የጂኦሜትሪክ እድገት ድምርን እንዴት ማስላት እንደሚቻል። አርቲሜቲክ እና ጂኦሜትሪክ እድገቶች

እያንዳንዱ የተፈጥሮ ቁጥር ከሆነ n ከእውነተኛ ቁጥር ጋር ይዛመዳል አንድ n , ከዚያም ተሰጥቷል ይላሉ የቁጥር ቅደም ተከተል :

ሀ 1 , ሀ 2 , ሀ 3 , . . . , አንድ n , . . . .

ስለዚህ፣ የቁጥር ቅደም ተከተል የተፈጥሮ መከራከሪያ ተግባር ነው።

ቁጥር ሀ 1 ተብሎ ይጠራል በቅደም ተከተል የመጀመሪያ አባል ፣ ቁጥር ሀ 2 — የሁለተኛው ተከታታይ አባል ፣ ቁጥር ሀ 3 — ሶስተኛ እናም ይቀጥላል. ቁጥር አንድ n ተብሎ ይጠራል በቅደም ተከተል n ኛ አባል , እና የተፈጥሮ ቁጥር n — የእሱ ቁጥር .

ከሁለት አጎራባች አባላት አንድ n እና አንድ n +1 የአባላት ቅደም ተከተሎች አንድ n +1 ተብሎ ይጠራል ተከታይ (ወደ አንድ n ), ሀ አንድ n — ቀዳሚ (ወደ አንድ n +1 ).

ቅደም ተከተል ለመጥቀስ ከየትኛውም ቁጥር ጋር የተከታታይ አባል ለማግኘት የሚያስችል ዘዴ መግለጽ አለብዎት.

ብዙውን ጊዜ ቅደም ተከተል የሚሰጠው በ n ኛ ቃል ቀመሮች ማለትም ተከታታይ አባልን በቁጥር እንዲወስኑ የሚያስችል ቀመር ነው።

ለምሳሌ,

የአዎንታዊ ጎዶሎ ቁጥሮች ቅደም ተከተል በቀመር ሊሰጥ ይችላል።

አንድ n= 2n - 1,

እና የመቀያየር ቅደም ተከተል 1 እና -1 - ቀመር

ለ n = (-1)n +1 . ◄

ቅደም ተከተል ሊታወቅ ይችላል ተደጋጋሚ ቀመር, ማለትም ከአንዳንድ ጀምሮ በቀደመው (አንድ ወይም ከዚያ በላይ) አባላት በኩል የትኛውንም ተከታታይ አባል የሚገልጽ ቀመር ነው።

ለምሳሌ,

ከሆነ ሀ 1 = 1 ፣ ሀ አንድ n +1 = አንድ n + 5

ሀ 1 = 1,

ሀ 2 = ሀ 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

ሀ 3 = ሀ 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

ሀ 4 = ሀ 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

ሀ 5 = ሀ 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

ከሆነ ሀ 1= 1, ሀ 2 = 1, አንድ n +2 = አንድ n + አንድ n +1 , ከዚያም የመጀመሪያዎቹ ሰባት የቁጥር ቅደም ተከተል አባላት እንደሚከተለው ተቀምጠዋል.

ሀ 1 = 1,

ሀ 2 = 1,

ሀ 3 = ሀ 1 + ሀ 2 = 1 + 1 = 2,

ሀ 4 = ሀ 2 + ሀ 3 = 1 + 2 = 3,

ሀ 5 = ሀ 3 + ሀ 4 = 2 + 3 = 5,

ሀ 6 = ሀ 4 + ሀ 5 = 3 + 5 = 8,

ሀ 7 = ሀ 5 + ሀ 6 = 5 + 8 = 13. ◄

ቅደም ተከተሎች ሊሆኑ ይችላሉ የመጨረሻ እና ማለቂያ የሌለው .

ቅደም ተከተል ይባላል የመጨረሻው የተወሰነ የአባላት ብዛት ካለው። ቅደም ተከተል ይባላል ማለቂያ የሌለው ማለቂያ የሌላቸው ብዙ አባላት ካሉት።

ለምሳሌ,

የሁለት-አሃዝ የተፈጥሮ ቁጥሮች ቅደም ተከተል

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

የመጨረሻ.

ዋና ቁጥር ቅደም ተከተል:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

ማለቂያ የሌለው. ◄

ቅደም ተከተል ይባላል እየጨመረ ነው። , ከሁለተኛው ጀምሮ እያንዳንዱ አባላቱ ከቀዳሚው የበለጠ ከሆነ.

ቅደም ተከተል ይባላል እየቀነሰ , ከሁለተኛው ጀምሮ እያንዳንዱ አባላቱ ከቀዳሚው ያነሰ ከሆነ.

ለምሳሌ,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . ወደ ላይ የሚወጣ ቅደም ተከተል ነው;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . የሚወርድ ቅደም ተከተል ነው. ◄

ኤለመንቶቹ እየጨመሩ በቁጥር የማይቀንሱ ወይም በተቃራኒው የማይጨመሩበት ቅደም ተከተል ይባላል ነጠላ ቅደም ተከተል .

ሞኖቶኒክ ቅደም ተከተሎች, በተለይም, ቅደም ተከተሎችን እየጨመሩ እና እየቀነሱ ናቸው.

አርቲሜቲክ እድገት

አርቲሜቲክ እድገት ቅደም ተከተል ይባላል, እያንዳንዱ አባል ከሁለተኛው ጀምሮ, ከቀዳሚው ጋር እኩል ነው, እሱም ተመሳሳይ ቁጥር ይጨምራል.

ሀ 1 , ሀ 2 , ሀ 3 , . . . , አንድ n, . . .

ለማንኛውም የተፈጥሮ ቁጥር ከሆነ የሂሳብ እድገት ነው። n ሁኔታ ተሟልቷል፡-

አንድ n +1 = አንድ n + መ,

የት መ - የተወሰነ ቁጥር.

ስለዚህ፣ በሚቀጥሉት እና በቀደሙት አባላት መካከል ያለው ልዩነት ሁል ጊዜ ቋሚ ነው።

ሀ 2 - ሀ 1 = ሀ 3 - ሀ 2 = . . . = አንድ n +1 - አንድ n = መ.

ቁጥር መ ተብሎ ይጠራል የሂሳብ እድገት ልዩነት.

የሂሳብ እድገትን ለማዘጋጀት የመጀመሪያውን ቃል እና ልዩነቱን መግለጽ በቂ ነው.

ለምሳሌ,

ከሆነ ሀ 1 = 3, መ = 4 , ከዚያም በቅደም ተከተል የመጀመሪያዎቹ አምስት ውሎች እንደሚከተለው ይገኛሉ.

ሀ 1 =3,

ሀ 2 = ሀ 1 + መ = 3 + 4 = 7,

ሀ 3 = ሀ 2 + መ= 7 + 4 = 11,

ሀ 4 = ሀ 3 + መ= 11 + 4 = 15,

ሀ 5 = ሀ 4 + መ= 15 + 4 = 19. ◄

ከመጀመሪያው ቃል ጋር ለሂሳብ እድገት ሀ 1 እና ልዩነት መ እሷን n

አንድ n = ሀ 1 + (n- 1)መ.

ለምሳሌ,

የሒሳብ እድገት ሠላሳኛውን ቃል ያግኙ

1, 4, 7, 10, . . .

ሀ 1 =1, መ = 3,

አንድ 30 = ሀ 1 + (30 - 1)መ= 1 + 29· 3 = 88. ◄

አንድ n-1 = ሀ 1 + (n- 2)መ፣

አንድ n= ሀ 1 + (n- 1)መ፣

አንድ n +1 = ሀ 1 + ኛ,

ከዚያም በግልጽ

እያንዳንዱ የሂሳብ ግስጋሴ አባል ከሁለተኛው ጀምሮ ከቀዳሚዎቹ እና ተከታይ አባላት የሂሳብ አማካኝ ጋር እኩል ነው።

ቁጥሮች a, b እና c የአንዳንድ የሂሳብ እድገት ተከታታይ አባላት ናቸው እና ከመካከላቸው አንዱ ከሌሎቹ ሁለቱ የሂሳብ አማካኝ ጋር እኩል ከሆነ ብቻ ነው።

ለምሳሌ,

አንድ n = 2n- 7 ፣ የሂሳብ እድገት ነው።

ከላይ ያለውን መግለጫ እንጠቀምበት. እና አለነ:

አንድ n = 2n- 7,

አንድ n-1 = 2(n - 1) - 7 = 2n- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

በዚህም ምክንያት እ.ኤ.አ.

◄

አስታውስ አትርሳ n - የሒሳብ እድገት አባል የሚገኘው በ ብቻ ሳይሆን ሀ 1 , ግን ደግሞ ማንኛውም ቀደም አ ኪ

አንድ n = አ ኪ + (n- ክ)መ.

ለምሳሌ,

ለ ሀ 5 ተብሎ ሊጻፍ ይችላል።

ሀ 5 = ሀ 1 + 4መ,

ሀ 5 = ሀ 2 + 3መ,

ሀ 5 = ሀ 3 + 2መ,

ሀ 5 = ሀ 4 + መ. ◄

አንድ n = አንድ n-k + kd,

አንድ n = a n+k - kd,

ከዚያም በግልጽ

ማንኛውም የሂሳብ ግስጋሴ አባል፣ ከሁለተኛው ጀምሮ፣ ከእሱ እኩል ርቀት ካለው የዚህ የሂሳብ ግስጋሴ አባላት ድምር ግማሽ ጋር እኩል ነው።

በተጨማሪም፣ ለማንኛውም የሂሳብ እድገት፣ እኩልነት እውነት ነው፡-

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

ለምሳሌ,

በሂሳብ እድገት

1) ሀ 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (ሀ 9 + ሀ 11 )/2;

2) 28 = አንድ 10 = ሀ 3 + 7መ= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) አንድ 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, ምክንያቱም

ሀ 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

ሀ 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄

ኤስ n= a 1 + a 2 + a 3+ . .+ አንድ n,

አንደኛ n የሒሳብ ግስጋሴ አባላት የግማሽ የጽንፈኛ ቃላት ድምር ውጤት በቃሉ ብዛት እኩል ነው።

ከዚህ, በተለይም, ውሎቹን ማጠቃለል አስፈላጊ ከሆነ ይከተላል

አ ኪ, አ ኪ +1 , . . . , አንድ n,

ከዚያ የቀደመው ቀመር አወቃቀሩን ይይዛል-

ለምሳሌ,

በሂሳብ እድገት 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

ኤስ 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = ኤስ 10 - ኤስ 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

የሂሳብ ግስጋሴ ከተሰጠ, ከዚያም መጠኖቹ ሀ 1 , አንድ n, መ, nእናኤስ n በሁለት ቀመሮች ተያይዟል፡-

ስለዚህ ፣ የእነዚህ መጠኖች የሶስቱ እሴቶች ከተሰጡ ፣ ከዚያ የሌሎቹ ሁለት መጠኖች ተጓዳኝ እሴቶች የሚወሰኑት ከእነዚህ ቀመሮች ወደ ሁለት እኩልታዎች ስርዓት በሁለት የማይታወቁ ናቸው።

የሂሳብ ግስጋሴ ነጠላ ቅደም ተከተል ነው። በውስጡ፡

• ከሆነ መ > 0 , ከዚያም እየጨመረ ነው;
• ከሆነ መ < 0 , ከዚያም እየቀነሰ ይሄዳል;
• ከሆነ መ = 0 , ከዚያም ቅደም ተከተል ቋሚ ይሆናል.

የጂኦሜትሪክ እድገት

የጂኦሜትሪክ እድገት ቅደም ተከተል ይባላል, እያንዳንዱ ቃል, ከሁለተኛው ጀምሮ, ከቀዳሚው ጋር እኩል ነው, በተመሳሳይ ቁጥር ተባዝቷል.

ለ 1 , ለ 2 , ለ 3 , . . . , ለ n, . . .

ለማንኛውም የተፈጥሮ ቁጥር ከሆነ የጂኦሜትሪክ እድገት ነው n ሁኔታ ተሟልቷል፡-

ለ n +1 = ለ n · ቅ,

የት ቅ ≠ 0 - የተወሰነ ቁጥር.

ስለዚህ የዚህ ጂኦሜትሪክ ግስጋሴ የሚቀጥለው ቃል ከቀዳሚው ጋር ያለው ጥምርታ ቋሚ ቁጥር ነው።

ለ 2 / ለ 1 = ለ 3 / ለ 2 = . . . = ለ n +1 / ለ n = ቅ.

ቁጥር ቅ ተብሎ ይጠራል የጂኦሜትሪክ እድገት አመላካች.

የጂኦሜትሪክ ግስጋሴን ለማዘጋጀት, የመጀመሪያውን ቃል እና መለያን መግለጽ በቂ ነው.

ለምሳሌ,

ከሆነ ለ 1 = 1, ቅ = -3 , ከዚያም በቅደም ተከተል የመጀመሪያዎቹ አምስት ውሎች እንደሚከተለው ይገኛሉ.

ለ 1 = 1,

ለ 2 = ለ 1 · ቅ = 1 · (-3) = -3,

ለ 3 = ለ 2 · ቅ= -3 · (-3) = 9,

ለ 4 = ለ 3 · ቅ= 9 · (-3) = -27,

ለ 5 = ለ 4 · ቅ= -27 · (-3) = 81. ◄

ለ 1 እና አካታች ቅ እሷን n -ኛ ቃል በቀመር ሊገኝ ይችላል፡-

ለ n = ለ 1 · q n -1 .

ለምሳሌ,

የጂኦሜትሪክ እድገትን ሰባተኛውን ቃል ይፈልጉ 1, 2, 4, . . .

