العثور على صيغة الزاوية بين الخطوط المستقيمة. الزاوية بين خطين مستقيمين

أ. دعونا نعطي خطين مستقيمين، هذه الخطوط المستقيمة، كما هو موضح في الفصل الأول، تشكل زوايا مختلفة موجبة وسالبة، والتي يمكن أن تكون حادة أو منفرجة. وبمعرفة إحدى هذه الزوايا، يمكننا بسهولة إيجاد أي زاوية أخرى.

بالمناسبة، بالنسبة لجميع هذه الزوايا، تكون القيمة العددية للظل هي نفسها، ولا يمكن أن يكون الاختلاف إلا في الإشارة

معادلات الخطوط. الأعداد هي إسقاطات متجهات الاتجاه للخطين المستقيمين الأول والثاني، والزاوية بين هذه المتجهات تساوي إحدى الزوايا التي تشكلها الخطوط المستقيمة. ولذلك، فإن المشكلة تكمن في تحديد الزاوية بين المتجهات

للتبسيط، يمكننا أن نتفق على أن الزاوية بين خطين مستقيمين هي زاوية موجبة حادة (كما في الشكل 53 على سبيل المثال).

ومن ثم فإن ظل هذه الزاوية سيكون دائمًا موجبًا. وبالتالي، إذا كانت هناك علامة ناقص على الجانب الأيمن من الصيغة (1)، فيجب علينا التخلص منها، أي حفظ القيمة المطلقة فقط.

مثال. تحديد الزاوية بين الخطوط المستقيمة

وفقا للصيغة (1) لدينا

مع. إذا تمت الإشارة إلى أي جانب من جوانب الزاوية هو بدايتها وأي جانب هو نهايتها، فعند حساب اتجاه الزاوية عكس اتجاه عقارب الساعة دائمًا، يمكننا استخراج شيء أكثر من الصيغة (1). كما هو سهل أن نرى من الشكل. 53، الإشارة التي تم الحصول عليها على الجانب الأيمن من الصيغة (1) ستشير إلى نوع الزاوية - الحادة أو المنفرجة - التي يشكلها الخط المستقيم الثاني مع الأول.

(في الواقع، من الشكل 53 نرى أن الزاوية بين متجهي الاتجاه الأول والثاني إما تساوي الزاوية المطلوبة بين الخطوط المستقيمة، أو تختلف عنها بمقدار ±180 درجة.)

د. إذا كان المستقيمان متوازيين فإن متجهاتهما متوازية، وبتطبيق شرط توازي المتجهين نحصل على!

وهذا شرط ضروري وكافي لتوازي الخطين.

مثال. مباشر

متوازيان لأن

ه. إذا كانت الخطوط متعامدة فإن متجهات اتجاهها تكون متعامدة أيضًا. وبتطبيق شرط عمودي متجهين، نحصل على شرط عمودي خطين مستقيمين، وهما

مثال. مباشر

متعامدين لأن

فيما يتعلق بشروط التوازي والتعامد، سنحل المشكلتين التاليتين.

F. رسم خط عبر نقطة موازية للخط المعطى

يتم تنفيذ الحل على هذا النحو. نظرًا لأن الخط المطلوب موازٍ لهذا الخط، فيمكننا بالنسبة لمتجه اتجاهه أن نأخذ نفس اتجاه الخط المحدد، أي متجه بإسقاطات A وB. وبعد ذلك ستتم كتابة معادلة الخط المطلوب بالشكل النموذج (§ 1)

مثال. معادلة الخط الذي يمر بالنقطة (1؛ 3) الموازية للخط

سيكون هناك التالي!

ز. ارسم خطًا يمر بنقطة عموديًا على الخط المعطى

هنا لم يعد من المناسب أخذ المتجه بالإسقاطات A وكمتجه الموجه، ولكن من الضروري أخذ المتجه المتعامد معه. ولذلك يجب اختيار إسقاطات هذا المتجه حسب شرط تعامد كلا المتجهين، أي حسب الشرط

يمكن تحقيق هذا الشرط بطرق لا تعد ولا تحصى، حيث أن هنا معادلة واحدة بمجهولين، ولكن أسهل طريقة هي أخذ أو ثم كتابة معادلة الخط المطلوب على الصورة

مثال. معادلة الخط الذي يمر بالنقطة (-7؛ 2) في خط عمودي

سيكون هناك ما يلي (حسب الصيغة الثانية)!

