ما هي الزاوية بين المتجهات؟ المنتج النقطي للمتجهات

الزاوية بين متجهين :

إذا كانت الزاوية بين متجهين حادة، فإن حاصل ضربهما القياسي يكون موجبًا؛ إذا كانت الزاوية بين المتجهات منفرجة، فإن المنتج القياسي لهذه المتجهات يكون سالبًا. المنتج القياسي لمتجهين غير صفريين يساوي الصفر إذا وفقط إذا كانت هذه المتجهات متعامدة.

يمارس.أوجد الزاوية بين المتجهات و

حل.جيب تمام الزاوية المطلوبة

16. حساب الزاوية بين الخطوط المستقيمة والخط المستقيم والمستوى

الزاوية المحصورة بين الخط المستقيم والمستوى، المتقاطع مع هذا الخط وغير المتعامد عليه، هو الزاوية المحصورة بين الخط ومسقطه على هذا المستوى.

يتيح لنا تحديد الزاوية بين الخط والمستوى أن نستنتج أن الزاوية بين الخط والمستوى هي الزاوية بين خطين متقاطعين: الخط المستقيم نفسه وإسقاطه على المستوى. ولذلك فإن الزاوية المحصورة بين الخط المستقيم والمستوى هي زاوية حادة.

تعتبر الزاوية بين خط مستقيم متعامد ومستوى مساوية، أما الزاوية بين خط مستقيم موازي ومستوى فهي إما غير محددة على الإطلاق أو تعتبر مساوية لـ.

§ 69. حساب الزاوية بين الخطوط المستقيمة.

يتم حل مشكلة حساب الزاوية بين خطين مستقيمين في الفضاء بنفس الطريقة كما في المستوى (الفقرة 32). دعونا نشير بـ φ إلى حجم الزاوية بين السطور ل 1 و ل 2، ومن خلال ψ - حجم الزاوية بين متجهات الاتجاه أ و ب هذه الخطوط المستقيمة.

ثم إذا

ψ 90° (الشكل 206.6)، ثم φ = 180° - ψ. من الواضح أنه في كلتا الحالتين المساواة cos φ = |cos ψ| صحيحة. بالصيغة (1) § 20 لدينا

لذلك،

دع الخطوط تُعطى بواسطة معادلاتها الأساسية

ثم يتم تحديد الزاوية φ بين السطور باستخدام الصيغة

إذا تم إعطاء أحد الخطين (أو كليهما) بواسطة معادلات غير قانونية، لحساب الزاوية، فأنت بحاجة إلى العثور على إحداثيات متجهات الاتجاه لهذه الخطوط، ثم استخدم الصيغة (1).

17. الخطوط المتوازية، نظريات الخطوط المتوازية

تعريف.يتم استدعاء خطين في الطائرة موازي، إذا لم يكن لديهم نقاط مشتركة.

يتم استدعاء خطين في الفضاء ثلاثي الأبعاد موازي، إذا كانوا يقعون في نفس المستوى وليس لديهم نقاط مشتركة.

الزاوية بين متجهين.

من تعريف المنتج النقطي :

شرط التعامد بين ناقلين:

شرط العلاقة الخطية المتداخلة بين متجهين:

يتبع من التعريف 5 - . في الواقع، من تعريف منتج المتجه والرقم، يتبع. لذلك، بناءً على قاعدة تساوي المتجهات، نكتب ، ، ، مما يعني ذلك . لكن المتجه الناتج عن ضرب المتجه في العدد يكون على خط واحد مع المتجه.

إسقاط المتجه على المتجه:

مثال 4. النقاط المعطاة , , .

ابحث عن المنتج النقطي.

حل. نجد باستخدام صيغة المنتج القياسي للمتجهات المحددة بإحداثياتها. بسبب ال

, ,

مثال 5.النقاط المعطاة , , .

البحث عن الإسقاط.

حل. بسبب ال

, ,

استنادا إلى صيغة الإسقاط، لدينا

مثال 6.النقاط المعطاة , , .

أوجد الزاوية بين المتجهات و .

حل. لاحظ أن المتجهات

, ,

ليست على خط مستقيم لأن إحداثياتها غير متناسبة:

هذه المتجهات أيضًا ليست متعامدة، نظرًا لأن منتجها القياسي هو .

دعونا نجد

ركن نجد من الصيغة :

مثال 7.تحديد ما هي المتجهات و على استطراد.

حل. في حالة العلاقة الخطية المتداخلة، الإحداثيات المقابلة للمتجهات ويجب أن تكون متناسبة، أي:

وبالتالي و.

مثال 8. تحديد ما هي قيمة المتجه و عمودي.

حل. المتجه وتكون متعامدة إذا كان حاصل ضربها القياسي صفرًا. ومن هذا الشرط نحصل على: . إنه، .

مثال 9. يجد ، لو ، ، .

حل. نظرًا لخصائص المنتج العددي، لدينا:

مثال 10. أوجد الزاوية بين المتجهات و أين و - متجهات الوحدة والزاوية بين المتجهات وتساوي 120 درجة.

حل. لدينا: , ,

وأخيراً لدينا: .

5 ب. ناقلات العمل الفني.

التعريف 21.ناقلات العمل الفنييسمى المتجه بالمتجه بالمتجه، أو يتم تعريفه بالشروط الثلاثة التالية:

1) معامل المتجه يساوي حيث الزاوية بين المتجهات و ، أي. .

ويترتب على ذلك أن معامل المنتج المتجه يساوي عدديًا مساحة متوازي الأضلاع المبني على المتجهات وكلا الجانبين.

2) المتجه عمودي على كل من المتجهات و ( ; )، أي. عمودي على مستوى متوازي الأضلاع المبني على المتجهات و .

3) يتم توجيه المتجه بحيث إذا نظرنا إليه من نهايته، فإن أقصر دورة من المتجه إلى المتجه ستكون عكس اتجاه عقارب الساعة (المتجهات، ، تشكل ثلاثية يمينية).

كيفية حساب الزوايا بين المتجهات؟

عند دراسة الهندسة، تطرح العديد من الأسئلة حول موضوع المتجهات. يواجه الطالب صعوبات خاصة عندما يكون من الضروري إيجاد الزوايا بين المتجهات.

الشروط الأساسية

قبل النظر إلى الزوايا بين المتجهات، من الضروري التعرف على تعريف المتجه ومفهوم الزاوية بين المتجهات.

المتجه هو قطعة لها اتجاه، أي القطعة التي تم تحديد بدايتها ونهايتها.

الزاوية بين متجهين على مستوى لهما أصل مشترك هي أصغر الزوايا بمقدار الكمية التي يجب أن يتحرك بها أحد المتجهات حول النقطة المشتركة حتى تتطابق اتجاهاتهما.

صيغة الحل

بمجرد أن تفهم ما هو المتجه وكيف يتم تحديد زاويته، يمكنك حساب الزاوية بين المتجهات. صيغة الحل لهذا بسيطة للغاية، وستكون نتيجة تطبيقها هي قيمة جيب التمام للزاوية. وفقًا للتعريف، فهو يساوي حاصل ضرب المتجهات القياسية وحاصل ضرب أطوالها.

