Tính diện tích của \ u200b \ u200 hình bị giới hạn bởi các đường của phương trình. Các ví dụ

Bây giờ chúng ta chuyển sang việc xem xét các ứng dụng của phép tính tích phân. Trong bài học này, chúng ta sẽ phân tích một nhiệm vụ điển hình và phổ biến nhất. tính diện tích của một hình phẳng bằng cách sử dụng một tích phân xác định. Cuối cùng, tất cả những người tìm kiếm ý nghĩa trong toán học cao hơn - có thể họ sẽ tìm thấy nó. Bạn không bao giờ biết. Trong cuộc sống thực, bạn sẽ phải tính gần đúng một ngôi nhà mùa hè với các chức năng cơ bản và tìm diện tích của nó bằng cách sử dụng một tích phân nhất định.

Để làm chủ thành công tài liệu, bạn phải:

1) Hiểu được tích phân bất định ít nhất ở trình độ trung cấp. Vì vậy, đầu tiên người giả nên đọc bài học Không.

2) Có thể áp dụng công thức Newton-Leibniz và tính tích phân xác định. Bạn có thể thiết lập mối quan hệ thân thiện nồng ấm với một số thành phần không thể thiếu trên trang Tích phân xác định. Ví dụ giải pháp. Nhiệm vụ "tính diện tích sử dụng một tích phân xác định" luôn liên quan đến việc xây dựng một bản vẽ, do đó, kiến thức và kỹ năng vẽ của bạn cũng sẽ là một vấn đề cấp thiết. Tối thiểu, một người phải có khả năng xây dựng một đường thẳng, một parabol và một hyperbol.

Hãy bắt đầu với một hình thang cong. Hình thang cong là một hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của một hàm số nào đó y = f(x), trục CON BÒ và dòng x = một; x = b.

Diện tích của hình thang cong về mặt số học bằng một tích phân nào đó

Bất kỳ tích phân xác định nào (tồn tại) đều có ý nghĩa hình học rất tốt. Vào bài học Tích phân xác định. Ví dụ giải pháp chúng ta đã nói rằng một tích phân xác định là một số. Và bây giờ là lúc để nêu một sự thật hữu ích khác. Theo quan điểm của hình học, tích phân xác định là DIỆN TÍCH. Đó là, tích phân xác định (nếu nó tồn tại) về mặt hình học tương ứng với diện tích của một số hình. Xem xét tích phân xác định

Tích hợp

xác định một đường cong trên mặt phẳng (nó có thể được vẽ nếu muốn), và tích phân xác định chính nó bằng số bằng diện tích của hình thang cong tương ứng.

ví dụ 1

, , , .

Đây là một tuyên bố nhiệm vụ điển hình. Điểm quan trọng nhất của quyết định là việc xây dựng bản vẽ. Hơn nữa, bản vẽ phải được xây dựng BÊN PHẢI.

Khi xây dựng một bản thiết kế, tôi khuyên bạn nên theo thứ tự sau: Đầu tiên tốt hơn là nên xây dựng tất cả các dòng (nếu có) và chỉ sau- parabol, hypebol, đồ thị của các hàm số khác. Kỹ thuật thi công từng điểm có thể tham khảo trong tài liệu tham khảo Đồ thị và tính chất của các hàm cơ bản. Ở đó, bạn cũng có thể tìm thấy tài liệu rất hữu ích liên quan đến bài học của chúng tôi - cách nhanh chóng xây dựng một parabol.

Trong vấn đề này, giải pháp có thể trông như thế này.

Hãy vẽ một bản vẽ (lưu ý rằng phương trình y= 0 xác định trục CON BÒ):

Chúng ta sẽ không mở rộng hình thang cong, rõ ràng là chúng ta đang nói về lĩnh vực nào ở đây. Giải pháp tiếp tục như thế này:

Trên khoảng [-2; 1] đồ thị hàm số y = x 2 + 2 nằm qua trụcCON BÒ, đó là lý do tại sao:

Câu trả lời: .

Ai gặp khó khăn trong việc tính tích phân xác định và áp dụng công thức Newton-Leibniz

tham khảo bài giảng Tích phân xác định. Ví dụ giải pháp. Sau khi hoàn thành nhiệm vụ, việc nhìn vào bản vẽ và tìm ra câu trả lời có phải là thật hay không luôn hữu ích. Trong trường hợp này, “bằng mắt thường” chúng tôi đếm số ô trong hình vẽ - khoảng 9 ô sẽ được gõ, có vẻ đúng. Rõ ràng là nếu chúng ta có, giả sử, câu trả lời: 20 đơn vị vuông, thì rõ ràng, một sai lầm đã được thực hiện ở đâu đó - 20 ô rõ ràng không phù hợp với hình được đề cập, nhiều nhất là một tá. Nếu câu trả lời là phủ định, thì nhiệm vụ đó cũng đã được giải quyết không chính xác.

Ví dụ 2

Tính diện tích của một hình được giới hạn bởi các đường xy = 4, x = 2, x= 4 và trục CON BÒ.

Đây là một ví dụ do-it-yourself. Có đầy đủ lời giải và đáp án cuối bài.

Phải làm gì nếu hình thang cong nằm dưới trụcCON BÒ?

Ví dụ 3

Tính diện tích của một hình được giới hạn bởi các đường y = Ví dụ, x= 1 và các trục tọa độ.