ح. في حالة إعطاء الخطوط بواسطة معادلات النموذج

تعليمات

ملحوظة

دورة دالة الظل المثلثية تساوي 180 درجة، مما يعني أن زوايا ميل الخطوط المستقيمة لا يمكن أن تتجاوز هذه القيمة بالقيمة المطلقة.

نصائح مفيدة

إذا كانت المعاملات الزاوية متساوية، فإن الزاوية بين هذه الخطوط هي 0، لأن هذه الخطوط إما متطابقة أو متوازية.

لتحديد قيمة الزاوية بين الخطوط المتقاطعة، من الضروري نقل كلا الخطين (أو أحدهما) إلى موضع جديد باستخدام طريقة الترجمة المتوازية حتى يتقاطعا. بعد ذلك، يجب أن تجد الزاوية بين الخطوط المتقاطعة الناتجة.

سوف تحتاج

• المسطرة، المثلث القائم، قلم الرصاص، المنقلة.

تعليمات

لذلك، دع المتجه V = (a، b، c) والمستوى A x + B y + C z = 0، حيث A وB وC هي إحداثيات N العادية. ثم جيب تمام الزاوية α بين المتجهين V و N يساوي: cos α = (a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²)).

لحساب الزاوية بالدرجات أو الراديان، تحتاج إلى حساب الدالة العكسية لجيب التمام من التعبير الناتج، أي. قوس جيب التمام:α = аrsсos ((a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²))).

مثال: تجد ركنبين المتجه(5، -3، 8) و طائرة، تعطى بالمعادلة العامة 2 x - 5 y + 3 z = 0. الحل: اكتب إحداثيات المتجه العمودي للمستوى N = (2, -5, 3). عوّض بكل القيم المعروفة في الصيغة المعطاة: cos α = (10 + 15 + 24)/√3724 ≈ 0.8 → α = 36.87°.

فيديو حول الموضوع

الخط المستقيم الذي له نقطة مشتركة مع الدائرة هو مماس للدائرة. ميزة أخرى للظل هي أنه دائمًا متعامد مع نصف القطر المرسوم على نقطة الاتصال، أي أن المماس ونصف القطر يشكلان خطًا مستقيمًا ركن. إذا تم رسم مماسين للدائرة AB وAC من نقطة واحدة A، فإنهما متساويان دائمًا. تحديد الزاوية بين الظلال ( ركن ABC) باستخدام نظرية فيثاغورس.

تعليمات

لتحديد الزاوية، تحتاج إلى معرفة نصف قطر الدائرة OB وOS ومسافة نقطة بداية المماس من مركز الدائرة - O. لذا، الزاويتان ABO وACO متساويتان، ونصف القطر OB هو، على سبيل المثال، 10 سم، والمسافة إلى مركز الدائرة AO هي 15 سم، حدد طول المماس باستخدام الصيغة وفقًا لنظرية فيثاغورس: AB = الجذر التربيعي لـ AO2 – OB2 أو 152 – 102 = 225 – 100 = 125؛

سأكون مختصرا. الزاوية المحصورة بين خطين مستقيمين تساوي الزاوية المحصورة بين متجهات اتجاههما. وبالتالي، إذا تمكنت من العثور على إحداثيات متجهات الاتجاه a = (x 1 ; y 1 ; z 1) و b = (x 2 ; y 2 ​​​​; z 2)، فيمكنك العثور على الزاوية. بتعبير أدق، جيب تمام الزاوية وفقا للصيغة:

دعونا نرى كيف تعمل هذه الصيغة باستخدام أمثلة محددة:

مهمة. في المكعب ABCDA 1 B 1 C 1 D 1، تم تحديد النقطتين E و F - نقاط المنتصف للحواف A 1 B 1 و B 1 C 1 على التوالي. أوجد الزاوية بين الخطين AE وBF.

نظرًا لعدم تحديد حافة المكعب، فلنضع AB = 1. نقدم نظام إحداثيات قياسي: الأصل عند النقطة A، ويتم توجيه المحاور x وy وz على طول AB وAD وAA 1، على التوالي. قطعة الوحدة تساوي AB = 1. الآن دعونا نوجد إحداثيات متجهات الاتجاه لخطوطنا.

