Hàm lượng giác cách giải ví dụ. Các công thức lượng giác cơ bản

Khái niệm về giải phương trình lượng giác.

• Để giải một phương trình lượng giác, hãy chuyển nó thành một hoặc nhiều phương trình lượng giác cơ bản. Giải phương trình lượng giác cuối cùng là giải quyết bốn phương trình lượng giác cơ bản.

Khi giải quyết nhiều Bài toán, đặc biệt là những việc xảy ra trước lớp 10, thứ tự của các hành động được thực hiện sẽ dẫn đến mục tiêu được xác định rõ ràng. Những vấn đề như vậy bao gồm, ví dụ, phương trình tuyến tính và bậc hai, bất phương trình tuyến tính và bậc hai, phương trình phân số và phương trình rút gọn thành bậc hai. Nguyên tắc giải pháp thành công của từng nhiệm vụ được đề cập như sau: cần xác định loại nhiệm vụ đang được giải quyết, ghi nhớ trình tự các hành động cần thiết sẽ dẫn đến kết quả mong muốn, tức là trả lời và làm theo các bước sau.

Rõ ràng, thành công hay thất bại trong việc giải một bài toán cụ thể phụ thuộc chủ yếu vào việc xác định loại phương trình được giải một cách chính xác như thế nào, trình tự của tất cả các giai đoạn của lời giải được tái hiện một cách chính xác như thế nào. Tất nhiên, trong trường hợp này, cần phải có kỹ năng thực hiện các phép biến đổi và tính toán giống hệt nhau.

Một tình huống khác xảy ra với phương trình lượng giác. Không khó để thiết lập thực tế rằng phương trình là lượng giác. Khó khăn nảy sinh khi xác định chuỗi hành động sẽ dẫn đến câu trả lời chính xác.

Đôi khi rất khó để xác định loại của nó bằng cách xuất hiện một phương trình. Và nếu không biết dạng của phương trình, thì hầu như không thể chọn đúng trong số hàng chục công thức lượng giác.

Để giải phương trình lượng giác, chúng ta phải thử:

1. đưa tất cả các chức năng bao gồm trong phương trình về "các góc giống nhau";
2. đưa phương trình về "các hàm tương tự";
3. thừa số hóa vế trái của phương trình, v.v.

Xem xét các phương pháp cơ bản để giải phương trình lượng giác.

I. Rút gọn về phương trình lượng giác đơn giản nhất

Sơ đồ giải pháp

Bước 1. Biểu thị hàm lượng giác dưới dạng các thành phần đã biết.

Bước 2 Tìm đối số của hàm bằng công thức:

cos x = a; x = ± arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x \ u003d (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x \ u003d arctg a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x \ u003d cungctg a + πn, n Є Z.

Bước 3 Tìm một biến chưa biết.

Ví dụ.

2 cos (3x - π / 4) = -√2.

Giải pháp.

1) cos (3x - π / 4) = -√2 / 2.

2) 3x - π / 4 = ± (π - π / 4) + 2πn, n Є Z;

3x - π / 4 = ± 3π / 4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ± 3π / 4 + π / 4 + 2πn, n Є Z;

x = ± 3π / 12 + π / 12 + 2πn / 3, n Є Z;

x = ± π / 4 + π / 12 + 2πn / 3, n Є Z.

Đáp số: ± π / 4 + π / 12 + 2πn / 3, n Є Z.

II. Thay thế biến

Sơ đồ giải pháp

Bước 1.Đưa phương trình về dạng đại số đối với một trong các hàm lượng giác.

Bước 2 Biểu thị hàm kết quả bằng biến t (nếu cần, đưa ra các hạn chế đối với t).

Bước 3 Viết ra và giải phương trình đại số thu được.

Bước 4 Thực hiện một sự thay thế ngược lại.

Bước 5 Giải phương trình lượng giác đơn giản nhất.

Ví dụ.

2cos 2 (x / 2) - 5sin (x / 2) - 5 = 0.

Giải pháp.

1) 2 (1 - sin 2 (x / 2)) - 5sin (x / 2) - 5 = 0;

2sin 2 (x / 2) + 5sin (x / 2) + 3 = 0.

