የማትሪክስ ደረጃ ዜሮ ሊሆን ይችላል። የማትሪክስ ደረጃ እና አነስተኛ የማትሪክስ መሠረት

አንዳንድ ማትሪክስ ይስጥ፡

በዚህ ማትሪክስ ውስጥ ይምረጡ የዘፈቀደ መስመሮች እና የዘፈቀደ አምዶች
. ከዚያም የሚወስነው ኛ ቅደም ተከተል፣ ከማትሪክስ አካላት ያቀፈ
በተመረጡት ረድፎች እና ዓምዶች መገናኛ ላይ የሚገኘው ጥቃቅን ይባላል - የትእዛዝ ማትሪክስ
.

ፍቺ 1.13.ማትሪክስ ደረጃ
የዚህ ማትሪክስ አነስተኛ ዜሮ ያልሆነ ትልቁ ቅደም ተከተል ነው።

የማትሪክስ ደረጃን ለማስላት አንድ ሰው ሁሉንም ትንንሾቹን ቅደም ተከተሎች ግምት ውስጥ ማስገባት እና ቢያንስ አንዱ ዜሮ ካልሆነ ወደ ከፍተኛው ቅደም ተከተል ለአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆች ግምት ውስጥ መግባት ይኖርበታል. ይህ የማትሪክስ ደረጃን የመወሰን ዘዴ የድንበር ዘዴ (ወይም የድንበር ታዳጊዎች ዘዴ) ይባላል።

ተግባር 1.4.ለአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆችን በማገድ ዘዴ, የማትሪክስ ደረጃን ይወስኑ
.

የመጀመሪያ ደረጃ ድንበር አስብ፣ ለምሳሌ፣
. ከዚያ ወደ ሁለተኛው ቅደም ተከተል የተወሰኑ ድንበሮችን ግምት ውስጥ እናስገባለን።

ለምሳሌ,
.

በመጨረሻ፣ የሦስተኛውን ቅደም ተከተል ድንበር እንመርምር።

ስለዚህ ዜሮ ያልሆነ ትንሽ ልጅ ከፍተኛው ቅደም ተከተል 2 ነው ፣ ስለሆነም
.

ችግር 1.4 በሚፈታበት ጊዜ፣ አንድ ሰው የሁለተኛው ቅደም ተከተል ድንበሮች ተከታታይ ዜሮ ያልሆኑ መሆናቸውን ያስተውላል። በዚህ ረገድ, የሚከተለው አስተሳሰብ ይከናወናል.

ፍቺ 1.14.የማትሪክስ መሰረቱ ትንሽ ያልሆነ ማንኛውም ዜሮ ያልሆነ ሲሆን ትዕዛዙ ከማትሪክስ ደረጃ ጋር እኩል ነው።

ቲዎረም 1.2.(መሰረታዊ ጥቃቅን ንድፈ ሐሳብ). መሰረታዊ ረድፎች (መሰረታዊ ዓምዶች) በመስመር ገለልተኛ ናቸው።

የማትሪክስ ረድፎች (ዓምዶች) በመስመር ላይ ጥገኛ እንደሆኑ እና ቢያንስ አንዱ እንደ ሌሎቹ የመስመር ጥምር መወከል ከተቻለ ብቻ መሆኑን ልብ ይበሉ።

ቲዎረም 1.3.የመስመራዊ ገለልተኛ የማትሪክስ ረድፎች ቁጥር ከመስመር ነጻ የሆኑ የማትሪክስ አምዶች ቁጥር እና ከማትሪክስ ደረጃ ጋር እኩል ነው።

ቲዎረም 1.4.(ለተወሳሹ ከዜሮ ጋር እኩል እንዲሆን አስፈላጊ እና በቂ ሁኔታ). ለወሳኙ ቅደም ተከተል - ትዕዛዝ ከዜሮ ጋር እኩል ነው, አስፈላጊ እና በቂ ነው, የእሱ ረድፎች (አምዶች) በመስመር ላይ ጥገኛ እንዲሆኑ.

በትርጉሙ ላይ በመመስረት የማትሪክስ ደረጃን ማስላት በጣም ከባድ ነው። ይህ በተለይ ለከፍተኛ ደረጃ ማትሪክስ አስፈላጊ ይሆናል. በዚህ ረገድ ፣ በተግባር ፣ የማትሪክስ ደረጃ በቲዎሬምስ 10.2 - 10.4 አተገባበር ላይ በመመርኮዝ ፣ እንዲሁም የማትሪክስ አቻነት እና የመጀመሪያ ደረጃ ለውጦች ጽንሰ-ሀሳቦችን በመጠቀም ይሰላል።

ፍቺ 1.15.ሁለት ማትሪክስ
እና ደረጃቸው እኩል ከሆነ አቻ ይባላሉ፣ ማለትም.
.

ማትሪክስ ከሆነ
እና እኩል ናቸው፣ ከዚያ ምልክት ያድርጉ
 .

ቲዎረም 1.5.የማትሪክስ ደረጃ ከአንደኛ ደረጃ ለውጦች አይለወጥም.

የማትሪክስ አንደኛ ደረጃ ትራንስፎርሜሽን ብለን እንጠራዋለን
በማትሪክስ ላይ ከሚከተሉት ድርጊቶች ውስጥ ማንኛቸውም

ረድፎችን በአምዶች እና አምዶች በተመጣጣኝ ረድፎች መተካት;

የማትሪክስ ረድፎችን መተላለፍ;

መስመርን ማቋረጥ, ሁሉም ንጥረ ነገሮች ከዜሮ ጋር እኩል ናቸው;

ማንኛውንም ሕብረቁምፊ በዜሮ ባልሆነ ቁጥር ማባዛት;

ወደ አንድ ረድፍ አካላት መጨመር የሌላ ረድፍ ተጓዳኝ አካላት በተመሳሳይ ቁጥር ተባዝተዋል።
.

የቲዎረም አስተባባሪነት 1.5.ማትሪክስ ከሆነ
ከማትሪክስ የተገኘ የአንደኛ ደረጃ ለውጦችን በመጠቀም ፣ ከዚያ ማትሪክስ
እና እኩል ናቸው.

የማትሪክስ ደረጃን ሲያሰሉ, የተወሰነ ቁጥር ያላቸውን የመጀመሪያ ደረጃ ለውጦችን በመጠቀም ወደ ትራፔዞይድ ቅርጽ መቀነስ አለበት.

ፍቺ 1.16.ትራፔዚዳልን የማትሪክስ ውክልና እንለዋለን። ለምሳሌ:

እዚህ
, ማትሪክስ አባሎች
ወደ ዜሮ መዞር. ከዚያ የእንደዚህ አይነት ማትሪክስ ውክልና መልክ ትራፔዞይድ ይሆናል.

