حل أنظمة المعادلات الجبرية الخطية، طرق الحل، الأمثلة. أوجد الحل العام للنظام وfsr

المصفوفات المعطاة

البحث عن: 1) أأ - ب ب،

حل: 1) نجدها بالتسلسل باستخدام قواعد ضرب المصفوفة في عدد وإضافة المصفوفات..

2. ابحث عن A*B إذا

حل: نستخدم قاعدة ضرب المصفوفات

إجابة:

3. لمصفوفة معينة، أوجد الصغرى M 31 واحسب المحدد.

حل: Minor M 31 هو محدد المصفوفة التي يتم الحصول عليها من A

بعد شطب السطر 3 والعمود 1. نجد

1*10*3+4*4*4+1*1*2-2*4*10-1*1*4-1*4*3 = 0.

لنقم بتحويل المصفوفة A دون تغيير محددها (لنضع أصفارًا في الصف 1)

الآن نحسب محدد المصفوفة A عن طريق التوسع على طول الصف 1

الجواب: م 31 = 0، ديتا = 0

حل باستخدام طريقة غاوس وطريقة كرامر.

2س 1 + س 2 + س 3 = 2

× 1 + × 2 + 3 × 3 = 6

2س 1 + س 2 + 2 س 3 = 5

حل: دعونا تحقق

يمكنك استخدام طريقة كريمر

حل النظام: x 1 = D 1 / D = 2، x 2 = D 2 / D = -5، x 3 = D 3 / D = 3

دعونا نطبق الطريقة الغوسية.

دعونا نختصر المصفوفة الموسعة للنظام إلى الشكل الثلاثي.

لسهولة الحساب، دعونا نبدل الأسطر:

اضرب السطر الثاني في (k = -1 / 2 = -1 / 2 ) وأضف إلى الثالث:

اضرب السطر الأول بـ (k = -2 / 2 = -1 ) وأضف إلى الثاني:

الآن يمكن كتابة النظام الأصلي على النحو التالي:

× 1 = 1 - (1/2 × 2 + 1/2 × 3)

× 2 = 13 - (6×3)

من السطر الثاني نعبر

من السطر الأول نعبر

الحل هو نفسه.

الجواب: (2؛ -5؛ 3)

أوجد الحل العام للنظام وFSR

13×1 – 4×2 – × 3 – 4× 4 – 6× 5 = 0

11x 1 - 2x 2 + س 3 - 2x 4 - 3x 5 = 0

5x 1 + 4x 2 + 7x 3 + 4x 4 + 6x 5 = 0

7x 1 + 2x 2 + 5x 3 + 2x 4 + 3x 5 = 0

حل: دعونا نطبق الطريقة الغوسية. دعونا نختصر المصفوفة الموسعة للنظام إلى الشكل الثلاثي.

اضرب السطر الأول بـ (-11). اضرب السطر الثاني في (13). دعنا نضيف السطر الثاني إلى الأول:

اضرب السطر الثاني بـ (-5). دعونا نضرب السطر الثالث في (11). دعنا نضيف السطر الثالث إلى الثاني:

اضرب السطر الثالث بـ (-7). دعونا نضرب السطر الرابع في (5). دعنا نضيف السطر الرابع إلى الثالث:

المعادلة الثانية هي مزيج خطي من الآخرين

دعونا نجد رتبة المصفوفة.

القاصر المحدد لديه أعلى ترتيب (من القاصرين المحتملين) وهو غير صفر (هو يساوي منتج العناصر على القطر العكسي)، وبالتالي رن (A) = 2.

هذا القاصر أساسي. يتضمن معاملات للمجهول x 1 , x 2 , مما يعني أن المجهولات x 1 , x 2 تابعة (أساسية) و x 3 , x 4 , x 5 مجانية.