2) Cho sin (x / 2) = t, trong đó | t | ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 hoặc e = -3/2 không thỏa mãn điều kiện | t | ≤ 1.

4) sin (x / 2) = 1.

5) x / 2 = π / 2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Đáp số: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Phương pháp rút gọn bậc đẳng thức

Sơ đồ giải pháp

Bước 1. Thay thế phương trình này bằng một phương trình tuyến tính bằng cách sử dụng các công thức giảm công suất:

sin 2 x \ u003d 1/2 (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

tan 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

Bước 2 Giải phương trình kết quả bằng phương pháp I và II.

Ví dụ.

cos2x + cos2x = 5/4.

Giải pháp.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ± π / 3 + 2πn, n Є Z;

x = ± π / 6 + πn, n Є Z.

Đáp số: x = ± π / 6 + πn, n Є Z.

IV. Phương trình thuần nhất

Sơ đồ giải pháp

Bước 1.Đưa phương trình này về dạng

a) a sin x + b cos x = 0 (phương trình thuần nhất bậc nhất)

hoặc để xem

b) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (phương trình thuần nhất cấp 2).

Bước 2 Chia cả hai vế của phương trình cho

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

và nhận phương trình cho tg x:

a) a tg x + b = 0;

b) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.

Bước 3 Giải phương trình bằng các phương pháp đã biết.

Ví dụ.

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.

Giải pháp.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 (sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4sin² x - 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x \ u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.

3) Đặt tg x = t, thì

t 2 + 3t - 4 = 0;

t = 1 hoặc t = -4, do đó

tg x = 1 hoặc tg x = -4.

Từ phương trình thứ nhất x = π / 4 + πn, n Є Z; từ phương trình thứ hai x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Đáp số: x = π / 4 + πn, n Є Z; x \ u003d -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Phương pháp biến đổi một phương trình bằng công thức lượng giác

Sơ đồ giải pháp

Bước 1. Sử dụng các loại công thức lượng giác, đưa phương trình này về dạng phương trình có thể giải bằng các phương pháp I, II, III, IV.

Bước 2 Giải phương trình kết quả bằng các phương pháp đã biết.

Ví dụ.

sinx + sin2x + sin3x = 0.

Giải pháp.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 hoặc 2cos x + 1 = 0;

Từ phương trình thứ nhất 2x = π / 2 + πn, n Є Z; từ phương trình thứ hai cos x = -1/2.

Ta có x = π / 4 + πn / 2, n Є Z; từ phương trình thứ hai x = ± (π - π / 3) + 2πk, k Є Z.

Kết quả là x \ u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ± 2π / 3 + 2πk, k Є Z.

Đáp số: x \ u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ± 2π / 3 + 2πk, k Є Z.

Năng lực và kỹ năng giải phương trình lượng giác rất quan trọng, sự phát triển của chúng đòi hỏi nỗ lực đáng kể, cả về phía học sinh và giáo viên.

Nhiều bài toán lập thể, vật lí, ... gắn liền với việc giải phương trình lượng giác, quá trình giải những bài toán như vậy chứa đựng nhiều kiến ​​thức và kĩ năng cần có khi học các yếu tố của lượng giác.

Phương trình lượng giác chiếm một vị trí quan trọng trong quá trình dạy học toán và phát triển nhân cách nói chung.

Bạn có câu hỏi nào không? Bạn không biết cách giải phương trình lượng giác?
Để được trợ giúp từ một gia sư -.
Bài học đầu tiên là miễn phí!

blog.site, với việc sao chép toàn bộ hoặc một phần tài liệu, cần có liên kết đến nguồn.

Quyền riêng tư của bạn rất quan trọng với chúng tôi. Vì lý do này, chúng tôi đã phát triển Chính sách bảo mật mô tả cách chúng tôi sử dụng và lưu trữ thông tin của bạn. Vui lòng đọc chính sách bảo mật của chúng tôi và cho chúng tôi biết nếu bạn có bất kỳ câu hỏi nào.

Thu thập và sử dụng thông tin cá nhân

Thông tin cá nhân đề cập đến dữ liệu có thể được sử dụng để xác định hoặc liên hệ với một người cụ thể.