እንደ አንድ ደንብ, ማትሪክስ የ Gaussian አልጎሪዝምን በመጠቀም ወደ ትራፔዞይድ ቅርጽ ይቀንሳል. የጋውሲያን አልጎሪዝም ሀሳብ የማትሪክስ የመጀመሪያ ረድፍ አካላትን በተዛማጅ ምክንያቶች በማባዛት ፣ ሁሉም የመጀመሪያው አምድ ንጥረ ነገሮች ከኤለመንት በታች የሚገኙትን ማሳካት ነው ።
, ወደ ዜሮ ይቀየራል. ከዚያ የሁለተኛውን ዓምድ ንጥረ ነገሮች በተዛማጅ ማባዣዎች በማባዛት ፣ ሁሉንም የሁለተኛው ዓምድ አካላት ከኤለመንት በታች የሚገኙትን እናሳካለን ።
, ወደ ዜሮ ይቀየራል. በተመሳሳይ መንገድ ይቀጥሉ።

ተግባር 1.5.ወደ ትራፔዞይድ ቅርጽ በመቀነስ የማትሪክስ ደረጃን ይወስኑ.

የ Gaussian ስልተ-ቀመርን ለመተግበር ምቾት, የመጀመሪያውን እና ሶስተኛ ረድፎችን መቀየር ይችላሉ.








.

እዚህ ግልጽ ነው።
. ይሁን እንጂ ውጤቱን ወደ ውብ መልክ ለማምጣት, በአምዶች ላይ ተጨማሪ ለውጦችን መቀጠል ይቻላል.










.

እና እንዲሁም የርዕሱን ጠቃሚ ተግባራዊ አተገባበር አስቡበት፡- ለተኳሃኝነት የመስመር እኩልታዎች ስርዓት ጥናት.

የማትሪክስ ደረጃ ስንት ነው?

የአንቀጹ አስቂኝ ክፍል ብዙ እውነትን ይዟል። “ማዕረግ” የሚለው ቃል ራሱ ብዙውን ጊዜ ከአንዳንድ ተዋረዶች ጋር ይዛመዳል፣ ብዙ ጊዜ ከሙያ መሰላል ጋር። አንድ ሰው የበለጠ እውቀት, ልምድ, ችሎታዎች, ግንኙነቶች, ወዘተ. - ከፍ ያለ ቦታ እና የእድሎች ክልል። በወጣትነት ደረጃ፣ ደረጃ የሚያመለክተው አጠቃላይ የ"ጥንካሬ" ደረጃ ነው።

እና የሂሳብ ወንድሞቻችን የሚኖሩት በተመሳሳይ መርሆች ነው። በዘፈቀደ ጥቂት ለእግር እንሂድ ዜሮ ማትሪክስ:

በማትሪክስ ውስጥ ከሆነ እናስብ ዜሮዎች ብቻ፣ እንግዲያውስ ስለየትኛው ደረጃ መነጋገር እንችላለን? ሁሉም ሰው "ጠቅላላ ዜሮ" የሚለውን መደበኛ ያልሆነ አገላለጽ ያውቃል. በማትሪክስ ማህበረሰብ ውስጥ ፣ ሁሉም ነገር በትክክል ተመሳሳይ ነው-

ዜሮ ማትሪክስ ደረጃማንኛውም መጠን ዜሮ ነው.

ማስታወሻ ዜሮ ማትሪክስ በግሪክ ፊደል "ቴታ" ይገለጻል

የማትሪክስ ደረጃን በተሻለ ለመረዳት, ከዚህ በኋላ በቁሳቁሶች ላይ እሳለሁ የትንታኔ ጂኦሜትሪ. ዜሮን አስቡ ቬክተርየተወሰነ አቅጣጫ የማያስቀምጥ እና ለግንባታ የማይጠቅመው ባለ ሶስት አቅጣጫዊ ቦታችን አፊን መሠረት. ከአልጀብራ እይታ አንጻር የአንድ የተሰጠ የቬክተር መጋጠሚያዎች ተጽፈዋል ማትሪክስ"አንድ በሦስት" እና ምክንያታዊ (በተጠቀሰው ጂኦሜትሪክ ስሜት)የዚህ ማትሪክስ ደረጃ ዜሮ ነው ብለው ያስቡ።

አሁን ጥቂቶቹን እንመልከት ዜሮ ያልሆነ አምድ ቬክተሮችእና ረድፍ ቬክተሮች:

እያንዳንዱ ምሳሌ ቢያንስ አንድ ባዶ ያልሆነ አካል አለው፣ እና ያ የሆነ ነገር ነው!

የማንኛውም ዜሮ ያልሆነ ረድፍ ቬክተር (የአምድ ቬክተር) ደረጃ ከአንድ ጋር እኩል ነው።

እና በአጠቃላይ - በማትሪክስ ውስጥ ከሆነ የዘፈቀደ መጠኖችቢያንስ አንድ ዜሮ ያልሆነ አካል አለው፣ ከዚያም ደረጃው ያነሰ አይደለምክፍሎች.

የአልጀብራ ረድፍ እና አምድ ቬክተሮች በተወሰነ ደረጃ ረቂቅ ናቸው፣ ስለዚህ እንደገና ወደ ጂኦሜትሪክ ማህበር እንሸጋገር። ዜሮ ያልሆነ ቬክተርበጠፈር ውስጥ በደንብ የተገለጸ አቅጣጫ ያስቀምጣል እና ለመገንባት ተስማሚ ነው መሠረት, ስለዚህ የማትሪክስ ደረጃ ከአንድ ጋር እኩል ይሆናል ተብሎ ይታሰባል.

የንድፈ ዳራ : በመስመራዊ አልጀብራ ቬክተር የቬክተር ቦታ አካል ነው (በ 8 axioms በኩል ይገለጻል) እሱም በተለይም የእውነተኛ ቁጥሮች መደመር እና ማባዛት ስራዎች በእውነተኛ ቁጥር የተደረደሩ ረድፍ (ወይም አምድ) ሊሆን ይችላል. ለእነሱ. ስለ ቬክተሮች የበለጠ መረጃ ለማግኘት, ጽሑፉን ይመልከቱ የመስመር ለውጦች.

በመስመር ላይ ጥገኛ(እርስ በርስ ይገለጻል). ከጂኦሜትሪክ እይታ አንጻር, ሁለተኛው መስመር የኮሊንየር ቬክተር መጋጠሚያዎችን ይዟል , ይህም በግንባታው ላይ ጉዳዩን አላራመደም ባለ ሶስት አቅጣጫዊ መሰረት, በዚህ መልኩ ከመጠን በላይ መሆን. ስለዚህ ፣ የዚህ ማትሪክስ ደረጃ ከአንድ ጋር እኩል ነው።

የቬክተሮችን መጋጠሚያዎች በአምዶች ውስጥ እንደገና እንጽፋለን ( ማትሪክስ ያስተላልፉ):

ከደረጃው አንፃር ምን ተቀየረ? መነም. ዓምዶቹ ተመጣጣኝ ናቸው, ይህም ማለት ደረጃው ከአንድ ጋር እኩል ነው. በነገራችን ላይ ሦስቱም መስመሮች እንዲሁ ተመጣጣኝ መሆናቸውን ልብ ይበሉ. በመጋጠሚያዎች ሊታወቁ ይችላሉ ሶስትየአውሮፕላኑ collinear vectors, ከእነዚህ ውስጥ አንድ ብቻ"ጠፍጣፋ" መሰረትን ለመገንባት ጠቃሚ ነው. እና ይህ ከጂኦሜትሪክ ደረጃ ስሜታችን ጋር ሙሉ በሙሉ ይስማማል።

አንድ ጠቃሚ መግለጫ ከላይ ካለው ምሳሌ ይከተላል።

የማትሪክስ በረድፎች ደረጃ ከማትሪክስ ደረጃ በአምዶች ጋር እኩል ነው።. ይህንን ውጤታማ በሆነው ትምህርት ውስጥ አስቀድሜ ጠቅሻለሁ። ወሳኙን ለማስላት ዘዴዎች.