Giải pháp: Hãy vẽ một bản vẽ:

Nếu một hình thang cong hoàn toàn dưới trục CON BÒ , thì diện tích của nó có thể được tìm thấy bằng công thức:

Trong trường hợp này:

Chú ý! Không nên nhầm lẫn hai loại nhiệm vụ:

1) Nếu bạn được yêu cầu giải chỉ một tích phân xác định mà không có bất kỳ ý nghĩa hình học nào, thì nó có thể là số âm.

2) Nếu bạn được yêu cầu tìm diện tích của một hình bằng cách sử dụng tích phân xác định, thì diện tích đó luôn dương! Đó là lý do tại sao dấu trừ xuất hiện trong công thức vừa xét.

Trong thực tế, hình thường nằm ở cả nửa mặt phẳng trên và dưới, và do đó, từ những bài toán đơn giản nhất, chúng ta chuyển sang những ví dụ có ý nghĩa hơn.

Ví dụ 4

Tìm diện tích của một hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 2x – x 2 , y = -x.

Giải pháp: Đầu tiên bạn cần vẽ một bản vẽ. Khi xây dựng một bản vẽ trong các bài toán về diện tích, chúng ta quan tâm nhất đến giao điểm của các đường. Tìm các giao điểm của parabol y = 2x – x 2 và thẳng y = -x. Điều này có thể được thực hiện theo hai cách. Cách đầu tiên là phân tích. Chúng tôi giải phương trình:

Vì vậy, giới hạn thấp hơn của tích hợp một= 0, giới hạn trên của tích hợp b= 3. Thường có lợi hơn và nhanh hơn khi xây dựng các đường từng điểm, trong khi các giới hạn của tích hợp được tìm ra như thể “tự nó”. Tuy nhiên, phương pháp phân tích để tìm các giới hạn đôi khi vẫn phải được sử dụng nếu, ví dụ, đồ thị đủ lớn hoặc cấu trúc phân luồng không tiết lộ các giới hạn của tích phân (chúng có thể là phân số hoặc không hợp lý). Chúng ta quay trở lại nhiệm vụ của mình: đầu tiên sẽ hợp lý hơn khi dựng một đường thẳng và sau đó chỉ là một parabol. Hãy vẽ một bức tranh:

Chúng tôi nhắc lại rằng trong cấu trúc từng điểm, các giới hạn của tích hợp thường được tìm ra một cách “tự động”.

Và bây giờ là công thức làm việc:

Nếu trên khoảng [ một; b] một số chức năng liên tục f(x) lớn hơn hoặc bằng một số chức năng liên tục g(x), thì diện tích của hình tương ứng có thể được tìm thấy bằng công thức:

Ở đây, không còn cần thiết phải nghĩ về vị trí của hình - phía trên trục hoặc bên dưới trục, nhưng vấn đề quan trọng là biểu đồ nào TRÊN(so với một biểu đồ khác), và cái nào ở DƯỚI ĐÂY.

Trong ví dụ đang xem xét, rõ ràng là trên đoạn thẳng, parabol nằm trên đường thẳng và do đó từ 2 x – x 2 phải được trừ đi - x.

Việc hoàn thành giải pháp có thể trông như thế này:

Hình mong muốn được giới hạn bởi một parabol y = 2x – x 2 đầu và thẳng y = -x từ phía dưới.

Trên phân đoạn 2 x – x 2 ≥ -x. Theo công thức tương ứng:

Câu trả lời: .

Thực tế, công thức tính diện tích hình thang cong trong nửa mặt phẳng dưới (xem ví dụ số 3) là một trường hợp đặc biệt của công thức

Kể từ trục CON BÒđược đưa ra bởi phương trình y= 0 và đồ thị của hàm g(x) nằm bên dưới trục CON BÒ, sau đó

Và bây giờ là một vài ví dụ cho một quyết định độc lập

Ví dụ 5

Ví dụ 6

Tìm diện tích của một hình bị giới hạn bởi các đường

Trong quá trình giải các bài toán tính diện tích bằng một tích phân nào đó, đôi khi vẫn xảy ra một sự cố buồn cười. Bản vẽ đã được thực hiện chính xác, các tính toán chính xác, nhưng, do không chú ý, ... tìm thấy diện tích của hình sai.

Ví dụ 7

Hãy vẽ trước:

Hình có diện tích chúng ta cần tìm được tô màu xanh lam.(xem kỹ tình trạng - con số có hạn!). Nhưng trong thực tế, do không chú ý, họ thường quyết định rằng họ cần tìm diện tích của \ u200b \ u200b của hình được tô màu xanh lá cây!

Ví dụ này cũng hữu ích ở chỗ, diện tích \ u200b \ u200b của hình được tính bằng cách sử dụng hai tích phân xác định. Có thật không:

1) Trên đoạn [-1; 1] trục trên CON BÒđồ thị thẳng y = x+1;

2) Trên đoạn phía trên trục CON BÒđồ thị của hyperbol nằm ở đâu y = (2/x).

Rõ ràng là các khu vực có thể (và nên) được thêm vào, do đó:

Câu trả lời:

Ví dụ 8

Tính diện tích của một hình được giới hạn bởi các đường

Hãy trình bày các phương trình ở dạng "trường"

và vẽ đoạn thẳng:

Từ hình vẽ có thể thấy rằng giới hạn trên của chúng ta là "tốt": b = 1.

