الاهتزازات التوافقية. البندول الرياضي: الدورة والتسارع والصيغ

(خط العرض. السعة- الحجم) هو أكبر انحراف لجسم مهتز عن موضع توازنه.

بالنسبة للبندول، هذه هي المسافة القصوى التي تتحركها الكرة بعيدًا عن موضع توازنها (الشكل أدناه). بالنسبة للتذبذبات ذات السعات الصغيرة، يمكن اعتبار هذه المسافة بمثابة طول القوس 01 أو 02، وأطوال هذه الأجزاء.

يتم قياس سعة التذبذبات بوحدات الطول - الأمتار، السنتيمترات، وما إلى ذلك. في الرسم البياني للتذبذبات، يتم تعريف السعة على أنها الحد الأقصى (المعياري) للإحداثيات الجيبية (انظر الشكل أدناه).

فترة التذبذب.

فترة التذبذب- هذه هي أقصر فترة زمنية يعود خلالها النظام المتذبذب مرة أخرى إلى نفس الحالة التي كان عليها في اللحظة الأولى من الزمن، والتي تم اختيارها بشكل تعسفي.

وبعبارة أخرى، فترة التذبذب ( ت) هو الوقت الذي يحدث فيه تذبذب كامل. على سبيل المثال، في الشكل أدناه، هذا هو الوقت الذي يستغرقه البندول للانتقال من أقصى نقطة إلى اليمين عبر نقطة التوازن عنإلى أقصى نقطة اليسار والعودة من خلال هذه النقطة عنمرة أخرى إلى أقصى اليمين.

وعلى مدى فترة كاملة من التذبذب، يتحرك الجسم في مسار يساوي أربعة اتساع. يتم قياس فترة التذبذب بوحدات زمنية - الثواني والدقائق وما إلى ذلك. ويمكن تحديد فترة التذبذب من خلال رسم بياني معروف للتذبذبات (انظر الشكل أدناه).

إن مفهوم "فترة التذبذب"، بالمعنى الدقيق للكلمة، يكون صالحًا فقط عندما تتكرر قيم الكمية المتذبذبة تمامًا بعد فترة زمنية معينة، أي للتذبذبات التوافقية. ومع ذلك، ينطبق هذا المفهوم أيضًا على حالات الكميات المتكررة تقريبًا، على سبيل المثال تذبذبات مثبطة.

تردد التذبذب.

تردد التذبذب- هذا هو عدد التذبذبات التي يتم إجراؤها لكل وحدة زمنية، على سبيل المثال، في 1 ثانية.

تم تسمية وحدة التردد SI هيرتز(هرتز) تكريما للفيزيائي الألماني ج.هيرتز (1857-1894). إذا كان تردد التذبذب ( الخامس) مساوي ل 1 هرتزوهذا يعني أن كل ثانية هناك تذبذب واحد. يرتبط تكرار وفترة التذبذبات بالعلاقات:

في نظرية التذبذبات يستخدمون هذا المفهوم أيضًا دورية، أو تردد دائري ω . ويرتبط بالتردد الطبيعي الخامسوفترة التذبذب تالنسب:

.

التردد الدوريهو عدد التذبذبات التي يتم إجراؤها لكل 2πثواني

حركة متذبذبة- حركة دورية أو شبه دورية لجسم تأخذ إحداثياتها وسرعتها وتسارعها على فترات زمنية متساوية نفس القيم تقريبًا.

تحدث الاهتزازات الميكانيكية عندما يتم إخراج الجسم من وضع التوازن، وتظهر قوة تميل إلى إعادة الجسم مرة أخرى.

الإزاحة x هي انحراف الجسم عن موضع التوازن.

السعة A هي وحدة الحد الأقصى للإزاحة للجسم.

فترة التذبذب T - زمن التذبذب الواحد:

تردد التذبذب

عدد الاهتزازات التي يؤديها الجسم في وحدة الزمن: أثناء الاهتزازات تتغير السرعة والتسارع بشكل دوري. في وضع التوازن، تكون السرعة القصوى والتسارع صفرًا. عند نقاط الإزاحة القصوى، يصل التسارع إلى الحد الأقصى وتصبح السرعة صفرًا.

