Kəsrə aid bütün qaydalar. Adi kəsrlər üzərində arifmetik əməliyyatların aparılması qaydaları

Bu məqalə kəsrlər üzərində əməliyyatları araşdırır. A B formasının kəsrlərinin toplanması, çıxılması, vurulması, bölünməsi və ya eksponentasiyası qaydaları formalaşacaq və əsaslandırılacaq, burada A və B ədədlər, ədədi ifadələr və ya dəyişənli ifadələr ola bilər. Sonda ətraflı təsviri olan həllər nümunələri nəzərdən keçiriləcək.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ümumi ədədi kəsrlərlə əməliyyatların yerinə yetirilməsi qaydaları

Ümumi kəsrlərin tərkibində natural ədədlər və ya ədədi ifadələr olan say və məxrəc var. 3 5, 2, 8 4, 1 + 2 3 4 (5 - 2), 3 4 + 7 8 2, 3 - 0, 8, 1 2 2, π 1 - 2 3 + π kimi kəsrləri nəzərə alsaq, 2 0, 5 ln 3, onda aydın olur ki, pay və məxrəc təkcə rəqəmlərə deyil, həm də müxtəlif növ ifadələrə malik ola bilər.

Tərif 1

Adi fraksiyalarla əməliyyatların aparıldığı qaydalar var. Ümumi fraksiyalar üçün də uyğundur:

• Bənzər məxrəcləri olan kəsrləri çıxararkən, yalnız saylar əlavə edilir və məxrəc eyni qalır, yəni: a d ± c d = a ± c d, a, c və d ≠ 0 dəyərləri bəzi ədədlər və ya ədədi ifadələrdir.
• Məxrəcləri müxtəlif olan kəsri toplayan və ya çıxdıqda onu ortaq məxrəcə endirmək, sonra isə eyni göstəriciləri olan kəsrləri toplamaq və ya çıxmaq lazımdır. Hərfi mənada belə görünür: a b ± c d = a · p ± c · r s, burada a, b ≠ 0, c, d ≠ 0, p ≠ 0, r ≠ 0, s ≠ 0 qiymətləri həqiqi ədədlərdir, və b · p = d · r = s. p = d və r = b olduqda, a b ± c d = a · d ± c · d b · d.
• Kəsrləri vurarkən hərəkət paylayıcılarla yerinə yetirilir, ondan sonra məxrəclərlə, sonra b · c d = a · c b · d alırıq, burada a, b ≠ 0, c, d ≠ 0 həqiqi ədədlər kimi çıxış edir.
• Kəsiri kəsrə bölərkən birincini ikinci tərsinə vururuq, yəni say və məxrəci dəyişdiririk: a b: c d = a b · d c.

Qaydaların əsaslandırılması

Hesablayarkən aşağıdakı riyazi məqamlara etibar etməlisiniz:

• kəsik işarəsi bölmə işarəsini bildirir;
• ədədə bölmə onun qarşılıqlı dəyərinə vurma kimi qəbul edilir;
• real ədədlərlə əməliyyatların xassəsinin tətbiqi;
• kəsrlərin və ədədi bərabərsizliklərin əsas xassəsinin tətbiqi.

Onların köməyi ilə formanın çevrilməsini həyata keçirə bilərsiniz:

a d ± c d = a · d - 1 ± c · d - 1 = a ± c · d - 1 = a ± c d ; a b ± c d = a · p b · p ± c · r d · r = a · p s ± c · e s = a · p ± c · r s; a b · c d = a · d b · d · b · c b · d = a · d · a · d - 1 · b · c · b · d - 1 = = a · d · b · c · b · d - 1 · b · d - 1 = a · d · b · c b · d · b · d - 1 = = (a · c) · (b · d) - 1 = a · c b · d

Nümunələr

Əvvəlki paraqrafda fraksiyalarla əməliyyatlar haqqında deyildi. Məhz bundan sonra fraksiyanı sadələşdirmək lazımdır. Bu mövzu fraksiyaların konvertasiyasına dair paraqrafda ətraflı müzakirə edilmişdir.

Əvvəlcə eyni məxrəcli kəsrlərin toplanması və çıxılması nümunəsinə baxaq.

Misal 1

8 2, 7 və 1 2, 7 kəsrlərini nəzərə alsaq, onda qaydaya uyğun olaraq, payı əlavə etmək və məxrəci yenidən yazmaq lazımdır.

Həll

Sonra 8 + 1 2, 7 formasının bir hissəsini alırıq. Əlavəni yerinə yetirdikdən sonra 8 + 1 2, 7 = 9 2, 7 = 90 27 = 3 1 3 formasının bir hissəsini alırıq. Beləliklə, 8 2, 7 + 1 2, 7 = 8 + 1 2, 7 = 9 2, 7 = 90 27 = 3 1 3.

Cavab: 8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 3 1 3

Başqa bir həll yolu var. Başlamaq üçün adi bir fraksiya formasına keçirik, bundan sonra sadələşdirmə aparırıq. Bu belə görünür:

8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 80 27 + 10 27 = 90 27 = 3 1 3

Misal 2

1 - 2 3 · log 2 3 · log 2 5 + 1 -dən 2 3 3 · log 2 3 · log 2 5 + 1 formasının kəsrini çıxaq.

Bərabər məxrəclər verildiyi üçün bu o deməkdir ki, biz eyni məxrəcə malik kəsri hesablayırıq. Bunu anlayırıq

1 - 2 3 log 2 3 log 2 5 + 1 - 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1 = 1 - 2 - 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1

Fərqli məxrəcləri olan kəsrlərin hesablanması nümunələri var. Əhəmiyyətli bir məqam ortaq məxrəcə endirmədir. Bunsuz biz fraksiyalarla sonrakı əməliyyatları yerinə yetirə bilməyəcəyik.

Proses qeyri-müəyyən şəkildə ümumi məxrəcə endirməyi xatırladır. Yəni məxrəcdə ən kiçik ortaq bölən axtarılır, ondan sonra çatışmayan amillər kəsrlərə əlavə edilir.

Əgər əlavə olunan fraksiyaların ümumi faktorları yoxdursa, onların məhsulu bir ola bilər.

Misal 3

2 3 5 + 1 və 1 2 kəsrlərinin toplanması nümunəsinə baxaq.

Həll

Bu halda ortaq məxrəc məxrəclərin hasilidir. Sonra 2 · 3 5 + 1 alırıq. Sonra, əlavə amillər təyin edərkən, birinci fraksiya üçün 2-yə, ikincisi üçün isə 3 5 + 1-ə bərabərdir. Vurmadan sonra kəsrlər 4 2 · 3 5 + 1 formasına endirilir. 1 2-nin ümumi azalması 3 5 + 1 2 · 3 5 + 1 olacaqdır. Nəticədə kəsr ifadələrini əlavə edirik və bunu alırıq

2 3 5 + 1 + 1 2 = 2 2 2 3 5 + 1 + 1 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = = 4 2 3 5 + 1 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 4 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

Cavab: 2 3 5 + 1 + 1 2 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

Ümumi kəsrlərlə məşğul olanda biz adətən ən aşağı ortaq məxrəcdən danışmırıq. Məxrəc kimi sayların hasilini götürmək sərfəli deyil. Əvvəlcə onların məhsulundan daha az dəyəri olan bir nömrənin olub olmadığını yoxlamaq lazımdır.