ማስታወሻ የረድፎች ቀጥተኛ ጥገኝነት ወደ አምዶች ቀጥተኛ ጥገኛ (እና በተቃራኒው) ይመራል. ግን ጊዜን ለመቆጠብ እና ከልምምድ ውጭ ሁል ጊዜ ስለ ሕብረቁምፊዎች የመስመር ጥገኛነት እናገራለሁ ።

ተወዳጅ የቤት እንስሳችንን ማሰልጠን እንቀጥል። በሦስተኛው ረድፍ ላይ የሌላ ኮላይኔር ቬክተር መጋጠሚያዎችን ወደ ማትሪክስ ያክሉ :

ባለ ሶስት አቅጣጫዊ መሰረት በመገንባት ረገድ ረድቶናል? በጭራሽ. ሦስቱም ቬክተሮች በተመሳሳይ መንገድ ወደ ፊት እና ወደ ፊት ይሄዳሉ ፣ እና የማትሪክስ ደረጃው አጥንት ነው። የፈለጋችሁትን ያህል ኮሊነር ቬክተሮችን መውሰድ ትችላላችሁ፣ 100 ይበሉ፣ መጋጠሚያዎቻቸውን ወደ 100 በ 3 ማትሪክስ ያስገቡ እና እንደዚህ ያለ ሰማይ ጠቀስ ህንጻ ደረጃ አሁንም አንድ ሆኖ ይቆያል።

የማን ረድፎችን ከማትሪክስ ጋር እንተዋወቅ በመስመር ገለልተኛ. ባለ ሶስት አቅጣጫዊ መሰረትን ለመገንባት ጥንድ ያልሆኑ ኮሊነር ቬክተሮች ተስማሚ ናቸው. የዚህ ማትሪክስ ደረጃ ሁለት ነው.

የማትሪክስ ደረጃ ምን ያህል ነው? መስመሮቹ ተመጣጣኝ አይመስሉም ... ስለዚህ በንድፈ ሀሳብ ሶስት. ሆኖም ፣ የዚህ ማትሪክስ ደረጃ እንዲሁ ከሁለት ጋር እኩል ነው። የመጀመሪያዎቹን ሁለት መስመሮች ጨምሬ ውጤቱን ከታች ጻፍኩኝ, ማለትም. በመስመር የተገለጸሦስተኛው መስመር ከመጀመሪያዎቹ ሁለት. በጂኦሜትሪ ፣ የማትሪክስ ረድፎች ከሶስት መጋጠሚያዎች ጋር ይዛመዳሉ ኮፕላላር ቬክተሮች, እና በዚህ ሶስት እጥፍ መካከል ጥንድ ያልሆኑ ኮሊነር ያልሆኑ ጓዶች አሉ.

እንደሚያዩት መስመራዊ ጥገኛበተጠቀሰው ማትሪክስ ውስጥ ግልፅ አይደለም ፣ እና ዛሬ እንዴት ወደ “ንፁህ ውሃ” ማምጣት እንደምንችል እንማራለን ።

ብዙ ሰዎች የማትሪክስ ደረጃ ምን እንደሆነ ይገምታሉ!

የማን ረድፎችን ማትሪክስ አስቡበት በመስመር ገለልተኛ. የቬክተሮች ቅርጽ አፊን መሠረት, እና የዚህ ማትሪክስ ደረጃ ሦስት ነው.

እንደሚታወቀው፣ ማንኛውም አራተኛ፣ አምስተኛ፣ አስረኛው ቬክተር ባለ ሶስት አቅጣጫዊ ቦታ ከመሠረታዊ ቬክተር አንፃር በቀጥታ ይገለጻል። ስለዚህ ፣ ማንኛውም የረድፎች ብዛት ወደ ማትሪክስ ከተጨመረ ፣ ከዚያ የእሱ ደረጃ አሁንም ሦስት ይሆናል.

ለትላልቅ መጠኖች (በግልጽ ፣ ቀድሞውኑ የጂኦሜትሪክ ትርጉም ከሌለው) ማትሪክስ ተመሳሳይ አመክንዮ ሊከናወን ይችላል።

ፍቺ : የማትሪክስ ደረጃ ከፍተኛው የመስመር ላይ ገለልተኛ የረድፎች ብዛት ነው።. ወይም፡- የማትሪክስ ደረጃ ከፍተኛው በመስመር ገለልተኛ የሆኑ አምዶች ብዛት ነው።. አዎ, እነሱ ሁልጊዜ ይጣጣማሉ.

አንድ ጠቃሚ ተግባራዊ መመሪያ ከላይ ከተጠቀሰው ይከተላል. የማትሪክስ ደረጃ ከዝቅተኛው ልኬት አይበልጥም።. ለምሳሌ, በማትሪክስ ውስጥ አራት ረድፎች እና አምስት አምዶች. ዝቅተኛው ልኬት አራት ነው, ስለዚህ, የዚህ ማትሪክስ ደረጃ በእርግጠኝነት ከ 4 አይበልጥም.

ማስታወሻበአለም ንድፈ ሃሳብ እና ልምምድ ውስጥ የማትሪክስ ደረጃን ለመሰየም በአጠቃላይ ተቀባይነት ያለው መስፈርት የለም, በጣም የተለመደው ሊገኝ ይችላል: - እነሱ እንደሚሉት አንድ እንግሊዛዊ አንድ ነገር ይጽፋል, ጀርመናዊው ሌላ. ስለዚህ ስለ አሜሪካ እና ሩሲያ ሲኦል በሚታወቀው ታሪክ ላይ በመመስረት የማትሪክስ ደረጃን በአፍ መፍቻ ቃል እንሰይመው። ለምሳሌ: . እና ማትሪክስ "ስም-አልባ" ከሆነ, ከእነዚህ ውስጥ ብዙ አሉ, ከዚያ በቀላሉ መጻፍ ይችላሉ.

ለአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆችን በመጠቀም የማትሪክስ ደረጃን እንዴት ማግኘት ይቻላል?

አያታችን በማትሪክስ ውስጥ አምስተኛው አምድ ቢኖራት ፣ ከዚያ ሌላ 4 ኛ ቅደም ተከተል ትንሽ (“ሰማያዊ” ፣ “ራስቤሪ” + 5 ኛ አምድ) መቁጠር ነበረበት።

መደምደሚያ: ዜሮ ያልሆነ ትንሽ ልጅ ከፍተኛው ቅደም ተከተል ሦስት ነው, ስለዚህ.

ምናልባት ሁሉም ሰው ይህንን ሐረግ ሙሉ በሙሉ አልተረዳውም-የአራተኛው ቅደም ተከተል ትንሽ ከዜሮ ጋር እኩል ነው ፣ ግን ከ 3 ኛ ቅደም ተከተል ታዳጊዎች መካከል ዜሮ ያልሆነ አንድ ነበር - ስለሆነም ፣ ከፍተኛው ቅደም ተከተል። ዜሮ ያልሆነጥቃቅን እና ከሶስት ጋር እኩል ነው.

