Eyni ifadə nədir a b. İfadələrin eyni çevrilmələri, onların növləri

Cəbri öyrənərkən çoxhədli (məsələn ($y-x$,$\ 2x^2-2x$ və s.)) və cəbri kəsr (məsələn, $\frac(x+5)(x)$) anlayışlarına rast gəldik. , $\frac(2x ^2)(2x^2-2x)$,$\ \frac(x-y)(y-x)$ və s.) Bu anlayışların oxşarlığı ondan ibarətdir ki, həm çoxhədlilər, həm də cəbri kəsrlər dəyişənləri və ədədi dəyərləri ehtiva edir. və razıdırlar. arifmetik əməliyyatlar: toplama, çıxma, vurma, eksponentasiya. Bu anlayışlar arasındakı fərq ondan ibarətdir ki, çoxhədlilərdə dəyişənə bölmə aparılmır, cəbri kəsrlərdə isə dəyişənə bölünmə həyata keçirilə bilər.

Həm çoxhədlilər, həm də cəbri kəsrlər riyaziyyatda rasional cəbri ifadələr adlanır. Lakin çoxhədlilər tam rasional ifadələr və cəbri kəsrlərdir fraksiya-rasional ifadələri.

Şəxsiyyət çevrilməsindən istifadə edərək kəsr-rasional ifadədən bütöv bir cəbri ifadə əldə etmək mümkündür, bu halda kəsrin əsas xüsusiyyəti olacaq - kəsrlərin azalması. Bunu praktikada yoxlayaq:

Misal 1

Çevirin:$\ \frac(x^2-4x+4)(x-2)$

Həll:Çevirmək verilmişdir kəsr rasional tənlik reduksiya fraksiyasının əsas xassəsindən istifadə etməklə mümkündür, yəni. payın və məxrəcin $0$-dan başqa eyni ədədə və ya ifadəyə bölünməsi.

Bu kəsr dərhal azaldıla bilməz;

Kesrin payındakı ifadəni çevirək, bunun üçün fərqin kvadratı üçün düsturdan istifadə edirik: $a^2-2ab+b^2=((a-b))^2$

Fraksiya bənzəyir

\[\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(((x-2))^2)( x-2)=\frac(\sol(x-2\sağ)(x-2))(x-2)\]

İndi görürük ki, say və məxrəcdə var ümumi çarpan--bu $x-2$ ifadəsidir, onun vasitəsilə kəsri azaldacağıq

\[\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(((x-2))^2)( x-2)=\frac(\sol(x-2\sağ)(x-2))(x-2)=x-2\]

Reduksiyadan sonra biz $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ orijinal kəsr rasional ifadəsinin $x-2$ polinomuna çevrildiyini gördük, yəni. tam rasional.

İndi $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ və $x-2\ $ ifadələrinin dəyişənin bütün qiymətləri üçün deyil, eyni hesab edilə biləcəyinə diqqət yetirək, çünki Kəsrin rasional ifadəsinin mövcud olması və $x-2$ polinomu ilə azalda bilməsi üçün kəsrin məxrəci $0$-a (həmçinin kiçilddiyimiz amil. In) bərabər olmamalıdır. bu misalda məxrəc və çarpan eynidir, lakin bu həmişə belə olmur).

Cəbri kəsrin mövcud olacağı dəyişənin qiymətlərinə dəyişənin icazə verilən dəyərləri deyilir.

Kəsrin məxrəcinə şərt qoyaq: $x-2≠0$, sonra $x≠2$.

Bu o deməkdir ki, $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ və $x-2$ ifadələri $2$ istisna olmaqla dəyişənin bütün qiymətləri üçün eynidir.

Tərif 1

Eyni şəkildə bərabərdir ifadələr dəyişənin bütün etibarlı dəyərləri üçün bərabər olanlardır.

Eyni çevrilmə, orijinal ifadənin eyni dərəcədə bərabər olan hər hansı bir dəyişdirilməsidir. cəbri kəsrlər ortaq məxrəcə, cəbri kəsrlərin kiçilməsi, oxşar terminlərin kiçilməsi və s. Nəzərə almaq lazımdır ki, oxşar şərtlərin azaldılması, azaldılması kimi bir sıra çevrilmələr dəyişənin icazə verilən dəyərlərini dəyişə bilər.

Şəxsiyyətləri sübut etmək üçün istifadə edilən üsullar

Aparıcı sol tərəfşəxsiyyət çevrilmələrindən istifadə edərək şəxsiyyətləri sağa və ya əksinə

Eyni çevrilmələrdən istifadə edərək hər iki tərəfi eyni ifadəyə endirin

İfadənin bir hissəsindəki ifadələri digərinə köçürün və nəticədə yaranan fərqin $0$-a bərabər olduğunu sübut edin

Verilmiş şəxsiyyəti sübut etmək üçün yuxarıda göstərilən üsullardan hansının istifadə edilməsi orijinal şəxsiyyətdən asılıdır.

Misal 2

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=a^2+b^2+c^2$ şəxsiyyətini sübut edin

Həll: Bu eyniliyi sübut etmək üçün yuxarıda göstərilən üsullardan birincisindən istifadə edəcəyik, yəni şəxsiyyətin sol tərəfini sağa bərabər olana qədər çevirəcəyik.

Eyniliyin sol tərəfini nəzərdən keçirək: $\ ((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)$ - iki çoxhədlinin fərqini təmsil edir. Bu halda, birinci çoxhədli üç üzvün cəminin kvadratıdır.

\[((a+b+c))^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\]

Bunu etmək üçün bir ədədi çoxhədli ilə vurmalıyıq.