يتم حساب المنتج العددي للمتجهات كمجموع الإحداثيات المقابلة لمتجهات العوامل مضروبة في بعضها البعض. يتم حساب طول المتجه، أو معامله، على أنه الجذر التربيعي لمجموع مربعات إحداثياته.

بعد الحصول على قيمة جيب تمام الزاوية، يمكنك حساب قيمة الزاوية نفسها باستخدام الآلة الحاسبة أو باستخدام جدول مثلثي.

مثال

بمجرد معرفة كيفية حساب الزاوية بين المتجهات، سيصبح حل المشكلة المقابلة بسيطًا وواضحًا. على سبيل المثال، يجدر النظر في المشكلة البسيطة المتمثلة في إيجاد قيمة الزاوية.

بادئ ذي بدء، سيكون أكثر ملاءمة لحساب قيم أطوال المتجهات ومنتجها العددي اللازم للحل. وباستخدام الوصفة المذكورة أعلاه نحصل على:

باستبدال القيم التي تم الحصول عليها في الصيغة، نحسب قيمة جيب التمام للزاوية المطلوبة:

هذا الرقم ليس أحد قيم جيب التمام الخمسة الشائعة، لذا للحصول على الزاوية، سيتعين عليك استخدام الآلة الحاسبة أو جدول براديس المثلثي. لكن قبل الحصول على الزاوية بين المتجهين، يمكن تبسيط الصيغة للتخلص من الإشارة السالبة الإضافية:

للحفاظ على الدقة، يمكن ترك الإجابة النهائية كما هي، أو يمكنك حساب قيمة الزاوية بالدرجات. وفقًا لجدول براديس، ستكون قيمته حوالي 116 درجة و70 دقيقة، وستعرض الآلة الحاسبة قيمة 116.57 درجة.

حساب زاوية في الفضاء ن الأبعاد

عند النظر في متجهين في مساحة ثلاثية الأبعاد، يكون من الصعب للغاية فهم الزاوية التي نتحدث عنها إذا لم يقعوا في نفس المستوى. ولتبسيط الإدراك، يمكنك رسم قطعتين متقاطعتين تشكلان أصغر زاوية بينهما، وستكون هذه هي الزاوية المطلوبة. على الرغم من وجود إحداثي ثالث في المتجه، فإن عملية حساب الزوايا بين المتجهات لن تتغير. احسب حاصل الضرب القياسي ومقاييس المتجهات؛ سيكون جيب التمام القوسي لحاصلهما هو الحل لهذه المشكلة.

في الهندسة، غالبًا ما تكون هناك مشكلات تتعلق بالمساحات التي لها أكثر من ثلاثة أبعاد. لكن بالنسبة لهم، تبدو خوارزمية العثور على الإجابة متشابهة.

الفرق بين 0 و 180 درجة

من الأخطاء الشائعة عند كتابة إجابة لمسألة مصممة لحساب الزاوية بين المتجهات هو القرار بكتابة أن المتجهات متوازية، أي أن الزاوية المطلوبة تساوي 0 أو 180 درجة. هذه الإجابة غير صحيحة.

بعد الحصول على قيمة الزاوية 0 درجة كنتيجة للحل، ستكون الإجابة الصحيحة هي تعيين المتجهات على أنها ذات اتجاه مشترك، أي أن المتجهات سيكون لها نفس الاتجاه. إذا تم الحصول على 180 درجة، سيتم توجيه المتجهات بشكل معاكس.

ناقلات محددة

بعد العثور على الزوايا بين المتجهات، يمكنك العثور على أحد الأنواع الخاصة، بالإضافة إلى الأنواع المشتركة في الاتجاه والعكس في الاتجاه الموصوفة أعلاه.

تسمى عدة نواقل موازية لمستوى واحد متحدة المستوى.
تسمى المتجهات المتساوية في الطول والاتجاه متساوية.
تسمى المتجهات التي تقع على نفس الخط المستقيم، بغض النظر عن اتجاهها، خطية متداخلة.
إذا كان طول المتجه صفرًا، أي أن بدايته ونهايته متطابقتان، فإنه يسمى صفرًا، وإذا كان واحدًا، فهو وحدة.

كيفية العثور على الزاوية بين المتجهات؟

ساعدني من فضلك! أعرف الصيغة، لكن لا أستطيع حسابها ((
المتجه أ (8؛ 10؛ 4) المتجه ب (5؛ -20؛ -10)

الكسندر تيتوف

تم العثور على الزاوية بين المتجهات المحددة بإحداثياتها باستخدام خوارزمية قياسية. تحتاج أولاً إلى إيجاد حاصل الضرب العددي للمتجهين a وb: (a, b) = x1x2 + y1y2 + z1z2. نستبدل إحداثيات هذه المتجهات هنا ونحسب:
(أ،ب) = 8*5 + 10*(-20) = 4*(-10) = 40 - 200 - 40 = -200.
بعد ذلك، نحدد أطوال كل متجه. طول أو معامل المتجه هو الجذر التربيعي لمجموع مربعات إحداثياته:
|أ| = جذر (x1^2 + y1^2 + z1^2) = جذر (8^2 + 10^2 + 4^2) = جذر (64 + 100 + 16) = جذر 180 = 6 جذور 5
|ب| = جذر (x2^2 + y2^2 + z2^2) = جذر (5^2 + (-20)^2 + (-10)^2) = جذر (25 + 400 + 100) = جذر 525 = 5 جذور 21.
نحن نضرب هذه الأطوال. نحصل على 30 جذرًا من 105.
وأخيرًا، نقسم حاصل الضرب القياسي للمتجهات على حاصل ضرب أطوال هذه المتجهات. نحصل على -200/(30 جذر 105) أو
- (4 جذور 105) / 63. هذا هو جيب تمام الزاوية بين المتجهات. والزاوية نفسها تساوي قوس جيب التمام لهذا الرقم
f = arccos(-4 جذور 105) / 63.
إذا أحصيت كل شيء بشكل صحيح.

كيفية حساب جيب الزاوية بين المتجهات باستخدام إحداثيات المتجهات

ميخائيل تكاتشيف

دعونا نضرب هذه المتجهات. منتجهم القياسي يساوي منتج أطوال هذه المتجهات وجيب تمام الزاوية بينهما.
الزاوية غير معروفة لنا، لكن الإحداثيات معروفة.
دعونا نكتبها رياضيا مثل هذا.
دع المتجهات a(x1;y1) و b(x2;y2) معطاة
ثم

أ*ب=|أ|*|ب|*cosA

CosA=a*b/|a|*|b|

دعونا نتحدث.
أ*ب-المنتج القياسي للمتجهات يساوي مجموع منتجات الإحداثيات المقابلة لإحداثيات هذه المتجهات، أي يساوي x1*x2+y1*y2

|a|*|b|-منتج أطوال المتجهات يساوي √((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2).

