ልዩ እኩልታዎች በልዩ የቀኝ ጎን ጠረጴዛ። ቀጥተኛ ያልሆነ የሁለተኛ ደረጃ ልዩነት እኩልታዎች ከቋሚ ቅንጅቶች ጋር

ተመጣጣኝ ያልሆነ የሁለተኛ ደረጃ ልዩነት እኩልታዎች ከቋሚ ኮፊሸንስ ጋር

የአጠቃላይ መፍትሄ መዋቅር

የዚህ ዓይነቱ ቀጥተኛ ተመጣጣኝ ያልሆነ እኩልታ ቅፅ አለው፡-

የት ገጽ, ቅ- ቋሚ ቁጥሮች (ሁለቱም እውነተኛ እና ውስብስብ ሊሆኑ ይችላሉ). ለእያንዳንዱ እንደዚህ አይነት እኩልታ አንድ ሰው ተጓዳኝ መፃፍ ይችላል ተመሳሳይነት ያለው እኩልታ:

ቲዎረም: የኢ-ተመሳሳይ እኩልነት አጠቃላይ መፍትሄ የአጠቃላይ መፍትሄ ድምር ነው y 0 (x) የሚዛመደው ተመሳሳይነት ያለው እኩልታ እና የተለየ መፍትሄ y 1 (x) የማይመሳሰል እኩልታ፡-

ከዚህ በታች ተመሳሳይ ያልሆኑ የልዩነት እኩልታዎችን ለመፍታት ሁለት ዘዴዎችን እንመለከታለን።

የማያቋርጥ የመለዋወጥ ዘዴ

አጠቃላይ መፍትሔ ከሆነ yከተዛማጅ ተመሳሳይነት ያለው እኩልታ 0 ታውቋል ፣ ከዚያ የኢ-ሆሞጂን አጠቃላይ መፍትሄን በመጠቀም ማግኘት ይቻላል ። የማያቋርጥ ልዩነት ዘዴ. የሁለተኛ ደረጃ ተመሳሳይነት ያለው ልዩነት እኩልታ አጠቃላይ መፍትሄ ቅጹን ይኑርዎት፡-

ከቋሚነት ይልቅ ሲ 1 እና ሲ 2 ረዳት ተግባራትን እንመለከታለን ሲ 1 (x) እና ሲ 2 (x). እንደ መፍትሄው እነዚህን ተግባራት እንፈልጋለን

ከቀኝ እጅ ጋር ተመጣጣኝ ያልሆነውን እኩልታ ያሟላል። ረ(x). ያልታወቁ ባህሪያት ሲ 1 (x) እና ሲ 2 (x) ከሁለት እኩልታዎች ስርዓት ይወሰናሉ.

ያልተወሰነ የቅንጅቶች ዘዴ

ትክክለኛው ክፍል ረ(x) የማይመሳሰል ልዩነት እኩልታ ብዙ ጊዜ ብዙ ቁጥር ያለው፣ ገላጭ ወይም ትሪግኖሜትሪክ ተግባር ወይም አንዳንድ የእነዚህ ተግባራት ጥምረት ነው። በዚህ ሁኔታ, በመጠቀም መፍትሄ ለማግኘት የበለጠ አመቺ ነው ያልተረጋገጡ ቅንጅቶች ዘዴ. ይህ ዘዴ የሚሠራው በቀኝ በኩል ለተወሰኑ ተግባራት ብቻ እንደሆነ አፅንዖት እንሰጣለን, ለምሳሌ

በሁለቱም ሁኔታዎች የአንድ የተወሰነ መፍትሄ ምርጫ ከትክክለኛው የቀኝ ጎን መዋቅር ጋር መዛመድ አለበት-inhomogeneous ልዩነት እኩልነት. በቁጥር 1, ቁጥር ከሆነ α በገለፃው ውስጥ ያለው ተግባር ከባህሪው እኩልታ ሥር ጋር ይዛመዳል ፣ ከዚያ ልዩ መፍትሄው ተጨማሪ ነገር ይይዛል። x ኤስ፣ የት ኤስ- የስር መብዛት α በባህሪው እኩልታ. ቁጥር 2 ከሆነ α + βiከባህሪው እኩልታ ሥር ጋር ይዛመዳል ፣ ከዚያ የልዩ መፍትሄ መግለጫው ተጨማሪ ነገር ይይዛል x. ያልታወቁ አሃዞችን ለአንድ የተወሰነ መፍትሄ የተገኘውን አገላለጽ ወደ መጀመሪያው ተመሳሳይ ያልሆነ ልዩነት እኩልነት በመተካት ሊታወቅ ይችላል።

የሱፐር አቀማመጥ መርህ

ተመጣጣኝ ያልሆነ እኩልታ በቀኝ በኩል ከሆነ መጠንየቅጹ በርካታ ተግባራት

ከዚያ የልዩነት እኩልታ ልዩ መፍትሄ በቀኝ በኩል ለእያንዳንዱ ቃል በተናጠል የተገነቡ ልዩ መፍትሄዎች ድምር ይሆናል።

ምሳሌ 1

የልዩነት እኩልታ ይፍቱ y"" + y= ኃጢአት (2 x).

መፍትሄ።

መጀመሪያ ተጓዳኝ ተመሳሳይነት ያለው እኩልታ እንፈታለን። y"" + y= 0. በዚህ ሁኔታ, የባህሪው እኩልታ ሥሮች ሙሉ በሙሉ ምናባዊ ናቸው.

ስለዚህ, ተመሳሳይነት ያለው እኩልታ አጠቃላይ መፍትሄ የሚሰጠው በ

እንደገና ወደ ተመሳሳይነት ወደሌለው እኩልታ እንመለስ። መፍትሄውን በቅጹ ውስጥ እንፈልገዋለን

የቋሚዎች ልዩነት ዘዴን በመጠቀም. ተግባራት ሲ 1 (x) እና ሲ 2 (x) ከሚከተለው የእኩልታዎች ስርዓት ሊገኝ ይችላል፡-

የመነጩን እንገልፃለን ሲ 1 " (x) ከመጀመሪያው እኩልታ፡-

በሁለተኛው እኩልዮሽ ውስጥ በመተካት ተዋጽኦውን እናገኛለን ሲ 2 " (x):

ስለዚህም ይከተላል

ለተዋጽኦዎች መግለጫዎችን በማዋሃድ ላይ ሲ 1 " (x) እና ሲ 2 " (x), እናገኛለን:

የት ሀ 1 , ሀ 2 - የውህደት ቋሚዎች. አሁን የተገኙትን ተግባራት እንተካለን ሲ 1 (x) እና ሲ 2 (x) ወደ ቀመር ለ y 1 (x) እና ተመሳሳይ ያልሆነውን እኩልታ አጠቃላይ መፍትሄ ይፃፉ፡-

ምሳሌ 2

ስለ እኩልታው አጠቃላይ መፍትሄ ይፈልጉ y"" + y" −6y = 36x.

መፍትሄ።

ላልተወሰነ የቁጥሮች ዘዴ እንጠቀም። የተሰጠው እኩልታ የቀኝ ጎን ቀጥተኛ ተግባር ነው። ረ(x)= መጥረቢያ + b. ስለዚህ, በቅጹ ውስጥ የተለየ መፍትሄ እንፈልጋለን

ተዋጽኦዎቹ፡-

ይህንን ወደ ልዩነት እኩልነት በመተካት የሚከተለውን እናገኛለን፡-

የመጨረሻው እኩልታ ማንነት ነው፣ ማለትም፣ ለሁሉም የሚሰራ ነው። x, ስለዚህ የቃላቶቹን ጥምርታ ከተመሳሳይ ኃይሎች ጋር እናመሳሰለዋለን xበግራ እና በቀኝ በኩል;

ከተፈጠረው ስርዓት እኛ እናገኛለን- ሀ = −6, ለ= -1. በውጤቱም, ልዩ መፍትሄው በቅጹ ውስጥ ተጽፏል

አሁን ተመሳሳይነት ያለው ልዩነት እኩልታ አጠቃላይ መፍትሄን እንፈልግ። የረዳት ባህሪ እኩልታ ሥሮቹን እናሰላለን-

ስለዚህ ፣ የተዛማጅ ተመሳሳይነት ያለው እኩልታ አጠቃላይ መፍትሄ ቅጹ አለው-

ስለዚህ, የዋናው ኢ-ተመጣጣኝ እኩልታ አጠቃላይ መፍትሄ በቀመርው ተገልጿል

የ DE አጠቃላይ ውህደት

የልዩነት እኩልታ ይፍቱ

ነገር ግን የሚያስቅው ነገር መልሱ አስቀድሞ የታወቀ ነው:, በትክክል, እኛ ደግሞ የማያቋርጥ መጨመር አለብን: አጠቃላይ ውህደት ለልዩነት እኩልነት መፍትሄ ነው.

