تحديد مفهوم المصفوفة. §1

التعريف 1. مصفوفة حجمم نهو جدول مستطيل يتكون من صفوف m وn أعمدة، ويتكون من أرقام أو تعبيرات رياضية أخرى (تسمى عناصر المصفوفة)، i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n.

، أو

التعريف 2. مصفوفتان
و
يتم استدعاء نفس الحجم متساوي، إذا تزامنوا عنصرا بعد عنصر، أي. =،ط = 1،2،3،…،م، ي = 1،2،3،…،ن.

باستخدام المصفوفات، من السهل تسجيل بعض التبعيات الاقتصادية، على سبيل المثال، جداول توزيع الموارد لقطاعات معينة من الاقتصاد.

التعريف 3. إذا كان عدد صفوف المصفوفة يتطابق مع عدد أعمدتها، أي. م = ن، ثم يتم استدعاء المصفوفة ترتيب مربعن, خلاف ذلك مستطيلي.

التعريف 4. يسمى الانتقال من المصفوفة A إلى المصفوفة A m، حيث يتم تبديل الصفوف والأعمدة مع الحفاظ على النظام تبديلالمصفوفات.

أنواع المصفوفات: مربع (حجم 33) -
,

مستطيل (الحجم 25) -
,

قطري -
، أعزب -
صفر -
,

صف المصفوفة -
، عمود المصفوفة -.

التعريف 5. تسمى عناصر المصفوفة المربعة من الرتبة n والتي لها نفس المؤشرات عناصر القطر الرئيسي، أي. هذه هي العناصر:
.

التعريف 6. تسمى عناصر المصفوفة المربعة من الرتبة n عناصر القطر الثانوي إذا كان مجموع مؤشراتها يساوي n + 1، أي. هذه هي العناصر : .

1.2. العمليات على المصفوفات.

1 0 . كمية مصفوفتان
و
من نفس الحجم تسمى مصفوفة C = (مع ij)، يتم تحديد عناصرها بالمساواة مع ij = a ij + b ij، (i = 1,2,3,…,m, j = 1, 2،3،…،ن).

خصائص عملية إضافة المصفوفة.

لأي مصفوفات A، B، C من نفس الحجم، تكون المساواة التالية:

1) أ + ب = ب + أ (الإبدالية)،

2) (أ + ب) + ج = أ + (ب + ج) = أ + ب + ج (الترابط).

2 0 . العمل المصفوفات
لكل رقم  تسمى المصفوفة
بنفس حجم المصفوفة A، وbj =  (ط = 1،2،3،…،م، ي = 1،2،3،…،ن).

خصائص عملية ضرب المصفوفة بعدد.

(A) = ()A (ترابط الضرب)؛

(A+B) = A+B (توزيع الضرب بالنسبة إلى إضافة المصفوفة)؛

(+)A = A+A (توزيع الضرب بالنسبة إلى جمع الأرقام).

التعريف 7. مزيج خطي من المصفوفات
و
من نفس الحجم يسمى تعبيرًا بالصيغة A+B، حيث  و  أرقام عشوائية.

3 0 . المنتج أ  في المصفوفات يُطلق على A وB، على التوالي، بالحجم mn وnk، مصفوفة C بالحجم mk، بحيث يكون العنصر ذو i يساوي مجموع منتجات عناصر الصف i للمصفوفة A والعمود j للمصفوفة B، أي. مع ij = a i 1 b 1 j +a i 2 b 2 j +…+a ik b kj .

المنتج AB موجود فقط إذا كان عدد أعمدة المصفوفة A يتطابق مع عدد صفوف المصفوفة B.

خصائص عملية ضرب المصفوفة:

(أب)ج = أ(بج) (الترابط)؛

(A+B)C = AC+BC (التوزيع فيما يتعلق بإضافة المصفوفة)؛

A(B+C) = AB+AC (التوزيع فيما يتعلق بإضافة المصفوفة)؛

AB  BA (غير تبادلية).

التعريف 8. تسمى المصفوفتان A وB، اللتان بالنسبة لهما AB = BA، بالتنقل أو التنقل.

ضرب مصفوفة مربعة من أي ترتيب في مصفوفة الهوية المقابلة لا يغير المصفوفة.

التعريف 9. التحولات الأوليةالعمليات التالية تسمى المصفوفات:

مبادلة صفين (أعمدة).

ضرب كل عنصر من عناصر الصف (العمود) برقم غير الصفر.

إضافة إلى عناصر صف واحد (عمود) العناصر المقابلة لصف آخر (عمود).

التعريف 10. تسمى المصفوفة B التي تم الحصول عليها من المصفوفة A باستخدام التحويلات الأولية مقابل(يُشار إليه بـ BA).