وهذا يعني أن جيب تمام الزاوية بين المتجهات يساوي:

CosA=(x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2)

بمعرفة جيب تمام الزاوية، يمكننا حساب جيبها. دعونا نناقش كيفية القيام بذلك:

إذا كان جيب تمام الزاوية موجبًا، فإن هذه الزاوية تقع في 1 أو 4 أرباع، مما يعني أن جيبها إما موجب أو سالب. لكن بما أن قياس الزاوية بين المتجهين أقل من أو يساوي 180 درجة، فإن جيبها يكون موجبًا. نحن نفكر بالمثل إذا كان جيب التمام سالبًا.

SinA=√(1-cos^2A)=√(1-((x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+( ص2)^2))^2)

هذا كل شيء)))) حظا سعيدا في اكتشاف ذلك)))

ديمتري ليفيتشيف

حقيقة أنه من المستحيل جيب مباشرة ليس صحيحا.
بالإضافة إلى الصيغة:
(أ،ب)=|أ|*|ب|*كوس أ
هناك أيضا هذا:
||=|أ|*|ب|*الخطيئة أ
وهذا هو، بدلا من المنتج العددي، يمكنك أن تأخذ وحدة المنتج المتجه.

المنتج النقطي للمتجهات

نواصل التعامل مع المتجهات. في الدرس الأول ناقلات للدمىلقد نظرنا إلى مفهوم المتجه، والإجراءات مع المتجهات، وإحداثيات المتجهات وأبسط المسائل المتعلقة بالمتجهات. إذا أتيت إلى هذه الصفحة لأول مرة من محرك بحث، فإنني أوصي بشدة بقراءة المقالة التمهيدية المذكورة أعلاه، لأنه لكي تتقن المادة، يجب أن تكون على دراية بالمصطلحات والرموز التي أستخدمها، وأن تكون لديك معرفة أساسية بالمتجهات و تكون قادرة على حل المشاكل الأساسية. هذا الدرس هو استمرار منطقي للموضوع، وفيه سأقوم بتحليل المهام النموذجية التي تستخدم المنتج القياسي للمتجهات بالتفصيل. هذا نشاط مهم جدًا.. حاول ألا تتخطى الأمثلة؛ فهي تأتي بمكافأة مفيدة - فالتدريب سيساعدك على دمج المادة التي قمت بتغطيتها والتحسن في حل المشكلات الشائعة في الهندسة التحليلية.

جمع المتجهات، ضرب المتجه بعدد.... سيكون من السذاجة الاعتقاد بأن علماء الرياضيات لم يتوصلوا إلى شيء آخر. بالإضافة إلى الإجراءات التي سبق أن تناولناها، هناك عدد من العمليات الأخرى مع المتجهات، وهي: المنتج النقطي للمتجهات, ناقلات المنتج من ناقلاتو منتج مختلط من المتجهات. إن حاصل الضرب العددي للمتجهات مألوف لنا منذ المدرسة، بينما ينتمي المنتجان الآخران تقليديًا إلى مسار الرياضيات العليا. المواضيع بسيطة، والخوارزمية لحل العديد من المشكلات واضحة ومفهومة. الشيء الوحيد. هناك قدر لا بأس به من المعلومات، لذلك من غير المرغوب فيه محاولة إتقان كل شيء وحله مرة واحدة. هذا ينطبق بشكل خاص على الدمى، صدقوني، المؤلف على الإطلاق لا يريد أن يشعر مثل تشيكاتيلو من الرياضيات. حسنًا، ليس من الرياضيات، بالطبع أيضًا =) يمكن للطلاب الأكثر استعدادًا استخدام المواد بشكل انتقائي، بمعنى ما، "الحصول" على المعرفة المفقودة، بالنسبة لك سأكون الكونت دراكولا غير ضار =)

دعونا أخيرًا نفتح الباب ونشاهد بحماس ما يحدث عندما يلتقي متجهان ببعضهما البعض...

تعريف المنتج العددي للمتجهات.
خصائص المنتج العددي. المهام النموذجية

مفهوم المنتج النقطي

أولا حول الزاوية بين المتجهات. أعتقد أن الجميع يفهم بشكل حدسي ما هي الزاوية بين المتجهات، ولكن فقط في حالة، مزيد من التفاصيل. دعونا نفكر في المتجهات الحرة غير الصفرية و. إذا قمت برسم هذه المتجهات من نقطة تعسفية، فستحصل على صورة تخيلها الكثيرون بالفعل عقليًا:

أعترف أنني هنا وصفت الوضع فقط على مستوى الفهم. إذا كنت بحاجة إلى تعريف دقيق للزاوية بين المتجهات، فيرجى الرجوع إلى الكتاب المدرسي؛ بالنسبة للمشكلات العملية، من حيث المبدأ، لا فائدة من ذلك بالنسبة لنا. أيضًا هنا وهنا، سأتجاهل المتجهات الصفرية في الأماكن نظرًا لأهميتها العملية المنخفضة. لقد قمت بالحجز خصيصًا لزوار الموقع المتقدمين الذين قد يوبخونني بسبب عدم الاكتمال النظري لبعض البيانات اللاحقة.

يمكن أن تأخذ القيم من 0 إلى 180 درجة (0 إلى راديان)، ضمنا. ومن الناحية التحليلية، فإن هذه الحقيقة مكتوبة في شكل متباينة مزدوجة:

أو

(بالراديان).

في الأدبيات، غالبًا ما يتم تخطي رمز الزاوية وكتابته ببساطة.

تعريف:المنتج القياسي لمتجهين هو رقم يساوي منتج أطوال هذه المتجهات وجيب تمام الزاوية بينهما:

الآن هذا تعريف صارم للغاية.

نحن نركز على المعلومات الأساسية:

تعيين:يُشار إلى المنتج العددي بـ أو ببساطة.

نتيجة العملية هي رقم: يتم ضرب المتجه بالمتجه وتكون النتيجة رقمًا. في الواقع، إذا كانت أطوال المتجهات أرقامًا، وجيب تمام الزاوية هو رقم، فإن حاصل ضربها سيكون أيضًا رقمًا.

فقط بضعة أمثلة للإحماء:

مثال 1

حل:نحن نستخدم الصيغة . في هذه الحالة:

إجابة:

يمكن العثور على قيم جيب التمام في الجدول المثلثي. أوصي بطباعته - ستكون هناك حاجة إليه في جميع أقسام البرج تقريبًا وستكون هناك حاجة إليه عدة مرات.

من وجهة نظر رياضية بحتة، المنتج العددي ليس له أبعاد، أي أن النتيجة، في هذه الحالة، هي مجرد رقم وهذا كل شيء. من وجهة نظر المسائل الفيزيائية، يكون للمنتج العددي دائمًا معنى مادي معين، أي أنه بعد النتيجة يجب الإشارة إلى وحدة فيزيائية أو أخرى. يمكن العثور على مثال قانوني لحساب عمل القوة في أي كتاب مدرسي (الصيغة هي بالضبط منتج عددي). يتم قياس عمل القوة بالجول، لذلك سيتم كتابة الإجابة بشكل محدد تمامًا، على سبيل المثال، .