Misal 4

1 6 · 2 1 5 və 1 4 · 2 3 5 misalını nəzərdən keçirək, onların hasili 6 · 2 1 5 · 4 · 2 3 5 = 24 · 2 4 5-ə bərabərdir. Sonra ortaq məxrəc kimi 12 · 2 3 5 götürürük.

Ümumi kəsrlərin vurulması nümunələrinə baxaq.

Misal 5

Bunun üçün 2 + 1 6 və 2 · 5 3 · 2 + 1-i çoxaltmaq lazımdır.

Həll

Qaydaya əməl edərək, sayların hasilini məxrəc kimi yenidən yazmaq və yazmaq lazımdır. Alırıq ki, 2 + 1 6 2 5 3 2 + 1 2 + 1 2 5 6 3 2 + 1. Bir kəsr vurulduqdan sonra onu sadələşdirmək üçün azalmalar edə bilərsiniz. Sonra 5 · 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 · 3 3 2 + 1 · 9 3 10.

Qarşılıqlı kəsrlə bölmədən vurmağa keçid qaydasından istifadə edərək, verilmiş kəsrin əksi olan bir kəsr alırıq. Bunun üçün pay və məxrəc dəyişdirilir. Bir misala baxaq:

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 2 + 1 9 3 10

Sonra nəticədə kəsri çoxaltmalı və sadələşdirməlidirlər. Lazım gələrsə, məxrəcdəki irrasionallıqdan qurtulun. Bunu anlayırıq

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 9 3 10 2 + 1 = 5 2 10 2 + 1 = 3 2 2 + 1 = 3 2 - 1 2 2 + 1 2 - 1 = 3 2 - 1 2 2 2 - 1 2 = 3 2 - 1 2

Cavab: 5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 3 2 - 1 2

Bu bənd o zaman tətbiq edilir ki, ədəd və ya ədədi ifadə məxrəci 1-ə bərabər olan kəsr kimi göstərilə bilsin, onda belə kəsrlə əməliyyat ayrıca abzas hesab olunur. Məsələn, 1 6 · 7 4 - 1 · 3 ifadəsi göstərir ki, 3-ün kökünü başqa 3 1 ifadəsi ilə əvəz etmək olar. Onda bu giriş 1 6 · 7 4 - 1 · 3 = 1 6 · 7 4 - 1 · 3 1 formasının iki hissəsinin çarpılması kimi görünəcək.

Tərkibində dəyişənlər olan kəsrlər üzərində əməliyyatların yerinə yetirilməsi

Birinci məqalədə müzakirə olunan qaydalar dəyişənləri olan kəsrlərlə əməliyyatlara şamil edilir. Məxrəclər eyni olduqda çıxma qaydasını nəzərdən keçirin.

Sübut etmək lazımdır ki, A, C və D (D sıfıra bərabər deyil) hər hansı ifadə ola bilər və A D ± C D = A ± C D bərabərliyi onun icazə verilən qiymət diapazonuna ekvivalentdir.

Bir sıra ODZ dəyişənlərini götürmək lazımdır. Sonra A, C, D müvafiq dəyərləri almalıdır a 0 , c 0 və d 0. A D ± C D formasının dəyişdirilməsi a 0 d 0 ± c 0 d 0 formasının fərqi ilə nəticələnir, burada toplama qaydasından istifadə edərək a 0 ± c 0 d 0 formasının düsturunu alırıq. A ± C D ifadəsini əvəz etsək, a 0 ± c 0 d 0 formasının eyni hissəsini alarıq. Buradan belə nəticəyə gəlirik ki, ODZ, A ± C D və A D ± C D-ni təmin edən seçilmiş qiymət bərabər hesab olunur.

Dəyişənlərin hər hansı bir dəyəri üçün bu ifadələr bərabər olacaq, yəni eyni şəkildə bərabər adlanır. Bu o deməkdir ki, bu ifadə A D ± C D = A ± C D formasının sübut edilə bilən bərabərliyi hesab olunur.

Dəyişənlərlə kəsrlərin toplanması və çıxılması nümunələri

Eyni məxrəclərə sahib olduğunuz zaman, yalnız sayları əlavə etmək və ya çıxmaq lazımdır. Bu fraksiya sadələşdirilə bilər. Bəzən eyni dərəcədə bərabər olan fraksiyalarla işləmək məcburiyyətindəsiniz, lakin ilk baxışdan bu nəzərə çarpmır, çünki bəzi çevrilmələr aparılmalıdır. Məsələn, x 2 3 x 1 3 + 1 və x 1 3 + 1 2 və ya 1 2 sin 2 α və sin a cos a. Çox vaxt eyni məxrəcləri görmək üçün orijinal ifadənin sadələşdirilməsi tələb olunur.

Misal 6

Hesablayın: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2, 2) l g 2 x + 4 x · (l g x + 2) + 4 · l g x x · (l g x + 2) , x - 1 x - 1 + x x + 1 .

Həll

1. Hesablama aparmaq üçün eyni məxrəcə malik kəsrləri çıxarmaq lazımdır. Onda alırıq ki, x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2. Bundan sonra mötərizələri genişləndirə və oxşar şərtlər əlavə edə bilərsiniz. Alırıq ki, x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 + x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2
2. Məxrəclər eyni olduğuna görə, məxrəci tərk edərək sayları toplamaq qalır: l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) = l g 2 x + 4 + 4 x (l g x) + 2)
   Əlavə tamamlandı. Fraksiyanı azaltmağın mümkün olduğunu görmək olar. Onun numeratoru cəminin kvadratının düsturu ilə qatlana bilər, sonra (l g x + 2) 2 alırıq. qısaldılmış vurma düsturlarından. Sonra bunu anlayırıq
   l g 2 x + 4 + 2 l g x x (l g x + 2) = (l g x + 2) 2 x (l g x + 2) = l g x + 2 x
3. Müxtəlif məxrəcli x - 1 x - 1 + x x + 1 formasının kəsrləri verilmişdir. Transformasiyadan sonra əlavəyə keçə bilərsiniz.

Gəlin ikitərəfli həll variantını nəzərdən keçirək.

Birinci üsul ondan ibarətdir ki, birinci fraksiyanın məxrəci kvadratlardan istifadə edilməklə, sonrakı azalma ilə faktorlara bölünür. Formanın bir hissəsini alırıq

x - 1 x - 1 = x - 1 (x - 1) x + 1 = 1 x + 1

Beləliklə, x - 1 x - 1 + x x + 1 = 1 x + 1 + x x + 1 = 1 + x x + 1 .

Belə olan halda məxrəcdəki irrasionallıqdan qurtulmaq lazımdır.

1 + x x + 1 = 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = x - 1 + x x - x x - 1

İkinci üsul ikinci kəsrin payını və məxrəcini x - 1 ifadəsi ilə vurmaqdır. Beləliklə, biz irrasionallıqdan xilas oluruq və eyni məxrəcli kəsrlərin toplanmasına keçirik. Sonra

x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 x - 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = = x - 1 x - 1 + x x - x x - 1 = x - 1 + x x - x x - 1

Cavab: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2, 2) l g 2 x + 4 x · (l g x + 2) + 4 · l g x x · (l g x + 2) = l g x + 2 x, 3) x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 + x · x - x x - 1 .

