أمثلة على المصفوفات العكسية مع حل 3x3. طريقة التحويلات الأولية (طرق غاوس وجاوس-جوردان لإيجاد المصفوفات العكسية)

هذا الموضوع هو واحد من أكثر المواضيع التي يكرهها الطلاب. والأسوأ من ذلك، على الأرجح، هي التصفيات.

الحيلة هي أن مفهوم العنصر العكسي (وأنا لا أتحدث فقط عن المصفوفات) يحيلنا إلى عملية الضرب. حتى في المناهج المدرسية، يعتبر الضرب عملية معقدة، وضرب المصفوفات هو موضوع منفصل بشكل عام، وقد خصصت له فقرة كاملة ودرس فيديو.

اليوم لن نخوض في تفاصيل حسابات المصفوفة. دعونا نتذكر فقط: كيف يتم تعيين المصفوفات، وكيف يتم ضربها، وما يتبع ذلك.

مراجعة: ضرب المصفوفات

في البداية دعونا نتفق على التدوين. المصفوفة $A$ ذات الحجم $\left[ m\times n \right]$ هي ببساطة جدول أرقام يحتوي بالضبط على صفوف $m$ وأعمدة $n$:

\=\underbrace(\left[ \begin(matrix) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) \\ (( أ)_(21)) & ((أ)_(22)) & ... & ((أ)_(2ن)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((a)_(m1)) & ((a)_(m2)) & ... & ((a)_(mn)) \\\end(matrix) \right])_(n)\]

لتجنب الخلط بين الصفوف والأعمدة عن طريق الخطأ (صدقني، في الاختبار يمكنك الخلط بين واحد واثنين، ناهيك عن بعض الصفوف)، ما عليك سوى إلقاء نظرة على الصورة:

تحديد المؤشرات لخلايا المصفوفة

ماذا يحدث؟ إذا قمت بوضع نظام الإحداثيات القياسي $OXY$ في الزاوية اليسرى العليا وقمت بتوجيه المحاور بحيث تغطي المصفوفة بأكملها، فيمكن ربط كل خلية من هذه المصفوفة بشكل فريد بالإحداثيات $\left(x;y \right)$ - سيكون هذا رقم الصف ورقم العمود.

لماذا يتم وضع نظام الإحداثيات في الزاوية اليسرى العليا؟ نعم، لأنه من هناك نبدأ في قراءة أي نصوص. من السهل جدًا أن تتذكرها.

لماذا يتم توجيه محور $x$ إلى الأسفل وليس إلى اليمين؟ مرة أخرى، الأمر بسيط: خذ نظام إحداثي قياسي (يتجه المحور $x$ إلى اليمين، ويتجه المحور $y$ إلى الأعلى) وقم بتدويره بحيث يغطي المصفوفة. هذا دوران بمقدار 90 درجة في اتجاه عقارب الساعة - نرى النتيجة في الصورة.

بشكل عام، اكتشفنا كيفية تحديد مؤشرات عناصر المصفوفة. الآن دعونا ننظر إلى الضرب.

تعريف. المصفوفات $A=\left[ m\times n \right]$ و $B=\left[ n\times k \right]$، عندما يتطابق عدد الأعمدة في الأولى مع عدد الصفوف في الثانية، تكون دعا متسقة.

بالضبط بهذا الترتيب. يمكن الخلط بين المرء والقول إن المصفوفات $A$ و$B$ تشكل زوجًا مرتبًا $\left(A;B \right)$: إذا كانت متسقة بهذا الترتيب، فليس من الضروري على الإطلاق أن يكون $B $ و $A$ تلك. الزوج $\left(B;A \right)$ ثابت أيضًا.

يمكن ضرب المصفوفات المتطابقة فقط.

تعريف. حاصل ضرب المصفوفات المتطابقة $A=\left[ m\times n \right]$ و $B=\left[ n\times k \right]$ هي المصفوفة الجديدة $C=\left[ m\times k \right ]$ ، يتم حساب عناصرها $((c)_(ij))$ وفقًا للصيغة:

\[((c)_(ij))=\sum\limits_(k=1)^(n)(((a)_(ik)))\cdot ((b)_(kj))\]

بمعنى آخر: للحصول على العنصر $((c)_(ij))$ من المصفوفة $C=A\cdot B$، عليك أن تأخذ الصف $i$-من المصفوفة الأولى، $j$ -العمود الرابع من المصفوفة الثانية، ثم قم بضرب العناصر من هذا الصف والعمود في أزواج. قم بإضافة النتائج.

نعم، هذا تعريف قاسٍ. عدة حقائق تتبع على الفور:

ضرب المصفوفة، بشكل عام، هو عملية غير تبادلية: $A\cdot B\ne B\cdot A$;
ومع ذلك، الضرب هو ترابطي: $\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)$;
وحتى توزيعيًا: $\left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C$;
ومرة أخرى بشكل توزيعي: $A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$.

كان لا بد من وصف توزيع الضرب بشكل منفصل لعامل المجموع الأيسر والأيمن على وجه التحديد بسبب عدم تبادلية عملية الضرب.

إذا اتضح أن $A\cdot B=B\cdot A$، فإن هذه المصفوفات تسمى تبادلية.

من بين جميع المصفوفات التي يتم ضربها بشيء هناك، هناك مصفوفات خاصة - تلك التي، عند ضربها في أي مصفوفة $A$، تعطي مرة أخرى $A$:

تعريف. تسمى المصفوفة $E$ بالهوية إذا كان $A\cdot E=A$ أو $E\cdot A=A$. في حالة المصفوفة المربعة $A$ يمكننا أن نكتب:

تعتبر مصفوفة الهوية ضيفًا متكررًا عند حل معادلات المصفوفات. وبشكل عام ضيف متكرر في عالم المصفوفات. :)

وبسبب هذا $E$، جاء شخص ما بكل هذا الهراء الذي سيتم كتابته بعد ذلك.

ما هي المصفوفة العكسية

نظرًا لأن مضاعفة المصفوفات هي عملية كثيفة العمالة (عليك مضاعفة مجموعة من الصفوف والأعمدة)، فقد تبين أيضًا أن مفهوم المصفوفة العكسية ليس الأكثر تافهة. ويتطلب بعض التوضيح.

تعريف المفتاح

حسنا، حان الوقت لمعرفة الحقيقة.

تعريف. المصفوفة $B$ تسمى معكوس المصفوفة $A$ if

يُشار إلى المصفوفة العكسية بـ $((A)^(-1))$ (يجب عدم الخلط بينه وبين الدرجة!)، لذلك يمكن إعادة كتابة التعريف على النحو التالي:

يبدو أن كل شيء بسيط للغاية وواضح. ولكن عند تحليل هذا التعريف، تطرح على الفور عدة أسئلة:

هل توجد مصفوفة معكوسة دائمًا؟ وإذا لم يكن دائما، فكيف تحدد: متى يكون موجودا، ومتى لا يكون؟
ومن قال أن هناك مصفوفة واحدة بالضبط؟ ماذا لو كان هناك مجموعة كاملة من المعكوسات لبعض المصفوفات الأولية $A$؟
كيف تبدو كل هذه "الانتكاسات"؟ وكيف يجب أن نحسبها بالضبط؟

أما بالنسبة لخوارزميات الحساب، فسنتحدث عن هذا بعد قليل. لكننا سنجيب على الأسئلة المتبقية الآن. دعونا نقوم بصياغتها في شكل بيانات منفصلة.

الخصائص الأساسية

لنبدأ بالطريقة التي يجب أن تبدو بها المصفوفة $A$، من حيث المبدأ، حتى تكون $((A)^(-1))$ موجودة لها. الآن سوف نتأكد من أن كلا المصفوفتين يجب أن تكونا مربعتين، وبنفس الحجم: $\left[ n\times n \right]$.