مثال 2

اكتشف إذا والزاوية بين المتجهات تساوي .

هذا مثال عليك حله بنفسك، الجواب في نهاية الدرس.

الزاوية بين المتجهات وقيمة منتج النقطة

في المثال 1 تبين أن المنتج القياسي موجب، وفي المثال 2 تبين أنه سلبي. دعونا نتعرف على ما تعتمد عليه علامة المنتج العددي. دعونا نلقي نظرة على الصيغة لدينا: . أطوال المتجهات غير الصفرية تكون دائمًا موجبة: لذا فإن الإشارة يمكن أن تعتمد فقط على قيمة جيب التمام.

ملحوظة: لفهم المعلومات أدناه بشكل أفضل، من الأفضل دراسة الرسم البياني لجيب التمام في الدليل الرسوم البيانية وظيفة والخصائص. انظر كيف يتصرف جيب التمام على القطعة.

كما ذكرنا سابقًا، يمكن أن تختلف الزاوية بين المتجهات في الداخل ، والحالات التالية ممكنة:

1) إذا ركنبين المتجهات حار: (من 0 إلى 90 درجة)، ثم ، و سيكون منتج النقطة موجبًا شارك في الإخراج، فإن الزاوية بينهما تعتبر صفرًا، وسيكون حاصل الضرب القياسي موجبًا أيضًا. منذ ذلك الحين، يتم تبسيط الصيغة: .

2) إذا ركنبين المتجهات صريح: (من 90 إلى 180 درجة)، ثم ، وبالمقابل، المنتج النقطي سلبي: . حالة خاصة: إذا كانت النواقل اتجاهين متعاكسين، ثم تؤخذ الزاوية بينهما بعين الاعتبار موسع: (180 درجة). المنتج العددي هو أيضا سلبي، منذ ذلك الحين

والأقوال العكسية صحيحة أيضًا:

1) إذا كانت الزاوية بين هذه المتجهات حادة. وبدلاً من ذلك، تكون المتجهات مشتركة في الاتجاه.

2) إذا كانت الزاوية بين هذه المتجهات منفرجة. وبدلاً من ذلك، تكون المتجهات في اتجاهين متعاكسين.

لكن الحالة الثالثة لها أهمية خاصة:

3) إذا ركنبين المتجهات مستقيم: (90 درجة)، ثم المنتج العددي هو صفر: . والعكس صحيح أيضًا: إذاً. يمكن صياغة البيان بشكل مضغوط على النحو التالي: المنتج القياسي لمتجهين يكون صفرًا إذا وفقط إذا كانت المتجهات متعامدة. تدوين رياضي قصير:

! ملحوظة : دعونا نكرر أساسيات المنطق الرياضي: عادة ما تتم قراءة أيقونة النتيجة المنطقية ذات الوجهين "إذا وفقط إذا"، "إذا وفقط إذا". كما ترون، يتم توجيه الأسهم في كلا الاتجاهين - "من هذا يتبع هذا، والعكس صحيح - من هذا يتبع هذا". بالمناسبة، ما هو الفرق عن أيقونة المتابعة ذات الاتجاه الواحد؟ تنص الأيقونة هذا فقطأن "من هذا يتبع هذا" وليس حقيقة أن العكس هو الصحيح. على سبيل المثال: ولكن ليس كل حيوان هو نمر، لذلك في هذه الحالة لا يمكنك استخدام الأيقونة. وفي الوقت نفسه، بدلا من الرمز يستطيعاستخدم أيقونة من جانب واحد. على سبيل المثال، أثناء حل المشكلة، اكتشفنا أننا استنتجنا أن المتجهات متعامدة: - مثل هذا الإدخال سيكون صحيحا، بل وأكثر ملاءمة من .

الحالة الثالثة لها أهمية عملية كبيرة، لأنه يسمح لك بالتحقق مما إذا كانت المتجهات متعامدة أم لا. سنحل هذه المشكلة في القسم الثاني من الدرس.

خصائص المنتج النقطي

دعنا نعود إلى الموقف عندما يكون هناك متجهان شارك في الإخراج. في هذه الحالة، تكون الزاوية بينهما صفرًا، وصيغة حاصل الضرب العددية تأخذ الشكل: .

ماذا يحدث إذا تم ضرب المتجه في نفسه؟ من الواضح أن المتجه يتماشى مع نفسه، لذلك نستخدم الصيغة المبسطة أعلاه:

الرقم يسمى مربع عدديناقلات، ويشار إليها باسم .

هكذا، المربع العددي للمتجه يساوي مربع طول المتجه المحدد:

ومن هذه المساواة يمكننا الحصول على صيغة لحساب طول المتجه:

حتى الآن يبدو الأمر غير واضح، لكن أهداف الدرس ستضع كل شيء في مكانه. لحل المشاكل التي نحتاجها أيضا خصائص المنتج النقطي.

بالنسبة للمتجهات العشوائية وأي رقم، تكون الخصائص التالية صحيحة:

1) - تبديلية أو تبادليقانون المنتج العددي.

2) – التوزيع أو التوزيعيةقانون المنتج العددي. ببساطة، يمكنك فتح الأقواس.

3) - النقابي أو ترابطيقانون المنتج العددي. يمكن اشتقاق الثابت من المنتج العددي.

في كثير من الأحيان، ينظر الطلاب إلى جميع أنواع الخصائص (والتي تحتاج أيضًا إلى إثبات!) على أنها قمامة غير ضرورية، والتي تحتاج فقط إلى حفظها ونسيانها بأمان بعد الاختبار مباشرة. ويبدو أن المهم هنا هو أن الجميع يعلم منذ الصف الأول أن إعادة ترتيب العوامل لا يغير الناتج: . يجب أن أحذرك أنه في الرياضيات العليا من السهل إفساد الأمور بمثل هذا النهج. لذا، على سبيل المثال، الخاصية الإبدالية ليست صحيحة بالنسبة إلى المصفوفات الجبرية. وهذا أيضا ليس صحيحا ل ناقلات المنتج من ناقلات. لذلك، على الأقل، من الأفضل الخوض في أي خصائص تصادفها في دورة الرياضيات العليا لفهم ما يمكن القيام به وما لا يمكن القيام به.

مثال 3

حل:أولاً، دعونا نوضح الموقف مع المتجه. ما هذا على أي حال؟ مجموع المتجهات هو متجه محدد جيدًا، ويُشار إليه بالرمز . يمكن العثور على تفسير هندسي للإجراءات مع المتجهات في المقالة ناقلات للدمى. نفس البقدونس مع المتجه هو مجموع النواقل و .

لذلك، وفقًا للشرط، من الضروري العثور على المنتج القياسي. من الناحية النظرية، تحتاج إلى تطبيق صيغة العمل لكن المشكلة هي أننا لا نعرف أطوال المتجهات والزاوية بينهما. لكن الشرط يعطي معلمات مماثلة للمتجهات، لذلك سنتخذ طريقًا مختلفًا:

(1) استبدل تعبيرات المتجهات.

(2) نفتح الأقواس وفقا لقاعدة ضرب كثيرات الحدود، يمكن العثور على لسان مبتذل في المقال ارقام مركبةأو دمج دالة كسرية عقلانية. لن أكرر كلامي =) بالمناسبة، خاصية توزيع حاصل الضرب القياسي تسمح لنا بفتح الأقواس. لدينا الحق.

(3) في الحدين الأول والأخير نكتب بشكل مضغوط المربعات العددية للمتجهات: . في الفصل الثاني نستخدم تبديلية المنتج القياسي: .

(٤) نقدم مصطلحات مشابهة: .

(5) في الفصل الأول نستخدم صيغة المربع العددي، والتي تم ذكرها منذ وقت ليس ببعيد. في المصطلح الأخير، وفقا لذلك، يعمل نفس الشيء: . نقوم بتوسيع الحد الثاني وفقا للصيغة القياسية .

(6) استبدل هذه الشروط ، وقم بإجراء الحسابات النهائية بعناية.

إجابة:

تشير القيمة السالبة للمنتج القياسي إلى حقيقة أن الزاوية بين المتجهات منفرجة.

المشكلة نموذجية، إليك مثال لحلها بنفسك:

مثال 4

ابحث عن المنتج القياسي للمتجهات وإذا كان معروفًا ذلك .

والآن هناك مهمة مشتركة أخرى، تتعلق فقط بالصيغة الجديدة لطول المتجه. سيكون الترميز هنا متداخلًا بعض الشيء، لذا سأعيد كتابته بحرف مختلف من أجل الوضوح:

مثال 5

أوجد طول المتجه إذا .

حلسيكون على النحو التالي:

(1) نورد التعبير الخاص بالمتجه.

(2) نستخدم صيغة الطول:، ويكون التعبير بأكمله بمثابة المتجه "ve".

(3) نستخدم الصيغة المدرسية لمربع المجموع. لاحظ كيف يتم الأمر هنا بطريقة غريبة: - في الواقع، إنه مربع الفرق، وفي الواقع، هذا هو الحال. يمكن لأولئك الذين يرغبون إعادة ترتيب المتجهات: - يحدث نفس الشيء، حتى إعادة ترتيب المصطلحات.

(٤) ما يلي معروف بالفعل من المشكلتين السابقتين.

إجابة:

وبما أننا نتحدث عن الطول، فلا تنس الإشارة إلى البعد - "الوحدات".

مثال 6

أوجد طول المتجه إذا .

هذا مثال لك لحله بنفسك. الحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس.

نستمر في استخراج الأشياء المفيدة من حاصل الضرب النقطي. دعونا ننظر إلى الصيغة لدينا مرة أخرى . باستخدام قاعدة التناسب، نعيد ضبط أطوال المتجهات على مقام الجانب الأيسر:

دعونا نتبادل الأجزاء:

ما هو معنى هذه الصيغة؟ إذا كان طولا متجهين وناتجهما القياسي معروفين، فيمكننا حساب جيب تمام الزاوية بين هذين المتجهين، وبالتالي الزاوية نفسها.

هل المنتج النقطي هو رقم؟ رقم. هل أطوال المتجهات أرقام؟ أعداد. وهذا يعني أن الكسر هو أيضًا رقم. وإذا كان جيب تمام الزاوية معروفًا: ، ثم باستخدام الدالة العكسية من السهل العثور على الزاوية نفسها: .

مثال 7

أوجد الزاوية بين المتجهات وإذا علمت ذلك .

حل:نحن نستخدم الصيغة:

في المرحلة النهائية من الحسابات، تم استخدام التقنية الفنية - القضاء على اللاعقلانية في المقام. ومن أجل التخلص من اللاعقلانية، قمت بضرب البسط والمقام بـ .

حتى إذا ، الذي - التي:

يمكن العثور على قيم الدوال المثلثية العكسية عن طريق الجدول المثلثي. على الرغم من أن هذا يحدث نادرا. في مشاكل الهندسة التحليلية، في كثير من الأحيان بعض الدببة الخرقاء مثل ، ويجب العثور على قيمة الزاوية تقريبًا باستخدام الآلة الحاسبة. في الواقع، سوف نرى مثل هذه الصورة أكثر من مرة.

إجابة:

مرة أخرى، لا تنس الإشارة إلى الأبعاد - الراديان والدرجات. شخصيًا، من أجل "حل جميع الأسئلة" بشكل واضح، أفضّل الإشارة إلى كليهما (ما لم يكن الشرط، بالطبع، يتطلب تقديم الإجابة بالراديان فقط أو بالدرجات فقط).

يمكنك الآن التعامل بشكل مستقل مع مهمة أكثر تعقيدًا:

مثال 7*

معطاة أطوال المتجهات والزاوية بينهما. أوجد الزاوية بين المتجهات .

المهمة ليست صعبة بقدر ما هي متعددة الخطوات.
دعونا نلقي نظرة على خوارزمية الحل:

1) وفقًا للشرط، تحتاج إلى إيجاد الزاوية بين المتجهات و ، لذلك تحتاج إلى استخدام الصيغة .

2) أوجد المنتج العددي (انظر الأمثلة رقم 3، 4).

3) أوجد طول المتجه وطول المتجه (انظر الأمثلة رقم 5، 6).

4) نهاية الحل تتطابق مع المثال رقم 7 - نعرف الرقم مما يعني أنه من السهل إيجاد الزاوية نفسها:

حل قصير وإجابة في نهاية الدرس.

القسم الثاني من الدرس مخصص لنفس المنتج القياسي. الإحداثيات. سيكون الأمر أسهل مما كان عليه في الجزء الأول.

المنتج النقطي للمتجهات،
تعطى بواسطة الإحداثيات على أساس متعامد

إجابة:

وغني عن القول أن التعامل مع الإحداثيات أكثر متعة.

مثال 14

أوجد المنتج العددي للمتجهات و if

هذا مثال لك لحله بنفسك. هنا يمكنك استخدام ترابط العملية، أي لا تحسب، ولكن خذ على الفور الرقم الثلاثي خارج المنتج القياسي واضربه به أخيرًا. الحل والجواب في نهاية الدرس .

وفي نهاية القسم مثال مثير لحساب طول المتجه:

مثال 15

أوجد أطوال المتجهات ، لو

حل:طريقة القسم السابق تقترح نفسها مرة أخرى: ولكن هناك طريقة أخرى:

لنجد المتجه:

وطوله حسب الصيغة التافهة :

المنتج النقطي غير ذي صلة هنا على الإطلاق!

كما أنه ليس مفيدًا عند حساب طول المتجه:
قف. ألا ينبغي لنا أن نستفيد من الخاصية الواضحة لطول المتجه؟ ماذا يمكنك أن تقول عن طول المتجه؟ هذا المتجه أطول بخمس مرات من المتجه. الاتجاه معاكس، لكن هذا لا يهم، لأننا نتحدث عن الطول. من الواضح أن طول المتجه يساوي المنتج وحدةالأرقام لكل طول متجه:
- علامة المعامل "تأكل" الرقم الناقص المحتمل.