جدول الاهتزاز التوافقي

متناسقتسمى الاهتزازات التي تحدث وفقًا لقانون الجيب أو جيب التمام:

حيث x(t) هي إزاحة النظام في الوقت t، A هي السعة، ω هو التردد الدوري للتذبذبات.

إذا قمت برسم انحراف الجسم عن موضع التوازن على طول المحور الرأسي، والوقت على طول المحور الأفقي، فستحصل على رسم بياني للتذبذب x = x(t) - اعتماد إزاحة الجسم على الوقت المناسب. بالنسبة للتذبذبات التوافقية الحرة، فهي موجة جيبية أو موجة جيب التمام. يوضح الشكل الرسوم البيانية لاعتماد الإزاحة x وإسقاطات السرعة V x والتسارع x في الوقت المحدد.

كما يتبين من الرسوم البيانية، عند أقصى إزاحة x، تكون السرعة V للجسم المتأرجح صفرًا، والتسارع a، وبالتالي القوة المؤثرة على الجسم، تكون قصوى وموجهة عكس الإزاحة. وفي وضع التوازن تصبح الإزاحة والتسارع صفراً، وتكون السرعة القصوى. دائمًا ما يكون لإسقاط التسارع إشارة معاكسة للإزاحة.

طاقة الحركة الاهتزازية

الطاقة الميكانيكية الكلية لجسم مهتز تساوي مجموع طاقاته الحركية وطاقاته الكامنة، وفي غياب الاحتكاك تبقى ثابتة:

في اللحظة التي يصل فيها الإزاحة إلى الحد الأقصى x = A، تنخفض السرعة ومعها الطاقة الحركية إلى الصفر.

في هذه الحالة، الطاقة الإجمالية تساوي الطاقة الكامنة:

تتناسب الطاقة الميكانيكية الكلية لجسم مهتز مع مربع سعة اهتزازاته.

عندما يتجاوز النظام وضع التوازن، تكون الإزاحة والطاقة الكامنة صفرًا: x = 0، E p = 0. وبالتالي، فإن الطاقة الإجمالية تساوي الطاقة الحركية:

تتناسب الطاقة الميكانيكية الكلية لجسم مهتز مع مربع سرعته في وضع الاتزان. لذلك:

البندول الرياضي

1. بندول الرياضياتهي نقطة مادية معلقة على خيط عديم الوزن وغير قابل للتمدد.

في وضع التوازن، يتم تعويض قوة الجاذبية عن طريق شد الخيط. إذا انحرف البندول وتحرر، فإن القوى ستتوقف عن تعويض بعضها البعض، وستنشأ قوة محصلة موجهة نحو موضع التوازن. قانون نيوتن الثاني:

بالنسبة للتذبذبات الصغيرة، عندما تكون الإزاحة x أقل بكثير من l، فإن نقطة المادة ستتحرك تقريبًا على طول المحور الأفقي x. ثم من المثلث MAB نحصل على:

لأن الخطيئة أ = س/ل، فإن إسقاط القوة الناتجة R على المحور x يساوي

تشير علامة الطرح إلى أن القوة R موجهة دائمًا عكس الإزاحة x.

2. لذلك، أثناء تذبذبات البندول الرياضي، وكذلك أثناء تذبذبات البندول الزنبركي، تتناسب قوة الاستعادة مع الإزاحة ويتم توجيهها في الاتجاه المعاكس.

دعونا نقارن التعبيرات الخاصة بقوة الاستعادة للبندولات الرياضية والربيعية:

يمكن ملاحظة أن mg/l هو نظير لـ k. استبدال k بـ mg/l في صيغة فترة البندول الربيعي

نحصل على صيغة فترة البندول الرياضي:

فترة التذبذبات الصغيرة للبندول الرياضي لا تعتمد على السعة.

يستخدم البندول الرياضي لقياس الوقت وتحديد تسارع الجاذبية في موقع معين على سطح الأرض.

تعتبر التذبذبات الحرة للبندول الرياضي عند زوايا انحراف صغيرة توافقية. تحدث بسبب قوة الجاذبية الناتجة وقوة شد الخيط، بالإضافة إلى القصور الذاتي للحمل. محصلة هذه القوى هي قوة الاستعادة.

