حجم الجسم الدوراني حول المحور x. III حساب أحجام أجسام الثورة
يمكن حساب حجم جسم الثورة باستخدام الصيغة:
في الصيغة، يجب أن يكون الرقم موجودًا قبل التكامل. لقد حدث أن كل ما يدور في الحياة مرتبط بهذا الثابت.
أعتقد أنه من السهل تخمين كيفية تعيين حدود التكامل "a" و"be" من الرسم المكتمل.
الوظيفة... ما هي هذه الوظيفة؟ دعونا نلقي نظرة على الرسم. الشكل المستوي محدد بالرسم البياني للقطع المكافئ في الأعلى. هذه هي الوظيفة المضمنة في الصيغة.
في المهام العملية، يمكن أحيانًا وضع الشكل المسطح أسفل المحور. هذا لا يغير شيئًا - تم تربيع الدالة في الصيغة: وبالتالي إن حجم جسم الثورة يكون دائمًا غير سلبيوهو أمر منطقي للغاية.
دعونا نحسب حجم الجسم الدوار باستخدام هذه الصيغة: 
كما لاحظت بالفعل، فإن التكامل دائمًا ما يكون بسيطًا، والشيء الرئيسي هو توخي الحذر.
إجابة: 
في إجابتك، يجب أن تشير إلى البعد - الوحدات المكعبة. أي أنه يوجد في جسم الدوران حوالي 3.35 "مكعبًا". لماذا مكعب وحدات؟ لأن الصيغة الأكثر عالمية. من الممكن أن يكون هناك سنتيمترات مكعبة، أو أمتار مكعبة، أو كيلومترات مكعبة، وما إلى ذلك، هذا هو عدد الرجال الخضر الذين يمكن لخيالك أن يضعهم في طبق طائر.
مثال 2
أوجد حجم الجسم المتكون من الدوران حول محور شكل محدد بالخطوط،،
هذا مثال لك لحله بنفسك. الحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس.
دعونا نفكر في مشكلتين أكثر تعقيدًا، والتي غالبًا ما يتم مواجهتها في الممارسة العملية.
مثال 3
احسب حجم الجسم الذي تم الحصول عليه بالتدوير حول محور الإحداثي السيني للشكل الذي يحده الخطوط و و
حل:دعونا نرسم في الرسم شكلاً مسطحًا محاطًا بالخطوط , , , دون أن ننسى أن المعادلة تحدد المحور:
الشكل المطلوب مظلل باللون الأزرق. عندما تدور حول محورها، تتحول إلى كعكة سريالية ذات أربع زوايا.
دعونا نحسب حجم جسم الثورة كما الفرق في أحجام الأجسام.
أولاً، دعونا نلقي نظرة على الشكل المُحاط بدائرة باللون الأحمر. عندما يدور حول محور، يتم الحصول على مخروط مقطوع. دعونا نشير إلى حجم هذا المخروط المقطوع بواسطة .
خذ بعين الاعتبار الشكل المُحاط بدائرة باللون الأخضر. إذا قمت بتدوير هذا الشكل حول المحور، فستحصل أيضًا على مخروط مقطوع، أصغر قليلاً فقط. دعونا نشير إلى حجمه بواسطة .
ومن الواضح أن الاختلاف في الأحجام هو بالضبط حجم "الدونات" الخاصة بنا.
نستخدم الصيغة القياسية لإيجاد حجم الجسم الذي يدور:
1) الشكل المُحاط بدائرة باللون الأحمر يحده من الأعلى خط مستقيم، وبالتالي:
2) الشكل المُحاط بدائرة باللون الأخضر محدد من الأعلى بخط مستقيم، وبالتالي:
3) حجم جسم الثورة المطلوب : 
إجابة: 
من الغريب أنه في هذه الحالة يمكن التحقق من الحل باستخدام الصيغة المدرسية لحساب حجم المخروط المقطوع.
غالبًا ما يُكتب القرار نفسه بشكل أقصر، مثل هذا: 
والآن لنأخذ قسطًا من الراحة ونخبرك بالأوهام الهندسية.
غالبًا ما يكون لدى الناس أوهام مرتبطة بالمجلدات، والتي لاحظها بيرلمان (وليس هذا) في الكتاب هندسة مسلية. انظر إلى الشكل المسطح في المشكلة التي تم حلها - يبدو صغيرًا في المساحة، وحجم جسم الدوران يزيد قليلاً عن 50 وحدة مكعبة، وهو ما يبدو كبيرًا جدًا. وبالمناسبة، فإن الشخص العادي يشرب ما يعادل غرفة مساحتها 18 مترًا مربعًا من السوائل طوال حياته، وهو على العكس من ذلك يبدو حجمًا صغيرًا جدًا.
بشكل عام، كان نظام التعليم في الاتحاد السوفياتي هو الأفضل حقا. نفس كتاب بيرلمان، الذي كتبه في عام 1950، يتطور بشكل جيد للغاية، كما قال الفكاهي، والتفكير ويعلم البحث عن حلول أصلية وغير قياسية للمشاكل. لقد قمت مؤخرًا بإعادة قراءة بعض الفصول باهتمام كبير، وأوصي بها، فهي في متناول حتى الإنسانيين. لا، لست بحاجة إلى أن تبتسم لأنني عرضت عليك وقت فراغ، فسعة الاطلاع وآفاق واسعة في التواصل شيء عظيم.
بعد الاستطراد الغنائي، من المناسب حل المهمة الإبداعية:
مثال 4
احسب حجم الجسم المتكون من الدوران حول محور شكل مسطح يحده الخطان , , حيث .
هذا مثال لك لحله بنفسك. يرجى ملاحظة أن كل الأشياء تحدث في النطاق، وبعبارة أخرى، يتم إعطاء حدود التكامل الجاهزة عمليا. حاول أيضًا رسم الرسوم البيانية للدوال المثلثية بشكل صحيح، إذا تم تقسيم الوسيطة على اثنين: فسيتم تمديد الرسوم البيانية مرتين على طول المحور. حاول العثور على 3-4 نقاط على الأقل وفقا للجداول المثلثيةوأكمل الرسم بدقة أكبر. الحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس. بالمناسبة، يمكن حل المهمة بعقلانية وليس بعقلانية شديدة.
حساب حجم الجسم الناتج عن الدوران
شكل مسطح حول محور
ستكون الفقرة الثانية أكثر إثارة للاهتمام من الأولى. إن مهمة حساب حجم جسم دوراني حول المحور الإحداثي هي أيضًا ضيف شائع إلى حد ما في أعمال الاختبار. على طول الطريق سيتم النظر فيه مشكلة إيجاد مساحة الشكلالطريقة الثانية هي التكامل على طول المحور، وهذا لن يسمح لك بتحسين مهاراتك فحسب، بل سيعلمك أيضًا كيفية العثور على مسار الحل الأكثر ربحية. هناك أيضًا معنى للحياة العملية في هذا! كما تذكرت أستاذتي في أساليب تدريس الرياضيات بابتسامة، شكرها العديد من الخريجين بالكلمات: "لقد ساعدنا موضوعك كثيرًا، والآن نحن مديرون فعالون وندير الموظفين على النحو الأمثل". وأغتنم هذه الفرصة، كما أعرب عن امتناني الكبير لها، خاصة وأنني أستخدم المعرفة المكتسبة للغرض المقصود =).
مثال 5
نظرا لشكل مسطح تحده الخطوط , .
1) أوجد مساحة الشكل المسطح الذي يحده هذه الخطوط.
2) أوجد حجم الجسم الناتج عن تدوير شكل مسطح محدد بهذه الخطوط حول المحور.
انتباه!حتى لو كنت تريد فقط قراءة النقطة الثانية، أولا بالضرورةقراءة أول واحد!
حل:تتكون المهمة من جزأين. لنبدأ بالمربع.
1) لنقم بالرسم:
من السهل أن نرى أن الدالة تحدد الفرع العلوي من القطع المكافئ، والدالة تحدد الفرع السفلي من القطع المكافئ. أمامنا قطع مكافئ تافه "يقع على جانبه".
الشكل المطلوب الذي سيتم العثور على مساحته مظلل باللون الأزرق.
كيفية العثور على مساحة الشكل؟ يمكن العثور عليها بالطريقة "العادية" التي تمت مناقشتها في الفصل تكامل محدد. كيفية حساب مساحة الشكل. علاوة على ذلك، يتم إيجاد مساحة الشكل كمجموع المساحات:
- على الجزء 
;
- على الجزء.