ጥያቄው የሚነሳው, ለምን ወዲያውኑ ቆራጩን አታሰላም? ደህና ፣ በመጀመሪያ ፣ በአብዛኛዎቹ ተግባራት ማትሪክስ ካሬ አይደለም ፣ በሁለተኛ ደረጃ ፣ ምንም እንኳን ዜሮ ያልሆነ እሴት ቢያገኙ ፣ ከዚያ ተግባሩ ብዙውን ጊዜ መደበኛ “ከታች ወደ ላይ” ስለሚለውጥ በከፍተኛ ዕድል ውድቅ ይሆናል ። መፍትሄ. እና በተጠቀሰው ምሳሌ ውስጥ ፣ የ 4 ኛ ቅደም ተከተል ዜሮ መወሰኛ የማትሪክስ ደረጃ ከአራት በታች ብቻ መሆኑን እንድንገልጽ ያስችለናል።

እኔ ራሴ የተተነተነውን ችግር ያቀረብኩት ለአካለ መጠን ያልደረሱ ሕፃናትን የድንበር ዘዴን በተሻለ ሁኔታ ለማብራራት መሆኑን መቀበል አለብኝ። በእውነቱ ፣ ሁሉም ነገር ቀላል ነው-

ምሳሌ 2

ለአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆችን በመጥለፍ ዘዴ የማትሪክስ ደረጃን ያግኙ

በትምህርቱ መጨረሻ ላይ መፍትሄ እና መልስ.

ስልተ ቀመር በጣም ፈጣን የሚሆነው መቼ ነው? ወደ ተመሳሳዩ አራት በአራት ማትሪክስ እንመለስ . "በጥሩ" ጉዳይ ላይ መፍትሄው በጣም አጭር እንደሚሆን ግልጽ ነው. የማዕዘን ታዳጊዎች:

እና ከሆነ ፣ ከዚያ ፣ ካልሆነ - .

ማሰብ በፍፁም መላምት አይደለም - ነገሩ ሁሉ ለአቅመ አዳም ያልደረሱ ልጆች ብቻ የተገደበባቸው ብዙ ምሳሌዎች አሉ።

ሆኖም ፣ በአንዳንድ ሁኔታዎች ፣ ሌላ ዘዴ የበለጠ ውጤታማ እና ተመራጭ ነው-

የ Gauss ዘዴን በመጠቀም የማትሪክስ ደረጃን እንዴት ማግኘት ይቻላል?

ይህ ክፍል አስቀድሞ ለሚያውቁ አንባቢዎች የታሰበ ነው። Gauss ዘዴእና ቀስ በቀስ እጃቸውን በእሱ ላይ አገኙ.

ከቴክኒካዊ እይታ አንጻር, ዘዴው አዲስ አይደለም.

1) የመጀመሪያ ደረጃ ለውጦችን በመጠቀም ማትሪክስ ወደ ደረጃ ቅፅ እናመጣለን ።

2) የማትሪክስ ደረጃ ከረድፎች ብዛት ጋር እኩል ነው።

መሆኑ ግልጽ ነው። የ Gauss ዘዴን በመጠቀም የማትሪክስ ደረጃን አይለውጥም, እና እዚህ ያለው ይዘት እጅግ በጣም ቀላል ነው-በአልጎሪዝም መሰረት, በአንደኛ ደረጃ ለውጦች ሂደት, ሁሉም አላስፈላጊ ተመጣጣኝ (መስመራዊ ጥገኛ) መስመሮች ተለይተው ይታወቃሉ እና ይወገዳሉ, በዚህም ምክንያት "ደረቅ ቅሪት" ይቀራል - ከፍተኛው ቁጥር ቀጥታ ገለልተኛ መስመሮች.

የድሮውን የሚታወቅ ማትሪክስ ከሶስት ኮላይነር ቬክተሮች መጋጠሚያዎች ጋር እንለውጠው፡-

(1) የመጀመሪያው ረድፍ በሁለተኛው ረድፍ ላይ ተጨምሯል, በ -2 ተባዝቷል. የመጀመሪያው መስመር ወደ ሦስተኛው መስመር ተጨምሯል.

(2) ዜሮ መስመሮች ተሰርዘዋል።

ስለዚህ አንድ መስመር ይቀራል፣ ስለዚህም . ይህ የ 2 ኛ ቅደም ተከተል ዘጠኝ ዜሮ ታዳጊዎችን በማስላት እና መደምደሚያ ላይ ከመድረስ የበለጠ ፈጣን ነው ማለት አያስፈልግም።

ያንን በራሱ አስታውሳችኋለሁ አልጀብራ ማትሪክስምንም ነገር መለወጥ አይቻልም ፣ እና ለውጦች የሚከናወኑት ደረጃውን ለማወቅ ዓላማ ብቻ ነው! በነገራችን ላይ በጥያቄው ላይ እንደገና እናቆየው ለምን አይሆንም? ምንጭ ማትሪክስ ከማትሪክስ እና የረድፍ መረጃ በመሠረቱ የተለየ መረጃ ይይዛል። በአንዳንድ የሂሳብ ሞዴሎች (ያለ ማጋነን) የአንድ ቁጥር ልዩነት የህይወት እና የሞት ጉዳይ ሊሆን ይችላል. ... የአንደኛና የሁለተኛ ደረጃ ትምህርት ቤት የሂሳብ መምህራን ትዝ አለኝ፤ በጥቂቱም ቢሆን ስህተት ወይም ከአልጎሪዝም ማፈንገጡ ትምህርቱን 1-2 ነጥብ በሌለበት ሁኔታ ያቋረጡት። እናም ዋስትና ከተሰጣቸው "አምስት" ይልቅ "ጥሩ" ወይም እንዲያውም የከፋ ሆኖ ሲገኝ በጣም አሳዛኝ ነበር። መረዳት ብዙ በኋላ መጣ - እንዴት ሌላ ሰው ሳተላይት, የኑክሌር የጦር እና የኃይል ማመንጫዎች አደራ? ግን አይጨነቁ ፣ በእነዚህ አካባቢዎች አልሰራም =)

ወደ ይበልጥ ትርጉም ያላቸው ተግባራት እንሂድ, ከሌሎች ነገሮች በተጨማሪ, አስፈላጊ ከሆኑ የስሌት ቴክኒኮች ጋር መተዋወቅ እንችላለን. Gauss ዘዴ:

ምሳሌ 3

የመጀመሪያ ደረጃ ለውጦችን በመጠቀም የማትሪክስ ደረጃን ያግኙ

መፍትሄ: አራት ለአምስት ማትሪክስ ተሰጥቶታል፣ ይህ ማለት በእርግጠኝነት ደረጃው ከ 4 አይበልጥም ማለት ነው።

በመጀመሪያው አምድ ውስጥ 1 ወይም -1 የለም, ስለዚህ, ቢያንስ አንድ ክፍል ለማግኘት ተጨማሪ እርምጃዎች ያስፈልጋሉ. በጠቅላላው የጣቢያው ሕልውና ፣ “በአንደኛ ደረጃ ትራንስፎርሜሽን ወቅት ዓምዶቹን እንደገና ማስተካከል ይቻላል?” የሚለውን ጥያቄ ደጋግሞ ጠይቀውኛል። እዚህ - የመጀመሪያውን ወይም ሁለተኛውን አምድ እንደገና አስተካክሏል, እና ሁሉም ነገር ጥሩ ነው! የት አብዛኞቹ ተግባራት ውስጥ Gauss ዘዴ, አምዶች በእውነት እንደገና ሊደረደሩ ይችላሉ. ግን አታድርግ። እና ነጥቡ ከተለዋዋጮች ጋር እንኳን ሊፈጠር የሚችል ግራ መጋባት አይደለም ፣ ነጥቡ በጥንታዊው የከፍተኛ የሂሳብ ትምህርት ትምህርት ይህ ተግባር በተለምዶ አይታሰብም ፣ ስለሆነም ፣ እንደዚህ ዓይነቱ ኩርቢ በጣም ጠማማ በሆነ መልኩ ይታያል (ወይም ሁሉንም ነገር እንደገና ለመስራት ይገደዳል) .

