OGE üçün tənliklərin həlli. Tənliyin həlli o deməkdir ki...

Cəbr modulunda dördüncü tapşırıq səlahiyyətlərin və radikal ifadələrin istifadəsi üzrə bilikləri yoxlayır.

Riyaziyyatdan OGE-nin 4 saylı tapşırığını yerinə yetirərkən təkcə ədədi ifadələri hesablamaq və çevirmək bacarıqları yox, həm də cəbri ifadələri çevirmək bacarığı yoxlanılır. Tam eksponentli güclərlə, çoxhədlilərlə və rasional ifadələrin eyni çevrilmələri ilə əməliyyatlar yerinə yetirməli ola bilərsiniz.

Əsas imtahanın materiallarına uyğun olaraq rasional ifadələrin eyni çevrilmələrini, çoxhədlilərin faktorinqini, faiz və nisbətlərdən istifadəni, bölünmə testlərini tələb edən tapşırıqlar ola bilər.

4-cü tapşırığın cavabı 1 rəqəmlərindən biridir; 2; 3; 4 tapşırığa təklif olunan cavabın sayına uyğundur.

4 saylı tapşırıq üçün nəzəriyyə

Nəzəri materialdan bizə lazım olacaq Dərəcələrin idarə edilməsi qaydaları:

Ilə işləmək qaydaları radikal ifadələr:

Təhlil etdiyim versiyalarda bu qaydalar təqdim olunur - üçüncü tapşırığın birinci variantının təhlilində dərəcələrin idarə edilməsi qaydaları təqdim olunur, ikinci və üçüncü versiyalarda isə radikal ifadələrlə işləmə nümunələri təhlil edilir.

Riyaziyyatdan 4 nömrəli OGE tapşırığının tipik variantlarının təhlili

Tapşırıqın ilk versiyası

Hər hansı n dəyəri üçün aşağıdakı ifadələrdən hansı 121 11 n hasilinə bərabərdir?

1. 121n
2. 11n+2
3. 11 2n
4. 11n+3

Həll:

Bu problemi həll etmək üçün aşağıdakıları xatırlamaq lazımdır dərəcələrin idarə edilməsi qaydaları :

• Çoxaldıqda, güclər toplanır
• dərəcələr əlavə edilərkən çıxarılır
• Gücü bir gücə qaldırarkən, səlahiyyətlər çoxalır
• kökü çıxararkən dərəcələr bölünür

Bundan əlavə, onu həll etmək üçün 121-i 11-in gücü kimi təqdim etmək lazımdır ki, bu da tam olaraq 11 2-dir.

121 11 n = 11 2 11 n

Çarpma qaydasını nəzərə alaraq dərəcələri əlavə edirik:

11 2 11 n = 11 n+2

Ona görə də ikinci cavab bizə uyğun gəlir.

Tapşırıqın ikinci versiyası

Aşağıdakı ifadələrdən hansı ən böyük dəyərə malikdir?

1. 2√11
2. 2√10

Həll:

Bu tapşırığı həll etmək üçün bütün ifadələri ümumi formaya gətirməlisiniz - ifadələri radikal ifadələr şəklində təqdim edin:

3-ü kökə köçürün:

3√5 = √(3² 5) = √(9 5) = √45

2-ni kökə köçürün:

2√11 = √(2² 11) = √(4 11) =√44

2-ni kökə köçürün:

2√10 = √(2² 10) = √(4 10) =√40

Biz kvadrat 6.5:

6,5 = √(6,5²) = √42,25

Bütün ortaya çıxan variantlara baxaq:

1. 3√5 = √45
2. 2√11 = √44
3. 2√10 = √40
4. 6,5 = √42,25

Ona görə də düzgün cavab birincidir

Tapşırıqın üçüncü versiyası

Bu rəqəmlərdən hansı rasionaldır?

1. √810
2. √8,1
3. √0,81
4. bütün bu rəqəmlər irrasionaldır

Həll:

Bu problemi həll etmək üçün aşağıdakı kimi hərəkət etməlisiniz:

Əvvəlcə bu nümunədə hansı rəqəmin hesab edildiyini anlayaq - bu 9 rəqəmidir, çünki onun kvadratı 81-dir və bu artıq cavablardakı ifadələrə bir qədər bənzəyir. Sonra 9 rəqəminin formalarına baxaq - bunlar ola bilər:

Onların hər birini nəzərdən keçirin:

0,9 = √(0,9)² = √0,81

90 = √(90²) = √8100

Buna görə də, √0.81 ədədi rasionaldır, qalan ədədlər isə

9 kvadrat şəklinə bənzəsələr də, rasional deyillər.

Beləliklə, düzgün cavab üçüncüdür.

Tapşırıqın dördüncü versiyası

Mənim icma abunəçisinin xahişi ilə Düşdü Diana, burada 4 saylı tapşırığın təhlili verilmişdir:

Aşağıdakı rəqəmlərdən hansı ifadənin qiymətidir?

Həll:

Qeyd edək ki, məxrəcdə fərq var (4 - √14), ondan qurtulmalıyıq. Bunu necə etmək olar?

Bunu etmək üçün qısaldılmış vurma formulunu, yəni kvadratların fərqini xatırlayın! Bu tapşırıqda onu düzgün tətbiq etmək üçün fraksiyaların idarə edilməsi qaydalarını xatırlamaq lazımdır. Bu halda nəzərə alın ki, pay və məxrəc eyni ədədə və ya ifadəyə vurularsa, kəsr dəyişmir. Kvadratların fərqi üçün bizdə (4 + √14) ifadəsi çatışmır, yəni pay və məxrəci onunla vururuq.

Bundan sonra biz payda 4 + √14 və məxrəcdə kvadratların fərqini alırıq: 4² - (√14)². Bundan sonra məxrəc asanlıqla hesablanır:

Ümumilikdə hərəkətlərimiz belə görünür:

Tapşırıqın beşinci versiyası (OGE 2017-nin demo versiyası)

Hansı ifadə rasional ədəddir?

1. √6-3
2. √3 √5
3. (√5)²
4. (√6-3)²

Həll:

Bu tapşırıqda irrasional ədədlərlə əməliyyatlar üzrə bacarıqlarımız yoxlanılır.

Həlldəki hər bir cavab variantına baxaq:

√6 özü irrasional ədəddir, belə məsələləri həll etmək üçün təbii ədədlərin kvadratlarından kök çıxara biləcəyinizi xatırlamaq kifayətdir, məsələn, 4, 9, 16, 25...

İrrasional ədəddən özündən başqa hər hansı digər ədədi çıxardıqda o, yenidən irrasional ədədə gətirib çıxaracaq, beləliklə, bu versiyada irrasional ədəd alınır.

Kökləri çoxaldarkən, kökü radikal ifadələrin məhsulundan çıxara bilərik, yəni:

√3 √5 = √(3 5) = √15

Lakin √15 irrasionaldır, ona görə də bu cavab uyğun deyil.

Kvadrat kökü kvadratlaşdırarkən, sadəcə olaraq radikal bir ifadə alırıq (daha dəqiq desək, modul radikal ifadə, lakin nömrə vəziyyətində, bu versiyada olduğu kimi, bunun əhəmiyyəti yoxdur), buna görə də:

Bu cavab variantı bizə uyğundur.

Bu ifadə 1-ci bəndin davamını ifadə edir, lakin √6-3 irrasional ədəddirsə, onda bizə məlum olan heç bir əməliyyatla onu rasional ədədə çevirmək olmaz.

Cümlələri tamamlayın: 1). Tənlik... 2). Tənliyin kökü... 3). Tənliyin həlli o deməkdir ki...

I. Tənlikləri şifahi həll edin: 1). 2). 3). 4). 5). 6). 7). 8). 9). 6 x + 18=0 2 x + 5=0 5 x – 3=0 -3 x + 9=0 -5 x + 1=0 -2 x – 10=0 6 x – 7=5 x 9 x + 6 =10 x 5 x - 12=8 x

Aşağıdakı tənliklərdən hansının həlli yoxdur: a). 2 x – 14 = x + 7 b). 2 x - 14 = 2(x – 7) c). x – 7 = 2 x + 14 q). 2 x- 14 = 2 x + 7?

Tənliklərdən hansının sonsuz sayda həlli var: a). 4 x – 12 = x – 12 b). 4 x – 12 = 4 x + 12 c). 4(x – 3) = 4 x – 12 q). 4(x – 3) = x – 10?

kx + b = 0 FORMASININ TƏNLƏRİ, burada k, b verilmiş ədədlər Xətti adlanır. Xətti tənliklərin həlli alqoritmi: 1). açıq mötərizələr 2). tərkibində naməlum olan terminləri sol tərəfə, naməlum olmayan terminləri isə sağ tərəfə köçürmək (köçürülmüş terminin işarəsi əks olunur); 3). oxşar üzvləri gətirmək; 4). sıfıra bərabər deyilsə, tənliyin hər iki tərəfini naməlumun əmsalına bölün.

Dəftərlərdə həll edin I qrup: No 681 səh 63 6(4 -x)+3 x=3 III qrup: No 767 səh 67 (x + 6)2 + (x + 3)2 = 2 x 2 tənlik : II qrup: No 697 səh 63 x-1 +(x+2) = -4(-5 -x)-5

a≠ 0, b, c hər hansı həqiqi ədədlər olduğu aх2 + bх + c =0 formalı tənliyə kvadrat adlanır. Natamam tənliklər: aх2 + bх =0 (c=0), aх2 + c =0 (b=0).

II. Kvadrat tənlikləri onların tam və ya natamam olduğunu göstərən şifahi həll edin: 1). x2 + 15 x=0 2). -x2 +2 x = 0 3). x2 -25=0 4). -x2 +9 =0 5). -x2 - 16 =0 6). x2 - 8 x + 15=0 7). x2 + 5 x + 6=0 8). x2 + x - 12 =0 9). (-x-5)(-x+ 6)=0 10). x2 -4 x +4 =0

SUALLAR: 1). Natamam kvadrat tənlikləri həll etmək üçün tənliklərin hansı xassəsindən istifadə olunurdu? 2). Natamam kvadrat tənlikləri həll etmək üçün çoxhədli faktorlara ayırmanın hansı üsullarından istifadə edilmişdir? 3). Tam kvadrat tənliklərin həlli alqoritmi nədir?