ለ 1 = 1, ቅ = 2,

ለ 7 = ለ 1 · ቅ 6 = 1 2 6 = 64. ◄

bn-1 = ለ 1 · q n -2 ,

ለ n = ለ 1 · q n -1 ,

ለ n +1 = ለ 1 · q n,

ከዚያም በግልጽ

ለ n 2 = ለ n -1 · ለ n +1 ,

ከሁለተኛው ጀምሮ እያንዳንዱ የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ አባል ከቀደምት እና ተከታይ አባላት ጂኦሜትሪክ አማካኝ (ተመጣጣኝ) ጋር እኩል ነው።

ንግግሩ እውነት ስለሆነ፣ የሚከተለው ማረጋገጫ ይይዛል፡-

ቁጥሮች a, b እና c የአንዳንድ የጂኦሜትሪክ ግስጋሴዎች ተከታታይ አባላት ናቸው እና የአንዳቸው ካሬ ከሌሎቹ ሁለት ውጤቶች ጋር እኩል ከሆነ ብቻ ነው, ማለትም, ከቁጥሮች አንዱ የሌሎቹ ሁለቱ ጂኦሜትሪክ አማካኝ ነው.

ለምሳሌ,

በቀመርው የተሰጠውን ቅደም ተከተል እናረጋግጥ ለ n= -3 2 n , የጂኦሜትሪክ እድገት ነው. ከላይ ያለውን መግለጫ እንጠቀምበት. እና አለነ:

ለ n= -3 2 n,

ለ n -1 = -3 2 n -1 ,

ለ n +1 = -3 2 n +1 .

በዚህም ምክንያት እ.ኤ.አ.

ለ n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 (-3 2) n +1 ) = ለ n -1 · ለ n +1 ,

አስፈላጊውን ማረጋገጫ የሚያረጋግጥ. ◄

አስታውስ አትርሳ n የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ ቃል በማግኘት ብቻ ሳይሆን ሊገኝ ይችላል ለ 1 , ግን ደግሞ ማንኛውም የቀድሞ ቃል b k , ለዚህም ቀመሩን መጠቀም በቂ ነው

ለ n = b k · q n - ክ.

ለምሳሌ,

ለ ለ 5 ተብሎ ሊጻፍ ይችላል።

ለ 5 = ለ 1 · ቅ 4 ,

ለ 5 = ለ 2 · q 3,

ለ 5 = ለ 3 · q2,

ለ 5 = ለ 4 · ቅ. ◄

ለ n = b k · q n - ክ,

ለ n = ለ n - ክ · q k,

ከዚያም በግልጽ

ለ n 2 = ለ n - ክ· ለ n + ክ

ከሁለተኛው ጀምሮ የማንኛውም የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ አባል ካሬ ፣ ከእሱ እኩል ርቀት ካለው የዚህ ግስጋሴ አባላት ምርት ጋር እኩል ነው።

በተጨማሪም፣ ለማንኛውም የጂኦሜትሪክ እድገት፣ እኩልነት እውነት ነው፡-

ቢ ሜ· ለ n= b k· ለ,

ኤም+ n= ክ+ ኤል.

ለምሳሌ,

በስፋት

1) ለ 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = ለ 5 · ለ 7 ;

2) 1024 = ለ 11 = ለ 6 · ቅ 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) ለ 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = ለ 4 · ለ 8 ;

4) ለ 2 · ለ 7 = ለ 4 · ለ 5 , ምክንያቱም

ለ 2 · ለ 7 = 2 · 64 = 128,

ለ 4 · ለ 5 = 8 · 16 = 128. ◄

ኤስ n= ለ 1 + ለ 2 + ለ 3 + . . . + ለ n

አንደኛ n የጂኦሜትሪክ እድገት አባላት ከዲኖሚነተር ጋር ቅ ≠ 0 በቀመርው ይሰላል፡-

እና መቼ ቅ = 1 - በቀመርው መሰረት

ኤስ n= n.b. 1

ውሎቹን ማጠቃለል ካስፈለገን ልብ ይበሉ

b k, b k +1 , . . . , ለ n,

ከዚያ ቀመሩ ጥቅም ላይ ይውላል:

ለምሳሌ,

በስፋት 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

ኤስ 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = ኤስ 10 - ኤስ 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

የጂኦሜትሪክ እድገት ከተሰጠ, ከዚያም መጠኖቹ ለ 1 , ለ n, ቅ, nእና ኤስ n በሁለት ቀመሮች ተያይዟል፡-

ስለዚህ ፣ ከእነዚህ መጠኖች ውስጥ የሶስቱ እሴቶች ከተሰጡ ፣ ከዚያ የሌሎቹ ሁለት መጠኖች ተጓዳኝ እሴቶች የሚወሰኑት ከእነዚህ ቀመሮች ወደ ሁለት እኩልታዎች ስርዓት በሁለት የማይታወቁ ናቸው።

ከመጀመሪያው ቃል ጋር ለጂኦሜትሪክ እድገት ለ 1 እና አካታች ቅ የሚከተሉት ይከናወናሉ ነጠላነት ባህሪያት :

• ከሚከተሉት ሁኔታዎች ውስጥ አንዱ ከተሟላ እድገቱ እየጨመረ ነው.

ለ 1 > 0 እና ቅ> 1;

ለ 1 < 0 እና 0 < ቅ< 1;

• ከሚከተሉት ሁኔታዎች ውስጥ አንዱ ከተሟላ እድገቱ እየቀነሰ ነው።

ለ 1 > 0 እና 0 < ቅ< 1;

ለ 1 < 0 እና ቅ> 1.

ከሆነ ቅ< 0 , ከዚያ የጂኦሜትሪክ ግስጋሴው ምልክት-ተለዋዋጭ ነው: ያልተለመዱ-ቁጥር ቃላቶቹ ከመጀመሪያው ቃል ጋር አንድ አይነት ምልክት አላቸው, እና የተቆጠሩት ቃላት ተቃራኒ ምልክት አላቸው. ተለዋጭ የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ ነጠላ እንዳልሆነ ግልጽ ነው.

የመጀመሪያው ምርት n የጂኦሜትሪክ እድገት ውሎች በቀመሩ ሊሰላ ይችላል-

P n= ለ 1 · ለ 2 · ለ 3 · . . . · ለ n = (ለ 1 · ለ n) n / 2 .

ለምሳሌ,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

ያለገደብ እየቀነሰ የጂኦሜትሪክ እድገት

ያለገደብ እየቀነሰ የጂኦሜትሪክ እድገት የመቀየሪያ ሞጁሉ ያነሰ የሆነው ማለቂያ የሌለው የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ ይባላል 1 , ያውና

|ቅ| < 1 .

ያለገደብ እየቀነሰ የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ እየቀነሰ የሚሄድ ቅደም ተከተል ላይሆን እንደሚችል ልብ ይበሉ። ይህ ለጉዳዩ ተስማሚ ነው

1 < ቅ< 0 .

በእንደዚህ ዓይነት አካፋይ, ቅደም ተከተል ምልክት-ተለዋጭ ነው. ለምሳሌ,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

ያለገደብ እየቀነሰ የጂኦሜትሪክ እድገት ድምር የመጀመርያው ድምር ያለበትን ቁጥር ይሰይሙ n የሂደቱ ውሎች ከቁጥሩ ያልተገደበ ጭማሪ ጋር n . ይህ ቁጥር ሁል ጊዜ የተወሰነ ነው እና በቀመሩ ይገለጻል።

ለምሳሌ,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

በሂሳብ እና በጂኦሜትሪክ እድገቶች መካከል ያለው ግንኙነት

አርቲሜቲክ እና ጂኦሜትሪክ እድገቶች በቅርበት የተያያዙ ናቸው. እስቲ ሁለት ምሳሌዎችን ብቻ እንመልከት።

ሀ 1 , ሀ 2 , ሀ 3 , . . . መ , ከዚያም

ለ 1 , ለ 2 , ለ 3 , . . . ለ መ .

ለምሳሌ,

1, 3, 5, . . . - ከልዩነት ጋር የሂሳብ እድገት 2 እና

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ ከዲኖሚነተር ጋር ነው 7 2 . ◄

ለ 1 , ለ 2 , ለ 3 , . . . የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ ከዲኖሚነተር ጋር ነው ቅ , ከዚያም

log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . - ከልዩነት ጋር የሂሳብ እድገት ሎግ ሀቅ .

ለምሳሌ,

2, 12, 72, . . . የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ ከዲኖሚነተር ጋር ነው 6 እና

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - ከልዩነት ጋር የሂሳብ እድገት lg 6 . ◄

የጂኦሜትሪክ እድገት መተዋወቅ ያለብን አዲስ የቁጥር ቅደም ተከተል ነው። ለተሳካ ትውውቅ ቢያንስ ማወቅ እና መረዳት አይጎዳም። ከዚያ በጂኦሜትሪክ እድገት ላይ ምንም ችግር አይኖርም.)

የጂኦሜትሪክ እድገት ምንድን ነው? የጂኦሜትሪክ እድገት ጽንሰ-ሀሳብ.

ጉብኝቱን እንደተለመደው ከአንደኛ ደረጃ ጋር እንጀምራለን. ያላለቀ የቁጥሮች ቅደም ተከተል እጽፋለሁ፡-

1, 10, 100, 1000, 10000, …

ስርዓተ ጥለት ይያዙ እና የትኞቹ ቁጥሮች ቀጥሎ እንደሚሄዱ መንገር ይችላሉ? ቃሪያው ግልጽ ነው, ቁጥሮች 100000, 1000000 እና ሌሎችም የበለጠ ይሄዳሉ. ብዙ የአእምሮ ጭንቀት ባይኖርም, ሁሉም ነገር ግልጽ ነው, ትክክል?)

እሺ ሌላ ምሳሌ። የሚከተለውን ቅደም ተከተል እጽፋለሁ-

1, 2, 4, 8, 16, …

ከቁጥር 16 እና ከስም በመቀጠል የትኞቹ ቁጥሮች እንደሚቀጥሉ ማወቅ ይችላሉ ስምንተኛተከታታይ አባል? ቁጥሩ 128 እንደሚሆን ካወቁ በጣም ጥሩ። ስለዚህ ግማሹ ውጊያው በመረዳት ላይ ነው። ትርጉምእና ዋና ዋና ነጥቦችየጂኦሜትሪክ እድገት አስቀድሞ ተከናውኗል። የበለጠ ማደግ ይችላሉ.)

እና አሁን እንደገና ከስሜት ወደ ጥብቅ ሂሳብ እንሸጋገራለን።

የጂኦሜትሪክ እድገት ቁልፍ ጊዜያት።

ቁልፍ ጊዜ #1

የጂኦሜትሪክ እድገት ነው የቁጥሮች ቅደም ተከተል.እንደ እድገት። ምንም አስቸጋሪ ነገር የለም። ይህን ቅደም ተከተል ብቻ አዘጋጅቷል። በተለየ.ስለዚህ ፣ በእርግጥ ፣ ሌላ ስም አለው ፣ አዎ…

ቁልፍ ጊዜ #2

በሁለተኛው ቁልፍ ነጥብ, ጥያቄው የበለጠ አስቸጋሪ ይሆናል. ትንሽ ወደ ኋላ እንመለስ እና የሂሳብ እድገትን ቁልፍ ንብረት እናስታውስ። እነሆ፡- እያንዳንዱ አባል ከቀዳሚው የተለየ ነው በተመሳሳይ መጠን.

ለጂኦሜትሪክ እድገት ተመሳሳይ ቁልፍ ንብረት ማዘጋጀት ይቻላል? ትንሽ አስብ... የተሰጡትን ምሳሌዎች ተመልከት። ተገምቷል? አዎ! በጂኦሜትሪክ እድገት (ማንኛውም!) እያንዳንዱ አባላቶቹ ከቀዳሚው ይለያያሉ። በተመሳሳይ ቁጥር.ሁሌም ነው!

በመጀመሪያው ምሳሌ, ይህ ቁጥር አሥር ነው. የትኛዎቹ ቅደም ተከተሎች ቢወስዱ, ከቀዳሚው ይበልጣል አሥር ጊዜ.

በሁለተኛው ምሳሌ, ይህ ሁለት ነው: እያንዳንዱ አባል ከቀዳሚው ይበልጣል. ሁለት ግዜ.

በዚህ ቁልፍ ነጥብ ላይ ነው የጂኦሜትሪክ ግስጋሴው ከአርቲሜቲክ አንዱ የሚለየው. በሂሳብ እድገት ውስጥ እያንዳንዱ ቀጣይ ቃል ይገኛል መጨመርከቀዳሚው ቃል ጋር ተመሳሳይ እሴት። እና እዚህ - ማባዛትየቀደመውን ቃል በተመሳሳይ መጠን. ልዩነቱ ይህ ነው።)

ቁልፍ ጊዜ #3

ይህ ቁልፍ ነጥብ ለሂሳብ እድገት ሙሉ በሙሉ ተመሳሳይ ነው። ይኸውም፡- እያንዳንዱ የጂኦሜትሪክ እድገት አባል በእሱ ቦታ ላይ ነው.ሁሉም ነገር በትክክል እንደ የሂሳብ እድገት እና አስተያየቶች አስፈላጊ አይደሉም ብዬ አስባለሁ። የመጀመሪያው ቃል አለ, መቶ እና መጀመሪያ አለ, ወዘተ. ቢያንስ ሁለት አባላትን እናስተካክል - ንድፉ (እና ከእሱ ጋር የጂኦሜትሪክ ግስጋሴው) ይጠፋል። የቀረው ያለ ምንም አመክንዮ የቁጥሮች ቅደም ተከተል ብቻ ነው።

ይኼው ነው. ያ አጠቃላይ የጂኦሜትሪክ እድገት ነጥብ ነው።

ውሎች እና ስያሜዎች.

እና አሁን፣ የጂኦሜትሪክ ግስጋሴውን ትርጉም እና ቁልፍ ነጥቦች ከተመለከትን፣ ወደ ቲዎሪ መሄድ እንችላለን። አለበለዚያ ትርጉሙን ሳይረዱ ቲዎሪ ምንድን ነው, አይደል?

የጂኦሜትሪክ እድገት ምንድን ነው?

የጂኦሜትሪክ እድገት በአጠቃላይ ቃላት እንዴት ይፃፋል? ችግር የለም! እያንዳንዱ የእድገት አባል እንዲሁ በደብዳቤ ይፃፋል። ለሂሳብ እድገት ብቻ, ደብዳቤው ብዙውን ጊዜ ጥቅም ላይ ይውላል "ሀ", ለጂኦሜትሪክ - ፊደል "ለ" የአባል ቁጥር, እንደተለመደው, ይጠቁማል የታችኛው ቀኝ መረጃ ጠቋሚ. የሂደቱ አባላት እራሳቸው በቀላሉ በነጠላ ሰረዞች ወይም ሴሚኮሎን ተዘርዝረዋል።

ልክ እንደዚህ:

ለ1፣ለ 2 , ለ 3 , ለ 4 , ለ 5 , ለ 6 , …

በአጭሩ እንዲህ ዓይነቱ እድገት እንደሚከተለው ተጽፏል- (ለ n) .

ወይም እንደዚህ፣ ላልተወሰነ እድገቶች፡-

ለ 1 ፣ ለ 2 ፣ ለ 3 ፣ ለ 4 ፣ ለ 5 ፣ ለ 6 ።

ለ 1 ፣ ለ 2 ፣ ... ፣ ለ 29 ፣ ለ 30 ።

ወይም በአጭሩ፡-

(ለ n), n=30 .

ያ, በእውነቱ, ሁሉም ስያሜዎች ናቸው. ሁሉም ነገር አንድ ነው, ደብዳቤው ብቻ የተለየ ነው, አዎ.) እና አሁን በቀጥታ ወደ ፍቺው እንሄዳለን.

የጂኦሜትሪክ እድገት ፍቺ.

የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ የቁጥር ቅደም ተከተል ነው, የመጀመሪያው ቃል ዜሮ ያልሆነ ነው, እና እያንዳንዱ ተከታይ ቃል በተመሳሳይ ዜሮ ባልሆነ ቁጥር ከተባዛው ከቀደመው ቃል ጋር እኩል ነው.

ያ ነው አጠቃላይ ትርጉሙ። አብዛኛዎቹ ቃላቶች እና ሀረጎች ለእርስዎ ግልጽ እና የተለመዱ ናቸው። በእርግጥ የጂኦሜትሪክ እድገትን ትርጉም "በጣቶች ላይ" እና በአጠቃላይ ካልተረዳህ በስተቀር. ግን ለየት ያለ ትኩረት ለመሳብ የምፈልጋቸው ጥቂት አዳዲስ ሐረጎችም አሉ።

በመጀመሪያ ቃላቶቹ፡- "የመጀመሪያው ቃል ከዜሮ የተለየ".

ይህ በመጀመሪያው ቃል ላይ ያለው ገደብ በአጋጣሚ አልተጀመረም. የመጀመሪያው ክፍለ ጊዜ ምን ይሆናል ብለው ያስባሉ ለ 1 ዜሮ ይሆናል? እያንዳንዱ ቃል ከቀዳሚው የሚበልጥ ከሆነ ሁለተኛው ቃል ምን ይሆናል? ተመሳሳይ ቁጥር ያለው ጊዜ?ሦስት ጊዜ እንበል? እንይ...የመጀመሪያውን ቃል (ማለትም 0) በ3 አባዛ እና አግኝ... ዜሮ! እና ሦስተኛው አባል? ዜሮም! እና አራተኛው ቃል እንዲሁ ዜሮ ነው! እናም ይቀጥላል…

የዜሮዎች ቅደም ተከተል የከረጢት ቦርሳ ብቻ እናገኛለን፡-

0, 0, 0, 0, …

እርግጥ ነው, እንዲህ ዓይነቱ ቅደም ተከተል የመኖር መብት አለው, ግን ምንም ተግባራዊ ፍላጎት የለውም. ሁሉም ነገር በጣም ግልጽ ነው. የትኛውም አባላቱ ዜሮ ነው። የማንኛውም የአባላት ድምርም ዜሮ ነው... ምን አስደሳች ነገሮችን ልታደርግ ትችላለህ? መነም…

የሚከተሉት ቁልፍ ቃላት፡- "በተመሳሳይ ዜሮ ባልሆነ ቁጥር ተባዝቷል".

ይህ ተመሳሳይ ቁጥር የራሱ ልዩ ስም አለው - የጂኦሜትሪክ እድገት አመላካች. መጠናናት እንጀምር።)

የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ መለያ።

ሁሉም ነገር ቀላል ነው።

የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ መለያው ዜሮ ያልሆነ ቁጥር (ወይም እሴት) ያመለክታልስንት ጊዜእያንዳንዱ የእድገት አባል ከቀዳሚው የበለጠ.

እንደገና፣ ከሂሳብ ግስጋሴ ጋር በማመሳሰል፣ በዚህ ፍቺ ውስጥ ትኩረት ሊሰጠው የሚገባ ቁልፍ ቃል ቃሉ ነው። "ተጨማሪ". የጂኦሜትሪክ እድገት እያንዳንዱ ቃል ተገኝቷል ማለት ነው ማባዛትወደዚህ መለያየት የቀድሞ አባል.

አስረዳለሁ።

ለማስላት, እንበል ሁለተኛለመውሰድ አባል አንደኛአባል እና ማባዛትወደ መለያው ነው። ለማስላት አስረኛለመውሰድ አባል ዘጠነኛአባል እና ማባዛትወደ መለያው ነው።

የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ ራሱ ምንም ሊሆን ይችላል. በፍጹም ማንም! ኢንቲጀር ፣ ክፍልፋይ ፣ አወንታዊ ፣ አሉታዊ ፣ ምክንያታዊ ያልሆነ - ሁሉም ሰው። ከዜሮ በስተቀር። በትርጉሙ ውስጥ "ዜሮ ያልሆነ" የሚለው ቃል የሚነግረን ይህንን ነው። ለምን ይህ ቃል እዚህ ያስፈልጋል - በኋላ ላይ ተጨማሪ.

የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ መለያብዙውን ጊዜ በደብዳቤ ይገለጻል ቅ.

ይህንን እንዴት ማግኘት እንደሚቻል ቅ? ችግር የለም! የሂደቱን ማንኛውንም ቃል መውሰድ አለብን እና በቀድሞው ቃል መከፋፈል. ክፍፍል ነው። ክፍልፋይ. ስለዚህም ስሙ - "የእድገት መለያው." መለያው ፣ ብዙውን ጊዜ በክፍልፋይ ውስጥ ይቀመጣል ፣ አዎ ...) ምንም እንኳን ፣ ምክንያታዊ ፣ እሴቱ ቅተብሎ መጠራት አለበት። የግልየጂኦሜትሪክ እድገት ፣ ተመሳሳይ ልዩነትለሂሳብ እድገት. ለመደወል ግን ተስማማ አካታች. እና መንኮራኩሩን እንደገና አንፈጥርም።)

ለምሳሌ እሴቱን እንገልፃለን። ቅለዚህ የጂኦሜትሪክ እድገት፡-

2, 6, 18, 54, …

ሁሉም ነገር የመጀመሪያ ደረጃ ነው. እንወስዳለን ማንኛውምቅደም ተከተል ቁጥር. የምንፈልገው የምንወስደውን ነው። ከመጀመሪያው በስተቀር. ለምሳሌ, 18. እና አካፍል የቀድሞ ቁጥር. ማለትም በ6.

እናገኛለን፡-

ቅ = 18/6 = 3

ይኼው ነው. ትክክለኛው መልስ ይህ ነው። ለአንድ የተወሰነ የጂኦሜትሪክ እድገት, መለያው ሶስት ነው.

መለያውን እንፈልግ ቅለሌላ የጂኦሜትሪክ እድገት. ለምሳሌ፣ እንደዚህ፡-

1, -2, 4, -8, 16, …

ሁሉም ተመሳሳይ. አባላቱ ምንም አይነት ምልክት ቢኖራቸውም አሁንም እንወስዳለን። ማንኛውምተከታታይ ቁጥር (ለምሳሌ 16) እና በ አካፍል የቀድሞ ቁጥር(ማለት -8)።

እናገኛለን፡-

መ = 16/(-8) = -2

እና ያ ነው.) በዚህ ጊዜ የሂደቱ መለያ ወደ አሉታዊነት ተለወጠ. ሁለት ሲቀነስ። ያጋጥማል.)

ይህንን እድገት እንውሰድ፡-

1, 1/3, 1/9, 1/27, …

እና እንደገና ፣ በቅደም ተከተል ውስጥ ያሉት የቁጥሮች አይነት ምንም ቢሆኑም (ኢንቲጀር እንኳን ፣ ክፍልፋይ ፣ አሉታዊ ፣ አልፎ ተርፎም ምክንያታዊ ያልሆነ) ማንኛውንም ቁጥር እንወስዳለን (ለምሳሌ ፣ 1/9) እና በቀድሞው ቁጥር (1/3) እንካፈላለን ። ክፍልፋዮች ጋር ክወናዎች ደንቦች መሠረት, እርግጥ ነው.

እናገኛለን፡-

ያ ብቻ ነው።) እዚህ መለያው ክፍልፋይ ሆኖ ተገኘ፡- ቅ = 1/3.

ግን እንደ አንተ ያለ "እድገት"?

3, 3, 3, 3, 3, …

እዚህ ግልጽ ነው። ቅ = 1 . በመደበኛነት ፣ ይህ እንዲሁ የጂኦሜትሪክ እድገት ነው ፣ ከ ጋር ብቻ ተመሳሳይ አባላት.) ግን እንደዚህ ያሉ እድገቶች ለጥናት እና ለተግባራዊ አተገባበር አስደሳች አይደሉም. ልክ እንደ ጠንካራ ዜሮዎች እድገቶች። ስለዚህ እኛ አንመለከታቸውም።

እንደሚመለከቱት ፣ የሂደቱ መለያ ማንኛውም ሊሆን ይችላል - ኢንቲጀር ፣ ክፍልፋይ ፣ አወንታዊ ፣ አሉታዊ - ማንኛውም ነገር! ዜሮ ብቻ ሊሆን አይችልም። ለምን እንደሆነ አልገመትኩም?

ደህና፣ አንድ የተወሰነ ምሳሌ እንመልከት፣ እንደ መለያ ብንወስድ ምን ይሆናል? ቅዜሮ.) ለምሳሌ, ይኑር ለ 1 = 2 ፣ ሀ ቅ = 0 . ያኔ ሁለተኛው ዘመን ምን ይሆናል?

እናምናለን:

ለ 2 = ለ 1 · ቅ= 2 0 = 0

እና ሦስተኛው አባል?

ለ 3 = ለ 2 · ቅ= 0 0 = 0

የጂኦሜትሪክ እድገቶች ዓይነቶች እና ባህሪ.

ሁሉም ነገር የበለጠ ወይም ያነሰ ግልጽ ነበር: በእድገት ላይ ያለው ልዩነት ከሆነ መአዎንታዊ ነው, እድገቱ እየጨመረ ነው. ልዩነቱ አሉታዊ ከሆነ, እድገቱ ይቀንሳል. ሁለት አማራጮች ብቻ አሉ። ሦስተኛው የለም።)

ግን በጂኦሜትሪክ እድገት ባህሪ ሁሉም ነገር የበለጠ አስደሳች እና የተለያዩ ይሆናል!)

አባላቱ እዚህ ባህሪ እንደያዙ፡ እየጨመሩና እየቀነሱ ወደ ዜሮ ላልተወሰነ ጊዜ ይቀርባሉ፣ ምልክቶችንም ይለውጣሉ፣ በተለዋዋጭ ወይ ወደ “ፕላስ” ወይም ወደ “መቀነስ” ይሯሯጣሉ! እና በዚህ ሁሉ ልዩነት ውስጥ አንድ ሰው በደንብ መረዳት መቻል አለበት ፣ አዎ…

ተረድተናል?) በጣም ቀላል በሆነው ጉዳይ እንጀምር።

መለያው አዎንታዊ ነው ( ቅ >0)

በአዎንታዊ አካፋይ፣ በመጀመሪያ፣ የጂኦሜትሪክ እድገት አባላት ወደ ውስጥ መግባት ይችላሉ። ሲደመር infinity(ማለትም ያለገደብ መጨመር) እና ወደ ውስጥ መግባት ይችላል ወሰን አልባነት(ማለትም ላልተወሰነ ጊዜ መቀነስ). ከእንደዚህ አይነት የእድገት ባህሪ ቀደም ብለን ተላምደናል።

ለምሳሌ:

(ለ n): 1, 2, 4, 8, 16, …

እዚህ ሁሉም ነገር ቀላል ነው. እያንዳንዱ የእድገት አባል ነው። ከቀዳሚው የበለጠ. እና እያንዳንዱ አባል ያገኛል ማባዛትየቀድሞው አባል በርቷል አዎንታዊቁጥር +2 (ማለትም. ቅ = 2 ). የእንደዚህ አይነት እድገት ባህሪ ግልጽ ነው: ሁሉም የሂደቱ አባላት ያለገደብ ያድጋሉ, ወደ ጠፈር ይሄዳሉ. ሲደመር ወሰን አልባ...

አሁን ግስጋሴው እነሆ፡-

(ለ n): -1, -2, -4, -8, -16, …

እዚህ ደግሞ እያንዳንዱ የእድገት ጊዜ ተገኝቷል ማባዛትየቀድሞው አባል በርቷል አዎንታዊቁጥር +2. ነገር ግን የእንደዚህ አይነት እድገት ባህሪ ቀድሞውኑ ተቃራኒ ነው-እያንዳንዱ የእድገት አባል ተገኝቷል ከቀዳሚው ያነሰ, እና ሁሉም ቃላቶቹ ላልተወሰነ ጊዜ ይቀንሳሉ, ወደ ማለቂያ የሌለው ይቀንሳል.

አሁን እናስብ: እነዚህ ሁለት እድገቶች ምን የሚያመሳስላቸው ነገር አለ? ልክ ነው፣ አካፋይ! እዚህ እና እዚያ ቅ = +2 . አዎንታዊ ቁጥር. Deuce ግን ባህሪእነዚህ ሁለት እድገቶች በመሠረቱ የተለያዩ ናቸው! ለምን እንደሆነ አልገመትኩም? አዎ! ስለ ሁሉም ነገር ነው። የመጀመሪያ አባል!እነሱ እንደሚሉት እሱ ነው ሙዚቃውን የሚያዝዘው።) ለራስዎ ይመልከቱ።

በመጀመሪያው ሁኔታ, የእድገት የመጀመሪያ ቃል አዎንታዊ(+1) እና፣ ስለዚህ፣ ሁሉም ተከታይ ቃላት በማባዛት የተገኙ አዎንታዊአካታች ቅ = +2 ፣ እንዲሁም ይሆናል። አዎንታዊ።

ግን በሁለተኛው ጉዳይ, የመጀመሪያው ቃል አሉታዊ(-አንድ). ስለዚህ, ሁሉም ቀጣይ የሂደቱ አባላት በማባዛት የተገኙ ናቸው አዎንታዊ ቅ = +2 , እንዲሁም ያገኛሉ አሉታዊ.ለ"መቀነስ" ወደ "ፕላስ" ሁል ጊዜ "መቀነስ" ይሰጣል፣ አዎ።)

እንደሚመለከቱት ፣ እንደ የሂሳብ ግስጋሴ ፣ የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ ሙሉ በሙሉ በተለያዩ መንገዶች ባህሪ ሊኖረው ይችላል ፣ ይህም ብቻ ሳይሆን ከዲኖሚኔተርቅ, ግን ደግሞ ይወሰናል ከመጀመሪያው አባል, አዎ.)

ያስታውሱ፡ የጂኦሜትሪክ እድገት ባህሪ በልዩ ሁኔታ የሚወሰነው በመጀመሪያው አባል ነው። ለ 1 እና አካታችቅ .

እና አሁን ብዙም ያልተለመዱ ፣ ግን የበለጠ አስደሳች ጉዳዮችን ትንታኔ እንጀምራለን!

ለምሳሌ የሚከተለውን ቅደም ተከተል እንውሰድ፡-

(ለ n): 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, …

ይህ ቅደም ተከተል እንዲሁ የጂኦሜትሪክ እድገት ነው! የዚህ እድገት እያንዳንዱ አባል እንዲሁ ተገኝቷል ማባዛትየቀድሞው ቃል, በተመሳሳይ ቁጥር. ቁጥሩ ብቻ ነው። ክፍልፋይ፡ ቅ = +1/2 . ወይም +0,5 . እና (አስፈላጊ!) ቁጥር, ትንሽ:ቅ = 1/2<1.

በዚህ የጂኦሜትሪክ እድገት ላይ ምን አስደሳች ነገር አለ? አባላቱ ወዴት እየሄዱ ነው? እስኪ እናያለን:

1/2 = 0,5;

1/4 = 0,25;

1/8 = 0,125;

1/16 = 0,0625;

…….

እዚህ ምን አስደሳች ነገር አለ? በመጀመሪያ ደረጃ, የሂደቱ አባላት መቀነስ ወዲያውኑ አስደናቂ ነው: እያንዳንዱ አባላቶቹ ያነሰየቀደመውን በትክክል 2 ጊዜ.ወይም፣ በጂኦሜትሪክ ግስጋሴ ፍቺ መሠረት፣ እያንዳንዱ ቃል ተጨማሪቀዳሚ 1/2 ጊዜ, ምክንያቱም የእድገት ደረጃ ቅ = 1/2 . እና ከአንድ ባነሰ አወንታዊ ቁጥር ከመባዛት ውጤቱ ብዙውን ጊዜ ይቀንሳል፣ አዎ ...

ምንድን ገናበዚህ እድገት ባህሪ ውስጥ ሊታይ ይችላል? አባላቱ ይጠፋሉ? ያልተገደበ, ወደ ኢንፍንቲቲዝም እየቀነሰ ይሄዳል? አይደለም! በተለየ መንገድ ይጠፋሉ. መጀመሪያ ላይ በጣም በፍጥነት ይቀንሳሉ, እና ከዚያም በበለጠ እና በዝግታ. እና በሚቆዩበት ጊዜ ሁሉ አዎንታዊ. በጣም ትንሽ ቢሆንም. እና ምን ለማግኘት እየጣሩ ነው? አልገመትኩም? አዎ! እነሱ ወደ ዜሮ ይቀየራሉ!) እና, ትኩረት ይስጡ, የእድገታችን አባላት በጭራሽ አይደርስም!ብቻ ወደ እሱ ያለማቋረጥ ቅርብ. በጣም አስፈላጊ ነው.)

በእንደዚህ ዓይነት እድገት ውስጥ ተመሳሳይ ሁኔታ ይከናወናል-

(ለ n): -1, -1/2, -1/4, -1/8, -1/16, …

እዚህ ለ 1 = -1 ፣ ሀ ቅ = 1/2 . ሁሉም ነገር አንድ ነው፣ አሁን ብቻ አባላቱ ከሌላኛው ወገን፣ ከታች ወደ ዜሮ ይጠጋሉ። ሁል ጊዜ መቆየት አሉታዊ.)

እንዲህ ዓይነቱ የጂኦሜትሪክ እድገት, የአባላቱ አባላት ላልተወሰነ ጊዜ ወደ ዜሮ መቅረብ.(ምንም አይደለም ፣ በአዎንታዊም ሆነ በአሉታዊ ጎኑ) ፣ በሂሳብ ውስጥ ልዩ ስም አለው - ያለገደብ እየቀነሰ የጂኦሜትሪክ እድገት።ይህ እድገት በጣም አስደሳች እና ያልተለመደ ከመሆኑ የተነሳ እንኳን ይሆናል የተለየ ትምህርት .)

ስለዚህ, የሚችሉትን ሁሉ ተመልክተናል አዎንታዊመለያዎች ሁለቱም ትላልቅ እና ትናንሽ ናቸው. ከላይ በተገለጹት ምክንያቶች እራሱን እንደ መለያ አንቆጥረውም (ምሳሌውን ከሶስት እጥፍ ቅደም ተከተል ጋር ያስታውሱ ...)

ለማሳጠር:

አዎንታዊእና ከአንድ በላይ (ቅ>1) ከዚያም የሂደቱ አባላት፡-

ሀላልተወሰነ ጊዜ መጨመር (ከሆነ)ለ 1 >0);

ለ) ያለገደብ መቀነስ (ከሆነ)ለ 1 <0).

የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ መለያ ከሆነ አዎንታዊ እና ከአንድ ያነሰ (0< ቅ<1), то члены прогрессии:

ሀ) ወሰን በሌለው ወደ ዜሮ የቀረበ በላይ(ከሆነለ 1 >0);

ለ) ወሰን በሌለው ወደ ዜሮ የቀረበ ከታች(ከሆነለ 1 <0).

ጉዳዩን ለማየት አሁን ይቀራል አሉታዊ መለያ.

መለያው አሉታዊ ነው ( ቅ <0)

ለአብነት ያህል ሩቅ አንሄድም። ለምን ፣ በእውነቱ ፣ ሻጊ አያት?!) ለምሳሌ ፣ የእድገቱ የመጀመሪያ አባል ይሁን። ለ 1 = 1 , እና መለያውን ይውሰዱ q = -2.

የሚከተለውን ቅደም ተከተል እናገኛለን:

(ለ n): 1, -2, 4, -8, 16, …

እና ወዘተ.) እያንዳንዱ የእድገት ቃል ተገኝቷል ማባዛትየቀድሞው አባል በርቷል አሉታዊ ቁጥር-2. በዚህ አጋጣሚ ሁሉም ባልተለመዱ ቦታዎች (አንደኛ፣ ሦስተኛ፣ አምስተኛ፣ ወዘተ) ያሉ አባላት ይሆናሉ አዎንታዊእና በቦታዎች (ሁለተኛ ፣ አራተኛ ፣ ወዘተ) - አሉታዊ.ምልክቶች በጥብቅ የተጠላለፉ ናቸው. Plus-minus-plus-minus ... እንዲህ ዓይነቱ የጂኦሜትሪክ እድገት ይባላል - እየጨመረ የሚሄድ ምልክት.

አባላቱ ወዴት እየሄዱ ነው? እና የትም የለም.) አዎ, በፍፁም ዋጋ (ማለትም ሞዱሎ)የእድገታችን ውሎች ላልተወሰነ ጊዜ ይጨምራሉ (ስለዚህ "እየጨመረ" የሚለው ስም)። ግን በተመሳሳይ ጊዜ, እያንዳንዱ የእድገት አባል በተለዋዋጭ ወደ ሙቀቱ, ከዚያም ወደ ቅዝቃዜ ይጥለዋል. ሲደመር ወይም ሲቀነስ። እድገታችን ይለዋወጣል ... ከዚህም በላይ የመለዋወጦች ወሰን በእያንዳንዱ እርምጃ በፍጥነት ያድጋል, አዎ.) ስለዚህ, የእድገት አባላት ወደ አንድ ቦታ የመሄድ ምኞት. በተለይእዚህ አይ.ኢ-ኢንፊኔቲትን ለመጨመር ፣ ወይም ኢ-ፍኖትን ለመቀነስ ፣ ወይም ወደ ዜሮ - የትም የለም።

አሁን በዜሮ እና በአንድ ሲቀነስ መካከል ያለውን የተወሰነ ክፍልፋይ አስብባቸው።

ለምሳሌ, ይሁን ለ 1 = 1 ፣ ሀ q = -1/2.

ከዚያ እድገቱን እናገኛለን-

(ለ n): 1, -1/2, 1/4, -1/8, 1/16, …

እና እንደገና የምልክቶች ተለዋጭ አለን! ነገር ግን፣ ከቀደምት ምሳሌ በተለየ፣ እዚህ ቃላቶች ወደ ዜሮ የመቅረብ አዝማሚያ ቀድሞውኑ አለ። ማመንታት. በተለዋጭ መንገድ አወንታዊ ወይም አሉታዊ እሴቶችን መውሰድ። ግን በተመሳሳይ ጊዜ እነሱ ሞጁሎችወደ ተወደደው ዜሮ እየተቃረቡ እና እየቀረቡ ናቸው።)

ይህ የጂኦሜትሪክ እድገት ይባላል ያለማቋረጥ የሚቀንስ ተለዋጭ ምልክት።

እነዚህ ሁለት ምሳሌዎች አስደሳች የሆኑት ለምንድን ነው? እና በሁለቱም ሁኔታዎች ውስጥ የመሆኑ እውነታ ተለዋጭ ቁምፊዎች!እንዲህ ዓይነቱ ቺፕ ዓይነተኛ የሚሆነው አሉታዊ መለያ ላላቸው እድገቶች ብቻ ነው ፣ አዎ።) ስለዚህ ፣ በአንዳንድ ተግባራት ውስጥ ከተለዋዋጭ አባላት ጋር የጂኦሜትሪክ እድገትን ካዩ ፣ የእሱ መለያ 100% አሉታዊ መሆኑን ቀድሞውኑ ያውቃሉ እናም አይሳሳቱም። በምልክት ውስጥ)

በነገራችን ላይ, በአሉታዊ ሁኔታ ውስጥ, የመጀመሪያው ቃል ምልክቱ በራሱ የእድገት ባህሪ ላይ ምንም ተጽእኖ አያመጣም. የሂደቱ የመጀመሪያ አባል ምልክት ምንም ይሁን ምን, በማንኛውም ሁኔታ, የአባላት መፈራረቅ ምልክት ይታያል. ጥያቄው ሁሉ ልክ ነው። በየትኞቹ ቦታዎች ላይ(እንኳን ወይም እንግዳ) የተወሰኑ ምልክቶች ያላቸው አባላት ይኖራሉ።

አስታውስ፡-

የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ መለያ ከሆነ አሉታዊ , ከዚያም የሂደቱ ውሎች ምልክቶች ሁልጊዜ ናቸው ተለዋጭ።

በተመሳሳይ ጊዜ አባላቱ እራሳቸው፡-

ሀ) ያለገደብ መጨመርሞዱሎ፣ ከሆነቅ<-1;

ለ) ያለገደብ ወደ ዜሮ መቅረብ -1 ከሆነ< ቅ<0 (прогрессия бесконечно убывающая).

ይኼው ነው. ሁሉም የተለመዱ ጉዳዮች ይመረመራሉ.)

የተለያዩ የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ ምሳሌዎችን በመተንተን ሂደት ውስጥ፣ ቃላቶቹን በየጊዜው እጠቀም ነበር፡- "ወደ ዜሮ ይቀየራል", "ወደ ጨለምተኝነት ያቀናል", ገደብ የለሽነትን ይቀንሳል... ምንም ችግር የለውም።) እነዚህ የንግግር ማዞሪያዎች (እና የተወሰኑ ምሳሌዎች) ከመጀመሪያው ጋር መተዋወቅ ብቻ ናቸው። ባህሪየተለያዩ የቁጥር ቅደም ተከተሎች. የጂኦሜትሪክ እድገት ምሳሌ.

የእድገት ባህሪን እንኳን ማወቅ ለምን ያስፈልገናል? በሄደችበት ቦታ ምን ለውጥ ያመጣል? ወደ ዜሮ፣ ወደ ኢ-ኢንፊኒቲ ሲደመር፣ ወደ ኢንፍኔቲዝም ሲቀነስ ... ለዚህ ምን ግድ ይለናል?

ነገሩ ቀድሞውኑ በዩኒቨርሲቲ ውስጥ, በከፍተኛ የሂሳብ ትምህርት ውስጥ, ከተለያዩ የቁጥር ቅደም ተከተሎች (ከማንኛውም ጋር, እድገቶች ብቻ ሳይሆን!) የመሥራት ችሎታ ያስፈልግዎታል እና ይህ ወይም ያ ቅደም ተከተል እንዴት እንደሚሠራ በትክክል የመገመት ችሎታ ያስፈልግዎታል. - ያለገደብ ቢጨምር ፣ ቢቀንስ ፣ ወደ አንድ የተወሰነ ቁጥር (እና የግድ ወደ ዜሮ አይደለም) ፣ ወይም በጭራሽ ወደ ምንም ነገር አይመራም ... አንድ ሙሉ ክፍል በሂሳብ ሂደት ውስጥ ለዚህ ርዕስ ተወስኗል። ትንተና - ገደብ ንድፈ ሐሳብ.ትንሽ ለየት ባለ መልኩ, ጽንሰ-ሐሳቡ የቁጥር ቅደም ተከተል ገደብ.በጣም አስደሳች ርዕስ! ኮሌጅ ገብተህ ማወቅህ ተገቢ ነው።)

አንዳንድ ምሳሌዎች ከዚህ ክፍል (ገደብ ያላቸው ቅደም ተከተሎች) እና በተለይም፣ ያለገደብ እየቀነሰ የጂኦሜትሪክ እድገትበትምህርት ቤት መማር ይጀምሩ. ጥቅም ላይ ማዋል.)