لهذا السبب:
لماذا الحل المعتاد سيء في هذه الحالة؟ أولًا، حصلنا على تكاملين. ثانيا، التكاملات هي جذور، والجذور في التكاملات ليست هدية، وبالإضافة إلى ذلك، يمكنك الخلط بين استبدال حدود التكامل. في الواقع، التكاملات، بالطبع، ليست قاتلة، ولكن في الممارسة العملية، يمكن أن يكون كل شيء أكثر حزنًا، لقد اخترت للتو وظائف "أفضل" للمشكلة.
هناك حل أكثر عقلانية: يتكون من التبديل إلى الدوال العكسية والتكامل على طول المحور.
كيفية الوصول إلى وظائف عكسية؟ بشكل تقريبي، تحتاج إلى التعبير عن "x" من خلال "y". أولا، دعونا ننظر إلى القطع المكافئ:
هذا يكفي، ولكن دعونا نتأكد من إمكانية اشتقاق نفس الوظيفة من الفرع السفلي:
الأمر أسهل مع الخط المستقيم:
انظر الآن إلى المحور: من فضلك قم بإمالة رأسك بشكل دوري إلى اليمين بمقدار 90 درجة كما تشرح (هذه ليست مزحة!). الرقم الذي نحتاجه يقع على القطعة، والتي يشار إليها بالخط الأحمر المنقط. في هذه الحالة، يقع الخط المستقيم فوق القطع المكافئ، مما يعني أنه يجب العثور على مساحة الشكل باستخدام الصيغة المألوفة لك بالفعل: 
. ما الذي تغير في الصيغة؟ مجرد خطاب وليس أكثر.
! ملاحظة: يجب تعيين حدود التكامل على طول المحور بدقة من الأسفل إلى الأعلى!
إيجاد المنطقة:
على هذا الجزء، لذلك: 
يرجى ملاحظة كيف قمت بالتكامل، فهذه هي الطريقة الأكثر عقلانية، وفي الفقرة التالية من المهمة سيكون السبب واضحًا.
للقراء الذين يشككون في صحة التكامل، سأجد المشتقات: 
تم الحصول على دالة التكامل الأصلية، مما يعني أن التكامل قد تم بشكل صحيح.
إجابة:
2) دعونا نحسب حجم الجسم الذي يتكون من دوران هذا الشكل حول المحور.
سأعيد رسم الرسم بتصميم مختلف قليلاً:
إذن، الشكل المظلل باللون الأزرق يدور حول المحور. والنتيجة هي "فراشة تحوم" تدور حول محورها.
لإيجاد حجم جسم يدور، سنتكامل على طول المحور. أولا نحن بحاجة للذهاب إلى وظائف عكسية. وقد تم ذلك بالفعل ووصفه بالتفصيل في الفقرة السابقة.
الآن نميل رأسنا إلى اليمين مرة أخرى وندرس شكلنا. من الواضح أنه يجب إيجاد حجم الجسم الدوار بالفرق في الأحجام.
نقوم بتدوير الشكل المحاط بدائرة باللون الأحمر حول المحور، مما ينتج عنه مخروط مقطوع. دعونا نشير إلى هذا الحجم بواسطة .
نقوم بتدوير الشكل المحاط بدائرة باللون الأخضر حول المحور ونشير إليه بحجم جسم الدوران الناتج.
حجم الفراشة يساوي الفرق في الحجوم.
نستخدم الصيغة لإيجاد حجم جسم الثورة: 
ما هو الفرق من الصيغة في الفقرة السابقة؟ فقط في الرسالة.
لكن ميزة التكامل، التي تحدثت عنها مؤخرًا، من الأسهل العثور عليها 
، بدلاً من رفع التكامل أولاً إلى القوة الرابعة.
إجابة: 
ومع ذلك، ليست فراشة مريضة.
يرجى ملاحظة أنه إذا تم تدوير نفس الشكل المسطح حول المحور، فستحصل على جسم دوران مختلف تمامًا، بحجم مختلف، بشكل طبيعي.
مثال 6
إعطاء شكل مسطح يحده خطوط ومحور.
1) انتقل إلى الدوال العكسية وابحث عن مساحة الشكل المسطح الذي يحده هذه الخطوط عن طريق التكامل على المتغير.
2) احسب حجم الجسم الناتج عن تدوير شكل مسطح يحده هذه الخطوط حول المحور.
كيفية حساب حجم الجسم أثناء دورانه
باستخدام تكامل محدد؟
بشكل عام، هناك الكثير من التطبيقات المثيرة للاهتمام في حساب التفاضل والتكامل؛ باستخدام التكامل المحدد، يمكنك حساب مساحة الشكل، وحجم الجسم الدوراني، وطول القوس، ومساحة سطح الشكل. التناوب وأكثر من ذلك بكثير. لذا سيكون الأمر ممتعًا، يرجى البقاء متفائلًا!
تخيل شكلًا مسطحًا على المستوى الإحداثي. قدَّم؟ ... وأتساءل من قدم ماذا... =))) لقد وجدنا مساحتها بالفعل. ولكن، بالإضافة إلى ذلك، يمكن أيضًا تدوير هذا الشكل، وتدويره بطريقتين:
- حول محور الإحداثي السيني؛
- حول المحور الإحداثي.
هذه المقالة سوف تدرس كلتا الحالتين. الطريقة الثانية للدوران مثيرة للاهتمام بشكل خاص؛ فهي تسبب معظم الصعوبات، ولكن في الواقع الحل هو نفسه تقريبًا كما هو الحال في الدوران الأكثر شيوعًا حول المحور السيني. على سبيل المكافأة سأعود إلى مشكلة إيجاد مساحة الشكلوسأخبرك بكيفية العثور على المنطقة بالطريقة الثانية - على طول المحور. إنها ليست مكافأة بقدر ما تتناسب المادة جيدًا مع الموضوع.
لنبدأ بالنوع الأكثر شيوعًا من التناوب.
شكل مسطح حول محور
احسب حجم الجسم الناتج عن تدوير شكل محدد بخطوط حول محور.
حل: كما هو الحال في مشكلة العثور على المنطقة، يبدأ الحل برسم شكل مسطح. أي أنه من الضروري على المستوى بناء شكل يحده الخطوط، ولا تنس أن المعادلة تحدد المحور. كيفية إكمال الرسم بشكل أكثر كفاءة وسرعة يمكن العثور عليها على الصفحات الرسوم البيانية وخصائص الوظائف الابتدائيةو . هذا تذكير صيني، ولن أطيل في الحديث عند هذه النقطة.
الرسم هنا بسيط للغاية:
الشكل المسطح المرغوب مظلل باللون الأزرق، وهو الذي يدور حول المحور، ونتيجة للدوران تكون النتيجة طبق طائر بيضاوي قليلاً ومتماثل حول المحور. في الواقع، الجسم له اسم رياضي، لكنني كسول جدًا لدرجة أنني لا أستطيع توضيح أي شيء في الكتاب المرجعي، لذلك نمضي قدمًا.
كيفية حساب حجم جسم الثورة؟
يمكن حساب حجم جسم الثورة باستخدام الصيغة:
في الصيغة، يجب أن يكون الرقم موجودًا قبل التكامل. لقد حدث أن كل ما يدور في الحياة مرتبط بهذا الثابت.
أعتقد أنه من السهل تخمين كيفية تعيين حدود التكامل "a" و"be" من الرسم المكتمل.
الوظيفة... ما هي هذه الوظيفة؟ دعونا نلقي نظرة على الرسم. الشكل المستوي محدد بالرسم البياني للقطع المكافئ في الأعلى. هذه هي الوظيفة المضمنة في الصيغة.
في المهام العملية، يمكن أحيانًا وضع الشكل المسطح أسفل المحور. هذا لا يغير شيئًا - يتم تربيع التكامل في الصيغة: وهكذا التكامل دائمًا غير سلبيوهو أمر منطقي للغاية.
دعونا نحسب حجم الجسم الدوار باستخدام هذه الصيغة: 
كما لاحظت بالفعل، فإن التكامل دائمًا ما يكون بسيطًا، والشيء الرئيسي هو توخي الحذر.
إجابة: 
في إجابتك يجب أن تشير إلى البعد - الوحدات المكعبة. أي أنه يوجد في جسم الدوران حوالي 3.35 "مكعبًا". لماذا مكعب وحدات؟ لأن الصيغة الأكثر عالمية. من الممكن أن يكون هناك سنتيمترات مكعبة، أو أمتار مكعبة، أو كيلومترات مكعبة، وما إلى ذلك، هذا هو عدد الرجال الخضر الذين يمكن لخيالك أن يضعهم في طبق طائر.
أوجد حجم الجسم المتكون من الدوران حول محور شكل محدد بالخطوط،،
هذا مثال لك لحله بنفسك. الحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس.
دعونا نفكر في مشكلتين أكثر تعقيدًا، والتي غالبًا ما يتم مواجهتها في الممارسة العملية.