የዘፈቀደ ቋሚዎች የመለዋወጥ ዘዴ. የመፍትሄ ምሳሌዎች

የዘፈቀደ ቋሚዎች የመለዋወጥ ዘዴ ተመሳሳይነት የሌላቸውን ልዩነቶችን ለመፍታት ጥቅም ላይ ይውላል። ይህ ትምህርት ቀደም ሲል ብዙ ወይም ባነሰ ርእሱን በደንብ ለሚያውቁ ተማሪዎች የታሰበ ነው። ከርቀት መቆጣጠሪያው ጋር ለመተዋወቅ ገና ከጀመርክ, ማለትም. የሻይ ማንኪያ ከሆንክ ከመጀመሪያው ትምህርት እንድትጀምር እመክራለሁ። የመጀመሪያ ትዕዛዝ ልዩነት እኩልታዎች. የመፍትሄ ምሳሌዎች. እና አስቀድመው እየጨረሱ ከሆነ, እባክዎን ዘዴው አስቸጋሪ ነው የሚለውን ሊቻል የሚችለውን ቅድመ-ግምት ያስወግዱ. ምክንያቱም እሱ ቀላል ነው.

የዘፈቀደ ቋሚዎች የመለዋወጥ ዘዴ በየትኛው ሁኔታዎች ጥቅም ላይ ይውላል?

1) የዘፈቀደ ቋሚ የመለዋወጥ ዘዴን ለመፍታት ጥቅም ላይ ሊውል ይችላል የ 1 ኛ ቅደም ተከተል መስመራዊ ተመጣጣኝ ያልሆነ DE. እኩልታው የመጀመሪያው ቅደም ተከተል ስለሆነ, ከዚያም ቋሚ (ቋሚ) እንዲሁ አንድ ነው.

2) የዘፈቀደ ቋሚዎችን የመለዋወጥ ዘዴ አንዳንዶቹን ለመፍታት ጥቅም ላይ ይውላል የሁለተኛው ቅደም ተከተል ቀጥተኛ ያልሆነ እኩልታዎች. እዚህ ሁለት ቋሚዎች (ቋሚዎች) ይለያያሉ.

ትምህርቱ ሁለት አንቀጾችን ይይዛል ብሎ መገመት ምክንያታዊ ነው። ይህንን ሀሳብ ጻፍኩ እና ለ10 ደቂቃ ያህል ወደ ተግባራዊ ምሳሌዎች ለስላሳ ሽግግር ሌላ ምን ብልጥ ብልግና እንደምጨምር እያሰብኩ ነበር። ነገር ግን በሆነ ምክንያት ከበዓል በኋላ ምንም ሀሳብ የለም, ምንም እንኳን እኔ ምንም አላግባብም ባይመስልም. ስለዚህ በቀጥታ ወደ መጀመሪያው አንቀጽ እንዝለል።

የዘፈቀደ ቋሚ ልዩነት ዘዴ ለቀጥታ ተመጣጣኝ ያልሆነ የመጀመሪያ ደረጃ እኩልታ

የዘፈቀደ ቋሚ የመለዋወጥ ዘዴን ከመመልከትዎ በፊት ከጽሑፉ ጋር በደንብ መተዋወቅ ይመከራል ። የመጀመሪያው ቅደም ተከተል የመስመር ልዩነት እኩልታዎች. በዚያ ትምህርት ውስጥ ተለማምደናል ለመፍታት የመጀመሪያው መንገድየ 1 ኛ ቅደም ተከተል ተመጣጣኝ ያልሆነ DE። ይህ የመጀመሪያ መፍትሄ, አስታውሳችኋለሁ, ይባላል የመተኪያ ዘዴወይም የበርኑሊ ዘዴ(መምታታት የለበትም የቤርኑሊ እኩልታ!!!)

አሁን እንመለከታለን ለመፍታት ሁለተኛው መንገድ- የዘፈቀደ ቋሚ የመለዋወጥ ዘዴ። ሦስት ምሳሌዎችን ብቻ እሰጣለሁ, እና ከላይ ካለው ትምህርት እወስዳቸዋለሁ. ለምን ጥቂቶች ናቸው? ምክንያቱም በእውነቱ በሁለተኛው መንገድ መፍትሄው በመጀመሪያው መንገድ ከመፍትሔው ጋር በጣም ተመሳሳይ ይሆናል. በተጨማሪም ፣ እንደ እኔ ምልከታ ፣ የዘፈቀደ ቋሚዎች የመለዋወጥ ዘዴ ከመተካት ዘዴ ያነሰ ጥቅም ላይ ይውላል።

ምሳሌ 1

የልዩነት እኩልታ አጠቃላይ መፍትሄን ያግኙ (ዲፍፈር ከትምህርቱ ምሳሌ ቁጥር 2 የ 1 ኛ ቅደም ተከተል መስመራዊ ተመጣጣኝ ያልሆነ DE)

መፍትሄ፡-ይህ እኩልነት ቀጥተኛ ያልሆነ እና የሚታወቅ ቅጽ አለው፡-

በመጀመሪያ ደረጃ, ቀለል ያለ እኩልታን መፍታት አስፈላጊ ነው: ማለትም, እኛ በሞኝነት ትክክለኛውን ጎን እንደገና እናስጀምራለን - በምትኩ ዜሮን እንጽፋለን. የምደውለው እኩልታ ረዳት እኩልታ.

በዚህ ምሳሌ ውስጥ የሚከተለውን ረዳት እኩልታ መፍታት ያስፈልግዎታል።

ከእኛ በፊት ሊነጣጠል የሚችል እኩልታ, መፍትሄው (ተስፋ አደርጋለሁ) ከእንግዲህ ለእርስዎ አስቸጋሪ አይደለም:

ስለዚህ: የረዳት እኩልታ አጠቃላይ መፍትሄ ነው.

በሁለተኛው ደረጃ መተካትየአንዳንዶቹ ቋሚ ገናበ"x" ላይ የሚወሰን ያልታወቀ ተግባር፡-

ስለዚህ ዘዴው ስም - እንለዋወጣለን ቋሚ . በአማራጭ፣ ቋሚው አሁን ማግኘት ያለብን አንዳንድ ተግባራት ሊሆን ይችላል።

አት የመጀመሪያተመሳሳይ ያልሆነ እኩልታ ፣ ምትክ እንሰራለን-

በቀመር ውስጥ ምትክ፡-

የቁጥጥር ጊዜ - በግራ በኩል ያሉት ሁለቱ ቃላት ይሰርዛሉ. ይህ ካልሆነ, ከላይ ያለውን ስህተት መፈለግ አለብዎት.

በመተካቱ ምክንያት, ከተነጣጠሉ ተለዋዋጮች ጋር እኩልነት ተገኝቷል. ተለዋዋጮችን ይለያዩ እና ያዋህዱ።

እንዴት ያለ በረከት ነው፣ ገላጭዎቹም እየቀነሱ ነው፡

ለተገኘው ተግባር "የተለመደ" ቋሚ እንጨምራለን-

በመጨረሻው ደረጃ ላይ የእኛን ምትክ እናስታውሳለን-

ተግባር አሁን ተገኝቷል!

ስለዚህ አጠቃላይ መፍትሔው የሚከተለው ነው-

መልስ፡-የጋራ ውሳኔ;

ሁለቱን መፍትሄዎች ካተሙ, በሁለቱም ሁኔታዎች ውስጥ አንድ አይነት ማቀፊያዎችን እንዳገኘን በቀላሉ ያስተውላሉ. ብቸኛው ልዩነት የመፍትሄው ስልተ ቀመር ነው.

አሁን ይበልጥ የተወሳሰበ ነገር፣ በሁለተኛው ምሳሌ ላይም አስተያየት እሰጣለሁ፡-

ምሳሌ 2

የልዩነት እኩልታ አጠቃላይ መፍትሄን ያግኙ (ዲፍፈር ከትምህርቱ ምሳሌ ቁጥር 8 የ 1 ኛ ቅደም ተከተል መስመራዊ ተመጣጣኝ ያልሆነ DE)

መፍትሄ፡-ቀመርን ወደ ቅጹ እናምጣው፡-

የቀኝ ጎን ወደ ዜሮ ያቀናብሩ እና ረዳት እኩልታውን ይፍቱ፡-

ተለዋዋጮች እና አዋህድ፡ አጠቃላይ የረዳት እኩልታ መፍትሄ፡

ተመሳሳይነት በሌለው እኩልታ ውስጥ፣ መተኪያውን እናደርጋለን፡-

በምርት ልዩነት ህግ መሰረት:

ተካ እና ወደ መጀመሪያው ተመሳሳይነት የለሽ እኩልታ፡-

በግራ በኩል ያሉት ሁለቱ ቃላት ይሰረዛሉ፣ ይህም ማለት በትክክለኛው መንገድ ላይ ነን ማለት ነው፡

በክፍሎች እንዋሃዳለን. በክፍሎች ለመዋሃድ ቀመር የተገኘ ጣፋጭ ደብዳቤ አስቀድሞ በመፍትሔው ውስጥ ተካትቷል ፣ ስለሆነም እኛ ለምሳሌ “a” እና “be” የሚሉትን ፊደላት እንጠቀማለን ።

በመጨረሻ፡-

አሁን መተኪያውን እንመልከት፡-

መልስ፡-የጋራ ውሳኔ;

የዘፈቀደ ቋሚዎች የመለዋወጥ ዘዴ ለመስመራዊ ተመጣጣኝ ያልሆነ ሁለተኛ ቅደም ተከተል እኩልታ ከቋሚ ቅንጅቶች ጋር

ብዙውን ጊዜ አንድ ሰው ለሁለተኛ ደረጃ እኩልታ የዘፈቀደ ቋሚዎች የመለዋወጥ ዘዴ ቀላል ነገር አይደለም የሚለውን አስተያየት ሰምቷል. ግን የሚከተለውን እገምታለሁ-በጣም ምናልባትም ይህ ዘዴ በጣም የተለመደ ስላልሆነ ለብዙዎች አስቸጋሪ ይመስላል። ግን በእውነቱ ፣ ምንም ልዩ ችግሮች የሉም - የውሳኔው ሂደት ግልፅ ፣ ግልጽ እና ለመረዳት የሚቻል ነው። እና ቆንጆ።

ዘዴውን ለመቆጣጠር በቀኝ በኩል ባለው መልክ አንድ የተወሰነ መፍትሄ በመምረጥ የሁለተኛውን ቅደም ተከተል ተመሳሳይ ያልሆኑ እኩልታዎችን መፍታት መቻል ጥሩ ነው። ይህ ዘዴ በአንቀጹ ውስጥ በዝርዝር ተብራርቷል. የ 2 ኛ ቅደም ተከተል ተመጣጣኝ ያልሆነ DE. ሁለተኛ-ትዕዛዝ መስመራዊ ተመጣጣኝ ያልሆነ እኩልታ ከቋሚ መጋጠሚያዎች ጋር የሚከተለውን መልክ እንዳለው እናስታውሳለን።

ከላይ ባለው ትምህርት ውስጥ የተመለከተው የመምረጫ ዘዴ በተወሰኑ ጉዳዮች ላይ ብቻ ነው የሚሰራው, ፖሊኖሚሎች, ገላጭ, ሳይን, ኮሳይኖች በቀኝ በኩል ሲሆኑ. ነገር ግን በቀኝ በኩል ምን ማድረግ እንዳለበት, ለምሳሌ ክፍልፋይ, ሎጋሪዝም, ታንጀንት? በእንደዚህ ዓይነት ሁኔታ, የቋሚዎች መለዋወጥ ዘዴ ወደ ማዳን ይመጣል.

ምሳሌ 4

የሁለተኛ ደረጃ ልዩነት እኩልታ አጠቃላይ መፍትሄ ያግኙ

መፍትሄ፡-በዚህ ስሌት በቀኝ በኩል አንድ ክፍልፋይ አለ, ስለዚህ ወዲያውኑ አንድ የተወሰነ መፍትሄ የመምረጥ ዘዴ አይሰራም ማለት እንችላለን. የዘፈቀደ ቋሚዎችን የመለዋወጥ ዘዴን እንጠቀማለን.

ነጎድጓዳማ ዝናብን የሚያሳይ ምንም ነገር የለም ፣ የመፍትሄው መጀመሪያ በጣም የተለመደ ነው-

እንፈልግ የጋራ ውሳኔተዛማጅ ተመሳሳይነት ያለውእኩልታዎች

የባህሪውን እኩልታ እንጽፋለን እና እንፈታዋለን፡- - የተዋሃዱ ውስብስብ ሥሮች ይገኛሉ ፣ ስለሆነም አጠቃላይ መፍትሄው-

ለአጠቃላይ የመፍትሄው መዝገብ ትኩረት ይስጡ - ቅንፎች ካሉ, ከዚያም ይክፈቱዋቸው.

አሁን እንደ መጀመሪያው ቅደም ተከተል እኩልታ ተመሳሳይ ዘዴ እንሰራለን: ቋሚዎችን እንለዋወጣለን, በማይታወቁ ተግባራት እንተካቸዋለን. ያውና, ተመሳሳይነት የሌላቸው አጠቃላይ መፍትሄዎችበቅጹ ውስጥ እኩልታዎችን እንፈልጋለን፡-

የት - ገናየማይታወቁ ተግባራት.

የቆሻሻ መጣያ ይመስላል, አሁን ግን ሁሉንም ነገር እናስተካክላለን.

የተግባሮች መነሻዎች እንደ የማይታወቁ ሆነው ይሠራሉ. ግባችን ተዋጽኦዎችን ማግኘት ነው፣ እና የተገኙ ተዋጽኦዎች ሁለቱንም የስርዓቱን የመጀመሪያ እና ሁለተኛ እኩልታዎች ማሟላት አለባቸው።

"ጨዋታዎች" ከየት መጡ? ሽመላ ያመጣቸዋል። ከዚህ ቀደም የተገኘውን አጠቃላይ መፍትሄ እንመለከታለን እና እንጽፋለን-

ተዋጽኦዎችን እናገኝ፡-

በግራ በኩል ይስተናገዱ. በቀኝ በኩል ያለው ምንድን ነው?

የዋናው እኩልታ የቀኝ ጎን ነው፣ በዚህ ሁኔታ፡-

ይህ መጣጥፍ የሁለተኛው ቅደም ተከተል መስመራዊ ተመጣጣኝ ያልሆነ ልዩነት እኩልታዎችን በቋሚ ቅንጅቶች የመፍታትን ጥያቄ ያሳያል። ንድፈ ሃሳቡ ከተሰጡት ችግሮች ምሳሌዎች ጋር አብሮ ይወሰዳል. ለመረዳት የማይቻሉ ቃላትን ለመረዳት የመሠረታዊ ትርጓሜዎችን እና የልዩነት እኩልታዎች ጽንሰ-ሀሳቦችን ርዕስ መጥቀስ አስፈላጊ ነው።

የሁለተኛው ቅደም ተከተል መስመራዊ ልዩነት እኩልታ (LDE) ከቅጹ y "" + p y" + q y \u003d f (x) ቋሚ ቅንጅቶች ጋር ፣ p እና q የዘፈቀደ ቁጥሮች ሲሆኑ እና ያለው ተግባር f (x) እንደሆነ አስቡበት። በውህደት ክፍተት ላይ ቀጣይነት ያለው x .

ለ LIDE የአጠቃላይ የመፍትሄ ሃሳብ ቀረጻ ላይ እናልፍ።

Yandex.RTB R-A-339285-1

አጠቃላይ የመፍትሄ ሃሳብ ለ LDNU

ቲዎሪ 1

ቅጽ y (n) + f n - 1 (x) · y (n - 1) + ቅጽ y (n) + f n - 1 (x) · y (n - 1) + መካከል ያለውን ክፍተት x ላይ የሚገኘው አጠቃላይ መፍትሔ. . . + f 0 (x) y = f (x) ከተከታታይ ውህደት ውህዶች ጋር በ x ክፍተት f 0 (x)፣ f 1 (x)፣ . . , f n - 1 (x) እና ቀጣይነት ያለው ተግባር f (x) ከአጠቃላይ የመፍትሄው ድምር y 0 ድምር ጋር እኩል ነው, እሱም ከ LODE ጋር ይዛመዳል, እና የተወሰነ መፍትሄ y ~ , የመጀመሪያው ተመጣጣኝ ያልሆነ እኩልታ y = y 0 ነው. + y ~ ።

ይህ የሚያሳየው እንዲህ ዓይነቱ የሁለተኛ ደረጃ እኩልታ መፍትሄ y = y 0 + y ~ ቅጽ አለው. y 0ን ለማግኘት ስልተ ቀመር የሁለተኛው ቅደም ተከተል ከቋሚ ኮፊሸንስ ጋር ቀጥተኛ ተመሳሳይነት ያለው ልዩነት እኩልታዎች በሚለው መጣጥፍ ውስጥ ይታያል። ከዚያ በኋላ, ወደ y ~ ፍቺ መቀጠል አለበት.