Sonuncu misalda ortaq məxrəcə endirilmənin qaçılmaz olduğunu gördük. Bunun üçün fraksiyaları sadələşdirmək lazımdır. Toplama və ya çıxma zamanı həmişə ümumi məxrəc axtarmaq lazımdır ki, bu da paylara əlavə edilmiş əlavə amillərlə məxrəclərin hasilinə bənzəyir.

Misal 7

Fraksiyaların qiymətlərini hesablayın: 1) x 3 + 1 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) (2 x - 4) - sin x x 5 ln (x + 1) (2 x - 4) , 3) ​​1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x

Həll

1. Məxrəc hər hansı mürəkkəb hesablamalar tələb etmir, ona görə də onların məhsulunu 3 x 7 + 2 · 2 şəklində seçmək lazımdır, sonra əlavə amil kimi birinci fraksiya üçün x 7 + 2 · 2, ikinci üçün isə 3 seçin. Çoxaldarkən x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 3 x 7 + 2 2 + 3 1 3 x 7 + 2 2 = = x x 7 + 2 2 + 3 3 formasının bir hissəsini alırıq. x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2
2. Görünür ki, məxrəclər məhsul şəklində təqdim olunur, yəni əlavə çevrilmələrə ehtiyac yoxdur. Ümumi məxrəc x 5 · ln 2 x + 1 · 2 x - 4 şəklində hasil hesab ediləcək. Beləliklə, x 4 birinci kəsrə əlavə əmsaldır və ln(x + 1) ikinciyə. Sonra çıxarırıq və alırıq:
   x + 1 x · ln 2 (x + 1) · 2 x - 4 - sin x x 5 · ln (x + 1) · 2 x - 4 = = x + 1 · x 4 x 5 · ln 2 (x + 1) ) · 2 x - 4 - sin x · ln x + 1 x 5 · ln 2 (x + 1) · (2 ​​​​x - 4) = = x + 1 · x 4 - sin x · ln (x + 1) ) x 5 · ln 2 (x + 1) · (2 ​​​​x - 4) = x · x 4 + x 4 - sin x · ln (x + 1) x 5 · ln 2 (x + 1) · ( 2 x - 4)
3. Bu misal kəsr məxrəcləri ilə işləyərkən məna kəsb edir. Kvadratların fərqi və cəminin kvadratı üçün düsturları tətbiq etmək lazımdır, çünki onlar 1 cos x - x · cos x + x + 1 (cos x +) formasının ifadəsinə keçməyə imkan verəcəkdir. x) 2. Görünür ki, kəsrlər ortaq məxrəcə endirilir. Biz cos x - x · cos x + x 2 alırıq.

Sonra bunu anlayırıq

1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x = = 1 cos x - x cos x + x + 1 cos x + x 2 = = cos x + x cos x - x cos x + x 2 + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = = cos x + x + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = 2 cos x cos x - x cos x + x 2

Cavab:

1) x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - sin x x 5 · ln (x + 1) · 2 x - 4 = = x · x 4 + x 4 - sin x · ln (x + 1) x 5 · ln 2 (x + 1) · ( 2 x - 4) , 3) ​​​​1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 · cos x · x + x = 2 · cos x cos x - x · cos x + x 2 .

Dəyişənlərlə kəsrlərin vurulması nümunələri

Kəsrləri vurduqda, pay paya, məxrəc isə məxrəcə vurulur. Sonra azalma xüsusiyyətini tətbiq edə bilərsiniz.

Misal 8

x + 2 · x x 2 · ln x 2 · ln x + 1 və 3 · x 2 1 3 · x + 1 - 2 sin 2 · x - x kəsrlərini çoxaldın.

Həll

Çoxalma etmək lazımdır. Bunu anlayırıq

x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) = = x - 2 x 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 x 2 ln x 2 ln x + 1 günah (2 x - x)

Hesablamaların rahatlığı üçün 3 rəqəmi birinci yerə köçürülür və kəsri x 2 ilə azalda bilərsiniz, sonra formanın ifadəsini alırıq.

3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 ln x + 1 sin (2 x - x)

Cavab: x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) = 3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 · ln x + 1 · günah (2 · x - x) .

Bölmə

Kəsrlərin bölünməsi çarpmaya bənzəyir, çünki birinci fraksiya ikinci qarşılıqlı ilə vurulur. Məsələn, x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 kəsirini götürsək və 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin 2 x - x-ə bölsək, onu belə yazmaq olar.

x + 2 · x x 2 · ln x 2 · ln x + 1: 3 · x 2 1 3 · x + 1 - 2 sin (2 · x - x) , sonra x + 2 · x formasının məhsulu ilə əvəz edin 2 · ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x)

Ekponentasiya

Göstərici ilə ümumi kəsrlərlə əməliyyatların nəzərdən keçirilməsinə keçək. Təbii göstəricisi olan qüvvə varsa, onda hərəkət bərabər kəsrlərin vurulması kimi qəbul edilir. Amma dərəcələrin xüsusiyyətlərinə əsaslanan ümumi yanaşmadan istifadə etmək tövsiyə olunur. C-nin sıfıra bərabər olmadığı istənilən A və C ifadələri və A C r bərabərliyi A C r = A r C r formasının ifadəsi üçün ODZ-də istənilən real r etibarlıdır. Nəticə gücə yüksəldilmiş bir kəsirdir. Məsələn, düşünün:

x 0, 7 - π · ln 3 x - 2 - 5 x + 1 2, 5 = = x 0, 7 - π · ln 3 x - 2 - 5 2, 5 x + 1 2, 5

Kəsrlərlə əməliyyatların yerinə yetirilməsi qaydası

Kəsrlər üzərində əməliyyatlar müəyyən qaydalara əsasən aparılır. Təcrübədə bir ifadənin bir neçə fraksiya və ya kəsr ifadəsi ola biləcəyini görürük. Sonra bütün hərəkətləri ciddi qaydada yerinə yetirmək lazımdır: bir gücə qaldırın, çarpın, bölün, sonra əlavə edin və çıxarın. Mötərizələr varsa, ilk hərəkət onlarda yerinə yetirilir.

Misal 9

1 - x cos x - 1 c o s x · 1 + 1 x hesablayın.

Həll

Məxrəcimiz eyni olduğundan, 1 - x cos x və 1 c o s x olur, lakin qaydaya uyğun olaraq çıxma əməliyyatları yerinə yetirilə bilməz, əvvəlcə mötərizədəki hərəkətlər, sonra vurma, sonra isə toplama yerinə yetirilir. Sonra hesablayarkən bunu alırıq

1 + 1 x = 1 1 + 1 x = x x + 1 x = x + 1 x

İfadəni orijinalla əvəz etdikdə, 1 - x cos x - 1 cos x · x + 1 x alırıq. Kəsrləri çoxaldarkən əldə edirik: 1 cos x · x + 1 x = x + 1 cos x · x. Bütün əvəzetmələri etdikdən sonra 1 - x cos x - x + 1 cos x · x alırıq. İndi müxtəlif məxrəcləri olan kəsrlərlə işləmək lazımdır. Biz əldə edirik:

x · 1 - x cos x · x - x + 1 cos x · x = x · 1 - x - 1 + x cos x · x = = x - x - x - 1 cos x · x = - x + 1 cos x x

Cavab: 1 - x cos x - 1 c o s x · 1 + 1 x = - x + 1 cos x · x .

