Eyni ifadə nədir a b. İfadələrin eyni çevrilmələri

Şəxsiyyətlər anlayışı ilə məşğul olduqdan sonra eyni dərəcədə bərabər ifadələrin öyrənilməsinə keçə bilərik. Bu məqalənin məqsədi bunun nə olduğunu izah etmək və hansı ifadələrin digərləri ilə eyni dərəcədə bərabər olacağını nümunələrlə göstərməkdir.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Eyni şəkildə bərabər ifadələr: tərif

Eyni şəkildə bərabər ifadələr anlayışı, adətən, eynilik anlayışının özü ilə birlikdə bir çərçivə daxilində öyrənilir. məktəb kursu cəbr. Bir dərslikdən götürülmüş əsas tərif budur:

Tərif 1

Eyni şəkildə bərabərdir bir-birinin tərkibinə daxil olan dəyişənlərin hər hansı mümkün dəyərləri üçün dəyərləri eyni olacaq belə ifadələr olacaq.

Həmçinin, eyni dəyərlərin uyğun olacağı ədədi ifadələr eyni şəkildə bərabər hesab olunur.

Bu, dəyişənlərin dəyərləri dəyişdikdə mənası dəyişməyən bütün tam ifadələr üçün doğru olacaq kifayət qədər geniş bir tərifdir. Lakin sonradan dəqiqləşdirməyə ehtiyac var bu tərif, çünki tam ədədlərdən başqa müəyyən dəyişənlər nəzərə alınmaqla məna kəsb etməyəcək digər ifadə növləri var. Bu, müəyyən dəyişən dəyərlərin yolverilməzliyi və yolverilməzliyi anlayışını, eləcə də ərazinin müəyyən edilməsi zərurətini doğurur. məqbul dəyərlər. Gəlin dəqiq bir tərif tərtib edək.

Tərif 2

Eyni şəkildə bərabər ifadələr- bunlar tərkibinə daxil olan dəyişənlərin hər hansı icazə verilən dəyərləri üçün dəyərləri bir-birinə bərabər olan ifadələrdir. Dəyərlərin eyni olması şərti ilə ədədi ifadələr eyni şəkildə bir-birinə bərabər olacaqdır.

"Dəyişənlərin hər hansı etibarlı dəyərləri üçün" ifadəsi hər iki ifadənin mənalı olacağı dəyişənlərin bütün dəyərlərini göstərir. Bu məqamı daha sonra eyni dərəcədə bərabər ifadələrə nümunələr verdikdə izah edəcəyik.

Siz həmçinin aşağıdakı tərifi verə bilərsiniz:

Tərif 3

Eyni bərabər ifadələr sol və sağ tərəflərdə eyni eynilikdə yerləşən ifadələrdir.

Eyni şəkildə bir-birinə bərabər olan ifadələrin nümunələri

Yuxarıda verilmiş təriflərdən istifadə edərək, belə ifadələrin bir neçə nümunəsinə baxaq.

Rəqəmli ifadələrlə başlayaq.

Misal 1

Beləliklə, 2 + 4 və 4 + 2 eyni şəkildə bir-birinə bərabər olacaqdır, çünki onların nəticələri bərabər olacaqdır (6 və 6).

Misal 2

Eyni şəkildə, 3 və 30 ifadələri eyni şəkildə bərabərdir: 10, (2 2) 3 və 2 6 (son ifadənin dəyərini hesablamaq üçün dərəcənin xüsusiyyətlərini bilmək lazımdır).

Misal 3

Lakin 4 - 2 və 9 - 1 ifadələri bərabər olmayacaq, çünki onların dəyərləri fərqlidir.

Hərfi ifadələrin nümunələrinə keçək. a + b və b + a eyni dərəcədə bərabər olacaq və bu dəyişənlərin dəyərlərindən asılı deyil (bu halda ifadələrin bərabərliyi əlavənin kommutativ xüsusiyyəti ilə müəyyən edilir).

Misal 4

Məsələn, a 4-ə, b isə 5-ə bərabərdirsə, nəticələr yenə də eyni olacaq.

Hərflərlə eyni dərəcədə bərabər ifadələrə başqa bir misal 0 · x · y · z və 0-dır. Bu vəziyyətdə dəyişənlərin dəyərləri nə olursa olsun, 0-a vurulduqda 0 verəcəklər. Qeyri-bərabər ifadələr 6 · x və 8 · x-dir, çünki heç bir x üçün bərabər olmayacaqlar.

Dəyişənlərin icazə verilən dəyər sahələrinin üst-üstə düşməsi halında, məsələn, a + 6 və 6 + a və ya a · b · 0 və 0 və ya x 4 və x ifadələrində və dəyərləri ifadələrin özləri hər hansı dəyişənlər üçün bərabərdir, onda belə ifadələr eyni şəkildə bərabər hesab olunur. Beləliklə, a-nın istənilən qiyməti üçün a + 8 = 8 + a və a · b · 0 = 0 da olur, çünki istənilən ədədi 0-a vurmaq 0 ilə nəticələnir. x 4 və x ifadələri [ 0 , + ∞) intervalından istənilən x üçün eyni şəkildə bərabər olacaqdır.

Ancaq bir ifadədəki etibarlı dəyərlərin diapazonu digərinin diapazonundan fərqli ola bilər.

Misal 5

Məsələn, iki ifadə götürək: x − 1 və x - 1 · x x. Onlardan birincisi üçün x-in icazə verilən dəyərlərinin diapazonu bütün həqiqi ədədlər dəsti, ikincisi üçün isə sıfır istisna olmaqla bütün real ədədlər dəsti olacaq, çünki onda biz 0-ı alacağıq. məxrəcdir və belə bölgü müəyyən edilmir. Bu iki ifadə iki ayrı aralığın kəsişməsindən əmələ gələn ümumi dəyərlər diapazonuna malikdir. Belə nəticəyə gələ bilərik ki, hər iki x - 1 · x x və x - 1 ifadələri, 0 istisna olmaqla, dəyişənlərin istənilən real dəyərləri üçün məna kəsb edəcək.

Kəsrin əsas xassəsi həmçinin belə nəticəyə gəlməyə imkan verir ki, x - 1 · x x və x − 1 0 olmayan istənilən x üçün bərabər olacaqdır. Beləliklə, davam ümumi sahə icazə verilən dəyərlər, bu ifadələr eyni şəkildə bir-birinə bərabər olacaq və hər hansı bir real x üçün eyni bərabərlikdən danışmaq mümkün deyil.

Bir ifadəni ona eyni şəkildə bərabər olan digəri ilə əvəz etsək, bu proses adlanır eyni transformasiya. Bu konsepsiya çox vacibdir və biz bu barədə ayrı bir materialda ətraflı danışacağıq.

Mətndə xəta görsəniz, onu vurğulayın və Ctrl+Enter düymələrini basın

§ 2. Eyni ifadələr, eynilik. Bir ifadənin eyni çevrilməsi. Şəxsiyyətin sübutları

x dəyişəninin verilmiş qiymətləri üçün 2(x - 1) 2x - 2 ifadələrinin qiymətlərini tapaq. Nəticələri cədvələ yazaq:

Belə nəticəyə gələ bilərik ki, hər biri üçün 2(x - 1) 2x - 2 ifadələrinin qiymətləri verilmiş dəyər x dəyişənləri bir-birinə bərabərdir. Çıxarmaya nisbətən vurmanın paylayıcı xüsusiyyətinə görə 2(x - 1) = 2x - 2. Buna görə də x dəyişəninin hər hansı digər qiyməti üçün 2(x - 1) 2x - 2 ifadəsinin qiyməti də olacaq. bir-birinə bərabərdir. Belə ifadələr eyni şəkildə bərabər adlanır.

Məsələn, 2x + 3x və 5x ifadələri sinonimdir, çünki x dəyişəninin hər bir dəyəri üçün bu ifadələr eyni dəyərlər əldə edir (bu, 2x + 3x = 5x olduğundan, toplamaya nisbətən vurmanın paylayıcı xüsusiyyətindən irəli gəlir).

İndi 3x + 2y və 5xy ifadələrini nəzərdən keçirək. Əgər x = 1 və b = 1 olarsa, bu ifadələrin müvafiq dəyərləri bir-birinə bərabərdir:

3x + 2y =3 ∙ 1 + 2 ∙ 1 =5; 5xy = 5 ∙ 1 ∙ 1 = 5.

Bununla belə, bu ifadələrin dəyərləri bir-birinə bərabər olmayacaq x və y dəyərlərini təyin edə bilərsiniz. Məsələn, əgər x = 2; y = 0, onda

3x + 2y = 3 ∙ 2 + 2 ∙ 0 = 6, 5xy = 5 ∙ 20 = 0.

Nəticədə, 3x + 2y və 5xy ifadələrinin uyğun qiymətləri bir-birinə bərabər olmayan dəyişənlərin dəyərləri var. Buna görə də 3x + 2y və 5xy ifadələri eyni dərəcədə bərabər deyil.

Yuxarıda göstərilənlərə əsasən, eyniliklər, xüsusən də bərabərliklərdir: 2(x - 1) = 2x - 2 və 2x + 3x = 5x.

Eynilik ədədlər üzərində əməliyyatların məlum xassələrini təsvir edən hər bir bərabərlikdir. Misal üçün,

a + b = b + a; (a + b) + c = a + (b + c); a(b + c) = ab + ac;

ab = bа; (ab)c = a(bc); a(b - c) = ab - ac.

Kimliklərə aşağıdakı bərabərliklər daxildir:

a + 0 = a; a ∙ 0 = 0; a ∙ (-b) = -ab;

a + (-a) = 0; a ∙ 1 = a; a ∙ (-b) = ab.

1 + 2 + 3 = 6; 5 2 + 12 2 = 13 2 ; 12 ∙ (7 - 6) = 3 ∙ 4.

-5x + 2x - 9 ifadəsində oxşar terminləri birləşdirsək, 5x + 2x - 9 = 7x - 9 alırıq. Bu zaman deyirlər ki, 5x + 2x - 9 ifadəsi 7x - eyni ifadəsi ilə əvəz edilmişdir. 9.

Dəyişənləri olan ifadələrin eyni çevrilmələri ədədlər üzərində əməliyyatların xassələrindən istifadə etməklə həyata keçirilir. Xüsusilə, mötərizələrin açılması ilə eyni çevrilmələr, oxşar terminlərin qurulması və s.

İfadəni sadələşdirərkən, yəni müəyyən ifadəni eyni bərabər ifadə ilə əvəz edərkən eyni çevrilmələr aparılmalıdır ki, bu da qeydi qısaltmalıdır.

Misal 1. İfadəni sadələşdirin:

1) -0,3 m ∙ 5n;

2) 2(3x - 4) + 3(-4x + 7);

3) 2 + 5a - (a - 2b) + (3b - a).

1) -0,3 m ∙ 5n = -0,3 ∙ 5mn = -1,5 mn;

2) 2(3x4) + 3(-4 + 7) = 6 x - 8 - 1 2x+ 21 = 6x + 13;

3) 2 + 5a - (a - 2b) + (3b - a) = 2 + 5a - A + 2 b + 3 b - A= 3a + 5b + 2.

Bərabərliyin eynilik olduğunu sübut etmək üçün (başqa sözlə, eyniliyi sübut etmək üçün ifadələrin eyni çevrilmələrindən istifadə olunur.

Şəxsiyyəti aşağıdakı yollardan biri ilə sübut edə bilərsiniz:

sol tərəfində eyni çevrilmələri yerinə yetirmək, bununla da onu sağ tərəfin formasına endirmək;
sağ tərəfində eyni çevrilmələri yerinə yetirmək, bununla da onu sol tərəfin formasına endirmək;
onun hər iki hissəsində eyni çevrilmələri yerinə yetirir və bununla da hər iki hissəni eyni ifadələrə qaldırır.

Misal 2. Şəxsiyyəti sübut edin:

1) 2x - (x + 5) - 11 = x - 16;

2) 206 - 4a = 5(2a - 3b) - 7(2a - 5b);

3) 2(3x - 8) + 4(5x - 7) = 13(2x - 5) + 21.

R a s i z a n i .

1) çevirmək sol tərəf verilmiş bərabərlik:

2x - (x + 5) - 11 = 2x - X- 5 - 11 = x - 16.

Kimlik çevrilmələri vasitəsilə bərabərliyin sol tərəfindəki ifadə sağ tərəf formasına endirilmiş və bununla da bu bərabərliyin eynilik olduğu sübut edilmişdir.

2) çevirmək sağ tərəf verilmiş bərabərlik:

5(2a - 3b) - 7(2a - 5b) = 10a - 15 b - 14a + 35 b= 20b - 4a.

Kimlik çevrilmələri ilə bərabərliyin sağ tərəfi sol tərəf formasına endirilmiş və bununla da bu bərabərliyin eynilik olduğu sübut edilmişdir.

3) Bu halda bərabərliyin həm sol, həm də sağ tərəflərini sadələşdirmək və nəticələri müqayisə etmək rahatdır:

2(3x - 8) + 4(5x - 7) = 6x - 16 + 20x- 28 = 26x - 44;

13(2x - 5) + 21 = 26x - 65 + 21 = 26x - 44.

Eyni çevrilmələrlə bərabərliyin sol və sağ tərəfləri eyni formaya endirilmişdir: 26x - 44. Ona görə də bu bərabərlik eynilikdir.

Hansı ifadələr eyni adlanır? Eyni ifadələrə misal göstərin. Hansı bərabərlik eynilik adlanır? Şəxsiyyət nümunəsi verin. İfadənin şəxsiyyət çevrilməsi nə adlanır? Şəxsiyyəti necə sübut etmək olar?

(Şifahi) Və ya eyni şəkildə bərabər olan ifadələr var:

1) 2a + a və 3a;

2) 7x + 6 və 6 + 7x;

3) x + x + x və x 3 ;

4) 2(x - 2) və 2x - 4;

5) m - n və n - m;

6) 2a ∙ p və 2p ∙ a?

İfadələr eyni dərəcədə bərabərdirmi:

1) 7x - 2x və 5x;

2) 5a - 4 və 4 - 5a;

3) 4m + n və n + 4m;

4) a + a və a 2;

5) 3(a - 4) və 3a - 12;

6) 5m ∙ n və 5m + n?

(şifahi olaraq) Li şəxsiyyət bərabərliyidir:

1) 2a + 106 = 12ab;

2) 7р - 1 = -1 + 7р;

3) 3(x - y) = 3x - 5y?

Açıq mötərizə:

Açıq mötərizə:

Oxşar terminləri birləşdirin:

Bəzi ifadələri adlandırın eyni ifadələr 2a + 3a.
Permutasiyadan istifadə edərək ifadəni sadələşdirin və birləşdirici xüsusiyyətlərçarpma:

1) -2,5 x ∙ 4;

2) 4р ∙ (-1,5);

3) 0,2 x ∙ (0,3 q);

4)- x ∙<-7у).

İfadəni sadələşdirin:

1) -2р ∙ 3,5;

2) 7a ∙ (-1,2);

3) 0,2 x ∙ (-3y);

4) - 1 m ∙ (-3n).

(Şifahi) İfadəni sadələşdirin:

1) 2x - 9 + 5x;

2) 7a - 3b + 2a + 3b;

4) 4a ∙ (-2b).

Oxşar terminləri birləşdirin:

1) 56 - 8a + 4b - a;

2) 17 - 2p + 3p + 19;

3) 1,8 a + 1,9 b + 2,8 a - 2,9 b;

4) 5 - 7s + 1,9 q + 6,9 s - 1,7 q.

1) 4(5x - 7) + 3x + 13;

2) 2(7 - 9a) - (4 - 18a);

3) 3(2р - 7) - 2(r - 3);

4) -(3m - 5) + 2(3m - 7).

Mötərizələri açın və oxşar terminləri birləşdirin:

1) 3(8a - 4) + 6a;

2) 7p - 2(3p - 1);

3) 2(3x - 8) - 5(2x + 7);

4) 3(5m - 7) - (15m - 2).

1) 0,6 x + 0,4(x - 20), əgər x = 2,4;

2) 1,3(2a - 1) - 16,4, əgər a = 10;

3) 1,2(m - 5) - 1,8(10 - m), əgər m = -3,7;

4) 2x - 3(x + y) + 4y, əgər x = -1 olarsa, y = 1.

İfadəni sadələşdirin və mənasını tapın:

1) 0,7 x + 0,3(x - 4), əgər x = -0,7;

2) 1,7(y - 11) - 16,3, əgər b = 20;

3) 0,6(2a - 14) - 0,4(5a - 1), əgər a = -1;

4) 5(m - n) - 4m + 7n, əgər m = 1,8; n = -0,9.

Şəxsiyyəti sübut edin:

1) -(2x - y)=y - 2x;

2) 2(x - 1) - 2x = -2;

3) 2(x - 3) + 3(x + 2) = 5x;

4) c - 2 = 5(c + 2) - 4(c + 3).

Şəxsiyyəti sübut edin:

1) -(m - 3n) = 3n - m;

2) 7(2 - p) + 7p = 14;

3) 5a = 3(a - 4) + 2(a + 6);

4) 4(m - 3) + 3(m + 3) = 7m - 3.

Üçbucağın bir tərəfinin uzunluğu bir sm, digər iki tərəfinin hər birinin uzunluğu ondan 2 sm böyükdür. Üçbucağın perimetrini ifadə kimi yazın və ifadəni sadələşdirin.
Düzbucaqlının eni x sm, uzunluğu isə enindən 3 sm böyükdür. Düzbucaqlının perimetrini ifadə kimi yazın və ifadəni sadələşdirin.

