الهرم الرباعي في المسألة C2. أساسيات الهندسة: الهرم المنتظم هو

عند حل المشكلة C2 باستخدام الطريقة الإحداثية، يواجه العديد من الطلاب نفس المشكلة. لا يمكنهم الحساب إحداثيات النقاطالمدرجة في صيغة المنتج العددية. تنشأ أكبر الصعوبات الأهرامات. وإذا كانت النقاط الأساسية تعتبر طبيعية إلى حد ما، فإن القمم هي جحيم حقيقي.

اليوم سنعمل على هرم رباعي الزوايا منتظم. ويوجد أيضًا هرم ثلاثي (ويعرف أيضًا باسم - رباعي الاسطح). هذا تصميم أكثر تعقيدًا، لذا سيتم تخصيص درس منفصل له.

أولا، دعونا نتذكر التعريف:

الهرم المنتظم هو الذي:

1. القاعدة عبارة عن مضلع منتظم: مثلث، مربع، وما إلى ذلك؛
2. الارتفاع المرسوم إلى القاعدة يمر عبر مركزها.

على وجه الخصوص، قاعدة الهرم الرباعي مربع. تماما مثل خوفو، فقط أصغر قليلا.

فيما يلي حسابات الهرم الذي تساوي جميع أحرفه 1. إذا لم يكن هذا هو الحال في مشكلتك، فلن تتغير الحسابات - فقط الأرقام ستكون مختلفة.

رؤوس الهرم الرباعي

لذا، لنفترض أن SABCD هرم رباعي الزوايا منتظم، حيث S هو الرأس والقاعدة ABCD هي مربع. جميع الحواف تساوي 1. تحتاج إلى إدخال نظام إحداثيات والعثور على إحداثيات جميع النقاط. لدينا:

نقدم نظام الإحداثيات مع الأصل عند النقطة A:

1. يتم توجيه محور OX بالتوازي مع الحافة AB؛
2. محور OY موازي لـ AD. بما أن ABCD مربع، AB ⊥ AD؛
3. وأخيرًا، نقوم بتوجيه محور OZ لأعلى، بشكل عمودي على المستوى ABCD.

الآن نحسب الإحداثيات. البناء الإضافي: SH - الارتفاع المرسوم على القاعدة. للراحة، سنضع قاعدة الهرم في رسم منفصل. بما أن النقاط A وB وC وD تقع في مستوى OXY، فإن إحداثياتها هي z = 0. لدينا:

1. أ = (0؛ 0؛ 0) - يتزامن مع الأصل؛
2. B = (1؛ 0؛ 0) - خطوة بخطوة 1 على طول محور OX من الأصل؛
3. C = (1؛ 1؛ 0) - خطوة بمقدار 1 على طول محور OX و1 على طول محور OY؛
4. D = (0; 1; 0) - خطوة فقط على طول محور OY.
5. H = (0.5; 0.5; 0) - مركز المربع، منتصف القطعة AC.

يبقى العثور على إحداثيات النقطة S. لاحظ أن إحداثيات x وy للنقطتين S وH متماثلتان، حيث أنهما تقعان على خط موازٍ لمحور OZ. يبقى العثور على الإحداثي z للنقطة S.

النظر في المثلثين ASH وABH:

1. AS = AB = 1 حسب الحالة؛
2. الزاوية AHS = AHB = 90°، بما أن SH هو الارتفاع وAH ⊥ HB هما قطرا المربع؛
3. الجانب AH شائع.