Mətndə xəta görsəniz, onu vurğulayın və Ctrl+Enter düymələrini basın

Adi kəsrlərlə arifmetik əməliyyatlar

1. Əlavə.

Məxrəcləri eyni olan kəsrləri əlavə etmək üçün onların paylarını toplamaq və məxrəci eyni qoymaq lazımdır.

Misal. .

Fərqli məxrəcləri olan kəsrləri əlavə etmək üçün onları ən aşağı ortaq məxrəcə endirmək, sonra isə yaranan payları toplamaq və ümumi məxrəci cəmin altına yazmaq lazımdır.

Misal.

Qısacası belə yazılıb:

Qarışıq ədədləri əlavə etmək üçün tam ədədlərin cəmini və kəsrlərin cəmini ayrıca tapmaq lazımdır. Hərəkət belə yazılır:

2. Çıxarma.

Bənzər məxrəcləri olan kəsrləri çıxmaq üçün, çıxılanın payını minuendin payından çıxmaq və eyni məxrəci tərk etmək lazımdır. Hərəkət belə yazılır:

Fərqli məxrəcli kəsrləri çıxmaq üçün əvvəlcə onları ən kiçik ortaq məxrəcə endirməli, sonra minuendin payını minuendin payından çıxarmalı və onların fərqinin altındakı ortaq məxrəcə imza atmalısınız. Hərəkət belə yazılır:

Əgər bir qarışıq ədədi digər qarışıq ədəddən çıxarmaq lazımdırsa, onda mümkünsə, kəsrdən kəsri, tamdan isə tamı çıxarın. Hərəkət belə yazılır:

Çıxarılan hissənin kəsiri minuendin kəsirindən böyükdürsə, o zaman minuendin tam ədədindən bir vahid götürün, uyğun paylara bölün və onu aşağı endin kəsirinə əlavə edin, bundan sonra yuxarıda göstərildiyi kimi davam edin. . Hərəkət belə yazılır:

Tam ədəddən kəsri çıxarmaq lazım olduqda eyni şeyi edin.

Misal. .

3. Kəsrə toplama və çıxmanın xassələrinin genişləndirilməsi.Natural ədədlərin toplanması və çıxmasının bütün qanun və xassələri kəsr ədədlər üçün də etibarlıdır. Onların istifadəsi bir çox hallarda hesablama prosesini xeyli asanlaşdırır.

4. Vurma.

Kəsiri kəsrə vurmaq üçün payı paya, məxrəci isə məxrəcə vurmalı və birinci hasilini paya, ikinci hasilini isə məxrəcə çevirməlisən.

Çoxaldıqda, (mümkünsə) azalma etməlisiniz.

Misal. .

Tam ədədin məxrəci 1 olan kəsr olduğunu nəzərə alsaq, onda kəsri tam ədədə, tam ədədi isə kəsrə vurmaq eyni qayda ilə aparıla bilər.

Nümunələr.

5. Qarışıq ədədlərin vurulması.

Qarışıq ədədləri çoxaltmaq üçün əvvəlcə onları düzgün olmayan kəsrlərə çevirməli, sonra isə kəsrlərin vurulması qaydasına uyğun olaraq çoxaltmalısınız.

Misal. .

6. Kəsirin kəsrə bölünməsi.

Kəsiri kəsrə bölmək üçün birinci kəsrin payını ikincinin məxrəcinə, birincinin məxrəcini ikincinin payına vurmalı və birinci hasilini pay, ikincini isə yazmalısınız. məxrəc kimi.

Misal. .

Eyni qaydadan istifadə edərək, tam ədədi məxrəci 1 olan kəsr kimi təqdim edirsinizsə, kəsri tam ədədə və tam ədədi kəsrə bölmək olar.

Nümunələr.

7. Qarışıq ədədlərin bölünməsi.

Qarışıq ədədləri bölmək üçün əvvəlcə düzgün olmayan kəsrlərə çevrilir, sonra isə kəsrlərin bölünməsi qaydasına uyğun olaraq bölünür.

Misal. .

8. Bölmənin vurma ilə əvəz edilməsi.

Əgər siz pay və məxrəci kəsrlə əvəz etsəniz, verilmiş kəsrin tərsi olan yeni bir kəsr alırsınız. Məsələn, bir kəsir üçünəks kəsr olacaq.

Aydındır ki, iki qarşılıqlı tərs kəsrin hasili 1-ə bərabərdir.

1. Ədəddən kəsrin tapılması.

Verilmiş ədədin bir hissəsini və ya kəsirini tapmağı tələb edən bir çox problem var. Belə məsələlər vurma yolu ilə həll edilir.

Tapşırıq. Sahibənin 20 rublu var idi;Onları alış-verişə sərf etdi. Satınalmalar nə qədərdir?

Burada tapmaq lazımdırsayı 20. Bunu belə edə bilərsiniz:

Cavab verin. Sahibə 8 rubl xərclədi.

Nümunələr. 30-dan tapın. Həlli. .

-dən tapın. Həll. .

1. Onun kəsirinin məlum böyüklüyündən ədədin tapılması.

Bəzən ədədin məlum hissəsindən və bu hissəni ifadə edən kəsirdən istifadə edərək bütün ədədi müəyyən etmək lazımdır. Belə problemlər bölgü yolu ilə həll edilir.

Tapşırıq. Sinifdə 12 komsomolçu var, yənisinifdəki bütün tələbələrin hissələri. Sinifdə neçə şagird var?

Həll. .

Cavab verin. 20 tələbə.

Misal. Nömrəni tapınolan 34.

Həll. .

Cavab verin. Tələb olunan nömrədir.

1. İki ədədin nisbətinin tapılması.

Problemi nəzərdən keçirin: bir işçi gündə 40 hissə istehsal etdi. Aylıq plan 400 hissədirsə, işçi aylıq tapşırığın hansı hissəsini yerinə yetirmişdir?

Həll. .

Cavab verin. İşçi tamamladıaylıq planın bir hissəsi.

Bu halda bir hissə (40 hissə) tamın (400 hissə) bir hissəsi kimi ifadə edilir. Gündə istehsal olunan hissələrin aylıq plana nisbətinin də tapıldığını deyirlər.

1. Onluq kəsri adi kəsrə çevirmək.

Onluq kəsri ümumi kəsrə çevirmək üçün onu məxrəclə yazın və mümkünsə qısaldın:

Nümunələr.

1. Kəsirin ondalığa çevrilməsi.

Kəsiri ondalığa çevirməyin bir neçə yolu var.

Birinci yol. Kəsiri ondalığa çevirmək üçün siz payı məxrəcə ayırırsınız.