1) x - (x - (2x - 3));

2) 5m - ((n - m) + 3n);

3) 4p - (3p - (2p - (g + 1))));

4) 5x - (2x - ((y - x) - 2y));

5) (6a - b) - (4 a – 33b);

6) - (2,7 m - 1,5 n) + (2n - 0,48 m).

Mötərizələri açın və ifadəni sadələşdirin:

1) a - (a - (3a - 1));

2) 12m - ((a - m) + 12a);

3) 5y - (6y - (7y - (8y - 1)));

6) (2.1 a - 2.8 b) - (1a - 1b).

Şəxsiyyəti sübut edin:

1) 10x - (-(5x + 20)) = 5(3x + 4);

2) -(- 3p) - (-(8 - 5p)) = 2(4 - r);

3) 3(a - b - c) + 5(a - b) + 3c = 8(a - b).

Şəxsiyyəti sübut edin:

1) 12a - ((8a - 16)) = -4(4 - 5a);

2) 4(x + y -<) + 5(х - t) - 4y - 9(х - t).

İfadənin mənasını sübut edin

1,8(m - 2) + 1,4(2 - m) + 0,2(1,7 - 2m) dəyişənin qiymətindən asılı deyil.

Sübut edin ki, dəyişənin hər hansı dəyəri üçün ifadənin qiyməti

a - (a - (5a + 2)) - 5(a - 8)

eyni nömrədir.

Ardıcıl üç cüt ədədin cəminin 6-ya bölündüyünü sübut edin.
Sübut edin ki, n natural ədəddirsə, -2(2.5 n - 7) + 2 (3n - 6) ifadəsinin qiyməti cüt ədəddir.

Təkrarlanan məşqlər

1,6 kq ağırlığında bir ərinti 15% mis ehtiva edir. Bu ərintidə neçə kq mis var?
Onun 20 ədədi neçə faizdir:

1) kvadrat;

Turist 2 saat piyada, 3 saat velosiped sürdü. Turist ümumilikdə 56 km yol qət edib. Turistin velosiped sürdüyü sürət onun getdiyi sürətdən 12 km/saat çoxdursa, onu tapın.

Tənbəl tələbələr üçün maraqlı tapşırıqlar

Futbol üzrə şəhər birinciliyində 11 komanda iştirak edir. Hər komanda digərinə qarşı bir oyun oynayır. Müsabiqənin istənilən anında o anda bərabər sayda oyun keçirmiş və ya hələ heç bir oyun keçirməmiş komanda olduğunu sübut edin.

Orijinal ifadəni təşkil edən rəqəmlər və ifadələr eyni dərəcədə bərabər ifadələrlə əvəz edilə bilər. Orijinal ifadənin belə çevrilməsi ona eyni dərəcədə bərabər olan ifadəyə gətirib çıxarır.

Məsələn, 3+x ifadəsində 3 rəqəmini 1+2 cəmi ilə əvəz etmək olar, nəticədə ilkin ifadəyə eyni şəkildə bərabər olan (1+2)+x ifadəsi yaranacaq. Başqa bir misal: 1+a 5 ifadəsində a 5 gücünü eyni bərabər məhsulla, məsələn, a·a 4 formalı ilə əvəz etmək olar. Bu bizə 1+a·a 4 ifadəsini verəcəkdir.

Bu transformasiya, şübhəsiz ki, sünidir və adətən, bəzi sonrakı transformasiyalara hazırlıqdır. Məsələn, 4 x 3 +2 x 2 cəmində dərəcənin xüsusiyyətləri nəzərə alınmaqla, 4 x 3 termini 2 x 2 2 x hasilatı kimi təqdim edilə bilər. Bu çevrilmədən sonra orijinal ifadə 2 x 2 2 x+2 x 2 şəklini alacaq. Aydındır ki, yaranan cəmdəki şərtlər 2 x 2 ümumi əmsala malikdir, ona görə də aşağıdakı çevrilməni yerinə yetirə bilərik - mötərizə. Ondan sonra ifadəyə gəlirik: 2 x 2 (2 x+1) .

Eyni ədədi toplamaq və çıxmaq

İfadənin başqa bir süni çevrilməsi eyni ədədin və ya ifadənin toplanması və eyni vaxtda çıxılmasıdır. Bu çevrilmə eynidir, çünki o, mahiyyətcə sıfırın əlavə edilməsinə bərabərdir və sıfırın əlavə edilməsi dəyəri dəyişmir.

Bir nümunəyə baxaq. x 2 +2·x ifadəsini götürək. Əgər ona bir əlavə edib birini çıxarsanız, bu, gələcəkdə başqa bir eyni çevrilmə həyata keçirməyə imkan verəcək - binomialın kvadratı: x 2 +2 x=x 2 +2 x+1−1=(x+1) 2 −1.

Biblioqrafiya.

Cəbr: dərs kitabı 7-ci sinif üçün. ümumi təhsil qurumlar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; tərəfindən redaktə edilmiş S. A. Telyakovski. - 17-ci nəşr. - M.: Təhsil, 2008. - 240 s. : xəstə. - ISBN 978-5-09-019315-3.
Cəbr: dərs kitabı 8-ci sinif üçün. ümumi təhsil qurumlar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; tərəfindən redaktə edilmiş S. A. Telyakovski. - 16-cı nəşr. - M.: Təhsil, 2008. - 271 s. : xəstə. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Mordkoviç A.G. Cəbr. 7-ci sinif. 2 saatda 1-ci hissə. Ümumi təhsil müəssisələrinin tələbələri üçün dərslik / A. G. Mordkoviç. - 17-ci nəşr, əlavə edin. - M.: Mnemosyne, 2013. - 175 s.: xəstə. ISBN 978-5-346-02432-3.