ለ LIDE የተወሰነ የመፍትሄ ምርጫ የሚወሰነው በቀመርው በቀኝ በኩል ባለው የ f (x) ተግባር ዓይነት ላይ ነው። ይህንን ለማድረግ የሁለተኛው ቅደም ተከተል ቀጥተኛ ተመጣጣኝ ያልሆነ ልዩነት እኩልታዎች ከቋሚ ውህዶች ጋር መፍትሄዎችን በተናጠል ማጤን ያስፈልጋል።

f (x) የ nth ዲግሪ ፖሊኖሚል ነው ተብሎ ሲታሰብ f (x) = P n (x) ፣ የ LIDE የተለየ መፍትሄ የሚገኘው በቅጹ ቀመር ነው y ~ = Q n (x)። ) x γ፣ Q n (x) የዲግሪ n ብዙ ቁጥር የሆነበት፣ r የባህሪው እኩልታ ዜሮ ሥሮች ቁጥር ነው። የ y ~ ዋጋ የተለየ መፍትሄ ነው y ~ "" + p y ~ " + q y ~ = f (x) , ከዚያም የሚገኙትን ጥምርታዎች, እሱም በፖሊኖሚል ይገለጻል.
Q n (x)፣ ከእኩልነት y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) ያልተወሰነ የቁጥሮች ዘዴን በመጠቀም እናገኛለን።

ምሳሌ 1

Cauchy theorem y "" - 2 y" = x 2 + 1, y (0) = 2, y" (0) = 1 4 በመጠቀም አስላ.

መፍትሄ

በሌላ አነጋገር የሁለተኛው ቅደም ተከተል ቀጥተኛ ተመጣጣኝ ያልሆነ ልዩነት እኩልታ ወደ ተለየ መፍትሄ ማለፍ አስፈላጊ ነው ቋሚ ቅንጅቶች y "" - 2 y" = x 2 + 1, ይህም የተሰጡትን ሁኔታዎች y (0) = ያሟላል. 2 ፣ y" (0) = 1 4 ።

የአንድ ቀጥተኛ ያልሆነ እኩልታ አጠቃላይ መፍትሔ ከ y 0 ቀመር ጋር የሚዛመደው አጠቃላይ የመፍትሄ ድምር ወይም የተለየ የኢ-ተመሳሳይ እኩልታ y ~ ማለትም y = y 0 + y ~ ነው።

በመጀመሪያ፣ ለኤልኤንዲኢ አጠቃላይ መፍትሄ እንፈልግ፣ እና ከዚያ የተለየ።

ወደ y 0 ፍለጋ እንሂድ። የባህሪውን እኩልታ መፃፍ ሥሮቹን ለማግኘት ይረዳል. ያንን እናገኛለን

k 2 - 2 k \u003d 0 k (k - 2) \u003d 0 k 1 \u003d 0, k 2 \u003d 2

ሥሮቹ የተለያዩ እና እውነተኛ መሆናቸውን አግኝተናል። ስለዚህ, እንጽፋለን

y 0 \u003d C 1 e 0 x + C 2 e 2 x \u003d C 1 + C 2 e 2 x.

y ~ እንፈልግ። በተሰጠው እኩልታ የቀኝ ጎን የሁለተኛው ዲግሪ ፖሊኖሚል መሆኑን ማየት ይቻላል, ከዚያም ከሥሮቹ አንዱ ከዜሮ ጋር እኩል ነው. ከዚህ ተነስተናል ለ y ~ የተለየ መፍትሄ ይሆናል

y ~ = Q 2 (x) x γ \u003d (A x 2 + B x + C) x \u003d A x 3 + B x 2 + C x, እሴቶቹ \u200b\u200bof A, B, C ያልተገለጹ ጥራዞች ይውሰዱ.

ከ y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 እኩልነት እናገኛቸው።

ከዚያም የሚከተለውን እናገኛለን:

y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 (A x 3 + B x 2 + C x) "" - 2 (A x 3 + B x 2 + C x) " = x 2 + 1 3 A x 2 + 2 B x + C" - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 6 A x + 2 B - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 - 6 A x 2 + x (6 A - 4 B) + 2 B - 2 C = x 2 + 1

ኮፊፊሴፍቶችን ከተመሳሳይ ኤክስፔንቶች ጋር በማመሳሰል x, የመስመራዊ አገላለጾችን ስርዓት እናገኛለን - 6 A = 1 6 A - 4 B = 0 2 B - 2 C = 1 . በማናቸውም መንገዶች ስንፈታ ውህደቶቹን እናገኛለን እና የሚከተለውን እንጽፋለን-A \u003d - 1 6, B \u003d - 1 4, C \u003d - 3 4 እና y ~ \u003d A x 3 + B x 2 + C x \u003d - 1 6 x 3 - 1 4 x 2 - 3 4 x.

ይህ ግቤት የዋናው መስመራዊ ተመጣጣኝ ያልሆነ ሁለተኛ ደረጃ ልዩነት እኩልታ ከቋሚ ቅንጅቶች ጋር አጠቃላይ መፍትሄ ይባላል።

ሁኔታዎችን የሚያረካ የተለየ መፍትሄ ለማግኘት y (0) = 2, y "(0) = 1 4, እሴቶቹን መወሰን ያስፈልጋል. C1እና C2፣ በቅጹ y \u003d C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x እኩልነት ላይ የተመሠረተ።

ያንን እናገኛለን፡-

y (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x x = 0 = C 1 + C 2 y "(0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x "x = 0 = = 2 C 2 e 2 x - 1 2 x 2 + 1 2 x + 3 4 x = 0 = 2 C 2 - 3 4

እኛ ቅጽ C 1 + C 2 = 2 2 C 2 - 3 4 = 1 4, C 1 = 3 2, C 2 = 1 2 ቅጽ C 1 + C 2 = 1 4, ያለውን የውጤት ሥርዓት እኩልታ ጋር እንሰራለን.

Cauchy theorem በመተግበር, እኛ ያ አለን።

y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x = 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x

መልስ፡- 3 2 + 1 2 ሠ 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x.

ተግባር f (x) በዲግሪ n እና አርቢ ረ (x) = P n (x) e a x ያለው ፖሊኖሚል ምርት ሆኖ ሲወከል ፣ ከዚያ ከዚህ የምናገኘው የሁለተኛ ደረጃ LIDE የተለየ መፍትሄ ይሆናል ። የቅጹ እኩልነት y ~ = e a x Q n ( x) · x γ፣ Q n (x) የ nth ዲግሪ ብዙ ቁጥር ሲሆን r ደግሞ ከ α ጋር እኩል የሆነ የባህሪ እኩልታ ሥሮች ቁጥር ነው።

የQ n (x) ንብረት የሆኑት እኩልነት y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) ይገኛሉ።

ምሳሌ 2

የቅጹን ልዩነት እኩልታ አጠቃላይ መፍትሄ ያግኙ y "" - 2 y" = (x 2 + 1) · e x .

መፍትሄ

አጠቃላይ እኩልታ y = y 0 + y ~ . የተጠቆመው እኩልታ ከ LOD y "" - 2 y" = 0 ጋር ይዛመዳል. ያለፈው ምሳሌ እንደሚያሳየው ሥሮቹ ናቸው. k1 = 0እና k 2 = 2 እና y 0 = C 1 + C 2 e 2 x በባህሪው እኩልታ መሰረት.

የእኩልታው የቀኝ ጎን x 2 + 1 · e x መሆኑን ማየት ይቻላል። ከዚህ, LNDE በ y ~ = e a x Q n (x) x γ በኩል ይገኛል, Q n (x) , እሱም የሁለተኛ ዲግሪ ፖሊኖሚል ነው, α = 1 እና r = 0, ምክንያቱም የባህሪው እኩልታ አይሰራም. ከ 1 ጋር እኩል የሆነ ሥር ይኑርዎት. ስለዚህ ያንን እናገኛለን

y ~ = e a x Q n (x) x γ = e x A x 2 + B x + C x 0 = e x A x 2 + B x + C .

A, B, C የማይታወቁ ውህዶች ናቸው, እነሱም በእኩልነት y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) · e x.

ገባኝ

y ~ "= ሠ x A x 2 + B x + C" = ሠ x A x 2 + B x + C + ሠ x 2 A x + B == ሠ x A x 2 + x 2 A + B + B + C y ~ " " = ሠ x A x 2 + x 2 A + B + B + C " = = ሠ x A x 2 + x 2 A + B + B + C + ሠ x 2 A x + 2 A + B = = e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C

y ~ "" - 2 y ~" = (x 2 + 1) ሠ x ⇔ ሠ x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C - - 2 ሠ x A x 2 + x 2 A + B + ለ - A x 2 - B x + 2 A - C = 1 x 2 + 0 x + 1

አመላካቾችን ለተመሳሳይ መመዘኛዎች እናነፃፅራለን እና የመስመሮች እኩልታዎችን ስርዓት እናገኛለን። ከዚህ እናገኛለን A, B, C:

A = 1 - B = 0 2 A - C = 1 ⇔ A = - 1 B = 0 C = - 3

መልስ፡- y ~ = e x (A x 2 + B x + C) = e x - x 2 + 0 x - 3 = - e x x 2 + 3 የ LIDE የተለየ መፍትሄ ሲሆን y = y 0 + y = ሐ 1 ሠ 2 x - ሠ x · x 2 + 3

ተግባሩ f (x) = A 1 cos (β x) + B 1 sin β x ተብሎ ሲጻፍ እና ሀ 1እና በ 1 ውስጥቁጥሮች ናቸው፣ ከዚያም የቅጹ እኩልታ y ~ = A cos β x + B sin β x x γ፣ ሀ እና ቢ ያልተወሰነ ውህደቶች ተብለው የሚታሰቡበት፣ እና r ከባህሪው እኩልታ ጋር የሚዛመዱ የተወሳሰቡ የተዋሃዱ ስሮች ቁጥር እኩል ነው። ± i β. በዚህ ሁኔታ, የቁጥሮች ፍለጋ የሚከናወነው በእኩልነት y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) ነው.