مثال 1.1.أوجد مجموعة خطية من المصفوفات 2A-3B إذا

,
.

,
,

.

مثال 1.2. أوجد منتج المصفوفات
، لو

.

الحل: بما أن عدد أعمدة المصفوفة الأولى يتطابق مع عدد صفوف المصفوفة الثانية، فإن حاصل ضرب المصفوفات موجود. ونتيجة لذلك، نحصل على مصفوفة جديدة
، أين

ونتيجة لذلك نحصل
.

المحاضرة 2. المحددات. حساب محددات الدرجة الثانية والثالثة. خصائص المحدداتن- الترتيب.

>> المصفوفات

4.1.المصفوفات. العمليات على المصفوفات

المصفوفة المستطيلة ذات الحجم mxn عبارة عن مجموعة من أرقام mxn مرتبة على شكل جدول مستطيل يحتوي على صفوف m وأعمدة n. وسوف نكتبها في النموذج

أو يتم اختصارها كـ A = (a i j) (i = ; j = )، وتسمى الأرقام a i j بعناصرها؛ يشير الفهرس الأول إلى رقم الصف، والثاني - رقم العمود. A = (a i j) وB = (b i j) من نفس الحجم تسمى متساوية إذا كانت عناصرها الموجودة في نفس الأماكن متساوية في الزوج، أي A = B إذا a i j = b i j.

تسمى المصفوفة التي تتكون من صف واحد أو عمود واحد بمتجه الصف أو متجه العمود، على التوالي. تسمى نواقل الأعمدة ونواقل الصفوف ببساطة بالمتجهات.

يتم تحديد مصفوفة مكونة من رقم واحد بهذا الرقم. A من الحجم mxn، وجميع عناصره تساوي الصفر، تسمى صفر ويشار إليها بـ 0. وتسمى العناصر التي لها نفس المؤشرات عناصر القطر الرئيسي. إذا كان عدد الصفوف يساوي عدد الأعمدة، أي m = n، فإن المصفوفة تسمى مصفوفة مربعة من الرتبة n. تسمى المصفوفات المربعة التي تكون فيها عناصر القطر الرئيسي فقط غير صفرية قطرية وتكتب على النحو التالي:

.

إذا كانت جميع العناصر a i i للقطر تساوي 1، فإنها تسمى وحدة ويشار إليها بالحرف E:

.

تسمى المصفوفة المربعة مثلثية إذا كانت جميع العناصر الموجودة أعلى (أو أسفل) القطر الرئيسي تساوي الصفر. التحويل هو تحويل يتم فيه تبديل الصفوف والأعمدة مع الحفاظ على أرقامها. تتم الإشارة إلى النقل بواسطة T في الأعلى.

إذا قمنا بإعادة ترتيب الصفوف والأعمدة في (4.1)، فسنحصل على

,

والتي سيتم نقلها فيما يتعلق بـ A. على وجه الخصوص، عند نقل متجه العمود، يتم الحصول على متجه الصف والعكس صحيح.

منتج A والرقم b عبارة عن مصفوفة يتم الحصول على عناصرها من العناصر المقابلة لـ A عن طريق الضرب في الرقم b: b A = (b a i j).

يسمى المجموع A = (a i j) و B = (b i j) من نفس الحجم C = (c i j) من نفس الحجم، ويتم تحديد عناصره بواسطة الصيغة c i j = a i j + b i j.

يتم تحديد المنتج AB بافتراض أن عدد أعمدة A يساوي عدد صفوف B.

المنتج AB، حيث A = (a i j) وB = (b j k)، حيث i = , j= , k=، معطى بترتيب معين AB، يسمى C = (c i k)، ويتم تحديد عناصره بواسطة القاعدة التالية:

ج i k = أ i 1 ب 1 ك + أ i 2 ب 2 ك +... + أ أنا م ب م ك = أ i s ب s ك . (4.2)

بمعنى آخر، يتم تعريف عنصر المنتج AB على النحو التالي: عنصر الصف i والعمود k C يساوي مجموع منتجات عناصر الصف i A و العناصر المقابلة للعمود k-th B.

مثال 2.1. أوجد منتج AB و .

حل. لدينا: A مقاس 2x3، B مقاس 3x3، فالمنتج AB = C موجود وعناصر C متساوية

من 11 = 1×1 +2×2 + 1×3 = 8، من 21 = 3×1 + 1×2 + 0×3 = 5، من 12 = 1×2 + 2×0 + 1×5 = 7 ,

ق 22 = 3×2 + 1 × 0 + 0 × 5 = 6، ق 13 = 1 × 3 + 2 × 1 + 1 × 4 = 9، ق 23 = 3 × 3 + 1 × 1 + 0 × 4 = 10 .