النظام ذو معاملات هذه المصفوفة يعادل النظام الأصلي وله الشكل:

18x2 = 24x3 + 18x4 + 27x5

7x1 + 2x2 = - 5x3 - 2x4 - 3x5

باستخدام طريقة القضاء على المجهولين نجد قرار مشترك:

س 2 = - 4 / 3 × 3 - س 4 - 3 / 2 × 5

× 1 = - 1 / 3 × 3

نجد نظام الحلول الأساسي (FSD) والذي يتكون من حلول (n-r). في حالتنا، n=5، r=2، فإن النظام الأساسي للحلول يتكون من 3 حلول، ويجب أن تكون هذه الحلول مستقلة خطيًا.

لكي تكون الصفوف مستقلة خطيا، من الضروري والكافي أن تكون رتبة المصفوفة المكونة من عناصر الصف مساوية لعدد الصفوف، أي 3.

يكفي إعطاء القيم الحرة المجهولة x 3 , x 4 , x 5 من سطور المحدد الثالث غير الصفر وحساب x 1 , x 2 .

أبسط محدد غير الصفر هو مصفوفة الهوية.

لكن الأمر أكثر ملاءمة لأخذه هنا

نجد باستخدام الحل العام :

أ) × 3 = 6، × 4 = 0، × 5 = 0 Þ × 1 = - 1 / 3 × 3 = -2، × 2 = - 4 / 3 × 3 - × 4 - 3 / 2 × 5 = - 4 ص

قرار FSR: (-2; -4; 6; 0;0)

ب) × 3 = 0، × 4 = 6، × 5 = 0 Þ × 1 = - 1 / 3 × 3 = 0، × 2 = - 4 / 3 × 3 - × 4 - 3 / 2 × 5 = - 6 ذ

حل FSR الثاني: (0; -6; 0; 6;0)

ج) × 3 = 0، × 4 = 0، × 5 = 6 Þ × 1 = - 1/3 × 3 = 0، × 2 = - 4/3 × 3 - × 4 - 3/2 × 5 = -9 ذ

القرار الثالث لـ FSR: (0; - 9; 0; 0;6)

Þ FSR: (-2; -4; 6; 0;0), (0; -6; 0; 6;0), (0; - 9; 0; 0;6)

6. معطى: z 1 = -4 + 5i، z 2 = 2 - 4i. أوجد: أ) ض 1 – 2 ض 2 ب) ض 1 ض 2 ج) ض 1 /ض 2

حل: أ) ض 1 - 2ض 2 = -4+5i+2(2-4i) = -4+5i+4-8i = -3i

ب) ض 1 ض 2 = (-4+5i)(2-4i) = -8+10i+16i-20i 2 = (i 2 = -1) = 12 + 26i

الإجابة: أ) -3i ب) 12+26i ج) -1.4 - 0.3i

النظام المتجانس يكون دائمًا متسقًا وله حل تافه
. لكي يوجد حل غير بديهي، من الضروري أن تكون رتبة المصفوفة كان أقل من عدد المجهولين:

.

النظام الأساسي للحلول نظام متجانس
استدعاء نظام من الحلول في شكل ناقلات الأعمدة
، والتي تتوافق مع الأساس القانوني، أي. الأساس الذي الثوابت التعسفية
يتم ضبطها بالتناوب على واحد، في حين يتم ضبط الباقي على الصفر.

ثم الحل العام للنظام المتجانس له الشكل:

أين
- الثوابت التعسفية. بمعنى آخر، الحل الشامل هو مزيج خطي من نظام الحلول الأساسي.

وبالتالي، يمكن الحصول على الحلول الأساسية من الحل العام إذا أعطيت المجهولات الحرة قيمة واحد على التوالي، مع جعل جميع الآخرين يساوي الصفر.

مثال. دعونا نجد حلا للنظام

لنقبل، ثم نحصل على الحل في الصورة:

دعونا الآن نبني نظامًا أساسيًا للحلول:

.

سيتم كتابة الحل العام على النحو التالي:

تتميز حلول نظام المعادلات الخطية المتجانسة بالخصائص التالية:

بمعنى آخر، أي مجموعة خطية من الحلول لنظام متجانس هي مرة أخرى حل.

حل أنظمة المعادلات الخطية باستخدام طريقة غاوس

لقد أثار حل أنظمة المعادلات الخطية اهتمام علماء الرياضيات لعدة قرون. تم الحصول على النتائج الأولى في القرن الثامن عشر. في عام 1750، نشر ج. كرامر (1704-1752) أعماله حول محددات المصفوفات المربعة واقترح خوارزمية للعثور على المصفوفة العكسية. في عام 1809، أوضح غاوس طريقة حل جديدة تُعرف باسم طريقة الحذف.

تتمثل طريقة غاوس، أو طريقة الحذف المتسلسل للمجهول، في حقيقة أنه باستخدام التحويلات الأولية، يتم تقليل نظام المعادلات إلى نظام مكافئ لشكل خطوة (أو ثلاثي). تتيح مثل هذه الأنظمة العثور على جميع الأشياء المجهولة بالتسلسل وبترتيب معين.

لنفترض أنه في النظام (1)
(وهو أمر ممكن دائما).

(1)

ضرب المعادلة الأولى واحدة تلو الأخرى بما يسمى أرقام مناسبة

وبجمع نتيجة الضرب مع معادلات النظام المقابلة نحصل على نظام مكافئ لن يكون فيه مجهول في جميع المعادلات باستثناء الأولى X 1

(2)

دعونا الآن نضرب المعادلة الثانية للنظام (2) في الأعداد المناسبة، بافتراض ذلك

,

وإضافتها إلى العناصر السفلية نحذف المتغير من جميع المعادلات ابتداء من الثالثة.

مواصلة هذه العملية بعد
الخطوة التي نحصل عليها:

(3)

إذا كان واحدا على الأقل من الأرقام
لا يساوي الصفر، فإن المساواة المقابلة متناقضة والنظام (1) غير متسق. على العكس من ذلك، لأي نظام رقم مشترك
تساوي الصفر. رقم ليس أكثر من رتبة مصفوفة النظام (1).

يسمى الانتقال من النظام (1) إلى (3). إلى الأمام بشكل مستقيم طريقة جاوس وإيجاد المجهولات من (3) – إلى الوراء .

تعليق : من الملائم إجراء التحويلات ليس باستخدام المعادلات نفسها، ولكن باستخدام المصفوفة الموسعة للنظام (1).

مثال. دعونا نجد حلا للنظام

.

لنكتب المصفوفة الموسعة للنظام:

.

دعونا نضيف أول واحد إلى الأسطر 2،3،4، مضروبًا في (-2)، (-3)، (-2) على التوالي:

.

لنقم بتبديل الصفين 2 و 3، ثم في المصفوفة الناتجة أضف الصف 2 إلى الصف 4، مضروبًا في :

.

أضف إلى السطر 4 السطر 3 مضروبًا في
:

.

من الواضح أن
وبالتالي فإن النظام متسق. من نظام المعادلات الناتج

نجد الحل بالتعويض العكسي :

,
,
,
.

مثال 2.البحث عن حل للنظام:

.

ومن الواضح أن النظام غير متناسق، لأنه
، أ
.

مزايا طريقة غاوس :

أقل كثافة في العمالة من طريقة كريمر.

يحدد بشكل لا لبس فيه توافق النظام ويسمح لك بإيجاد حل.

يجعل من الممكن تحديد رتبة أي مصفوفات.

يترك م 0 – مجموعة الحلول لنظام متجانس (4) من المعادلات الخطية.

التعريف 6.12.ثلاثة أبعاد مع 1 ,مع 2 , …, مع ص، والتي تسمى حلول نظام متجانس من المعادلات الخطية مجموعة الحلول الأساسية(مختصر FNR)، إذا

1) المتجهات مع 1 ,مع 2 , …, مع صمستقلة خطيًا (أي لا يمكن التعبير عن أي منها بدلالة الآخرين)؛

2) يمكن التعبير عن أي حل آخر لنظام متجانس من المعادلات الخطية بدلالة الحلول مع 1 ,مع 2 , …, مع ص.

لاحظ أنه إذا مع 1 ,مع 2 , …, مع ص– أي f.n.r. ثم الإعراب ك 1× مع 1 + ك 2× مع 2 + … + ك ص× مع صيمكنك وصف المجموعة بأكملها م 0 حلول للنظام (4) هكذا يسمى نظرة عامة على حل النظام (4).

نظرية 6.6.أي نظام متجانس غير محدد من المعادلات الخطية لديه مجموعة أساسية من الحلول.

طريقة العثور على مجموعة الحلول الأساسية هي كما يلي:

إيجاد حل عام لنظام متجانس من المعادلات الخطية؛

يبني ( ن – ص) الحلول الجزئية لهذا النظام، بينما يجب أن تشكل قيم المجهولات الحرة مصفوفة هوية؛

اكتب الصيغة العامة للحل المتضمن في م 0 .

مثال 6.5.أوجد مجموعة الحلول الأساسية للنظام التالي:

حل. دعونا نجد حلا عاما لهذا النظام.

~ ~ ~ ~ Þ Þ Þ هناك خمسة مجهولين في هذا النظام ( ن= 5)، منها مجهولان رئيسيان ( ص= 2)، هناك ثلاثة مجاهيل مجانية ( ن – ص)، أي أن مجموعة الحلول الأساسية تحتوي على ثلاثة متجهات للحلول. دعونا نبنيهم. لدينا س 1 و س 3 - المجهول الرئيسي، س 2 , س 4 , س 5- المجهول الحر

قيم المجهولة الحرة س 2 , س 4 , س 5 شكل مصفوفة الهوية هالترتيب الثالث. حصلت على تلك المتجهات مع 1 ,مع 2 , مع 3 نموذج f.n.r. من هذا النظام. ومن ثم ستكون مجموعة الحلول لهذا النظام المتجانس م 0 = {ك 1× مع 1 + ك 2× مع 2 + ك 3× مع 3 , ك 1 , ك 2 , ك 3 يا ر).

دعونا الآن نتعرف على شروط وجود حلول غير صفرية لنظام متجانس من المعادلات الخطية، أي شروط وجود مجموعة أساسية من الحلول.

نظام متجانس من المعادلات الخطية له حلول غير صفرية، أي أنه من غير المؤكد ما إذا كانت

1) رتبة المصفوفة الرئيسية للنظام أقل من عدد المجهولين؛

2) في نظام متجانس من المعادلات الخطية، يكون عدد المعادلات أقل من عدد المجهولين؛

3) إذا كان في نظام متجانس من المعادلات الخطية عدد المعادلات يساوي عدد المجهولين، ومحدد المصفوفة الرئيسية يساوي الصفر (أي | أ| = 0).

مثال 6.6. في ما قيمة المعلمة أنظام متجانس من المعادلات الخطية لديه حلول غير الصفر؟

حل. لنؤلف المصفوفة الرئيسية لهذا النظام ونجد محددها: = = 1×(–1) 1+1 × = - أ– 4. محدد هذه المصفوفة يساوي الصفر عند أ = –4.

إجابة: –4.

7. الحساب ن-مساحة متجهة الأبعاد

مفاهيم أساسية

لقد واجهنا في الأقسام السابقة بالفعل مفهوم مجموعة من الأعداد الحقيقية مرتبة بترتيب معين. هذه مصفوفة صف (أو مصفوفة عمود) وحل لنظام المعادلات الخطية نمجهول. يمكن تلخيص هذه المعلومات.

التعريف 7.1. ن-ناقلات حسابية الأبعادتسمى مجموعة مرتبة من نأرقام حقيقية.

وسائل أ= (أ 1 ، أ 2 ، …، أ ن)، اين ا أنايا ر، أنا = 1, 2, …, ن- منظر عام للمتجه. رقم نمُسَمًّى البعدالمتجهات والأرقام أ أناتسمى له الإحداثيات.

على سبيل المثال: أ= (1، –8، 7، 4، ) – متجه خماسي الأبعاد.

كل شيء جاهز نعادةً ما يُشار إلى المتجهات ذات الأبعاد على أنها آر إن.

التعريف 7.2.اثنين من المتجهات أ= (أ 1 ، أ 2 ، …، أ ن) و ب= (ب 1 , ب 2 , …, ب ن) من نفس البعد متساويإذا وفقط إذا كانت الإحداثيات المقابلة لها متساوية، أي أ 1 = ب 1 , أ 2 = ب 2 , ..., أ ن= ب ن.

التعريف 7.3.كميةاثنين ن- ناقلات الأبعاد أ= (أ 1 ، أ 2 ، …، أ ن) و ب= (ب 1 , ب 2 , …, ب ن) يسمى المتجه أ + ب= (أ 1 + ب 1، أ 2 + ب 2، …، أ ن+ ب ن).

التعريف 7.4. العملعدد حقيقي كإلى المتجه أ= (أ 1 ، أ 2 ، …، أ ن) يسمى المتجه ك× أ = (ك× أ 1، ك× أ 2، …، ك× أ ن)

التعريف 7.5.المتجه يا= (0، 0، ...، 0) يسمى صفر(أو ناقلات فارغة).

من السهل التحقق من أن إجراءات (عمليات) إضافة المتجهات وضربها بعدد حقيقي لها الخصائص التالية: " أ, ب, ج Î آر إن, " ك, ليا ر:

1) أ + ب = ب + أ;

2) أ + (ب+ ج) = (أ + ب) + ج;

3) أ + يا = أ;

4) أ+ (–أ) = يا;

5) 1× أ = أ، 1 يا ص؛

6) ك×( ل× أ) = ل×( ك× أ) = (ل× ك)× أ;

7) (ك + ل)× أ = ك× أ + ل× أ;

8) ك×( أ + ب) = ك× أ + ك× ب.

التعريف 7.6.مجموعة من آر إنتسمى بعمليات إضافة المتجهات وضربها بعدد حقيقي معطى عليها الفضاء المتجه الحسابي ذو الأبعاد n.

الطريقة الغوسية لها عدد من العيوب: من المستحيل معرفة ما إذا كان النظام متسقًا أم لا حتى يتم تنفيذ جميع التحولات اللازمة في الطريقة الغوسية؛ طريقة غاوس غير مناسبة للأنظمة ذات معاملات الحروف.

دعونا نفكر في طرق أخرى لحل أنظمة المعادلات الخطية. تستخدم هذه الطرق مفهوم رتبة المصفوفة وتختصر حل أي نظام ثابت لحل النظام الذي تنطبق عليه قاعدة كرامر.

مثال 1.أوجد حلاً عاماً لنظام المعادلات الخطية التالي باستخدام النظام الأساسي لحلول النظام المتجانس المختزل وحل خاص للنظام غير المتجانس.

1. صنع مصفوفة أومصفوفة النظام الموسعة (1)

2. اكتشف النظام (1) من أجل العمل الجماعي. للقيام بذلك، نجد صفوف المصفوفات أو https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width = "17" height = "26 src = ">). إذا تبين ذلك، فإن النظام (1) غير متوافق. إذا حصلنا على ذلك إذن هذا النظام ثابت وسنقوم بحله. (تعتمد دراسة التوافق على نظرية كرونيكر-كابيلي).

أ. نجد را.

لايجاد را، سننظر بالتتابع إلى العناصر الثانوية غير الصفرية للأوامر الأولى والثانية وما إلى ذلك من المصفوفة أوالقاصرين المحيطين بهم.

م1=1≠0 (نأخذ 1 من الزاوية اليسرى العليا للمصفوفة أ).

نحن الحدود م1الصف الثاني والعمود الثاني من هذه المصفوفة. . نواصل الحدود م1السطر الثاني والعمود الثالث..gif" width="37" height="20 src=">. الآن نحدد الحدود الثانوية غير الصفرية م2′الدرجة الثانية.

لدينا: (نظرًا لأن العمودين الأولين متماثلان)

(لأن السطرين الثاني والثالث متناسبان).

نحن نرى ذلك ص = 2، a هو الأساس الثانوي للمصفوفة أ.

ب. نجد.

قاصر الأساسية تماما م2′المصفوفات أحدود بعمود من المصطلحات المجانية وجميع الصفوف (لدينا الصف الأخير فقط).

. إنه يتبع هذا م3 ''يبقى القاصر الأساسي للمصفوفة https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)

لأن م2′- أساس ثانوي للمصفوفة أأنظمة (2) فإن هذا النظام يعادل النظام (3) ، تتكون من المعادلتين الأوليين للنظام (2) (ل م2′موجود في أول صفين من المصفوفة A).

(3)

منذ الثانوية الأساسية https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> (4)

يوجد في هذا النظام نوعان من المجهولين الحرين ( ×2 و ×4 ). لهذا FSR أنظمة (4) يتكون من حلين. للعثور عليهم، نقوم بتعيين مجهولين مجانيين في (4) القيم أولا ×2=1 , ×4=0 ، وثم - س2=0 , ×4=1 .

في ×2=1 , ×4=0 نحن نحصل:

.

هذا النظام لديه بالفعل الشيء الوحيد الحل (يمكن العثور عليه باستخدام قاعدة كرامر أو أي طريقة أخرى). وبطرح الأولى من المعادلة الثانية نحصل على:

سيكون الحل لها ×1= -1 , س3=0 . نظرا للقيم ×2 و ×4 والتي أضفناها نحصل على الحل الأساسي الأول للنظام (2) : .

الآن نحن نؤمن (4) س2=0 , ×4=1 . نحن نحصل:

.

نحن نحل هذا النظام باستخدام نظرية كرامر:

.

نحصل على الحل الأساسي الثاني للنظام (2) : .

حلول β1 , β2 والمكياج FSR أنظمة (2) . ثم سيكون الحل العام لها

γ= ج1 β1+С2β2=С1(‑1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2)

هنا ج1 , ج2 - الثوابت التعسفية.

4. دعونا نجد واحدة خاص حل نظام غير متجانس(1) . كما في الفقرة 3 ، بدلاً من النظام (1) دعونا نفكر في نظام مكافئ (5) ، تتكون من المعادلتين الأوليين للنظام (1) .

(5)

دعونا ننقل المجهول الحر إلى الجانب الأيمن ×2و ×4.

(6)

دعونا نعطي المجهول مجانا ×2 و ×4 القيم التعسفية، على سبيل المثال، س2=2 , ×4=1 ووضعهم فيها (6) . دعونا الحصول على النظام

هذا النظام لديه حل فريد من نوعه (حيث أن محدده M2′0). وبحلها (باستخدام نظرية كرامر أو طريقة غاوس)، نحصل عليها س1=3 , س3=3 . نظرا لقيم المجهولة الحرة ×2 و ×4 ، نحن نحصل حل خاص لنظام غير متجانس(1)α1=(3,2,3,1).

5. الآن كل ما تبقى هو كتابته الحل العام α لنظام غير متجانس(1) : يساوي المبلغ حل خاصهذا النظام و الحل العام لنظامها المتجانس المختزل (2) :

α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2).

هذا يعنى: (7)

6. فحص.للتحقق مما إذا كنت قد قمت بحل النظام بشكل صحيح (1) ، نحن بحاجة إلى حل عام (7) استبدال في (1) . إذا تحولت كل معادلة إلى الهوية ( ج1 و ج2 يجب تدميرها)، ثم يتم العثور على الحل بشكل صحيح.

سوف نستبدل (7) على سبيل المثال، فقط المعادلة الأخيرة للنظام (1) (س1 + س2 + س3 ‑9 س4 =‑1) .

نحصل على: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1

(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1

حيث -1=-1. لقد حصلنا على هوية. نحن نفعل هذا مع جميع المعادلات الأخرى للنظام (1) .

تعليق.عادة ما يكون الفحص مرهقًا جدًا. يمكن التوصية بـ "الفحص الجزئي" التالي: في الحل العام للنظام (1) قم بتعيين بعض القيم للثوابت التعسفية واستبدل الحل الجزئي الناتج فقط في المعادلات المهملة (أي في تلك المعادلات من (1) ، والتي لم تكن مدرجة في (5) ). إذا حصلت على هويات، ثم اكثر اعجابا، حل النظام (1) تم العثور عليه بشكل صحيح (ولكن مثل هذا الفحص لا يوفر ضمانًا كاملاً للصحة!). على سبيل المثال، إذا كان في (7) يضع ج2=- 1 , ج1=1، فنحصل على: x1=-3، x2=3، x3=-1، x4=0. بالتعويض في المعادلة الأخيرة للنظام (1) نحصل على: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 ، أي –1=–1. لقد حصلنا على هوية.

مثال 2.إيجاد حل عام لنظام المعادلات الخطية (1) ، معبراً عن المجهولات الأساسية من حيث المجهولات الحرة.

حل.كما في مثال 1، إنشاء المصفوفات أوhttps://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50"> من هذه المصفوفات. الآن نترك فقط معادلات النظام تلك (1) التي تدخل معاملاتها في هذا القاصر الأساسي (أي لدينا المعادلتين الأوليين) ونعتبر نظامًا يتكون منهما يعادل النظام (1).

دعونا ننقل المجهول الحر إلى الجانب الأيمن من هذه المعادلات.

نظام (9) نحن نحل المشكلة باستخدام طريقة غاوس، مع اعتبار الأطراف اليمنى حدودًا حرة.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">

الخيار 2.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width = "192" height = "106 src = ">

الخيار 4.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">

الخيار 5.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">

الخيار 6.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">

يسمى نظام المعادلات الخطية الذي تكون فيه جميع الحدود الحرة مساوية للصفر متجانس :

إن أي نظام متجانس دائمًا ما يكون متسقًا، لأنه كان دائمًا كذلك صفر (تافه ) حل. السؤال الذي يطرح نفسه هو تحت أي ظروف سيكون للنظام المتجانس حل غير تافه.

نظرية 5.2.يكون للنظام المتجانس حل غير بديهي إذا وفقط إذا كانت رتبة المصفوفة الأساسية أقل من عدد مجاهيلها.

عاقبة. النظام المتجانس المربع له حل غير بديهي إذا وفقط إذا كان محدد المصفوفة الرئيسية للنظام لا يساوي الصفر.

مثال 5.6.تحديد قيم المعلمة l التي يوجد عندها النظام حلول غير بديهية، وإيجاد هذه الحلول:

حل. سيكون لهذا النظام حل غير تافه عندما يكون محدد المصفوفة الرئيسية يساوي الصفر:

وبالتالي، فإن النظام يكون غير تافه عندما يكون l=3 أو l=2. بالنسبة لـ l=3، فإن رتبة المصفوفة الرئيسية للنظام هي 1. ثم نترك معادلة واحدة فقط ونفترض أن ذ=أو ض=ب، نحن نحصل س=ب-أ، أي.

بالنسبة لـ l=2، فإن رتبة المصفوفة الرئيسية للنظام هي 2. ثم اختيار المصفوفة الثانوية كأساس:

نحصل على نظام مبسط

ومن هنا نجد ذلك س=ض/4، ص=ض/2. الاعتقاد ض=4أ، نحن نحصل

مجموعة جميع حلول النظام المتجانس لها أهمية كبيرة خاصية خطية : إذا كانت الأعمدة X 1 وX 2 - حلول لنظام متجانس AX = 0, ثم أي مجموعة خطية منهمأ X 1 + ب X 2 سيكون أيضًا حلاً لهذا النظام. بالفعل منذ ذلك الحين فأس 1 = 0 و فأس 2 = 0 ، الذي - التي أ(أ X 1 + ب X 2) = أ فأس 1 + ب فأس 2 = أ · 0 + ب · 0 = 0. وبسبب هذه الخاصية، إذا كان للنظام الخطي أكثر من حل واحد، فسيكون هناك عدد لا نهائي من هذه الحلول.

أعمدة مستقلة خطيا ه 1 , ه 2 , إيكتسمى حلول النظام المتجانس النظام الأساسي للحلول نظام متجانس من المعادلات الخطية إذا كان من الممكن كتابة الحل العام لهذا النظام كمجموعة خطية من هذه الأعمدة:

إذا كان هناك نظام متجانس نالمتغيرات، ورتبة المصفوفة الرئيسية للنظام تساوي ص، الذي - التي ك = ن-ر.

مثال 5.7.أوجد النظام الأساسي للحلول لنظام المعادلات الخطية التالي:

حل. لنجد رتبة المصفوفة الرئيسية للنظام:

وبالتالي، فإن مجموعة الحلول لهذا النظام من المعادلات تشكل فضاء فرعي خطي ذو بعد ن-ر= 5 - 2 = 3. لنختار الأساس الصغير

.

بعد ذلك، مع ترك المعادلات الأساسية فقط (سيكون الباقي مزيجًا خطيًا من هذه المعادلات) والمتغيرات الأساسية (ننقل الباقي، ما يسمى بالمتغيرات الحرة إلى اليمين)، نحصل على نظام مبسط من المعادلات:

الاعتقاد س 3 = أ, س 4 = ب, س 5 = ج، نجد

, .

الاعتقاد أ= 1, ب = ج= 0، نحصل على الحل الأساسي الأول؛ الاعتقاد ب= 1, أ = ج= 0، نحصل على الحل الأساسي الثاني؛ الاعتقاد ج= 1, أ = ب= 0، نحصل على الحل الأساسي الثالث. ونتيجة لذلك، فإن النظام الأساسي الطبيعي للحلول سوف يأخذ الشكل

باستخدام النظام الأساسي، يمكن كتابة الحل العام للنظام المتجانس على النحو التالي:

X = أ 1 + يكون 2 + م 3. أ

دعونا نلاحظ بعض خصائص الحلول لنظام غير متجانس من المعادلات الخطية الفأس = بوعلاقتها بنظام المعادلات المتجانس المقابل الفأس = 0.

الحل العام لنظام غير متجانسيساوي مجموع الحل العام للنظام المتجانس المقابل AX = 0 والحل الخاص التعسفي للنظام غير المتجانس. في الواقع، اسمحوا ي 0 هو حل خاص تعسفي لنظام غير متجانس، أي. AY 0 = ب، و ي- الحل العام لنظام غير متجانس، أي. AY = ب. بطرح مساواة واحدة من الأخرى، نحصل على
أ(ص-ص 0) = 0، أي ص-ص 0 هو الحل العام للنظام المتجانس المقابل فأس=0. لذلك، ص-ص 0 = X، أو ص=ص 0 + X. Q.E.D.

دع النظام غير المتجانس يكون على الشكل AX = B 1 + ب 2 . ومن ثم يمكن كتابة الحل العام لمثل هذا النظام على النحو X = X 1 + X 2 , حيث الفأس 1 = ب 1 و الفأس 2 = ب 2. تعبر هذه الخاصية عن خاصية عالمية لأي أنظمة خطية بشكل عام (جبرية، تفاضلية، وظيفية، إلخ). في الفيزياء تسمى هذه الخاصية مبدأ التراكب- في الهندسة الكهربائية والراديو - مبدأ التراكب. على سبيل المثال، في نظرية الدوائر الكهربائية الخطية، يمكن الحصول على التيار في أي دائرة كمجموع جبري للتيارات الناتجة عن كل مصدر طاقة على حدة.