هكذا:

إجابة:

صيغة جيب تمام الزاوية بين المتجهات المحددة بالإحداثيات

الآن لدينا معلومات كاملة لاستخدام الصيغة المشتقة مسبقًا لجيب تمام الزاوية بين المتجهات التعبير من خلال إحداثيات المتجهات:

جيب تمام الزاوية بين المتجهات المستويةو ، محددة على أساس متعامد ، يتم التعبير عنها بواسطة الصيغة:
.

جيب تمام الزاوية بين المتجهات الفضائية، محددة على أساس متعامد ، يتم التعبير عنها بواسطة الصيغة:

مثال 16

نظرا لثلاثة رؤوس المثلث. أوجد (زاوية قمة الرأس).

حل:حسب الشروط الرسم غير مطلوب ولكن لا يزال:

يتم تحديد الزاوية المطلوبة بقوس أخضر. دعونا نتذكر على الفور تسمية المدرسة للزاوية: – اهتمام خاص بها متوسطحرف - هذا هو رأس الزاوية التي نحتاجها. للإيجاز، يمكنك أيضًا الكتابة ببساطة.

من الرسم يتضح تمامًا أن زاوية المثلث تتطابق مع الزاوية بين المتجهات، وبعبارة أخرى: .

ومن المستحسن أن تتعلم كيفية إجراء التحليل عقليا.

لنجد المتجهات:

دعونا نحسب المنتج العددي:

وأطوال المتجهات:

جيب تمام الزاوية:

هذا هو بالضبط ترتيب إكمال المهمة التي أوصي بها للدمى. يمكن للقراء الأكثر تقدمًا كتابة الحسابات "في سطر واحد":

فيما يلي مثال على قيمة جيب التمام "السيئة". القيمة الناتجة ليست نهائية، لذلك لا فائدة من التخلص من اللاعقلانية في المقام.

لنجد الزاوية نفسها:

إذا نظرت إلى الرسم، فإن النتيجة معقولة تماما. وللتحقق من ذلك، يمكن أيضًا قياس الزاوية باستخدام المنقلة. لا تضر غطاء الشاشة =)

إجابة:

وفي الجواب لا ننسى ذلك سأل عن زاوية المثلث(وليس عن الزاوية بين المتجهات)، ولا تنس الإشارة إلى الإجابة الدقيقة: والقيمة التقريبية للزاوية: ، وجدت باستخدام الآلة الحاسبة.

ويمكن لمن استمتع بهذه العملية حساب الزوايا والتحقق من صحة المساواة القانونية

مثال 17

يتم تعريف المثلث في الفضاء من خلال إحداثيات رؤوسه. أوجد الزاوية بين الجانبين و

هذا مثال لك لحله بنفسك. الحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس

سيتم تخصيص قسم أخير قصير للتوقعات، والتي تتضمن أيضًا منتجًا قياسيًا:

إسقاط المتجه على المتجه. إسقاط المتجه على محاور الإحداثيات.
جيب تمام الاتجاه للمتجه

النظر في المتجهات و:

دعونا نسقط المتجه على المتجه؛ وللقيام بذلك، نحذف من بداية المتجه ونهايته متعامدينإلى المتجه (الخطوط المنقطة الخضراء). تخيل أن أشعة الضوء تسقط بشكل عمودي على المتجه. بعد ذلك سيكون الجزء (الخط الأحمر) بمثابة "ظل" المتجه. في هذه الحالة، يكون إسقاط المتجه على المتجه هو طول القطعة. وهذا يعني أن الإسقاط هو رقم.

تتم الإشارة إلى هذا الرقم على النحو التالي: يشير "المتجه الكبير" إلى المتجه أيّالمشروع، يشير "ناقل منخفض صغير" إلى المتجه علىالذي هو متوقع.

يُقرأ الإدخال نفسه على النحو التالي: "إسقاط المتجه "a" على المتجه "be"."

ماذا يحدث إذا كان المتجه "be" "قصيرًا جدًا"؟ نرسم خطًا مستقيمًا يحتوي على المتجه "be". وسيتم عرض المتجه "a" بالفعل إلى اتجاه المتجه "يكون"ببساطة - إلى الخط المستقيم الذي يحتوي على المتجه "be". سيحدث الشيء نفسه إذا تم تأجيل المتجه "أ" إلى المملكة الثلاثين - فسيظل من السهل إسقاطه على الخط المستقيم الذي يحتوي على المتجه "يكون".

إذا كانت الزاويةبين المتجهات حار(كما في الصورة)، ثم

إذا كانت ناقلات متعامد، إذن (الإسقاط هو نقطة تعتبر أبعادها صفراً).

إذا كانت الزاويةبين المتجهات صريح(في الشكل، قم بإعادة ترتيب سهم المتجه عقليًا)، ثم (بنفس الطول، ولكن تم التقاطه بعلامة الطرح).

دعونا نرسم هذه المتجهات من نقطة واحدة:

من الواضح أنه عندما يتحرك المتجه، فإن إسقاطه لا يتغير

تعليمات

لنفترض أن هناك متجهين غير صفريين على المستوى، مرسومين من نقطة واحدة: المتجه A بإحداثياته (x1, y1) B بإحداثياته (x2, y2). ركنبينهما تم تعيينه كـ θ. للعثور على قياس درجة الزاوية θ، تحتاج إلى استخدام تعريف المنتج العددي.

المنتج القياسي لمتجهين غير الصفر هو رقم يساوي منتج أطوال هذه المتجهات وجيب تمام الزاوية بينهما، أي (A,B)=|A|*|B|*cos( θ). أنت الآن بحاجة إلى التعبير عن جيب تمام الزاوية من هذا: cos(θ)=(A,B)/(|A|*|B|).

يمكن أيضًا إيجاد حاصل الضرب العددي باستخدام الصيغة (A,B)=x1*x2+y1*y2، حيث أن حاصل ضرب متجهين غير الصفر يساوي مجموع حاصل ضرب المتجهات المقابلة لهما. إذا كان المنتج القياسي للمتجهات غير الصفرية يساوي الصفر، فإن المتجهات تكون متعامدة (الزاوية بينها 90 درجة) ويمكن حذف المزيد من الحسابات. إذا كان حاصل الضرب القياسي لمتجهين موجبًا، فإن الزاوية بينهما ثلاثة أبعادحادة، وإذا كانت سالبة فإن الزاوية منفرجة.

الآن احسب أطوال المتجهين A وB باستخدام الصيغتين: |A|=√(x1²+y1²), |B|=√(x2²+y2²). يتم حساب طول المتجه على أنه الجذر التربيعي لمجموع مربعات إحداثياته.