، والمنتج BA غير موجود.

مثال 2.2. يوضح الجدول عدد وحدات المنتجات التي يتم شحنها يوميًا من مصنعي الألبان 1 و 2 إلى مخازن م 1 و م 2 و م 3، وتكلفة تسليم وحدة المنتج من كل ألبان إلى مخزن م 1 50 دنًا. الوحدات إلى متجر M 2 - 70 وإلى M 3 - 130 دن. وحدات حساب تكاليف النقل اليومية لكل مصنع.

حل. دعونا نشير بـ A إلى المصفوفة المعطاة لنا في الحالة، وبواسطة
ب - مصفوفة تميز تكلفة توصيل وحدة من المنتج إلى المخازن، أي:

,

ثم ستبدو مصفوفة تكلفة النقل كما يلي:

.

لذا فإن المصنع الأول ينفق 4750 دنير على النقل يومياً. الوحدات الثانية - 3680 وحدة نقدية.

مثال 2.3. تنتج شركة الخياطة معاطف شتوية ومعاطف موسمية ومعاطف مطر. ويتميز الناتج المخطط لعقد من الزمن بالمتجه X = (10، 15، 23). يتم استخدام أربعة أنواع من الأقمشة: T1، T2، T3، T4. ويوضح الجدول معدلات استهلاك القماش (بالأمتار) لكل منتج. المتجه C = (40، 35، 24، 16) يحدد تكلفة متر القماش من كل نوع، والمتجه P = (5، 3، 2، 2) يحدد تكلفة نقل متر القماش من كل نوع.

1. ما هو عدد الأمتار اللازمة من كل نوع من القماش لإكمال المخطط؟

2. أوجد تكلفة القماش الذي يتم إنفاقه على خياطة كل نوع من المنتجات.

3. تحديد تكلفة جميع الأقمشة اللازمة لإكمال الخطة.

حل. دعونا نشير بواسطة A إلى المصفوفة المعطاة لنا في الحالة، أي،

,

ثم للعثور على عدد أمتار القماش اللازمة لإكمال الخطة، تحتاج إلى ضرب المتجه X بالمصفوفة A:

نجد تكلفة القماش الذي يتم إنفاقه على منتجات الخياطة من كل نوع عن طريق ضرب المصفوفة A والمتجه C T:

.

سيتم تحديد تكلفة جميع الأقمشة اللازمة لإكمال الخطة من خلال الصيغة:

أخيرًا، مع الأخذ بعين الاعتبار تكاليف النقل، سيكون المبلغ بأكمله مساويًا لتكلفة القماش، أي 9472 دنًا. الوحدات، بالإضافة إلى القيمة

X أ ب ت =
.

لذا، X A C T + X A P T = 9472 + 1037 = 10509 (وحدات نقدية).

يُشار إلى المصفوفة بأحرف لاتينية كبيرة ( أ, في, مع،...).

التعريف 1. عرض الجدول المستطيل،

تتكون من مخطوط و نتسمى الأعمدة مصفوفة.

عنصر المصفوفة، i – رقم الصف، j – رقم العمود.

أنواع المصفوفات:

العناصر على القطر الرئيسي:

trA=أ 11 +أ 22 +أ 33 +…+أ ن .

§2. محددات الترتيب الثاني والثالث والرابع

دعونا نعطي مصفوفتين مربعتين:

التعريف 1. محدد مصفوفة الدرجة الثانية أ 1 هو رقم يُشار إليه بـ ∆ ويساوي ، أين

مثال. حساب محدد الدرجة الثانية:

التعريف 2. محدد الترتيب الثالث لمصفوفة مربعة أ 2 ويسمى عدد من النموذج:

هذه إحدى طرق حساب المحدد.

مثال. احسب

التعريف 3. إذا كان المحدد يتكون من صفوف n وأعمدة n، فإنه يسمى محددًا من الدرجة n.

خصائص المحددات:

لا يتغير المحدد عند النقل (أي إذا تم تبديل الصفوف والأعمدة فيه مع الحفاظ على الترتيب).

إذا قمت بتبديل أي صفين أو عمودين في المحدد، فإن المحدد سيغير الإشارة فقط.

يمكن أخذ العامل المشترك لأي صف (عمود) خارج علامة المحدد.

إذا كانت جميع عناصر أي صف (عمود) من المحدد تساوي الصفر، فإن المحدد يساوي الصفر.

يكون المحدد صفرًا إذا كانت عناصر أي صفين متساوية أو متناسبة.

لن يتغير المحدد إذا تمت إضافة العناصر المقابلة لصف (عمود) آخر إلى عناصر صف (عمود)، مضروبة في نفس الرقم.

مثال.

التعريف 4.يتم استدعاء المحدد الذي يتم الحصول عليه من محدد عن طريق شطب العمود والصف صغيرالعنصر المقابل. عنصر M ij .

التعريف 5. تكملة جبريةالعنصر a ij يسمى التعبير

§3. الإجراءات على المصفوفات

العمليات الخطية

1) عند إضافة المصفوفات يتم إضافة عناصرها التي تحمل نفس الاسم.

عند طرح المصفوفات، يتم طرح عناصرها التي تحمل نفس الاسم.

عند ضرب مصفوفة بعدد ما، يتم ضرب كل عنصر من عناصر المصفوفة بهذا الرقم:

3.2 ضرب المصفوفات.

عملالمصفوفات أإلى المصفوفة فيتوجد مصفوفة جديدة عناصرها تساوي مجموع منتجات عناصر الصف الأول من المصفوفة أإلى العناصر المقابلة للعمود j للمصفوفة في. منتج المصفوفة أإلى المصفوفة فيلا يمكن العثور عليها إلا إذا كان عدد أعمدة المصفوفة أيساوي عدد صفوف المصفوفة في.وإلا فإن العمل مستحيل.

تعليق:

(لا يطيع الخاصية التبادلية)

§ 4. المصفوفة العكسية

المصفوفة العكسية موجودة فقط للمصفوفة المربعة، ويجب أن تكون المصفوفة غير مفردة.

التعريف 1. المصفوفة أمُسَمًّى غير منحط، إذا كان محدد هذه المصفوفة لا يساوي الصفر

التعريف 2. أ-1 يسمى مصفوفة معكوسةلمصفوفة مربعة غير مفردة أ، إذا تم الحصول على مصفوفة الهوية عند ضرب هذه المصفوفة بالمصفوفة المعطاة، سواء على اليمين أو على اليسار.

خوارزمية لحساب المصفوفة العكسية

طريقة واحدة (باستخدام الإضافات الجبرية)

مثال 1:

السنة الأولى، الرياضيات العليا، دراسة المصفوفاتوالإجراءات الأساسية عليها. نحن هنا ننظم العمليات الأساسية التي يمكن إجراؤها باستخدام المصفوفات. من أين تبدأ التعرف على المصفوفات؟ بالطبع من أبسط الأشياء - التعاريف والمفاهيم الأساسية والعمليات البسيطة. نؤكد لك أن المصفوفات سوف يفهمها كل من يخصص لها القليل من الوقت على الأقل!

تعريف المصفوفة

مصفوفةهو جدول مستطيل من العناصر. حسنا، بعبارات بسيطة – جدول الأرقام.

عادة، يتم الإشارة إلى المصفوفات بأحرف لاتينية كبيرة. على سبيل المثال، مصفوفة أ ، مصفوفة ب وما إلى ذلك وهلم جرا. يمكن أن تكون المصفوفات بأحجام مختلفة: مستطيلة ومربعة، وهناك أيضًا مصفوفات صفوف وأعمدة تسمى المتجهات. يتم تحديد حجم المصفوفة من خلال عدد الصفوف والأعمدة. على سبيل المثال، لنكتب مصفوفة مستطيلة الحجم م على ن ، أين م - عدد الأسطر، و ن - عدد الأعمدة.

العناصر التي ط=ي (a11، a22، .. ) تشكل القطر الرئيسي للمصفوفة وتسمى قطري.

ماذا يمكنك أن تفعل بالمصفوفات؟ إضافة/طرح, اضرب برقم, تتكاثر فيما بينها, تبديل موضع. الآن عن كل هذه العمليات الأساسية على المصفوفات بالترتيب.

عمليات الجمع والطرح للمصفوفات

دعنا نحذرك على الفور أنه لا يمكنك سوى إضافة مصفوفات من نفس الحجم. وستكون النتيجة مصفوفة من نفس الحجم. إن إضافة (أو طرح) المصفوفات أمر بسيط - تحتاج فقط إلى إضافة العناصر المقابلة لها . دعونا نعطي مثالا. لنجري عملية جمع مصفوفتين A وB بحجم اثنين في اثنين.

يتم إجراء الطرح عن طريق القياس، فقط مع الإشارة المعاكسة.