مثال.أوجد عجلة الجاذبية على كوكب حيث بندول طوله 6.25 m، وزمن اهتزاز حر قدره 3.14 s.

تعتمد فترة تذبذب البندول الرياضي على طول الخيط وتسارع الجاذبية:

وبتربيع طرفي المساواة نحصل على:

إجابة:عجلة الجاذبية الأرضية 25 م/ث 2 .

مشاكل واختبارات حول موضوع "الموضوع 4. "الميكانيكا. التذبذبات والأمواج."

• الموجات المستعرضة والطولية. الطول الموجي

  الدروس: 3 واجبات: 9 اختبارات: 1

• موجات صوتية. سرعة الصوت - الاهتزازات والموجات الميكانيكية. الصوت الصف التاسع

بندول الرياضيات

مقدمة

فترة التذبذب

الاستنتاجات

الأدب

مقدمة

الآن لم يعد من الممكن التحقق من الأسطورة حول كيف كان غاليليو يقف للصلاة في الكاتدرائية يراقب بعناية تأرجح الثريات البرونزية. لقد لاحظت وحددت الوقت الذي تستغرقه الثريا وهي تتحرك ذهابًا وإيابًا. هذه المرة سميت فيما بعد بفترة التذبذب. لم يكن لدى غاليليو ساعة، ولمقارنة فترة تذبذب الثريات المعلقة بسلاسل ذات أطوال مختلفة، استخدم تردد نبضه.

يتم استخدام البندول لضبط سرعة الساعات، حيث أن أي بندول له فترة محددة جدًا من التذبذب. يجد البندول أيضًا تطبيقات مهمة في الاستكشاف الجيولوجي. ومن المعروف أن القيم موجودة في أماكن مختلفة حول العالم زمختلفة. إنهما مختلفان لأن الأرض ليست كرة منتظمة تمامًا. بالإضافة إلى ذلك، في المناطق التي تتواجد فيها صخور كثيفة، مثل بعض خامات المعادن، تكون القيمة زعالية بشكل غير طبيعي. قياسات دقيقة زوبمساعدة بندول رياضي من الممكن في بعض الأحيان اكتشاف مثل هذه الرواسب.

معادلة حركة البندول الرياضي

البندول الرياضي هو نقطة مادية ثقيلة تتحرك إما على طول دائرة عمودية (البندول الرياضي المسطح) أو على طول الكرة (البندول الكروي). للتقريب الأول، يمكن اعتبار البندول الرياضي حمولة صغيرة معلقة على خيط مرن غير قابل للتمدد.

دعونا نفكر في حركة البندول الرياضي المسطح على طول دائرة نصف قطرها لتتمركز في نقطة ما عن(رسم بياني 1). سنحدد موضع النقطة م(البندول) زاوية الانحراف ي نصف القطر أوممن العمودي. توجيه المماس م t نحو الزاوية الموجبة j، سنؤلف معادلة طبيعية للحركة. هذه المعادلة تتشكل من معادلة الحركة

ميغاواط=F+ن, (1)
أين Fهي القوة النشطة المؤثرة على النقطة، و ن- رد فعل الاتصالات.

الصورة 1

حصلنا على المعادلة (1) حسب قانون نيوتن الثاني وهو القانون الأساسي للديناميكا وينص على أن المشتقة الزمنية لزخم نقطة مادية تساوي القوة المؤثرة عليها، أي.

بافتراض أن الكتلة ثابتة، يمكننا تمثيل المعادلة السابقة بالصورة

أين دبليوهو تسارع النقطة.

لذا فإن المعادلة (1) في الإسقاط على المحور t ستعطينا إحدى المعادلات الطبيعية لحركة نقطة على طول منحنى سلس ثابت معين:

في حالتنا، نحصل على الإسقاط على المحور t

,
أين مهناك كتلة البندول.

منذ أو ، من هنا نجد

.
التخفيض بنسبة موالاعتقاد

, (3)
سيكون لدينا أخيرًا:

,

,

,

. (4)
دعونا نفكر أولاً في حالة التذبذبات الصغيرة. دع البندول ينحرف في اللحظة الأولى عن الوضع الرأسي بزاوية يوخفضت دون السرعة الأولية. ثم الشروط الأولية ستكون:

في ر= 0, . (5)
من تكامل الطاقة:

, (6)
أين الخامس- الطاقة الكامنة، و حهو ثابت التكامل، ويترتب على ذلك أنه في ظل هذه الظروف في أي وقت زاوية jЈj 0 . قيمة ثابتة حيتم تحديدها من البيانات الأولية. لنفترض أن الزاوية j 0 صغيرة (j 0 Ј1)؛ عندها ستكون الزاوية j صغيرة أيضًا ويمكننا ضبط sinj»j تقريبًا. وفي هذه الحالة تأخذ المعادلة (4) الشكل

. (7)
المعادلة (7) هي المعادلة التفاضلية للتذبذب التوافقي البسيط. الحل العام لهذه المعادلة هو

, (8)
أين أو بأو أو e هي ثوابت التكامل.

من هنا نجد على الفور الفترة ( ت) التذبذبات الصغيرة للبندول الرياضي (الفترة - الفترة الزمنية التي تعود خلالها النقطة إلى موضعها السابق بنفس السرعة)

و

,
لأن الخطيئة لها فترة تساوي 2p، ثم ث ت=2 ع يو

(9)

للعثور على قانون الحركة في ظل الظروف الأولية (5)، نحسب:

. (10)
بتعويض القيم (5) في المعادلتين (8) و (10) نحصل على:

ي 0 = أ، 0 = ث ب,

أولئك. ب=0. وبالتالي فإن قانون الحركة للاهتزازات الصغيرة في ظل الظروف (5) سيكون:

ي = ي 0 كوس بالوزن. (أحد عشر)

دعونا الآن نجد الحل الدقيق لمشكلة البندول الرياضي المسطح. دعونا أولا نحدد التكامل الأول لمعادلة الحركة (4). لأن

,
ثم (4) يمكن تمثيلها كـ

.
ومن ثم، ضرب طرفي المعادلة في د j وبالتكامل نحصل على:

. (12)
دعونا نشير هنا إلى j 0 زاوية الانحراف الأقصى للبندول؛ ثم لj = j 0 سيكون لدينا، من أين ج= ث 2 كوسج 0 . ونتيجة لذلك، التكامل (12) يعطي:

, (13)
حيث يتم تحديد w بالمساواة (3).

هذا التكامل هو تكامل الطاقة ويمكن الحصول عليه مباشرة من المعادلة

, (14)
أين العمل على التحرك م 0 مالقوة النشطة F، إذا أخذنا ذلك في الاعتبار في حالتنا الخامس 0 =0، و (انظر الشكل).

من المعادلة (13) يتضح أنه عندما يتحرك البندول فإن الزاوية j ستتغير بين القيمتين +j 0 و -j 0 (|j|Јj 0، منذ ذلك الحين)، أي. سوف يقوم البندول بحركة متذبذبة. دعونا نتفق على العد التنازلي للوقت رمن لحظة مرور البندول بالعمودي الزراعة العضوية.عندما يتحرك إلى اليمين (انظر الشكل). ثم سيكون لدينا الشرط الأولي:

في ر=0، ي=0. (15)

بالإضافة إلى ذلك، عند الانتقال من نقطة ما أسوف ؛ بأخذ الجذر التربيعي من طرفي المساواة (13) نحصل على:

.
وبفصل المتغيرات هنا نجد:

. (16)

, ,
الذي - التي

.
وبتعويض هذه النتيجة في المعادلة (16) نحصل على.

تعتمد فترة تذبذب البندول الرياضي على طول الخيط: فكلما نقص طول الخيط، انخفضت فترة التذبذب

بالنسبة للبندول الرياضي، يتم استيفاء بعض القوانين:

1 قانون. إذا، مع الحفاظ على نفس طول البندول، قمنا بتعليق أحمال مختلفة (على سبيل المثال، 5 كجم و 100 كجم)، فستكون فترة التذبذب هي نفسها، على الرغم من أن كتل الأحمال مختلفة تمامًا. لا تعتمد فترة البندول الرياضي على كتلة الحمل.

القانون الثاني. إذا انحرف البندول بزوايا مختلفة ولكن صغيرة، فسوف يتأرجح بنفس الفترة، ولكن بسعات مختلفة. وطالما كانت سعة البندول صغيرة فإن الاهتزازات في شكلها ستكون مشابهة للاهتزازات التوافقية، ومن ثم فإن زمن البندول الرياضي لا يعتمد على سعة الاهتزازات. هذه الخاصية تسمى تزامن الزمن.

