مثال التباين. توقع وجود متغير عشوائي منفصل

التوقع الرياضي (القيمة المتوسطة) للمتغير العشوائي X المعطى على مساحة احتمالية منفصلة هو الرقم m =M[X]=∑x i p i إذا كانت المتسلسلة متقاربة تمامًا.

الغرض من الخدمة. استخدام الخدمة عبر الإنترنت ويتم حساب التوقع الرياضي والتباين والانحراف المعياري(انظر المثال). بالإضافة إلى ذلك، يتم رسم رسم بياني لوظيفة التوزيع F(X).

خصائص التوقع الرياضي للمتغير العشوائي

1. التوقع الرياضي لقيمة ثابتة يساوي نفسه: M[C]=C, C – ثابت؛
2. م = ج م [X]
3. التوقع الرياضي لمجموع المتغيرات العشوائية يساوي مجموع توقعاتها الرياضية: M=M[X]+M[Y]
4. التوقع الرياضي لمنتج المتغيرات العشوائية المستقلة يساوي منتج توقعاتها الرياضية: M=M[X] M[Y] إذا كان X و Y مستقلين.

خصائص التشتت

1. تباين القيمة الثابتة هو صفر: D(c)=0.
2. يمكن إخراج العامل الثابت من تحت علامة التشتت بتربيعه: D(k*X)= k 2 D(X).
3. إذا كان المتغيران العشوائيان X وY مستقلين، فإن تباين المجموع يساوي مجموع التباينات: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
4. إذا كانت المتغيرات العشوائية X وY تابعة: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
5. الصيغة الحسابية التالية صالحة للتشتت:
   د(X)=م(X 2)-(M(X)) 2

مثال. التوقعات والتباينات الرياضية لمتغيرين عشوائيين مستقلين X و Y معروفة: M(x)=8، M(Y)=7، D(X)=9، D(Y)=6. أوجد التوقع الرياضي والتباين للمتغير العشوائي Z=9X-8Y+7.
حل. بناءً على خصائص التوقع الرياضي: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23 .
بناءً على خصائص التشتت: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 - 64*6 = 345

خوارزمية لحساب التوقع الرياضي

1. نقوم بضرب الأزواج واحدًا تلو الآخر: x i بواسطة p i .
2. أضف منتج كل زوج x i p i .
   على سبيل المثال، بالنسبة لـ n = 4: m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4

المثال رقم 1.

المثال رقم 2. يحتوي المتغير العشوائي المنفصل على سلسلة التوزيع التالية:

حل. تم العثور على قيمة a من العلاقة: Σp i = 1
Σp ط = أ + 0.32 + 2 أ + 0.41 + 0.03 = 0.76 + 3 أ = 1
0.76 + 3 أ = 1 أو 0.24=3 أ ، من حيث أ = 0.08

المثال رقم 3. حدد قانون توزيع المتغير العشوائي المتقطع إذا كان تباينه معروفا، و x 1 × 1 =6؛ × 2 =9؛ س 3 = س؛ × 4 = 15
ع 1 =0.3؛ ص 2 =0.3؛ ع 3 =0.1؛ ع 4 =0.3
د(س)=12.96

حل.
هنا تحتاج إلى إنشاء صيغة للعثور على التباين d(x):
د(س) = س 1 2 ص 1 + س 2 2 ص 2 + س 3 2 ص 3 + س 4 2 ص 4 -م(س) 2
حيث التوقع m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
لبياناتنا
م(س)=6*0.3+9*0.3+x 3 *0.1+15*0.3=9+0.1x 3
12.96 = 6 2 0.3+9 2 0.3+x 3 2 0.1+15 2 0.3-(9+0.1x 3) 2
أو -9/100 (× 2 -20×+96)=0
وبناء على ذلك، علينا إيجاد جذور المعادلة، وسيكون هناك اثنان منها.
× 3 = 8، × 3 = 12
اختر ما يناسب الشرط ×1 × 3 = 12

قانون التوزيع للمتغير العشوائي المنفصل
× 1 =6؛ × 2 =9؛ × 3 = 12؛ × 4 = 15
ع 1 =0.3؛ ص 2 =0.3؛ ع 3 =0.1؛ ع 4 =0.3

المؤشرات العامة الرئيسية للتباين في الإحصائيات هي التشتت والانحرافات المعيارية.