1). İki amilin hasili sıfıra bərabərdir, onlardan biri sıfırdırsa, ikincisi mənasını itirmir: a = 0 və ya b = 0 olarsa ab = 0. 2). Ümumi əmsalı və a 2 - b 2 =(a – b)(a + b) əvəz etmək kvadratlar fərqinin düsturudur. 3). Tam kvadrat tənliyi ax2 + bx + c = o. D=b 2 – 4 ac, əgər D>0, 2 kök; D = 0, 1 kök; D

Vyeta teoreminə tərs teorem: Əgər a, b, c, x 1 və x 2 ədədləri x 1 x 2 = x 1 + x 2 = və x 2 a x 2 + bx + c tənliyinin kökləridirsə. = 0

TƏNLƏRİ HƏLL EDİN: I qrup: № 802 səh 71 x2 - 5 x- 36 =0 II qrup: № 810 səhifə 71 3 x2 - x + 21=5 x2 III qrup: x4 -5 x2 - 36 =0

III. TƏNLİKLƏRİ HƏLL EDİN: I və II qrup: No 860 III qrup: =0 =0 Belə tənliklər necə adlanır? Onları həll etmək üçün hansı əmlakdan istifadə olunur?

Rasional tənlik =0 formalı tənlikdir. Əgər pay sıfırdırsa və məxrəc sıfır deyilsə, kəsr sıfıra bərabərdir. =0, əgər a = 0 olarsa, b≠ 0 olar.

Riyaziyyat tarixindən qısaca Qədim Misir riyaziyyatçıları kvadrat və xətti tənlikləri həll edə bilmişlər. Orta əsr fars alimi Əl-Xorəzmi (IX əsr) ilk dəfə cəbri xətti və kvadrat tənliklərin həllinin ümumi üsulları haqqında müstəqil elm kimi təqdim etmiş və bu tənliklərin təsnifatını vermişdir. Riyaziyyatda yeni böyük sıçrayış fransız alimi Fransua Vietanın (XVI əsr) adı ilə bağlıdır. Cəbrə hərfləri daxil edən də o idi. O, kvadrat tənliklərin kökləri haqqında məşhur teoremdən məsuldur. Biz isə naməlum kəmiyyətləri latın əlifbasının son hərfləri ilə (x, y, z) işarələmək ənənəsini başqa bir fransız riyaziyyatçısı - Rene Dekarta (XVII) borcluyuq.

Ev tapşırığı Saytlarla işləmək: - Tapşırıqların açıq bankı OGE (riyaziyyat) http: //85. 142. 162. 126/os/xmodules/qprint/index. php? proj=DE 0 E 276 E 49 7 AB 3784 C 3 FC 4 CC 20248 DC 0 ; - D. Qushchin tərəfindən “OGE həll edəcəm” https: //oge. sdamgia. ru/ ; - A. Larinin internet saytı (seçim 119) http: //alexlarin. net/. Dərsliklər: - Yu. M. Kolyagin “Cəbr 9-cu sinif” dərsliyi, M., “Maarifçilik”, 2014, s. 308 -310; - "3000 tapşırıq" altında. redaktə edən I. V. Yaşçenko, M., “İmtahan”, 2017, səh. 5974.

Valideynlər üçün məlumat Riyaziyyat üzrə OGE-yə hazırlıq sistemi 1). Dərslərdə müşayiət olunan təkrar 2). İlin sonunda yekun baxış 3). Seçmə dərslər (şənbə günləri) 4). Ev tapşırığı sistemi - saytlarla işləmək OGE, OPEN BANK FIPI, SAYTE A. LARINA HƏLL EDƏCƏM. 5). Fərdi məsləhətləşmələr (bazar ertəsi)

Toylonov Argymai və Toylonov Erkei

Ümumtəhsil məktəblərində alınan riyazi təhsil ümumi təhsilin və müasir insanın ümumi mədəniyyətinin mühüm tərkib hissəsidir. Müasir insanı əhatə edən demək olar ki, hər şey bir növ riyaziyyatla bağlıdır. Fizika, mühəndislik və informasiya texnologiyaları sahəsində son nailiyyətlər gələcəkdə də vəziyyətin eyni qalacağına heç bir şübhə yeri qoymur. Buna görə də, bir çox praktiki problemlərin həlli, həll etməyi öyrənməyiniz lazım olan müxtəlif növ tənliklərin həllinə gəlir.

2013-cü ildən isə əsas məktəbin sonunda riyaziyyat üzrə attestasiya OGE şəklində həyata keçirilir. Vahid Dövlət İmtahanı kimi, Vahid Dövlət İmtahanı yalnız cəbrdə deyil, həm də əsas məktəbin bütün riyaziyyat kursunda sertifikatlaşdırma aparmaq üçün nəzərdə tutulmuşdur.

Tapşırıqların aslan payı, bu və ya digər şəkildə, tənliklər və onların həlli yollarını tərtib etməyə gəlir. Bu mövzunun öyrənilməsinə keçmək üçün suallara cavab verməli olduq: “OGE tapşırıqlarında hansı növ tənliklərə rast gəlinir? ” və “Bu tənlikləri həll etməyin hansı yolları var?”

Beləliklə, OGE tapşırıqlarında olan bütün növ tənliklərin öyrənilməsinə ehtiyac var. Yuxarıda göstərilənlərin hamısı müəyyən edir

Məqsədİş OGE tapşırıqlarında tapılan bütün növ tənlikləri növə görə tamamlamaq və bu tənliklərin həllinin əsas üsullarını təhlil etməkdir.

Bu məqsədə çatmaq üçün biz aşağıdakıları təyin etdik tapşırıqlar:

1) Əsas dövlət imtahanlarına hazırlaşmaq üçün əsas resursları araşdırın.

2) Bütün tənlikləri növə görə tamamlayın.

3) Bu tənliklərin həlli üsullarını təhlil edin.

4) Bütün növ tənliklər və onların həlli üsulları ilə toplu tərtib edin.

Tədqiqatın obyekti: tənliklər

Tədqiqatın mövzusu: OGE tapşırıqlarında tənliklər.

Yüklə:

Önizləmə:

Bələdiyyə büdcəli təhsil müəssisəsi

"Çibitskaya orta məktəbi"

TƏLİM LAYİHƏSİ:

“OGE TAPŞIQLARINDA TƏNLİKLƏR”

Toylonov Erkey

8-ci sinif şagirdləri

nəzarətçi: Nadejda Vladimirovna Toilonova, riyaziyyat müəllimi.

Layihənin icra müddəti:

12/13/2017-dən 02/13-dək. 2018

GİRİŞ

Ümumtəhsil məktəblərində alınan riyazi təhsil ümumi təhsilin və müasir insanın ümumi mədəniyyətinin mühüm tərkib hissəsidir. Müasir insanı əhatə edən demək olar ki, hər şey bir növ riyaziyyatla bağlıdır. Fizika, mühəndislik və informasiya texnologiyaları sahəsində son nailiyyətlər gələcəkdə də vəziyyətin eyni qalacağına heç bir şübhə yeri qoymur. Buna görə də, bir çox praktiki problemlərin həlli, həll etməyi öyrənməyiniz lazım olan müxtəlif növ tənliklərin həllinə gəlir.

2013-cü ildən isə əsas məktəbin sonunda riyaziyyat üzrə attestasiya OGE şəklində həyata keçirilir. Vahid Dövlət İmtahanı kimi, Vahid Dövlət İmtahanı yalnız cəbrdə deyil, həm də əsas məktəbin bütün riyaziyyat kursunda sertifikatlaşdırma aparmaq üçün nəzərdə tutulmuşdur.

Tapşırıqların aslan payı, bu və ya digər şəkildə, tənliklər və onların həlli yollarını tərtib etməyə gəlir. Bu mövzunun öyrənilməsinə keçmək üçün suallara cavab verməli olduq: “OGE tapşırıqlarında hansı növ tənliklərə rast gəlinir? ” və “Bu tənlikləri həll etməyin hansı yolları var?”

Beləliklə, OGE tapşırıqlarında olan bütün növ tənliklərin öyrənilməsinə ehtiyac var. Yuxarıda göstərilənlərin hamısı müəyyən edirgörülən işin probleminin aktuallığı.

Məqsəd İş OGE tapşırıqlarında tapılan bütün növ tənlikləri növə görə tamamlamaq və bu tənliklərin həllinin əsas üsullarını təhlil etməkdir.

Bu məqsədə çatmaq üçün biz aşağıdakıları təyin etdik tapşırıqlar:

1) Əsas dövlət imtahanlarına hazırlaşmaq üçün əsas resursları araşdırın.

2) Bütün tənlikləri növə görə tamamlayın.

3) Bu tənliklərin həlli üsullarını təhlil edin.

4) Bütün növ tənliklər və onların həlli üsulları ilə toplu tərtib edin.

Tədqiqatın obyekti: tənliklər

Tədqiqatın mövzusu:OGE tapşırıqlarında tənliklər.

Layihənin iş planı:

1. Layihə mövzusunun formalaşdırılması.
2. Verilmiş mövzu ilə bağlı rəsmi mənbələrdən material seçimi.
3. İnformasiyanın emalı və sistemləşdirilməsi.
4. Layihənin icrası.
5. Layihə dizaynı.
6. Layihənin mühafizəsi.

Problem : tənliklər haqqında anlayışınızı dərinləşdirin. Birinci və ikinci hissələrdə OGE tapşırıqlarında təqdim olunan tənliklərin həlli üçün əsas üsulları göstərin.

Bu iş öyrənilən materialı ümumiləşdirmək və sistemləşdirmək və yenilərini öyrənmək cəhdidir. Layihəyə daxildir: tənliyin bir hissəsindən digərinə şərtlərin köçürülməsi və tənliklərin xassələrindən istifadə etməklə xətti tənliklər, həmçinin tənliklə həll olunan məsələlər, kvadrat tənliklərin bütün növləri və rasional tənliklərin həlli üsulları.

Riyaziyyat... nizamı, simmetriyanı və əminliyi ortaya qoyur,

və bunlar ən vacib gözəllik növləridir.

Aristotel.

Tarixi istinad

O uzaq dövrlərdə, müdriklər ilk dəfə naməlum kəmiyyətləri ehtiva edən bərabərliklər haqqında düşünməyə başlayanda, yəqin ki, sikkələr və pul kisələri yox idi. Ancaq naməlum sayda əşyaları saxlaya bilən saxlama anbarları rolu üçün mükəmməl olan yığınlar, həmçinin qablar və səbətlər var idi. Eramızdan əvvəl II minillikdə misirli mirzə Ahmes öyrətmişdi: “Biz üçdə iki, yarım və yeddidə biri ilə birlikdə 37-yə bərabər olan bir yığın axtarırıq. Mesopotamiya, Hindistan, Çin, Yunanıstanın qədim riyazi problemlərində naməlum kəmiyyətlər bağdakı tovuz quşlarının sayını, sürüdəki öküzlərin sayını və əmlak bölgüsü zamanı nəzərə alınan şeylərin məcmusunu ifadə edirdi. Gizli biliklərə yiyələnmiş, mühasibat elmində yaxşı təlim keçmiş din xadimləri, məmurlar və keşişlər bu cür işlərin öhdəsindən kifayət qədər uğurla gəlirdilər.

Bizə çatan mənbələr göstərir ki, qədim alimlərin kəmiyyətləri naməlum məsələlərin həlli üçün bəzi ümumi üsulları olub. Ancaq heç bir papirus və ya gil lövhədə bu üsulların təsviri yoxdur. Müəlliflər yalnız ara-sıra öz ədədi hesablamalarına “Bax!”, “Bunu et!”, “Doğru olanı tapdın” kimi cəfəng şərhlərlə təmin edirdilər. Bu mənada istisna yunan riyaziyyatçısı İsgəndəriyyə Diofantının (III əsr) "Arifmetikası" - həllərin sistematik təqdimatı ilə tənliklər yaratmaq üçün problemlər toplusudur.

Bununla belə, geniş yayılmış problemlərin həlli üçün ilk dərslik 9-cu əsrin Bağdad aliminin işi idi. Məhəmməd bin Musa əl-Xarəzmi. Bu risalənin ərəbcə adından olan “əl-cəbr” sözü – “Kitab əl-cabir vəl-mukabələ” (“Bərpa və müxalifət kitabı”) zaman keçdikcə məşhur “cəbr” sözünə çevrildi və əl- Xarəzminin yaradıcılığının özü tənliklərin həlli elminin inkişafında başlanğıc nöqtəsi olmuşdur.

Bəs tənlik nədir?

Hüquq bərabərliyi, zaman tənliyi (cəmiyyətdə və elmdə qəbul edilən həqiqi günəş vaxtının orta günəş vaxtına çevrilməsi; astr.) və s.

Riyaziyyatda bir və ya bir neçə naməlum kəmiyyəti ehtiva edən və yalnız bu naməlum kəmiyyətlərin müəyyən qiymətləri üçün etibarlılığını saxlayan riyazi bərabərlikdir.

Bir dəyişənli tənliklərdə naməlum adətən hərflə işarələnir. X ". "x" dəyəri ", bu şərtləri təmin edən tənliyin kökü adlanır.

Müxtəlif tənliklər var növ:

ax + b = 0. - Xətti tənlik.
ax 2 + bx + c = 0. - Kvadrat tənlik.
balta 4 + bx 2 + c = 0. - Bikvadrat tənlik.

– Rasional tənlik.

– İrrasional tənlik.
Belələri vartənliklərin həlli yolları Necə: cəbri, arifmetik və həndəsi. Cəbri metodu nəzərdən keçirək.

Tənliyi həll edin- bu, X-in elə dəyərlərini tapmaqdır ki, orijinal ifadədə əvəz edildikdə bizə düzgün bərabərlik verəcək və ya həll yollarının olmadığını sübut edəcək. Tənliklərin həlli çətin olsa da, maraqlıdır. Axı, bütöv bir nömrə axınının bir naməlum nömrədən asılı olması həqiqətən təəccüblüdür.

Naməlumu tapmaq üçün tənliklərdə orijinal ifadəni çevirmək və sadələşdirmək lazımdır. Və elə bir şəkildə ki, zahiri dəyişdikdə ifadənin mahiyyəti dəyişməz. Belə çevrilmələrə eyni və ya ekvivalent deyilir.

Fəsil 1 Tənliklərin həlli

1.1 Xətti tənliklərin həlli.

İndi xətti tənliklərin həll yollarına baxacağıq. Formanın bir tənliyini xatırlayaqdəyişəndən bəri xətti tənlik və ya birinci dərəcəli tənlik adlanır. X » ali təhsil birinci dərəcədir.

Xətti tənliyin həlli çox sadədir:

Misal 1: 3-cü tənliyi həll edin x +3=5 x

Xətti tənlik naməlum olan şərtləri bərabər işarənin sol tərəfinə, sərbəst əmsalları bərabər işarənin sağ tərəfinə köçürməklə həll edilir:

3 x – 5 x = – 3

2 x=-3

x =1.5

Tənliyi həqiqi bərabərliyə çevirən dəyişənin qiyməti deyilir tənliyin kökü.

Yoxladıqdan sonra əldə edirik:

Beləliklə, 1,5 tənliyin köküdür.

Cavab: 1.5.

Termin işarəsinin əksinə dəyişdiyi və istifadə edildiyi tənliyin bir hissəsindən digərinə şərtlərin köçürülməsi üsulu ilə tənliklərin həlli xassələri tənliklər - tənliyin hər iki tərəfi eyni sıfırdan fərqli ədədə və ya ifadəyə vurula (bölünə) bilər, aşağıdakı tənliklərin həlli zamanı nəzərə alına bilər.

Misal 2. Tənlikləri həll edin:

a) 6 x +1=− 4 x ; b) 8+7 x =9 x +4; c) 4(x −8)=− 5.

Həll.

a) Transfer metodundan istifadə edərək həll edirik

6 x + 4 x = ─1;

10 x=─ 1;

x=─ 1:10;

x=─ 0.1.

İmtahan:

Cavab: –0,1

b) Əvvəlki nümunəyə bənzər şəkildə, köçürmə metodundan istifadə edərək həll edirik:

Cavab: 2.

c) Bu tənlikdə toplama əməliyyatına münasibətdə vurmanın paylayıcı xassəsini tətbiq edərək mötərizələri açmaq lazımdır.

Cavab: 6.75.

1.2 Kvadrat tənliklər

Formanın tənliyi kvadrat tənlik adlanır, burada a - böyük əmsalı, b – orta əmsal, с – sərbəst müddət.

Ehtimallardan asılı olaraq a, b və c – tənlik tam və ya natamam, verilmiş və ya verilməmiş ola bilər.

1.2.1 Natamam kvadrat tənliklər

Natamam kvadrat tənliklərin həlli yollarını nəzərdən keçirək:

1) Üçün natamam kvadrat tənliklərin birinci növünün həllini başa düşməyə başlayaq c=0 . Formanın natamam kvadrat tənlikləri a x 2 +b x=0 qərar verməyə imkan verirfaktorizasiya üsulu. Xüsusilə, mötərizə üsulu.

Aydındır ki, tənliyin sol tərəfində yerləşə bilərik, bunun üçün mötərizədə ümumi amili çıxarmaq kifayətdir x . Bu, bizə ilkin natamam kvadratik tənlikdən formanın ekvivalent tənliyinə keçməyə imkan verir: x·(a·x+b)=0 .

Və bu tənlik iki tənliyin birləşməsinə bərabərdir x=0 və ya x+b=0 , sonuncusu xətti və kökü var x=− .

a x 2 +b x=0 iki kökə malikdir

x=0 və x=− .

2) İndi natamam kvadrat tənliklərin necə həll edildiyinə, hansı əmsalın olduğuna baxaq b sıfır və c≠0-dır , yəni formanın tənlikləri a x 2 +c=0 . Biz bilirik ki, tənliyin bir tərəfindən digər tərəfə əks işarə ilə köçürülməsi, eləcə də tənliyin hər iki tərəfini sıfırdan fərqli bir ədədə bölmək ekvivalent tənlik verir. Buna görə də natamam kvadrat tənliyin aşağıdakı ekvivalent çevrilmələrini həyata keçirə bilərik a x 2 +c=0:

• -dan transfer tənliyi verən sağ tərəfə a x 2 =−c,
• və hər iki hissəyə bölün a, alırıq.

Yaranan tənlik onun kökləri haqqında nəticə çıxarmağa imkan verir.

Əgər nömrə – mənfidir, onda tənliyin kökü yoxdur. Bu ifadə istənilən ədədin kvadratının mənfi olmayan ədəd olmasından irəli gəlir.

Əgər müsbət ədəddir, onda tənliyin kökləri ilə bağlı vəziyyət fərqlidir. Bu vəziyyətdə, tənliyin bir kökünün olduğunu xatırlamaq lazımdır, bu, bir rəqəmdir. Tənliyin kökü aşağıdakı sxemə uyğun olaraq hesablanır:

Məlumdur ki, yerinə tənlik daxil edilir x onun kökləri tənliyi həqiqi bərabərliyə çevirir.

Bu paraqrafdakı məlumatları ümumiləşdirək. Natamam kvadrat tənlik a x 2 +c=0 tənliyinə ekvivalentdir, hansı

3) Əmsalları olan natamam kvadrat tənliklərin həlləri b və c sıfıra bərabərdir, yəni formanın tənlikləri ilə a x 2 = 0. a x 2 =0 tənliyi x 2 =0 izləyir , hər iki hissəni sıfırdan fərqli bir ədədə bölmək yolu ilə orijinaldan əldə edilir a . Aydındır ki, tənliyin kökü x 2 =0 çünki sıfırdır 0 2 =0 . Bu tənliyin başqa kökləri yoxdur.

Deməli, natamam kvadrat tənlik a x 2 = 0 tək kökə malikdir x=0 .

Misal 3. Tənlikləri həll edin: a) x 2 =5x, tənliyin bir neçə kökü varsa, cavabınızda onlardan ən kiçiyini göstərin;

b), tənliyin bir neçə kökü varsa, cavabınızda onlardan ən böyüyünü göstərin;

c) x 2 −9=0, əgər tənliyin bir neçə kökü varsa, cavabınızda onlardan ən kiçiyini göstərin.

Həll.

Sərbəst termini olmayan natamam kvadratik tənlik əldə etdik. Mötərizə üsulundan istifadə edərək həll edirik.

U Tənlik ən kiçiki 0 olan iki köklə edilə bilər.

Cavab: 0.

b) . Əvvəlki nümunəyə bənzər olaraq, bracketing metodundan istifadə edirik

Cavab köklərin daha böyük olduğunu göstərməlidir. Bu 2 nömrədir.

Cavab: 2.

V) . Bu tənlik orta əmsalı olmayan natamam kvadratik tənlikdir.

Bu köklərdən ən kiçiyi sayı – 3-dür.

Cavab: –3.

1.2.2 Tam kvadrat tənliklər.

1. Kvadrat tənliyin kökləri üçün diskriminant, əsas düstur

Kök formulu var.

Gəlin onu yazaq Kvadrat tənliyin kökləri üçün addım-addım düstur:

1) D=b 2 −4 a c - sözdə.

a) əgər D

b) əgər D>0, onda tənlikbir kökü yoxdur:

c) əgər D iki kökü yoxdur:

Kök düsturlarından istifadə etməklə kvadrat tənliklərin həlli alqoritmi

Praktikada kvadrat tənlikləri həll edərkən onların qiymətlərini hesablamaq üçün dərhal kök düsturundan istifadə edə bilərsiniz. Ancaq bu, daha çox mürəkkəb köklərin tapılması ilə bağlıdır.

Bununla belə, məktəb cəbri kursunda biz adətən kompleksdən deyil, kvadrat tənliyin həqiqi köklərindən danışırıq. Bu halda, kvadrat tənliyin kökləri üçün düsturlardan istifadə etməzdən əvvəl, əvvəlcə diskriminantı tapmaq, onun mənfi olmadığına əmin olmaq məsləhət görülür (əks halda, tənliyin həqiqi kökləri olmadığı qənaətinə gələ bilərik), və yalnız bundan sonra köklərin dəyərlərini hesablayın.

Yuxarıdakı əsaslandırma bizə yazmağa imkan verirkvadrat tənliyin həlli alqoritmi. Kvadrat tənliyi həll etmək üçün a x 2 +b x+c=0 , sizə lazımdır:

• diskriminant düsturuna görə D=b 2 −4 a c dəyərini hesablamaq;
• diskriminant mənfi olarsa, kvadrat tənliyin həqiqi kökləri olmadığı qənaətinə gəlmək;
• əgər düsturundan istifadə edərək tənliyin yeganə kökünü hesablayın D=0;
• diskriminant müsbət olarsa, kök düsturundan istifadə edərək kvadrat tənliyin iki həqiqi kökünü tapın.

2. Diskriminant, kvadrat tənliyin kökləri üçün ikinci düstur (cüt ikinci əmsalı ilə).

Formanın kvadrat tənliklərini həll etmək, bərabər əmsalı ilə b=2k başqa bir formula var.

Gəlin yenisini qeyd edək kvadrat tənliyin kökləri üçün düstur:

1) D’=k 2 −a c - sözdəkvadrat tənliyin diskriminantı.

a) əgər D' əsl kökləri yoxdur;

b) əgər D’>0, onda tənlikbir kökü yoxdur:

c) əgər D' iki kökü yoxdur:

Misal 4. 2x tənliyini həll edin 2 −3x+1=0.. Əgər tənliyin birdən çox kökü varsa, cavab olaraq daha böyük kökü yazın.

Həll. Birinci halda, kvadrat tənliyin aşağıdakı əmsallarına sahibik: a=2 , b=-3 və c=1 D=b 2 −4·a·c=(-3) 2 −4·2·1=9-8=1 . 1>0-dan bəri

bizdə var İki kök aldıq, onlardan böyüyü 1 nömrədir.

Cavab: 1.

Misal 5. x tənliyini həll edin 2 −21=4x.

Əgər tənliyin birdən çox kökü varsa, cavab olaraq daha böyük kökü yazın.

Həll. Əvvəlki nümunəyə bənzətməklə bərabər işarənin sol tərəfinə 4 saat keçirik və alırıq:

Bu halda kvadrat tənliyin aşağıdakı əmsallarına sahibik: a=1 , k=-2 və c=−21 . Alqoritmə görə, əvvəlcə diskriminantı hesablamalısınız D’=k 2 −a·c=(-2) 2 −1·(−21)=4+21=25 . Sayı 25>0 , yəni diskriminant sıfırdan böyükdür, onda kvadrat tənliyin iki həqiqi kökü olur. Onları kök düsturundan istifadə edərək tapaq

Cavab: 7.

1.2.3 Kvadrat tənliklərin həlli üçün xüsusi üsullar.

1) Kvadrat tənliyin kökləri və əmsalları arasındakı əlaqə. Vyeta teoremi.

Kvadrat tənliyin kökləri üçün düstur tənliyin köklərini onun əmsalları vasitəsilə ifadə edir. Kök düsturuna əsasən, siz köklər və əmsallar arasında başqa əlaqələr əldə edə bilərsiniz.

Ən məşhur və tətbiq olunan düstur Vyeta teoremi adlanır.

Teorem: Qoy - verilmiş kvadrat tənliyin kökləri. Onda köklərin hasili sərbəst terminə, köklərin cəmi isə ikinci əmsalın əks qiymətinə bərabərdir:

Artıq yazılmış düsturlardan istifadə edərək, kvadrat tənliyin kökləri və əmsalları arasında bir sıra digər əlaqələr əldə edə bilərsiniz. Məsələn, kvadrat tənliyin köklərinin kvadratlarının cəmini onun əmsalları ilə ifadə edə bilərsiniz.

Misal 6. a) x tənliyini həll edin 2

b) x tənliyini həll edin 2

c) x tənliyini həll edin 2

Həll.

a) x tənliyini həll edin 2 −6x+5=0. Əgər tənliyin birdən çox kökü varsa, cavab olaraq kiçik kökü yazın.

Köklərdən ən kiçikinin seçilməsi

Cavab: 1

b) x tənliyini həll edin 2 +7x+10=0. Əgər tənliyin birdən çox kökü varsa, cavab olaraq daha böyük kökü yazın.

Vyeta teoremini tətbiq edərək, köklər üçün düsturlar yazırıq

Məntiqlə düşünərək belə qənaətə gəlirik. Köklərdən ən böyüyünün seçilməsi

Cavab: ─2.

c) x tənliyini həll edin 2 ─5x─14=0. Əgər tənliyin birdən çox kökü varsa, cavab olaraq daha böyük kökü yazın.

Vyeta teoremini tətbiq edərək, köklər üçün düsturlar yazırıq

Məntiqlə düşünərək belə qənaətə gəlirik. Köklərdən ən kiçikinin seçilməsi

Cavab: ─2.

1.3 Rasional tənliklər

Əgər formanın kəsrləri ilə tənlik verilirsəsay və ya məxrəcdə dəyişən ilə, onda belə ifadə rasional tənlik adlanır. Rasional tənlik ən azı bir rasional ifadəni ehtiva edən hər hansı bir tənlikdir. Rasional tənliklər istənilən tənlik kimi həll edilir: dəyişən tənliyin bir tərəfində təcrid olunana qədər eyni əməliyyatlar tənliyin hər iki tərəfində yerinə yetirilir. Bununla belə, rasional tənliklərin həlli üçün 2 üsul var.

1) Çarpaz vurma.Lazım gələrsə, sizə verilən tənliyi yenidən yazın ki, hər tərəfdə bir kəsr (bir rasional ifadə) olsun; yalnız bu halda çarpaz vurma üsulundan istifadə edə bilərsiniz.

Sol kəsrin payını sağın məxrəcinə vurun. Bunu sağ fraksiyanın payı və solun məxrəci ilə təkrarlayın.

• Çarpaz çarpma əsas cəbri prinsiplərə əsaslanır. Rasional ifadələrdə və digər kəsrlərdə iki kəsrin paylarını və məxrəclərini müvafiq olaraq vurmaqla, paydan xilas olmaq olar.
• Yaranan ifadələri bərabərləşdirin və sadələşdirin.
• Nəticədə tənliyi həll edin, yəni “x” tapın. Əgər "x" tənliyin hər iki tərəfindədirsə, onu tənliyin bir tərəfində təcrid edin.

2) Bu tənliyi sadələşdirmək üçün ən aşağı ortaq məxrəcdən (LCD) istifadə olunur.Bu üsul, tənliyin hər tərəfində bir rasional ifadə ilə verilmiş tənliyi yaza bilmədiyiniz zaman istifadə olunur (və çarpaz çarpma metodundan istifadə edin). Bu üsul sizə 3 və ya daha çox fraksiyadan ibarət rasional tənlik verildikdə istifadə olunur (iki fraksiya halında çarpaz çarpmadan istifadə etmək daha yaxşıdır).

• Kəsrin ən kiçik ortaq məxrəcini tapın (və ya ən kiçik ümumi çoxluğu).NOZ hər bir məxrəcə bərabər bölünən ən kiçik ədəddir.
• Hər kəsrin həm payını, həm də məxrəcini MOK-un hər kəsrin müvafiq məxrəcinə bölməsinin nəticəsinə bərabər olan ədədə vurun.
• x tapın. İndi kəsrləri ümumi məxrəcə endirdiyiniz üçün məxrəcdən xilas ola bilərsiniz. Bunu etmək üçün tənliyin hər tərəfini ortaq məxrəcə vurun. Sonra yaranan tənliyi həll edin, yəni “x”i tapın. Bunun üçün tənliyin bir tərəfində dəyişəni təcrid edin.

Misal 7. Tənlikləri həll edin: a); b) c) .

Həll.

A) . Çarpaz vurma üsulundan istifadə edirik.

Mötərizələr açırıq və oxşar şərtləri təqdim edirik.

bir naməlum olan xətti tənlik əldə etdi

Cavab: ─10.

b) , əvvəlki nümunəyə bənzər şəkildə çarpaz çarpma metodunu tətbiq edirik.

Cavab: ─1.9.

V) , biz ən kiçik ortaq məxrəc (LCD) metodundan istifadə edirik.

Bu nümunədə ortaq məxrəc 12 olacaqdır.

Cavab: 5.

Fəsil 2 Mürəkkəb tənliklər

Mürəkkəb tənliklər kateqoriyasına aid olan tənliklər müxtəlif üsul və həll üsullarını birləşdirə bilər. Ancaq bu və ya digər şəkildə məntiqi əsaslandırma və ekvivalent hərəkətlər üsulu ilə bütün tənliklər əvvəllər öyrənilmiş tənliklərə səbəb olur.

Misal 7. tənliyi həll edin( x +3) 2 =(x +8) 2 .

Həll. Qısaldılmış vurma düsturlarından istifadə edərək mötərizələri açacağıq:

Biz bütün şərtləri bərabər işarədən kənara köçürür və oxşarlarını gətiririk,

Cavab: 5.5.

Misal 8. Tənlikləri həll edin: a)(− 5 x +3)(− x +6)=0, b) (x +2)(− x +6)=0.

Həll.

a)(− 5 x +3)(− x +6)=0; Mötərizələri açıb oxşar terminləri təqdim edək

birinci diskriminant düsturu vasitəsilə həll edəcəyimiz tam kvadrat tənlik əldə etdik

tənliyin iki kökü var

Cavab: 0.6 və 6.

b) (x +2)(− x +6)=0, bu tənlik üçün məntiqi əsaslandırma aparacağıq (əmsallardan biri sıfıra bərabər olduqda hasil sıfıra bərabərdir). deməkdir

Cavab: ─2 və 6.

Misal 9. Tənlikləri həll edin:, b).

Həll. Ən kiçik ortaq məxrəci tapaq

Dəyişənin dərəcələrini azalan ardıcıllıqla yazaq

; cüt ikinci əmsallı tam kvadrat tənlik əldə etdi

Tənliyin iki həqiqi kökü var

Cavab: .

b) . Əsaslandırma a) ilə oxşardır. NPD tapmaq

Mötərizələr açırıq və oxşar şərtləri təqdim edirik

ümumi düstur vasitəsilə tam kvadrat tənliyi həll edin

Cavab: .

Misal 10. Tənlikləri həll edin:

Həll.

A) , Qeyd edək ki, sol tərəfdə mötərizənin içindəki ifadə qısaldılmış vurma düsturunu, daha dəqiq desək, iki ifadənin cəminin kvadratını təmsil edir. Gəlin onu çevirək

; bu tənliyin şərtlərini bir tərəfə köçürün

onu mötərizədən çıxaraq

Faktorlardan biri sıfır olduqda məhsul sıfırdır. O deməkdir ki,

Cavab: ─2, ─1 və 1.

b) Məsələn, a) ilə eyni şəkildə əsaslandırırıq

, Vyeta teoremi ilə

Cavab:

Misal 11. Tənlikləri həll edin a)

Həll.

A) ; [tənliyin sol və sağ tərəflərində mötərizələri çıxarmaq üsulundan istifadə edə bilərsiniz, sol tərəfdə isə biz çıxaracağıq, və sağ tərəfə 16 rəqəmini qoyuruq.]

[hər şeyi bir tərəfə keçirək və bir daha bracketing metodunu tətbiq edək. Ümumi faktoru çıxaracağıq]

[əmsallardan biri sıfır olduqda məhsul sıfırdır.]

Cavab:

b) . [Bu tənlik a) tənliyinə bənzəyir. Buna görə də, bu halda qruplaşdırma metodunu tətbiq edirik]

Cavab:

Misal 12. Tənliyi həll edin=0.

Həll.

0 [bikvadrat tənlik. Dəyişən metodun dəyişdirilməsi ilə həll edilir].

0; [Vyeta teoremini tətbiq edərək kökləri əldə edirik]

. [əvvəlki dəyişənlərə qayıt]

Cavab:

Misal 13. Tənliyi həll edin

Həll. [bikvadrat tənlik, modul işarələrindən istifadə etməklə bərabər güclərdən xilas oluruq.]

[kvadrat tənliyin kökləri üçün əsas düsturdan istifadə edərək həll etdiyimiz iki kvadrat tənlik aldıq]

heç bir həqiqi kök tənliyinin iki kökü yoxdur

Cavab:

Misal 14. Tənliyi həll edin

Həll.

ODZ:

[tənliyin bütün şərtlərini sol tərəfə köçürün və oxşar şərtləri gətirin]

[Vyeta teoremindən istifadə etməklə asanlıqla həll olunan azaldılmış kvadrat tənliyi əldə etdik]

– 1 rəqəmi verilmiş tənliyin ODZ-ni təmin etmir, ona görə də bu tənliyin kökü ola bilməz. Bu o deməkdir ki, yalnız 7 rəqəmi kökdür.

Cavab: 7.

Misal 15. Tənliyi həll edin

Həll.

İki ifadənin kvadratlarının cəmi o halda sıfıra bərabər ola bilər ki, ifadələr eyni zamanda sıfıra bərabər olsun. Məhz

[Hər bir tənliyi ayrıca həll edirik]

Vyeta teoremi ilə

-5-ə bərabər olan köklərin üst-üstə düşməsi tənliyin kökü olacaqdır.

Cavab: – 5.

NƏTİCƏ

Görülən işlərin nəticələrini yekunlaşdıraraq belə bir nəticəyə gələ bilərik: tənliklər riyaziyyatın inkişafında böyük rol oynayır. Əldə olunan bilikləri sistemləşdirdik və əhatə olunan materialı ümumiləşdirdik. Bu bilik bizi qarşıdan gələn imtahanlara hazırlaya bilər.

Bizim işimiz riyaziyyatın qarşımıza qoyduğu vəzifələrə fərqli nəzər salmağa imkan verir.

• layihənin sonunda tənliklərin həlli üçün əvvəllər öyrənilmiş üsulları sistemləşdirdik və ümumiləşdirdik;
• tənliklərin həllinin yeni üsulları və tənliklərin xassələri ilə tanış oldular;

• Həm birinci hissədə, həm də ikinci hissədə OGE tapşırıqlarında olan bütün növ tənliklərə baxdıq.
• “OGE tapşırıqlarında tənliklər” metodik toplusunu yaratdıq.

Hesab edirik ki, qarşımıza qoyduğumuz məqsədə - riyaziyyatdan əsas dövlət imtahanının tapşırıqlarında bütün növ tənlikləri nəzərə almağa nail olmuşuq.

İstifadə olunmuş ədəbiyyat siyahısı:

1. B.V. Gnedenko "Müasir dünyada riyaziyyat". Moskva "Maarifçilik" 1980

2. Ya.İ. Perelman "Əyləncəli cəbr". Moskva "Elm" 1978

6. http://tutorial.math.lamar.edu

7. http://www.regentsprep.org

8. http://www.fipi.ru

Əlavə 1

Xətti tənliklər

1. Tənliyin kökünü tapın

2. Tənliyin kökünü tapın

3. Tənliyin kökünü tapın

Əlavə 2

Natamam kvadrat tənliklər

1. x tənliyini həll edin 2 =5x. Əgər tənliyin birdən çox kökü varsa, cavab olaraq kiçik kökü yazın.

2. 2x tənliyini həll edin 2 =8x. Əgər tənliyin birdən çox kökü varsa, cavab olaraq kiçik kökü yazın.

3. 3x tənliyini həll edin 2 =9x. Əgər tənliyin birdən çox kökü varsa, cavab olaraq kiçik kökü yazın.

4. 4x tənliyini həll edin 2 =20x. Əgər tənliyin birdən çox kökü varsa, cavab olaraq kiçik kökü yazın.

5. 5x tənliyini həll edin 2 =35x. Əgər tənliyin birdən çox kökü varsa, cavab olaraq kiçik kökü yazın.

6. 6x tənliyini həll edin 2 =36x. Əgər tənliyin birdən çox kökü varsa, cavab olaraq kiçik kökü yazın.

7. 7x tənliyini həll edin 2 =42x. Əgər tənliyin birdən çox kökü varsa, cavab olaraq kiçik kökü yazın.

8. 8x tənliyini həll edin 2 =72x. Əgər tənliyin birdən çox kökü varsa, cavab olaraq kiçik kökü yazın.

9. 9x tənliyini həll edin 2 =54x. Əgər tənliyin birdən çox kökü varsa, cavab olaraq kiçik kökü yazın.

10. 10x tənliyini həll edin2 =80x. Əgər tənliyin birdən çox kökü varsa, cavab olaraq kiçik kökü yazın.

11. 5x tənliyini həll edin2 −10x=0. Əgər tənliyin birdən çox kökü varsa, cavab olaraq daha böyük kökü yazın.

12. 3x tənliyini həll edin2 −9x=0. Əgər tənliyin birdən çox kökü varsa, cavab olaraq daha böyük kökü yazın.

13. 4x tənliyini həll edin2 −16x=0. Əgər tənliyin birdən çox kökü varsa, cavab olaraq daha böyük kökü yazın.

14. 5x tənliyini həll edin2 +15x=0. Əgər tənliyin birdən çox kökü varsa, cavab olaraq kiçik kökü yazın.

15. 3x tənliyini həll edin2 +18x=0. Əgər tənliyin birdən çox kökü varsa, cavab olaraq kiçik kökü yazın.

16. 6x tənliyini həll edin2 +24x=0. Əgər tənliyin birdən çox kökü varsa, cavab olaraq kiçik kökü yazın.

17. 4x tənliyini həll edin2 −20x=0. Əgər tənliyin birdən çox kökü varsa, cavab olaraq daha böyük kökü yazın.