Şəxsiyyət çevrilmələri rəqəm və hərfi ifadələrlə, həmçinin dəyişənləri ehtiva edən ifadələrlə gördüyümüz işdir. Orijinal ifadəni problemin həlli üçün əlverişli bir formaya gətirmək üçün bütün bu çevrilmələri həyata keçiririk. Bu mövzuda şəxsiyyət çevrilmələrinin əsas növlərini nəzərdən keçirəcəyik.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Bir ifadənin eyni çevrilməsi. Bu nədir?

Eyni transformasiya anlayışı ilə ilk dəfə 7-ci sinifdə cəbr dərslərində rastlaşdıq. Məhz o zaman biz eyni dərəcədə bərabər ifadələr anlayışı ilə ilk dəfə tanış olduq. Mövzunu daha asan başa düşmək üçün anlayışları və tərifləri anlayaq.

Tərif 1

Eyni ifadənin çevrilməsi– bunlar orijinal ifadəni orijinal ifadə ilə eyni dərəcədə bərabər olacaq ifadə ilə əvəz etmək məqsədi ilə həyata keçirilən hərəkətlərdir.

Tez-tez bu tərif qısaldılmış formada istifadə olunur, burada "eyni" sözü buraxılır. Ehtimal olunur ki, istənilən halda biz ifadəni elə çeviririk ki, orijinal ilə eyni ifadə əldə edək və bunu ayrıca vurğulamağa ehtiyac yoxdur.

Bu tərifi misallarla izah edək.

Misal 1

ifadəni əvəz etsək x + 3 − 2 eyni dərəcədə bərabər ifadəyə x+1, onda biz ifadənin eyni çevrilməsini həyata keçirəcəyik x + 3 − 2.

Misal 2

2 a 6 ifadəsinin ifadəsi ilə əvəz edilməsi a 3 ifadəni əvəz edərkən şəxsiyyət çevrilməsidir x ifadəsinə x 2 ifadələri olduğu üçün şəxsiyyət çevrilməsi deyil x Və x 2 eyni dərəcədə bərabər deyillər.

Eyni çevrilmələr apararkən diqqətinizi ifadələrin yazılış formasına cəlb edirik. Adətən orijinalı və nəticədə ifadəni bərabərlik kimi yazırıq. Beləliklə, x + 1 + 2 = x + 3 yazmaq x + 1 + 2 ifadəsinin x + 3 formasına endirilməsi deməkdir.

Hərəkətlərin ardıcıl icrası bizi bir cərgədə yerləşən bir neçə eyni çevrilməni təmsil edən bərabərliklər zəncirinə aparır. Beləliklə, biz x + 1 + 2 = x + 3 = 3 + x girişini iki çevrilmənin ardıcıl həyata keçirilməsi kimi başa düşürük: birincisi, x + 1 + 2 ifadəsi x + 3 formasına gətirildi və o, formaya gətirildi. forma 3 + x.

Eyni çevrilmələr və ODZ

8-ci sinifdə öyrənməyə başladığımız bir sıra ifadələr dəyişənlərin bütün dəyərləri üçün məna kəsb etmir. Bu hallarda eyni çevrilmələrin aparılması bizdən dəyişənlərin icazə verilən dəyərlərinin diapazonuna (APV) diqqət yetirməyi tələb edir. Eyni çevrilmələrin yerinə yetirilməsi ODZ-ni dəyişməz və ya daralda bilər.

Misal 3

İfadədən keçid həyata keçirərkən a + (− b) ifadəsinə a - b icazə verilən dəyişən dəyərlər diapazonu a Və b eyni olaraq qalır.

Misal 4

x ifadəsindən ifadəyə keçid x 2 x x dəyişəninin icazə verilən dəyərlərinin diapazonunun bütün həqiqi ədədlər dəstindən sıfırın çıxarıldığı bütün həqiqi ədədlər dəstinə qədər daralmasına gətirib çıxarır.

Misal 5

Eyni ifadənin çevrilməsi x 2 x x ifadəsi x dəyişəninin icazə verilən dəyərlərinin diapazonunun sıfırdan başqa bütün həqiqi ədədlər dəstindən bütün həqiqi ədədlər dəstinə qədər genişlənməsinə gətirib çıxarır.

Şəxsiyyət çevrilmələrini həyata keçirərkən dəyişənlərin icazə verilən dəyərlərinin diapazonunu daraltmaq və ya genişləndirmək problemləri həll edərkən vacibdir, çünki bu, hesablamaların düzgünlüyünə təsir edə bilər və səhvlərə səbəb ola bilər.

Əsas şəxsiyyət çevrilmələri

İndi şəxsiyyət çevrilmələrinin nə olduğunu və necə həyata keçirildiyini görək. Ən çox qarşılaşdığımız eyni çevrilmə növlərini əsaslar qrupuna ayıraq.

Əsas şəxsiyyət çevrilmələrinə əlavə olaraq, müəyyən bir növ ifadələrə aid olan bir sıra transformasiyalar var. Kəsrlər üçün bunlar azaltmaq və yeni məxrəcə gətirmək üsullarıdır. Kökləri və gücləri olan ifadələr üçün, kök və güclərin xüsusiyyətlərinə əsasən yerinə yetirilən bütün hərəkətlər. Loqarifmik ifadələr üçün hərəkətlər loqarifmlərin xassələri əsasında həyata keçirilir. Triqonometrik ifadələr üçün triqonometrik düsturlardan istifadə edilən bütün əməliyyatlar. Bütün bu xüsusi transformasiyalar resursumuzda tapıla bilən ayrı-ayrı mövzularda ətraflı müzakirə olunur. Bu baxımdan bu yazıda onların üzərində dayanmayacağıq.

Əsas şəxsiyyət çevrilmələrini nəzərdən keçirməyə davam edək.

Şərtlərin və amillərin yenidən təşkili

Şərtləri yenidən təşkil etməklə başlayaq. Biz ən çox bu eyni transformasiya ilə məşğul oluruq. Və burada əsas qayda aşağıdakı ifadə hesab edilə bilər: hər hansı bir məbləğdə, şərtlərin yenidən qurulması nəticəyə təsir göstərmir.

Bu qayda toplamanın kommutativ və assosiativ xassələrinə əsaslanır. Bu xassələr bizə şərtləri yenidən tənzimləməyə və orijinallara eyni dərəcədə bərabər olan ifadələr əldə etməyə imkan verir. Məhz buna görə də cəmdə terminlərin yenidən təşkili şəxsiyyət çevrilməsidir.

Misal 6

Bizdə 3 + 5 + 7 olan üç terminin cəmi var. 3 və 5 şərtlərini dəyişdirsək, ifadə 5 + 3 + 7 formasını alacaq. Bu vəziyyətdə şərtləri dəyişdirmək üçün bir neçə variant var. Hamısı orijinala bərabər olan ifadələrə gətirib çıxarır.

Yalnız rəqəmlər deyil, ifadələr də cəmində termin kimi çıxış edə bilər. Onlar, ədədlər kimi, hesablamaların yekun nəticəsinə təsir etmədən yenidən təşkil edilə bilər.

Misal 7

1 a + b + a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 + ( - 12) formasının üç həddi 1 a + b, a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 və - 12 a cəmidir. ) · şərtləri yenidən təşkil etmək olar, məsələn, belə (- 12) · a + 1 a + b + a 2 + 2 · a + 5 + a 7 · a 3 . Öz növbəsində, 1 a + b kəsrinin məxrəcindəki şərtləri yenidən təşkil edə bilərsiniz və kəsr 1 b + a formasını alacaq. Və kök işarəsi altındakı ifadə a 2 + 2 a + 5 həm də şərtlərin dəyişdirilə biləcəyi bir məbləğdir.

Şərtlər kimi, orijinal ifadələrdəki faktorları dəyişdirə və eyni dərəcədə düzgün tənliklər əldə edə bilərsiniz. Bu hərəkət aşağıdakı qayda ilə tənzimlənir:

Tərif 2

Məhsulda faktorların yenidən təşkili hesablamaların nəticələrinə təsir göstərmir.

Bu qayda eyni çevrilmənin düzgünlüyünü təsdiq edən vurmanın kommutativ və kombinativ xassələrinə əsaslanır.

Misal 8

iş 3 5 7 amilləri yenidən təşkil etməklə aşağıdakı formalardan birində təmsil oluna bilər: 5 3 7, 5 7 3, 7 3 5, 7 5 3 və ya 3 7 5.

Misal 9

x + 1 x 2 - x + 1 x hasilindəki amilləri yenidən təşkil etmək x 2 - x + 1 x x + 1 verir.

Mötərizələrin genişləndirilməsi

Mötərizədə ədədi və dəyişən ifadələr ola bilər. Bu ifadələr eyni dərəcədə bərabər ifadələrə çevrilə bilər, burada heç bir mötərizə olmayacaq və ya orijinal ifadələrdən daha az olacaq. İfadələri çevirməyin bu üsulu mötərizə genişlənməsi adlanır.

Misal 10

Formanın ifadəsində mötərizələrlə əməliyyatlar aparaq 3 + x − 1 x eyni düzgün ifadəni əldə etmək üçün 3 + x − 1 x.

3 x - 1 + - 1 + x 1 - x ifadəsi mötərizədə 3 x - 3 - 1 + x 1 - x olmadan eyni bərabər ifadəyə çevrilə bilər.

Resursumuzda yerləşdirilən "Mötərizələrin genişləndirilməsi" mövzusunda ifadələrin mötərizələrlə çevrilməsi qaydalarını ətraflı müzakirə etdik.

Terminlərin, amillərin qruplaşdırılması

Üç və ya daha çox terminlə məşğul olduğumuz hallarda, biz terminlərin qruplaşdırılması kimi şəxsiyyət çevrilmələrinin bu növünə müraciət edə bilərik. Bu çevrilmə üsulu bir neçə terminin yenidən düzülməsi və mötərizədə yerləşdirilməsi yolu ilə qrup şəklində birləşdirilməsi deməkdir.

Qruplaşdırarkən terminlər dəyişdirilir ki, qruplaşdırılmış terminlər ifadə qeydində yan-yana olsun. Daha sonra onlar mötərizələrə daxil edilə bilər.

Misal 11

İfadəsini götürək 5 + 7 + 1 . Birinci termini üçüncü ilə qruplaşdırsaq, alarıq (5 + 1) + 7 .

Faktorların qruplaşdırılması terminlərin qruplaşdırılmasına bənzər şəkildə həyata keçirilir.

Misal 12

İşdə 2 3 4 5 birinci amili üçüncü ilə, ikincini isə dördüncü ilə qruplaşdıra bilərik və ifadəyə çatırıq (2 4) (3 5). Əgər birinci, ikinci və dördüncü amilləri qruplaşdırsaq, ifadəni alardıq (2 3 5) 4.

Qruplaşdırılan termin və amillər ya sadə ədədlərlə, ya da ifadələrlə təmsil oluna bilər. Qruplaşdırma qaydaları “Qruplaşdırma əlavələri və amilləri” mövzusunda ətraflı müzakirə edilmişdir.

Fərqlərin məbləğlərlə, qismən məhsullarla və əksinə əvəz edilməsi

Fərqləri cəmlərlə əvəz etmək əks ədədlərlə tanışlığımız sayəsində mümkün oldu. İndi nömrədən çıxılır a nömrələri bədədə əlavə kimi qəbul edilə bilər a nömrələri − b. Bərabərlik a − b = a + (− b)ədalətli hesab edilə bilər və onun əsasında fərqləri məbləğlərlə əvəz edə bilər.

Misal 13

İfadəsini götürək 4 + 3 − 2 , hansı ədədlərin fərqi 3 − 2 cəm kimi yaza bilərik 3 + (− 2) . alırıq 4 + 3 + (− 2) .