تشتت هذا المتوسط ​​الحسابي الانحرافات التربيعية لكل قيمة مميزة عن المتوسط ​​العام. ويسمى التباين عادة بمتوسط ​​مربع الانحرافات ويرمز له بالرمز  2. اعتماداً على البيانات المصدرية، يمكن حساب التباين باستخدام الوسط الحسابي البسيط أو المرجح:

 التباين غير المرجح (البسيط)؛

 التباين المرجح.

الانحراف المعياري هذه خاصية عامة للأحجام المطلقة الاختلافات علامات في المجموع. ويتم التعبير عنها بنفس وحدات القياس مثل السمة (بالأمتار، الأطنان، النسبة المئوية، الهكتار، وما إلى ذلك).

الانحراف المعياري هو الجذر التربيعي للتباين ويرمز له بالرمز :

 الانحراف المعياري غير الموزون؛

 الانحراف المعياري المرجح.

الانحراف المعياري هو مقياس لموثوقية المتوسط. كلما كان الانحراف المعياري أصغر، كلما كان المتوسط ​​الحسابي يعكس إجمالي السكان الممثلين بشكل أفضل.

حساب الانحراف المعياري يسبقه حساب التباين.

يكون الإجراء الخاص بحساب التباين الموزون كما يلي:

1) تحديد الوسط الحسابي المرجح:

2) حساب انحرافات الخيارات عن المتوسط:

3) قم بتربيع انحراف كل خيار عن المتوسط:

4) اضرب مربعات الانحرافات بالأوزان (التكرارات):

5) تلخيص المنتجات الناتجة:

6) يتم تقسيم المبلغ الناتج على مجموع الأوزان:

مثال 2.1

دعونا نحسب الوسط الحسابي المرجح:

يتم عرض قيم الانحرافات عن الوسط ومربعاتها في الجدول. دعونا نحدد التباين:

الانحراف المعياري سيكون مساوياً لـ:

إذا تم تقديم البيانات المصدر في شكل فاصل زمني سلسلة التوزيع ، فأنت بحاجة أولاً إلى تحديد القيمة المنفصلة للسمة، ثم تطبيق الطريقة الموضحة.

مثال 2.2

دعونا نعرض حساب التباين لسلسلة فاصلة باستخدام بيانات حول توزيع المساحة المزروعة في المزرعة الجماعية حسب إنتاجية القمح.

الوسط الحسابي هو:

دعونا نحسب التباين:

6.3. حساب التباين باستخدام صيغة تعتمد على البيانات الفردية

تقنية الحساب الفروق معقدة، ومع وجود قيم كبيرة من الخيارات والترددات يمكن أن تكون مرهقة. يمكن تبسيط الحسابات باستخدام خصائص التشتت.

التشتت لديه الخصائص التالية.

1. إن تقليل أو زيادة الأوزان (الترددات) ذات الخاصية المتغيرة بعدد معين من المرات لا يغير من التشتت.

2. إنقاص أو زيادة كل قيمة للخاصية بنفس المقدار الثابت ألا يغير التشتت.

3. إنقاص أو زيادة كل قيمة للصفة بعدد معين من المرات كعلى التوالي يقلل أو يزيد التباين في ك 2 مرات الانحراف المعياري  في كمرة واحدة.

4. يكون تشتت الخاصية بالنسبة إلى القيمة التعسفية دائمًا أكبر من التشتت بالنسبة إلى المتوسط ​​الحسابي لكل مربع للفرق بين القيم المتوسطة والقيم التعسفية:

لو أ= 0 فنصل إلى المساواة التالية:

أي أن تباين الخاصية يساوي الفرق بين مربع متوسط ​​قيم الخصائص ومربع الوسط.