18. 5x tənliyini həll edin2 +20x=0. Əgər tənliyin birdən çox kökü varsa, cavab olaraq kiçik kökü yazın.

19. 7x tənliyini həll edin2 −14x=0. Əgər tənliyin birdən çox kökü varsa, cavab olaraq daha böyük kökü yazın.

20. 3x tənliyini həll edin2 +12x=0. Əgər tənliyin birdən çox kökü varsa, cavab olaraq kiçik kökü yazın.

21. x tənliyini həll edin2 −9=0. Əgər tənliyin birdən çox kökü varsa, cavab olaraq kiçik kökü yazın.

22. x tənliyini həll edin2 −121=0. Əgər tənliyin birdən çox kökü varsa, cavab olaraq kiçik kökü yazın.

23. x tənliyini həll edin2 −16=0. Əgər tənliyin birdən çox kökü varsa, cavab olaraq kiçik kökü yazın.

24. x tənliyini həll edin2 −25=0. Əgər tənliyin birdən çox kökü varsa, cavab olaraq kiçik kökü yazın.

25. x tənliyini həll edin2 −49=0. Əgər tənliyin birdən çox kökü varsa, cavab olaraq kiçik kökü yazın.

26. x tənliyini həll edin2 −81=0. Əgər tənliyin birdən çox kökü varsa, cavab olaraq kiçik kökü yazın.

27. x tənliyini həll edin2 −4=0. Əgər tənliyin birdən çox kökü varsa, cavab olaraq kiçik kökü yazın.

28. x tənliyini həll edin2 −64=0. Əgər tənliyin birdən çox kökü varsa, cavab olaraq kiçik kökü yazın.

29. x tənliyini həll edin2 −36=0. Əgər tənliyin birdən çox kökü varsa, cavab olaraq kiçik kökü yazın.

30. x tənliyini həll edin2 −144=0. Əgər tənliyin birdən çox kökü varsa, cavab olaraq kiçik kökü yazın.

31. x tənliyini həll edin2 −9=0. Əgər tənliyin birdən çox kökü varsa, cavab olaraq daha böyük kökü yazın.

32. x tənliyini həll edin2 −121=0. Əgər tənliyin birdən çox kökü varsa, cavab olaraq daha böyük kökü yazın.

33. x tənliyini həll edin2 −16=0. Əgər tənliyin birdən çox kökü varsa, cavab olaraq daha böyük kökü yazın.

34. x tənliyini həll edin2 −25=0. Əgər tənliyin birdən çox kökü varsa, cavab olaraq daha böyük kökü yazın.

35. x tənliyini həll edin2 −49=0. Əgər tənliyin birdən çox kökü varsa, cavab olaraq daha böyük kökü yazın.

36. x tənliyini həll edin2 −81=0. Əgər tənliyin birdən çox kökü varsa, cavab olaraq daha böyük kökü yazın.

37. x tənliyini həll edin2 −4=0. Əgər tənliyin birdən çox kökü varsa, cavab olaraq daha böyük kökü yazın.

38. x tənliyini həll edin2 −64=0. Əgər tənliyin birdən çox kökü varsa, cavab olaraq daha böyük kökü yazın.

39. x tənliyini həll edin2 −36=0. Əgər tənliyin birdən çox kökü varsa, cavab olaraq daha böyük kökü yazın.

40. x tənliyini həll edin2 −144=0. Əgər tənliyin birdən çox kökü varsa, cavab olaraq daha böyük kökü yazın.

Əlavə 3

Tam kvadrat tənliklər

1. x tənliyini həll edin2 +3x=10. Əgər tənliyin birdən çox kökü varsa, cavab olaraq daha böyük kökü yazın.

2. x tənliyini həll edin2 +7x=18. Əgər tənliyin birdən çox kökü varsa, cavab olaraq daha böyük kökü yazın.

3. x tənliyini həll edin2 +2x=15. Əgər tənliyin birdən çox kökü varsa, cavab olaraq kiçik kökü yazın.

4. x tənliyini həll edin2 −6x=16. Əgər tənliyin birdən çox kökü varsa, cavab olaraq kiçik kökü yazın.

5. x tənliyini həll edin2 −3x=18. Əgər tənliyin birdən çox kökü varsa, cavab olaraq daha böyük kökü yazın.

6. x tənliyini həll edin2 −18=7x. Əgər tənliyin birdən çox kökü varsa, cavab olaraq daha böyük kökü yazın.

7. x tənliyini həll edin2 +4x=21. Əgər tənliyin birdən çox kökü varsa, cavab olaraq kiçik kökü yazın.

8. x tənliyini həll edin2 −21=4x. Əgər tənliyin birdən çox kökü varsa, cavab olaraq daha böyük kökü yazın.

9. x tənliyini həll edin2 −15=2x. Əgər tənliyin birdən çox kökü varsa, cavab olaraq kiçik kökü yazın.

10. x tənliyini həll edin2 −5x=14. Əgər tənliyin birdən çox kökü varsa, cavab olaraq daha böyük kökü yazın.

11. x tənliyini həll edin2 +6=5x. Əgər tənliyin birdən çox kökü varsa, cavab olaraq kiçik kökü yazın.

12. x tənliyini həll edin2 +4=5x. Əgər tənliyin birdən çox kökü varsa, cavab olaraq daha böyük kökü yazın.

13. x tənliyini həll edin2 −x=12. Əgər tənliyin birdən çox kökü varsa, cavab olaraq daha böyük kökü yazın.

14. x tənliyini həll edin2 +4x=5. Əgər tənliyin birdən çox kökü varsa, cavab olaraq kiçik kökü yazın.

15. x tənliyini həll edin2 −7x=8. Əgər tənliyin birdən çox kökü varsa, cavab olaraq daha böyük kökü yazın.

16. x tənliyini həll edin2 +7=8x. Əgər tənliyin birdən çox kökü varsa, cavab olaraq kiçik kökü yazın.

17. x tənliyini həll edin2 +18=9x. Əgər tənliyin birdən çox kökü varsa, cavab olaraq kiçik kökü yazın.

18. x tənliyini həll edin2 +10=7x. Əgər tənliyin birdən çox kökü varsa, cavab olaraq daha böyük kökü yazın.

19. x tənliyini həll edin2 −20=x. Əgər tənliyin birdən çox kökü varsa, cavab olaraq daha böyük kökü yazın.

20. x tənliyini həll edin2 −35=2x. Əgər tənliyin birdən çox kökü varsa, cavab olaraq kiçik kökü yazın.

21. 2x tənliyini həll edin2 −3x+1=0. Əgər tənliyin birdən çox kökü varsa, cavab olaraq kiçik kökü yazın.

22. 5x tənliyini həll edin2 +4x−1=0. Əgər tənliyin birdən çox kökü varsa, cavab olaraq daha böyük kökü yazın.

23. 2x tənliyini həll edin2 +5x−7=0. Əgər tənliyin birdən çox kökü varsa, cavab olaraq kiçik kökü yazın.

24. 5x tənliyini həll edin2 −12x+7=0. Əgər tənliyin birdən çox kökü varsa, cavab olaraq daha böyük kökü yazın.

25. 5x tənliyini həll edin2 −9x+4=0. Əgər tənliyin birdən çox kökü varsa, cavab olaraq kiçik kökü yazın.

26. 8x tənliyini həll edin2 −12x+4=0. Əgər tənliyin birdən çox kökü varsa, cavab olaraq kiçik kökü yazın.

27. 8x tənliyini həll edin2 −10x+2=0. Əgər tənliyin birdən çox kökü varsa, cavab olaraq kiçik kökü yazın.

28. 6x tənliyini həll edin2 −9x+3=0. Əgər tənliyin birdən çox kökü varsa, cavab olaraq kiçik kökü yazın.

29. 5x tənliyini həll edin2 +9x+4=0. Əgər tənliyin birdən çox kökü varsa, cavab olaraq daha böyük kökü yazın.

30. 5x tənliyini həll edin2 +8x+3=0. Əgər tənliyin birdən çox kökü varsa, cavab olaraq daha böyük kökü yazın.

31. x tənliyini həll edin2 −6x+5=0. Əgər tənliyin birdən çox kökü varsa, cavab olaraq kiçik kökü yazın.

32. x tənliyini həll edin2 −7x+10=0. Əgər tənliyin birdən çox kökü varsa, cavab olaraq kiçik kökü yazın.

33. x tənliyini həll edin2 −9x+18=0. Əgər tənliyin birdən çox kökü varsa, cavab olaraq kiçik kökü yazın.

34. x tənliyini həll edin2 −10x+24=0. Əgər tənliyin birdən çox kökü varsa, cavab olaraq kiçik kökü yazın.

35. x tənliyini həll edin2 −11x+30=0. Əgər tənliyin birdən çox kökü varsa, cavab olaraq kiçik kökü yazın.

36. x tənliyini həll edin2 −8x+12=0. Əgər tənliyin birdən çox kökü varsa, cavab olaraq daha böyük kökü yazın.

37. x tənliyini həll edin2 −10x+21=0. Əgər tənliyin birdən çox kökü varsa, cavab olaraq daha böyük kökü yazın.

38. x tənliyini həll edin2 −9x+8=0. Əgər tənliyin birdən çox kökü varsa, cavab olaraq daha böyük kökü yazın.

39. x tənliyini həll edin2 −11x+18=0. Əgər tənliyin birdən çox kökü varsa, cavab olaraq daha böyük kökü yazın.

40. x tənliyini həll edin2 −12x+20=0. Əgər tənliyin birdən çox kökü varsa, cavab olaraq daha böyük kökü yazın.

Əlavə 4.

Rasional tənliklər.

1. Tənliyin kökünü tapın

2. Tənliyin kökünü tapın

3. Tənliyin kökünü tapın

4. Tənliyin kökünü tapın

5. Tənliyin kökünü tapın

6. Tənliyin kökünü tapın.

7. Tənliyin kökünü tapın

8. Tənliyin kökünü tapın

9. Tənliyin kökünü tapın.

10. Tənliyin kökünü tapın

11. Tənliyin kökünü tapın.

12. Tənliyin kökünü tapın

13. Tənliyin kökünü tapın

14. Tənliyin kökünü tapın

15. Tənliyin kökünü tapın

16. Tənliyin kökünü tapın

17. Tənliyin kökünü tapın

18. Tənliyin kökünü tapın

19. Tənliyin kökünü tapın

20. Tənliyin kökünü tapın

21. Tənliyin kökünü tapın

22. Tənliyin kökünü tapın

23. Tənliyin kökünü tapın

Əlavə 5

Kompleks tənliklər.