دعونا نشتق صيغة فترة البندول الرياضي.

يتأثر الحمل m للبندول الرياضي بقوة الجاذبية mg والقوة المرنة للخيط Fynp. لنقم بتوجيه المحور 0X على طول الظل إلى مسار الحركة التصاعدي. دعونا نكتب قانون نيوتن الثاني لهذه الحالة:

نقوم بإسقاط كل شيء على محور OX:

في زوايا صغيرة

بعد إجراء الاستبدالات والتحويلات الصغيرة، نحصل على المعادلة كما يلي:

وبمقارنة التعبير الناتج مع معادلة الاهتزازات التوافقية نحصل على:

من المعادلة يمكن أن نرى أن التردد الدوري للبندول الربيعي سيكون له الشكل:

إذن زمن البندول الرياضي سيكون مساويًا لـ:

تعتمد الدورة الدورية للبندول الرياضي فقط على تسارع الجاذبية g وعلى طول البندول l. ويترتب على الصيغة الناتجة أن فترة البندول لا تعتمد على كتلته وسعةه (بشرط أن تكون صغيرة بدرجة كافية). كما أنشأنا علاقة كمية بين فترة البندول وطوله وتسارع الجاذبية. تتناسب الدورة الدورية للبندول الرياضي مع الجذر التربيعي لنسبة طول البندول إلى تسارع الجاذبية. عامل التناسب هو 2p

يوجد ايضا:

فترة البندول الربيعي

فترة البندول المادي

فترة التواء البندول

كمثال ملموس لجسم يدور حول محور، فكر في حركة البندول.

البندول المادي هو جسم صلب له محور دوران أفقي يقوم حوله بحركات تذبذبية تحت تأثير وزنه (الشكل 119).

يتم تحديد موضع البندول بالكامل من خلال زاوية انحرافه عن موضع التوازن، وبالتالي لتحديد قانون حركة البندول، يكفي إيجاد اعتماد هذه الزاوية على الوقت.

معادلة النموذج:

تسمى معادلة (قانون) حركة البندول. يعتمد ذلك على الظروف الأولية، أي على الزاوية والسرعة الزاوية.

الحالة المحددة للبندول الفيزيائي هي البندول الرياضي، الذي يمثل (كما ذكرنا سابقًا - الفصل 2، الفقرة 3) نقطة مادية متصلة بالمحور الأفقي الذي تدور حوله بواسطة قضيب صلب عديم الوزن (الشكل 120). تسمى مسافة نقطة مادية من محور الدوران بطول البندول الرياضي.

معادلات حركة البندول الفيزيائي والرياضي

دعونا نختار نظام محاور الإحداثيات بحيث يمر المستوى xy عبر مركز ثقل الجسم C ويتزامن مع مستوى تأرجح البندول، كما هو موضح في الرسم (الشكل 119). لنوجه المحور العمودي على مستوى الرسم نحونا. ثم وبناء على نتائج الفقرة السابقة نكتب معادلة حركة البندول الفيزيائي على الصورة:

حيث يشير إلى لحظة القصور الذاتي للبندول بالنسبة لمحور دورانه و

لذلك يمكنك الكتابة:

القوة النشطة المؤثرة على البندول هي وزنه، وعزمه بالنسبة لمحور الوزن سيكون:

أين هي المسافة من محور دوران البندول إلى مركز كتلته C.

وبالتالي نصل إلى المعادلة التالية لحركة البندول الفيزيائي:

بما أن البندول الرياضي هو حالة خاصة من البندول الفيزيائي، فإن المعادلة التفاضلية المكتوبة أعلاه صالحة أيضًا للبندول الرياضي. إذا كان طول البندول الرياضي يساوي ووزنه فإن عزم القصور الذاتي بالنسبة لمحور الدوران يساوي

بما أن مسافة مركز ثقل البندول الرياضي عن المحور متساوية، فيمكن كتابة المعادلة التفاضلية النهائية لحركة البندول الرياضي على الصورة:

انخفاض طول البندول المادي

وبمقارنة المعادلتين (16.8) و (16.9)، يمكننا أن نستنتج أنه إذا كانت معلمات البندول الفيزيائي والرياضي مرتبطة بالعلاقة

إذن قوانين حركة البندولات الفيزيائية والرياضية هي نفسها (تحت نفس الظروف الأولية).