$2(ab+ac+bc)=2ab+2ac+2bc$

İndi orijinal çoxhədliyə qayıdaq, o, formanı alacaq:

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)$

Nəzərə alın ki, mötərizədən əvvəl “-” işarəsi var, bu o deməkdir ki, mötərizələr açıldıqda mötərizədə olan bütün işarələr əksinə dəyişir.

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= a ^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc$

Oxşar şərtləri təqdim edək, onda əldə edirik ki, $2ab$, $2ac$,$\ 2bc$ və $-2ab$,$-2ac$, $-2bc$ monomialları bir-birini ləğv edir, yəni. onların məbləği $0$ təşkil edir.

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= a ^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc=a^2+b^2+c^2$

Bu o deməkdir ki, eyni transformasiyalar əldə etdik eyni ifadə orijinal şəxsiyyətin sol tərəfində

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2$

Nəzərə alın ki, ortaya çıxan ifadə orijinal şəxsiyyətin doğru olduğunu göstərir.

Nəzərə alın ki, orijinal şəxsiyyətdə dəyişənin bütün dəyərlərinə icazə verilir, yəni biz şəxsiyyət çevrilmələrindən istifadə edərək şəxsiyyəti sübut etdik və bu, dəyişənin bütün mümkün dəyərləri üçün doğrudur.

Bu məqalə bir başlanğıc nöqtəsi verir şəxsiyyətlər haqqında fikir. Burada şəxsiyyəti müəyyənləşdirəcəyik, istifadə olunan qeydləri təqdim edəcəyik və əlbəttə ki, verəcəyik müxtəlif nümunələrşəxsiyyətlər

Səhifə naviqasiyası.

şəxsiyyət nədir?

Materialı təqdim etməyə başlamaq məntiqlidir şəxsiyyət tərifləri. Makarychev Yu.-nin 7-ci sinif üçün cəbr dərsliyində şəxsiyyətin tərifi aşağıdakı kimi verilir:

Tərif.

Şəxsiyyət– bu dəyişənlərin istənilən dəyəri üçün doğru olan bərabərlikdir; istənilən həqiqi ədədi bərabərlik də eynilikdir.

Eyni zamanda, müəllif dərhal şərt qoyur ki, gələcəkdə bu tərif dəqiqləşdiriləcək. Bu aydınlaşdırma 8-ci sinifdə, təriflə tanış olduqdan sonra baş verir məqbul dəyərlər dəyişənlər və ODZ. Tərif belə olur:

Tərif.

Şəxsiyyətlər- bunlar həqiqi ədədi bərabərliklər, eləcə də onlara daxil olan dəyişənlərin bütün icazə verilən dəyərləri üçün doğru olan bərabərliklərdir.

Bəs niyə şəxsiyyəti təyin edərkən 7-ci sinifdə dəyişənlərin hər hansı dəyərlərindən danışırıq və 8-ci sinifdə dəyişənlərin DL-dən qiymətləri haqqında danışmağa başlayırıq? 8-ci sinfə qədər iş yalnız bütöv ifadələrlə (xüsusən də monomiyallar və çoxhədlilərlə) aparılır və onlara daxil olan dəyişənlərin istənilən dəyəri üçün məna kəsb edir. Buna görə də biz 7-ci sinifdə deyirik ki, eynilik dəyişənlərin istənilən dəyəri üçün doğru olan bərabərlikdir. Və 8-ci sinifdə ifadələr görünür ki, artıq dəyişənlərin bütün dəyərləri üçün deyil, yalnız onların ODZ-dən olan dəyərlər üçün məna kəsb etmir. Buna görə də, dəyişənlərin bütün icazə verilən dəyərləri üçün doğru olan bərabərlikləri çağırmağa başlayırıq.

Şəxsiyyət belədir xüsusi hal bərabərlik. Yəni istənilən kimlik bərabərlikdir. Ancaq hər bərabərlik eynilik deyil, yalnız dəyişənlərin icazə verilən dəyərlər diapazonundan hər hansı bir dəyəri üçün doğru olan bərabərlikdir.

Şəxsiyyət işarəsi

Məlumdur ki, bərabərliklərin yazılmasında solunda və sağında bəzi rəqəmlər və ya ifadələr olan “=” formasının bərabər işarəsindən istifadə olunur. Bu işarəyə başqa bir üfüqi xətt əlavə etsək, alarıq şəxsiyyət işarəsi“≡” və ya belə adlanır bərabər işarədir.

Şəxsiyyət əlaməti adətən yalnız bərabərlik deyil, eynilik ilə üzləşdiyimizi xüsusilə vurğulamaq lazım olduqda istifadə olunur. Digər hallarda şəxsiyyət qeydləri xarici görünüşcə bərabərliklərdən fərqlənmir.

Şəxsiyyət nümunələri

gətirmək vaxtıdır şəxsiyyət nümunələri. Birinci paraqrafda verilən şəxsiyyət tərifi bu işdə bizə kömək edəcəkdir.

2=2 ədədi bərabərliklər eynilik nümunələridir, çünki bu bərabərliklər doğrudur və istənilən həqiqi ədədi bərabərlik tərifinə görə eynilikdir. Onlar 2≡2 və kimi yazıla bilər.

2+3=5 və 7−1=2·3 formalı ədədi bərabərliklər də eynilikdir, çünki bu bərabərliklər doğrudur. Yəni 2+3≡5 və 7−1≡2·3.