لذلك، المثلثان القائمان ASH و ABH متساويساق واحدة ووتر واحد لكل منهما. وهذا يعني SH = BH = 0.5 دينار بحريني. لكن BD هو قطر المربع الذي طول ضلعه 1. لذلك لدينا:

الإحداثيات الإجمالية للنقطة S:

في الختام، نكتب إحداثيات جميع رؤوس الهرم المستطيل المنتظم:

ماذا تفعل عندما تكون الأضلاع مختلفة

ماذا لو كانت الحواف الجانبية للهرم غير متساوية مع حواف القاعدة؟ في هذه الحالة، فكر في المثلث AHS:

مثلث AHS - مستطيلي، والوتر AS هو أيضًا حافة جانبية للهرم الأصلي SABCD. يتم حساب الساق AH بسهولة: AH = 0.5 AC. سوف نجد الساق المتبقية SH وفقا لنظرية فيثاغورس. سيكون هذا هو الإحداثي z للنقطة S.

مهمة. بالنظر إلى هرم رباعي الزوايا منتظم SABCD، يوجد في قاعدته مربع ذو ضلع 1. الحافة الجانبية BS = 3. أوجد إحداثيات النقطة S.

نحن نعرف بالفعل إحداثيات x وy لهذه النقطة: x = y = 0.5. ويأتي ذلك من حقيقتين:

1. إسقاط النقطة S على مستوى OXY هو النقطة H؛
2. وفي الوقت نفسه، النقطة H هي مركز المربع ABCD، الذي تساوي جميع أضلاعه 1.

يبقى العثور على إحداثيات النقطة S. النظر في المثلث AHS. وهو مستطيل، مع الوتر AS = BS = 3، والضلع AH هو نصف القطر. لمزيد من الحسابات نحتاج إلى طوله:

نظرية فيثاغورس للمثلث AHS: AH 2 + SH 2 = AS 2. لدينا:

إذن، إحداثيات النقطة S.

الهرم الرباعيهو متعدد الوجوه قاعدته مربعة، وجميع أضلاعه مثلثات متساوية الساقين.

يحتوي هذا متعدد السطوح على العديد من الخصائص المختلفة:

• حوافها الجانبية وزوايا ثنائي السطوح المجاورة لها متساوية مع بعضها البعض.
• مساحات الوجوه الجانبية هي نفسها؛
• عند قاعدة هرم رباعي الزوايا منتظم يوجد مربع.
• ويتقاطع الارتفاع الساقط من قمة الهرم مع النقطة التي يتقاطع فيها قطرا القاعدة.

كل هذه الخصائص تجعل من السهل العثور عليها. ومع ذلك، في كثير من الأحيان، بالإضافة إلى ذلك، من الضروري حساب حجم متعدد السطوح. للقيام بذلك، استخدم صيغة حجم الهرم الرباعي:

أي أن حجم الهرم يساوي ثلث حاصل ضرب ارتفاع الهرم ومساحة القاعدة. نظرًا لأنه يساوي حاصل ضرب أضلاعه المتساوية، فإننا ندخل فورًا صيغة مساحة المربع في تعبير الحجم.
لنفكر في مثال لحساب حجم الهرم الرباعي.

لنفترض أن لدينا هرمًا رباعي الزوايا، قاعدته مربع طول ضلعه أ = 6 سم، والوجه الجانبي للهرم ب = 8 سم، أوجد حجم الهرم.

للعثور على حجم متعدد السطوح معين، نحتاج إلى طول ارتفاعه. ولذلك، فإننا سوف نجد ذلك من خلال تطبيق نظرية فيثاغورس. أولاً، دعونا نحسب طول القطر. في المثلث الأزرق سيكون الوتر. ومن الجدير بالذكر أيضًا أن أقطار المربع متساوية مع بعضها البعض وتنقسم إلى نصفين عند نقطة التقاطع:


الآن من المثلث الأحمر نجد الارتفاع الذي نحتاجه. سيكون مساوياً لـ:

لنستبدل القيم الضرورية ونجد ارتفاع الهرم:

الآن، بعد أن عرفنا الارتفاع، يمكننا تعويض جميع القيم في صيغة حجم الهرم وحساب القيمة المطلوبة:

وبهذه الطريقة، بمعرفة بعض الصيغ البسيطة، تمكنا من حساب حجم هرم رباعي الزوايا منتظم. تذكر أن هذه القيمة تقاس بالوحدات المكعبة.