دعونا نجد إحداثيات المتجه AE. لهذا نحتاج إلى النقاط A = (0؛ 0؛ 0) و E = (0.5؛ 0؛ 1). وبما أن النقطة E هي منتصف القطعة A 1 B 1، فإن إحداثياتها تساوي الوسط الحسابي لإحداثيات الأطراف. لاحظ أن أصل المتجه AE يتزامن مع أصل الإحداثيات، لذلك AE = (0.5; 0; 1).

الآن دعونا نلقي نظرة على ناقل BF. وبالمثل، نقوم بتحليل النقاط B = (1؛ 0؛ 0) وF = (1؛ 0.5؛ 1)، لأن F هو منتصف القطعة B 1 C 1. لدينا:
BF = (1 − 1; 0.5 − 0; 1 − 0) = (0; 0.5; 1).

لذلك، ناقلات الاتجاه جاهزة. جيب تمام الزاوية بين الخطوط المستقيمة هو جيب تمام الزاوية بين متجهات الاتجاه، لذلك لدينا:

مهمة. في المنشور الثلاثي العادي ABCA 1 B 1 C 1، جميع حوافها تساوي 1، يتم وضع علامة على النقطتين D و E - نقاط المنتصف للحواف A 1 B 1 و B 1 C 1، على التوالي. أوجد الزاوية بين الخطين AD وBE.

دعونا نقدم نظام الإحداثيات القياسي: الأصل عند النقطة A، والمحور x موجه على طول AB، z - على طول AA 1. دعونا نوجه المحور الصادي بحيث يتزامن مستوى OXY مع مستوى ABC. قطعة الوحدة تساوي AB = 1. دعونا نوجد إحداثيات متجهات الاتجاه للخطوط المطلوبة.

أولاً، دعونا نوجد إحداثيات المتجه AD. خذ بعين الاعتبار النقاط: A = (0; 0; 0) و D = (0.5; 0; 1)، لأن د - منتصف القطعة أ 1 ب 1. وبما أن بداية المتجه AD تتزامن مع أصل الإحداثيات، فإننا نحصل على AD = (0.5; 0; 1).

الآن دعونا نوجد إحداثيات المتجه BE. من السهل حساب النقطة B = (1؛ 0؛ 0). مع النقطة E - منتصف القطعة C 1 B 1 - يكون الأمر أكثر تعقيدًا بعض الشيء. لدينا:

يبقى العثور على جيب تمام الزاوية:

مهمة. في المنشور السداسي المنتظم ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 ، جميع حوافها تساوي 1، تم تحديد النقطتين K و L - نقاط المنتصف للحواف A 1 B 1 و B 1 C 1، على التوالي . أوجد الزاوية بين الخطين AK و BL.

دعونا نقدم نظام إحداثيات قياسي للمنشور: نضع أصل الإحداثيات في مركز القاعدة السفلية، ويتم توجيه المحور x على طول FC، ويتم توجيه المحور y عبر نقاط المنتصف للقطاعين AB وDE، والمحور z يتم توجيه المحور عموديًا إلى الأعلى. قطعة الوحدة تساوي مرة أخرى AB = 1. فلنكتب إحداثيات النقاط التي تهمنا:

النقطتان K وL هما نقطتا المنتصف للقطعتين A 1 B 1 وB 1 C 1، على التوالي، لذا يمكن العثور على إحداثياتهما من خلال الوسط الحسابي. بمعرفة النقاط نجد إحداثيات متجهي الاتجاه AK و BL:

الآن دعونا نجد جيب تمام الزاوية:

مهمة. في هرم رباعي الزوايا منتظم SABCD، جميع حوافه تساوي 1، يتم وضع علامة على النقطتين E و F - نقاط المنتصف للجوانب SB و SC، على التوالي. أوجد الزاوية بين الخطين AE وBF.

دعونا نقدم نظام الإحداثيات القياسي: الأصل عند النقطة A، ويتم توجيه المحورين x وy على طول AB وAD، على التوالي، ويتم توجيه المحور z عموديًا إلى الأعلى. قطعة الوحدة تساوي AB = 1.

النقطتان E وF هما نقطتا المنتصف للقطاعين SB وSC، على التوالي، لذلك يتم العثور على إحداثياتهما على أنها الوسط الحسابي للنهايات. دعنا نكتب إحداثيات النقاط التي تهمنا:
أ = (0؛ 0؛ 0)؛ ب = (1؛ 0؛ 0)

بمعرفة النقاط نجد إحداثيات متجهي الاتجاه AE وBF:

تتطابق إحداثيات المتجه AE مع إحداثيات النقطة E، حيث أن النقطة A هي نقطة الأصل. يبقى العثور على جيب تمام الزاوية:

تعريف.إذا تم إعطاء خطين y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2، فسيتم تعريف الزاوية الحادة بين هذه الخطوط على أنها

خطان متوازيان إذا كان k 1 = k 2. يكون الخطان متعامدين إذا كان k 1 = -1/ k 2.