ليما 1. بالنظر إلى المصفوفة $A$ ومعكوسها $((A)^(-1))$. إذن كلتا المصفوفتين مربعتان، ومن نفس الترتيب $n$.

دليل. انه سهل. اجعل المصفوفة $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ a\times b \right]$. بما أن المنتج $A\cdot ((A)^(-1))=E$ موجود حسب التعريف، فإن المصفوفات $A$ و$((A)^(-1))$ متسقة بالترتيب الموضح:

\[\begin(align) & \left[ m\times n \right]\cdot \left[ a\times b \right]=\left[ m\times b \right] \\ & n=a \end( محاذاة)\]

هذه نتيجة مباشرة لخوارزمية ضرب المصفوفة: المعاملان $n$ و$a$ هما "عبور" ويجب أن يكونا متساويين.

في الوقت نفسه، يتم تعريف الضرب العكسي أيضًا: $((A)^(-1))\cdot A=E$، وبالتالي فإن المصفوفات $((A)^(-1))$ و$A$ هي متسقة أيضًا بالترتيب المحدد:

\[\begin(align) & \left[ a\times b \right]\cdot \left[ m\times n \right]=\left[ a\times n \right] \\ & b=m \end( محاذاة)\]

وبالتالي، دون فقدان العمومية، يمكننا أن نفترض أن $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ n\times m \right]$. ومع ذلك، وفقًا لتعريف $A\cdot ((A)^(-1))=((A)^(-1))\cdot A$، وبالتالي فإن أحجام المصفوفات تتطابق تمامًا:

\[\begin(align) & \left[ m\times n \right]=\left[ n\times m \right] \\ & m=n \end(align)\]

لذلك اتضح أن المصفوفات الثلاث - $A$، $((A)^(-1))$ و $E$ - هي مصفوفات مربعة بالحجم $\left[ n\times n \right]$. تم إثبات الليما.

حسنا، هذا جيد بالفعل. نرى أن المصفوفات المربعة فقط هي التي يمكن عكسها. الآن دعونا نتأكد من أن المصفوفة العكسية هي نفسها دائمًا.

ليما 2. بالنظر إلى المصفوفة $A$ ومعكوسها $((A)^(-1))$. ثم هذه المصفوفة العكسية هي الوحيدة.

دليل. لنبدأ بالتناقض: دع المصفوفة $A$ تحتوي على معكوسين على الأقل - $B$ و$C$. ومن ثم، وفقا للتعريف، فإن المساواة التالية صحيحة:

\[\begin(align) & A\cdot B=B\cdot A=E; \\ & A\cdot C=C\cdot A=E. \\ \النهاية(محاذاة)\]

من Lemma 1 نستنتج أن جميع المصفوفات الأربع - $A$، $B$، $C$ و $E$ - هي مربعات بنفس الترتيب: $\left[ n\times n \right]$. ولذلك يتم تعريف المنتج:

بما أن ضرب المصفوفات عملية ترابطية (ولكنها ليست تبادلية!)، فيمكننا أن نكتب:

\[\begin(align) & B\cdot A\cdot C=\left(B\cdot A \right)\cdot C=E\cdot C=C; \\ & B\cdot A\cdot C=B\cdot \left(A\cdot C \right)=B\cdot E=B; \\ & B\cdot A\cdot C=C=B\Rightarrow B=C. \\ \النهاية(محاذاة)\]

لقد حصلنا على الخيار الوحيد الممكن: نسختان من المصفوفة العكسية متساويتان. تم إثبات الليما.

الوسائط المذكورة أعلاه تكرر حرفيًا تقريبًا إثبات تفرد العنصر العكسي لجميع الأعداد الحقيقية $b\ne 0$. الإضافة المهمة الوحيدة هي مراعاة أبعاد المصفوفات.

ومع ذلك، ما زلنا لا نعرف شيئًا عما إذا كانت كل مصفوفة مربعة قابلة للعكس أم لا. هنا يأتي المحدد لمساعدتنا - وهذه خاصية أساسية لجميع المصفوفات المربعة.

ليما 3. نظرا لمصفوفة $A$. إذا كانت المصفوفة العكسية $((A)^(-1))$ موجودة، فإن محدد المصفوفة الأصلية يكون غير صفر:

\[\يسار| أ\يمين|\ني 0\]

دليل. نحن نعلم بالفعل أن $A$ و$((A)^(-1))$ عبارة عن مصفوفات مربعة بحجم $\left[ n\times n \right]$. لذلك، يمكننا حساب المحدد لكل واحد منهم: $\left| أ\يمين|$ و$\يسار| ((أ)^(-1)) \اليمين|$. ومع ذلك، فإن محدد المنتج يساوي منتج المحددات:

\[\يسار| أ\cdot ب \يمين|=\يسار| \يمين|\cdot \يسار| ب \يمين|\يمين السهم \يسار| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\left| \يمين|\cdot \يسار| ((أ)^(-1)) \اليمين|\]

لكن وفقًا للتعريف، $A\cdot ((A)^(-1))=E$، ومحدد $E$ يساوي دائمًا 1، لذلك

\[\begin(align) & A\cdot ((A)^(-1))=E; \\ & \اليسار| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\left| E\يمين|; \\ & \اليسار| \يمين|\cdot \يسار| ((أ)^(-1)) \يمين|=1. \\ \النهاية(محاذاة)\]

حاصل ضرب رقمين يساوي واحدًا فقط إذا كان كل رقم من هذه الأرقام غير صفر:

\[\يسار| أ \يمين|\ني 0;\رباعية \يسار| ((A)^(-1)) \right|\ne 0.\]

لذلك اتضح أن $\left| \right|\ne 0$. تم إثبات الليما.

في الواقع، هذا المطلب منطقي تمامًا. سنقوم الآن بتحليل الخوارزمية للعثور على المصفوفة العكسية - وسيصبح من الواضح تمامًا سبب عدم وجود مصفوفة معكوسة من حيث المبدأ مع وجود محدد صفري.

لكن أولاً، دعونا نقوم بصياغة تعريف "مساعد":

تعريف. المصفوفة المفردة هي مصفوفة مربعة حجمها $\left[ n\times n \right]$ ومحددها صفر.

وبالتالي، يمكننا القول أن كل مصفوفة قابلة للعكس هي غير مفردة.

كيفية العثور على معكوس المصفوفة

الآن سننظر في خوارزمية عالمية للعثور على المصفوفات العكسية. بشكل عام، هناك خوارزميتان مقبولتان بشكل عام، وسننظر أيضًا في الخوارزمية الثانية اليوم.

ما سيتم مناقشته الآن فعال للغاية بالنسبة للمصفوفات ذات الحجم $\left[ 2\times 2 \right]$ و - جزئيًا - الحجم $\left[ 3\times 3 \right]$. لكن بدءًا من الحجم $\left[ 4\times 4 \right]$ فمن الأفضل عدم استخدامه. لماذا - الآن سوف تفهم كل شيء بنفسك.

الإضافات الجبرية

إستعد. الآن سيكون هناك ألم. لا، لا تقلق: ممرضة جميلة ترتدي تنورة، لن تأتي إليك جوارب من الدانتيل وتعطيك حقنة في الأرداف. كل شيء أكثر واقعية: الإضافات الجبرية وصاحبة الجلالة "مصفوفة الاتحاد" تأتي إليك.