سيساعد هذا الفيديو التعليمي المستخدمين في الحصول على فكرة عن موضوع الهرم. الهرم الصحيح . في هذا الدرس سوف نتعرف على مفهوم الهرم ونعطيه تعريفاً. دعونا نفكر في ماهية الهرم العادي وما هي خصائصه. ثم نثبت نظرية السطح الجانبي للهرم المنتظم.

في هذا الدرس سوف نتعرف على مفهوم الهرم ونعطيه تعريفاً.

النظر في المضلع أ1 أ2...نوالتي تقع في المستوى α والنقطة ص، والتي لا تقع في المستوى α (الشكل 1). دعونا نربط النقاط صمع القمم أ1، أ2، أ3, … ن. نحن نحصل نمثلثات: أ 1 أ 2 ر, أ2 أ3 روما إلى ذلك وهلم جرا.

تعريف. متعدد السطوح را 1 أ 2 ...أ ن، صنع من ن-مربع أ1 أ2...نو نمثلثات را 1 أ 2, را 2 أ 3 …را ن ن-1 يسمى ن-هرم الفحم. أرز. 1.

أرز. 1

النظر في الهرم الرباعي بابكد(الصورة 2).

ر- قمة الهرم .

ا ب ت ث- قاعدة الهرم .

را- ضلع جانبي.

أ.ب- ضلع القاعدة.

من النقطة ردعونا نسقط العمودي RNإلى الطائرة الأساسية ا ب ت ث. العمودي المرسوم هو ارتفاع الهرم.

أرز. 2

يتكون السطح الكامل للهرم من السطح الجانبي، أي مساحة جميع الوجوه الجانبية، ومساحة القاعدة:

S كامل = الجانب S + S الرئيسي

يسمى الهرم صحيحاً إذا:

• قاعدته مضلع منتظم.
• الجزء الذي يربط قمة الهرم بمركز القاعدة هو ارتفاعه.

الشرح باستخدام مثال الهرم الرباعي المنتظم

فكر في هرم رباعي الزوايا منتظم بابكد(تين. 3).

ر- قمة الهرم . قاعدة الهرم ا ب ت ث- شكل رباعي منتظم، أي مربع. نقطة عن، نقطة تقاطع الأقطار هي مركز المربع. وسائل، ريال عمانيهو ارتفاع الهرم.

أرز. 3

توضيح: في الصحيحين نفي المثلث، يتطابق مركز الدائرة المنقوشة مع مركز الدائرة المحيطة. ويسمى هذا المركز مركز المضلع. في بعض الأحيان يقولون أن الرأس يتم إسقاطه في المركز.

يسمى ارتفاع الوجه الجانبي للهرم المنتظم المرسوم من رأسه apothemويتم تعيينه ح أ.

1. جميع الحواف الجانبية للهرم المنتظم متساوية؛

2. الأوجه الجانبية مثلثات متساوية الساقين.

سنقدم دليلاً على هذه الخصائص باستخدام مثال الهرم الرباعي المنتظم.

منح: بابكد- هرم رباعي منتظم،

ا ب ت ث- مربع،

ريال عماني- ارتفاع الهرم .

يثبت:

1. RA = PB = RS = PD

2.∆ABP = ∆BCP = ∆CDP = ∆DAP انظر الشكل. 4.

أرز. 4

دليل.

ريال عماني- ارتفاع الهرم . وهذا هو، على التوالي ريال عمانيعمودي على الطائرة اي بي سي، وبالتالي مباشرة هيئة الأوراق المالية، فو، SOو يفعلالكذب فيه. هكذا مثلثات روا، روف، روس، رود- مستطيلي.

النظر في مربع ا ب ت ث. من خصائص المربع يتبع ذلك AO = VO = CO = يفعل.