نظرية.الخطوط Ax + Bу + C = 0 و A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 تكون متوازية عندما تكون المعاملات A 1 = lectA، B 1 = lectB متناسبة. وإذا كان C 1 = lect أيضًا، فإن الخطوط متطابقة. تم العثور على إحداثيات نقطة تقاطع خطين كحل لنظام معادلات هذه الخطوط.

معادلة الخط الذي يمر عبر نقطة معينة

عمودي على خط معين

تعريف.الخط المستقيم الذي يمر بالنقطة M 1 (x 1, y 1) وعمودي على الخط المستقيم y = kx + b يمثل بالمعادلة:

المسافة من نقطة إلى خط

نظرية.إذا تم إعطاء نقطة M(x 0, y 0)، فسيتم تحديد المسافة إلى الخط Ax + Bу + C = 0 على النحو التالي

.

دليل.لتكن النقطة M 1 (x 1, y 1) هي قاعدة العمود المسقط من النقطة M إلى الخط المستقيم المعطى. ثم المسافة بين النقطتين M و M 1:

(1)

يمكن إيجاد الإحداثيات x 1 و y 1 عن طريق حل نظام المعادلات:

المعادلة الثانية للنظام هي معادلة الخط الذي يمر بنقطة معينة M 0 عمودي على خط معين. إذا قمنا بتحويل المعادلة الأولى للنظام إلى الشكل:

أ(س – س 0) + ب(ص – ص 0) + الفأس 0 + بواسطة 0 + ج = 0،

ثم بالحل نحصل على:

وبالتعويض بهذه العبارات في المعادلة (1) نجد:

لقد تم إثبات النظرية.

مثال. تحديد الزاوية بين السطور: y = -3 x + 7; ص = 2 س + 1.

ك 1 = -3؛ ك 2 = 2؛ تغφ = ; φ= ع /4.

مثال. بيّن أن الخطين 3x – 5y + 7 = 0 و 10x + 6y – 3 = 0 متعامدان.

حل. نجد: ك 1 = 3/5، ك 2 = -5/3، ك 1* ك 2 = -1، وبالتالي فإن الخطوط المتعامدة.

مثال. فيما يلي رؤوس المثلث A(0; 1)، B (6; 5)، C (12; -1). أوجد معادلة الارتفاع المرسوم من الرأس C.

حل. نجد معادلة الجانب AB: ; 4 س = 6 ص - 6؛

2 س – 3 ص + 3 = 0;

معادلة الارتفاع المطلوبة لها الشكل: Ax + By + C = 0 أو y = kx + b. ك = . ثم ص = . لأن ويمر الارتفاع بالنقطة C، فإن إحداثياته ​​تحقق هذه المعادلة: من حيث ب = 17. المجموع: .

الإجابة: 3 س + 2 ص – 34 = 0.

معادلة الخط الذي يمر بنقطة معينة في اتجاه معين. معادلة الخط الذي يمر عبر نقطتين معلومتين. الزاوية المحصورة بين خطين مستقيمين. حالة التوازي والتعامد بين خطين مستقيمين. تحديد نقطة تقاطع خطين

1. معادلة الخط الذي يمر عبر نقطة معينة أ(س 1 , ذ 1) في اتجاه معين يحدده المنحدر ك,

ذ - ذ 1 = ك(س - س 1). (1)

تحدد هذه المعادلة قلم رصاص من الخطوط التي تمر عبر نقطة ما أ(س 1 , ذ 1) وهو ما يسمى مركز الشعاع.