احسب حجم الجسم الذي تم الحصول عليه بالتدوير حول محور الإحداثي السيني للشكل الذي يحده الخطوط و و
حل: لنرسم في الرسم شكلاً مسطحاً محاطاً بالخطوط , , , دون أن ننسى أن المعادلة تحدد المحور:
الشكل المطلوب مظلل باللون الأزرق. عندما تدور حول محورها، تتحول إلى كعكة سريالية ذات أربع زوايا.
دعونا نحسب حجم جسم الثورة كما الفرق في أحجام الأجسام.
أولاً، دعونا نلقي نظرة على الشكل المُحاط بدائرة باللون الأحمر. عندما يدور حول محور، يتم الحصول على مخروط مقطوع. دعونا نشير إلى حجم هذا المخروط المقطوع بواسطة .
خذ بعين الاعتبار الشكل المُحاط بدائرة باللون الأخضر. إذا قمت بتدوير هذا الشكل حول المحور، فستحصل أيضًا على مخروط مقطوع، أصغر قليلاً فقط. دعونا نشير إلى حجمه بواسطة .
ومن الواضح أن الاختلاف في الأحجام هو بالضبط حجم "الدونات" الخاصة بنا.
نستخدم الصيغة القياسية لإيجاد حجم الجسم الذي يدور: 
1) الشكل المُحاط بدائرة باللون الأحمر يحده من الأعلى خط مستقيم، وبالتالي:
2) الشكل المُحاط بدائرة باللون الأخضر محدد من الأعلى بخط مستقيم، وبالتالي:
3) حجم جسم الثورة المطلوب : 
إجابة: 
من الغريب أنه في هذه الحالة يمكن التحقق من الحل باستخدام الصيغة المدرسية لحساب حجم المخروط المقطوع.
غالبًا ما يُكتب القرار نفسه بشكل أقصر، مثل هذا: 
والآن لنأخذ قسطًا من الراحة ونخبرك بالأوهام الهندسية.
غالبًا ما يكون لدى الناس أوهام مرتبطة بالمجلدات، وهو ما لاحظه بيرلمان (آخر) في الكتاب هندسة مسلية. انظر إلى الشكل المسطح في المسألة التي تم حلها - يبدو أنه صغير المساحة، وحجم جسم الدوران يزيد قليلاً عن 50 وحدة مكعبة، وهو ما يبدو كبيرًا جدًا. وبالمناسبة، فإن الشخص العادي يشرب ما يعادل غرفة مساحتها 18 مترًا مربعًا من السوائل طوال حياته، وهو على العكس من ذلك يبدو حجمًا صغيرًا جدًا.
بعد الاستطراد الغنائي، من المناسب حل المهمة الإبداعية:
احسب حجم الجسم المتكون من الدوران حول محور شكل مسطح يحده الخطان , , حيث .
هذا مثال لك لحله بنفسك. يرجى ملاحظة أن جميع الحالات تحدث في النطاق، أي أن حدود التكامل الجاهزة معطاة بالفعل. ارسم الرسوم البيانية للدوال المثلثية بشكل صحيح، واسمحوا لي أن أذكركم بمادة الدرس حول التحولات الهندسية للرسوم البيانية: إذا تم تقسيم الوسيطة على اثنين:، فسيتم تمديد الرسوم البيانية مرتين على طول المحور. يُنصح بالعثور على 3-4 نقاط على الأقل وفقا للجداول المثلثيةلإكمال الرسم بشكل أكثر دقة. الحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس. بالمناسبة، يمكن حل المهمة بعقلانية وليس بعقلانية شديدة.
حساب حجم الجسم الناتج عن الدوران
شكل مسطح حول محور
ستكون الفقرة الثانية أكثر إثارة للاهتمام من الأولى. إن مهمة حساب حجم جسم دوراني حول المحور الإحداثي هي أيضًا ضيف شائع إلى حد ما في أعمال الاختبار. على طول الطريق سيتم النظر فيها مشكلة إيجاد مساحة الشكلالطريقة الثانية هي التكامل على طول المحور، وهذا لن يسمح لك بتحسين مهاراتك فحسب، بل سيعلمك أيضًا كيفية العثور على مسار الحل الأكثر ربحية. هناك أيضًا معنى للحياة العملية في هذا! كما تذكرت أستاذتي في أساليب تدريس الرياضيات بابتسامة، شكرها العديد من الخريجين بالكلمات: "لقد ساعدنا موضوعك كثيرًا، والآن نحن مديرون فعالون وندير الموظفين على النحو الأمثل". وأغتنم هذه الفرصة، كما أعرب عن امتناني الكبير لها، خاصة وأنني أستخدم المعرفة المكتسبة للغرض المقصود =).
أوصي به للجميع، حتى الدمى الكاملة. علاوة على ذلك، فإن المواد المستفادة في الفقرة الثانية ستوفر مساعدة لا تقدر بثمن في حساب التكاملات المزدوجة.
نظرا لشكل مسطح تحده الخطوط , .
1) أوجد مساحة الشكل المسطح الذي يحده هذه الخطوط.
2) أوجد حجم الجسم الناتج عن تدوير شكل مسطح محدد بهذه الخطوط حول المحور.
انتباه!حتى لو كنت تريد قراءة النقطة الثانية فقط، تأكد من قراءة النقطة الأولى أولاً!
حل: المهمة تتكون من جزأين. لنبدأ بالمربع.
1) لنقم بالرسم:
من السهل أن نرى أن الدالة تحدد الفرع العلوي من القطع المكافئ، والدالة تحدد الفرع السفلي من القطع المكافئ. أمامنا قطع مكافئ تافه "يقع على جانبه".
الشكل المطلوب الذي سيتم العثور على مساحته مظلل باللون الأزرق.
كيفية العثور على مساحة الشكل؟ يمكن العثور عليها بالطريقة "العادية" التي تمت مناقشتها في الفصل تكامل محدد. كيفية حساب مساحة الشكل. علاوة على ذلك، يتم إيجاد مساحة الشكل كمجموع المساحات:
- على الجزء 
;
- على الجزء.
لهذا السبب:
لماذا الحل المعتاد سيء في هذه الحالة؟ أولًا، حصلنا على تكاملين. ثانيا، هناك جذور تحت التكاملات، والجذور في التكاملات ليست هدية، وبالإضافة إلى ذلك، يمكنك الخلط بين استبدال حدود التكامل. في الواقع، التكاملات، بالطبع، ليست قاتلة، ولكن في الممارسة العملية، يمكن أن يكون كل شيء أكثر حزنًا، لقد اخترت للتو وظائف "أفضل" للمشكلة.
هناك حل أكثر عقلانية: يتكون من التبديل إلى الدوال العكسية والتكامل على طول المحور.
كيفية الوصول إلى وظائف عكسية؟ بشكل تقريبي، تحتاج إلى التعبير عن "x" من خلال "y". أولا، دعونا ننظر إلى القطع المكافئ:
هذا يكفي، ولكن دعونا نتأكد من إمكانية اشتقاق نفس الوظيفة من الفرع السفلي:
الأمر أسهل مع الخط المستقيم:
انظر الآن إلى المحور: من فضلك قم بإمالة رأسك بشكل دوري إلى اليمين بمقدار 90 درجة كما تشرح (هذه ليست مزحة!). الرقم الذي نحتاجه يقع على القطعة، والتي يشار إليها بالخط الأحمر المنقط. في هذه الحالة، يقع الخط المستقيم فوق القطع المكافئ، مما يعني أنه يجب العثور على مساحة الشكل باستخدام الصيغة المألوفة لك بالفعل: 
. ما الذي تغير في الصيغة؟ مجرد خطاب وليس أكثر.
! ملحوظة: يجب تحديد حدود التكامل على طول المحور بدقة من الأسفل إلى الأعلى!
إيجاد المنطقة:
على هذا الجزء، لذلك: 
يرجى ملاحظة كيف قمت بالتكامل، فهذه هي الطريقة الأكثر عقلانية، وفي الفقرة التالية من المهمة سيكون السبب واضحًا.
للقراء الذين يشككون في صحة التكامل، سأجد المشتقات: 
تم الحصول على دالة التكامل الأصلية، مما يعني أن التكامل قد تم بشكل صحيح.
إجابة:
2) دعونا نحسب حجم الجسم الذي يتكون من دوران هذا الشكل حول المحور.
سأعيد رسم الرسم بتصميم مختلف قليلاً:
إذن، الشكل المظلل باللون الأزرق يدور حول المحور. والنتيجة هي "فراشة تحوم" تدور حول محورها.
لإيجاد حجم جسم يدور، سنتكامل على طول المحور. أولا نحن بحاجة للذهاب إلى وظائف عكسية. وقد تم ذلك بالفعل ووصفه بالتفصيل في الفقرة السابقة.