استبدل القيم التي تم العثور عليها للمنتج القياسي وأطوال المتجهات في صيغة الزاوية التي تم الحصول عليها في الخطوة 2، أي cos(θ)=(x1*x2+y1*y2)/(√(x1²+y1²)+ √(x2²+y2²)). الآن، بمعرفة قيمة , لإيجاد قياس درجة الزاوية المحصورة بينهما ثلاثة أبعادتحتاج إلى استخدام جدول Bradis أو أخذ منه: θ=arccos(cos(θ)).

إذا تم إعطاء المتجهين A و B في مساحة ثلاثية الأبعاد ولهما إحداثيات (x1، y1، z1) و (x2، y2، z2)، على التوالي، عند العثور على جيب تمام الزاوية، تتم إضافة إحداثي آخر. في هذه الحالة، جيب التمام: cos(θ)=(x1*x2+y1*y2+z1*z2)/(√(x1²+y1²+z1²)+√(x2²+y2²+z2²)).

نصائح مفيدة

إذا لم يتم رسم متجهين من نفس النقطة، فعندئذ للعثور على الزاوية بينهما عن طريق الترجمة المتوازية، تحتاج إلى الجمع بين أصول هذه المتجهات.
لا يمكن أن تكون الزاوية بين متجهين أكثر من 180 درجة.

مصادر:

كيفية حساب الزاوية بين المتجهات
الزاوية المحصورة بين الخط المستقيم والمستوى

لحل العديد من المشاكل، التطبيقية والنظرية، في الفيزياء والجبر الخطي، من الضروري حساب الزاوية بين المتجهات. يمكن أن تسبب هذه المهمة التي تبدو بسيطة العديد من الصعوبات إذا لم تفهم بوضوح جوهر المنتج العددي والقيمة التي تظهر كنتيجة لهذا المنتج.

تعليمات

الزاوية بين المتجهات في الفضاء الخطي المتجه هي الزاوية الدنيا التي يتم عندها تحقيق الاتجاه المشترك للمتجهات. يرسم أحد المتجهات حول نقطة بدايته. يتضح من التعريف أن قيمة الزاوية لا يمكن أن تتجاوز 180 درجة (انظر الخطوة).

في هذه الحالة، من المفترض تمامًا أنه في الفضاء الخطي، عند إجراء نقل متوازي للمتجهات، لا تتغير الزاوية بينهما. لذلك، بالنسبة للحساب التحليلي للزاوية، لا يهم الاتجاه المكاني للمتجهات.

نتيجة منتج النقطة هي رقم، وإلا فهي عددية. تذكر (من المهم معرفة ذلك) لتجنب الأخطاء في الحسابات الإضافية. صيغة المنتج العددي الموجود على المستوى أو في فضاء المتجهات لها الشكل (انظر الشكل الخاص بالخطوة).

إذا كانت المتجهات موجودة في الفضاء، فقم بإجراء الحساب بطريقة مماثلة. المظهر الوحيد للمصطلح في الأرباح سيكون المصطلح الخاص بالطلب، أي. المكون الثالث للناقل. وفقًا لذلك، عند حساب معامل المتجهات، يجب أيضًا أخذ المكون z في الاعتبار، ثم بالنسبة للمتجهات الموجودة في الفضاء، يتم تحويل التعبير الأخير على النحو التالي (انظر الشكل 6 للخطوة).

المتجه هو قطعة ذات اتجاه معين. الزاوية بين المتجهات لها معنى فيزيائي، على سبيل المثال، عند إيجاد طول إسقاط المتجه على المحور.

تعليمات

الزاوية بين متجهين غير صفريين عن طريق حساب حاصل الضرب النقطي. بحكم التعريف، فإن المنتج يساوي منتج الأطوال والزاوية بينهما. من ناحية أخرى، يتم حساب المنتج القياسي لمتجهين a بإحداثيات (x1; y1) وb بإحداثيات (x2; y2): ab = x1x2 + y1y2. من بين هاتين الطريقتين، فإن حاصل الضرب النقطي هو بسهولة الزاوية بين المتجهات.

أوجد أطوال أو مقادير المتجهات. بالنسبة للمتجهين a وb: |a| = (x1² + y1²)^1/2, |b| = (x2² + y2²)^1/2.

أوجد حاصل الضرب القياسي للمتجهات بضرب إحداثياتها في أزواج: ab = x1x2 + y1y2. من تعريف المنتج العددي ab = |a|*|b|*cos α، حيث α هي الزاوية بين المتجهات. ثم نحصل على x1x2 + y1y2 = |a|*|b|*cos α. ثم cos α = (x1x2 + y1y2)/(|a|*|b|) = (x1x2 + y1y2)/((x1² + y1²)(x2² + y2²))^1/2.

أوجد الزاوية α باستخدام جداول Bradis.

فيديو حول الموضوع

ملحوظة

المنتج العددي هو خاصية عددية لأطوال المتجهات والزاوية بينهما.

الطائرة هي واحدة من المفاهيم الأساسية في الهندسة. المستوى هو سطح تنطبق عليه العبارة التالية: أي خط مستقيم يصل بين نقطتين منه ينتمي بالكامل إلى هذا السطح. يُشار إلى المستويات عادةً بالأحرف اليونانية α، β، γ، إلخ. يتقاطع المستويان دائمًا على طول خط مستقيم ينتمي إلى كلا المستويين.

تعليمات

دعونا نفكر في نصفي المستويين α و β المتكونين من تقاطع . الزاوية المتكونة من خط مستقيم a ونصفي مستويين α و β بواسطة زاوية ثنائية السطوح. في هذه الحالة، تشكل أنصاف المستويات مع وجوهها زاوية ثنائية السطوح، ويسمى الخط المستقيم الذي تتقاطع معه المستويات بحافة الزاوية ثنائية السطوح.

زاوية ثنائي السطوح، مثل الزاوية المستوية، تكون بالدرجات. لإنشاء زاوية ثنائية السطوح، عليك تحديد نقطة O على وجهها، وفي كليهما، يتم رسم شعاعين a من خلال النقطة O. تسمى الزاوية المتكونة AOB بالزاوية ثنائية السطوح الخطية أ.

لذلك، دع المتجه V = (a، b، c) والمستوى A x + B y + C z = 0، حيث A وB وC هي إحداثيات N العادية. ثم جيب تمام الزاوية α بين المتجهين V و N يساوي: cos α = (a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²)).

لحساب الزاوية بالدرجات أو الراديان، تحتاج إلى حساب الدالة العكسية لجيب التمام من التعبير الناتج، أي. قوس جيب التمام:α = аrsсos ((a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²))).

مثال: تجد ركنبين المتجه(5، -3، 8) و طائرة، تعطى بالمعادلة العامة 2 x - 5 y + 3 z = 0. الحل: اكتب إحداثيات المتجه العمودي للمستوى N = (2, -5, 3). عوّض بكل القيم المعروفة في الصيغة المعطاة: cos α = (10 + 15 + 24)/√3724 ≈ 0.8 → α = 36.87°.

