تعبيرات القوة (التعبيرات ذات القوى) وتحولها. التعبيرات الرقمية والأبجدية والمتغيرة: تعريفات وأمثلة حماية المعلومات الشخصية

التعبير الحرفي (أو التعبير المتغير) هو تعبير رياضي يتكون من أرقام وحروف ورموز رياضية. على سبيل المثال، التعبير التالي حرفي:

أ+ب+4

باستخدام التعبيرات الأبجدية يمكنك كتابة القوانين والصيغ والمعادلات والدوال. القدرة على التعامل مع تعبيرات الحروف هي مفتاح المعرفة الجيدة بالجبر والرياضيات العليا.

أي مشكلة خطيرة في الرياضيات تتلخص في حل المعادلات. ولكي تتمكن من حل المعادلات، عليك أن تكون قادرًا على التعامل مع التعبيرات الحرفية.

للعمل مع التعبيرات الحرفية، يجب أن تكون على دراية جيدة بالحسابات الأساسية: الجمع والطرح والضرب والقسمة والقوانين الأساسية للرياضيات والكسور والعمليات مع الكسور والنسب. وليس مجرد دراسة، ولكن فهم شامل.

المتغيرات

تسمى الحروف الموجودة في التعبيرات الحرفية المتغيرات. على سبيل المثال، في التعبير أ+ب+ 4 متغيرات هي الحروف أو ب. إذا عوضنا بأي أرقام بدلاً من هذه المتغيرات، فالتعبير الحرفي أ+ب+سيتحول الرقم 4 إلى تعبير رقمي يمكن العثور على قيمته.

يتم استدعاء الأرقام التي يتم استبدالها بالمتغيرات قيم المتغيرات. على سبيل المثال، دعونا نغير قيم المتغيرات أو ب. يتم استخدام علامة المساواة لتغيير القيم

أ = 2، ب = 3

لقد قمنا بتغيير قيم المتغيرات أو ب. عامل أتم تعيين قيمة 2 ، عامل بتم تعيين قيمة 3 . ونتيجة لذلك، التعبير الحرفي أ+ب+4يتحول إلى تعبير رقمي عادي 2+3+4 والتي يمكن العثور على قيمتها:

عندما يتم ضرب المتغيرات، يتم كتابتها معا. على سبيل المثال، سجل أبيعني نفس الإدخال أ × ب. إذا قمنا باستبدال المتغيرات أو بأعداد 2 و 3 ثم نحصل على 6

يمكنك أيضًا كتابة ضرب رقم معًا بتعبير بين قوسين. على سبيل المثال، بدلا من أ×(ب + ج)يمكن كتابتها أ(ب + ج). وبتطبيق قانون توزيع الضرب نحصل على أ(ب + ج)=أب+أ.

احتمال

في التعبيرات الحرفية، يمكنك غالبًا العثور على تدوين يتم فيه كتابة رقم ومتغير معًا، على سبيل المثال 3 أ. هذا في الواقع اختصار لضرب الرقم 3 في متغير. أوهذا الإدخال يبدو 3 × أ .

وبعبارة أخرى، التعبير 3 أهو منتج الرقم 3 والمتغير أ. رقم 3 في هذا العمل يسمونه معامل في الرياضيات او درجة. يوضح هذا المعامل عدد المرات التي سيتم فيها زيادة المتغير أ. يمكن قراءة هذا التعبير كـ " أثلاث مرات" أو "ثلاث مرات أ"، أو" زيادة قيمة المتغير أثلاث مرات"، ولكن غالبًا ما تُقرأ على أنها "ثلاث مرات". أ«

على سبيل المثال، إذا كان المتغير أيساوي 5 ، ثم قيمة التعبير 3 أسوف يساوي 15

3 × 5 = 15

بعبارات بسيطة، المعامل هو الرقم الذي يظهر قبل الحرف (قبل المتغير).

يمكن أن يكون هناك عدة رسائل، على سبيل المثال 5abc. هنا المعامل هو الرقم 5 . يوضح هذا المعامل أن حاصل ضرب المتغيرات اي بي سييزيد خمسة أضعاف. يمكن قراءة هذا التعبير كـ " اي بي سيخمس مرات" أو "زيادة قيمة التعبير اي بي سيخمس مرات" أو "خمسة اي بي سي «.

إذا بدلا من المتغيرات اي بي سيعوض بالأرقام 2 و 3 و 4 ثم قيمة التعبير 5abcسوف تكون متساوية 120

5 × 2 × 3 × 4 = 120

يمكنك أن تتخيل عقليًا كيف تم ضرب الأرقام 2 و3 و4 لأول مرة، وزادت القيمة الناتجة خمسة أضعاف:

تشير إشارة المعامل إلى المعامل فقط ولا تنطبق على المتغيرات.

النظر في التعبير -6 ب. ناقص قبل المعامل 6 ، ينطبق فقط على المعامل 6 ، ولا ينتمي إلى المتغير ب. إن فهم هذه الحقيقة سيسمح لك بعدم ارتكاب الأخطاء في العلامات في المستقبل.

دعونا نجد قيمة التعبير -6 بفي ب = 3.

-6 ب −6×ب. من أجل الوضوح، دعونا نكتب التعبير -6 بفي شكل موسع واستبدال قيمة المتغير ب

−6b = −6 × b = −6 × 3 = −18

مثال 2.أوجد قيمة التعبير -6 بفي ب = −5

دعونا نكتب التعبير -6 بفي شكل موسع

−6b = −6 × b = −6 × (−5) = 30

مثال 3.أوجد قيمة التعبير -5أ+بفي أ = 3و ب = 2

-5أ+بهذا نموذج قصير لـ −5 × أ + ب، لذلك من أجل الوضوح نكتب التعبير −5×أ+بفي شكل موسع واستبدال قيم المتغيرات أو ب

−5a + b = −5 × a + b = −5 × 3 + 2 = −15 + 2 = −13

في بعض الأحيان تتم كتابة الرسائل بدون معامل، على سبيل المثال أأو أب. في هذه الحالة، المعامل هو الوحدة:

ولكن تقليديا لا يتم كتابة الوحدة، لذلك يكتبون ببساطة أأو أب

إذا كان هناك سالب قبل الحرف، فإن المعامل يكون رقمًا −1 . على سبيل المثال، التعبير -أيبدو في الواقع -1أ. هذا هو حاصل ضرب سالب واحد والمتغير أ.اتضح مثل هذا:

−1 × أ = −1أ

هناك صيد صغير هنا. في التعبير -أعلامة الطرح أمام المتغير أيشير في الواقع إلى "وحدة غير مرئية" بدلاً من متغير أ. لذلك يجب توخي الحذر عند حل المشاكل.

على سبيل المثال، إذا أعطيت التعبير -أويطلب منا إيجاد قيمته عند أ = 2، ثم في المدرسة قمنا باستبدال اثنين بدلاً من المتغير أوحصلت على إجابة −2 ، دون التركيز كثيرًا على كيفية ظهوره. في الواقع، تم ضرب ناقص واحد في الرقم الموجب 2

−أ = −1 × أ

−1 × أ = −1 × 2 = −2

إذا أعطيت التعبير -أوتحتاج إلى العثور على قيمته في أ = −2، ثم نستبدل −2 بدلا من متغير أ

−أ = −1 × أ

−1 × أ = −1 × (−2) = 2

لتجنب الأخطاء، في البداية يمكن كتابة الوحدات غير المرئية بشكل واضح.

مثال 4.أوجد قيمة التعبير اي بي سيفي أ = 2 , ب = 3و ج = 4

تعبير اي بي سي 1×أ×ب×ج.من أجل الوضوح، دعونا نكتب التعبير اي بي سي أ، بو ج

1 × أ × ب × ج = 1 × 2 × 3 × 4 = 24

مثال 5.أوجد قيمة التعبير اي بي سيفي أ=−2 , ب=−3و ج=−4

دعونا نكتب التعبير اي بي سيفي شكل موسع واستبدال قيم المتغيرات أ، بو ج

1 × أ × ب × ج = 1 × (−2) × (−3) × (−4) = −24

مثال 6.أوجد قيمة التعبير − اي بي سيفي أ=3 و ب=5 و ج=7

تعبير − اي بي سيهذا نموذج قصير لـ −1×أ×ب×ج.من أجل الوضوح، دعونا نكتب التعبير − اي بي سيفي شكل موسع واستبدال قيم المتغيرات أ، بو ج

−abc = −1 × أ × ب × ج = −1 × 3 × 5 × 7 = −105

مثال 7.أوجد قيمة التعبير − اي بي سيفي أ=−2 و ب=−4 و ج=−3

دعونا نكتب التعبير − اي بي سيفي شكل موسع:

−abc = −1 × أ × ب × ج

دعونا نستبدل قيم المتغيرات أ , بو ج

−abc = −1 × أ × ب × ج = −1 × (−2) × (−4) × (−3) = 24

كيفية تحديد المعامل

في بعض الأحيان تحتاج إلى حل مشكلة تحتاج فيها إلى تحديد معامل التعبير. من حيث المبدأ، هذه المهمة بسيطة جدا. يكفي أن تكون قادرًا على مضاعفة الأرقام بشكل صحيح.

لتحديد المعامل في التعبير، تحتاج إلى مضاعفة الأرقام المضمنة في هذا التعبير بشكل منفصل وضرب الحروف بشكل منفصل. وسيكون العامل العددي الناتج هو المعامل.

مثال 1. 7م×5أ×(−3)×ن

يتكون التعبير من عدة عوامل. يمكن رؤية ذلك بوضوح إذا كتبت التعبير في شكل موسع. وهذا هو، يعمل 7 مو 5 أاكتبه في النموذج 7 × مو 5 × أ

7 × م × 5 × أ × (−3) × ن

دعونا نطبق قانون الضرب الترابطي، الذي يسمح لك بضرب العوامل بأي ترتيب. وهي أننا سنضرب الأرقام بشكل منفصل ونضرب الحروف (المتغيرات) بشكل منفصل:

−3 × 7 × 5 × م × أ × ن = −105man

المعامل هو −105 . بعد الانتهاء من المستحسن ترتيب جزء الحرف حسب الترتيب الأبجدي:

-105 آمين

مثال 2.تحديد المعامل في التعبير: -أ×(−3)×2

−a × (−3) × 2 = −3 × 2 × (−a) = −6 × (−a) = 6a

المعامل هو 6.