ምሳሌ 3

የቅጹን ልዩነት እኩልታ አጠቃላይ መፍትሄ ያግኙ y "" + 4 y = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .

መፍትሄ

የባህሪውን እኩልታ ከመጻፍዎ በፊት, y 0 ን እናገኛለን. ከዚያም

k 2 + 4 \u003d 0 k 2 \u003d - 4 k 1 \u003d 2 i, k 2 \u003d - 2 i

ጥንድ ውስብስብ የሆኑ የተጣመሩ ስሮች አሉን. እንለውጥ እና እንገኝ፡-

y 0 \u003d e 0 (C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x)) \u003d C 1 cos 2 x + C 2 sin (2 x)

የባህሪው እኩልታ ሥሮቹ እንደ ተጣማሪ ጥንድ ± 2 i, ከዚያም f (x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ተደርገው ይወሰዳሉ. ይህ የሚያሳየው y ~ ፍለጋ ከ y ~ = (A cos (β x) + B sin (β x) x γ = (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x. ያልታወቀ አሃዞች A እና B የሚፈለጉት ከቅጽ እኩልነት y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ነው።

እንቀይር፡-

y ~ " = ((A cos (2 x) + B sin (2 x) x) " = = (- 2 ሀ ኃጢአት (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B ኃጢአት (2 x) y ~ "" = ((- 2 ሀ ኃጢአት (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B ኃጢአት (2 x))" = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B ኃጢአት (2 x)) x - 2 ሀ ኃጢአት (2 x) + 2 ለ cos (2 x) - - 2 ሀ ኃጢአት (2 x) + 2 ለ cos (2 x) = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B ኃጢአት (2 x)) x - 4 ሀ ኃጢአት (2 x) + 4 B cos (2 x)

ከዚያ በኋላ ይታያል

y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 ኃጢአት (2 x) ⇔ (- 4 A cos (2 x) - 4 B ኃጢአት (2 x)) x - 4 ሀ ኃጢአት (2 x) + 4 B cos (2 x) + + 4 (A cos (2 x) + B ኃጢአት (2 x)) x = cos (2 x) + 3 ኃጢአት (2 x) ⇔ - 4 ሀ ኃጢአት (2 x) + 4ለ cos (2x) = cos (2x) + 3 ኃጢአት (2x)

የሳይንስ እና ኮሳይን ውህዶችን ማመሳሰል አስፈላጊ ነው. የቅጹን ስርዓት እናገኛለን-

4 A = 3 4 B = 1 ⇔ A = - 3 4 B = 1 4

እሱም y ~ = (A cos (2 x) + B ኃጢአት (2 x) x = - 3 4 cos (2 x) + 1 4 ኃጢአት (2 x) x.

መልስ፡-የሁለተኛው ቅደም ተከተል የመጀመሪያ LIDE አጠቃላይ መፍትሄ ከቋሚ ቅንጅቶች ጋር ይቆጠራል

y = y 0 + y ~ = = C 1 cos (2 x) + C 2 ኃጢአት (2 x) + - 3 4 cos (2 x) + 1 4 ኃጢአት (2 x) x

መቼ f (x) = e a x P n (x) ኃጢአት (β x) + Q k (x) cos (β x) ፣ ከዚያ y ~ = e a x (L m (x) ኃጢአት (β x) + N m (x) ) cos (β x) x γ እኛ አለን r ከባህሪው እኩልታ ጋር የሚዛመዱ ውስብስብ conjugate ጥንዶች ሥሮች ብዛት ነው ፣ ከ α ± i β ጋር እኩል ነው ፣ የት P n (x) ፣ Q k (x) ፣ L m () x) እና ኤም (x)የዲግሪ ፖሊኖሚሎች ናቸው n, k, m, የት m = m a x (n, k). Coefficients ማግኘት ኤል ሜትር (x)እና ኤም (x)በእኩልነት y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) ላይ የተመሠረተ ነው.

ምሳሌ 4

አጠቃላይ መፍትሄን ያግኙ y "" + 3 y" + 2 y = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) .

መፍትሄ

ከሁኔታው መረዳት ይቻላል

α = 3, β = 5, P n (x) = - 38 x - 45, Q k (x) = - 8 x + 5, n = 1, k = 1

ከዚያም m = m a x (n, k) = 1. በመጀመሪያ የቅጹን ባህሪ እኩልነት በመጻፍ y 0ን እናገኛለን፡-

k 2 - 3 ኪ + 2 = 0 D = 3 2 - 4 1 2 = 1 k 1 = 3 - 1 2 = 1, k 2 = 3 + 1 2 = 2

ሥሮቹ እውነተኛ እና የተለዩ መሆናቸውን አግኝተናል. ስለዚህም y 0 = C 1 e x + C 2 e 2 x . በመቀጠል፣ በቅጹ ላይ ተመሳሳይነት በሌለው ቀመር y ~ ላይ በመመስረት አጠቃላይ መፍትሄ መፈለግ ያስፈልጋል።

y ~ = ሠ α x (L m (x) ኃጢአት (β x) + N m (x) cos (β x) x γ = = ሠ 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (ሐ) x + D) ኃጢአት (5 x)) x 0 = = ሠ 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) ኃጢአት (5 x))

እንደሚታወቀው A, B, C ውህዶች, r = 0 ናቸው, ምክንያቱም ከ α ± i β = 3 ± 5 · i ጋር ከባህሪው እኩልታ ጋር የተያያዙ ጥንድ ጥንድ ሥሮች ስለሌሉ. እነዚህ ጥምርታዎች ከሚመጣው እኩልነት ይገኛሉ፡-

y ~ "" - 3 y ~" + 2 y ~ = - ሠ 3 x ((38 x + 45) ኃጢአት (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) ⇔ (ሠ 3 x ((() A x + B) cos (5 x) + (C x + D) ኃጢአት (5 x))) "" - - 3 (ሠ 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + መ) ኃጢአት (5 x))) = - ሠ 3 x ((38 x + 45) ኃጢአት (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x))

የመነጩ እና ተመሳሳይ ቃላትን መፈለግ ይሰጣል

E 3 x ((15 A + 23 C) x sin (5 x) ++ (10 A + 15 B - 3 C + 23 D) ኃጢአት (5 x) ++ (23 A - 15 C) x cos (5) x) + (- 3 ሀ + 23 ለ - 10 ሐ - 15 ዲ) cos (5 x)) = - ሠ 3 x (38 x ኃጢአት (5 x) + 45 ኃጢአት (5 x) + + 8 x cos ( 5 x) - 5 cos (5 x))

ጥራቶቹን ካመሳሰለ በኋላ, የቅጹን ስርዓት እናገኛለን

15 A + 23 C = 38 10 A + 15 B - 3 C + 23 D = 45 23 A - 15 C = 8 - 3 A + 23 B - 10 C - 15 D = - 5 ⇔ A = 1 B = 1C = 1 ዲ = 1

ከዚህ ሁሉ ይከተላል

y ~= ሠ 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) ኃጢአት (5 x)) == ሠ 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x) +1) ኃጢአት (5x))

መልስ፡-አሁን የተሰጠው የመስመር እኩልታ አጠቃላይ መፍትሄ ተገኝቷል

y = y 0 + y ~ = = C 1 e x + C 2 e 2 x + e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) ኃጢአት (5 x))

ኤልዲኤንን ለመፍታት አልጎሪዝም

ፍቺ 1

ለመፍትሄው ሌላ ማንኛውም አይነት ተግባር f (x) ለመፍትሄው ስልተ ቀመር ያቀርባል፡-

የተዛማጅ መስመራዊ ተመሳሳይነት ያለው እኩልታ አጠቃላይ መፍትሄን ማግኘት፣ y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2፣ የት y 1እና y2በቀጥታ ነፃ የሆኑ ልዩ የLODE መፍትሄዎች ናቸው ፣ ከ 1እና ከ 2እንደ የዘፈቀደ ቋሚዎች ይቆጠራሉ;
እንደ አጠቃላይ የ LIDE መፍትሄ መቀበል y = C 1 (x) ⋅ y 1 + C 2 (x) ⋅ y 2;
የአንድ ተግባር ተዋጽኦዎች ትርጉም በቅጽ C 1 "(x) + y 1 (x) + C 2" (x) y 2 (x) = 0 C 1 "(x) + y 1" (x) ) + C 2 "(x) y 2"(x) = f (x)፣ እና የማግኘት ተግባራት ሐ 1 (x)እና C 2 (x) በማዋሃድ.