يمكن ضرب أي مصفوفة برقم عشوائي. لفعل هذا، تحتاج إلى مضاعفة كل عنصر من عناصره بهذا الرقم. على سبيل المثال، لنضرب المصفوفة A من المثال الأول بالرقم 5:

عملية ضرب المصفوفة

لا يمكن ضرب كل المصفوفات معًا. على سبيل المثال، لدينا مصفوفتان - A وB. ويمكن ضربهما في بعضهما البعض فقط إذا كان عدد أعمدة المصفوفة A يساوي عدد صفوف المصفوفة B. في هذه الحالة سيكون كل عنصر من عناصر المصفوفة الناتجة، الموجود في الصف الأول والعمود j، مساويًا لمجموع منتجات العناصر المقابلة في الصف الأول من العامل الأول والعمود j من الثاني. لفهم هذه الخوارزمية، دعونا نكتب كيفية ضرب مصفوفتين مربعتين:

ومثال مع الأعداد الحقيقية. دعونا نضرب المصفوفات:

عملية تبديل المصفوفة

تبديل المصفوفة هو عملية يتم فيها تبديل الصفوف والأعمدة المقابلة. على سبيل المثال، لننقل المصفوفة A من المثال الأول:

محدد المصفوفة

المحدد أو المحدد هو أحد المفاهيم الأساسية للجبر الخطي. ذات مرة، توصل الناس إلى معادلات خطية، وبعدها كان عليهم أن يتوصلوا إلى محدد. في النهاية، الأمر متروك لك للتعامل مع كل هذا، لذا، الدفعة الأخيرة!

المحدد هو خاصية عددية للمصفوفة المربعة، وهي ضرورية لحل العديد من المسائل.
لحساب محدد أبسط مصفوفة مربعة، تحتاج إلى حساب الفرق بين منتجات عناصر الأقطار الرئيسية والثانوية.

محدد المصفوفة من الدرجة الأولى، أي التي تتكون من عنصر واحد، يساوي هذا العنصر.

ماذا لو كانت المصفوفة ثلاثة في ثلاثة؟ وهذا أكثر صعوبة، ولكن يمكنك التعامل معه.

بالنسبة لمثل هذه المصفوفة، تكون قيمة المحدد تساوي مجموع منتجات عناصر القطر الرئيسي ومنتجات العناصر الموجودة على المثلثات ذات الوجه الموازي للقطر الرئيسي، والتي منها منتج القطر الرئيسي يتم طرح عناصر القطر الثانوي وحاصل ضرب العناصر الموجودة على المثلثات ذات وجه القطر الثانوي الموازي.

لحسن الحظ، نادرا ما يكون من الضروري حساب محددات المصفوفات ذات الأحجام الكبيرة.

لقد نظرنا هنا إلى العمليات الأساسية على المصفوفات. بالطبع، في الحياة الواقعية، قد لا تواجه أبدًا حتى تلميحًا لنظام مصفوفة من المعادلات، أو على العكس من ذلك، قد تواجه حالات أكثر تعقيدًا عندما تضطر حقًا إلى إرهاق عقلك. في مثل هذه الحالات توجد خدمات طلابية محترفة. اطلب المساعدة، واحصل على حل مفصل وعالي الجودة، واستمتع بالنجاح الأكاديمي ووقت الفراغ.

في هذا الموضوع سوف نتناول مفهوم المصفوفة، وكذلك أنواع المصفوفات. نظرًا لوجود الكثير من المصطلحات في هذا الموضوع، سأضيف ملخصًا مختصرًا لتسهيل التنقل في المادة.

تعريف المصفوفة وعنصرها. الرموز.

مصفوفةعبارة عن جدول يتكون من صفوف $m$ وأعمدة $n$. يمكن أن تكون عناصر المصفوفة كائنات ذات طبيعة مختلفة تمامًا: أرقام أو متغيرات أو مصفوفات أخرى على سبيل المثال. على سبيل المثال، تحتوي المصفوفة $\left(\begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$ على 3 صفوف وعمودين؛ عناصرها هي الأعداد الصحيحة. المصفوفة $\left(\begin(array) (cccc) a & a^9+2 & 9 & \sin x \\ -9 & 3t^2-4 & u-t & 8\end(array) \right)$ يحتوي على صفين و4 أعمدة.

طرق مختلفة لكتابة المصفوفات: إظهار\إخفاء

يمكن كتابة المصفوفة ليس فقط في شكل دائري، ولكن أيضًا بين قوسين مربعين أو مزدوجين مستقيمين. أي أن الإدخالات أدناه تعني نفس المصفوفة:

$$ \left(\begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right);\;\; \left[ \begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right]; \;\; \left \Vert \begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right \Vert $$

يتم استدعاء المنتج $m\times n$ حجم المصفوفة. على سبيل المثال، إذا كانت المصفوفة تحتوي على 5 صفوف و3 أعمدة، فإننا نتحدث عن مصفوفة حجمها $5\×3$. المصفوفة $\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & ​​​​0\end(array)\right)$ لها حجم $3 \times 2$.

عادة، يتم الإشارة إلى المصفوفات بأحرف كبيرة من الأبجدية اللاتينية: $A$، $B$، $C$، وهكذا. على سبيل المثال، $B=\left(\begin(array) (ccc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$. يبدأ ترقيم الأسطر من أعلى إلى أسفل؛ الأعمدة - من اليسار إلى اليمين. على سبيل المثال، يحتوي الصف الأول من المصفوفة $B$ على العناصر 5 و3، ويحتوي العمود الثاني على العناصر 3، -87، 0.

عادة ما يتم الإشارة إلى عناصر المصفوفات بأحرف صغيرة. على سبيل المثال، يتم الإشارة إلى عناصر المصفوفة $A$ بالرمز $a_(ij)$. يحتوي الفهرس المزدوج $ij$ على معلومات حول موضع العنصر في المصفوفة. الرقم $i$ هو رقم الصف، والرقم $j$ هو رقم العمود، عند تقاطعه يوجد العنصر $a_(ij)$. على سبيل المثال، عند تقاطع الصف الثاني والعمود الخامس من المصفوفة $A=\left(\begin(array) (cccccc) 51 & 37 & -9 & 0 & 9 & 97 \\ 1 & 2 & 3 & 41 & 59 & 6 \\ -17 & -15 & -13 & -11 & -8 & -5 \\ 52 & 31 & -4 & -1 & 17 & 90 \end(array) \right)$ العنصر $a_(25)= 59 دولارًا:

وبنفس الطريقة، عند تقاطع الصف الأول والعمود الأول لدينا العنصر $a_(11)=51$; عند تقاطع الصف الثالث والعمود الثاني - العنصر $a_(32)=-15$ وهكذا. لاحظ أن الإدخال $a_(32)$ يقرأ "a ثلاثة اثنان"، وليس "اثنان وثلاثون".

لاختصار المصفوفة $A$، التي يكون حجمها $m\times n$، يتم استخدام الترميز $A_(m\times n)$. يمكنك كتابتها بمزيد من التفاصيل:

$$ A_(m\times n)=(a_(ij)) $$

حيث تشير العلامة $(a_(ij))$ إلى عناصر المصفوفة $A$. في صورتها الموسعة بالكامل، يمكن كتابة المصفوفة $A_(m\times n)=(a_(ij))$ كما يلي:

$$ A_(m\times n)=\left(\begin(array)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(m1) & a_(m2) & \ldots & a_(mn) \end(array) \right) $$

دعونا نقدم مصطلح آخر - مصفوفات متساوية.

يتم استدعاء مصفوفتين من نفس الحجم $A_(m\times n)=(a_(ij))$ و $B_(m\times n)=(b_(ij))$ متساوي، إذا كانت العناصر المتناظرة متساوية، أي. $a_(ij)=b_(ij)$ للجميع $i=\overline(1,m)$ و $j=\overline(1,n)$.

شرح للمدخل $i=\overline(1,m)$: show\hide

الترميز "$i=\overline(1,m)$" يعني أن المعلمة $i$ تختلف من 1 إلى m. على سبيل المثال، تشير العلامة $i=\overline(1,5)$ إلى أن المعلمة $i$ تأخذ القيم 1، 2، 3، 4، 5.

لذا، لكي تكون المصفوفات متساوية، يجب توافر شرطين: تطابق الأحجام، وتساوي العناصر المتناظرة. على سبيل المثال، المصفوفة $A=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & ​​​​0\end(array)\right)$ لا تساوي المصفوفة $B=\left(\ begin(array)(cc) 8 & -9\\0 & -87 \end(array)\right)$ لأن المصفوفة $A$ لها حجم $3\times 2$ والمصفوفة $B$ حجمه $2\times $2. كما أن المصفوفة $A$ لا تساوي المصفوفة $C=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\98 & -87\\8 & ​​​​0\end(array)\right)$ ، منذ $a_( 21)\neq c_(21)$ (أي $0\neq 98$). لكن بالنسبة للمصفوفة $F=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & ​​​​0\end(array)\right)$ يمكننا كتابة $A= بأمان F$ لأن كلا من الأحجام والعناصر المقابلة للمصفوفات $A$ و$F$ متطابقة.

المثال رقم 1

تحديد حجم المصفوفة $A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \\ -6 & 8 & 23 \\ 11 & -12 & -5 \ \4 & 0 & -10 \\ \end(array) \right)$. وضح ما تساويه العناصر $a_(12)$، $a_(33)$، $a_(43)$.

تحتوي هذه المصفوفة على 5 صفوف و3 أعمدة، لذا فإن حجمها هو $5\×3$. يمكنك أيضًا استخدام الرمز $A_(5\times 3)$ لهذه المصفوفة.

العنصر $a_(12)$ يقع عند تقاطع الصف الأول والعمود الثاني، لذا $a_(12)=-2$. العنصر $a_(33)$ يقع عند تقاطع الصف الثالث والعمود الثالث، لذا فإن $a_(33)=23$. العنصر $a_(43)$ يقع عند تقاطع الصف الرابع والعمود الثالث، لذا $a_(43)=-5$.

إجابة: $a_(12)=-2$، $a_(33)=23$، $a_(43)=-5$.

أنواع المصفوفات حسب حجمها. الأقطار الرئيسية والثانوية. تتبع المصفوفة.

دع مصفوفة معينة $A_(m\times n)$ تعطى. إذا كان $m=1$ (تتكون المصفوفة من صف واحد)، فسيتم استدعاء المصفوفة المحددة صف المصفوفة. إذا كان $n=1$ (تتكون المصفوفة من عمود واحد)، فسيتم استدعاء هذه المصفوفة عمود المصفوفة. على سبيل المثال، $\left(\begin(array) (ccccc) -1 & -2 & 0 & -9 & 8 \end(array) \right)$ هي مصفوفة صف، و $\left(\begin(array ) (c) -1 \\ 5 \\ 6 \end(array) \right)$ هي مصفوفة أعمدة.

إذا كانت المصفوفة $A_(m\times n)$ تحقق الشرط $m\neq n$ (أي أن عدد الصفوف لا يساوي عدد الأعمدة)، فغالبًا ما يقال أن $A$ عبارة عن مصفوفة مستطيلة مصفوفة. على سبيل المثال، المصفوفة $\left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 0 & 9 \\ 5 & 9 & 5 & 1 \end(array) \right)$ لها حجم $2\times 4 $، هؤلاء. يحتوي على صفين و4 أعمدة. وبما أن عدد الصفوف لا يساوي عدد الأعمدة، فإن هذه المصفوفة مستطيلة الشكل.

إذا كانت المصفوفة $A_(m\times n)$ تستوفي الشرط $m=n$ (أي أن عدد الصفوف يساوي عدد الأعمدة)، فيقال إن $A$ عبارة عن مصفوفة مربعة من الرتبة $ ن $. على سبيل المثال، $\left(\begin(array) (cc) -1 & -2 \\ 5 & 9 \end(array) \right)$ هي مصفوفة مربعة من الدرجة الثانية؛ $\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 9 \\ 5 & 9 & 8 \\ 1 & 0 & 4 \end(array) \right)$ هي مصفوفة مربعة من الدرجة الثالثة. بشكل عام، يمكن كتابة المصفوفة المربعة $A_(n\times n)$ كما يلي:

$$ A_(n\times n)=\left(\begin(array)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(n1) & a_(n2) & \ldots & a_(nn) \end(array) \right) $$

يقال أن العناصر $a_(11)$، $a_(22)$، $\ldots$، $a_(nn)$ موجودة قطري الرئيسيالمصفوفات $A_(n\times n)$. تسمى هذه العناصر العناصر القطرية الرئيسية(أو مجرد عناصر قطرية). العناصر $a_(1n)$، $a_(2 \; n-1)$، $\ldots$، $a_(n1)$ موجودة الجانب (الصغرى) قطري; يطلق عليهم عناصر قطرية جانبية. على سبيل المثال، بالنسبة للمصفوفة $C=\left(\begin(array)(cccc)2&-2&9&1\\5&9&8& 0\\1& 0 & 4 & -7 \\ -4 & -9 & 5 & 6\end( array) \right)$ لدينا:

العناصر $c_(11)=2$، $c_(22)=9$، $c_(33)=4$، $c_(44)=6$ هي العناصر القطرية الرئيسية؛ العناصر $c_(14)=1$، $c_(23)=8$، $c_(32)=0$، $c_(41)=-4$ هي عناصر قطرية جانبية.

يسمى مجموع العناصر القطرية الرئيسية تليها المصفوفةويشار إليه بـ $\Tr A$ (أو $\Sp A$):

$$ \Tr A=a_(11)+a_(22)+\ldots+a_(nn) $$

على سبيل المثال، بالنسبة للمصفوفة $C=\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1\\5 & 9 & 8 & 0\\1 & 0 & 4 & -7\\- 4 & -9 & 5 & 6 \end(array)\right)$ لدينا:

$$ \Tr C=2+9+4+6=21. $$

يُستخدم مفهوم العناصر القطرية أيضًا في المصفوفات غير المربعة. على سبيل المثال، بالنسبة للمصفوفة $B=\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 & 7 \\ 5 & -9 & 8 & 0 & -6 \\ 1 & 0 & 4 & - 7 & -6 \end(array) \right)$ ستكون العناصر القطرية الرئيسية هي $b_(11)=2$، $b_(22)=-9$، $b_(33)=4$.

