የመስመሩን እኩልታ ይፈልጉ። በአውሮፕላን ላይ የአንድ ቀጥተኛ መስመር አጠቃላይ እኩልታ

የአንድ ቀጥተኛ መስመር አጠቃላይ እኩልታ;

የአንድ ቀጥተኛ መስመር አጠቃላይ እኩልታ ልዩ ጉዳዮች፡-

እና ከሆነ ሲ= 0፣ ቀመር (2) ቅጹ ይኖረዋል

አክስ + በ = 0,

እና የመነሻው መጋጠሚያዎች ስለሆኑ በዚህ እኩልታ የተገለጸው ቀጥተኛ መስመር በመነሻው በኩል ያልፋል x = 0, y= 0 ይህን እኩልታ ማርካት።

ለ) በአጠቃላይ ቀጥተኛ መስመር (2) እኩልነት ውስጥ ከሆነ. ለ= 0, ከዚያም እኩልታው ቅጹን ይወስዳል

አክስ + ጋር= 0, ወይም.

እኩልታው ተለዋዋጭ የለውም y, እና በዚህ ስሌት የተገለጸው ቀጥተኛ መስመር ከዘንግ ጋር ትይዩ ነው ወይ.

ሐ) በአጠቃላይ ቀጥተኛ መስመር (2) እኩልታ ውስጥ ከሆነ. ሀ= 0፣ ከዚያ ይህ ቀመር ቅጹን ይወስዳል

በ + ጋር= 0, ወይም;

እኩልታው ተለዋዋጭ የለውም x, እና እሱ የሚገልጸው ቀጥተኛ መስመር ከዘንግ ጋር ትይዩ ነው ኦክስ.

ሊታወስ የሚገባው: ቀጥተኛ መስመር ከአንዳንድ አስተባባሪ ዘንግ ጋር ትይዩ ከሆነ, በእሱ እኩልታ ውስጥ ከዚህ ዘንግ ጋር ተመሳሳይ ስም ያለው መጋጠሚያ የያዘ ቃል የለም.

መ) መቼ ሲ= 0 እና ሀ= 0 እኩልታ (2) ቅጹን ይወስዳል በ= 0, ወይም y = 0.

ይህ የዘንግ እኩልታ ነው። ኦክስ.

መ) መቼ ሲ= 0 እና ለ= 0 እኩልታ (2) በቅጹ ይጻፋል አክስ= 0 ወይም x = 0.

ይህ የዘንግ እኩልታ ነው። ወይ.

በአውሮፕላን ላይ የመስመሮች አንጻራዊ አቀማመጥ. በአውሮፕላን ላይ ባሉ ቀጥታ መስመሮች መካከል ያለው አንግል. ለትይዩ መስመሮች ሁኔታ. የመስመሮች perpendicularity ሁኔታ.

l 1 l 2 l 1፡ A 1 x + B 1 y + C 1 = 0
l 2፡ A 2 x + B 2 y + C 2 = 0

S 2 S 1 Vectors S 1 እና S 2 ለመስመሮቻቸው መመሪያ ይባላሉ።

ቀጥታ መስመሮች l 1 እና l 2 መካከል ያለው አንግል በአቅጣጫ ቬክተሮች መካከል ባለው አንግል ይወሰናል.
ቲዎሪ 1፡በ l 1 እና l 2 መካከል ያለው አንግል cos = cos (l 1; l 2) =

ቲዎሪ 2፡ 2 መስመሮች እኩል እንዲሆኑ አስፈላጊ እና በቂ ነው-

ቲዎሪ 3፡ለ 2 ቀጥተኛ መስመሮች ቀጥ ያሉ እንዲሆኑ አስፈላጊ እና በቂ ነው-

L 1 l 2 ó A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0

አጠቃላይ የአውሮፕላን እኩልታ እና ልዩ ጉዳዮች። በክፍሎች ውስጥ የአውሮፕላን እኩልነት.

አጠቃላይ የአውሮፕላን እኩልታ፡-

አክስ + በ + Cz + D = 0

ልዩ ጉዳዮች፡-

1. D = 0 Ax + By + Cz = 0 - አውሮፕላኑ በመነሻው ውስጥ ያልፋል

2. С=0 Ax+By+D = 0 - አውሮፕላን || OZ

3. B=0 Ax+Cz+d = 0 - አውሮፕላን || ኦህ

4. A=0 By+Cz+D = 0 - አውሮፕላን || ኦክስ

5. A=0 እና D=0 By+Cz = 0 - አውሮፕላኑ በኦክስ በኩል ያልፋል

6. B = 0 እና D = 0 Ax + Cz = 0 - አውሮፕላኑ በ OY በኩል ያልፋል

7. C = 0 እና D = 0 Ax + By = 0 - አውሮፕላኑ በ OZ በኩል ያልፋል

በጠፈር ውስጥ የአውሮፕላኖች እና ቀጥታ መስመሮች አንጻራዊ አቀማመጥ፡-

1. በጠፈር ውስጥ ባሉ ቀጥታ መስመሮች መካከል ያለው አንግል በአቅጣጫቸው ቬክተሮች መካከል ያለው አንግል ነው.

Cos (l 1; l 2) = cos (S 1; S 2) =

2. በአውሮፕላኖቹ መካከል ያለው አንግል በተለመደው ቬክተሮች መካከል ባለው አንግል በኩል ይወሰናል.

Cos (l 1; l 2) = cos (N 1; N 2) =

3. በመስመሩ እና በአውሮፕላኑ መካከል ያለው አንግል ኮሳይን በመስመሩ አቅጣጫ ቬክተር እና በአውሮፕላኑ መደበኛ ቬክተር መካከል ባለው አንግል ኃጢአት በኩል ሊገኝ ይችላል።

4. 2 ቀጥ || በጠፈር ላይ የነሱ || የቬክተር መመሪያዎች

5. 2 አውሮፕላኖች || መቼ || መደበኛ ቬክተሮች

6. የመስመሮች እና አውሮፕላኖች perpendicularity ጽንሰ-ሀሳቦች በተመሳሳይ መልኩ አስተዋውቀዋል.