يمكن استخدام كل خاصية بشكل مستقل أو بالاشتراك مع خصائص أخرى عند حساب التباين.

إجراء حساب التباين بسيط:

1) تحديد المتوسط ​​الحسابي :

2) تربيع الوسط الحسابي :

3) مربع انحراف كل متغير من السلسلة:

X أنا 2 .

4) أوجد مجموع مربعات الخيارات:

5) اقسم مجموع مربعات الخيارات على عددها، أي حدد المربع المتوسط:

6) حدد الفرق بين مربع متوسط ​​الخاصية ومربع المتوسط:

مثال 3.1تتوفر البيانات التالية عن إنتاجية العمال:

لنقم بالحسابات التالية:

دعونا نحسب فيآنسةاكسلتباين العينة والانحراف المعياري. وسنقوم أيضًا بحساب تباين المتغير العشوائي إذا كان توزيعه معروفًا.

دعونا نفكر أولا تشتت، ثم الانحراف المعياري.

تباين العينة

تباين العينة (تباين العينة,عينةالتباين) يميز انتشار القيم في المصفوفة بالنسبة إلى .

جميع الصيغ الثلاث متكافئة رياضيا.

ومن الصيغة الأولى يتضح ذلك تباين العينةهو مجموع الانحرافات التربيعية لكل قيمة في المصفوفة من المتوسطمقسومًا على حجم العينة ناقص 1.

الفروق عيناتيتم استخدام الدالة DISP() باللغة الإنجليزية. الاسم VAR، أي. التباين. من الإصدار MS EXCEL 2010، يوصى باستخدام DISP.V() التناظري، باللغة الإنجليزية. اسم VARS، أي. نموذج التباين. بالإضافة إلى ذلك، بدءًا من إصدار MS EXCEL 2010، توجد وظيفة DISP.Г() باللغة الإنجليزية. اسم VARP، أي. التباين السكاني، الذي يحسب تشتتل سكان. يعود الاختلاف بالكامل إلى المقام: بدلاً من n-1 مثل DISP.V()، يحتوي DISP.G() على n فقط في المقام. قبل MS EXCEL 2010، تم استخدام الدالة VAR() لحساب تباين المحتوى.

تباين العينة
=QUADROTCL(عينة)/(COUNT(عينة)-1)
=(SUM(عينة)-COUNT(عينة)*المتوسط(عينة)^2)/ (COUNT(عينة)-1)- الصيغة المعتادة
=SUM((العينة -المتوسط(العينة))^2)/ (COUNT(العينة)-1) –

تباين العينةيساوي 0، فقط إذا كانت جميع القيم متساوية مع بعضها البعض، وبالتالي متساوية متوسط ​​القيمة. عادة، كلما كانت القيمة أكبر الفروقكلما زاد انتشار القيم في المصفوفة.

تباين العينةهو تقدير نقطة الفروقتوزيع المتغير العشوائي الذي تم تكوينه منه عينة. حول البناء فترات الثقةعند التقييم الفروقيمكن قراءتها في المقال.

تباين متغير عشوائي

لكي يحسب تشتتالمتغير العشوائي، عليك أن تعرفه.

ل الفروقغالبًا ما يُشار إلى المتغير العشوائي X بـ Var(X). تشتتيساوي مربع الانحراف عن المتوسط ​​E(X): Var(X)=E[(X-E(X)) 2 ]

تشتتتحسب بواسطة الصيغة:

حيث x i هي القيمة التي يمكن أن يأخذها المتغير العشوائي، و μ هي القيمة المتوسطة ()، و p(x) هو احتمال أن يأخذ المتغير العشوائي القيمة x.