ምሳሌ 5

ለ y "" + 36 y = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x አጠቃላይ መፍትሔ ያግኙ.

መፍትሄ

ቀደም ሲል y 0, y "" + 36 y = 0 ን በመጻፍ, የባህሪውን እኩልታ ለመጻፍ እንቀጥላለን. ንጽፍና ንፈቱ፡

k 2 + 36 = 0 k 1 = 6 i, k 2 = - 6 i ⇒ y 0 = C 1 cos (6 x) + C 2 sin (6 x) ⇒ y 1 (x) = cos (6 x)፣ y 2 (x) = ኃጢአት (6 x)

የተሰጠው ቀመር አጠቃላይ መፍትሄ መዝገብ y = C 1 (x) cos (6 x) + C 2 (x) sin (6 x) ቅጽ ይወስዳል። ወደ ተወላጅ ተግባራት ፍቺ ማለፍ አስፈላጊ ነው ሐ 1 (x)እና C2(x)በስርዓቱ እኩልታዎች መሠረት-

C 1 "(x) cos (6 x) + C 2" (x) ኃጢአት (6 x) = 0 C 1 "(x) (cos (6 x))" + C 2" (x) (ኃጢአት (6) x)) " = 0 ⇔ C 1" (x) cos (6 x) + C 2" (x) ኃጢአት (6 x) = 0 ሐ 1" (x) (- 6 ኃጢአት (6 x) + ሐ 2" (x) (6 cos (6 x)) \u003d \u003d 24 ኃጢአት (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 ሠ 6 x

በተመለከተ ውሳኔ መስጠት ያስፈልጋል ሲ 1"(x)እና C2" (x)ማንኛውንም ዘዴ በመጠቀም. ከዚያም እንጽፋለን፡-

ሐ 1 "(x) \u003d - 4 ኃጢአት 2 (6 x) + 2 ኃጢአት (6 x) cos (6 x) - 6 ሠ 6 x ኃጢአት (6 x) C 2 "(x) \u003d 4 ኃጢአት (6) x) cos (6 x) - 2 cos 2 (6 x) + 6 ሠ 6 x ኮስ (6 x)

እያንዳንዳቸው እኩልታዎች መዋሃድ አለባቸው. ከዚያ የተገኙትን እኩልታዎች እንጽፋለን-

ሐ 1 (x) = 1 3 ኃጢአት (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 ሠ 6 x cos (6 x) - 1 2 ሠ 6 x ኃጢአት (6 x) 6 x) + ሐ 3 ሐ 2 (x) = - 1 6 ኃጢአት (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 ሠ 6 x cos (6 x) + 1 2 ሠ 6 x ኃጢአት (6 x) + C 4

አጠቃላይ መፍትሔው ቅጹ ይኖረዋል።

y = 1 3 ኃጢአት (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 ሠ 6 x cos (6 x) - 1 2 ሠ 6 x ኃጢአት (6 x) + C 3 cos (6 x) + + - 1 6 ኃጢአት (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 ሠ 6 x cos (6 x) + 1 2 ሠ 6 x ኃጢአት (6 x) + ሐ 4 ኃጢአት (6 x) = = - 2 x cos (6 x) - x ኃጢአት (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 ሠ 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 ኃጢአት (6 x)

መልስ፡- y = y 0 + y ~ = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin (6x)

በጽሁፉ ላይ ስህተት ካጋጠመህ እባክህ አድምቀው Ctrl+Enter ን ተጫን

የሁለተኛው ቅደም ተከተል (LNDE-2) መስመራዊ ተመጣጣኝ ያልሆነ ልዩነት እኩልታዎችን ከቋሚ ቅንጅቶች (ፒሲ) ጋር የመፍታት መሰረታዊ ነገሮች

ሁለተኛ-ትዕዛዝ CLDE ከቋሚ ድምጾች $p$ እና $q$ ጋር $y"+p\cdot y"+q\cdot y=f\ግራ(x\ቀኝ)$፣ $f \ ግራ() አለው። x \ right)$ ቀጣይነት ያለው ተግባር ነው።

የሚከተሉት ሁለት መግለጫዎች ከፒሲ ጋር 2ኛ LNDEን በተመለከተ እውነት ናቸው።

አንዳንድ ተግባር $U$ አንድ ወጥ ያልሆነ ልዩነት እኩልነት የዘፈቀደ ልዩ መፍትሄ ነው ብለው ያስቡ። አንዳንድ ተግባር $Y$ የተመጣጣኝ መስመራዊ ተመሳሳይነት ያለው ልዩነት እኩልታ (LODE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$ አጠቃላይ መፍትሄ (OR) ነው ብለን እናስብ። ከዚያም የ OR LHDE-2 ከተጠቆሙት የግል እና አጠቃላይ መፍትሄዎች ድምር ጋር እኩል ነው፣ ማለትም $y=U+Y$።

የ 2 ኛ ትዕዛዝ LIDE የቀኝ ጎን የተግባሮች ድምር ከሆነ፣ ማለትም፣ $f\ግራ(x\ቀኝ)=f_(1) \ግራ(x\ቀኝ)+f_(2) \ግራ(x\ቀኝ) )+..+f_(r) \ግራ(x\ቀኝ)$፣ ከዚያ በመጀመሪያ ለእያንዳንዱ የሚስማማውን PD$U_(1)፣U_(2)፣...፣U_(r)$ ማግኘት ይችላሉ። ከተግባሮቹ $f_( 1) \ግራ(x\ቀኝ)፣f_(2) \ግራ(x\ቀኝ)፣...፣f_(r) \ግራ(x\ቀኝ)$፣ እና ከዚያ በኋላ ይፃፉ። LNDE-2 PD እንደ $U=U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $።

የ 2 ኛ ትዕዛዝ LNDE ከፒሲ ጋር

በግልጽ ለማየት እንደሚቻለው፣ የአንድ ወይም የሌላ ፒዲ $U$ የአንድ የተወሰነ LNDE-2 ቅርፅ የሚወሰነው በቀኝ እጁ $f በግራ(x\ቀኝ)$ የተወሰነ ነው። የ LNDE-2 ፒዲ ፍለጋ በጣም ቀላሉ ጉዳዮች በሚከተሉት አራት ህጎች ተዘጋጅተዋል።

ደንብ ቁጥር 1.

የLNDE-2 የቀኝ ጎን $f\ግራ(x\ቀኝ)=P_(n) \ግራ(x\ቀኝ)$፣ የት $P_(n) \ግራ(x\ቀኝ)=a_(0) አለው። ) \cdot x^(n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $፣ ማለትም ሀ ተብሎ ይጠራል። የዲግሪ ፖሊኖሚል $n$ ከዚያ የእሱ PR $U$ በ$U=Q_(n) \ግራ(x\ቀኝ)\cdot x^(r)$ ፣$Q_(n) \ግራ(x\ቀኝ)$ ሌላ ነው ። ከ$P_(n) \ግራ(x\ቀኝ)$ ጋር ተመሳሳይ ዲግሪ ያለው ፖሊኖሚል፣ እና $r$ የተመሳሳይ LODE-2 የባህሪ እኩልታ የዜሮ ስሮች ቁጥር ነው። የፖሊኖሚል $Q_(n) \ግራ(x\ቀኝ)$ ውህደቶች የሚገኙት ላልተወሰነ ቅንጅቶች (NC) ዘዴ ነው።

ደንብ ቁጥር 2.

የLNDE-2 የቀኝ ጎን $f\ግራ(x\ቀኝ)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \ግራ(x\ቀኝ)$፣ የትም $P_(n) አለው። \ግራ(x\ቀኝ)$ የዲግሪ $n$ ብዙ ቁጥር ነው። ከዚያ የእሱ ፒዲ $U$ በ$U=Q_(n) \ግራ(x\ቀኝ)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $፣ በ$Q_(n) መልክ ይፈለጋል። ) \ ግራ(x\ቀኝ)$ ከ$P_(n) \ግራ(x\ቀኝ)$ ጋር ተመሳሳይ ዲግሪ ያለው ሌላ ብዙ ቁጥር ነው፣ እና $r$ የተጓዳኝ LODE-2 የባህሪ እኩልታ ስርወ ቁጥር ነው። ከ$\alpha $ ጋር እኩል ነው። የብዙ ቁጥር $Q_(n) \ግራ(x\ቀኝ)$ በNK ዘዴ ይገኛሉ።

ደንብ ቁጥር 3.

የLNDE-2 የቀኝ ክፍል $f ግራ(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \ በግራ(\beta \cdot x) ቅጽ አለው። \ቀኝ) $፣ $a$፣$b$ እና $\beta$ ቁጥሮች የሚታወቁበት። ከዚያ የእሱ ፒዲ $U$ በ$U=\ግራ(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \ በግራ(\beta \cdot x\ቀኝ) መልክ ይፈለጋል። \\ ቀኝ ) \cdot x^(r) $፣ $A$ እና $B$ የማይታወቁ ውህዶች ሲሆኑ፣ እና $r$ የተጓዳኝ LODE-2 የባህሪ እኩልታ ስሮች ቁጥር ከ$i\cdot ጋር እኩል ነው። \ቤታ $. የ $A$ እና $B$ ንፅፅር የሚገኘው በኤንዲቲ ዘዴ ነው።

ደንብ ቁጥር 4.

የLNDE-2 የቀኝ ጎን $f\ግራ(x\ቀኝ)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$ ፣$P_(n) \ግራ(x\ቀኝ)$ የሚገኝበት ቅጽ አለው። የዲግሪ $ n$ ፖሊኖሚል፣ እና $P_(m) \ግራ(x\ቀኝ)$ የዲግሪ $m$ ብዙ ቁጥር ነው። ከዚያ የእሱ ፒዲ $U$ በ$U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $፣በ $Q_(ዎች) \ግራ(x\ቀኝ) መልክ ይፈለጋል። $ እና $ R_(ዎች) \ግራ(x\ቀኝ)$ የዲግሪ $s$ ፖሊኖማሎች ናቸው፣ ቁጥሩ $s$ ከፍተኛው የሁለት ቁጥሮች $n$ እና $m$ ነው፣ እና $r$ የቁጥር ብዛት ነው። የተጓዳኝ LODE-2 የባህሪ እኩልታ ሥሮች፣ ከ$\ alpha +i\cdot \ beta $ ጋር እኩል ነው። የፖሊኖሚሎች $Q_(ዎች) \ግራ(x\ቀኝ)$ እና $R_(ዎች) \ግራ(x\ቀኝ)$ በNK ዘዴ ይገኛሉ።

የ NK ዘዴ የሚከተለውን ደንብ በመተግበር ላይ ያካትታል. ተመሳሳይ ያልሆነ ልዩነት እኩልታ LNDE-2 ልዩ የመፍትሄ አካል የሆኑትን የፖሊኖሚል የማይታወቁ ጥራዞችን ለማግኘት አስፈላጊ ነው-

በ LNDE-2 ግራ ክፍል ውስጥ በአጠቃላይ ቅፅ የተጻፈውን PD $U$ መተካት;
በ LNDE-2 በግራ በኩል ቀለል ያሉ እና የቡድን ቃላትን በተመሳሳይ ኃይል $ x$ ያከናውኑ;
በውጤቱ ማንነት ውስጥ የቃላቶቹን ጥምርታዎች ከግራ እና ቀኝ ጎኖች $ x$ ተመሳሳይ ኃይሎች ጋር ማመሳሰል;
ለማይታወቁ ቅንጅቶች የመስመራዊ እኩልታዎችን ስርዓት መፍታት።

ምሳሌ 1

ተግባር፡ OR LNDE-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\ግራ(36\cdot x+12\ቀኝ)\cdot e^(3\cdot x)$ ያግኙ። እንዲሁም ያግኙ የ PR የመጀመሪያ ሁኔታዎችን ማሟላት $y=6$ በ$x=0$ እና $y"=1$ በ$x=0$።

ተዛማጅ LODA-2: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$ ይፃፉ።

የባህሪ እኩልታ፡ $k^(2) -3\cdot k-18=0$። የባህሪው እኩልታ ሥሮች፡$k_(1) =-3$፣ $k_(2) =6$። እነዚህ ሥሮች እውነተኛ እና የተለዩ ናቸው. ስለዚህ፣ የተዛማጁ LODE-2 OR ቅጽ አለው፡- $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $።

የዚህ LNDE-2 የቀኝ ክፍል $\ግራ(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x)$ የሚል ቅጽ አለው። የአርበኛውን አርቢ $\alpha =3$ ንፅፅር ግምት ውስጥ ማስገባት ያስፈልጋል። ይህ ቅንጅት ከየትኛውም የባህሪ እኩልታ ሥሮች ጋር አይጣጣምም። ስለዚህ፣ የዚህ LNDE-2 PR ቅጽ $U=\ግራ(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x)$ አለው።

የ NK ዘዴን በመጠቀም $A$, $B$ን ጥረቶችን እንፈልጋለን.

የመጀመሪያውን የ CR አመጣጥ እናገኛለን፡-

$U"=\ግራ(A\cdot x+B\right)^((")) \cdot e^(3\cdot x) +\ግራ(A\cdot x+B\right)\cdot \ ግራ( e^(3\cdot x) \ቀኝ)^(()) =$

$=A\cdot e^(3\cdot x) +\ግራ(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\ግራ(A+3\cdot A\) cdot x+3\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

የ CR ሁለተኛ ተዋጽኦን እናገኛለን፡-

$U"=\ግራ(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^(((")) \cdot e^(3\cdot x) +\ግራ(A+3\cdot) A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \ግራ(e^(3\cdot x) \ቀኝ)^(()) =$

$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\ግራ(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\ግራ(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

ከ$y"$፣$y"$ እና $y$ ይልቅ $U""$፣$U"$ እና $U$ን በተሰጠው LNDE-2 $y""-3\cdot y" እንተካለን። -18\cdot y=\ግራ(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x)$ በተመሳሳይ ጊዜ አርቢው $e^(3\cdot x)$ ስለሚካተት በሁሉም ክፍሎች ውስጥ እንደ ምክንያት, ከዚያም ሊተው ይችላል.

$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \ግራ(A+3\cdot A \cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \ግራ(A\) cdot x+B\ቀኝ)=36\cdot x+12.$

በውጤቱ እኩልነት በግራ በኩል እርምጃዎችን እንፈጽማለን-

$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$

የ NC ዘዴን እንጠቀማለን. ከሁለት የማይታወቁ ጋር የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓት እናገኛለን።

$-18\cdot A=36;$

$3\cdot A-18\cdot B=12.$

የዚህ ሥርዓት መፍትሔው፡-$A=-2$፣$B=-1$ ነው።

ለችግራችን CR $U=\ግራ(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x)$ ይህን ይመስላል፡$U=\ግራ(-2\cdot x-1\ቀኝ ) \cdot e^(3\cdot x) $.

OR $y=Y+U$ ለችግራችን ይህን ይመስላል፡ $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ ግራ(-2\cdot x-1\ቀኝ)\cdot e^(3\cdot x) $.

የተሰጡትን የመጀመሪያ ሁኔታዎች የሚያረካ ፒዲ ለመፈለግ፣ የ$y"$ ወይም የመነጩን እናገኛለን፡-

$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\) cdot x) +\ግራ(-2\cdot x-1\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$

በ$y$ እና $y"$ በ$y=6$ በ$x=0$ እና በ$y"=1$ በ$x=0$ እንተካለን።

$6=C_(1) +C_(2) -1; $

$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$

የእኩልታዎች ስርዓት አግኝተናል፡-

$C_(1) +C_(2) =7፤$

$ -3 \cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$

እንፈታዋለን። የCramer ቀመርን በመጠቀም $C_(1)$ን እናገኛለን፣ እና $C_(2)$ የሚወሰነው ከመጀመሪያው እኩልታ ነው፡-

$C_(1) =\frac(\ግራ|\ጀማሪ(ድርድር)(cc) (7) እና (1) \\ (6) & (6) \መጨረሻ(ድርድር)\ቀኝ|)(\ግራ|\ start(array)(cc) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \መጨረሻ(array)\right|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\) cdot 6-\ግራ(-3\ቀኝ)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3.$

ስለዚህ፣ የዚህ ልዩነት እኩልታ ፒዲ፡ $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\ግራ(-2\cdot x-1\ቀኝ )\cdot e^(3\cdot x)$.

ንግግሩ ከLNDE ጋር ይመለከታል - መስመራዊ ተመጣጣኝ ያልሆነ ልዩነት እኩልታዎች። የአጠቃላይ የመፍትሄው መዋቅር, የኤል.ኤን.ዲ.ኢን መፍትሄ በዘፈቀደ ቋሚዎች መለዋወጥ ዘዴ, የኤል.ኤን.ዲ.ኢ. ቋሚ ቅንጅቶች እና የቀኝ እጅ ልዩ ቅፅ ይቆጠራሉ. በፊዚክስ ፣ በኤሌክትሪካል ኢንጂነሪንግ እና በኤሌክትሮኒክስ ውስጥ በግዳጅ ማወዛወዝ እና በራስ-ሰር ቁጥጥር ጽንሰ-ሀሳብ ውስጥ ከግምት ውስጥ የሚገቡ ጉዳዮች ጥቅም ላይ ይውላሉ።

1. የ 2 ኛ ቅደም ተከተል አጠቃላይ የመፍትሄው መዋቅር ቀጥተኛ ያልሆነ ልዩነት.