በተጨማሪም ፣ ለወደፊቱ የቅደም ተከተል ባህሪን በደንብ የማጥናት ችሎታ በእጆቹ ውስጥ በጣም ይጫወታል እና በ ውስጥ በጣም ጠቃሚ ይሆናል ። የተግባር ምርምር.በጣም የተለያየ. ነገር ግን በብቃት ከተግባሮች ጋር የመስራት ችሎታ (ተለዋዋጮችን አስላ ፣ ሙሉ በሙሉ ያስሱ ፣ ግራፎችን ይገንቡ) ቀድሞውኑ የሂሳብ ደረጃዎን በከፍተኛ ሁኔታ ይጨምራል! ጥርጣሬ? አያስፈልግም. ቃላቶቼንም አስታውስ)

በህይወት ውስጥ የጂኦሜትሪክ እድገትን እንመልከት?

በዙሪያችን ባለው ህይወት፣ በጣም ብዙ እና ብዙ ጊዜ ገላጭ እድገት ያጋጥመናል። ሳያውቁት.)

ለምሳሌ በየቦታው የሚከብቡን እና ያለአጉሊ መነጽር እንኳን የማናያቸው የተለያዩ ረቂቅ ተሕዋስያን በጂኦሜትሪክ እድገት ውስጥ በትክክል ይባዛሉ።

አንድ ባክቴሪያ ለሁለት ተከፍሎ በ2 ባክቴሪያ ዘርን በመስጠት ይራባል እንበል። በምላሹም እያንዳንዳቸው በማባዛት በግማሽ ይከፈላሉ, የ 4 ባክቴሪያዎችን የጋራ ዘሮችን ይሰጣሉ. የሚቀጥለው ትውልድ 8 ባክቴሪያዎችን, ከዚያም 16 ባክቴሪያዎችን, 32, 64 እና የመሳሰሉትን ይሰጣል. በእያንዳንዱ ተከታታይ ትውልድ የባክቴሪያዎች ቁጥር በእጥፍ ይጨምራል. የጂኦሜትሪክ እድገት ዓይነተኛ ምሳሌ።)

እንዲሁም አንዳንድ ነፍሳት - aphids, ዝንቦች - በብዛት ይባዛሉ. እና ጥንቸሎች አንዳንድ ጊዜ, በነገራችን ላይ, እንዲሁ.)

ሌላው የጂኦሜትሪክ እድገት ምሳሌ, ወደ የዕለት ተዕለት ኑሮው የቀረበ, ተብሎ የሚጠራው ነው ተደራራቢ ወለድ.እንዲህ ዓይነቱ አስደሳች ክስተት ብዙውን ጊዜ በባንክ ተቀማጭ ገንዘብ ውስጥ የሚገኝ ሲሆን ይባላል የወለድ ካፒታላይዜሽን.ምንድን ነው?

አንተ ራስህ አሁንም ወጣት ነህ። ትምህርት ቤት ነው የምትማረው፣ ለባንኮች አታመልክትም። ነገር ግን ወላጆችህ አዋቂዎች እና እራሳቸውን የቻሉ ሰዎች ናቸው. ወደ ሥራ ይሄዳሉ፣ ለዕለት እንጀራቸው ገንዘብ ያገኛሉ፣ እና የተወሰነውን ገንዘብ ባንክ ውስጥ በማስቀመጥ ቁጠባ ያደርጋሉ።)

አባትህ በቱርክ ውስጥ ለቤተሰብ ዕረፍት የተወሰነ ገንዘብ ማጠራቀም ይፈልጋል እና 50,000 ሩብልስ በባንክ በዓመት 10% ለሦስት ዓመታት ያህል ማስቀመጥ ይፈልጋል እንበል። ከዓመታዊ የወለድ ካፒታላይዜሽን ጋር.ከዚህም በላይ በዚህ ጊዜ ውስጥ በተቀማጭ ገንዘብ ምንም ማድረግ አይቻልም. ተቀማጩን መሙላትም ሆነ ከመለያው ገንዘብ ማውጣት አይችሉም። በእነዚህ ሦስት ዓመታት ውስጥ ምን ትርፍ ያስገኛል?

ደህና ፣ በመጀመሪያ ፣ በዓመት 10% ምን እንደሆነ ማወቅ ያስፈልግዎታል። ማለት ነው። በዓመት ውስጥ 10% በባንኩ የመጀመሪያ የተቀማጭ መጠን ላይ ይጨመራል። ከምን? እርግጥ ነው, ከ የመጀመሪያ የተቀማጭ መጠን.

በዓመት ውስጥ የመለያውን መጠን አስሉ. የተቀማጩ የመጀመሪያ መጠን 50,000 ሩብልስ (ማለትም 100%) ከሆነ በዓመት ውስጥ በመለያው ላይ ምን ያህል ወለድ ይሆናል? ልክ ነው 110%! ከ 50,000 ሩብልስ.

ስለዚህ ከ 50,000 ሩብልስ 110% እንቆጥራለን-

50,000 1.1 \u003d 55,000 ሩብልስ።

እሴቱን 110% ማግኘት ማለት ይህንን እሴት በ 1.1 ቁጥር ማባዛት እንደሆነ እንደተረዱት ተስፋ አደርጋለሁ? ይህ ለምን እንደሆነ ካልገባህ አምስተኛ እና ስድስተኛ ክፍልን አስታውስ። ይኸውም - የመቶኛዎች ከክፍልፋዮች እና ክፍሎች ጋር ያለው ግንኙነት።)

ስለዚህ, ለመጀመሪያው አመት መጨመር 5000 ሩብልስ ይሆናል.

ከሁለት ዓመት በኋላ በመለያው ውስጥ ምን ያህል ገንዘብ ይኖራል? 60,000 ሩብልስ? እንደ አለመታደል ሆኖ (ወይም ይልቁንስ እንደ እድል ሆኖ) ያን ያህል ቀላል አይደለም። የወለድ ካፒታላይዜሽን አጠቃላይ ዘዴ በእያንዳንዱ አዲስ የወለድ ክምችት፣ እነዚሁ ተመሳሳይ ፍላጎቶች አስቀድሞ ይቆጠራሉ። ከአዲሱ መጠን!ከማን አስቀድሞመለያ ላይ ነው። በአሁኑ ግዜ.እና ለቀደመው ጊዜ የተጠራቀመው ወለድ በተቀማጭ የመጀመሪያ መጠን ላይ ተጨምሯል, እናም, እራሳቸው በአዲስ ወለድ ስሌት ውስጥ ይሳተፋሉ! ያም ማለት የጠቅላላ መለያው ሙሉ አካል ይሆናሉ. ወይም አጠቃላይ ካፒታል.ስለዚህ ስሙ - የወለድ ካፒታላይዜሽን.

በኢኮኖሚው ውስጥ ነው። እና በሂሳብ ውስጥ, እንደዚህ ያሉ መቶኛዎች ይባላሉ ተደራራቢ ወለድ.ወይም በመቶኛ.) የእነሱ ብልሃት በቅደም ተከተል ስሌት ውስጥ, መቶኛዎቹ በእያንዳንዱ ጊዜ ይሰላሉ ከአዲሱ እሴት.ከመጀመሪያው አይደለም...

ስለዚህ, ድምርን ለማስላት ሁለት ዓመታት, በሂሳቡ ውስጥ የሚሆነውን መጠን 110% ማስላት ያስፈልገናል በዓመት ውስጥ.ያም ማለት ቀድሞውኑ ከ 55,000 ሩብልስ.

ከ 55,000 ሩብልስ 110% እንቆጥራለን-

55000 1.1 \u003d 60500 ሩብልስ።

ይህ ማለት ለሁለተኛው አመት መቶኛ መጨመር ቀድሞውኑ 5,500 ሩብልስ, እና ለሁለት አመታት - 10,500 ሩብልስ ይሆናል.

አሁን በሶስት አመታት ውስጥ በሂሳቡ ውስጥ ያለው መጠን ከ 60,500 ሩብልስ 110% እንደሚሆን አስቀድመው መገመት ይችላሉ. እንደገና 110% ካለፈው (ያለፈው ዓመት)መጠኖች.

እዚህ ላይ እናስባለን-

60500 1.1 \u003d 66550 ሩብልስ።

እና አሁን የገንዘቦቻችንን መጠን በቅደም ተከተል በአመታት እንገነባለን-

50000;

55000 = 50000 1.1;

60500 = 55000 1.1 = (50000 1.1) 1.1;

66550 = 60500 1.1 = ((50000 1.1) 1.1) 1.1

ታዲያ እንዴት ነው? ለምን የጂኦሜትሪክ እድገት አይሆንም? የመጀመሪያ አባል ለ 1 = 50000 , እና መለያው ቅ = 1,1 . እያንዳንዱ ቃል ከቀዳሚው በትክክል 1.1 እጥፍ ይበልጣል። ሁሉም ነገር በትርጉሙ መሰረት ነው.)

እና አባትህ 50,000 ሩብል ለሦስት ዓመታት በባንክ አካውንት ውስጥ በነበረበት ጊዜ ምን ያህል ተጨማሪ መቶኛ ጉርሻዎች "ይወርዳሉ"?

እናምናለን:

66550 - 50000 = 16550 ሩብልስ

በእርግጥ መጥፎ ነው። ነገር ግን ይህ የመዋጮው የመጀመሪያ መጠን ትንሽ ከሆነ ነው. ተጨማሪ ካለስ? 50 ሳይሆን 200 ሺህ ሮቤል ይበሉ? ከዚያ ለሶስት አመታት መጨመር ቀድሞውኑ 66,200 ሩብልስ (ከተቆጠሩ) ይሆናል. የትኛው ቀድሞውኑ በጣም ጥሩ ነው.) እና መዋጮው የበለጠ ከሆነ? ያ ነው...

ማጠቃለያ-የመጀመሪያው መዋጮ ከፍ ባለ መጠን የወለድ ካፒታላይዜሽን የበለጠ ትርፋማ ይሆናል። ለዚህም ነው ተቀማጭ ገንዘብ ከወለድ ካፒታላይዜሽን ጋር ለረጅም ጊዜ በባንኮች የሚቀርበው። አምስት አመት እንበል።

እንዲሁም፣ እንደ ኢንፍሉዌንዛ፣ ኩፍኝ እና ይበልጥ አስከፊ የሆኑ በሽታዎች (ተመሳሳይ SARS በ 2000 ዎቹ መጀመሪያ ላይ ወይም በመካከለኛው ዘመን ውስጥ ቸነፈር) ያሉ ሁሉም ዓይነት መጥፎ በሽታዎች በፍጥነት መሰራጨት ይወዳሉ። ስለዚህ የወረርሽኞች ልኬት, አዎ ...) እና ሁሉም ምክንያቱም ጋር አንድ ጂኦሜትሪክ እድገት እውነታ ነው አጠቃላይ አዎንታዊ መለያ (ቅ>1) - በጣም በፍጥነት የሚያድግ ነገር! የባክቴሪያዎችን መራባት ያስታውሱ-ከአንድ ባክቴሪያ ሁለቱ ይገኛሉ ፣ ከሁለት - አራት ፣ ከአራት - ስምንት ፣ እና የመሳሰሉት ... ከማንኛውም ኢንፌክሽን ስርጭት ፣ ሁሉም ነገር አንድ ነው።)

በጂኦሜትሪክ እድገት ውስጥ በጣም ቀላሉ ችግሮች.

እንደ ሁሌም በቀላል ችግር እንጀምር። ትርጉሙን ለመረዳት ብቻ።

1. የጂኦሜትሪክ እድገት ሁለተኛ ቃል 6 እንደሆነ ይታወቃል, እና መለያው -0.5 ነው. የመጀመሪያውን, ሶስተኛውን እና አራተኛውን ውሎች ያግኙ.

ስለዚህ ተሰጥተናል ማለቂያ የሌለውየጂኦሜትሪክ እድገት, በደንብ ይታወቃል ሁለተኛ ጊዜይህ እድገት:

b2 = 6

በተጨማሪም, እኛ ደግሞ እናውቃለን የእድገት ደረጃ:

q = -0.5

እና ማግኘት ያስፈልግዎታል አንደኛ፣ ሦስተኛእና አራተኛየዚህ እድገት አባላት.

እዚህ እኛ እንሰራለን. እንደ ችግሩ ሁኔታ ቅደም ተከተል እንጽፋለን. በቀጥታ በአጠቃላይ አገላለጽ፣ ሁለተኛው አባል ስድስቱ ሲሆኑ፡-

ለ1፣6፣ለ 3 , ለ 4 , …

አሁን መፈለግ እንጀምር. እንደ ሁልጊዜው በጣም ቀላሉን እንጀምራለን. ለምሳሌ, ሶስተኛውን ቃል ማስላት ይችላሉ ለ 3? ይችላል! ሦስተኛው ቃል መሆኑን አስቀድመን አውቀናል (በቀጥታ በጂኦሜትሪክ እድገት ስሜት) (ለ 3)ከአንድ ሰከንድ በላይ (ለ 2 ) ውስጥ "q"አንድ ጊዜ!

ስለዚህ እኛ እንጽፋለን-

ለ 3 =ለ 2 · ቅ

በዚህ አገላለጽ ምትክ ስድስቱን እንተካለን። ለ 2እና -0.5 በምትኩ ቅእና እኛ እናስባለን. እና ቅነሳው እንዲሁ ችላ አይባልም ፣ በእርግጥ…

b 3 \u003d 6 (-0.5) \u003d -3

ልክ እንደዚህ. ሦስተኛው ቃል አሉታዊ ሆኖ ተገኝቷል. ምንም አያስገርምም: የእኛ መለያ ቅ- አሉታዊ. እና ሲደመር ሲቀነስ ሲባዛ፣ በእርግጥ ይቀንሳል።)

አሁን የሚቀጥለውን ፣ አራተኛውን የሂደቱን ሂደት እንመለከታለን።

b 4 =ለ 3 · ቅ

b 4 \u003d -3 (-0.5) \u003d 1.5

አራተኛው ቃል እንደገና ከመደመር ጋር ነው። አምስተኛው ቃል እንደገና ከመቀነስ ፣ ስድስተኛው ከመደመር ፣ ወዘተ ጋር ይሆናል። ምልክቶች - ተለዋጭ!

ስለዚህ, ሦስተኛው እና አራተኛው አባላት ተገኝተዋል. ውጤቱ የሚከተለው ቅደም ተከተል ነው.

b1; 6; -3; 1.5; …

የመጀመሪያውን ቃል ለማግኘት አሁን ይቀራል ለ 1በታዋቂው ሰከንድ መሠረት. ይህንን ለማድረግ ወደ ሌላኛው አቅጣጫ ወደ ግራ እንሄዳለን. ይህ ማለት በዚህ ሁኔታ የሂደቱን ሁለተኛ ቃል በክፍል ማባዛት አያስፈልገንም ፣ ግን አጋራ.

ተከፋፍለን እናገኛለን፡-

ያ ብቻ ነው።) ለችግሩ መልሱ እንደሚከተለው ይሆናል።

-12; 6; -3; 1,5; …

እንደሚመለከቱት, የመፍትሄው መርህ በ ውስጥ ተመሳሳይ ነው. እናውቃለን ማንኛውምአባል እና አካታችየጂኦሜትሪክ እድገት - ሌላ ማንኛውንም ቃል ማግኘት እንችላለን. የምንፈልገውን አንድ እናገኛለን።) ልዩነቱ መደመር/መቀነስ በማባዛት/መከፋፈል መተካቱ ብቻ ነው።

ያስታውሱ፡ የጂኦሜትሪክ ግስጋሴን ቢያንስ አንድ አባል እና አካፋይ ካወቅን ሁልጊዜም የዚህ እድገት ሌላ አባል ማግኘት እንችላለን።

የሚከተለው ተግባር፣ እንደ ወግ፣ ከእውነተኛው የ OGE ስሪት ነው።

2.

…; 150; X; 6; 1.2; …

ታዲያ እንዴት ነው? በዚህ ጊዜ የመጀመሪያ ቃል የለም, መለያ የለም ቅ፣ የቁጥሮች ቅደም ተከተል ብቻ ተሰጥቷል ... ቀድሞውኑ የታወቀ ነገር ፣ አይደል? አዎ! በሂሳብ እድገት ውስጥ ተመሳሳይ ችግር ቀድሞውኑ ታይቷል!

እዚህ አንፈራም. ሁሉም ተመሳሳይ. ጭንቅላትዎን ያብሩ እና የጂኦሜትሪክ እድገትን የመጀመሪያ ደረጃ ትርጉም ያስታውሱ። የእኛን ቅደም ተከተል በጥንቃቄ እንመለከታለን እና የሶስቱ ዋና ዋናዎቹ የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ (የመጀመሪያው አባል, አካፋይ, የአባል ቁጥር) የትኞቹ መለኪያዎች እንደተደበቁ እንገነዘባለን.

የአባል ቁጥሮች? የአባል ቁጥሮች የሉም፣ አዎ ... ግን አራት ናቸው። ተከታታይቁጥሮች. ይህ ቃል ምን ማለት ነው, በዚህ ደረጃ ላይ ለማስረዳት ነጥቡን አላየሁም.) ሁለት ናቸው በአጎራባች የሚታወቁ ቁጥሮች?አለ! እነዚህ 6 እና 1.2 ናቸው. ስለዚህ ማግኘት እንችላለን የእድገት ደረጃ.ስለዚህ ቁጥር 1.2 እንወስዳለን እና እንከፋፍለን ወደ ቀዳሚው ቁጥር.ለስድስት።

እናገኛለን፡-

እናገኛለን፡-

x= 150 0.2 = 30

መልስ፡- x = 30 .

እንደምታየው, ሁሉም ነገር በጣም ቀላል ነው. ዋናው ችግር በስሌቶቹ ላይ ብቻ ነው. በተለይም በአሉታዊ እና ክፍልፋይ መለያዎች ውስጥ በጣም ከባድ ነው. እንግዲያውስ ችግር ያለባቸው ሰዎች ሒሳቡን ይድገሙት! ከክፍልፋዮች ጋር እንዴት እንደሚሰሩ፣ ከአሉታዊ ቁጥሮች ጋር እንዴት እንደሚሰሩ እና ሌሎችም ... ያለበለዚያ እዚህ ያለ ርህራሄ ይቀንሳሉ ።

አሁን ችግሩን ትንሽ እንለውጠው። አሁን አስደሳች ይሆናል! በእሱ ውስጥ የመጨረሻውን ቁጥር 1.2 እናስወግድ. ይህን ችግር አሁን እንፍታው፡-

3. የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ በርካታ ተከታታይ ቃላት ተጽፈዋል፡-

…; 150; X; 6; …

በ x ፊደል የተገለፀውን የሂደቱን ቃል ይፈልጉ።

ሁሉም ነገር አንድ ነው, ሁለት ጎረቤቶች ብቻ ናቸው ታዋቂከአሁን በኋላ የዕድገት አባላት የሉንም። ዋናው ችግር ይህ ነው። ምክንያቱም መጠኑ ቅበሁለት አጎራባች ቃላቶች, አስቀድመን በቀላሉ መወሰን እንችላለን አንችልም።ፈተናውን ለመቋቋም እድሉ አለን? እንዴ በእርግጠኝነት!

ያልታወቀ ቃል እንፃፍ" x"በቀጥታ በጂኦሜትሪክ እድገት ስሜት! በአጠቃላይ ቃላት።

አዎ አዎ! በቀጥታ ከማይታወቅ መለያ ጋር!

በአንድ በኩል፣ ለ x የሚከተለውን ሬሾ መፃፍ እንችላለን፡-

x= 150ቅ

በሌላ በኩል፣ ተመሳሳዩን X ቀለም የመቀባት ሙሉ መብት አለን። ቀጥሎአባል, በስድስቱ በኩል! በስድስተኛው ክፍል ይከፋፍሉት።

ልክ እንደዚህ:

x = 6/ ቅ

በግልጽ ለማየት እንደሚቻለው, አሁን ሁለቱንም እነዚህን ሬሾዎች ማመሳሰል እንችላለን. እየገለፅን ስለሆነ ተመሳሳይእሴት (x) ፣ ግን ሁለት የተለያዩ መንገዶች.

ቀመር እናገኛለን፡-

ሁሉንም ነገር በማባዛት ቅ, ማቅለል, መቀነስ, ቀመር እናገኛለን:

q 2 \u003d 1/25

እኛ እንፈታዋለን እና እናገኛለን:

q = ± 1/5 = ± 0.2

ውይ! መለያው ድርብ ነው! +0.2 እና -0.2. እና የትኛውን መምረጥ ነው? መጨረሻ?

ተረጋጋ! አዎ፣ ችግሩ በእርግጥ አለ። ሁለት መፍትሄዎች!ምንም ስህተት የለውም። ይከሰታል.) ለምሳሌ, የተለመደውን በመፍታት ሁለት ሥሮች ሲያገኙ አያስገርምዎትም? እዚህ ጋር ተመሳሳይ ታሪክ ነው.)

ለ q = +0.2እናገኛለን:

X \u003d 150 0.2 \u003d 30

እና ለ ቅ = -0,2 ይሆናል:

X = 150 (-0.2) = -30

ድርብ መልስ እናገኛለን፡- x = 30; x = -30.

ይህ አስደሳች እውነታ ምን ማለት ነው? እና ያለው ሁለት እድገቶች, የችግሩን ሁኔታ ማርካት!

እንደ እነዚህ፡-

…; 150; 30; 6; …

…; 150; -30; 6; …

ሁለቱም ተስማሚ ናቸው።) የመልሶች መከፋፈል ምክንያቱ ምን ይመስልሃል? ከስድስቱ በኋላ የሚመጣው የተወሰነ የእድገት አባል (1,2) በመወገዱ ብቻ ነው. እና የቀደመውን (n-1) -ኛ እና ተከታዩን (n+1) የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ አባላትን ብቻ በማወቅ በመካከላቸው ስለቆመው የ n-th አባል ምንም ማለት አንችልም። ሁለት አማራጮች አሉ - ሲደመር እና ሲቀነስ.

ግን ምንም አይደለም. እንደ ደንቡ ፣ ለጂኦሜትሪክ እድገት በተግባሮች ውስጥ የማያሻማ መልስ የሚሰጥ ተጨማሪ መረጃ አለ። ቃሉን እንበል፡- "ምልክት-ተለዋጭ እድገት"ወይም "ከአዎንታዊ አመላካች ጋር እድገት"እና ሌሎችም... እንደ ፍንጭ የሚያገለግሉት እነዚህ ቃላት ናቸው፣ የትኛው ምልክት፣ ሲደመር ወይም ሲቀነስ፣ መመረጥ ያለበት የመጨረሻውን መልስ ሲሰጥ። እንደዚህ አይነት መረጃ ከሌለ, - አዎ, ተግባሩ ይኖረዋል ሁለት መፍትሄዎች.)

እና አሁን በራሳችን እንወስናለን.

4. ቁጥር 20 የጂኦሜትሪክ እድገት አባል መሆን አለመሆኑን ይወስኑ፡-

4 ; 6; 9; …

5. ተለዋጭ የጂኦሜትሪክ እድገት ተሰጥቷል፡-

…; 5; x ; 45; …

በደብዳቤው የተመለከተውን የእድገት ጊዜ ይፈልጉ x .

6. የጂኦሜትሪክ ግስጋሴውን አራተኛውን አወንታዊ ቃል ይፈልጉ፡-

625; -250; 100; …

7. የጂኦሜትሪክ እድገት ሁለተኛ ቃል -360, እና አምስተኛው ጊዜ 23.04 ነው. የዚህን እድገት የመጀመሪያ ቃል ይፈልጉ።

መልሶች (በተዘበራረቀ): -15; 900; አይ; 2.56.

ሁሉም ነገር ከተሰራ እንኳን ደስ አለዎት!

የሆነ ነገር አይመጥንም? የሆነ ቦታ ድርብ መልስ አለ? የምደባውን ሁኔታ በጥንቃቄ እናነባለን!

የመጨረሻው እንቆቅልሽ አይሰራም? እዚያ ምንም የተወሳሰበ ነገር የለም.) በጂኦሜትሪክ እድገት ትርጉም መሰረት በቀጥታ እንሰራለን. ደህና, ስዕል መሳል ይችላሉ. ይረዳል.)

እንደምታየው, ሁሉም ነገር የመጀመሪያ ደረጃ ነው. እድገቱ አጭር ከሆነ. ረጅም ቢሆንስ? ወይስ የሚፈለገው አባል ቁጥር በጣም ትልቅ ነው? ከሂሳብ እድገት ጋር በማነፃፀር እንደምንም ለማግኘት ቀላል የሚያደርግ ምቹ ቀመር ለማግኘት እፈልጋለሁ ማንኛውምየማንኛውም የጂኦሜትሪክ እድገት አባል በእሱ ቁጥር.ብዙ ፣ ብዙ ጊዜ ሳይባዙ ቅ. እና እንደዚህ አይነት ቀመር አለ!) ዝርዝሮች - በሚቀጥለው ትምህርት.

ተከታታይ እናስብ።

7 28 112 448 1792...

የማንኛቸውም ንጥረ ነገሮች ዋጋ ከቀዳሚው በአራት እጥፍ እንደሚበልጥ ፍጹም ግልጽ ነው። ስለዚህ ይህ ተከታታይ እድገት ነው.

የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ ማለቂያ የሌለው የቁጥሮች ቅደም ተከተል ነው, ዋናው ባህሪው የሚቀጥለው ቁጥር በተወሰነ የተወሰነ ቁጥር በማባዛት ከቀዳሚው የተገኘ ነው. ይህ በሚከተለው ቀመር ይገለጻል.

a z +1 =a z q፣ z የተመረጠው ንጥረ ነገር ቁጥር ነው።

በዚህ መሠረት z∈ N.

በትምህርት ቤት የጂኦሜትሪክ እድገት የሚጠናበት ጊዜ 9ኛ ክፍል ነው። ምሳሌዎች ጽንሰ-ሀሳቡን ለመረዳት ይረዳሉ-

0.25 0.125 0.0625...

በዚህ ፎርሙላ ላይ በመመስረት የሂደቱ መነሻ እንደሚከተለው ሊገኝ ይችላል፡-

q ወይም b z ዜሮ ሊሆኑ አይችሉም። እንዲሁም እያንዳንዱ የእድገት አካላት ከዜሮ ጋር እኩል መሆን የለባቸውም.

በዚህ መሠረት በተከታታይ ውስጥ የሚቀጥለውን ቁጥር ለማወቅ የመጨረሻውን በq ማባዛት ያስፈልግዎታል.

ይህንን ግስጋሴ ለመጥቀስ የመጀመሪያውን ኤለመንቱን እና መለያውን መግለጽ አለብዎት። ከዚያ በኋላ, የትኛውንም ተከታይ ውሎች እና ድምርን ማግኘት ይቻላል.

ዝርያዎች

በ q እና a 1 ላይ በመመስረት ይህ እድገት በበርካታ ዓይነቶች ይከፈላል፡

• ሁለቱም 1 እና q ከአንድ በላይ ከሆኑ, እንደዚህ አይነት ቅደም ተከተል በእያንዳንዱ ቀጣይ ንጥረ ነገር እየጨመረ የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ ነው. የዚህ ዓይነቱ ምሳሌ ከዚህ በታች ቀርቧል.

ምሳሌ: a 1 =3, q=2 - ሁለቱም መለኪያዎች ከአንድ በላይ ናቸው.