Nümunələr. .

İkinci yol. Kəsiri ondalığa çevirmək üçün kəsrin payını və məxrəcini elə bir ədədə vurmaq lazımdır ki, məxrəc sıfırlarla bir olsun (mümkünsə).

Misal.

1. Onluqların böyüklüyünə görə müqayisəsi. İki onluq kəsrdən hansının daha böyük olduğunu öyrənmək üçün onların bütün hissələrini, onda birini, yüzdə birini və s. Tam hissələr bərabər olduqda, onda daha çox olan kəsr daha böyükdür; tam və ondalıq ədədlər bərabərdirsə, yüzdən çox olanı böyükdür və s.

Misal. Üç fraksiyadan 2.432; 2.41 və 2.4098 ən böyük birincidir, çünki ən çox yüzlüklərə malikdir və bütün və onda biri bütün kəsrlərdə eynidir.

Onluqlarla əməliyyatlar

1. Onluqların 10, 100, 1000-ə vurulması və bölünməsi və s.

Onluğu 10, 100, 1000 və s. vergülü müvafiq olaraq bir, iki, üç və s.-yə köçürməlisiniz. sağa işarə edin. Əgər nömrədə kifayət qədər işarə yoxdursa, onda sıfırlar təyin olunur.

Misal. 15,45 10 = 154,5; 32.3 · 100 = 3230.

Onluq kəsri 10, 100, 1000 və s.-yə bölmək üçün ondalık nöqtəni müvafiq olaraq bir, iki, üç və s.-yə köçürmək lazımdır. sola işarə edin. Vergülü köçürmək üçün kifayət qədər simvol yoxdursa, onların sayı solda müvafiq sıfırların sayı ilə tamamlanır.

Nümunələr. 184,35: 100 = 1,8435; 3,5: 100 = 0,035.

1. Onluqların toplanması və çıxılması.

Ondalıklar natural ədədlərin toplanması və çıxılması ilə eyni şəkildə toplanır və çıxarılır. Rəqəm rəqəmin altına, vergül isə vergülün altına yazılır.

Nümunələr.

1. Onluqların vurulması.

İki onluq kəsri çoxaltmaq üçün vergüllərə fikir vermədən, onları tam ədədlərə vurmaq və hasildə vurma və çarpanda olduğu qədər ondalığı sağda vergüllə ayırmaq kifayətdir.

Misal 1. 2.064 · 0.05.

2064 · 5 = 10320 tam ədədlərini çoxaldırıq. Birinci amildə üç onluq, ikincisində iki ədəd var idi. Məhsulda beş onluq yer olmalıdır. Onları sağda ayırırıq və 0,10320 alırıq. Sonda sıfır atmaq olar: 2.064 · 0.05 = 0.1032.

Misal 2. 1,125 · 0,08; 1125 · 8 = 9000.

Onluq yerlərin sayı 3 + 2 = 5 olmalıdır. Solda (009000) 9000-ə sıfır əlavə edirik və sağda beş onluq yerini ayırırıq. 1.125 · 0.08 = 0.09000 = 0.09 alırıq.

1. Onluqların bölünməsi.

Onluq kəsrlərin qalıqsız bölünməsinin iki halına baxılır: 1) onluq kəsrin tam ədədə bölünməsi; 2) ədədin (tam və ya kəsr) onluq kəsrə bölünməsi.

Onluğu tam ədədə bölmək tam ədədləri bölmək kimi aparılır; nəticədə yaranan qalıqlar ardıcıl olaraq kiçik onluq hissələrə bölünür və bölmə qalan sıfır olana qədər davam edir.

Nümunələr.

Ədədin (tam və ya kəsr) onluq kəsrə bölünməsi bütün hallarda tam ədədə bölünməsi ilə nəticələnir. Bunun üçün bölməni 10, 100, 1000 və s. artırın. dəfə və bölünmənin dəyişməməsi üçün dividend eyni sayda dəfə artırılır və sonra tam ədədə bölünür (birinci halda olduğu kimi).

Misal. 47,04: 0,0084 = 470400: 84 = 5600;

1. Adi və onluq kəsrlərlə birgə hərəkətlərin nümunələri.

Əvvəlcə onluq kəsrlərlə bütün əməliyyatların nümunəsini nəzərdən keçirək.

Misal 1. Hesablayın:

Burada bölünmənin dəyişmədiyini nəzərə alaraq dividend və bölücünün tam ədədə endirilməsindən istifadə edirlər. Sonra bizdə:

Adi və onluq kəsrlərlə birgə hərəkətlərin nümunələrini həll edərkən bəzi hərəkətləri onluq kəsrlərdə, bəzilərini isə adi kəsrlərdə yerinə yetirmək olar. Nəzərə almaq lazımdır ki, adi kəsr həmişə son onluq kəsrə çevrilə bilməz. Buna görə də, onluq kəsr kimi yazmaq yalnız belə bir çevrilmənin mümkün olduğu təsdiqləndikdə edilə bilər.

Misal 2. Hesablayın:

Maraq

Faiz anlayışı.Ədədin faizi həmin ədədin yüzdə bir hissəsidir. Məsələn, “ölkəmizin bütün sakinlərinin 54 yüzdə biri qadındır” demək əvəzinə, “ölkəmizin bütün sakinlərinin 54 faizi qadınlardır” demək olar. “Faiz” sözünün yerinə % işarəsini də yazırlar, məsələn, 35% 35 faiz deməkdir.

Faiz yüzdə bir hissə olduğundan belə nəticə çıxır ki, faiz məxrəci 100 olan kəsrdir. Buna görə də kəsr 0,49 və ya, 49 faiz kimi oxunub, 49 faiz kimi məxrəcsiz yazıla bilər. Ümumiyyətlə, verilmiş onluq kəsrdə neçə yüzdə biri olduğunu təyin etdikdən sonra onu faizlə yazmaq asandır. Bunu etmək üçün qaydadan istifadə edin: onluq kəsri faizlə yazmaq üçün bu kəsrdəki onluq nöqtəni iki yer sağa köçürməlisiniz.

Nümunələr. 0,33 = 33%; 1,25 = 125%; 0,002 = 0,2%; 21 = 2100%.

Və əksinə: 7% = 0,07; 24,5% = 0,245; 0,1% = 0,001; 200% = 2.

1. Verilmiş ədədin faizini tapmaq

Tapşırıq. Plana görə, traktorçulardan ibarət briqada 9 ton yanacaq sərf etməlidir. Traktorçular yanacağa 20 faiz qənaət etmək barədə sosial öhdəlik götürüblər. Yanacağa qənaəti tonla müəyyən edin.

Əgər bu məsələdə 20% əvəzinə 0,2 ədədini ona bərabər yazsaq, ədədin kəsirini tapmaq məsələsini alırıq. Və belə məsələlər vurma yolu ilə həll olunur. Bu həll yoludur:

20% = 0,2; 9 · 0,2 = 1,8 (m).

Hesablamaları belə yazmaq olar:

(m)

Verilmiş ədədin bir neçə faizini tapmaq üçün verilmiş ədədi 100-ə bölmək və nəticəni faizlərin sayına vurmaq kifayətdir.

Tapşırıq. 1963-cü ildə bir işçi ayda 90 rubl alırdı və 1964-cü ildə 30% daha çox almağa başladı. 1964-cü ildə nə qədər qazandı?

Həll (birinci üsul).

1) İşçi daha neçə rubl aldı?

(rub.)

90 + 27 = 117 (rub).

İkinci yol.

1) 1964-cü ildə işçi əvvəlki qazancının neçə faizini almağa başladı?

100% + 30% = 130%.

2) 1964-cü ildə fəhlənin aylıq əmək haqqı nə qədər idi?

(rub.)

2. Verilmiş faiz qiymətindən ədədin tapılması.

Tapşırıq. Kolxoz 280 hektar sahədə qarğıdalı əkib ki, bu da ümumi əkin sahəsinin 14 faizini təşkil edir. Kolxozun əkin sahəsini müəyyənləşdirin.

Bu məsələdə 14% əvəzinə 0,14 və ya yazırıqsa, onda biz onun kəsrinin məlum qiymətindən ədədi tapmaq tapşırığını alırıq. Və belə problemlər bölgü yolu ilə həll olunur.

Həll. 14% = 0,14; 280: 0,14 = 2000 (ha). Bu həll də belə formalaşdırıla bilər:

(ha)

Onun bir neçə faizinin verilmiş dəyərinə əsaslanan ədədi tapmaq üçün bu dəyəri faizlərin sayına bölmək və nəticəni 100-ə vurmaq kifayətdir.

Tapşırıq. Mart ayında zavodda 125,4 T metal, planı 4,5 faiz artıqlaması ilə yerinə yetirib. Plana görə mart ayında zavod neçə ton metal əritməli idi?

Həll.

1) Zavod mart ayında planı neçə faiz yerinə yetirib?

100% + 4,5% = 104,5%.

2) Zavod neçə ton metal əritməlidir?

(ha)

1. İki ədəd arasında faiz əlaqəsini tapmaq.

Tapşırıq. 300 hektar torpağı şumlamalıyıq. İlk gün 120 hektar sahədə şum aparılıb. İlk gün tapşırığın neçə faizi şumlanıb?

Həll.

Birinci yol. 300 hektar 100 faizdir, yəni 1 faiz 3 hektar ərazini təşkil edir. 1% təşkil edən 3 hektarın 120 hektarda neçə dəfə olduğunu təyin etməklə, ilk gün tapşırığın neçə faizinin şumlandığını öyrənirik.

120: 3 = 40(%).

İkinci yol. Birinci gün torpağın hansı hissəsinin şumlandığını müəyyən etdikdən sonra bu kəsri faizlə ifadə edirik.

Hesablamanı yazaq:

Bir ədədin faizini hesablamaq üçün adan b rəqəminə , əlaqə tapmaq lazımdır a-dan b və onu 100-ə vurun.

Kəsrlərlə hərəkətlər.

Diqqət!
Əlavə var
555-ci Xüsusi Bölmədəki materiallar.
Çox "çox deyil..." olanlar üçün.
Və "çox..." olanlar üçün)

Beləliklə, kəsrlər, kəsrlərin növləri, çevrilmələr nədir - xatırladıq. Keçək əsas məsələyə.

Kəsrlərlə nə edə bilərsiniz? Bəli, hər şey adi nömrələrlə eynidir. Əlavə etmək, çıxmaq, çoxaltmaq, bölmək.

Bütün bu hərəkətləri ilə onluq kəsrlərlə işləmək tam ədədlərlə işləməkdən fərqlənmir. Əslində, onlarda yaxşı olan budur. Yeganə odur ki, vergülü düzgün qoymaq lazımdır.

Qarışıq nömrələr, artıq dediyim kimi, əksər hərəkətlər üçün az istifadə olunur. Onları hələ də adi fraksiyalara çevirmək lazımdır.

Amma hərəkətləri ilə adi fraksiyalar daha hiyləgər olacaqlar. Və daha vacib! Sizə xatırlatmağa icazə verin: hərflər, sinuslar, naməlumlar və sair ilə kəsr ifadələri olan bütün hərəkətlər adi kəsrlərlə edilən hərəkətlərdən heç bir fərqi yoxdur! Adi kəsrlərlə əməliyyatlar bütün cəbr üçün əsasdır. Məhz bu səbəbdən bütün bu arifmetikanı burada çox ətraflı təhlil edəcəyik.

Kəsrlərin toplanması və çıxılması.

Hər kəs eyni məxrəclərə malik kəsrləri əlavə edə (çıxdır) bilər (həqiqətən ümid edirəm!). Yaxşı, tamam unutqanlara xatırlatım: toplayanda (çıxarkən) məxrəc dəyişmir. Nəticənin payını vermək üçün saylar əlavə edilir (çıxılır). Növ:

Qısacası, ümumi mənada:

Məxrəclər fərqli olarsa necə? Sonra, kəsrin əsas xassəsindən istifadə edərək (burada o, yenidən işə yarayır!), biz məxrəcləri eyni edirik! Misal üçün:

Burada biz 2/5 kəsrindən 4/10 kəsri etməli olduq. Məxrəcləri eyniləşdirmək məqsədi ilə. Hər ehtimala qarşı qeyd edim ki, 2/5 və 4/10 eyni fraksiya! Yalnız 2/5 bizim üçün narahatdır və 4/10 həqiqətən yaxşıdır.

Yeri gəlmişkən, hər hansı bir riyaziyyat probleminin həllinin mahiyyəti budur. Biz nə vaxt narahat ifadələr edirik eyni şey, lakin həll etmək üçün daha əlverişlidir.

Başqa bir misal:

Vəziyyət oxşardır. Burada 16-dan 48-i edirik. Sadə şəkildə 3-ə vurmaqla. Bu, hər şeyə aydındır. Ancaq belə bir şeylə qarşılaşdıq:

Necə olmaq?! Yeddidən doqquz etmək çətindir! Amma biz ağıllıyıq, qaydaları bilirik! Gəlin transformasiya edək hər kəsr ki, məxrəclər eyni olsun. Buna "ortaq məxrəcə endirmək" deyilir:

Heyrət! Vay! 63-ü necə bildim? Çox sadə! 63 eyni anda 7 və 9-a bölünən bir ədəddir. Belə bir ədədi həmişə məxrəcləri vurmaqla əldə etmək olar. Məsələn, bir ədədi 7-yə vursaq, nəticə mütləq 7-yə bölünəcək!

Əgər bir neçə fraksiya əlavə etmək (çıxmaq) lazımdırsa, bunu cüt-cüt, addım-addım etməyə ehtiyac yoxdur. Siz sadəcə olaraq bütün kəsrlər üçün ümumi məxrəci tapmaq və hər kəsi bu eyni məxrəcə endirmək lazımdır. Misal üçün:

Və ortaq məxrəc nə olacaq? Əlbəttə ki, 2, 4, 8 və 16-nı çoxalda bilərsiniz. 1024-ü alırıq. Kabus. 16 rəqəminin 2, 4 və 8-ə tam bölündüyünü təxmin etmək daha asandır. Buna görə də bu rəqəmlərdən 16-nı əldə etmək asandır. Bu ədəd ümumi məxrəc olacaqdır. 1/2-ni 8/16-ya, 3/4-ü 12/16-ya çevirək və s.

Yeri gəlmişkən, ortaq məxrəc kimi 1024 götürsəniz, hər şey düzələcək, sonda hər şey azalacaq. Amma hesablamalara görə hamı bu sona çatmayacaq...

Məsələni özünüz tamamlayın. Bir növ loqarifm deyil... 29/16 olmalıdır.

Deməli, kəsrlərin əlavəsi (çıxılması) aydındır, inşallah? Əlbəttə ki, qısaldılmış versiyada, əlavə çarpanlarla işləmək daha asandır. Amma bu ləzzət aşağı siniflərdə vicdanla işləyənlərə verilir... Və heç nəyi unutmadı.

İndi də eyni hərəkətləri edəcəyik, lakin fraksiyalarla deyil, ilə kəsr ifadələri. Yeni dırmıq burada aşkar olunacaq, bəli...

Beləliklə, iki fraksiya ifadəsi əlavə etməliyik:

Məxrəcləri eyni etməliyik. Və yalnız köməyi ilə vurma! Kəsrin əsas xüsusiyyəti bunu diktə edir. Ona görə də məxrəcdə birinci kəsrdə X-ə bir əlavə edə bilmirəm. (yaxşı olardı!). Ancaq məxrəcləri çoxaltsanız, görərsiniz, hər şey birlikdə böyüyür! Beləliklə, kəsrin sətirini yazırıq, yuxarıda boş yer buraxırıq, sonra onu əlavə edirik və unutmamaq üçün məxrəclərin hasilini aşağıya yazırıq:

Və əlbəttə ki, sağ tərəfdə heç bir şeyi çoxaltmırıq, mötərizələri açmırıq! İndi isə sağ tərəfdəki ortaq məxrəcə baxaraq başa düşürük: birinci kəsrdə x(x+1) məxrəcini almaq üçün bu kəsrin payını və məxrəcini (x+1)-ə vurmaq lazımdır. . İkinci fraksiyada - x-ə qədər. Aldığınız budur:

Qeyd! Budur mötərizələr! Bu, bir çox insanın ayaq basdığı ​​dırmıqdır. Təbii ki, mötərizələr deyil, onların olmaması. Mötərizələr çoxaldığımız üçün görünür hamısı say və hamısı məxrəc! Həm də onların fərdi parçaları deyil ...

Sağ tərəfin numeratorunda sayların cəmini yazırıq, hər şey ədədi fraksiyalardakı kimidir, sonra sağ tərəfin paylayıcısında mötərizələri açırıq, yəni. Biz hər şeyi çoxaldır və oxşarlarını veririk. Məxrəclərdə mötərizələri açmağa və heç nəyi çoxaltmağa ehtiyac yoxdur! Ümumiyyətlə, məxrəclərdə (hər hansı) məhsul həmişə daha xoşdur! Biz əldə edirik:

Beləliklə, cavabı aldıq. Proses uzun və çətin görünür, amma təcrübədən asılıdır. Nümunələri həll etdikdən sonra buna öyrəş, hər şey sadələşəcək. Kesrləri vaxtında mənimsəyənlər bütün bu əməliyyatları bir sol əllə, avtomatik edir!

Və daha bir qeyd. Bir çoxları fraksiyalarla ağıllı şəkildə məşğul olurlar, lakin nümunələrdə ilişib qalırlar bütöv nömrələri. Bənzər: 2 + 1/2 + 3/4= ? İki parçanı hara bağlamaq olar? Onu heç bir yerə bağlamaq lazım deyil, ikidən bir kəsir etmək lazımdır. Bu asan deyil, amma çox sadədir! 2=2/1. Bunun kimi. İstənilən tam ədəd kəsr kimi yazıla bilər. Nömrə ədədin özüdür, məxrəc birdir. 7 7/1, 3 3/1 və s. Hərflərlə də eynidir. (a+b) = (a+b)/1, x=x/1 və s. Və sonra bütün qaydalara uyğun olaraq bu kəsrlərlə işləyirik.

Yaxşı, kəsrlərin toplama və çıxması haqqında biliklər təzələndi. Kəsrin bir növdən digərinə çevrilməsi təkrarlandı. Siz də yoxlada bilərsiniz. Bir az həll edək?)

Hesablayın:

Cavablar (qarışıq):

71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6

Kəsrlərin vurulması/bölülməsi - növbəti dərsdə. Kəsrlərlə bütün əməliyyatlar üçün tapşırıqlar da var.

Bu saytı bəyənirsinizsə...

Yeri gəlmişkən, sizin üçün daha bir neçə maraqlı saytım var.)

Nümunələrin həllində məşq edə və səviyyənizi öyrənə bilərsiniz. Ani yoxlama ilə sınaq. Gəlin öyrənək - maraqla!)

Funksiyalar və törəmələrlə tanış ola bilərsiniz.

İndi biz ayrı-ayrı kəsrləri toplamaq və çoxaltmağı öyrəndiyimiz üçün daha mürəkkəb strukturlara baxa bilərik. Məsələn, eyni problem kəsrləri toplamaq, çıxmaq və vurmaqdan ibarətdirsə necə?

Əvvəlcə bütün fraksiyaları düzgün olmayanlara çevirməlisiniz. Sonra tələb olunan hərəkətləri ardıcıl olaraq yerinə yetiririk - adi ədədlərlə eyni qaydada. Məhz:

1. İlk olaraq eksponentasiya edilir - eksponentləri ehtiva edən bütün ifadələrdən xilas olun;
2. Sonra - bölmə və vurma;
3. Son addım toplama və çıxmadır.

Təbii ki, ifadədə mötərizələr varsa, əməliyyatların ardıcıllığı dəyişir - ilk növbədə mötərizə içərisində olan hər şeyi hesablamaq lazımdır. Düzgün olmayan fraksiyalar haqqında unutmayın: yalnız bütün digər hərəkətlər tamamlandıqda bütün hissəni vurğulamalısınız.

Gəlin birinci ifadədən bütün kəsrləri düzgün olmayanlara çevirək və sonra aşağıdakı addımları yerinə yetirək:

İndi ikinci ifadənin qiymətini tapaq. Tam hissəli kəsrlər yoxdur, lakin mötərizələr var, ona görə də əvvəlcə toplama, sonra isə bölmə həyata keçiririk. Qeyd edək ki, 14 = 7 · 2. Sonra:

Nəhayət, üçüncü nümunəyə nəzər salın. Burada mötərizələr və dərəcə var - onları ayrıca saymaq daha yaxşıdır. 9 = 3 3 olduğunu nəzərə alsaq, əldə edirik:

Son nümunəyə diqqət yetirin. Kəsiri qüvvəyə qaldırmaq üçün payı bu qüvvəyə, məxrəci isə ayrıca qaldırmalısınız.

Fərqli qərar verə bilərsiniz. Dərəcənin tərifini xatırlasaq, problem fraksiyaların adi çarpımına qədər azalacaq:

Çoxmərtəbəli fraksiyalar

İndiyə qədər biz yalnız "saf" kəsrləri nəzərdən keçirdik, o zaman ki, pay və məxrəc adi ədədlərdir. Bu, elə birinci dərsdə verilmiş ədəd fraksiyasının tərifinə tam uyğundur.

Bəs siz daha mürəkkəb obyekti pay və ya məxrəcə qoysanız necə olacaq? Məsələn, başqa bir ədədi kəsr? Bu cür konstruksiyalar, xüsusən uzun ifadələrlə işləyərkən olduqca tez-tez yaranır. Budur bir neçə nümunə:

Çoxsəviyyəli fraksiyalarla işləmək üçün yalnız bir qayda var: onlardan dərhal xilas olmalısınız. "Əlavə" mərtəbələrin çıxarılması olduqca sadədir, əgər kəsik işarəsinin standart bölmə əməliyyatı demək olduğunu xatırlayırsınızsa. Beləliklə, istənilən kəsr aşağıdakı kimi yenidən yazıla bilər:

Bu faktdan istifadə edərək və prosedura əməl edərək, hər hansı bir çoxmərtəbəli fraksiyanı asanlıqla adi birinə endirə bilərik. Nümunələrə nəzər salın:

Tapşırıq. Çoxmərtəbəli fraksiyaları adi kəsrlərə çevirin:

Hər bir vəziyyətdə, bölmə xəttini bölmə işarəsi ilə əvəz edərək, əsas kəsiri yenidən yazırıq. Həm də unutmayın ki, istənilən tam ədəd 1 məxrəcli kəsr kimi göstərilə bilər. Yəni 12 = 12/1; 3 = 3/1. Biz əldə edirik:

Sonuncu misalda, kəsrlər son vurmadan əvvəl ləğv edildi.

Çoxsəviyyəli fraksiyalarla işin xüsusiyyətləri

Çoxsəviyyəli fraksiyalarda həmişə yadda saxlamaq lazım olan bir incəlik var, əks halda bütün hesablamalar düzgün olsa belə, səhv cavab ala bilərsiniz. Bax:

1. Paylayıcıda tək ədəd 7, məxrəcdə isə 12/5 kəsr var;
2. Hissədə 7/12 kəsri, məxrəcdə isə ayrıca 5 rəqəmi var.

Beləliklə, bir səsyazma üçün iki tamamilə fərqli şərh aldıq. Hesab etsəniz, cavablar da fərqli olacaq:

Yazının həmişə birmənalı oxunmasını təmin etmək üçün sadə bir qaydadan istifadə edin: əsas fraksiyanın bölmə xətti yuvalanmış fraksiyanın xəttindən uzun olmalıdır. Tercihen bir neçə dəfə.

Bu qaydaya əməl etsəniz, yuxarıdakı kəsrlər aşağıdakı kimi yazılmalıdır:

Bəli, o, yəqin ki, yararsızdır və çox yer tutur. Ancaq düzgün hesablayacaqsınız. Nəhayət, çoxmərtəbəli fraksiyaların həqiqətən yarandığı bir neçə nümunə:

Tapşırıq. İfadələrin mənalarını tapın:

Beləliklə, birinci nümunə ilə işləyək. Gəlin bütün kəsrləri düzgün olmayanlara çevirək, sonra toplama və bölmə əməliyyatlarını yerinə yetirək:

İkinci nümunə ilə də eyni şeyi edək. Bütün kəsrləri düzgün olmayanlara çevirək və tələb olunan əməliyyatları yerinə yetirək. Oxucunu bezdirməmək üçün bəzi aşkar hesablamaları buraxacağam. Bizdə:

Əsas kəsrlərin pay və məxrəcində cəmlər olduğu üçün çoxmərtəbəli kəsrlərin yazılması qaydasına avtomatik riayət olunur. Həmçinin, son misalda, bölməni yerinə yetirmək üçün qəsdən 46/1-i kəsr şəklində buraxdıq.

Onu da qeyd edim ki, hər iki misalda kəsr zolağı əslində mötərizələri əvəz edir: ilk növbədə biz cəmini, sonra isə hissəni tapdıq.

Bəziləri deyəcəklər ki, ikinci misalda düzgün olmayan kəsrlərə keçid açıq şəkildə lazımsız idi. Bəlkə də bu doğrudur. Ancaq bununla biz özümüzü səhvlərdən sığortalayırıq, çünki növbəti dəfə nümunə daha mürəkkəb ola bilər. Özünüz üçün daha vacib olanı seçin: sürət və ya etibarlılıq.

Ətraflı həlləri olan rahat və sadə onlayn fraksiya kalkulyatoru Ola bilər:

• Onlayn kəsrləri əlavə edin, çıxın, vurun və bölün,
• Şəkil ilə fraksiyaların hazır həllini alın və rahat şəkildə köçürün.

Kəsrlərin həllinin nəticəsi burada olacaq...

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Kəsr işarəsi "/" + - * :
_silmək Təmizlə
Onlayn fraksiya kalkulyatorumuz sürətli girişə malikdir. Məsələn, fraksiyaları həll etmək üçün sadəcə yazın 1/2+2/7 kalkulyatora daxil edin və " Kəsrləri həll edin". Kalkulyator sizə yazacaq fraksiyaların ətraflı həlli və çıxaracaq surəti asan bir şəkil.

Kalkulyatorda yazmaq üçün istifadə olunan işarələr

Onlayn fraksiya kalkulyatorunun xüsusiyyətləri

Mənfi fraksiyaları həll etmək lazımdırsa, yalnız mənfi xüsusiyyətləri istifadə edin. Mənfi fraksiyaları vurub bölərkən, minusa artı verir. Yəni mənfi kəsrlərin hasili və bölgüsü eyni müsbətlərin hasili və bölgüsünə bərabərdir. Əgər çarpma və ya bölmə zamanı bir kəsr mənfi olarsa, sadəcə olaraq mənfini çıxarın və sonra onu cavaba əlavə edin. Mənfi fraksiyaları əlavə edərkən nəticə eyni müsbət kəsrləri əlavə etdiyiniz kimi olacaq. Bir mənfi kəsr əlavə etsəniz, bu, eyni müsbəti çıxarmaqla eynidir.
Mənfi kəsrləri çıxardıqda nəticə onların dəyişdirilib müsbət hala salındığı kimi olacaq. Yəni, bu vəziyyətdə mənfi ilə mənfi bir artı verir, lakin şərtləri yenidən təşkil etmək cəmi dəyişmir. Biri mənfi olan kəsrləri çıxararkən eyni qaydalardan istifadə edirik.

Qarışıq fraksiyaları (bütün hissənin təcrid olunduğu fraksiyaları) həll etmək üçün bütün hissəni fraksiyaya uyğunlaşdırmaq kifayətdir. Bunu etmək üçün, bütün hissəni məxrəcə vurun və paya əlavə edin.

3 və ya daha çox fraksiyanı onlayn həll etməlisinizsə, onları bir-bir həll etməlisiniz. Əvvəlcə ilk 2 kəsri sayın, sonra alınan cavabla növbəti kəsri həll edin və s. Əməliyyatları bir-bir, 2 fraksiya yerinə yetirin və nəticədə düzgün cavabı alacaqsınız.