المضاعف المشترك للأرقام. كيفية العثور على المضاعف المشترك الأصغر لعددين

تتطلب التعبيرات والمسائل الرياضية الكثير من المعرفة الإضافية. NOC هي واحدة من أهمها، وخاصة غالبا ما تستخدم في دراسة الموضوع في المدرسة الثانوية، وليس من الصعب بشكل خاص فهم المواد؛ لن يواجه الشخص المطلع على القوى وجدول الضرب صعوبة في تحديد الأرقام الضرورية واكتشاف الأرقام نتيجة.

تعريف

المضاعف المشترك هو رقم يمكن تقسيمه بالكامل إلى رقمين في نفس الوقت (a وb). في أغلب الأحيان، يتم الحصول على هذا الرقم عن طريق ضرب الأرقام الأصلية a و b. يجب أن يكون الرقم قابلاً للقسمة على كلا الرقمين في وقت واحد، دون انحرافات.

NOC هو الاسم المختصر المعتمد للتسمية، والذي تم جمعه من الحروف الأولى.

طرق الحصول على رقم

طريقة ضرب الأعداد ليست مناسبة دائمًا لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر، فهي أكثر ملاءمة للأعداد البسيطة المكونة من رقم واحد أو رقمين. ومن المعتاد تقسيمها إلى عوامل، فكلما زاد العدد، زاد عدد العوامل.

مثال 1

على سبيل المثال، تستخدم المدارس عادةً أرقامًا أولية أو مكونة من رقم واحد أو رقمين. على سبيل المثال، تحتاج إلى حل المهمة التالية، والعثور على المضاعف المشترك الأصغر للرقمين 7 و 3، والحل بسيط للغاية، فقط اضربهما. ونتيجة لذلك، هناك رقم 21، وببساطة لا يوجد رقم أصغر.

المثال رقم 2

الإصدار الثاني من المهمة أكثر صعوبة. تم إعطاء الأرقام 300 و1260، وإيجاد LOC أمر إلزامي. لحل المشكلة، يتم افتراض الإجراءات التالية:

تحليل الرقمين الأول والثاني إلى عوامل بسيطة. 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7. تم الانتهاء من المرحلة الأولى.

تتضمن المرحلة الثانية العمل مع البيانات التي تم الحصول عليها بالفعل. يجب أن يشارك كل رقم من الأرقام المستلمة في حساب النتيجة النهائية. لكل عامل، يتم أخذ أكبر عدد من التكرارات من الأرقام الأصلية. LCM هو رقم عام، لذلك يجب أن تتكرر عوامل الأرقام فيه، كل واحد منها، حتى تلك الموجودة في نسخة واحدة. يحتوي كلا الرقمين الأوليين على الأرقام 2 و3 و5 بقوى مختلفة، والرقم 7 موجود في حالة واحدة فقط.

لحساب النتيجة النهائية، عليك أن تأخذ كل رقم في أكبر القوى الممثلة في المعادلة. كل ما تبقى هو الضرب والحصول على الإجابة، إذا تم ملؤها بشكل صحيح، فإن المهمة تنقسم إلى خطوتين دون شرح:

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) شهادة عدم الممانعة = 6300.

هذه هي المشكلة برمتها، إذا حاولت حساب العدد المطلوب بالضرب، فالإجابة بالتأكيد لن تكون صحيحة، لأن 300 * 1260 = 378000.

فحص:

6300 / 300 = 21 - صحيح؛

6300 / 1260 = 5 - صحيح.

يتم تحديد صحة النتيجة التي تم الحصول عليها عن طريق التحقق - قسمة المضاعف المشترك الأصغر على كلا الرقمين الأصليين؛ إذا كان الرقم عددًا صحيحًا في كلتا الحالتين، فإن الإجابة صحيحة.

ماذا يعني NOC في الرياضيات؟

كما تعلمون، لا توجد وظيفة واحدة عديمة الفائدة في الرياضيات، وهذه ليست استثناء. الغرض الأكثر شيوعًا لهذا الرقم هو اختزال الكسور إلى قاسم مشترك. ما يدرس عادة في الصفوف 5-6 من المدرسة الثانوية. وهو أيضًا قاسم مشترك لجميع المضاعفات، إذا كانت هذه الشروط موجودة في المشكلة. مثل هذا التعبير يمكن أن يجد مضاعفًا ليس فقط لرقمين، ولكن أيضًا لعدد أكبر بكثير - ثلاثة، وخمسة، وما إلى ذلك. كلما زاد عدد الأرقام، زاد عدد الإجراءات في المهمة، لكن التعقيد لا يزيد.

على سبيل المثال، بالنظر إلى الأرقام 250 و600 و1500، فأنت بحاجة إلى العثور على المضاعف المشترك الأصغر الخاص بها:

1) 250 = 25 * 10 = 5 2 *5 * 2 = 5 3 * 2 - يصف هذا المثال التحليل بالتفصيل، دون التخفيض.

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

من أجل تكوين تعبير، من الضروري ذكر جميع العوامل، في هذه الحالة يتم إعطاء 2، 5، 3 - لكل هذه الأرقام من الضروري تحديد الدرجة القصوى.

تنبيه: يجب جلب جميع العوامل إلى حد التبسيط الكامل، إن أمكن، متحللة إلى مستوى الأرقام الفردية.

فحص:

1) 3000 / 250 = 12 - صحيح؛

2) 3000 / 600 = 5 - صحيح؛

3) 3000 / 1500 = 2 - صحيح.

هذه الطريقة لا تتطلب أي حيل أو قدرات عبقرية، كل شيء بسيط وواضح.

طريق اخر

في الرياضيات، ترتبط العديد من الأشياء، ويمكن حل العديد من الأشياء بطريقتين أو أكثر، وينطبق الشيء نفسه على إيجاد المضاعف المشترك الأصغر، LCM. يمكن استخدام الطريقة التالية في حالة الأعداد البسيطة المكونة من رقمين والرقم الواحد. يتم تجميع جدول يتم فيه إدخال المضاعف عموديًا، والمضاعف أفقيًا، ويُشار إلى المنتج في الخلايا المتقاطعة للعمود. يمكنك عكس الجدول باستخدام خط، وأخذ رقم وكتابة نتائج ضرب هذا الرقم بأعداد صحيحة، من 1 إلى ما لا نهاية، وأحيانًا تكون 3-5 نقاط كافية، ويخضع الرقم الثاني والأرقام اللاحقة لنفس العملية الحسابية. كل شيء يحدث حتى يتم العثور على مضاعف مشترك.

بالنظر إلى الأرقام 30، 35، 42، فأنت بحاجة إلى العثور على المضاعف المشترك الأصغر الذي يربط جميع الأرقام:

1) مضاعفات 30: 60، 90، 120، 150، 180، 210، 250، إلخ.

2) مضاعفات العدد 35: 70، 105، 140، 175، 210، 245، إلخ.

3) مضاعفات العدد 42: 84، 126، 168، 210، 252، إلخ.

ومن الملاحظ أن جميع الأرقام مختلفة تمامًا، والرقم المشترك الوحيد بينها هو 210، لذلك سيكون رقم NOC. من بين العمليات المتضمنة في هذا الحساب يوجد أيضًا القاسم المشترك الأكبر، والذي يتم حسابه وفقًا لمبادئ مماثلة وغالبًا ما يتم مواجهته في المسائل المجاورة. الفرق صغير، لكنه مهم جدًا، يتضمن LCM حساب الرقم الذي يتم قسمته على جميع القيم الأولية المعطاة، ويتضمن GCD حساب أكبر قيمة يتم تقسيم الأرقام الأصلية عليها.

لنبدأ بدراسة المضاعف المشترك الأصغر لعددين أو أكثر. في هذا القسم سوف نقوم بتعريف المصطلح، والنظر في النظرية التي تحدد العلاقة بين المضاعف المشترك الأصغر والمقسوم المشترك الأكبر، ونعطي أمثلة على حل المسائل.

المضاعفات الشائعة - التعريف والأمثلة

في هذا الموضوع، سنهتم فقط بالمضاعفات المشتركة للأعداد الصحيحة غير الصفر.

التعريف 1

المضاعف المشترك للأعداد الصحيحةهو عدد صحيح مضاعف لجميع الأرقام المعطاة. في الواقع، هو أي عدد صحيح يمكن قسمته على أي من الأعداد المعطاة.

يشير تعريف المضاعفات المشتركة إلى عددين صحيحين أو ثلاثة أو أكثر.

مثال 1

وفقا للتعريف المذكور أعلاه، فإن المضاعفات المشتركة للرقم 12 هي 3 و 2. كما أن الرقم 12 سيكون مضاعفًا مشتركًا للأرقام 2 و3 و4. الأرقام 12 و-12 هي مضاعفات مشتركة للأرقام ±1، ±2، ±3، ±4، ±6، ±12.

في الوقت نفسه، سيكون المضاعف المشترك للأرقام 2 و 3 هو الأرقام 12، 6، −24، 72، 468، −100،010،004 وسلسلة كاملة من الأرقام الأخرى.

إذا أخذنا أرقامًا قابلة للقسمة على الرقم الأول من الزوج وغير قابلة للقسمة على الرقم الثاني، فلن تكون هذه الأرقام مضاعفات مشتركة. لذا، بالنسبة للرقمين 2 و3، فإن الأرقام 16، −27، 5009، 27001 لن تكون مضاعفات مشتركة.

0 هو مضاعف مشترك لأي مجموعة من الأعداد الصحيحة غير الصفر.

إذا تذكرنا خاصية قابلية القسمة على الأعداد المتضادة، يتبين أن بعض الأعداد الصحيحة k ستكون مضاعفًا مشتركًا لهذه الأرقام، تمامًا مثل الرقم - k. وهذا يعني أن المقسومات المشتركة يمكن أن تكون إيجابية أو سلبية.

هل من الممكن العثور على LCM لجميع الأرقام؟

يمكن إيجاد المضاعف المشترك لأي عدد صحيح.

مثال 2

لنفترض أننا أعطيت كالأعداد الصحيحة أ1، أ2،…، أ. الرقم الذي نحصل عليه عند ضرب الأرقام أ1 · أ2 · … · أوبحسب خاصية قابلية القسمة، سيتم تقسيمها إلى كل عامل من العوامل التي كانت متضمنة في المنتج الأصلي. وهذا يعني أن نتاج الأرقام أ1، أ2،…، أهو المضاعف المشترك الأصغر لهذه الأرقام.

كم عدد المضاعفات المشتركة التي يمكن أن تحتوي عليها هذه الأعداد الصحيحة؟

يمكن لمجموعة من الأعداد الصحيحة أن تحتوي على عدد كبير من المضاعفات المشتركة. والحقيقة أن عددهم لا نهائي.

مثال 3

لنفترض أن لدينا بعض العدد ك. ثم منتج الأرقام k · z، حيث z عدد صحيح، سيكون مضاعفًا مشتركًا للأرقام k وz. وبما أن عدد الأعداد لا نهائي، فإن عدد المضاعفات المشتركة لا نهائي.

المضاعف المشترك الأصغر (LCM) – التعريف والتدوين والأمثلة

تذكر مفهوم أصغر عدد من مجموعة معينة من الأرقام، والذي ناقشناه في قسم "مقارنة الأعداد الصحيحة". ومع أخذ هذا المفهوم في الاعتبار، نقوم بصياغة تعريف المضاعف المشترك الأصغر، والذي له أكبر أهمية عملية بين جميع المضاعفات المشتركة.

التعريف 2

المضاعف المشترك الأصغر للأعداد الصحيحة المعطاةهو أصغر مضاعف مشترك موجب لهذه الأرقام.

يوجد مضاعف مشترك أصغر لأي عدد من الأرقام المحددة. الاختصار الأكثر استخدامًا لهذا المفهوم في الأدبيات المرجعية هو NOC. تدوين قصير للمضاعف المشترك الأصغر للأرقام أ1، أ2،…، أسيكون له نموذج LOC (أ 1 ، أ 2 ، … ، أ ك).

مثال 4

المضاعف المشترك الأصغر للعددين 6 و7 هو 42. أولئك. المضاعف المشترك الأصغر(6، 7) = 42. المضاعف المشترك الأصغر للأعداد الأربعة 2، 12، 15، 3 هو 60. سيبدو التدوين القصير مثل المضاعف المشترك الأصغر (- 2، 12، 15، 3) = 60.

المضاعف المشترك الأصغر ليس واضحًا لجميع مجموعات الأرقام المحددة. في كثير من الأحيان لا بد من حسابها.

العلاقة بين NOC وGCD

المضاعف المشترك الأصغر والمقسوم المشترك الأكبر مرتبطان. يتم تحديد العلاقة بين المفاهيم من خلال النظرية.

النظرية 1

المضاعف المشترك الأصغر لعددين صحيحين موجبين a وb يساوي حاصل ضرب a وb مقسومًا على القاسم المشترك الأكبر لـ a وb، أي LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) ).

الدليل 1

لنفترض أن لدينا عددًا ما M، وهو أحد مضاعفات الرقمين a وb. إذا كان الرقم M قابلاً للقسمة على a، فهناك أيضًا عدد صحيح z , والتي بموجبها تكون المساواة صحيحة م = ك. وفقا لتعريف القسمة، إذا كانت M قابلة للقسمة على ب، وماذا بعد أ · كمقسمة على ب.

إذا قدمنا ​​تدوينًا جديدًا لـ gcd (a، b) as د، ثم يمكننا استخدام المساواة أ = أ 1 دو ب = ب 1 · د. في هذه الحالة، سيكون كلا المتساويين عددًا أوليًا نسبيًا.

لقد أنشأنا بالفعل فوق ذلك أ · كمقسمة على ب. الآن يمكن كتابة هذا الشرط على النحو التالي:
أ 1 د كمقسمة على ب 1 د، وهو ما يعادل الشرط 1 كمقسمة على ب 1وفقا لخصائص القسمة.

وفقا لخاصية الأعداد الأولية، إذا أ 1و ب 1- أرقام كوبريم، أ 1لا يقبل القسمة على ب 1بغض النظر عن حقيقة أن 1 كمقسمة على ب 1، الذي - التي ب 1يجب أن تكون مشتركة ك.

في هذه الحالة، سيكون من المناسب افتراض وجود رقم ر، لأي منهم ك = ب 1 ر، ومنذ ذلك الحين ب 1 = ب: د، الذي - التي ك = ب: د ر.

الآن بدلا من كدعونا نستبدل بالمساواة م = كالتعبير عن النموذج ب: د ر. وهذا يسمح لنا بتحقيق المساواة م = أ ب: د ر. في ر = 1يمكننا الحصول على المضاعف المشترك الأقل إيجابية لـ a وb , متساوي أ ب : دبشرط أن يكون الرقمان أ و ب إيجابي.

لذلك أثبتنا أن LCM (أ، ب) = أ · ب: GCD (أ، ب).

يتيح لك إنشاء اتصال بين LCM وGCD العثور على المضاعف المشترك الأصغر من خلال القاسم المشترك الأكبر لعددين محددين أو أكثر.

التعريف 3

النظرية لها نتيجتان مهمتان:

• مضاعفات المضاعف المشترك الأصغر لعددين هي نفس المضاعفات المشتركة لهذين الرقمين؛
• المضاعف المشترك الأصغر للأرقام الموجبة المتبادلة a وb يساوي ناتجهما.

ليس من الصعب إثبات هاتين الحقيقتين. يتم تعريف أي مضاعف مشترك لـ M من الأرقام a و b من خلال المساواة M = LCM (a، b) · t لبعض قيمة الأعداد الصحيحة t. بما أن a وb أوليان نسبيًا، فإن gcd (a, b) = 1، لذلك gcd (a, b) = a · b: gcd (a, b) = a · b: 1 = a · b.

المضاعف المشترك الأصغر لثلاثة أرقام أو أكثر

من أجل العثور على المضاعف المشترك الأصغر لعدة أرقام، من الضروري العثور على المضاعف المشترك الأصغر لعددين بشكل تسلسلي.

النظرية 2

دعونا نتظاهر بذلك أ1، أ2،…، أهي بعض الأعداد الصحيحة الإيجابية. من أجل حساب LCM م كهذه الأرقام، ونحن بحاجة لحساب تسلسليا م2 = م.م.م(أ 1 ، أ 2) ، م 3 = شهادة عدم الممانعة( م 2 , أ 3 ) , … , م ك = شهادة عدم الممانعة(م ك - 1 ، أ ك) .

الدليل 2

النتيجة الطبيعية الأولى من النظرية الأولى التي تمت مناقشتها في هذا الموضوع ستساعدنا في إثبات صحة النظرية الثانية. يعتمد المنطق على الخوارزمية التالية:

• المضاعفات المشتركة للأرقام أ 1و 2تتطابق مع مضاعفات المضاعف المشترك الأصغر الخاص بها، في الواقع، فهي تتطابق مع مضاعفات الرقم م 2;
• المضاعفات المشتركة للأرقام أ 1, 2و أ 3 م 2و أ 3 م 3;
• المضاعفات المشتركة للأرقام أ1، أ2،…، أتتزامن مع المضاعفات المشتركة للأرقام م ك - 1و كوبالتالي، تتطابق مع مضاعفات الرقم م ك;
• نظرًا لكون أصغر مضاعف موجب للرقم م كهو الرقم نفسه م ك، ثم المضاعف المشترك الأصغر للأرقام أ1، أ2،…، أيكون م ك.

هذه هي الطريقة التي أثبتنا بها النظرية.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter

العودة إلى الأمام

انتباه! معاينات الشرائح هي لأغراض إعلامية فقط وقد لا تمثل جميع ميزات العرض التقديمي. إذا كنت مهتما بهذا العمل، يرجى تحميل النسخة الكاملة.

يواجه طلاب المدارس الثانوية مفاهيم القاسم المشترك الأكبر (GCD) والمضاعف المشترك الأصغر (LCM) في الصف السادس. هذا الموضوع دائما يصعب فهمه. غالبًا ما يخلط الأطفال بين هذه المفاهيم ولا يفهمون سبب حاجتهم إلى الدراسة. في الآونة الأخيرة، في الأدبيات العلمية الشعبية، كانت هناك تصريحات معزولة مفادها أنه ينبغي استبعاد هذه المواد من المناهج الدراسية. أعتقد أن هذا ليس صحيحًا تمامًا، ومن الضروري دراسته، إن لم يكن في الفصل، فخلال الساعات اللامنهجية خلال الفصول المكونة للمدرسة، لأنه يساهم في تنمية التفكير المنطقي لدى تلاميذ المدارس، وزيادة سرعة العمليات الحسابية، والقدرة على حل المشكلات باستخدام أساليب جميلة.

في جمع وطرح الكسور ذات المقامات المختلفة، نقوم بتعليم الأطفال كيفية العثور على المقام المشترك لعددين أو أكثر. على سبيل المثال، تحتاج إلى إضافة الكسور 1/3 و1/5. يمكن للطلاب بسهولة العثور على رقم يقبل القسمة على 3 و5 بدون باقي. هذا الرقم هو 15. وبالفعل، إذا كانت الأرقام صغيرة، فمن السهل العثور على قاسمها المشترك إذا كنت تعرف جدول الضرب جيدًا. لاحظ أحد الأطفال أن هذا الرقم هو حاصل ضرب الرقمين 3 و5. ويرى الأطفال أنه بهذه الطريقة من الممكن دائمًا العثور على قاسم مشترك للأرقام. على سبيل المثال، اطرح الكسور 7/18 و5/24. هيا نوجد حاصل ضرب العددين 18 و 24. إنه يساوي 432. لقد تلقينا بالفعل عددا كبيرا، وإذا كنت بحاجة إلى إجراء المزيد من الحسابات (خاصة بالنسبة للأمثلة لجميع الإجراءات)، فإن احتمال حدوث خطأ يزيد. لكن المضاعف المشترك الأصغر الذي تم العثور عليه (LCM)، والذي يعادل في هذه الحالة القاسم المشترك الأصغر (LCD) - الرقم 72 - سيسهل العمليات الحسابية بشكل كبير ويؤدي إلى حل أسرع للمثال، وبالتالي حفظ المشكلة الوقت المخصص لإنجاز هذه المهمة، والذي يلعب دورًا مهمًا عند أداء الاختبارات والامتحانات النهائية، خاصة أثناء الشهادة النهائية.

عند دراسة موضوع "تبسيط الكسور" يمكنك التحرك بشكل تسلسلي من خلال قسمة بسط ومقام الكسر على نفس العدد الطبيعي، وذلك باستخدام علامات قابلية قسمة الأعداد، والحصول في النهاية على كسر غير قابل للاختزال. على سبيل المثال، تحتاج إلى تقليل الكسر 128/344. أولاً، نقسم بسط ومقام الكسر على الرقم 2، نحصل على الكسر 64/172. مرة أخرى، نقسم البسط والمقام للكسر الناتج على 2، نحصل على الكسر 32/86. نقسم بسط ومقام الكسر على 2 مرة أخرى، نحصل على الكسر غير القابل للاختزال 16/43. لكن تبسيط الكسر يمكن أن يكون أسهل بكثير إذا وجدنا القاسم المشترك الأكبر للرقمين 128 و344. GCD(128, 344) = 8. بقسمة بسط ومقام الكسر على هذا الرقم، نحصل على الفور على كسر غير قابل للاختزال .

نحتاج أن نوضح للأطفال طرقًا مختلفة للعثور على القاسم المشترك الأكبر (GCD) والمضاعف المشترك الأصغر (LCD) للأرقام. في الحالات البسيطة، يكون من المناسب العثور على القاسم المشترك الأكبر (GCD) والمضاعف المشترك الأصغر (LCD) للأرقام عن طريق التعداد البسيط. عندما تصبح الأرقام أكبر، يمكنك استخدام التحليل الأولي. يُظهر كتاب الصف السادس (المؤلف N.Ya. Vilenkin) الطريقة التالية للعثور على القاسم المشترك الأكبر (GCD) للأرقام. فلنحلل الأعداد إلى عوامل أولية:

• 16 = 2*2*2*2
• 120 = 2*2*2*3*5

ثم، من العوامل المتضمنة في مفكوك أحد هذه الأعداد، نحذف العوامل التي لم تدخل في مفكوك الرقم الآخر. سيكون ناتج العوامل المتبقية هو القاسم المشترك الأكبر لهذه الأرقام. في هذه الحالة، هذا هو الرقم 8. من تجربتي الخاصة، أنا مقتنع أنه يكون أكثر وضوحًا بالنسبة للأطفال إذا وضعنا خطًا تحت نفس العوامل في تحليلات الأرقام، ثم في أحد التحليلات نجد حاصل ضرب الرقم 8. العوامل التي تحتها خط. وهذا هو القاسم المشترك الأكبر لهذه الأرقام. في الصف السادس، الأطفال نشيطون وفضوليون. يمكنك تكليفهم بالمهمة التالية: حاول استخدام الطريقة الموضحة للعثور على القاسم المشترك الأكبر للرقمين 343 و287. ليس من الواضح على الفور كيفية تحليلهما إلى عوامل أولية. وهنا يمكنك أن تخبرهم عن الطريقة الرائعة التي اخترعها اليونانيون القدماء، والتي تتيح لك البحث عن القاسم المشترك الأكبر (GCD) دون تحليله إلى عوامل أولية. تم وصف هذه الطريقة لإيجاد القاسم المشترك الأكبر لأول مرة في كتاب العناصر لإقليدس. وتسمى الخوارزمية الإقليدية. وتتكون مما يلي: أولاً، قسمة العدد الأكبر على الأصغر. إذا حصل على الباقي، قم بقسمة العدد الأصغر على الباقي. إذا تم الحصول على الباقي مرة أخرى، فقم بتقسيم الباقي الأول على الثاني. استمر في القسمة بهذه الطريقة حتى يصبح الباقي صفرًا. المقسوم الأخير هو القاسم المشترك الأكبر (GCD) لهذه الأرقام.

دعونا نعود إلى مثالنا، ومن أجل الوضوح، نكتب الحل في شكل جدول.

إذن جي سي دي (344,287) = 7

كيفية العثور على المضاعف المشترك الأصغر (LCM) لنفس الأرقام؟ هل هناك طريقة ما لذلك لا تتطلب التحليل المسبق لهذه الأرقام إلى عوامل أولية؟ اتضح أن هناك شيئًا بسيطًا جدًا. نحن بحاجة إلى ضرب هذه الأرقام وتقسيم المنتج على القاسم المشترك الأكبر (GCD) الذي وجدناه. في هذا المثال، حاصل ضرب الأرقام هو 98441. اقسمه على 7 واحصل على الرقم 14063. LCM(343,287) = 14063.

أحد المواضيع الصعبة في الرياضيات هو حل المسائل الكلامية. نحتاج أن نوضح للطلاب كيف يمكن استخدام مفاهيم القاسم المشترك الأكبر (GCD) والمضاعف المشترك الأصغر (LCM) لحل المشكلات التي يصعب أحيانًا حلها بالطريقة المعتادة. ومن المناسب هنا أن تنظر مع الطلاب، إلى جانب المهام التي يقترحها مؤلفو الكتاب المدرسي، في المهام القديمة والمسلية التي تنمي فضول الأطفال وتزيد الاهتمام بدراسة هذا الموضوع. يتيح الإتقان الماهر لهذه المفاهيم للطلاب رؤية حل جميل لمشكلة غير قياسية. وإذا ارتفع مزاج الطفل بعد حل مشكلة جيدة فهذا دليل على نجاح العمل.

وهكذا، فإن الدراسة في المدرسة مفاهيم مثل "القاسم المشترك الأكبر (GCD)" و"المضاعف المشترك الأصغر (LCD)" للأرقام

يتيح لك توفير الوقت المخصص لإنجاز العمل، مما يؤدي إلى زيادة كبيرة في حجم المهام المنجزة؛

يزيد من سرعة ودقة تنفيذ العمليات الحسابية، مما يؤدي إلى انخفاض كبير في عدد الأخطاء الحسابية؛

يتيح لك العثور على طرق جميلة لحل مشاكل النص غير القياسية؛

ينمي فضول الطلاب، ويوسع آفاقهم؛

يخلق المتطلبات الأساسية لتعليم شخصية إبداعية متعددة الاستخدامات.

يسمى أكبر عدد طبيعي يتم من خلاله قسمة الأعداد a وb بدون باقي القاسم المشترك الأكبرهذه الارقام. تشير إلى GCD (أ، ب).

لنفكر في إيجاد GCD باستخدام مثال الرقمين الطبيعيين 18 و60:

324 , 111 و 432

فلنحلل الأعداد إلى عوامل أولية:

324 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3

111 = 3 × 37

432 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3

بشطب العوامل التي ليست في العددين الثاني والثالث من الرقم الأول نحصل على:

2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 3

ونتيجة لذلك، GCD( 324 , 111 , 432 )=3

العثور على GCD باستخدام الخوارزمية الإقليدية

الطريقة الثانية لإيجاد القاسم المشترك الأكبر هي استخدام الخوارزمية الإقليدية. الخوارزمية الإقليدية هي الطريقة الأكثر فعالية للعثور على جي سي دي، باستخدامه تحتاج إلى العثور باستمرار على باقي أرقام القسمة وتطبيقها صيغة التكرار.

صيغة التكرارلـ جي سي دي، GCD(a, b)=GCD(b, a mod b)، حيث يكون mod b هو باقي القسمة على b.

خوارزمية إقليدس

مثال: أوجد القاسم المشترك الأكبر للأعداد 7920 و 594

دعونا نجد GCD( 7920 , 594 ) باستخدام الخوارزمية الإقليدية، سنقوم بحساب باقي القسمة باستخدام الآلة الحاسبة.

• 7920 مود 594 = 7920 - 13 × 594 = 198
• 594 مود 198 = 594 – 3 × 198 = 0

ونتيجة لذلك، نحصل على GCD( 7920 , 594 ) = 198

أقل مضاعف مشترك

من أجل العثور على قاسم مشترك عند جمع وطرح الكسور ذات المقامات المختلفة، عليك أن تعرف وتكون قادرًا على الحساب أقل مضاعف مشترك(نوكيا).

مضاعف الرقم "أ" هو رقم يقبل القسمة على الرقم "أ" بدون باقي.

الأعداد من مضاعفات العدد 8 (أي أن هذه الأعداد قابلة للقسمة على 8 بدون باقي): هذه هي الأعداد 16، 24، 32...

مضاعفات العدد 9: 18، 27، 36، 45...

هناك عدد لا نهائي من مضاعفات رقم معين a، على عكس قواسم الرقم نفسه. هناك عدد محدود من المقسومات.

المضاعف المشترك لعددين طبيعيين هو الرقم الذي يقبل القسمة على هذين الرقمين..

أقل مضاعف مشترك(LCM) المكون من عددين طبيعيين أو أكثر هو أصغر عدد طبيعي يقبل القسمة على كل من هذه الأعداد.

كيفية العثور على NOC

يمكن العثور على LCM وكتابته بطريقتين.

الطريقة الأولى للعثور على LOC

تُستخدم هذه الطريقة عادةً للأعداد الصغيرة.

1. نكتب مضاعفات كل رقم على السطر حتى نجد المضاعف نفسه لكلا الرقمين.
2. يُشار إلى مضاعف الرقم "a" بالحرف الكبير "K".

مثال. ابحث عن LCM 6 و8.

الطريقة الثانية للعثور على LOC

هذه الطريقة ملائمة للاستخدام للعثور على المضاعف المشترك الأصغر لثلاثة أرقام أو أكثر.

يمكن أن يكون عدد العوامل المتطابقة في تحليل الأرقام مختلفًا.

يمكنك أيضًا إضفاء الطابع الرسمي على إيجاد المضاعف المشترك الأصغر (LCM) على النحو التالي. دعونا نجد LOC (12، 16، 24).

24 = 2 2 2 3

كما نرى من تحليل الأرقام، فإن جميع عوامل العدد 12 تدخل في تحليل 24 (الأكبر بين الأرقام)، لذلك نضيف 2 واحد فقط من تحليل الرقم 16 إلى المضاعف المشترك الأصغر.

المضاعف المشترك الأصغر (12، 16، 24) = 2 2 2 3 2 = 48

الإجابة: المضاعف المشترك الأصغر (12، 16، 24) = 48

حالات خاصة للحصول على شهادة عدم ممانعة

على سبيل المثال، المضاعف المشترك الأصغر (60، 15) = 60
نظرًا لأن الأعداد الأولية ليس لها عوامل أولية مشتركة، فإن المضاعف المشترك الأصغر لها يساوي حاصل ضرب هذه الأعداد.

يمكنك أيضًا على موقعنا الإلكتروني استخدام آلة حاسبة خاصة للعثور على المضاعف المشترك الأصغر عبر الإنترنت للتحقق من حساباتك.

إذا كان العدد الطبيعي يقبل القسمة على نفسه وعلى 1 فقط، فإنه يسمى عدداً أولياً.

أي عدد طبيعي يقبل القسمة دائمًا على 1 وعلى نفسه.

الرقم 2 هو أصغر عدد أولي. هذا هو العدد الأولي الزوجي الوحيد، أما باقي الأعداد الأولية فهي فردية.

هناك العديد من الأعداد الأولية، وأولها هو الرقم 2. ومع ذلك، لا يوجد عدد أولي أخير. في قسم "للدراسة" يمكنك تنزيل جدول الأعداد الأولية حتى 997.

لكن العديد من الأعداد الطبيعية قابلة للقسمة أيضًا على أعداد طبيعية أخرى.

• الرقم 12 قابل للقسمة على 1، على 2، على 3، على 4، على 6، على 12؛
• الرقم 36 يقبل القسمة على 1، على 2، على 3، على 4، على 6، على 12، على 18، على 36.

الأرقام التي يكون الرقم قابلاً للقسمة على الكل (12 هي 1 و 2 و 3 و 4 و 6 و 12) تسمى مقسومات الرقم.

المقسوم على عدد طبيعي a هو عدد طبيعي يقسم الرقم المعطى "a" بدون باقي.

العدد الطبيعي الذي له أكثر من مقسومين يسمى مركب.

يرجى ملاحظة أن الرقمين 12 و36 لهما عوامل مشتركة. هذه الأرقام هي: 1، 2، 3، 4، 6، 12. القاسم الأكبر لهذه الأعداد هو 12.

القاسم المشترك لعددين معلومين "a" و"b" هو الرقم الذي يقسم به كلا الرقمين المعطاين "a" و"b" بدون باقي.

القاسم المشترك الأكبر(GCD) المكون من رقمين محددين "a" و"b" هو أكبر عدد يقبل كلا الرقمين "a" و"b" القسمة بدون باقي.

باختصار القاسم المشترك الأكبر للرقمين "أ" و"ب" يكتب على النحو التالي::

مثال: جي سي دي (12؛ 36) = 12.

تتم الإشارة إلى قواسم الأرقام في سجل الحل بالحرف الكبير "D".

الرقمان 7 و 9 لهما قاسم مشترك واحد فقط - الرقم 1. تسمى هذه الأرقام أرقام كوبريم.

أرقام كوبريم- هذه أعداد طبيعية لها قاسم مشترك واحد فقط - الرقم 1. جي سي دي الخاص بهم هو 1.

كيفية العثور على القاسم المشترك الأكبر

للعثور على GCD لعددين طبيعيين أو أكثر، تحتاج إلى:

• تحليل مقسومات الأعداد إلى عوامل أولية؛

من الملائم كتابة العمليات الحسابية باستخدام شريط عمودي. على يسار السطر نكتب أولاً المقسوم، على اليمين - المقسوم عليه. بعد ذلك، في العمود الأيسر نكتب قيم القسمة.

دعونا نشرح ذلك على الفور بمثال. دعونا نحلل العددين 28 و64 إلى عوامل أولية.

نؤكد على نفس العوامل الأولية في كلا الرقمين.
28 = 2 2 7

64 = 2 2 2 2 2 2
أوجد حاصل ضرب العوامل الأولية المتطابقة واكتب الإجابة؛
جي سي دي (28؛ 64) = 2 2 = 4

الجواب: جي سي دي (28؛ 64) = 4

يمكنك إضفاء الطابع الرسمي على موقع GCD بطريقتين: في عمود (كما هو موضح أعلاه) أو "في صف واحد".

الطريقة الأولى لكتابة gcd

ابحث عن GCD 48 و 36.

جي سي دي (48; 36) = 2 2 3 = 12

الطريقة الثانية لكتابة gcd

الآن دعونا نكتب الحل لبحث GCD في سطر. ابحث عن GCD 10 و 15.

على موقع المعلومات الخاص بنا، يمكنك أيضًا استخدام مساعد القاسم المشترك الأكبر عبر الإنترنت للتحقق من حساباتك.

إيجاد المضاعف الأقل شيوعاً، طرق، أمثلة لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر.

المادة المقدمة أدناه هي استمرار منطقي للنظرية من المقالة التي تحمل عنوان LCM - المضاعف الأقل شيوعًا، التعريف، الأمثلة، العلاقة بين LCM وGCD. هنا سوف نتحدث عن إيجاد المضاعف المشترك الأصغر (LCM)، وسنولي اهتمامًا خاصًا لحل الأمثلة. أولاً، سنوضح كيفية حساب المضاعف المشترك الأصغر لرقمين باستخدام GCD لهذه الأرقام. بعد ذلك، سنبحث في كيفية إيجاد المضاعف المشترك الأصغر عن طريق تحليل الأعداد إلى عوامل أولية. بعد ذلك، سوف نركز على إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لثلاثة أرقام أو أكثر، وننتبه أيضًا إلى حساب المضاعف المشترك الأصغر للأعداد السالبة.

التنقل في الصفحة.

حساب المضاعف المشترك الأصغر (LCM) عبر GCD

إحدى الطرق للعثور على المضاعف المشترك الأصغر تعتمد على العلاقة بين LCM وGCD. يتيح لنا الاتصال الحالي بين LCM وGCD حساب المضاعف المشترك الأصغر لعددين صحيحين موجبين من خلال القاسم المشترك الأكبر المعروف. الصيغة المقابلة هي LCM(أ، ب)=أ ب:GCD(أ، ب). دعونا نلقي نظرة على أمثلة لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر باستخدام الصيغة المعطاة.

أوجد المضاعف المشترك الأصغر لعددين 126 و70.

في هذا المثال أ=126 , ب=70 . دعونا نستخدم العلاقة بين LCM وGCD، والتي يتم التعبير عنها بالصيغة LCM(a, b)=a·b:GCD(a, b) . أي أنه علينا أولاً إيجاد القاسم المشترك الأكبر للرقمين 70 و126، وبعد ذلك يمكننا حساب المضاعف المشترك الأصغر لهذه الأرقام باستخدام الصيغة المكتوبة.

دعونا نوجد GCD(126, 70) باستخدام الخوارزمية الإقليدية: 126=70·1+56، 70=56·1+14، 56=14·4، وبالتالي GCD(126, 70)=14.

الآن نجد المضاعف المشترك الأصغر المطلوب: LCM(126, 70)=126·70:GCD(126, 70)= 126·70:14=630.

ما هو LCM (68، 34) يساوي؟

بما أن 68 يقبل القسمة على 34، فإن GCD(68, 34)=34. الآن نقوم بحساب المضاعف المشترك الأصغر: LCM(68, 34)=68·34:GCD(68, 34)= 68·34:34=68.

لاحظ أن المثال السابق يناسب القاعدة التالية لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر للأعداد الصحيحة الموجبة a وb: إذا كان a يقبل القسمة على b، فإن المضاعف المشترك الأصغر لهذه الأرقام هو a.

إيجاد المضاعف المشترك الأصغر عن طريق تحليل الأعداد إلى عوامل أولية

هناك طريقة أخرى للعثور على المضاعف المشترك الأصغر وهي تعتمد على تحليل الأعداد إلى عوامل أولية. إذا قمت بتكوين منتج من جميع العوامل الأولية لأرقام معينة، ثم استبعدت من هذا المنتج جميع العوامل الأولية المشتركة الموجودة في تحليلات الأرقام المحددة، فسيكون المنتج الناتج مساويًا للمضاعف المشترك الأصغر للأرقام المحددة .

القاعدة المعلنة لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر تتبع من المساواة LCM(a, b)=a·b:GCD(a, b) . في الواقع، فإن حاصل ضرب العددين a وb يساوي حاصل ضرب جميع العوامل المشاركة في مفكوك العددين a وb. بدوره، GCD(a, b) يساوي حاصل ضرب جميع العوامل الأولية الموجودة في وقت واحد في توسعات الأعداد a وb (كما هو موضح في القسم الخاص بإيجاد GCD باستخدام توسيع الأرقام إلى عوامل أولية).

دعونا نعطي مثالا. دعنا نعرف أن 75=3·5·5 و210=2·3·5·7. لنؤلف الناتج من جميع عوامل هذه التوسعات: 2·3·3·5·5·5·7 . الآن نستبعد من هذا المنتج جميع العوامل الموجودة في كل من مفكوك العدد 75 ومفكوك العدد 210 (هذه العوامل هي 3 و 5)، فيأخذ الناتج الشكل 2·3·5·5·7 . قيمة هذا المنتج تساوي المضاعف المشترك الأصغر للرقمين 75 و210، أي LCM(75, 210)= 2·3·5·5·7=1050.

قم بتحليل الرقمين 441 و 700 إلى عوامل أولية وأوجد المضاعف المشترك الأصغر لهذه الأعداد.

دعونا نحلل الرقمين 441 و 700 إلى عوامل أولية:

نحصل على 441=3·3·7·7 و700=2·2·5·5·7.

لنقم الآن بإنشاء منتج من جميع العوامل المشاركة في توسيع هذه الأرقام: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. دعونا نستبعد من هذا المنتج جميع العوامل الموجودة في نفس الوقت في كلا التوسعتين (يوجد عامل واحد فقط - وهذا هو الرقم 7): 2·2·3·3·5·5·7·7. ومن ثم، LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100 .

NOC(441, 700)= 44100 .

يمكن صياغة قاعدة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر باستخدام تحليل الأعداد إلى عوامل أولية بشكل مختلف قليلاً. إذا تمت إضافة العوامل المفقودة من مفك الرقم ب إلى العوامل من مفك الرقم أ، فإن قيمة المنتج الناتج ستكون مساوية للمضاعف المشترك الأصغر للأرقام أ و ب.

على سبيل المثال، لنأخذ نفس الرقمين 75 و210، وتحللهما إلى عوامل أولية كما يلي: 75=3·5·5 و210=2·3·5·7. إلى العوامل 3 و 5 و 5 من مفكوك الرقم 75 نضيف العوامل المفقودة 2 و 7 من مفكوك الرقم 210، نحصل على المنتج 2·3·5·5·7، وقيمته هي يساوي LCM(75، 210).

أوجد المضاعف المشترك الأصغر للعددين 84 و648.

نحصل أولاً على تحليل الأرقام 84 و648 إلى عوامل أولية. تبدو مثل 84=2·2·3·7 و648=2·2·2·3·3·3·3. إلى العوامل 2 و 2 و 3 و 7 من مفكوك الرقم 84 نضيف العوامل المفقودة 2 و 3 و 3 و 3 من مفكوك الرقم 648، نحصل على المنتج 2 2 2 3 3 3 3 7، وهو ما يساوي 4536 . وبالتالي، فإن المضاعف المشترك الأصغر المطلوب للعددين 84 و648 هو 4536.

إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لثلاثة أرقام أو أكثر

يمكن العثور على المضاعف المشترك الأصغر لثلاثة أرقام أو أكثر من خلال إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لعددين بشكل تسلسلي. دعونا نتذكر النظرية المقابلة، والتي توفر طريقة لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر لثلاثة أرقام أو أكثر.

دع الأرقام الصحيحة الموجبة a 1 , a 2 , …, a k يتم العثور على المضاعف المشترك الأصغر m k لهذه الأرقام عن طريق الحساب التسلسلي m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = LCM(m 2 , a 3) , … , م ك = LCM(م ك−1 , أ ك) .

لنفكر في تطبيق هذه النظرية باستخدام مثال إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لأربعة أرقام.

أوجد المضاعف المشترك الأصغر لأربعة أرقام 140، 9، 54، 250.

أولا نجد m 2 = LCM(a 1 , a 2) = LCM(140, 9) . للقيام بذلك، باستخدام الخوارزمية الإقليدية، نحدد GCD(140, 9)، لدينا 140=9·15+5، 9=5·1+4، 5=4·1+1، 4=1·4، لذلك، GCD(140, 9)=1، منها LCM(140, 9)=140·9:GCD(140, 9)= 140·9:1=1,260. أي أن م2=1260.

الآن نجد m 3 = LCM(m 2 , a 3) = LCM(1 260, 54). لنحسبها من خلال GCD(1 260, 54)، والتي نحددها أيضًا باستخدام الخوارزمية الإقليدية: 1 260=54·23+18, 54=18·3. ثم gcd(1,260, 54)=18، ومنها gcd(1,260, 54)= 1,260·54:gcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780. أي أن م 3 = 3 780.

يبقى أن نجد m 4 = LCM(m 3 , a 4) = LCM(3 780, 250). للقيام بذلك، نجد GCD(3,780, 250) باستخدام الخوارزمية الإقليدية: 3,780=250·15+30، 250=30·8+10، 30=10·3. لذلك، GCD(3,780, 250)=10، منها GCD(3,780, 250)= 3,780·250:GCD(3,780, 250)= 3,780·250:10=94,500. أي أن م 4 = 94,500.

إذن المضاعف المشترك الأصغر للأعداد الأربعة الأصلية هو 94500.

م م(140, 9, 54, 250)=94,500 .

في كثير من الحالات، يكون من المناسب إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لثلاثة أرقام أو أكثر باستخدام التحليلات الأولية للأرقام المعطاة. وفي هذه الحالة عليك الالتزام بالقاعدة التالية. المضاعف المشترك الأصغر لعدة أرقام يساوي المنتج الذي يتكون على النحو التالي: العوامل المفقودة من مفكوك الرقم الثاني تضاف إلى جميع العوامل المفقودة من مفكوك الرقم الأول، العوامل المفقودة من مفكوك الرقم الأول ويضاف الرقم الثالث إلى العوامل الناتجة، وهكذا.

دعونا نلقي نظرة على مثال لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر باستخدام التحليل الأولي.

أوجد المضاعف المشترك الأصغر للأعداد الخمسة 84، 6، 48، 7، 143.

أولاً، نحصل على تحليل هذه الأرقام إلى عوامل أولية: 84=2·2·3·7، 6=2·3، 48=2·2·2·2·3، 7 (7 هو عدد أولي، وهو يتطابق مع تحللها إلى عوامل أولية) و143=11·13.

للعثور على المضاعف المشترك الأصغر لهذه الأرقام، إلى عوامل الرقم الأول 84 (وهي 2 و2 و3 و7)، تحتاج إلى إضافة العوامل المفقودة من مفكوك الرقم الثاني 6. لا يحتوي تحليل الرقم 6 على عوامل مفقودة، حيث أن كلا من 2 و 3 موجودان بالفعل في تحليل الرقم الأول 84. بعد ذلك، إلى العوامل 2 و 2 و 3 و 7 نضيف العوامل المفقودة 2 و 2 من مفكوك الرقم الثالث 48، نحصل على مجموعة العوامل 2 و 2 و 2 و 2 و 3 و 7. لن تكون هناك حاجة لإضافة مضاعفات إلى هذه المجموعة في الخطوة التالية، نظرًا لأن الرقم 7 موجود فيها بالفعل. أخيرًا، إلى العوامل 2 و2 و2 و2 و3 و7 نضيف العوامل المفقودة 11 و13 من مفكوك العدد 143. نحصل على المنتج 2·2·2·2·3·7·11·13، وهو ما يساوي 48,048.

لذلك، المضاعف المشترك الأصغر (84، 6، 48، 7، 143) = 48,048.

م م(84, 6, 48, 7, 143)=48,048 .

إيجاد المضاعف المشترك الأصغر للأعداد السالبة

في بعض الأحيان تكون هناك مهام تحتاج فيها إلى العثور على المضاعف المشترك الأصغر للأرقام، من بينها رقم واحد أو عدة أرقام أو جميعها سالبة. في هذه الحالات، يجب استبدال كافة الأرقام السالبة بالأرقام المقابلة لها، ومن ثم يجب العثور على LCM للأرقام الموجبة. هذه هي الطريقة للعثور على المضاعف المشترك الأصغر للأرقام السالبة. على سبيل المثال، LCM(54, −34) = LCM(54, 34) و LCM(−622, −46, −54, −888) = LCM(622, 46, 54, 888) .

يمكننا القيام بذلك لأن مجموعة مضاعفات a هي نفس مجموعة مضاعفات −a (a و −a رقمان متقابلان). في الواقع، دع b يكون أحد مضاعفات a، إذن b قابل للقسمة على a، ومفهوم القسمة ينص على وجود عدد صحيح q بحيث يكون b=a.q. لكن المساواة b=(−a)·(−q) ستكون صحيحة أيضًا، والتي، بسبب نفس مفهوم القسمة، تعني أن b قابل للقسمة على −a، أي أن b هو مضاعف لـ −a. والعكس صحيح أيضًا: إذا كان b من مضاعفات −a، فإن b هو أيضًا من مضاعفات a.

أوجد المضاعف المشترك الأصغر للأرقام السالبة −145 و−45.

دعونا نستبدل الأرقام السالبة −145 و−45 بالأرقام المقابلة لها 145 و45. لدينا LCM(−145, −45) = LCM(145, 45) . بعد تحديد GCD(145, 45)=5 (على سبيل المثال، باستخدام الخوارزمية الإقليدية)، نحسب GCM(145, 45)=145·45:GCD(145, 45)= 145·45:5=1 305 . وبالتالي، فإن المضاعف المشترك الأصغر للأعداد الصحيحة السالبة −145 و−45 هو 1,305.

www.cleverstudents.ru

نواصل دراسة القسمة. في هذا الدرس سوف ننظر في مفاهيم مثل جي سي ديو شهادة عدم الممانعة.

جي سي ديهو القاسم المشترك الأكبر.

شهادة عدم الممانعةهو المضاعف المشترك الأصغر.

الموضوع ممل للغاية، لكنك بالتأكيد بحاجة إلى فهمه. بدون فهم هذا الموضوع، لن تتمكن من التعامل بفعالية مع الكسور، والتي تشكل عائقًا حقيقيًا في الرياضيات.

القاسم المشترك الأكبر

تعريف. القاسم المشترك الأكبر للأعداد أو ب أو بمقسمة بلا باقي.

لفهم هذا التعريف جيدًا، دعونا نعوض بالمتغيرات أو بأي رقمين، على سبيل المثال، بدلا من متغير أدعونا نعوض بالرقم 12، وبدلا من المتغير برقم 9. الآن دعونا نحاول قراءة هذا التعريف:

القاسم المشترك الأكبر للأعداد 12 و 9 ويسمى أكبر عدد به 12 و 9 مقسمة بلا باقي.

يتضح من التعريف أننا نتحدث عن القاسم المشترك للرقمين 12 و 9، وهذا المقسوم هو الأكبر من بين جميع المقسومات الموجودة. يجب إيجاد القاسم المشترك الأكبر (GCD).

للعثور على القاسم المشترك الأكبر لعددين، يتم استخدام ثلاث طرق. الطريقة الأولى كثيفة العمالة للغاية، ولكنها تتيح لك فهم جوهر الموضوع بوضوح ويشعر بمعناه الكامل.

الطريقتان الثانية والثالثة بسيطة للغاية وتجعل من الممكن العثور على GCD بسرعة. سننظر في جميع الطرق الثلاث. وأي واحد يجب استخدامه في الممارسة العملية متروك لك للاختيار.

الطريقة الأولى هي إيجاد جميع المقسومات الممكنة لعددين واختيار أكبرها. دعونا نلقي نظرة على هذه الطريقة باستخدام المثال التالي: أوجد القاسم المشترك الأكبر للرقمين 12 و 9.

أولاً، سنجد جميع المقسومات الممكنة للرقم 12. وللقيام بذلك، سنقسم 12 على جميع المقسومات في النطاق من 1 إلى 12. إذا كان المقسوم عليه يسمح لنا بتقسيم 12 بدون باقي، فسوف نسلط الضوء عليه في باللون الأزرق وقدم الشرح المناسب بين قوسين.

12: 1 = 12
(12 مقسوم على 1 بدون باقي، مما يعني أن 1 هو مقسوم على الرقم 12)

12: 2 = 6
(12 مقسوم على 2 بدون باقي، مما يعني أن 2 هو مقسوم على الرقم 12)

12: 3 = 4
(12 مقسوم على 3 بدون باقي، مما يعني أن 3 هو مقسوم على الرقم 12)

12: 4 = 3
(12 مقسوم على 4 بدون باقي، مما يعني أن 4 هو مقسوم على الرقم 12)

12: 5 = 2 (2 متبقي)
(12 لا يقسم على 5 بدون باقي، مما يعني أن 5 ليس قاسمًا للرقم 12)

12: 6 = 2
(12 مقسوم على 6 بدون باقي، مما يعني أن 6 هو مقسوم على الرقم 12)

12: 7 = 1 (5 متبقية)
(12 لا يقسم على 7 بدون باقي، مما يعني أن 7 ليس مقسوما على الرقم 12)

12: 8 = 1 (4 متبقية)
(12 لا يقبل القسمة على 8 بدون باقي، مما يعني أن 8 لا يقبل القسمة على 12)

12: 9 = 1 (3 متبقية)
(12 لا يقسم على 9 بدون باقي، مما يعني أن 9 ليس قاسمًا للرقم 12)

12: 10 = 1 (2 متبقي)
(12 لا يقسم على 10 بدون باقي، مما يعني أن 10 ليس مقسوما على الرقم 12)

12: 11 = 1 (1 متبقي)
(12 لا يقسم على 11 بدون باقي، مما يعني أن 11 لا يقبل القسمة على 12)

12: 12 = 1
(12 مقسوم على 12 بدون باقي، مما يعني أن 12 هو مقسوم على الرقم 12)

الآن دعونا نجد قواسم الرقم 9. للقيام بذلك، تحقق من جميع المقسومات من 1 إلى 9

9: 1 = 9
(9 مقسوم على 1 بدون باقي، مما يعني أن 1 هو مقسوم على الرقم 9)

9: 2 = 4 (1 متبقي)
(9 لا يقسم على 2 بدون باقي، مما يعني أن 2 ليس قاسمًا للرقم 9)

9: 3 = 3
(9 مقسوم على 3 بدون باقي، مما يعني أن 3 هو مقسوم على الرقم 9)

9: 4 = 2 (1 متبقي)
(9 لا يقسم على 4 بدون باقي، مما يعني أن 4 ليس قاسمًا للرقم 9)

9: 5 = 1 (4 متبقية)
(9 لا يقسم على 5 بدون باقي، مما يعني أن 5 ليس قاسمًا للرقم 9)

9: 6 = 1 (3 متبقية)
(9 لا يقسم على 6 بدون باقي، مما يعني أن 6 ليس قاسمًا للرقم 9)

9: 7 = 1 (2 متبقي)
(9 لا يقسم على 7 بدون باقي، مما يعني أن 7 ليس قاسمًا للرقم 9)

9: 8 = 1 (1 متبقي)
(9 لا يقسم على 8 بدون باقي، مما يعني أن 8 ليس قاسمًا للرقم 9)

9: 9 = 1
(9 مقسوم على 9 بدون باقي، مما يعني أن 9 هو مقسوم على الرقم 9)

الآن دعونا نكتب مقسومات كلا الرقمين. الأرقام المميزة باللون الأزرق هي المقسومات. دعنا نكتبهم:

بعد كتابة المقسومات، يمكنك على الفور تحديد ما هو الأكبر والأكثر شيوعا.

بحكم التعريف، القاسم المشترك الأكبر للرقمين 12 و9 هو الرقم الذي يقسم 12 و9 بدون باقي. القاسم الأكبر والمشترك للرقمين 12 و 9 هو الرقم 3

كلا من الرقم 12 والرقم 9 يقبل القسمة على 3 بدون باقي:

إذن جي سي دي (12 و 9) = 3

الطريقة الثانية للعثور على GCD

الآن دعونا نلقي نظرة على الطريقة الثانية لإيجاد القاسم المشترك الأكبر. جوهر هذه الطريقة هو تحليل كلا الرقمين إلى عوامل أولية وضرب العوامل المشتركة.

مثال 1. أوجد gcd للأرقام 24 و 18

أولاً، دعونا نحلل كلا الرقمين إلى عوامل أولية:

الآن دعونا نضرب العوامل المشتركة بينهما. لتجنب الارتباك، يمكن التأكيد على العوامل المشتركة.

ننظر إلى مفكوك العدد 24. عامله الأول هو 2. ونبحث عن نفس العامل في مفكوك العدد 18 ونرى أنه موجود أيضًا. ونؤكد على كلا الأمرين:

ننظر مرة أخرى إلى مفكوك العدد 24. وعامله الثاني هو أيضًا 2. ونبحث عن نفس العامل في مفكوك العدد 18 ونرى أنه للمرة الثانية لم يعد موجودًا. ثم لا نؤكد على أي شيء.

والاثنان التاليان في توسعة الرقم 24 غائبان أيضًا في مفرقعة العدد 18.

دعنا ننتقل إلى العامل الأخير في مفكوك العدد 24. هذا هو العامل 3. ​​نبحث عن نفس العامل في مفكوك العدد 18 ونرى أنه موجود أيضًا. ونؤكد على كلا الثلاثيتين:

لذا، فإن العوامل المشتركة للرقمين 24 و 18 هي العوامل 2 و 3. للحصول على GCD، يجب ضرب هذه العوامل:

إذن جي سي دي (24 و 18) = 6

الطريقة الثالثة للعثور على GCD

الآن دعونا نلقي نظرة على الطريقة الثالثة لإيجاد القاسم المشترك الأكبر. جوهر هذه الطريقة هو أن الأعداد التي سيتم العثور عليها للمقسوم المشترك الأكبر تتحلل إلى عوامل أولية. ثم، من مفكوك الرقم الأول، يتم شطب العوامل التي لم يتم تضمينها في مفكوك الرقم الثاني. يتم ضرب الأرقام المتبقية في التوسعة الأولى والحصول على GCD.

على سبيل المثال، لنبحث عن GCD للرقمين 28 و16 باستخدام هذه الطريقة. بداية، نقوم بتحليل هذه الأرقام إلى عوامل أولية:

لقد حصلنا على توسعتين: و

الآن من تحليل الرقم الأول سوف نقوم بحذف العوامل التي لم تدخل في تحليل الرقم الثاني. وتوسيع العدد الثاني لا يشمل سبعة. لنشطبه من التوسيع الأول:

الآن نضرب العوامل المتبقية ونحصل على GCD:

الرقم 4 هو القاسم المشترك الأكبر للرقمين 28 و16. كلا هذين الرقمين قابلان للقسمة على 4 بدون باقي:

مثال 2.أوجد gcd للأرقام 100 و 40

تحليل العدد 100

تحليل العدد 40

حصلنا على توسعتين:

الآن من تحليل الرقم الأول سوف نقوم بحذف العوامل التي لم تدخل في تحليل الرقم الثاني. توسيع الرقم الثاني لا يشمل واحد خمسة (يوجد خمسة واحد فقط). لنشطبه من التوسعة الأولى

دعونا نضرب الأرقام المتبقية:

لقد حصلنا على الجواب 20. وهذا يعني أن الرقم 20 هو القاسم المشترك الأكبر للرقمين 100 و 40. وهذان الرقمان يقبلان القسمة على 20 بدون باقي:

جي سي دي (100 و 40) = 20.

مثال 3.أوجد gcd للأرقام 72 و 128

تحليل العدد 72

تحليل الرقم 128

2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2

الآن من تحليل الرقم الأول سوف نقوم بحذف العوامل التي لم تدخل في تحليل الرقم الثاني. توسيع الرقم الثاني لا يشمل توأمين ثلاثيين (ليسا موجودين على الإطلاق). لنشطبهم من التوسعة الأولى:

لقد حصلنا على الجواب 8. وهذا يعني أن الرقم 8 هو القاسم المشترك الأكبر للرقمين 72 و 128. وهذان الرقمان يقبلان القسمة على 8 بدون باقي:

جي سي دي (72 و 128) = 8

العثور على GCD لعدة أرقام

يمكن العثور على القاسم المشترك الأكبر لعدة أرقام، وليس اثنين فقط. وللقيام بذلك، يتم تحليل الأعداد المطلوب إيجادها للمقسوم المشترك الأكبر إلى عوامل أولية، ثم إيجاد حاصل ضرب العوامل الأولية المشتركة لهذه الأعداد.

على سبيل المثال، لنبحث عن GCD للأرقام 18 و24 و36

دعونا نحلل الرقم 18

دعونا نحلل الرقم 24

دعونا نحلل الرقم 36

حصلنا على ثلاث توسعات:

الآن دعونا نسلط الضوء ونؤكد على العوامل المشتركة في هذه الأرقام. يجب أن تظهر العوامل المشتركة في الأعداد الثلاثة:

نرى أن العوامل المشتركة للأعداد 18 و24 و36 هي العوامل 2 و3. وبضرب هذه العوامل نحصل على gcd الذي نبحث عنه:

لقد حصلنا على الجواب 6. وهذا يعني أن الرقم 6 هو القاسم المشترك الأكبر للأعداد 18 و 24 و 36. وهذه الأرقام الثلاثة قابلة للقسمة على 6 بدون باقي:

جي سي دي (18، 24 و 36) = 6

مثال 2.ابحث عن GCD للأرقام 12 و24 و36 و42

دعونا نحلل كل رقم إلى عوامل أولية. ثم نوجد حاصل ضرب العوامل المشتركة لهذه الأعداد.

دعونا نحلل الرقم 12

دعونا نحلل الرقم 42

حصلنا على أربعة توسعات:

الآن دعونا نسلط الضوء ونؤكد على العوامل المشتركة في هذه الأرقام. يجب أن تظهر العوامل المشتركة في الأعداد الأربعة:

نرى أن العوامل المشتركة للأعداد 12 و24 و36 و42 هي عوامل 2 و3. وبضرب هذه العوامل معًا نحصل على gcd الذي نبحث عنه:

لقد حصلنا على الجواب 6. وهذا يعني أن الرقم 6 هو القاسم المشترك الأكبر للأعداد 12 و 24 و 36 و 42. وهذه الأرقام قابلة للقسمة على 6 بدون باقي:

جي سي دي (12، 24، 36 و 42) = 6

عرفنا من الدرس السابق أنه إذا قسم عدد على آخر دون باقي، فإنه يسمى من مضاعفات هذا العدد.

اتضح أن العديد من الأرقام يمكن أن يكون لها مضاعف مشترك. والآن سنكون مهتمين بمضاعف الرقمين، ويجب أن يكون صغيرًا قدر الإمكان.

تعريف. المضاعف المشترك الأصغر (LCM) للأرقام أو ب- أو ب أوالرقم ب.

التعريف يحتوي على متغيرين أو ب. دعونا نستبدل أي رقمين بدلا من هذه المتغيرات. على سبيل المثال، بدلا من متغير أدعونا نستبدل الرقم 9، وبدلا من المتغير بلنستبدل الرقم 12. الآن دعونا نحاول قراءة التعريف:

المضاعف المشترك الأصغر (LCM) للأرقام 9 و 12 - هو أصغر عدد مضاعف 9 و 12 . بمعنى آخر، هذا عدد صغير يقبل القسمة على العدد دون باقي 9 وحسب العدد 12 .

يتضح من التعريف أن المضاعف المشترك الأصغر هو أصغر عدد يقبل القسمة على 9 و 12 بدون باقي، ويجب العثور على المضاعف المشترك الأصغر.

للعثور على المضاعف المشترك الأصغر (LCM)، يمكنك استخدام طريقتين. الطريقة الأولى هي أن تتمكن من كتابة المضاعفات الأولى لعددين، ثم تختار من بين هذه المضاعفات رقمًا سيكون مشتركًا لكل من الأرقام والصغيرة. دعونا نطبق هذه الطريقة.

أولًا، دعونا نوجد المضاعفات الأولى للرقم 9. للعثور على مضاعفات الرقم 9، عليك ضرب هذا التسعة واحدًا تلو الآخر في أرقام من 1 إلى 9. ستكون الإجابات الناتجة مضاعفات الرقم 9. لذا، هيا نبدأ. سنسلط الضوء على المضاعفات باللون الأحمر:

الآن نجد مضاعفات الرقم 12. وللقيام بذلك، نضرب 12 واحدًا تلو الآخر في جميع الأرقام من 1 إلى 12.

دعونا نواصل الحديث عن المضاعف المشترك الأصغر، والذي بدأناه في قسم "المضاعف المشترك الأصغر - التعريف والأمثلة". في هذا الموضوع، سنتطرق إلى طرق إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لثلاثة أرقام أو أكثر، كما سنتناول مسألة كيفية إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لعدد سالب.

Yandex.RTB RA-A-339285-1

حساب المضاعف المشترك الأصغر (LCM) عبر GCD

لقد أنشأنا بالفعل العلاقة بين المضاعف المشترك الأصغر والمقسوم المشترك الأكبر. الآن دعونا نتعلم كيفية تحديد LCM من خلال GCD. أولاً، دعونا نتعرف على كيفية القيام بذلك مع الأرقام الموجبة.

التعريف 1

يمكنك إيجاد المضاعف المشترك الأصغر من خلال القاسم المشترك الأكبر باستخدام الصيغة LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b).

مثال 1

أنت بحاجة إلى إيجاد المضاعف المشترك الأصغر للرقمين 126 و70.

حل

لنأخذ أ = 126، ب = 70. دعونا نستبدل القيم في صيغة حساب المضاعف المشترك الأصغر من خلال القاسم المشترك الأكبر LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .

يجد GCD للأرقام 70 و 126. لهذا نحتاج إلى الخوارزمية الإقليدية: 126 = 70 1 + 56، 70 = 56 1 + 14، 56 = 14 4، وبالتالي GCD (126 , 70) = 14 .

دعونا نحسب LCM: LCD (126، 70) = 126 70: GCD (126، 70) = 126 70: 14 = 630.

إجابة:م م(126، 70) = 630.

مثال 2

أوجد الرقم 68 و 34.

حل

ليس من الصعب العثور على GCD في هذه الحالة، حيث أن 68 يقبل القسمة على 34. دعونا نحسب المضاعف المشترك الأصغر باستخدام الصيغة: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

إجابة:م م م (68، 34) = 68.

في هذا المثال، استخدمنا قاعدة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر للأعداد الصحيحة الموجبة a وb: إذا كان الرقم الأول قابلاً للقسمة على الثاني، فإن المضاعف المشترك الأصغر لهذه الأرقام سيكون مساويًا للرقم الأول.

إيجاد المضاعف المشترك الأصغر عن طريق تحليل الأعداد إلى عوامل أولية

الآن دعونا نلقي نظرة على طريقة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر، والتي تعتمد على تحليل الأعداد إلى عوامل أولية.