Nhưng giới hạn dưới là gì? Rõ ràng đây không phải là một số nguyên, nhưng là gì?

Có lẽ, một= (- 1/3)? Nhưng đâu là sự đảm bảo rằng bản vẽ được thực hiện với độ chính xác hoàn hảo, nó có thể thành ra một= (- 1/4). Điều gì sẽ xảy ra nếu chúng ta không hiểu được biểu đồ đúng?

Trong những trường hợp như vậy, người ta phải dành thêm thời gian và tinh chỉnh các giới hạn của tích hợp một cách phân tích.

Tìm giao điểm của các đồ thị

Để làm điều này, chúng tôi giải phương trình:

Do đó, một=(-1/3).

Các giải pháp xa hơn là tầm thường. Điều chính là không để bị nhầm lẫn trong sự thay thế và các dấu hiệu. Các tính toán ở đây không phải là dễ dàng nhất. Trên phân khúc

, ,

theo công thức tương ứng:

Câu trả lời:

Trong phần kết của bài học, chúng ta sẽ xem xét hai nhiệm vụ khó hơn.

Ví dụ 9

Tính diện tích của một hình được giới hạn bởi các đường

Giải pháp: Vẽ hình này trong hình vẽ.

Để vẽ một bản vẽ từng điểm, bạn cần biết hình dạng của hình sin. Nói chung, sẽ rất hữu ích nếu biết đồ thị của tất cả các hàm cơ bản, cũng như một số giá trị của sin. Chúng có thể được tìm thấy trong bảng giá trị hàm lượng giác. Trong một số trường hợp (ví dụ trong trường hợp này), được phép dựng một bản vẽ giản đồ, trên đó các đồ thị và giới hạn tích phân phải được hiển thị một cách chính xác về nguyên tắc.

Không có vấn đề gì với các giới hạn tích hợp ở đây, chúng tuân theo trực tiếp từ điều kiện:

- "x" chuyển từ 0 thành "pi". Chúng tôi đưa ra một quyết định khác:

Trên đoạn, đồ thị của hàm số y= sin 3 x nằm trên trục CON BÒ, đó là lý do tại sao:

(1) Bạn có thể xem cách sin và cosine được tích hợp thành lũy thừa lẻ trong bài học Tích phân của các hàm lượng giác. Chúng tôi cắt một ô sin.

(2) Chúng tôi sử dụng đồng dạng lượng giác cơ bản trong biểu mẫu

(3) Hãy để chúng tôi thay đổi biến t= cos x, then: nằm trên trục, do đó:

Ghi chú: lưu ý cách lấy tích phân của tiếp tuyến trong hình lập phương, ở đây hệ quả của phép đồng dạng lượng giác cơ bản được sử dụng

Làm thế nào để chèn các công thức toán học trên trang web?

Nếu bạn cần thêm một hoặc hai công thức toán học vào trang web, thì cách dễ nhất để thực hiện việc này như được mô tả trong bài viết: các công thức toán học dễ dàng được chèn vào trang web dưới dạng hình ảnh mà Wolfram Alpha tự động tạo ra. Ngoài sự đơn giản, phương pháp phổ quát này sẽ giúp cải thiện khả năng hiển thị của trang web trong các công cụ tìm kiếm. Nó đã hoạt động trong một thời gian dài (và tôi nghĩ rằng nó sẽ hoạt động mãi mãi), nhưng nó đã lỗi thời về mặt đạo đức.

Mặt khác, nếu bạn liên tục sử dụng các công thức toán học trên trang web của mình, thì tôi khuyên bạn nên sử dụng MathJax, một thư viện JavaScript đặc biệt hiển thị ký hiệu toán học trong trình duyệt web sử dụng đánh dấu MathML, LaTeX hoặc ASCIIMathML.

Có hai cách để bắt đầu sử dụng MathJax: (1) sử dụng mã đơn giản, bạn có thể nhanh chóng kết nối tập lệnh MathJax với trang web của mình, tập lệnh này sẽ được tự động tải từ máy chủ từ xa vào đúng thời điểm (danh sách các máy chủ); (2) tải tập lệnh MathJax từ máy chủ từ xa lên máy chủ của bạn và kết nối nó với tất cả các trang trên trang web của bạn. Phương pháp thứ hai phức tạp hơn và tốn thời gian hơn và sẽ cho phép bạn tăng tốc tải các trang trên trang web của mình và nếu máy chủ MathJax mẹ tạm thời không khả dụng vì lý do nào đó, điều này sẽ không ảnh hưởng đến trang web của bạn theo bất kỳ cách nào. Mặc dù có những ưu điểm này, tôi đã chọn phương pháp đầu tiên, vì nó đơn giản hơn, nhanh hơn và không đòi hỏi kỹ năng kỹ thuật. Hãy làm theo ví dụ của tôi, và trong vòng 5 phút, bạn sẽ có thể sử dụng tất cả các tính năng của MathJax trên trang web của mình.