ጥያቄ ቁጥር 14

በአውሮፕላን ላይ የተለያዩ የቀጥታ መስመር እኩልታ ዓይነቶች (የቀጥታ መስመር እኩልታ በክፍሎች ፣ ከማዕዘን ኮፊሸን ፣ ወዘተ) ጋር።

በክፍሎች ውስጥ ቀጥተኛ መስመር እኩልታ;
በቀጥተኛው መስመር አጠቃላይ እኩልታ ውስጥ እንውሰድ-

1. C = 0 Ах + Ву = 0 - ቀጥታ መስመር በመነሻው በኩል ያልፋል.

2. a = 0 Vu + C = 0 y =

3. b = 0 Ax + C = 0 x =

4. b=C=0 መጥረቢያ = 0 x = 0

5. a=C=0 Ву = 0 у = 0

ከቁልቁለት ጋር የቀጥተኛ መስመር እኩልታ፡-

ከኦፕ-አምፕ ዘንግ (B not = 0) ጋር እኩል ያልሆነ ማንኛውም ቀጥተኛ መስመር በሚቀጥለው መስመር ሊጻፍ ይችላል። ቅጽ፡

k = tanα α - በቀጥተኛ መስመር እና በአዎንታዊ መልኩ በሚመራ መስመር OX መካከል አንግል

ለ - ከኦፕ-አምፕ ዘንግ ጋር የቀጥታ መስመር መገናኛ ነጥብ

ሰነድ፡

Ax+By+C = 0

Wu= -አህ-ኤስ |:B

በሁለት ነጥቦች ላይ የተመሰረተ ቀጥተኛ መስመር እኩልታ፡-

ጥያቄ ቁጥር 16

የአንድ ተግባር የመጨረሻ ገደብ በአንድ ነጥብ እና ለ x→∞

የማብቂያ ገደብ በ x0:

ቁጥር A ይባላል የተግባሩ ገደብ y = f(x) ለ x→x 0 ለማንኛውም ኢ > 0 ካለ b > 0 ካለ ለ x ≠x 0 እኩልነትን የሚያረካ |x – x 0 |< б, выполняется условие |f(x) - A| < Е

ገደቡ የሚያመለክተው በ: = A

የማብቂያ ገደብ በ ነጥብ +∞:

ቁጥር A በ x የተግባሩ ገደብ y = f(x) ተብሎ ይጠራል → + ∞ ለማንኛውም ኢ > 0 ካለ C > 0 እንዲህ ለ x > C እኩልነት |f(x) - A|< Е

ገደቡ የሚያመለክተው በ: = A

መጨረሻ ላይ ያለው ገደብ -∞:

ቁጥር A የተግባር ወሰን ተብሎ ይጠራል y = f (x) ለ x→-∞፣ለማንኛውም ኢ< 0 существует С < 0 такое, что при х < -С выполняется неравенство |f(x) - A| < Е

በዚህ ጽሑፍ ውስጥ በአውሮፕላን ላይ የአንድ ቀጥተኛ መስመር አጠቃላይ እኩልነት እንመለከታለን. የዚህ መስመር ሁለት ነጥቦች የሚታወቁ ከሆነ ወይም አንድ ነጥብ እና የዚህ መስመር መደበኛ ቬክተር የሚታወቅ ከሆነ አጠቃላይ የመስመሩን እኩልታ የመገንባት ምሳሌዎችን እንስጥ። ቀመርን በአጠቃላይ መልኩ ወደ ቀኖናዊ እና ፓራሜትሪክ ቅርጾች ለመቀየር ዘዴዎችን እናቅርብ።

የዘፈቀደ የካርቴዥያ አራት ማዕዘን መጋጠሚያ ስርዓት ይስጥ ኦክሲ. የመጀመሪያ ዲግሪ ወይም መስመራዊ እኩልታ አስቡበት፡-

አክስ+በ+ሲ=0,

(1)

የት ኤ፣ ቢ፣ ሲ- አንዳንድ ቋሚዎች, እና ቢያንስ አንድ ንጥረ ነገሮች ሀእና ለከዜሮ የተለየ።

በአውሮፕላኑ ላይ ያለው መስመራዊ እኩልታ ቀጥተኛ መስመርን እንደሚገልፅ እናሳያለን። የሚከተለውን ጽንሰ ሐሳብ እናረጋግጥ.

ቲዎረም 1. በዘፈቀደ የካርቴዥያ አራት ማዕዘን መጋጠሚያ ስርዓት በአውሮፕላን ላይ እያንዳንዱ ቀጥተኛ መስመር በሊነየር እኩልታ ሊገለፅ ይችላል። በአንጻሩ፣ እያንዳንዱ ቀጥተኛ እኩልታ (1) በዘፈቀደ የካርቴዥያ አራት ማዕዘን መጋጠሚያ ሥርዓት በአውሮፕላን ላይ ቀጥ ያለ መስመርን ይገልጻል።

ማረጋገጫ። ቀጥተኛውን መስመር ማረጋገጥ በቂ ነውለማንኛውም የካርቴዥያ አራት ማዕዘን መጋጠሚያ ስርዓት በመስመራዊ እኩልታ የሚወሰን ነው፡ ከዚያን ጊዜ ጀምሮ ለማንኛውም የካርቴዥያ አራት ማዕዘን መጋጠሚያ ስርዓት ምርጫ በመስመር ቀመር ይወሰናል።