ثم المثلثات الصحيحة روا، روف، روس، رودرجل ريال عماني- العام والساقين هيئة الأوراق المالية، فو، SOو يفعلمتساويان، مما يعني أن هذين المثلثين متساويان في الجانبين. من مساواة المثلثات يتبع مساواة الأجزاء، RA = PB = RS = PD.لقد تم إثبات النقطة 1.

شرائح أ.بو شمسمتساويان لأنهما ضلعان لنفس المربع، RA = PB = RS. هكذا مثلثات أفرو فيسر -متساوي الساقين ومتساويان من ثلاثة جوانب.

وبطريقة مماثلة نجد أن المثلثات أب، VCP، CDP، DAPمتساوي الساقين ومتساويان، كما هو مطلوب إثباته في الفقرة 2.

مساحة السطح الجانبي للهرم العادي تساوي نصف حاصل ضرب محيط القاعدة والارتفاع:

لإثبات ذلك، دعونا نختار هرمًا ثلاثيًا منتظمًا.

منح: RAVS- الهرم الثلاثي المنتظم .

أ ب = ق = أس.

ريال عماني- ارتفاع.

يثبت: . انظر الشكل. 5.

أرز. 5

دليل.

RAVS- الهرم الثلاثي المنتظم . إنه أ.ب= أس = قبل الميلاد. يترك عن- مركز المثلث اي بي سي، ثم ريال عمانيهو ارتفاع الهرم. وفي قاعدة الهرم يوجد مثلث متساوي الأضلاع اي بي سي. لاحظ أن .

مثلثات راف، آر في إس، آر إس إيه- مثلثات متساوية الساقين (بالملكية). الهرم الثلاثي له ثلاثة وجوه جانبية: راف، آر في إس، آر إس إيه. وهذا يعني أن مساحة السطح الجانبي للهرم هي:

الجانب S = 3S RAW

لقد تم إثبات النظرية.

نصف قطر الدائرة المرسومة عند قاعدة هرم رباعي منتظم 3 م، وارتفاع الهرم 4 م، أوجد مساحة السطح الجانبي للهرم.

منح: هرم رباعي منتظم ا ب ت ث,

ا ب ت ث- مربع،

ص= 3 م،

ريال عماني- ارتفاع الهرم،

ريال عماني= 4 م.

يجد: الجانب S. انظر الشكل. 6.

أرز. 6

حل.

وفقا للنظرية المثبتة ، .

دعونا أولا العثور على جانب القاعدة أ.ب. نحن نعلم أن نصف قطر الدائرة المرسومة عند قاعدة هرم رباعي الزوايا منتظم هو ٣ م.

ثم، م.

أوجد محيط المربع ا ب ت ثمع جانب 6 م:

النظر في مثلث بي سي دي. يترك م- منتصف الجانب العاصمة. لأن عن- وسط دينار بحريني، مقدار).

مثلث DPC- متساوي الساقين. م- وسط العاصمة. إنه، آر إم- الوسيط، وبالتالي الارتفاع في المثلث DPC. ثم آر إم- ذروة الهرم .

ريال عماني- ارتفاع الهرم . ثم، على التوالي ريال عمانيعمودي على الطائرة اي بي سي، وبالتالي مباشرة أوم، الكذب فيه. دعونا نجد apothem آر إممن المثلث الأيمن ذاكرة للقراءة فقط.

الآن يمكننا إيجاد السطح الجانبي للهرم:

إجابة: 60 م2.

نصف قطر الدائرة المحيطة بقاعدة الهرم الثلاثي المنتظم يساوي م، ومساحة سطحها الجانبية 18 م2. العثور على طول apothem.

منح: ABCP- الهرم الثلاثي المنتظم،

أب = ق = سا،

ر= م،

الجانب S = 18 م2.

يجد: . انظر الشكل. 7.

أرز. 7

حل.

في المثلث الأيمن اي بي سييتم إعطاء نصف قطر الدائرة المقيدة. دعونا نجد الجانب أ.بهذا المثلث باستخدام قانون الجيب.