ከዚያ የቁጥር ቅደም ተከተል እንደሚከተለው ሊፃፍ ይችላል-

3 6 12 24 48 ...

• |q| ከሆነ ከአንድ ያነሰ ፣ ማለትም ፣ በእሱ ማባዛት ከመከፋፈል ጋር እኩል ነው ፣ ከዚያ ተመሳሳይ ሁኔታዎች ያለው እድገት እየቀነሰ የጂኦሜትሪክ እድገት ነው። የዚህ ዓይነቱ ምሳሌ ከዚህ በታች ቀርቧል.

ምሳሌ: a 1 =6, q=1/3 - a 1 ከአንድ ይበልጣል, q ያነሰ ነው.

ከዚያ የቁጥር ቅደም ተከተል እንደሚከተለው ሊፃፍ ይችላል-

6 2 2/3 ... - ማንኛውም ንጥረ ነገር ከተከተለው ንጥረ ነገር 3 እጥፍ ይበልጣል.

• ምልክት-ተለዋዋጭ. ከሆነ q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

ምሳሌ: a 1 = -3, q = -2 - ሁለቱም መለኪያዎች ከዜሮ ያነሱ ናቸው.

ከዚያ ቅደም ተከተል እንደሚከተለው ሊፃፍ ይችላል-

3, 6, -12, 24,...

ቀመሮች

ለጂኦሜትሪክ እድገት ምቹ አጠቃቀም ብዙ ቀመሮች አሉ-

• የ z-th አባል ቀመር. የቀደሙትን ቁጥሮች ሳያስሉ በተወሰነ ቁጥር ስር ያለውን ንጥረ ነገር ለማስላት ይፈቅድልዎታል።

ለምሳሌ:ቅ = 3, ሀ 1 = 4. የሂደቱን አራተኛውን ክፍል ለማስላት ያስፈልጋል.

መፍትሄ፡-ሀ 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• ቁጥራቸው የሆነው የመጀመሪያዎቹ ንጥረ ነገሮች ድምር ዝ. እስከ የሁሉንም ተከታታይ ንጥረ ነገሮች ድምር ለማስላት ያስችልዎታልአንድ zአካታች

ጀምሮ (1-ቅ) በተከፋፈለው ውስጥ ነው፣ ከዚያ (1-q)≠ 0፣ ስለዚህ q ከ 1 ጋር እኩል አይደለም።

ማሳሰቢያ፡ q=1 ከሆነ፣ እድገቱ ማለቂያ የሌለው ተደጋጋሚ ቁጥር ተከታታይ ይሆናል።

የጂኦሜትሪክ እድገት ድምር ፣ ምሳሌዎችሀ 1 = 2, ቅ= -2. S 5 አስሉ.

መፍትሄ፡-ኤስ 5 = 22 - በቀመር ስሌት.

• መጠን | ከሆነቅ| < 1 и если z стремится к бесконечности.

ለምሳሌ:ሀ 1 = 2 , ቅ= 0.5. መጠኑን ያግኙ.

መፍትሄ፡-ኤስ.ኤስ = 2 · = 4

ኤስ.ኤስ = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

አንዳንድ ንብረቶች፡-

• ባህሪይ ንብረት. የሚከተለው ሁኔታ ከሆነ ለማንኛውም ተከናውኗልዝ, ከዚያም የተሰጠው ቁጥር ተከታታይ የጂኦሜትሪክ እድገት ነው:

አንድ z 2 = አንድ z -1 · ሀz+1

• እንዲሁም፣ የማንኛውም የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ ካሬ የሚገኘው ከዚህ ኤለመንት እኩል ርቀት ላይ ከሆኑ የሌሎቹን ሁለት ቁጥሮች ካሬዎች በማከል ነው።

አንድ z 2 = አንድ z - ቲ 2 + አንድ z + ቲ 2 ፣ የትቲበእነዚህ ቁጥሮች መካከል ያለው ርቀት ነው.

• ንጥረ ነገሮችበq ይለያልአንድ ጊዜ.
• የእድገት አካላት ሎጋሪዝም እንዲሁ እድገትን ይመሰርታሉ ፣ ግን ቀድሞውኑ አርቲሜቲክ ፣ ማለትም ፣ እያንዳንዳቸው በተወሰነ ቁጥር ከቀዳሚው የበለጠ ናቸው።

የአንዳንድ ክላሲካል ችግሮች ምሳሌዎች

የጂኦሜትሪክ እድገት ምን እንደሆነ በተሻለ ለመረዳት ለ9ኛ ክፍል መፍትሄ ያላቸው ምሳሌዎች ሊረዱ ይችላሉ።

• ውሎች፡ሀ 1 = 3, ሀ 3 = 48. አግኝቅ.

መፍትሄ፡ እያንዳንዱ ተከታይ ንጥረ ነገር ከቀዳሚው ይበልጣልቅ አንድ ጊዜ.መለያየትን በመጠቀም አንዳንድ አካላትን በሌሎች በኩል መግለጽ ያስፈልጋል።

በዚህም ምክንያት እ.ኤ.አ.ሀ 3 = ቅ 2 · ሀ 1

በምትተካበት ጊዜቅ= 4

• ውሎች፡ሀ 2 = 6, ሀ 3 = 12. S 6 አስላ.

መፍትሄ፡-ይህንን ለማድረግ q, የመጀመሪያውን ኤለመንት ማግኘት እና በቀመር ውስጥ መተካት በቂ ነው.

ሀ 3 = ቅ· ሀ 2 በዚህም ምክንያትቅ= 2

a 2 = q ሀ 1 ፣ለዛ ነው ሀ 1 = 3

ኤስ 6 = 189

• · ሀ 1 = 10, ቅ= -2. የሂደቱን አራተኛውን ክፍል ይፈልጉ።

መፍትሄው: ይህንን ለማድረግ, አራተኛውን ንጥረ ነገር በመጀመሪያ እና በዲኖሚተር በኩል መግለጽ በቂ ነው.

ሀ 4 = q 3· ሀ 1 = -80

የመተግበሪያ ምሳሌ፡-

• የባንኩ ደንበኛ በ 10,000 ሩብልስ ውስጥ ተቀማጭ አደረገ ፣ በዚህ ውል መሠረት በየዓመቱ ደንበኛው 6% ወደ ዋናው መጠን ይጨምራል። ከ 4 ዓመታት በኋላ በመለያው ውስጥ ምን ያህል ገንዘብ ይኖራል?

መፍትሄ: የመጀመሪያው መጠን 10 ሺህ ሩብልስ ነው. ስለዚህ ኢንቨስትመንቱ ከተጠናቀቀ ከአንድ አመት በኋላ ሂሳቡ ከ 10,000 + 10,000 ጋር እኩል የሆነ መጠን ይኖረዋል. · 0.06 = 10000 1.06

በዚህ መሠረት ከአንድ ዓመት በኋላ በሂሳቡ ውስጥ ያለው መጠን እንደሚከተለው ይገለጻል.

(10000 1.06) 0.06 + 10000 1.06 = 1.06 1.06 10000

ያም ማለት በየዓመቱ መጠኑ በ 1.06 ጊዜ ይጨምራል. ይህ ማለት ከ 4 ዓመታት በኋላ በሂሳብ ውስጥ ያለውን የገንዘብ መጠን ለማግኘት ፣ የሂደቱን አራተኛውን ንጥረ ነገር ማግኘት በቂ ነው ፣ ይህም ከ 10 ሺህ ጋር እኩል የሆነ የመጀመሪያው አካል እና መለያው ከ 1.06 ጋር እኩል ነው።

ኤስ = 1.06 1.06 1.06 1.06 10000 = 12625

ድምርን ለማስላት የተግባር ምሳሌዎች፡-

በተለያዩ ችግሮች ውስጥ, የጂኦሜትሪክ እድገት ጥቅም ላይ ይውላል. ድምርን ለማግኘት ምሳሌ እንደሚከተለው ሊሰጥ ይችላል-

ሀ 1 = 4, ቅ= 2፣ አስላኤስ 5.

መፍትሄው: ለስሌቱ አስፈላጊ የሆኑ ሁሉም መረጃዎች ይታወቃሉ, ወደ ቀመር ውስጥ መተካት ብቻ ያስፈልግዎታል.

ኤስ 5 = 124

• ሀ 2 = 6, ሀ 3 = 18. የመጀመሪያዎቹን ስድስት ንጥረ ነገሮች ድምር አስሉ.

መፍትሄ፡-

ጂኦም. እድገት ፣ እያንዳንዱ ቀጣይ አካል ከቀዳሚው q እጥፍ ይበልጣል ፣ ማለትም ፣ ድምርን ለማስላት ፣ ንጥረ ነገሩን ማወቅ ያስፈልግዎታልሀ 1 እና አካታችቅ.

ሀ 2 · ቅ = ሀ 3

ቅ = 3

በተመሳሳይ, እኛ ማግኘት አለብንሀ 1 ፣ ማወቅሀ 2 እናቅ.

ሀ 1 · ቅ = ሀ 2

ሀ 1 =2

ኤስ 6 = 728.

የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ፣ ከሒሳብ ጋር፣ በ9ኛ ክፍል በት/ቤት አልጀብራ ኮርስ የሚጠና ጠቃሚ ተከታታይ ቁጥር ነው። በዚህ ጽሑፍ ውስጥ የጂኦሜትሪክ ግስጋሴን እና እሴቱ በንብረቶቹ ላይ እንዴት እንደሚጎዳ እንመለከታለን.

የጂኦሜትሪክ እድገት ፍቺ

ለመጀመር, የዚህን ተከታታይ ቁጥር ፍቺ እንሰጣለን. የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ ተከታታይ ምክንያታዊ ቁጥሮች ሲሆን ይህም የመጀመሪያውን ኤለመንቱን በተከታታይ በማባዛት መለያው በሚባል ቋሚ ቁጥር ነው።

ለምሳሌ በተከታታይ 3, 6, 12, 24, ... ውስጥ ያሉት ቁጥሮች የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ ናቸው, ምክንያቱም 3 (የመጀመሪያውን ንጥረ ነገር) በ 2 ብናባዛው 6 እናገኛለን. 6 በ 2 ብናባው እናገኛለን 12, እና ወዘተ.

ከግምት ውስጥ የሚገቡት ተከታታይ አባላት አብዛኛውን ጊዜ በ ai ምልክት ነው የሚወከሉት፣ እኔ በተከታታዩ ውስጥ ያለውን ንጥረ ነገር ቁጥር የሚያመለክት ኢንቲጀር ነው።

ከዚህ በላይ ያለው የሂደት ትርጉም በሂሳብ ቋንቋ እንደሚከተለው ሊፃፍ ይችላል፡- an = bn-1 * a1፣ b መለያው በሆነበት። ይህንን ቀመር መፈተሽ ቀላል ነው: n = 1 ከሆነ, ከዚያም b1-1 = 1, እና a1 = a1 እናገኛለን. n = 2 ከሆነ, ከዚያም አንድ = b * a1, እና እንደገና ግምት ውስጥ በማስገባት ወደ ተከታታይ ቁጥሮች ፍቺ እንመጣለን. ለትላልቅ የ n.

የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ መለያ

ቁጥሩ ለ ሙሉው ተከታታይ ቁጥር ምን አይነት ባህሪ እንደሚኖረው ሙሉ በሙሉ ይወስናል። መለያው ለ አዎንታዊ፣ አሉታዊ ወይም ከአንድ በላይ ወይም ያነሰ ሊሆን ይችላል። ከላይ ያሉት ሁሉም አማራጮች ወደ ተለያዩ ቅደም ተከተሎች ይመራሉ.

• ለ > 1. እየጨመረ ተከታታይ ምክንያታዊ ቁጥሮች አለ። ለምሳሌ, 1, 2, 4, 8, ... ኤለመንት a1 አሉታዊ ከሆነ, አጠቃላይ ቅደም ተከተል ሞዱሎ ብቻ ይጨምራል, ነገር ግን የቁጥሮችን ምልክት ግምት ውስጥ በማስገባት ይቀንሳል.
• b = 1. ብዙውን ጊዜ እንዲህ ዓይነቱ ጉዳይ እድገት ተብሎ አይጠራም, ምክንያቱም ተራ ተከታታይ ተመሳሳይ ምክንያታዊ ቁጥሮች ስላሉት. ለምሳሌ -4, -4, -4.

ፎርሙላ ለመደመር

በግምገማ ላይ ያለውን የእድገት አይነት መለያን በመጠቀም የተወሰኑ ችግሮችን ግምት ውስጥ ከማስገባታችን በፊት, ለመጀመሪያዎቹ n ንጥረ ነገሮች ድምር አንድ አስፈላጊ ቀመር መሰጠት አለበት. ቀመሩ፡ Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1) ነው።

የሂደቱን አባላት ተደጋጋሚ ቅደም ተከተል ግምት ውስጥ ካስገባህ ይህን አገላለጽ ራስህ ማግኘት ትችላለህ። እንዲሁም ከላይ ባለው ቀመር የዘፈቀደ የቃላት ብዛት ድምርን ለማግኘት የመጀመሪያውን ኤለመንቱን እና መለያውን ማወቅ በቂ መሆኑን ልብ ይበሉ።

ያለማቋረጥ የሚቀንስ ቅደም ተከተል

ከዚህ በላይ ምን እንደሆነ ማብራሪያ ነበር. አሁን፣ የ Sn ቀመሩን አውቀን፣ በዚህ ተከታታይ ቁጥር ላይ እንተገብረው። ማንኛውም ሞጁል ከ 1 ያልበለጠ ቁጥር ወደ ትልቅ ሀይሎች ሲነሳ ወደ ዜሮ ይቀየራል ማለትም b∞ => 0 ከሆነ -1

ልዩነቱ (1 - ለ) ምንጊዜም አወንታዊ ስለሚሆን፣ የመለያው ዋጋ ምንም ይሁን ምን፣ ያለገደብ እየቀነሰ የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ S∞ ድምር ምልክቱ በልዩ ሁኔታ የሚወሰነው በመጀመሪያ ኤለመንት a1 ምልክት ነው።

አሁን ብዙ ችግሮችን እንመለከታለን, የተገኘውን እውቀት ለተወሰኑ ቁጥሮች እንዴት እንደሚተገበሩ እናሳያለን.