أنواع المصفوفات حسب قيم عناصرها.

إذا كانت جميع عناصر المصفوفة $A_(m\times n)$ تساوي الصفر، فإن هذه المصفوفة تسمى باطلوعادةً ما يُشار إليه بالحرف $O$. على سبيل المثال، $\left(\begin(array) (cc) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end(array) \right)$, $\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ - صفر مصفوفات.

اجعل المصفوفة $A_(m\times n)$ بالشكل التالي:

ثم يتم استدعاء هذه المصفوفة شبه منحرف. قد لا تحتوي على صفوف صفرية، ولكن إذا كانت موجودة، فهي تقع في أسفل المصفوفة. وبشكل أكثر عمومية، يمكن كتابة المصفوفة شبه المنحرفة على النحو التالي:

مرة أخرى، الأسطر الفارغة الزائدة غير مطلوبة. أولئك. رسميًا، يمكننا التمييز بين الشروط التالية للمصفوفة شبه المنحرفة:

1. جميع العناصر الموجودة أسفل القطر الرئيسي هي صفر.
2. جميع العناصر من $a_(11)$ إلى $a_(rr)$ الواقعة على القطر الرئيسي لا تساوي الصفر: $a_(11)\neq 0, \; أ_(22)\neq 0، \ldots، a_(rr)\neq 0$.
3. إما أن تكون جميع عناصر الصفوف $m-r$ الأخيرة صفرًا، أو $m=r$ (أي لا توجد صفوف صفرية على الإطلاق).

أمثلة على المصفوفات شبه المنحرفة:

دعنا ننتقل إلى التعريف التالي. يتم استدعاء المصفوفة $A_(m\times n)$ صعدت، إذا كانت مستوفية للشروط التالية:

على سبيل المثال، المصفوفات الخطوة ستكون:

للمقارنة، المصفوفة $\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 0 & 1\\0 & 0 & 8 & 7\\0 & 0 & 4 & -7\\0 & 0 & 0 & 0 \end(array)\right)$ ليس في المستوى لأن الصف الثالث يحتوي على نفس الجزء الصفري الموجود في الصف الثاني. أي أنه يتم انتهاك مبدأ "كلما انخفض الخط، كلما زاد الجزء الصفري". سأضيف أن المصفوفة شبه المنحرفة هي حالة خاصة للمصفوفة المتدرجة.

دعنا ننتقل إلى التعريف التالي. إذا كانت جميع عناصر المصفوفة المربعة الموجودة تحت القطر الرئيسي تساوي الصفر، فسيتم استدعاء هذه المصفوفة المصفوفة الثلاثية العليا. على سبيل المثال، $\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end(array) \right)$ هي مصفوفة مثلثية عليا. لاحظ أن تعريف المصفوفة المثلثية العليا لا يذكر شيئًا عن قيم العناصر الموجودة فوق القطر الرئيسي أو على القطر الرئيسي. يمكن أن تكون صفرًا أم لا - لا يهم. على سبيل المثال، $\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 9 \\ 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ هي أيضًا مصفوفة مثلثية عليا.

إذا كانت جميع عناصر المصفوفة المربعة الموجودة فوق القطر الرئيسي تساوي الصفر، فسيتم استدعاء هذه المصفوفة مصفوفة مثلثية سفلية. على سبيل المثال، $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 1 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 6 \ end(array) \right)$ - المصفوفة المثلثية السفلية. لاحظ أن تعريف المصفوفة المثلثية السفلية لا يذكر شيئًا عن قيم العناصر الموجودة أسفل أو على القطر الرئيسي. قد تكون صفرًا أم لا - لا يهم. على سبيل المثال، $\left(\begin(array) (ccc) -5 & 0 & 0 \\ 0 & 0\\ 0 & 0 & 9 \end(array) \right)$ و$\left(\ begin (array) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ هي أيضًا مصفوفات مثلثية أقل.

تسمى المصفوفة المربعة قطريإذا كانت جميع عناصر هذه المصفوفة التي لا تقع على القطر الرئيسي تساوي صفرًا. مثال: $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \ النهاية(صفيف)\يمين)$. يمكن أن تكون العناصر الموجودة على القطر الرئيسي أي شيء (يساوي صفرًا أم لا) - لا يهم.

تسمى المصفوفة القطرية أعزب، إذا كانت جميع عناصر هذه المصفوفة الموجودة على القطر الرئيسي تساوي 1. على سبيل المثال، $\left(\begin(array) (cccc) 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(array)\right)$ - مصفوفة هوية من الدرجة الرابعة؛ $\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array)\right)$ هي مصفوفة هوية من الدرجة الثانية.