በመጀመሪያ የዘፈቀደ ቅደም ተከተል ቀጥተኛ ያልሆነ እኩልታ ያስቡበት፡-

ማስታወሻውን ከሰጠን ፣ እኛ መጻፍ እንችላለን-

በዚህ ሁኔታ, የዚህ እኩልታ እኩልነት እና ትክክለኛው ጎን በተወሰነ የጊዜ ክፍተት ላይ ቀጣይነት ያለው መሆኑን እንገምታለን.

ቲዎረም. በአንዳንድ ጎራ ውስጥ ያለው የመስመራዊ ተመጣጣኝ ያልሆነ ልዩነት እኩልታ አጠቃላይ መፍትሄ የማንኛውንም የመፍትሄዎቹ ድምር እና አጠቃላይ የመፍትሄው ተዛማጅ መስመራዊ ተመሳሳይነት ያለው ልዩነት እኩልታ ነው።

ማረጋገጫ። Y ለተመሳሳይ እኩልነት የተወሰነ መፍትሄ ይሁን።

ከዚያ ይህንን መፍትሄ ወደ መጀመሪያው እኩልነት በመተካት ማንነቱን እናገኛለን፡-

ፍቀድ
- የመስመር ተመሳሳይ እኩልታ መፍትሄዎች መሠረታዊ ስርዓት
. ከዚያ ተመሳሳይነት ያለው እኩልታ አጠቃላይ መፍትሄ እንደሚከተለው ሊፃፍ ይችላል-

በተለይም ለ 2 ኛ ቅደም ተከተል መስመራዊ ተመጣጣኝ ያልሆነ ልዩነት እኩልታ ፣ የአጠቃላይ የመፍትሄው መዋቅር ቅፅ አለው ።

የት
ተጓዳኝ ተመሳሳይነት ያለው እኩልነት የመፍትሄዎች መሠረታዊ ሥርዓት ነው, እና
- ተመሳሳይ ያልሆነ እኩልታ ማንኛውም የተለየ መፍትሄ።

ስለዚህ, አንድ መስመራዊ inhomogeneous ልዩነት እኩልዮሽ ለመፍታት, አጠቃላይ መፍትሔ ተዛማጅ homogenous equation እና እንደምንም inhomogeneous equation አንድ የተለየ መፍትሔ ማግኘት አስፈላጊ ነው. ብዙውን ጊዜ የሚገኘው በምርጫ ነው። አንድ የተወሰነ መፍትሄ የመምረጥ ዘዴዎች በሚከተሉት ጥያቄዎች ውስጥ ግምት ውስጥ ይገባል.

2. የመለዋወጥ ዘዴ

በተግባር, የዘፈቀደ ቋሚዎችን የመለዋወጥ ዘዴን ተግባራዊ ለማድረግ ምቹ ነው.

ይህንን ለማድረግ በመጀመሪያ በቅጹ ውስጥ ተዛማጅ ተመሳሳይ ተመሳሳይ እኩልታ አጠቃላይ መፍትሄን ይፈልጉ-

ከዚያ, ውህዶችን በማቀናበር ሲ እኔተግባራት ከ X, ያልተመጣጠነ እኩልታ መፍትሄ ይፈለጋል:

ተግባራቶቹን ለማግኘት ይህንን ማሳየት ይቻላል ሲ እኔ (x) የእኩልታዎችን ስርዓት መፍታት ያስፈልግዎታል

ለምሳሌ.እኩልታውን መፍታት

መስመራዊ ተመሳሳይነት ያለው እኩልታ እንፈታለን።

ተመጣጣኝ ያልሆነ እኩልታ መፍትሄው እንደሚከተለው ይሆናል-

የእኩልታዎች ስርዓት እንፈጥራለን፡-

ይህን ስርዓት እንፍታው፡-

ከግንኙነት ተግባሩን እናገኛለን ኦ)።

አሁን እናገኛለን ቢ(x)

ያገኙትን እሴቶች ወደ ቀመሩ እንተካለን ተመሳሳይ ያልሆነ እኩልታ አጠቃላይ መፍትሄ-

የመጨረሻ መልስ፡-

በአጠቃላይ ፣ የዘፈቀደ ቋሚዎችን የመቀየሪያ ዘዴ ለማንኛውም ቀጥተኛ ያልሆነ እኩልታ መፍትሄዎችን ለማግኘት ተስማሚ ነው። ግን ጀምሮ የተዛማጅ ተመሳሳይ እኩልታ መፍትሄዎችን መሰረታዊ ስርዓት መፈለግ በጣም ከባድ ስራ ሊሆን ይችላል ፣ ይህ ዘዴ በዋነኝነት የሚያገለግለው ተመሳሳይ ያልሆኑ እኩልታዎች ከቋሚ ቅንጅቶች ጋር ነው።

3. ከልዩ ቅፅ በስተቀኝ በኩል እኩልታዎች

ተመሳሳይ ያልሆነ እኩልታ በቀኝ በኩል ባለው መልክ ላይ በመመስረት የአንድ የተወሰነ መፍትሄ ቅርፅን መወከል የሚቻል ይመስላል።

የሚከተሉት ሁኔታዎች አሉ:

I. የመስመራዊው ተመጣጣኝ ያልሆነ ልዩነት እኩልታ የቀኝ ጎን ቅጹ አለው፡-

የዲግሪ ፖሊኖሚል የት አለ ኤም.

ከዚያ ልዩ መፍትሄ በቅጹ ውስጥ ይፈለጋል-

እዚህ ጥ(x) ተመሳሳይ ዲግሪ ያለው ፖሊኖሚል ነው። ፒ(x) , ነገር ግን ባልተገለጸ ውህዶች, እና አር- ቁጥሩ  ስንት ጊዜ ያህል ለተዛማጅ መስመራዊ ተመሳሳይነት ያለው ልዩነት እኩልታ የባህሪ እኩልታ ሥር እንደሆነ የሚያሳይ ቁጥር።

ለምሳሌ.እኩልታውን መፍታት
.

ተጓዳኝ ተመሳሳይነት ያለው እኩልታ እንፈታለን-

አሁን የዋናውን ተመሳሳይ ያልሆነ እኩልታ አንድ የተወሰነ መፍትሄ እንፈልግ።

የእኩልታውን የቀኝ ጎን ከላይ ከተጠቀሰው የቀኝ ጎን ቅርጽ ጋር እናወዳድር።

በቅጹ ውስጥ ልዩ መፍትሄ እንፈልጋለን-
፣ የት

እነዚያ።

አሁን የማይታወቁትን ቅንጅቶችን እንገልፃለን ግንእና አት.

አንድን የተወሰነ መፍትሄ በአጠቃላይ መልኩ ወደ ዋናው ኢ-ተመጣጣኝ ልዩነት እኩልነት እንለውጠው።

ስለዚህ, የግል መፍትሄ:

ከዚያም የመስመራዊው ተመሳሳይነት የሌለው ልዩነት እኩልታ አጠቃላይ መፍትሄ፡-

II. የመስመራዊው ተመጣጣኝ ያልሆነ ልዩነት እኩልታ የቀኝ ጎን ቅፅ አለው፡-

እዚህ አር 1 (X)እና አር 2 (X)የዲግሪ ፖሊኖሚሎች ናቸው። ኤም 1 እና ኤም 2 በቅደም ተከተል.

ከዚያ የማይመሳሰል እኩልታ ልዩ መፍትሄው ቅጹ ይኖረዋል

የት ቁጥር አርቁጥር ስንት ጊዜ ያሳያል
ለተዛማጅ ተመሳሳይነት ያለው እኩልታ የባህሪ እኩልታ ሥር ነው፣ እና ጥ 1 (x) እና ጥ 2 (x) - ቢበዛ የዲግሪ ፖሊኖሚሎች ኤም፣ የት ኤም- የዲግሪዎች ትልቁ ኤም 1 እና ኤም 2 .

የተወሰኑ መፍትሄዎች ዓይነቶች ማጠቃለያ ሰንጠረዥ

ለተለያዩ አይነት ትክክለኛ ክፍሎች

የልዩነት እኩልታ የቀኝ ጎን	የባህሪ እኩልታ	የግል ዓይነቶች
	1. ቁጥሩ የባህሪው እኩልታ ሥር አይደለም
	2. ቁጥር የባህሪው የብዝሃነት እኩልታ ስር ነው።
	1. ቁጥር የባህሪ እኩልታ ሥር አይደለም።
	2. ቁጥር የባህሪው የብዝሃነት እኩልታ ሥር ነው።
	1. ቁጥሮች
	2. ቁጥሮች የባህሪው የብዝሃነት እኩልታ ስሮች ናቸው።
	1. ቁጥሮች የባህሪው የብዝሃነት እኩልታ ሥሮች አይደሉም
	2. ቁጥሮች የባህሪው የብዝሃነት እኩልታ ስሮች ናቸው።