Misal 14

İfadədəki bütün fərqlər 5 + 2 x − x 2 − 3 x 3 − 0 , 2 kimi məbləğlərlə əvəz edilə bilər 5 + 2 x + (− x 2) + (− 3 x 3) + (− 0, 2).

İstənilən fərqdən məbləğlərə keçə bilərik. Eynilə, biz tərs əvəz edə bilərik.

Bölməni vurma ilə bölənin əksi ilə əvəz etmək qarşılıqlı ədədlər anlayışı sayəsində mümkün olur. Bu çevrilmə kimi yazıla bilər a: b = a (b − 1).

Bu qayda adi kəsrlərin bölünməsi qaydası üçün əsas olmuşdur.

Misal 15

Şəxsi 1 2: 3 5 formanın məhsulu ilə əvəz edilə bilər 1 2 5 3.

Eynilə, analoji olaraq, bölmə vurma ilə əvəz edilə bilər.

Misal 16

İfadə vəziyyətində 1 + 5: x: (x + 3) bölmə ilə əvəz edin x ilə vurula bilər 1 x. Bölmə x+3 vurmaqla əvəz edə bilərik 1 x + 3. Transformasiya bizə orijinal ilə eyni ifadəni əldə etməyə imkan verir: 1 + 5 · 1 x · 1 x + 3.

Bölmə ilə vurmanın dəyişdirilməsi sxemə uyğun olaraq həyata keçirilir a b = a: (b − 1).

Misal 17

5 x x 2 + 1 - 3 ifadəsində vurma 5 kimi bölmə ilə əvəz edilə bilər: x 2 + 1 x - 3.

Rəqəmlərlə işlər görmək

Rəqəmlərlə əməliyyatların yerinə yetirilməsi hərəkətlərin yerinə yetirilməsi qaydası qaydasına tabedir. Birincisi, əməliyyatlar ədədlərin səlahiyyətləri və ədədlərin kökləri ilə aparılır. Bundan sonra loqarifmləri, triqonometrik və digər funksiyaları qiymətləri ilə əvəz edirik. Sonra mötərizədə olan hərəkətlər yerinə yetirilir. Və sonra soldan sağa bütün digər hərəkətləri həyata keçirə bilərsiniz. Yadda saxlamaq lazımdır ki, vurma və bölmə toplama və çıxmadan əvvəl gəlir.

Rəqəmlərlə əməliyyatlar orijinal ifadəni ona bərabər olan eyni ifadəyə çevirməyə imkan verir.

Misal 18

Rəqəmlərlə bütün mümkün əməliyyatları yerinə yetirərək 3 · 2 3 - 1 · a + 4 · x 2 + 5 · x ifadəsini çevirək.

Həll

İlk növbədə dərəcəyə diqqət yetirək 2 3 və kök 4 və onların dəyərlərini hesablayın: 2 3 = 8 və 4 = 2 2 = 2.

Alınan dəyərləri orijinal ifadə ilə əvəz edək və əldə edək: 3 · (8 - 1) · a + 2 · (x 2 + 5 · x) .

İndi mötərizədə olan addımları yerinə yetirək: 8 − 1 = 7 . Və 3 · 7 · a + 2 · (x 2 + 5 · x) ifadəsinə keçək.

Etməli olduğumuz tək şey ədədləri çoxaltmaqdır 3 Və 7 . Alırıq: 21 · a + 2 · (x 2 + 5 · x) .

Cavab: 3 2 3 - 1 a + 4 x 2 + 5 x = 21 a + 2 (x 2 + 5 x)

Rəqəmlərlə əməliyyatlardan əvvəl nömrələrin qruplaşdırılması və ya mötərizələrin açılması kimi digər şəxsiyyət çevrilmə növləri ola bilər.

Misal 19

İfadəsini götürək 3 + 2 (6:3) x (y 3 4) − 2 + 11.

Həll

İlk öncə mötərizədə olan nisbəti əvəz edək 6: 3 mənası üzərində 2 . Alırıq: 3 + 2 2 x (y 3 4) − 2 + 11.

Mötərizələri genişləndirək: 3 + 2 2 x (y 3 4) − 2 + 11 = 3 + 2 2 x y 3 4 − 2 + 11.

Məhsuldakı ədədi amilləri, eləcə də ədəd olan terminləri qruplaşdıraq: (3 − 2 + 11) + (2 2 4) x y 3.

Mötərizədə olan addımları yerinə yetirək: (3 − 2 + 11) + (2 2 4) x y 3 = 12 + 16 x y 3

Cavab:3 + 2 (6:3) x (y 3 4) − 2 + 11 = 12 + 16 x y 3

Əgər ədədi ifadələrlə işləsək, onda işimizin məqsədi ifadənin qiymətini tapmaq olacaq. Əgər ifadələri dəyişənlərlə çevirsək, o zaman hərəkətlərimizin məqsədi ifadəni sadələşdirmək olacaq.

Ümumi faktoru mötərizədən çıxarmaq

İfadədəki terminlərin eyni faktora malik olduğu hallarda bu ümumi faktoru mötərizədə çıxara bilərik. Bunun üçün ilk növbədə ilkin ifadəni ortaq faktorun hasili və ortaq amil olmayan ilkin terminlərdən ibarət mötərizə içərisindəki ifadə kimi təqdim etməliyik.

Misal 20

Rəqəmsal olaraq 2 7 + 2 3ümumi faktoru çıxara bilərik 2 mötərizənin xaricində və formanın eyni dərəcədə düzgün ifadəsini əldə edin 2 (7 + 3).

Resursumuzun müvafiq bölməsində mötərizədə ümumi faktorun çıxarılması qaydaları haqqında yaddaşınızı təzələyə bilərsiniz. Materialda ümumi faktorun mötərizədən çıxarılması qaydalarından ətraflı bəhs edilir və çoxsaylı misallar verilir.

Oxşar terminlərin azaldılması

İndi keçək oxşar terminləri ehtiva edən cəmlərə. Burada iki seçim var: eyni şərtləri ehtiva edən məbləğlər və şərtləri ədədi əmsalla fərqlənən məbləğlər. Oxşar şərtləri ehtiva edən cəmlərlə əməliyyatlar oxşar şərtlərin azalması adlanır. Bu aşağıdakı kimi həyata keçirilir: mötərizədə ümumi hərf hissəsini çıxarırıq və mötərizədə ədədi əmsalların cəmini hesablayırıq.

Misal 21

İfadəsini nəzərdən keçirin 1 + 4 x − 2 x. Mötərizədə x hərfi hissəsini çıxarıb ifadəni ala bilərik 1 + x (4 − 2). Mötərizədə göstərilən ifadənin qiymətini hesablayaq və 1 + x · 2 formasının cəmini alaq.

Rəqəmlərin və ifadələrin eyni bərabər ifadələrlə əvəz edilməsi

Misal 22 Misal 23

İfadəsini nəzərdən keçirin 1 + 5, burada a 5 dərəcəsini ona eyni dərəcədə bərabər məhsulla əvəz edə bilərik, məsələn, forma a · a 4. Bu bizə ifadə verəcəkdir 1 + a · a 4.

Görülən transformasiya sünidir. Bu, yalnız digər dəyişikliklərə hazırlıq zamanı məna kəsb edir.

Misal 24

Məbləğin çevrilməsini nəzərdən keçirin 4 x 3 + 2 x 2. Burada termin 4 x 3əsər kimi təsəvvür edə bilərik 2 x 2 2 x. Nəticədə orijinal ifadə formasını alır 2 x 2 2 x + 2 x 2. İndi ümumi faktoru təcrid edə bilərik 2 x 2 və mötərizədən çıxarın: 2 x 2 (2 x + 1).

Eyni ədədi toplamaq və çıxmaq

Eyni ədədi və ya ifadəni eyni anda toplamaq və çıxmaq ifadələri dəyişdirmək üçün süni bir texnikadır.

Misal 25

İfadəsini nəzərdən keçirin x 2 + 2 x. Ondan birini əlavə edə və ya çıxara bilərik ki, bu da sonradan başqa bir eyni çevrilmə aparmağa - binomialın kvadratını təcrid etməyə imkan verəcəkdir: x 2 + 2 x = x 2 + 2 x + 1 − 1 = (x + 1) 2 − 1.

Mətndə xəta görsəniz, onu vurğulayın və Ctrl+Enter düymələrini basın

İki bərabərliyi nəzərdən keçirək:

1. a 12 *a 3 = a 7 *a 8

Bu bərabərlik a dəyişəninin istənilən dəyərinə uyğun olacaq. Bu bərabərlik üçün məqbul dəyərlər diapazonu bütün həqiqi ədədlər dəsti olacaqdır.

2. a 12: a 3 = a 2 *a 7 .

Bu bərabərsizlik sıfıra bərabər olandan başqa a dəyişəninin bütün qiymətləri üçün doğru olacaqdır. Bu bərabərsizlik üçün məqbul dəyərlər diapazonu sıfırdan başqa bütün həqiqi ədədlər dəsti olacaqdır.

Bu bərabərliklərin hər biri üçün a dəyişənlərinin hər hansı icazə verilən dəyərləri üçün doğru olacağı iddia edilə bilər. Riyaziyyatda belə bərabərliklər deyilir şəxsiyyətlər.

Şəxsiyyət anlayışı

Eynilik dəyişənlərin hər hansı icazə verilən dəyərləri üçün doğru olan bərabərlikdir. Dəyişənlər əvəzinə bu bərabərliyə hər hansı etibarlı dəyərləri əvəz etsəniz, düzgün ədədi bərabərlik əldə etməlisiniz.

Qeyd etmək lazımdır ki, həqiqi ədədi bərabərliklər də eynilikdir. Kimliklər, məsələn, rəqəmlər üzərində hərəkətlərin xüsusiyyətləri olacaq.

3. a + b = b + a;

4. a + (b + c) = (a + b) + c;

6. a*(b*c) = (a*b)*c;

7. a*(b + c) = a*b + a*c;

11. a*(-1) = -a.

Hər hansı icazə verilən dəyişənlər üçün iki ifadə müvafiq olaraq bərabərdirsə, belə ifadələr çağırılır eyni dərəcədə bərabərdir. Aşağıda eyni dərəcədə bərabər ifadələrin bəzi nümunələri verilmişdir:

1. (a 2) 4 və a 8 ;

2. a*b*(-a^2*b) və -a 3 *b 2 ;

3. ((x 3 *x 8)/x) və x 10.

Biz həmişə bir ifadəni birinciyə bərabər olan hər hansı digər ifadə ilə əvəz edə bilərik. Belə bir əvəz şəxsiyyət çevrilməsi olacaq.

Şəxsiyyət nümunələri

Misal 1: aşağıdakı bərabərliklər eynidir:

1. a + 5 = 5 + a;

2. a*(-b) = -a*b;

3. 3*a*3*b = 9*a*b;

Yuxarıda göstərilən ifadələrin hamısı şəxsiyyət olmayacaq. Bu bərabərliklərdən yalnız 1, 2 və 3 bərabərlik eynilikdir. Onlarda hansı ədədləri əvəz etsək də, a və b dəyişənlərinin yerinə yenə də düzgün ədədi bərabərliklər əldə edəcəyik.

Amma 4 bərabərliyi artıq bir şəxsiyyət deyil. Çünki bu bərabərlik bütün etibarlı dəyərlər üçün keçməyəcək. Məsələn, a = 5 və b = 2 dəyərləri ilə aşağıdakı nəticə əldə ediləcəkdir:

Bu bərabərlik doğru deyil, çünki 3 rəqəmi -3 rəqəminə bərabər deyil.