فيديو حول الموضوع

تشكل المساواة وعزل جيب التمام منه. وفقًا لإحدى الصيغ، يساوي المنتج القياسي للمتجهات أطوالها مضروبة في بعضها البعض وفي جيب التمام زاويةومن ناحية أخرى - مجموع منتجات الإحداثيات على طول كل محور. وبمساواة كلتا الصيغتين، يمكننا أن نستنتج أن جيب التمام زاويةيجب أن تكون مساوية لنسبة مجموع حاصل ضرب الإحداثيات إلى حاصل ضرب أطوال المتجهات.

اكتب المساواة الناتجة. للقيام بذلك، تحتاج إلى تعيين كلا المتجهات. لنفترض أنها معطاة في نظام ديكارتي ثلاثي الأبعاد ونقاط بدايتها موجودة في شبكة إحداثيات. سيتم تحديد اتجاه وحجم المتجه الأول بالنقطة (X₁,Y₁,Z₁) والثاني - (X₂,Y₂,Z₂) وسيتم تحديد الزاوية بالحرف γ. ثم يمكن أن تكون أطوال كل من المتجهات، على سبيل المثال، باستخدام نظرية فيثاغورس لـ ، والتي يتم تشكيلها من خلال إسقاطاتها على كل من محاور الإحداثيات: √(X₁² + Y₁² + Z₁²) و √(X₂² + Y₂² + Z₂²). عوض بهذه التعبيرات في الصيغة التي تمت صياغتها في الخطوة السابقة وستحصل على المساواة: cos(γ) = (X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂) / (√(X₁² + Y₁² + Z₁²) * √(X₂² + Y₂² + Z₂² )).

استخدم حقيقة أن مجموع التربيع جيبوشارك جيبمن زاويةمن نفس الكمية يعطي دائما واحدا. وهذا يعني أنه من خلال رفع ما تم الحصول عليه في الخطوة السابقة ل جيبتربيعها وطرحها من واحد، ومن ثم فإن الجذر التربيعي سوف يحل المشكلة. اكتب الصيغة المطلوبة بشكل عام: sin(γ) = √(1-cos(γ)²) = √(1 - ((X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂) / (√(X₁² + Y₁² + Z₁² ) * √(X₂² + Y₂² + Z₂²))²) = √(1 - ((X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂)² / ((X₁² + Y₁² + Z₁²) * (X₂² + Y₂² + Z₂²) ) )).

الشروط الأساسية

قبل النظر إلى الزوايا بين المتجهات، من الضروري التعرف على تعريف المتجه ومفهوم الزاوية بين المتجهات.

المتجه هو قطعة لها اتجاه، أي القطعة التي تم تحديد بدايتها ونهايتها.

صيغة الحل

مثال

باستبدال القيم التي تم الحصول عليها في الصيغة، نحسب قيمة جيب التمام للزاوية المطلوبة:

حساب زاوية في الفضاء ن الأبعاد

الفرق بين 0 و 180 درجة

ناقلات محددة

تسمى عدة نواقل موازية لمستوى واحد متحدة المستوى.
تسمى المتجهات المتساوية في الطول والاتجاه متساوية.
تسمى المتجهات التي تقع على نفس الخط المستقيم، بغض النظر عن اتجاهها، خطية متداخلة.
إذا كان طول المتجه صفرًا، أي أن بدايته ونهايته متطابقتان، فإنه يسمى صفرًا، وإذا كان واحدًا، فهو وحدة.

المنتج العددي للمتجهات (المشار إليها فيما بعد بـ SP). أصدقائي الأعزاء! يتضمن امتحان الرياضيات مجموعة من المسائل المتعلقة بحل المتجهات. لقد نظرنا بالفعل في بعض المشاكل. يمكنك رؤيتها في فئة "المتجهات". بشكل عام، نظرية المتجهات ليست معقدة، والشيء الرئيسي هو دراستها باستمرار. الحسابات والعمليات باستخدام المتجهات في دورة الرياضيات المدرسية بسيطة، والصيغ ليست معقدة. نلقي نظرة على. في هذه المقالة سوف نقوم بتحليل المشاكل المتعلقة بـ SP للمتجهات (المدرجة في امتحان الدولة الموحدة). الآن "الانغماس" في النظرية:

ح للعثور على إحداثيات المتجه، عليك أن تطرح من إحداثيات نهايتهالإحداثيات المقابلة لأصلها

ومزيد من:

*يتم تحديد طول المتجه (المعامل) على النحو التالي:

يجب أن نتذكر هذه الصيغ!!!

دعونا نظهر الزاوية بين المتجهات:

من الواضح أنه يمكن أن يختلف من 0 إلى 180 0(أو بالراديان من 0 إلى Pi).

يمكننا استخلاص بعض الاستنتاجات حول إشارة حاصل الضرب القياسي. أطوال المتجهات لها قيمة موجبة، وهذا واضح. هذا يعني أن إشارة المنتج القياسي تعتمد على قيمة جيب تمام الزاوية بين المتجهات.

الحالات المحتملة:

1. إذا كانت الزاوية بين المتجهات حادة (من 0 0 إلى 90 0)، فإن جيب تمام الزاوية سيكون له قيمة موجبة.

2. إذا كانت الزاوية بين المتجهات منفرجة (من 90 0 إلى 180 0)، فإن جيب تمام الزاوية سيكون له قيمة سلبية.

*عند درجة الصفر، أي عندما يكون للمتجهات نفس الاتجاه، يكون جيب التمام يساوي واحدًا، وبالتالي تكون النتيجة موجبة.

عند 180 درجة، أي عندما يكون للمتجهات اتجاهات متعاكسة، يكون جيب التمام يساوي سالب واحد،وبناء على ذلك ستكون النتيجة سلبية.

الآن النقطة المهمة!

عند 90 درجة، أي عندما تكون المتجهات متعامدة مع بعضها البعض، يكون جيب التمام يساوي صفرًا، وبالتالي فإن SP يساوي صفرًا. تُستخدم هذه الحقيقة (النتيجة، الاستنتاج) في حل العديد من المشكلات حيث نتحدث عن الموضع النسبي للمتجهات، بما في ذلك المشكلات المدرجة في البنك المفتوح لمهام الرياضيات.

دعونا نصيغ العبارة: حاصل الضرب القياسي يساوي صفرًا إذا وفقط إذا كانت هذه المتجهات تقع على خطوط متعامدة.

لذلك، الصيغ لمتجهات SP:

إذا كانت إحداثيات المتجهات أو إحداثيات نقاط بداياتها ونهاياتها معروفة، فيمكننا دائمًا إيجاد الزاوية بين المتجهات:

دعونا نفكر في المهام:

27724 أوجد حاصل الضرب القياسي للمتجهين a و b.

يمكننا إيجاد حاصل الضرب العددي للمتجهات باستخدام إحدى الصيغتين:

الزاوية بين المتجهات غير معروفة، لكن يمكننا بسهولة إيجاد إحداثيات المتجهات ثم استخدام الصيغة الأولى. وبما أن أصول كلا المتجهين تتطابق مع أصل الإحداثيات، فإن إحداثيات هذه المتجهات تساوي إحداثيات طرفيها، أي