إذا كان المتغير العشوائي يحتوي على تشتتتحسب بواسطة الصيغة:

البعد الفروقيتوافق مع مربع وحدة قياس القيم الأصلية. على سبيل المثال، إذا كانت القيم في العينة تمثل قياسات الوزن الجزئي (بالكجم)، فإن بعد التباين سيكون كجم 2 . قد يكون من الصعب تفسير ذلك، لذا لوصف انتشار القيم، قيمة تساوي الجذر التربيعي لـ الفروق – الانحراف المعياري.

بعض الخصائص الفروق:

Var(X+a)=Var(X)، حيث X متغير عشوائي وa ثابت.

فار(aХ)=أ 2 فار(X)

فار(X)=E[(X-E(X)) 2 ]=E=E(X 2)-E(2*X*E(X))+(E(X)) 2 =E(X 2)- 2*E(X)*E(X)+(E(X)) 2 =E(X 2)-(E(X)) 2

يتم استخدام خاصية التشتت هذه في مقالة عن الانحدار الخطي.

Var(X+Y)=Var(X) + Var(Y) + 2*Cov(X;Y)، حيث X وY متغيران عشوائيان، Cov(X;Y) هو التباين المشترك لهذه المتغيرات العشوائية.

إذا كانت المتغيرات العشوائية مستقلة فإنها التغايريساوي 0، وبالتالي Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y). يتم استخدام خاصية التشتت هذه في الاشتقاق.

دعونا نبين أنه بالنسبة للكميات المستقلة Var(X-Y)=Var(X+Y). في الواقع، Var(X-Y)= Var(X-Y)= Var(X+(-Y))= Var(X)+Var(-Y)= Var(X)+Var(-Y)= Var(X)+(- 1) 2 فار(Y)= فار(X)+فار(Y)= فار(X+Y). يتم استخدام خاصية التشتت هذه في البناء.

الانحراف المعياري للعينة

الانحراف المعياري للعينةهو مقياس لمدى انتشار القيم في العينة بالنسبة إلى قيمها.

أ-بريوري، الانحراف المعيارييساوي الجذر التربيعي ل الفروق:

الانحراف المعياريلا يأخذ في الاعتبار حجم القيم الموجودة فيه عينةولكن فقط درجة تشتت القيم حولهم متوسط. لتوضيح ذلك، دعونا نعطي مثالا.

دعونا نحسب الانحراف المعياري لعينتين: (1؛ 5؛ 9) و (1001؛ 1005؛ 1009). في كلتا الحالتين، ق = 4. ومن الواضح أن نسبة الانحراف المعياري إلى قيم المصفوفة تختلف بشكل كبير بين العينات. لمثل هذه الحالات يتم استخدامه معامل الاختلاف(معامل التباين، السيرة الذاتية) - النسبة الانحراف المعياريإلى المتوسط علم الحساب، معبرا عنها كنسبة مئوية.

في MS EXCEL 2007 والإصدارات السابقة للحساب الانحراف المعياري للعينةيتم استخدام الدالة =STDEVAL() باللغة الإنجليزية. اسم STDEV، أي. الانحراف المعياري. من إصدار MS EXCEL 2010، يوصى باستخدام نظيره =STDEV.B() باللغة الإنجليزية. اسم STDEV.S، أي. الانحراف المعياري للعينة.

بالإضافة إلى ذلك، بدءًا من إصدار MS EXCEL 2010، توجد وظيفة STANDARDEV.G() باللغة الإنجليزية. اسم STDEV.P، أي. السكان DEViation القياسي، الذي يحسب الانحراف المعياريل سكان. يعود الاختلاف بالكامل إلى المقام: بدلاً من n-1 كما في STANDARDEV.V()، يحتوي STANDARDEVAL.G() على n فقط في المقام.