الآن نميل رأسنا إلى اليمين مرة أخرى وندرس شكلنا. من الواضح أنه يجب إيجاد حجم الجسم الدوار بالفرق في الأحجام.
نقوم بتدوير الشكل المحاط بدائرة باللون الأحمر حول المحور، مما ينتج عنه مخروط مقطوع. دعونا نشير إلى هذا الحجم بواسطة .
نقوم بتدوير الشكل المحاط بدائرة باللون الأخضر حول المحور ونشير إليه بحجم جسم الدوران الناتج.
حجم الفراشة يساوي الفرق في الحجوم.
نستخدم الصيغة لإيجاد حجم جسم الثورة: 
ما هو الفرق من الصيغة في الفقرة السابقة؟ فقط في الرسالة.
لكن ميزة التكامل، التي تحدثت عنها مؤخرًا، من الأسهل العثور عليها 
، بدلاً من رفع التكامل أولاً إلى القوة الرابعة.
إجابة: 
يرجى ملاحظة أنه إذا تم تدوير نفس الشكل المسطح حول المحور، فستحصل على جسم دوران مختلف تمامًا، بحجم مختلف، بشكل طبيعي.
إعطاء شكل مسطح يحده خطوط ومحور.
1) انتقل إلى الدوال العكسية وابحث عن مساحة الشكل المسطح الذي يحده هذه الخطوط عن طريق التكامل على المتغير.
2) احسب حجم الجسم الناتج عن تدوير شكل مسطح يحده هذه الخطوط حول المحور.
هذا مثال لك لحله بنفسك. يمكن للمهتمين أيضًا العثور على مساحة الشكل بالطريقة "المعتادة"، وبالتالي التحقق من النقطة 1). ولكن، أكرر، إذا قمت بتدوير شكل مسطح حول المحور، فستحصل على جسم دوران مختلف تمامًا بحجم مختلف، بالمناسبة، الإجابة الصحيحة (أيضًا لأولئك الذين يحبون حل المشكلات).
الحل الكامل للنقطتين المقترحتين للمهمة موجود في نهاية الدرس.
نعم، ولا تنس أن تميل رأسك إلى اليمين لتفهم أجسام الدوران وحدود التكامل!
كنت على وشك الانتهاء من المقالة، لكنهم قدموا اليوم مثالًا مثيرًا للاهتمام فقط لإيجاد حجم جسم دوراني حول المحور الإحداثي. طازج:
احسب حجم الجسم المتكون من الدوران حول محور شكل محدد بمنحنيات و .
حل: لنقم بالرسم:
على طول الطريق، نتعرف على الرسوم البيانية لبعض الوظائف الأخرى. هنا رسم بياني مثير للاهتمام لوظيفة زوجية ...
دع T يكون جسمًا دورانيًا يتكون من الدوران حول محور الإحداثي السيني لشبه منحرف منحني الأضلاع يقع في نصف المستوى العلوي ويحده محور الإحداثي السيني والخطوط المستقيمة x=a وx=b والرسم البياني للدالة المستمرة y= و(خ) .
دعونا نثبت أن هذا هو جسم الثورة مكعب ويتم التعبير عن حجمه بالصيغة
V=\pi \int\limits_(a)^(b) f^2(x)\,dx= \pi \int\limits_(a)^(b)y^2\,dx\,.
أولاً، نثبت أن هذا الجسم الدوراني منتظم إذا اخترنا مستوى Oyz المتعامد على محور الدوران كـ \Pi. لاحظ أن القسم الواقع على مسافة x من المستوى Oyz عبارة عن دائرة نصف قطرها f(x) ومساحتها S(x) تساوي \pi f^2(x) (الشكل 46). ولذلك، فإن الدالة S(x) مستمرة بسبب استمرارية f(x). التالي إذا S(x_1)\leqslant S(x_2)، فهذا يعني ذلك. لكن إسقاطات المقاطع على مستوى أويز هي دوائر نصف قطرها f(x_1) وf(x_2) ومركزها O، ومن f(x_1)\leqslant f(x_2)ويترتب على ذلك وجود دائرة نصف قطرها f(x_1) في دائرة نصف قطرها f(x_2) .
إذن، جسد الثورة منتظم. لذلك، فهو مكعب ويتم حساب حجمه بواسطة الصيغة
V=\pi \int\limits_(a)^(b) S(x)\,dx= \pi \int\limits_(a)^(b)f^2(x)\,dx\,.
إذا كان شبه منحرف منحني الأضلاع محددًا من الأسفل والأعلى بالمنحنيات y_1=f_1(x)، y_2=f_2(x)، إذن
V= \pi \int\limits_(a)^(b)y_2^2\,dx- \pi \int\limits_(a)^(b)y_1^2\,dx= \pi\int\limits_(a) )^(b)\Bigl(f_2^2(x)-f_1^2(x)\Bigr)dx\,.
يمكن أيضًا استخدام الصيغة (3) لحساب حجم جسم دوراني في الحالة التي يتم فيها تحديد حدود الشكل الدوار بواسطة معادلات بارامترية. في هذه الحالة، عليك استخدام تغيير المتغير تحت علامة التكامل المحددة.
في بعض الحالات، يكون من المناسب تحليل أجسام الدوران ليس إلى أسطوانات دائرية مستقيمة، ولكن إلى أشكال من نوع مختلف.
على سبيل المثال، دعونا نجد حجم الجسم الناتج عن تدوير شبه منحرف منحني حول المحور الإحداثي. أولاً، دعونا نوجد الحجم الذي تم الحصول عليه عن طريق تدوير مستطيل بارتفاع y#، والذي تقع في قاعدته القطعة. هذا الحجم يساوي الفرق في حجم أسطوانتين دائريتين مستقيمتين
\Delta V_k= \pi y_k x_(k+1)^2- \pi y_k x_k^2= \pi y_k \bigl(x_(k+1)+x_k\bigr) \bigl(x_(k+1)- x_k\bigr).
لكن الآن أصبح من الواضح أن الحجم المطلوب يقدر من الأعلى ومن الأسفل كما يلي:
2\pi \sum_(k=0)^(n-1) m_kx_k\Delta x_k \leqslant V\leqslant 2\pi \sum_(k=0)^(n-1) M_kx_k\Delta x_k\,.
ويتبع بسهولة من هنا صيغة لحجم جسم الثورة حول المحور الإحداثي:
V=2\pi \int\limits_(a)^(b) xy\,dx\,.
مثال 4.دعونا نوجد حجم الكرة التي نصف قطرها R.
حل.بدون فقدان العمومية، سننظر إلى دائرة نصف قطرها R ومركزها عند نقطة الأصل. هذه الدائرة، التي تدور حول محور الثور، تشكل كرة. معادلة الدائرة هي x^2+y^2=R^2، لذا y^2=R^2-x^2. مع الأخذ في الاعتبار تماثل الدائرة بالنسبة للمحور الإحداثي، نجد أولاً نصف الحجم المطلوب
\frac(1)(2)V= \pi\int\limits_(0)^(R)y^2\,dx= \pi\int\limits_(0)^(R) (R^2-x^ 2)\,dx= \left.(\pi\!\left(R^2x- \frac(x^3)(3)\right))\right|_(0)^(R)= \pi\ !\left(R^3- \frac(R^3)(3)\right)= \frac(2)(3)\pi R^3.
ومن ثم، فإن حجم الكرة بأكملها يساوي \frac(4)(3)\pi R^3.
مثال 5.احسب حجم المخروط الذي ارتفاعه h ونصف قطر قاعدته r.
حل.دعونا نختار نظام إحداثيات بحيث يتطابق محور الثور مع الارتفاع h (الشكل 47)، ونأخذ قمة المخروط كأصل الإحداثيات. ثم سيتم كتابة معادلة الخط المستقيم OA بالصيغة y=\frac(r)(h)\,x.
وباستخدام الصيغة (3) نحصل على:
V=\pi \int\limits_(0)^(h) y^2\,dx= \pi \int\limits_(0)^(h) \frac(r^2)(h^2)\,x ^2\,dx= \left.(\frac(\pi r^2)(h^2)\cdot \frac(x^3)(3))\right|_(0)^(h)= \ فارك(\pi)(3)\,r^2h\,.
مثال 6.دعونا نوجد حجم الجسم الناتج عن الدوران حول المحور السيني للكويكب \begin(cases)x=a\cos^3t\,\\ y=a\sin^3t\,.\end(cases)(الشكل 48).
حل.دعونا نبني كويكبًا. دعونا نفكر في نصف الجزء العلوي من الكويكب، الموجود بشكل متناظر بالنسبة للمحور الإحداثي. وباستخدام الصيغة (3) وتغيير المتغير تحت إشارة التكامل المحددة نجد حدود التكامل للمتغير الجديد t.
إذا كان x=a\cos^3t=0 ، ثم t=\frac(\pi)(2) ، وإذا كان x=a\cos^3t=a ، ثم t=0 . مع الأخذ في الاعتبار أن y^2=a^2\sin^6t و dx=-3a\cos^2t\sin(t)\,dt، نحن نحصل:
V=\pi \int\limits_(a)^(b) y^2\,dx= \pi \int\limits_(\pi/2)^(0) a^2\sin^6t \bigl(-3a) \cos^2t\sin(t)\bigr)\,dt= \ldots= \frac(16\pi)(105)\,a^3.
سيكون حجم الجسم بأكمله الناتج عن دوران النجم \frac(32\pi)(105)\,a^3.
مثال 7.دعونا نوجد حجم الجسم الناتج عن الدوران حول المحور الإحداثي لشبه منحرف منحني الأضلاع يحده المحور x والقوس الأول من الشكل الدائري \begin(cases)x=a(t-\sin(t)),\\ y=a(1-\cos(t)).\end(cases).
حل.لنستخدم الصيغة (4): V=2\pi \int\limits_(a)^(b)xy\,dx، واستبدال المتغير تحت علامة التكامل، مع مراعاة أن القوس الأول للدويري يتكون عندما يتغير المتغير t من 0 إلى 2\pi. هكذا،
\begin(محاذاة)V&= 2\pi \int\limits_(0)^(2\pi) a(t-\sin(t))a(1-\cos(t))a(1-\cos( t))\,dt= 2\pi a^3 \int\limits_(0)^(2\pi) (t-\sin(t))(1-\cos(t))^2\,dt= \\ &= 2\pi a^3 \int\limits_(0)^(2\pi)\bigl(t-\sin(t)- 2t\cos(t)+ 2\sin(t)\cos( t)+ t\cos^2t- \sin(t)\cos^2t\bigr)\,dt=\\ &= \left.(2\pi a^3\!\left(\frac(t^2 )(2)+ \cos(t)- 2t\sin(t)- 2\cos(t)+ \sin^2t+ \frac(t^2)(4)+ \frac(t)(4)\sin2t+ \frac(1)(8)\cos2t+ \frac(1)(3)\cos^3t\right))\right|_(0)^(2\pi)=\\ &= 2\pi a^3 \!\left(2\pi^2+1-2+\pi^2+\frac(1)(8)+ \frac(1)(3)-1+2- \frac(1)(8) - \frac(1)(3)\يمين)= 6\pi^3a^3. \end(محاذاة)
تم تعطيل جافا سكريبت في المتصفح الخاص بك.لإجراء العمليات الحسابية، يجب عليك تمكين عناصر تحكم ActiveX!
كما هو الحال مع مشكلة العثور على المنطقة، فأنت بحاجة إلى مهارات رسم واثقة - وهذا هو الشيء الأكثر أهمية تقريبًا (نظرًا لأن التكاملات نفسها غالبًا ما تكون سهلة). يمكنك إتقان تقنيات الرسوم البيانية المختصة والسريعة بمساعدة المواد التعليمية والتحويلات الهندسية للرسوم البيانية. ولكن، في الواقع، لقد تحدثت بالفعل عن أهمية الرسومات عدة مرات في الفصل.
بشكل عام، هناك الكثير من التطبيقات المثيرة للاهتمام في حساب التكامل؛ فباستخدام التكامل المحدد، يمكنك حساب مساحة الشكل، وحجم الجسم الذي يدور، وطول القوس، ومساحة سطح الدوران، وغير ذلك الكثير. أكثر. لذا سيكون الأمر ممتعًا، يرجى البقاء متفائلًا!
تخيل شكلًا مسطحًا على المستوى الإحداثي. قدَّم؟ ... وأتساءل من قدم ماذا... =))) لقد وجدنا مساحتها بالفعل. ولكن، بالإضافة إلى ذلك، يمكن أيضًا تدوير هذا الشكل، وتدويره بطريقتين:
- حول محور الإحداثي السيني؛
- حول المحور الإحداثي.
هذه المقالة سوف تدرس كلتا الحالتين. الطريقة الثانية للدوران مثيرة للاهتمام بشكل خاص؛ فهي تسبب معظم الصعوبات، ولكن في الواقع الحل هو نفسه تقريبًا كما هو الحال في الدوران الأكثر شيوعًا حول المحور السيني. على سبيل المكافأة سأعود إلى مشكلة إيجاد مساحة الشكلوسأخبرك بكيفية العثور على المنطقة بالطريقة الثانية - على طول المحور. إنها ليست مكافأة بقدر ما تتناسب المادة جيدًا مع الموضوع.
لنبدأ بالنوع الأكثر شيوعًا من التناوب.
شكل مسطح حول محور
مثال 1
احسب حجم الجسم الناتج عن تدوير شكل محدد بخطوط حول محور.
حل: كما هو الحال في مشكلة العثور على المنطقة، يبدأ الحل برسم شكل مسطح. أي أنه من الضروري على المستوى بناء شكل يحده الخطوط، ولا تنس أن المعادلة تحدد المحور. كيفية إكمال الرسم بشكل أكثر كفاءة وسرعة يمكن العثور عليها على الصفحات الرسوم البيانية وخصائص الوظائف الابتدائيةو تكامل محدد. كيفية حساب مساحة الشكل. هذا تذكير صيني، ولن أطيل في الحديث عند هذه النقطة.
الرسم هنا بسيط للغاية:
الشكل المسطح المرغوب مظلل باللون الأزرق، وهو الذي يدور حول المحور، ونتيجة للدوران تكون النتيجة طبق طائر بيضاوي قليلاً ومتماثل حول المحور. في الواقع، الجسم له اسم رياضي، لكنني كسول جدًا لدرجة أنني لا أستطيع توضيح أي شيء في الكتاب المرجعي، لذلك نمضي قدمًا.
كيفية حساب حجم جسم الثورة؟
يمكن حساب حجم جسم الثورة باستخدام الصيغة:
في الصيغة، يجب أن يكون الرقم موجودًا قبل التكامل. لقد حدث أن كل ما يدور في الحياة مرتبط بهذا الثابت.
أعتقد أنه من السهل تخمين كيفية تعيين حدود التكامل "a" و"be" من الرسم المكتمل.
الوظيفة... ما هي هذه الوظيفة؟ دعونا نلقي نظرة على الرسم. الشكل المستوي محدد بالرسم البياني للقطع المكافئ في الأعلى. هذه هي الوظيفة المضمنة في الصيغة.
في المهام العملية، يمكن أحيانًا وضع الشكل المسطح أسفل المحور. هذا لا يغير شيئًا - يتم تربيع التكامل في الصيغة: وهكذا التكامل دائمًا غير سلبيوهو أمر منطقي للغاية.
دعونا نحسب حجم الجسم الدوار باستخدام هذه الصيغة: 
كما لاحظت بالفعل، فإن التكامل دائمًا ما يكون بسيطًا، والشيء الرئيسي هو توخي الحذر.
إجابة:
في إجابتك، يجب أن تشير إلى البعد - الوحدات المكعبة. أي أنه يوجد في جسم الدوران حوالي 3.35 "مكعبًا". لماذا مكعب وحدات؟ لأن الصيغة الأكثر عالمية. من الممكن أن يكون هناك سنتيمترات مكعبة، أو أمتار مكعبة، أو كيلومترات مكعبة، وما إلى ذلك، هذا هو عدد الرجال الخضر الذين يمكن لخيالك أن يضعهم في طبق طائر.
مثال 2
أوجد حجم الجسم المتكون من الدوران حول محور شكل محدد بالخطوط،،
هذا مثال لك لحله بنفسك. الحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس.
دعونا نفكر في مشكلتين أكثر تعقيدًا، والتي غالبًا ما يتم مواجهتها في الممارسة العملية.
مثال 3
احسب حجم الجسم الذي تم الحصول عليه بالتدوير حول محور الإحداثي السيني للشكل الذي يحده الخطوط و و
حل: لنرسم في الرسم شكلاً مسطحاً محاطاً بالخطوط , , , دون أن ننسى أن المعادلة تحدد المحور:
الشكل المطلوب مظلل باللون الأزرق. عندما تدور حول محورها، تتحول إلى كعكة سريالية ذات أربع زوايا.
دعونا نحسب حجم جسم الثورة كما الفرق في أحجام الأجسام.
أولاً، دعونا نلقي نظرة على الشكل المُحاط بدائرة باللون الأحمر. عندما يدور حول محور، يتم الحصول على مخروط مقطوع. دعونا نشير إلى حجم هذا المخروط المقطوع بواسطة .
خذ بعين الاعتبار الشكل المُحاط بدائرة باللون الأخضر. إذا قمت بتدوير هذا الشكل حول المحور، فستحصل أيضًا على مخروط مقطوع، أصغر قليلاً فقط. دعونا نشير إلى حجمه بواسطة .
ومن الواضح أن الاختلاف في الأحجام هو بالضبط حجم "الدونات" الخاصة بنا.
نستخدم الصيغة القياسية لإيجاد حجم الجسم الذي يدور: 
1) الشكل المُحاط بدائرة باللون الأحمر يحده من الأعلى خط مستقيم، وبالتالي:
2) الشكل المُحاط بدائرة باللون الأخضر محدد من الأعلى بخط مستقيم، وبالتالي:
3) حجم جسم الثورة المطلوب : 
إجابة:
من الغريب أنه في هذه الحالة يمكن التحقق من الحل باستخدام الصيغة المدرسية لحساب حجم المخروط المقطوع.
غالبًا ما يُكتب القرار نفسه بشكل أقصر، مثل هذا:
والآن لنأخذ قسطًا من الراحة ونخبرك بالأوهام الهندسية.
غالبًا ما يكون لدى الناس أوهام مرتبطة بالمجلدات، وهو ما لاحظه بيرلمان (آخر) في الكتاب هندسة مسلية. انظر إلى الشكل المسطح في المشكلة التي تم حلها - يبدو صغيرًا في المساحة، وحجم جسم الدوران يزيد قليلاً عن 50 وحدة مكعبة، وهو ما يبدو كبيرًا جدًا. وبالمناسبة، فإن الشخص العادي يشرب ما يعادل غرفة مساحتها 18 مترًا مربعًا من السوائل طوال حياته، وهو على العكس من ذلك يبدو حجمًا صغيرًا جدًا.
بشكل عام، كان نظام التعليم في الاتحاد السوفياتي هو الأفضل حقا. نفس كتاب بيرلمان، الذي نشر في عام 1950، يتطور بشكل جيد للغاية، كما قال الفكاهي، والتفكير ويعلمك البحث عن حلول أصلية وغير قياسية للمشاكل. لقد قمت مؤخرًا بإعادة قراءة بعض الفصول باهتمام كبير، وأوصي بها، فهي في متناول حتى الإنسانيين. لا، لست بحاجة إلى أن تبتسم لأنني عرضت عليك وقت فراغ، فسعة الاطلاع وآفاق واسعة في التواصل شيء عظيم.
بعد الاستطراد الغنائي، من المناسب حل المهمة الإبداعية:
مثال 4
احسب حجم الجسم المتكون من الدوران حول محور شكل مسطح يحده الخطان , , حيث .
هذا مثال لك لحله بنفسك. يرجى ملاحظة أن جميع الحالات تحدث في النطاق، أي أن حدود التكامل الجاهزة معطاة بالفعل. ارسم الرسوم البيانية للدوال المثلثية بشكل صحيح، واسمحوا لي أن أذكركم بمادة الدرس حول التحولات الهندسية للرسوم البيانية: إذا تم تقسيم الوسيطة على اثنين:، فسيتم تمديد الرسوم البيانية مرتين على طول المحور. يُنصح بالعثور على 3-4 نقاط على الأقل وفقا للجداول المثلثيةلإكمال الرسم بشكل أكثر دقة. الحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس. بالمناسبة، يمكن حل المهمة بعقلانية وليس بعقلانية شديدة.
حساب حجم الجسم الناتج عن الدوران
شكل مسطح حول محور
ستكون الفقرة الثانية أكثر إثارة للاهتمام من الأولى. إن مهمة حساب حجم جسم دوراني حول المحور الإحداثي هي أيضًا ضيف شائع إلى حد ما في أعمال الاختبار. على طول الطريق سيتم النظر فيه مشكلة إيجاد مساحة الشكلالطريقة الثانية هي التكامل على طول المحور، وهذا لن يسمح لك بتحسين مهاراتك فحسب، بل سيعلمك أيضًا كيفية العثور على مسار الحل الأكثر ربحية. هناك أيضًا معنى للحياة العملية في هذا! كما تذكرت أستاذتي في أساليب تدريس الرياضيات بابتسامة، شكرها العديد من الخريجين بالكلمات: "لقد ساعدنا موضوعك كثيرًا، والآن نحن مديرون فعالون وندير الموظفين على النحو الأمثل". وأغتنم هذه الفرصة، كما أعرب عن امتناني الكبير لها، خاصة وأنني أستخدم المعرفة المكتسبة للغرض المقصود =).
أوصي به للجميع، حتى الدمى الكاملة. علاوة على ذلك، فإن المواد المستفادة في الفقرة الثانية ستوفر مساعدة لا تقدر بثمن في حساب التكاملات المزدوجة.
مثال 5
نظرا لشكل مسطح تحده الخطوط , .
1) أوجد مساحة الشكل المسطح الذي يحده هذه الخطوط.
2) أوجد حجم الجسم الناتج عن تدوير شكل مسطح محدد بهذه الخطوط حول المحور.
انتباه!حتى لو كنت تريد فقط قراءة النقطة الثانية، أولا بالضرورةقراءة أول واحد!
حل: المهمة تتكون من جزأين. لنبدأ بالمربع.
1) لنقم بالرسم:
من السهل أن نرى أن الدالة تحدد الفرع العلوي من القطع المكافئ، والدالة تحدد الفرع السفلي من القطع المكافئ. أمامنا قطع مكافئ تافه "يقع على جانبه".
الشكل المطلوب الذي سيتم العثور على مساحته مظلل باللون الأزرق.
كيفية العثور على مساحة الشكل؟ يمكن العثور عليها بالطريقة "العادية" التي تمت مناقشتها في الفصل تكامل محدد. كيفية حساب مساحة الشكل. علاوة على ذلك، يتم إيجاد مساحة الشكل كمجموع المساحات:
- على الجزء 
;
- على الجزء.
لهذا السبب:
لماذا الحل المعتاد سيء في هذه الحالة؟ أولًا، حصلنا على تكاملين. ثانيا، التكاملات هي جذور، والجذور في التكاملات ليست هدية، وبالإضافة إلى ذلك، يمكنك الخلط بين استبدال حدود التكامل. في الواقع، التكاملات، بالطبع، ليست قاتلة، ولكن في الممارسة العملية، يمكن أن يكون كل شيء أكثر حزنًا، لقد اخترت للتو وظائف "أفضل" للمشكلة.
هناك حل أكثر عقلانية: يتكون من التبديل إلى الدوال العكسية والتكامل على طول المحور.
كيفية الوصول إلى وظائف عكسية؟ بشكل تقريبي، تحتاج إلى التعبير عن "x" من خلال "y". أولا، دعونا ننظر إلى القطع المكافئ:
هذا يكفي، ولكن دعونا نتأكد من إمكانية اشتقاق نفس الوظيفة من الفرع السفلي:
الأمر أسهل مع الخط المستقيم:
انظر الآن إلى المحور: من فضلك قم بإمالة رأسك بشكل دوري إلى اليمين بمقدار 90 درجة كما تشرح (هذه ليست مزحة!). الرقم الذي نحتاجه يقع على القطعة، والتي يشار إليها بالخط الأحمر المنقط. في هذه الحالة، يقع الخط المستقيم فوق القطع المكافئ، مما يعني أنه يجب العثور على مساحة الشكل باستخدام الصيغة المألوفة لك بالفعل: . ما الذي تغير في الصيغة؟ مجرد خطاب وليس أكثر.
! ملحوظة: يجب تحديد حدود التكامل على طول المحور بدقة من الأسفل إلى الأعلى!
إيجاد المنطقة:
على هذا الجزء، لذلك: 
يرجى ملاحظة كيف قمت بالتكامل، فهذه هي الطريقة الأكثر عقلانية، وفي الفقرة التالية من المهمة سيكون السبب واضحًا.
للقراء الذين يشككون في صحة التكامل، سأجد المشتقات: 
تم الحصول على دالة التكامل الأصلية، مما يعني أن التكامل قد تم بشكل صحيح.
إجابة:
2) دعونا نحسب حجم الجسم الذي يتكون من دوران هذا الشكل حول المحور.
سأعيد رسم الرسم بتصميم مختلف قليلاً:
إذن، الشكل المظلل باللون الأزرق يدور حول المحور. والنتيجة هي "فراشة تحوم" تدور حول محورها.
لإيجاد حجم جسم يدور، سنتكامل على طول المحور. أولا نحن بحاجة للذهاب إلى وظائف عكسية. وقد تم ذلك بالفعل ووصفه بالتفصيل في الفقرة السابقة.
الآن نميل رأسنا إلى اليمين مرة أخرى وندرس شكلنا. من الواضح أنه يجب إيجاد حجم الجسم الدوار بالفرق في الأحجام.
نقوم بتدوير الشكل المحاط بدائرة باللون الأحمر حول المحور، مما ينتج عنه مخروط مقطوع. دعونا نشير إلى هذا الحجم بواسطة .
نقوم بتدوير الشكل المحاط بدائرة باللون الأخضر حول المحور ونشير إليه بحجم جسم الدوران الناتج.
حجم الفراشة يساوي الفرق في الحجوم.
نستخدم الصيغة لإيجاد حجم جسم الثورة: 
ما هو الفرق من الصيغة في الفقرة السابقة؟ فقط في الرسالة.
لكن ميزة التكامل، التي تحدثت عنها مؤخرًا، من الأسهل العثور عليها 
، بدلاً من رفع التكامل أولاً إلى القوة الرابعة.
إجابة: 
ومع ذلك، ليست فراشة مريضة.
يرجى ملاحظة أنه إذا تم تدوير نفس الشكل المسطح حول المحور، فستحصل على جسم دوران مختلف تمامًا، بحجم مختلف، بشكل طبيعي.
مثال 6
إعطاء شكل مسطح يحده خطوط ومحور.
1) انتقل إلى الدوال العكسية وابحث عن مساحة الشكل المسطح الذي يحده هذه الخطوط عن طريق التكامل على المتغير.
2) احسب حجم الجسم الناتج عن تدوير شكل مسطح يحده هذه الخطوط حول المحور.
هذا مثال لك لحله بنفسك. يمكن للمهتمين أيضًا العثور على مساحة الشكل بالطريقة "المعتادة"، وبالتالي التحقق من النقطة 1). ولكن، أكرر، إذا قمت بتدوير شكل مسطح حول المحور، فستحصل على جسم دوران مختلف تمامًا بحجم مختلف، بالمناسبة، الإجابة الصحيحة (أيضًا لأولئك الذين يحبون حل المشكلات).
الحل الكامل للنقطتين المقترحتين للمهمة موجود في نهاية الدرس.
نعم، ولا تنس أن تميل رأسك إلى اليمين لتفهم أجسام الدوران وحدود التكامل!
نوع الدرس: مدمج.
الغرض من الدرس:تعلم كيفية حساب أحجام أجسام الثورة باستخدام التكاملات.
مهام:
- تعزيز القدرة على تحديد شبه المنحرف المنحني الأضلاع من خلال عدد من الأشكال الهندسية وتطوير مهارة حساب مساحات شبه المنحرف المنحني الأضلاع؛
- التعرف على مفهوم الشكل ثلاثي الأبعاد؛
- تعلم كيفية حساب أحجام أجسام الثورة؛
- تعزيز تنمية التفكير المنطقي، والكلام الرياضي المختص، والدقة عند بناء الرسومات؛
- لتنمية الاهتمام بالموضوع، والعمل بالمفاهيم والصور الرياضية، وتنمية الإرادة والاستقلال والمثابرة في تحقيق النتيجة النهائية.
خلال الفصول الدراسية
I. اللحظة التنظيمية.
تحية من المجموعة. توصيل أهداف الدرس للطلاب.
انعكاس. لحن هادئ.
– أود أن أبدأ درس اليوم بمثل. "في يوم من الأيام، عاش رجل حكيم يعرف كل شيء. أراد رجل أن يثبت أن الحكيم لا يعرف كل شيء. سأل وهو يحمل فراشة في راحتيه: "أخبرني أيها الحكيم، أي فراشة في يدي: حية أم ميتة؟" وهو نفسه يفكر: "إن قالت الحية أقتلها، يقول الميت: أطلقها". فأجاب الحكيم بعد تفكير: "كل شيء في يديك". (عرض تقديمي.الانزلاق)
– لذلك، دعونا نعمل اليوم بشكل مثمر، ونكتسب مخزونًا جديدًا من المعرفة، وسنطبق المهارات والقدرات المكتسبة في الحياة المستقبلية وفي الأنشطة العملية. "كل شيء في يديك".
ثانيا. تكرار المواد التي سبق دراستها.
- لنتذكر النقاط الرئيسية للمادة التي سبق دراستها. للقيام بذلك، دعونا نكمل المهمة "حذف الكلمة الزائدة."(الانزلاق.)
(يذهب الطالب إلى بطاقة الهوية ويستخدم ممحاة لإزالة الكلمة الزائدة.)
- يمين "التفاضلي". حاول تسمية الكلمات المتبقية بكلمة واحدة مشتركة. (حساب التكامل.)
– لنتذكر المراحل والمفاهيم الأساسية المرتبطة بحساب التكامل..
"حفنة رياضية".
يمارس. استعادة الفجوات. (يخرج الطالب ويكتب الكلمات المطلوبة بالقلم).
– وسنسمع ملخصاً عن تطبيق التكاملات لاحقاً.
العمل في دفاتر الملاحظات.
- صيغة نيوتن-لايبنتز اشتقها الفيزيائي الإنجليزي إسحاق نيوتن (1643-1727) والفيلسوف الألماني جوتفريد لايبنتز (1646-1716). وهذا ليس مستغربا، لأن الرياضيات هي اللغة التي تتحدث بها الطبيعة نفسها.
– دعونا نفكر في كيفية استخدام هذه الصيغة لحل المشكلات العملية.
مثال 1: حساب مساحة الشكل الذي يحده الخطوط
الحل: لنقم ببناء رسوم بيانية للدوال على المستوى الإحداثي . دعنا نختار مساحة الشكل الذي يجب العثور عليه.
ثالثا. تعلم مواد جديدة.
- انتبه إلى الشاشة. ما هو مبين في الصورة الأولى؟ (الانزلاق) (يوضح الشكل شكلًا مسطحًا.)
- ماذا يظهر في الصورة الثانية؟ هل هذا الرقم مسطح؟ (الانزلاق) (يوضح الشكل شكلاً ثلاثي الأبعاد.)
– في الفضاء وعلى الأرض وفي الحياة اليومية، لا نواجه أشكالًا مسطحة فحسب، بل أيضًا أشكالًا ثلاثية الأبعاد، ولكن كيف يمكننا حساب حجم هذه الأجسام؟ على سبيل المثال، حجم كوكب، مذنب، نيزك، الخ.
- يفكر الناس في الحجم عند بناء المنازل وعند صب الماء من وعاء إلى آخر. وكان لا بد من ظهور قواعد وتقنيات لحساب الأحجام، أما مدى دقتها ومعقوليتها فهي مسألة أخرى.
رسالة من طالب . (تيورينا فيرا.)
كان عام 1612 مثمرا للغاية بالنسبة لسكان مدينة لينز النمساوية، حيث عاش عالم الفلك الشهير يوهانس كيبلر، وخاصة بالنسبة للعنب. كان الناس يعدون براميل النبيذ ويريدون معرفة كيفية تحديد حجمها بشكل عملي. (الشريحة 2)
- وهكذا، وضعت أعمال كبلر المدروسة الأساس لسلسلة كاملة من الأبحاث التي بلغت ذروتها في الربع الأخير من القرن السابع عشر. التصميم في أعمال I. Newton و G.V. لايبنتز في حساب التفاضل والتكامل. ومنذ ذلك الوقت، أخذت رياضيات المتغيرات مكانة رائدة في نظام المعرفة الرياضية.
– اليوم سنشارك أنا وأنت في مثل هذه الأنشطة العملية، لذلك،
موضوع درسنا: "حساب أحجام الأجسام الدورانية باستخدام التكامل المحدد". (الانزلاق)
– سوف تتعلم تعريف الجسم الدوراني من خلال إكمال المهمة التالية.
"متاهة".
متاهة (كلمة يونانية) تعني الذهاب تحت الأرض. المتاهة عبارة عن شبكة معقدة من المسارات والممرات والغرف المترابطة.
لكن التعريف كان "مكسورًا"، تاركًا تلميحات على شكل أسهم.
يمارس. ابحث عن طريقة للخروج من الموقف المربك واكتب التعريف.
الانزلاق. "تعليمات الخريطة" حساب الأحجام.
باستخدام تكامل محدد، يمكنك حساب حجم جسم معين، على وجه الخصوص، جسم الدوران.
الجسم الدوراني هو الجسم الذي يتم الحصول عليه عن طريق تدوير شبه منحرف منحني حول قاعدته (الشكل 1، 2)
يتم حساب حجم الجسم الدوراني باستخدام إحدى الصيغتين:
1.
حول محور الثور.
2. 
، إذا كان دوران شبه منحرف منحني حول محور المرجع أمبير.
يحصل كل طالب على بطاقة تعليمية. يؤكد المعلم على النقاط الرئيسية.
