حل المعادلات المثلثية الكسرية. كيفية حل المعادلات المثلثية

الحفاظ على خصوصيتك مهم بالنسبة لنا. لهذا السبب، قمنا بتطوير سياسة الخصوصية التي تصف كيفية استخدامنا لمعلوماتك وتخزينها. يرجى مراجعة ممارسات الخصوصية الخاصة بنا وإعلامنا إذا كانت لديك أي أسئلة.

جمع واستخدام المعلومات الشخصية

تشير المعلومات الشخصية إلى البيانات التي يمكن استخدامها لتحديد هوية شخص معين أو الاتصال به.

قد يُطلب منك تقديم معلوماتك الشخصية في أي وقت عند الاتصال بنا.

فيما يلي بعض الأمثلة على أنواع المعلومات الشخصية التي قد نجمعها وكيف يمكننا استخدام هذه المعلومات.

ما هي المعلومات الشخصية التي نجمعها:

عند تقديم طلب على الموقع، قد نقوم بجمع معلومات مختلفة، بما في ذلك اسمك ورقم هاتفك وعنوان بريدك الإلكتروني وما إلى ذلك.

كيف نستخدم المعلومات الشخصية الخاصة بك:

تتيح لنا المعلومات الشخصية التي نجمعها الاتصال بك بشأن العروض الفريدة والعروض الترويجية وغيرها من الأحداث والأحداث القادمة.
من وقت لآخر، قد نستخدم معلوماتك الشخصية لإرسال إشعارات ومراسلات مهمة.
قد نستخدم أيضًا المعلومات الشخصية لأغراض داخلية، مثل إجراء عمليات التدقيق وتحليل البيانات والأبحاث المختلفة من أجل تحسين الخدمات التي نقدمها وتزويدك بالتوصيات المتعلقة بخدماتنا.
إذا شاركت في سحب جائزة أو مسابقة أو عرض ترويجي مماثل، فقد نستخدم المعلومات التي تقدمها لإدارة مثل هذه البرامج.

الكشف عن المعلومات لأطراف ثالثة

نحن لا نكشف عن المعلومات الواردة منك إلى أطراف ثالثة.

الاستثناءات:

إذا لزم الأمر - وفقًا للقانون، والإجراءات القضائية، وفي الإجراءات القانونية و/أو بناءً على الطلبات العامة أو الطلبات المقدمة من السلطات الحكومية في أراضي الاتحاد الروسي - للكشف عن معلوماتك الشخصية. يجوز لنا أيضًا الكشف عن معلومات عنك إذا قررنا أن هذا الكشف ضروري أو مناسب للأغراض الأمنية أو إنفاذ القانون أو أي أغراض أخرى ذات أهمية عامة.
في حالة إعادة التنظيم أو الدمج أو البيع، يجوز لنا نقل المعلومات الشخصية التي نجمعها إلى الطرف الثالث الذي يخلفه.

حماية المعلومات الشخصية

نحن نتخذ الاحتياطات - بما في ذلك الإدارية والفنية والمادية - لحماية معلوماتك الشخصية من الضياع والسرقة وسوء الاستخدام، بالإضافة إلى الوصول غير المصرح به والكشف والتغيير والتدمير.

احترام خصوصيتك على مستوى الشركة

للتأكد من أن معلوماتك الشخصية آمنة، نقوم بتوصيل معايير الخصوصية والأمان لموظفينا وننفذ ممارسات الخصوصية بشكل صارم.

درس وعرض حول موضوع: "حل المعادلات المثلثية البسيطة"

مواد إضافية
أعزائي المستخدمين، لا تنسوا ترك تعليقاتكم ومراجعاتكم ورغباتكم! تم فحص جميع المواد بواسطة برنامج مكافحة الفيروسات.

الأدلة وأجهزة المحاكاة في متجر Integral عبر الإنترنت للصف العاشر من 1C
حل المشاكل في الهندسة. المهام التفاعلية للبناء في الفضاء
بيئة البرمجيات "1C: منشئ رياضي 6.1"

ما سوف ندرسه :
1. ما هي المعادلات المثلثية؟

3. طريقتان رئيسيتان لحل المعادلات المثلثية.
4. المعادلات المثلثية المتجانسة.
5. أمثلة.

ما هي المعادلات المثلثية؟

يا رفاق، لقد درسنا بالفعل أركسين وأركوسين وظل قوسي وظل قوسي. الآن دعونا نلقي نظرة على المعادلات المثلثية بشكل عام.

المعادلات المثلثية هي معادلات تحتوي على متغير تحت إشارة الدالة المثلثية.

دعونا نكرر شكل حل أبسط المعادلات المثلثية:

1)إذا كان |a|≥ 1، فإن المعادلة cos(x) = a لها حل:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) إذا كان |a|≥ 1، فإن المعادلة sin(x) = a لها حل:

3) إذا |أ| > 1، فإن المعادلة sin(x) = a وcos(x) = a ليس لها حلول 4) المعادلة tg(x)=a لها حل: x=arctg(a)+ πk

5) المعادلة ctg(x)=a لها حل: x=arcctg(a)+ πk

لجميع الصيغ ك هو عدد صحيح

أبسط المعادلات المثلثية لها الشكل التالي: T(kx+m)=a، T هي دالة مثلثية.

مثال.

حل المعادلات: أ) sin(3x)= √3/2

حل:

أ) لنشير إلى 3x=t، ثم سنعيد كتابة معادلتنا على الصورة:

حل هذه المعادلة سيكون: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn.

من جدول القيم نحصل على: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

دعنا نعود إلى المتغير: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

ثم x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

الإجابة: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3، حيث n عدد صحيح. (-1)^n – ناقص واحد أس n.

طريقتان رئيسيتان للحل.

لقد نظرنا إلى أبسط المعادلات المثلثية، ولكن هناك أيضًا معادلات أكثر تعقيدًا. ولحلها يتم استخدام طريقة إدخال متغير جديد وطريقة التحليل. دعونا نلقي نظرة على الأمثلة.

دعونا نحل المعادلة:

حل:
لحل المعادلة سنستخدم طريقة إدخال متغير جديد يدل على: t=tg(x).

نتيجة الاستبدال نحصل على: t 2 + 2t -1 = 0

لنجد جذور المعادلة التربيعية: t=-1 وt=1/3

ثم tg(x)=-1 وtg(x)=1/3، نحصل على أبسط معادلة مثلثية، لنجد جذورها.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

الإجابة: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

مثال على حل المعادلة

حل المعادلات: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

حل:

لنستخدم الهوية: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

ستكون معادلتنا بالشكل التالي: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 كوس 2 (س) - 3 كوس (س) -2 = 0

دعونا نقدم الاستبدال t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

حل المعادلة التربيعية هو الجذور: t=2 وt=-1/2

ثم cos(x)=2 وcos(x)=-1/2.

لأن لا يمكن لجيب التمام أن يأخذ قيمًا أكبر من واحد، وبالتالي فإن cos(x)=2 ليس له جذور.

بالنسبة لـ cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; س= ±2π/3 + 2πك

الإجابة: x= ±2π/3 + 2πk

المعادلات المثلثية المتجانسة.

تعريف: تسمى المعادلات ذات الشكل a sin(x)+b cos(x) بالمعادلات المثلثية المتجانسة من الدرجة الأولى.

معادلات النموذج

المعادلات المثلثية المتجانسة من الدرجة الثانية.

لحل معادلة مثلثية متجانسة من الدرجة الأولى، قم بتقسيمها على cos(x): لا يمكنك القسمة على جيب التمام إذا كان يساوي صفر، فلنتأكد من أن الأمر ليس كذلك:
لنفترض أن cos(x)=0، ثم asin(x)+0=0 => sin(x)=0، لكن الجيب وجيب التمام لا يساويان الصفر في نفس الوقت، نحصل على تناقض، حتى نتمكن من القسمة بأمان بمقدار الصفر.

حل المعادلة:
مثال: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

حل:

لنأخذ العامل المشترك: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

ثم نحتاج إلى حل معادلتين:

Cos(x)=0 وcos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 عند x= π/2 + πk;

خذ بعين الاعتبار المعادلة cos(x)+sin(x)=0 قسّم المعادلة على cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

الإجابة: x= π/2 + πk و x= -π/4+πk

كيفية حل المعادلات المثلثية المتجانسة من الدرجة الثانية؟
يا رفاق، اتبعوا هذه القواعد دائمًا!

1. تعرف على ما يساويه المعامل a، إذا كانت a=0 فإن معادلتنا ستأخذ الشكل cos(x)(bsin(x)+ccos(x))، مثال على الحل موجود في الشريحة السابقة

2. إذا كان a≠0، فأنت بحاجة إلى قسمة طرفي المعادلة على مربع جيب التمام، نحصل على:

نغير المتغير t=tg(x) ونحصل على المعادلة:

حل المثال رقم:3

حل المعادلة:
حل:

دعونا نقسم طرفي المعادلة على مربع جيب التمام:

نقوم بتغيير المتغير t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

لنجد جذور المعادلة التربيعية: t=-3 وt=1

ثم: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

الإجابة: x=-arctg(3) + πk وx= π/4+ πk

حل المثال رقم:4

حل المعادلة:

حل:
دعونا نحول تعبيرنا:

يمكننا حل هذه المعادلات: x= - π/4 + 2πk و x=5π/4 + 2πk

الإجابة: x= - π/4 + 2πk و x=5π/4 + 2πk

حل المثال رقم:5

حل المعادلة:

حل:
دعونا نحول تعبيرنا:

دعونا نقدم الاستبدال tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

سيكون حل المعادلة التربيعية هو الجذور: t=-2 وt=1/2

ثم نحصل على: tg(2x)=-2 و tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

الإجابة: x=-arctg(2)/2 + πk/2 و x=arctg(1/2)/2+ πk/2

مشاكل للحل المستقل.

1) حل المعادلة

أ) sin(7x)= 1/2 ب) cos(3x)= √3/2 ج) cos(-x) = -1 د) tg(4x) = √3 د) ctg(0.5x) = -1.7

2) حل المعادلات: sin(3x)= √3/2. وأوجد جميع الجذور في القطعة [π/2; π].

3) حل المعادلة: cot 2 (x) + 2 cot (x) + 1 =0

4) حل المعادلة: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) حل المعادلة: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) حل المعادلة: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

ليس سرا أن النجاح أو الفشل في عملية حل أي مشكلة تقريبا يعتمد بشكل أساسي على التحديد الصحيح لنوع معادلة معينة، وكذلك على الاستنساخ الصحيح لتسلسل جميع مراحل حلها. ومع ذلك، في حالة المعادلات المثلثية، فإن تحديد حقيقة أن المعادلة مثلثية ليس بالأمر الصعب على الإطلاق. ولكن في عملية تحديد تسلسل الإجراءات التي يجب أن تقودنا إلى الإجابة الصحيحة، قد نواجه بعض الصعوبات. دعونا نتعرف على كيفية حل المعادلات المثلثية بشكل صحيح منذ البداية.

حل المعادلات المثلثية

من أجل حل معادلة مثلثية، عليك تجربة النقاط التالية:

نحن نختصر جميع الدوال المتضمنة في معادلتنا إلى "زوايا متطابقة"؛
من الضروري تحويل المعادلة المعطاة إلى "دوال متطابقة"؛
نقوم بتحليل الجانب الأيسر من المعادلة المعطاة إلى عوامل أو مكونات ضرورية أخرى.

طُرق

الطريقة الأولى. يجب حل هذه المعادلات على مرحلتين. أولاً، نقوم بتحويل المعادلة للحصول على أبسط صورتها (المبسطة). المعادلة: Cosx = a، Sinx = a وما شابهها تسمى أبسط المعادلات المثلثية. المرحلة الثانية هي حل أبسط معادلة تم الحصول عليها. وتجدر الإشارة إلى أن أبسط معادلة يمكن حلها باستخدام الطريقة الجبرية المعروفة لنا من مقرر الجبر المدرسي. وتسمى أيضًا طريقة الاستبدال والاستبدال المتغير. باستخدام صيغ الاختزال، تحتاج أولاً إلى التحويل، ثم إجراء الاستبدال، ثم العثور على الجذور.

بعد ذلك، علينا تحليل المعادلة إلى عوامل محتملة؛ وللقيام بذلك، علينا تحريك جميع الحدود إلى اليسار ثم يمكننا تحليلها. الآن نحن بحاجة إلى تحويل هذه المعادلة إلى معادلة متجانسة، حيث تكون جميع الحدود متساوية في الدرجة نفسها، وجيب التمام والجيب لهما نفس الزاوية.

قبل حل المعادلات المثلثية، عليك نقل حدودها إلى الجانب الأيسر، وإخراجها من الجانب الأيمن، ثم إخراج جميع المقامات المشتركة بين قوسين. نحن نساوي الأقواس والعوامل بالصفر. تمثل الأقواس المتساوية معادلة متجانسة ذات درجة مخفضة، والتي يجب قسمتها على sin (cos) إلى أعلى درجة. الآن نحل المعادلة الجبرية التي تم الحصول عليها بالنسبة إلى tan.

الطريقة الثانية. هناك طريقة أخرى يمكنك من خلالها حل معادلة مثلثية وهي الانتقال إلى نصف الزاوية. على سبيل المثال، نحل المعادلة: 3sinx-5cosx=7.

نحن بحاجة للذهاب إلى نصف الزاوية، في حالتنا هي: 6sin(x/2)*cos(x/2)- 5cos²(x/2)+5sin²(x/2) = 7sin²(x/2)+ 7cos²(x /2). وبعد ذلك، نقوم بتبسيط جميع الحدود في جزء واحد (للتيسير، من الأفضل اختيار الجزء الصحيح) ونبدأ في حل المعادلة.

إذا لزم الأمر، يمكنك إدخال زاوية مساعدة. يتم ذلك في حالة احتياجك إلى استبدال القيمة الصحيحة sin (a) أو cos (a) وتكون الإشارة "a" بمثابة زاوية مساعدة فقط.

المنتج لمجموع

كيفية حل المعادلات المثلثية باستخدام المنتج للجمع؟ يمكن أيضًا استخدام طريقة تُعرف باسم تحويل المنتج إلى المجموع لحل مثل هذه المعادلات. في هذه الحالة، من الضروري استخدام الصيغ المقابلة للمعادلة.

على سبيل المثال، لدينا المعادلة: 2sinx * sin3x= сos4x

نحن بحاجة إلى حل هذه المشكلة عن طريق تحويل الجانب الأيسر إلى مجموع، وهي:

كوس 4x –cos8x=cos4x,

س = ص/16 + بك/8.

إذا كانت الطرق المذكورة أعلاه غير مناسبة، وما زلت لا تعرف كيفية حل المعادلات المثلثية البسيطة، فيمكنك استخدام طريقة أخرى - الاستبدال الشامل. يمكن استخدامه لتحويل تعبير وإجراء استبدال. على سبيل المثال: Cos(x/2)=u. يمكنك الآن حل المعادلة باستخدام المعلمة الموجودة u. وبعد حصولك على النتيجة المرجوة، لا تنس تحويل هذه القيمة إلى العكس.

ينصح العديد من الطلاب "ذوي الخبرة" بمطالبة الأشخاص بحل المعادلات عبر الإنترنت. تسأل كيف تحل معادلة مثلثية عبر الإنترنت. لحل مشكلة عبر الإنترنت، يمكنك الذهاب إلى المنتديات حول المواضيع ذات الصلة، حيث يمكنهم مساعدتك بالنصيحة أو في حل المشكلة. لكن من الأفضل أن تحاول القيام بذلك بنفسك.

المهارات والقدرات في حل المعادلات المثلثية مهمة ومفيدة للغاية. سوف يتطلب تطويرها جهدًا كبيرًا منك. ترتبط العديد من المشكلات في الفيزياء والقياس المجسم وما إلى ذلك بحل مثل هذه المعادلات. وعملية حل مثل هذه المشكلات في حد ذاتها تفترض وجود المهارات والمعرفة التي يمكن اكتسابها أثناء دراسة عناصر علم المثلثات.

تعلم الصيغ المثلثية

في عملية حل المعادلة، قد تواجه الحاجة إلى استخدام أي صيغة من علم المثلثات. يمكنك بالطبع البدء في البحث عنه في كتبك المدرسية وأوراق الغش. وإذا تم تخزين هذه الصيغ في رأسك، فلن تحافظ على أعصابك فحسب، بل ستجعل مهمتك أسهل بكثير، دون إضاعة الوقت في البحث عن المعلومات الضرورية. وبالتالي، سيكون لديك الفرصة للتفكير في الطريقة الأكثر عقلانية لحل المشكلة.

تتضمن دورة الفيديو "احصل على A" جميع المواضيع اللازمة لاجتياز اختبار الدولة الموحدة في الرياضيات بنجاح مع 60-65 نقطة. أكمل جميع المهام من 1 إلى 13 من امتحان الدولة الموحدة للملف التعريفي في الرياضيات. مناسب أيضًا لاجتياز امتحان الدولة الموحدة الأساسي في الرياضيات. إذا كنت ترغب في اجتياز امتحان الدولة الموحدة برصيد 90-100 نقطة، فأنت بحاجة إلى حل الجزء الأول في 30 دقيقة وبدون أخطاء!

دورة تحضيرية لامتحان الدولة الموحدة للصفوف 10-11 وكذلك للمعلمين. كل ما تحتاجه لحل الجزء الأول من امتحان الدولة الموحدة في الرياضيات (أول 12 مسألة) والمسألة 13 (علم المثلثات). وهذا أكثر من 70 نقطة في امتحان الدولة الموحدة، ولا يستطيع طالب 100 نقطة ولا طالب العلوم الإنسانية الاستغناء عنها.

كل النظرية اللازمة. الحلول السريعة والمزالق وأسرار امتحان الدولة الموحدة. تم تحليل جميع المهام الحالية للجزء الأول من بنك مهام FIPI. تتوافق الدورة تمامًا مع متطلبات امتحان الدولة الموحدة 2018.

تحتوي الدورة على 5 مواضيع كبيرة، مدة كل منها 2.5 ساعة. يتم تقديم كل موضوع من الصفر، ببساطة ووضوح.

المئات من مهام امتحان الدولة الموحدة. المسائل اللفظية ونظرية الاحتمالات. خوارزميات بسيطة وسهلة التذكر لحل المشكلات. الهندسة. النظرية والمواد المرجعية وتحليل جميع أنواع مهام امتحان الدولة الموحدة. القياس المجسم. حلول صعبة، أوراق غش مفيدة، تطوير الخيال المكاني. علم المثلثات من الصفر إلى المشكلة 13. الفهم بدلا من الحشر. تفسيرات واضحة للمفاهيم المعقدة. الجبر. الجذور والقوى واللوغاريتمات والدالة والمشتقات. أساس لحل المشكلات المعقدة للجزء الثاني من امتحان الدولة الموحدة.

يمكنك طلب حل مفصل لمشكلتك!!!

تسمى المساواة التي تحتوي على مجهول تحت علامة الدالة المثلثية (`sin x، cos x، tan x` أو `ctg x`) معادلة مثلثية، وسننظر في صيغها بشكل أكبر.

أبسط المعادلات هي `sin x=a، cos x=a، tg x=a، ctg x=a`، حيث `x` هي الزاوية التي سيتم العثور عليها، و`a` هو أي رقم. دعونا نكتب الصيغ الجذرية لكل منها.

1. المعادلة `sin x=a`.

بالنسبة إلى `|a|>1`، لا يوجد لها حلول.

عندما `|أ| \leq 1` يحتوي على عدد لا نهائي من الحلول.

صيغة الجذر: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. المعادلة `cos x=a`

بالنسبة لـ `|a|>1` - كما في حالة جيب الجيب، ليس لها حلول بين الأعداد الحقيقية.

عندما `|أ| \leq 1` يحتوي على عدد لا نهائي من الحلول.

صيغة الجذر: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

حالات خاصة للجيب وجيب التمام في الرسوم البيانية.

3. المعادلة `tg x=a`

لديه عدد لا نهائي من الحلول لأي قيم `a`.

صيغة الجذر: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. المعادلة `ctg x=a`

لديه أيضًا عدد لا نهائي من الحلول لأي قيم `a`.

صيغة الجذر: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

صيغ جذور المعادلات المثلثية في الجدول

لجيب:
لجيب التمام:
بالنسبة للظل وظل التمام:
صيغ حل المعادلات التي تحتوي على دوال مثلثية عكسية:

طرق حل المعادلات المثلثية

حل أي معادلة مثلثية يتكون من مرحلتين:

وذلك بمساعدة تحويله إلى الأبسط؛
حل أبسط معادلة تم الحصول عليها باستخدام الصيغ الجذرية والجداول المكتوبة أعلاه.

دعونا نلقي نظرة على طرق الحل الرئيسية باستخدام الأمثلة.

الطريقة الجبرية.

تتضمن هذه الطريقة استبدال متغير واستبداله بالمساواة.

مثال. حل المعادلة: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

قم بالاستبدال: `cos(x+\frac \pi 6)=y`، ثم `2y^2-3y+1=0`،

نجد الجذور: `y_1=1, y_2=1/2`، ويتبع منها حالتان:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

الإجابة: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`، `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

التخصيم.

مثال. حل المعادلة: `sin x+cos x=1`.

حل. لننقل جميع حدود المساواة إلى اليسار: `sin x+cos x-1=0`. باستخدام ، نقوم بتحويل وتحليل الجانب الأيسر:

`الخطيئة x - 2sin^2 x/2=0`،

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`،

`2سين x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`،

`الخطيئة x/2 =0`، `x/2 =\pi n`، `x_1=2\pi n`.
`cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

الإجابة: `x_1=2\pi n`، `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

التخفيض إلى معادلة متجانسة

أولاً، عليك اختزال هذه المعادلة المثلثية إلى أحد الشكلين:

`a sin x+b cos x=0` (معادلة متجانسة من الدرجة الأولى) أو `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (معادلة متجانسة من الدرجة الثانية).

ثم اقسم كلا الجزأين على `cos x \ne 0` - للحالة الأولى، وعلى `cos^2 x \ne 0` - للحالة الثانية. حصلنا على معادلات `tg x`: `a tg x+b=0` و`a tg^2 x + b tg x +c =0`، والتي تحتاج إلى حل باستخدام الطرق المعروفة.

مثال. حل المعادلة: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

حل. لنكتب الجانب الأيمن بالشكل `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 الخطيئة^2 x+الخطيئة x cos x — cos^2 x=` `الخطيئة^2 x+cos^2 x`,

`2 الخطيئة^2 x+الخطيئة x cos x — cos^2 x -` ` الخطيئة^2 x — cos^2 x=0`

`الخطيئة^2 x+الخطيئة x cos x — 2 cos^2 x=0`.

هذه معادلة مثلثية متجانسة من الدرجة الثانية، نقسم طرفيها الأيمن والأيسر على `cos^2 x\ne 0`، فنحصل على:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x — 2=0`. دعنا نقدم الاستبدال `tg x=t`، مما يؤدي إلى `t^2 + t - 2=0`. جذور هذه المعادلة هي `t_1=-2` و`t_2=1`. ثم:

`tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
`tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`.

إجابة. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

الانتقال إلى نصف الزاوية

مثال. حل المعادلة: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

حل. دعونا نطبق صيغ الزاوية المزدوجة، مما يؤدي إلى: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 كوس ^2 س/2`

`4 تيراغرام^2 س/2 — 11 تيراغرام س/2 +6=0`

وبتطبيق الطريقة الجبرية الموصوفة أعلاه نحصل على:

`tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
`tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

إجابة. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

مقدمة من الزاوية المساعدة

في المعادلة المثلثية `a sin x + b cos x =c`، حيث a,b,c معاملات وx متغير، قسّم كلا الطرفين على `sqrt (a^2+b^2)`:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +ب^2))`.

المعاملات الموجودة على الجانب الأيسر لها خصائص الجيب وجيب التمام، أي أن مجموع مربعاتها يساوي 1 ووحداتها ليست أكبر من 1. ولنرمز إليها كما يلي: `\frac a(sqrt (a^2) +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`، ثم:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

دعونا نلقي نظرة فاحصة على المثال التالي:

مثال. حل المعادلة: `3 sin x+4 cos x=2`.

حل. نقسم طرفي المساواة على `sqrt (3^2+4^2)`، نحصل على:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt) (3^2+4^2))`

`3/5 الخطيئة x+4/5 cos x=2/5`.

دعنا نشير إلى `3/5 = cos \varphi`، `4/5=sin \varphi`. بما أن `sin \varphi>0`، `cos \varphi>0`، فإننا نأخذ `\varphi=arcsin 4/5` كزاوية مساعدة. ثم نكتب المساواة لدينا في الشكل:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

بتطبيق صيغة مجموع زوايا الجيب، نكتب مساواتنا بالشكل التالي:

`الخطيئة (x+\varphi)=2/5`،

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

إجابة. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

المعادلات المثلثية العقلانية الكسرية

هذه هي المساواة مع الكسور التي تحتوي بسطها ومقاماتها على دوال مثلثية.

مثال. حل المعادلة. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

حل. اضرب واقسم الجانب الأيمن من المساواة على `(1+cos x)`. ونتيجة لذلك نحصل على:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

بالنظر إلى أن المقام لا يمكن أن يساوي الصفر، نحصل على `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

دعونا نساوي بسط الكسر بالصفر: `sin x-sin^2 x=0`، `sin x(1-sin x)=0`. ثم `sin x=0` أو `1-sin x=0`.

`sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
`1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

بالنظر إلى أن ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`، الحلول هي `x=2\pi n, n \in Z` و `x=\pi /2+2\pi n` ، `ن \في Z`.

إجابة. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

يُستخدم علم المثلثات، والمعادلات المثلثية على وجه الخصوص، في جميع مجالات الهندسة والفيزياء والهندسة تقريبًا. تبدأ الدراسة في الصف العاشر، وهناك دائمًا مهام لامتحان الدولة الموحدة، لذا حاول أن تتذكر جميع صيغ المعادلات المثلثية - فهي بالتأكيد ستكون مفيدة لك!

ومع ذلك، لا تحتاج حتى إلى حفظها، والشيء الرئيسي هو فهم الجوهر والقدرة على استخلاصه. انها ليست صعبة كما يبدو. شاهد بنفسك من خلال مشاهدة الفيديو.