ሁለተኛው ነጥብ ቁጥሮችን ይመለከታል. በውሳኔው ሂደት በሚከተለው የአውራጃ ህግ መመራቱ ጠቃሚ ነው። የመጀመሪያ ደረጃ ለውጦች ከተቻለ የማትሪክስ ቁጥሮችን መቀነስ አለባቸው. በእርግጥ, ከአንድ-ሁለት-ሶስት ጋር አብሮ መስራት በጣም ቀላል ነው, ለምሳሌ, ከ 23, 45 እና 97 ጋር. እና የመጀመሪያው እርምጃ በአንደኛው አምድ ውስጥ አንድ ክፍል ለማግኘት ብቻ ሳይሆን ቁጥሮቹን ለማስወገድ ጭምር ነው. 7 እና 11.

በመጀመሪያ ሙሉው መፍትሔ, ከዚያም አስተያየቶች:

(1) የመጀመሪያው ረድፍ በሁለተኛው ረድፍ ላይ ተጨምሯል, በ -2 ተባዝቷል. የመጀመሪያው መስመር ወደ ሦስተኛው መስመር ተጨምሯል, በ -3 ተባዝቷል. እና ወደ ክምር: 1 ኛ መስመር, በ -1 ተባዝቷል, ወደ 4 ኛ መስመር ተጨምሯል.

(2) የመጨረሻዎቹ ሦስት መስመሮች ተመጣጣኝ ናቸው. 3 ኛ እና 4 ኛ መስመሮች ተሰርዘዋል, ሁለተኛው መስመር ወደ መጀመሪያው ቦታ ተወስዷል.

(3) የመጀመሪያው ረድፍ በሁለተኛው ረድፍ ላይ ተጨምሯል, በ -3 ተባዝቷል.

ወደ ደረጃ ቅፅ የተቀነሰው ማትሪክስ ሁለት ረድፎች አሉት።

መልስ:

አሁን አራት በአራት ማትሪክስ ማሰቃየት የእርስዎ ተራ ነው።

ምሳሌ 4

የ Gaussian ዘዴን በመጠቀም የማትሪክስ ደረጃን ያግኙ

ያንን አስታውሳችኋለሁ Gauss ዘዴየማያሻማ ግትርነትን አያመለክትም፣ እና የእርስዎ መፍትሔ ምናልባት ከእኔ መፍትሔ የተለየ ይሆናል። በትምህርቱ መጨረሻ ላይ የተግባር አጭር ናሙና.

የማትሪክስ ደረጃን ለማግኘት ምን ዘዴ መጠቀም አለብዎት?

በተግባር ብዙውን ጊዜ ደረጃውን ለማግኘት የትኛውን ዘዴ መጠቀም እንዳለበት በጭራሽ አይነገርም. በእንደዚህ ዓይነት ሁኔታ ውስጥ አንድ ሰው ሁኔታውን መተንተን አለበት - ለአንዳንድ ማትሪክቶች መፍትሄውን ለአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆችን ማከናወን የበለጠ ምክንያታዊ ነው, ለሌሎች ደግሞ የመጀመሪያ ደረጃ ለውጦችን መተግበር የበለጠ ትርፋማ ነው.

ምሳሌ 5

የማትሪክስ ደረጃን ያግኙ

መፍትሄ: የመጀመሪያው መንገድ በሆነ መንገድ ወዲያውኑ ይጠፋል =)

ትንሽ ከፍ ያለ ፣ የማትሪክስ አምዶችን ላለመንካት እመክራለሁ ፣ ግን ዜሮ አምድ ፣ ወይም ተመጣጣኝ / ተዛማጅ አምዶች ሲኖሩ ፣ አሁንም መቁረጥ ጠቃሚ ነው-

(1) አምስተኛው ዓምድ ዜሮ ነው, ከማትሪክስ ውስጥ እናስወግደዋለን. ስለዚህ የማትሪክስ ደረጃው ቢበዛ አራት ነው። የመጀመሪያው ረድፍ በ -1 ተባዝቷል. ይህ የ Gaussian ዘዴ ሌላ ፊርማ ባህሪ ነው ፣ ይህም የሚከተለውን እርምጃ አስደሳች የእግር ጉዞ ያደርገዋል።

(2) በሁሉም መስመሮች ከሁለተኛው ጀምሮ, የመጀመሪያው መስመር ተጨምሯል.

(3) የመጀመሪያው ረድፍ በ -1 ተባዝቷል ፣ ሦስተኛው ረድፍ በ 2 ፣ አራተኛው ረድፍ በ 3 ተከፍሏል ። ሁለተኛው ረድፍ ተባዝቷል -1 ወደ አምስተኛው ረድፍ ተጨምሯል።

(4) ሦስተኛው መስመር ወደ አምስተኛው መስመር ተጨምሯል, በ -2 ተባዝቷል.

(5) የመጨረሻዎቹ ሁለት መስመሮች ተመጣጣኝ ናቸው, አምስተኛውን እንሰርዛለን.

ውጤቱ 4 ረድፎች ነው.

መልስ:

ለራስ ፍለጋ መደበኛ ባለ አምስት ፎቅ ሕንፃ፡-

ምሳሌ 6

የማትሪክስ ደረጃን ያግኙ

በትምህርቱ መጨረሻ ላይ አጭር መፍትሄ እና መልስ.

"ማትሪክስ ደረጃ" የሚለው ሐረግ በተግባር በጣም የተለመደ እንዳልሆነ እና በአብዛኛዎቹ ችግሮች ያለሱ ማድረግ እንደሚችሉ ልብ ሊባል ይገባል. ግን እየተገመገመ ያለው ፅንሰ-ሀሳብ ዋና ገጸ-ባህሪ የሆነበት አንድ ተግባር አለ ፣ እና በአንቀጹ ማጠቃለያ ይህንን ተግባራዊ መተግበሪያ እንመለከታለን።

ለተኳሃኝነት የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓትን እንዴት መመርመር እንደሚቻል?