Bạn có thể kết nối tập lệnh thư viện MathJax từ một máy chủ từ xa bằng hai tùy chọn mã được lấy từ trang web MathJax chính hoặc từ trang tài liệu:

Một trong những tùy chọn mã này cần được sao chép và dán vào mã của trang web của bạn, tốt nhất là giữa các thẻ và hoặc ngay sau thẻ . Theo tùy chọn đầu tiên, MathJax tải nhanh hơn và làm chậm trang ít hơn. Nhưng tùy chọn thứ hai sẽ tự động theo dõi và tải các phiên bản mới nhất của MathJax. Nếu bạn chèn mã đầu tiên, thì nó sẽ cần được cập nhật định kỳ. Nếu bạn dán mã thứ hai, thì các trang sẽ tải chậm hơn, nhưng bạn sẽ không cần phải liên tục theo dõi các bản cập nhật MathJax.

Cách dễ nhất để kết nối MathJax là trong Blogger hoặc WordPress: trong bảng điều khiển trang web, thêm tiện ích con được thiết kế để chèn mã JavaScript của bên thứ ba, sao chép phiên bản đầu tiên hoặc thứ hai của mã tải được trình bày ở trên vào đó và đặt tiện ích con gần hơn ở đầu mẫu (nhân tiện, điều này không cần thiết, vì tập lệnh MathJax được tải không đồng bộ). Đó là tất cả. Bây giờ hãy học cú pháp đánh dấu MathML, LaTeX và ASCIIMathML và bạn đã sẵn sàng để nhúng các công thức toán học vào các trang web của mình.

Fractal nào cũng được xây dựng theo một quy tắc nhất định, được áp dụng nhất quán không giới hạn số lần. Mỗi lần như vậy được gọi là một lần lặp.

Thuật toán lặp lại để xây dựng một miếng bọt biển Menger khá đơn giản: hình lập phương ban đầu có cạnh 1 được chia bởi các mặt phẳng song song với các mặt của nó thành 27 hình lập phương bằng nhau. Một khối trung tâm và 6 khối liền kề với nó dọc theo các mặt được loại bỏ khỏi nó. Nó chỉ ra một tập hợp bao gồm 20 hình khối nhỏ hơn còn lại. Làm tương tự với mỗi hình lập phương này, ta được một tập hợp gồm 400 hình lập phương nhỏ hơn. Tiếp tục quá trình này vô thời hạn, chúng ta nhận được miếng bọt biển Menger.

Nhiệm vụ số 3. Vẽ và tính diện tích của \ u200b \ u200 hình được giới hạn bởi các đường

Ứng dụng của tích phân để giải các bài toán ứng dụng

Tính diện tích

Tích phân xác định của một hàm số không âm liên tục f (x) bằng số Diện tích của hình thang cong giới hạn bởi đường cong y \ u003d f (x), trục O x và các đường thẳng x \ u003d a và x \ u003d b. Theo đó, công thức diện tích được viết như sau:

Hãy xem xét một số ví dụ về tính diện tích của các hình phẳng.

Nhiệm vụ số 1. Tính diện tích giới hạn bởi các đường y \ u003d x 2 +1, y \ u003d 0, x \ u003d 0, x \ u003d 2.

Dung dịch. Hãy xây dựng một hình, diện tích mà chúng ta sẽ phải tính toán.

y \ u003d x 2 + 1 là một parabol mà các nhánh của nó hướng lên trên và parabol bị dịch chuyển lên trên một đơn vị so với trục O y (Hình 1).

Hình 1. Đồ thị của hàm số y = x 2 + 1

Nhiệm vụ số 2. Tính diện tích giới hạn bởi các đường y \ u003d x 2 - 1, y \ u003d 0 trong phạm vi từ 0 đến 1.

Dung dịch.Đồ thị của hàm này là parabol nhánh hướng lên trên và parabol lệch xuống một đơn vị so với trục O y (Hình 2).

Hình 2. Đồ thị của hàm số y \ u003d x 2 - 1

Nhiệm vụ số 3. Vẽ và tính diện tích của \ u200b \ u200 hình được giới hạn bởi các đường

y = 8 + 2x - x 2 và y = 2x - 4.

Dung dịch.Đường đầu tiên trong số hai đường này là một parabol với các nhánh hướng xuống dưới, vì hệ số tại x 2 là âm, và đường thứ hai là một đường thẳng cắt qua cả hai trục tọa độ.

Để xây dựng một parabol, hãy tìm tọa độ đỉnh của nó: y '= 2 - 2x; 2 - 2x = 0, x = 1 - đỉnh abscissa; y (1) = 8 + 2 ∙ 1 - 1 2 = 9 là hoành độ của nó, N (1; 9) là đỉnh của nó.

Bây giờ chúng ta tìm giao điểm của parabol và đường thẳng bằng cách giải hệ phương trình:

Lập các vế phải của một phương trình mà vế trái của nó bằng nhau.

Chúng tôi nhận được 8 + 2x - x 2 \ u003d 2x - 4 hoặc x 2 - 12 \ u003d 0, từ đâu .

Vì vậy, các điểm là giao điểm của parabol và đường thẳng (Hình 1).

Hình 3 Đồ thị của các hàm số y = 8 + 2x - x 2 và y = 2x - 4

Hãy dựng đường thẳng y = 2x - 4. Nó đi qua các điểm (0; -4), (2; 0) trên các trục tọa độ.

Để xây dựng một parabol, bạn cũng có thể có các giao điểm của nó với trục 0x, tức là nghiệm nguyên của phương trình 8 + 2x - x 2 = 0 hoặc x 2 - 2x - 8 = 0. Theo định lý Vieta, nó là dễ dàng tìm được gốc của nó: x 1 = 2, x 2 = bốn.

Hình 3 cho thấy một hình (đoạn parabol M 1 N M 2) được giới hạn bởi các đường này.

Phần thứ hai của bài toán là tìm diện tích của hình này. Diện tích của nó có thể được tìm thấy bằng cách sử dụng một tích phân xác định bằng công thức .

Đối với điều kiện này, chúng tôi nhận được tích phân:

2 Tính toán thể tích của một cơ thể của cuộc cách mạng

Thể tích của vật thể thu được khi quay đường cong y \ u003d f (x) quanh trục O x được tính theo công thức:

Khi quay quanh trục O y, công thức có dạng:

Nhiệm vụ số 4. Xác định thể tích của vật thể thu được khi quay một hình thang cong giới hạn bởi các đường thẳng x \ u003d 0 x \ u003d 3 và đường cong y \ u003d quanh trục O x.

Dung dịch. Hãy xây dựng một bản vẽ (Hình 4).

Hình 4. Đồ thị của hàm số y =

Âm lượng mong muốn bằng

Nhiệm vụ số 5. Tính thể tích của vật thể thu được khi quay hình thang lượn giới hạn bởi đường cong y = x 2 và các đường thẳng y = 0 và y = 4 quanh trục O y.

Dung dịch. Chúng ta có:

Xem lại câu hỏi

Tích phân xác định. Cách tính diện tích của một hình

Bây giờ chúng ta chuyển sang việc xem xét các ứng dụng của phép tính tích phân. Trong bài học này, chúng ta sẽ phân tích một nhiệm vụ điển hình và phổ biến nhất. Cách sử dụng một tích phân xác định để tính diện tích hình phẳng. Cuối cùng, những người tìm kiếm ý nghĩa trong toán học cao hơn - có thể họ sẽ tìm thấy nó. Bạn không bao giờ biết. Trong cuộc sống thực, bạn sẽ phải tính gần đúng một ngôi nhà mùa hè với các chức năng cơ bản và tìm diện tích của nó bằng cách sử dụng một tích phân nhất định.

Để làm chủ thành công tài liệu, bạn phải:

1) Hiểu được tích phân bất định ít nhất ở trình độ trung cấp. Vì vậy, đầu tiên người giả nên đọc bài học Không.

Trên thực tế, để tìm diện tích của hình \ u200b \ u200ba, bạn không cần quá nhiều kiến thức về tích phân xác định và không xác định. Nhiệm vụ "tính diện tích sử dụng một tích phân xác định" luôn liên quan đến việc xây dựng một bản vẽ, vì vậy kiến thức và kỹ năng vẽ của bạn sẽ là một vấn đề phù hợp hơn nhiều. Về vấn đề này, rất hữu ích khi làm mới bộ nhớ về các đồ thị của các hàm cơ bản chính, và ở mức tối thiểu, để có thể xây dựng một đường thẳng, một parabol và một hyperbol. Điều này có thể được thực hiện (nhiều người cần) với sự trợ giúp của tài liệu phương pháp luận và một bài báo về các phép biến đổi hình học của đồ thị.

Thực ra mọi người đã quen thuộc với bài toán tìm diện tích bằng tích phân xác định từ khi còn đi học, và chúng ta sẽ đi trước một chút về chương trình học ở trường. Bài báo này có thể hoàn toàn không tồn tại, nhưng thực tế là vấn đề xảy ra với 99 trường hợp trong số 100 trường hợp, khi một sinh viên bị dày vò bởi một tòa tháp đáng ghét với sự nhiệt tình thông thạo một khóa học về toán cao hơn.

Các tài liệu của hội thảo này được trình bày đơn giản, chi tiết và ít lý thuyết.

Hãy bắt đầu với một hình thang cong.

Hình thang congđược gọi là hình phẳng giới hạn bởi trục, các đường thẳng và đồ thị của hàm số liên tục trên đoạn không đổi dấu trên khoảng này. Hãy để hình này được định vị không ít hơn abscissa:

sau đó diện tích của hình thang cong về mặt số học bằng một tích phân nào đó. Bất kỳ tích phân xác định nào (tồn tại) đều có ý nghĩa hình học rất tốt. Vào bài học Tích phân xác định. Ví dụ giải pháp Tôi đã nói rằng một tích phân xác định là một số. Và bây giờ là lúc để nêu một sự thật hữu ích khác. Theo quan điểm của hình học, tích phân xác định là DIỆN TÍCH.

Đó là, tích phân xác định (nếu nó tồn tại) về mặt hình học tương ứng với diện tích của một số hình. Ví dụ, hãy xem xét tích phân xác định. Tích phân xác định một đường cong trên mặt phẳng nằm phía trên trục (những người muốn có thể hoàn thành bản vẽ), và tích phân xác định chính nó bằng số bằng diện tích của hình thang cong tương ứng.

ví dụ 1

Đây là một tuyên bố nhiệm vụ điển hình. Thời điểm quyết định đầu tiên và quan trọng nhất là việc xây dựng bản vẽ. Hơn nữa, bản vẽ phải được xây dựng BÊN PHẢI.

Khi xây dựng một bản thiết kế, tôi khuyên bạn nên theo thứ tự sau: Đầu tiên tốt hơn là nên xây dựng tất cả các dòng (nếu có) và chỉ sau- parabol, hypebol, đồ thị của các hàm số khác. Đồ thị hàm số có lợi hơn khi xây dựng từng điểm, với kỹ thuật xây dựng theo chiều kim điểm có thể được tìm thấy trong tài liệu tham khảo Đồ thị và tính chất của các hàm cơ bản. Ở đó, bạn cũng có thể tìm thấy tài liệu rất hữu ích liên quan đến bài học của chúng tôi - cách nhanh chóng xây dựng một parabol.

Trong vấn đề này, giải pháp có thể trông như thế này.
Hãy vẽ một bản vẽ (lưu ý rằng phương trình xác định trục):

Tôi sẽ không tạo ra một hình thang cong, rõ ràng là chúng ta đang nói về lĩnh vực nào ở đây. Giải pháp tiếp tục như thế này:

Trên đoạn, đồ thị của hàm số có vị trí qua trục, đó là lý do tại sao:

Câu trả lời:

Ai gặp khó khăn trong việc tính tích phân xác định và áp dụng công thức Newton-Leibniz , tham khảo bài giảng Tích phân xác định. Ví dụ giải pháp.

Sau khi hoàn thành nhiệm vụ, việc nhìn vào bản vẽ và tìm ra câu trả lời có phải là thật hay không luôn hữu ích. Trong trường hợp này, “bằng mắt thường” chúng tôi đếm số ô trong hình vẽ - khoảng 9 ô sẽ được gõ, có vẻ đúng. Rõ ràng là nếu chúng ta có, giả sử, câu trả lời: 20 đơn vị vuông, thì rõ ràng, một sai lầm đã được thực hiện ở đâu đó - 20 ô rõ ràng không phù hợp với hình được đề cập, nhiều nhất là một tá. Nếu câu trả lời là phủ định, thì nhiệm vụ đó cũng đã được giải quyết không chính xác.

Ví dụ 2

Tính diện tích của hình bị giới hạn bởi các đường và trục

Đây là một ví dụ do-it-yourself. Có đầy đủ lời giải và đáp án cuối bài.

Phải làm gì nếu hình thang cong nằm dưới trục?

Ví dụ 3

Tính diện tích của hình giới hạn bởi đường thẳng và trục tọa độ.

Dung dịch: Hãy vẽ một bức tranh:

Nêu được hình thang cong dưới trục(hoặc ít nhất không cao hơn trục cho trước), thì diện tích của nó có thể được tìm thấy bằng công thức:
Trong trường hợp này:

Chú ý! Đừng nhầm lẫn giữa hai loại nhiệm vụ:

1) Nếu bạn được yêu cầu giải chỉ một tích phân xác định mà không có bất kỳ ý nghĩa hình học nào, thì nó có thể là số âm.

Ví dụ 4

Tìm diện tích của một hình phẳng giới hạn bởi các đường,.

Dung dịch: Đầu tiên bạn cần hoàn thiện bản vẽ. Nói chung, khi xây dựng một bản vẽ trong các bài toán về diện tích, chúng ta quan tâm nhất đến các giao điểm của các đường. Hãy tìm giao điểm của parabol và đường thẳng. Điều này có thể được thực hiện theo hai cách. Cách đầu tiên là phân tích. Chúng tôi giải phương trình:

Do đó, giới hạn dưới của tích hợp, giới hạn trên của tích hợp.
Tốt nhất là không nên sử dụng phương pháp này nếu có thể..

Sẽ có lợi hơn nhiều và nhanh hơn nếu xây dựng các đường từng điểm một, trong khi các giới hạn của việc tích hợp được tìm ra như thể “một mình”. Kỹ thuật xây dựng từng điểm cho các biểu đồ khác nhau được thảo luận chi tiết trong phần trợ giúp Đồ thị và tính chất của các hàm cơ bản. Tuy nhiên, phương pháp phân tích để tìm các giới hạn đôi khi vẫn phải được sử dụng nếu, ví dụ, đồ thị đủ lớn hoặc cấu trúc phân luồng không tiết lộ các giới hạn của tích phân (chúng có thể là phân số hoặc không hợp lý). Và chúng tôi cũng sẽ xem xét một ví dụ như vậy.

Chúng ta quay trở lại nhiệm vụ của mình: đầu tiên sẽ hợp lý hơn khi dựng một đường thẳng và sau đó chỉ là một parabol. Hãy vẽ một bức tranh:

Tôi nhắc lại rằng với cấu trúc theo chiều điểm, các giới hạn của tích hợp thường được tìm ra "tự động" nhất.

Và bây giờ là công thức làm việc: Nếu có một số hàm liên tục trên khoảng lớn hơn hoặc bằng một hàm số liên tục, thì diện tích của hình giới hạn bởi đồ thị của các hàm số và đường thẳng này, có thể được tìm thấy bằng công thức:

Ở đây, không còn cần thiết phải nghĩ về vị trí của hình - phía trên trục hoặc bên dưới trục, và nói một cách đại khái, vấn đề quan trọng là biểu đồ nào TRÊN(so với một biểu đồ khác), và cái nào ở DƯỚI ĐÂY.

Trong ví dụ đang xem xét, rõ ràng là trên đoạn thẳng, parabol nằm trên đường thẳng, và do đó cần phải trừ đi

Việc hoàn thành giải pháp có thể trông như thế này:

Hình mong muốn được giới hạn bởi một parabol từ bên trên và một đường thẳng từ bên dưới.
Trên phân đoạn, theo công thức tương ứng:

Câu trả lời:

Thực tế, công thức tính diện tích hình thang cong trong nửa mặt phẳng dưới (xem ví dụ đơn giản số 3) là một trường hợp đặc biệt của công thức . Vì trục được cho bởi phương trình và đồ thị của hàm có vị trí không cao hơn trục, sau đó

Và bây giờ là một vài ví dụ cho một quyết định độc lập

Ví dụ 5

Ví dụ 6

Tìm diện tích của hình được bao bởi các đường,.

Trong quá trình giải các bài toán tính diện tích bằng một tích phân nào đó, đôi khi vẫn xảy ra một sự cố buồn cười. Bản vẽ đã được thực hiện chính xác, các tính toán chính xác, nhưng do không chú ý ... tìm thấy diện tích của hình sai, đó là cách mà người hầu ngoan ngoãn của bạn đã làm hỏng nhiều lần. Đây là một trường hợp thực tế:

Ví dụ 7

Tính diện tích của hình được giới hạn bởi các đường,,,.

Dung dịch: Hãy vẽ trước:

… Eh, bản vẽ thì tào lao, nhưng mọi thứ có vẻ dễ đọc.

Hình có diện tích chúng ta cần tìm được tô màu xanh lam.(xem kỹ tình trạng - con số có hạn!). Nhưng trong thực tế, do không chú ý, "trục trặc" thường xảy ra, bạn cần phải tìm vùng của \ u200b \ u200b của hình được tô màu xanh lá cây!

Ví dụ này cũng hữu ích ở chỗ, diện tích \ u200b \ u200b của hình được tính bằng cách sử dụng hai tích phân xác định. Có thật không:

1) Trên đoạn thẳng trên trục có đồ thị là đường thẳng;

2) Trên đoạn thẳng trên trục là đồ thị hyperbol.

Rõ ràng là các khu vực có thể (và nên) được thêm vào, do đó:

Câu trả lời:

Hãy chuyển sang một nhiệm vụ có ý nghĩa hơn.

Ví dụ 8

Tính diện tích của một hình được giới hạn bởi các đường,
Hãy trình bày các phương trình ở dạng "trường" và thực hiện vẽ từng điểm:

Có thể thấy từ hình vẽ rằng giới hạn trên của chúng ta là "tốt" :.
Nhưng giới hạn dưới là gì? Rõ ràng đây không phải là một số nguyên, nhưng là gì? Có lẽ ? Nhưng đâu là đảm bảo rằng bản vẽ được thực hiện với độ chính xác hoàn hảo, nó có thể thành ra điều đó. Hoặc root. Điều gì sẽ xảy ra nếu chúng ta không hiểu được biểu đồ đúng?

Trong những trường hợp như vậy, người ta phải dành thêm thời gian và tinh chỉnh các giới hạn của tích hợp một cách phân tích.

Hãy tìm giao điểm của đường thẳng và parabol.
Để làm điều này, chúng tôi giải phương trình:

,

Có thật không, .

Các giải pháp xa hơn là nhỏ, điều chính là không bị nhầm lẫn trong các thay thế và các dấu hiệu, các phép tính ở đây không phải là dễ dàng nhất.

Trên phân khúc , theo công thức tương ứng:

Câu trả lời:

Vâng, trong phần kết của bài học, chúng ta sẽ xem xét hai nhiệm vụ khó hơn.

Ví dụ 9

Tính diện tích của hình được giới hạn bởi các đường,

Dung dịch: Vẽ hình này trong hình vẽ.

Thiệt là quên ký lịch rồi làm lại hình, tiếc hùi hụi không hotz. Không phải bản vẽ, tóm lại là hôm nay là ngày =)

Đối với việc xây dựng từng điểm, cần phải biết sự xuất hiện của hình sin (và nói chung, rất hữu ích khi biết đồ thị của tất cả các hàm cơ bản), cũng như một số giá trị sin, chúng có thể được tìm thấy trong bảng lượng giác. Trong một số trường hợp (như trường hợp này), cho phép xây dựng một bản vẽ giản đồ, trên đó các đồ thị và giới hạn tích phân phải được hiển thị một cách chính xác về nguyên tắc.

Không có vấn đề gì với các giới hạn tích hợp ở đây, chúng tuân theo trực tiếp điều kiện: - "x" thay đổi từ 0 thành "pi". Chúng tôi đưa ra một quyết định khác:

Trên đoạn thẳng, đồ thị của hàm số nằm trên trục nên:

Trong bài này, bạn sẽ học cách tìm diện tích của một hình bị giới hạn bởi các đường bằng cách sử dụng các phép tính tích phân. Lần đầu tiên chúng ta bắt gặp việc xây dựng một bài toán như vậy ở trường phổ thông, khi việc nghiên cứu một tích phân nào đó vừa hoàn thành và là lúc bắt đầu giải thích hình học cho những kiến thức đã học được trong thực tế.