1. (x+3) tənliyinin kökünü tapın.2 =(x+8)2 .

2. (x−5) tənliyinin kökünü tapın.2 =(x+10)2 .

3. (x+9) tənliyinin kökünü tapın.2 =(x+6)2 .

4. (x+10) tənliyinin kökünü tapın.2 =(x−9)2 .

5. (x−5) tənliyinin kökünü tapın.2 =(x−8)2 .

6. Tənliyin kökünü tapın.

7. Tənliyin kökünü tapın.

8. Tənliyin kökünü tapın.

9. Tənliyin kökünü tapın.

10. Tənliyin kökünü tapın.

11. (x+2)(− x+6)=0 tənliyini həll edin. Əgər tənliyin birdən çox kökü varsa, cavab olaraq kiçik kökü yazın.

12. (x+3)(− x−2)=0 tənliyini həll edin. Əgər tənliyin birdən çox kökü varsa, cavab olaraq kiçik kökü yazın.

13. (x−11)(− x+9)=0 tənliyini həll edin. Əgər tənliyin birdən çox kökü varsa, cavab olaraq kiçik kökü yazın.

14. (x−1)(− x−4)=0 tənliyini həll edin. Əgər tənliyin birdən çox kökü varsa, cavab olaraq kiçik kökü yazın.

15. (x−2)(− x−1)=0 tənliyini həll edin. Əgər tənliyin birdən çox kökü varsa, cavab olaraq kiçik kökü yazın.

16. (x+20)(− x+10)=0 tənliyini həll edin. Əgər tənliyin birdən çox kökü varsa, cavab olaraq daha böyük kökü yazın.

17. (x−2)(− x−3)=0 tənliyini həll edin. Əgər tənliyin birdən çox kökü varsa, cavab olaraq daha böyük kökü yazın.

18. (x−7)(− x+2)=0 tənliyini həll edin. Əgər tənliyin birdən çox kökü varsa, cavab olaraq daha böyük kökü yazın.

19. (x−5)(− x−10)=0 tənliyini həll edin. Əgər tənliyin birdən çox kökü varsa, cavab olaraq daha böyük kökü yazın.

20. (x+10)(− x−8)=0 tənliyini həll edin. Əgər tənliyin birdən çox kökü varsa, cavab olaraq daha böyük kökü yazın.

21. (− 5x+3)(− x+6)=0 tənliyini həll edin. Əgər tənliyin birdən çox kökü varsa, cavab olaraq kiçik kökü yazın.

22. (− 2x+1)(− 2x−7)=0 tənliyini həll edin. Əgər tənliyin birdən çox kökü varsa, cavab olaraq kiçik kökü yazın.

23. (− x−4)(3x+3)=0 tənliyini həll edin. Əgər tənliyin birdən çox kökü varsa, cavab olaraq daha böyük kökü yazın.

24. (x−6)(4x−6)=0 tənliyini həll edin. Əgər tənliyin birdən çox kökü varsa, cavab olaraq kiçik kökü yazın.

25. (− 5x−3)(2x−1)=0 tənliyini həll edin. Əgər tənliyin birdən çox kökü varsa, cavab olaraq kiçik kökü yazın.

26. (x−2)(− 2x−3)=0 tənliyini həll edin. Əgər tənliyin birdən çox kökü varsa, cavab olaraq kiçik kökü yazın.

27. (5x+2)(− x−4)=0 tənliyini həll edin. Əgər tənliyin birdən çox kökü varsa, cavab olaraq daha böyük kökü yazın.

28. (x−6)(− 5x−9)=0 tənliyini həll edin. Əgər tənliyin birdən çox kökü varsa, cavab olaraq kiçik kökü yazın.

29. (6x−3)(− x+3)=0 tənliyini həll edin. Əgər tənliyin birdən çox kökü varsa, cavab olaraq daha böyük kökü yazın.

30. (5x−2)(− x+3)=0 tənliyini həll edin. Əgər tənliyin birdən çox kökü varsa, cavab olaraq kiçik kökü yazın.

31. Tənliyi həll edin

32. Tənliyi həll edin

33. Tənliyi həll edin

34. Tənliyi həll edin

35. Tənliyi həll edin

36. Tənliyi həll edin

37. Tənliyi həll edin

38. Tənliyi həll edin

39. Tənliyi həll edin

40 Tənliyi həll edin

41. x(x) tənliyini həll edin2 +2x+1)=2(x+1).

42. (x−1)(x) tənliyini həll edin2 +4x+4)=4(x+2).

43. x(x) tənliyini həll edin2 +6x+9)=4(x+3).

44. (x−1)(x) tənliyini həll edin2 +8x+16)=6(x+4).

45. x(x) tənliyini həll edin2 +2x+1)=6(x+1).

46. ​​(x−1)(x) tənliyini həll edin2 +6x+9)=5(x+3).

47. (x−2)(x) tənliyini həll edin2 +8x+16)=7(x+4).

48. x(x) tənliyini həll edin2 +4x+4)=3(x+2).

49. (x−2)(x) tənliyini həll edin2 +2x+1)=4(x+1).

50. (x−2)(x) tənliyini həll edin2 +6x+9)=6(x+3).

51. (x+2) tənliyini həll edin4 −4(x+2)2 −5=0.

52. (x+1) tənliyini həll edin4 +(x+1)2 −6=0.

53. (x+3) tənliyini həll edin4 +2(x+3)2 −8=0.

54. (x−1) tənliyini həll edin4 −2(x−1)2 −3=0.

55. (x−2) tənliyini həll edin4 −(x−2)2 −6=0.

56. (x−3) tənliyini həll edin4 −3(x−3)2 −10=0.

57. (x+4) tənliyini həll edin4 −6(x+4)2 −7=0.
58. (x−4) tənliyini həll edin4 −4(x−4)2 −21=0.

59. (x+2) tənliyini həll edin4 +(x+2)2 −12=0.

60. (x−2) tənliyini həll edin4 +3(x−2)2 −10=0.

61. x tənliyini həll edin3 +3x2 =16x+48.

62. x tənliyini həll edin3 +4x2 =4x+16.

63. x tənliyini həll edin3 +6x2 =4x+24.

64. x tənliyini həll edin3 +6x2 =9x+54.

65. x tənliyini həll edin3 +3x2 =4x+12.

66. x tənliyini həll edin3 +2x2 =9x+18.

67. x tənliyini həll edin3 +7x2 =4x+28.

68. x tənliyini həll edin3 +4x2 =9x+36.

69. x tənliyini həll edin3 +5x2 =4x+20.

70. x tənliyini həll edin3 +5x2 =9x+45.

71. x tənliyini həll edin3 +3x2 −x−3=0.

72. x tənliyini həll edin3 +4x2 −4x−16=0.

73. x tənliyini həll edin3 +5x2 −x−5=0.

74. x tənliyini həll edin3 +2x2 −x−2=0.

75. x tənliyini həll edin3 +3x2 −4x−12=0.

76. x tənliyini həll edin3 +2x2 −9x−18=0.

77. x tənliyini həll edin3 +4x2 −x−4=0.

78. x tənliyini həll edin3 +4x2 −9x−36=0.

79. x tənliyini həll edin3 +5x2 −4x−20=0.
80. x tənliyini həll edin3 +5x2 −9x−45=0.

81. x tənliyini həll edin4 =(x−20)2 .

82. x tənliyini həll edin4 =(2x−15)2 .

83. x tənliyini həll edin4 =(3x−10)2 .

84. x tənliyini həll edin4 =(4x−5)2 .

85. x tənliyini həll edin4 =(x−12)2 .

86. x tənliyini həll edin4 =(2x−8)2 .

87. x tənliyini həll edin4 =(3x−4)2 .

88. x tənliyini həll edin4 =(x−6)2 .

89. x tənliyini həll edin4 =(2x−3)2 .

90. x tənliyini həll edin4 =(x−2)2 .

91. Tənliyi həll edin

92. Tənliyi həll edin

93. Tənliyi həll edin

94. Tənliyi həll edin

95. Tənliyi həll edin

96. Tənliyi həll edin

97. Tənliyi həll edin

98. Tənliyi həll edin

99. Tənliyi həll edin

100. Tənliyi həll edin

101. Tənliyi həll edin.

102. Tənliyi həll edin

103. Tənliyi həll edin

104. Tənliyi həll edin

105. Tənliyi həll edin

106. Tənliyi həll edin

107. Tənliyi həll edin

108. Tənliyi həll edin

109. Tənliyi həll edin

110. Tənliyi həll edin

TƏNLƏRİN HƏLLİ

OGE-yə hazırlıq

9-cu sinif

Sankt-Peterburqun Nevski rayonunun 14 saylı GBOU məktəbinin riyaziyyat müəllimi Putrova Marina Nikolaevna tərəfindən hazırlanmışdır.

Cümlələri tamamlayın:

1). Tənlik...

2). Tənliyin kökü...

3). Tənliyin həlli o deməkdir ki...

I. Tənlikləri şifahi həll edin:

• 1). 6x + 18=0
• 2). 2x + 5=0
• 3). 5x – 3=0
• 4). -3x + 9=0
• 5). -5x + 1=0
• 6). -2х – 10=0
• 7). 6x – 7=5x
• 8). 9x + 6=10x
• 9). 5x - 12=8x

Aşağıdakı tənliklərdən hansının həlli yoxdur:

A). 2x – 14 = x + 7

b). 2x - 14 = 2(x – 7)

V). x – 7 = 2x + 14

G). 2x- 14 = 2x + 7?

Hansı tənliyin sonsuz çoxlu həlli var:

A). 4x – 12 = x – 12

b). 4x – 12 = 4x + 12

V). 4(x – 3) = 4x – 12

G). 4(x – 3) = x – 10?