ብዙውን ጊዜ, ከመፍታት በተጨማሪ የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓቶችእንደ ሁኔታው, በመጀመሪያ ለተኳሃኝነት መመርመር, ማለትም, ማንኛውም መፍትሄ ጨርሶ መኖሩን ማረጋገጥ ያስፈልጋል. በዚህ ማረጋገጫ ውስጥ ቁልፍ ሚና የሚጫወተው በ Kronecker-Capelli ቲዎረምበሚፈለገው ቅጽ እቀርጻለሁ፡-

ደረጃ ከሆነ የስርዓት ማትሪክስከደረጃ ጋር እኩል ነው። የተጨመረው ማትሪክስ ስርዓት, ከዚያም ስርዓቱ ወጥነት ያለው ነው, እና የተሰጠው ቁጥር ከማይታወቁት ቁጥር ጋር የሚጣጣም ከሆነ, መፍትሄው ልዩ ነው.

ስለዚህ, የተኳሃኝነት ስርዓቱን ለማጥናት, እኩልነትን ማረጋገጥ አስፈላጊ ነው የት - የስርዓት ማትሪክስ(ከትምህርቱ ውስጥ የቃላቶቹን ቃላት አስታውስ Gauss ዘዴ), ሀ - የተጨመረው ማትሪክስ ስርዓት(ማለትም ማትሪክስ ከተባባሪዎች ጋር በተለዋዋጮች + የነፃ ቃላት አምድ)።

የማትሪክስ ደረጃን ለማስላት, ለአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆችን ድንበር ወይም የጋውስ ዘዴን መጠቀም ይችላሉ. የ Gauss ዘዴን ወይም የአንደኛ ደረጃ ትራንስፎርሜሽን ዘዴን አስቡበት.

የማትሪክስ ደረጃ ለአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆች ከፍተኛው ቅደም ተከተል ነው ፣ ከእነዚህም መካከል ቢያንስ አንድ ከዜሮ ጋር እኩል ያልሆነ።

የረድፎች ስርዓት (አምዶች) የዚህ ስርዓት ከፍተኛው የመስመር ላይ ገለልተኛ ረድፎች (አምዶች) ብዛት ነው።

ለአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆችን በመጥለፍ ዘዴ የማትሪክስ ደረጃን ለማግኘት ስልተ ቀመር፡-

አናሳ ኤምትዕዛዝ ዜሮ አይደለም.
ለአካለ መጠን ያልደረሱ ታዳጊዎች ከሆነ M (k+1)-ኛቅደም ተከተል, ለመጻፍ የማይቻል ነው (ማለትም ማትሪክስ ይዟል ክመስመሮች ወይም ክአምዶች), ከዚያም የማትሪክስ ደረጃው ነው ክ. ድንበር ላይ ያሉ ታዳጊዎች ካሉ እና ሁሉም ዜሮ ከሆኑ ደረጃው k ነው። ከአጎራባች ታዳጊዎች መካከል ቢያንስ አንድ ከዜሮ ጋር እኩል ያልሆነ ከሆነ አዲስ ትንሽ ልጅ ለመጻፍ እንሞክራለን. k+2ወዘተ.

ስልተ ቀመርን በበለጠ ዝርዝር እንመርምር። በመጀመሪያ ፣ የማትሪክስ የመጀመሪያ ቅደም ተከተል (ማትሪክስ አካላት) ታዳጊዎችን አስቡባቸው ሀ. ሁሉም ዜሮ ከሆኑ ታዲያ ደረጃ A = 0. ከዜሮ ጋር እኩል ያልሆኑ የመጀመሪያ ደረጃ ታዳጊዎች (ማትሪክስ አካላት) ካሉ M1 ≠ 0, ከዚያም ደረጃ ራንግA ≥ 1.

M1. እንደዚህ አይነት ታዳጊዎች ካሉ, ከዚያም የሁለተኛው ትዕዛዝ ጥቃቅን ይሆናሉ. ሁሉም ለአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆች ለአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆች ከወሰኑ M1ከዜሮ ጋር እኩል ናቸው, ከዚያ ደረጃ A = 1. ከዜሮ ጋር እኩል ያልሆነ ቢያንስ አንድ ሁለተኛ ደረጃ ትንሽ ካለ M2 ≠ 0, ከዚያም ደረጃ ራንግA ≥ 2.

ለአካለ መጠን ያልደረሰ ልጅ ድንበር ላይ ያሉ ታዳጊዎች መኖራቸውን ያረጋግጡ M2. እንደዚህ ያሉ ታዳጊዎች ካሉ, ከዚያም የሶስተኛው ትዕዛዝ ጥቃቅን ይሆናሉ. ሁሉም ለአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆች ለአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆች ከወሰኑ M2ከዜሮ ጋር እኩል ናቸው, ከዚያ ደረጃ A = 2. ከዜሮ ጋር እኩል ያልሆነ የሶስተኛው ቅደም ተከተል ቢያንስ አንድ ትንሽ ካለ M3 ≠ 0, ከዚያም ደረጃ ክልል ≥ 3.

ለአካለ መጠን ያልደረሰ ልጅ ድንበር ላይ ያሉ ታዳጊዎች መኖራቸውን ያረጋግጡ M3. እንደዚህ ያሉ ታዳጊዎች ካሉ, ከዚያም የአራተኛው ቅደም ተከተል ጥቃቅን ይሆናሉ. ሁሉም ለአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆች ለአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆች ከወሰኑ M3ከዜሮ ጋር እኩል ናቸው, ከዚያ ደረጃ A = 3. ከዜሮ ጋር እኩል ያልሆነ ከአራተኛው ቅደም ተከተል ቢያንስ አንድ ትንሽ ካለ M4 ≠ 0, ከዚያም ደረጃ ክልል ≥ 4.

ለአካለ መጠን ያልደረሰ ልጅ ድንበር ያልደረሰ ልጅ ካለ በማጣራት ላይ M4, እናም ይቀጥላል. ስልተ-ቀመር የሚያቆመው በተወሰነ ደረጃ ላይ ያሉ ድንበሮች ከዜሮ ጋር እኩል ከሆኑ ወይም ድንበሩን ማግኘት ካልቻሉ (በማትሪክስ ውስጥ ምንም ረድፎች ወይም ዓምዶች የሉም)። ለመጻፍ የቻልነው ዜሮ ያልሆነ ልጅ ቅደም ተከተል የማትሪክስ ደረጃ ይሆናል።

ለምሳሌ

ይህንን ዘዴ በምሳሌ እንመልከተው. 4x5 ማትሪክስ ተሰጥቶታል፡-

ይህ ማትሪክስ ከ 4 በላይ የሆነ ደረጃ ሊኖረው አይችልም. በተጨማሪም, ይህ ማትሪክስ ዜሮ ያልሆኑ ንጥረ ነገሮች (የመጀመሪያ ደረጃ ጥቃቅን) አለው, ይህም ማለት የማትሪክስ ደረጃ ≥ 1 ነው.

ትንሽ ልጅ እንስራ 2ኛማዘዝ ከማእዘኑ እንጀምር።

የሚወስነው ከዜሮ ጋር እኩል ስለሆነ፣ ሌላ አናሳ እንፈጥራለን።

የዚህን ትንሽ ልጅ የሚወስነውን ያግኙ.

የተሰጠው ለአካለ መጠን ያልደረሰ መሆኑን ይወስኑ -2 . ስለዚህ የማትሪክስ ደረጃ ≥ 2 .

ይህ ለአካለ መጠን ያልደረሰው ከ0 ጋር እኩል ከሆነ፣ ከዚያ ሌሎች ታዳጊዎች ይታከላሉ። እስከ መጨረሻው ድረስ ሁሉም ታዳጊዎች በ 1 እና 2 ረድፎች ውስጥ ይሳላሉ. ከዚያም በመስመሮች 1 እና 3፣ በመስመሮች 2 እና 3፣ በመስመሮች 2 እና 4 ላይ፣ ከ0 ጋር የማይተካከል ትንሽ ልጅ እስኪያገኙ ድረስ ለምሳሌ፡-

ሁሉም ሁለተኛ ደረጃ ታዳጊዎች 0 ከሆኑ, የማትሪክስ ደረጃው 1 ይሆናል. መፍትሄው ሊቆም ይችላል.

3ኛማዘዝ

ለአካለ መጠን ያልደረሰው ልጅ ዜሮ ሆኖ አልተገኘም። የማትሪክስ ደረጃ ማለት ነው ≥ 3 .

ይህ ለአካለ መጠን ያልደረሰው ዜሮ ቢሆን ኖሮ ሌሎች ለአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆች መፈጠር ነበረባቸው። ለምሳሌ:

ሁሉም የሶስተኛ ደረጃ ታዳጊዎች 0 ከሆኑ, የማትሪክስ ደረጃው 2 ይሆናል. መፍትሄው ሊቆም ይችላል.

የማትሪክስ ደረጃ መፈለግን እንቀጥላለን። ትንሽ ልጅ እንስራ 4ኛማዘዝ

የዚህን ትንሽ ልጅ ወሳኙን እንፈልግ።

ለአካለ መጠን ያልደረሰ ልጅ የሚወስነው እኩል ሆነ 0 . ሌላ አናሳ እንገንባ።

የዚህን ትንሽ ልጅ ወሳኙን እንፈልግ።

አካለመጠን ያላደረሰው እኩል ሆነ 0 .

ለአካለ መጠን ያልደረሰ ልጅ ይገንቡ 5ኛትዕዛዝ አይሰራም, በዚህ ማትሪክስ ውስጥ ለዚህ ምንም ረድፍ የለም. የመጨረሻው ዜሮ ያልሆነ ትንሽ ነበር 3ኛቅደም ተከተል, ስለዚህ የማትሪክስ ደረጃ ነው 3 .

የመጀመሪያ ደረጃየሚከተሉት የማትሪክስ ለውጦች ይባላሉ፡-

1) የማንኛቸውም ሁለት ረድፎች (ወይም ዓምዶች) መተላለፍ ፣

2) ረድፍ (ወይም አምድ) በዜሮ ባልሆነ ቁጥር ማባዛት ፣

3) በአንድ ረድፍ (ወይም አምድ) ላይ ሌላ ረድፍ (ወይም አምድ) መጨመር በአንዳንድ ቁጥሮች ተባዝቷል።

ሁለቱ ማትሪክስ ተጠርተዋል ተመጣጣኝ, ከመካከላቸው አንዱ ከሌላው የተገኘ ከሆነ በመጨረሻው የአንደኛ ደረጃ ለውጦች እርዳታ.

ተመጣጣኝ ማትሪክስ በአጠቃላይ አነጋገር እኩል አይደሉም ነገር ግን ደረጃቸው እኩል ነው። ማትሪክስ A እና B እኩል ከሆኑ፡ ይህ እንደሚከተለው ተጽፏል፡- A ~ B።

ቀኖናዊማትሪክስ በዋናው ዲያግናል መጀመሪያ ላይ በተከታታይ ብዙ 1s ያለው ማትሪክስ ነው (ቁጥሩ ዜሮ ሊሆን ይችላል) እና ሁሉም ሌሎች አካላት ከዜሮ ጋር እኩል ናቸው ፣ ለምሳሌ ፣

የረድፎች እና ዓምዶች የመጀመሪያ ደረጃ ለውጦች በመታገዝ ማንኛውም ማትሪክስ ወደ ቀኖናዊ ሊቀንስ ይችላል። የቀኖናዊ ማትሪክስ ደረጃ በዋናው ሰያፍ ላይ ካሉት ቁጥር ጋር እኩል ነው።

ምሳሌ 2የማትሪክስ ደረጃን ያግኙ

ሀ=

እና ወደ ቀኖናዊ መልክ አምጣው.

መፍትሄ።የመጀመሪያውን ረድፍ ከሁለተኛው ረድፍ ቀንስ እና እነዚህን ረድፎች እንደገና አስተካክል፡-

አሁን ከሁለተኛው እና ከሦስተኛው ረድፎች የመጀመሪያውን ቀንስ ፣ በ 2 እና 5 ተባዝቷል ፣

;

ከሦስተኛው ረድፍ የመጀመሪያውን መቀነስ; ማትሪክስ እናገኛለን

ለ = ,

ከማትሪክስ A ጋር እኩል ነው, ምክንያቱም ከእሱ የተገኘ የመጨረሻ የአንደኛ ደረጃ ለውጦችን በመጠቀም ነው. በግልጽ ለማየት እንደሚቻለው የማትሪክስ B ደረጃ 2 ነው, እና ስለዚህ r (A) = 2. ማትሪክስ B በቀላሉ ወደ ቀኖናዊው ሊቀንስ ይችላል። የመጀመሪያውን አምድ, ተስማሚ በሆኑ ቁጥሮች ተባዝቶ, ከተከታይ ሁሉ, ከመጀመሪያው ረድፍ በስተቀር ሁሉንም ንጥረ ነገሮች ወደ ዜሮ እንቀይራለን, እና የተቀሩት ረድፎች ንጥረ ነገሮች አይለወጡም. ከዚያም ሁለተኛውን ዓምድ በተገቢው ቁጥሮች በማባዛት, ከተከታዮቹ ሁሉ በመቀነስ, ከሁለተኛው በስተቀር ሁሉንም የሁለተኛው ረድፍ አካላት ወደ ዜሮ እንለውጣለን እና ቀኖናዊውን ማትሪክስ እናገኛለን.

Kronecker - Capelli ቲዮረም- የመስመር አልጀብራ እኩልታዎች ስርዓት ተኳሃኝነት መስፈርት;

መስመራዊ ስርዓት ተኳሃኝ እንዲሆን የዚህ ሥርዓት የተራዘመ ማትሪክስ ደረጃ ከዋናው ማትሪክስ ደረጃ ጋር እኩል መሆን አስፈላጊ እና በቂ ነው።

ማረጋገጫ (የስርዓት ተኳሃኝነት ሁኔታዎች)

ያስፈልጋል

ፍቀድ ስርዓትመገጣጠሚያ. ከዚያ እንደዚህ ያሉ ቁጥሮች አሉ. ስለዚህ, ዓምዱ የማትሪክስ ዓምዶች ቀጥተኛ ጥምረት ነው. የረድፎች (አምዶች) ስርዓት ከተሰረዘ ወይም ረድፍ (አምድ) ከተመደበ የማትሪክስ ደረጃ አይለወጥም ፣ ይህም የሌሎች ረድፎች (አምዶች) መስመራዊ ጥምረት ነው ።

በቂነት

ፍቀድ። በማትሪክስ ውስጥ አንዳንድ መሰረታዊ ጥቃቅን እንውሰድ. ጀምሮ፣ ያኔ እሱ ደግሞ የማትሪክስ መሠረት አናሳ ይሆናል። ከዚያም በመሠረታዊ ንድፈ ሐሳብ መሠረት ጥቃቅን, የማትሪክስ የመጨረሻው አምድ የመሠረት ዓምዶች ቀጥተኛ ጥምረት ይሆናል, ማለትም, የማትሪክስ አምዶች . ስለዚህ የስርዓቱ ነፃ አባላት አምድ የማትሪክስ አምዶች መስመራዊ ጥምረት ነው።

ውጤቶቹ

ዋና ተለዋዋጮች ብዛት ስርዓቶችከስርዓቱ ደረጃ ጋር እኩል ነው.