Vì vậy, điều gì là cần thiết để giải thành công bài toán tìm diện tích của hình \ u200b \ u200ba bằng cách sử dụng tích phân:

Có khả năng vẽ chính xác bản vẽ;
Khả năng giải một tích phân xác định bằng cách sử dụng công thức Newton-Leibniz nổi tiếng;
Khả năng "nhìn thấy" một giải pháp có lợi hơn - tức là để hiểu làm thế nào trong trường hợp này hoặc trường hợp đó sẽ thuận tiện hơn để thực hiện tích hợp? Dọc theo trục x (OX) hay trục y (OY)?
Chà, ở đâu mà không có phép tính chính xác?) Điều này bao gồm việc hiểu cách giải loại tích phân khác và các phép tính số chính xác.

Thuật toán giải bài toán tính diện tích hình giới hạn bởi đường thẳng:

1. Chúng tôi xây dựng một bản vẽ. Đó là khuyến khích để làm điều này trên một mảnh giấy trong lồng, trên quy mô lớn. Chúng tôi ký tên bằng bút chì trên mỗi đồ thị tên của hàm này. Chữ ký của đồ thị chỉ được thực hiện để thuận tiện cho các tính toán tiếp theo. Sau khi nhận được biểu đồ của hình mong muốn, trong hầu hết các trường hợp, nó sẽ rõ ràng ngay lập tức giới hạn tích hợp nào sẽ được sử dụng. Do đó, chúng tôi giải quyết vấn đề bằng đồ thị. Tuy nhiên, nó sẽ xảy ra rằng các giá trị của các giới hạn là phân số hoặc không hợp lý. Do đó, bạn có thể tính toán bổ sung, chuyển sang bước hai.

2. Nếu các giới hạn tích phân không được đặt rõ ràng, thì chúng tôi tìm các giao điểm của các đồ thị với nhau và xem liệu giải pháp đồ họa của chúng tôi có trùng với giải pháp phân tích hay không.

3. Tiếp theo, bạn cần phân tích bản vẽ. Tùy thuộc vào cách định vị đồ thị của hàm số, có những cách tiếp cận khác nhau để tìm diện tích của \ u200b \ u200b hình vẽ. Hãy xem xét các ví dụ khác nhau về việc tìm diện tích của một hình bằng cách sử dụng tích phân.

3.1. Phiên bản cổ điển nhất và đơn giản nhất của bài toán là khi bạn cần tìm diện tích của hình thang cong. Hình thang cong là gì? Đây là một hình phẳng giới hạn bởi trục x (y = 0), dài x = a, x = b và bất kỳ đường cong nào liên tục trong khoảng thời gian từ một trước b. Đồng thời, hình này không âm và nằm không thấp hơn trục x. Trong trường hợp này, diện tích của hình thang cong bằng số bằng tích phân xác định được tính bằng công thức Newton-Leibniz:

ví dụ 1 y = x2 - 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Những đường nào xác định hình vẽ? Chúng tôi có một hình parabol y = x2 - 3x + 3, nằm trên trục OH, nó không âm, bởi vì tất cả các điểm của parabol này đều dương. Tiếp theo, các đường thẳng đã cho x = 1 và x = 3 chạy song song với trục OU, là các đường giới hạn của hình bên trái và bên phải. Tốt y = 0, cô ấy là trục x, giới hạn hình bên dưới. Hình kết quả được tô bóng, như trong hình bên trái. Trong trường hợp này, bạn có thể ngay lập tức bắt đầu giải quyết vấn đề. Trước chúng ta là một ví dụ đơn giản về hình thang cong, sau đó chúng ta giải bằng công thức Newton-Leibniz.

3.2. Trong đoạn 3.1 trước, trường hợp đã được phân tích khi hình thang cong nằm phía trên trục x. Bây giờ hãy xem xét trường hợp khi các điều kiện của bài toán là như nhau, ngoại trừ hàm số nằm dưới trục x. Một dấu trừ được thêm vào công thức Newton-Leibniz tiêu chuẩn. Làm thế nào để giải quyết một vấn đề như vậy, chúng tôi sẽ xem xét thêm.

Ví dụ 2 . Tính diện tích của một hình được giới hạn bởi các đường y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

Trong ví dụ này, chúng ta có một parabol y = x2 + 6x + 2, bắt nguồn từ dưới trục OH, dài x = -4, x = -1, y = 0. Nơi đây y = 0 giới hạn con số mong muốn từ phía trên. Thẳng thắn x = -4 và x = -1đây là những ranh giới mà trong đó tích phân xác định sẽ được tính. Nguyên tắc giải bài toán tìm diện tích của hình vẽ \ u200b \ u200ba gần như hoàn toàn trùng khớp với ví dụ số 1. Chỉ khác là hàm số đã cho là không dương và mọi vật cũng liên tục trên khoảng [-4; -1] . Không tích cực có nghĩa là gì? Như hình bên có thể thấy, hình nằm trong x cho trước có tọa độ "âm" độc quyền, đây là điều chúng ta cần xem và ghi nhớ khi giải bài toán. Chúng tôi đang tìm diện tích của \ u200b \ u200 hình bằng cách sử dụng công thức Newton-Leibniz, chỉ với một dấu trừ ở đầu.

Bài báo chưa hoàn thành.