مثال 3.تحديد المعامل في التعبير:

دعونا نضرب الأرقام والحروف بشكل منفصل:

المعامل هو −1. يرجى ملاحظة أن الوحدة غير مكتوبة، لأنه من المعتاد عدم كتابة المعامل 1.

هذه المهام التي تبدو بسيطة يمكن أن تلعب مزحة قاسية علينا. غالبًا ما يتبين أن علامة المعامل تم ضبطها بشكل غير صحيح: إما أن الطرح مفقود أو على العكس من ذلك تم تعيينه عبثًا. ولتجنب هذه الأخطاء المزعجة يجب دراستها بمستوى جيد.

يضاف في التعبيرات الحرفية

عند إضافة عدة أرقام، يتم الحصول على مجموع هذه الأرقام. الأرقام التي تضيف تسمى الإضافات. يمكن أن يكون هناك عدة مصطلحات، على سبيل المثال:

1 + 2 + 3 + 4 + 5

عندما يتكون التعبير من مصطلحات، يكون تقييمه أسهل كثيرًا لأن الجمع أسهل من الطرح. ولكن التعبير يمكن أن يحتوي ليس فقط على الجمع، ولكن أيضا الطرح، على سبيل المثال:

1 + 2 − 3 + 4 − 5

في هذا التعبير، الرقمان 3 و5 مطروحان وليسان جمع. لكن لا شيء يمنعنا من استبدال الطرح بالجمع. ثم نحصل مرة أخرى على تعبير يتكون من مصطلحات:

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5)

لا يهم أن الرقمين −3 و −5 يحملان الآن علامة الطرح. الشيء الرئيسي هو أن جميع الأرقام في هذا التعبير مرتبطة بعلامة الجمع، أي أن التعبير عبارة عن مجموع.

كلا التعبيرين 1 + 2 − 3 + 4 − 5 و 1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) يساوي نفس القيمة - ناقص واحد

1 + 2 − 3 + 4 − 5 = −1

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) = −1

وبالتالي فإن معنى التعبير لن يتأثر إذا استبدلنا الطرح بالإضافة في مكان ما.

يمكنك أيضًا استبدال الطرح بالجمع في التعبيرات الحرفية. على سبيل المثال، خذ بعين الاعتبار التعبير التالي:

7أ + 6ب − 3ج + 2د − 4ث

7أ + 6ب + (−3ج) + 2د + (−4ث)

لأي قيم للمتغيرات ا ب ت ثو سالتعبيرات 7أ + 6ب − 3ج + 2د − 4ث و 7أ + 6ب + (−3ج) + 2د + (−4ث) سيكون مساوياً لنفس القيمة.

يجب أن تكون مستعدًا لحقيقة أن المعلم في المدرسة أو المعلم في المعهد قد يتصل بالأرقام الزوجية (أو المتغيرات) التي ليست إضافات.

على سبيل المثال، إذا كان الفرق مكتوبا على السبورة أ - ب، فلن يقول المعلم ذلك أهو مينند، و ب- قابل للطرح. سوف يستدعي كلا المتغيرين بكلمة واحدة مشتركة - شروط. وكل ذلك بسبب التعبير عن النموذج أ - بعالم الرياضيات يرى كيف المبلغ أ+(-ب). في هذه الحالة، يصبح التعبير مجموعا، والمتغيرات أو (-ب)تصبح شروط.

مصطلحات مماثلة

مصطلحات مماثلة- هذه مصطلحات لها نفس الجزء من الحرف. على سبيل المثال، النظر في التعبير 7 أ + 6 ب + 2 أ. عناصر 7 أو 2 ألها نفس جزء الحرف - متغير أ. هكذا الشروط 7 أو 2 أمتشابهة.

عادة، تتم إضافة مصطلحات مماثلة لتبسيط التعبير أو حل المعادلة. هذه العملية تسمى جلب مصطلحات مماثلة.

للحصول على مصطلحات مماثلة، تحتاج إلى إضافة معاملات هذه المصطلحات، وضرب النتيجة الناتجة في جزء الحرف المشترك.

على سبيل المثال، دعونا نقدم مصطلحات مماثلة في التعبير 3 أ + 4 أ + 5 أ. في هذه الحالة، جميع المصطلحات متشابهة. دعونا نجمع معاملاتهم ونضرب النتيجة في جزء الحرف المشترك - في المتغير أ

3أ + 4أ + 5أ = (3 + 4 + 5)×أ = 12أ

عادةً ما يتم طرح مصطلحات مماثلة في الاعتبار ويتم تدوين النتيجة على الفور:

3أ + 4أ + 5أ = 12أ

كما يمكن الاستدلال بما يلي:

كان هناك 3 متغيرات a، و4 متغيرات أخرى a و5 متغيرات أخرى a تمت إضافتها إليهم. ونتيجة لذلك، حصلنا على 12 متغيرا

دعونا نلقي نظرة على عدة أمثلة لجلب مصطلحات مماثلة. بالنظر إلى أن هذا الموضوع مهم للغاية، في البداية سنكتب كل التفاصيل الصغيرة بالتفصيل. على الرغم من أن كل شيء بسيط للغاية هنا، إلا أن معظم الناس يرتكبون العديد من الأخطاء. ويرجع ذلك أساسا إلى الغفلة، وليس الجهل.

مثال 1. 3أ+ 2أ+ 6أ+ 8أ

لنجمع المعاملات في هذا التعبير ونضرب النتيجة الناتجة في جزء الحرف المشترك:

3أ+ 2أ+ 6أ+ 8أ=(3 + 2 + 6 + 8)× أ = 19أ

البناء (3 + 2 + 6 + 8) × أليس عليك كتابتها، لذلك سنكتب الإجابة على الفور

3 أ+ 2 أ+ 6 أ+ 8 أ = 19 أ

مثال 2.إعطاء مصطلحات مماثلة في التعبير 2أ+أ

الفصل الثاني أمكتوبة بدون معامل، ولكن في الواقع هناك معامل أمامها 1 وهو ما لا نراه لأنه لم يتم تسجيله. لذلك يبدو التعبير كما يلي:

2 أ + 1 أ

الآن دعونا نقدم مصطلحات مماثلة. أي أننا نجمع المعاملات ونضرب النتيجة في جزء الحرف المشترك:

2أ + 1أ = (2 + 1) × أ = 3أ

دعونا نكتب الحل باختصار:

2أ + أ = 3أ

2أ+أ، يمكنك التفكير بشكل مختلف:

مثال 3.إعطاء مصطلحات مماثلة في التعبير 2أ−أ

لنستبدل الطرح بالجمع:

2أ + (-أ)

الفصل الثاني (-أ)مكتوبة دون معامل، ولكن في واقع الأمر يبدو (−1 أ).معامل في الرياضيات او درجة −1 مرة أخرى غير مرئية بسبب عدم تسجيله. لذلك يبدو التعبير كما يلي:

2أ + (−1أ)

الآن دعونا نقدم مصطلحات مماثلة. دعونا نضيف المعاملات ونضرب النتيجة في جزء الحرف المشترك:

2a + (−1a) = (2 + (−1)) × a = 1a = a

عادة ما يتم كتابتها بشكل أقصر:

2أ - أ = أ

إعطاء مصطلحات مماثلة في التعبير 2أ−أيمكنك التفكير بشكل مختلف:

كان هناك متغيرين أ، اطرح متغيرًا واحدًا أ، ونتيجة لذلك لم يبق سوى متغير واحد

مثال 4.إعطاء مصطلحات مماثلة في التعبير 6أ − 3أ + 4أ − 8أ

6a − 3a + 4a − 8a = 6a + (−3a) + 4a + (−8a)

الآن دعونا نقدم مصطلحات مماثلة. دعونا نضيف المعاملات ونضرب النتيجة في إجمالي جزء الحرف

(6 + (−3) + 4 + (−8)) × أ = −1a = −a

دعونا نكتب الحل باختصار:

6أ − 3أ + 4أ − 8أ = −أ

هناك تعبيرات تحتوي على عدة مجموعات مختلفة من المصطلحات المتشابهة. على سبيل المثال، 3أ + 3ب + 7أ + 2ب. بالنسبة لمثل هذه التعبيرات، تنطبق نفس القواعد على الآخرين، وهي جمع المعاملات وضرب النتيجة الناتجة في جزء الحرف المشترك. ولكن لتجنب الأخطاء، من المناسب تسليط الضوء على مجموعات مختلفة من المصطلحات مع خطوط مختلفة.

على سبيل المثال، في التعبير 3أ + 3ب + 7أ + 2بتلك المصطلحات التي تحتوي على متغير أ، يمكن تسطيرها بسطر واحد، وتلك المصطلحات التي تحتوي على متغير ب، يمكن التأكيد عليها بخطين:

الآن يمكننا تقديم مصطلحات مماثلة. أي قم بإضافة المعاملات وضرب النتيجة الناتجة في إجمالي جزء الحرف. يجب أن يتم ذلك لكلتا مجموعتي المصطلحات: للمصطلحات التي تحتوي على متغير أوللمصطلحات التي تحتوي على متغير ب.

3أ + 3ب + 7أ + 2ب = (3+7)×أ + (3 + 2)×ب = 10أ + 5ب

مرة أخرى، نكرر، التعبير بسيط، ويمكن وضع مصطلحات مماثلة في الاعتبار:

3أ + 3ب + 7أ + 2ب = 10أ + 5ب

مثال 5.إعطاء مصطلحات مماثلة في التعبير 5أ − 6أ −7ب + ب

لنستبدل الطرح بالجمع حيثما أمكن:

5أ − 6أ −7ب + ب = 5أ + (−6أ) + (−7ب) + ب

دعونا نؤكد على المصطلحات المتشابهة بأسطر مختلفة. المصطلحات التي تحتوي على متغيرات أونضع خطًا تحت سطر واحد، والمصطلحات التي تحتوي على متغيرات ب، ضع خطًا تحت خطين:

الآن يمكننا تقديم مصطلحات مماثلة. أي قم بإضافة المعاملات وضرب النتيجة الناتجة بجزء الحرف المشترك:

5a + (−6a) + (−7b) + b = (5 + (−6))×a + ((−7) + 1)×b = −a + (−6b)

إذا كان التعبير يحتوي على أرقام عادية بدون عوامل حرفية، فسيتم إضافتها بشكل منفصل.

مثال 6.إعطاء مصطلحات مماثلة في التعبير 4أ + 3أ − 5 + 2ب + 7

لنستبدل الطرح بالجمع حيثما أمكن:

4أ + 3أ − 5 + 2ب + 7 = 4أ + 3أ + (−5) + 2ب + 7

دعونا نقدم مصطلحات مماثلة. أعداد −5 و 7 لا تحتوي على عوامل حروف، لكنها مصطلحات متشابهة - تحتاج فقط إلى إضافتها. والمصطلح 2بسيبقى دون تغيير، لأنه الوحيد في هذا التعبير الذي يحتوي على عامل الحرف ب،وليس هناك ما يمكن إضافته مع:

4a + 3a + (−5) + 2b + 7 = (4 + 3)×a + 2b + (−5) + 7 = 7a + 2b + 2

دعونا نكتب الحل باختصار:

4أ + 3أ − 5 + 2ب + 7 = 7أ + 2ب + 2

يمكن ترتيب المصطلحات بحيث تكون تلك المصطلحات التي لها نفس جزء الحرف موجودة في نفس الجزء من التعبير.

مثال 7.إعطاء مصطلحات مماثلة في التعبير 5ط+2س+3س+5ط+س

وبما أن التعبير عبارة عن مجموع عدة حدود، فهذا يتيح لنا إيجاد قيمته بأي ترتيب. ولذلك، فإن المصطلحات التي تحتوي على المتغير ر، يمكن كتابتها في بداية التعبير، والمصطلحات التي تحتوي على المتغير سفي نهاية التعبير:

5ط + 5ط + 2س + 3س + س

الآن يمكننا تقديم مصطلحات مماثلة:

5t + 5t + 2x + 3x + x = (5+5)×t + (2+3+1)×x = 10t + 6x

دعونا نكتب الحل باختصار:

5ط + 2س + 3س + 5ط + س = 10ط + 6س

مجموع الأعداد المتضادة هو صفر. تنطبق هذه القاعدة أيضًا على التعبيرات الحرفية. إذا كان التعبير يحتوي على مصطلحات متطابقة، ولكن مع علامات متضادة، فيمكنك التخلص منها في مرحلة اختزال المصطلحات المتشابهة. بمعنى آخر، ما عليك سوى حذفها من التعبير، لأن مجموعها يساوي صفرًا.

مثال 8.إعطاء مصطلحات مماثلة في التعبير 3t − 4t − 3t + 2t

لنستبدل الطرح بالجمع حيثما أمكن:

3t − 4t − 3t + 2t = 3t + (−4t) + (−3t) + 2t

عناصر 3tو (−3 طن)متضادون. مجموع الحدود المتضادة هو صفر. إذا أزلنا هذا الصفر من التعبير، فلن تتغير قيمة التعبير، لذا سنقوم بإزالته. وسنقوم بإزالته بمجرد شطب الشروط 3tو (−3 طن)

ونتيجة لذلك، سوف نترك مع التعبير (−4t) + 2t. في هذا التعبير، يمكنك إضافة مصطلحات مماثلة والحصول على الإجابة النهائية:

(−4t) + 2t = ((−4) + 2)×t = −2t

دعونا نكتب الحل باختصار:

تبسيط التعبيرات

"تبسيط التعبير" وفيما يلي التعبير الذي يحتاج إلى تبسيط. تبسيط التعبيريعني جعلها أبسط وأقصر.

في الواقع، لقد قمنا بالفعل بتبسيط التعبيرات عندما قمنا بتبسيط الكسور. بعد التخفيض، أصبح الكسر أقصر وأسهل للفهم.

النظر في المثال التالي. تبسيط التعبير.

يمكن فهم هذه المهمة حرفيًا على النحو التالي: "قم بتطبيق أي إجراءات صحيحة على هذا التعبير، ولكن اجعله أكثر بساطة." .

في هذه الحالة، يمكنك تقليل الكسر، أي تقسيم البسط والمقام للكسر على 2:

ماذا يمكنك أن تفعل أيضا؟ يمكنك حساب الكسر الناتج. ثم نحصل على الكسر العشري 0.5

ونتيجة لذلك، تم تبسيط الكسر إلى 0.5.

السؤال الأول الذي عليك أن تطرحه على نفسك عند حل مثل هذه المشكلات هو "ماذا يمكن ان يفعل؟" . لأن هناك أفعال يمكنك القيام بها، وهناك أفعال لا يمكنك القيام بها.

هناك نقطة أخرى مهمة يجب تذكرها وهي أن معنى التعبير يجب ألا يتغير بعد تبسيط التعبير. دعنا نعود إلى التعبير. يمثل هذا التعبير عملية تقسيم يمكن إجراؤها. وبعد إجراء هذا القسمة، نحصل على قيمة هذا التعبير، وهي 0.5

لكننا بسطنا التعبير وحصلنا على تعبير مبسط جديد. لا تزال قيمة التعبير المبسط الجديد 0.5

لكننا حاولنا أيضًا تبسيط التعبير عن طريق حسابه. ونتيجة لذلك، تلقينا الإجابة النهائية 0.5.

ومن ثم، بغض النظر عن كيفية تبسيط التعبير، فإن قيمة التعبيرات الناتجة تظل تساوي 0.5. وهذا يعني أن التبسيط تم تنفيذه بشكل صحيح في كل مرحلة. هذا هو بالضبط ما يجب أن نسعى جاهدين لتحقيقه عند تبسيط التعبيرات - لا ينبغي أن يعاني معنى التعبير من أفعالنا.

غالبًا ما يكون من الضروري تبسيط التعبيرات الحرفية. تنطبق عليهم نفس قواعد التبسيط كما هو الحال مع التعبيرات الرقمية. يمكنك تنفيذ أي إجراءات صالحة، طالما لم تتغير قيمة التعبير.

دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة.

مثال 1.تبسيط التعبير 5.21ث × ر × 2.5

لتبسيط هذا التعبير، يمكنك ضرب الأرقام بشكل منفصل وضرب الحروف بشكل منفصل. هذه المهمة مشابهة جدًا لتلك التي نظرنا إليها عندما تعلمنا تحديد المعامل:

5.21s × t × 2.5 = 5.21 × 2.5 × s × t = 13.025 × st = 13.025st

هكذا التعبير 5.21ث × ر × 2.5مبسطة ل 13.025.

مثال 2.تبسيط التعبير −0.4 × (−6.3b) × 2

القطعة الثانية (−6.3 ب)يمكن ترجمتها إلى شكل مفهوم بالنسبة لنا، أي كتابتها بالشكل ( −6,3)×ب ,ثم اضرب الأرقام كل على حدة، ثم اضرب الحروف كل على حدة:

− 0,4 × (−6.3ب) × 2 = − 0,4 × (−6.3) × ب × 2 = 5.04ب

هكذا التعبير −0.4 × (−6.3b) × 2 مبسطة ل 5.04ب

مثال 3.تبسيط التعبير

لنكتب هذا التعبير بمزيد من التفصيل لنرى بوضوح مكان وجود الأرقام وأين توجد الحروف:

الآن دعونا نضرب الأرقام بشكل منفصل ونضرب الحروف بشكل منفصل:

هكذا التعبير مبسطة ل -اي بي سي.يمكن كتابة هذا الحل باختصار:

عند تبسيط العبارات، يمكن تبسيط الكسور أثناء عملية الحل، وليس في النهاية، كما فعلنا مع الكسور العادية. على سبيل المثال، إذا صادفنا أثناء الحل تعبيرًا من النموذج، فليس من الضروري على الإطلاق حساب البسط والمقام والقيام بشيء مثل هذا:

يمكن تبسيط الكسر باختيار عامل في كل من البسط والمقام واختزال هذين العاملين بعاملهما المشترك الأكبر. بمعنى آخر، الاستخدام الذي لا نصف فيه بالتفصيل ما تم تقسيم البسط والمقام إليه.

على سبيل المثال، في البسط العامل هو 12 وفي المقام يمكن تخفيض العامل 4 بمقدار 4. نحتفظ بالأربعة في أذهاننا، وبقسمة 12 و4 على هذا الأربعة، نكتب الإجابات بجانب هذه الأرقام، بعد أن شطبتهم أولاً

الآن يمكنك مضاعفة العوامل الصغيرة الناتجة. وفي هذه الحالة فهي قليلة ويمكنك مضاعفتها في عقلك:

مع مرور الوقت، قد تجد أنه عند حل مشكلة معينة، تبدأ التعبيرات في "السمنة"، لذلك ينصح بالتعود على الحسابات السريعة. ما يمكن أن يحسب في العقل يجب أن يحسب في العقل. ما يمكن تخفيضه بسرعة يجب تخفيضه بسرعة.

مثال 4.تبسيط التعبير

هكذا التعبير مبسطة ل

مثال 5.تبسيط التعبير

دعونا نضرب الأرقام بشكل منفصل والحروف بشكل منفصل:

هكذا التعبير مبسطة ل مليون.

مثال 6.تبسيط التعبير

لنكتب هذا التعبير بمزيد من التفصيل لنرى بوضوح مكان وجود الأرقام وأين توجد الحروف:

الآن دعونا نضرب الأرقام بشكل منفصل والحروف بشكل منفصل. لسهولة الحساب، يمكن تحويل الكسر العشري −6.4 والرقم المختلط إلى كسور عادية:

هكذا التعبير مبسطة ل

يمكن كتابة الحل لهذا المثال بشكل أقصر بكثير. سوف يبدو مثل هذا:

مثال 7.تبسيط التعبير

دعونا نضرب الأرقام بشكل منفصل والحروف بشكل منفصل. لسهولة الحساب، يمكن تحويل الأعداد الكسرية والكسور العشرية 0.1 و0.6 إلى كسور عادية:

هكذا التعبير مبسطة ل ا ب ت ث. إذا تخطيت التفاصيل، فيمكن كتابة هذا الحل بشكل أقصر بكثير:

لاحظ كيف تم تخفيض الكسر. يُسمح أيضًا بتخفيض العوامل الجديدة التي يتم الحصول عليها نتيجة تخفيض العوامل السابقة.

الآن دعنا نتحدث عن ما لا يجب فعله. عند تبسيط التعبيرات، يمنع منعا باتا ضرب الأرقام والحروف إذا كان التعبير مجموعا وليس منتجا.

على سبيل المثال، إذا كنت تريد تبسيط التعبير 5أ+4ب، فلا يمكنك كتابتها بهذه الطريقة:

وهذا هو نفسه كما لو طُلب منا جمع رقمين وقمنا بضربهما بدلاً من جمعهما.

عند استبدال أي قيم متغيرة أو بتعبير 5أ +4بيتحول إلى تعبير عددي عادي. لنفترض أن المتغيرات أو بلها المعاني التالية:

أ = 2، ب = 3

إذن قيمة التعبير ستكون 22

5أ + 4ب = 5 × 2 + 4 × 3 = 10 + 12 = 22

أولا، يتم إجراء الضرب، ثم يتم إضافة النتائج. ولو حاولنا تبسيط هذا التعبير بضرب الأرقام والحروف لحصلنا على ما يلي:

5أ + 4ب = 5 × 4 × أ × ب = 20أب

20ab = 20 × 2 × 3 = 120

اتضح معنى مختلفًا تمامًا للتعبير. في الحالة الأولى عملت 22 ، في الحالة الثانية 120 . وهذا يعني تبسيط التعبير 5أ+4بتم تنفيذه بشكل غير صحيح.

بعد تبسيط التعبير يجب ألا تتغير قيمته بنفس قيم المتغيرات. إذا تم الحصول على قيمة واحدة عند استبدال أي قيم متغيرة في التعبير الأصلي، فبعد تبسيط التعبير، يجب الحصول على نفس القيمة كما كانت قبل التبسيط.

مع التعبير 5أ+4بلا يوجد شيء يمكنك فعله حقًا. لا يبسط ذلك.

إذا كان التعبير يحتوي على مصطلحات مشابهة، فيمكن إضافتها إذا كان هدفنا هو تبسيط التعبير.

مثال 8.تبسيط التعبير 0.3 أ − 0.4 أ + أ

0.3a − 0.4a + أ = 0.3a + (−0.4a) + أ = (0.3 + (−0.4) + 1)×a = 0.9a

أو أقصر: 0.3 أ - 0.4 أ + أ = 0.9 أ

هكذا التعبير 0.3 أ − 0.4 أ + أمبسطة ل 0.9 أ

مثال 9.تبسيط التعبير −7.5 أ - 2.5 ب + 4 أ

لتبسيط هذا التعبير، يمكننا إضافة مصطلحات مماثلة:

−7.5a − 2.5b + 4a = −7.5a + (−2.5b) + 4a = ((−7.5) + 4)×a + (−2.5b) = −3.5a + (−2.5b)

أو أقصر −7.5a − 2.5b + 4a = −3.5a + (−2.5b)

شرط (−2.5 ب)ظلت دون تغيير لأنه لم يكن هناك ما يمكن وضعه معه.

مثال 10.تبسيط التعبير

لتبسيط هذا التعبير، يمكننا إضافة مصطلحات مماثلة:

وكان المعامل لسهولة الحساب.

هكذا التعبير مبسطة ل

مثال 11.تبسيط التعبير

لتبسيط هذا التعبير، يمكننا إضافة مصطلحات مماثلة:

هكذا التعبير مبسطة ل .

في هذا المثال، سيكون من المناسب إضافة المعاملين الأول والأخير أولاً. في هذه الحالة سيكون لدينا حل قصير. انها تبدو مثل هذا:

مثال 12.تبسيط التعبير

لتبسيط هذا التعبير، يمكننا إضافة مصطلحات مماثلة:

هكذا التعبير مبسطة ل .

وظل المصطلح دون تغيير، لأنه لم يكن هناك ما يمكن إضافته إليه.

يمكن كتابة هذا الحل بشكل أقصر بكثير. سوف يبدو مثل هذا:

تخطى الحل القصير خطوات استبدال الطرح بالجمع وشرح بالتفصيل كيفية اختزال الكسور إلى مقام مشترك.

الفرق الآخر هو أن الإجابة تبدو في الحل التفصيلي ولكن باختصار . في الواقع، هما نفس التعبير. الفرق هو أنه في الحالة الأولى يتم استبدال الطرح بالجمع، لأننا في البداية عندما كتبنا الحل بشكل تفصيلي، استبدلنا الطرح بالجمع حيثما أمكن، وتم الاحتفاظ بهذا الاستبدال للإجابة.

المتطابقات. تعبيرات متساوية متطابقة

بمجرد تبسيط أي تعبير، يصبح أبسط وأقصر. للتحقق من صحة التعبير المبسط، يكفي استبدال أي قيم متغيرة أولاً في التعبير السابق الذي يحتاج إلى تبسيط، ثم في التعبير الجديد الذي تم تبسيطه. إذا كانت القيمة في كلا التعبيرين هي نفسها، فإن التعبير المبسط يكون صحيحًا.

دعونا نلقي نظرة على مثال بسيط. فليكن من الضروري تبسيط التعبير 2 أ × 7 ب. لتبسيط هذا التعبير، يمكنك ضرب الأرقام والحروف بشكل منفصل:

2أ × 7ب = 2 × 7 × أ × ب = 14أب

دعونا نتحقق مما إذا كنا قد قمنا بتبسيط التعبير بشكل صحيح. للقيام بذلك، دعونا نعوض بأي قيم للمتغيرات أو بأولا في التعبير الأول الذي يحتاج إلى تبسيط، ثم في الثاني، الذي تم تبسيطه.

دع قيم المتغيرات أ , بسيكون على النحو التالي:

أ = 4، ب = 5

دعونا نستبدلهم في التعبير الأول 2 أ × 7 ب

الآن دعونا نعوض بنفس قيم المتغير في التعبير الناتج عن التبسيط 2 أ × 7 ب، أي في التعبير 14اب

14أ = 14 × 4 × 5 = 280

نرى ذلك عندما أ=4و ب=5قيمة التعبير الأول 2 أ × 7 بومعنى التعبير الثاني 14ابمتساوي

2أ × 7ب = 2 × 4 × 7 × 5 = 280

14أ = 14 × 4 × 5 = 280

سيحدث الشيء نفسه مع أي قيم أخرى. على سبيل المثال، دعونا أ = 1و ب=2

2أ × 7ب = 2 × 1 × 7 × 2 =28

14أ = 14 × 1 × 2 =28

وهكذا لأية قيم لمتغيرات التعبير 2 أ × 7 بو 14ابتساوي نفس القيمة. تسمى هذه التعبيرات متساوية تماما.

نستنتج أن بين العبارات 2 أ × 7 بو 14ابيمكنك وضع علامة يساوي لأنهما يساويان نفس القيمة.

2أ × 7ب = 14أب

المساواة هي أي تعبير مرتبط بعلامة المساواة (=).

والمساواة في الشكل 2أ×7ب = 14أبمُسَمًّى هوية.

الهوية هي المساواة الحقيقية لأي قيم للمتغيرات.

أمثلة أخرى للهويات:

أ + ب = ب + أ

أ(ب+ج) = أب + أس

أ(قبل الميلاد) = (أب)ج

نعم، قوانين الرياضيات التي درسناها هي الهويات.

المساواة العددية الحقيقية هي أيضًا هويات. على سبيل المثال:

2 + 2 = 4

3 + 3 = 5 + 1

10 = 7 + 2 + 1

عند حل مسألة معقدة، ولتسهيل الحساب، يتم استبدال التعبير المعقد بتعبير أبسط يساوي تمامًا التعبير السابق. ويسمى هذا الاستبدال تحويل مماثل للتعبيرأو ببساطة تحويل التعبير.

على سبيل المثال، قمنا بتبسيط التعبير 2 أ × 7 ب، وحصلت على تعبير أبسط 14اب. يمكن أن يسمى هذا التبسيط تحويل الهوية.

يمكنك غالبًا العثور على مهمة تقول "أثبت أن المساواة هي هوية" ومن ثم تعطى المساواة التي يجب إثباتها. عادة ما تتكون هذه المساواة من جزأين: الجزء الأيسر والأيمن من المساواة. مهمتنا هي إجراء تحويلات الهوية مع أحد أجزاء المساواة والحصول على الجزء الآخر. أو قم بإجراء تحويلات متطابقة على طرفي المساواة وتأكد من أن طرفي المساواة يحتويان على نفس التعبيرات.

على سبيل المثال، دعونا نثبت أن المساواة 0.5أ × 5ب = 2.5ابهي هوية.

دعونا نبسط الجانب الأيسر من هذه المساواة. للقيام بذلك، اضرب الأرقام والحروف بشكل منفصل:

0.5 × 5 × أ × ب = 2.5اب

2.5اب = 2.5اب

ونتيجة لتحول بسيط في الهوية، أصبح الجانب الأيسر من المساواة مساوياً للجانب الأيمن من المساواة. لذلك أثبتنا أن المساواة 0.5أ × 5ب = 2.5ابهي هوية.

ومن التحويلات المتطابقة تعلمنا جمع الأعداد وطرحها وضربها وقسمتها، وتبسيط الكسور، وإضافة مصطلحات مماثلة، وكذلك تبسيط بعض التعبيرات.

لكن هذه ليست كلها تحولات متطابقة موجودة في الرياضيات. هناك العديد من التحولات المتطابقة. وسنرى هذا أكثر من مرة في المستقبل.

مهام الحل المستقل:

هل أعجبك الدرس؟
انضم إلى مجموعة فكونتاكتي الجديدة وابدأ في تلقي إشعارات حول الدروس الجديدة

التعبيرات، تحويل التعبير

تعبيرات القوة (التعبيرات ذات القوى) وتحولها

سنتحدث في هذه المقالة عن تحويل التعبيرات ذات الصلاحيات. أولاً، سنركز على التحويلات التي يتم إجراؤها باستخدام العبارات من أي نوع، بما في ذلك عبارات القوة، مثل فتح الأقواس وإحضار المصطلحات المتشابهة. وبعد ذلك سنقوم بتحليل التحويلات المتأصلة على وجه التحديد في التعبيرات ذات الدرجات: العمل مع الأساس والأس، واستخدام خصائص الدرجات، وما إلى ذلك.

التنقل في الصفحة.

ما هي تعبيرات القوة؟

مصطلح "تعبيرات القوة" لا يظهر عمليا في كتب الرياضيات المدرسية، ولكنه يظهر في كثير من الأحيان في مجموعات المسائل، وخاصة تلك المخصصة للتحضير لامتحان الدولة الموحدة واختبار الدولة الموحدة، على سبيل المثال. بعد تحليل المهام التي من الضروري فيها تنفيذ أي إجراءات ذات تعبيرات القوة، يصبح من الواضح أن تعبيرات القوة تُفهم على أنها تعبيرات تحتوي على صلاحيات في مدخلاتها. لذلك، يمكنك قبول التعريف التالي لنفسك:

تعريف.

تعبيرات القوةهي تعبيرات تحتوي على صلاحيات.

هيا نعطي أمثلة على تعبيرات القوة. علاوة على ذلك، سنعرضها بحسب كيفية حدوث تطور وجهات النظر من درجة ذات أس طبيعي إلى درجة ذات أس حقيقي.

كما هو معروف، نتعرف أولاً على أس العدد ذي الأس الطبيعي، وفي هذه المرحلة، يتم التعرف على أبسط تعبيرات الأس من النوع 3 2, 7 5 +1, (2+1) 5, (−0.1) 4, 3 a 2 تظهر −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 إلخ.

وبعد ذلك بقليل تتم دراسة أس العدد ذو الأس الصحيح، مما يؤدي إلى ظهور تعبيرات الأس ذات الأس الصحيح السالب، مثل ما يلي: 3 −2, , أ −2 +2 ب −3 +ج 2 .

في المدرسة الثانوية يعودون إلى الدرجات العلمية. هناك يتم تقديم درجة ذات أس عقلاني، مما يستلزم ظهور تعبيرات القوة المقابلة: , , وما إلى ذلك وهلم جرا. وأخيرا، تعتبر الدرجات ذات الأسس غير المنطقية والعبارات التي تحتوي عليها: , .

لا يقتصر الأمر على تعبيرات القوة المذكورة: علاوة على ذلك، يخترق المتغير الأس، وعلى سبيل المثال، تظهر التعبيرات التالية: 2 × 2 +1 أو . وبعد التعرف على ، تبدأ التعبيرات ذات القوى واللوغاريتمات في الظهور، على سبيل المثال، x 2·lgx −5·x lgx.

لذلك، تعاملنا مع مسألة ما تمثله تعبيرات القوة. بعد ذلك سوف نتعلم كيفية تحويلها.

الأنواع الرئيسية لتحولات تعبيرات القوة

باستخدام تعبيرات الطاقة، يمكنك إجراء أي من تحويلات الهوية الأساسية للتعبيرات. على سبيل المثال، يمكنك فتح الأقواس، واستبدال التعبيرات الرقمية بقيمها، وإضافة مصطلحات مماثلة، وما إلى ذلك. وبطبيعة الحال، في هذه الحالة، من الضروري اتباع الإجراء المعتمد لتنفيذ الإجراءات. دعونا نعطي أمثلة.

مثال.

احسب قيمة تعبير القوة 2 3 ·(4 2 −12) .

حل.

وفقًا لترتيب تنفيذ الإجراءات، قم أولاً بتنفيذ الإجراءات الموجودة بين قوسين. هناك، أولاً، نستبدل القوة 4 2 بقيمتها 16 (انظر إذا لزم الأمر)، وثانيًا، نحسب الفرق 16−12=4. لدينا 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4.

في التعبير الناتج، نستبدل القوة 2 3 بقيمتها 8، وبعد ذلك نحسب حاصل الضرب 8·4=32. هذه هي القيمة المطلوبة.

لذا، 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32.

إجابة:

2 3 ·(4 2 −12)=32.

مثال.

تبسيط التعبيرات مع القوى 3 أ 4 ب −7 −1+2 أ 4 ب −7.

حل.

من الواضح أن هذا التعبير يحتوي على مصطلحات متشابهة 3·a 4 ·b −7 و 2·a 4 ·b −7 ، ويمكننا تقديمها: .

إجابة:

3 أ 4 ب −7 −1+2 أ 4 ب −7 =5 أ 4 ب −7 −1.

مثال.

التعبير عن التعبير بالصلاحيات كمنتج.

حل.

يمكنك التعامل مع المهمة من خلال تمثيل الرقم 9 كقوة 3 2 ثم استخدام صيغة الضرب المختصر - فرق المربعات:

إجابة:

هناك أيضًا عدد من التحولات المتطابقة المتأصلة على وجه التحديد في تعبيرات القوة. سنقوم بتحليلها أكثر.

العمل مع القاعدة والأس

هناك درجات لا يكون أساسها و/أو أسها مجرد أرقام أو متغيرات، بل بعض التعبيرات. على سبيل المثال، نعطي المدخلات (2+0.3·7) 5−3.7 و (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) .

عند العمل مع مثل هذه التعبيرات، يمكنك استبدال كل من التعبير الموجود في قاعدة الدرجة والتعبير الموجود في الأس بتعبير متساوٍ تمامًا في ODZ لمتغيراته. بمعنى آخر، وفقًا للقواعد المعروفة لدينا، يمكننا تحويل أساس الدرجة بشكل منفصل والأس بشكل منفصل. ومن الواضح أنه نتيجة لهذا التحول، سيتم الحصول على تعبير مساوٍ تمامًا للتعبير الأصلي.

تتيح لنا مثل هذه التحولات تبسيط التعبيرات ذات القوى أو تحقيق أهداف أخرى نحتاجها. على سبيل المثال، في تعبير القوة المذكور أعلاه (2+0.3 7) 5−3.7، يمكنك إجراء عمليات باستخدام الأرقام الموجودة في الأساس والأس، مما سيسمح لك بالانتقال إلى الأس 4.1 1.3. وبعد فتح الأقواس وإحضار مصطلحات مماثلة إلى قاعدة الدرجة (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1)، نحصل على تعبير قوة بشكل أبسط a 2·(x+ 1) .

استخدام خصائص الدرجة

إحدى الأدوات الرئيسية لتحويل التعبيرات بالقوى هي المساواة التي تعكس . دعونا نتذكر أهمها. بالنسبة لأي أرقام موجبة a وb وأعداد حقيقية عشوائية r وs، فإن خصائص القوى التالية صحيحة:

• أ ص ·أ ق =أ ص+س ;
• أ ص:أ ق =أ ص−س ;
• (أ·ب) ص =أ ص ·ب ص ;
• (أ:ب) ص =أ ص:ب ص ;
• (أ ص) ث =أ ص·س .

لاحظ أنه بالنسبة للأسس الطبيعية والأعداد الصحيحة والموجبة، فإن القيود المفروضة على الأرقام a وb قد لا تكون صارمة جدًا. على سبيل المثال، بالنسبة للأعداد الطبيعية m وn، فإن المساواة a m ·a n =a m+n صحيحة ليس فقط بالنسبة للموجب a، ولكن أيضًا بالنسبة للسالب a، وبالنسبة لـ a=0.

في المدرسة، ينصب التركيز الأساسي عند تحويل تعبيرات القوة على القدرة على اختيار الخاصية المناسبة وتطبيقها بشكل صحيح. وفي هذه الحالة، تكون أسس الدرجات عادة موجبة، مما يسمح باستخدام خصائص الدرجات دون قيود. الأمر نفسه ينطبق على تحويل التعبيرات التي تحتوي على متغيرات في قواعد القوى - نطاق القيم المسموح بها للمتغيرات عادة ما يكون بحيث تأخذ القواعد قيمًا موجبة فقط عليها، مما يسمح لك باستخدام خصائص القوى بحرية . بشكل عام، عليك أن تسأل نفسك باستمرار ما إذا كان من الممكن استخدام أي خاصية للدرجات في هذه الحالة، لأن الاستخدام غير الدقيق للخصائص يمكن أن يؤدي إلى تضييق القيمة التعليمية ومشاكل أخرى. تمت مناقشة هذه النقاط بالتفصيل ومع الأمثلة في المقالة تحويل التعبيرات باستخدام خصائص القوى. وهنا سنقتصر على النظر في بعض الأمثلة البسيطة.

مثال.

عبر عن التعبير a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 كقوة ذات الأساس a.

حل.

أولاً، نحول العامل الثاني (a 2) −3 باستخدام خاصية رفع قوة إلى قوة: (أ 2) −3 =أ 2·(−3) =أ −6. تعبير القوة الأصلي سوف يأخذ الشكل a 2.5 ·a −6:a −5.5. من الواضح أنه يبقى استخدام خصائص ضرب وقسمة القوى بنفس الأساس الذي لدينا
أ 2.5 · أ −6:أ −5.5 =
أ 2.5−6:أ −5.5 =أ −3.5:أ −5.5 =
أ −3.5−(−5.5) =أ 2 .

إجابة:

أ 2.5 ·(أ 2) −3:أ −5.5 =أ 2.

يتم استخدام خصائص القوى عند تحويل تعبيرات الطاقة من اليسار إلى اليمين ومن اليمين إلى اليسار.

مثال.

أوجد قيمة تعبير القوة.

حل.

المساواة (a·b) r =a r ·b r، المطبقة من اليمين إلى اليسار، تسمح لنا بالانتقال من التعبير الأصلي إلى منتج النموذج وأكثر من ذلك. وعند ضرب القوى ذات الأساس نفسه، فإن الأسس تضيف ما يلي: .

كان من الممكن تحويل التعبير الأصلي بطريقة أخرى:

إجابة:

.

مثال.

بالنظر إلى تعبير الطاقة a 1.5 −a 0.5 −6، أدخل متغيرًا جديدًا t=a 0.5.

حل.

يمكن تمثيل الدرجة a 1.5 على أنها 0.5 3 وبعد ذلك، بناءً على خاصية الدرجة إلى الدرجة (a r) s =a r s، المطبقة من اليمين إلى اليسار، قم بتحويلها إلى الشكل (a 0.5) 3. هكذا، أ 1.5 −أ 0.5 −6=(أ 0.5) 3 −أ 0.5 −6. الآن أصبح من السهل إدخال متغير جديد t=a 0.5، نحصل على t 3 −t−6.

إجابة:

ر 3 −t−6 .

تحويل الكسور التي تحتوي على القوى

يمكن أن تحتوي تعبيرات القوة على أو تمثل كسورًا ذات قوى. أي من التحويلات الأساسية للكسور المتأصلة في الكسور من أي نوع تنطبق بالكامل على هذه الكسور. أي أنه يمكن اختزال الكسور التي تحتوي على قوى، واختزالها إلى مقام جديد، والعمل بشكل منفصل مع بسطها وبشكل منفصل مع المقام، وما إلى ذلك. لتوضيح هذه الكلمات، فكر في حلول عدة أمثلة.

مثال.

تبسيط التعبير عن السلطة .

حل.

تعبير القوة هذا عبارة عن كسر. دعونا نعمل مع البسط والمقام. في البسط نفتح الأقواس ونبسط التعبير الناتج باستخدام خصائص القوى، وفي المقام نقدم مصطلحات مشابهة:

ولنغير أيضًا إشارة المقام بوضع علامة ناقص أمام الكسر: .

إجابة:

.

يتم تنفيذ اختزال الكسور التي تحتوي على قوى إلى مقام جديد بشكل مشابه لاختزال الكسور المنطقية إلى مقام جديد. وفي هذه الحالة، يتم أيضًا العثور على عامل إضافي ويتم ضرب بسط الكسر ومقامه به. عند تنفيذ هذا الإجراء، تجدر الإشارة إلى أن التخفيض إلى قاسم جديد يمكن أن يؤدي إلى تضييق VA. ولمنع حدوث ذلك، من الضروري ألا يصل العامل الإضافي إلى الصفر لأي قيم للمتغيرات من متغيرات ODZ للتعبير الأصلي.

مثال.

اختصر الكسور إلى مقام جديد: أ) إلى المقام أ، ب) إلى القاسم.

حل.

أ) في هذه الحالة، من السهل جدًا معرفة المضاعف الإضافي الذي يساعد على تحقيق النتيجة المرجوة. هذا مضاعف 0.3، حيث أن 0.7 ·a 0.3 =a 0.7+0.3 =a. لاحظ أنه في نطاق القيم المسموح بها للمتغير a (هذه هي مجموعة جميع الأعداد الحقيقية الموجبة)، لا تختفي قوة 0.3، لذلك يحق لنا ضرب البسط والمقام لمعطى معين الكسر بهذا العامل الإضافي:

ب) بإلقاء نظرة فاحصة على المقام، ستجد ذلك

وضرب هذا التعبير في سيعطي مجموع المكعبات و . وهذا هو المقام الجديد الذي علينا تبسيط الكسر الأصلي إليه.

وهكذا وجدنا عاملاً إضافياً. في نطاق القيم المقبولة للمتغيرين x و y، لا يختفي التعبير، لذلك يمكننا ضرب بسط الكسر ومقامه به:

إجابة:

أ) ، ب) .

كما أنه لا جديد في اختزال الكسور التي تحتوي على قوى: يتم تمثيل البسط والمقام بعدد من العوامل، ويتم اختزال نفس عوامل البسط والمقام.

مثال.

تقليل الكسر: أ) ، ب) .

حل.

أ) أولاً، يمكن اختزال البسط والمقام بالرقمين 30 و45، وهو ما يساوي 15. ومن الواضح أيضًا أنه من الممكن إجراء تخفيض بمقدار x 0.5 +1 وبواسطة . وهنا ما لدينا:

ب) في هذه الحالة، العوامل المتطابقة في البسط والمقام ليست مرئية على الفور. للحصول عليها، سيتعين عليك إجراء التحولات الأولية. في هذه الحالة، تتمثل في تحليل المقام باستخدام صيغة فرق المربعات:

إجابة:

أ)

ب) .

يتم استخدام تحويل الكسور إلى مقام جديد وتصغير الكسور بشكل أساسي للتعامل مع الكسور. يتم تنفيذ الإجراءات وفقًا للقواعد المعروفة. عند جمع (طرح) الكسور، يتم اختزالها إلى قاسم مشترك، وبعد ذلك يتم إضافة (طرح) البسط، ولكن يبقى المقام كما هو. والنتيجة هي كسر بسطه حاصل ضرب البسطين، ومقامه حاصل ضرب المقامين. القسمة على الكسر هي الضرب على معكوسه.

مثال.

اتبع الخطوات .

حل.

أولًا، نطرح الكسور الموجودة بين قوسين. للقيام بذلك، نأتي بهم إلى قاسم مشترك، وهو ، وبعد ذلك نطرح البسطين:

الآن نضرب الكسور:

من الواضح أنه من الممكن التخفيض بقوة x 1/2، وبعد ذلك لدينا .

يمكنك أيضًا تبسيط تعبير القوة في المقام باستخدام صيغة فرق المربعات: .

إجابة:

مثال.

تبسيط تعبير القوة .

حل.

من الواضح أنه يمكن اختزال هذا الكسر بمقدار (x 2.7 +1) 2، وهذا يعطي الكسر . من الواضح أنه يجب القيام بشيء آخر باستخدام صلاحيات X. للقيام بذلك، نقوم بتحويل الكسر الناتج إلى منتج. وهذا يتيح لنا فرصة الاستفادة من خاصية تقسيم القوى على نفس الأسس: . وفي نهاية العملية ننتقل من المنتج الأخير إلى الكسر.

إجابة:

.

ودعنا نضيف أيضًا أنه من الممكن، ومن المرغوب فيه في كثير من الحالات، نقل العوامل ذات الأسس السالبة من البسط إلى المقام أو من المقام إلى البسط، مما يؤدي إلى تغيير إشارة الأس. غالبًا ما تعمل مثل هذه التحولات على تبسيط الإجراءات الإضافية. على سبيل المثال، يمكن استبدال تعبير الطاقة بـ .

تحويل التعبيرات مع الجذور والقوى

في كثير من الأحيان، في التعبيرات التي تتطلب بعض التحويلات، تكون الجذور ذات الأسس الكسرية موجودة أيضًا جنبًا إلى جنب مع القوى. لتحويل مثل هذا التعبير إلى الشكل المطلوب، يكفي في معظم الحالات الانتقال إلى الجذور فقط أو إلى القوى فقط. ولكن بما أنه أكثر ملاءمة للعمل مع القوى، فإنها عادة ما تنتقل من الجذور إلى القوى. ومع ذلك، فمن المستحسن إجراء مثل هذا الانتقال عندما يسمح لك ODZ للمتغيرات الخاصة بالتعبير الأصلي باستبدال الجذور بالصلاحيات دون الحاجة إلى الرجوع إلى الوحدة النمطية أو تقسيم ODZ إلى عدة فترات (ناقشنا هذا بالتفصيل في انتقال المقال من الجذور إلى القوى والعودة بعد التعرف على الدرجة ذات الأس الكسرى يتم تقديم درجة ذات أس غير عقلاني، مما يسمح لنا بالحديث عن درجة ذات أس حقيقي اعتباطي، وفي هذه المرحلة تبدأ المدرسة في يذاكر وظيفة الأسية، والتي يتم إعطاؤها تحليليًا بواسطة قوة، أساسها رقم، والأس متغير. لذلك نحن نواجه تعبيرات القوة التي تحتوي على أرقام في أساس القوة، وفي الأس - تعبيرات ذات متغيرات، ومن الطبيعي أن تنشأ الحاجة إلى إجراء تحويلات لمثل هذه التعبيرات.

يجب أن يقال أن تحويل التعبيرات من النوع المحدد عادة ما يتم إجراؤه عند الحل المعادلات الأسيةو عدم المساواة الأسية، وهذه التحويلات بسيطة للغاية. في الغالبية العظمى من الحالات، تعتمد على خصائص الدرجة وتهدف، في معظمها، إلى إدخال متغير جديد في المستقبل. المعادلة سوف تسمح لنا بإظهارها 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

أولاً، يتم استبدال القوى، التي في أسسها مجموع متغير معين (أو تعبير مع متغيرات) ورقم، بالمنتجات. ينطبق هذا على الحدين الأول والأخير من التعبير الموجود على الجانب الأيسر:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

بعد ذلك، يتم تقسيم طرفي المساواة بالتعبير 7 2 x، والذي يأخذ قيمًا موجبة فقط في ODZ للمتغير x للمعادلة الأصلية (هذه تقنية قياسية لحل المعادلات من هذا النوع، نحن لسنا كذلك نتحدث عنه الآن، لذلك ركز على التحولات اللاحقة للتعبيرات مع القوى ):

الآن يمكننا إلغاء الكسور ذات القوى، وهو ما يعطي .

وأخيرًا، يتم استبدال نسبة القوى التي لها نفس الأسس بقوى العلاقات، مما يؤدي إلى المعادلة ، وهو ما يعادل . تتيح لنا التحويلات التي تم إجراؤها إدخال متغير جديد، مما يقلل من حل المعادلة الأسية الأصلية إلى حل المعادلة التربيعية

إن كتابة شروط المسائل باستخدام الترميز المقبول في الرياضيات يؤدي إلى ظهور ما يسمى بالتعبيرات الرياضية، والتي تسمى ببساطة بالتعبيرات. في هذا المقال سنتحدث بالتفصيل عن التعبيرات الرقمية والأبجدية والمتغيرة: سنقدم تعريفات ونعطي أمثلة على التعبيرات من كل نوع.

التنقل في الصفحة.

التعبيرات العددية - ما هي؟

يبدأ التعرف على التعبيرات الرقمية تقريبًا منذ دروس الرياضيات الأولى. لكنهم اكتسبوا اسمهم رسميًا - التعبيرات الرقمية - بعد ذلك بقليل. على سبيل المثال، إذا تابعت دورة M. I. Moro، فهذا يحدث على صفحات كتاب الرياضيات المدرسي لمدة درجتين. هناك، يتم إعطاء فكرة التعبيرات العددية على النحو التالي: 3+5، 12+1−6، 18−(4+6)، 1+1+1+1+1، إلخ. - هذا كل شيء التعبيرات الرقميةوإذا قمنا بتنفيذ الإجراءات المشار إليها في التعبير، فسنجد قيمة التعبير.

ويمكننا أن نستنتج أنه في هذه المرحلة من دراسة الرياضيات، تكون التعبيرات الرقمية عبارة عن سجلات ذات معنى رياضي مكونة من أرقام وأقواس وعلامات الجمع والطرح.

وبعد فترة قصيرة، بعد التعرف على الضرب والقسمة، تبدأ سجلات التعبيرات الرقمية في احتواء العلامتين "·" و":". دعونا نعطي بعض الأمثلة: 6·4، (2+5)·2، 6:2، (9·3):3، إلخ.

وفي المدرسة الثانوية، تنمو مجموعة متنوعة من تسجيلات التعبيرات الرقمية مثل كرة الثلج التي تتدحرج أسفل الجبل. أنها تحتوي على الكسور العادية والعشرية، والأرقام المختلطة والأرقام السالبة، والقوى، والجذور، واللوغاريتمات، والجيب، وجيب التمام، وما إلى ذلك.

دعونا نلخص جميع المعلومات في تعريف التعبير العددي:

تعريف.

التعبير الرقميعبارة عن مزيج من الأرقام وعلامات العمليات الحسابية والخطوط الكسرية وعلامات الجذور (الجذور) واللوغاريتمات ورموز الدوال المثلثية والمثلثية العكسية وغيرها من الوظائف، بالإضافة إلى الأقواس والرموز الرياضية الخاصة الأخرى، والتي تم تجميعها وفقًا للقواعد المقبولة في الرياضيات.

دعونا نشرح جميع مكونات التعريف المذكور.

يمكن أن تتضمن التعبيرات الرقمية أي أرقام على الإطلاق: من الطبيعي إلى الحقيقي، وحتى المعقدة. وهذا هو، في التعبيرات العددية يمكن العثور عليها

مع علامات العمليات الحسابية، كل شيء واضح - هذه علامات الجمع والطرح والضرب والقسمة، على التوالي، لها الشكل "+"، "-"، "·" و ":". وقد تحتوي التعبيرات الرقمية على إحدى هذه العلامات، أو بعضها، أو جميعها مرة واحدة، بل وأكثر من ذلك عدة مرات. وفيما يلي أمثلة على التعبيرات العددية معهم: 3+6، 2.2+3.3+4.4+5.5، 41−2·4:2−5+12·3·2:2:3:12−1/12.

أما بالنسبة للأقواس، فهناك تعبيرات رقمية تحتوي على أقواس وتعبيرات بدونها. إذا كان هناك أقواس في تعبير رقمي، فهي في الأساس

وأحيانًا يكون للأقواس الموجودة في التعبيرات الرقمية غرض خاص محدد ومشار إليه بشكل منفصل. على سبيل المثال، يمكنك العثور على أقواس مربعة تشير إلى الجزء الصحيح من الرقم، وبالتالي فإن التعبير الرقمي +2 يعني أن الرقم 2 يضاف إلى الجزء الصحيح من الرقم 1.75.

من تعريف التعبير الرقمي يتضح أيضًا أن التعبير قد يحتوي على أو سجل أو ln أو lg أو تدوينات أو ما إلى ذلك. فيما يلي أمثلة للتعبيرات الرقمية معهم: tgπ و arcsin1+arccos1−π/2 و .

يمكن الإشارة إلى القسمة في التعبيرات العددية بواسطة . في هذه الحالة، تحدث التعبيرات العددية مع الكسور. فيما يلي أمثلة على هذه التعبيرات: 1/(1+2) و 5+(2 3+1)/(7−2,2)+3 و .

كرموز ورموز رياضية خاصة يمكن العثور عليها في التعبيرات الرقمية، نقدم . على سبيل المثال، لنعرض تعبيرًا رقميًا باستخدام المعامل .

ما هي التعبيرات الحرفية؟

يتم تقديم مفهوم تعبيرات الحروف فورًا تقريبًا بعد التعرف على التعبيرات الرقمية. يتم إدخاله تقريبًا بهذا الشكل. في تعبير عددي معين، لا يتم كتابة أحد الأرقام، ولكن يتم وضع دائرة (أو مربع، أو شيء مشابه)، ويقال أنه يمكن استبدال رقم معين بالدائرة. على سبيل المثال، دعونا ننظر إلى الإدخال. فإذا وضعت، على سبيل المثال، الرقم 2 بدلاً من المربع، فستحصل على التعبير العددي 3+2. فبدلاً من الدوائر والمربعات وما إلى ذلك. وافق على كتابة الحروف، وتم استدعاء هذه التعبيرات بالحروف التعبيرات الحرفية. لنعد إلى مثالنا، إذا وضعنا في هذا الإدخال الحرف a بدلاً من المربع، فسنحصل على تعبير حرفي للصيغة 3+a.

لذا، إذا سمحنا في التعبير العددي بوجود أحرف تشير إلى أرقام معينة، فسنحصل على ما يسمى بالتعبير الحرفي. دعونا نعطي التعريف المقابل.

تعريف.

يسمى التعبير الذي يحتوي على أحرف تمثل أرقامًا معينة التعبير الحرفي.

يتضح من هذا التعريف أن التعبير الحرفي يختلف بشكل أساسي عن التعبير الرقمي من حيث أنه يمكن أن يحتوي على أحرف. عادة، يتم استخدام الحروف الصغيرة من الأبجدية اللاتينية (أ، ب، ج، ...) في تعبيرات الحروف، وتستخدم الحروف الصغيرة من الأبجدية اليونانية (α، β، γ، ...) عند الإشارة إلى الزوايا.

لذلك يمكن أن تتكون التعبيرات الحرفية من أرقام وحروف وتحتوي على جميع الرموز الرياضية التي يمكن أن تظهر في التعبيرات الرقمية، مثل الأقواس وعلامات الجذر واللوغاريتمات والدوال المثلثية وغيرها. نؤكد بشكل منفصل أن التعبير الحرفي يحتوي على حرف واحد على الأقل. ولكن يمكن أن تحتوي أيضًا على عدة أحرف متطابقة أو مختلفة.

الآن دعونا نعطي بعض الأمثلة على التعبيرات الحرفية. على سبيل المثال، a+b هو تعبير حرفي يتكون من الحرفين a وb. هنا مثال آخر للتعبير الحرفي 5 x 3 −3 x 2 +x−2.5. وهنا مثال على التعبير الحرفي المعقد: .

التعبيرات ذات المتغيرات

إذا كان الحرف في التعبير الحرفي يشير إلى كمية لا تأخذ قيمة واحدة محددة، ولكن يمكن أن تأخذ قيمًا مختلفة، فإن هذا الحرف يسمى عاملويسمى التعبير التعبير مع المتغير.

تعريف.

التعبير مع المتغيراتهو تعبير حرفي تشير فيه الحروف (كلها أو بعضها) إلى كميات تأخذ قيمًا مختلفة.

على سبيل المثال، ليكن الحرف x في التعبير x 2 −1 يأخذ أي قيم طبيعية من الفترة من 0 إلى 10، إذن x متغير، والتعبير x 2 −1 هو تعبير بالمتغير x.

ومن الجدير بالذكر أنه يمكن أن يكون هناك عدة متغيرات في التعبير. على سبيل المثال، إذا اعتبرنا x وy متغيرين، فإن التعبير هو تعبير ذو متغيرين x و y.

بشكل عام، يحدث الانتقال من مفهوم التعبير الحرفي إلى التعبير ذو المتغيرات في الصف السابع، عندما يبدأون في دراسة الجبر. حتى هذه اللحظة، كانت تعبيرات الحروف تمثل بعض المهام المحددة. في الجبر، يبدأون في النظر إلى التعبير بشكل أكثر عمومية، دون الإشارة إلى مشكلة محددة، على أساس أن هذا التعبير يناسب عددًا كبيرًا من المشكلات.

وفي ختام هذه النقطة، دعونا ننتبه إلى نقطة أخرى: من خلال ظهور التعبير الحرفي، من المستحيل معرفة ما إذا كانت الحروف المتضمنة فيه متغيرات أم لا. ولذلك لا شيء يمنعنا من اعتبار هذه الحروف متغيرات. وفي هذه الحالة يختفي الفرق بين مصطلحي “التعبير الحرفي” و”التعبير بالمتغيرات”.

فهرس.

• الرياضيات. 2 فصول كتاب مدرسي للتعليم العام المؤسسات مع صفة. لكل إلكترون الناقل. الساعة 2 ظهرا الجزء 1 / [م. I. Moro، M. A. Bantova، G. V. Beltyukova، إلخ.] - الطبعة الثالثة. - م: التربية، 2012. - 96 ص: مريض. - (مدرسة روسيا). - ردمك 978-5-09-028297-0.
• الرياضيات: الكتاب المدرسي للصف الخامس. تعليم عام المؤسسات / N. Ya.Vilenkin، V. I. Zhokhov، A. S. Chesnokov، S. I. Shvartsburd. - الطبعة الحادية والعشرون، محذوفة. - م: منيموسين، 2007. - 280 ص: مريض. ردمك 5-346-00699-0.
• الجبر:كتاب مدرسي للصف السابع تعليم عام المؤسسات / [يو. N. Makarychev، N. G. Mindyuk، K. I. Neshkov، S. B. Suvorova]؛ حررت بواسطة إس إيه تيلياكوفسكي. - الطبعة 17. - م: التربية، 2008. - 240 ص. : سوف. -ردمك 978-5-09-019315-3.
• الجبر:كتاب مدرسي للصف الثامن. تعليم عام المؤسسات / [يو. N. Makarychev، N. G. Mindyuk، K. I. Neshkov، S. B. Suvorova]؛ حررت بواسطة إس إيه تيلياكوفسكي. - الطبعة السادسة عشرة. - م: التربية، 2008. - 271 ص. : سوف. - ردمك 978-5-09-019243-9.

الحفاظ على خصوصيتك مهم بالنسبة لنا. لهذا السبب، قمنا بتطوير سياسة الخصوصية التي تصف كيفية استخدامنا لمعلوماتك وتخزينها. يرجى مراجعة ممارسات الخصوصية الخاصة بنا وإعلامنا إذا كانت لديك أي أسئلة.

جمع واستخدام المعلومات الشخصية

تشير المعلومات الشخصية إلى البيانات التي يمكن استخدامها لتحديد هوية شخص معين أو الاتصال به.

قد يُطلب منك تقديم معلوماتك الشخصية في أي وقت عند الاتصال بنا.

فيما يلي بعض الأمثلة على أنواع المعلومات الشخصية التي قد نجمعها وكيف يمكننا استخدام هذه المعلومات.

ما هي المعلومات الشخصية التي نجمعها:

• عند تقديم طلب على الموقع، قد نقوم بجمع معلومات مختلفة، بما في ذلك اسمك ورقم هاتفك وعنوان بريدك الإلكتروني وما إلى ذلك.

كيف نستخدم المعلومات الشخصية الخاصة بك:

• تتيح لنا المعلومات الشخصية التي نجمعها الاتصال بك بشأن العروض الفريدة والعروض الترويجية وغيرها من الأحداث والأحداث القادمة.
• من وقت لآخر، قد نستخدم معلوماتك الشخصية لإرسال إشعارات ومراسلات مهمة.
• قد نستخدم أيضًا المعلومات الشخصية لأغراض داخلية، مثل إجراء عمليات التدقيق وتحليل البيانات والأبحاث المختلفة من أجل تحسين الخدمات التي نقدمها وتزويدك بالتوصيات المتعلقة بخدماتنا.
• إذا شاركت في سحب جائزة أو مسابقة أو عرض ترويجي مماثل، فقد نستخدم المعلومات التي تقدمها لإدارة مثل هذه البرامج.

الكشف عن المعلومات لأطراف ثالثة

نحن لا نكشف عن المعلومات الواردة منك إلى أطراف ثالثة.

الاستثناءات:

• إذا لزم الأمر - وفقًا للقانون، والإجراءات القضائية، وفي الإجراءات القانونية و/أو بناءً على الطلبات العامة أو الطلبات المقدمة من الهيئات الحكومية في الاتحاد الروسي - للكشف عن معلوماتك الشخصية. يجوز لنا أيضًا الكشف عن معلومات عنك إذا قررنا أن هذا الكشف ضروري أو مناسب للأغراض الأمنية أو إنفاذ القانون أو أي أغراض أخرى ذات أهمية عامة.
• في حالة إعادة التنظيم أو الدمج أو البيع، يجوز لنا نقل المعلومات الشخصية التي نجمعها إلى الطرف الثالث الذي يخلفه.

حماية المعلومات الشخصية

نحن نتخذ الاحتياطات - بما في ذلك الإدارية والفنية والمادية - لحماية معلوماتك الشخصية من الضياع والسرقة وسوء الاستخدام، بالإضافة إلى الوصول غير المصرح به والكشف والتغيير والتدمير.

احترام خصوصيتك على مستوى الشركة

للتأكد من أن معلوماتك الشخصية آمنة، نقوم بتوصيل معايير الخصوصية والأمان لموظفينا وننفذ ممارسات الخصوصية بشكل صارم.

برنامج المقرر الاختياري “تحويل التعابير العددية والأبجدية”

مذكرة توضيحية

في السنوات الأخيرة، تم تنفيذ مراقبة جودة تعليم الرياضيات المدرسية باستخدام نماذج CMM، والتي يتم تقديم الجزء الأكبر من مهامها في شكل اختبار. يختلف هذا النوع من الاختبار عن ورقة الامتحان الكلاسيكية ويتطلب إعدادًا خاصًا. من مميزات الاختبار بالشكل الذي تطور حتى الآن هو الحاجة إلى الإجابة على عدد كبير من الأسئلة في فترة زمنية محدودة، أي. لا يلزم فقط الإجابة على الأسئلة المطروحة بشكل صحيح، ولكن أيضًا القيام بذلك بسرعة كافية. لذلك، من المهم للطلاب إتقان التقنيات والأساليب المختلفة التي تتيح لهم تحقيق النتيجة المرجوة.

عند حل أي مسألة رياضية مدرسية تقريبًا، عليك إجراء بعض التحولات. غالبًا ما يتم تحديد مدى تعقيدها بالكامل من خلال درجة التعقيد ومقدار التحويل الذي يجب تنفيذه. ليس من غير المألوف أن يكون الطالب غير قادر على حل مشكلة ما، ليس لأنه لا يعرف كيفية حلها، ولكن لأنه لا يستطيع إجراء جميع التحويلات والحسابات اللازمة في الوقت المخصص دون أخطاء.

تعتبر أمثلة تحويل التعبيرات الرقمية مهمة ليس في حد ذاتها، ولكن كوسيلة لتطوير تقنيات التحويل. مع كل عام دراسي، يتوسع مفهوم العدد من الطبيعي إلى الحقيقي، وفي المدرسة الثانوية، تتم دراسة تحولات القوة والتعبيرات اللوغاريتمية والمثلثية. من الصعب جدًا دراسة هذه المادة لأنها تحتوي على العديد من الصيغ وقواعد التحويل.

لتبسيط تعبير ما، أو تنفيذ الإجراءات المطلوبة، أو حساب قيمة التعبير، عليك أن تعرف في أي اتجاه يجب عليك "التحرك" على طول مسار التحويلات التي تؤدي إلى الإجابة الصحيحة على طول "الطريق" الأقصر. يعتمد اختيار المسار العقلاني إلى حد كبير على امتلاك الحجم الكامل من المعلومات حول طرق تحويل التعبيرات.

في المدرسة الثانوية، هناك حاجة إلى تنظيم وتعميق المعرفة والمهارات العملية في التعامل مع التعبيرات الرقمية. تشير الإحصائيات إلى أن حوالي 30٪ من الأخطاء التي تحدث عند التقديم للجامعات تكون ذات طبيعة حسابية. لذلك، عند النظر في المواضيع ذات الصلة في المدرسة المتوسطة وعند تكرارها في المدرسة الثانوية، من الضروري إيلاء المزيد من الاهتمام لتنمية مهارات الحوسبة لدى تلاميذ المدارس.

لذلك، لمساعدة المعلمين على التدريس في الصف الحادي عشر في مدرسة متخصصة، يمكننا تقديم مقرر اختياري “تحويل التعابير العددية والأبجدية في مقرر الرياضيات المدرسية”.

الدرجات:== 11

نوع الدورة الاختيارية:

تنظيم وتعميم وتعميق الدورة.

عدد الساعات:

34 (في الأسبوع - 1 ساعة)

المنطقة التعليمية:

الرياضيات

أهداف وغايات الدورة:

تنظيم وتعميم وتوسيع معرفة الطلاب حول الأعداد والعمليات معهم؛ - تكوين الاهتمام بعملية الحوسبة؛ - تنمية الاستقلال والتفكير الإبداعي والاهتمام المعرفي للطلاب؛ - تكيف الطلاب مع القواعد الجديدة للقبول في الجامعات.

تنظيم دراسة الدورة

تعمل الدورة الاختيارية "تحويل التعبيرات الرقمية والحروفية" على توسيع وتعميق منهج الرياضيات الأساسي في المدرسة الثانوية وهي مصممة للدراسة في الصف الحادي عشر. وتهدف الدورة المقترحة إلى تطوير المهارات الحسابية وحدة التفكير. تم تصميم الدورة وفقًا لخطة الدرس الكلاسيكية، مع التركيز على التمارين العملية. وهو مصمم للطلاب ذوي المستوى العالي أو المتوسط ​​من الإعداد الرياضي ويهدف إلى مساعدتهم على الاستعداد للقبول في الجامعات وتسهيل مواصلة التعليم الرياضي الجاد.

النتائج المخططة:

معرفة تصنيف الأرقام.

تحسين مهارات وقدرات العد السريع؛

القدرة على استخدام الأدوات الرياضية عند حل المشاكل المختلفة.

تنمية التفكير المنطقي، وتسهيل مواصلة التعليم الرياضي الجاد.

محتويات المادة الاختيارية "تحويل التعابير العددية والأبجدية"

الأعداد الصحيحة (4 س):سلسلة أرقام. النظرية الأساسية للحساب. GCD و NOC. علامات قابلية القسمة. طريقة الاستقراء الرياضي.

الأعداد النسبية (2س):تعريف العدد العقلاني. الخاصية الرئيسية للكسر. صيغ الضرب المختصرة. تعريف الكسر الدوري. قاعدة التحويل من الكسر الدوري العشري إلى الكسر العادي.

أرقام غير منطقية. الراديكاليون. درجات. اللوغاريتمات (6 س):تعريف العدد غير العقلاني إثبات عدم عقلانية العدد. التخلص من اللاعقلانية في القاسم. أرقام حقيقية. خصائص الدرجة. خواص الجذر الحسابي للدرجة n. تعريف اللوغاريتم. خصائص اللوغاريتمات.

الدوال المثلثية (4 ساعات):دائرة الأرقام. القيم العددية للدوال المثلثية للزوايا الأساسية. تحويل مقدار الزاوية من قياس الدرجة إلى قياس الراديان والعكس. الصيغ المثلثية الأساسية. صيغ التخفيض. الدوال المثلثية العكسية. العمليات المثلثية على وظائف القوس. العلاقات الأساسية بين وظائف القوس.

الأعداد المركبة (2س):مفهوم العدد المركب. الإجراءات مع الأعداد المركبة. الأشكال المثلثية والأسية للأعداد المركبة.

الاختبار المتوسط ​​(ساعتان)

مقارنة التعبيرات العددية (4 ساعات):المتباينات العددية في مجموعة الأعداد الحقيقية. خصائص المتباينات العددية. دعم عدم المساواة. طرق إثبات المتباينات العددية.

التعبيرات الحرفية (8 ساعات):قواعد تحويل التعبيرات ذات المتغيرات: متعددو الحدود؛ الكسور الجبرية؛ التعبيرات غير العقلانية؛ المثلثية وغيرها من التعبيرات. إثبات الهويات وعدم المساواة. تبسيط التعبيرات.

الخطة التعليمية والموضوعية

الخطة صالحة لمدة 34 ساعة. وقد تم تصميمه مع الأخذ في الاعتبار موضوع الرسالة، بحيث يتم النظر في جزأين منفصلين: التعبيرات الرقمية والأبجدية. وفقًا لتقدير المعلم، يمكن اعتبار التعبيرات الأبجدية مع التعبيرات الرقمية في المواضيع المناسبة.