Təkcə rəqəmləri deyil, həm də dəyişənləri ehtiva edən eynilik nümunələrinə keçək.

3·(x+1)=3·x+3 bərabərliyini nəzərə alın. Dəyişən x-in hər hansı qiyməti üçün əlavəyə nisbətən vurmanın paylayıcı xassəsinə görə yazılı bərabərlik doğrudur, ona görə də ilkin bərabərlik eynilik nümunəsidir. Budur başqa bir şəxsiyyət nümunəsi: y·(x−1)≡(x−1)·x:x·y 2:y, burada x və y dəyişənlərinin icazə verilən dəyərlərinin diapazonu bütün cütlərdən (x, y) ibarətdir, burada x və y sıfırdan başqa istənilən ədəddir.

Lakin x+1=x−1 və a+2·b=b+2·a bərabərlikləri eynilik deyil, çünki dəyişənlərin qiymətləri var ki, onlar üçün bu bərabərliklər doğru olmayacaq. Məsələn, x=2 olduqda x+1=x−1 bərabərliyi yanlış 2+1=2−1 bərabərliyinə çevrilir. Üstəlik, x dəyişəninin heç bir dəyəri üçün x+1=x−1 bərabərliyi ümumiyyətlə əldə edilmir. Və a+2·b=b+2·a bərabərliyi hər hansı birini götürsək yanlış bərabərliyə çevriləcək. müxtəlif mənalar a və b dəyişənləri. Məsələn, a=0 və b=1 ilə səhv 0+2·1=1+2·0 bərabərliyinə çatacağıq. Bərabərlik |x|=x, burada |x| - x dəyişəni də eynilik deyil, çünki x-in mənfi qiymətləri üçün doğru deyil.

Ən məşhur eyniliklərə misal olaraq sin 2 α+cos 2 α=1 və a log a b =b formasını göstərmək olar.

Bu məqalənin sonunda qeyd etmək istərdim ki, riyaziyyatı öyrənərkən biz daim şəxsiyyətlərlə qarşılaşırıq. Rəqəmlərlə hərəkətlərin xassələrinin qeydləri eyniliklərdir, məsələn, a+b=b+a, 1·a=a, 0·a=0 və a+(−a)=0. Şəxsiyyətlər də var

Orijinal ifadəni təşkil edən rəqəmlər və ifadələr eyni dərəcədə bərabər ifadələrlə əvəz edilə bilər. Orijinal ifadənin belə çevrilməsi ona eyni dərəcədə bərabər olan ifadəyə gətirib çıxarır.

Məsələn, 3+x ifadəsində 3 rəqəmini 1+2 cəmi ilə əvəz etmək olar, nəticədə ilkin ifadəyə eyni şəkildə bərabər olan (1+2)+x ifadəsi yaranacaq. Başqa bir misal: 1+a 5 ifadəsində a 5 gücünü eyni bərabər məhsulla, məsələn, a·a 4 formalı ilə əvəz etmək olar. Bu bizə 1+a·a 4 ifadəsini verəcəkdir.

Bu transformasiya, şübhəsiz ki, sünidir və adətən, bəzi sonrakı transformasiyalara hazırlıqdır. Məsələn, 4 x 3 +2 x 2 cəmində dərəcənin xüsusiyyətləri nəzərə alınmaqla, 4 x 3 termini 2 x 2 2 x hasilatı kimi təqdim edilə bilər. Bu çevrilmədən sonra orijinal ifadə 2 x 2 2 x+2 x 2 şəklini alacaq. Aydındır ki, yaranan cəmdəki şərtlər 2 x 2 ümumi əmsala malikdir, ona görə də aşağıdakı çevrilməni yerinə yetirə bilərik - mötərizə. Ondan sonra ifadəyə gəlirik: 2 x 2 (2 x+1) .

Eyni ədədi toplamaq və çıxmaq

İfadənin başqa bir süni çevrilməsi eyni ədədin və ya ifadənin toplanması və eyni vaxtda çıxılmasıdır. Bu transformasiya eynidir, çünki o, mahiyyətcə sıfırın əlavə edilməsinə bərabərdir və sıfırın əlavə edilməsi dəyəri dəyişmir.

Bir nümunəyə baxaq. x 2 +2·x ifadəsini götürək. Əgər ona bir əlavə edib birini çıxarsanız, bu, gələcəkdə başqa bir eyni çevrilmə həyata keçirməyə imkan verəcək - binomialın kvadratı: x 2 +2 x=x 2 +2 x+1−1=(x+1) 2 −1.

Biblioqrafiya.

Cəbr: dərs kitabı 7-ci sinif üçün. ümumi təhsil qurumlar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; tərəfindən redaktə edilmiş S. A. Telyakovski. - 17-ci nəşr. - M.: Təhsil, 2008. - 240 s. : xəstə. - ISBN 978-5-09-019315-3.
Cəbr: dərs kitabı 8-ci sinif üçün. ümumi təhsil qurumlar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; tərəfindən redaktə edilmiş S. A. Telyakovski. - 16-cı nəşr. - M.: Təhsil, 2008. - 271 s. : xəstə. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Mordkoviç A.G. Cəbr. 7-ci sinif. Saat 14:00-da 1-ci hissə. Tələbələr üçün dərslik təhsil müəssisələri/ A. G. Mordkoviç. - 17-ci nəşr, əlavə edin. - M.: Mnemosyne, 2013. - 175 s.: xəstə. ISBN 978-5-346-02432-3.

Şəxsiyyətlər anlayışı ilə məşğul olduqdan sonra eyni dərəcədə bərabər ifadələrin öyrənilməsinə keçə bilərik. Bu məqalənin məqsədi bunun nə olduğunu izah etmək və hansı ifadələrin digərləri ilə eyni dərəcədə bərabər olacağını nümunələrlə göstərməkdir.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Eyni şəkildə bərabər ifadələr: tərif

Eyni şəkildə bərabər ifadələr anlayışı, adətən, eynilik anlayışının özü ilə birlikdə bir çərçivə daxilində öyrənilir. məktəb kursu cəbr. Bir dərslikdən götürülmüş əsas tərif budur:

Tərif 1

Eyni şəkildə bərabərdir bir-birinin tərkibinə daxil olan dəyişənlərin hər hansı mümkün dəyərləri üçün dəyərləri eyni olacaq belə ifadələr olacaq.

Həmçinin, eyni dəyərlərin uyğun olacağı ədədi ifadələr eyni şəkildə bərabər hesab olunur.

Bu, dəyişənlərin dəyərləri dəyişdikdə mənası dəyişməyən bütün tam ifadələr üçün doğru olacaq kifayət qədər geniş bir tərifdir. Lakin sonradan bu tərifi aydınlaşdırmaq zərurəti yaranır, çünki tam ədədlərə əlavə olaraq müəyyən dəyişənlərlə məna kəsb etməyəcək başqa növ ifadələr də mövcuddur. Bu, müəyyən dəyişən dəyərlərin yolverilməzliyi və yolverilməzliyi anlayışını, habelə icazə verilən dəyərlərin diapazonunu müəyyən etmək ehtiyacını doğurur. Gəlin dəqiq bir tərif tərtib edək.

Tərif 2

Eyni şəkildə bərabər ifadələr- bunlar tərkibinə daxil olan dəyişənlərin hər hansı icazə verilən dəyərləri üçün dəyərləri bir-birinə bərabər olan ifadələrdir. Dəyərlərin eyni olması şərti ilə ədədi ifadələr eyni şəkildə bir-birinə bərabər olacaqdır.

"Dəyişənlərin hər hansı etibarlı dəyərləri üçün" ifadəsi hər iki ifadənin mənalı olacağı dəyişənlərin bütün dəyərlərini göstərir. Bu məqamı daha sonra eyni dərəcədə bərabər ifadələrə nümunələr verdikdə izah edəcəyik.

Siz həmçinin aşağıdakı tərifi verə bilərsiniz:

Tərif 3

Eyni bərabər ifadələr sol və sağ tərəflərdə eyni eynilikdə yerləşən ifadələrdir.

Eyni şəkildə bir-birinə bərabər olan ifadələrin nümunələri

Yuxarıda verilmiş təriflərdən istifadə edərək, belə ifadələrin bir neçə nümunəsinə baxaq.

Rəqəmli ifadələrlə başlayaq.

Misal 1

Beləliklə, 2 + 4 və 4 + 2 eyni şəkildə bir-birinə bərabər olacaqdır, çünki onların nəticələri bərabər olacaqdır (6 və 6).

Misal 2

Eyni şəkildə, 3 və 30 ifadələri eyni şəkildə bərabərdir: 10, (2 2) 3 və 2 6 (son ifadənin dəyərini hesablamaq üçün dərəcənin xüsusiyyətlərini bilmək lazımdır).

Misal 3

Lakin 4 - 2 və 9 - 1 ifadələri bərabər olmayacaq, çünki onların dəyərləri fərqlidir.

Hərfi ifadələrin nümunələrinə keçək. a + b və b + a eyni dərəcədə bərabər olacaq və bu dəyişənlərin dəyərlərindən asılı deyil (bu halda ifadələrin bərabərliyi əlavənin kommutativ xüsusiyyəti ilə müəyyən edilir).

Misal 4

Məsələn, a 4-ə, b isə 5-ə bərabərdirsə, nəticələr yenə də eyni olacaq.

Hərflərlə eyni dərəcədə bərabər ifadələrə başqa bir misal 0 · x · y · z və 0-dır. Bu vəziyyətdə dəyişənlərin dəyərləri nə olursa olsun, 0-a vurulduqda 0 verəcəklər. Qeyri-bərabər ifadələr 6 · x və 8 · x-dir, çünki heç bir x üçün bərabər olmayacaqlar.

Dəyişənlərin icazə verilən dəyər sahələrinin üst-üstə düşməsi halında, məsələn, a + 6 və 6 + a və ya a · b · 0 və 0 və ya x 4 və x ifadələrində və dəyərləri ifadələrin özləri istənilən dəyişənlər üçün bərabərdir, onda belə ifadələr eyni şəkildə bərabər hesab olunur. Beləliklə, a-nın istənilən qiyməti üçün a + 8 = 8 + a və a · b · 0 = 0 da olur, çünki istənilən ədədi 0-a vurmaq 0 ilə nəticələnir. x 4 və x ifadələri [ 0 , + ∞) intervalından istənilən x üçün eyni şəkildə bərabər olacaqdır.

Ancaq bir ifadədəki etibarlı dəyərlər diapazonu digərinin diapazonundan fərqli ola bilər.

Misal 5

Məsələn, iki ifadə götürək: x − 1 və x - 1 · x x. Onlardan birincisi üçün x-in icazə verilən dəyərlərinin diapazonu bütün həqiqi ədədlər dəsti, ikincisi üçün isə sıfır istisna olmaqla bütün real ədədlər dəsti olacaq, çünki onda biz 0-ı alacağıq. məxrəcdir və belə bölgü müəyyən edilmir. Bu iki ifadə iki ayrı diapazonun kəsişməsindən əmələ gələn ümumi dəyərlər diapazonuna malikdir. Belə nəticəyə gələ bilərik ki, x - 1 · x x və x - 1 ifadələrinin hər ikisi, 0 istisna olmaqla, dəyişənlərin istənilən real dəyərləri üçün məna kəsb edəcək.

Kəsrin əsas xassəsi həmçinin belə nəticəyə gəlməyə imkan verir ki, x - 1 · x x və x − 1 0 olmayan istənilən x üçün bərabər olacaqdır. Beləliklə, davam ümumi sahə icazə verilən dəyərlər, bu ifadələr eyni şəkildə bir-birinə bərabər olacaq və hər hansı bir real x üçün eyni bərabərlikdən danışmaq mümkün deyil.

Bir ifadəni ona eyni dərəcədə bərabər olan digəri ilə əvəz etsək, bu proses eyniliyin çevrilməsi adlanır. Bu konsepsiya çox vacibdir və biz bu barədə ayrı bir materialda ətraflı danışacağıq.

Mətndə xəta görsəniz, onu vurğulayın və Ctrl+Enter düymələrini basın

Şəxsiyyət çevrilmələriədədi və hərfi ifadələrlə, həmçinin dəyişənləri olan ifadələrlə gördüyümüz işi təmsil edir. Orijinal ifadəni problemin həlli üçün əlverişli bir formaya gətirmək üçün bütün bu çevrilmələri həyata keçiririk. Bu mövzuda şəxsiyyət çevrilmələrinin əsas növlərini nəzərdən keçirəcəyik.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Bir ifadənin eyni çevrilməsi. Bu nədir?

Eyni transformasiya anlayışı ilə ilk dəfə 7-ci sinifdə cəbr dərslərində rastlaşdıq. Məhz o zaman biz eyni dərəcədə bərabər ifadələr anlayışı ilə ilk dəfə tanış olduq. Mövzunu daha asan başa düşmək üçün anlayışları və tərifləri anlayaq.

Tərif 1

Eyni ifadənin çevrilməsi– bunlar orijinal ifadəni orijinal ifadə ilə eyni dərəcədə bərabər olacaq ifadə ilə əvəz etmək məqsədi ilə həyata keçirilən hərəkətlərdir.

Tez-tez bu tərif qısaldılmış formada istifadə olunur, burada "eyni" sözü buraxılır. Ehtimal olunur ki, istənilən halda biz ifadəni elə çeviririk ki, ilkin ifadə ilə eynilik əldə edək və bunu ayrıca vurğulamağa ehtiyac yoxdur.

Gəlin təsvir edək bu tərif misallar.

Misal 1

ifadəni əvəz etsək x + 3 − 2 eyni dərəcədə bərabər ifadəyə x+1, onda biz ifadənin eyni çevrilməsini həyata keçirəcəyik x + 3 − 2.

Misal 2

2 a 6 ifadəsinin ifadəsi ilə əvəz edilməsi a 3 ifadəni əvəz edərkən şəxsiyyət çevrilməsidir x ifadəsinə x 2 ifadələri olduğu üçün şəxsiyyət çevrilməsi deyil x Və x 2 eyni dərəcədə bərabər deyillər.

Eyni çevrilmələr apararkən diqqətinizi ifadələrin yazılış formasına cəlb edirik. Adətən orijinalı və nəticədə ifadəni bərabərlik kimi yazırıq. Beləliklə, x + 1 + 2 = x + 3 yazmaq x + 1 + 2 ifadəsinin x + 3 formasına endirilməsi deməkdir.

Hərəkətlərin ardıcıl icrası bizi bir cərgədə yerləşən bir neçə eyni çevrilməni təmsil edən bərabərliklər zəncirinə aparır. Beləliklə, biz x + 1 + 2 = x + 3 = 3 + x girişini iki çevrilmənin ardıcıl həyata keçirilməsi kimi başa düşürük: birincisi, x + 1 + 2 ifadəsi x + 3 formasına gətirildi və o, formaya gətirildi. forma 3 + x.

Eyni çevrilmələr və ODZ

8-ci sinifdə öyrənməyə başladığımız bir sıra ifadələr dəyişənlərin bütün dəyərləri üçün məna kəsb etmir. Bu hallarda eyni çevrilmələrin aparılması bizdən dəyişənlərin icazə verilən dəyərlərinin diapazonuna (APV) diqqət yetirməyi tələb edir. Eyni çevrilmələrin yerinə yetirilməsi ODZ-ni dəyişməz və ya daralda bilər.

Misal 3

İfadədən keçid həyata keçirərkən a + (− b) ifadəsinə a - b icazə verilən dəyişən dəyərlər diapazonu a Və b eyni olaraq qalır.

Misal 4

x ifadəsindən ifadəyə keçid x 2 x x dəyişəninin icazə verilən dəyərlərinin diapazonunun bütün həqiqi ədədlər dəstindən sıfırın çıxarıldığı bütün həqiqi ədədlər dəstinə qədər daralmasına gətirib çıxarır.

Misal 5

Eyni ifadənin çevrilməsi x 2 x x ifadəsi x dəyişəninin icazə verilən dəyərlərinin diapazonunun sıfırdan başqa bütün həqiqi ədədlər dəstindən bütün həqiqi ədədlər dəstinə qədər genişlənməsinə gətirib çıxarır.

Şəxsiyyət çevrilmələrini həyata keçirərkən dəyişənlərin icazə verilən dəyərlərinin diapazonunu daraltmaq və ya genişləndirmək problemlərin həlli zamanı vacibdir, çünki bu, hesablamaların düzgünlüyünə təsir edə bilər və səhvlərə səbəb ola bilər.

Əsas şəxsiyyət çevrilmələri

İndi şəxsiyyət çevrilmələrinin nə olduğunu və necə həyata keçirildiyini görək. Ən çox qarşılaşdığımız şəxsiyyət çevrilmələrinin növlərini əsaslar qrupuna ayıraq.

Əsas şəxsiyyət çevrilmələrinə əlavə olaraq, müəyyən bir növ ifadələrə aid olan bir sıra transformasiyalar var. Kəsrlər üçün bunlar azaltmaq və yeni məxrəcə gətirmək üsullarıdır. Kökləri və gücləri olan ifadələr üçün, kök və güclərin xüsusiyyətlərinə əsasən yerinə yetirilən bütün hərəkətlər. Loqarifmik ifadələr üçün loqarifmlərin xassələri əsasında həyata keçirilən hərəkətlər. Triqonometrik ifadələr üçün triqonometrik düsturlardan istifadə edilən bütün əməliyyatlar. Bütün bu xüsusi çevrilmələr resursumuzda tapıla bilən ayrı-ayrı mövzularda ətraflı müzakirə olunur. Bu baxımdan bu yazıda onların üzərində dayanmayacağıq.

Əsas şəxsiyyət çevrilmələrini nəzərdən keçirməyə davam edək.

Şərtlərin və amillərin yenidən təşkili

Şərtləri yenidən təşkil etməklə başlayaq. Biz ən çox bu eyni transformasiya ilə məşğul oluruq. Və burada əsas qayda aşağıdakı ifadə hesab edilə bilər: hər hansı bir məbləğdə, şərtlərin yenidən qurulması nəticəyə təsir göstərmir.

Bu qayda toplamanın kommutativ və assosiativ xassələrinə əsaslanır. Bu xassələr bizə şərtləri yenidən tənzimləməyə və orijinallara eyni dərəcədə bərabər olan ifadələr əldə etməyə imkan verir. Məhz buna görə də cəmdə terminlərin yenidən təşkili şəxsiyyət çevrilməsidir.

Misal 6

Bizdə 3 + 5 + 7 olan üç terminin cəmi var. 3 və 5 şərtlərini dəyişdirsək, ifadə 5 + 3 + 7 formasını alacaq. Bu vəziyyətdə şərtləri dəyişdirmək üçün bir neçə variant var. Hamısı orijinala bərabər olan ifadələrə gətirib çıxarır.

Yalnız rəqəmlər deyil, ifadələr də cəmində termin kimi çıxış edə bilər. Onlar, ədədlər kimi, hesablamaların yekun nəticəsinə təsir etmədən yenidən təşkil edilə bilər.

Misal 7

1 a + b + a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 + ( - 12) formasının üç həddi 1 a + b, a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 və - 12 a cəmidir. ) · şərtləri yenidən təşkil etmək olar, məsələn, belə (- 12) · a + 1 a + b + a 2 + 2 · a + 5 + a 7 · a 3 . Öz növbəsində, 1 a + b kəsrinin məxrəcindəki şərtləri yenidən təşkil edə bilərsiniz və kəsr 1 b + a formasını alacaq. Və kök işarəsi altındakı ifadə a 2 + 2 a + 5 həm də şərtlərin dəyişdirilə biləcəyi bir məbləğdir.

Şərtlər kimi, orijinal ifadələrdəki faktorları dəyişdirə və eyni dərəcədə düzgün tənliklər əldə edə bilərsiniz. Bu hərəkət aşağıdakı qayda ilə tənzimlənir:

Tərif 2

Məhsulda faktorların yenidən təşkili hesablamaların nəticələrinə təsir göstərmir.

Bu qayda eyni çevrilmənin düzgünlüyünü təsdiq edən vurmanın kommutativ və assosiativ xassələrinə əsaslanır.

Misal 8

iş 3 5 7 amilləri yenidən təşkil etməklə birində təmsil oluna bilər aşağıdakı növlər: 5 3 7, 5 7 3, 7 3 5, 7 5 3 və ya 3 7 5.

Misal 9

x + 1 x 2 - x + 1 x hasilindəki amilləri yenidən təşkil etmək x 2 - x + 1 x x + 1 verir.

Mötərizələrin genişləndirilməsi

Mötərizədə ədədi və dəyişən ifadələr ola bilər. Bu ifadələr eyni dərəcədə bərabər ifadələrə çevrilə bilər, burada heç bir mötərizə olmayacaq və ya orijinal ifadələrdən daha az olacaq. İfadələrin dəyişdirilməsinin bu üsulu mötərizə genişlənməsi adlanır.

Misal 10

Formanın ifadəsində mötərizələrlə əməliyyatlar aparaq 3 + x − 1 x eyni düzgün ifadəni əldə etmək üçün 3 + x − 1 x.

3 x - 1 + - 1 + x 1 - x ifadəsi mötərizədə 3 x - 3 - 1 + x 1 - x olmadan eyni bərabər ifadəyə çevrilə bilər.

Resursumuzda yerləşdirilən "Mötərizələrin genişləndirilməsi" mövzusunda ifadələrin mötərizələrlə çevrilməsi qaydalarını ətraflı müzakirə etdik.

Terminlərin, amillərin qruplaşdırılması

Üç ilə məşğul olduğumuz hallarda və böyük məbləğ terminlərin qruplaşdırılması kimi bu tip şəxsiyyət çevrilmələrinə müraciət edə bilərik. Bu çevrilmə üsulu bir neçə terminin yenidən düzülməsi və mötərizəyə salınması yolu ilə qrup şəklində birləşdirilməsi deməkdir.

Qruplaşdırarkən terminlər dəyişdirilir ki, qruplaşdırılmış terminlər ifadə qeydində yan-yana olsun. Ondan sonra onlar mötərizələrə daxil edilə bilər.

Misal 11

İfadəsini götürək 5 + 7 + 1 . Birinci termini üçüncü ilə qruplaşdırsaq, alarıq (5 + 1) + 7 .

Faktorların qruplaşdırılması terminlərin qruplaşdırılmasına bənzər şəkildə həyata keçirilir.

Misal 12

İşdə 2 3 4 5 birinci amili üçüncü ilə, ikincini isə dördüncü ilə qruplaşdıra bilərik və ifadəyə çatırıq (2 4) (3 5). Əgər birinci, ikinci və dördüncü amilləri qruplaşdırsaq, ifadəni alardıq (2 3 5) 4.

Qruplaşdırılan şərtlər və amillər kimi təmsil oluna bilər sadə ədədlər, və ifadələr. Qruplaşdırma qaydaları “Qruplaşdırma əlavələri və amilləri” mövzusunda ətraflı müzakirə edilmişdir.

Fərqlərin məbləğlərlə, qismən məhsullarla və əksinə əvəz edilməsi

Fərqləri cəmlərlə əvəz etmək əks ədədlərlə tanışlığımız sayəsində mümkün oldu. İndi nömrədən çıxılır a nömrələri bədədə əlavə kimi qəbul edilə bilər a nömrələri − b. Bərabərlik a − b = a + (− b)ədalətli hesab oluna və onun əsasında fərqləri məbləğlərlə əvəz edə bilər.

Misal 13

İfadəsini götürək 4 + 3 − 2 , hansı ədədlərin fərqi 3 − 2 cəm kimi yaza bilərik 3 + (− 2) . alırıq 4 + 3 + (− 2) .

Misal 14

İfadədəki bütün fərqlər 5 + 2 x − x 2 − 3 x 3 − 0 , 2 kimi məbləğlərlə əvəz edilə bilər 5 + 2 x + (− x 2) + (− 3 x 3) + (− 0, 2).

İstənilən fərqdən məbləğlərə keçə bilərik. Eyni şəkildə tərs əvəzetmə edə bilərik.

Bölməni vurma ilə əvəz edənin əksi ilə əvəz etmək qarşılıqlı ədədlər anlayışı sayəsində mümkün olur. Bu çevrilmə kimi yazıla bilər a: b = a (b − 1).

Bu qayda adi kəsrlərin bölünməsi qaydası üçün əsas olmuşdur.

Misal 15

Şəxsi 1 2: 3 5 formanın məhsulu ilə əvəz edilə bilər 1 2 5 3.

Eynilə, analoji olaraq, bölmə vurma ilə əvəz edilə bilər.

Misal 16

İfadə vəziyyətində 1 + 5: x: (x + 3) bölmə ilə əvəz edin x ilə vurula bilər 1 x. Bölmə x+3 vurmaqla əvəz edə bilərik 1 x + 3. Transformasiya bizə orijinal ilə eyni ifadəni əldə etməyə imkan verir: 1 + 5 · 1 x · 1 x + 3.

Bölmə ilə vurmanın dəyişdirilməsi sxemə uyğun olaraq həyata keçirilir a · b = a: (b − 1).

Misal 17

5 x x 2 + 1 - 3 ifadəsində vurma 5: x 2 + 1 x - 3 kimi bölmə ilə əvəz edilə bilər.

Rəqəmlərlə işlər görmək

Rəqəmlərlə əməliyyatların yerinə yetirilməsi hərəkətlərin yerinə yetirilməsi qaydası qaydasına tabedir. Birincisi, əməliyyatlar ədədlərin səlahiyyətləri və ədədlərin kökləri ilə aparılır. Bundan sonra loqarifmləri, triqonometrik və digər funksiyaları onların qiymətləri ilə əvəz edirik. Sonra mötərizədə olan hərəkətlər yerinə yetirilir. Və sonra soldan sağa bütün digər hərəkətləri həyata keçirə bilərsiniz. Yadda saxlamaq lazımdır ki, vurma və bölmə toplama və çıxmadan əvvəl gəlir.

Rəqəmlərlə əməliyyatlar orijinal ifadəni ona bərabər olan eyni ifadəyə çevirməyə imkan verir.

Misal 18

Hamısını tamamlayaraq 3 · 2 3 - 1 · a + 4 · x 2 + 5 · x ifadəsini çevirək. mümkün tədbirlər rəqəmlərlə.

Həll

İlk növbədə dərəcəyə diqqət yetirək 2 3 və kök 4 və onların dəyərlərini hesablayın: 2 3 = 8 və 4 = 2 2 = 2.

Alınan dəyərləri orijinal ifadə ilə əvəz edək və əldə edək: 3 · (8 - 1) · a + 2 · (x 2 + 5 · x) .