لنبدأ بالشيء الرئيسي. لتكن هناك مصفوفة مربعة الحجم $A=\left[ n\times n \right]$، والتي تسمى عناصرها $((a)_(ij))$. ثم يمكننا تحديد مكمل جبري لكل عنصر من هذا القبيل:

تعريف. المكمل الجبري $((A)_(ij))$ للعنصر $((a)_(ij))$ الموجود في الصف $i$th والعمود $j$th من المصفوفة $A=\left[ n \times n \right]$ عبارة عن بناء للنموذج

\[((A)_(ij))=((\left(-1 \right))^(i+j))\cdot M_(ij)^(*)\]

حيث $M_(ij)^(*)$ هو محدد المصفوفة التي تم الحصول عليها من $A$ الأصلي عن طريق حذف نفس الصف $i$th والعمود $j$th.

مرة أخرى. يُشار إلى المكمل الجبري لعنصر المصفوفة بإحداثيات $\left(i;j \right)$ بالرمز $((A)_(ij))$ ويتم حسابه وفقًا للمخطط:

أولاً، نقوم بحذف العمود $i$-row والعمود $j$-th من المصفوفة الأصلية. حصلنا على مصفوفة مربعة جديدة، ونشير إلى محددها بالرمز $M_(ij)^(*)$.
ثم نضرب هذا المحدد في $((\left(-1 \right))^(i+j))$ - في البداية قد يبدو هذا التعبير مذهلًا، ولكن في جوهره نحن ببساطة نكتشف العلامة الموجودة أمام $M_(ij)^(*) $.
نحن نحسب ونحصل على رقم محدد. أولئك. فالإضافة الجبرية هي على وجه التحديد رقم، وليست مصفوفة جديدة، وما إلى ذلك.

المصفوفة $M_(ij)^(*)$ نفسها تسمى ثانوية إضافية للعنصر $((a)_(ij))$. وبهذا المعنى، فإن التعريف أعلاه للمكمل الجبري هو حالة خاصة لتعريف أكثر تعقيدًا - وهو ما تناولناه في الدرس حول المحدد.

ملاحظة مهمة. في الواقع، في الرياضيات "الكبار"، يتم تعريف الإضافات الجبرية على النحو التالي:

نحن نأخذ صفوف $k$ وأعمدة $k$ في مصفوفة مربعة. عند تقاطعهما نحصل على مصفوفة بالحجم $\left[ k\times k \right]$ - يُطلق على محددها اسم ثانوي من الرتبة $k$ ويُشار إليه بـ $((M)_(k))$.

ثم نقوم بشطب هذه الصفوف $k$ "المحددة" والأعمدة $k$. مرة أخرى، تحصل على مصفوفة مربعة - محددها يُسمى مصفوفة ثانوية إضافية ويُشار إليها بـ $M_(k)^(*)$.

اضرب $M_(k)^(*)$ في $((\left(-1 \right))^(t))$، حيث $t$ هو (انتبه الآن!) مجموع أرقام جميع الصفوف المحددة والأعمدة . ستكون هذه الإضافة الجبرية.

انظر إلى الخطوة الثالثة: يوجد بالفعل مبلغ قدره 2 ألف دولار! شيء آخر هو أنه بالنسبة لـ $k=1$ سنحصل على حدين فقط - سيكونان نفس $i+j$ - "إحداثيات" العنصر $((a)_(ij))$ الذي نحن عليه أبحث عن مكمل جبري.

لذا، سنستخدم اليوم تعريفًا مبسطًا بعض الشيء. ولكن كما سنرى لاحقا، سيكون أكثر من كاف. الأمر التالي هو الأهم بكثير:

تعريف. المصفوفة المتحالفة $S$ مع المصفوفة المربعة $A=\left[ n\times n \right]$ هي مصفوفة جديدة بالحجم $\left[ n\times n \right]$، والتي تم الحصول عليها من $A$ بالاستبدال $(( a)_(ij))$ بالإضافات الجبرية $((A)_(ij))$:

\\Rightarrow S=\left[ \begin(matrix) ((A)_(11)) & ((A)_(12)) & ... & ((A)_(1n)) \\ (( أ)_(21)) & ((أ)_(22)) & ... & ((أ)_(2ن)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((A)_(n1)) & ((A)_(n2)) & ... & ((A)_(nn)) \\\end(matrix) \right]\]

الفكرة الأولى التي تطرأ في لحظة تحقيق هذا التعريف هي "كم يجب حسابه!" استرخ: سيتعين عليك العد، ولكن ليس كثيرًا. :)

حسنًا، كل هذا جميل جدًا، لكن لماذا هو ضروري؟ لكن لماذا.

النظرية الرئيسية

دعونا نعود قليلا. تذكر، في Lemma 3، ذكر أن المصفوفة القابلة للعكس $A$ هي دائمًا غير مفردة (أي أن محددها غير صفر: $\left| A \right|\ne 0$).

لذا، فإن العكس هو الصحيح أيضًا: إذا كانت المصفوفة $A$ ليست مفردة، فهي دائمًا قابلة للعكس. ويوجد أيضًا نظام بحث عن $((A)^(-1))$. تحقق من ذلك:

نظرية المصفوفة العكسية. لنفترض أن المصفوفة المربعة $A=\left[ n\times n \right]$ محددة، ومحددها غير صفر: $\left| \right|\ne 0$. ثم توجد المصفوفة العكسية $((A)^(-1))$ ويتم حسابها بالصيغة:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))\]

والآن - كل شيء هو نفسه، ولكن بخط واضح. للعثور على المصفوفة العكسية، تحتاج إلى:

احسب المحدد $\left| A \right|$ وتأكد من أنه غير صفر.
قم ببناء مصفوفة الاتحاد $S$، أي. احسب 100500 إضافة جبرية $((A)_(ij))$ ووضعها في مكانها $((a)_(ij))$.
قم بتبديل هذه المصفوفة $S$، ثم اضربها ببعض الأرقام $q=(1)/(\left| A \right|)\;$.

هذا كل شئ! تم العثور على المصفوفة العكسية $((A)^(-1))$. دعونا نلقي نظرة على الأمثلة:

\[\left[ \begin(matrix) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end(matrix) \right]\]

حل. دعونا نتحقق من إمكانية الرجوع. دعونا نحسب المحدد:

\[\يسار| أ\يمين|=\يسار| \begin(matrix) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end(matrix) \right|=3\cdot 2-1\cdot 5=6-5=1\]

المحدد يختلف عن الصفر. وهذا يعني أن المصفوفة قابلة للعكس. لنقم بإنشاء مصفوفة اتحادية:

دعونا نحسب الإضافات الجبرية:

\[\begin(align) & ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| 2 \يمين|=2; \\ & ((A)_(12))=((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| 5 \يمين|=-5; \\ & ((A)_(21))=((\left(-1 \right))^(2+1))\cdot \left| 1 \يمين|=-1; \\ & ((A)_(22))=((\left(-1 \right))^(2+2))\cdot \left| 3\صحيح|=3. \\ \النهاية(محاذاة)\]

يرجى ملاحظة: المحددات |2|، |5|، |1| و |3| هي محددات لمصفوفات الحجم $\left[ 1\times 1 \right]$، وليست وحدات. أولئك. إذا كانت هناك أرقام سالبة في المحددات، فلا داعي لإزالة "الطرح".

في المجمل، تبدو مصفوفة الاتحاد لدينا كما يلي:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))=\frac(1)(1)\cdot ( (\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -5 \\ -1 & 3 \\\end(array) \right])^(T))=\left[ \begin (صفيف)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end(array) \right]\]

حسنًا، لقد انتهى كل شيء الآن. حلت المشكلة.

إجابة. $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end(array) \right]$

مهمة. أوجد المصفوفة العكسية:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(array) \right] \]

حل. نحسب المحدد مرة أخرى:

\[\begin(محاذاة) & \left| \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(array) \right|=\begin(matrix) ) \left(1\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot \left(-1 \right)\cdot 1+2\cdot 0\cdot 0 \right)- \\ -\left (2\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot 0\cdot 1+1\cdot \left(-1 \right)\cdot 0 \right) \\\end(matrix)= \ \ & =\left(2+1+0 \right)-\left(4+0+0 \right)=-1\ne 0. \\ \end(align)\]

المحدد غير صفري، المصفوفة قابلة للعكس. لكن الآن سيكون الأمر صعبًا للغاية: نحتاج إلى حساب ما يصل إلى 9 (تسعة، أيها اللعين!) من الإضافات الجبرية. وسيحتوي كل واحد منهم على المحدد $\left[ 2\times 2 \right]$. طار:

\[\begin(matrix) ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| \begin(matrix) 2 & -1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right|=2; \\ ((A)_(12))=((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| \begin(matrix) 0 & -1 \\ 1 & 1 \\\end(matrix) \right|=-1; \\ ((A)_(13))=((\left(-1 \right))^(1+3))\cdot \left| \begin(matrix) 0 & 2 \\ 1 & 0 \\\end(matrix) \right|=-2; \\ ... \\ ((A)_(33))=((\left(-1 \right))^(3+3))\cdot \left| \begin(matrix) 1 & -1 \\ 0 & 2 \\\end(matrix) \right|=2; \\ \النهاية(مصفوفة)\]

باختصار، ستبدو مصفوفة الاتحاد كما يلي:

وبالتالي فإن المصفوفة العكسية ستكون:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(-1)\cdot \left[ \begin(matrix) 2 & -1 & -2 \\ 1 & -1 & -1 \\ -3 & 1 & 2 \\\end(matrix) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r))-2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \ \2 & 1 & -2 \\\end(صفيف) \right]\]

هذا كل شيء. هنا هو الجواب.

إجابة. $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \\\end(array) \right ]$

كما ترون، في نهاية كل مثال قمنا بإجراء فحص. وفي هذا الصدد ملاحظة مهمة:

لا تكن كسولًا للتحقق. اضرب المصفوفة الأصلية بالمصفوفة العكسية التي تم العثور عليها - يجب أن تحصل على $E$.

يعد إجراء هذا الفحص أسهل وأسرع بكثير من البحث عن خطأ في العمليات الحسابية الإضافية، عندما تقوم، على سبيل المثال، بحل معادلة مصفوفة.

طريقة بديلة

كما قلت، فإن نظرية المصفوفة العكسية تعمل بشكل رائع مع الأحجام $\left[ 2\times 2 \right]$ و $\left[ 3\times 3 \right]$ (في الحالة الأخيرة، فهي ليست "رائعة" " )، ولكن بالنسبة للمصفوفات الأكبر حجمًا، يبدأ الحزن.

لكن لا تقلق: هناك خوارزمية بديلة يمكنك من خلالها العثور على المعكوس بهدوء حتى بالنسبة للمصفوفة $\left[ 10\times 10 \right]$. ولكن، كما يحدث غالبًا، للنظر في هذه الخوارزمية، نحتاج إلى القليل من المقدمة النظرية.

التحولات الأولية

من بين جميع تحويلات المصفوفات الممكنة، هناك العديد من التحولات الخاصة - يطلق عليها اسم "الابتدائية". هناك بالضبط ثلاثة من هذه التحولات:

عمليه الضرب. يمكنك أخذ الصف (العمود) $i$ وضربه بأي رقم $k\ne 0$;
إضافة. أضف إلى الصف (العمود) $i$-th أي صف (عمود) $j$-th آخر مضروبًا في أي رقم $k\ne 0$ (يمكنك بالطبع إجراء $k=0$، ولكن ما هو نقطة؟؟ لن يتغير شيء).
إعادة الترتيب. خذ الصفوف (الأعمدة) $i$th و $j$th وقم بتبديل الأماكن.

لماذا تسمى هذه التحولات أولية (بالنسبة للمصفوفات الكبيرة لا تبدو أولية جدًا) ولماذا يوجد ثلاثة منها فقط - هذه الأسئلة خارج نطاق درس اليوم. ولذلك لن ندخل في التفاصيل.

شيء آخر مهم: علينا إجراء كل هذه الانحرافات على المصفوفة المجاورة. نعم، نعم: سمعت الحق. الآن سيكون هناك تعريف آخر - الأخير في درس اليوم.

مصفوفة مجاورة

بالتأكيد قمت في المدرسة بحل أنظمة المعادلات باستخدام طريقة الجمع. حسنًا، اطرح سطرًا آخر من سطر واحد، واضرب سطرًا ما برقم - هذا كل شيء.

لذلك: الآن سيكون كل شيء هو نفسه، ولكن "للبالغين". مستعد؟

تعريف. اسمح بالحصول على مصفوفة $A=\left[ n\times n \right]$ ومصفوفة هوية $E$ بنفس الحجم $n$. ثم المصفوفة المجاورة $\left[ A\left| ه\صحيح. \right]$ عبارة عن مصفوفة جديدة بالحجم $\left[ n\times 2n \right]$ تبدو بالشكل التالي:

\[\left[ A\left| ه\صحيح. \right]=\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr)((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) & 1 & 0 & ... & 0 \\((أ)_(21)) & ((أ)_(22)) & ... & ((أ)_(2ن)) & 0 & 1 & ... & 0 \\... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\((أ)_(n1)) & ((a)_(n2)) & ... & ((a)_(nn)) & 0 & 0 & ... & 1 \\\end(array) \right]\]

باختصار، نأخذ المصفوفة $A$، على اليمين نخصص لها مصفوفة الهوية $E$ بالحجم المطلوب، ونفصلها بشريط عمودي للجمال - هنا لديك المجاور. :)

ما الفائدة؟ إليك ما يلي:

نظرية. دع المصفوفة $A$ تكون قابلة للعكس. خذ بعين الاعتبار المصفوفة المجاورة $\left[ A\left| ه\صحيح. \يمين]$. في حالة استخدام تحويلات السلسلة الأوليةأحضره إلى النموذج $\left[ E\left| ساطع. \right]$، أي عن طريق ضرب الصفوف وطرحها وإعادة ترتيبها للحصول على المصفوفة $E$ من $A$ على اليمين، ثم المصفوفة $B$ التي تم الحصول عليها على اليسار هي معكوس $A$:

\[\left[ A\left| ه\صحيح. \يمين]\إلى \يسار[ E\يسار| ساطع. \right]\Rightarrow B=((A)^(-1))\]

بكل بساطة! باختصار، تبدو خوارزمية العثور على المصفوفة العكسية كما يلي:

اكتب المصفوفة المجاورة $\left[ A\left| ه\صحيح. \يمين]$;
إجراء تحويلات السلسلة الأولية حتى يظهر $E$ بدلاً من $A$؛
بالطبع، سيظهر أيضًا شيء ما على اليسار - مصفوفة معينة $B$. وهذا سيكون العكس.
ربح!:)

وبطبيعة الحال، فإن قول هذا أسهل بكثير من فعله. لذلك دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة: للأحجام $\left[ 3\times 3 \right]$ و$\left[ 4\times 4 \right]$.

مهمة. أوجد المصفوفة العكسية:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 5 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 6 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\ ]

حل. نقوم بإنشاء المصفوفة المجاورة:

\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & -2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\end(صفيف) \يمين]\]

بما أن العمود الأخير من المصفوفة الأصلية مليء بالآحاد، اطرح الصف الأول من الباقي:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & - 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrix) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\\end(matrix)\to \\ & \to \left [ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\end(صفيف) \يمين] \\ \end(محاذاة)\]

لا توجد وحدات أخرى، باستثناء السطر الأول. لكننا لا نلمسها، وإلا فإن الوحدات التي تمت إزالتها حديثًا ستبدأ في "التكاثر" في العمود الثالث.

لكن يمكننا طرح السطر الثاني مرتين من الأخير - نحصل على واحد في الزاوية اليسرى السفلية:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\end(صفيف) \يمين]\begin(matrix) \ \\ \downarrow \\ -2 \\\end(matrix)\to \\ & \left [ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(صفيف) \يمين] \\ \end(محاذاة)\]

يمكننا الآن طرح الصف الأخير من الأول ومرتين من الثاني - وبهذه الطريقة نقوم "بصفر" العمود الأول:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrix) -1 \\ -2 \\ \uparrow \\\end(matrix)\to \\ & \ إلى \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(صفيف) \يمين] \\ \end(محاذاة)\]

اضرب السطر الثاني في −1، ثم اطرحه 6 مرات من الأول وأضف مرة واحدة إلى الأخير:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \ \ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrix) \ \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \ \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrix) -6 \\ \updownarrow \\ +1 \\\end (مصفوفة)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 0 & 1 & -18 & 32 & -13 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\\end(صفيف) \يمين] \\ \end(محاذاة)\]

كل ما تبقى هو تبديل السطرين 1 و 3:

\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 18 و 32 و -13 \\\end(صفيف) \يمين]\]

مستعد! على اليمين توجد المصفوفة العكسية المطلوبة.

إجابة. $\left[ \begin(array)(*(35)(r))4 & -7 & 3 \\ 3 & -5 & 2 \\ -18 & 32 & -13 \\\end(array) \right ]$

مهمة. أوجد المصفوفة العكسية:

\[\left[ \begin(matrix) 1 & 4 & 2 & 3 \\ 1 & -2 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & -10 & -2 & -5 \\\end(مصفوفة) \يمين]\]

حل. نحن نؤلف المجاور مرة أخرى:

\[\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ \ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right]\]

دعونا نبكي قليلاً، ونحزن على مقدار ما علينا أن نحصيه الآن... ونبدأ بالعد. أولاً، دعونا "نحذف" العمود الأول عن طريق طرح الصف 1 من الصفين 2 و3:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(صفيف) \right]\begin(matrix) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\ \ \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

نرى الكثير من "السلبيات" في السطور 2-4. اضرب جميع الصفوف الثلاثة في −1، ثم احرق العمود الثالث عن طريق طرح الصف 3 من الباقي:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end(array) \right]\begin(matrix) \ \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \يسار| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \يسار| \cdot \left(-1 \right) \right. \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 1 & 5 & 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 10 & 2 & 5 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ \end (array) \right]\begin(matrix) -2 \\ -1 \\ \updownarrow \\ -2 \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)( rrrr| rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

حان الوقت الآن "لقلي" العمود الأخير من المصفوفة الأصلية: اطرح السطر 4 من الباقي:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(صفيف ) \right]\begin(matrix) +1 \\ -3 \\ -2 \\ \uparrow \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

الرمية النهائية: "حرق" العمود الثاني عن طريق طرح السطر 2 من السطرين 1 و 3:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end( array) \right]\begin(matrix) 6 \\ \updownarrow \\ -5 \\ \ \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 0 & 0 & 0 & 33 & -6 & -26 & -17 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -25 & 5 & 20 & -13 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

ومرة أخرى تكون مصفوفة الهوية على اليسار، مما يعني أن المعكوس على اليمين. :)

إجابة. $\left[ \begin(matrix) 33 & -6 & -26 & 17 \\ 6 & -1 & -5 & 3 \\ -25 & 5 & 20 & -13 \\ -2 & 0 & 2 & - 1 \\\end(مصفوفة) \يمين]$

دعونا نواصل المحادثة حول الإجراءات مع المصفوفات. وهي، خلال دراسة هذه المحاضرة سوف تتعلم كيفية العثور على المصفوفة العكسية. يتعلم. حتى لو كانت الرياضيات صعبة.

ما هي المصفوفة العكسية؟ هنا يمكننا رسم تشبيه بالأرقام العكسية: فكر، على سبيل المثال، في الرقم المتفائل 5 ورقمه العكسي. حاصل ضرب هذه الأعداد يساوي واحدًا: . كل شيء مشابه للمصفوفات! حاصل ضرب المصفوفة ومصفوفتها العكسية يساوي - مصفوفة الهوية، وهو المصفوفة التناظرية للوحدة العددية. لكن، أول الأشياء أولًا – دعونا نحل أولًا مسألة عملية مهمة، وهي أن نتعلم كيفية إيجاد هذه المصفوفة المعكوسة.

ما الذي تحتاج إلى معرفته وتكون قادرًا على فعله للعثور على المصفوفة العكسية؟ يجب أن تكون قادرًا على اتخاذ القرار تصفيات. يجب أن تفهم ما هو عليه مصفوفةوتكون قادرة على القيام ببعض الإجراءات معهم.

هناك طريقتان رئيسيتان للعثور على المصفوفة العكسية:
باستخدام الإضافات الجبريةو باستخدام التحولات الأولية.

اليوم سوف ندرس الطريقة الأولى والأبسط.

لنبدأ بالأكثر فظاعة وغير المفهومة. دعونا نفكر مربعمصفوفة. يمكن العثور على المصفوفة العكسية باستخدام الصيغة التالية:

أين محدد المصفوفة، هو المصفوفة المنقولة للمكملات الجبرية للعناصر المقابلة للمصفوفة.

مفهوم المصفوفة العكسية موجود فقط للمصفوفات المربعة، المصفوفات "اثنان في اثنين"، "ثلاثة في ثلاثة"، وما إلى ذلك.

التسميات: كما لاحظت بالفعل، تتم الإشارة إلى المصفوفة العكسية بخط مرتفع

لنبدأ بأبسط حالة - مصفوفة رتبة اثنين في اثنين. في أغلب الأحيان، بالطبع، مطلوب "ثلاثة في ثلاثة"، ولكن، مع ذلك، أوصي بشدة بدراسة مهمة أبسط لفهم المبدأ العام للحل.

مثال:

أوجد معكوس المصفوفة

دعونا نقرر. من الملائم تقسيم تسلسل الإجراءات نقطة تلو الأخرى.

1) أولا نجد محدد المصفوفة.

إذا لم يكن فهمك لهذا الإجراء جيدًا، فاقرأ المادة كيفية حساب المحدد؟

مهم!إذا كان محدد المصفوفة يساوي صفر- مصفوفة معكوسة غير موجود.

في المثال قيد النظر، كما اتضح فيما بعد، مما يعني أن كل شيء في محله.

2) العثور على مصفوفة القصر.

لحل مشكلتنا، ليس من الضروري معرفة ما هو القاصر، ولكن من المستحسن قراءة المقال كيفية حساب المحدد.

مصفوفة القاصرين لها نفس أبعاد المصفوفة، في هذه الحالة.
كل ما عليك فعله هو العثور على أربعة أرقام ووضعها بدلاً من العلامات النجمية.

دعنا نعود إلى المصفوفة لدينا
دعونا نلقي نظرة على العنصر العلوي الأيسر أولاً:

كيفية العثور عليه صغير?
ويتم ذلك على النحو التالي: قم بشطب الصف والعمود الذي يوجد فيه هذا العنصر عقليًا:

العدد المتبقي هو طفيفة من هذا العنصر، والتي نكتبها في مصفوفة القصر لدينا:

خذ بعين الاعتبار عنصر المصفوفة التالي:

قم بشطب الصف والعمود عقليًا الذي يظهر فيه هذا العنصر:

ويتبقى هو العنصر الأصغر من هذا العنصر، والذي نكتبه في مصفوفتنا:

وكذلك نعتبر عناصر الصف الثاني ونجد صغراتها:

مستعد.

انه سهل. في مصفوفة القاصرين التي تحتاجها علامات التغييررقمين:

هذه هي الأرقام التي قمت بوضع دائرة عليها!

– مصفوفة الإضافات الجبرية للعناصر المقابلة للمصفوفة.

و فقط...

4) أوجد المصفوفة المنقولة للإضافات الجبرية.

- مصفوفة منقولة للمكملات الجبرية للعناصر المقابلة للمصفوفة.

5) الإجابة.

دعونا نتذكر الصيغة لدينا
تم العثور على كل شيء!

وبالتالي فإن المصفوفة العكسية هي:

ومن الأفضل ترك الإجابة كما هي. لا حاجةاقسم كل عنصر من عناصر المصفوفة على 2، لأن النتيجة هي أرقام كسرية. تمت مناقشة هذا الفارق الدقيق بمزيد من التفصيل في نفس المقالة. الإجراءات مع المصفوفات.

كيفية التحقق من الحل؟

تحتاج إلى إجراء ضرب المصفوفة أو

فحص:

تلقى سبق ذكره مصفوفة الهويةهي مصفوفة مع تلك التي قطري الرئيسيوالأصفار في أماكن أخرى.

وهكذا تم العثور على المصفوفة العكسية بشكل صحيح.

إذا قمت بتنفيذ الإجراء، فستكون النتيجة أيضًا مصفوفة هوية. هذه إحدى الحالات القليلة التي يكون فيها ضرب المصفوفات عملية تبادلية، ويمكن العثور على مزيد من التفاصيل في المقالة خصائص العمليات على المصفوفات. تعبيرات المصفوفة. لاحظ أيضًا أنه أثناء الفحص، يتم تقديم الثابت (الكسر) ومعالجته في النهاية - بعد ضرب المصفوفة. هذه هي التقنية القياسية.

دعنا ننتقل إلى حالة أكثر شيوعًا عمليًا - المصفوفة ثلاثة في ثلاثة:

مثال:

أوجد معكوس المصفوفة

الخوارزمية هي نفسها تمامًا كما في حالة "اثنان في اثنين".

نجد المصفوفة العكسية باستخدام الصيغة: حيث توجد المصفوفة المنقولة للمكملات الجبرية للعناصر المقابلة للمصفوفة.

1) أوجد محدد المصفوفة.

وهنا يتم الكشف عن المحدد على السطر الأول.

ولا تنسَ أيضًا ذلك، مما يعني أن كل شيء على ما يرام - المصفوفة العكسية موجودة.

2) العثور على مصفوفة القصر.

مصفوفة القاصرين لها بعد "ثلاثة في ثلاثة" وعلينا العثور على تسعة أرقام.

سألقي نظرة فاحصة على اثنين من القاصرين:

خذ بعين الاعتبار عنصر المصفوفة التالي:

قم بشطب الصف والعمود الذي يوجد فيه هذا العنصر عقليًا:

نكتب الأعداد الأربعة المتبقية في المحدد "اثنان في اثنين".

هذا اثنين من اثنين المحدد و هو قاصر هذا العنصر. يجب أن يتم حسابها:

هذا كل شيء، تم العثور على القاصر، نكتبه في مصفوفة القاصرين لدينا:

كما خمنت على الأرجح، تحتاج إلى حساب تسعة محددات من الرتبة اثنين في اثنين. العملية، بالطبع، مملة، لكن الحالة ليست هي الأشد، يمكن أن تكون أسوأ.

حسنًا، للدمج – العثور على قاصر آخر في الصور:

حاول حساب القاصرين المتبقين بنفسك.

النتيجة النهائية:
- مصفوفة ثانوية من العناصر المقابلة للمصفوفة.

إن حقيقة أن جميع القاصرين كانت سلبية هي مجرد حادث.

3) أوجد مصفوفة الإضافات الجبرية.

في مصفوفة القصر فمن الضروري علامات التغييربدقة للعناصر التالية:

في هذه الحالة:

نحن لا نفكر في العثور على مصفوفة معكوسة لمصفوفة "أربعة في أربعة"، حيث لا يمكن إعطاء هذه المهمة إلا بواسطة معلم سادي (لكي يقوم الطالب بحساب محدد "أربعة في أربعة" و16 محددًا "ثلاثة في ثلاثة" ). في ممارستي، كانت هناك حالة واحدة فقط، وقد دفع عميل الاختبار ثمناً باهظاً مقابل عذابي =).

في عدد من الكتب المدرسية والأدلة، يمكنك العثور على طريقة مختلفة قليلاً للعثور على المصفوفة العكسية، لكنني أوصي باستخدام خوارزمية الحل الموضحة أعلاه. لماذا؟ لأن احتمال الخلط في الحسابات والإشارات أقل بكثير.

بالنسبة لأي مصفوفة غير مفردة A، هناك مصفوفة فريدة A -1 من هذا القبيل

أ*أ -1 =أ -1 *أ = ه،

حيث E هي مصفوفة الهوية التي لها نفس رتبة A. وتسمى المصفوفة A -1 معكوس المصفوفة A.

في حالة نسيان شخص ما، في مصفوفة الهوية، باستثناء القطر المملوء بالآحاد، فإن جميع المواضع الأخرى مليئة بالأصفار، مثال لمصفوفة الهوية:

إيجاد المصفوفة العكسية باستخدام طريقة المصفوفة المجاورة

يتم تعريف المصفوفة العكسية بالصيغة:

حيث Aij - العناصر aij.

أولئك. لحساب المصفوفة العكسية، تحتاج إلى حساب محدد هذه المصفوفة. ثم أوجد المكملات الجبرية لجميع عناصرها وأنشئ منها مصفوفة جديدة. بعد ذلك تحتاج إلى نقل هذه المصفوفة. ونقسم كل عنصر من عناصر المصفوفة الجديدة على محدد المصفوفة الأصلية.

دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة.

أوجد A -1 للمصفوفة

الحل: دعونا نوجد A -1 باستخدام طريقة المصفوفة المجاورة. لقد حددنا A = 2. فلنوجد المكملات الجبرية لعناصر المصفوفة A. في هذه الحالة، ستكون المكملات الجبرية لعناصر المصفوفة هي العناصر المقابلة للمصفوفة نفسها، مأخوذة بإشارة وفقًا للصيغة

لدينا أ 11 = 3، أ 12 = -4، أ 21 = -1، أ 22 = 2. نشكل المصفوفة المجاورة

نقوم بنقل المصفوفة A*:

نجد المصفوفة العكسية باستخدام الصيغة:

نحن نحصل:

باستخدام طريقة المصفوفة المجاورة، أوجد A -1 إذا

الحل: أولا نقوم بحساب تعريف هذه المصفوفة للتأكد من وجود المصفوفة العكسية. لدينا

أضفنا هنا إلى عناصر الصف الثاني عناصر الصف الثالث، مضروبة سابقاً في (-1)، ثم قمنا بتوسيع المحدد للصف الثاني. وبما أن تعريف هذه المصفوفة غير صفر، فإن مصفوفتها العكسية موجودة. لبناء المصفوفة المجاورة، نجد المتممات الجبرية لعناصر هذه المصفوفة. لدينا

وفقا للصيغة

مصفوفة النقل أ*:

ثم حسب الصيغة

إيجاد المصفوفة العكسية باستخدام طريقة التحويلات الأولية

بالإضافة إلى طريقة إيجاد المصفوفة العكسية التي تتبع من الصيغة (طريقة المصفوفة المجاورة)، هناك طريقة لإيجاد المصفوفة العكسية تسمى طريقة التحويلات الأولية.

تحويلات المصفوفة الأولية

تسمى التحويلات التالية تحويلات المصفوفة الأولية:

1) إعادة ترتيب الصفوف (الأعمدة)؛

2) ضرب صف (عمود) برقم غير الصفر؛

3) إضافة إلى عناصر الصف (العمود) العناصر المقابلة لصف (عمود) آخر مضروبة مسبقًا برقم معين.

للعثور على المصفوفة A -1، نقوم بإنشاء مصفوفة مستطيلة B = (A|E) من الرتب (n; 2n)، ونخصص للمصفوفة A على اليمين مصفوفة الهوية E من خلال خط فاصل:

لنلقي نظرة على مثال.

باستخدام طريقة التحويلات الأولية، أوجد A -1 إذا

الحل: نشكل المصفوفة B:

دعونا نشير إلى صفوف المصفوفة B بواسطة α 1، α 2، α 3. دعونا نجري التحويلات التالية على صفوف المصفوفة B.

إيجاد المصفوفة العكسية

في هذه المقالة سوف نتعرف على مفهوم المصفوفة العكسية وخصائصها وطرق إيجادها. دعونا نتناول بالتفصيل حل الأمثلة التي يكون من الضروري فيها إنشاء مصفوفة معكوسة لمصفوفة معينة.

التنقل في الصفحة.

المصفوفة العكسية - التعريف.

إيجاد المصفوفة العكسية باستخدام مصفوفة من المكملات الجبرية.

خصائص المصفوفة العكسية.

إيجاد المصفوفة العكسية باستخدام طريقة غاوس-جوردان.

إيجاد عناصر المصفوفة العكسية عن طريق حل الأنظمة المقابلة للمعادلات الجبرية الخطية.

المصفوفة العكسية - التعريف.

يتم تقديم مفهوم المصفوفة العكسية فقط للمصفوفات المربعة التي يكون محددها غير صفر، أي للمصفوفات المربعة غير المفردة.

تعريف.

مصفوفةيسمى معكوس المصفوفةالذي يختلف محدده عن الصفر إذا كانت التساويات صحيحة ، أين ه- مصفوفة ترتيب الوحدات نعلى ن.

إيجاد المصفوفة العكسية باستخدام مصفوفة من المكملات الجبرية.

كيفية العثور على المصفوفة العكسية لمصفوفة معينة؟

أولا، نحن بحاجة إلى المفاهيم مصفوفة منقولة، مصفوفة ثانوية ومكملة جبرية لعنصر المصفوفة.

تعريف.

صغيركث طلبالمصفوفات أطلب معلى نهو المحدد لمصفوفة الترتيب كعلى كوالتي يتم الحصول عليها من عناصر المصفوفة أتقع في المختارة كخطوط و كأعمدة. ( كلا يتجاوز العدد الأصغر مأو ن).

صغير (ن -1) ثالترتيب الذي يتكون من عناصر جميع الصفوف باستثناء ط-ال، وجميع الأعمدة باستثناء jth، مصفوفة مربعة أطلب نعلى ندعونا نشير إليها باسم .

وبعبارة أخرى، يتم الحصول على القاصر من مصفوفة مربعة أطلب نعلى نعن طريق شطب العناصر ط-الخطوط و jthعمود.

على سبيل المثال، دعونا نكتب، قاصر الثانيالترتيب الذي يتم الحصول عليه من المصفوفة اختيار عناصر الصفوف الثانية والثالثة والأعمدة الأولى والثالثة . وسوف نعرض أيضًا القاصر الذي يتم الحصول عليه من المصفوفة عن طريق شطب السطر الثاني والعمود الثالث . ولنوضح بناء هذه القاصرات: و .

تعريف.

تكملة جبريةيسمى عنصر المصفوفة المربعة بالثانوي (ن -1) ثالترتيب الذي يتم الحصول عليه من المصفوفة أ، شطب عناصر منه ط-الخطوط و jthالعمود مضروبا في .

يُشار إلى المكمل الجبري للعنصر بـ . هكذا، .

على سبيل المثال، للمصفوفة المكمل الجبري للعنصر هو .

ثانيًا، سنحتاج إلى خاصيتين للمحدد، وقد ناقشناهما في هذا القسم حساب محدد المصفوفة:

وبناء على هذه الخصائص للمحدد، التعريف عمليات ضرب المصفوفة بعددومفهوم المصفوفة العكسية صحيح: ، حيث توجد مصفوفة منقولة عناصرها عبارة عن مكملات جبرية.

مصفوفة هو في الواقع معكوس المصفوفة أ، حيث أن المساواة راضية . دعونا نظهر ذلك

دعونا نؤلف خوارزمية لإيجاد المصفوفة العكسيةباستخدام المساواة .

دعونا نلقي نظرة على الخوارزمية للعثور على المصفوفة العكسية باستخدام مثال.

مثال.

نظرا للمصفوفة . أوجد المصفوفة العكسية.

حل.

دعونا نحسب محدد المصفوفة أوتقسيمها إلى عناصر العمود الثالث:

المحدد ليس صفرًا، إذن المصفوفة أتفريغ.

لنجد مصفوفة الإضافات الجبرية:

لهذا

دعونا ننقل المصفوفة من الإضافات الجبرية:

الآن نجد المصفوفة العكسية كما :

دعونا نتحقق من النتيجة:

المساواة راضون، وبالتالي تم العثور على المصفوفة العكسية بشكل صحيح.

خصائص المصفوفة العكسية.

مفهوم المصفوفة العكسية والمساواة إن تعريفات العمليات على المصفوفات وخصائص محدد المصفوفة تجعل من الممكن تبرير ما يلي خصائص المصفوفة العكسية:

إيجاد عناصر المصفوفة العكسية عن طريق حل الأنظمة المقابلة للمعادلات الجبرية الخطية.

لنفكر في طريقة أخرى لإيجاد المصفوفة العكسية لمصفوفة مربعة أطلب نعلى ن.

تعتمد هذه الطريقة على الحل نأنظمة المعادلات الجبرية الخطية غير المتجانسة مع نمجهول. المتغيرات المجهولة في أنظمة المعادلات هذه هي عناصر المصفوفة العكسية.

الفكرة بسيطة جدا. دعونا نشير إلى المصفوفة العكسية كـ X، إنه، . منذ تعريف المصفوفة العكسية، إذن

معادلة العناصر المقابلة بالأعمدة، نحصل على نأنظمة المعادلات الخطية

نقوم بحلها بأي طريقة ونشكل مصفوفة عكسية من القيم الموجودة.

دعونا نلقي نظرة على هذه الطريقة مع مثال.

مثال.

نظرا للمصفوفة . أوجد المصفوفة العكسية.

حل.

دعونا نقبل . تمنحنا المساواة ثلاثة أنظمة من المعادلات الجبرية الخطية غير المتجانسة:

لن نقوم بوصف الحل لهذه الأنظمة، إذا لزم الأمر، راجع القسم حل أنظمة المعادلات الجبرية الخطية.

من نظام المعادلات الأول لدينا، من الثاني - ، من الثالث - . ولذلك، فإن المصفوفة العكسية المطلوبة لها الشكل . نوصي بالتحقق منه للتأكد من صحة النتيجة.

لخص.

لقد تناولنا مفهوم المصفوفة العكسية وخصائصها وثلاث طرق للعثور عليها.

مثال على الحلول باستخدام طريقة المصفوفة العكسية

التمرين 1.حل SLAE باستخدام طريقة المصفوفة العكسية. 2 x 1 + 3x 2 + 3x 3 + x 4 = 1 3 x 1 + 5x 2 + 3x 3 + 2x 4 = 2 5 x 1 + 7x 2 + 6x 3 + 2x 4 = 3 4 x 1 + 4x 2 + 3x 3 + س 4 = 4

بداية النموذج

نهاية النموذج

حل. لنكتب المصفوفة بالشكل: المتجه B: B T = (1,2,3,4) المحدد الرئيسي الصغير لـ (1,1): = 5 (6 1-3 2)-7 (3 1-3 2) +4 ( 3 2-6 2) = -3 ثانوي لـ (2,1): = 3 (6 1-3 2)-7 (3 1-3 1)+4 (3 2-6 1) = 0 ثانوي لـ (3 ,1): = 3 (3 1-3 2)-5 (3 1-3 1)+4 (3 2-3 1) = 3 ثانوي لـ (4,1): = 3 (3 2- 6 2) -5 (3 2-6 1)+7 (3 2-3 1) = 3 محدد الصغير ∆ = 2 (-3)-3 0+5 3-4 3 = -3

مصفوفة منقولةالإضافات الجبرية ∆ 1,1 = 5 (6 1-2 3)-3 (7 1-2 4)+2 (7 3-6 4) = -3 ∆ 1,2 = -3 (6 1-2 3) -3 (7 1-2 4)+1 (7 3-6 4) = 0 ∆ 1.3 = 3 (3 1-2 3)-3 (5 1-2 4)+1 (5 3-3 4 ) = 3 ∆ 1.4 = -3 (3 2-2 6)-3 (5 2-2 7)+1 (5 6-3 7) = -3 ∆ 2.1 = -3 (6 1-2 3)-3 (5) 1-2 4)+2 (5 3-6 4) = 9 ∆ 2.2 = 2 (6 1-2 3)-3 (5 1-2 4)+1 (5 3- 6 4) = 0 ∆ 2.3 = -2 (3 1-2 3)-3 (3 1-2 4)+1 (3 3-3 4) = -6 ∆ 2.4 = 2 (3 2- 2 6)-3 (3 2-2 5) +1 (3 6-3 5) = 3 ∆ 3.1 = 3 (7 1-2 4)-5 (5 1-2 4)+2 (5 4 -7 4) = -4 ∆ 3.2 = -2 (7) 1-2 4)-3 (5 1-2 4)+1 (5 4-7 4) = 1 ∆ 3.3 = 2 (5 1 -2 4)-3 (3 1-2 4)+1 (3 4) -5 4) = 1 ∆ 3.4 = -2 (5 2-2 7)-3 (3 2-2 5)+1 ( 3 7-5 5) = 0 ∆ 4.1 = -3 (7 3-6 4) -5 (5 3-6 4)+3 (5 4-7 4) = -12 ∆ 4.2 = 2 ( 7 3-6 4)-3 (5 3-6 4)+3 (5 4-7 4) = -3 ∆ 4.3 = -2 (5 3-3 4)-3 (3 3-3 4) +3 (3 4-5 4) = 9 ∆ 4.4 = 2 (5 6-3 7)-3 (3) 6-3 5)+3 (3 7-5 5) = -3 مصفوفة معكوسة ناقل النتائج X X = أ -1 ∙ ب X T = (2،-1،-0.33،1) × 1 = 2 × 2 = -1 × 3 = -0.33 × 4 = 1

أنظر أيضا حلول SLAEs باستخدام طريقة المصفوفة العكسيةمتصل. للقيام بذلك، أدخل بياناتك واحصل على حل مع تعليقات مفصلة.

المهمة 2. اكتب نظام المعادلات في صورة مصفوفة وحلها باستخدام المصفوفة العكسية. تحقق من الحل الناتج. حل:xml:xls

مثال 2. اكتب نظام المعادلات في صورة مصفوفة وحلها باستخدام المصفوفة العكسية. حل:xml:xls

مثال. يتم إعطاء نظام من ثلاث معادلات خطية مع ثلاثة مجهولين. المطلوب : 1) إيجاد الحل باستخدام صيغ كريمر; 2) كتابة النظام في صورة مصفوفة وحلها باستخدام حساب التفاضل والتكامل المصفوفي. القواعد الارشادية. بعد الحل بطريقة كرامر، ابحث عن زر "الحل بطريقة المصفوفة العكسية للبيانات المصدر". سوف تتلقى الحل المناسب. وبالتالي، لن تضطر إلى ملء البيانات مرة أخرى. حل. دعونا نشير بـ A إلى مصفوفة معاملات المجهول؛ X - عمود المصفوفة للمجهول؛ ب - عمود المصفوفة للأعضاء الأحرار:

المتجه B: B T =(4,-3,-3) مع الأخذ في الاعتبار هذه الرموز، يأخذ نظام المعادلات هذا شكل المصفوفة التالية: A*X = B. إذا كانت المصفوفة A غير مفردة (محددها غير صفر) ، إذن لديها مصفوفة معكوسة A -1... بضرب طرفي المعادلة في A -1 نحصل على: A -1 *A*X = A -1 *B, A -1 *A = E. هذا تسمى المساواة تدوين المصفوفة للحل لنظام المعادلات الخطية. لإيجاد حل لنظام المعادلات، من الضروري حساب المصفوفة العكسية A -1. سيكون للنظام حلًا إذا كانت قيمة محدد المصفوفة A غير صفرية. دعونا نجد المحدد الرئيسي. ∆=-1 (-2 (-1)-1 1)-3 (3 (-1)-1 0)+2 (3 1-(-2 0))=14 إذن المحدد 14 ≠ 0، إذن نحن مواصلة الحل. للقيام بذلك، نجد المصفوفة العكسية من خلال الإضافات الجبرية. دعونا نحصل على مصفوفة غير مفردة A:

نحن نحسب المكملات الجبرية.

∆ 1,1 =(-2 (-1)-1 1)=1

∆ 1,2 =-(3 (-1)-0 1)=3

∆ 1,3 =(3 1-0 (-2))=3

∆ 2,1 =-(3 (-1)-1 2)=5

∆ 2,2 =(-1 (-1)-0 2)=1

∆ 2,3 =-(-1 1-0 3)=1

∆ 3,1 =(3 1-(-2 2))=7

∆ 3,2 =-(-1 1-3 2)=7

X T =(-1,1,2) × 1 = -14 / 14 =-1 × 2 = 14 / 14 =1 × 3 = 28 / 14 =2 فحص. -1 -1+3 1+0 2=4 3 -1+-2 1+1 2=-3 2 -1+1 1+-1 2=-3 وثيقة:xml:xls إجابة: -1,1,2.

للعثور على المصفوفة العكسية عبر الإنترنت، ستحتاج إلى الإشارة إلى حجم المصفوفة نفسها. للقيام بذلك، انقر على أيقونة "+" أو "-" حتى تكون راضيًا عن عدد الأعمدة والصفوف. بعد ذلك، أدخل العناصر المطلوبة في الحقول. يوجد أدناه زر "احسب" - بالنقر فوقه، ستتلقى إجابة على الشاشة مع حل مفصل.

في الجبر الخطي، في كثير من الأحيان يتعين على المرء أن يتعامل مع عملية حساب المصفوفة العكسية. إنه موجود فقط للمصفوفات غير المعبرة والمصفوفات المربعة بشرط أن يكون المحدد غير صفر. من حيث المبدأ، حسابها ليس صعبا بشكل خاص، خاصة إذا كنت تتعامل مع مصفوفة صغيرة. ولكن إذا كنت بحاجة إلى حسابات أكثر تعقيدًا أو مراجعة شاملة لقرارك، فمن الأفضل استخدام هذه الآلة الحاسبة عبر الإنترنت. بمساعدتها، يمكنك حل المصفوفة العكسية بسرعة وبدقة.

باستخدام هذه الآلة الحاسبة عبر الإنترنت، يمكنك إجراء العمليات الحسابية الخاصة بك بشكل أسهل بكثير. بالإضافة إلى ذلك، فإنه يساعد على توحيد المواد التي تم الحصول عليها من الناحية النظرية - وهو نوع من محاكاة الدماغ. لا ينبغي اعتباره بديلاً للحسابات اليدوية، بل يمكن أن يوفر لك أكثر من ذلك بكثير، مما يسهل فهم الخوارزمية نفسها. علاوة على ذلك، لا يضر أبدًا التحقق من نفسك مرة أخرى.