መገጣጠሚያ ስርዓትየስርዓቱ ደረጃ ከሁሉም ተለዋዋጮች ቁጥር ጋር እኩል ከሆነ ይገለጻል (መፍትሄው ልዩ ነው)።

ተመሳሳይነት ያለው የእኩልታዎች ስርዓት

ዓረፍተ ነገር15 . 2 ተመሳሳይነት ያለው የእኩልታዎች ስርዓት

ምንጊዜም ትብብር ነው.

ማረጋገጫ. ለዚህ ስርዓት, የቁጥሮች ስብስብ,,, መፍትሄ ነው.

በዚህ ክፍል ውስጥ የስርዓቱን ማትሪክስ ማስታወሻ እንጠቀማለን:.

ዓረፍተ ነገር15 . 3 ለተመሳሳዩ የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓት የመፍትሄ ድምር የዚህ ስርዓት መፍትሄ ነው። በቁጥር የተባዛ መፍትሄም መፍትሄ ነው።

ማረጋገጫ. የስርአቱ መፍትሄዎች ሆነው ያገልግሉ። ከዚያ እና. ፍቀድ። ከዚያም

ከ , ከዚያም መፍትሔ ነው.

የዘፈቀደ ቁጥር ይሁን፣ . ከዚያም

ከ , ከዚያም መፍትሔ ነው.

መዘዝ15 . 1 አንድ ወጥ የሆነ የመስመር እኩልታዎች ስርዓት ዜሮ ያልሆነ መፍትሄ ካለው፣ ወሰን የለሽ ብዙ የተለያዩ መፍትሄዎች አሉት።

በእርግጥ, ዜሮ ያልሆነን መፍትሄ በተለያዩ ቁጥሮች ማባዛት, የተለያዩ መፍትሄዎችን እናገኛለን.

ፍቺ15 . 5 መፍትሄዎችን እንናገራለን ስርዓቶች ቅፅ መሠረታዊ ውሳኔ ሥርዓትአምዶች ከሆነ ቀጥተኛ ገለልተኛ ስርዓት ይመሰርታሉ እና ማንኛውም የስርዓቱ መፍትሄ የእነዚህ አምዶች መስመራዊ ጥምረት ነው።

>> ማትሪክስ ደረጃ

ማትሪክስ ደረጃ

የማትሪክስ ደረጃን መወሰን

አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ማትሪክስ አስቡበት. በዚህ ማትሪክስ ውስጥ በዘፈቀደ ከመረጥን ክመስመሮች እና ክአምዶች፣ ከዚያም በተመረጡት ረድፎች እና አምዶች መገናኛ ላይ ያሉት ንጥረ ነገሮች የ kth ቅደም ተከተል ካሬ ማትሪክስ ይመሰርታሉ። የዚህ ማትሪክስ መወሰኛ ይባላል k-th ትዕዛዝ አነስተኛማትሪክስ A. በግልጽ ለማየት እንደሚቻለው ማትሪክስ A ከ 1 እስከ ትንሹ እስከ m እና n ቁጥሮች ድረስ ትናንሽ ልጆች አሉት። ከማትሪክስ ሀ ውስጥ ዜሮ ካልሆኑ ታዳጊዎች መካከል ትዕዛዙ ትልቁ የሆነው ቢያንስ አንድ ትንሽ ልጅ አለ። በተሰጠው ማትሪክስ ውስጥ ለአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆች ዜሮ ያልሆኑ ትዕዛዞች ትልቁ ይባላል ደረጃማትሪክስ. የማትሪክስ ደረጃ A ከሆነ አር, ከዚያ ይህ ማለት ማትሪክስ A ዜሮ ያልሆነ ጥቃቅን ቅደም ተከተል አለው ማለት ነው አር, ነገር ግን እያንዳንዱ አነስተኛ ትዕዛዝ ይበልጣል አር፣ ከዜሮ ጋር እኩል ነው። የማትሪክስ A ደረጃ በ r (A) ይገለጻል. ግንኙነቱ ግልጽ ነው

ታዳጊዎችን በመጠቀም የማትሪክስ ደረጃን ማስላት

የማትሪክስ ደረጃ የሚገኘው በወጣቶች ድንበር ወይም በአንደኛ ደረጃ ለውጦች ዘዴ ነው። የማትሪክስ ደረጃን በመጀመሪያው መንገድ ሲያሰሉ ከዝቅተኛ ትእዛዞች ለአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆች ከፍተኛ ደረጃ ላይ መድረስ አለባቸው. ከማትሪክስ A የ kth ቅደም ተከተል ዜሮ ያልሆነ መለስተኛ ዲ አስቀድሞ ከተገኘ ፣ከአካለ መጠን ያልደረሰው D የሚዋሰኑት (k + 1) ኛ ቅደም ተከተል ታዳጊዎች ብቻ መቁጠር አለባቸው፣ ማለትም። እንደ ትንሽ ልጅ የያዘው. ሁሉም ዜሮ ከሆኑ የማትሪክስ ደረጃ ነው። ክ.

ምሳሌ 1ለአካለ መጠን ያልደረሱ ሕፃናትን በወሰን ዘዴ የማትሪክስ ደረጃን ያግኙ

መፍትሄ።በ 1 ኛ ቅደም ተከተል ለአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆች እንጀምራለን, ማለትም. ከማትሪክስ አባሎች A. ለምሳሌ በመጀመሪያው ረድፍ እና በመጀመሪያው አምድ ውስጥ የሚገኘውን ትንሹን (ንጥረ ነገር) М 1 = 1 እንመርጣለን. በሁለተኛው ረድፍ እና በሶስተኛው ዓምድ እርዳታ ወሰን, ከዜሮ የሚለየውን ጥቃቅን M 2 = እናገኛለን. አሁን ወደ 3 ኛ ቅደም ተከተል ለአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆችን እንሸጋገራለን, ከ M 2 ጋር. ከነሱ ውስጥ ሁለቱ ብቻ ናቸው (ሁለተኛው አምድ ወይም አራተኛ ማከል ይችላሉ). እኛ እናሰላቸዋለን፡- = 0. ስለዚህ, ሁሉም የሦስተኛው ቅደም ተከተል አዋሳኝ ታዳጊዎች ከዜሮ ጋር እኩል ሆነዋል. የማትሪክስ A ደረጃ ሁለት ነው.