İndi mötərizədə olan addımları yerinə yetirək: 8 − 1 = 7 . Və 3 · 7 · a + 2 · (x 2 + 5 · x) ifadəsinə keçək.

Etməli olduğumuz tək şey ədədləri çoxaltmaqdır 3 Və 7 . Alırıq: 21 · a + 2 · (x 2 + 5 · x) .

Cavab: 3 2 3 - 1 a + 4 x 2 + 5 x = 21 a + 2 (x 2 + 5 x)

Rəqəmlərlə əməliyyatlardan əvvəl nömrələrin qruplaşdırılması və ya mötərizələrin açılması kimi digər şəxsiyyət çevrilmə növləri ola bilər.

Misal 19

İfadəsini götürək 3 + 2 (6:3) x (y 3 4) − 2 + 11.

Həll

Əvvəla, mötərizədə olan nisbəti əvəz edəcəyik 6: 3 mənası üzərində 2 . Alırıq: 3 + 2 2 x (y 3 4) − 2 + 11.

Mötərizələri genişləndirək: 3 + 2 2 x (y 3 4) − 2 + 11 = 3 + 2 2 x y 3 4 − 2 + 11.

Məhsuldakı ədədi amilləri, eləcə də rəqəmlər olan terminləri qruplaşdıraq: (3 − 2 + 11) + (2 2 4) x y 3.

Mötərizədə olan addımları yerinə yetirək: (3 − 2 + 11) + (2 2 4) x y 3 = 12 + 16 x y 3

Cavab:3 + 2 (6:3) x (y 3 4) − 2 + 11 = 12 + 16 x y 3

Əgər ədədi ifadələrlə işləsək, onda işimizin məqsədi ifadənin qiymətini tapmaq olacaq. Əgər ifadələri dəyişənlərlə çevirsək, o zaman hərəkətlərimizin məqsədi ifadəni sadələşdirmək olacaq.

Ümumi faktoru mötərizədən çıxarmaq

İfadədəki terminlərin eyni faktora malik olduğu hallarda bu ümumi faktoru mötərizədə çıxara bilərik. Bunun üçün ilk növbədə ilkin ifadəni ortaq faktorun hasili və ortaq amil olmayan ilkin terminlərdən ibarət mötərizə içərisindəki ifadə kimi təqdim etməliyik.

Misal 20

Rəqəmsal olaraq 2 7 + 2 3ümumi faktoru çıxara bilərik 2 mötərizənin xaricində və formanın eyni dərəcədə düzgün ifadəsini əldə edin 2 (7 + 3).

Resursumuzun müvafiq bölməsində mötərizədə ümumi amili çıxarmaq qaydaları haqqında yaddaşınızı təzələyə bilərsiniz. Materialda ümumi faktorun mötərizədən çıxarılması qaydalarından ətraflı bəhs edilir və çoxsaylı misallar verilir.

Oxşar terminlərin azaldılması

İndi keçək oxşar terminləri ehtiva edən cəmlərə. Burada iki seçim var: eyni şərtləri ehtiva edən məbləğlər və şərtləri ədədi əmsalla fərqlənən məbləğlər. Oxşar şərtləri ehtiva edən cəmlərlə əməliyyatlar oxşar şərtlərin azalması adlanır. Bu aşağıdakı kimi həyata keçirilir: mötərizədə ümumi hərf hissəsini çıxarırıq və mötərizədə ədədi əmsalların cəmini hesablayırıq.

Misal 21

İfadəsini nəzərdən keçirin 1 + 4 x − 2 x. Mötərizədə x hərfi hissəsini çıxarıb ifadəni ala bilərik 1 + x (4 − 2). Mötərizədə göstərilən ifadənin qiymətini hesablayaq və 1 + x · 2 formasının cəmini alaq.

Rəqəmlərin və ifadələrin eyni bərabər ifadələrlə əvəz edilməsi

Misal 22 Misal 23

İfadəsini nəzərdən keçirin 1 + 5, burada a 5 dərəcəsini ona eyni dərəcədə bərabər məhsulla əvəz edə bilərik, məsələn, forma a · a 4. Bu bizə ifadə verəcəkdir 1 + a · a 4.

Görülən transformasiya sünidir. Bu, yalnız digər dəyişikliklərə hazırlıq zamanı məna kəsb edir.

Misal 24

Cəmin çevrilməsini nəzərdən keçirin 4 x 3 + 2 x 2. Burada termin 4 x 3əsər kimi təsəvvür edə bilərik 2 x 2 2 x. Nəticədə orijinal ifadə formasını alır 2 x 2 2 x + 2 x 2. İndi ümumi faktoru təcrid edə bilərik 2 x 2 və mötərizədən çıxarın: 2 x 2 (2 x + 1).

Eyni ədədi toplamaq və çıxmaq

Eyni ədədi və ya ifadəni eyni anda toplamaq və çıxmaq ifadələri dəyişdirmək üçün süni bir texnikadır.

Misal 25

İfadəsini nəzərdən keçirin x 2 + 2 x. Ondan birini əlavə edə və ya çıxara bilərik ki, bu da sonradan başqa bir eyni çevrilmə aparmağa - binomialın kvadratını təcrid etməyə imkan verəcəkdir: x 2 + 2 x = x 2 + 2 x + 1 − 1 = (x + 1) 2 − 1.

Mətndə xəta görsəniz, onu vurğulayın və Ctrl+Enter düymələrini basın