በአውሮፕላኑ ላይ ቀጥተኛ መስመር ይስጥ ቀጥተኛውን መስመር ማረጋገጥ በቂ ነው. ዘንግ እንዲይዝ የማስተባበር ስርዓት እንመርጥ ኦክስከቀጥታ መስመር ጋር ተገናኝቷል ቀጥተኛውን መስመር ማረጋገጥ በቂ ነው, እና ዘንግ ወይወደ እሱ ቀጥ ብሎ ነበር። ከዚያም የመስመሩ እኩልታ ቀጥተኛውን መስመር ማረጋገጥ በቂ ነውየሚከተለውን ቅጽ ይወስዳል:

y=0

(2)

ሁሉም ነጥቦች በአንድ መስመር ላይ ቀጥተኛውን መስመር ማረጋገጥ በቂ ነውመስመራዊ እኩልታ (2) ያሟላል፣ እና ከዚህ መስመር ውጪ ያሉት ሁሉም ነጥቦች እኩልታ (2) አያረኩም። የቲዎሪው የመጀመሪያ ክፍል ተረጋግጧል.

የካርቴዥያ አራት ማዕዘን መጋጠሚያ ስርዓት ይሰጥ እና መስመራዊ እኩልታ (1) ይስጥ፣ እሱም ቢያንስ ከንጥረ ነገሮች ውስጥ አንዱ። ሀእና ለከዜሮ የተለየ። መጋጠሚያዎቻቸው እኩልነትን (1) የሚያረኩ የነጥቦችን ጂኦሜትሪክ ቦታ እናገኝ። ቢያንስ ከአንዱ አሃዞች ውስጥ ሀእና ለከዜሮ የተለየ ነው፣ ከዚያ ቀመር (1) ቢያንስ አንድ መፍትሄ አለው። ኤም(x 0 ,y 0) (ለምሳሌ ፣ መቼ ሀ≠0፣ ነጥብ ኤም 0 (−ሲ/ኤ, 0) የተሰጠው የጂኦሜትሪክ ቦታ ነጥቦች) ነው። እነዚህን መጋጠሚያዎች ወደ (1) በመተካት ማንነቱን እናገኛለን

አክስ 0 +በ 0 +ሲ=0.

(3)

ማንነትን (3) ከ (1) እንቀንስ።

ሀ(x−x 0)+ለ(y−y 0)=0.

(4)

ግልጽ ነው፣ እኩልታ (4) ከቁጥር (1) ጋር እኩል ነው። ስለዚህ, (4) የተወሰነ መስመርን እንደሚገልፅ ማረጋገጥ በቂ ነው.

የካርቴዥያን አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው መጋጠሚያ ስርዓትን እያሰብን ስለሆነ ከእኩልነት (4) ቬክተር ከክፍሎች ጋር ( x-x 0 , y-y 0) orthogonal ወደ ቬክተር nከመጋጠሚያዎች ጋር ( ኤ፣ቢ}.

እስቲ አንዳንድ ቀጥተኛ መስመርን እንመልከት ቀጥተኛውን መስመር ማረጋገጥ በቂ ነው, ነጥቡን በማለፍ ኤም 0 (x 0 , y 0) እና ወደ ቬክተር ቀጥ ያለ n(ምስል 1). ነጥቡ ይሁን ኤም(x y) የመስመሩ ነው። ቀጥተኛውን መስመር ማረጋገጥ በቂ ነው. ከዚያም ቬክተር ከመጋጠሚያዎች ጋር x-x 0 , y-y 0 perpendicular nእና እኩልነት (4) ረክቷል (የ vectors scalar ምርት nእና ከዜሮ ጋር እኩል ነው). በተቃራኒው, ነጥብ ከሆነ ኤም(x y) በመስመር ላይ አይተኛም። ቀጥተኛውን መስመር ማረጋገጥ በቂ ነው, ከዚያም ቬክተር ከመጋጠሚያዎች ጋር x-x 0 , y-y 0 ለቬክተር ኦርቶጎን አይደለም nእና ቀመር (4) አልረካም. ጽንሰ-ሐሳቡ ተረጋግጧል.

ማረጋገጫ። n 1 ={ሀ 1 ,ለመስመሮች (5) እና (6) ተመሳሳይ መስመርን ስለሚገልጹ, ከዚያም የተለመዱ ቬክተሮች n 2 ={ሀ 2 ,ለ 1) እና n 1 ≠0, n 2) ኮላይነር. ከቬክተሮች ጀምሮ λ 2 ≠0, ከዚያ እንደዚህ ያለ ቁጥር አለ n 2 =n 1 λ , ምንድን ሀ 2 =ሀ 1 λ , ለ 2 =ለ 1 λ . ከዚህ እኛ አለን: ሲ 2 =ሲ 1 λ . ይህን እናረጋግጥ ኤም 0 (x 0 , y. በግልጽ ለማየት እንደሚቻለው, የተገጣጠሙ መስመሮች አንድ የጋራ ነጥብ አላቸው λ 0) እኩልታ (5) በማባዛት።

እና ቀመር (6) ስንቀንስ ከእሱ እናገኛለን: ሲ 1 λ −ሲከገለጻዎች (7) የመጀመሪያዎቹ ሁለት እኩልነቶች ስለሚረኩ, ከዚያ ሲ 2 =ሲ 1 λ 2 = 0. እነዚያ።

. አስተያየቱ ተረጋግጧል። ኤም 0 (x 0 , yቀመር (4) በነጥቡ ውስጥ የሚያልፈውን ቀጥተኛ መስመር እኩልታ እንደሚገልፅ ልብ ይበሉ n={ኤ፣ቢ 0) እና መደበኛ ቬክተር መኖር