የተግባር ቁጥር 1. የሂደቱ እና ድምር ያልታወቁ አካላት ስሌት

ከጂኦሜትሪክ ግስጋሴ አንፃር የሂደቱ መለያ 2 ነው፣ እና የመጀመሪያው ንጥረ ነገር 3 ነው። 7ኛው እና 10ኛው ቃላቶቹ ምን ይሆናሉ እና የሰባት የመጀመሪያ አካላት ድምር ምን ያህል ነው?

የችግሩ ሁኔታ በጣም ቀላል እና ከላይ የተጠቀሱትን ቀመሮች በቀጥታ መጠቀምን ያካትታል. ስለዚህ, ኤለመንቱን ከቁጥር ጋር ለማስላት, a = bn-1 * a1 የሚለውን አገላለጽ እንጠቀማለን. ለ 7 ኛ አካል አለን: a7 = b6 * a1, የታወቀው መረጃን በመተካት, እናገኛለን: a7 = 26 * 3 = 192. ለ 10 ኛ አባል ተመሳሳይ ነገር እናደርጋለን: a10 = 29 * 3 = 1536.

ለድምሩ የታወቀውን ቀመር እንጠቀማለን እና ይህንን እሴት ለመጀመሪያዎቹ 7 ተከታታይ ክፍሎች እንወስናለን። እኛ፡ S7 = (27 - 1) * 3/ (2 - 1) = 381 አለን።

የተግባር ቁጥር 2. የሂደቱን የዘፈቀደ አካላት ድምርን መወሰን

-2 የቢን-1 * 4 ገላጭ ግስጋሴ መለያ ይሁን፣ n ኢንቲጀር ነው። የዚህ ተከታታይ ክፍል ከ 5 ኛ እስከ 10 ኛ አካልን ያካተተ ድምርን መወሰን አስፈላጊ ነው.

የታወቁ ቀመሮችን በመጠቀም የተፈጠረውን ችግር በቀጥታ መፍታት አይቻልም። በ 2 የተለያዩ መንገዶች ሊፈታ ይችላል. ለሙሉነት ሲባል ሁለቱንም እናቀርባለን.

ዘዴ 1. የእሱ ሀሳብ ቀላል ነው-የመጀመሪያዎቹን ቃላት ሁለቱን ተጓዳኝ ድምሮች ማስላት ያስፈልግዎታል, ከዚያም ሌላውን ከአንዱ ይቀንሱ. ትንሹን ድምር አስሉ፡ S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364። አሁን ትልቁን ድምር እናሰላለን: S4 = (-2) 4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. በመጨረሻው አገላለጽ ውስጥ 5 ኛው እንደ ችግሩ ሁኔታ መቁጠር በሚያስፈልገው ድምር ውስጥ ስለሚካተት 4 ቃላት ብቻ ተጠቃለዋል. በመጨረሻም, ልዩነቱን እንወስዳለን: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.

ዘዴ 2. ቁጥሮችን ከመተካት እና ከመቁጠር በፊት በጥያቄ ውስጥ ባለው ተከታታይ m እና n መካከል ያለውን ድምር ቀመር ማግኘት ይችላሉ. እኛ ልክ እንደ ዘዴ 1 በተመሳሳይ መንገድ እንሰራለን ፣ በመጀመሪያ የምንሰራው ከድምሩ ምሳሌያዊ ውክልና ጋር ብቻ ነው። አለን፡ Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . የታወቁ ቁጥሮችን በውጤቱ አገላለጽ ውስጥ በመተካት የመጨረሻውን ውጤት ማስላት ይችላሉ-S105 = 4 * ((-2) 10 - (-2) 4) / (-2 - 1) = -1344.

የተግባር ቁጥር 3. መለያው ምንድን ነው?

A1 = 2፣ የጂኦሜትሪክ ግስጋሴውን አካፋይ ፈልግ፣ ማለቂያ የሌለው ድምር 3 ከሆነ፣ እና ይህ እየቀነሰ ያለ ተከታታይ ቁጥሮች እንደሆነ ይታወቃል።

እንደ ችግሩ ሁኔታ, ለመፍታት የትኛውን ቀመር መጠቀም እንዳለበት መገመት አስቸጋሪ አይደለም. እርግጥ ነው፣ ላልተወሰነ ደረጃ እየቀነሰ ላለው ዕድገት ድምር። አለን፡ S∞ = a1 / (1 - b)። መለያውን ከምንገልጽበት: b = 1 - a1 / S∞. የታወቁትን ዋጋዎች ለመተካት እና አስፈላጊውን ቁጥር ለማግኘት ይቀራል: b \u003d 1 - 2/3 \u003d -1/3 ወይም -0.333 (3). ለዚህ አይነት ቅደም ተከተል ሞጁል ቢ ከ 1 በላይ መሄድ እንደሌለበት ካስታወስን ይህንን ውጤት በጥራት ማረጋገጥ እንችላለን.እንደምታየው |-1/3|

የተግባር ቁጥር 4. ተከታታይ ቁጥሮችን ወደነበረበት መመለስ

የቁጥር ተከታታዮች 2 ንጥረ ነገሮች ይሰጡ, ለምሳሌ, 5 ኛ ከ 30 ጋር እኩል ነው እና 10 ኛ ከ 60 ጋር እኩል ነው. የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ ባህሪያትን እንደሚያረካ በማወቅ ሙሉውን ተከታታይ ከእነዚህ መረጃዎች መመለስ አስፈላጊ ነው.

ችግሩን ለመፍታት በመጀመሪያ ለእያንዳንዱ የታወቀ አባል ያለውን ተዛማጅ አገላለጽ መጻፍ አለብዎት. እኛ አለን: a5 = b4 * a1 እና a10 = b9 * a1. አሁን ሁለተኛውን አገላለጽ በመጀመሪያው እንካፈላለን፡ a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. ከዚህ በመነሳት ከችግሩ ሁኔታ የሚታወቁትን የአባላቱን ጥምርታ አምስተኛ ዲግሪ ሥር በመውሰድ ለ = 1.148698 እንወስናለን። የተገኘውን ቁጥር ለአንድ የታወቀ አካል ከአገላለጾቹ በአንዱ እንተካለን፡ a1 = a5/b4 = 30 / (1.148698)4 = 17.2304966 እናገኛለን።

ስለዚህ, የሂደቱ bn መለያ ምን እንደሆነ እና የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ bn-1 * 17.2304966 = an, b = 1.148698 አግኝተናል.

የጂኦሜትሪክ እድገቶች የት ጥቅም ላይ ይውላሉ?

የዚህ አሃዛዊ ተከታታይ ትግበራ በተግባር ባይኖር ኖሮ ጥናቱ ወደ ፅንሰ-ሃሳባዊ ፍላጎት ይቀንሳል። ግን እንደዚህ አይነት መተግበሪያ አለ.

3 በጣም ታዋቂ ምሳሌዎች ከዚህ በታች ተዘርዝረዋል-

• የዜኖ ፓራዶክስ፣ ቀልጣፋው አቺልስ ዘገምተኛውን ኤሊ ማግኘት የማይችልበት፣ ያለገደብ እየቀነሰ ያለውን የቁጥሮች ቅደም ተከተል ፅንሰ-ሀሳብ በመጠቀም ተፈትቷል።
• የስንዴ እህሎች በእያንዳንዱ የቼዝቦርድ ሴል ላይ ከተቀመጡ በአንደኛው ሴል ላይ 1 እህል እንዲቀመጥ ፣ 2 - በ 2 ኛ ፣ 3 - በ 3 ኛ እና በመሳሰሉት ፣ ከዚያ 18446744073709551615 እህሎች ሁሉንም ሴሎች ለመሙላት ያስፈልጋሉ። ሰሌዳው!
• በጨዋታው "የሃኖይ ግንብ" ውስጥ, ዲስኮችን ከአንድ ዘንግ ወደ ሌላ ለማስተካከል, 2n - 1 ስራዎችን ማከናወን አስፈላጊ ነው, ማለትም ቁጥራቸው ከሚጠቀሙት የዲስክ ብዛት በከፍተኛ ደረጃ ያድጋል.

ማለቂያ የሌለው የጂኦሜትሪክ እድገትን የማጠቃለያ ጥያቄን አሁን አስቡበት። የተወሰነውን ማለቂያ የሌለው እድገት ከፊል ድምር የመጀመሪያ ውሎች ድምር እንለው። ከፊል ድምርን በምልክቱ አመልክት።

ለእያንዳንዱ ማለቂያ የሌለው እድገት

አንድ ሰው (እንዲሁም ማለቂያ የሌለው) ከፊል ድምር ቅደም ተከተል መፃፍ ይችላል።

ያልተገደበ ጭማሪ ያለው ቅደም ተከተል ገደብ ይኑረው

በዚህ ሁኔታ, ቁጥር S, ማለትም, የእድገት ከፊል ድምሮች ገደብ, ማለቂያ የሌለው እድገት ድምር ይባላል. ማለቂያ የሌለው እየቀነሰ የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ ሁል ጊዜ ድምር እንዳለው እናረጋግጣለን እና ለዚህ ድምር ቀመር እናገኛለን (እንዲሁም ወሰን ለሌለው እድገት ድምር እንደሌለው እና እንደሌለው ማሳየት እንችላለን)።

በቀመር (91.1) መሠረት የከፊል ድምርን አገላለጽ እንደ የእድገት አባላት ድምር እንጽፋለን እና የከፊል ድምርን ወሰን በ

ከንጥል 89 ጽንሰ-ሐሳብ ውስጥ እየቀነሰ ለሚሄድ እድገት ይታወቃል; ስለዚህ, የልዩነት ገደብ ንድፈ ሃሳብን በመተግበር, እናገኛለን

(ደንቡ እዚህም ጥቅም ላይ ይውላል-ቋሚው ምክንያት ከገደቡ ምልክት ውስጥ ይወሰዳል). ሕልውናው የተረጋገጠ ነው ፣ እና በተመሳሳይ ጊዜ ማለቂያ የሌለው የጂኦሜትሪክ እድገት ድምር ቀመር ተገኝቷል-

እኩልነት (92.1) እንዲሁ ሊጻፍ ይችላል

እዚህ ላይ በትክክል የተገለጸ ውሱን እሴት ገደብ ለሌለው የቃላት ስብስብ መመደብ አያዎ (ፓራዶክሲካል) ሊመስል ይችላል።

ይህንን ሁኔታ ለማብራራት ግልጽ የሆነ ምሳሌ ሊሰጥ ይችላል. ከአንድ ጎን ጋር እኩል የሆነ ካሬን አስቡ (ምሥል 72). ይህንን ካሬ በአግድም መስመር ወደ ሁለት እኩል ክፍሎችን እናካፍል እና የላይኛውን ክፍል ወደ ታችኛው ክፍል እንተገብራለን ስለዚህም አራት ማዕዘን ቅርጾችን ከጎን 2 እና . ከዚያ በኋላ, የዚህን አራት ማዕዘን ትክክለኛውን ግማሽ በግማሽ አግድም መስመር እናካፋለን እና የላይኛውን ክፍል ከታችኛው ክፍል ጋር እናያይዛለን (በስእል 72 እንደሚታየው). ይህን ሂደት በመቀጠል፣ ከ 1 ጋር እኩል የሆነ ቦታ ያለው የመጀመሪያውን ካሬ በየጊዜው ወደ እኩል መጠን ያላቸውን ምስሎች እንለውጣለን (በቀጭን ደረጃዎች ደረጃ በደረጃ እንይዛለን)።

በዚህ ሂደት ማለቂያ በሌለው ቀጣይነት ፣ የካሬው አጠቃላይ ስፋት ወደ ማለቂያ ወደሌለው የቃላት ብዛት ይፈርሳል - አራት ማዕዘኖች ከ 1 እና ቁመቶች ጋር እኩል ናቸው ። ድምር

ማለትም ፣ እንደተጠበቀው ፣ ከካሬው ስፋት ጋር እኩል ነው።

ለምሳሌ. የሚከተሉትን ማለቂያ የሌላቸው እድገቶች ድምርን ያግኙ፡

መፍትሄ፣ ሀ) ይህንን እድገት እናስተውላለን ስለዚህ በቀመር (92.2) እንደምናገኝ እናስተውላለን

ለ) እዚህ ጋር በተመሳሳይ ቀመር (92.2) አለን ማለት ነው

ሐ) ይህ ግስጋሴ ስለዚህ, ይህ እድገት ምንም ድምር እንደሌለው እናገኘዋለን.

በክፍል 5፣ ወሰን በሌለው ሁኔታ እየቀነሰ የሚሄድ ግስጋሴ የቃላቶች ድምር ቀመር አተገባበር ወደ መደበኛ የአስርዮሽ ክፍልፋይ ወደ ተራ ክፍልፋይ ለመቀየር ታይቷል።

መልመጃዎች

1. ያለገደብ እየቀነሰ ያለው የጂኦሜትሪክ እድገት ድምር 3/5 ነው፣ እና የመጀመሪያዎቹ አራት ቃላት ድምር 13/27 ነው። የሂደቱን የመጀመሪያ ቃል እና መለያ ይፈልጉ።

2. ተለዋጭ የጂኦሜትሪክ ግስጋሴን የሚፈጥሩ አራት ቁጥሮችን ያግኙ፣ በዚህ ውስጥ ሁለተኛው ቃል ከመጀመሪያው በ 35 ያነሰ እና ሶስተኛው ከአራተኛው በ 560 ይበልጣል።

3. ቅደም ተከተል ከሆነ ምን አሳይ

ያለገደብ እየቀነሰ የጂኦሜትሪክ እድገትን ይፈጥራል ፣ ከዚያ ቅደም ተከተል

ለማንኛውም ቅጽ ወሰን በሌለው መልኩ እየቀነሰ የጂኦሜትሪክ እድገት። ይህ አባባል ይቋቋማል?

የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ ውል ምርት ቀመር ያውጡ።