NÖVLÜ TƏNLƏR

kx + b = 0

ONLARA XƏTTİ DƏYİLİR.

Xətti tənliklərin həlli alqoritmi :

1). tərkibində naməlum olan terminləri sol tərəfə, naməlum olmayan terminləri isə sağ tərəfə köçürmək (köçürülmüş terminin işarəsi əks olunur);

2). oxşar üzvləri gətirmək;

3).tənliyin hər iki tərəfi sıfıra bərabər deyilsə, naməlumun əmsalına bölün.

Tənlikləri dəftərlərinizdə həll edin :

II qrup: No 697 səh.63

x-1 +(x+2) = -4(-5-x)-5

I qrup:

№ 681 səhifə 63

6(4x)+3x=3

III qrup: No 767 səh 67

(x + 6) 2 + (x + 3) 2 = 2 x 2

Formanın tənliyi

ah 2 + bх + c =0,

burada a≠0, b, c - istənilən həqiqi ədədlərə kvadrat deyilir.

Natamam tənliklər:

ah 2 + bх =0 (c=0),

ah 2 + c =0 (b=0).

II. Kvadrat tənlikləri şifahi şəkildə həll edin, onların tam və ya natamam olduğunu göstərin:

1). 5x 2 + 15x=0

2). -X 2 +2x = 0

3). X 2 -25=0

4). -X 2 +9 =0

5). -X 2 - 16 =0

6). X 2 - 8x + 15=0

7 ) . X 2 + 5x + 6=0

8). X 2 + x - 12 =0

9).(-x-5)(-x+ 6)=0

SUALLAR:

1). Natamam kvadrat tənlikləri həll etmək üçün tənliklərin hansı xassəsindən istifadə olunurdu?

2). Natamam kvadrat tənlikləri həll etmək üçün çoxhədli faktorlara ayırmanın hansı üsullarından istifadə edilmişdir?

3). Tam kvadrat tənliklərin həlli alqoritmi nədir ?

1). İki amilin hasili sıfıra bərabərdir, onlardan biri sıfıra bərabərdirsə, ikincisi mənasını itirmir: ab = 0 , Əgər a = 0 və ya b = 0 .

2). Ümumi çarpanı əvəz etmək və

a 2 - b 2 =(a – b)(a + b) - kvadratlar fərqi düsturu.

3). Tam kvadrat tənlik ah 2 + bx + c = o.

D=b 2 – 4ac əgər D0, 2 kök;

D = 0, 1 kök;

X 1,2 =

TƏNLİKLƏRİ HƏLL EDİN :

I qrup: No 802 səh 71 X 2 - 5x- 36 =0

II qrup: No 810 səh 71 3x 2 - x + 21=5x 2

III qrup: X 4 -5x 2 - 36 =0

III. TƏNLİKLƏRİ HƏLL EDİN :

I və II qrup: No 860 = 0

III qrup: =0

Belə tənliklər nə adlanır? Onları həll etmək üçün hansı əmlakdan istifadə olunur?

Rasional tənlik formanın tənliyidir

Əgər pay sıfırdırsa və məxrəc sıfır deyilsə, kəsr sıfıra bərabərdir. =0, əgər a = 0 olarsa, b≠0.

Riyaziyyatın qısa tarixi

• Qədim Misir riyaziyyatçıları kvadrat və xətti tənlikləri həll edə bildilər.

• Orta əsr fars alimi Əl-Xorəzmi (IX əsr) ilk dəfə cəbri xətti və kvadrat tənliklərin həllinin ümumi üsulları haqqında müstəqil elm kimi təqdim etmiş və bu tənliklərin təsnifatını vermişdir.

• Riyaziyyatda yeni böyük sıçrayış fransız alimi Fransua Vietanın (XVI əsr) adı ilə bağlıdır. Cəbrə hərfləri daxil edən də o idi. O, kvadrat tənliklərin kökləri haqqında məşhur teoremdən məsuldur.

• Biz isə naməlum kəmiyyətləri latın əlifbasının son hərfləri ilə (x, y, z) işarələmək ənənəsini başqa bir fransız riyaziyyatçısı - Rene Dekarta (XVII) borcluyuq.

Əl-Xarəzmi

Fransua Vyet

Rene Dekart

Ev tapşırığı

Veb saytlarla işləmək :

- Açıq tapşırıq bankı OGE (riyaziyyat) http://85.142.162.126/os/xmodules/qprint/index.php?proj=DE0E276E497AB3784C3FC4CC20248DC0 ;

- D.Quşçinin “OGE-ni həll edəcəm” https://oge.sdamgia.ru/ ;

- A. Larinin veb-saytı (seçim 119) http://alexlarin.net/ .

Dərsliklər:

- Yu.M.Kolyagin “Cəbr 9-cu sinif” dərsliyi, M., “Maarifçilik”, 2014, s. 308-310;

- "3000 tapşırıq" altında. redaktə edən I.V. Yaşçenko, M., “İmtahan”, 2017, s.59-74.

! Nəzəriyyədən praktikaya;

! Sadədən mürəkkəbə

MAOU "Platoshin Orta Məktəbi",

riyaziyyat müəllimi, Melekhina G.V.

Xətti tənliyin ümumi forması: balta + b = 0 ,

Harada a Və b– ədədlər (əmsallar).

• Əgər a = 0 Və b = 0, Bu 0x + 0 = 0 – sonsuz sayda kök;
• Əgər a = 0 Və b ≠ 0, Bu 0x + b = 0- həllər yoxdur;
• Əgər a ≠ 0 Və b = 0 , Bu balta + 0 = 0 – bir kök, x = 0;
• Əgər a ≠ 0 Və b ≠ 0 , Bu balta + b = 0 - bir kök,

! Əgər X birinci dərəcədirsə və məxrəcdə deyilsə, o, xətti tənlikdir

! Və əgər xətti tənlik olarsa kompleks :

! X ilə şərtlər sola, X olmadan sağa gedir.

! Bu tənliklər həm də xətti .

! Nisbətin əsas xüsusiyyəti (çarpaz).

! Mötərizələri açın, X ilə sola, X olmadan sağa.

• əmsalı olarsa a = 1, onda tənlik çağırılır verilmişdir :

• əmsalı olarsa b = 0 və ya/və c = 0, onda tənlik çağırılır natamam :

! Əsas düsturlar

! Daha çox düsturlar

Bikvadrat tənlik- formanın tənliyi adlanır balta 4 +bx 2 + c = 0 .

Biquadratic tənlik azalır kvadrat tənlik sonra əvəzetmədən istifadə etməklə

Kvadrat tənlik alırıq:

Kökləri tapıb dəyişdirməyə qayıdaq:

Misal 1:

x tənliyini həll edin 4 + 5x 2 – 36 = 0.

Həll:

Əvəzetmə: x 2 = t.

t 2 + 5t – 36 = 0. Tənliyin kökləri t 1 = -9 və t 2 = 4-dür.

x 2 = -9 və ya x 2 = 4.

Cavab: Birinci tənlikdə kök yoxdur, ikincidə isə: x = ±2.

Misal 2:

Tənliyi həll edin (2х – 1) 4 – 25(2x – 1) 2 + 144 = 0.

Həll:

Əvəzetmə: (2x – 1) 2 = t.

t 2 – 25t + 144 = 0. Tənliyin kökləri t 1 = 9 və t 2 = 16-dır.

(2x – 1) 2 = 9 və ya (2x – 1) 2 = 16.

2x – 1 = ±3 və ya 2x – 1 = ±4.

Birinci tənliyin iki kökü var: x = 2 və x = -1, ikincinin də iki kökü var: x = 2.5 və x = -1.5.

Cavab: -1,5; -1; 2; 2.5.

1) X 4 - 9 X 2 = 0; 2) 4 X 4 - x 2 = 0;

1) X 4 + x 2 - 2 = 0;

2) X 4 - 3 X 2 - 4 = 0; 3) 9 X 4 + 8 X 2 - 1 = 0; 4) 20 X 4 - X 2 - 1 = 0.

Sol tərəfdən seçim edərək tənlikləri həll edin tam kvadrat :

1) X 4 - 20 X 2 + 64 = 0; 2) X 4 - 13 X 2 + 36 = 0; 3) X 4 - 4 X 2 + 1 = 0; 4) X 4 + 2 X 2 +1 = 0.

! Cəmin kvadratını və fərqin kvadratını xatırlayın

Rasional ifadəədədlərdən və dəyişəndən ibarət cəbri ifadədir x təbii göstərici ilə toplama, çıxma, vurma, bölmə və eksponentasiya əməliyyatlarından istifadə etməklə.

Əgər r(x) rasional ifadədir, sonra tənlikdir r(x)=0 rasional tənlik adlanır.

Rasional tənliyin həlli alqoritmi:

1. Tənliyin bütün şərtlərini bir tərəfə köçürün.

2. Tənliyin bu hissəsini cəbri kəsrə çevirin p(x)/q(x)

3. Tənliyi həll edin p(x)=0

4. Tənliyin hər bir kökü üçün p(x)=0şərtə cavab verib-vermədiyini yoxlayın q(x)≠0 ya yox. Əgər belədirsə, bu, verilmiş tənliyin köküdür; deyilsə, o, kənar kökdür və cavaba daxil edilməməlidir.

! Kəsir rasional tənliyin həllini xatırlayaq:

! Tənlikləri həll etmək üçün qısaldılmış vurma düsturlarını xatırlamaq faydalıdır:

Əgər tənlikdə kvadrat kök işarəsi altında dəyişən varsa, o zaman tənlik çağırılır irrasional .

Tənliyin hər iki tərəfinin kvadratlaşdırılması üsulu- irrasional tənliklərin həlli üçün əsas üsul.

Yaranan rasional tənliyi həll etdikdən sonra etmək lazımdır yoxlayın , mümkün kənar kökləri çıxarmaq.

Cavab: 5; 4

Başqa bir misal:

İmtahan:

İfadənin heç bir mənası yoxdur.

Cavab: həllər yoxdur.