الانحراف المعيارييمكن أيضًا حسابه مباشرةً باستخدام الصيغ أدناه (انظر ملف المثال)
=ROOT(QUADROTCL(عينة)/(COUNT(عينة)-1))
=ROOT((SUM(Sample)-COUNT(Sample)*AVERAGE(Sample)^2)/(COUNT(Sample)-1))

تدابير أخرى للتشتت

تقوم الدالة SQUADROTCL () بالحساب باستخدام مجموع الانحرافات التربيعية للقيم منها متوسط. ستُرجع هذه الدالة نفس النتيجة مثل الصيغة =DISP.G( عينة)*يفحص( عينة) ، أين عينة- إشارة إلى نطاق يحتوي على مجموعة من قيم العينة (). يتم إجراء الحسابات في الدالة QUADROCL() وفقًا للصيغة:

تعتبر الدالة SROTCL() أيضًا مقياسًا لانتشار مجموعة البيانات. تقوم الدالة SROTCL () بحساب متوسط ​​القيم المطلقة لانحرافات القيم عنها متوسط. ستعيد هذه الوظيفة نفس نتيجة الصيغة =SUMPRODUCT(ABS(عينة-متوسط(عينة)))/COUNT(عينة)، أين عينة- رابط لنطاق يحتوي على مجموعة من قيم العينة.

يتم إجراء الحسابات في الدالة SROTCL () وفقًا للصيغة:

تصف هذه الصفحة مثالًا قياسيًا لإيجاد التباين، ويمكنك أيضًا الاطلاع على المشكلات الأخرى للعثور عليه

مثال 1. تحديد المجموعة ومتوسط ​​المجموعة والتباين الكلي والمجموع

مثال 2. إيجاد التباين ومعامل التباين في جدول التجميع

مثال 3. إيجاد التباين في سلسلة منفصلة

مثال 4. البيانات التالية متاحة لمجموعة مكونة من 20 طالبًا بالمراسلة. من الضروري بناء سلسلة فاصلة لتوزيع الخاصية وحساب متوسط ​​قيمة الخاصية ودراسة تشتتها

دعونا نبني تجميع الفاصل الزمني. دعونا نحدد نطاق الفاصل الزمني باستخدام الصيغة:

حيث X max هي القيمة القصوى لخاصية التجميع؛
X دقيقة - الحد الأدنى لقيمة خاصية التجميع؛
ن – عدد الفواصل الزمنية:

نحن نقبل ن = 5. الخطوة هي: ح = (192 - 159)/ 5 = 6.6

لنقم بإنشاء تجميع بفواصل زمنية

لمزيد من الحسابات، سنقوم ببناء جدول مساعد:

X"i – منتصف الفاصل الزمني. (على سبيل المثال، منتصف الفاصل الزمني 159 – 165.6 = 162.3)

نحدد متوسط ​​طول الطلاب باستخدام صيغة المتوسط ​​الحسابي المرجح:

دعونا نحدد التباين باستخدام الصيغة:

يمكن تحويل الصيغة على النحو التالي:

من هذه الصيغة يتبع ذلك التباين يساوي الفرق بين متوسط ​​مربعات الخيارات والمربع والمتوسط.

التشتت في سلسلة الاختلافمع فترات متساوية باستخدام طريقة اللحظات يمكن حسابها بالطريقة التالية باستخدام خاصية التشتت الثانية (تقسيم جميع الخيارات على قيمة الفاصل الزمني). تحديد التباين، يتم حسابها باستخدام طريقة اللحظات، باستخدام الصيغة التالية أقل شاقة:

حيث i هي قيمة الفاصل الزمني؛
A هو صفر تقليدي، وهو مناسب لاستخدام منتصف الفاصل الزمني بأعلى تردد؛
m1 هو مربع لحظة الترتيب الأول؛
م2 - لحظة الدرجة الثانية

تباين السمات البديلة (إذا كانت هناك تغيرات مميزة في مجتمع إحصائي بحيث لا يوجد سوى خيارين متبادلين فقط، فإن هذا التباين يسمى البديل) يمكن حسابه باستخدام الصيغة:

بالتعويض q = 1- p في صيغة التشتت هذه نحصل على:

أنواع التباين

التباين الكلييقيس تباين الخاصية بين جميع السكان ككل تحت تأثير جميع العوامل التي تسبب هذا التباين. وهو يساوي متوسط ​​مربع انحرافات القيم الفردية للخاصية x عن القيمة المتوسطة الإجمالية لـ x ويمكن تعريفه على أنه تباين بسيط أو تباين مرجح.