). ስለዚህ የመስመሩ መደበኛ ቬክተር እና የዚህ መስመር ንብረት ነጥብ የሚታወቅ ከሆነ የመስመሩ አጠቃላይ እኩልታ ቀመር (4) በመጠቀም ሊገነባ ይችላል። ኤም= (4,-1) እና መደበኛ ቬክተር አለው n= (3, 5) የአንድ መስመር አጠቃላይ እኩልታ ይገንቡ።

መፍትሄ። x 0 =4, y 0 =−1, ሀ=3, ለእና አለነ:

=5. የአንድ ቀጥተኛ መስመር አጠቃላይ እኩልታን ለመገንባት እነዚህን እሴቶች ወደ ቀመር (4) እንተካቸዋለን።

መልስ፡- ቀጥተኛውን መስመር ማረጋገጥ በቂ ነውቬክተሩ ከመስመሩ ጋር ትይዩ ነው ቀጥተኛውን መስመር ማረጋገጥ በቂ ነውእና, ስለዚህ, ከመደበኛው የመስመር ቬክተር ጋር በተዛመደ ቀጥተኛውን መስመር ማረጋገጥ በቂ ነው. መደበኛ የመስመር ቬክተር እንገንባ nየቬክተሮች scalar ምርት ግምት ውስጥ በማስገባት n={1,−3}.

እና ከዜሮ ጋር እኩል ነው. ለምሳሌ, መጻፍ እንችላለን. ኤምየአንድ ቀጥተኛ መስመር አጠቃላይ እኩልታን ለመገንባት, ቀመር (4) እንጠቀማለን. የነጥቡን መጋጠሚያዎች ወደ (4) እንተካ ኤም 1 (እኛ ደግሞ የነጥቡን መጋጠሚያዎች መውሰድ እንችላለን n:

2) እና መደበኛ ቬክተር ኤምየነጥቦቹን መጋጠሚያዎች መተካት ኤም 1 እና

=5. የአንድ ቀጥተኛ መስመር አጠቃላይ እኩልታን ለመገንባት እነዚህን እሴቶች ወደ ቀመር (4) እንተካቸዋለን።

2 በ (9) በቀመር (9) የተሰጠው ቀጥተኛ መስመር በእነዚህ ነጥቦች ውስጥ ማለፉን ማረጋገጥ እንችላለን።

ከ (1) ቀንስ (10) የመስመሩን ቀኖናዊ እኩልታ አግኝተናል። ቬክተር={−ለ, ሀቅ

) የመስመሩ አቅጣጫ ቬክተር ነው (12)።

የተገላቢጦሽ ለውጥን ይመልከቱ።

ምሳሌ 3. በአውሮፕላኑ ላይ ያለው ቀጥተኛ መስመር በሚከተለው አጠቃላይ ቀመር ይወከላል፡-

ሁለተኛውን ቃል ወደ ቀኝ እናንቀሳቅሰው እና ሁለቱንም የእኩልታውን ጎኖች በ 2·5 እናካፍል።

ከተከታታዩ "ጂኦሜትሪክ ስልተ ቀመሮች" ትምህርት

ሰላም ውድ አንባቢ!

ዛሬ ከጂኦሜትሪ ጋር የተያያዙ ስልተ ቀመሮችን መማር እንጀምራለን. እውነታው ግን በኮምፒዩተር ሳይንስ ውስጥ ከኮምፒዩቲሽናል ጂኦሜትሪ ጋር የተዛመዱ በጣም ብዙ የኦሎምፒያድ ችግሮች አሉ ፣ እና እንደዚህ ያሉ ችግሮችን መፍታት ብዙውን ጊዜ ችግሮች ያስከትላል።

በበርካታ ትምህርቶች ውስጥ ፣ በስሌት ጂኦሜትሪ ውስጥ ያሉ አብዛኛዎቹ ችግሮች መፍትሄ የተመሰረቱባቸውን በርካታ የመጀመሪያ ደረጃ ንዑስ ተግባሮችን እንመለከታለን። በዚህ ትምህርት ውስጥ ፕሮግራም እንፈጥራለንየመስመሩን እኩልታ ማግኘት , የተሰጠ በኩል ማለፍሁለት ነጥቦች

. የጂኦሜትሪክ ችግሮችን ለመፍታት ስለ ስሌት ጂኦሜትሪ የተወሰነ እውቀት እንፈልጋለን። እነሱን ለማወቅ የትምህርቱን ክፍል እናቀርባለን።

ከስሌት ጂኦሜትሪ ግንዛቤዎች

የስሌት ጂኦሜትሪ የጂኦሜትሪክ ችግሮችን ለመፍታት ስልተ ቀመሮችን የሚያጠና የኮምፒውተር ሳይንስ ክፍል ነው።

ለእንደዚህ አይነት ችግሮች የመጀመሪያ መረጃ በአውሮፕላን ላይ ያሉ የነጥቦች ስብስብ ፣ የክፍሎች ስብስብ ፣ ፖሊጎን (ለምሳሌ ፣ በሰዓት አቅጣጫ በተቀመጡት ጫፎች ዝርዝር) ወዘተ ሊሆን ይችላል ።

ውጤቱም ለአንዳንድ ጥያቄዎች መልስ ሊሆን ይችላል (ለምሳሌ ነጥቡ የአንድ ክፍል ነው፣ ሁለት ክፍሎች ይገናኛሉ፣...)፣ ወይም አንዳንድ የጂኦሜትሪክ ነገር (ለምሳሌ ፣ የተሰጡት ነጥቦችን የሚያገናኝ ትንሹ ሾጣጣ ፖሊጎን ፣ የ ፖሊጎን ፣ ወዘተ.)

በአውሮፕላኑ ላይ ብቻ እና በካርቴሲያን መጋጠሚያ ስርዓት ውስጥ ብቻ የስሌት ጂኦሜትሪ ችግሮችን እንመለከታለን.