بمعرفة ضلع المثلث المنتظم (م)، نجد محيطه.

بواسطة نظرية مساحة السطح الجانبية للهرم العادي، حيث ح أ- ذروة الهرم . ثم:

إجابة: 4 م.

لذا، نظرنا إلى ماهية الهرم، وما هو الهرم العادي، وأثبتنا نظرية السطح الجانبي للهرم العادي. في الدرس القادم سوف نتعرف على الهرم المقطوع.

فهرس

1. الهندسة. الصفوف 10-11: كتاب مدرسي لطلاب مؤسسات التعليم العام (المستويات الأساسية والمتخصصة) / I. M. Smirnova، V. A. Smirnov. - الطبعة الخامسة، مراجعة. وإضافية - م: منيموسين، 2008. - 288 ص: مريض.
2. الهندسة. الصفوف 10-11: كتاب مدرسي لمؤسسات التعليم العام / Sharygin I.F. - M.: Bustard، 1999. - 208 pp.: ill.
3. الهندسة. الصف العاشر: كتاب مدرسي لمؤسسات التعليم العام مع دراسة متعمقة ومتخصصة للرياضيات /E. V. Potoskuev، L. I. Zvalich. - الطبعة السادسة، الصورة النمطية. - م: حبارى، 008. - 233 ص: مريض.

1. بوابة الإنترنت "Yaklass" ()
2. بوابة الإنترنت "مهرجان الأفكار التربوية "الأول من سبتمبر" ()
3. بوابة الإنترنت "Slideshare.net" ()

العمل في المنزل

1. هل يمكن للمضلع المنتظم أن يكون قاعدة لهرم غير منتظم؟
2. أثبت أن الحواف المنفصلة للهرم العادي متعامدة.
3. أوجد قيمة الزاوية ثنائية السطوح التي تقع على جانب قاعدة هرم رباعي الزوايا منتظم إذا كان ارتفاع الهرم يساوي جانب قاعدته.
4. RAVS- الهرم الثلاثي المنتظم . أنشئ الزاوية الخطية للزاوية ثنائية السطوح عند قاعدة الهرم.

يواجه الطلاب مفهوم الهرم قبل فترة طويلة من دراسة الهندسة. العيب يقع على عاتق العجائب المصرية العظيمة الشهيرة في العالم. لذلك، عند البدء في دراسة هذا متعدد السطوح الرائع، يتخيله معظم الطلاب بوضوح. جميع عوامل الجذب المذكورة أعلاه لها الشكل الصحيح. ماذا حدث الهرم المنتظموما هي خصائصه سيتم مناقشتها بمزيد من التفصيل.

في تواصل مع

تعريف

هناك الكثير من التعريفات للهرم. منذ العصور القديمة، كانت تحظى بشعبية كبيرة.

على سبيل المثال، عرّفه إقليدس على أنه شكل جسدي يتكون من مستويات تبدأ من مستوى واحد وتتقارب عند نقطة معينة.

قدم مالك الحزين صيغة أكثر دقة. وأصر على أن هذا هو الرقم الذي لها قاعدة ومستويات على شكل مثلثات،تتقارب عند نقطة واحدة.

بناءً على التفسير الحديث، يتم تمثيل الهرم على أنه متعدد السطوح مكاني، يتكون من أشكال مثلثية معينة k-gon و k، لها نقطة مشتركة واحدة.

دعونا ننظر في الأمر بمزيد من التفصيل، ما هي العناصر التي تتكون منها:

• يعتبر k-gon أساس الشكل؛
• 3-أشكال مضلعية تبرز كحواف الجزء الجانبي؛
• ويسمى الجزء العلوي الذي تنشأ منه العناصر الجانبية بالقمة؛
• تسمى جميع الأجزاء التي تربط قمة الرأس بالحواف؛
• إذا تم تخفيض خط مستقيم من قمة الرأس إلى مستوى الشكل بزاوية 90 درجة، فإن الجزء الموجود في المساحة الداخلية هو ارتفاع الهرم؛
• في أي عنصر جانبي، يمكن رسم عمودي، يسمى apothem، على جانب متعدد السطوح لدينا.