تشير العلاقة الأخيرة إلى الطول الذي يجب أن يتمتع به البندول الرياضي حتى يتحرك بنفس طريقة البندول الفيزيائي المقابل. ويسمى هذا الطول الطول المخفض للبندول المادي. ومعنى هذا المفهوم هو أنه يمكن الاستعاضة عن دراسة حركة البندول الفيزيائي بدراسة حركة البندول الرياضي وهو عبارة عن دائرة ميكانيكية بسيطة.

التكامل الأول لمعادلة حركة البندول

إن معادلات حركة البندولات الفيزيائية والرياضية لها نفس الشكل، وبالتالي ستكون معادلة حركتها

وبما أن القوة الوحيدة التي تؤخذ في الاعتبار في هذه المعادلة هي قوة الجاذبية التي تنتمي إلى مجال القوة المحتملة، فإن قانون حفظ الطاقة الميكانيكية يظل ساريًا.

ويمكن الحصول على الأخير بطريقة بسيطة، وهي ضرب المعادلة (16.10) في ذلك الوقت

بدمج هذه المعادلة نحصل على

نجد ثابت التكامل Cu من الشروط الأولية

حل المعادلة الأخيرة للنسبية التي نحصل عليها

تمثل هذه العلاقة التكامل الأول للمعادلة التفاضلية (16.10).

تحديد ردود الفعل الداعمة للبندولات الفيزيائية والرياضية

التكامل الأول لمعادلات الحركة يسمح لنا بتحديد ردود الفعل الداعمة للبندول. وكما هو مبين في الفقرة السابقة، يتم تحديد تفاعلات الدعم من المعادلات (16.5). في حالة البندول الفيزيائي، فإن مكونات القوة الفعالة على طول محاور الإحداثيات وعزومها بالنسبة للمحاور هي:

يتم تحديد إحداثيات مركز الكتلة بواسطة الصيغ:

ثم تأخذ معادلات تحديد تفاعلات الدعم الشكل:

يجب معرفة لحظات القصور الذاتي الطاردة للجسم والمسافات بين الدعامات حسب ظروف المشكلة. يتم تحديد التسارع الزاوي b والسرعة الزاوية с من المعادلتين (16.9) و (16.4) بالشكل:

وهكذا فإن المعادلات (16.12) تحدد بشكل كامل مكونات تفاعلات الدعم للبندول الفيزيائي.

يتم تبسيط المعادلات (16.12) بشكل أكبر إذا أخذنا في الاعتبار البندول الرياضي. وبالفعل، بما أن النقطة المادية للبندول الرياضي تقع في المستوى، فبالإضافة إلى ذلك، وبما أن نقطة واحدة ثابتة، فإن المعادلات (16.12) تتحول إلى معادلات من الشكل:

من المعادلات (16.13) باستخدام المعادلة (16.9)، يترتب على ذلك أن رد فعل الدعم يتم توجيهه على طول الخيط I (الشكل 120). وهذا الأخير هو نتيجة واضحة. وبالتالي، بإسقاط مكونات المساواة (16.13) على اتجاه الخيط، نجد معادلة لتحديد رد فعل دعم النموذج (الشكل 120):

استبدال القيمة هنا مع مراعاة أن نكتب:

تحدد العلاقة الأخيرة الاستجابة الديناميكية للبندول الرياضي. لاحظ أن رد فعله الثابت سيكون

دراسة نوعية لطبيعة حركة البندول

التكامل الأول لمعادلة حركة البندول يسمح لنا بإجراء دراسة نوعية لطبيعة حركته. أي أننا نكتب هذا التكامل (16.11) بالصيغة:

أثناء الحركة، يجب أن يكون التعبير الراديكالي إما إيجابيًا أو يختفي في بعض النقاط. لنفترض أن الشروط الأولية هي هكذا

في هذه الحالة، التعبير الراديكالي لا يختفي في أي مكان. وبالتالي، عند التحرك، سوف يمر البندول بجميع قيم الزاوية وتكون السرعة الزاوية من البندول لها نفس الإشارة، والتي يتم تحديدها من خلال اتجاه السرعة الزاوية الأولية، أو أن الزاوية إما أن تزيد كل الوقت أو يتناقص طوال الوقت، أي أن البندول سوف يدور في جانب واحد.

ستتوافق اتجاهات الحركة مع علامة أو أخرى في التعبير (16.11). الشرط الضروري لتنفيذ مثل هذه الحركة هو وجود سرعة زاوية أولية، حيث يتضح من عدم المساواة (16.14) أنه عند أي زاوية انحراف أولية، من المستحيل الحصول على مثل هذه الحركة للبندول.

دعونا الآن تكون الظروف الأولية على هذا النحو

في هذه الحالة، هناك قيمتان للزاوية يصبح عندهما التعبير الجذري صفرًا. دعهم يتوافقون مع الزوايا المحددة بالمساواة

علاوة على ذلك، سيكون في مكان ما في النطاق من 0 إلى . علاوة على ذلك، فمن الواضح أنه متى

فالتعبير الجذري (16.11) سيكون موجبًا، وإذا تجاوزناه قليلًا بشكل تعسفي سيكون سالبًا.

وبالتالي، عندما يتحرك البندول، تتغير زاويته في المدى:

عندما تنخفض السرعة الزاوية للبندول إلى الصفر وتبدأ الزاوية في الانخفاض إلى القيمة. وفي هذه الحالة ستتغير إشارة السرعة الزاوية أو الإشارة التي أمام الجذر في التعبير (16.11). عندما تصل السرعة الزاوية للبندول إلى الصفر مرة أخرى وتبدأ الزاوية في الزيادة مرة أخرى إلى القيمة

وبالتالي فإن البندول سوف يقوم بحركات تذبذبية

سعة تذبذبات البندول

عندما يتأرجح البندول، فإن القيمة القصوى لانحرافه عن الوضع العمودي تسمى سعة التذبذب. ومن يساوي الذي يحدد من المساواة

على النحو التالي من الصيغة الأخيرة، يعتمد سعة التذبذب على البيانات الأولية للخصائص الرئيسية للبندول أو طوله المنخفض.

في الحالة الخاصة، عندما ينحرف البندول عن موضع التوازن ويتم تحريره بدون سرعة أولية، فإنه سيكون مساويًا لـ، وبالتالي، لا تعتمد السعة على الطول المخفض.

معادلة حركة البندول في صورتها النهائية

إذا كانت السرعة الابتدائية للبندول صفرًا، فإن التكامل الأول لمعادلة حركته سيكون:

وبتكامل هذه المعادلة نجد

سوف نحسب الوقت من موضع البندول الموافق لذلك

دعونا نحول التكامل باستخدام الصيغة:

ثم نحصل على:

ويسمى التكامل الناتج بالتكامل الإهليلجي من النوع الأول. ولا يمكن التعبير عنها باستخدام عدد محدود من الوظائف الأولية.

إن انقلاب التكامل الإهليلجي (16.15) بالنسبة إلى حده الأعلى يمثل معادلة حركة البندول:

ستكون هذه هي دالة جاكوبي الإهليلجية المدروسة جيدًا.

فترة تذبذب البندول

الوقت الذي يستغرقه البندول لاهتزاز كامل يسمى فترة التذبذب. دعونا نرمز إليه T. وبما أن زمن حركة البندول من موضع إلى موضع هو نفس زمن الحركة منذ ذلك الحين، فسيتم تحديد T بالصيغة:

دعونا نجعل تغيير المتغيرات عن طريق وضع

عندما تختلف من 0 إلى سوف تتغير من 0 إلى . إضافي،

وبالتالي

يسمى التكامل الأخير بالتكامل الإهليلجي الكامل من النوع الأول (ترد قيمه في جداول خاصة).

عندما يميل التكامل إلى الوحدة و .

الصيغ التقريبية للتذبذبات الصغيرة للبندول

في الحالة التي يكون فيها لتذبذبات البندول سعة صغيرة (يجب ألا تتجاوز 20 درجة عمليًا)، يمكنك وضعها

ثم تأخذ المعادلة التفاضلية لحركة البندول الشكل: