حل خاص للمعادلة التفاضلية عبر الإنترنت. المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى

دعونا نتذكر المهمة التي واجهتنا عند إيجاد تكاملات محددة:

أو دى = و(س)دكس. الحل لها:

ويتعلق الأمر بحساب التكامل غير المحدد. في الممارسة العملية، غالبًا ما تتم مواجهة مهمة أكثر تعقيدًا: العثور على الوظيفة ذ، إذا علم أنه يفي بعلاقة من الشكل

ترتبط هذه العلاقة بالمتغير المستقل س، وظيفة غير معروفة ذومشتقاته حتى الأمر نشاملة، تسمى .

تتضمن المعادلة التفاضلية دالة تحت علامة المشتقات (أو التفاضلات) بترتيب أو بآخر. أعلى ترتيب يسمى الترتيب (9.1) .

المعادلات التفاضلية:

- الطلب الأول،

الدرجة الثانية

- الترتيب الخامس، الخ.

تسمى الدالة التي تحقق معادلة تفاضلية معينة بحلها , أو لا يتجزأ . وحلها يعني إيجاد كل حلولها. إذا للوظيفة المطلوبة ذتمكنا من الحصول على صيغة تعطي جميع الحلول، فنقول أننا وجدنا حلها العام , أو التكامل العام .

قرار مشترك يتضمن نالثوابت التعسفية ويبدو

إذا تم الحصول على العلاقة التي تتعلق س، صو نالثوابت التعسفية، في شكل غير مسموح به فيما يتعلق ذ -

فإن هذه العلاقة تسمى التكامل العام للمعادلة (9.1).

مشكلة كوشي

كل حل محدد، أي كل دالة محددة تحقق معادلة تفاضلية معينة ولا تعتمد على ثوابت اعتباطية، يسمى حلاً معينًا , أو تكامل جزئي. للحصول على حلول معينة (تكاملات) من الحلول العامة، يجب إعطاء الثوابت قيمًا عددية محددة.

يسمى الرسم البياني لحل معين منحنى متكامل. الحل العام، الذي يحتوي على جميع الحلول الجزئية، هو عائلة منحنيات متكاملة. بالنسبة للمعادلة من الدرجة الأولى، تعتمد هذه العائلة على ثابت اعتباطي واحد للمعادلة ن- الترتيب - من نالثوابت التعسفية.

مسألة كوشي هي إيجاد حل محدد للمعادلة ن-الأمر مرضية نالشروط الأولية:

والتي من خلالها يتم تحديد الثوابت n c 1, c 2,..., c n.

المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى

بالنسبة للمعادلة التفاضلية من الدرجة الأولى التي لم يتم حلها فيما يتعلق بالمشتقة، فإن لها الشكل

أو المسموح به نسبيا

مثال 3.46. أوجد الحل العام للمعادلة

حل.التكامل، نحصل عليه

حيث C هو ثابت تعسفي. إذا خصصنا قيم عددية محددة لـ C نحصل على حلول معينة، على سبيل المثال،

مثال 3.47. النظر في زيادة مبلغ الأموال المودعة في البنك مع مراعاة الاستحقاق 100 ص الفائدة المركبة سنويا. دع Yo يكون المبلغ الأولي من المال، وYx - في النهاية سسنين. إذا تم احتساب الفائدة مرة واحدة في السنة، نحصل على

حيث x = 0، 1، 2، 3،.... عندما يتم حساب الفائدة مرتين في السنة، نحصل على

حيث x = 0، 1/2، 1، 3/2،.... عند حساب الفائدة نمرة واحدة في السنة و إذا سيأخذ القيم المتسلسلة 0، 1/n، 2/n، 3/n،...، ثم

قم بتعيين 1/n = h، فستبدو المساواة السابقة كما يلي:

مع التكبير غير محدود ن(في ) في الحد نأتي إلى عملية زيادة مبلغ المال مع الاستحقاق المستمر للفائدة:

ومن هنا يتضح أنه مع التغيير المستمر سيتم التعبير عن قانون التغير في عرض النقود بمعادلة تفاضلية من الدرجة الأولى. حيث Y x دالة غير معروفة س- متغير مستقل، ص- ثابت. دعونا نحل هذه المعادلة، وللقيام بذلك نعيد كتابتها على النحو التالي:

أين ، أو حيث تشير P إلى C .

من الشروط الأولية Y(0) = Yo، نجد P: Yo = Pe o، ومن حيث Yo = P. لذلك، يكون الحل على الصورة:

دعونا ننظر في المشكلة الاقتصادية الثانية. يتم وصف نماذج الاقتصاد الكلي أيضًا بواسطة معادلات تفاضلية خطية من الدرجة الأولى، تصف التغيرات في الدخل أو الإنتاج Y كوظائف للوقت.

مثال 3.48. دع الدخل القومي Y يزداد بمعدل يتناسب مع قيمته:

وليكن العجز في الإنفاق الحكومي متناسبًا بشكل مباشر مع الدخل Y مع معامل التناسب س. يؤدي العجز في الإنفاق إلى زيادة الدين القومي د:

الشروط الأولية Y = Yo و D = Do عند t = 0. من المعادلة الأولى Y= Yoe kt. استبدال Y نحصل على dD/dt = qYoe kt . الحل العام له الشكل
D = (q/ k) Yoe kt +С، حيث С = const، والتي يتم تحديدها من الشروط الأولية. باستبدال الشروط الأولية، نحصل على Do = (q/ k)Yo + C. أخيرًا،

D = فعل +(q/ k)Yo (e kt -1)،

وهذا يدل على أن الدين الوطني يتزايد بنفس المعدل النسبي ك، نفس الدخل القومي.

دعونا نفكر في أبسط المعادلات التفاضلية نالترتيب الرابع، هذه هي معادلات النموذج

ويمكن الحصول على الحل العام باستخدام نمرات التكامل.

مثال 3.49.خذ بعين الاعتبار المثال y """ = cos x.

حل.التكامل نجد

الحل العام له الشكل

المعادلات التفاضلية الخطية

وهي تستخدم على نطاق واسع في الاقتصاد؛ دعونا نفكر في حل مثل هذه المعادلات. إذا كان (9.1) يحتوي على النموذج:

ثم يطلق عليه اسم خطي، حيث يتم إعطاء وظائف χ(x)، σ1(x)،...، χ(x)، f(x). إذا كانت f(x) = 0، فإن (9.2) تسمى متجانسة، وإلا فإنها تسمى غير متجانسة. الحل العام للمعادلة (9.2) يساوي مجموع أي من الحلول الخاصة بها ص (خ)والحل العام للمعادلة المتجانسة المقابلة لها:

إذا كانت المعاملات Р o (x)، п 1 (x)،...، п n (x) ثابتة، إذن (9.2)

(9.4) تسمى معادلة تفاضلية خطية ذات معاملات ترتيب ثابتة ن .

لـ (9.4) له الشكل:

وبدون فقدان العمومية، يمكننا ضبط p o = 1 وكتابة (9.5) في الصورة

سوف نبحث عن الحل (9.6) بالصيغة y = e kx، حيث k ثابت. لدينا: ؛ y " = ke kx , y "" = k 2 e kx , ..., y (n) = kne kx . باستبدال التعبيرات الناتجة في (9.6)، سيكون لدينا:

(9.7) معادلة جبرية مجهولها ك، ويسمى مميزة. المعادلة المميزة لها درجة نو نالجذور، من بينها يمكن أن تكون متعددة ومعقدة. دع k 1 , k 2 ,..., k n يكون حقيقيا ومتميزا، إذن - الحلول الخاصة (9.7)، والعامة

خذ بعين الاعتبار معادلة تفاضلية خطية متجانسة من الدرجة الثانية ذات معاملات ثابتة:

معادلتها المميزة لها الشكل

(9.9)

تمييزه D = p 2 - 4q، اعتمادًا على إشارة D، ثلاث حالات ممكنة.

1. إذا كانت D>0، فإن الجذور k 1 وk 2 (9.9) حقيقية ومختلفة، ويكون الحل العام بالشكل:

حل.المعادلة المميزة: k 2 + 9 = 0، حيث k = ± 3i، a = 0، b = 3، الحل العام له الصيغة:

ص = ج 1 كوس 3س + ج 2 خطيئة 3س.

يتم استخدام المعادلات التفاضلية الخطية من الدرجة الثانية عند دراسة نموذج اقتصادي من نوع الويب مع مخزونات السلع، حيث يعتمد معدل التغير في السعر P على حجم المخزون (انظر الفقرة 10). إذا كان العرض والطلب دالتين خطيتين للسعر، فهذا يعني

a هو ثابت يحدد معدل التفاعل، ثم يتم وصف عملية تغير السعر بالمعادلة التفاضلية:

لحل معين يمكننا أن نأخذ ثابتا

سعر التوازن ذو معنى. انحراف يحقق المعادلة المتجانسة

(9.10)

المعادلة المميزة ستكون كما يلي:

في حال كان المصطلح إيجابيا. دعونا نشير . جذور المعادلة المميزة k 1,2 = ± i w، وبالتالي فإن الحل العام (9.10) له الشكل:

حيث C و ثوابت اعتباطية، يتم تحديدها من الشروط الأولية. حصلنا على قانون تغير الأسعار مع مرور الوقت:

إما أن تكون قد تم حلها بالفعل فيما يتعلق بالمشتقة، أو يمكن حلها فيما يتعلق بالمشتقة .

الحل العام للمعادلات التفاضلية من النوع على الفترة X، والتي تم تقديمها، يمكن العثور عليها من خلال أخذ تكامل طرفي هذه المساواة.

نحن نحصل .

وإذا نظرنا إلى خواص التكامل غير المحدد نجد الحل العام المطلوب:

ص = و(س) + ج,

أين و(خ)- إحدى الوظائف البدائية و (خ)ما بين أثنين X، أ مع- ثابت تعسفي.

يرجى ملاحظة أنه في معظم المشاكل الفاصل الزمني Xلا تشير. وهذا يعني أنه يجب إيجاد حل للجميع. سوالتي والوظيفة المطلوبة ذوالمعادلة الأصلية منطقية.

إذا كنت بحاجة إلى حساب حل معين لمعادلة تفاضلية تحقق الشرط الأولي ص(س 0) = ص 0ثم بعد حساب التكامل العام ص = و(س) + ج، لا يزال من الضروري تحديد قيمة الثابت ج = ج 0باستخدام الشرط الأولي. وهذا هو ثابت ج = ج 0تحدد من المعادلة و(س 0) + ج = ص 0، والحل الجزئي المطلوب للمعادلة التفاضلية سوف يأخذ الشكل:

ص = و(س) + ج 0.

لنلقي نظرة على مثال:

دعونا نجد حلاً عامًا للمعادلة التفاضلية ونتحقق من صحة النتيجة. دعونا نجد حلاً محددًا لهذه المعادلة يحقق الشرط الأولي.

حل:

وبعد تكامل المعادلة التفاضلية المعطاة نحصل على:

.

لنأخذ هذا التكامل باستخدام طريقة التكامل بالأجزاء:

الذي - التي.، هو الحل العام للمعادلة التفاضلية.

للتأكد من صحة النتيجة، دعونا نجري فحصًا. للقيام بذلك، نعوض بالحل الذي وجدناه في المعادلة التالية:

.

ذلك حين المعادلة الأصلية تتحول إلى هوية:

ولذلك تم تحديد الحل العام للمعادلة التفاضلية بشكل صحيح.

الحل الذي توصلنا إليه هو حل عام للمعادلة التفاضلية لكل قيمة حقيقية للوسيطة س.

يبقى حساب حل معين لـ ODE الذي يلبي الشرط الأولي. وبعبارة أخرى، من الضروري حساب قيمة الثابت مع، حيث تكون المساواة صحيحة:

.

.

ثم الاستبدال ج = 2في الحل العام لـ ODE، نحصل على حل معين للمعادلة التفاضلية التي تحقق الشرط الأولي:

.

المعادلة التفاضلية العادية يمكن حل المشتقة بقسمة طرفي المعادلة على و (خ). سيكون هذا التحول معادلاً إذا و (خ)لا يتحول إلى الصفر تحت أي ظرف من الظروف سمن فترة التكامل للمعادلة التفاضلية X.

هناك حالات محتملة عندما تكون الوسيطة معينة س ∈ Xالمهام و (خ)و ز (خ)في نفس الوقت تصبح صفر لقيم مماثلة سالحل العام للمعادلة التفاضلية هو أي دالة ذ، والذي تم تعريفه فيها، لأن .

إذا كان لبعض قيم الوسيطة س ∈ Xتم استيفاء الشرط، مما يعني أنه في هذه الحالة ليس لدى ODE أي حلول.

للجميع سمن الفاصل Xيتم تحديد الحل العام للمعادلة التفاضلية من المعادلة المحولة.

دعونا نلقي نظرة على الأمثلة:

مثال 1.

دعونا نجد حلاً عامًا لـ ODE: .

حل.

من خصائص الدوال الأولية الأساسية يتضح أن دالة اللوغاريتم الطبيعي محددة للقيم غير السالبة للوسيطة، وبالتالي مجال تعريف التعبير قانون الجنسية (س+3)هناك فاصل زمني س > -3 . وهذا يعني أن المعادلة التفاضلية المعطاة منطقية س > -3 . بالنسبة لقيم الوسيطة هذه، التعبير س+3لا يختفي، لذا يمكنك حل ODE للمشتق عن طريق قسمة الجزأين على س + 3.

نحن نحصل .

بعد ذلك، نقوم بدمج المعادلة التفاضلية الناتجة، وحلها بالنسبة للمشتقة: . ولحساب هذا التكامل، نستخدم طريقة إدراجه تحت علامة التفاضل.

المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى تم حلها فيما يتعلق بالمشتقة

كيفية حل المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى

دعونا نحصل على معادلة تفاضلية من الدرجة الأولى تم حلها فيما يتعلق بالمشتق:
.
بقسمة هذه المعادلة على ، نحصل على معادلة من الشكل:
,
أين .

بعد ذلك، سنرى ما إذا كانت هذه المعادلات تنتمي إلى أحد الأنواع المذكورة أدناه. إذا لم يكن الأمر كذلك، فسنعيد كتابة المعادلة في صورة تفاضلات. للقيام بذلك، نكتب المعادلة ونضربها في . نحصل على معادلة في شكل تفاضلات:
.

إذا لم تكن هذه المعادلة معادلة تفاضلية كلية، فإننا نعتبر أن في هذه المعادلة المتغير المستقل، وهو دالة لـ . قسّم المعادلة على:
.
بعد ذلك، سنرى ما إذا كانت هذه المعادلة تنتمي إلى أحد الأنواع المذكورة أدناه، مع الأخذ في الاعتبار أننا قمنا بتبديل الأماكن.

إذا لم يتم العثور على نوع لهذه المعادلة، فإننا نرى ما إذا كان من الممكن تبسيط المعادلة عن طريق الاستبدال البسيط. على سبيل المثال، إذا كانت المعادلة:
,
ثم نلاحظ ذلك. ثم نقوم بإجراء الاستبدال. وبعد ذلك ستأخذ المعادلة شكلاً أبسط:
.

إذا لم يساعد ذلك، فسنحاول إيجاد عامل التكامل.

معادلات قابلة للفصل

;
.
القسمة على والتكامل. عندما نصل:
.

اختزال المعادلات إلى معادلات قابلة للفصل

المعادلات المتجانسة

نحل بالتعويض:
,
أين هي وظيفة . ثم
;
.
نحن نفصل المتغيرات ونتكامل.

تخفيض المعادلات إلى متجانسة

أدخل المتغيرات و:
;
.
نختار الثوابت وبذلك تختفي الحدود الحرة:
;
.
ونتيجة لذلك نحصل على معادلة متجانسة في المتغيرات و.

المعادلات المتجانسة المعممة

دعونا نجعل الاستبدال. نحصل على معادلة متجانسة في المتغيرات و .

المعادلات التفاضلية الخطية

هناك ثلاث طرق لحل المعادلات الخطية.

2) طريقة برنولي.
نحن نبحث عن حل على شكل منتج من دالتين ومتغير:
.
;
.
يمكننا اختيار إحدى هذه الوظائف بشكل تعسفي. ولذلك نختار أي حل غير الصفر للمعادلة على النحو التالي:
.

3) طريقة تغير الثابت (لاجرانج).
هنا نقوم أولاً بحل المعادلة المتجانسة:

الحل العام للمعادلة المتجانسة له الشكل:
,
أين هو ثابت. بعد ذلك، نستبدل الثابت بوظيفة تعتمد على المتغير:
.
عوض في المعادلة الأصلية. ونتيجة لذلك نحصل على معادلة نحدد منها.

معادلات برنولي

بالتعويض، يتم تقليل معادلة برنولي إلى معادلة خطية.

يمكن أيضًا حل هذه المعادلة باستخدام طريقة برنولي. أي أننا نبحث عن حل على شكل منتج دالتين حسب المتغير:
.
نعوض في المعادلة الأصلية:
;
.
نختار أي حل غير الصفر للمعادلة على النحو التالي:
.
بعد التحديد، نحصل على معادلة بمتغيرات قابلة للفصل لـ .

معادلات ريكاتي

ولا يمكن حلها بشكل عام. الاستبدال

يتم تقليل معادلة ريكاتي إلى الشكل:
,
أين هو ثابت؟ ; .
التالي عن طريق الاستبدال:

يتم تقليله إلى النموذج:
,
أين .

خصائص معادلة ريكاتي وبعض الحالات الخاصة لحلها معروضة على الصفحة
معادلة ريكاتي التفاضلية >>>

معادلات جاكوبي

حل عن طريق الاستبدال:
.

المعادلات في مجموع التفاضلات

بشرط
.
إذا تحقق هذا الشرط، فإن التعبير الموجود على الجانب الأيسر من المساواة هو تفاضل بعض الوظائف:
.
ثم
.
من هنا نحصل على تكامل المعادلة التفاضلية:
.

الطريقة الأكثر ملاءمة للعثور على الوظيفة هي طريقة الاستخراج التفاضلي المتسلسل. للقيام بذلك، استخدم الصيغ:
;
;
;
.

عامل التكامل

إذا لم يكن من الممكن اختزال المعادلة التفاضلية من الدرجة الأولى إلى أي من الأنواع المذكورة، فيمكنك محاولة العثور على عامل التكامل. عامل التكامل هو دالة، عند ضربها، تصبح المعادلة التفاضلية معادلة في إجمالي التفاضلات. تحتوي المعادلة التفاضلية من الدرجة الأولى على عدد لا نهائي من عوامل التكامل. ومع ذلك، لا توجد طرق عامة للعثور على عامل التكامل.

المعادلات التي لم يتم حلها للمشتقة y"

المعادلات التي يمكن حلها فيما يتعلق بالمشتقة y"

عليك أولاً أن تحاول حل المعادلة فيما يتعلق بالمشتقة. إذا أمكن، يمكن اختزال المعادلة إلى أحد الأنواع المذكورة أعلاه.

المعادلات التي يمكن تحليلها

إذا كنت تستطيع تحليل المعادلة:
,
ثم يتم تقليل المشكلة إلى حل معادلات أبسط بشكل تسلسلي:
;
;

;
. نعتقد. ثم
أو .
بعد ذلك ندمج المعادلة:
;
.
ونتيجة لذلك، نحصل على تعبير المتغير الثاني من خلال المعلمة.

المزيد من المعادلات العامة:
أو
يتم حلها أيضًا في شكل حدودي. للقيام بذلك، تحتاج إلى تحديد دالة بحيث يمكنك التعبير عنها من المعادلة الأصلية أو من خلال المعلمة.
وللتعبير عن المتغير الثاني من خلال المعلمة نتكامل المعادلة:
;
.

المعادلات التي تم حلها لـ y

معادلات كليروت

هذه المعادلة لها حل عام

معادلات لاغرانج

نحن نبحث عن حل في شكل حدودي. نحن نفترض أين هي المعلمة.

المعادلات المؤدية إلى معادلة برنولي

يتم اختزال هذه المعادلات إلى معادلة برنولي إذا بحثنا عن حلولها في الصورة البارامترية عن طريق إدخال معامل وإجراء التعويض.

مراجع:
في. ستيبانوف، دورة المعادلات التفاضلية، "LKI"، 2015.
ن.م. غونتر، آر.أو. كوزمين، مجموعة مسائل في الرياضيات العليا، لان، 2003.

أعتقد أننا يجب أن نبدأ بتاريخ أداة رياضية مجيدة مثل المعادلات التفاضلية. مثل كل حسابات التفاضل والتكامل، اخترع نيوتن هذه المعادلات في أواخر القرن السابع عشر. لقد اعتبر هذا الاكتشاف الخاص به مهمًا جدًا لدرجة أنه قام بتشفير رسالة يمكن ترجمتها اليوم على النحو التالي: "جميع قوانين الطبيعة موصوفة بمعادلات تفاضلية". قد يبدو هذا مبالغة، لكنه صحيح. يمكن وصف أي قانون في الفيزياء والكيمياء والبيولوجيا بهذه المعادلات.

قدم علماء الرياضيات أويلر ولاغرانج مساهمة كبيرة في تطوير وإنشاء نظرية المعادلات التفاضلية. بالفعل في القرن الثامن عشر اكتشفوا وطوروا ما يدرسونه الآن في الدورات الجامعية العليا.

بدأ إنجاز جديد في دراسة المعادلات التفاضلية بفضل هنري بوانكاريه. لقد ابتكر "النظرية النوعية للمعادلات التفاضلية"، والتي، بالاشتراك مع نظرية وظائف المتغير المعقد، ساهمت بشكل كبير في تأسيس الطوبولوجيا - علم الفضاء وخصائصه.

ما هي المعادلات التفاضلية؟

كثير من الناس يخافون من عبارة واحدة، ومع ذلك، في هذه المقالة سنوضح بالتفصيل الجوهر الكامل لهذا الجهاز الرياضي المفيد للغاية، وهو في الواقع ليس معقدًا كما يبدو من الاسم. لكي تبدأ الحديث عن المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى، يجب عليك أولاً أن تتعرف على المفاهيم الأساسية المرتبطة أصلاً بهذا التعريف. وسنبدأ مع التفاضل.

التفاضلي

لقد عرف الكثير من الناس هذا المفهوم منذ المدرسة. ومع ذلك، دعونا نلقي نظرة فاحصة على ذلك. تخيل الرسم البياني للوظيفة. ويمكننا زيادتها إلى درجة أن أي قطعة منها ستأخذ شكل خط مستقيم. لنأخذ نقطتين قريبتين بشكل لا نهائي من بعضهما البعض. سيكون الفرق بين إحداثياتهما (x أو y) متناهيًا في الصغر. يطلق عليه التفاضل ويشار إليه بالعلامات dy (تفاضل y) و dx (تفاضل x). من المهم جدًا أن نفهم أن التفاضل ليس كمية محدودة، وهذا هو معناه ووظيفته الرئيسية.

والآن علينا أن نفكر في العنصر التالي، والذي سيكون مفيدًا لنا في شرح مفهوم المعادلة التفاضلية. هذا مشتق.

المشتق

ربما سمعنا جميعًا هذا المفهوم في المدرسة. يقال إن المشتق هو المعدل الذي تزيد به الوظيفة أو تنقص. ومع ذلك، من هذا التعريف يصبح الكثير غير واضح. دعونا نحاول شرح المشتق من خلال التفاضلات. دعنا نعود إلى الجزء المتناهي الصغر من الدالة الذي يحتوي على نقطتين على مسافة لا تقل عن بعضهما البعض. ولكن حتى على هذه المسافة، تمكنت الوظيفة من التغيير بمقدار معين. ولوصف هذا التغيير توصلوا إلى مشتقة، والتي يمكن كتابتها كنسبة من التفاضلات: f(x)"=df/dx.

والآن يجدر النظر في الخصائص الأساسية للمشتقة. لا يوجد سوى ثلاثة منهم:

1. يمكن تمثيل مشتق المجموع أو الفرق كمجموع أو فرق المشتقات: (a+b)"=a"+b" و (a-b)"=a"-b".
2. الخاصية الثانية تتعلق بالضرب. مشتق المنتج هو مجموع منتجات دالة واحدة ومشتقة أخرى: (a*b)"=a"*b+a*b".
3. يمكن كتابة مشتق الفرق بالمساواة التالية: (a/b)"=(a"*b-a*b")/b 2 .

كل هذه الخصائص ستكون مفيدة لنا في إيجاد حلول للمعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى.

هناك أيضًا مشتقات جزئية. لنفترض أن لدينا دالة z تعتمد على المتغيرين x وy. لحساب المشتقة الجزئية لهذه الدالة، على سبيل المثال، بالنسبة إلى x، علينا أن نأخذ المتغير y كثابت ونفرقه ببساطة.

أساسي

مفهوم آخر مهم هو جزء لا يتجزأ. في الواقع، هذا هو العكس تمامًا للمشتقة. هناك عدة أنواع من التكاملات، ولكن لحل أبسط المعادلات التفاضلية نحتاج إلى أكثرها تافهة

لذا، لنفترض أن لدينا بعض الاعتماد على f على x. نأخذ التكامل منه ونحصل على الدالة F(x) (غالبًا ما تسمى المشتق العكسي)، ومشتقها يساوي الدالة الأصلية. وبالتالي F(x)"=f(x). ويترتب على ذلك أيضًا أن تكامل المشتق يساوي الدالة الأصلية.

عند حل المعادلات التفاضلية، من المهم جدًا فهم معنى التكامل ووظيفته، حيث سيتعين عليك تناولها كثيرًا للعثور على الحل.

تختلف المعادلات حسب طبيعتها. في القسم التالي، سننظر إلى أنواع المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى، ثم نتعلم كيفية حلها.

فئات المعادلات التفاضلية

يتم تقسيم "الفروقات" حسب ترتيب المشتقات الداخلة فيها. وبالتالي هناك ترتيب الأول والثاني والثالث والمزيد. ويمكن أيضًا تقسيمها إلى عدة فئات: المشتقات العادية والجزئية.

في هذه المقالة سوف نلقي نظرة على المعادلات التفاضلية العادية من الدرجة الأولى. سنناقش أيضًا الأمثلة وطرق حلها في الأقسام التالية. سننظر فقط في المعادلات التفاضلية التفاضلية (ODEs)، لأن هذه هي أكثر أنواع المعادلات شيوعًا. وتنقسم الأنواع العادية إلى أنواع فرعية: مع متغيرات قابلة للفصل ومتجانسة وغير متجانسة. بعد ذلك، سوف تتعلم كيف تختلف عن بعضها البعض وتتعلم كيفية حلها.

بالإضافة إلى ذلك، يمكن دمج هذه المعادلات بحيث نحصل في النهاية على نظام من المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى. سننظر أيضًا في مثل هذه الأنظمة ونتعلم كيفية حلها.

لماذا نفكر فقط في الأمر الأول؟ لأنك تحتاج إلى البدء بشيء بسيط، ومن المستحيل ببساطة وصف كل ما يتعلق بالمعادلات التفاضلية في مقال واحد.

معادلات قابلة للفصل

ربما تكون هذه أبسط المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى. يتضمن ذلك أمثلة يمكن كتابتها على النحو التالي: y"=f(x)*f(y). لحل هذه المعادلة، نحتاج إلى صيغة لتمثيل المشتق كنسبة من التفاضلات: y"=dy/dx. وباستخدامه نحصل على المعادلة التالية: dy/dx=f(x)*f(y). الآن يمكننا أن ننتقل إلى طريقة حل الأمثلة القياسية: سنقوم بتقسيم المتغيرات إلى أجزاء، أي أننا سننقل كل شيء مع المتغير y إلى الجزء الذي يقع فيه dy، ونفعل الشيء نفسه مع المتغير x. نحصل على معادلة من الشكل: dy/f(y)=f(x)dx، والتي يتم حلها عن طريق أخذ تكاملات كلا الجانبين. لا تنسَ الثابت الذي يجب ضبطه بعد أخذ التكامل.

الحل لأي "اختلاف" هو دالة اعتماد x على y (في حالتنا)، أو في حالة وجود شرط عددي، تكون الإجابة على شكل رقم. دعونا نلقي نظرة على عملية الحل بأكملها باستخدام مثال محدد:

دعونا نحرك المتغيرات في اتجاهات مختلفة:

الآن دعونا نأخذ التكاملات. كل منهم يمكن العثور عليها في جدول خاص من التكاملات. ونحصل على:

ln(y) = -2*cos(x) + C

إذا لزم الأمر، يمكننا التعبير عن "y" كدالة لـ "x". يمكننا الآن القول إن المعادلة التفاضلية قد تم حلها إذا لم يتم تحديد الشرط. يمكن تحديد شرط، على سبيل المثال، y(n/2)=e. ثم نقوم ببساطة بالتعويض بقيم هذه المتغيرات في الحل وإيجاد قيمة الثابت. في مثالنا هو 1.

المعادلات التفاضلية المتجانسة من الدرجة الأولى

والآن دعنا ننتقل إلى الجزء الأكثر صعوبة. يمكن كتابة المعادلات التفاضلية المتجانسة من الدرجة الأولى بالشكل العام على النحو التالي: y"=z(x,y). تجدر الإشارة إلى أن الدالة اليمنى لمتغيرين متجانسة، ولا يمكن تقسيمها إلى تبعيتين : z على x و z على y. تحقق مما إذا كانت المعادلة متجانسة أم لا أمر بسيط للغاية: نقوم بالاستبدال x=k*x و y=k*y. الآن نلغي كل k. إذا تم إلغاء كل هذه الأحرف إذن المعادلة متجانسة ويمكنك البدء في حلها بأمان، وبالنظر إلى المستقبل، دعنا نقول: مبدأ حل هذه الأمثلة بسيط جدًا أيضًا.

نحتاج إلى إجراء استبدال: y=t(x)*x، حيث t هي دالة معينة تعتمد أيضًا على x. ثم يمكننا التعبير عن المشتقة: y"=t"(x)*x+t. باستبدال كل هذا في معادلتنا الأصلية وتبسيطها، نحصل على مثال بمتغيرين منفصلين t وx. نحلها ونحصل على الاعتماد t(x). عندما نستلمها، نعوض ببساطة بـ y=t(x)*x في الاستبدال السابق. ثم نحصل على اعتماد y على x.

لتوضيح الأمر أكثر، دعونا نلقي نظرة على مثال: x*y"=y-x*e y/x .

عند التحقق من الاستبدال، يتم تقليل كل شيء. وهذا يعني أن المعادلة متجانسة حقا. الآن نقوم بإجراء استبدال آخر تحدثنا عنه: y=t(x)*x و y"=t"(x)*x+t(x). بعد التبسيط نحصل على المعادلة التالية: t"(x)*x=-e t. نحل المثال الناتج بمتغيرات منفصلة ونحصل على: e -t =ln(C*x). كل ما علينا فعله هو التعويض t مع y/x (إذا كانت y =t*x، إذن t=y/x)، وسنحصل على الإجابة: e -y/x =ln(x*C).

المعادلات التفاضلية الخطية من الدرجة الأولى

حان الوقت للنظر في موضوع واسع آخر. سنقوم بتحليل المعادلات التفاضلية غير المتجانسة من الدرجة الأولى. كيف يختلفون عن الاثنين السابقين؟ دعونا معرفة ذلك. يمكن كتابة المعادلات التفاضلية الخطية من الدرجة الأولى بشكل عام على النحو التالي: y" + g(x)*y=z(x). يجدر توضيح أن z(x) وg(x) يمكن أن تكون كميات ثابتة.

والآن مثال: y" - y*x=x 2 .

هناك حلان، وسوف ننظر في كل منهما بالترتيب. الأول هو طريقة تغيير الثوابت التعسفية.

ولحل المعادلة بهذه الطريقة، عليك أولاً مساواة الطرف الأيمن بالصفر وحل المعادلة الناتجة، والتي بعد نقل الأجزاء ستأخذ الشكل:

ln|y|=x 2 /2 + C;

y=e x2/2 *y C =C 1 *e x2/2 .

الآن نحن بحاجة إلى استبدال الثابت C 1 بالدالة v(x)، التي يتعين علينا إيجادها.

دعنا نستبدل المشتق:

y"=v"*e x2/2 -x*v*e x2/2 .

وعوض بهذه التعبيرات في المعادلة الأصلية:

v"*e x2/2 - x*v*e x2/2 + x*v*e x2/2 = x 2 .

يمكنك أن ترى أنه على الجانب الأيسر يتم إلغاء حدين. إذا لم يحدث هذا في بعض الأمثلة، فهذا يعني أنك فعلت شيئًا خاطئًا. فلنكمل:

v"*e x2/2 = x 2 .

الآن نحل المعادلة المعتادة التي نحتاج فيها إلى فصل المتغيرات:

دف/دكس=س 2 /ه x2/2 ;

دف = س 2 * ه - x2/2 دكس.

لاستخراج التكامل، سيتعين علينا تطبيق التكامل بالأجزاء هنا. ومع ذلك، هذا ليس موضوع مقالتنا. إذا كنت مهتما، يمكنك معرفة كيفية تنفيذ مثل هذه الإجراءات بنفسك. إنه ليس بالأمر الصعب، ومع ما يكفي من المهارة والرعاية لا يستغرق الكثير من الوقت.

لننتقل إلى الطريقة الثانية لحل المعادلات غير المتجانسة: طريقة برنولي. ما هو النهج الأسرع والأسهل متروك لك لتقرره.

لذا، عند حل معادلة باستخدام هذه الطريقة، علينا إجراء التعويض: y=k*n. هنا k و n بعض الوظائف المعتمدة على x. بعد ذلك ستبدو المشتقة بالشكل التالي: y"=k"*n+k*n". نعوض بالبديلين في المعادلة:

ك"*n+k*n"+x*k*n=x 2 .

التجميع:

k"*n+k*(n"+x*n)=x 2 .

والآن علينا أن نعادل ما بين القوسين بصفر. الآن، إذا قمنا بدمج المعادلتين الناتجتين، فسنحصل على نظام من المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى التي تحتاج إلى حل:

نحل المساواة الأولى كمعادلة عادية. للقيام بذلك تحتاج إلى فصل المتغيرات:

نأخذ التكامل ونحصل على: ln(n)=x 2 /2. ثم إذا عبرنا عن n :

الآن نعوض بالمساواة الناتجة في المعادلة الثانية للنظام:

ك"*ه x2/2 =x 2 .

وبالتحويل نحصل على نفس المساواة كما في الطريقة الأولى:

dk=x 2 /e x2/2 .

لن نناقش أيضًا الإجراءات الإضافية. تجدر الإشارة إلى أن حل المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى يسبب في البداية صعوبات كبيرة. ومع ذلك، كلما تعمقت في الموضوع، بدأ العمل بشكل أفضل وأفضل.

أين تستخدم المعادلات التفاضلية؟

تُستخدم المعادلات التفاضلية بشكل نشط للغاية في الفيزياء، نظرًا لأن جميع القوانين الأساسية تقريبًا مكتوبة بشكل تفاضلي، والصيغ التي نراها هي حلول لهذه المعادلات. يتم استخدامها في الكيمياء لنفس السبب: يتم استخلاص القوانين الأساسية بمساعدتها. في علم الأحياء، تُستخدم المعادلات التفاضلية لنمذجة سلوك الأنظمة، مثل المفترس والفريسة. ويمكن استخدامها أيضًا لإنشاء نماذج تكاثر لمستعمرة من الكائنات الحية الدقيقة، على سبيل المثال.

كيف يمكن للمعادلات التفاضلية أن تساعدك في الحياة؟

الجواب على هذا السؤال بسيط: لا على الإطلاق. إذا لم تكن عالما أو مهندسا، فمن غير المرجح أن تكون مفيدة لك. ومع ذلك، للتطوير العام، لن يضر معرفة ما هي المعادلة التفاضلية وكيفية حلها. ومن ثم يكون سؤال الابن أو الابنة هو "ما هي المعادلة التفاضلية؟" لن يربكك. حسنا، إذا كنت عالما أو مهندسا، فأنت تفهم أهمية هذا الموضوع في أي علم. لكن الشيء الأكثر أهمية هو أن السؤال الآن هو "كيف نحل معادلة تفاضلية من الدرجة الأولى؟" يمكنك دائمًا إعطاء إجابة. أوافق، من الجيد دائمًا أن تفهم شيئًا يخشى الناس فهمه.

المشاكل الرئيسية في الدراسة

المشكلة الرئيسية في فهم هذا الموضوع هي ضعف المهارة في دمج الوظائف والتمييز بينها. إذا لم تكن جيدًا في المشتقات والتكاملات، فمن المحتمل أن يكون من المفيد دراسة المزيد، وإتقان طرق مختلفة للتكامل والتمايز، وعندها فقط تبدأ في دراسة المادة الموضحة في المقالة.

يتفاجأ بعض الناس عندما يعلمون أنه يمكن ترحيل dx، لأنه قيل سابقًا (في المدرسة) أن الكسر dy/dx غير قابل للتجزئة. هنا تحتاج إلى قراءة الأدبيات المتعلقة بالمشتق وفهم أنها نسبة من الكميات المتناهية الصغر التي يمكن معالجتها عند حل المعادلات.

لا يدرك العديد من الأشخاص على الفور أن حل المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى غالبًا ما يكون دالة أو تكاملًا لا يمكن أخذه، وهذا الفهم الخاطئ يسبب لهم الكثير من المتاعب.

ماذا يمكنك أن تدرس من أجل فهم أفضل؟

من الأفضل أن تبدأ المزيد من الانغماس في عالم حساب التفاضل والتكامل من خلال الكتب المدرسية المتخصصة، على سبيل المثال، التحليل الرياضي لطلاب التخصصات غير الرياضية. ثم يمكنك الانتقال إلى الأدبيات الأكثر تخصصًا.

تجدر الإشارة إلى أنه بالإضافة إلى المعادلات التفاضلية، هناك أيضًا معادلات تكاملية، لذلك سيكون لديك دائمًا ما تسعى جاهداً لتحقيقه وشيء ما لتدرسه.

خاتمة

نأمل بعد قراءة هذا المقال أن تكون لديك فكرة عن المعادلات التفاضلية وكيفية حلها بشكل صحيح.

على أية حال، الرياضيات ستكون مفيدة لنا في الحياة بطريقة ما. إنه ينمي المنطق والانتباه الذي بدونه يكون كل شخص بلا أيدي.