التباين داخل المجموعة يميز الاختلاف العشوائي، أي. جزء من التباين الناتج عن تأثير عوامل غير محسوبة ولا يعتمد على سمة العامل التي تشكل أساس المجموعة. مثل هذا التشتت يساوي متوسط ​​مربع انحرافات القيم الفردية للسمة داخل المجموعة X عن الوسط الحسابي للمجموعة ويمكن حسابه على أنه تشتت بسيط أو تشتت مرجح.

هكذا، مقاييس التباين داخل المجموعةتباين السمة داخل المجموعة ويتم تحديده بواسطة الصيغة:

حيث xi هو متوسط ​​المجموعة؛
ni هو عدد الوحدات في المجموعة.

على سبيل المثال، تظهر التباينات داخل المجموعة التي يجب تحديدها في مهمة دراسة تأثير مؤهلات العمال على مستوى إنتاجية العمل في ورشة العمل اختلافات في الإنتاج في كل مجموعة ناجمة عن جميع العوامل المحتملة (الحالة الفنية للمعدات، وتوافر المعدات). الأدوات والمواد، عمر العمال، كثافة اليد العاملة، وما إلى ذلك.)، باستثناء الاختلافات في فئة المؤهلات (داخل المجموعة، جميع العمال لديهم نفس المؤهلات).

حيث σ 2 j هو التباين داخل المجموعة j.

بالنسبة للبيانات غير المجمعة التباين المتبقي- قياس دقة التقريب، أي تقريب خط الانحدار للبيانات الأصلية:
حيث y(t) - التنبؤ وفقًا لمعادلة الاتجاه؛ y t – سلسلة الديناميكيات الأولية؛ ن - عدد النقاط؛ ع – عدد معاملات معادلة الانحدار (عدد المتغيرات التوضيحية).
في هذا المثال يطلق عليه مقدر التباين غير المتحيز.

المثال رقم 1. يتميز توزيع العاملين في ثلاث مؤسسات تابعة لجمعية واحدة حسب فئات التعريفة بالبيانات التالية:

يُعرِّف:
1. التباين لكل مؤسسة (التباينات داخل المجموعة)؛
2. متوسط ​​التباينات داخل المجموعة.
3. التشتت بين المجموعات.
4. التباين الكلي.

حل.
قبل البدء في حل المشكلة، من الضروري معرفة أي ميزة فعالة وأيها عاملية. في المثال قيد النظر، السمة الناتجة هي "فئة التعريفة"، وسمة العامل هي "رقم (اسم) المؤسسة".
ثم لدينا ثلاث مجموعات (المؤسسات)، والتي من الضروري حساب متوسط ​​المجموعة والتباينات داخل المجموعة:

عند حل المشكلات العملية، غالبًا ما يتعين على المرء التعامل مع ميزة تأخذ قيمتين بديلتين فقط. في هذه الحالة، نحن لا نتحدث عن وزن قيمة معينة لميزة ما، ولكن عن حصتها في المجموع. إذا تمت الإشارة إلى نسبة الوحدات السكانية التي تمتلك الخاصية محل الدراسة بالرمز " ر"، والذين لا يملكون - من خلال" س"، فيمكن حساب التباين باستخدام الصيغة:
ق 2 = ع×ف

المثال رقم 2. استنادًا إلى بيانات الإنتاج لستة عمال في فريق، حدد التباين بين المجموعات وقم بتقييم تأثير نوبة العمل على إنتاجية العمل إذا كان إجمالي التباين 12.2.

حل. البيانات الأولية

المثال رقم 3. بناءً على بيانات متوسط ​​الأجور ومربعات الانحرافات عن قيمتها لمجموعتين من العمال، أوجد التباين الإجمالي بتطبيق قاعدة إضافة التباينات: