm được xác định bằng tham số trên khoảng x∈ (a;b), nếu trên khoảng này phương trình x=x(t) có thể được biểu diễn dưới dạng t=t(x) và hàm y=y(t(x))=y(x).
8. Đạo hàm của hàm lũy thừa. Tìm được bằng cách lấy logarit về cơ số logarit tự nhiên.

Một dẫn xuất là gì?

Bảng dẫn xuất.

Đạo hàm là một trong những khái niệm chính của toán học cao cấp. Trong bài học này chúng tôi sẽ giới thiệu khái niệm này. Chúng ta hãy làm quen với nhau mà không cần các công thức và chứng minh toán học nghiêm ngặt.

Người quen này sẽ cho phép bạn:

Hiểu bản chất của các nhiệm vụ đơn giản với đạo hàm;

Giải quyết thành công những nhiệm vụ đơn giản nhất này;

Chuẩn bị cho những bài học nghiêm túc hơn về phái sinh.

Đầu tiên - một bất ngờ thú vị.)

Định nghĩa nghiêm ngặt về đạo hàm dựa trên lý thuyết giới hạn và khá phức tạp. Điều này thật khó chịu. Nhưng ứng dụng phái sinh vào thực tế thường không đòi hỏi kiến ​​thức sâu và rộng như vậy!

Để hoàn thành xuất sắc hầu hết các nhiệm vụ ở trường phổ thông và đại học, chỉ cần biết chỉ một vài thuật ngữ- hiểu nhiệm vụ và chỉ một vài quy tắc- để giải quyết nó. Đó là tất cả. Điều này làm tôi hạnh phúc.

Hãy bắt đầu làm quen nhé?)

Điều khoản và chỉ định.

Có rất nhiều phép toán khác nhau trong toán tiểu học. Cộng, trừ, nhân, lũy thừa, logarit, v.v. Nếu bạn thêm một phép tính nữa vào các phép tính này, môn toán tiểu học sẽ trở nên cao hơn. Hoạt động mới này được gọi là sự khác biệt hóa.Định nghĩa và ý nghĩa của thao tác này sẽ được thảo luận trong các bài học riêng biệt.

Điều quan trọng cần phải hiểu ở đây là vi phân chỉ đơn giản là một phép toán trên chức năng. Chúng tôi thực hiện bất kỳ chức năng nào và theo các quy tắc nhất định, biến đổi nó. Kết quả sẽ là một chức năng mới. Chức năng mới này được gọi là: phát sinh.

Sự khác biệt- hành động trên một chức năng.

Phát sinh- kết quả của hành động này.

Giống như, ví dụ, Tổng- kết quả của phép cộng. Hoặc riêng tư- kết quả của phép chia.

Biết các thuật ngữ, ít nhất bạn có thể hiểu được các nhiệm vụ.) Các công thức như sau: tìm đạo hàm của hàm số; lấy đạo hàm; phân biệt chức năng; tính đạo hàm và như thế. Đây là tất cả như nhau. Tất nhiên, cũng có những nhiệm vụ phức tạp hơn, trong đó việc tìm đạo hàm (vi phân) sẽ chỉ là một trong các bước để giải bài toán.

Đạo hàm được biểu thị bằng dấu gạch ngang ở phía trên bên phải của hàm. Như thế này: ừ" hoặc f"(x) hoặc S"(t) và như thế.

Đọc nét igrek, nét ef từ x, nét es từ te,à, bạn hiểu rồi...)

Một số nguyên tố cũng có thể biểu thị đạo hàm của một hàm số cụ thể, ví dụ: (2x+3)", (x 3 )" , (sinx)" vân vân. Thông thường đạo hàm được biểu thị bằng vi phân, nhưng chúng ta sẽ không xem xét cách ký hiệu đó trong bài học này.

Giả sử rằng chúng ta đã học cách hiểu các nhiệm vụ. Tất cả những gì còn lại là học cách giải chúng.) Để tôi nhắc bạn một lần nữa: tìm đạo hàm là biến đổi hàm số theo những quy luật nhất định.Đáng ngạc nhiên là có rất ít những quy tắc này.

Để tìm đạo hàm của một hàm số, bạn chỉ cần biết ba điều. Ba trụ cột thể hiện mọi sự khác biệt. Đây là ba trụ cột sau:

1. Bảng đạo hàm (công thức vi phân).

3. Đạo hàm của hàm phức.

Hãy bắt đầu theo thứ tự. Trong bài học này chúng ta sẽ xem xét bảng đạo hàm.

Bảng dẫn xuất.

Có vô số chức năng trên thế giới. Trong số bộ này có những chức năng quan trọng nhất để sử dụng thực tế. Những chức năng này được tìm thấy trong mọi quy luật của tự nhiên. Từ những chức năng này, giống như từ những viên gạch, bạn có thể xây dựng tất cả những chức năng khác. Lớp chức năng này được gọi các chức năng cơ bản. Chính những hàm này đã được nghiên cứu ở trường - tuyến tính, bậc hai, hyperbol, v.v.

Phân biệt các chức năng "từ đầu", tức là. Dựa trên định nghĩa đạo hàm và lý thuyết giới hạn thì đây là một việc khá tốn công sức. Và các nhà toán học cũng là con người, vâng, vâng!) Vì vậy, họ đã đơn giản hóa cuộc sống của họ (và của chúng ta). Họ đã tính đạo hàm của các hàm cơ bản trước chúng ta. Kết quả là một bảng dẫn xuất, trong đó mọi thứ đã sẵn sàng.)

Đây rồi, tấm này dành cho những chức năng phổ biến nhất. Bên trái là hàm cơ bản, bên phải là đạo hàm của nó.

	Chức năng y	Đạo hàm của hàm y ừ"
1	C (giá trị không đổi)	C" = 0
2	x	x" = 1
3	x n (n - bất kỳ số nào)	(x n)" = nx n-1
	x 2 (n = 2)	(x 2)" = 2x
4	tội lỗi x	(sin x)" = cosx
	vì x	(cos x)" = - sin x
	tg x
	ctg x
5	arcsin x
	arccos x
	arctan x
	arcctg x
4	Một x
	e x
5	nhật ký Một x
	ln x ( a = e)

Tôi khuyên bạn nên chú ý đến nhóm hàm thứ ba trong bảng đạo hàm này. Đạo hàm của hàm lũy thừa là một trong những công thức phổ biến nhất, nếu không muốn nói là phổ biến nhất! Bạn có hiểu gợi ý không?) Có, bạn nên thuộc lòng bảng đạo hàm. Nhân tiện, điều này không khó như người ta tưởng. Hãy cố gắng giải nhiều ví dụ hơn, bản thân bảng sẽ được ghi nhớ!)

Tìm giá trị bảng của đạo hàm, như bạn hiểu, không phải là nhiệm vụ khó khăn nhất. Vì vậy, rất thường xuyên có thêm chip trong các nhiệm vụ như vậy. Hoặc trong cách diễn đạt của nhiệm vụ hoặc trong chức năng ban đầu, dường như không có trong bảng...

Hãy xem xét một vài ví dụ:

1. Tìm đạo hàm của hàm số y = x 3

Không có chức năng như vậy trong bảng. Nhưng có một đạo hàm của hàm lũy thừa ở dạng tổng quát (nhóm thứ ba). Trong trường hợp của chúng tôi n=3. Vì vậy chúng ta thay thế ba thay vì n và cẩn thận viết ra kết quả:

(x 3) " = 3 x 3-1 = 3x 2

Đó là nó.

Trả lời: y" = 3x 2

2. Tìm giá trị đạo hàm của hàm số y = sinx tại điểm x = 0.

Nhiệm vụ này có nghĩa là trước tiên bạn phải tìm đạo hàm của sin, sau đó thay thế giá trị x = 0 vào rất phái sinh này. Chính xác theo thứ tự đó! Nếu không, điều đó xảy ra là họ ngay lập tức thay thế số 0 vào hàm ban đầu... Chúng ta được yêu cầu không phải tìm giá trị của hàm ban đầu mà là giá trị phái sinh của nó.Đạo hàm, để tôi nhắc bạn, là một hàm mới.

Sử dụng máy tính bảng, chúng ta tìm được sin và đạo hàm tương ứng:

y" = (sin x)" = cosx

Chúng ta thay số 0 vào đạo hàm:

y"(0) = cos 0 = 1

Đây sẽ là câu trả lời.

3. Phân biệt hàm:

Cái gì, nó truyền cảm hứng à?) Không có hàm nào như vậy trong bảng đạo hàm.

Hãy để tôi nhắc bạn rằng để đạo hàm một hàm số chỉ đơn giản là tìm đạo hàm của hàm số này. Nếu bạn quên lượng giác cơ bản thì việc tìm đạo hàm của hàm số chúng ta khá rắc rối. Cái bàn không giúp được gì...

Nhưng nếu chúng ta thấy rằng chức năng của chúng ta là cosin góc đôi, sau đó mọi thứ sẽ tốt hơn ngay lập tức!

Vâng vâng! Hãy nhớ rằng việc chuyển đổi hàm ban đầu trước khi phân biệt khá chấp nhận được! Và nó xảy ra làm cho cuộc sống dễ dàng hơn rất nhiều. Sử dụng công thức cosin góc kép:

Những thứ kia. chức năng phức tạp của chúng tôi không có gì hơn y = cosx. Và đây là một chức năng bảng. Chúng tôi ngay lập tức nhận được:

Trả lời: y" = - sin x.

Ví dụ dành cho sinh viên tốt nghiệp và sinh viên tiên tiến:

4. Tìm đạo hàm của hàm số:

Tất nhiên là không có hàm nào như vậy trong bảng đạo hàm. Nhưng nếu bạn nhớ lại toán tiểu học, các phép tính với lũy thừa... Thì hoàn toàn có thể đơn giản hóa hàm này. Như thế này:

Và x lũy thừa một phần mười đã là một hàm dạng bảng! Nhóm thứ ba, n=1/10. Ta viết trực tiếp theo công thức:

Đó là tất cả. Đây sẽ là câu trả lời.

Tôi hy vọng rằng mọi thứ đều rõ ràng với trụ cột phân biệt đầu tiên - bảng phái sinh. Việc còn lại là phải giải quyết hai con cá voi còn lại. TRONG bài học tiếp theo Hãy nắm vững các quy tắc phân biệt.