التعريف 2

للعثور على المضاعف المشترك الأصغر، نحتاج إلى تنفيذ عدد من الخطوات البسيطة:

• نقوم بتكوين حاصل ضرب جميع العوامل الأولية للأعداد التي نحتاج إلى إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لها؛
• نحن نستبعد جميع العوامل الأولية من منتجاتها الناتجة؛
• سيكون المنتج الذي تم الحصول عليه بعد حذف العوامل الأولية المشتركة مساوياً لـ LCM للأرقام المحددة.

تعتمد هذه الطريقة لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر على المساواة LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b). إذا نظرت إلى الصيغة، فسوف يصبح واضحا: منتج الأرقام أ و ب يساوي منتج جميع العوامل التي تشارك في تحلل هذين الرقمين. في هذه الحالة، يكون GCD لعددين مساويًا لمنتج جميع العوامل الأولية الموجودة في نفس الوقت في عوامل هذين الرقمين.

مثال 3

لدينا رقمان 75 و210. يمكننا تحليلها على النحو التالي: 75 = 3 5 5و 210 = 2 3 5 7. إذا قمت بتكوين منتج جميع عوامل العددين الأصليين، فستحصل على: 2 3 3 5 5 5 7.

إذا استبعدنا العوامل المشتركة بين العددين 3 و5، نحصل على حاصل الضرب بالشكل التالي: 2 3 5 5 7 = 1050. سيكون هذا المنتج هو المضاعف المشترك الأصغر الخاص بنا للرقمين 75 و210.

مثال 4

أوجد المضاعف المشترك الأصغر للأرقام 441 و 700 ، تحليل كلا الرقمين إلى عوامل أولية.

حل

لنجد جميع العوامل الأولية للأعداد الواردة في الشرط:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

نحصل على سلسلتين من الأرقام: 441 = 3 3 7 7 و 700 = 2 2 5 5 7.

سيكون منتج جميع العوامل التي شاركت في تحليل هذه الأرقام على الشكل التالي: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. دعونا نجد العوامل المشتركة. هذا هو الرقم 7. لنستبعده من المنتج الإجمالي: 2 2 3 3 5 5 7 7. وتبين أن المؤسسة الوطنية للنفط (441، 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

إجابة: LOC(441, 700) = 44,100.

دعونا نعطي صيغة أخرى لطريقة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر عن طريق تحليل الأرقام إلى عوامل أولية.

التعريف 3

في السابق، استبعدنا من العدد الإجمالي العوامل المشتركة بين الرقمين. الآن سنفعل ذلك بشكل مختلف:

• دعونا نحول كلا الرقمين إلى عوامل أولية:
• أضف إلى حاصل ضرب العوامل الأولية للرقم الأول العوامل المفقودة للرقم الثاني؛
• نحصل على المنتج، والذي سيكون LCM المطلوب من رقمين.

مثال 5

لنعد إلى الرقمين 75 و210، اللذين بحثنا عنهما بالفعل في أحد الأمثلة السابقة. دعونا نقسمها إلى عوامل بسيطة: 75 = 3 5 5و 210 = 2 3 5 7. إلى منتج العوامل 3 و 5 و 5 الأرقام 75 تضيف العوامل المفقودة 2 و 7 الأرقام 210. نحن نحصل: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 .هذا هو المضاعف المشترك الأصغر للرقمين 75 و210.

مثال 6

من الضروري حساب LCM للأرقام 84 و 648.

حل

دعونا نحلل الأرقام من الشرط إلى عوامل بسيطة: 84 = 2 2 3 7و 648 = 2 2 2 3 3 3 3. دعونا نضيف إلى المنتج العوامل 2، 2، 3 و 7 الأرقام 84 العوامل المفقودة 2 و 3 و 3 و
3 الأرقام 648. نحصل على المنتج 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536.هذا هو المضاعف المشترك الأصغر للعددين 84 و648.

إجابة:م م م(84, 648) = 4,536.

إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لثلاثة أرقام أو أكثر

بغض النظر عن عدد الأرقام التي نتعامل معها، ستكون خوارزمية أفعالنا هي نفسها دائمًا: سنجد المضاعف المشترك الأصغر لرقمين بالتتابع. هناك نظرية لهذه الحالة.

النظرية 1

لنفترض أن لدينا أعداد صحيحة أ1، أ2،…، أ. شهادة عدم الممانعة م كتم العثور على هذه الأرقام عن طريق الحساب التسلسلي m 2 = LCM (أ 1، أ 2)، م 3 = م م 2، أ 3)، ...، م ك = م م م (م ك − 1، أ ك).

الآن دعونا نلقي نظرة على كيفية تطبيق النظرية لحل مشاكل محددة.

مثال 7

تحتاج إلى حساب المضاعف المشترك الأصغر لأربعة أرقام 140، 9، 54 و 250 .

حل

دعونا نقدم الترميز: أ 1 = 140، أ 2 = 9، أ 3 = 54، أ 4 = 250.

لنبدأ بحساب m 2 = المضاعف المشترك الأصغر (أ 1 ، أ 2) = المضاعف المشترك الأصغر (140، 9). دعونا نطبق الخوارزمية الإقليدية لحساب GCD للأرقام 140 و9: 140 = 9 15 + 5، 9 = 5 1 + 4، 5 = 4 1 + 1، 4 = 1 4. نحصل على: GCD (140، 9) = 1، GCD (140، 9) = 140 9: GCD (140، 9) = 140 9: 1 = 1260. وبالتالي م2 = 1,260.

الآن دعونا نحسب باستخدام نفس الخوارزمية m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54). خلال الحسابات نحصل على م 3 = 3 780.

كل ما علينا فعله هو حساب m 4 = LCM (m 3 , a 4) = LCM (3 780, 250). نحن نتبع نفس الخوارزمية. نحصل على م 4 = 94500.

LCM للأرقام الأربعة من حالة المثال هو 94500.

إجابة:شهادة عدم الممانعة (140، 9، 54، 250) = 94,500.

كما ترون، الحسابات بسيطة، ولكنها كثيفة العمالة للغاية. لتوفير الوقت، يمكنك الذهاب بطريقة أخرى.

التعريف 4

نحن نقدم لك خوارزمية الإجراءات التالية:

• نحن نحلل جميع الأرقام إلى عوامل أولية؛
• إلى حاصل ضرب عوامل الرقم الأول نضيف العوامل المفقودة من حاصل ضرب العدد الثاني؛
• نضيف إلى المنتج الذي تم الحصول عليه في المرحلة السابقة العوامل المفقودة للرقم الثالث، وما إلى ذلك؛
• سيكون المنتج الناتج هو المضاعف المشترك الأصغر لجميع الأرقام من الشرط.

مثال 8

أنت بحاجة إلى إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لخمسة أرقام 84، 6، 48، 7، 143.

حل

دعونا نحلل جميع الأعداد الخمسة إلى عوامل أولية: 84 = 2 2 3 7، 6 = 2 3، 48 = 2 2 2 2 3، 7، 143 = 11 13. الأعداد الأولية، وهي العدد 7، لا يمكن تحليلها إلى عوامل أولية. تتزامن هذه الأرقام مع تحللها إلى عوامل أولية.

الآن لنأخذ حاصل ضرب العوامل الأولية 2 و 2 و 3 و 7 للرقم 84 ونضيف إليها العوامل الناقصة للرقم الثاني. قمنا بتحليل الرقم 6 إلى 2 و 3. هذه العوامل موجودة بالفعل في حاصل ضرب الرقم الأول. ولذلك، فإننا نتجاهلهم.

نواصل إضافة المضاعفات المفقودة. لننتقل إلى الرقم 48، الذي نأخذ من حاصل ضرب عوامله الأولية 2 و2. ثم نضيف العامل الأولي 7 من الرقم الرابع والعاملين 11 و 13 من الرقم الخامس. نحصل على: 2 2 2 3 7 11 13 = 48,048. هذا هو المضاعف المشترك الأصغر للأرقام الخمسة الأصلية.

إجابة:م م م(84، 6، 48، 7، 143) = 48,048.

إيجاد المضاعف المشترك الأصغر للأعداد السالبة

من أجل العثور على المضاعف المشترك الأصغر للأرقام السالبة، يجب أولاً استبدال هذه الأرقام بأرقام ذات علامة معاكسة، ثم يجب إجراء الحسابات باستخدام الخوارزميات المذكورة أعلاه.

مثال 9

المضاعف المشترك الأصغر (54، − 34) = المضاعف المشترك الأصغر (54، 34) والمضاعف المشترك الأصغر (− 622، − 46، − 54، − 888) = المضاعف المشترك الأصغر (622، 46، 54، 888).

ومثل هذه التصرفات جائزة لأننا إذا قبلنا ذلك أو - أ- أرقام متضادة،
ثم مجموعة مضاعفات الرقم أيطابق مجموعة مضاعفات الرقم - أ.

مثال 10

من الضروري حساب LCM للأرقام السالبة − 145 و − 45 .

حل

دعونا نستبدل الأرقام − 145 و − 45 إلى أعدادهم المقابلة 145 و 45 . الآن، باستخدام الخوارزمية، نحسب LCM (145، 45) = 145 · 45: GCD (145، 45) = 145 · 45: 5 = 1،305، بعد أن تم تحديد GCD مسبقًا باستخدام الخوارزمية الإقليدية.

لقد حصلنا على أن المضاعف المشترك الأصغر للأرقام هو -145 و − 45 يساوي 1 305 .

إجابة:م م م (− 145, − 45) = 1,305.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter