مقارنة في الرياضيات - كيفية تحديد أي من الأرقام أكبر أو أقل. مقارنة الأعداد السالبة: قاعدة ، أمثلة

درس الرياضيات في 6 داخل الفصل

عنوان: "مقارنة الأرقام الموجبة والسالبة"

نوع الدرس: درس تحديد مشكلة التعلم

أشكال العمل: فردي ، أمامي ، غرفة بخار ، مجموعة.

طرق التدريس: لفظي ، بصري ، عملي ، إشكالي.

معدات: كمبيوتر ، جهاز عرض وسائط متعددة.

أهداف الدرس:

معرفي: قم بصياغة قاعدة لمقارنة الأرقام بعلامات مختلفة ، وتعلم كيفية وضعها موضع التنفيذ.

كائنات التعريف ، بما في ذلك:

تنظيمية: لتعيين مهمة التعلم بناءً على ارتباط ما هو معروف بالفعل وتعلمه الطلاب ، وما لا يزال مجهولاً ؛ تحديد تسلسل الإجراءات لحل المشكلة ؛ تصحيح النتيجة مع مراعاة تقييم الطالب والمعلم والرفاق ؛ فهم جودة ومستوى استيعاب المواد.

التواصل: لتعلم التعاون الاستباقي في البحث عن حل للمشكلة ؛ تعلم كيفية التعبير عن أفكارهم بما يكفي من الاكتمال والدقة وفقًا لمهام وشروط الاتصال.

خلال الفصول

تحفيز.

نواصل العمل بأرقام موجبة وسالبة. لقد عرفنا الأرقام الموجبة لفترة طويلة ، تعلمنا أولاً كيفية المقارنة بينها ، ثم تنفيذ إجراءات مختلفة: الجمع والطرح والضرب والقسمة. هل تعتقد أنه من الممكن إجراء نفس العمليات بأرقام سالبة كما هو الحال مع الأعداد الموجبة؟ (إجابه). ماذا تريد أن تتعلم في الفصل اليوم؟

تحديد الأهداف:اشتق قاعدة لمقارنة الأرقام بعلامات مختلفة ، وتعلم كيفية تطبيقها.

تحديث المعرفة الأساسية.

مهام العمل الشفوي:

تحديد وحدة.

ما هي إشارة الأعداد الواقعة على خط الإحداثي على يمين الصفر؟ يسار الصفر؟

أوجد مقياس العدد 6.8 ؛ -3.5 ؛ 18.11 ؛ 0.03 ؛ -12.3

بيان بالمهمة التعليمية.

قارن وحدات الأرقام

1. كيف تقارن الأرقام باستخدام خط إحداثيات؟

   النقطة "أ" على خط الإحداثيات تقع على يسار النقطة "ب". ما هي إحداثي النقطة الأكبر؟

   أي نقطة على خط الإحداثيات تقع على اليسار؟

   1. أ (0.6) أو ب (3.11)

المحلول.

لإكمال المهمة التالية ، سنقسم إلى 5 مجموعات من 6 أشخاص. تحتاج كل مجموعة إلى مقارنة الأرقام والإجابة على الأسئلة.

1. 2. 2 و -11

   3. -15 و 16

إبزيم أساسي.

قم بتسمية خمسة أرقام مختلفة

كبير 0

أصغر 0 ؛

أصغر -5

كبير -3 ؛

كبير -11 ، لكنه أصغر -3

بين ما هي الأعداد الصحيحة المجاورة هو الرقم 3.8 ؛ رقم -8.9

اكتب جميع الأعداد الصحيحة الموجودة على خط الإحداثيات بين الأرقام -2.5 و 6 ؛ بين الأرقام -17.3 و -8.1

اكتب الأرقام بالترتيب تنازلي -6,9; 3,8; 5; -10; 15; 0; -3:

تحديد الواجبات المنزلية.بند 29 تعرف على قاعدة المقارنة بين الأعداد الموجبة والسالبة أكمل الرقم 995، 996، 997، 999، 1000

انعكاس أنشطة التعلم في الفصل.

1. ما هي الأهداف التي حددناها في درس اليوم ، هل أجبنا على جميع الأسئلة المطروحة؟

   كيف تقارن الأرقام الموجبة والسالبة؟

   كيف تقارن رقمين سالبين؟

   من فضلك أكمل بطاقات التقييم لدرس اليوم.

قارن الأرقام باستخدام خط إحداثيات:

2. 2 و -11

3. -15 و 16

قدم إجابات للأسئلة التالية:

قارن بين عددين موجبين

قارن عدد موجب مع صفر

قارن الرقم السالب مع الصفر

قارن بين الأعداد الموجبة والسالبة

قارن بين عددين سالبين

الأعداد السالبةهي أرقام بعلامة الطرح (-) ، على سبيل المثال -1 ، -2 ، -3. يقرأ مثل: ناقص واحد ناقص اثنين ناقص ثلاثة

مثال تطبيقى أرقام سالبةهو مقياس حرارة يوضح درجة حرارة الجسم أو الهواء أو التربة أو الماء. في الشتاء ، عندما يكون الجو باردًا جدًا في الخارج ، تكون درجة الحرارة سلبية (أو ، كما يقول الناس ، "ناقص").

على سبيل المثال ، -10 درجات بارد:

الأرقام المعتادة التي اعتبرناها سابقًا ، مثل 1 ، 2 ، 3 تسمى موجبة. الأرقام الموجبة هي أرقام بعلامة الجمع (+).

عند كتابة أرقام موجبة ، لا يتم تدوين علامة + ، وهذا هو سبب رؤيتنا للأرقام 1 ، 2 ، 3 المألوفة لنا. ولكن يجب أن يؤخذ في الاعتبار أن هذه الأرقام الموجبة تبدو كما يلي: +1 ، + 2 ، +3.

هذا خط مستقيم توجد عليه جميع الأرقام: سالبة وموجبة. كالآتي:

تظهر هنا الأرقام من -5 إلى 5. في الواقع ، خط الإحداثيات لانهائي. يوضح الشكل جزءًا صغيرًا منه فقط.

يتم تمييز الأرقام الموجودة على خط الإحداثيات كنقاط. في الشكل ، النقطة السوداء الغامقة هي نقطة البداية. يبدأ العد التنازلي من الصفر. على يسار النقطة المرجعية ، تم وضع علامة على الأرقام السالبة ، وإلى اليمين ، الأرقام الموجبة.

يستمر خط الإحداثيات إلى أجل غير مسمى على كلا الجانبين. يُشار إلى اللانهاية في الرياضيات بالرمز ∞. سيتم الإشارة إلى الاتجاه السالب بالرمز −∞ ، والاتجاه الموجب بالرمز + ∞. ثم يمكننا القول أن جميع الأرقام من سالب ما لا نهاية إلى زائد ما لا نهاية تقع على خط الإحداثيات:

كل نقطة على خط الإحداثيات لها اسمها وتنسيقها. اسمهو أي حرف لاتيني. تنسيقهو رقم يشير إلى موضع نقطة على هذا الخط. ببساطة ، الإحداثي هو نفس الرقم الذي نريد تمييزه على خط الإحداثيات.

على سبيل المثال ، تُقرأ النقطة أ (2) على أنها "النقطة أ مع التنسيق 2" وسيتم الإشارة إلى خط الإحداثيات على النحو التالي:

هنا أهو اسم النقطة ، 2 هو إحداثي النقطة أ.

مثال 2النقطة B (4) تقرأ كـ "النقطة B عند التنسيق 4"

هنا بهو اسم النقطة ، 4 هو تنسيق النقطة ب.

مثال 3تتم قراءة النقطة M (−3) على أنها "النقطة M مع إحداثيات ناقص ثلاثة" وسيتم الإشارة إلى خط الإحداثيات على النحو التالي:

هنا مهو اسم النقطة ، −3 هو إحداثيات النقطة م .

يمكن الإشارة إلى النقاط بأي أحرف. لكن من المقبول عمومًا تسميتها بأحرف لاتينية كبيرة. علاوة على ذلك ، بداية التقرير ، وهو ما يسمى خلاف ذلك الأصلعادة ما يشار إليها بحرف كبير O

من السهل ملاحظة أن الأرقام السالبة تقع على يسار الأصل والأرقام الموجبة على اليمين.

هناك عبارات مثل "كلما زاد اليسار ، قل"و "كلما زاد الجانب الأيمن ، زاد". ربما خمنت بالفعل ما نتحدث عنه. مع كل خطوة إلى اليسار ، سينخفض ​​الرقم إلى أسفل. ومع كل خطوة على اليمين ، سيزداد الرقم. يشير السهم الذي يشير إلى اليمين إلى الاتجاه الإيجابي للعد.

مقارنة الأعداد السالبة والموجبة

المادة 1 أي رقم سالب أقل من أي رقم موجب.

على سبيل المثال ، دعنا نقارن رقمين: −5 و 3. ناقص خمسة أقلمن ثلاثة ، على الرغم من حقيقة أن الخمسة تلفت الأنظار في المقام الأول ، كرقم أكبر من ثلاثة.

هذا لأن −5 سلبي و 3 موجب. على خط الإحداثيات ، يمكنك رؤية مكان الأرقام 5 و 3

يمكن ملاحظة أن 5 تقع على اليسار و 3 على اليمين. وقلنا ذلك "كلما زاد اليسار ، قل" . وتنص القاعدة على أن أي عدد سالب أقل من أي عدد موجب. ومن ثم يتبع ذلك

−5 < 3

"ناقص خمسة أقل من ثلاثة"

القاعدة 2 من بين الرقمين السالبين ، الرقم الأصغر هو الرقم الموجود على اليسار على خط الإحداثيات.

على سبيل المثال ، دعنا نقارن الأرقام -4 و -1. ناقص أربعة أقلمن ناقص واحد.

هذا مرة أخرى بسبب حقيقة أن خط الإحداثيات −4 يقع على اليسار أكثر من 1

يمكن ملاحظة أن -4 تقع على اليسار و -1 على اليمين. وقلنا ذلك "كلما زاد اليسار ، قل" . وتنص القاعدة على أنه من بين عددين سالبين ، فإن الرقم الموجود على اليسار على خط الإحداثيات أقل. ومن ثم يتبع ذلك

ناقص أربعة أقل من ناقص واحد

القاعدة 3 الصفر أكبر من أي رقم سالب.

على سبيل المثال ، دعنا نقارن 0 و 3. صفر أكثرمن ناقص ثلاثة. هذا يرجع إلى حقيقة أن خط الإحداثيات 0 يقع على اليمين من 3

يمكن ملاحظة أن 0 تقع على اليمين و 3 على اليسار. وقلنا ذلك "كلما زاد الجانب الأيمن ، زاد" . وتنص القاعدة على أن الصفر أكبر من أي عدد سالب. ومن ثم يتبع ذلك

الصفر أكبر من ناقص ثلاثة

القاعدة 4 الصفر أقل من أي رقم موجب.

على سبيل المثال ، قارن 0 و 4. صفر أقل 4. من حيث المبدأ ، هذا واضح وصحيح. لكننا سنحاول رؤيته بأعيننا ، مرة أخرى على خط الإحداثيات:

يمكن ملاحظة أنه على خط الإحداثيات يقع 0 على اليسار و 4 على اليمين. وقلنا ذلك "كلما زاد اليسار ، قل" . وتنص القاعدة على أن الصفر أقل من أي عدد موجب. ومن ثم يتبع ذلك

الصفر أقل من أربعة

هل أعجبك الدرس؟
انضم إلى مجموعة فكونتاكتي الجديدة وابدأ في تلقي إشعارات بالدروس الجديدة

§ 1 مقارنة الأعداد الموجبة

في هذا الدرس ، سوف نتذكر كيف نقارن الأعداد الموجبة وننظر في المقارنة بين الأعداد السالبة.

لنبدأ بالمهمة. كانت درجة حرارة الهواء خلال النهار +7 درجة ، وفي المساء تنخفض إلى +2 درجة ، وفي الليل أصبحت -2 درجة ، وفي الصباح تنخفض إلى -7 درجة. كيف تغيرت درجة حرارة الهواء؟

المشكلة في التخفيض ، أي حول انخفاض درجة الحرارة. هذا يعني أنه في كل حالة تكون القيمة النهائية لدرجة الحرارة أقل من القيمة الأولية ، وبالتالي 2< 7; -2 < 2; -7< -2.

دعنا نشير إلى الأرقام 7 ، 2 ، -2 ، -7 على خط الإحداثيات. تذكر أنه على خط الإحداثيات ، يوجد رقم موجب أكبر على اليمين.

لنلق نظرة على الأرقام السالبة ، الرقم -2 على اليمين من -7 ، أي بالنسبة للأرقام السالبة على خط الإحداثيات ، يتم الاحتفاظ بنفس الترتيب: عندما تتحرك النقطة إلى اليمين ، يزداد تنسيقها ، وعندما تتحرك النقطة إلى اليسار ، يقل تنسيقها.

يمكننا أن نستنتج: أي رقم موجب أكبر من الصفر وأكبر من أي رقم سالب. 1> 0 ؛ 12> -2.5. أي رقم سالب أقل من صفر وأقل من أي رقم موجب. -59< 1; -9 < 2. Из двух чисел большее изображается на координатной прямой правее, а меньшее - левее.

من المريح مقارنة الأرقام المنطقية (أي جميع الأعداد الصحيحة والأرقام الكسرية) باستخدام الوحدة النمطية.

توجد الأرقام الموجبة على خط الإحداثيات بترتيب تصاعدي من الأصل ، مما يعني أنه كلما كان الرقم بعيدًا عن الأصل ، زاد طول المقطع من الصفر إلى الرقم ، أي وحدتها. لذلك ، من بين عددين موجبين ، يكون الرقم الذي يكون مقياسه أكبر أكبر.

§ 2 مقارنة الأرقام السالبة

عند مقارنة رقمين سالبين ، سيكون الرقم الأكبر موجودًا على اليمين ، أي أقرب إلى الأصل. هذا يعني أن معامله (طول القطعة من صفر إلى رقم) سيكون أقل. وبالتالي ، من بين عددين سالبين ، يكون الرقم الذي يحتوي على مقياس أصغر أكبر.

فمثلا. دعنا نقارن العددين -1 و -5. تقع النقطة المقابلة للرقم -1 بالقرب من الأصل من النقطة المقابلة للرقم -5. إذن ، طول القطعة من 0 إلى -1 أو مقياس العدد -1 أقل من طول القطعة من 0 إلى -5 أو مقياس الرقم -5 ، مما يعني أن الرقم -1 أكبر من الرقم -5.

نستخلص النتائج:

عند مقارنة الأرقام المنطقية ، انتبه إلى:

الإشارات: الرقم السالب يكون دائمًا أقل من رقم موجب وصفر ؛

في الموقع على خط الإحداثيات: كلما زاد إلى اليمين ، زاد ؛

في الوحدات النمطية: بالنسبة للأرقام الموجبة ، تكون الوحدة أكبر والعدد أكبر ، وبالنسبة للأرقام السالبة ، تكون الوحدة أكبر ، والرقم أقل.

قائمة الأدب المستخدم:

1. الرياضيات الصف السادس: خطط الدروس للكتاب المدرسي بواسطة I.I. Zubareva ، A.G. مردكوفيتش // مؤلف مترجم L.A. توبيلين. Mnemosyne 2009
2. رياضيات. الصف السادس: كتاب مدرسي لطلاب المؤسسات التعليمية. أنا. Zubareva ، A.G. مردكوفيتش. - م: Mnemozina ، 2013
3. رياضيات. الصف السادس: كتاب مدرسي لطلاب المؤسسات التعليمية. / ن يا. فيلينكين ، ف. جوخوف ، أ. تشيسنوكوف ، إس. شوارزبورد. - م: Mnemosyne ، 2013
4. كتيب الرياضيات - http://lyudmilanik.com.ua
5. كتيب للطلاب في المدرسة الثانوية http://shkolo.ru

مستوى اول

مقارنة الأرقام. الدليل الشامل (2019)

عند حل المعادلات والمتباينات ، وكذلك مشاكل الوحدات ، من الضروري تحديد الجذور الموجودة على الخط الحقيقي. كما تعلم ، يمكن أن تكون الجذور الموجودة مختلفة. يمكن أن تكون هكذا: ، أو يمكن أن تكون هكذا: ،.

وفقًا لذلك ، إذا لم تكن الأرقام منطقية ولكنها غير منطقية (إذا نسيت ما هي عليه ، فابحث في الموضوع) ، أو كانت تعبيرات رياضية معقدة ، فإن وضعها على خط الأعداد يمثل مشكلة كبيرة. علاوة على ذلك ، لا يمكن استخدام الآلات الحاسبة في الاختبار ، والحساب التقريبي لا يعطي ضمانات بنسبة 100٪ أن رقمًا واحدًا أقل من الآخر (ماذا لو كان هناك فرق بين الأرقام المقارنة؟).

بالطبع ، أنت تعلم أن الأرقام الموجبة دائمًا ما تكون أكبر من الأرقام السالبة ، وأننا إذا كنا نمثل محورًا للأرقام ، فعند المقارنة ، ستكون أكبر الأرقام على اليمين من الأصغر:؛ ؛ إلخ.

لكن هل هو دائما بهذه السهولة؟ أين نحتفل على خط الأعداد.

كيف يمكن مقارنتها ، على سبيل المثال ، برقم؟ هذا هو المكان الذي يوجد فيه فرك ...)

بادئ ذي بدء ، دعنا نتحدث بعبارات عامة حول كيفية المقارنة وما يجب مقارنته.

هام: من المستحسن إجراء تحولات بطريقة لا تتغير بها علامة عدم المساواة!أي ، في سياق التحولات ، من غير المرغوب فيه الضرب برقم سالب ، و ممنوعمربع إذا كان أحد الأجزاء سالبًا.

مقارنة الكسور

إذن ، نحن بحاجة إلى مقارنة كسرين: و.

هناك عدة خيارات لكيفية القيام بذلك.

الخيار 1. جعل الكسور مقامًا مشتركًا.

دعنا نكتبه في صورة كسر عادي:

- (كما ترى ، لقد اختزلت أيضًا بالبسط والمقام).

الآن نحن بحاجة إلى مقارنة الكسور:

الآن يمكننا الاستمرار في المقارنة بطريقتين. نحن نقدر:

1. فقط اختصر كل شيء إلى قاسم مشترك ، مع تقديم كلا الكسرين على أنهما غير مناسبين (البسط أكبر من المقام):

   أي رقم أكبر؟ هذا صحيح ، الذي بسطه أكبر ، أي الأول.

2. "تجاهل" (افترض أننا طرحنا واحدًا من كل كسر ، وأن نسبة الكسور لبعضها البعض ، على التوالي ، لم تتغير) وسنقارن الكسور:

   نأتي بهم أيضًا إلى قاسم مشترك:

   حصلنا على نفس النتيجة تمامًا كما في الحالة السابقة - الرقم الأول أكبر من الثاني:

   دعنا نتحقق أيضًا مما إذا كنا قد طرحنا واحدًا بشكل صحيح؟ لنحسب الفرق في البسط في الحساب الأول والثاني:
   1)
   2)

لذلك ، درسنا كيفية مقارنة الكسور ، وجعلها في مقام مشترك. دعنا ننتقل إلى طريقة أخرى - مقارنة الكسور بإحضارها إلى بسط مشترك.

الخيار 2. مقارنة الكسور بالاختزال إلى بسط مشترك.

نعم نعم. هذا ليس خطأ مطبعي. نادرًا ما يتم تدريس هذه الطريقة في المدرسة لأي شخص ، لكنها غالبًا ما تكون مريحة للغاية. حتى تفهم جوهرها بسرعة ، سأطرح عليك سؤالًا واحدًا فقط - "في أي الحالات تكون قيمة الكسر هي الأكبر؟" بالطبع ، ستقول "عندما يكون البسط كبيرًا بقدر الإمكان ، ويكون المقام صغيرًا بقدر الإمكان".

على سبيل المثال ، ستقول بالتأكيد أن هذا صحيح؟ وإذا احتجنا إلى مقارنة هذه الكسور: أعتقد أنك أيضًا ستضع العلامة بشكل صحيح على الفور ، لأنه في الحالة الأولى يتم تقسيمها إلى أجزاء ، وفي الحالة الثانية إلى أجزاء كاملة ، مما يعني أنه في الحالة الثانية تكون القطع صغيرة جدًا ، وبالتالي:. كما ترى ، فإن المقامات مختلفة هنا ، لكن البسطان متماثلان. ومع ذلك ، لمقارنة هذين الكسرين ، لا تحتاج إلى إيجاد مقام مشترك. على الرغم من ... العثور عليها ومعرفة ما إذا كانت علامة المقارنة لا تزال خاطئة؟

لكن العلامة هي نفسها.

دعنا نعود إلى مهمتنا الأصلية - للمقارنة و. سوف نقارن و لا نحضر هذه الكسور إلى المقام المشترك ، بل إلى البسط المشترك. لهذا الأمر بسيط البسط والمقاماضرب الكسر الأول في. نحن نحصل:

و. أي جزء أكبر؟ هذا صحيح ، أول واحد.

الخيار 3. مقارنة الكسور باستخدام الطرح.

كيف تقارن الكسور باستخدام الطرح؟ نعم ، بسيط جدا. نطرح آخر من كسر واحد. إذا كانت النتيجة موجبة ، فإن الكسر الأول (المختزل) أكبر من الثاني (مطروح) ، وإذا كان سالبًا ، فالعكس صحيح.

في حالتنا ، لنحاول طرح الكسر الأول من الثاني:

كما فهمت بالفعل ، فإننا نترجم أيضًا إلى كسر عادي ونحصل على نفس النتيجة -. يصبح تعبيرنا:

علاوة على ذلك ، لا يزال يتعين علينا اللجوء إلى الاختزال إلى قاسم مشترك. السؤال هو كيف: في الطريقة الأولى ، تحويل الكسور إلى كسور غير صحيحة ، أو في الطريقة الثانية ، كما لو كان "إزالة" الوحدة؟ بالمناسبة ، هذا الإجراء له تبرير رياضي تمامًا. نظرة:

أفضل الخيار الثاني لأن الضرب في البسط عند الاختزال إلى مقام مشترك يصبح أسهل كثيرًا.

نأتي إلى القاسم المشترك:

الشيء الرئيسي هنا هو عدم الخلط بيننا وبين العدد والمكان الذي طرحنا منه. انظر بعناية إلى مسار الحل ولا تخلط بين العلامات عن طريق الخطأ. لقد طرحنا الأول من الرقم الثاني وحصلنا على إجابة سالبة .. هذا صحيح ، الرقم الأول أكبر من الثاني.

فهمتك؟ جرب مقارنة الكسور:

قف قف. لا تتسرع في إحضار قاسم مشترك أو طرح. انظر: يمكن تحويله بسهولة إلى كسر عشري. كم ستكون؟ بشكل صحيح. ما الذي ينتهي به الأمر أكثر؟

هذا خيار آخر - مقارنة الكسور بالاختزال إلى رقم عشري.

الخيار 4. مقارنة الكسور باستخدام القسمة.

نعم نعم. وهذا ممكن أيضًا. المنطق بسيط: عندما نقسم عددًا أكبر على رقم أصغر ، نحصل على رقم أكبر من واحد في الإجابة ، وإذا قسمنا عددًا أصغر على رقم أكبر ، فإن الإجابة تقع على الفترة من إلى.

لتذكر هذه القاعدة ، خذ أي عددين أوليين ، على سبيل المثال ، للمقارنة. هل تعرف ما هو أكثر من ذلك؟ الآن دعونا نقسم على. جوابنا هو. تبعا لذلك ، فإن النظرية صحيحة. إذا قسمنا على ، فإن ما نحصل عليه هو أقل من واحد ، وهذا بدوره يؤكد ما هو أقل في الواقع.

لنحاول تطبيق هذه القاعدة على الكسور العادية. قارن:

اقسم الكسر الأول على الثاني:

دعنا نقصر.

النتيجة أقل ، وبالتالي فإن المقسوم أقل من المقسوم عليه ، أي:

لقد حللنا جميع الخيارات الممكنة لمقارنة الكسور. كما ترى هناك 5 منهم:

• الاختزال إلى قاسم مشترك ؛
• الاختزال إلى البسط المشترك ؛
• الاختزال إلى شكل كسر عشري ؛
• الطرح.
• قطاع.

جاهز للتمرين؟ قارن الكسور بأفضل طريقة:

لنقارن الإجابات:

1. (- تحويل إلى عشري)
2. (اقسم كسرًا على آخر واختزل بالبسط والمقام)
3. (حدد الجزء بالكامل وقارن الكسور وفقًا لمبدأ البسط نفسه)
4. (اقسم كسرًا على آخر واختزل بالبسط والمقام).

2. مقارنة الدرجات

تخيل الآن أننا بحاجة إلى مقارنة ليس فقط الأرقام ، ولكن التعبيرات التي توجد بها درجة ().

بالطبع يمكنك بسهولة وضع علامة:

بعد كل شيء ، إذا استبدلنا الدرجة بالضرب ، نحصل على:

من هذا المثال الصغير والبدائي تتبع القاعدة:

حاول الآن مقارنة ما يلي:. يمكنك أيضًا بسهولة وضع علامة:

لأننا إذا استبدلنا الأس بالضرب ...

بشكل عام ، أنت تفهم كل شيء ، وهو ليس بالأمر الصعب على الإطلاق.

تنشأ الصعوبات فقط عندما يكون للدرجات قواعد ومؤشرات مختلفة عند المقارنة. في هذه الحالة ، من الضروري محاولة الوصول إلى أساس مشترك. فمثلا:

بالطبع ، أنت تعلم أن هذا ، وفقًا لذلك ، يأخذ التعبير الشكل:

لنفتح الأقواس ونقارن ما يحدث:

هناك حالة خاصة إلى حد ما عندما تكون قاعدة الدرجة () أقل من واحد.

إذا كان ، إذن ، من درجتين أو أكثر ، هو المؤشر الذي يكون مؤشره أقل.

دعنا نحاول إثبات هذه القاعدة. يترك.

نقدم بعض الأعداد الطبيعية على أنها الفرق بين و.

منطقي ، أليس كذلك؟

الآن دعنا ننتبه إلى الحالة -.

على التوالى: . بالتالي، .

فمثلا:

كما تفهم ، فقد درسنا الحالة عندما تكون أسس القوى متساوية. لنرى الآن متى تكون القاعدة في النطاق من إلى ، لكن الأسس متساوية. كل شيء بسيط للغاية هنا.

لنتذكر كيف نقارن هذا بمثال:

بالطبع ، قمت بحساب:

لذلك ، عندما تواجه مشاكل مماثلة للمقارنة ، ضع في اعتبارك بعض الأمثلة البسيطة المشابهة التي يمكنك حسابها بسرعة ، وبناءً على هذا المثال ، ضع علامات في حالة أكثر تعقيدًا.

عند إجراء عمليات التحويل ، تذكر أنه إذا قمت بالضرب أو الجمع أو الطرح أو القسمة ، فيجب تنفيذ جميع الإجراءات على كلا الجانبين الأيمن والأيسر (إذا قمت بالضرب في ، فأنت بحاجة إلى مضاعفة كليهما).

بالإضافة إلى ذلك ، هناك أوقات يكون فيها القيام بأي تلاعب هو ببساطة غير مربح. على سبيل المثال ، تحتاج إلى المقارنة. في هذه الحالة ، ليس من الصعب رفع السلطة وترتيب اللافتة بناءً على هذا:

لنتمرن. قارن الدرجات:

هل أنت جاهز لمقارنة الإجابات؟ هذا ما فعلته:

1. - كمثل
2. - كمثل
3. - كمثل
4. - كمثل

3. مقارنة الأرقام مع الجذر

لنبدأ مع ما هي الجذور؟ هل تتذكر هذا الإدخال؟

جذر الرقم الحقيقي هو الرقم الذي تنطبق عليه المساواة.

الجذورتوجد درجة فردية للأرقام السالبة والموجبة ، و حتى الجذور- فقط للإيجابي.

غالبًا ما تكون قيمة الجذر عددًا عشريًا لانهائيًا ، مما يجعل من الصعب حسابها بدقة ، لذلك من المهم أن تكون قادرًا على مقارنة الجذور.

إذا نسيت ما هو وماذا يؤكل -. إذا كنت تتذكر كل شيء ، فلنتعلم مقارنة الجذور خطوة بخطوة.

لنفترض أننا بحاجة إلى المقارنة:

لمقارنة هذين الجذور ، لا تحتاج إلى إجراء أي حسابات ، فقط قم بتحليل مفهوم "الجذر". هل فهمت ما أتحدث عنه؟ نعم ، بخصوص هذا: وإلا يمكن كتابتها على أنها القوة الثالثة لعدد ما ، مساوية للتعبير الجذري.

ماذا ايضا؟ أو؟ هذا ، بالطبع ، يمكنك المقارنة دون أي صعوبة. كلما زاد العدد الذي نرفعه إلى أس ، زادت القيمة.

لذا. دعنا نحصل على القاعدة.

إذا كانت الأسس للجذور هي نفسها (في حالتنا ، هذا) ، فمن الضروري مقارنة تعبيرات الجذر (و) - كلما زاد عدد الجذر ، زادت قيمة الجذر بمؤشرات متساوية.

صعب التذكر؟ ثم فقط ضع مثالا في الاعتبار و. أن أكثر؟

أسس الجذور هي نفسها ، لأن الجذر تربيعي. التعبير الجذري لرقم () أكبر من آخر () ، مما يعني أن القاعدة صحيحة حقًا.

لكن ماذا لو كانت التعبيرات الجذرية هي نفسها ، لكن درجات الجذور مختلفة؟ فمثلا: .

من الواضح أيضًا أنه عند استخراج جذر بدرجة أكبر ، سيتم الحصول على عدد أقل. لنأخذ على سبيل المثال:

قم بالإشارة إلى قيمة الجذر الأول كـ ، والثاني - مثل ، ثم:

يمكنك أن ترى بسهولة أنه يجب أن يكون هناك المزيد في هذه المعادلات ، لذلك:

إذا كانت التعبيرات الجذرية هي نفسها(في حالتنا هذه)، وأسس الجذور مختلفة(في حالتنا ، هذا هو و) ، ثم من الضروري مقارنة الأس(و) - كلما كان الأس أكبر ، كلما كان التعبير المعطى أصغر.

حاول مقارنة الجذور التالية:

دعونا نقارن النتائج؟

لقد تعاملنا بنجاح مع هذا :). يطرح سؤال آخر: ماذا لو كنا جميعًا مختلفين؟ وما الدرجة والتعبير الراديكالي؟ ليس كل شيء صعبًا للغاية ، نحتاج فقط إلى ... "التخلص" من الجذر. نعم نعم. تخلص منه.)

إذا كانت لدينا درجات مختلفة وتعبيرات جذرية ، فمن الضروري إيجاد المضاعف المشترك الأصغر (اقرأ القسم الخاص به) لأسس الجذر ورفع كلا التعبيرين إلى قوة تساوي المضاعف المشترك الأصغر.

أننا جميعًا بالكلمات والكلمات. هذا مثال:

1. نحن ننظر إلى مؤشرات الجذور - و. المضاعف المشترك الأصغر هو.
2. دعنا نرفع كلا التعبيرين إلى قوة:
3. دعنا نحول التعبير ونوسع الأقواس (مزيد من التفاصيل في الفصل):
4. لنفكر في ما فعلناه ، ونضع علامة:

4. مقارنة اللوغاريتمات

لذا ، ببطء ولكن بثبات ، تناولنا مسألة كيفية مقارنة اللوغاريتمات. إذا كنت لا تتذكر نوع هذا الحيوان ، أنصحك بقراءة النظرية من القسم أولاً. اقرأ؟ ثم أجب عن بعض الأسئلة المهمة:

1. ما هي حجة اللوغاريتم وما أساسه؟
2. ما الذي يحدد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص؟

إذا كنت تتذكر كل شيء وتعلمته جيدًا - فلنبدأ!

من أجل مقارنة اللوغاريتمات مع بعضها البعض ، تحتاج إلى معرفة 3 حيل فقط:

• تخفيض إلى نفس القاعدة ؛
• يلقي نفس الحجة ؛
• مقارنة بالرقم الثالث.

أولاً ، انتبه إلى أساس اللوغاريتم. تتذكر أنه إذا كانت أقل ، فإن الوظيفة تنخفض ، وإذا كانت أكبر ، فإنها تزيد. هذا ما ستبنى عليه أحكامنا.

ضع في اعتبارك مقارنة اللوغاريتمات التي تم اختزالها بالفعل إلى نفس الأساس أو الوسيطة.

بادئ ذي بدء ، دعنا نبسط المشكلة: دعنا ندخل اللوغاريتمات المقارنة أسباب متساوية. ثم:

1. الوظيفة ، عند الزيادات في الفترة من ، تعني ، بالتعريف ، ثم ("المقارنة المباشرة").
2. مثال:- الأسس هي نفسها ، على التوالي ، نقارن بين الحجج:
3. الوظيفة ، في ، تتناقص في الفترة من ، مما يعني ، بالتعريف ، ثم ("المقارنة العكسية"). - القواعد هي نفسها ، على التوالي ، نقارن بين الحجج: ومع ذلك ، فإن علامة اللوغاريتمات ستكون "معكوسة" ، لأن الوظيفة تتناقص:.

فكر الآن في الحالات التي تكون فيها الأسس مختلفة ، لكن الحجج هي نفسها.

1. القاعدة أكبر.
   • . في هذه الحالة ، نستخدم "المقارنة العكسية". على سبيل المثال: - الوسيطات هي نفسها ، و. نقارن الأسس: ومع ذلك ، فإن علامة اللوغاريتمات ستكون "معكوسة":
2. قاعدة a بين.
   • . في هذه الحالة ، نستخدم "المقارنة المباشرة". فمثلا:
   • . في هذه الحالة ، نستخدم "المقارنة العكسية". فمثلا:

لنكتب كل شيء في شكل جدول عام:

وفقًا لذلك ، كما فهمت بالفعل ، عند مقارنة اللوغاريتمات ، نحتاج إلى إحضار نفس القاعدة أو الحجة ، نصل إلى نفس القاعدة باستخدام الصيغة للانتقال من قاعدة إلى أخرى.

يمكنك أيضًا مقارنة اللوغاريتمات برقم ثالث ، وبناءً على ذلك ، يمكنك استنتاج ما هو أقل وما هو أكثر. على سبيل المثال ، فكر في كيفية مقارنة هذين اللوغاريتمين؟

القليل من التلميح - للمقارنة ، سيساعدك اللوغاريتم كثيرًا ، وستكون حجة ذلك متساوية.

فكر؟ دعونا نقرر معا.

يمكننا بسهولة مقارنة هذين اللوغاريتمين معك:

لا أعرف كيف؟ أنظر فوق. نحن فقط تفكيكه. ما هي العلامة التي ستكون هناك؟ بشكل صحيح:

أنا موافق؟

دعنا نقارن مع بعضنا البعض:

يجب أن تحصل على ما يلي:

الآن اجمع كل استنتاجاتنا في واحد. حدث؟

5. مقارنة التعبيرات المثلثية.

ما هو الجيب ، جيب التمام ، الظل ، ظل التمام؟ ما هي دائرة الوحدة وكيفية إيجاد قيمة الدوال المثلثية عليها؟ إذا كنت لا تعرف إجابات هذه الأسئلة ، فإنني أوصي بشدة بقراءة النظرية حول هذا الموضوع. وإذا كنت تعلم ، فإن مقارنة التعبيرات المثلثية مع بعضها البعض ليس بالأمر الصعب بالنسبة لك!

دعونا نحدث ذاكرتنا قليلا. لنرسم وحدة دائرة مثلثية ومثلث منقوش عليها. هل تستطيع فعلها؟ حدد الآن على أي جانب لدينا جيب التمام ، وعلى أي جيب ، باستخدام أضلاع المثلث. (بالطبع ، هل تتذكر أن الجيب هو نسبة الضلع المقابل على الوتر ، وجيب التمام للجزء المجاور؟). هل رسمت؟ ممتاز! اللمسة الأخيرة - ضعها حيث سنحصل عليها وأين وما إلى ذلك. ضع ارضا؟ قارن ما حدث معي وأنت.

تفو! الآن لنبدأ المقارنة!

افترض أننا بحاجة إلى المقارنة و. ارسم هذه الزوايا باستخدام التلميحات في المربعات (حيث حددنا المكان) ، مع وضع النقاط على دائرة الوحدة. هل تستطيع فعلها؟ هذا ما فعلته.

الآن دعنا ننزل الخط العمودي من النقاط التي حددناها على الدائرة إلى المحور ... أيهما؟ أي محور يظهر قيمة الجيب؟ بشكل صحيح. إليك ما يجب أن تحصل عليه:

بالنظر إلى هذا الرقم ، أيهما أكبر: أو؟ بالطبع ، لأن النقطة فوق النقطة.

وبالمثل ، نقارن قيمة جيب التمام. نحن فقط نخفض العمود العمودي على المحور ... وفقًا لذلك ، ننظر إلى النقطة التي تكون على اليمين (حسنًا ، أو أعلى ، كما في حالة الجيب) ، ثم القيمة أكبر.

ربما تعرف بالفعل كيفية مقارنة الظل ، أليس كذلك؟ كل ما تحتاج إلى معرفته هو ما هو الظل. إذن ما هو الظل؟) هذا صحيح ، نسبة الجيب إلى جيب التمام.

لمقارنة الظل ، نرسم أيضًا زاوية ، كما في الحالة السابقة. لنفترض أننا بحاجة إلى المقارنة:

هل رسمت؟ الآن نقوم أيضًا بتحديد قيم الجيب على محور الإحداثيات. وأشار؟ والآن أشر إلى قيم جيب التمام على خط الإحداثيات. حدث؟ فلنقارن:

الآن قم بتحليل ما كتبته. - نقسم شريحة كبيرة إلى صغيرة. ستكون الإجابة قيمة أكبر من واحد بالضبط. حق؟

وعندما نقسم الصغير على الكبير. ستكون الإجابة رقمًا أقل من واحد بالضبط.

إذن ، أي قيمة أكبر من التعبير المثلثي؟

بشكل صحيح:

كما تفهم الآن ، فإن المقارنة بين الظلمات هي نفسها ، فقط في الاتجاه المعاكس: نحن ننظر في كيفية ارتباط الأجزاء التي تحدد جيب التمام والجيب ببعضها البعض.

حاول المقارنة بين التعبيرات المثلثية التالية بنفسك:

أمثلة.

الإجابات.

مقارنة الأرقام. مستوى متوسط.

أي الأرقام أكبر: أو؟ الجواب واضح. والآن: أو؟ لم يعد واضحًا بعد الآن ، أليس كذلك؟ وهكذا: أو؟

غالبًا ما تحتاج إلى معرفة أي من التعبيرات الرقمية أكبر. على سبيل المثال ، عند حل متباينة ، ضع النقاط على المحور بالترتيب الصحيح.

الآن سوف أعلمك أن تقارن هذه الأرقام.

إذا كنت بحاجة إلى مقارنة الأرقام ووضع علامة بينهما (مشتقة من الكلمة اللاتينية Versus أو الاختصار مقابل - مقابل) :. تحل هذه العلامة محل علامة عدم المساواة غير المعروفة (). علاوة على ذلك ، سنقوم بإجراء تحويلات متطابقة حتى يتضح أي علامة يجب وضعها بين الأرقام.

جوهر مقارنة الأرقام هو كما يلي: نتعامل مع الإشارة كما لو كانت نوعًا من علامة عدم المساواة. وباستخدام التعبير ، يمكننا فعل كل شيء نفعله عادةً مع عدم المساواة:

• أضف أي رقم إلى كلا الجزأين (وطرح ، بالطبع ، يمكننا أيضًا)
• "حرك كل شيء في اتجاه واحد" ، أي طرح أحد التعبيرات المقارنة من كلا الجزأين. سيبقى مكان التعبير المطروح:.
• اضرب أو اقسم على نفس الرقم. إذا كان هذا الرقم سالبًا ، تنعكس علامة عدم المساواة:.
• ارفع كلا الجانبين لنفس القوة. إذا كانت هذه القوة متساوية ، فيجب عليك التأكد من أن كلا الجزأين لهما نفس العلامة ؛ إذا كان كلا الجزأين موجبين ، فإن الإشارة لا تتغير عند رفعها إلى قوة ، وإذا كانت سالبة ، فإنها تتغير إلى العكس.
• خذ جذر الدرجة نفسها من كلا الجزأين. إذا استخرجنا جذر درجة زوجية ، يجب أن تتأكد أولاً من أن كلا التعبيرين غير سالبين.
• أي تحويلات أخرى مكافئة.

هام: من المستحسن إجراء تحولات بطريقة لا تتغير بها علامة عدم المساواة! أي أنه في سياق عمليات التحويل ، من غير المرغوب فيه الضرب برقم سالب ، ومن المستحيل تربيعه إذا كان أحد الأجزاء سالبًا.

دعونا نلقي نظرة على بعض المواقف النموذجية.

1. الأس.

مثال.

أيهما أكثر: أو؟

المحلول.

نظرًا لأن كلا طرفي المتباينة موجبان ، يمكننا التربيع للتخلص من الجذر:

مثال.

أيهما أكثر: أو؟

المحلول.

هنا أيضًا ، يمكننا التربيع ، لكن هذا سيساعدنا فقط في التخلص من الجذر التربيعي. هنا من الضروري أن نرفع إلى درجة تختفي فيها كلا الجذور. هذا يعني أن الأس لهذه الدرجة يجب أن يقبل القسمة على كل من (درجة الجذر الأول) وبواسطة. هذا الرقم ، لذلك نرفعه إلى القوة ال:

2. الضرب بالمرافق.

مثال.

أيهما أكثر: أو؟

المحلول.

اضرب وقسم كل فرق على المجموع المترافق:

من الواضح أن المقام في الطرف الأيمن أكبر من المقام في الطرف الأيسر. لذلك ، فإن الكسر الأيمن أقل من اليسار:

3. الطرح

دعونا نتذكر ذلك.

مثال.

أيهما أكثر: أو؟

المحلول.

بالطبع ، يمكننا تربيع كل شيء وإعادة التجميع والتربيع مرة أخرى. لكن يمكنك فعل شيء أكثر ذكاءً:

يمكن ملاحظة أن كل حد في الجانب الأيسر أقل من كل حد في الجانب الأيمن.

وفقًا لذلك ، فإن مجموع كل الحدود في الجانب الأيسر أقل من مجموع كل الحدود في الجانب الأيمن.

لكن كن حريص! لقد سئلنا أكثر ...

الجانب الأيمن أكبر.

مثال.

قارن الأرقام و.

المحلول.

تذكر صيغ حساب المثلثات:

دعونا نتحقق من أي أرباع النقاط ونستلقي على الدائرة المثلثية.

4. الشعبة.

هنا نستخدم أيضًا قاعدة بسيطة:.

مع أو ، هذا هو.

عندما تتغير العلامة:.

مثال.

قم بإجراء مقارنة:.

المحلول.

5. قارن الأرقام مع الرقم الثالث

إذا ، إذن (قانون العبور).

مثال.

قارن.

المحلول.

دعونا نقارن الأرقام ليس مع بعضها البعض ، ولكن مع الرقم.

من الواضح أن.

من ناحية أخرى، .

مثال.

أيهما أكثر: أو؟

المحلول.

كلا الرقمين أكبر ولكن أصغر. اختر رقمًا بحيث يكون أكبر من واحد ولكنه أقل من الآخر. فمثلا، . دعونا تحقق:

6. ماذا تفعل مع اللوغاريتمات؟

لا شيء مميز. كيفية التخلص من اللوغاريتمات موصوفة بالتفصيل في الموضوع. القواعد الأساسية هي:

\ [(\ log _a) x \ vee b (\ rm ()) \ Leftrightarrow (\ rm ()) \ left [(\ begin (array) (* (20) (l)) (x \ vee (a ^ ب) \ ؛ (\ جمهورية مقدونيا (في)) \ ؛ أ> 1) \\ (س \ إسفين (أ ^ ب) \ ؛ (\ جمهورية مقدونيا (في)) \ ؛ 0< a < 1}\end{array}} \right.\] или \[{\log _a}x \vee {\log _a}y{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \vee y\;{\rm{при}}\;a >1) \\ (x \ wedge y \؛ (\ rm (at)) \؛ 0< a < 1}\end{array}} \right.\]

يمكننا أيضًا إضافة قاعدة حول اللوغاريتمات ذات الأسس المختلفة والحجة نفسها:

يمكن تفسير ذلك على النحو التالي: كلما كانت القاعدة أكبر ، كلما كان من الضروري رفعها للحصول على نفس القاعدة. إذا كانت القاعدة أصغر ، فإن العكس هو الصحيح ، لأن الوظيفة المقابلة تتناقص بشكل رتيب.

مثال.

قارن الأرقام: i.

المحلول.

وفقًا للقواعد المذكورة أعلاه:

والآن الصيغة المتقدمة.

يمكن أيضًا كتابة قاعدة مقارنة اللوغاريتمات بشكل أقصر:

مثال.

أيهما أكثر: أو؟

المحلول.

مثال.

قارن أي من الأرقام أكبر:.

المحلول.

مقارنة الأرقام. باختصار حول الرئيسي

1. الأس

إذا كان كلا طرفي المتباينة موجبين ، فيمكن تربيعهما للتخلص من الجذر

2. الضرب بالمرافق

المُقارن هو مُضاعِف يُكمل التعبير إلى صيغة اختلاف المربعات: - يُقَرَن لـ والعكس صحيح ، لأن .

3. الطرح

4. الشعبة

في أو هذا هو

عندما تتغير اللافتة:

5. مقارنة مع الرقم الثالث

إذا وبعد ذلك

6. مقارنة اللوغاريتمات

القواعد الاساسية.

تعريف 1. إذا رقمين 1) أو بعند القسمة على صاعط نفس الباقي ص، ثم تسمى هذه الأرقام بمسافة متساوية أو قابلة للمقارنة في modulo ص.

بيان - تصريح 1. يترك صبعض الأرقام الموجبة. ثم أي رقم أدائمًا ، علاوة على ذلك ، بطريقة فريدة يمكن تمثيلها في النموذج

ولكن يمكن الحصول على هذه الأرقام بالسؤال صيساوي 0 ، 1 ، 2 ، ... ، ص-1. بالتالي س + ص = أيأخذ جميع القيم الصحيحة الممكنة.

دعونا نظهر أن هذا التمثيل فريد من نوعه. دعونا نتظاهر بذلك صيمكن تمثيلها بطريقتين أ = س + صو أ = ق 1 ص+صواحد . ثم

(2)

لان ص 1 يأخذ أحد الأرقام 0،1 ، ... ، ص−1 ، ثم القيمة المطلقة ص 1 −صأقل ص. ولكن من (2) يتبع ذلك ص 1 −صمضاعف ص. بالتالي ص 1 =صو س 1 =س.

رقم صاتصل ناقصأعداد أمودولو ص(بمعنى آخر ، الرقم صيسمى باقي قسمة الرقم أعلى ال ص).

بيان - تصريح 2. إذا رقمين أو ب modulo قابلة للمقارنة ص، ومن بعد أ − بمقسومًا على ص.

حقًا. إذا رقمين أو ب modulo قابلة للمقارنة ص، ثم عند القسمة على صلديك نفس الباقي ص. ثم

مقسومًا على ص، لان الجانب الأيمن من المعادلة (3) مقسومًا على ص.

بيان - تصريح 3. إذا كان الفرق بين عددين يقبل القسمة على ص، فهذه الأرقام قابلة للمقارنة ص.

دليل - إثبات. للدلالة به صو ص 1 الباقي من القسمة أو بعلى ال ص. ثم

أمثلة 25-39 (نموذج 7) ، −18-14 (نموذج 4).

يتبع من المثال الأول أن 25 عند القسمة على 7 يعطي نفس الباقي مثل 39. في الواقع ، 25 = 3 7 + 4 (الباقي 4). 39 = 3 7 + 4 (الباقي 4). عند التفكير في المثال الثاني ، ضع في اعتبارك أن الباقي يجب أن يكون عددًا غير سالب أقل من المقياس (أي 4). ثم نكتب: −18 = 5 4 + 2 (الباقي 2) ، 14 = 3 4 + 2 (الباقي 2). لذلك ، فإن −18 عند القسمة على 4 يترك الباقي 2 ، و 14 عند القسمة على 4 يترك الباقي 2.

خصائص مقارنات Modulo

ملكية 1. لأي احد أو صدائماً

المقارنة ليست دائما ضرورية

أين λ هو القاسم المشترك الأكبر للأرقام مو ص.

دليل - إثبات. يترك λ القاسم المشترك الأكبر للأرقام مو ص. ثم

لان م (أ ، ب)مقسومًا على ك، ومن بعد

بالتالي

و مهي إحدى قواسم العدد ص، ومن بعد

أين ح = pqs.

لاحظ أنه يمكننا السماح بإجراء مقارنات في وحدات سلبية ، أي مقارنة a≡bعصري( ص) يعني في هذه الحالة أن الاختلاف أ − بمقسومًا على ص. تظل جميع خصائص المقارنات صالحة للوحدات النمطية السلبية.