የስሌት ጂኦሜትሪ ዘዴዎችን ለመተግበር የጂኦሜትሪክ ምስሎችን ወደ ቁጥሮች ቋንቋ መተርጎም አስፈላጊ ነው. አውሮፕላኑ የካርቴሲያን አስተባባሪ ስርዓት እንደተሰጠው እንገምታለን, በዚህ ውስጥ በተቃራኒ ሰዓት አቅጣጫ የመዞሪያው አቅጣጫ አዎንታዊ ይባላል.

አሁን የጂኦሜትሪክ እቃዎች የትንታኔ መግለጫ ይቀበላሉ. ስለዚህ፣ አንድን ነጥብ ለመጥቀስ፣ መጋጠሚያዎቹን ለማመልከት በቂ ነው፡ ጥንድ ቁጥሮች (x; y)። የጫፎቹን መጋጠሚያዎች በመግለጽ አንድ ክፍል ሊገለጽ ይችላል ፣

ነገር ግን ችግሮቻችንን ለመፍታት ዋናው መሳሪያችን ቬክተር ይሆናል። ስለዚህ ስለእነሱ አንዳንድ መረጃዎችን ላስታውስ።

የመስመር ክፍል AB, ይህም ነጥብ አለው ሀእንደ መጀመሪያ (የመተግበሪያው ነጥብ) እና ነጥቡ ይቆጠራል ውስጥ- መጨረሻ, ቬክተር ይባላል ABእና በሁለቱም ወይም በደማቅ ንዑስ ሆሄ ይገለጻል, ለምሳሌ ሀ .

የቬክተርን ርዝመት (ማለትም, የተዛማጅ ክፍል ርዝመት) ለማመልከት, የሞጁሉን ምልክት እንጠቀማለን (ለምሳሌ,).

የዘፈቀደ ቬክተር በመጨረሻው እና በጅማሬው ተጓዳኝ መጋጠሚያዎች መካከል ካለው ልዩነት ጋር እኩል መጋጠሚያዎች ይኖሩታል።

ነጥቦቹ እዚህ አሉ። ሀእና ለ መጋጠሚያዎች አሏቸው በቅደም ተከተል.

ለስሌቶች ጽንሰ-ሐሳቡን እንጠቀማለን ተኮር አንግል, ማለትም, የቬክተሮችን አንጻራዊ አቀማመጥ ግምት ውስጥ የሚያስገባ አንግል.

በቬክተር መካከል ተኮር አንግል ሀ እና ለ አወንታዊው ሽክርክሪት ከቬክተር ከሆነ ሀ ወደ ቬክተር ለ የሚከናወነው በአዎንታዊ አቅጣጫ (በተቃራኒ ሰዓት አቅጣጫ) እና በሌላኛው ሁኔታ አሉታዊ ነው. Fig.1a ይመልከቱ, Fig.1b. በተጨማሪም ጥንድ ቬክተር ይባላል ሀ እና ለ በአዎንታዊ (አሉታዊ) ተኮር.

ስለዚህ ፣ የታመቀው አንግል ዋጋ የሚወሰነው ቬክተሮች በተዘረዘሩበት ቅደም ተከተል ላይ ነው እና በክፍተቱ ውስጥ እሴቶችን ሊወስድ ይችላል።

በስሌት ጂኦሜትሪ ውስጥ ያሉ ብዙ ችግሮች የቬክተር (skew ወይም pseudoscalar) የቬክተር ምርቶችን ጽንሰ-ሀሳብ ይጠቀማሉ።

የቬክተር a እና b የቬክተር ምርት የእነዚህ ቬክተሮች ርዝመት እና በመካከላቸው ያለው አንግል ሳይን ነው፡

በመጋጠሚያዎች ውስጥ የቬክተሮች ተሻጋሪ ምርት

በቀኝ በኩል ያለው አገላለጽ የሁለተኛ ደረጃ መወሰኛ ነው፡-

በትንታኔ ጂኦሜትሪ ከተሰጠው ፍቺ በተለየ፣ scalar ነው።

የቬክተር ምርቱ ምልክት የቬክተሮች አንዳቸው ከሌላው አንጻር ያለውን ቦታ ይወስናል.

ሀ እና ለ አዎንታዊ ተኮር.

እሴቱ ከሆነ, ከዚያም ጥንድ ቬክተሮች ሀ እና ለ አሉታዊ ተኮር.

የዜሮ ያልሆኑ ቬክተሮች ተሻጋሪ ውጤት ዜሮ ከሆነ እና እነሱ ኮሊንየር ከሆኑ ብቻ () ). ይህ ማለት በአንድ መስመር ላይ ወይም በትይዩ መስመሮች ላይ ይተኛሉ ማለት ነው.

ይበልጥ ውስብስብ የሆኑትን ሲፈቱ አስፈላጊ የሆኑትን ጥቂት ቀላል ችግሮችን እንመልከት.

የቀጥታ መስመርን እኩልነት ከሁለት ነጥብ መጋጠሚያዎች እንወስን።

በአስተባባሪዎቻቸው የተገለጹ ሁለት የተለያዩ ነጥቦችን የሚያልፈው መስመር እኩልታ።

ሁለት የማይመሳሰሉ ነጥቦች ቀጥታ መስመር ላይ ይሰጡ፡ ከመጋጠሚያዎች (x1; y1) እና ከመጋጠሚያዎች (x2; y2) ጋር። በዚህ መሠረት በነጥብ ጅምር እና በነጥብ ላይ ያለው ቬክተር መጋጠሚያዎች አሉት (x2-x1፣ y2-y1)። P(x, y) በእኛ መስመር ላይ የዘፈቀደ ነጥብ ከሆነ የቬክተሩ መጋጠሚያዎች (x-x1, y - y1) እኩል ናቸው.

የቬክተር ምርቱን በመጠቀም የቬክተሮች ውህደት ሁኔታ እና እንደሚከተለው ሊጻፍ ይችላል.

እነዚያ። (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)=0

(y2-y1) x + (x1-x2) y + x1 (y1-y2) + y1 (x2-x1) = 0

የመጨረሻውን እኩልነት እንደሚከተለው እንጽፋለን-

መጥረቢያ + በ + c = 0, (1)

ሐ = x1(y1-y2) + y1(x2-x1)

ስለዚህ, ቀጥተኛ መስመር በቅጹ (1) እኩልነት ሊገለጽ ይችላል.

ችግር 1. የሁለት ነጥቦች መጋጠሚያዎች ተሰጥተዋል. ውክልናውን በመጥረቢያ + በ + c = 0 ቅጽ ይፈልጉ።

በዚህ ትምህርት ስለ ስሌት ጂኦሜትሪ አንዳንድ መረጃዎችን ተምረናል። ከሁለት ነጥቦች መጋጠሚያዎች የአንድ መስመር እኩልታ የማግኘት ችግርን ፈትተናል.

በሚቀጥለው ትምህርት, በእኛ እኩልታዎች የተሰጡ የሁለት መስመሮች መገናኛ ነጥብ ለማግኘት ፕሮግራም እንፈጥራለን.

በ Euclidean ጂኦሜትሪ ውስጥ ቀጥተኛ መስመር ባህሪያት.

ማለቂያ የሌለው ቁጥር ያላቸው ቀጥታ መስመሮች በማንኛውም ነጥብ ሊሳሉ ይችላሉ.

በማናቸውም ሁለት የማይገጣጠሙ ነጥቦች አንድ ቀጥተኛ መስመር ሊሰመር ይችላል።

በአውሮፕላኑ ውስጥ ያሉ ሁለት የተለያዩ መስመሮች በአንድ ነጥብ ይገናኛሉ ወይም አሉ።

ትይዩ (ከቀዳሚው ይከተላል).

በሶስት-ልኬት ቦታ ፣ ለሁለት መስመሮች አንጻራዊ አቀማመጥ ሶስት አማራጮች አሉ-

መስመሮች እርስ በርስ ይገናኛሉ;

መስመሮች ትይዩ ናቸው;

ቀጥታ መስመሮች እርስ በርስ ይገናኛሉ.

ቀጥታ መስመር- የመጀመሪያው ቅደም ተከተል የአልጀብራ ከርቭ: በካርቴዥያ መጋጠሚያ ስርዓት ውስጥ ቀጥተኛ መስመር

በአውሮፕላኑ ላይ በአንደኛው ዲግሪ (መስመራዊ እኩልታ) እኩልነት ይሰጣል.

የአንድ ቀጥተኛ መስመር አጠቃላይ እኩልታ።

ፍቺ. በአውሮፕላኑ ላይ ያለ ማንኛውም ቀጥተኛ መስመር በአንደኛ ደረጃ ቀመር ሊገለጽ ይችላል

አክስ + ዉ + ሲ = 0፣

እና ቋሚ ኤ፣ ቢበተመሳሳይ ጊዜ ከዜሮ ጋር እኩል አይደሉም. ይህ የመጀመሪያ ትዕዛዝ እኩልታ ይባላል አጠቃላይ

የአንድ ቀጥተኛ መስመር እኩልታ.በቋሚዎቹ ዋጋዎች ላይ በመመስረት ኤ፣ ቢእና ጋርየሚከተሉት ልዩ ጉዳዮች ሊኖሩ ይችላሉ:

. C = 0፣ A ≠0፣ B ≠ 0- ቀጥተኛ መስመር በመነሻው በኩል ያልፋል

. A = 0፣ B ≠0፣ C ≠0 (በ+ C = 0)- ቀጥታ መስመር ከዘንግ ጋር ትይዩ ኦ

. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (አክስ + ሲ = 0)- ቀጥ ያለ መስመር ከአክሱ ጋር ትይዩ ኦ.ዩ

. B = C = 0, A ≠0- ቀጥተኛው መስመር ከዘንጉ ጋር ይጣጣማል ኦ.ዩ

. A = C = 0, B ≠0- ቀጥተኛው መስመር ከዘንጉ ጋር ይጣጣማል ኦ

የቀጥታ መስመር እኩልነት እንደማንኛውም አይነት በተለያየ መልኩ ሊቀርብ ይችላል

የመጀመሪያ ሁኔታዎች.

ከነጥብ እና ከመደበኛ ቬክተር የቀጥተኛ መስመር እኩልታ.

ፍቺ. በካርቴዥያ አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው መጋጠሚያ ሥርዓት ውስጥ፣ ክፍሎች ያሉት ቬክተር (A፣ B)

በቀመር ከተሰጠው መስመር ጋር ቀጥ ያለ

አክስ + ዉ + ሲ = 0

ለምሳሌ. በአንድ ነጥብ ውስጥ የሚያልፈውን መስመር እኩልታ ያግኙ አ(1፣2)ወደ ቬክተር ቀጥ ያለ (3, -1).

መፍትሄ. ከ A = 3 እና B = -1 ጋር, የቀጥታ መስመርን እኩልታ እናዘጋጅ: 3x - y + C = 0. Coefficient C ለማግኘት.

የተሰጠውን ነጥብ A መጋጠሚያዎች በውጤቱ አገላለጽ እንተካው: 3 - 2 + C = 0, ስለዚህ

ሐ = -1. ጠቅላላ: የሚፈለገው እኩልታ: 3x - y - 1 = 0.

በሁለት ነጥቦች ውስጥ የሚያልፍ የመስመር እኩልታ።

ሁለት ነጥቦች በጠፈር ውስጥ ይሰጡ M 1 (x 1 ፣ y 1 ፣ z 1)እና M2 (x 2፣ y 2፣ z 2)፣ከዚያም የአንድ መስመር እኩልታ,

እነዚህን ነጥቦች በማለፍ፡-

ማንኛውም ተከፋዮች ዜሮ ከሆነ፣ተዛማጁ አሃዛዊው ከዜሮ ጋር እኩል መዋቀር አለበት። በርቷል

አውሮፕላን ፣ ከላይ የተጻፈው የቀጥታ መስመር እኩልታ ቀላል ነው-

ከሆነ x 1 ≠ x 2እና x = x 1፣ ከሆነ x 1 = x 2 .

ክፍልፋይ = ክተብሎ ይጠራል ተዳፋት ቀጥታ.

ለምሳሌ. በነጥቦች A(1፣ 2) እና B(3፣ 4) የሚያልፍ የመስመሩን እኩልታ ያግኙ።

መፍትሄ. ከላይ የተፃፈውን ቀመር በመተግበር የሚከተለውን እናገኛለን፡-

ነጥብ እና ተዳፋት በመጠቀም የቀጥታ መስመር እኩልታ።

የመስመሩ አጠቃላይ እኩልነት ከሆነ አክስ + ዉ + ሲ = 0ይመራል፡

እና ይሰይሙ , ከዚያም የተገኘው እኩልታ ይባላል

ከቁልቁለት ጋር ያለው ቀጥተኛ መስመር እኩልታ.

ከነጥብ እና ከአቅጣጫ ቬክተር የቀጥተኛ መስመር እኩልታ.

በተለመደው ቬክተር በኩል የቀጥታ መስመርን እኩልነት ግምት ውስጥ በማስገባት ከነጥቡ ጋር በማመሳሰል ወደ ሥራው መግባት ይችላሉ

ቀጥ ያለ መስመር በነጥብ እና በቀጥተኛ መስመር አቅጣጫ የሚመራ ቬክተር።

ፍቺ. እያንዳንዱ ዜሮ ያልሆነ ቬክተር (α 1፣ α 2), የማን ክፍሎች ሁኔታውን ያረካሉ

አአ 1 + ቢኤ 2 = 0ተብሎ ይጠራል የቀጥታ መስመር ቬክተር መምራት.

አክስ + ዉ + ሲ = 0

ለምሳሌ. የቀጥታ መስመርን እኩልታ ከአቅጣጫ ቬክተር (1, -1) ጋር ይፈልጉ እና በነጥብ A (1, 2) ውስጥ ማለፍ.

መፍትሄ. የሚፈለገውን መስመር እኩልነት በቅጹ ውስጥ እንፈልጋለን- አክስ + በ + ሲ = 0እንደ ትርጉሙ.

ቅንጅቶች የሚከተሉትን ሁኔታዎች ማሟላት አለባቸው:

1 * A + (-1) * B = 0, ማለትም. ሀ = ለ

ከዚያ የቀጥታ መስመር እኩልታ ቅጹ አለው: አክስ + አይ + ሲ = 0፣ወይም x + y + C / A = 0.

በ x = 1፣ y = 2እናገኛለን ሐ/አ = -3፣ ማለትም እ.ኤ.አ. የሚፈለገው እኩልታ፡-

x + y - 3 = 0

በክፍሎች ውስጥ ቀጥተኛ መስመር እኩልታ.

በአጠቃላይ ቀጥተኛ መስመር Ах + Ву + С = 0 С≠0 ከሆነ ፣ በ -С መከፋፈል ፣ እኛ እናገኛለን-

ወይም የት

የቅንጅቶች ጂኦሜትሪክ ትርጉሙ ውህደቱ a የመገናኛ ነጥብ መጋጠሚያ ነው

ቀጥ ያለ ዘንግ ያለው ወይሀ ለ- ከመስመሩ ጋር የመስመሩን መገናኛ ነጥብ ማስተባበር ኦ.ዩ.

ለምሳሌ. የአንድ ቀጥተኛ መስመር አጠቃላይ እኩልታ ተሰጥቷል x - y + 1 = 0የዚህን መስመር እኩልታ በክፍሎች ውስጥ ይፈልጉ።

C = 1,, a = -1, b = 1.

የአንድ መስመር መደበኛ እኩልታ።

የእኩልታ ሁለቱም ጎኖች ከሆነ አክስ + ዉ + ሲ = 0በቁጥር መከፋፈል ተብሎ የሚጠራው

መደበኛ ሁኔታ, ከዚያም እናገኛለን

xcosφ + ysinφ - p = 0 -የአንድ መስመር መደበኛ እኩልታ.

የመደበኛነት ሁኔታ ምልክት ± መመረጥ አለበት μ*ሲ< 0.

አር- የቋሚው ርዝመት ከመነሻው ወደ ቀጥታ መስመር ወድቋል ፣

ሀ φ - በዚህ ቀጥ ያለ ቅርጽ ያለው አንግል ከአክሱ አወንታዊ አቅጣጫ ጋር ኦ.

ለምሳሌ. የመስመሩ አጠቃላይ እኩልታ ተሰጥቷል 12x - 5y - 65 = 0. የተለያዩ አይነት እኩልታዎችን ለመፃፍ ያስፈልጋል

ይህ ቀጥተኛ መስመር.

የዚህ መስመር እኩልታ በክፍሎች:

የዚህ መስመር እኩልታ ከዳገቱ ጋር: (በ5 ተከፋፍሏል)

የአንድ መስመር እኩልታ:

cos φ = 12/13; ኃጢአት φ= -5/13; p = 5

እያንዳንዱ ቀጥተኛ መስመር በክፍሎች ውስጥ በቀመር ሊወከል እንደማይችል ልብ ሊባል ይገባል ፣ ለምሳሌ ፣ ቀጥ ያሉ መስመሮች ፣

ከመጥረቢያዎች ጋር ትይዩ ወይም በመነሻው ውስጥ ማለፍ.

በአውሮፕላን ላይ ባሉ ቀጥታ መስመሮች መካከል ያለው አንግል.

ፍቺ. ሁለት መስመሮች ከተሰጡ y = k 1 x + b 1፣ y = k 2 x + b 2, ከዚያም በእነዚህ መስመሮች መካከል ያለው አጣዳፊ ማዕዘን

ተብሎ ይገለጻል።

ከሆነ ሁለት መስመሮች ትይዩ ናቸው k 1 = k 2. ሁለት መስመሮች ቀጥ ያሉ ናቸው

ከሆነ k 1 = -1/ k 2 .

ቲዎረም.

ቀጥታ አክስ + ዉ + ሲ = 0እና ሀ 1 x + B 1 y + C 1 = 0መጋጠሚያዎቹ ተመጣጣኝ ሲሆኑ ትይዩ

A 1 = λA, B 1 = λB. ከሆነ ደግሞ С 1 = λС, ከዚያም መስመሮቹ ይጣጣማሉ. የሁለት መስመሮች መገናኛ ነጥብ መጋጠሚያዎች

የእነዚህ መስመሮች እኩልታዎች ስርዓት እንደ መፍትሄ ይገኛሉ.

በአንድ ነጥብ በኩል የሚያልፍ የመስመር እኩልታ ከተወሰነ መስመር ጋር ቀጥ ያለ።

ፍቺ. በአንድ ነጥብ ውስጥ የሚያልፍ መስመር M 1 (x 1፣ y 1)እና ቀጥታ ወደ መስመር y = kx + b

በቀመር የተወከለው፡-

ከአንድ ነጥብ ወደ መስመር ያለው ርቀት።

ቲዎረም. ነጥብ ከተሰጠ M(x 0፣ y 0)፣ከዚያም ወደ ቀጥታ መስመር ያለው ርቀት አክስ + ዉ + ሲ = 0ተብሎ ይገለጻል፡-

ማረጋገጫ. ነጥቡ ይሁን M 1 (x 1፣ y 1)- የቋሚው መሠረት ከአንድ ነጥብ ወድቋል ኤምለተሰጠው

ቀጥተኛ. ከዚያም በነጥቦች መካከል ያለው ርቀት ኤምእና ኤም 1:

(1)

መጋጠሚያዎች x 1እና በ 1ለእኩልታዎች ስርዓት እንደ መፍትሄ ሊገኝ ይችላል-

የስርዓቱ ሁለተኛው እኩልታ በተሰጠው ነጥብ M 0 ውስጥ የሚያልፍ ቀጥተኛ መስመር እኩልታ ነው.

ቀጥተኛ መስመር ተሰጥቷል. የስርዓቱን የመጀመሪያውን እኩልታ ወደ ቅጹ ከቀየርነው፡-

A(x - x 0) + B(y - y 0) + መጥረቢያ 0 + በ 0 + ሲ = 0፣

ከዚያም በመፍታት, እኛ እናገኛለን:

እነዚህን አባባሎች በቀመር (1) በመተካት የሚከተሉትን እናገኛለን፡-

ጽንሰ-ሐሳቡ ተረጋግጧል.

መስመሩ በነጥቦች M 1 (x 1; y 1) እና M 2 (x 2; y 2) በኩል እንዲያልፍ ያድርጉ። በነጥብ M 1 ውስጥ የሚያልፍ የቀጥታ መስመር እኩልታ y-y 1 = ቅጽ አለው። ክ (x - x 1)፣ (10.6)

የት ክ - አሁንም ያልታወቀ ቅንጅት.

ቀጥተኛ መስመር በ M 2 (x 2 y 2) ውስጥ ስለሚያልፍ, የዚህ ነጥብ መጋጠሚያዎች እኩልታ (10.6) ማሟላት አለባቸው: y 2 -y 1 = ክ (x 2 - x 1)።

የተገኘውን እሴት በመተካት ከዚህ እናገኛለን ክ ወደ እኩልታ (10.6) ፣ በነጥቦች M 1 እና M 2 ውስጥ የሚያልፍ የቀጥታ መስመር እኩልታ እናገኛለን።

በዚህ ቀመር x 1 ≠ x 2፣ y 1 ≠ y 2 እንደሆነ ይታሰባል።

x 1 = x 2 ከሆነ፣ ነጥቦቹን M 1 (x 1፣y I) እና M 2 (x 2፣y 2) የሚያልፈው ቀጥተኛ መስመር ከተራዘመ ዘንግ ጋር ትይዩ ነው። የእሱ እኩልነት ነው። x = x 1 .

y 2 = y I ከሆነ, ከዚያም የመስመሩ እኩልታ እንደ y = y 1 ሊጻፍ ይችላል, ቀጥተኛ መስመር M 1 M 2 ከ abscissa ዘንግ ጋር ትይዩ ነው.

በክፍሎች ውስጥ የአንድ መስመር እኩልታ

ቀጥታ መስመር የኦክስ ዘንግ በ M 1 (a;0) ፣ እና Oy ዘንግ በ M 2 (0;b) ላይ ያቋርጥ። ቀመር ቅጹን ይወስዳል፡-
እነዚያ።
. ይህ እኩልታ ይባላል በክፍሎች ውስጥ ቀጥተኛ መስመር እኩልታ, ምክንያቱም ቁጥሮች a እና b የሚያመለክቱት መስመሩ የትኞቹን ክፍሎች በመጋጠሚያ መጥረቢያዎች ላይ እንደሚቆረጥ ነው።.