– يشرح المعلم حلول الأمثلة الموجودة على السبورة.
دعونا نفكر في مقتطف من الحكاية الخيالية الشهيرة التي كتبها A. S. Pushkin "حكاية القيصر سالتان وابنه المجيد والعظيم الأمير غيدون سالتانوفيتش والأميرة الجميلة سوان" (الشريحة 4):
…..
وأحضر الرسول المخمور
وفي نفس اليوم يكون الترتيب كالتالي:
"الملك يأمر أبناءه ،
دون إضاعة الوقت،
والملكة والنسل
رمي سرا في هاوية الماء ".
لا يوجد شيء للقيام به: البويار،
القلق بشأن السيادة
وإلى الملكة الشابة،
جاء حشد إلى غرفة نومها.
أعلنوا وصية الملك -
هي وابنها لهما نصيب السوء،
قرأنا المرسوم بصوت عال ،
والملكة في نفس الساعة
وضعوني في برميل مع ابني،
لقد طاروا وابتعدوا
وسمحوا لي بالدخول إلى أوكيان -
هذا ما أمر به القيصر سلطان.
ما هو حجم البرميل الذي يجب أن يناسبه الملكة وابنها؟
- النظر في المهام التالية
1. أوجد حجم الجسم الناتج عن الدوران حول المحور الإحداثي لشبه منحرف منحني الأضلاع يحده خطوط: س 2 + ص 2 = 64، ص = -5، ص = 5، س = 0.
الجواب: 1163 سم 3 .
أوجد حجم الجسم الناتج عن تدوير شبه منحرف مكافئ حول محور الإحداثي السيني ص =، س = 4، ص = 0.
رابعا. توحيد المواد الجديدة
مثال 2. احسب حجم الجسم الذي يتكون من دوران البتلة حول المحور السيني ص = س 2 , ص 2 = س.
دعونا نبني الرسوم البيانية للوظيفة. ص = س 2 , ص 2 = س. جدول ص2 = ستحويل إلى النموذج ذ= .
لدينا الخامس = الخامس 1 - الخامس 2دعونا نحسب حجم كل وظيفة
- الآن، دعونا نلقي نظرة على برج محطة الراديو في موسكو في شابولوفكا، والذي تم بناؤه وفقًا لتصميم المهندس الروسي الرائع الأكاديمي الفخري في جي شوخوف. وهو يتألف من أجزاء - أسطح زائدة للدوران. علاوة على ذلك، كل واحد منهم مصنوع من قضبان معدنية مستقيمة تربط الدوائر المجاورة (الشكل 8، 9).
- دعونا ننظر في المشكلة.
أوجد حجم الجسم الناتج عن تدوير أقواس القطع الزائد 
حول محورها الوهمي، كما هو موضح في الشكل. 8، حيث
مكعب وحدات
مهام المجموعة. يرسم الطلاب قرعة بالمهام، ويرسمون رسومات على ورق Whatman، ويدافع أحد ممثلي المجموعة عن العمل.
المجموعة الأولى.
يضرب! يضرب! ضربة أخرى!
الكرة تطير داخل المرمى - الكرة!
وهذه كرة بطيخ
أخضر، مستدير، لذيذ.
ألق نظرة أفضل - يا لها من كرة!
إنها مصنوعة من لا شيء سوى الدوائر.
نقطع البطيخ إلى دوائر
وتذوقهم.
أوجد حجم الجسم الناتج عن الدوران حول محور OX للدالة المحدودة
خطأ! لم يتم تعريف الإشارة المرجعية.
– من فضلك قل لي أين نلتقي بهذا الرقم؟
منزل. مهمة لمجموعة واحدة. اسطوانة (الانزلاق) .
"اسطوانة - ما هو؟" - سألت والدي.
ضحك الأب: القبعة هي قبعة.
لكي تكون الفكرة صحيحة
لنفترض أن الأسطوانة عبارة عن علبة من الصفيح.
أنبوب باخرة - اسطوانة،
الأنبوب الموجود على سطحنا أيضًا،
جميع الأنابيب تشبه الاسطوانة.
وأعطيت مثالا مثل هذا -
حبيبي كاليدوسكوب
لا يمكنك أن ترفع عينيك عنه،
ويبدو أيضًا وكأنه أسطوانة.
- يمارس. الواجب المنزلي: رسم بياني للدالة وحساب الحجم.
المجموعة الثانية. مخروط (الانزلاق).
قالت أمي: والآن
قصتي ستكون عن المخروط.
مراقب النجوم في قبعة عالية
يعد النجوم على مدار السنة.
مخروط - قبعة مراقب النجوم.
هذا ما هو عليه. مفهوم؟ هذا كل شيء.
وكانت أمي واقفة على الطاولة،
لقد صببت الزيت في زجاجات.
-أين القمع؟ لا يوجد قمع.
ابحث عنه. لا تقف على الهامش.
- أمي، لن أتزحزح.
أخبرنا المزيد عن المخروط.
- القمع يكون على شكل إبريق سقي مخروطي.
هيا، ابحث عنها لي بسرعة.
لم أتمكن من العثور على القمع
لكن أمي صنعت حقيبة،
لقد لف الورق المقوى حول إصبعي
وقد قامت بتأمينه ببراعة بمشبك ورق.
النفط يتدفق ، أمي سعيدة ،
خرج المخروط بشكل صحيح.
يمارس. احسب حجم الجسم الناتج عن دورانه حول محور الإحداثي السيني
منزل. مهمة للمجموعة الثانية. هرم(الانزلاق).
انا رأيت الصورة. في هذه الصورة
هناك هرم في الصحراء الرملية.
كل شيء في الهرم غير عادي،
هناك نوع من الغموض والغموض فيه.
وبرج سباسكايا في الساحة الحمراء
إنه مألوف جدًا لكل من الأطفال والكبار.
إذا نظرت إلى البرج، فهو يبدو عادياً،
ما هو فوق ذلك؟ هرم!
يمارس.الواجب المنزلي: رسم بياني للدالة وحساب حجم الهرم
– قمنا بحساب أحجام الأجسام المختلفة بناءً على الصيغة الأساسية لحجوم الأجسام باستخدام التكامل.
وهذا تأكيد آخر على أن التكامل المحدد هو أساس لدراسة الرياضيات.
- حسنا، الآن دعونا نرتاح قليلا.
العثور على زوج.
يعزف لحن الدومينو الرياضي.
"الطريق الذي كنت أبحث عنه بنفسي لن أنساه أبدًا..."
عمل بحثي. تطبيق التكامل في الاقتصاد والتكنولوجيا.
اختبارات للطلاب الأقوياء وكرة القدم الرياضية.
محاكاة الرياضيات.
2. تسمى مجموعة المشتقات العكسية لدالة معينة
أ) تكامل غير محدد،
ب) الوظيفة،
ب) التمايز.
7. أوجد حجم الجسم الناتج عن الدوران حول محور الإحداثي السيني لشبه منحرف منحني الأضلاع يحده خطوط:
د/ض. حساب حجم أجسام الثورة .
انعكاس.
استقبال الانعكاس في النموذج com.syncwine(خمسة أسطر).
السطر الأول - اسم الموضوع (اسم واحد).
السطر الثاني - وصف الموضوع في كلمتين، صفتين.
السطر الثالث - وصف الإجراء ضمن هذا الموضوع في ثلاث كلمات.
السطر الرابع عبارة عن أربع كلمات توضح الموقف من الموضوع (جملة كاملة).
السطر الخامس هو مرادف يكرر جوهر الموضوع.
- مقدار.
- دالة تكاملية محددة وقابلة للتكامل.
- نحن نبني، ندور، نحسب.
- جسم يتم الحصول عليه عن طريق تدوير شبه منحرف منحني (حول قاعدته).
- جسم الدوران (جسم هندسي حجمي).
خاتمة (الانزلاق).
- التكامل المحدد هو أساس معين لدراسة الرياضيات، والذي يقدم مساهمة لا غنى عنها في حل المشاكل العملية.
- يوضح موضوع "التكامل" بوضوح العلاقة بين الرياضيات والفيزياء والبيولوجيا والاقتصاد والتكنولوجيا.
- إن تطور العلم الحديث لا يمكن تصوره دون استخدام التكامل. وفي هذا الصدد لا بد من البدء بدراسته في إطار التعليم الثانوي التخصصي!
وضع العلامات. (مع التعليق.)
العظيم عمر الخيام - عالم رياضيات، شاعر، فيلسوف. إنه يشجعنا على أن نكون أسياد مصيرنا. دعونا نستمع إلى مقتطف من عمله:
ستقول: هذه الحياة لحظة واحدة.
نقدر ذلك، نستمد الإلهام منه.
كما تنفقه، فسوف يمر.
لا تنس: إنها خلقتك.