2. معادلة الخط الذي يمر بنقطتين: أ(س 1 , ذ 1) و ب(س 2 , ذ 2) تكتب هكذا:

يتم تحديد المعامل الزاوي لخط مستقيم يمر بنقطتين معلومتين بواسطة الصيغة

3. الزاوية بين الخطوط المستقيمة أو بهي الزاوية التي يجب أن يدور بها الخط المستقيم الأول أحول نقطة تقاطع هذه الخطوط عكس اتجاه عقارب الساعة حتى تتزامن مع الخط الثاني ب. إذا تم إعطاء خطين مستقيمين بواسطة معادلات ذات ميل

ذ = ك 1 س + ب 1 ,

ذ = ك 2 س + ب 2 , (4)

ثم يتم تحديد الزاوية بينهما بواسطة الصيغة

تجدر الإشارة إلى أنه في بسط الكسر، يتم طرح ميل السطر الأول من ميل السطر الثاني.

إذا كانت معادلات الخط معطاة في الصورة العامة

أ 1 س + ب 1 ذ + ج 1 = 0,

أ 2 س + ب 2 ذ + ج 2 = 0, (6)

يتم تحديد الزاوية بينهما بواسطة الصيغة

4. شروط توازي الخطين:

أ) إذا كانت الخطوط المعطاة بالمعادلات (4) ذات معامل زاوية، فإن الشرط الضروري والكافي لتوازيها هو تساوي معاملاتها الزاوية:

ك 1 = ك 2 . (8)

ب) في الحالة التي يتم فيها إعطاء الخطوط بواسطة المعادلات بالشكل العام (6)، فإن الشرط الضروري والكافي لتوازيها هو أن تكون معاملات الإحداثيات الحالية المقابلة في معادلاتها متناسبة، أي.

5. شروط تعامد خطين مستقيمين:

أ) في حالة إعطاء الخطوط بالمعادلات (4) بمعامل زاوي، فإن الشرط الضروري والكافي لتعامدها هو أن تكون معاملاتها الزاوية معكوسة في المقدار ومعاكسة في الإشارة، أي.

يمكن أيضًا كتابة هذا الشرط في النموذج

ك 1 ك 2 = -1. (11)

ب) إذا كانت معادلات الخطوط معطاة بالصورة العامة (6) فإن شرط تعامدها (الضروري والكافي) هو تحقيق المساواة

أ 1 أ 2 + ب 1 ب 2 = 0. (12)

6. تم العثور على إحداثيات نقطة تقاطع خطين من خلال حل نظام المعادلات (6). الخطان (6) يتقاطعان إذا وفقط إذا

1. اكتب معادلات المستقيمين المارين بالنقطة M، أحدهما موازي والآخر عمودي على المستقيم المعطى l.

زاويةبين الخطوط المستقيمة في الفضاء سوف نسمي أيًا من الزوايا المتجاورة التي تتكون من خطين مستقيمين مرسومين عبر نقطة عشوائية موازية للبيانات.

دعونا نعطي سطرين في الفضاء:

من الواضح أن الزاوية φ بين الخطوط المستقيمة يمكن اعتبارها الزاوية بين متجهات الاتجاه و . منذ ذلك الحين، باستخدام صيغة جيب تمام الزاوية بين المتجهات التي نحصل عليها

شروط التوازي والتعامد لخطين مستقيمين تعادل شروط التوازي والتعامد لمتجهي اتجاههما و:

اثنان على التوالي موازيإذا وفقط إذا كانت معاملاتها المقابلة متناسبة، أي. ل 1 موازية ل 2 إذا وفقط إذا كان موازيا .

اثنان على التوالي عموديإذا وفقط إذا كان مجموع منتجات المعاملات المقابلة يساوي صفرًا: .

ش الهدف بين الخط والمستوى

دعها تكون مستقيمة د- غير متعامدة مع المستوى θ؛
د′− إسقاط الخط دإلى الطائرة θ؛
أصغر زاوية بين الخطوط المستقيمة دو د' سنطالب الزاوية المحصورة بين الخط المستقيم والمستوى.
دعونا نشير إليها كـ φ=( د,θ)
لو د⊥θ، ثم ( د,θ)=ط/2

أوي→ي→ك→− نظام الإحداثيات المستطيلة.
معادلة الطائرة:

θ: فأس+بواسطة+تشيكوسلوفاكيا+د=0

نفترض أن الخط المستقيم محدد بنقطة ومتجه اتجاه: د[م 0,ص→]
المتجه ن→(أ,ب,ج)⊥θ
ثم يبقى معرفة الزاوية بين المتجهات ن→ و ص→، دعونا نشير إليها كـ γ=( ن→,ص→).

إذا كانت الزاوية γ<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .

إذا كانت الزاوية γ>π/2، فإن الزاوية المطلوبة هي φ=γ−π/2

الخطيئةφ=الخطيئة(2π−γ)=cosγ

الخطيئةφ=الخطيئة(γ−2π)=−cosγ

ثم، الزاوية بين الخط المستقيم والمستوىيمكن حسابها باستخدام الصيغة:

الخطيئةφ=∣cosγ∣=∣ ∣ ا ف ب 1+بي بي 2+حزب المحافظين 3∣ ∣ √أ 2+ب 2+ج 2√ص 21+ص 22+ص 23

سؤال29. مفهوم الشكل التربيعي. علامة تحديد الأشكال التربيعية.

الصيغة التربيعية j (x 1, x 2, …, x n) n المتغيرات الحقيقية x 1, x 2, …, x nيسمى مجموع النموذج
, (1)

أين آي جي - بعض الأرقام تسمى المعاملات. وبدون فقدان العمومية، يمكننا أن نفترض ذلك آي جي = جي.

يسمى الشكل التربيعي صالح،لو آي جي Î غرام. مصفوفة الشكل التربيعيتسمى مصفوفة مكونة من معاملاتها. يتوافق الشكل التربيعي (1) مع المصفوفة المتماثلة الوحيدة
إنه أ ت = أ. وبالتالي، يمكن كتابة الصورة التربيعية (1) في صورة المصفوفة j ( X) = × تي اه، أين × ت = (X 1 X 2 … س ن). (2)

وعلى العكس من ذلك، فإن كل مصفوفة متماثلة (2) تتوافق مع شكل تربيعي فريد حتى تدوين المتغيرات.

رتبة الشكل التربيعيويسمى رتبة مصفوفته. يسمى الشكل التربيعي غير منحط،إذا كانت مصفوفتها غير مفردة أ. (أذكر أن المصفوفة أويسمى غير منحط إذا كان محدده لا يساوي الصفر). وإلا فإن الشكل التربيعي يكون منحطًا.

إيجابية محددة(أو إيجابي تمامًا) إذا

ي ( X) > 0 ، لأي احد X = (X 1 , X 2 , …, س ن), يستثني X = (0, 0, …, 0).

مصفوفة أصيغة تربيعية محددة إيجابية ي ( X) ويسمى أيضًا إيجابيًا محددًا. لذلك، فإن الصورة التربيعية المحددة الموجبة تتوافق مع مصفوفة محددة موجبة فريدة والعكس صحيح.

تسمى الصيغة التربيعية (1). محددة سلبا(أو سلبي تمامًا) إذا

ي ( X) < 0, для любого X = (X 1 , X 2 , …, س ن)، يستثني X = (0, 0, …, 0).

وبالمثل كما هو مذكور أعلاه، فإن المصفوفة ذات الشكل التربيعي المحدد السالب تسمى أيضًا سالبًا محددًا.

وبالتالي فإن الصيغة التربيعية المحددة الموجبة (السالبة) j ( X) يصل إلى الحد الأدنى (الحد الأقصى) للقيمة j ( ×*) = 0 في ×* = (0, 0, …, 0).

لاحظ أن معظم الأشكال التربيعية ليست محددة الإشارة، أي أنها ليست موجبة ولا سالبة. تختفي هذه الأشكال التربيعية ليس فقط عند أصل نظام الإحداثيات، ولكن أيضًا عند نقاط أخرى.

متى ن> 2، هناك معايير خاصة مطلوبة للتحقق من إشارة الشكل التربيعي. دعونا ننظر إليهم.

كبار القاصرينتسمى الصيغة التربيعية بالقصر:

أي أن هؤلاء قاصرون من الدرجة 1، 2، ...، نالمصفوفات أ، الموجود في الزاوية اليسرى العليا، ويتزامن آخرها مع محدد المصفوفة أ.

معيار التحديد الإيجابي (معيار سيلفستر)

X) = × تي اهوكان إيجابيا محددا، فمن الضروري والكافي أن جميع القاصرين الكبرى من المصفوفة أكانت إيجابية، أي: م 1 > 0, م 2 > 0, …, من > 0. معيار اليقين السلبي من أجل الشكل التربيعي j ( X) = × تي اهإذا كانت سالبة محددة، فمن الضروري والكافي أن تكون فروعها الرئيسية ذات الترتيب الزوجي موجبة، ومن مرتبة فردية - سالبة، أي: م 1 < 0, م 2 > 0, م 3 < 0, …, (–1)ن