Bạn có thể được yêu cầu cung cấp thông tin cá nhân của bạn bất kỳ lúc nào khi bạn liên hệ với chúng tôi.

Sau đây là một số ví dụ về các loại thông tin cá nhân mà chúng tôi có thể thu thập và cách chúng tôi có thể sử dụng thông tin đó.

Chúng tôi thu thập thông tin cá nhân nào:

• Khi bạn gửi đơn đăng ký trên trang web, chúng tôi có thể thu thập nhiều thông tin khác nhau, bao gồm tên, số điện thoại, địa chỉ email của bạn, v.v.

Cách chúng tôi sử dụng thông tin cá nhân của bạn:

• Thông tin cá nhân mà chúng tôi thu thập cho phép chúng tôi liên hệ với bạn và thông báo cho bạn về các ưu đãi, khuyến mãi độc đáo và các sự kiện khác và các sự kiện sắp tới.
• Đôi khi, chúng tôi có thể sử dụng thông tin cá nhân của bạn để gửi cho bạn những thông báo và liên lạc quan trọng.
• Chúng tôi cũng có thể sử dụng thông tin cá nhân cho các mục đích nội bộ, chẳng hạn như thực hiện kiểm toán, phân tích dữ liệu và các nghiên cứu khác nhau để cải thiện các dịch vụ mà chúng tôi cung cấp và cung cấp cho bạn các khuyến nghị liên quan đến dịch vụ của chúng tôi.
• Nếu bạn tham gia rút thăm giải thưởng, cuộc thi hoặc khuyến khích tương tự, chúng tôi có thể sử dụng thông tin bạn cung cấp để quản lý các chương trình đó.

Tiết lộ cho bên thứ ba

Chúng tôi không tiết lộ thông tin nhận được từ bạn cho bên thứ ba.

Các trường hợp ngoại lệ:

• Trong trường hợp cần thiết - theo quy định của pháp luật, trình tự tư pháp, trong thủ tục pháp lý và / hoặc dựa trên yêu cầu công khai hoặc yêu cầu từ các cơ quan nhà nước trên lãnh thổ Liên bang Nga - hãy tiết lộ thông tin cá nhân của bạn. Chúng tôi cũng có thể tiết lộ thông tin về bạn nếu chúng tôi xác định rằng việc tiết lộ đó là cần thiết hoặc thích hợp vì lý do bảo mật, thực thi pháp luật hoặc lợi ích công cộng khác.
• Trong trường hợp tổ chức lại, sáp nhập hoặc bán, chúng tôi có thể chuyển thông tin cá nhân mà chúng tôi thu thập được cho người kế nhiệm bên thứ ba có liên quan.

Bảo vệ thông tin cá nhân

Chúng tôi thực hiện các biện pháp phòng ngừa - bao gồm hành chính, kỹ thuật và vật lý - để bảo vệ thông tin cá nhân của bạn khỏi bị mất, bị đánh cắp và sử dụng sai mục đích, cũng như khỏi bị truy cập, tiết lộ, thay đổi và phá hủy trái phép.

Duy trì quyền riêng tư của bạn ở cấp công ty

Để đảm bảo rằng thông tin cá nhân của bạn được bảo mật, chúng tôi truyền đạt các thông lệ về quyền riêng tư và bảo mật cho nhân viên của mình và thực thi nghiêm túc các thông lệ về quyền riêng tư.

Yêu cầu kiến ​​thức về các công thức cơ bản của lượng giác - tổng bình phương của sin và côsin, biểu thức của tiếp tuyến qua sin và côsin, và các công thức khác. Đối với những người đã quên hoặc không biết chúng, chúng tôi khuyên bạn nên đọc bài viết "".
Vì vậy, chúng ta đã biết các công thức lượng giác cơ bản, đã đến lúc vận dụng chúng vào thực tế. Giải phương trình lượng giác với cách tiếp cận phù hợp, đó là một hoạt động khá thú vị, chẳng hạn như giải một khối Rubik.

Dựa vào tên gọi, rõ ràng phương trình lượng giác là phương trình trong đó ẩn số nằm dưới dấu của một hàm số lượng giác.
Có cái gọi là phương trình lượng giác đơn giản. Đây là những gì chúng trông giống như: sinх = a, cos x = a, tg x = a. Xem xét, làm thế nào để giải các phương trình lượng giác như vậy, để rõ ràng, chúng ta sẽ sử dụng đường tròn lượng giác vốn đã quen thuộc.

sinx = a

cos x = a

tan x = a

cot x = a

Bất kỳ phương trình lượng giác nào cũng được giải theo hai giai đoạn: ta đưa phương trình về dạng đơn giản nhất rồi giải về dạng phương trình lượng giác đơn giản nhất.
Có 7 phương pháp chính để giải phương trình lượng giác.

1. Phương pháp thay thế và thay thế biến

Giải phương trình 2cos 2 (x + / 6) - 3sin (/ 3 - x) +1 = 0

Sử dụng các công thức rút gọn, chúng tôi nhận được:

2cos 2 (x + / 6) - 3cos (x + / 6) +1 = 0

Hãy thay cos (x + / 6) bằng y cho đơn giản và nhận được phương trình bậc hai thông thường:

2y 2 - 3y + 1 + 0

Các nghiệm trong đó y 1 = 1, y 2 = 1/2

Bây giờ chúng ta hãy quay ngược lại

Chúng tôi thay thế các giá trị tìm được của y và nhận được hai câu trả lời:

2. Giải phương trình lượng giác thông qua phân tích nhân tử

Làm thế nào để giải phương trình sin x + cos x = 1?

Hãy di chuyển mọi thứ sang trái để 0 vẫn ở bên phải:

sin x + cos x - 1 = 0

Chúng tôi sử dụng các đặc điểm trên để đơn giản hóa phương trình:

sin x - 2 sin 2 (x / 2) = 0

Hãy thực hiện phân tích thừa số:

2sin (x / 2) * cos (x / 2) - 2 sin 2 (x / 2) = 0

2sin (x / 2) * = 0

Chúng tôi nhận được hai phương trình

3. Rút gọn về một phương trình thuần nhất

Một phương trình là thuần nhất đối với sin và cosin nếu tất cả các số hạng của nó đối với sin và cosin có cùng tung độ của cùng một góc. Để giải một phương trình thuần nhất, hãy tiến hành như sau:

a) chuyển tất cả các thành viên của nó sang phía bên trái;

b) đặt tất cả các thừa số chung ra khỏi dấu ngoặc;

c) đánh đồng tất cả các thừa số và dấu ngoặc vuông với 0;

d) trong ngoặc, thu được một phương trình thuần nhất có cấp độ nhỏ hơn, lần lượt được chia cho sin hoặc cosin ở cấp độ cao hơn;

e) giải phương trình kết quả cho tg.

Giải phương trình 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2

Hãy sử dụng công thức sin 2 x + cos 2 x = 1 và loại bỏ hai mở ở bên phải:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2 cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

Chia cho cosx:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

Chúng tôi thay thế tg x bằng y và nhận được một phương trình bậc hai:

y 2 + 4y +3 = 0 có gốc là y 1 = 1, y 2 = 3

Từ đây, chúng ta tìm thấy hai nghiệm cho phương trình ban đầu:

x 2 \ u003d arctg 3 + k

4. Giải phương trình, thông qua phép chuyển sang nửa góc

Giải phương trình 3sin x - 5cos x = 7

Hãy chuyển sang x / 2:

6sin (x / 2) * cos (x / 2) - 5cos 2 (x / 2) + 5sin 2 (x / 2) = 7sin 2 (x / 2) + 7cos 2 (x / 2)

Chuyển mọi thứ sang trái:

2sin 2 (x / 2) - 6sin (x / 2) * cos (x / 2) + 12cos 2 (x / 2) = 0

Chia cho cos (x / 2):

tg 2 (x / 2) - 3tg (x / 2) + 6 = 0

5. Giới thiệu một góc phụ

Để xem xét, hãy lấy một phương trình có dạng: a sin x + b cos x \ u003d c,

trong đó a, b, c là một số hệ số tùy ý và x là ẩn số.

Chia cả hai vế của phương trình cho:



Bây giờ các hệ số của phương trình, theo công thức lượng giác, có các tính chất của sin và cos, cụ thể là: môđun của chúng không lớn hơn 1 và tổng bình phương = 1. Hãy ký hiệu chúng tương ứng là cos và sin, trong đó cái gọi là góc phụ. Khi đó phương trình sẽ có dạng:

cos * sin x + sin * cos x \ u003d C

hoặc sin (x +) = C

Giải pháp cho phương trình lượng giác đơn giản này là

x \ u003d (-1) k * arcsin C - + k, trong đó



Cần lưu ý rằng các ký hiệu cos và sin có thể hoán đổi cho nhau.

Giải phương trình sin 3x - cos 3x = 1

Trong phương trình này, các hệ số là:

a \ u003d, b \ u003d -1, vì vậy chúng tôi chia cả hai phần cho \ u003d 2

Bài học vận dụng kiến ​​thức phức tạp.

Mục tiêu bài học.

1. Xem xét các phương pháp khác nhau để giải phương trình lượng giác.
2. Phát triển năng lực sáng tạo của học sinh bằng cách giải phương trình.
3. Khuyến khích học sinh tự chủ, kiểm soát lẫn nhau, tự phân tích các hoạt động giáo dục của mình.

Trang thiết bị: màn chiếu, máy chiếu, tài liệu tham khảo.

Trong các lớp học

Giới thiệu cuộc trò chuyện.

Phương pháp chính để giải phương trình lượng giác là rút gọn đơn giản nhất của chúng. Trong trường hợp này, các phương pháp thông thường được sử dụng, ví dụ, thừa số hóa, cũng như các kỹ thuật chỉ dùng để giải phương trình lượng giác. Có khá nhiều thủ thuật này, ví dụ như các phép thế lượng giác, biến đổi góc, biến đổi các hàm số lượng giác. Việc áp dụng bừa bãi bất kỳ phép biến đổi lượng giác nào thường không đơn giản hóa phương trình, mà còn làm phức tạp nó một cách tai hại. Để xây dựng một cách tổng quát phương án giải phương trình, nêu cách rút gọn phương trình về đơn giản nhất, trước hết cần phân tích các góc - đối số của các hàm số lượng giác có trong phương trình.

Hôm nay chúng ta sẽ nói về các phương pháp giải phương trình lượng giác. Một phương pháp được chọn đúng thường cho phép giải pháp đơn giản hóa đáng kể, vì vậy tất cả các phương pháp chúng ta đã nghiên cứu phải luôn được lưu ý để giải các phương trình lượng giác theo cách thích hợp nhất.

II. (Sử dụng máy chiếu, chúng tôi nhắc lại các phương pháp giải phương trình.)

1. Phương pháp rút gọn một phương trình lượng giác thành một phương trình đại số.

Cần phải biểu diễn tất cả các hàm lượng giác thông qua một, với cùng một lập luận. Điều này có thể được thực hiện bằng cách sử dụng nhận dạng lượng giác cơ bản và các hệ quả của nó. Chúng ta nhận được một phương trình với một hàm lượng giác. Coi nó như một ẩn số mới, chúng ta thu được một phương trình đại số. Ta tìm gốc của nó và quay lại ẩn số cũ, giải các phương trình lượng giác đơn giản nhất.

2. Phương pháp thừa số hóa.

Để thay đổi góc, công thức rút gọn, tổng và hiệu của đối số, cũng như công thức chuyển tổng (hiệu) của các hàm lượng giác thành tích và ngược lại thường hữu ích.

sinx + sin3x = sin2x + sin4x

3. Phương pháp giới thiệu một góc bổ sung.

4. Phương pháp sử dụng phép thay thế phổ thông.

Các phương trình có dạng F (sinx, cosx, tgx) = 0 được rút gọn thành các phương trình đại số bằng cách sử dụng phép thay thế lượng giác phổ quát

Biểu diễn sin, côsin và tiếp tuyến dưới dạng tiếp tuyến của một nửa góc. Thủ thuật này có thể dẫn đến một phương trình bậc cao hơn. Quyết định đó là khó khăn.