يتم حساب عدد الحواف باستخدام الصيغة 2*k، حيث k هو عدد جوانب k-gon. يمكن تحديد عدد وجوه متعدد السطوح مثل الهرم باستخدام التعبير k+1.

مهم!الهرم ذو الشكل المنتظم هو شكل مجسم مستوي قاعدته هو k-gon ذو الجوانب المتساوية.

الخصائص الأساسية

الهرم الصحيح له خصائص كثيرة،والتي هي فريدة من نوعها لها. دعونا قائمة لهم:

1. الأساس هو شكل الشكل الصحيح.
2. حواف الهرم التي تحد العناصر الجانبية لها قيم عددية متساوية.
3. العناصر الجانبية هي مثلثات متساوية الساقين.
4. تقع قاعدة ارتفاع الشكل عند مركز المضلع، في حين أنها في نفس الوقت النقطة المركزية للمنقوش والمحدود.
5. تميل جميع الأضلاع الجانبية إلى مستوى القاعدة بنفس الزاوية.
6. جميع الأسطح الجانبية لها نفس زاوية الميل بالنسبة للقاعدة.

بفضل جميع الخصائص المدرجة، أصبح إجراء حسابات العناصر أسهل بكثير. وبناء على الخصائص المذكورة أعلاه، فإننا نولي اهتماما ل علامتان:

1. في حالة احتواء المضلع في دائرة، سيكون للأوجه الجانبية زوايا متساوية مع القاعدة.
2. عند وصف دائرة حول مضلع، فإن جميع حواف الهرم الخارجة من الرأس ستكون لها أطوال متساوية وزوايا متساوية مع القاعدة.

الأساس هو مربع

الهرم الرباعي المنتظم - متعدد السطوح قاعدته مربعة.

وله أربعة وجوه جانبية، وهي متساوية الساقين في المظهر.

تم تصوير المربع على المستوى، ولكنه يعتمد على جميع خصائص الشكل الرباعي العادي.

على سبيل المثال، إذا كان من الضروري ربط ضلع المربع بقطره، فاستخدم الصيغة التالية: القطر يساوي حاصل ضرب ضلع المربع والجذر التربيعي لاثنين.

لأنه يقوم على مثلث منتظم

الهرم الثلاثي المنتظم هو متعدد السطوح قاعدته 3 أضلاع منتظمة.

إذا كانت القاعدة مثلثًا منتظمًا وكانت الحواف الجانبية متساوية مع حواف القاعدة، فهذا الشكل يسمى رباعي الاسطح.

جميع وجوه رباعي السطوح متساوية الأضلاع بثلاثة أضلاع. في هذه الحالة عليك معرفة بعض النقاط وعدم إضاعة الوقت عليها عند الحساب:

• زاوية ميل الأضلاع إلى أي قاعدة هي 60 درجة؛
• حجم جميع الوجوه الداخلية هو أيضا 60 درجة؛
• يمكن لأي وجه أن يكون بمثابة قاعدة؛
• المرسومة داخل الشكل، هذه عناصر متساوية.

أقسام متعدد السطوح

في أي متعدد السطوح هناك عدة أنواع من الأقساممستوي. في كثير من الأحيان في دورة الهندسة المدرسية يعملون مع اثنين:

• محوري؛
• موازية للأساس.

يتم الحصول على القسم المحوري عن طريق تقاطع متعدد السطوح مع مستوى يمر عبر القمة والحواف الجانبية والمحور. في هذه الحالة، المحور هو الارتفاع المرسوم من الرأس. يقتصر مستوى القطع على خطوط التقاطع مع جميع الوجوه، مما ينتج عنه مثلث.

انتباه!في الهرم العادي، يكون القسم المحوري مثلثًا متساوي الساقين.

إذا كان مستوى القطع موازيا للقاعدة، فإن النتيجة هي الخيار الثاني. في هذه الحالة، لدينا شكل مقطعي مشابه للقاعدة.

على سبيل المثال، إذا كان هناك مربع عند القاعدة، فإن القسم الموازي للقاعدة سيكون أيضًا مربعًا، بأبعاد أصغر فقط.

عند حل المسائل في ظل هذا الشرط، يتم استخدام علامات وخصائص تشابه الأشكال، بناء على نظرية طاليس. بادئ ذي بدء، من الضروري تحديد معامل التشابه.

إذا تم رسم المستوى بالتوازي مع القاعدة وقطع الجزء العلوي من متعدد السطوح، فسيتم الحصول على هرم مقطوع منتظم في الجزء السفلي. ومن ثم يقال إن قواعد متعدد السطوح المقطوعة هي مضلعات متشابهة. في هذه الحالة، الوجوه الجانبية هي شبه منحرف متساوي الساقين. القسم المحوري هو أيضا متساوي الساقين.

من أجل تحديد ارتفاع متعدد السطوح المقطوع، من الضروري رسم الارتفاع في القسم المحوري، أي في شبه المنحرف.

المساحات السطحية

المشاكل الهندسية الرئيسية التي يجب حلها في دورة الهندسة المدرسية هي العثور على مساحة السطح وحجم الهرم.

هناك نوعان من قيم مساحة السطح:

• مساحة العناصر الجانبية
• مساحة السطح بأكمله.

من الاسم نفسه يتضح ما نتحدث عنه. يشمل السطح الجانبي العناصر الجانبية فقط. ويترتب على ذلك أنه للعثور عليه، ما عليك سوى إضافة مساحات المستويات الجانبية، أي مساحات متساوية الساقين 3 أضلاع. دعونا نحاول استخلاص صيغة مساحة العناصر الجانبية:

1. مساحة المضلع المتساوي الساقين 3 هي Str=1/2(aL)، حيث a هو جانب القاعدة، وL هو القياس.
2. يعتمد عدد المستويات الجانبية على نوع k-gon الموجود في القاعدة. على سبيل المثال، الهرم الرباعي المنتظم له أربع مستويات جانبية. لذلك، من الضروري إضافة مساحات الأشكال الأربعة Sside=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L. تم تبسيط التعبير بهذه الطريقة لأن القيمة هي 4a = Rosn، حيث Rosn هو محيط القاعدة. والتعبير 1/2*Rosn هو نصف محيطه.
3. إذن نستنتج أن مساحة العناصر الجانبية للهرم المنتظم تساوي حاصل ضرب نصف محيط القاعدة والقياس: Sside = Rosn * L.

تتكون مساحة السطح الكلي للهرم من مجموع مساحات المستويات الجانبية والقاعدة: Sp.p = Sside + Sbas.

أما بالنسبة لمساحة القاعدة، فهنا تستخدم الصيغة حسب نوع المضلع.

حجم الهرم المنتظميساوي حاصل ضرب مساحة المستوى الأساسي والارتفاع مقسومًا على ثلاثة: V=1/3*Sbas*H، حيث H هو ارتفاع متعدد السطوح.

ما هو الهرم العادي في الهندسة

خصائص الهرم الرباعي المنتظم

هنا يمكنك العثور على معلومات أساسية حول الأهرامات والصيغ والمفاهيم ذات الصلة. يتم دراستهم جميعًا مع مدرس رياضيات استعدادًا لامتحان الدولة الموحدة.

لنتأمل هنا المستوى، المضلع ، الكذب فيه ونقطة S، عدم الكذب فيه. دعونا نربط S بجميع رؤوس المضلع. يسمى متعدد السطوح الناتج بالهرم. تسمى الأجزاء الأضلاع الجانبية. ويسمى المضلع القاعدة، والنقطة S هي قمة الهرم. اعتمادًا على الرقم n، يسمى الهرم مثلثيًا (n=3)، ورباعي الزوايا (n=4)، وخماسي (n=5)، وهكذا. الاسم البديل للهرم الثلاثي هو رباعي الاسطح. ارتفاع الهرم هو العمودي النازل من قمته إلى مستوى القاعدة.

يسمى الهرم منتظم إذا مضلع منتظم، وقاعدة ارتفاع الهرم (قاعدة المتعامد) هي مركزه.

تعليق المعلم:
لا تخلط بين مفهومي "الهرم العادي" و"رباعي السطوح المنتظم". في الهرم العادي، ليس بالضرورة أن تكون الحواف الجانبية متساوية مع حواف القاعدة، لكن في رباعي الأسطح المنتظم، تكون جميع الحواف الستة متساوية. هذا هو تعريفه. من السهل إثبات أن المساواة تعني أن المركز P للمضلع متطابق مع ارتفاع قاعدته، لذا فإن رباعي السطوح المنتظم هو هرم منتظم.

ما هو apothem؟
ذروة الهرم هي ارتفاع وجهه الجانبي. إذا كان الهرم منتظما فإن جميع تماثيله متساوية. والعكس ليس صحيحا.

مدرس رياضيات عن مصطلحاته: 80% من العمل مع الأهرامات يتم بناؤه من خلال نوعين من المثلثات:
1) تحتوي على apothem SK والارتفاع SP
2) تحتوي على الحافة الجانبية SA وإسقاطها PA

لتبسيط الإشارات إلى هذه المثلثات، يكون مدرس الرياضيات أكثر ملاءمة للاتصال بأولهم apothemal، والثانية ضلعي. وللأسف لن تجد هذا المصطلح في أي من الكتب المدرسية، وعلى المعلم إدخاله منفردا.

صيغة لحجم الهرم:
1) أين مساحة قاعدة الهرم، و ما هو ارتفاع الهرم
2) أين نصف قطر الكرة المنقوشة، و هي مساحة السطح الكلي للهرم.
3) حيث MN هي مسافة أي حافتين متقاطعتين، وهي مساحة متوازي الأضلاع المتكون من منتصف الحواف الأربعة المتبقية.

خاصية قاعدة ارتفاع الهرم :

النقطة P (انظر الشكل) تتوافق مع مركز الدائرة المنقوشة عند قاعدة الهرم إذا تحقق أحد الشروط التالية:
1) جميع القياسات متساوية
2) جميع الوجوه الجانبية مائلة بالتساوي على القاعدة
3) جميع القياسات متساوية في الميل إلى ارتفاع الهرم
4) ارتفاع الهرم متساوي في الميل على جميع أوجهه الجانبية

تعليق مدرس الرياضيات: يرجى ملاحظة أن جميع النقاط متحدة بخاصية مشتركة واحدة: بطريقة أو بأخرى، تشارك الوجوه الجانبية في كل مكان (الرموز هي عناصرها). لذلك، يمكن للمدرس أن يقدم صياغة أقل دقة، ولكنها أكثر ملاءمة للتعلم: النقطة P تتزامن مع مركز الدائرة المنقوشة، قاعدة الهرم، إذا كان هناك أي معلومات متساوية حول وجوهها الجانبية. ولإثبات ذلك، يكفي إثبات أن جميع مثلثات القياس متساوية.

تتوافق النقطة P مع مركز الدائرة المحددة بالقرب من قاعدة الهرم إذا تحقق أحد الشروط الثلاثة:
1) جميع الحواف الجانبية متساوية
2) جميع الأضلاع الجانبية مائلة بالتساوي على القاعدة
3) جميع الأضلاع الجانبية مائلة بشكل متساوٍ إلى الارتفاع